Wiskunde voor intaketoests 'even' bijspijkeren?

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 22:13 schreef JoPiDo het volgende:

[..]

wat een geweldige uitleg, maar niet heus

gewoon abc-formule uit je hoofd leren; geen geëtter en je antwoord is altijd goed

Het verschil is natuurlijk wel dat degene op wie jij reageert ook weet WAAROM zijn antwoord klopt, terwijl het domweg uit je kop stampen en invullen van een abc-formule op hetzelfde neerkomt als het blindelings dingen intypen in je GR en er vervolgens achter komen dat je zonder dat ding bijzonder weinig kan.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 22:33 schreef Kansenjongere het volgende:

[..]

Het verschil is natuurlijk wel dat degene op wie jij reageert ook weet WAAROM zijn antwoord klopt, terwijl het domweg uit je kop stampen en invullen van een abc-formule op hetzelfde neerkomt als het blindelings dingen intypen in je GR en er vervolgens achter komen dat je zonder dat ding bijzonder weinig kan.

Helemaal geweldig, maar het gaat er om dat hij die toets haalt. Altijd dat gezeik dat mensen de diepere gedachte zouden moeten snappen; als hij kan berekenen wat hij wil berekenen, dan is dat meer dan voldoende. Alsof iedereen die met statistiek bezig is exact snapt waar de normale verdeling vandaan komt. Of wat de achterliggende wiskunde van afgeleide zijn. Maar die dingen toepassen lukt de meeste wel.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 23:11 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Abc formule moet je wel zonder rekenmachine leren te berekenen...

Ik vind het bv. lastig om wortels te trekken.

Overigens.. hoe worden NL en ENG getoetst?

1^2 = 1
2^2 = 4
3^2 = 9
4^2 = 16
5^2 = 25

en dan tot 15 zou genoeg moeten zijn

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 23:19 schreef JoPiDo het volgende:

[..]

Helemaal geweldig, maar het gaat er om dat hij die toets haalt. Altijd dat gezeik dat mensen de diepere gedachte zouden moeten snappen; als hij kan berekenen wat hij wil berekenen, dan is dat meer dan voldoende. Alsof iedereen die met statistiek bezig is exact snapt waar de normale verdeling vandaan komt. Of wat de achterliggende wiskunde van afgeleide zijn. Maar die dingen toepassen lukt de meeste wel.

Het gaat hier niet om dat ene lastige vak waar je met hangen en wurgen een 5,5 voor moet zien te halen om er de rest van je leven vanaf te zijn, het gaat hier om een toelatingsexamen voor een opleiding. Met andere woorden: de elementaire basiskennis die je nodig hebt om überhaupt aan je opleiding te kunnen beginnen (en waarop tijdens je opleiding zal worden voortgeborduurd). Dan lijkt het me dus wel zo handig om ook te begrijpen waarmee je bezig bent, anders is het slagen voor de toets slechts uitstel van executie.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 23:11 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Abc formule moet je wel zonder rekenmachine leren te berekenen...

Daar is niets moeilijks aan. Maar je moet wel eerst vierkantsvergelijkingen (met rationale oplossingen) leren oplossen via ontbinden in factoren en dan vierkantsvergelijkingen leren oplossen via kwadraatafsplitsing. Daarmee krijg je inzicht, sommige vierkantsvergelijkingen zijn zo eenvoudiger op te lossen, of het is heel eenvoudig te zien dat een vierkantsvergelijking geen reële oplossingen heeft, en je leert dan ook de abc-formule af te leiden. Bovendien heb je de techniek van kwadraatafsplitsen nodig als je zonder gebruik van differentiaalrekening snel de top van een parabool (grafiek van een kwadratische functie) wil kunnen bepalen.

quote:

Ik vind het bv. lastig om wortels te trekken.

Dat is nog veel lastiger dan je denkt, en er is bijna niemand meer die het nog kan met pen en papier. Maar dit wordt helemaal niet van je verwacht. Als een vierkantsvergelijking geen rationale oplossingen heeft, dan mag je de wortels in je antwoorden laten staan. Uiteraard wordt wél van je verwacht dat je wortels kunt vereenvoudigen, i.e. dat je bijvoorbeeld √8 kunt herschrijven als 2√2.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 01-06-2013 00:14:27 ]

@ JoPiDo Ja, want door formules uit je hoofd te leren wordt je echt goed in wiskunde… Het kan helemaal geen kwaad om af en toe zo’n sommetje ‘echt’ op te lossen.
Je ziet wat er van komt door alleen maar zijn rekenmachine te gebruiken (feitelijk hetzelfde als alleen maar formules stampen), hij gaat op zijn muil bij relatief simpele sommetjes.

Maar kwadraat afsplitsen vind ik bij vraag 17 nogal omslachtig. Hoewel die basismethode natuurlijk voor 100 andere dingen nuttig is (afhankelijk van de “som”).

Het kan namelijk een stuk simpeler/sneller in mijn ogen. (Door de overvloedige uitleg lijkt het nog heel wat):

16x² + 24x - 40 = 0
Je kunt alles delen door 16 om zo een x² met coëfficiënt 1 over te houden.
16(x² + 3/2 x – 5/2) = 0

Nu kunnen we de formule (x² + 3/2 x – 5/2) omschrijven van de vorm x² + ax + bx + ab naar de vorm (x+a)(x+b)=x2. Dit heet ontbinden in factoren (onderbouw stof als het goed is).

