SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Huh dan kom ik op 4620 / 37730 = 6 / 49 uit ? Ik weet niet hoe ze daarop komen?quote:Op zaterdag 1 juni 2013 21:12 schreef Kansenjongere het volgende:
[..]
Vraag 11: In hoeveel jaar wordt de lening afgelost? Het hoeveelste deel daarvan = 5 jaar?
Vraag 13: dat lijkt niet echt zo ver mogelijk vereenvoudigd of wel?
Hint voor vraag 13: -28/77 x 33/35 x 5/-14 = 28/14 x 33/77 x 5/35
Ik deed het zo:
4620 / 37730 = 924 / 7546 ( ik zag in beide getallen de tafel van 5 erin) = 462 / 6773 (ik zag in beide getallen de tafel van 2 erin)
Kijk nog eens naar die laatste stap, 6773 is niet bepaald de helft van 7546quote:
[..]
Huh dan kom ik op 4620 / 37730 = 6 / 49 uit ? Ik weet niet hoe ze daarop komen?
Ik deed het zo:
4620 / 37730 = 924 / 7546 = 462 / 6773
Typfout. 3773quote:
[..]
Kijk nog eens naar die laatste stap, 6773 is niet bepaald de helft van 7546
Maar ben je met Thormodo en mij eens dat je jezelf een hele hoop (foutgevoelig) rekenwerk kunt besparen als je begint met vereenvoudigen in plaats van dit pas op het einde te doen nadat je alle getallen met elkaar hebt vermenigvuldigd?quote:
Over het algemeen herleid je een derdegraadsvergelijkingquote:
[..]
Gedaan. Ik denk dat ik het leuker had gevonden om de vergelijkingen op die manier op te lossen, er komt net iets meer inzicht bij kijken. Heb je advies hoe je het handigste een derdegraadsvergelijking kan oplossen met d niet gelijk aan 0 als je het formuleert als ax3 + bx2 + cx + d.
Ik moet ze regelmatig oplossen en ik moet me nu behelpen met het op goed geluk proberen door een product te vinden van drie getallen wat d geeft en dan de plusjes en de minnetjes juist te krijgen. Dat is nogal omslachtig, ik hoop dat het op een handigere manier kan. Natuurlijk kan je in bepaalde gevallen een merkwaardig product gebruiken (a+b)3 maar werkt dat altijd handig?
Ik heb er natuurlijk geen oefening mee gehad op het VWO, derdegraadsvergelijkingen werden gemeden tenzij d gelijk was aan 0.
ax3 + bx2 + cx + d = 0
eerst tot een zogeheten gereduceerde kubische vergelijking. Dat is een derdegraadsvergelijking waarin de kwadratische term ontbreekt. Als we nu de - nog te bepalen - wortels van deze kubische vergelijking even aangeven met x1, x2 en x3, dan is deze vergelijking te schrijven als:
a(x − x1)(x − x2)(x − x3) = 0
Door dit weer uit te werken krijg je:
ax3 − a(x1+x2+x3)x2 + a(x1x2 + x1x3 + x2x3)x − ax1x2x3 = 0
en vergelijken van de coëfficiënten leert dan dat voor de wortels en de coëfficiënten de volgende betrekkingen gelden (genoemd naar Viète):
x1 + x2 + x3 = −b/a
x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a
x1x2x3 = −d/a
Zijn nu de coëfficiënten geheel en is a = 1 dan kun je de delers van d, zowel positief als negatief, proberen. In het algemeen, ook als a niet gelijk is aan 1, kun je het rational root theorem gebruiken, dat overigens niet alleen voor derdegraads vergelijkingen geldt.
Lukt het niet om zo een gehele resp. rationale wortel van de kubische vergelijking te vinden, dan kun je deze oplossen door deze eerst te herleiden tot de eerder genoemde gereduceerde vergelijking. Het idee hierbij is dat we een nieuwe vergelijking opstellen waarvan elk van de drie wortels b/3a groter is dan de wortels x1, x2, x3, zodat de som van de wortels van de nieuwe vergelijking nul wordt, wat dus betekent dat de coëfficiënt van de kwadratische term in de nieuwe vergelijking ook nul zal zijn. Hiervoor gebruiken we de substitutie:
z = x + b/3a
oftewel:
x = z − b/3a
Uitwerken geeft dan een nieuwe kubische vergelijking in de variabele z van de gedaante:
z3 + pz + q = 0
Nu kan een kubische vergelijking met reële coëfficiënten, en dus ook deze gereduceerde vergelijking, één reële en twee toegevoegd complexe wortels hebben, óf drie reële wortels (waarvan er eventueel twee of drie samen kunnen vallen). Om te bepalen of de vergelijking al dan niet uitsluitend reële wortels heeft kunnen we kijken naar de discriminant van deze vergelijking:
D = (q/2)2 + (p/3)3
Er zijn nu de volgende mogelijkheden:
D > 0: Eén reële wortel en twee toegevoegd complexe wortels.
D = 0: Drie reële wortels waarvan er (tenminste) twee samenvallen.
D < 0: Drie verschillende reële wortels.
Let erop dat dit anders is dan bij vierkantsvergelijkingen, daar heb je geen reële wortels als de discriminant negatief is, hier zijn de wortels dan juist uitsluitend reëel.
Is D ≥ 0 dan kunnen we gebruik maken van een gemoderniseerde versie van de methode die naar Cardano is vernoemd (maar niet door hem is gevonden). We substitueren nu:
z = u + v
waarmee we de gereduceerde vergelijking na herleiding kunnen schrijven als:
u3 + 3uv(u + v) + v3 + p(u + v) + q = 0
en dit is ook te schrijven als:
u3 + v3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0
Nu hebben we twee nieuwe variabelen u en v, en daarmee ook twee vrijheidsgraden. We kunnen dus nog een extra voorwaarde stellen aan u en v, en de clou is nu om te kiezen voor:
3uv + p = 0
oftewel:
uv = −p/3
want dan krijgen we:
u3 + v3 = −q
Verheffen we uv = −p/3 tot de derde macht, dan hebben we ook:
u3v3 = −(p/3)3
Nu zie je dat we zowel de som als het product van u3 en v3 kennen, en dat betekent dat we u3 en v3 gemakkelijk kunnen bepalen, dit zijn namelijk de wortels van de vierkantsvergelijking t2 + qt − (p/3)3 = 0, zodat we hebben:
u3 = −½q + √D
v3 = −½q − √D
Hebben we u3 en v3, dan kun je door de derdemachtswortel te nemen één reële waarde van u en één reële waarde van v berekenen. Maar uiteraard zijn er naast deze unieke reële waarden van u en v ook nog twee toegevoegd complexe waarden die aan bovenstaande betrekkingen voor u3 en v3 voldoen, en die vind je door de reële waarden u en v elk te vermenigvuldigen met de complexe derdemachtswortels uit 1, oftewel met:
ε1 = −½ + i∙½√3
ε2 = −½ − i∙½√3
Nu heb je drie waarden u1 = u, u2 = ε1∙u, u3 = ε2∙u en drie waarden v1 = v, v2 = ε1∙v, v3 = ε2∙v die aan bovenstaande vergelijkingen voor u3 resp. v3 voldoen, en waarmee je dus negen combinaties voor z = u + v zou kunnen maken. Van deze negen combinaties zijn er echter maar drie geldig, omdat het product ook nog moet voldoen aan de voorwaarde uv = −p/3. Aangezien ε1∙ε2 = 1 vinden we dan als wortels van de gereduceerde kubische vergelijking:
z1 = u + v
z2 = ε1∙u + ε2∙v
z3 = ε2∙u + ε1∙v
oftewel:
z1 = u + v
z2 = −½∙(u + v) + i∙½√3∙(u − v)
z3 = −½∙(u + v) − i∙½√3∙(u − v)
Zoals je ziet hebben we nu voor D > 0 inderdaad één reële wortel z1 en twee toegevoegd complexe wortels z2 en z3. Is D = 0, dan is u = v en vallen z2 en z3 samen en zijn deze eveneens reëel. Zijn de wortels van de gereduceerde vergelijking gevonden, dan zijn de wortels van de oorspronkelijke kubische vergelijking uiteraard te berekenen via de betrekking x = z − b/3a.
