quote:

Op donderdag 30 mei 2013 12:56 schreef motorbloempje het volgende:
'Even'?

Dit soort dingen krijg je door door veel te oefenen, oefenen, oefenen. En nog meer oefenen.

Download dit boek: http://staff.science.uva.nl/~craats/BasisboekWiskunde2HP.pdf

En hup, aan de slag. Wat is 'binnenkort' overigens en had je niet eerder kunnen bedenken dat je wellicht wat wiskunde bij moest spijkeren?

quote:

Op donderdag 30 mei 2013 13:00 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Ik sta een 8 voor wiskunde (A) op de HAVO en mijn centraal examen ging ook wel redelijk. Overigens kan ik alles oplossen met rekenmachine, maar zonder rekenmachine niet.. en de wiskunde wat ik net gepost had, is gewoon wiskunde b... zover ik weet?

Houdt het pdf-boekje wel rekening om zonder rekenmachine alles op te lossen?

quote:

Op donderdag 30 mei 2013 13:00 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Ik sta een 8 voor wiskunde (A) op de HAVO en mijn centraal examen ging ook wel redelijk. Overigens kan ik alles oplossen met rekenmachine, maar zonder rekenmachine niet.. en de wiskunde wat ik net gepost had, is gewoon wiskunde b... zover ik weet?

Houdt het pdf-boekje wel rekening om zonder rekenmachine alles op te lossen?

quote:

Op donderdag 30 mei 2013 13:13 schreef Merkie het volgende:

[..]

Wat kan je niet zonder rekenmachine dan? Ook al zou ik een rekenmachine hebben, dan zou ik hem denk ik nergens voor gebruiken aangezien ik met de hand altijd sneller zou zijn.

[..]

Ze zouden de GR gewoon moeten verbieden op de middelbare school, daar leer je echt niets van. Je hebt een 8 voor wiskunde A, maar in feite heb je een 8 voor rekenmachinevaardigheden .

quote:

Op donderdag 30 mei 2013 13:21 schreef Merkie het volgende:
2^-4 kan je niet? 2*2*2*2 = 16. Antwoord: 1/16. Maar dan moet je wel weten dat a^-b = 1/a^b .

Ik zou die pdf van motorbloempje doorwerken, dan kom je er wel .

Overigens kan je de helft van de vragen al oplossen door wat simpele rekenregels te onthouden: http://nl.wikipedia.org/wiki/Machtsverheffen.

quote:

Op donderdag 30 mei 2013 13:24 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Omdat er een - teken voor de macht stond, begreep ik het niet.

Overigens snap ik het vermenigvuldigen (grote getallen zoals 455 x 555) en het delen ook niet eens meer , ben het zwaar verleerd... terwijl ik er toen ik klein was nog een meester in was. Ik ben het compleet met je eens. Het is tegenwoordig geen wiskunde a meer, maar rekenmachine beheersing A.

Het moet echt afgeschaft worden dat hele GR en Casio gebeuren.

quote:

Op donderdag 30 mei 2013 13:32 schreef Merkie het volgende:

[..]

Zo ingewikkeld is het allemaal niet hoor, je hebt het zo onder de knie denk ik. Je moet gewoon ff oefenen .

quote:

Op donderdag 30 mei 2013 13:34 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Klopt inderdaad. Maar hoe kan ik goed voorbereid zijn op dit soort vragen? Alleen die pdfje van motorbloempje?

quote:

Op donderdag 30 mei 2013 15:44 schreef Bram_van_Loon het volgende:
Het grootste deel van de stof die jij moet beheersen heb jij wel gehad in de eerste 3 leerjaren van het HAVO. Maar ja, als je altijd het grafisch rekenmachientje gebruikt dan leer je niet zo veel.
Werk met dat boekje van van der Craats zonder een rekenmachine te gebruiken.

quote:

Op donderdag 30 mei 2013 12:56 schreef motorbloempje het volgende:
'Even'?

Dit soort dingen krijg je door door veel te oefenen, oefenen, oefenen. En nog meer oefenen.

Download dit boek: http://staff.science.uva.nl/~craats/BasisboekWiskunde2HP.pdf

En hup, aan de slag. Wat is 'binnenkort' overigens en had je niet eerder kunnen bedenken dat je wellicht wat wiskunde bij moest spijkeren?

quote:

Op donderdag 30 mei 2013 22:57 schreef JoelBaka het volgende:
Waar heb je trouwens dat oefen toetsje vandaan?

quote:

Op donderdag 30 mei 2013 23:03 schreef Bram_van_Loon het volgende:
Leer je niet ook in 2- of 3-HAVO dat formuletje (-b/2a) wat je krijgt als je x berekent voor f'(x) = 0 met f(x) een tweedegraadsfunctie? In dat geval zou hij alles hebben geleerd in 3-HAVO wat hij moet leren. Ik weet bijvoorbeeld dat je dan de discriminant hebt geleerd, hoe je met haakjes werkt etc.
Ik vind trouwens dat je zelf de wortelformule en de discriminant zou moeten kunnen afleiden, laat leerlingen in 3-HAVO maar eens zelf die afleiding geven tijdens een toets. Prima te doen en je krijgt er heel wat meer inzicht van dan wanneer je hersenloos een formuletje gebruikt.

Yep, dat toetsje is prima te doen. Als hij serieus met dat boekje van van der Craats aan de slag gaat dan mag het geen probleem zijn voor hem om voor dit toetsje te slagen.

[..]

Website van de school natuurlijk.

quote:

Op donderdag 30 mei 2013 12:51 schreef Sucuk het volgende:
Binnenkort heb intaketoetsen op de hogeschool waar ik mijn opleiding ga volgen. Heb mijzelf ingeschreven en even de voorbeeldtoetsen bekeken o.a. wiskunde.

Ik tref aan dat je het ZONDER rekenmachine moet oplossen.

[ afbeelding ]

Mijn vraag is dus hoe ik even snel kan bijspijkeren. Overigens heb ik ook nog eens wiskunde A gehad, waar deze materie niet eens in behandeld is.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 00:22 schreef Bram_van_Loon het volgende:
Kijk hier eens eventjes.
http://www.wisfaq.nl/showfaq3.asp?Id=3107

Hoe je een ongelijkheid oplost kan je zelf bedenken door even logisch na te denken. Je weet dat 15>13. Stel dat je nu vermenigvuldigt met -1. -15>-13 of -15 < -13
Dus...?
15>13, stel nu dat je 2 optelt of aftrekt aan beide kanten van het ongelijkheidsteken, zou je dan hetzelfde ongelijkheidsteken behouden? Simpelweg uitproberen geeft je het inzicht.

Ik ga je niet met alle opgaves helpen, onder andere omdat je er niets aan hebt. Werk een wiskundelesboek door, daar heb je meer aan. Dat boek van van der Craats volstaat ruimschoots voor wat je nodig hebt maar er zijn ook alternatieven, bijv. een soortgelijk Vlaams lesboek.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 01:24 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Ik snap het niet? Ik weet ook niet hoe de stof mbt vraag 13 & 15 heet? Waarin de > teken voorkomt? Nog nooit gezien..

Voor de rest materie nog even doornemen en dan moet het wel goedkomen.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 01:24 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Ik snap het niet? Ik weet ook niet hoe de stof m.b.t. vraag 13 & 15 heet? Waarin het > teken voorkomt? Nog nooit gezien.

quote:

Voor de rest materie nog even doornemen en dan moet het wel goedkomen.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 01:48 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit zijn ongelijkheden. Het teken > betekent groter dan en het teken < staat voor kleiner dan. Het is de bedoeling dat je - op een systematische manier - bepaalt voor elke waarde(n) van x deze ongelijkheden gelden. Nummer 13 doe je als volgt. De opgave luidt:

7x - 3 > 3x + 9

Nu is hier de werkwijze om eerst alle termen met x in het linkerlid te krijgen en alle termen zonder x in het rechterlid. Om dit te bewerkstelligen gaan we eerst bij beide leden 3 optellen. Dit geeft:

7x - 3 + 3 > 3x + 9 + 3

En dus hebben we nu:

7x > 3x + 12

Nu trek je van beide leden 3x af. Dit geeft:

7x - 3x > 3x + 12 - 3x

En dus hebben we nu:

4x > 12

Nu zijn we er bijna, we hoeven nu alleen nog beide leden door 4 te delen. Dan krijgen we:

x > 3

Dit is de gezochte voorwaarde waaronder de oorspronkelijke ongelijkheid geldt. Controleer dit door een paar getallen kleiner dan 3 én een paar getallen groter dan 3 in te vullen in de oorspronkelijke ongelijkheid.

[..]

Als ik zo je lijst zie denk ik dat het met jou nooit meer goed gaat komen.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 01:48 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit zijn ongelijkheden. Het teken > betekent groter dan en het teken < staat voor kleiner dan. Het is de bedoeling dat je - op een systematische manier - bepaalt voor elke waarde(n) van x deze ongelijkheden gelden. Nummer 13 doe je als volgt. De opgave luidt:

7x - 3 > 3x + 9

Nu is hier de werkwijze om eerst alle termen met x in het linkerlid te krijgen en alle termen zonder x in het rechterlid. Om dit te bewerkstelligen gaan we eerst bij beide leden 3 optellen. Dit geeft:

7x - 3 + 3 > 3x + 9 + 3

En dus hebben we nu:

7x > 3x + 12

Nu trek je van beide leden 3x af. Dit geeft:

7x - 3x > 3x + 12 - 3x

En dus hebben we nu:

4x > 12

Nu zijn we er bijna, we hoeven nu alleen nog beide leden door 4 te delen. Dan krijgen we:

x > 3

Dit is de gezochte voorwaarde waaronder de oorspronkelijke ongelijkheid geldt. Controleer dit door een paar getallen kleiner dan 3 én een paar getallen groter dan 3 in te vullen in de oorspronkelijke ongelijkheid.

[..]

Als ik zo je lijst zie denk ik dat het met jou nooit meer goed gaat komen.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 02:04 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Hoe weet je trouwens wanneer je bv bij de linkerlid/rechterlid moet aftrekken/optellen.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 16:48 schreef Sucuk het volgende:
vraag 16, 17 en 19? Hoe doe je die zonder rekenmachine? Die zijn toch heel lang... dat kan je niet uit je hoofd berekenen?

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 17:11 schreef Riparius het volgende:

[..]

Vergelijking 16 is wel héél gemakkelijk hoor. Hier hun je dezelfde methode gebruiken als bij de ongelijkheid die ik je heb voorgedaan.

De opgave:

6x - 5 = 2x + 7

We willen nu weer alle termen met x in het linkerlid hebben, en alle termen zonder x in het rechterlid. Dus tellen we eerst 5 op bij beide leden. Dit geeft:

6x = 2x + 12

Nu trekken we 2x af van beide leden en krijgen we:

4x = 12

Tenslotte beide leden delen door 4 en we vinden:

x = 3

Voilà.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 17:12 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Oeps... ik bedoelde 17,18,19

Mijn fout.

''Bepaal alle oplossingen'' en Discriminant.

Dat duurt toch super lang... daar heb je lijkt mij wel een rekenmachine voor nodig?

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 16:48 schreef Sucuk het volgende:
vraag 16, 17 en 19? Hoe doe je die zonder rekenmachine? Die zijn toch heel lang... dat kan je niet uit je hoofd berekenen?

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 17:18 schreef Bangarang het volgende:
16.

6x-5 = 2x - 7

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 17:18 schreef Bangarang het volgende:
16.

6x-5 = 2x - 7
6x - 2x = -7 + 5
4x = -2

x = - 1/2

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 17:20 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, dat staat er niet.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 17:12 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Oeps... ik bedoelde 17,18,19

Mijn fout.

''Bepaal alle oplossingen'' en Discriminant.

Dat duurt toch super lang... daar heb je lijkt mij wel een rekenmachine voor nodig?

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 17:25 schreef Riparius het volgende:

[..]

Kun je trouwens eens even vertellen voor welke opleiding je deze toets moet doen?

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 17:12 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Oeps... ik bedoelde 17,18,19

Mijn fout.

''Bepaal alle oplossingen'' en Discriminant.

Dat duurt toch super lang... daar heb je lijkt mij wel een rekenmachine voor nodig?

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 19:18 schreef Kansenjongere het volgende:

[..]

Ik vraag me toch af hoe het moderne wiskundeonderwijs is ingericht, als ik dit zo lees was het bij jou niet veel meer dan een veredelde typcursus.

quote:

Op donderdag 30 mei 2013 13:00 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Ik sta een 8 voor wiskunde (A) op de HAVO en mijn centraal examen ging ook wel redelijk. Overigens kan ik alles oplossen met rekenmachine maar zonder rekenmachine niet.. en de wiskunde wat ik net gepost had, is gewoon wiskunde b... zover ik weet?

