...vraag verder!
Vorige deel:
[bèta wiskunde] huiswerk-en-vragentopic
Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde.
Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!
Links:
Opmaak:
• http://betahw.mine.nu/index.php: site van GlowMouse om formules te kunnen gebruiken in je posts (op basis van Latexcode wordt een plaatje gegenereerd dat je vervolgens via het aangegeven linkje kunt opnemen).
Een uitleg over LaTeX-code kun je hier vinden
Wiskundig inhoudelijk:
• http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
• http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
• http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
• http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
OP
quote:Je bedoelt ongetwijfeld een gelijkzijdige driehoek. Je vraag is zo niet te beantwoorden omdat je bij de snelheid geen eenheid van tijd opgeeft. Maar aangenomen dat je 2 eenheden per seconde bedoelt kom ik zelf uit op 5/3 seconde.Een klein raadsel dat ik ergens op een forum vond een tijd geleden.
Er is een gelijkbenige driehoek met op de hoekpunten, met de klok mee, de punten A B en C.
A beweegt richting B, B richting C en C richting A.
De benen hebben lengte 5, en de punten bewegen allemaal met snelheid 2.
Hoe lang duurt het voordat de punten allemaal op het middelpunt liggen?
Geen flauw idee hoe je dit kan oplossen, als iemand het leuk vindt of weet hoe dit moet hoor ik graag iets, laat anders maar zitten, want het heeft geen enkele prioriteit.
quote:Op grond van symmetrie overwegingen is het duidelijk dat driehoek ABC gelijkzijdig blijft en dat ook het centrum (zwaartepunt) van de driehoek zich niet verplaatst. Bij een gelijkzijdige driehoek is het centrum (zwaartepunt) tevens het middelpunt O van de omgeschreven cirkel. Duiden we de straal van de omgeschreven cirkel aan met r, dan geldt dus OA = OB = OC = r.Op woensdag 15 september 2010 11:07 schreef minibeer het volgende:
haha, ja ik bedoelde inderdaad een gelijkzijdige driehoek en per seconde. Hoe heb je die berekening dan ongeveer gemaakt?
Voor een willekeurige driehoek ABC laat de straal van de omgeschreven cirkel zich berekenen met de uitgebreide sinusregel:
(1) a : sin α = b : sin β = c : sin γ = 2r
Voor een gelijkzijdige driehoek ABC is α = β = γ = 60° en aangezien sin 60° = ½∙√3 vinden we dus voor een gelijkzijdige driehoek met zijden a = b = c = 5 dat 2r = 5/(½∙√3) en dus r = 5/√3 = (5/3)∙√3.
Het vraagstuk is nu herleid tot de vraag hoe de straal r van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC afhangt van de tijd t. Immers, als we r uit kunnen drukken als functie van t, dan kunnen we ook bepalen voor welke waarde van t geldt dat r = 0, en op welk tijdstip de drie hoekpunten A,B en C dus samenvallen met O.
Aangezien OA = OB = OC = r kunnen we volstaan met te kijken naar de afstand r van punt A tot het middelpunt O van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.
We beschouwen nu een zeer klein tijdsinterval [t, t + ∆t] waarin driehoek ABC overgaat in driehoek A'B'C'. We denken ons hierbij ∆t zó klein, dat de verplaatsing van punt A naar punt A' zeer klein is ten opzichte van de lengte van de zijde AB van de driehoek ABC op tijdstip t. Aangezien punt A zich beweegt naar punt B en ook de afstand van punt B' tot B zeer klein is ten opzichte van de lengte van de zijde AB, volgt dat de baan van A naar A' dan bij benadering een recht lijnstuk is dat bovendien vrijwel langs zijde AB ligt.