Hierbij moet dus gelden dat ab = -5/2 en a+b = 3/2.
Feitelijk heb je dus 2 vergelijkingen die opgelost moeten worden.
Dit kun je doen door a als functie van b of visa versa te schrijven.
Dus a= b*-5/2 (vergelijking 1),
b*-5/2 + b = 3/2 = b*-3/2, b = -1 (vergelijking 2)
Dus a = 5/2

Normaal gesproken kun je het ook vrij snel zelf inzien wat a en b moeten zijn, zonder a als b te schrijven etc. Wat in dit geval ook geldt:
16(x -1)(x + 5/2) = 0
Dus x = 1 of x = -5/2
Als je dit een beetje beheerst werkt dit vaak nog sneller dan de abc-formule en daarnaast weet je ook nog waar je mee bezig bent. Mits x uiteraard een ‘mooie’ breuk of zelfs een geheel getal is. Wat eigenlijk altijd zal gelden bij een fatsoenlijke toets. Als dat niet het geval is, is de abc-formule aan te raden (niet dat het dan niet zonder kan).

Maar bij vraag 18 komt er geen reëel antwoord uit.
x² + 4x +6 = 0.
Met kwadraat afsplitsen kun je zien dat:
(x+2)² + 2 = 0
Hier kan uiteraard nooit 0 uitkomen als je een reëel getal voor x invult. Immers is een negatief getal in het kwadraat een positief getal.
Ook kun je dit bepalen door de discriminant van de abc-formule uit te rekenen (a=1, b=4 en c=6).
De discriminant is (dus vraag 19)
4² -4*1*6 = -8. Deze is negatief en dus is x een complex getal.

Dus is de abc-formule* hier handig te gebruiken:

x1,2 = (-4 + wortel(-8)) / (2*1)

Je krijgt dus een negatieve wortel. Nu heb je waarschijnlijk geleerd dat “dat niet kan”. Want voor zover ik weet zijn complexe getallen geen onderdeel van de havo Wiskunde A stof.
 
“Hiervoor” zijn de complexe getallen** geïntroduceerd. Waarbij geldt:
i² = -1
Oftewel i = wortel(-1).
Wortel(-8) kun je dus schrijven als wortel(8)*i.

Verder kun je wortel(8) schrijven als wortel(4*2) er staat immers nog hetzelfde.
Het voordeel hiervan is dat je weet dat de wortel van 4 gelijk is aan 2.
Dus wortel(4*2) = 2*wortel(2). Overigens denk ik niet dat je dit soort vereenvoudigingen voor de toets moet doen, want wortel(8) zou ook gewoon mogen blijven staan. Maar het zou leuk/goed zijn als je het idee er achter snapt . Zeker omdat in dit geval de 2 voor aan de wortel weer wegvalt, waardoor je dus daadwerkelijk een versimpeling krijgt.
Mocht je dit soort vereenvoudigingen moeten doen, dan zal er boven de toets wel iets staan van "vereenvoudig het antwoord zo veel mogelijk".

Dus we hebben
x1 = (-4 + 2*wortel(2)*i) / 2 = -2 + wortel(2)*i
x2 = -2 - wortel(2)*i

*http://nl.wikipedia.org/wiki/Wortelformule Aangezien de afleiding van de abc-formule heel simpel is, doe je er goed aan om die even te bekijken, zodat je (ongeveer) weet waar de formule vandaan komt.

**http://nl.wikipedia.org/wiki/Complex_getal

(Een lang verhaal, dus dikke kans dat er ergens een foutje in staat.)
Als je er vragen over hebt stel ze gerust, dan zal ik (of iemand anders) ze morgen beantwoorden.

[ Bericht 1% gewijzigd door Thormodo op 01-06-2013 12:47:53 ]

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 19:22 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Heel triest ingericht. Alle vergelijkingen worden ook eens met de GR opgelost d.m.v. de functie intersect.

Daar kiest de leerling zelf voor! Je kan er ook voor kiezen om wel te begrijpen wat je doet. Waarom zou je dat doen?

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Omdat je het (mogelijk) nodig gaat hebben.
Nu vind ik het een slechte zaak dat de methode, het CITO en de school ervoor kiezen om dat klote-apparaat niet alleen toe te staan maar ook nog eens te verplichten en ik vind dat dat hen verweten mag en moet worden maar de leerling is daarom niet minder verantwoordelijk.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 19:38 schreef Kansenjongere het volgende:

[..]

Hoe kom je erbij dat het uit het hoofd moet?
Zonder rekenmachine is niet hetzelfde als zonder pen en papier.

Realistisch rekenen?
Met het traditionele rekenonderwijs kom je er snel achter dat je met pen en papier behoorlijk wat sommen kan oplossen die je niet uit je hoofd kan oplossen tenzij je een fenomenaal visueel geheugen hebt.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 19:56 schreef Kansenjongere het volgende:

[..]

Rekenen met wortels is toch niet zo moeilijk? Net zolang vereenvoudigen tot je een geheel getal over hebt of een wortel die je kunt laten staan.

Tja, de tafels leren is zogenaamd ouderwets, totdat je ze nodig hebt.

[ Bericht 15% gewijzigd door Bram_van_Loon op 01-06-2013 00:13:59 ]

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 23:53 schreef Thormodo het volgende:

(Een lang verhaal, dus dikke kans dat er ergens een foutje in staat.)
Als je er vragen over hebt stel ze gerust, dan zal ik (of iemand anders) ze morgen beantwoorden.

Je kunt beter niet naar die video verwijzen, de man doet het namelijk fout. Bovendien maakt hij het onnodig moeilijk door die variabele z te introduceren. Dat is nergens voor nodig als je x² + 4x direct herschrijft als (x + 2)² - 4.