Houdt het pdf-boekje wel rekening om zonder rekenmachine alles op te lossen?

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 19:22 schreef Sucuk het volgende:

[..]
Want ik begrijp het wel.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 19:24 schreef Kansenjongere het volgende:

[..]

Daar heb ik eerlijk gezegd toch mijn twijfels bij als je bij de helft van de sommen niet het geringste idee had hoe je er ook maar aan moest beginnen.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 19:35 schreef Sucuk het volgende:
Ik vraag me af hoe je de abc-formule uit je hoofd kunt oplossen? Aangezien je te maken krijgt met wortels...?

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 19:38 schreef Kansenjongere het volgende:

[..]

Hoe kom je erbij dat het uit het hoofd moet?
Zonder rekenmachine is niet hetzelfde als zonder pen en papier.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 19:40 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Met pen en papier dan.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 18:57 schreef Sucuk het volgende:

[..]

AC/BE.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 19:40 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Met pen en papier dan.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 20:00 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nu weet ik nog niet welke opleiding je wil gaan doen. Waarom zo geheimzinnig?

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 20:31 schreef Riparius het volgende:

[..]

Laat ik nummer 17 maar even voor je doen via kwadraatafsplitsing met de methode van Sridhara. Dan leer je misschien nog eens iets.

De opgave:

2x² + 3x - 5 = 0

Eerst vermenigvuldigen we beide leden met het viervoud van de kwadratische coëfficiënt. Die coëfficiënt is 2, dus vermenigvuldigen we beide leden met 4·2 = 8. Dit geeft:

16x² + 24x - 40 = 0

Nu wil ik de constante term uit het linkerlid kwijt. Dat doen we door bij beide leden 40 op te tellen. Dit geeft:

16x² + 24x = 40

Nu moeten we het linkerlid aanvullen met een getal zodanig dat het linkerlid is te schrijven als een kwadraat. Het idee hierbij is dat we gebruik maken van het merkwaardig product:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Zie hier voor een uitleg van deze identiteit aan de hand van een plaatje.

Nu is 16x² gelijk aan (4x)² en 24x = 2·4x·3 is het dubbele product van 4x (=a) en 3 (=b), zodat we bij beide leden nog 9 (= b²) moeten optellen om het linkerlid om te kunnen vormen tot een kwadraat. Tellen we bij beide leden 9 op dan krijgen we:

16x² + 24x + 9 = 49

Nu is het linkerlid een uitdrukking van de vorm a² + 2ab + b² met a = 4x en b = 3 en kunnen we het linkerlid dus schrijven als (a+b)² oftewel (4x + 3)² zodat we krijgen:

(4x + 3)² = 49

Welnu, als het kwadraat van (4x + 3) gelijk is aan 49, dan is (4x + 3) zelf ofwel gelijk aan 7 ofwel gelijk aan -7, want 7² = (-7)² = 49. Dus krijgen we:

4x + 3 = 7 ∨ 4x + 3 = -7

Het teken ∨ dat ik hier gebruik betekent 'of'. Nu bij elk van deze vergelijkingen bij beide leden 3 aftrekken en we krijgen:

4x = 4 ∨ 4x = -10

Tenslotte nog beide leden van deze beide vergelijkingen delen door 4 en we vinden:

x = 1 ∨ x = -5/2

Hiermee is de vergelijking opgelost, de vergelijking heeft dus twee oplossingen.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 22:13 schreef JoPiDo het volgende:

[..]

wat een geweldige uitleg, maar niet heus

gewoon abc-formule uit je hoofd leren; geen geëtter en je antwoord is altijd goed

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 22:13 schreef JoPiDo het volgende:

[..]

wat een geweldige uitleg, maar niet heus

gewoon abc-formule uit je hoofd leren; geen geëtter en je antwoord is altijd goed

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 22:33 schreef Kansenjongere het volgende:

[..]

Het verschil is natuurlijk wel dat degene op wie jij reageert ook weet WAAROM zijn antwoord klopt, terwijl het domweg uit je kop stampen en invullen van een abc-formule op hetzelfde neerkomt als het blindelings dingen intypen in je GR en er vervolgens achter komen dat je zonder dat ding bijzonder weinig kan.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 23:11 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Abc formule moet je wel zonder rekenmachine leren te berekenen...

Ik vind het bv. lastig om wortels te trekken.

Overigens.. hoe worden NL en ENG getoetst?

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 23:19 schreef JoPiDo het volgende:

[..]

Helemaal geweldig, maar het gaat er om dat hij die toets haalt. Altijd dat gezeik dat mensen de diepere gedachte zouden moeten snappen; als hij kan berekenen wat hij wil berekenen, dan is dat meer dan voldoende. Alsof iedereen die met statistiek bezig is exact snapt waar de normale verdeling vandaan komt. Of wat de achterliggende wiskunde van afgeleide zijn. Maar die dingen toepassen lukt de meeste wel.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 23:11 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Abc formule moet je wel zonder rekenmachine leren te berekenen...

quote:

Ik vind het bv. lastig om wortels te trekken.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 19:22 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Heel triest ingericht. Alle vergelijkingen worden ook eens met de GR opgelost d.m.v. de functie intersect.

SPOILER

De reactie die hierop zou volgen.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 19:38 schreef Kansenjongere het volgende:

[..]

Hoe kom je erbij dat het uit het hoofd moet?
Zonder rekenmachine is niet hetzelfde als zonder pen en papier.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 19:56 schreef Kansenjongere het volgende:

[..]

Rekenen met wortels is toch niet zo moeilijk? Net zolang vereenvoudigen tot je een geheel getal over hebt of een wortel die je kunt laten staan.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 23:53 schreef Thormodo het volgende:

(Een lang verhaal, dus dikke kans dat er ergens een foutje in staat.)
Als je er vragen over hebt stel ze gerust, dan zal ik (of iemand anders) ze morgen beantwoorden.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 22:13 schreef JoPiDo het volgende:

[..]

wat een geweldige uitleg, maar niet heus

gewoon abc-formule uit je hoofd leren; geen geëtter en je antwoord is altijd goed

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 23:19 schreef JoPiDo het volgende:

[..]

Helemaal geweldig, maar het gaat er om dat hij die toets haalt. Altijd dat gezeik dat mensen de diepere gedachte zouden moeten snappen; als hij kan berekenen wat hij wil berekenen, dan is dat meer dan voldoende. Alsof iedereen die met statistiek bezig is exact snapt waar de normale verdeling vandaan komt. Of wat de achterliggende wiskunde van afgeleide zijn. Maar die dingen toepassen lukt de meeste wel.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 00:18 schreef PAAC het volgende:
Dit is gewoon veel oefenen

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 23:53 schreef Riparius het volgende:

[..]

Daar is niets moeilijks aan. Maar je moet wel eerst vierkantsvergelijkingen (met rationale oplossingen) leren oplossen via ontbinden in factoren en dan vierkantsvergelijkingen leren oplossen via kwadraatafsplitsing.

quote:

Daarmee krijg je inzicht, sommige vierkantsvergelijkingen zijn zo eenvoudiger op te lossen, of het is heel eenvoudig te zien dat een vierkantsvergelijking geen reële oplossingen heeft, en je leert dan ook de abc-formule af te leiden. Bovendien heb je de techniek van kwadraatafsplitsen nodig als je zonder gebruik van differentiaalrekening snel de top van een parabool (grafiek van een kwadratische functie) wil kunnen bepalen.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 00:21 schreef Bram_van_Loon het volgende:
Dat doen ze niet om hem te pesten, dat doen ze zelfs ondanks dat ze maar wat graag hebben dat zo veel mogelijk kandidaten slagen aangezien dat geld oplevert voor die school.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 00:39 schreef Kansenjongere het volgende:

[..]

In principe besparen ze door middel van die toelatingstoets juist geld. Immers, elke student kost geld, maar alleen een afgestudeerde student levert geld op. Selectie aan de poort voorkomt dus kosten aan studenten die de eindstreep nooit zullen halen.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 00:36 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Dat leer je toch al lang niet meer op het VWO? Laat staan op het HAVO.

[..]

quote:

Goede motivatie. Helaas blijken leerlingen er moeite mee te hebben, om wat voor reden dan ook (methode?) en hebben ze het dus maar geschrapt. Weet je hoe ik die term kwadraatsplitsen heb leren kennen? Door zelf op te zoeken hoe je de wortelformule afleidt. Wat later kwam ik er achter dat in veel (pré)calculusboeken (in geval van calculus een herhaling in het inleidende hoofdstuk) een methode genaamd "completing the square" wordt gebruikt en dat dit gewoon het gebruiken van kwadraatsplitsen is om een tweedegraadsvergelijking op te lossen wat wij op het VWO niet leerden.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 23:53 schreef Thormodo het volgende:
...
Het kan namelijk een stuk simpeler/sneller in mijn ogen. (Door de overvloedige uitleg lijkt het nog heel wat):

16x² + 24x - 40 = 0
Je kunt alles delen door 16 om zo een x² met coëfficiënt 1 over te houden.
16(x² + 3/2 x – 5/2) = 0

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 08:28 schreef JoPiDo het volgende:

[..]

Hier vlieg je natuurlijk al compleet uit de bocht met je flutuitleg, want dat kan alleen toevallig bij deze som. Dan ben je twee uur aan het uitleggen hoe je dat uitdelen moet doen, maar dan komt er op de toets toevallig een som waarbij dat niet mogelijk is.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 10:07 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Ik heb het toch ook over deze som? Overigens kan ontbinden in factoren altijd, maar zoals ik in mijn post ook stel gaat dat alleen makkelijk bij ‘netjes’ geformuleerde vragen.
Bij vraag 18 gaat het niet dus daar gaf ik dan ook uitleg over de wortelformule in het geval van complexe antwoorden.
Ik gaf deze “flutuitleg” dan ook als alternatief voor de kwadraat afsplitsmethode, niet als alternatief voor de wortelformule.

Jouw enige “nuttige” bijdrage aan dit topic is dat je de wortelformule bij die sommen kan gebruiken, maar dat had hij uiteraard zelf ook al bedacht.
Het is aan Sucuk wat hij met onze uitleg wil doen.

@Riparius Je hebt gelijk over dat filmpje. Derhalve verwijderd.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 11:55 schreef JoPiDo het volgende:

[..]

TS moet een boek doorlezen of bijles nemen en oefenopgave maken, maar vooral niet luisteren naar figuren zoals jij die even komen vertellen hoeveel beter hun methode is en hoeveel inzicht je daar wel niet van krijgt.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 12:01 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Begrijpend lezen is wel lastig voor je of niet?
Ik zeg nergens dat hij de wortelformule niet kan/mag gebruiken. Ik gaf alleen een repliek op Riparius met een alternatief voor zijn uitwerking. Ik gaf bovendien ook een uitleg over de wortelformule...

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 23:53 schreef Thormodo het volgende:

Hierbij moet dus gelden dat ab = -5/2 en a+b = 3/2.
Feitelijk heb je dus 2 vergelijkingen die opgelost moeten worden.
Dit kun je doen door a als functie van b of visa versa te schrijven.
Dus a= b*-5/2 (vergelijking 1),
b*-5/2 + b = 3/2 = b*-3/2, b = -1 (vergelijking 2)
Dus a = 5/2

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 12:06 schreef JoPiDo het volgende:

[..]

"nuttig" van je

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 00:53 schreef Riparius het volgende:
Als je precies wil begrijpen wat ik hier doe en waarom, dan moet je dit maar even doornemen.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 12:58 schreef Thormodo het volgende:
Uitleg over een negatieve discriminant m.b.t. de wortelformule lijkt me inderdaad nuttiger dan wat jij hier post.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 08:28 schreef JoPiDo het volgende:
Ik heb de afgelopen jaren meer dan 100 studenten bijles gegeven voor de wiskunde toelatingstoets van het Erasmus, geen één van mijn leerlingen heeft de toets niet gehaald. Ook een keer een meisje dat van het HBO kwam en alleen havo wiskunde met een onvoldoende had afgesloten, binnen een week had ik haar klaargestoomd voor die toelatingstoets die ze met een ruime voldoende had gehaald.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 17:32 schreef Bram_van_Loon het volgende:

Dat is niet zo moeilijk maar hoe ging het vervolgens met de opleiding?

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 17:32 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Je moet ze nog gebruiken ook voor sommige vakgebieden. Wiskundeleraren die stellen dat een wortel van een negatief getal niet genomen kan worden mogen van mij op staande voet worden ontslagen, bij wijze van spreken. Beter niets zeggen dan valse informatie geven.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 17:28 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]
Heb je advies hoe je het handigste een derdegraadsvergelijking kan oplossen met d niet gelijk aan 0 als je het formuleert als ax³ + bx² + cx + d?