De zogeheten formules van Cardano zijn niet praktisch bruikbaar indien D < 0, aangezien u3 en v3 dan toegevoegd complex zijn en we dan dus derdemachtswortels uit complexe getallen moeten bepalen. Dat is in het algemeen niet algebraïsch te doen, en pogingen om dat wel langs algebraïsche weg te doen voeren dan tot een kubische vergelijking die equivalent is met de oorspronkelijke, zodat we weer terug zijn bij af. Daarom is men het geval D < 0 casus irreducibilis ('het onherleidbare geval') gaan noemen.
Het paradoxale is dat alle wortels van de gereduceerde kubische vergelijking z3 + pz + q = 0 met p,q ∈ R reëel zijn als (q/2)2 + (p/3)3 < 0, maar dat deze niet zonder gebruik van vierkantswortels uit negatieve getallen (i.e. complexe getallen) algebraïsch in de coëffiënten p en q zijn uit te drukken. Deze bevinding leidde ertoe dat wiskundigen zich vanaf de 16e eeuw tegen wil en dank nader met die 'onmogelijke' vierkantswortels uit negatieve getallen bezig gingen houden en zo langzaam maar zeker eigenschappen begonnen te ontdekken van wat we nu complexe getallen noemen, zie hier.
Het is evenwel toch mogelijk de gereduceerde kubische vergelijking op te lossen als D < 0, en dan ook nog zonder gebruik van complexe getallen. Deze methode is tegen het einde van de 16e eeuw voor het eerst aangegeven door Viète en berust op het gebruik van de goniometrische identiteit voor de cosinus van de drievoudige hoek:
cos 3φ = 4∙cos3φ − 3∙cos φ
Het idee is om in de vergelijking z3 + pz + q = 0 oftewel z3 + pz = −q de substitutie z = r∙cos φ uit te voeren en dan het linkerlid met een geschikte keuze van r om te werken tot 4∙cos3φ − 3∙cos φ, zodat we een uitdrukking in p en q krijgen voor cos 3φ, waarmee de waarden van 3φ en dus φ zijn te bepalen, en daarmee ook de waarden van z = r∙cos φ. Substitutie geeft:
r3∙cos3φ + p∙r∙cos φ + q = 0
Door van beide leden q af te trekken en daarna beide leden te vermenigvuldigen met 4/r3 kunnen we dit omwerken tot:
4∙cos3φ + (4p/r2)∙cos φ = −4q/r3
Nu zien we dat we r zodanig moeten kiezen dat:
4p/r2 = −3
en dus kunnen we kiezen voor:
r = 2·√(−p/3)
Merk op dat deze waarde van r reëel is en positief, aangezien D < 0 impliceert dat p < 0. Met deze keuze van r hebben we nu:
4∙cos3φ − 3∙cos φ = −½q/√((−p/3)3)
en dus:
cos 3φ = −½q/√((−p/3)3)
Uiteraard mag de absolute waarde van de uitdrukking in het rechterlid niet groter zijn dan 1, omdat de cosinus alleen waarden aanneemt op het interval [-1,1]. Je kunt gemakkelijk nagaan dat aan deze voorwaarde is voldaan indien D < 0, zodat de goniometrische oplossingsmethode inderdaad altijd mogelijk is voor D < 0 en we dus een waarde van 3φ op het interval [0, π] kunnen bepalen die voldoet aan deze betrekking. Aangezien de cosinus een periode 2π heeft voldoet dan ook 3φ + 2kπ met k geheel, zodat we als oplossingen krijgen:
z1,2,3 = 2·√(−p/3)·cos(φ + 2kπ/3)
waarbij we voor k drie opeenvolgende gehele getallen nemen, bijvoorbeeld k = 0, 1, 2 of k = −1, 0, 1. Daarmee hebben we de drie reële wortels van de vergelijking z3 + pz + q = 0 met D < 0 gevonden. En uiteraard vinden we de drie reële wortels van de oorspronkelijke vergelijking in x dan weer via de betrekking x = z − b/3a. Een uitgewerkt voorbeeld van een goniometrische oplossing van een gereduceerde kubische vergelijking vind je hier.
Het mag wonderlijk lijken dat bij een algebraïsche derdegraadsvergelijking met drie verschillende reële wortels de oplossingen in goniometrische vorm zijn uit te drukken, maar dit is op een heel eenvoudige wijze meetkundig in te zien. Heb je een derdegraadsfunctie met drie verschillende reële nulpunten, dan snijdt de grafiek van deze functie de x-as uiteraard in drie verschillende punten. Welnu, elk drietal verschillende punten op een rechte lijn is op te vatten als de loodrechte projectie van de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek, waarmee direct duidelijk is dat de drie nulpunten, afgezien van een schaalfactor en een horizontale translatie (i.e. een constante), kunnen worden opgevat als cosinussen van hoeken die (een geheel veelvoud van) 120° van elkaar verschillen:
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 04-06-2013 09:03:02 ]
Huh nee ? Ik heb het niet begrepen.quote:
[..]
Maar ben je met Thormodo en mij eens dat je jezelf een hele hoop (foutgevoelig) rekenwerk kunt besparen als je begint met vereenvoudigen in plaats van dit pas op het einde te doen nadat je alle getallen met elkaar hebt vermenigvuldigd?