[ Bericht 86% gewijzigd door Bram_van_Loon op 01-06-2013 00:14:16 ]

Dit is gewoon veel oefenen

Dit lijkt nogal sterk op de toelatingstoets die ik voor Docent Wiskunde had gedaan(later overgestapt naar Bedrijfwiskunde).
Kwam toen met een basale wiskunde kennis van het MLO af en heb het gehaald toen.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 22:13 schreef JoPiDo het volgende:

[..]

wat een geweldige uitleg, maar niet heus

gewoon abc-formule uit je hoofd leren; geen geëtter en je antwoord is altijd goed

Zijn uitleg is prima, elke leerling behoort het op die manier te kunnen en elke leraar zou zo de wortelformule (m.i. een betere naam dan het kinderlijke abc-formule) dat moeten aanleren en het moeten toetsen, dan leren de meeste leerlingen het vanzelf vroeg of laat.
Dat je met de wortelformule eerder de juiste uitkomst krijgt ben ik niet met je eens. Het probleem is dat je niet begrijpt wat je doet als je niet weet waar die formule vandaan komt.
Ik betwijfel wel of dat deze uitleg aan hem is besteed. Het is absoluut niet lullig bedoeld, iemand die moeite heeft waarmee hij moeite heeft kan deze uitleg m.i. onmogelijk volgen. Ik herhaal mijn advies aan hem om dat boek door te werken in plaats van te proberen het via een sluiproute te doen.

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 23:19 schreef JoPiDo het volgende:

[..]

Helemaal geweldig, maar het gaat er om dat hij die toets haalt. Altijd dat gezeik dat mensen de diepere gedachte zouden moeten snappen; als hij kan berekenen wat hij wil berekenen, dan is dat meer dan voldoende. Alsof iedereen die met statistiek bezig is exact snapt waar de normale verdeling vandaan komt. Of wat de achterliggende wiskunde van afgeleide zijn. Maar die dingen toepassen lukt de meeste wel.

Dat toetsje wordt toch niet voor niets afgenomen? Dat doen ze niet om hem te pesten, dat doen ze zelfs ondanks dat ze maar wat graag hebben dat zo veel mogelijk kandidaten slagen aangezien dat geld oplevert voor die school. Hij heeft die vaardigheden nodig voor zijn opleiding dus kan hij beter maar ervoor zorgen dat hij het beheerst in plaats van dat hij enkel voor dat toetsje slaagt. Daarom mijn advies om niet te kiezen voor de sluiproute maar gewoon eens een keer te leren hoe het moet.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 00:18 schreef PAAC het volgende:
Dit is gewoon veel oefenen

Als het goed is dan is dat niet nodig wanneer je van het HAVO komt (VMBO-MBO is een ander verhaal). Maar inderdaad, het is gewoon een kwestie van oefenen. En het grafisch rekenmachientje verkopen. Dan heb je ook nog eens minstens 100 Euro extra te besteden.

[ Bericht 25% gewijzigd door Bram_van_Loon op 01-06-2013 00:29:12 ]

What the fuck is dit!?? Als je met dit niveau wiskunde al mag beginnen aan een HBO-opleiding, dan is het wel heel triest gesteld met het onderwijs in Nederland.

Ik heb een aantal jaren terug de assessment-toets wiskunde voor de Universiteit Twente gezien en vergeleken daarmee is dit kleuterschool. Let wel, die toets was normaal VWO-niveau. Je zou toch verwachten dat je met HAVO niet HEEL veel minder hoeft te kunnen

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 23:53 schreef Riparius het volgende:

[..]

Daar is niets moeilijks aan. Maar je moet wel eerst vierkantsvergelijkingen (met rationale oplossingen) leren oplossen via ontbinden in factoren en dan vierkantsvergelijkingen leren oplossen via kwadraatafsplitsing.

Dat leer je toch al lang niet meer op het VWO? Laat staan op het HAVO.

quote:

Daarmee krijg je inzicht, sommige vierkantsvergelijkingen zijn zo eenvoudiger op te lossen, of het is heel eenvoudig te zien dat een vierkantsvergelijking geen reële oplossingen heeft, en je leert dan ook de abc-formule af te leiden. Bovendien heb je de techniek van kwadraatafsplitsen nodig als je zonder gebruik van differentiaalrekening snel de top van een parabool (grafiek van een kwadratische functie) wil kunnen bepalen.

Goede motivatie. Helaas blijken leerlingen er moeite mee te hebben, om wat voor reden dan ook (methode?) en hebben ze het dus maar geschrapt. Weet je hoe ik die term kwadraatsplitsen heb leren kennen? Door zelf op te zoeken hoe je de wortelformule afleidt. Wat later kwam ik er achter dat in veel (pré)calculusboeken (in geval van calculus een herhaling in het inleidende hoofdstuk) een methode genaamd "completing the square" wordt gebruikt en dat dit gewoon het gebruiken van kwadraatsplitsen is om een tweedegraadsvergelijking op te lossen wat wij op het VWO niet leerden.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 00:21 schreef Bram_van_Loon het volgende:
Dat doen ze niet om hem te pesten, dat doen ze zelfs ondanks dat ze maar wat graag hebben dat zo veel mogelijk kandidaten slagen aangezien dat geld oplevert voor die school.

In principe besparen ze door middel van die toelatingstoets juist geld. Immers, elke student kost geld, maar alleen een afgestudeerde student levert geld op. Selectie aan de poort voorkomt dus kosten aan studenten die de eindstreep nooit zullen halen.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 00:39 schreef Kansenjongere het volgende:

[..]

In principe besparen ze door middel van die toelatingstoets juist geld. Immers, elke student kost geld, maar alleen een afgestudeerde student levert geld op. Selectie aan de poort voorkomt dus kosten aan studenten die de eindstreep nooit zullen halen.