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 18:01 schreef Bram_van_Loon het volgende:
Fijn dat jij jouw gebrek aan inhoud op deze manier illustratief onderstreept.
Aangezien jij weigert om te antwoorden zal ik maar even speculeren: jij weet niet hoe het verder ging.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 18:21 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Bij o.a. Elektrotechniek zijn ze inderdaad erg handig .

quote:

Mijn wiskundeleraar (vwo wiskunde B1,2) heeft destijds op eigen initiatief als extra stof gewoon complexe getallen uitgelegd. Sowieso mag ik volgens mij nog steeds blij zijn dat ik een goede leraar had met plezier in zijn vak.

quote:

Als je één van de nulpunten weet te raden kun je er, d.m.v. staartdelen, een graad uitdelen. Mocht je willen weten hoe dat precies werkt, dan kan ik het wel weer even opzoeken.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 18:22 schreef JoPiDo het volgende:
Daar ging ik op in, omdat ik uit ervaring weet dat het geen zin heeft om met die methodes aan te komen dragen aan mensen zonder noemenswaardige wiskunde-ervaring die zo'n toets moeten leren.

quote:

En daaruit concludeer jij dat ik geen bijles kan geven.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 23:53 schreef Riparius het volgende:

[..]

Daar is niets moeilijks aan. Maar je moet wel eerst vierkantsvergelijkingen (met rationale oplossingen) leren oplossen via ontbinden in factoren en dan vierkantsvergelijkingen leren oplossen via kwadraatafsplitsing. Daarmee krijg je inzicht, sommige vierkantsvergelijkingen zijn zo eenvoudiger op te lossen, of het is heel eenvoudig te zien dat een vierkantsvergelijking geen reële oplossingen heeft, en je leert dan ook de abc-formule af te leiden. Bovendien heb je de techniek van kwadraatafsplitsen nodig als je zonder gebruik van differentiaalrekening snel de top van een parabool (grafiek van een kwadratische functie) wil kunnen bepalen.

[..]

Dat is nog veel lastiger dan je denkt, en er is bijna niemand meer die het nog kan met pen en papier. Maar dit wordt helemaal niet van je verwacht. Als een vierkantsvergelijking geen rationale oplossingen heeft, dan mag je de wortels in je antwoorden laten staan. Uiteraard wordt wél van je verwacht dat je wortels kunt vereenvoudigen, i.e. dat je bijvoorbeeld √8 kunt herschrijven als 2√2.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 18:50 schreef Bram_van_Loon het volgende:
De staartdeling heb ik mezelf geleerd, in eerste instantie omdat ik het nodig had voor het delen van een polynoom door een (x-a).

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 19:16 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Bij de formule van de abc formule zit er wel een wortel in de formule, hoe los je die dan op?

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 19:23 schreef Sucuk het volgende:
En de oplossingen die jullie gaven begrijp ik niet im sorry.

Overigens zoals bovenstaande post. In de abc formule zit een wortel, hoe los je die zonder rekenmachine op?!?

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 19:28 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Ik doelde meer op het deel behalve het staartdelen, maar uiteraard is dat praktisch alles . Staartdelen had ik overigens ook gewoon op het vwo gehad .

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 19:23 schreef Sucuk het volgende:
Polynoom, reeële getallen etc.. ik begrijp er niks meer van. Pagina 1 en 2 was nog te volgen, maar het is helemaal uitgebarst tot een wiskundig discussie.

En de oplossingen die jullie gaven begrijp ik niet im sorry.

Overigens zoals bovenstaande post. In de abc formule zit een wortel, hoe los je die zonder rekenmachine op?!?

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 20:46 schreef Sucuk het volgende:
Oke bedankt.

Er rest mij nog 1 vraag.

Hoe bereken je een kantlengte (in cm) van een kubus met een inhoud van 216 cm3 ?

Lengte x breedte x hoogte = 216 cm3

Hoe bereken je dan de lengte zonder de breedte en hoogte te weten?

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 20:49 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Een kubus
Wat geldt er bij een kubus? (Is geen strikvraag)

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 20:56 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Alle lijnen zijn gelijk aan elkaar.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 20:58 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Klopt, dus je kunt
Lengte x breedte x hoogte = 216
Net zo goed schrijven als?

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 20:58 schreef Sucuk het volgende:

[..]

6 x 6 x 6 dus 216

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:01 schreef Sucuk het volgende:
[ afbeelding ]

Vraag 11 had ik: 33,3 %

vraag 13 had ik : 462 / 6773

maar ik weet niet zeker of het klopt? Er is ook geen antwoordenboekje helaas...

Bij vraag 13 kwam ik overigens tot -462 / -6773 uit, maar ik heb de min tekens weggestreept aangezien - en - samen + wordt.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:12 schreef Kansenjongere het volgende:

[..]

Vraag 11: In hoeveel jaar wordt de lening afgelost? Het hoeveelste deel daarvan = 5 jaar?
Vraag 13: dat lijkt niet echt zo ver mogelijk vereenvoudigd of wel?

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:17 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Bij vraag 11 ging ik ervan uit dat de schuld 310.000 was deed ik die 310.000 / 20, zodat ik wist hoeveel er per jaar werd afgelost. Dat bedrag trok ik af van die 310.000 en kwam ik uit op 232.500.

Toen deed ik 310.000 - 232.500 / 232.500 x 100% = 33,3 %

vraag 13: zover ik weet wel?

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:12 schreef Kansenjongere het volgende:

[..]

Vraag 11: In hoeveel jaar wordt de lening afgelost? Het hoeveelste deel daarvan = 5 jaar?
Vraag 13: dat lijkt niet echt zo ver mogelijk vereenvoudigd of wel?
Hint voor vraag 13: -28/77 x 33/35 x 5/-14 = 28/14 x 33/77 x 5/35

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:20 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Huh dan kom ik op 4620 / 37730 = 6 / 49 uit ? Ik weet niet hoe ze daarop komen?

Ik deed het zo:

4620 / 37730 = 924 / 7546 = 462 / 6773

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:22 schreef Kansenjongere het volgende:

[..]

Kijk nog eens naar die laatste stap, 6773 is niet bepaald de helft van 7546

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:24 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Typfout. 3773

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 17:28 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Gedaan. Ik denk dat ik het leuker had gevonden om de vergelijkingen op die manier op te lossen, er komt net iets meer inzicht bij kijken. Heb je advies hoe je het handigste een derdegraadsvergelijking kan oplossen met d niet gelijk aan 0 als je het formuleert als ax³ + bx² + cx + d.
Ik moet ze regelmatig oplossen en ik moet me nu behelpen met het op goed geluk proberen door een product te vinden van drie getallen wat d geeft en dan de plusjes en de minnetjes juist te krijgen. Dat is nogal omslachtig, ik hoop dat het op een handigere manier kan. Natuurlijk kan je in bepaalde gevallen een merkwaardig product gebruiken (a+b)³ maar werkt dat altijd handig?
Ik heb er natuurlijk geen oefening mee gehad op het VWO, derdegraadsvergelijkingen werden gemeden tenzij d gelijk was aan 0.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:25 schreef Kansenjongere het volgende:

[..]

Maar ben je met Thormodo en mij eens dat je jezelf een hele hoop (foutgevoelig) rekenwerk kunt besparen als je begint met vereenvoudigen in plaats van dit pas op het einde te doen nadat je alle getallen met elkaar hebt vermenigvuldigd?

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:26 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Huh nee ? Ik heb het niet begrepen.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:26 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Huh nee ? Ik heb het niet begrepen.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:30 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Ik heb iets toegevoegd aan mijn vorige post daarover (boven die giga post van Rip, misschien handig/leuk om dat ergens anders te doen? ).

Bij vraag 13 maak je een denkfout.
De afgeloste schuld is inderdaad goed. Echter het gaat om de afgeloste schuld t.o.v. de beginschuld.

Jouw antwoord was: "310.000 - 232.500 / 232.500 x 100% = 33,3 %". Maar wat stelt het bedrag waardoor je deelt nu eigenlijk voor?

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:33 schreef Sucuk het volgende:

[..]

''Hoeveel procent heb je terugbetaald''

het moest dus zijn: 310.000 - 77500 / 75500 x 100% = 300%

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:33 schreef Sucuk het volgende:

[..]

''Hoeveel procent heb je terugbetaald''

het moest dus zijn: 310.000 - 77500 / 75500 x 100% = 300%

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:35 schreef Kansenjongere het volgende:

[..]

Je betaalt elk jaar hetzelfde percentage af (want de totale schuld neemt in een rechte lijn af).
Na 20 jaar heb je dus 100 procent van de schuld terugbetaald.
Na 5 jaar heb je dus 25 procent van de schuld terugbetaald.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:35 schreef Thormodo het volgende:

[..]

300%? Zou jij ooit meer dan 100% van je hypotheek aan de bank terug betalen ? Dat is nu juist het leuke van echte problemen i.p.v. pure wiskunde problemen, je kunt vrij makkelijk inschatten of je antwoord juist kan zijn.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:35 schreef Sucuk het volgende:

[..]

[..]

Zie edit Had te snel gedacht. Was gelukkig nog net voor jullie post.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:30 schreef Kansenjongere het volgende:

[..]

De som is -28/77 x 33/35 x 5/-14

Dat zijn drie lastige breuken die je niet kunt vereenvoudigen. Zoals je zelf had gezien kun je de mintekens al tegen elkaar wegstrepen.
Vervolgens kun je de som herschrijven door steeds getallen boven en onder de streep te zoeken die je wel kunt vereenvoudigen:
Dan krijg je dus 28/14 x 5/35 x 33/77
Die breuken kun je vereenvoudigen naar 2/1 x1/7 x 3/7 = (2x1x3) / (1x7x7) = 6/49

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:35 schreef Sucuk het volgende:

[..]

[..]

Zie edit Had te snel gedacht. Was gelukkig nog net voor jullie post.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:43 schreef Sucuk het volgende:

[..]

HANDIG! Ik wist niet dat je al van te voren kon vereenvoudigen!

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:49 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Ok mooi.
Wat Kansjongere zegt klopt natuurlijk ook, want het kan makkelijker in dit geval. Hoewel dat op zich een aparte conclusie is die je dan moet trekken.

Want zoals je ziet is de lijn recht (lineair). Wat dus inhoudt dat de persoon elk jaar exact het zelfde bedrag terugbetaald. Wat natuurlijk niet echt realistisch te noemen is.
Je kunt je wel voorstellen dat in de werkelijkheid deze lijn nooit zo mooi recht loopt, maar bijvoorbeeld parabolisch. En dan moet je het dus op die manier zoals jij dat hebt gedaan bepalen.

In deze grafiek is dat wel het geval. Dus geldt wat kansjongere zegt. Als je dit wiskundig wilt oplossen, met alleen de onderstaande gegevens (tussen de sterretjes), kun je ook een lineaire vergelijking maken.

*Je begint met 310 euro (in duizendtallen). Je eindigt met 0 euro. En er verstrijkt een periode van 20 jaar. 310 euro is dus getal b.*

Een lineaire vergelijking is er één van de vorm y = a*x + b (als het goed is weet je dit )

Dus je “verliest” 310 euro schuld. Dus -310. Dit verlies je over 20 jaar. Dus elk jaar verlies je
310/20 = 15,5 euro. Dit is dus de helling (getal a) van je grafiek per jaar.

Dus er geldt
y = -15,5*x + 310
Voor x = 5 geldt dus:
y = -15,5*5 + 310 = 232,5
Er daaruit kun je weer de procenten uitrekenen.

[..]

Had ik hier ook al neergezet ^^: SES / Wiskunde voor intaketoests 'even' bijspijkeren?
Maar dat zijn nu dingen die je een keer gezegd moet worden, want als je het nog nooit gedaan hebt kom je er natuurlijk zelf niet zo snel op om zoiets te gaan doen.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:52 schreef Thormodo het volgende:
Had je overigens dit CE? http://www2.cito.nl/vo/ex2013/HA-1024-a-13-1-o.pdf

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 22:03 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Ja, hoezo?

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 22:13 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Gewoon nieuwsgierig. En daaruit volgt ook direct waarom die intaketoets een probleem kan/kon vormen zonder verdere voorbereiding .

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 22:14 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Heb er een 6.0 voor met een norm van 0. Zover ik nagekeken had. Op SE sta ik een 7.5 voor wiskunde.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 22:16 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Ik bedoel meer dat die toets totaal geen algebra (zoals de intaketoets) bevat et cetera. Dus dat de stof amper overeen komt.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 22:13 schreef JoPiDo het volgende:

[..]

wat een geweldige uitleg, maar niet heus

gewoon abc-formule uit je hoofd leren; geen geëtter en je antwoord is altijd goed

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:25 schreef Riparius het volgende:

[..]