Ik heb iets toegevoegd aan mijn vorige post daarover (boven die giga post van Rip, misschien handig/leuk om dat ergens anders te doen?quote:
).Bij vraag 13 maak je een denkfout.
De afgeloste schuld is inderdaad goed. Echter het gaat om de afgeloste schuld t.o.v. de beginschuld.
Jouw antwoord was: "310.000 - 232.500 / 232.500 x 100% = 33,3 %". Maar wat stelt het bedrag waardoor je deelt nu eigenlijk voor?
De som is -28/77 x 33/35 x 5/-14quote:
Dat zijn drie lastige breuken die je niet kunt vereenvoudigen. Zoals je zelf had gezien kun je de mintekens al tegen elkaar wegstrepen.
Vervolgens kun je de som herschrijven door steeds getallen boven en onder de streep te zoeken die je wel kunt vereenvoudigen:
Dan krijg je dus 28/14 x 5/35 x 33/77
Die breuken kun je vereenvoudigen naar 2/1 x1/7 x 3/7 = (2x1x3) / (1x7x7) = 6/49
quote:
[..]
Ik heb iets toegevoegd aan mijn vorige post daarover (boven die giga post van Rip, misschien handig/leuk om dat ergens anders te doen?
Bij vraag 13 maak je een denkfout.
De afgeloste schuld is inderdaad goed. Echter het gaat om de afgeloste schuld t.o.v. de beginschuld.
Jouw antwoord was: "310.000 - 232.500 / 232.500 x 100% = 33,3 %". Maar wat stelt het bedrag waardoor je deelt nu eigenlijk voor?
''Hoeveel procent heb je terugbetaald'' het moest dus zijn: 77500 / 310.000 x 100% = 25%
Je betaalt elk jaar hetzelfde percentage af (want de totale schuld neemt in een rechte lijn af).quote:
[..]
het moest dus zijn: 310.000 - 77500 / 75500 x 100% = 300%
Na 20 jaar heb je dus 100 procent van de schuld terugbetaald.
Na 5 jaar heb je dus 25 procent van de schuld terugbetaald.
300%? Zou jij ooit meer dan 100% van je hypotheek aan de bank terug betalen ?quote:
[..]
het moest dus zijn: 310.000 - 77500 / 75500 x 100% = 300%
Dat is nu juist het leuke van echte problemen i.p.v. pure wiskunde problemen, je kunt vrij makkelijk inschatten of je antwoord juist kan zijn.
quote:
[..]
Je betaalt elk jaar hetzelfde percentage af (want de totale schuld neemt in een rechte lijn af).
Na 20 jaar heb je dus 100 procent van de schuld terugbetaald.
Na 5 jaar heb je dus 25 procent van de schuld terugbetaald.
Zie editquote:
[..]
300%? Zou jij ooit meer dan 100% van je hypotheek aan de bank terug betalen ?
Had te snel gedacht. Was gelukkig nog net voor jullie post.
Ja, maar je was dus veel te moeilijk bezig, die bedragen heb je helemaal niet nodig.quote:
[..]
[..]
Zie edit
[ Bericht 0% gewijzigd door Kansenjongere op 01-06-2013 21:50:07 ]
HANDIG! Ik wist niet dat je al van te voren kon vereenvoudigen!quote:
[..]
De som is -28/77 x 33/35 x 5/-14
Dat zijn drie lastige breuken die je niet kunt vereenvoudigen. Zoals je zelf had gezien kun je de mintekens al tegen elkaar wegstrepen.
Vervolgens kun je de som herschrijven door steeds getallen boven en onder de streep te zoeken die je wel kunt vereenvoudigen:
Dan krijg je dus 28/14 x 5/35 x 33/77
Die breuken kun je vereenvoudigen naar 2/1 x1/7 x 3/7 = (2x1x3) / (1x7x7) = 6/49
Ok mooi.quote:
[..]
[..]
Zie edit
Wat Kansjongere zegt klopt natuurlijk ook, want het kan makkelijker in dit geval. Hoewel dat op zich een aparte conclusie is die je dan moet trekken.
Want zoals je ziet is de lijn recht (lineair). Wat dus inhoudt dat de persoon elk jaar exact het zelfde bedrag terugbetaald. Wat natuurlijk niet echt realistisch te noemen is.
Je kunt je wel voorstellen dat in de werkelijkheid deze lijn nooit zo mooi recht loopt, maar bijvoorbeeld parabolisch. En dan moet je het dus op die manier zoals jij dat hebt gedaan bepalen.
In deze grafiek is dat wel het geval. Dus geldt wat kansjongere zegt. Als je dit wiskundig wilt oplossen, met alleen de onderstaande gegevens (tussen de sterretjes), kun je ook een lineaire vergelijking maken.
*Je begint met 310 euro (in duizendtallen). Je eindigt met 0 euro. En er verstrijkt een periode van 20 jaar. 310 euro is dus getal b.*
Een lineaire vergelijking is er één van de vorm y = a*x + b (als het goed is weet je dit
)Dus je “verliest” 310 euro schuld. Dus -310. Dit verlies je over 20 jaar. Dus elk jaar verlies je
310/20 = 15,5 euro. Dit is dus de helling (getal a) van je grafiek per jaar.
Dus er geldt
y = -15,5*x + 310
Voor x = 5 geldt dus:
y = -15,5*5 + 310 = 232,5
Er daaruit kun je weer de procenten uitrekenen.
Had ik hier ook al neergezet ^^: SES / Wiskunde voor intaketoests 'even' bijspijkeren?quote:
[..]
HANDIG! Ik wist niet dat je al van te voren kon vereenvoudigen!
Maar dat zijn nu dingen die je een keer gezegd moet worden, want als je het nog nooit gedaan hebt kom je er natuurlijk zelf niet zo snel op om zoiets te gaan doen.
[ Bericht 3% gewijzigd door Thormodo op 01-06-2013 21:56:58 ]
Ja klopt, die methode ken ik. Maar ik hield het simpel.quote:
[..]
Ok mooi.
Wat Kansjongere zegt klopt natuurlijk ook, want het kan makkelijker in dit geval. Hoewel dat op zich een aparte conclusie is die je dan moet trekken.
Want zoals je ziet is de lijn recht (lineair). Wat dus inhoudt dat de persoon elk jaar exact het zelfde bedrag terugbetaald. Wat natuurlijk niet echt realistisch te noemen is.
Je kunt je wel voorstellen dat in de werkelijkheid deze lijn nooit zo mooi recht loopt, maar bijvoorbeeld parabolisch. En dan moet je het dus op die manier zoals jij dat hebt gedaan bepalen.
In deze grafiek is dat wel het geval. Dus geldt wat kansjongere zegt. Als je dit wiskundig wilt oplossen, met alleen de onderstaande gegevens (tussen de sterretjes), kun je ook een lineaire vergelijking maken.