Dat klopt tot op zekere hoogte. Mijn punt was dat de school het liefst heeft dat zo veel mogelijk kandidaten slagen voor dat toetsje omdat de schol dan meer leerlingen krijgt en meer leerlingen zouden slagen voor de opleiding.
De outputfinanciering bedraagt nu 20%. Het slechte nieuws is dat nu het aantal studenten en het aantal eerstejaarsstudenten een groter gewicht heeft gekregen in het nieuwe financieringsstelsel. Jammer. De ene perverse prikkel vervangen door de andere in plaats van gewoon eens te stoppen met die zogenaamde prestatiebeloning. Niet voor niets doen universiteiten er alles aan om meer studenten te krijgen en werken ze zelfs samen (eenzijdige samenwerking = samenwerking?) met scholen om het leerlingen gemakkelijker te maken om die overstap te maken.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 00:36 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Dat leer je toch al lang niet meer op het VWO? Laat staan op het HAVO.

[..]

Nee, maar dit laat onverlet dat ik vind dat het wel moet. In de meeste andere landen staat kwadraatafsplitsen gewoon op het programma. In het Engels heet het completing the square en aangezien square ook vierkant betekent herinnert dat meteen aan de meetkundige oplossingsmethode van de oude Grieken. Kun je als docent dus een mooi verhaal over houden met een plaatje waardoor de algebraïsche manipulaties meteen aanschouwelijk worden en ook beter zullen blijven hangen.

Ontbinden in factoren van kwadratische vergelijkingen wordt trouwens ook niet meer goed onderwezen, alleen nog in een verwaterde vorm die alleen bruikbaar is als a = 1. Je kunt de vergelijking die ik hierboven met de methode van Sridhara oplos ook heel gemakkelijk door ontbinden in factoren oplossen:

2x² + 3x - 5 = 0
2x² - 2x + 5x - 5 = 0
2x(x - 1) + 5(x - 1) = 0
(x - 1)(2x + 5) = 0
x = 1 ∨ x = -5/2

Als je precies wil begrijpen wat ik hier doe en waarom, dan moet je dit maar even doornemen.

quote:

Goede motivatie. Helaas blijken leerlingen er moeite mee te hebben, om wat voor reden dan ook (methode?) en hebben ze het dus maar geschrapt. Weet je hoe ik die term kwadraatsplitsen heb leren kennen? Door zelf op te zoeken hoe je de wortelformule afleidt. Wat later kwam ik er achter dat in veel (pré)calculusboeken (in geval van calculus een herhaling in het inleidende hoofdstuk) een methode genaamd "completing the square" wordt gebruikt en dat dit gewoon het gebruiken van kwadraatsplitsen is om een tweedegraadsvergelijking op te lossen wat wij op het VWO niet leerden.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 01-06-2013 01:48:39 ]

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 23:53 schreef Thormodo het volgende:
...
Het kan namelijk een stuk simpeler/sneller in mijn ogen. (Door de overvloedige uitleg lijkt het nog heel wat):

16x² + 24x - 40 = 0
Je kunt alles delen door 16 om zo een x² met coëfficiënt 1 over te houden.
16(x² + 3/2 x – 5/2) = 0

Hier vlieg je natuurlijk al compleet uit de bocht met je flutuitleg, want dat kan alleen toevallig bij deze som. Dan ben je twee uur aan het uitleggen hoe je dat uitdelen moet doen, maar dan komt er op de toets toevallig een som waarbij dat niet mogelijk is.

Ik heb de afgelopen jaren meer dan 100 studenten bijles gegeven voor de wiskunde toelatingstoets van het Erasmus, geen één van mijn leerlingen heeft de toets niet gehaald. Ook een keer een meisje dat van het HBO kwam en alleen havo wiskunde met een onvoldoende had afgesloten, binnen een week had ik haar klaargestoomd voor die toelatingstoets die ze met een ruime voldoende had gehaald.

Nee, dan weet ze niet overal exact waar ze mee bezig is, maar ze kan wel vergelijkingen oplossen, afleiden, het maximum van een functie bepalen, stelsels van vergelijkingen oplossen, enzovoort. Allemaal wiskunde die tijdens economie terug komt in de vorm 'we krijgen daardoor een stelsel vergelijkingen blabla'. En als er dan een punt komt waarop ze één van die dingen echt inhoudelijk moet begrijpen is het ook echt nog niet te laat.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 08:28 schreef JoPiDo het volgende:

[..]

Hier vlieg je natuurlijk al compleet uit de bocht met je flutuitleg, want dat kan alleen toevallig bij deze som. Dan ben je twee uur aan het uitleggen hoe je dat uitdelen moet doen, maar dan komt er op de toets toevallig een som waarbij dat niet mogelijk is.

Ik heb het toch ook over deze som? Overigens kan ontbinden in factoren altijd, maar zoals ik in mijn post ook stel gaat dat alleen makkelijk bij ‘netjes’ geformuleerde vragen.
Bij vraag 18 gaat het niet dus daar gaf ik dan ook uitleg over de wortelformule in het geval van complexe antwoorden.
Ik gaf deze “flutuitleg” dan ook als alternatief voor de kwadraat afsplitsmethode, niet als alternatief voor de wortelformule.

Jouw enige “nuttige” bijdrage aan dit topic is dat je de wortelformule bij die sommen kan gebruiken, maar dat had hij uiteraard zelf ook al bedacht.
Het is aan Sucuk wat hij met onze uitleg wil doen.