Over het algemeen herleid je een derdegraadsvergelijking

ax³ + bx² + cx + d = 0

eerst tot een zogeheten gereduceerde kubische vergelijking. Dat is een derdegraadsvergelijking waarin de kwadratische term ontbreekt. Als we nu de - nog te bepalen - wortels van deze kubische vergelijking even aangeven met x₁, x₂ en x₃, dan is deze vergelijking te schrijven als:

a(x − x₁)(x − x₂)(x − x₃) = 0

Door dit weer uit te werken krijg je:

ax³ − a(x₁+x₂+x₃)x² + a(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)x − ax₁x₂x₃ = 0

en vergelijken van de coëfficiënten leert dan dat voor de wortels en de coëfficiënten de volgende betrekkingen gelden (genoemd naar Viète):

x₁ + x₂ + x₃ = −b/a
x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a
x₁x₂x₃ = −d/a

Zijn nu de coëfficiënten geheel en is a = 1 dan kun je de delers van d, zowel positief als negatief, proberen. In het algemeen, ook als a niet gelijk is aan 1, kun je het rational root theorem gebruiken, dat overigens niet alleen voor derdegraads vergelijkingen geldt.

Lukt het niet om zo een gehele resp. rationale wortel van de kubische vergelijking te vinden, dan kun je deze oplossen door deze eerst te herleiden tot de eerder genoemde gereduceerde vergelijking. Het idee hierbij is dat we een nieuwe vergelijking opstellen waarvan elk van de drie wortels b/3a groter is dan de wortels x₁, x₂, x₃, zodat de som van de wortels van de nieuwe vergelijking nul wordt, wat dus betekent dat de coëfficiënt van de kwadratische term in de nieuwe vergelijking ook nul zal zijn. Hiervoor gebruiken we de substitutie:

z = x + b/3a

oftewel:

x = z − b/3a

Uitwerken geeft dan een nieuwe kubische vergelijking in de variabele z van de gedaante:

z³ + pz + q = 0

Nu kan een kubische vergelijking met reële coëfficiënten, en dus ook deze gereduceerde vergelijking, één reële en twee toegevoegd complexe wortels hebben, óf drie reële wortels (waarvan er eventueel twee of drie samen kunnen vallen). Om te bepalen of de vergelijking al dan niet uitsluitend reële wortels heeft kunnen we kijken naar de discriminant van deze vergelijking:

D = (q/2)² + (p/3)³

Er zijn nu de volgende mogelijkheden:

D > 0: Eén reële wortel en twee toegevoegd complexe wortels.
D = 0: Drie reële wortels waarvan er (tenminste) twee samenvallen.
D < 0: Drie verschillende reële wortels.

Let erop dat dit anders is dan bij vierkantsvergelijkingen, daar heb je geen reële wortels als de discriminant negatief is, hier zijn de wortels dan juist uitsluitend reëel.

Is D ≥ 0 dan kunnen we gebruik maken van een gemoderniseerde versie van de methode die naar Cardano is vernoemd (maar niet door hem is gevonden). We substitueren nu:

z = u + v

waarmee we de gereduceerde vergelijking na herleiding kunnen schrijven als:

u³ + 3uv(u + v) + v³ + p(u + v) + q = 0

en dit is ook te schrijven als:

u³ + v³ + (3uv + p)(u + v) + q = 0

Nu hebben we twee nieuwe variabelen u en v, en daarmee ook twee vrijheidsgraden. We kunnen dus nog een extra voorwaarde stellen aan u en v, en de clou is nu om te kiezen voor:

3uv + p = 0

oftewel:

uv = −p/3

want dan krijgen we:

u³ + v³ = −q

Verheffen we uv = −p/3 tot de derde macht, dan hebben we ook:

u³v³ = −(p/3)³

Nu zie je dat we zowel de som als het product van u³ en v³ kennen, en dat betekent dat we u³ en v³ gemakkelijk kunnen bepalen, dit zijn namelijk de wortels van de vierkantsvergelijking t² + qt − (p/3)³ = 0, zodat we hebben:

u³ = −½q + √D
v³ = −½q − √D

Hebben we u³ en v³, dan kun je door de derdemachtswortel te nemen één reële waarde van u en één reële waarde van v berekenen. Maar uiteraard zijn er naast deze unieke reële waarden van u en v ook nog twee toegevoegd complexe waarden die aan bovenstaande betrekkingen voor u³ en v³ voldoen, en die vind je door de reële waarden u en v elk te vermenigvuldigen met de complexe derdemachtswortels uit 1, oftewel met:

ε₁ = −½ + i∙½√3
ε₂ = −½ − i∙½√3

Nu heb je drie waarden u₁ = u, u₂ = ε₁∙u, u₃ = ε₂∙u en drie waarden v₁ = v, v₂ = ε₁∙v, v₃ = ε₂∙v die aan bovenstaande vergelijkingen voor u³ resp. v³ voldoen, en waarmee je dus negen combinaties voor z = u + v zou kunnen maken. Van deze negen combinaties zijn er echter maar drie geldig, omdat het product ook nog moet voldoen aan de voorwaarde uv = −p/3. Aangezien ε₁∙ε₂ = 1 vinden we dan als wortels van de gereduceerde kubische vergelijking:

z₁ = u + v
z₂ = ε₁∙u + ε₂∙v
z₃ = ε₂∙u + ε₁∙v

oftewel:

z₁ = u + v
z₂ = −½∙(u + v) + i∙½√3∙(u − v)
z₃ = −½∙(u + v) − i∙½√3∙(u − v)

Zoals je ziet hebben we nu voor D > 0 inderdaad één reële wortel z₁ en twee toegevoegd complexe wortels z₂ en z₃. Is D = 0, dan is u = v en vallen z₂ en z₃ samen en zijn deze eveneens reëel. Zijn de wortels van de gereduceerde vergelijking gevonden, dan zijn de wortels van de oorspronkelijke kubische vergelijking uiteraard te berekenen via de betrekking x = z − b/3a.

De zogeheten formules van Cardano zijn niet praktisch bruikbaar indien D < 0, aangezien u³ en v³ dan toegevoegd complex zijn en we dan dus derdemachtswortels uit complexe getallen moeten bepalen. Dat is in het algemeen niet algebraïsch te doen, en pogingen om dat wel langs algebraïsche weg te doen voeren dan tot een kubische vergelijking die equivalent is met de oorspronkelijke, zodat we weer terug zijn bij af. Daarom is men het geval D < 0 casus irreducibilis ('het onherleidbare geval') gaan noemen.

Het paradoxale is dat alle wortels van de gereduceerde kubische vergelijking z³ + pz + q = 0 met p,q ∈ R reëel zijn als (q/2)² + (p/3)³ < 0, maar dat deze niet zonder gebruik van vierkantswortels uit negatieve getallen (i.e. complexe getallen) algebraïsch in de coëffiënten p en q zijn uit te drukken. Deze bevinding leidde ertoe dat wiskundigen zich vanaf de 16e eeuw tegen wil en dank nader met die 'onmogelijke' vierkantswortels uit negatieve getallen bezig gingen houden en zo langzaam maar zeker eigenschappen begonnen te ontdekken van wat we nu complexe getallen noemen, zie hier.

Het is evenwel toch mogelijk de gereduceerde kubische vergelijking op te lossen als D < 0, en dan ook nog zonder gebruik van complexe getallen. Deze methode is tegen het einde van de 16e eeuw voor het eerst aangegeven door Viète en berust op het gebruik van de goniometrische identiteit voor de cosinus van de drievoudige hoek:

cos 3φ = 4∙cos³φ − 3∙cos φ

Het idee is om in de vergelijking z³ + pz + q = 0 oftewel z³ + pz = −q de substitutie z = r∙cos φ uit te voeren en dan het linkerlid met een geschikte keuze van r om te werken tot 4∙cos³φ − 3∙cos φ, zodat we een uitdrukking in p en q krijgen voor cos 3φ, waarmee de waarden van 3φ en dus φ zijn te bepalen, en daarmee ook de waarden van z = r∙cos φ. Substitutie geeft:

r³∙cos³φ + p∙r∙cos φ + q = 0

Door van beide leden q af te trekken en daarna beide leden te vermenigvuldigen met 4/r³ kunnen we dit omwerken tot:

4∙cos³φ + (4p/r²)∙cos φ = −4q/r³

Nu zien we dat we r zodanig moeten kiezen dat:

4p/r² = −3

en dus kunnen we kiezen voor:

r = 2·√(−p/3)

Merk op dat deze waarde van r reëel is en positief, aangezien D < 0 impliceert dat p < 0. Met deze keuze van r hebben we nu:

4∙cos³φ − 3∙cos φ = −½q/√((−p/3)³)

en dus:

cos 3φ = −½q/√((−p/3)³)

Uiteraard mag de absolute waarde van de uitdrukking in het rechterlid niet groter zijn dan 1, omdat de cosinus alleen waarden aanneemt op het interval [-1,1]. Je kunt gemakkelijk nagaan dat aan deze voorwaarde is voldaan indien D < 0, zodat de goniometrische oplossingsmethode inderdaad altijd mogelijk is voor D < 0 en we dus een waarde van 3φ op het interval [0, π] kunnen bepalen die voldoet aan deze betrekking. Aangezien de cosinus een periode 2π heeft voldoet dan ook 3φ + 2kπ met k geheel, zodat we als oplossingen krijgen:

z_1,2,3 = 2·√(-p/3)·cos(φ + 2kπ/3)

waarbij we voor k drie opeenvolgende gehele getallen nemen, bijvoorbeeld k = 0, 1, 2 of k = −1, 0, 1. Daarmee hebben we de drie reële wortels van de vergelijking z³ + pz + q = 0 met D < 0 gevonden. En uiteraard vinden we de drie reële wortels van de oorspronkelijke vergelijking in x dan weer via de betrekking x = z − b/3a. Een uitgewerkt voorbeeld van een goniometrische oplossing van een gereduceerde kubische vergelijking vind je hier.

Het mag wonderlijk lijken dat bij een algebraïsche derdegraadsvergelijking met drie verschillende reële wortels de oplossingen in goniometrische vorm zijn uit te drukken, maar dit is op een heel eenvoudige wijze meetkundig in te zien. Heb je een derdegraadsfunctie met drie verschillende reële nulpunten, dan snijdt de grafiek van deze functie de x-as uiteraard in drie verschillende punten. Welnu, elk drietal verschillende punten op een rechte lijn is op te vatten als de loodrechte projectie van de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek, waarmee direct duidelijk is dat de drie nulpunten, afgezien van een schaalfactor en een horizontale translatie (i.e. een constante), kunnen worden opgevat als cosinussen van hoeken die (een geheel veelvoud van) 120° van elkaar verschillen:

[ afbeelding ]

quote:

Op zondag 2 juni 2013 21:57 schreef VanishedEntity het volgende:

[..]

...totdat je op een gegeven moment "zover" in de wiskunde komt dat je gevraagd wordt iets als
∫ 1/(ax²+bx+c) dx met b²-4ac < 0 als voorwaarde voor de coëfficiënten te integreren. Dat ga jij niet redden met je ABC-formule hoor , dus leer die techniek van het kwadraat afsplitsen nou maar eerst heul goed .

[..]

* VanishedEntity eerst heel aandachtig lezen gaat...

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:25 schreef Riparius het volgende:

[..]

Bla

quote:

Op maandag 3 juni 2013 16:49 schreef JoPiDo het volgende:

[..]

"zover" ben ik allang en ik gebruik nog regelmatig de abc-formule...

quote:

Op maandag 3 juni 2013 16:51 schreef motorbloempje het volgende:

[..]

En daarom heb je je yvonne awards tagje

quote:

Op maandag 3 juni 2013 22:00 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Natuurlijk, wie gebruikt niet de wortelformule? Riparius maakte geen bezwaar tegen het aanleren van deze formule zonder eerst de basis aan te leren waar dit formuletje vanzelf uit voortvloeit omdat je zodoende geen inzicht ontwikkelt.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 17:39 schreef Sucuk het volgende:
Hoe doe je de abc-formule zonder rekenmachine? Heb zitten oefenen, maar zonder rekenmachine lukt het mij niet, aangezien er een wortel in zit..

quote:

Op zondag 9 juni 2013 17:44 schreef Ofresca het volgende:

[..]

http://wiskunde.ebrodesign.com/index.php?gr=1&id=28

Heb je een voorbeeldsom die je niet lukt?

quote:

Op zondag 9 juni 2013 17:45 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Zie edit.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 17:52 schreef Ofresca het volgende:

[..]