*Je begint met 310 euro (in duizendtallen). Je eindigt met 0 euro. En er verstrijkt een periode van 20 jaar. 310 euro is dus getal b.*
Een lineaire vergelijking is er één van de vorm y = a*x + b (als het goed is weet je dit
Dus je “verliest” 310 euro schuld. Dus -310. Dit verlies je over 20 jaar. Dus elk jaar verlies je
310/20 = 15,5 euro. Dit is dus de helling (getal a) van je grafiek per jaar.
Dus er geldt
y = -15,5*x + 310
Voor x = 5 geldt dus:
y = -15,5*5 + 310 = 232,5
Er daaruit kun je weer de procenten uitrekenen.
[..]
Had ik hier ook al neergezet ^^: SES / Wiskunde voor intaketoests 'even' bijspijkeren?
Maar dat zijn nu dingen die je een keer gezegd moet worden, want als je het nog nooit gedaan hebt kom je er natuurlijk zelf niet zo snel op om zoiets te gaan doen.
Had je overigens dit CE? http://www2.cito.nl/vo/ex2013/HA-1024-a-13-1-o.pdf
[ Bericht 34% gewijzigd door Thormodo op 01-06-2013 21:58:09 ]
[ Bericht 34% gewijzigd door Thormodo op 01-06-2013 21:58:09 ]
Ja, hoezo?quote:
Had je overigens dit CE? http://www2.cito.nl/vo/ex2013/HA-1024-a-13-1-o.pdf
Gewoon nieuwsgierig. En daaruit volgt ook direct waarom die intaketoets een probleem kan/kon vormen zonder verdere voorbereidingquote:
.
Heb er een 6.0 voor met een norm van 0. Zover ik nagekeken had. Op SE sta ik een 7.5 voor wiskunde.quote:
[..]
Gewoon nieuwsgierig. En daaruit volgt ook direct waarom die intaketoets een probleem kan/kon vormen zonder verdere voorbereiding
Ik bedoel meer dat die toets totaal geen algebra (zoals de intaketoets) bevat et cetera. Dus dat de stof amper overeen komt.quote:
[..]
Heb er een 6.0 voor met een norm van 0. Zover ik nagekeken had. Op SE sta ik een 7.5 voor wiskunde.
Wat helemaal vreemd is als je bedenkt dat tegenwoordig leerlingen die N&G doen blijkbaar ook wiskunde A mogen kiezen*. Vroeger was de huidige wiskunde B (toen B1) gewoon voor hun verplicht. Maar goed straks heb ik Bram weer aan het "ranten"
(wat in dit geval meer dan terecht is).*http://nl.wikipedia.org/wiki/Wiskunde_(schoolvak_in_Nederland)
@NL en ENG toetsen: geen idee. Ik neem aan dat het gewoon lijkt op je CE's. Wel apart dat je die dan ook moet doen als je van de havo komt.
[ Bericht 3% gewijzigd door Thormodo op 01-06-2013 22:25:07 ]
Aha snap het.quote:
[..]
Ik bedoel meer dat die toets totaal geen algebra (zoals de intaketoets) bevat et cetera. Dus dat de stof amper overeen komt.
Hoe wordt NL en ENG getoetst als ik vragen mag? Weet jij (of iemand anders) dat?
...totdat je op een gegeven moment "zover" in de wiskunde komt dat je gevraagd wordt iets alsquote:Op vrijdag 31 mei 2013 22:13 schreef JoPiDo het volgende:
[..]
wat een geweldige uitleg, maar niet heus
gewoon abc-formule uit je hoofd leren; geen geëtter en je antwoord is altijd goed
∫ 1/(ax2+bx+c) dx met b2-4ac < 0 als voorwaarde voor de coëfficiënten te integreren. Dat ga jij niet redden met je ABC-formule hoor
, dus leer die techniek van het kwadraat afsplitsen nou maar eerst heul goed 
.* VanishedEntity eerst heel aandachtig lezen gaat...quote:
[..]
Over het algemeen herleid je een derdegraadsvergelijking
ax3 + bx2 + cx + d = 0
eerst tot een zogeheten gereduceerde kubische vergelijking. Dat is een derdegraadsvergelijking waarin de kwadratische term ontbreekt. Als we nu de - nog te bepalen - wortels van deze kubische vergelijking even aangeven met x1, x2 en x3, dan is deze vergelijking te schrijven als:
a(x − x1)(x − x2)(x − x3) = 0
Door dit weer uit te werken krijg je:
ax3 − a(x1+x2+x3)x2 + a(x1x2 + x1x3 + x2x3)x − ax1x2x3 = 0
en vergelijken van de coëfficiënten leert dan dat voor de wortels en de coëfficiënten de volgende betrekkingen gelden (genoemd naar Viète):
x1 + x2 + x3 = −b/a
x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a
x1x2x3 = −d/a
Zijn nu de coëfficiënten geheel en is a = 1 dan kun je de delers van d, zowel positief als negatief, proberen. In het algemeen, ook als a niet gelijk is aan 1, kun je het rational root theorem gebruiken, dat overigens niet alleen voor derdegraads vergelijkingen geldt.
Lukt het niet om zo een gehele resp. rationale wortel van de kubische vergelijking te vinden, dan kun je deze oplossen door deze eerst te herleiden tot de eerder genoemde gereduceerde vergelijking. Het idee hierbij is dat we een nieuwe vergelijking opstellen waarvan elk van de drie wortels b/3a groter is dan de wortels x1, x2, x3, zodat de som van de wortels van de nieuwe vergelijking nul wordt, wat dus betekent dat de coëfficiënt van de kwadratische term in de nieuwe vergelijking ook nul zal zijn. Hiervoor gebruiken we de substitutie:
z = x + b/3a
oftewel:
x = z − b/3a
Uitwerken geeft dan een nieuwe kubische vergelijking in de variabele z van de gedaante:
z3 + pz + q = 0
Nu kan een kubische vergelijking met reële coëfficiënten, en dus ook deze gereduceerde vergelijking, één reële en twee toegevoegd complexe wortels hebben, óf drie reële wortels (waarvan er eventueel twee of drie samen kunnen vallen). Om te bepalen of de vergelijking al dan niet uitsluitend reële wortels heeft kunnen we kijken naar de discriminant van deze vergelijking:
D = (q/2)2 + (p/3)3
Er zijn nu de volgende mogelijkheden:
D > 0: Eén reële wortel en twee toegevoegd complexe wortels.
D = 0: Drie reële wortels waarvan er (tenminste) twee samenvallen.
D < 0: Drie verschillende reële wortels.
Let erop dat dit anders is dan bij vierkantsvergelijkingen, daar heb je geen reële wortels als de discriminant negatief is, hier zijn de wortels dan juist uitsluitend reëel.
