vraagje m.b.t. stelsel lineaire vergelijkingen

Volgens mij heb ik dit ooit gehad op de middelbare school toen begreep ik er al niks van

Deel de tweede door y, dan krijg je zoiets als: x=...

Dan kan je de x in de bovenste vergelijking vervangen door iets met alleen y en dan ga je oplossen.

quote:

Op dinsdag 13 november 2012 19:47 schreef AlexanderC het volgende:
Er is één stelsel dat mij niet lukt om op te lossen:

2x+2y= 23,5
x*y= 31,875

hoe is het antwoord:

x = 15/2 of x = 17/4
y = 17/4 of y = 15/2

Ik zit er ook mee dat x en y beide twee oplossingen hebben, ik weet niet hoe dat moet.

Kan iemand mij dat uitleggen/ voordoen? Ik heb het antwoord wel, maar ik wil weten hoe je daarop komt.

Je fout is dat je denkt dat je een lineair stelsel hebt, maar dat is niet zo, kijk maar.

Verder moet je geen decimale breuken gebruiken in je vergelijkingen, dat is nergens voor nodig.

Je hebt:

(1) 2x + 2y = 47/2
(2) xy = 255/8

Uit de eerste vergelijking krijg je:

(3) x + y = 47/4

dus:

(4) y = 47/4 - x

Substitueer (4) in (2) en los de resulterende vierkantsvergelijking op.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 13-11-2012 22:24:36 ]

quote:

Op dinsdag 13 november 2012 19:57 schreef Abraracadabra het volgende:
Deel de tweede door y, dan krijg je zoiets als: x=...

Dan kan je de x in de bovenste vergelijking vervangen door iets met alleen y en dan ga je oplossen.

je kunt het doen door te vervangen inderdaad:

2x+2y= 23,5 --> 2x = 23,5 - 2y --> beide kanten delen door 2 --> x = 11,75 - y

nu weet je x, die kun je invullen in je tweede vergelijking:

x*y= 31,875 --> (11,75 - y) * y = 31,875 --> y oplossen en klaar

quote:

Op dinsdag 13 november 2012 21:09 schreef AlexanderC het volgende:

Hoe moet het verder dan? Daar kwam ik vast te zitten zeg maar.

Laat ik mijn verhaal maar even afmaken, dan zie je ook meteen waarom je niet met decimale breuken moet werken.

Ik had hierboven gevonden:

(4) y = 47/4 - x

Dit substitueer je in (2) hierboven, dat geeft dan:

(5) x(47/4 - x) = 255/8

Haakjes wegwerken:

(6) (47/4)x - x² = 255/8

Rechterlid op nul herleiden:

(7) x² - (47/4)x + 255/8 = 0

Beide leden vermenigvuldigen met 8 om de breuken kwijt te raken:

(8) 8x² - 94x + 255 = 0

Deze vierkantsvergelijking kun je oplossen door kwadraatafsplitsing of met de abc-formule, maar het is zinnig om eerst even te kijken of de vergelijking wellicht rationale wortels heeft. Daarvoor moeten we twee gehele getallen zoeken waarvan de som -94 is en het product 8∙255 = 2040. Die getallen zijn -60 en -34. Nu splits ik -94x op in -60x en -34x en krijgen we:

(9) 8x² - 60x - 34x + 255 = 0

Nu per twee termen een zo groot mogelijke factor buiten haakjes halen:

(10) 4x(2x - 15) - 17(2x - 15) = 0

Nu deze twee termen weer samennemen:

(11) (4x - 17)(2x - 15) = 0

Dit geeft:

(12) 4x - 17 = 0 ∨ 2x - 15 = 0

En dus:

(13) x = 17/4 ∨ x = 15/2

Nu moet je bedenken dat er bij elke waarde voor x maar één waarde van y hoort, die je vindt door elk van deze twee waarden van x te substitueren in (4) y = 47/4 - x. Dan krijg je y = 30/4 = 15/2 voor x = 17/4 en y = 17/4 voor x = 15/2. De oplossingen zijn dus:

(14) (x = 17/4 ∧ y = 15/2) ∨ (x = 15/2 ∧ y = 17/4)

That's it!