Je kunt hem niet exact uitrekenen, maar wel verbeteren. Ik maak zelf altijd een rij.
112 = 1 x 112
= 2 x 56
= 4 x 28
= 7 x 16
Van 16 weet ik dat sqrt(16) = 4
Dus:
sqrt(112) = sqrt(16 x 7) = 4 x sqrt(7)
Dat is hopelijk exact genoeg.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 17:53 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Huh, begrijp het niet? Hoe kan jij gelijk weten dat je 7 x 16 moet pakken? Kun je ook 2 x 56 pakken of 4 x 28?

quote:

Op zondag 9 juni 2013 17:59 schreef Ofresca het volgende:

[..]

Wat je wil is er een getal uithalen wat een makkelijke wortel is. Dat kan niet bij 2 x 56. Wel bij 4 x 28, maar 28 is een vrij groot getal en als je 28 besluit te laten staan kan je hetzelfde nog een keer doen. 28 = 4 x 7. Dat maakt dus niet uit.

Het is een beetje gevoel. Je weet sqrt(16) = 4, de volgende "makkelijke" wortel is dus 25, 5x5, maar 112 is geen heel meervoud van 25. Dan is 6 x 6 de volgende, alleen is dat 64, terwijl er al 2 x 56 in mijn rij staat. Hoger gaan wordt dan onlogisch, daarom ga ik er vanuit dat 16 een goede keus is.

Helpt het enigszins?

quote:

Op zondag 9 juni 2013 17:53 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Zonder rekenmachine kom ik er niet zo 123 op, op welke mogelijkheden qua vermenigvuldigen je hebt om tot 112 te komen, buiten de 2 x 56.

Ik vind jouw methode in ieder geval erg lastig..

quote:

Op zondag 9 juni 2013 17:39 schreef Sucuk het volgende:
Hoe doe je de abc-formule zonder rekenmachine? Heb zitten oefenen, maar zonder rekenmachine lukt het mij niet, aangezien er een wortel in zit..

Een voorbeeld:

x² * 8=12
x² * 8 - 12=0

D=²4=824·1·12=112

quote:

Daarna kom ik er niet meer uit, aangezien je dan de wortel van 112 moet pakken in de abc formule. Hoe the heck reken je het uit? Ik kan namelijk geen worteltrekken zonder rekenmachine..

Wortel als 64, 49, 100, 2500 etc.. kan ik allemaal, maar eentje zoals de wortel van 112 kan ik niet.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 18:03 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Nee eerlijk gezegd niet. Aangezien ik sowieso als ik sqrt(112) zie dat ik dan niet in één keer denk aan 4(sqrt)7 of aan 4x28 of 7x16.

Ik denk eerder aan 2x56 en dan houdt het voor mij op...

quote:

Op zondag 9 juni 2013 18:04 schreef Riparius het volgende:

[..]

Hier is a = 8, b = 0, c = −12. Dus heb je

D = b² − 4ac = 0 − 4·8·(−12) = 4·8·12 = 384, en dus niet 112 zoals je zelf meent.

[..]

Ik had al opgemerkt dat je wortels die niet rationaal zijn mag laten staan in je uitkomsten, echter moet je wortels wel zoveel mogelijk vereenvoudigen, dat is iets anders dan ze uitrekenen.

Je hebt

112 = 2⁴·7

en dus

√112 = √(2⁴·7) = √(2⁴)·√7 = 2²·√7 = 4√7

quote:

Op zondag 9 juni 2013 18:32 schreef Riparius het volgende:
Goed, je moet dus kennelijk de vergelijking

x² − 8x − 12 = 0

oplossen met de abc-formule. Hier is a = 1, b = −8, c = −12. We berekenen eerst de discriminant

D = b² − 4ac = (−8)² − 4·1·(−12) = 64 + 48 = 112. We hadden al gezien dat √112 = 4√7, dus nu krijgen we als oplossingen:

x₁ = (−b + √D)/2a = (8 + 4√7)/2 = 4 + 2√7
x₂ = (−b − √D)/2a = (8 − 4√7)/2 = 4 − 2√7

Deze vergelijking kun je uiteraard minstens zo eenvoudig oplossen via kwadraatafsplitsing, aangezien x² − 8x equivalent is met (x − 4)² − 16. Dan krijgen we dus:

(x − 4)² − 16 − 12 = 0
(x − 4)² = 28
x − 4 = √28 ∨ x − 4 = −√28

En als je nu bedenkt dat √28 = √(4·7) = √4·√7 = 2√7 dan vind je dus weer gemakkelijk dat

x = 4 + 2√7 ∨ x = 4 − 2√7

quote:

Op zondag 9 juni 2013 18:53 schreef JoPiDo het volgende:

[..]

Jij hebt nooit bijles gegeven zeker?

quote:

Op zondag 9 juni 2013 18:54 schreef Riparius het volgende:

[..]

Jazeker wel. En met succes.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 18:13 schreef Ofresca het volgende:
Goed, over een andere boeg. Waar het om gaat is of het getal (112 dus hier) een meervoud is van 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 etc.

Oefen dus eens met:
sqrt(128) en sqrt(150)

quote:

Op zondag 9 juni 2013 19:02 schreef Sucuk het volgende:

[..]

11,3 en 12,3

Ik heb het helemaal uitgerekend met het vermenigvuldigen.

Ik deed het op deze manier (sqrt 128) :

11 x 11 = 121
12 x 12 = 144

Dus de wortel ligt tussen 11 en 12. Dus toen deed ik 11,5 x 11,5 = 132,25. Dat betekende dus dat ik de decimaal moest verlagen, en toen deed ik 11,3 x 11,3 en dat resulteerde tot 127,69 (dus 128).

Ik kan het trouwens alleen tot 1 decimaal berekenen, ik weet niet of dat een groot verschil maakt bij het berekenen van de abc-formule.

Overigens kan iemand mij helpen, hoe ik getallen makkelijk kan vermenigvuldigen? En dan heb ik het over getallen met decimalen.

2 x 92929 kan ik makkelijk berekenen, maar 98 x 98 kan ik niet? Want dan doe ik eerst 10 x 98 = 980 en dan 9 x 980 = 8820 (dat is dus 90 x 98) en dan doe ik 8 x 98 = 784 en samen opgeteld (8820 + 784) is het 9604.

Maar hoe bereken ik het dan met 11,3 x 11,3 of 23,95 x 8

quote:

Op zondag 9 juni 2013 18:57 schreef JoPiDo het volgende:

[..]

dan zal je in het echt waarschijnlijk beter kunnen uitleggen dan achter je computer

quote:

Op zondag 9 juni 2013 19:04 schreef Ofresca het volgende:

[..]

Oh. Dat is waar het fout gaat. Haha, gezien je doel denk ik dat je juist je antwoord niet zo moet uitrekenen, maar de wortel moet laten staan.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 19:02 schreef Sucuk het volgende:

[..]

11,3 en 12,3

Ik heb het helemaal uitgerekend met het vermenigvuldigen.

Ik deed het op deze manier (sqrt 128) :

11 x 11 = 121
12 x 12 = 144

Dus de wortel ligt tussen 11 en 12. Dus toen deed ik 11,5 x 11,5 = 132,25. Dat betekende dus dat ik de decimaal moest verlagen, en toen deed ik 11,3 x 11,3 en dat resulteerde tot 127,69 (dus 128).

quote:

Op zondag 9 juni 2013 19:07 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Dat is voor mij juist een probleem, aangezien ik niet weet hoe ik de wortel kan vereenvoudigen etc.. aangezien bij de wortel van 112 niet alle mogelijkheden weet op te schrijven buiten 2 x 56.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 19:10 schreef Ofresca het volgende:

[..]

[..]

Maar waarom bereken je dan 11,3? Dat is niet wat ik bedoelde.

Vereenvoudig zo veel mogelijk sqrt(150) en sqrt(128).

Edit: Het lukt je dus niet om te controleren of 3 een meervoud is van 112? En 4? En 5? En 6? En 7? Of vind je dat daar teveel tijd aan verloren gaat?

quote:

Op zondag 9 juni 2013 19:07 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Dat is voor mij juist een probleem, aangezien ik niet weet hoe ik de wortel kan vereenvoudigen etc.. aangezien bij de wortel van 112 niet alle mogelijkheden weet op te schrijven buiten 2 x 56.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 19:20 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Hoe bedoel je meervoud?

quote:

Op zondag 9 juni 2013 19:02 schreef Sucuk het volgende:

[..]

11,3 en 12,3

Ik heb het helemaal uitgerekend met het vermenigvuldigen.

Ik deed het op deze manier (sqrt 128) :

11 x 11 = 121
12 x 12 = 144

Dus de wortel ligt tussen 11 en 12. Dus toen deed ik 11,5 x 11,5 = 132,25. Dat betekende dus dat ik de decimaal moest verlagen, en toen deed ik 11,3 x 11,3 en dat resulteerde tot 127,69 (dus 128).

quote:

Ik kan het trouwens alleen tot 1 decimaal berekenen, ik weet niet of dat een groot verschil maakt bij het berekenen van de abc-formule.

quote:

Overigens kan iemand mij helpen, hoe ik getallen makkelijk kan vermenigvuldigen? En dan heb ik het over getallen met decimalen.

2 x 92929 kan ik makkelijk berekenen, maar 98 x 98 kan ik niet? Want dan doe ik eerst 10 x 98 = 980 en dan 9 x 980 = 8820 (dat is dus 90 x 98) en dan doe ik 8 x 98 = 784 en samen opgeteld (8820 + 784) is het 9604.

quote:

Maar hoe bereken ik het dan met 11,3 x 11,3 of 23,95 x 8

quote:

Op zondag 9 juni 2013 19:22 schreef Riparius het volgende:

[..]

Lees je mijn posts wel? Ik heb nu al tweemaal aangegeven dat je bij het oplossen van vierkantsvergelijkingen wortels die niet rationaal zijn mag laten staan, maar deze indien mogelijk wel moet vereenvoudigen.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 19:29 schreef Sucuk het volgende:
Even tussendoor... Dit is trouwens de opgave.

•𝑥²−8𝑥=12
•𝑥² − 8𝑥 − 12 = 0

•𝑎=1 , 𝑏=−8 𝑒𝑛 𝑐=−12
•𝐷=𝑏²−4𝑎𝑐=(−8²)−4 ·1· −12=112

*abc formule)

•𝑥= 4 −2(wortel)7 of 𝑥 = 4 + 2(wortel)7

Alleen ik had, zoals eerder gepost, de wortel nauwkeurig berekend. Wat dus betekent dat de wortel van 112 dus 10,6 is (10,58 afgerond).

Kan ik ipv de wortel ook gewoon het getal nauwkeurig invullen in de abc formule, dus in dit geval 10,6 ?

Als ik de wortel vereenvoudig kom ik uit op x = 9,29 of x = -1,29

en als ik het nauwkeurig bereken kom ik uit op x = 9,3 of x = - 1,3

ik neem aan dat ze het op de intaketoets daar wel soepel mee zijn? Met het afronden?

quote:

Op zondag 9 juni 2013 19:33 schreef Ofresca het volgende:

[..]

Ja, maar dat rekenen ze bij je intaketoets (zeer waarschijnlijk) fout.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 19:36 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Dus het wordt toch de wortel vereenvoudigen?

quote:

Op zondag 9 juni 2013 19:37 schreef Ofresca het volgende:

[..]

Heel goed.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 19:44 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Shiitt hahha..

𝐷=𝑏²−4𝑎𝑐=(−8²)−4 ·1· −12=112

Dat wordt dus

8 + 4(sqrt)7 / 2

Ik weet wel dat je dan alles moet delen door 2, dus dat je dan krijgt 4 + 2 (sqrt) 7.

Maar ik vind het lastig om gewoon die 4 (sqrt) 7 te krijgen...

SPOILER

150 = 2 x 75
= 3 x 50
= 5 x 25
=> sqrt(150) = sqrt(25 x 5) = 5 x sqrt(5)

SPOILER

128 = 2 x 64 => sqrt(128) = sqrt(64 x 2) = 8 x sqrt(2)

quote:

Op zondag 9 juni 2013 19:44 schreef Sucuk het volgende:

[..]
Maar ik vind het lastig om gewoon die 4 (sqrt) 7 te krijgen...

quote:

Op zondag 9 juni 2013 19:21 schreef Thormodo het volgende:

[..]

2 x 56 heb je.
Hoe maak je hier meer mogelijkheden van?
Door bijvoorbeeld de één te vermenigvuldigen met 2 en de andere delen door 2, dan heb je uiteraard nog steeds het zelfde getal. Of vermenigvuldigen met 4 en de andere te delen door 4. (Of 3 etc.)

(2x2) x (56/2) = 4 x 28
Dus je zou van de wortel van 112 al kunnen maken (wortel 4*28) = 2*wortel(28). Van 1x28 kun je weer 4x7 maken (deel door 4, vermenigvuldigen met 4). En wortel(4*7) = 2*wortel(7). Je had er nog een 2 voor staan. Dus 2*2*wortel(7) = 4*wortel(7).