Is D ≥ 0 dan kunnen we gebruik maken van een gemoderniseerde versie van de methode die naar Cardano is vernoemd (maar niet door hem is gevonden). We substitueren nu:
z = u + v
waarmee we de gereduceerde vergelijking na herleiding kunnen schrijven als:
u3 + 3uv(u + v) + v3 + p(u + v) + q = 0
en dit is ook te schrijven als:
u3 + v3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0
Nu hebben we twee nieuwe variabelen u en v, en daarmee ook twee vrijheidsgraden. We kunnen dus nog een extra voorwaarde stellen aan u en v, en de clou is nu om te kiezen voor:
3uv + p = 0
oftewel:
uv = −p/3
want dan krijgen we:
u3 + v3 = −q
Verheffen we uv = −p/3 tot de derde macht, dan hebben we ook:
u3v3 = −(p/3)3
Nu zie je dat we zowel de som als het product van u3 en v3 kennen, en dat betekent dat we u3 en v3 gemakkelijk kunnen bepalen, dit zijn namelijk de wortels van de vierkantsvergelijking t2 + qt − (p/3)3 = 0, zodat we hebben:
u3 = −½q + √D
v3 = −½q − √D
Hebben we u3 en v3, dan kun je door de derdemachtswortel te nemen één reële waarde van u en één reële waarde van v berekenen. Maar uiteraard zijn er naast deze unieke reële waarden van u en v ook nog twee toegevoegd complexe waarden die aan bovenstaande betrekkingen voor u3 en v3 voldoen, en die vind je door de reële waarden u en v elk te vermenigvuldigen met de complexe derdemachtswortels uit 1, oftewel met:
ε1 = −½ + i∙½√3
ε2 = −½ − i∙½√3
Nu heb je drie waarden u1 = u, u2 = ε1∙u, u3 = ε2∙u en drie waarden v1 = v, v2 = ε1∙v, v3 = ε2∙v die aan bovenstaande vergelijkingen voor u3 resp. v3 voldoen, en waarmee je dus negen combinaties voor z = u + v zou kunnen maken. Van deze negen combinaties zijn er echter maar drie geldig, omdat het product ook nog moet voldoen aan de voorwaarde uv = −p/3. Aangezien ε1∙ε2 = 1 vinden we dan als wortels van de gereduceerde kubische vergelijking:
z1 = u + v
z2 = ε1∙u + ε2∙v
z3 = ε2∙u + ε1∙v
oftewel:
z1 = u + v
z2 = −½∙(u + v) + i∙½√3∙(u − v)
z3 = −½∙(u + v) − i∙½√3∙(u − v)
Zoals je ziet hebben we nu voor D > 0 inderdaad één reële wortel z1 en twee toegevoegd complexe wortels z2 en z3. Is D = 0, dan is u = v en vallen z2 en z3 samen en zijn deze eveneens reëel. Zijn de wortels van de gereduceerde vergelijking gevonden, dan zijn de wortels van de oorspronkelijke kubische vergelijking uiteraard te berekenen via de betrekking x = z − b/3a.
De zogeheten formules van Cardano zijn niet praktisch bruikbaar indien D < 0, aangezien u3 en v3 dan toegevoegd complex zijn en we dan dus derdemachtswortels uit complexe getallen moeten bepalen. Dat is in het algemeen niet algebraïsch te doen, en pogingen om dat wel langs algebraïsche weg te doen voeren dan tot een kubische vergelijking die equivalent is met de oorspronkelijke, zodat we weer terug zijn bij af. Daarom is men het geval D < 0 casus irreducibilis ('het onherleidbare geval') gaan noemen.
Het paradoxale is dat alle wortels van de gereduceerde kubische vergelijking z3 + pz + q = 0 met p,q ∈ R reëel zijn als (q/2)2 + (p/3)3 < 0, maar dat deze niet zonder gebruik van vierkantswortels uit negatieve getallen (i.e. complexe getallen) algebraïsch in de coëffiënten p en q zijn uit te drukken. Deze bevinding leidde ertoe dat wiskundigen zich vanaf de 16e eeuw tegen wil en dank nader met die 'onmogelijke' vierkantswortels uit negatieve getallen bezig gingen houden en zo langzaam maar zeker eigenschappen begonnen te ontdekken van wat we nu complexe getallen noemen, zie hier.
Het is evenwel toch mogelijk de gereduceerde kubische vergelijking op te lossen als D < 0, en dan ook nog zonder gebruik van complexe getallen. Deze methode is tegen het einde van de 16e eeuw voor het eerst aangegeven door Viète en berust op het gebruik van de goniometrische identiteit voor de cosinus van de drievoudige hoek:
cos 3φ = 4∙cos3φ − 3∙cos φ
Het idee is om in de vergelijking z3 + pz + q = 0 oftewel z3 + pz = −q de substitutie z = r∙cos φ uit te voeren en dan het linkerlid met een geschikte keuze van r om te werken tot 4∙cos3φ − 3∙cos φ, zodat we een uitdrukking in p en q krijgen voor cos 3φ, waarmee de waarden van 3φ en dus φ zijn te bepalen, en daarmee ook de waarden van z = r∙cos φ. Substitutie geeft:
r3∙cos3φ + p∙r∙cos φ + q = 0
Door van beide leden q af te trekken en daarna beide leden te vermenigvuldigen met 4/r3 kunnen we dit omwerken tot:
4∙cos3φ + (4p/r2)∙cos φ = −4q/r3
Nu zien we dat we r zodanig moeten kiezen dat:
4p/r2 = −3
en dus kunnen we kiezen voor:
r = 2·√(−p/3)
Merk op dat deze waarde van r reëel is en positief, aangezien D < 0 impliceert dat p < 0. Met deze keuze van r hebben we nu:
4∙cos3φ − 3∙cos φ = −½q/√((−p/3)3)
en dus:
cos 3φ = −½q/√((−p/3)3)
Uiteraard mag de absolute waarde van de uitdrukking in het rechterlid niet groter zijn dan 1, omdat de cosinus alleen waarden aanneemt op het interval [-1,1]. Je kunt gemakkelijk nagaan dat aan deze voorwaarde is voldaan indien D < 0, zodat de goniometrische oplossingsmethode inderdaad altijd mogelijk is voor D < 0 en we dus een waarde van 3φ op het interval [0, π] kunnen bepalen die voldoet aan deze betrekking. Aangezien de cosinus een periode 2π heeft voldoet dan ook 3φ + 2kπ met k geheel, zodat we als oplossingen krijgen:
z1,2,3 = 2·√(-p/3)·cos(φ + 2kπ/3)
waarbij we voor k drie opeenvolgende gehele getallen nemen, bijvoorbeeld k = 0, 1, 2 of k = −1, 0, 1. Daarmee hebben we de drie reële wortels van de vergelijking z3 + pz + q = 0 met D < 0 gevonden. En uiteraard vinden we de drie reële wortels van de oorspronkelijke vergelijking in x dan weer via de betrekking x = z − b/3a. Een uitgewerkt voorbeeld van een goniometrische oplossing van een gereduceerde kubische vergelijking vind je hier.