@Riparius Je hebt gelijk over dat filmpje. Derhalve verwijderd.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 10:07 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Ik heb het toch ook over deze som? Overigens kan ontbinden in factoren altijd, maar zoals ik in mijn post ook stel gaat dat alleen makkelijk bij ‘netjes’ geformuleerde vragen.
Bij vraag 18 gaat het niet dus daar gaf ik dan ook uitleg over de wortelformule in het geval van complexe antwoorden.
Ik gaf deze “flutuitleg” dan ook als alternatief voor de kwadraat afsplitsmethode, niet als alternatief voor de wortelformule.

Jouw enige “nuttige” bijdrage aan dit topic is dat je de wortelformule bij die sommen kan gebruiken, maar dat had hij uiteraard zelf ook al bedacht.
Het is aan Sucuk wat hij met onze uitleg wil doen.

@Riparius Je hebt gelijk over dat filmpje. Derhalve verwijderd.

TS moet een boek doorlezen of bijles nemen en oefenopgave maken, maar vooral niet luisteren naar figuren zoals jij die even komen vertellen hoeveel beter hun methode is en hoeveel inzicht je daar wel niet van krijgt.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 11:55 schreef JoPiDo het volgende:

[..]

TS moet een boek doorlezen of bijles nemen en oefenopgave maken, maar vooral niet luisteren naar figuren zoals jij die even komen vertellen hoeveel beter hun methode is en hoeveel inzicht je daar wel niet van krijgt.

Begrijpend lezen is wel lastig voor je of niet?
Ik zeg nergens dat hij de wortelformule niet kan/mag gebruiken. Ik gaf alleen een repliek op Riparius met een alternatief voor zijn uitwerking. Ik gaf bovendien ook een uitleg over de wortelformule...

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 12:01 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Begrijpend lezen is wel lastig voor je of niet?
Ik zeg nergens dat hij de wortelformule niet kan/mag gebruiken. Ik gaf alleen een repliek op Riparius met een alternatief voor zijn uitwerking. Ik gaf bovendien ook een uitleg over de wortelformule...

"nuttig" van je

quote:

Op vrijdag 31 mei 2013 23:53 schreef Thormodo het volgende:

Hierbij moet dus gelden dat ab = -5/2 en a+b = 3/2.
Feitelijk heb je dus 2 vergelijkingen die opgelost moeten worden.
Dit kun je doen door a als functie van b of visa versa te schrijven.
Dus a= b*-5/2 (vergelijking 1),
b*-5/2 + b = 3/2 = b*-3/2, b = -1 (vergelijking 2)
Dus a = 5/2

Ik begrijp niet wat je hier doet, en het klopt ook niet. Als je hebt a·b = -5/2, dan is a = -(5/2)·b^-1 en niet a = -(5/2)·b. Dan krijg je dus -(5/2)·b^-1 + b = 3/2 oftewel -5 + 2b² = 3b oftewel 2b² - 3b - 5 = 0 en dan moet je nog steeds een vierkantsvergelijking oplossen waarvan de wortels niet beide geheel zijn en op een factor -1 na gelijk zijn aan de wortels van je oorspronkelijke vergelijking, zodat je niets bent opgeschoten. Zo kom je dus van de regen in de drup, dit is niet de manier om een kwadratisch polynoom met rationale nulpunten waarvan de nulpunten niet (beide) geheel zijn in factoren te ontbinden.

De juiste manier om

2x² + 3x - 5

in factoren te ontbinden is op zoek te gaan naar twee gehele getallen waarvan het product 2·-5 = -10 is en de som 3. En die getallen zijn -2 en 5. De volgende stap is dan dat je 3x herschrijft als -2x + 5x, waarna ontbinden in factoren eenvoudig is, zoals ik hierboven laat zien.

Klopte inderdaad geen bal van. Bewijs dat ik 's avonds laat dat soort dingen niet meer moet gaan proberen uit te leggen -,-. Excuses.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 12:06 schreef JoPiDo het volgende:

[..]

"nuttig" van je

Uitleg over een negatieve discriminant m.b.t. de wortelformule lijkt me inderdaad nuttiger dan wat jij hier post.

[ Bericht 8% gewijzigd door Thormodo op 01-06-2013 13:09:16 ]

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 00:53 schreef Riparius het volgende:
Als je precies wil begrijpen wat ik hier doe en waarom, dan moet je dit maar even doornemen.

Gedaan. Ik denk dat ik het leuker had gevonden om de vergelijkingen op die manier op te lossen, er komt net iets meer inzicht bij kijken. Heb je advies hoe je het handigste een derdegraadsvergelijking kan oplossen met d niet gelijk aan 0 als je het formuleert als ax³ + bx² + cx + d?
Ik moet ze regelmatig oplossen en ik moet me nu behelpen met het op goed geluk proberen door een product te vinden van drie getallen wat d geeft en dan de plusjes en de minnetjes juist te krijgen. Dat is nogal omslachtig, ik hoop dat het op een handigere manier kan. Natuurlijk kan je in bepaalde gevallen een merkwaardig product gebruiken (bijvoorbeeld (ax + b)³) maar werkt dat altijd handig?
Ik heb er natuurlijk geen oefening mee gehad op het VWO, derdegraadsvergelijkingen werden gemeden tenzij d gelijk was aan 0.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 12:58 schreef Thormodo het volgende:
Uitleg over een negatieve discriminant m.b.t. de wortelformule lijkt me inderdaad nuttiger dan wat jij hier post.