Het kan ook sneller, in één stap. Door 2 te vermenigvuldigen met 8 en 56 te delen door 8.
Dan krijg je (2x8) x (56/8) = 16 x 7.
wortel (16 x 7) = wortel(16)*wortel(7) = 4*wortel(7)

Want je vervolgens niet wil is die wortel 7 nog weer uitschrijven in decimalen, want dan wordt je antwoord weer niet exact van.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 19:21 schreef Thormodo het volgende:

[..]

2 x 56 heb je.
Hoe maak je hier meer mogelijkheden van?
Door bijvoorbeeld de één te vermenigvuldigen met 2 en de andere delen door 2, dan heb je uiteraard nog steeds het zelfde getal. Of vermenigvuldigen met 4 en de andere te delen door 4. (Of 3 etc.)

(2x2) x (56/2) = 4 x 28
Dus je zou van de wortel van 112 al kunnen maken (wortel 4*28) = 2*wortel(28). Van 1x28 kun je weer 4x7 maken (deel door 4, vermenigvuldigen met 4). En wortel(4*7) = 2*wortel(7). Je had er nog een 2 voor staan. Dus 2*2*wortel(7) = 4*wortel(7).

Het kan ook sneller, in één stap. Door 2 te vermenigvuldigen met 8 en 56 te delen door 8.
Dan krijg je (2x8) x (56/8) = 16 x 7.
wortel (16 x 7) = wortel(16)*wortel(7) = 4*wortel(7)

Want je vervolgens niet wil is die wortel 7 nog weer uitschrijven in decimalen, want dan wordt je antwoord weer niet exact van.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 19:58 schreef Thormodo het volgende:
Volgens mij snap je het principe dan juist niet.

Je begint met 112.
Wat je hier van wil maken is een getal (hier 16) maal een ander getal (hier 7), waarvan het eerste getal een eenvoudige wortel oplevert. (Soms kun je ook best er 3 getallen van maken.)

wortel (112) = wortel (16 * 7) = wortel (16) * wortel (7). Dat laatste kun je als een "regel" beschouwen.
En wortel (16) = 4.
Dus wortel (112) = 4 * wortel (7)
Je schrijft dus geen getal "magisch" buiten de wortel. Maar je maakt er 2 wortels van, waarvan je de ene eenvoudig zelf kan oplossen.

Ik dacht ik schrijf 28 op als 1x28 (exact het zelfde uiteraard). Zodat je weer kunt zien dat je die 1 als het ware kunt vermenigvuldigen, terwijl je de 28 deelt.

En wortel (112) = wortel (4) * wortel (28)

quote:

Op zondag 9 juni 2013 20:07 schreef Sucuk het volgende:

[..]

[..]

(2x2) x (56/2) = 4 x 28

Je deelt dus die 28 door 4 omdat je 4 x 28 hebt staan? Of deed je dat om op een heel getal uit te komen?

Overigens vind ik het raar omdat je die 28 door 4 deelt waarom je dan die 4 niet deelt door 4, dus 1 x 28 wat dus resulteert tot wortel 28.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 20:11 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Wat ik je probeerde uit te leggen is dat het ook in stapjes kon, omdat je dus hoogstwaarschijnlijk niet zag dat 112 deelbaar is door 16.

112 = 2 * 56 ("delen" door 2)
2 * 56 = 4 * 28 (éne getal vermenigvuldigen met 2, andere delen)
4 * 28 = 8 * 14 (nogmaals met 2)
8 * 14 = 16 * 7 (en nogmaals door 2)

Dus door 4 keer te delen door 2, deel je feitelijk door 2*2*2*2 = 16.
Of je deelt eerst een keer door 2, en daarna zie je waarschijnlijk wel dat je direct door 8 kunt delen.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 20:14 schreef Sucuk het volgende:

[..]

En wat ik dus niet snap is of het uitmaakt of je 2 pakt of 3 of 4 of 5 of 6 of 7, aangezien het wel eens kan voorkomen dat je na 2 stappen of 2 stappen tot een decimaal kan komen.

Was het overigens niet zo:

112 = 2 * 56
2 * 56 = 4 * 28 = 8 * 14 = 16 * 7

Eerst links vermenigvuldigen en rechts delen, daarna weer etc.

Maar dan weet ik niet wat je vervolgens moet doen? 16 wortel 7 of wortel 16 * 7, ik snap dat verschil niet.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 20:18 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Dat heb ik er toch ook staan? @je = = =

En uit mijn vorige post:
"wortel (112) = wortel (16 * 7) = wortel (16) * wortel (7). Dat laatste kun je als een "regel" beschouwen."

quote:

Op zondag 9 juni 2013 20:19 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Ja klopt, dat weet ik. Dat sprak ik toch ook niet tegen. Maar heb je gelezen wat ik zei? ''Maar dan weet ik niet wat je vervolgens moet doen? 16 wortel 7 of wortel 16 * 7, ik snap dat verschil niet.''

quote:

Op zondag 9 juni 2013 20:20 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Waarom zou je 16 * wortel (7) doen. Dat is toch totaal iets anders als wortel (16 * 7) = wortel (112) ?

Ik zet dit er gewoon voor de derde keer neer:
"wortel (112) = wortel (16 * 7) = wortel (16) * wortel (7). Dat laatste kun je als een "regel" beschouwen."

quote:

Op zondag 9 juni 2013 20:24 schreef Thormodo het volgende:
(8 + wortel (16 * 7)) / 2 is toch al je antwoord dan?
Hoef je het alleen nog maar uit te schrijven. En die wortel 7 laat je dus lekker staan.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 20:28 schreef Thormodo het volgende:
Maar... Je kunt dat toch wel netter schrijven? Door de 8 op de 2 te delen etc.?

quote:

Op zondag 9 juni 2013 20:28 schreef Sucuk het volgende:

[..]

216 = 2 * 108
2 * 108 = 4 * 54
4 * 54 = 8 * 27

Dus... wortel ( 8 * 27)

quote:

Op zondag 9 juni 2013 20:28 schreef Thormodo het volgende:
Maar... Je kunt dat toch wel netter schrijven? Door de 8 op de 2 te delen? Die 16 uit de wortel te werken...

quote:

Op zondag 9 juni 2013 20:30 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Die gequote zin sloeg op je x = 8 + wortel (16 * 7 ).

Maar je kunt geen getal verzinnen waardoor je 27 kunt delen?

quote:

Op zondag 9 juni 2013 20:31 schreef Sucuk het volgende:

[..]

I dont get it?

quote:

Op zondag 9 juni 2013 20:35 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Goed doe ik het letterlijk voor. Laatste optie. wortel (16 * 7 ) = wortel (16) * wortel (7 ) = 4*wortel(7). Daar ging de hele vorige pagina over. Dus ik mag dit schrijven:
(8 + wortel (16 * 7 )) / 2
als
(8 + 4*wortel(7) )) / 2
Nu werk ik die delen door 2 weg
4 + 2*wortel(7)
En daar heb je je nettere antwoorden (meervoud want het is +), oftewel
x = 4 + 2*wortel(7)
of
x = 4 - 2*wortel(7)

quote:

Op zondag 9 juni 2013 20:32 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Jawel, 3 en 9.

Maar ik moet toch rekening houden met die 8? 8 en 27 zitten niet samen in 1 tafel.

SPOILER

9
Dus 216 = 4 * 54 = 4 * 9 * 6
Dus wortel (216) = wortel (4 * 9 * 6) = 2 * 3 * wortel (6) = 6*wortel(6)

SPOILER

wortel ( 8 * 27)
wortel (8 * 3 * 9) (en omdat 8*3 = 24 = 6 * 4)
wortel (6 * 4 * 9)

quote:

Op zondag 9 juni 2013 20:41 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Ja.. Hoe kan je doordat je deelt door 2, dat die 16 dat 4 wordt opeens buiten de wortel komt? En waarom deel je die 7 niet door 2? Dan kan je toch beter 16 / 2 = 2 en 7 x 2 is 14 dus

wortel (8 * 14).

Dan heb je 8 +/- wortel ( 8 * 14)

quote:

Op zondag 9 juni 2013 20:19 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Ja klopt, dat weet ik. Dat sprak ik toch ook niet tegen. Maar heb je gelezen wat ik zei? ''Maar dan weet ik niet wat je vervolgens moet doen? 16 wortel 7 of wortel 16 * 7, ik snap dat verschil niet.''

quote:

Op zondag 9 juni 2013 20:51 schreef Riparius het volgende:

[..]

De uitleg hier is slecht, en daarom begrijp je dit kennelijk nog niet. Je moet om te beginnen weten dat een wortel uit het product van een aantal (niet-negatieve) factoren gelijk is aan het product van de wortels van die factoren, dus:

√ab = √a·√b

waarbij a,b ≥ 0 moet zijn.

Verder kun je een positief geheel getal ontbinden in priemfactoren. Zo heb je dus bijvoorbeeld:

112 = 2·2·2·2·7

We zien hier dat 112 vier priemfactoren 2 bevat en één priemfactor 7. Nu kun je steeds een even aantal gelijke priemfactoren voor het wortelteken halen, waarbij je het aantal factoren voor het wortelteken dan halveert. Dat werkt zo omdat je hebt:

√(p·p) = p

Immers, p is het (niet-negatieve) getal dat je moet kwadrateren om p² te krijgen, en dus is de wortel uit p² = p·p gelijk aan p.

Nu hebben we in 112 = 2·2·2·2·7 zoals gezegd vier factoren 2. Elk paar van deze factoren 2 levert vóór het wortelteken één factor 2 op, want we hebben:

√112 = √(2·2·2·2·7) = √(2·2)·√(2·2)·√7 = 2·2·√7 = 4√7

quote:

Op zondag 9 juni 2013 20:55 schreef Thormodo het volgende:
Gast...De uitleg is slecht. Dat zal het hem zijn.
Die wortelregel staat er nu 4 keer in.
Alsof hij weet wat priemfactoren zijn.
128 =/= 2.2.2.2.7

Hij snapt niet waarom je 112 (niet 128) op die manier zou ontbinden/hoe je ziet dat het zo kan.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 21:01 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Er is niets mis met zijn uitleg. Hij schrijft het niet alleen voor hem (ook anderen kunnen er van leren) en niets houdt de lezer tegen om vragen te stellen als iets niet duidelijk is. Je kan gemakkelijk zelf even opzoeken wat een priemfactor is.
Veel mensen hier hebben al veel geleerd van Riparius, m.i. de reden waarom hij de Yvonne-awards heeft gekregen. Ben blij dat er mensen zijn die belangenloos veel tijd en energie steken in het helpen van jongeren die niet zo'n goed onderwijs krijgen als wat vroeger werd gegeven. Ik stel het zeer op prijs dat ik hier bij wat mensen terecht kan voor complexere wiskundevragen.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 20:57 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Misschien is het interessant als je nu wat uitleg over de deelbaarheid. Als je een getal op een handige manier wil ontbinden in priemfactoren dan is het toch handig om te weten hoe je weet of dat het getal deelbaar is door een bepaald getal. 1, 2, 4, 5 en 10 zijn evident. 3, 6, 7, 8 en 9 wellicht wat minder bij grote getallen.
Een getal wat deelbaar is door 2 en 3 is toch ook deelbaar door 6? Andere handige weetjes?
Ik herinner me dat je voor 1 deler (3?) de deelbaarheid kan testen door de cijfers van het getal op te tellen maar waarom werkt dat?

quote:

Op zondag 9 juni 2013 21:33 schreef Sucuk het volgende:
W150 + W54=5W6 + 3W6 =8W6

Moet je hier een gemeenschappelijk tafel pakken of niet?

Dus dat je denkt beide hebben gemeenschappelijk de tafel van 6 dus.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 21:07 schreef Bram_van_Loon het volgende:
Kom op jongens, jullie zijn hier aan het afgeven op Riparius omdat hij wat kritiek heeft gegeven op bepaalde punten van jullie uitleg. Je kan het daar eens mee zijn of niet, discussiëer daar dan over zonder het persoonlijk te maken. Hij is op dit vlak wat direct maar ach, daar moet je tegen kunnen zolang het louter om de inhoud gaat en het niet op de persoon is gericht. Het is nog binnen de perken maar ik kan uit jullie reacties (met name bij hem) opmerken dat het ook wat persoonlijk is geworden voor jullie. Dat is toch niet nodig?

quote:

Op zondag 9 juni 2013 21:39 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, dat is in het algemeen geen goede aanpak. Je moet de twee getallen waarvan je hier de wortels wil vereenvoudigen beide ontbinden in priemfactoren, zoals ik hierboven al heb aangegeven.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 21:39 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, dat is in het algemeen geen goede aanpak. Je moet de twee getallen waarvan je hier de wortels wil vereenvoudigen beide ontbinden in priemfactoren, zoals ik hierboven al heb aangegeven.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 21:43 schreef Sucuk het volgende:

[..]