Het mag wonderlijk lijken dat bij een algebraïsche derdegraadsvergelijking met drie verschillende reële wortels de oplossingen in goniometrische vorm zijn uit te drukken, maar dit is op een heel eenvoudige wijze meetkundig in te zien. Heb je een derdegraadsfunctie met drie verschillende reële nulpunten, dan snijdt de grafiek van deze functie de x-as uiteraard in drie verschillende punten. Welnu, elk drietal verschillende punten op een rechte lijn is op te vatten als de loodrechte projectie van de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek, waarmee direct duidelijk is dat de drie nulpunten, afgezien van een schaalfactor en een horizontale translatie (i.e. een constante), kunnen worden opgevat als cosinussen van hoeken die (een geheel veelvoud van) 120° van elkaar verschillen:
[ afbeelding ]
"zover" ben ik allang en ik gebruik nog regelmatig de abc-formule...quote:
[..]
...totdat je op een gegeven moment "zover" in de wiskunde komt dat je gevraagd wordt iets als
∫ 1/(ax2+bx+c) dx met b2-4ac < 0 als voorwaarde voor de coëfficiënten te integreren. Dat ga jij niet redden met je ABC-formule hoor
[..]
* VanishedEntity eerst heel aandachtig lezen gaat...
Natuurlijk, wie gebruikt niet de wortelformule? Riparius maakte geen bezwaar tegen het aanleren van deze formule, hij maakte bezwaar tegen het aanleren van deze formule zonder eerst de basis aan te leren waar dit formuletje vanzelf uit voortvloeit omdat je zodoende geen inzicht ontwikkelt.quote:
[..]
"zover" ben ik allang en ik gebruik nog regelmatig de abc-formule...
[ Bericht 3% gewijzigd door Bram_van_Loon op 03-06-2013 22:23:52 ]
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
En zeer terecht!quote:
[..]
En daarom heb je je yvonne awards tagje
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
Lees deze zin nog eens goed ...quote:
[..]
Natuurlijk, wie gebruikt niet de wortelformule? Riparius maakte geen bezwaar tegen het aanleren van deze formule zonder eerst de basis aan te leren waar dit formuletje vanzelf uit voortvloeit omdat je zodoende geen inzicht ontwikkelt.
Ik dacht tijdens het typen al wat verder te zijn (tweede deel) dan dat ik was, je zal wellicht begrijpen wat ik bedoel als je de gecorrigeerde zin leest. Ik was even twee dingen tegelijk aan het doen.
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
Hoe doe je de abc-formule zonder rekenmachine? Heb zitten oefenen, maar zonder rekenmachine lukt het mij niet, aangezien er een wortel in zit..
Een voorbeeld:
x² * 8=12
x² * 8 - 12=0
D=²4=824·1·12=112
Daarna kom ik er niet meer uit, aangezien je dan de wortel van 112 moet pakken in de abc formule. Hoe the heck reken je het uit? Ik kan namelijk geen worteltrekken zonder rekenmachine..
Wortel als 64, 49, 100, 2500 etc.. kan ik allemaal, maar eentje zoals de wortel van 112 kan ik niet.
[ Bericht 29% gewijzigd door Sucuk op 09-06-2013 17:51:59 ]
Een voorbeeld:
x² * 8=12
x² * 8 - 12=0
D=²4=824·1·12=112
Daarna kom ik er niet meer uit, aangezien je dan de wortel van 112 moet pakken in de abc formule. Hoe the heck reken je het uit? Ik kan namelijk geen worteltrekken zonder rekenmachine..
Wortel als 64, 49, 100, 2500 etc.. kan ik allemaal, maar eentje zoals de wortel van 112 kan ik niet.
[ Bericht 29% gewijzigd door Sucuk op 09-06-2013 17:51:59 ]
http://wiskunde.ebrodesign.com/index.php?gr=1&id=28quote:
Hoe doe je de abc-formule zonder rekenmachine? Heb zitten oefenen, maar zonder rekenmachine lukt het mij niet, aangezien er een wortel in zit..
Heb je een voorbeeldsom die je niet lukt?
Zie edit.quote:Op zondag 9 juni 2013 17:44 schreef Ofresca het volgende:
[..]
http://wiskunde.ebrodesign.com/index.php?gr=1&id=28
Heb je een voorbeeldsom die je niet lukt?
Je kunt hem niet exact uitrekenen, maar wel verbeteren. Ik maak zelf altijd een rij.quote:
112 = 1 x 112
= 2 x 56
= 4 x 28
= 7 x 16
Van 16 weet ik dat sqrt(16) = 4
Dus:
sqrt(112) = sqrt(16 x 7) = 4 x sqrt(7)
Dat is hopelijk exact genoeg.
Huh, begrijp het niet? Hoe kan jij gelijk weten dat je 7 x 16 moet pakken? Kun je ook 2 x 56 pakken of 4 x 28?quote:
[..]
Je kunt hem niet exact uitrekenen, maar wel verbeteren. Ik maak zelf altijd een rij.
112 = 1 x 112
= 2 x 56
= 4 x 28
= 7 x 16
Van 16 weet ik dat sqrt(16) = 4
Dus:
sqrt(112) = sqrt(16 x 7) = 4 x sqrt(7)
Dat is hopelijk exact genoeg.
Zonder rekenmachine kom ik er niet zo 123 op, op welke mogelijkheden qua vermenigvuldigen je hebt om tot 112 te komen, buiten de 2 x 56.
Ik vind jouw methode in ieder geval erg lastig..
Wat je wil is er een getal uithalen wat een makkelijke wortel is. Dat kan niet bij 2 x 56. Wel bij 4 x 28, maar 28 is een vrij groot getal en als je 28 besluit te laten staan kan je hetzelfde nog een keer doen. 28 = 4 x 7. Dat maakt dus niet uit.quote:
[..]
Huh, begrijp het niet? Hoe kan jij gelijk weten dat je 7 x 16 moet pakken? Kun je ook 2 x 56 pakken of 4 x 28?
Het is een beetje gevoel. Je weet sqrt(16) = 4, de volgende "makkelijke" wortel is dus 25, 5x5, maar 112 is geen heel meervoud van 25. Dan is 6 x 6 de volgende, alleen is dat 64, terwijl er al 2 x 56 in mijn rij staat. Hoger gaan wordt dan onlogisch, daarom ga ik er vanuit dat 16 een goede keus is.
Helpt het enigszins?