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 14-11-2012 02:19:46 ]

quote:

Op dinsdag 13 november 2012 19:47 schreef AlexanderC het volgende:
Er is één stelsel dat mij niet lukt op op te lossen:

2x+2y= 23,5
x*y= 31,875

Ik had een heel stuk met matrices getypt alleen de inverse matrix is oneindig dus die methode werkt helaas niet.

quote:

Op dinsdag 13 november 2012 22:33 schreef Platina het volgende:

[..]

Ik had een heel stuk met matrices getypt alleen de inverse matrix is oneindig dus die methode werkt helaas niet.

Het is dan ook geen lineaire vergelijking, want er zit een product van variabelen (x*y) in.
x² = 2 is vanzelfsprekend ook geen lineaire vergelijking.

quote:

Op woensdag 14 november 2012 15:13 schreef AlexanderC het volgende:

[..]

Ik heb nog wat vraagjes:

Hoezo is het product 8∙255 = 2040? Hoezo moet het product wel maal 8 en de som niet?

De meest algemene gedaante van een vierkantsvergelijking is

(1) ax² + bx + c = 0

waarbij a ongelijk is aan 0 omdat je anders geen kwadratische term meer zou hebben.

Als a, b en c gehele getallen zijn en je weet - of vermoedt - dat de vergelijking rationale oplossingen heeft, dan kun je proberen deze vergelijking op te lossen door te ontbinden in factoren. Om het linkerlid van bovenstaande vergelijking te ontbinden in (lineaire) factoren moet je dan op zoek gaan naar twee gehele getallen waarvan het product gelijk is aan ac en de som gelijk is aan b. En dat is wat ik hierboven doe: we hebben daar a = 8, b = -94, c = 255, dus ga ik op zoek naar twee gehele getallen met als product 8∙255 = 2040 en als som -94.

Maar goed, nu wil je natuurlijk weten waarom dit zo werkt. Dat is elementaire algebra, die je heel vroeger toen er nog onderwijs was gewoon op school leerde. Maar ik zal het hier nog maar eens uitleggen.

Wat we willen is vergelijking (1) omvormen tot een vergelijking van de gedaante:

(2) (px + q)(rx + s) = 0

waarin p,q,r,s gehele getallen zijn. Welnu, uitwerken van de haakjes in (2) levert:

(3) prx² + (ps + qr)x + qs = 0

Door nu de coëfficiënten van (3) te vergelijken met de coëfficiënten van (1) zien we dat we moeten hebben:

(4) pr = a, ps + qr = b, qs = c

We weten a,b,c en de kunst is nu om vier gehele getallen p,q,r,s te vinden die aan (4) voldoen. Dat lijkt een vrij hopeloze opgave, maar dat is niet zo omdat we kunnen bedenken dat we hebben:

(5) ac = pr∙qs = ps∙qr

Als je nu (4) en (5) bekijkt zie je dat we het vinden van p,q,r,s sterk kunnen vereenvoudigen door eerst twee getallen ps en qr te zoeken waarvan het product gelijk is aan ac en de som gelijk is aan b, en dat is over het algemeen niet zo moeilijk. Hebben we ps en qr, dan kunnen we in (1) bx alvast vervangen door (ps + qr)x = ps∙x + qr∙x zodat we krijgen:

(6) ax² + psx + qrx + c = 0

Hierna is het in de praktijk niet moeilijk meer om de ontbinding te voltooien. Immers, in (6) heeft het eerste tweetal termen ax² = prx² en psx een factor px gemeen en het tweede tweetal termen qrx en c = qs heeft een factor q gemeen. Dus is het niet moeilijk om (6) om te vormen tot:

(7) px(rx + s) + q(rx + s) = 0

En aangezien de beide termen in (7) een factor (rx + s) gemeen hebben, kun je dit weer eenvoudig omvormen tot (2), en dat was precies de bedoeling. Hiermee is dus verklaard waarom de methode werkt, en waarom je moet zoeken naar twee getallen waarvan het product ac is en de som b.