En dat hield in dat de als je niet door 2 kunt delen je ook niet door 4,6,8,10,12 etc.. kunt delen..

Dat begrijp ik wel.. Maar? Hoe moet ik dat dan in één oogopslag zien dan? Ik dacht

Ze hebben beide wel de tafel van 6.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 21:53 schreef Sucuk het volgende:
Oke het principe heb ik begrepen... De makkelijke wortels, maar hoe vereenvoudig je de moeilijke wortels zoals:

W122, W123, W124.

Bijvoorbeeld W160 is makkelijk:

W160 = W ( 4 * 40 ) --> 2W40 , omdat 2x2 = 4 en dan kun je dus die 2 buiten de wortel halen.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 21:53 schreef Sucuk het volgende:
Oke het principe heb ik begrepen... De makkelijke wortels, maar hoe vereenvoudig je de moeilijke wortels zoals:

W122, W123, W124.

quote:

Bijvoorbeeld W160 is makkelijk:

W160 = W ( 4 * 40 ) --> 2W40 , omdat 2x2 = 4 en dan kun je dus die 2 buiten de wortel halen.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 21:59 schreef Riparius het volgende:

[..]

In één oogopslag zien gaat wat moeilijk, tenzij je goed rekenonderwijs zou hebben gehad, maar dat is niet zo.

Je begint met beide getallen te ontbinden in priemfactoren. We hebben:

150 : 2 = 75
75 : 3 = 25
25 : 5 = 5
5 : 5 = 1

Dus: 150 = 2·3·5²

Verder:

54 : 2 = 27
27 : 3 = 9
9 : 3 = 3
3 : 3 = 1

Dus: 54 = 2·3³

Hiermee vinden we dus:

√150 = √(2·3·5²) = 5√(2·3) = 5√6

Merk op dat ik die factor 5² = 5·5 hier voor het wortelteken heb gebracht als één factor 5, want elk paar gelijke factoren onder het wortelteken levert één zo'n factor op vóór het wortelteken.

Verder hebben we:

√54 = √(2·3³) = 3√(2·3) = 3√6

Hier kon ik maar twee van de drie factoren 3 voor het wortelteken brengen als één factor 3, omdat het totale aantal factoren 3 in 54 oneven is, zodat we dus één factor 3 onder het wortelteken overhouden.

Uiteindelijk hebben we nu:

√150 + √54 = 5√6 + 3√6 = 8√6

quote:

Op zondag 9 juni 2013 22:03 schreef Riparius het volgende:

[..]

Volg nu eens mijn advies op om de getallen onder het wortelteken eerst in priemfactoren te ontbinden.

[..]

Dit kun je nog verder vereenvoudigen:

√160 = 4√10

Ook hier is het advies weer: eerst 160 ontbinden in priemfactoren.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 22:04 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Mooie uitleg! Zou je wat wortels opschrijven, dan kan ik even kijken of het mij lukt met het vereenvoudigen ervan i.c.m. priemfactoren.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 22:10 schreef Riparius het volgende:

[..]

Probeer eens

√125 + √20

zover mogelijk te vereenvoudigen.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 22:13 schreef Sucuk het volgende:

[..]

W160

160 : 2 = 80
80 : 2 = 40
40 : 2 = 20
20 : 2 = 10
10 : 5 = 2

quote:

Op zondag 9 juni 2013 22:10 schreef Riparius het volgende:

[..]

Probeer eens

√125 + √20

zover mogelijk te vereenvoudigen.

quote:

Op zondag 9 juni 2013 22:20 schreef Sucuk het volgende:

[..]

√125

125 : 5 = 25
25 : 5 = 5

quote:

√125 = √(5 * 5) = √25

quote:

√20

20 : 2 = 10
10 : 5 = 2

quote:

√20 = √(2 * 5 ) = √10

quote:

√125 + √20 = √25 + √10

quote:

Op zondag 9 juni 2013 22:31 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, het ontbinden gaat nog niet goed. Je moet doorgaan met delen totdat je uitkomt op 1. Je mist hier nog een factor 5 want we hebben:

125 : 5 = 25
25 : 5 = 5
5 : 5 = 1

Dus: 125 = 5³

[..]

Nee, je hebt hier drie factoren 5 waarvan je één paar (twee stuks) voor het wortelteken brengt als één factor vijf, terwijl er onder het wortelteken nog één factor 5 overblijft:

√125 = 5√5

[..]

Zelfde probleem: je moet doorgaan met factoren 2 totdat deze 'op' zijn, en pas daarna de eerstvolgende grotere priemfactor proberen. En: altijd doorgaan totdat je uitkomt op 1. Dus krijgen we:

20 : 2 = 10
10 : 2 = 5
5 : 5 = 1

Dus: 20 = 2²·5

[..]

Nee. Vond je het zelf niet vreemd dat je hier beweert dat √20 precies hetzelfde is als √10 ? Dat kan natuurlijk niet kloppen, en de oorzaak van je fout ligt in je verkeerde ontbinding in priemfactoren.

We hebben:

√20 = √(2²·5) =2√5

[..]

Nee. Uiteindelijk hebben we nu:

√125 + √20 = 5√5 + 2√5 = 7√5

Zie je?

quote:

Op zondag 9 juni 2013 23:07 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Oh.. Ik was aardig op weg dus.. Blijkbaar moest ik nog doorgaan totdat ik op 1 uitkwam..

Ik begin het nog bijna leuk te vinden ook deze priemfactoren en wortels vereenvoudigen.

Heb je trouwens een wortel waar de priemfactoren al snel op zijn?

quote:

Op zondag 9 juni 2013 23:18 schreef Riparius het volgende:

[..]

Probeer bijvoorbeeld:

√172

En nog een opgave om te zien of je het nu begrijpt. Vereenvoudig zo ver mogelijk:

√108

quote:

Op zondag 9 juni 2013 23:18 schreef Riparius het volgende:

[..]

Probeer bijvoorbeeld:

√172

En nog een opgave om te zien of je het nu begrijpt. Vereenvoudig zo ver mogelijk:

√108

quote:

Op maandag 10 juni 2013 11:45 schreef Sucuk het volgende:
√108 = √( 2² * 3³ ) = 3√12

quote:

Dus: 160 = 2⁵·5

We hebben hier een oneven aantal factoren 2, dus er blijft na het vereenvoudigen altijd één factor 2 onder het wortelteken staan. In totaal zijn er vijf factoren 2, waarvan we dus 4 oftewel twee paar vóór het wortelteken kunnen halen als twee factoren 2. Dus krijgen we:

√160 = 2²·√(2·5) = 4√10

quote:

Op maandag 10 juni 2013 11:45 schreef Sucuk het volgende:

[..]

√172

172 : 2 = 86
86 : 2: 43
43 : 43 = 1

√172 = √ (2 * 2 * 43 ) = 2√43

quote:

√108

108 : 2 = 54
54 : 2 = 27
27 : 3 = 9
9 : 3 = 3
3 : 3 = 1

√108 = √(2² * 3³) = 3√12

quote:

Op maandag 10 juni 2013 12:08 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat is correct.

[..]

Dit kun je nog verder vereenvoudigen. Er zijn niet alleen twee factoren 3 maar ook twee factoren 2 die je voor het wortelteken kunt halen:

√108 = √(2²·3³) = √(2²·3²·3) = √(2²)·√(3²)·√3 = 2·3·√3 = 6√3

quote:

Op maandag 10 juni 2013 12:30 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Wow.. deze begrijp ik niet. Hoe kunnen die 2 en 3 opeens buiten de wortel komen? ---> die 2 * 3

quote:

Op maandag 10 juni 2013 12:48 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat is niet opeens. Je hebt 108 = 2²·3²·3 en dus ook √108 = √(2²·3²·3) = √(2²)·√(3²)·√3. Maar nu is √(2²) = 2 en √(3²) = 3. En dus is √(2²)·√(3²)·√3 = 2·3·√3 = 6√3.

quote:

Op vrijdag 14 juni 2013 00:04 schreef Sucuk het volgende:
.........er wordt wel gezegd dat de wortel moet blijven staan na oplossen van abc formule dus:
Bijvoorbeeld:

X = 2(sqrt)4 of X = -2(sqrt)4

Maar de intakrtoets wordt op de computer gemaakt, dus er is maar antwoord mogelijk waarschijnlijk, wat ik daarmee bedoel is dat er van te voren in de toets al de antwoorden zijn ingevuld en de computer checkt vervolgens op het eind of ze overeen komen met wat ik had. Zo niet dan is het fout. Want de computer kykt na en niet een persoon volgens my?

Correct me if im wrong.

quote:

Op vrijdag 14 juni 2013 01:43 schreef VanishedEntity het volgende:

[..]

Waarschijnlijk bedoelen ze daarmee te zeggen dat je de wortel moet laten staan als de radicant (=dat hele zaakje dat onder de wortelstreep staat) als deze niet verder (tot evt. een integer a.k.a. een geheel getal of een rationaal getal a.k.a. een breuk) meer te vereenvoudigen valt. Als je D (discriminant oftewel die b²-4ac) van de ABC-/wortelformule bijv. op 72 uitkomt, kan je daarvan 2*36 oftewel 2*6*6 oftewel 2*6² maken, en vervolgens die factor 6² onder het wortelteken vandaantrekken, zodat je voor het worteldeel (6√2)/2a krijgt. Komt je discriminant op bijv. 51, dan moet je die (√51)/2a voor het worteldeel gewoon laten staan omdat je niets verder met die √51 meer kan aanvangen, buiten een decimale benadering.

Of, ze vragen naar _een_ oplossing van de gegeven kwadratische vergelijking en moet jij berekenen welke van de maximaal 2 mogelijke oplossingen er in de antwoorden vermeld staan.

Iig is het good practice om alle antwoorden en dus ook breuken, wortels, machten, logaritmen etc etc zo ver mogelijk vereenvoudigd op te schrijven.

quote:

Op vrijdag 14 juni 2013 00:40 schreef wiskundenoob het volgende:
wrm doe je niet x = 4 etc

quote:

Op vrijdag 14 juni 2013 10:24 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Hoe typ je een wortel op de computer?

quote:

Op vrijdag 14 juni 2013 10:25 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Hoe dan? Zonder rekenmachine he..

quote:

Op vrijdag 14 juni 2013 17:07 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je weet nu toch wel dat 2 + √4 = 2 + 2 = 4 mag ik hopen?

quote:

Op vrijdag 14 juni 2013 18:05 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Huh, + moet toch x zijn?

quote:

Op dinsdag 18 juni 2013 18:34 schreef Sucuk het volgende:
[ afbeelding ]

Hoe los je die op? Ik bedoel handmatig dan... Ik kom er nooit uit dat het x = 0,31 of x = - 0,81 kan zijn?

SPOILER

Dus als één van de antwoorden krijg je ( -2 + √20) / 8 = ( -2 + 2√5) / 8 = -1/4 + (1/4)√5
En eventueel kun je dat nog schrijven als (1/4)(-1 + √5)

quote:

Op dinsdag 18 juni 2013 18:44 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Dat kringel = teken (benaderingsteken) betekent "is ongeveer".
In dit geval ronden ze de wortel dus af, wat je nooit zou moeten doen, tenzij er expliciet om gevraagd wordt. Dan staat er bijvoorbeeld dat je het antwoord in 2 decimalen moet benaderen, maar dan zul je een rekenmachine nodig hebben.

In dit geval kun je de wortel dus vereenvoudigen, op de manier zoals Riparius je geleerd heeft, en dan gewoon die wortel laten staan.

SPOILER

Dus als één van de antwoorden krijg je ( -2 + √20) / 8 = ( -2 + 2√5) / 8 = -1/4 + (1/4)√5
En eventueel kun je dat nog schrijven als (1/4)(-1 + √5)

quote:

Op dinsdag 18 juni 2013 19:18 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Kan ik dat zo op de computer opschrijven? Want ik weet niet of er bij die intaketoetsen maar 1 antwoord kan of meerdere?

Zijn er geen makkelijkere opties?

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 22:39 schreef Sucuk het volgende:
Kan iemand mij met deze vragen helpen? Ik kom hier niet uit, want ik weet niet wat je moet doen...

[ afbeelding ]

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 22:45 schreef Riparius het volgende:

[..]

Vraag 1 (en 4): ken je de rekenregels voor het werken met machten?

Vraag 3 en 6: deze zou je nu toch echt zelf moeten kunnen.

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 22:39 schreef Sucuk het volgende:
Kan iemand mij met deze vragen helpen? Ik kom hier niet uit, want ik weet niet wat je moet doen...