Nee eerlijk gezegd niet. Aangezien ik sowieso als ik sqrt(112) zie dat ik dan niet in één keer denk aan 4(sqrt)7 of aan 4x28 of 7x16.quote:
[..]
Wat je wil is er een getal uithalen wat een makkelijke wortel is. Dat kan niet bij 2 x 56. Wel bij 4 x 28, maar 28 is een vrij groot getal en als je 28 besluit te laten staan kan je hetzelfde nog een keer doen. 28 = 4 x 7. Dat maakt dus niet uit.
Het is een beetje gevoel. Je weet sqrt(16) = 4, de volgende "makkelijke" wortel is dus 25, 5x5, maar 112 is geen heel meervoud van 25. Dan is 6 x 6 de volgende, alleen is dat 64, terwijl er al 2 x 56 in mijn rij staat. Hoger gaan wordt dan onlogisch, daarom ga ik er vanuit dat 16 een goede keus is.
Helpt het enigszins?
Ik denk eerder aan 2x56 en dan houdt het voor mij op...
Beetje oefenen met hoofdrekenen dan.quote:
[..]
Zonder rekenmachine kom ik er niet zo 123 op, op welke mogelijkheden qua vermenigvuldigen je hebt om tot 112 te komen, buiten de 2 x 56.
Ik vind jouw methode in ieder geval erg lastig..
Je hoeft ook niet meteen het juiste antwoord te zijn, vaak kun je er wel vrij makkelijk achter komen of iets een meervoud van iets is. Zoals met 3, 30 x 3 = 90. 112 - 90 = 22, 22 is geen meervoud van 3. Zo ook voor 5 en voor 6. 10 x 7 = 70. 112 - 70 = 30 + 12 = 42. 42 = 7 x 6.
Hier is a = 8, b = 0, c = −12. Dus heb jequote:
Hoe doe je de abc-formule zonder rekenmachine? Heb zitten oefenen, maar zonder rekenmachine lukt het mij niet, aangezien er een wortel in zit..
Een voorbeeld:
x² * 8=12
x² * 8 - 12=0
D=²4=824·1·12=112
D = b2 − 4ac = 0 − 4·8·(−12) = 4·8·12 = 384, en dus niet 112 zoals je zelf meent.
Ik had al opgemerkt dat je wortels die niet rationaal zijn mag laten staan in je uitkomsten, echter moet je wortels wel zoveel mogelijk vereenvoudigen, dat is iets anders dan ze uitrekenen.quote:Daarna kom ik er niet meer uit, aangezien je dan de wortel van 112 moet pakken in de abc formule. Hoe the heck reken je het uit? Ik kan namelijk geen worteltrekken zonder rekenmachine..
Wortel als 64, 49, 100, 2500 etc.. kan ik allemaal, maar eentje zoals de wortel van 112 kan ik niet.
Je hebt
112 = 24·7
en dus
√112 = √(24·7) = √(24)·√7 = 22·√7 = 4√7
Nu ga ik even verder met de correcte waarde D = 384 van de discriminant van je vergelijking 8x2 - 12 = 0. We hebben nu
384 = 27·3 = 26·2·3
en dus
√384 = √(26·2·3) = √(26)·√(2·3) = 23·√(2·3) = 8√6
[ Bericht 5% gewijzigd door Riparius op 09-06-2013 18:15:47 ]
Met 2 x 56 ben je al een heel eind hoor. 56 is een even getal, dat kun je dus sowieso door 2 delen.quote:
[..]
Nee eerlijk gezegd niet. Aangezien ik sowieso als ik sqrt(112) zie dat ik dan niet in één keer denk aan 4(sqrt)7 of aan 4x28 of 7x16.
Ik denk eerder aan 2x56 en dan houdt het voor mij op...
(56/2) x 2 x 2 = (40/2 + 16/2) x 4 = (20 + 8) x 4 = 28 x 4
𝑥²−8𝑥−12=0quote:
[..]
Hier is a = 8, b = 0, c = −12. Dus heb je
D = b2 − 4ac = 0 − 4·8·(−12) = 4·8·12 = 384, en dus niet 112 zoals je zelf meent.
[..]
Ik had al opgemerkt dat je wortels die niet rationaal zijn mag laten staan in je uitkomsten, echter moet je wortels wel zoveel mogelijk vereenvoudigen, dat is iets anders dan ze uitrekenen.
Je hebt
112 = 24·7
en dus
√112 = √(24·7) = √(24)·√7 = 22·√7 = 4√7
𝑎=1,𝑏=−8 𝑒𝑛 𝑐=−12
𝐷 = 𝑏²−4𝑎𝑐 = −(8)² − 4·1·−12 = 112
Goed, over een andere boeg. Waar het om gaat is of het getal (112 dus hier) een meervoud is van 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 etc.
Oefen dus eens met:
sqrt(128) en sqrt(150)
Oefen dus eens met:
sqrt(128) en sqrt(150)
Goed, je moet dus kennelijk de vergelijking
x2 − 8x − 12 = 0
oplossen met de abc-formule. Hier is a = 1, b = −8, c = −12. We berekenen eerst de discriminant
D = b2 − 4ac = (−8)2 − 4·1·(−12) = 64 + 48 = 112. We hadden al gezien dat √112 = 4√7, dus nu krijgen we als oplossingen:
x1 = (−b + √D)/2a = (8 + 4√7)/2 = 4 + 2√7
x2 = (−b − √D)/2a = (8 − 4√7)/2 = 4 − 2√7
Deze vergelijking kun je uiteraard minstens zo eenvoudig oplossen via kwadraatafsplitsing, aangezien x2 − 8x equivalent is met (x − 4)2 − 16. Dan krijgen we dus:
(x − 4)2 − 16 − 12 = 0
(x − 4)2 = 28
x − 4 = √28 ∨ x − 4 = −√28
En als je nu bedenkt dat √28 = √(4·7) = √4·√7 = 2√7 dan vind je dus weer gemakkelijk dat
x = 4 + 2√7 ∨ x = 4 − 2√7
x2 − 8x − 12 = 0
oplossen met de abc-formule. Hier is a = 1, b = −8, c = −12. We berekenen eerst de discriminant
D = b2 − 4ac = (−8)2 − 4·1·(−12) = 64 + 48 = 112. We hadden al gezien dat √112 = 4√7, dus nu krijgen we als oplossingen:
x1 = (−b + √D)/2a = (8 + 4√7)/2 = 4 + 2√7
x2 = (−b − √D)/2a = (8 − 4√7)/2 = 4 − 2√7
Deze vergelijking kun je uiteraard minstens zo eenvoudig oplossen via kwadraatafsplitsing, aangezien x2 − 8x equivalent is met (x − 4)2 − 16. Dan krijgen we dus:
(x − 4)2 − 16 − 12 = 0
(x − 4)2 = 28
x − 4 = √28 ∨ x − 4 = −√28
En als je nu bedenkt dat √28 = √(4·7) = √4·√7 = 2√7 dan vind je dus weer gemakkelijk dat
x = 4 + 2√7 ∨ x = 4 − 2√7
uiteraard minstens zo eenvoudigquote:
Goed, je moet dus kennelijk de vergelijking
x2 − 8x − 12 = 0
oplossen met de abc-formule. Hier is a = 1, b = −8, c = −12. We berekenen eerst de discriminant
D = b2 − 4ac = (−8)2 − 4·1·(−12) = 64 + 48 = 112. We hadden al gezien dat √112 = 4√7, dus nu krijgen we als oplossingen:
x1 = (−b + √D)/2a = (8 + 4√7)/2 = 4 + 2√7
x2 = (−b − √D)/2a = (8 − 4√7)/2 = 4 − 2√7
Deze vergelijking kun je uiteraard minstens zo eenvoudig oplossen via kwadraatafsplitsing, aangezien x2 − 8x equivalent is met (x − 4)2 − 16. Dan krijgen we dus:
(x − 4)2 − 16 − 12 = 0
(x − 4)2 = 28
x − 4 = √28 ∨ x − 4 = −√28
En als je nu bedenkt dat √28 = √(4·7) = √4·√7 = 2√7 dan vind je dus weer gemakkelijk dat
x = 4 + 2√7 ∨ x = 4 − 2√7
jij hebt nooit bijles gegeven zeker?