Je moet ze nog gebruiken ook voor sommige vakgebieden. De ontwikkeling van veel techniek zou moeilijker gaan zonder complexe getallen te gebruiken. Wiskundeleraren die stellen dat een wortel van een negatief getal niet genomen kan worden mogen van mij op staande voet worden ontslagen, bij wijze van spreken. Beter niets zeggen dan valse informatie geven. Aan VWO-leerlingen moet je gewoon uitleggen wat complexe getallen zijn en hoe je ermee rekent, zo moeilijk is dat niet. Als ze dat eenmaal onder de knie hebben dan kan je hen ook gemakkelijk uitleggen waarom complexe getallen belangrijk zijn.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 08:28 schreef JoPiDo het volgende:
Ik heb de afgelopen jaren meer dan 100 studenten bijles gegeven voor de wiskunde toelatingstoets van het Erasmus, geen één van mijn leerlingen heeft de toets niet gehaald. Ook een keer een meisje dat van het HBO kwam en alleen havo wiskunde met een onvoldoende had afgesloten, binnen een week had ik haar klaargestoomd voor die toelatingstoets die ze met een ruime voldoende had gehaald.

Dat is niet zo moeilijk maar hoe ging het vervolgens met de opleiding?

[ Bericht 21% gewijzigd door Bram_van_Loon op 01-06-2013 17:42:09 ]

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 17:32 schreef Bram_van_Loon het volgende:

Dat is niet zo moeilijk maar hoe ging het vervolgens met de opleiding?

ok

Fijn dat jij jouw gebrek aan inhoud op deze manier illustratief onderstreept.
Aangezien jij weigert om te antwoorden zal ik maar even speculeren: jij weet niet hoe het verder ging.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 17:32 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Je moet ze nog gebruiken ook voor sommige vakgebieden. Wiskundeleraren die stellen dat een wortel van een negatief getal niet genomen kan worden mogen van mij op staande voet worden ontslagen, bij wijze van spreken. Beter niets zeggen dan valse informatie geven.

Bij o.a. Elektrotechniek zijn ze inderdaad erg handig .
Mijn wiskundeleraar (vwo wiskunde B1,2) heeft destijds op eigen initiatief als extra stof gewoon complexe getallen uitgelegd. Sowieso mag ik volgens mij nog steeds blij zijn dat ik een goede leraar had met plezier in zijn vak.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 17:28 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]
Heb je advies hoe je het handigste een derdegraadsvergelijking kan oplossen met d niet gelijk aan 0 als je het formuleert als ax³ + bx² + cx + d?

Als je één van de nulpunten weet te raden kun je er, d.m.v. staartdelen, een graad uitdelen. Mocht je willen weten hoe dat precies werkt, dan kan ik het wel weer even opzoeken.
Het blijft dan uiteraard wel een deel raden. Hoewel je uiteraard gestructureerd een aantal oplossingen kunt proberen. Ik dacht dat mij destijds verteld is dat normaal gesproken niet aan "raden" ontkomt bij 3e-graads vergelijkingen (maar dat kan ik uiteraard fout hebben).

@Sucuk. Hoe staat het er mee?

[ Bericht 1% gewijzigd door Thormodo op 01-06-2013 18:39:08 ]

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 18:01 schreef Bram_van_Loon het volgende:
Fijn dat jij jouw gebrek aan inhoud op deze manier illustratief onderstreept.
Aangezien jij weigert om te antwoorden zal ik maar even speculeren: jij weet niet hoe het verder ging.

TS vraagt 'is het mogelijk deze toets te halen?', vervolgens gaan er een paar mensen helemaal los met de meest omslachtige oplosmethodes mogelijk onder het motto 'zo leer je het het beste'. Daar ging ik op in, omdat ik uit ervaring weet dat het geen zin heeft om met die methodes aan te komen dragen aan mensen zonder noemenswaardige wiskunde-ervaring die zo'n toets moeten leren.

En daaruit concludeer jij dat ik geen bijles kan geven. En dan verwacht je dat ik daar serieus op in ga.

Rot gewoon lekker een pleuriseind op

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 18:21 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Bij o.a. Elektrotechniek zijn ze inderdaad erg handig .

Onmisbaar aangezien het veel te complex zou zijn zonder de complexe getallen te gebruiken.

quote:

Mijn wiskundeleraar (vwo wiskunde B1,2) heeft destijds op eigen initiatief als extra stof gewoon complexe getallen uitgelegd. Sowieso mag ik volgens mij nog steeds blij zijn dat ik een goede leraar had met plezier in zijn vak.

Fijn dat hij dat deed! Het is een teken dat hij zijn vak serieus nam. Hij kreeg er immers niet voor betaald om deze service te bieden, zo'n leraar doet dat omdat hij weet dat veel leerlingen dit later kunnen gebruiken en misschien ook wel omdat hij vindt dat dit basiskennis is.
Het werken met vectoren in drie dimensies (jij weet vast wel wat ik bedoel) en in het verlengde hiervan meetkunde in drie dimensies zou ook standaard behandeld moeten worden bij wiskunde B. Persoonlijk zou ik ook graag zien dat de andere coördinatenstelsels worden behandeld (cylindrisch, bol) aangezien het fijn is om op het moment dat je er alle tijd voor hebt hier routine mee op te bouwen alvorens je met bijv. mechanica of electrostatica/electrodynamica hiermee moet werken, of eender welk ander vak waarbij krachten in drie dimensies voorkomen.

quote:

Als je één van de nulpunten weet te raden kun je er, d.m.v. staartdelen, een graad uitdelen. Mocht je willen weten hoe dat precies werkt, dan kan ik het wel weer even opzoeken.