[ afbeelding ]

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 22:51 schreef Kansenjongere het volgende:

[..]

1. Door steeds teller en noemer met hetzelfde te vermenigvuldigen of door hetzelfde te delen kun je het vereenvoudigen tot een breuk waarbij boven de streep alleen nog een macht van a staat en onder de streep alleen nog een macht van b.

2. Werk eerst de haakjes weg, zorg vervolgens dat je nog maar aan 1 kant van het =teken een veelvoud van x overhoudt, deel vervolgens door dat veelvoud zodat je de waarde van x overhoudt.

3. Hoeveel is 5 x 5 x 5?

4. Zelfde principe als 1, met dat verschil (waarbij je de a kunt vervangen door het getal 3 en geen b hebt)

6. Vereenvoudig wortel(27) zodat je hier ook een veelvoud van wortel(3) uit krijgt.

7. Vergelijkbaar met 1 maar dan zonder breuk.

8. Bepaal de vergelijking die bij deze grafiek hoort of teken hem desnoods.

9. Differentiëren of herschrijven zodat je de transformatie ten opzichte van y = x^2 kunt bepalen.

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 22:52 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Van vraag 3 snap ik niet wat de 3 boven de wortel betekent? Als het er naast zou staan had ik het wel begrepen?

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 22:51 schreef Kansenjongere het volgende:

[..]

1. Door steeds teller en noemer met hetzelfde te vermenigvuldigen of door hetzelfde te delen kun je het vereenvoudigen tot een breuk waarbij boven de streep alleen nog een macht van a staat en onder de streep alleen nog een macht van b.

2. Werk eerst de haakjes weg, zorg vervolgens dat je nog maar aan 1 kant van het =teken een veelvoud van x overhoudt, deel vervolgens door dat veelvoud zodat je de waarde van x overhoudt.

3. Hoeveel is 5 x 5 x 5?

4. Zelfde principe als 1, met dat verschil (waarbij je de a kunt vervangen door het getal 3 en geen b hebt)

6. Vereenvoudig wortel(27) zodat je hier ook een veelvoud van wortel(3) uit krijgt.

7. Vergelijkbaar met 1 maar dan zonder breuk.

8. Bepaal de vergelijking die bij deze grafiek hoort of teken hem desnoods.

9. Differentiëren of herschrijven zodat je de transformatie ten opzichte van y = x^2 kunt bepalen.

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:01 schreef Kansenjongere het volgende:
Op 3 na zijn ze niet goed, misschien kun je aangeven hoe je tot je antwoorden kwam?

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:05 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Oeps vraag 6 is 90 en niet 9. Typfout.

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:01 schreef Kansenjongere het volgende:
Op 3 na zijn ze niet goed, misschien kun je aangeven hoe je tot je antwoorden kwam?

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:06 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Vraag 7 rekende ik de haakjes weg dmv de macht. dus 4a(macht4) * 4a²b(macht4) = 8a(macht6)b(macht4)

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:08 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Behalve dan dat 4x4=16, klopt dit op zich wel. Maar waarom schrijf je dan als antwoord 4 op?

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:06 schreef Sucuk het volgende:
vraag 4 deed ik:

Som werd: -2X + 1/3X = -5 + 2
1,70X = -3
X = -1,76

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:09 schreef Kansenjongere het volgende:
Zoals hierboven al is gezegd, had je vraag 7 bijna goed (8 in plaats van 16) tot je op voor mij onverklaarbare wijze besloot dat je de a en de b wel weg kon werken.

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:12 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Vraag 7 rekende ik de haakjes weg dmv de macht. dus 4a(macht4) * 4a²b(macht4) = 8a(macht6)b(macht4)

Ik snap zelf ook niet waarom ik alleen 4 had ingevuld.. Maar goed antwoord moet zijn:

816a(macht6)b(macht4)

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:12 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Vraag 7 rekende ik de haakjes weg dmv de macht. dus 4a(macht4) * 4a²b(macht4) = 8a(macht6)b(macht4)

Ik snap zelf ook niet waarom ik alleen 4 had ingevuld.. Maar goed antwoord moet zijn:

8a(macht6)b(macht4)

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:12 schreef Ensemble het volgende:

[..]

4*4 is nog steeds 16. Dus het antwoord is 16a(macht6)b(macht4)

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:12 schreef Ensemble het volgende:

[..]

4*4 is nog steeds 16. Dus het antwoord is 16a(macht6)b(macht4)

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:11 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Dit gaat mis omdat je (denk ik) iets teveel tegelijk doet, daardoor ergens een mintekenfout maakt en daarnaast ook nog eens de fout maakt dat 2 - 1/3 = 1,7, wat het natuurlijk niet is.

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:18 schreef Sucuk het volgende:
-X + 3 + 1/3X - 6/3 = x - 2

-2X + 1/3X - 2 = -2 + 3

-2X + 1/3X = -2 + 3 + 2

-2X + 1/3X = 3

-2X + 0,3 = 3

-1,7X = 3

X = -1,76

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:19 schreef Kansenjongere het volgende:
Maar 1/3 is niet gelijk aan 0,3 (0,3 x 3 is immers geen 1 maar 0,9).

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:20 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Wat moet ik dan doen? Ik doe het zonder rekenmachine. 0,33 is immers ook 0,99

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:19 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

De eerste onderstreepte is een mintekenfout. De tweede is de niet-correcte optelling van de breuk 1/3.

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:20 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Wat moet ik dan doen? Ik doe het zonder rekenmachine. 0,33 is immers ook 0,99

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:20 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

De breuk laten staan. 2 - ¹/₃ = 1 ²/₃

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:21 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Huh?

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:22 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:23 schreef Sucuk het volgende:
Nu zit ik nog met vraag 1, 4, 5 ,8 en 9.

[ afbeelding ]

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:26 schreef Janneke141 het volgende:
Hint bij 1: a^-2 x a² = 1

Hint bij 4: zie boven.

Hint bij 5: een breuk (a+b+c)/d mag je splitsen in a/d + b/d + c/d

Hint bij 8: Je zoekt het punt (0,?). Zegt het woord richtingscoëfficient je iets (of, als je de vmbo-methode gewend bent, stijggetal)?

Hint bij 9: Differentiëren en de hap gelijk aan nul stellen.

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:23 schreef Sucuk het volgende:
Nu zit ik nog met vraag 1, 4, 5 ,8 en 9.

[ afbeelding ]

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:34 schreef Sucuk het volgende:
vraag 5 : X + 4

quote:

vraag 8 :

richtingscoëfficient --> (3 - - 1 ) / ( 5 - 3) = 2

y = aX + b
y = 2X + b

quote:

y = 2 * 0 + b
y = 0 + b

Het punt is 0,0 ?!?

quote:

vraag 1: ab-3

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:40 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, want vraag 2 heb je ook nog niet correct opgelost. Geef daarvan eens een complete én correcte uitwerking.

Overigens kun je beter niet een hele lijst met vragen neerkwakken en dan maar afwachten wie er op welke vraag reageert. Dan wordt het een bende, en je raakt je aandacht versnipperd en heb je het uiteindelijk nog niet goed begrepen. Dus eerst één vraag correct uitwerken en dan pas een andere vraag gaan bekijken en uitwerken.

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:34 schreef Sucuk het volgende:

[..]

vraag 1: ab^-3

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:42 schreef Sucuk het volgende:

[..]

antwoord van vraag 2 was 1,67 ( 2 - 1/3 )

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:42 schreef Sucuk het volgende:

[..]

antwoord van vraag 2 was 1,67 ( 2 - 1/3 )

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:40 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Not even close. Tussenstappen?

[..]

Tot hier klopt het nog. Maar om de juiste vergelijking bij de lijn op te stellen, moet je eerst gebruik maken van een punt dat je wél kent. Je wil meteen op zoek naar het punt dat je nog niet kent, en dat gaat nog niet.

[..]

[..]

Onnauwkeurig, op de gok. En is het een nette schrijfwijze?

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:45 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Vraag 5 deelde ik alles door 3x

-3 / 3x = x

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:26 schreef Janneke141 het volgende:

Hint bij 9: Differentiëren en de hap gelijk aan nul stellen.

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:57 schreef Sucuk het volgende:
Een lijn gaat door de punten (3, -1) en (5, 3). Bereken het snijpunt met de y-as van deze lijn.

Als iemand mij met deze kan helpen, zou dat tof zijn. De rest is mij wel gelukt.

quote:

Op donderdag 20 juni 2013 00:00 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik ben zo vrij om hier niets van te geloven. Dus ik begin gewoon weer bovenaan. Wat is je uitwerking van opgave 1 ?

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:57 schreef Sucuk het volgende:
Een lijn gaat door de punten (3, -1) en (5, 3). Bereken het snijpunt met de y-as van deze lijn.

Als iemand mij met deze kan helpen, zou dat tof zijn. De rest is mij wel gelukt.

quote:

Op donderdag 20 juni 2013 00:01 schreef Sucuk het volgende:

[..]

a⁶b^-3

quote:

Op donderdag 20 juni 2013 00:02 schreef Kansenjongere het volgende:

[..]

Begin met het maken van een schets van de grafiek, dan heb je vast een indruk van de uitkomst en valt het meteen op als je door een rekenfout op iets heel anders uitkomt.

quote:

Op donderdag 20 juni 2013 00:06 schreef Sucuk het volgende:

[..]

geschetst en het hoort iets te zijn van 0,6 of 0,5. Maar weet echt niet hoe. Ben het echt verleerd.

quote:

Op donderdag 20 juni 2013 00:06 schreef Kansenjongere het volgende:

[..]

WTF?
Hoe loopt die lijn bij jou?

quote:

Op donderdag 20 juni 2013 00:03 schreef Riparius het volgende:

[..]

OK. Dat is correct.

Nu opgave 2. Hier moet je vinden dat x = 9/5. Laat jij nu eens zien hoe je opgave 2 uitwerkt.

quote:

Op donderdag 20 juni 2013 00:06 schreef Sucuk het volgende:

[..]

geschetst en het hoort iets te zijn van 0,6 of 0,5. Maar weet echt niet hoe. Ben het echt verleerd.

quote:

Op donderdag 20 juni 2013 00:07 schreef Sucuk het volgende:

[..]

ik bedoel: ( 0, -6 ) of ( 0 , -5 )

quote:

Op donderdag 20 juni 2013 00:10 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Opgave 2 weet ik helaas niet. Ik kom echt op 1,67 uit.

quote:

Op donderdag 20 juni 2013 00:10 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Opgave 4 heb ik wel:

3³ * 3^-7 wordt 3^-4

3^-4 / 3^-5 wordt 3¹ dus 3 is het antwoord.

Opgave 2 weet ik helaas niet. Ik kom echt op 1,67 uit.

quote:

Op donderdag 20 juni 2013 00:11 schreef Kansenjongere het volgende:

[..]

Dan zie je dus al meteen dat je eerdere antwoord van (0,0) nooit kan kloppen.
Je gaf eerder al aan dat de richtingscoëfficiënt 2 is en je hebt bovendien de y-waarde behorende bij x = 3 (namelijk -1). Trek dan 3 maal de richtingscoëfficiënt (3 - 0 = 3) af van -1 en je hebt de y-waarde van het gevraagde punt.

quote:

Op donderdag 20 juni 2013 00:18 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Heb het trucje gevonden!

y = 2X + b

Ik pak de coördinaten (3, -1)

-1 = 2 * 3 + b
-1 = 6 + b
-1 - 6 = b
-7 = b

Dus het snijpunt met de y-as van deze lijn is ( 0, -7)

quote:

Op woensdag 19 juni 2013 23:59 schreef Riparius het volgende:
Dit is zeker een grapje? Denk je serieus dat TS ook maar het flauwste idee heeft wat een afgeleide is en hoe je die bepaalt?

quote:

Op donderdag 20 juni 2013 00:10 schreef Sucuk het volgende:

Opgave 2 weet ik helaas niet. Ik kom echt op 1,67 uit.

quote:

Op donderdag 20 juni 2013 14:20 schreef Sucuk het volgende:
Als je het hellingsgetal oftewel de richtingscoëfficiënt moet berekenen van de rechte lijn voorgesteld door deze formule:

4y + 8 = -2x

Dan is dit toch het hellingsgetal:

4y = -2x - 8
y = -0,5x - 2

Hellingsgetal is dus -0,5

quote:

Op donderdag 20 juni 2013 16:00 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat is juist, maar je moet bij dergelijke herleidingen geen decimale breuken (kommagetallen) gebruiken. Schrijf dus:

y = −½x − 2

quote:

Op donderdag 20 juni 2013 16:04 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Oké top.

-3² waarom is dat -9? Het is toch -3 * -3 en - - = + dus 9 toch?