Nog even een eenvoudig voorbeeld. Stel je wil de volgende vierkantsvergelijking oplossen waarvan gegeven is dat deze rationale oplossingen heeft:

12x² - 11x + 2 = 0

We hebben hier a = 12, b = -11, c = 2. We zoeken nu twee gehele getallen waarvan het product gelijk is aan ac = 24 en de som gelijk is aan b = -11. Het is (hier) niet moeilijk te zien dat de gezochte getallen -8 en -3 zijn. We splitsen nu eerst -11x op in -8x en -3x, zodat we krijgen:

12x² - 8x - 3x + 2 = 0

Nu zie je dat de eerste twee termen 12x² en 8x een factor 4x gemeen hebben die we dus buiten haakjes kunnen halen. Het tweede tweetal -3x en 2 heeft hier geen factor gemeen die we buiten haakjes kunnen halen (behalve 1 of -1), dus die laten we even zo staan. Dan krijgen we:

4x(3x - 2) - 3x + 2 = 0

En aangezien -3x + 2 = -(3x - 2) kun je dit herschrijven als:

4x(3x - 2) - (3x - 2) = 0

En dus krijgen we:

(4x - 1)(3x - 2) = 0

Nu kan een product alleen gelijk zijn aan nul als (tenminste) één van de factoren nul is, dus betekent dit dat moet gelden:

4x - 1 = 0 ∨ 3x - 2 = 0

En dus:

x = 1/4 ∨ x = 2/3

Hiermee is de vergelijking opgelost.

quote:

En hoe kun je er makkelijk achterkomen dat de getallen -60 en -34 zijn? Is er daar een truukje voor?

Nou ja, truukje, ik zou het eerder inzicht willen noemen.

De twee getallen waarvan de som -94 moet zijn en het product 8∙255 = 2040 moeten in ieder geval symmetrisch liggen ten opzichte van hun gemiddelde -94/2 = -47, anders zou de som nooit -94 kunnen zijn. Verder is het product 2040 een tienvoud, dus heb je twee getallen die op resp. een 2 en een 5 eindigen óf anders in ieder geval één getal dat zelf een tienvoud is. Maar het is ook meteen duidelijk dat we geen twee getallen die eindigen op een 2 en een 5 moeten hebben, want dan zou de som eindigen op 7 en dus nooit -94 kunnen zijn. Dus moet één van de getallen een tienvoud zijn.

Welnu, het tienvoud dat het dichtst bij het gemiddelde -47 ligt is uiteraard -50. Maar 8 = 2³ en 255 = 3∙5∙17 zodat het product 2040 geen twee priemfactoren 5 bevat, dus -50 kan niet. Ook zou het andere getal dan -44 moeten zijn, vanwege de symmetrische ligging ten opzichte van -47, maar -50∙-44 = 2200, niet 2040.

Uiteraard kan -40 = -2³∙5 qua priemfactoren wel maar dan hou je -3∙17 = -51 over voor het andere getal en dan klopt de som ook niet, het andere getal zou dan -54 moeten zijn. Dan proberen we -60, het andere getal is dan -94 -(-60) = -34, en dat klopt, want -60∙-34 = 1800 + 240 = 2040. Bingo.

quote:

Op donderdag 15 november 2012 13:59 schreef AlexanderC het volgende:
De volgende twee stelsels lukken mij ook niet, dus al iemand zo aardig is om het stap voor stap voor te doen zodat ik het kan bestuderen?
[ code verwijderd ]

en
[ code verwijderd ]

Een beproefde manier om dergelijke stelsels lineaire vergelijkingen op te lossen bestaat uit het telkens elimineren van één variabele door optellen of aftrekken van twee vergelijkingen al dan niet na vermenigvuldiging van beide leden met een geschikte factor, de zogeheten Gauss-eliminatie.

Laten we je eerste stelsel eens oplossen. We nemen eerst de eerste twee vergelijkingen van je stelsel:


Stel dat ik de z wil elimineren. Ik zie dat de coëfficiënt van z in de eerste vergelijking 3 is en in de tweede vergelijking 1. Nu vermenigvuldig ik beide leden van de tweede vergelijking met 3 om de coëfficiënten van z gelijk te maken, waarna ik de leden van de vergelijkingen van elkaar af kan trekken om een vergelijking zonder z over te houden. Dit geeft:


Nu neem ik de tweede en de derde vergelijking van je stelsel en vermenigvuldig ik de leden van de tweede vergelijking met 2 zodat de coëficiënten van z weer gelijk worden en ik de leden van deze vergelijkingen weer van elkaar af kan trekken om nog een vergelijking te krijgen waarin z niet meer voorkomt. Dit geeft:


Nu zie je dat we twee vergelijkingen in x en y hebben gekregen. De coëfficiënten van x in deze vergelijkingen blijken tegengesteld te zijn, zodat ik de leden van deze vergelijkingen in x en y direct bij elkaar op kan tellen om een vergelijking te krijgen in uitsluitend y. Dit geeft:


Goed, nu kennen we de waarde van y, en dus kunnen we deze invullen in bijvoorbeeld de vergelijking 4x - y = -5 die we hierboven hebben gevonden. Dat geeft 4x - 1 = -5 en dus 4x = -4 en dus x = -1.