De staartdeling heb ik mezelf geleerd, in eerste instantie omdat ik het nodig had voor het delen van een polynoom door een (x-a). Je kan wel een nulpunt raden, maar dan moet je altijd nog twee opties uitproberen, + en -. Dat lijkt me niet minder bewerkelijk dan hoe ik het nu noodgedwongen doe. Ik ben benieuwd of dat Riparius wat handige trucjes kent. De rekenkunde is een verloren kunst dus misschien dat er wat trucjes zijn die vandaag de dag nauwelijks nog in lesboeken te vinden zijn?
Op zich vind ik het wel leuk om wat te puzzelen maar op het moment dat je in tijdsnood zit is het niet fijn.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 18:22 schreef JoPiDo het volgende:
Daar ging ik op in, omdat ik uit ervaring weet dat het geen zin heeft om met die methodes aan te komen dragen aan mensen zonder noemenswaardige wiskunde-ervaring die zo'n toets moeten leren.

Ik heb zelf hierboven aangegeven, wat ik bedacht voordat ik een reactie van jou had gelezen, dat de uitleg van Riparius waarschijnlijk te hoog gegrepen is voor TS gezien zijn huidige wiskundeniveau. Ik ben het dan ook in grote lijnen eens met deze stelling. Vandaar dat ik hem meerdere keren heb aangeraden om gewoon met zo'n boek als wat eerder werd genoemd aan de slag te gaan.

quote:

En daaruit concludeer jij dat ik geen bijles kan geven.

Waar heb ik dat gesteld? Ik heb slechts gesteld dat het loodsen van mensen doorheen een simpel toelatingstoetsje weinig zegt en ik heb gesteld dat het aanleren van wat trucjes kinderspel is in vergelijking met het leggen van een goed fundament. Ik heb dit gesteld omdat ik van mening ben dat het toetsje door veel kandidaat-leerlingen als een sta in de weg wordt gezien in plaats van wat het is: een test om vast te stellen of dat je aan de minimale voorwaarden voldoet om een kans van slagen te hebben. Ik vind dan ook dat het slagen voor dat toetsje niet het doel moet zijn maar het goed voorbereiden op die opleiding het doel moet zijn. Indien dat gebeurt dan slaag je ook wel voor dat toetsje. Jouw methode helpt iemand om voor dat toetsje te slagen. Helpt het het ook om hem goed voor te bereiden op de opleiding? Misschien in het geval van accountancy wel, in andere gevallen (bijv. elektrotechniek) niet. Ik oordeel niet over het feit dat jij levert waar de klant om vraagt.

[ Bericht 29% gewijzigd door Bram_van_Loon op 01-06-2013 19:02:39 ]

Doe's niet, allemaal.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 18:50 schreef Bram_van_Loon het volgende:
De staartdeling heb ik mezelf geleerd, in eerste instantie omdat ik het nodig had voor het delen van een polynoom door een (x-a).

Ik doelde meer op het deel behalve het staartdelen, maar uiteraard is dat praktisch alles . Staartdelen had ik overigens ook gewoon op het vwo gehad .

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 19:16 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Bij de formule van de abc formule zit er wel een wortel in de formule, hoe los je die dan op?

Wat bedoel je precies met het "oplossen" van een wortel? Een wortel mag je uiteraard gewoon laten staan als er geen mooi getal uit komt (als je hem niet verder kan vereenvoudigen). De wortel van 9 laat je natuurlijk niet staan, maar daar maak je 3 van. Terwijl je de wortel van 7 gewoon kan laten staan. En had je het tweede deel van mijn uitleg al gezien: SES / Wiskunde voor intaketoests 'even' bijspijkeren? (daar heb ik het ook over de wortel).

Om er achter te komen wat de wortel van een getal is, kun je jezelf de volgende vraag stellen:
Welk getal kan ik in het kwadraat nemen om het getal in de wortel te krijgen? Immers is worteltrekken het tegengestelde van kwadrateren. Daarvoor moet je uiteraard wel weten wat bijvoorbeeld 7x7 is :p.

Wat voor pagina 1 en 2 bedoel je precies? Of bedoel je van dit topic, want ik heb meer posts per pagina, dus pagina 1 en 2 zijn voor mij alle posts.

En het topic is nogal uit de hand gelopen ja. Natuurlijk hoef je die uitleg van RIparius etc. niet meteen te snappen.

Maar als je dit boekje weet te snappen, kun je die toets ook maken:
http://staff.science.uva.nl/~craats/BasisboekWiskunde2HP.pdf
Daarnaast had Bram nog een mooie pagina met rekenregels geplaatst:
http://www.wisfaq.nl/showfaq3.asp?Id=3107

[ Bericht 3% gewijzigd door Thormodo op 01-06-2013 19:59:28 ]

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 19:23 schreef Sucuk het volgende:
En de oplossingen die jullie gaven begrijp ik niet im sorry.

Overigens zoals bovenstaande post. In de abc formule zit een wortel, hoe los je die zonder rekenmachine op?!?

Het is jou al uitgelegd hoe je een wortel berekent, ik heb hiervoor een link gegeven, iemand anders heeft jou er op gewezen dat je gewoon de tafels moet kennen.
2*2 =
3*3 =
Leer die t/m15 en het zit wel snor.

Natuurlijk begrijp je die oplossingen niet, dat is omdat je de benodigde theorie niet kent. Snel aan de slag dus met een goed lesboek, bijv. dat lesboek waarvoor Motorbloempje een link gaf.
Ofwel dat ofwel in de buidel tasten voor bijles.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 19:28 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Ik doelde meer op het deel behalve het staartdelen, maar uiteraard is dat praktisch alles . Staartdelen had ik overigens ook gewoon op het vwo gehad .

Jij had duidelijk een ijverige wiskundeleraar.
Hoe raad jij die nulpunten?