11,3 en 12,3quote:
Goed, over een andere boeg. Waar het om gaat is of het getal (112 dus hier) een meervoud is van 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 etc.
Oefen dus eens met:
sqrt(128) en sqrt(150)
Ik heb het helemaal uitgerekend met het vermenigvuldigen.
Ik deed het op deze manier (sqrt 128) :
11 x 11 = 121
12 x 12 = 144
Dus de wortel ligt tussen 11 en 12. Dus toen deed ik 11,5 x 11,5 = 132,25. Dat betekende dus dat ik de decimaal moest verlagen, en toen deed ik 11,3 x 11,3 en dat resulteerde tot 127,69 (dus 128).
Ik kan het trouwens alleen tot 1 decimaal berekenen, ik weet niet of dat een groot verschil maakt bij het berekenen van de abc-formule.
Overigens kan iemand mij helpen, hoe ik getallen makkelijk kan vermenigvuldigen? En dan heb ik het over getallen met decimalen.
2 x 92929 kan ik makkelijk berekenen, maar 98 x 98 kan ik niet? Want dan doe ik eerst 10 x 98 = 980 en dan 9 x 980 = 8820 (dat is dus 90 x 98) en dan doe ik 8 x 98 = 784 en samen opgeteld (8820 + 784) is het 9604.
Maar hoe bereken ik het dan met 11,3 x 11,3 of 23,95 x 8
Oh. Dat is waar het fout gaat. Haha, gezien je doel denk ik dat je juist je antwoord niet zo moet uitrekenen, maar de wortel moet laten staan.quote:
[..]
11,3 en 12,3
Ik heb het helemaal uitgerekend met het vermenigvuldigen.
Ik deed het op deze manier (sqrt 128) :
11 x 11 = 121
12 x 12 = 144
Dus de wortel ligt tussen 11 en 12. Dus toen deed ik 11,5 x 11,5 = 132,25. Dat betekende dus dat ik de decimaal moest verlagen, en toen deed ik 11,3 x 11,3 en dat resulteerde tot 127,69 (dus 128).
Ik kan het trouwens alleen tot 1 decimaal berekenen, ik weet niet of dat een groot verschil maakt bij het berekenen van de abc-formule.
Overigens kan iemand mij helpen, hoe ik getallen makkelijk kan vermenigvuldigen? En dan heb ik het over getallen met decimalen.
2 x 92929 kan ik makkelijk berekenen, maar 98 x 98 kan ik niet? Want dan doe ik eerst 10 x 98 = 980 en dan 9 x 980 = 8820 (dat is dus 90 x 98) en dan doe ik 8 x 98 = 784 en samen opgeteld (8820 + 784) is het 9604.
Maar hoe bereken ik het dan met 11,3 x 11,3 of 23,95 x 8
Edit: Ze willen dus juist dat je de wortel wel laat staan, maar wel even zo klein mogelijk maakt. Bovenaan de toets zou eigenlijk moeten staan "bereken algebraïsch en rond niet af".
Een face to face situatie is niet te vergelijken met het uitleggen op een forum, dat weet je zelf ook wel. Maar ik denk in het algemeen niet dat er iets schort aan mijn uitleg op het forum. Uiteraard is het niet goed mogelijk elke stap tot in het kleinste detail uiteen te zetten, omdat daarmee een vrijwel onleesbare en niet erg attractieve tekst zou ontstaan. En ik laat ook nogal eens tussenstapjes weg. Dat doe ik bewust, om daarmee de vragensteller te triggeren om vervolgvragen te stellen. Daarnaast is het m.i. didactisch ook beter om eerst de grote lijnen van een methode te gaan zien en dan pas de details in te vullen.quote:
[..]
dan zal je in het echt waarschijnlijk beter kunnen uitleggen dan achter je computer
Dat is voor mij juist een probleem, aangezien ik niet weet hoe ik de wortel kan vereenvoudigen etc.. aangezien bij de wortel van 112 niet alle mogelijkheden weet op te schrijven buiten 2 x 56.quote:
[..]
Oh. Dat is waar het fout gaat. Haha, gezien je doel denk ik dat je juist je antwoord niet zo moet uitrekenen, maar de wortel moet laten staan.
quote:
[..]
11,3 en 12,3
Ik heb het helemaal uitgerekend met het vermenigvuldigen.
Ik deed het op deze manier (sqrt 128) :
11 x 11 = 121
12 x 12 = 144
Dus de wortel ligt tussen 11 en 12. Dus toen deed ik 11,5 x 11,5 = 132,25. Dat betekende dus dat ik de decimaal moest verlagen, en toen deed ik 11,3 x 11,3 en dat resulteerde tot 127,69 (dus 128).
Maar waarom bereken je dan 11,3? Dat is niet wat ik bedoelde.quote:
[..]
Dat is voor mij juist een probleem, aangezien ik niet weet hoe ik de wortel kan vereenvoudigen etc.. aangezien bij de wortel van 112 niet alle mogelijkheden weet op te schrijven buiten 2 x 56.
Vereenvoudig zo veel mogelijk sqrt(150) en sqrt(128).
Edit: Het lukt je dus niet om te controleren of 112 een meervoud is van 3? En 4? En 5? En 6? En 7? Of vind je dat daar teveel tijd aan verloren gaat?
[ Bericht 2% gewijzigd door Ofresca op 09-06-2013 19:21:50 ]