Nu moeten we alleen z nog bepalen, en die vinden we nu natuurlijk door zowel x = -1 als y = 1 in te vullen in één van de oorspronkelijke vergelijkingen. Laten we daarvoor de tweede nemen, dat is het eenvoudigst. Invullen van x = -1 en y = 1 in -x + y + z = 8 geeft 1 + 1 + z = 8 en dus z = 6.

Hiermee is het stelsel opgelost. Probeer nu zelf je tweede stelsel op te lossen.

Je begint met 8x -7y +2z = 0 en schrijft verderop 8x -7y +2z = 6.

Dan is inderdaad y = 30/16 = 15/8, zo zegt WolframAlpha.

quote:

Op maandag 19 november 2012 12:24 schreef AlexanderC het volgende:
Oke, de eerste stelsel met drie onbekenden is gelukt. De tweede is echter iets moeilijker.

[...]

Waar ga ik de mist in?

Je gaat de mist in doordat je veel te slordig en onoverzichtelijk werkt. Hierboven heb ik je laten zien hoe je een stelsel lineaire vergelijkingen oplost met de Gauss-eliminatie. Gebruik die dan ook, dat is veel overzichtelijker en geeft daarmee ook veel minder kans op fouten.

quote:

Op vrijdag 23 november 2012 11:02 schreef AlexanderC het volgende:
a+b+c= 25000
0,06a+0,07b+0,08c= 1620
b-c= 6000

en die? Dagenlang proberen op te lossen maar het lukt mij niet Andere stelsels lukken mij wel maar die niet.

Je blijft kennelijk eigenwijs, want met de methode die ik je heb laten zien is uiteraard ook dit stelsel prima op te lossen.

Laten we eerst de vergelijkingen eens netjes opschrijven:


Nu wil ik om te beginnen die decimale breuken kwijtraken, en daarom vermenigvuldig ik beide leden van de tweede vergelijking met 100. Dan krijgen we het volgende stelsel:


Laten we nu eerst c eliminineren uit vergelijking 1 en 2 en uit vergelijking 1 en 3. We vermenigvuldigen eerst beide leden van de eerste vergelijking met 8 en trekken dan de leden van de tweede vergelijking af van de eerste vergelijking. Dan krijgen we:


Nu tellen we de leden van de eerste en de derde vergelijking bij elkaar op om nog een tweede vergelijking in a en b te krijgen:


Nu hebben we twee vergelijkingen in a en b. Hieruit kunnen we b weer elimineren door door eerst de leden van de eerste vergelijking in a en b met 2 te vermenigvuldigen en vervolgens de leden van de tweede vergelijking in a en b hiervan af te trekken. Dit geeft:


Goed, we hebben nu a = 15000, en dus kunnen we nu de waarde van b vinden door de waarde van a in te vullen in één van de vergelijkingen in a en b. Laten we hiervoor de eerste vergelijking

2a + b = 38000

nemen. Invullen van a = 15000 geeft 30000 + b = 38000 en dus b = 8000.

Nu kunnen we de waarde van c eenvoudig vinden door deze waarde van b in te vullen in de derde oorspronkelijke vergelijking

b - c = 6000

Invullen van b = 8000 geeft dan 8000 - c = 6000 dus c = 2000. Hiermee is het stelsel opgelost.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 24-11-2012 10:54:25 ]

quote:

Op vrijdag 23 november 2012 12:11 schreef AlexanderC het volgende:
Ik ken de methodes wel, maar het toepassen lukt niet altijd.

nogmaals bedankt. kijken of het me nu zelf ook lukt...

Maar waarom lukte het niet? Als je beweert dat je 'dagenlang' vergeeft hebt geprobeerd dit simpele stelsel op te lossen, dan beheers je de methodes dus kennelijk helemaal niet.

Ik was hier op de middelbare school zo goed in, jammer dat ik dat nu niet meer weet