Volgens mij was dat gewoon een combinatie van "slim" proberen i.c.m. weten dat de leraar gehele getallen (of eventueel met halve erbij) gebruikte (het is al weer een tijd geleden). Of zelfs op één of andere manier al een nulpunt van te voren 'krijgen'. En op de vraag wat je kon doen als dit niet het geval was, was het antwoord dacht ik dat het dan niet meer (makkelijk) gaat. Niet bepaald heel robust dus .
Misschien weet Riparius hier nog wat leuks voor.

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 19:23 schreef Sucuk het volgende:
Polynoom, reeële getallen etc.. ik begrijp er niks meer van. Pagina 1 en 2 was nog te volgen, maar het is helemaal uitgebarst tot een wiskundig discussie.

En de oplossingen die jullie gaven begrijp ik niet im sorry.

Overigens zoals bovenstaande post. In de abc formule zit een wortel, hoe los je die zonder rekenmachine op?!?

In de sommen uit jouw voorbeeld zijn het allemaal eenvoudige wortels die je wordt geacht uit je hoofd te kunnen uitrekenen.
Verder kun je wortels vereenvoudigen, door ze op te delen in kleinere getallen. Stel dat jij de wortel van 144 moet bepalen en niet uit je hoofd weet dat die 12 is dan kun je 144 bijvoorbeeld eerst door 4 (het kwadraat van 2) delen.
144 / 4 = 36, dus wortel(144) = wortel(4) * wortel(36)
36 kun je weer opsplitsen in 4 * 9, dus dan krijg je:
wortel(144) = wortel(4) * wortel(4) * wortel(9) = 2*2*3 = 12

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 20:46 schreef Sucuk het volgende:
Oke bedankt.

Er rest mij nog 1 vraag.

Hoe bereken je een kantlengte (in cm) van een kubus met een inhoud van 216 cm3 ?

Lengte x breedte x hoogte = 216 cm3

Hoe bereken je dan de lengte zonder de breedte en hoogte te weten?

Een kubus
Wat geldt er bij een kubus? (Is geen strikvraag)

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 20:56 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Alle lijnen zijn gelijk aan elkaar.

Klopt, dus je kunt
Lengte x breedte x hoogte = 216
Net zo goed schrijven als?

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 20:58 schreef Sucuk het volgende:

[..]

6 x 6 x 6 dus 216

Dat is inderdaad het antwoord. Nu nog even de uitleg, mocht je een moeilijker geval tegenkomen

Lengte x breedte x hoogte = 216
Overigens is het normaal gesproken ook belangrijk om de eenheden (in dit geval centimeters) in de gaten te houden :p.
Lengte=breedte=hoogte (eigenschap kubus, zoals je zelf al stelde)
Lengte x lengte x lengte = 216 (of breedte of hoogte of y, maakt uiteraard niet uit)
Dus Lengte³ = 216
Dan heb je i.p.v. de normale wortel ook de derdemachtswortel (in het Engels dan ook de cube root genoemd)
Dus je antwoord is de derdemachtswortel van 216. In dit geval een mooie 6.
Hierbij geldt het zelfde als bij de normale wortel. De derdemachtswortel van 216 is 6, want 6³=216 (Net zoals de wortel van 9 3 is, omdat 3²=9.)
Hierbij geldt weer, was het antwoord bijvoorbeeld de derdemachtswortel van 137, dan kan je dat gewoon laten staan.

http://nl.wikipedia.org/wiki/Derdemachtswortel

Je andere vragen zal ik zo even naar kijken.

Voor vragen m.b.t. het vinden van bijvoorbeeld nulpunten (bijv. vraag 17) kun je het antwoord bekijken op: http://www.wolframalpha.com/ mocht je dat nog niet zelf hebben gevonden. Uiteraard pas doen nadat je denkt zelf het goede antwoord te hebben gevonden.

[ Bericht 2% gewijzigd door Thormodo op 01-06-2013 21:15:52 ]

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:01 schreef Sucuk het volgende:
[ afbeelding ]

Vraag 11 had ik: 33,3 %

vraag 13 had ik : 462 / 6773

maar ik weet niet zeker of het klopt? Er is ook geen antwoordenboekje helaas...

Bij vraag 13 kwam ik overigens tot -462 / -6773 uit, maar ik heb de min tekens weggestreept aangezien - en - samen + wordt.

Vraag 11: In hoeveel jaar wordt de lening afgelost? Het hoeveelste deel daarvan = 5 jaar?
Vraag 13: dat lijkt niet echt zo ver mogelijk vereenvoudigd of wel?
Hint voor vraag 13: -28/77 x 33/35 x 5/-14 = 28/14 x 33/77 x 5/35

quote:

Op zaterdag 1 juni 2013 21:17 schreef Sucuk het volgende:

[..]

Bij vraag 11 ging ik ervan uit dat de schuld 310.000 was deed ik die 310.000 / 20, zodat ik wist hoeveel er per jaar werd afgelost. Dat bedrag trok ik af van die 310.000 en kwam ik uit op 232.500.

Toen deed ik 310.000 - 232.500 / 232.500 x 100% = 33,3 %

vraag 13: zover ik weet wel?

@ Vraag 13. Je antwoord is wel het meeste vereenvoudigd, maar het klopt niet .

Wat je bij vraag 13 kunt doen is alles als één breuk schrijven (of niet natuurlijk):
-28 x 33 x 5
---------------
77 x 35 x -14
En dan zie je hopelijk vrij snel dat je als je bepaalde getallen door hetzelfde getal kunt delen. Bijvoorbeeld 33 en 77 door 11.

Dan houdt je over:
-28 x 3 x 5
---------------
7 x 35 x -14
Und so weiter.

Vraag 11 komt er aan.