Duiden we de straal van de omgeschreven cirkel op tijdstip t aan met r en op tijdstip t + ∆t met r + ∆r (waarbij is te bedenken dat het increment ∆r ook negatief kan zijn) dan hebben we dus:
(2) OA = r en OA' = r + ∆r
Om nu een verband te vinden tussen het increment ∆r en daarbij behorende increment van het tijdsinterval ∆t beschouwen we driehoek OAA'. Volgens de cosinusregel geldt:
(3) (OA')2 = (OA)2 + (AA')2 - 2∙OA∙AA'∙cos ∠OAA'
Nu zagen we al dat de baan van A naar A' nagenoeg samenvalt met het lijnstuk AA'. Gegeven is verder dat punt A zich met een snelheid van 2 eenheden per tijdseenheid (seconde) beweegt in de richting van B, zodat voor de lengte van lijnstuk AA' in goede benadering geldt:
(4) AA' ≈ 2∙∆t
Verder zagen we al dat AA' nagenoeg langs AB ligt, zodat ook geldt:
(5) ∠OAA' ≈ ∠OAB = 30°
En dus ook:
(6) cos ∠OAA' ≈ cos 30° = ½∙√3
Op grond van (2), (4) en (6) volgt nu uit (3) dat geldt:
(7) (r + ∆r)2 ≈ r2 + (2∙∆t)2 - 2∙r∙2∙∆t∙½∙√3
Uitwerken geeft:
(8) r2 + 2∙r∙∆r + (∆r)2 ≈ r2 + 4∙(∆t)2 - 2∙r∙√3∙∆t
En van beide leden r2 aftrekken geeft:
(9) 2∙r∙∆r + (∆r)2 ≈ 4∙(∆t)2 - 2∙r∙√3∙∆t
Nu is ∆t zeer klein, wat tot gevolg heeft dat (∆t)2 weer zeer klein is ten opzichte van ∆t en daarmee verwaarloosbaar ten opzichte van ∆t. En omdat ∆t zeer klein is, is ook ∆r zeer klein, waarmee ook (∆r)2 verwaarloosbaar is ten opzichte van ∆r. Aldus volgt uit (9) dat ook geldt:
(10) 2∙r∙∆r ≈ - 2∙r∙√3∙∆t
Deling van beide leden van (10) door 2r geeft dan:
(11) ∆r ≈ - √3∙∆t
En dus:
(12) ∆r/∆t ≈ -√3
Deze benadering wordt beter naarmate ∆t tot 0 nadert, zodat we kunnen concluderen dat geldt:
(13) lim ∆t → 0 (∆r/∆t) = -√3
Oftewel:
(14) dr/dt = -√3
De straal r van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC neemt dus lineair af met de tijd, en wel met √3 eenheden per eenheid van tijd (seconde). En daar, zoals we hebben gezien, op tijdstip t = 0 geldt r = (5/3)∙√3 volgt dus dat r = 0 op tijdstip t = ((5/3)∙√3)/√3 = 5/3 seconde. Daarmee is het vraagstuk opgelost.
We kunnen r als volgt als functie van t schrijven:
(15) r = (5/3 - t)∙√3
Hiermee kunnen we bepalen wanneer de lengten van de zijden van driehoek ABC een bepaalde waarde bereiken door eerst aan de hand van (1) de straal van de omgeschreven cirkel te bepalen. Voor een gelijkzijdige driehoek met zijden van lengte 1 bijvoorbeeld geldt r = (1/3)∙√3 en dus t = 4/3 seconde.
quote:Ik zie je probleem natuurlijk wel, ik heb slechts aangetoond dat geldt dr/dt = -√3 op het open interval (0, 5/3). Maar uit het feit dat r(t) niet is gedefinieerd voor t > 5/3 en (dus) ook niet differentieerbaar is voor t = 5/3 volgt niet dat r(5/3) zelf niet gedefinieerd zou zijn.Op woensdag 15 september 2010 18:48 schreef GlowMouse het volgende:
Dit probleem is net wat anders dan Achilles en de schildpad, en daarom ook lastiger om te begrijpen. Je redenering loopt nu juist voor 0 <= t < 5/3. Op grond van het resultaat kan r(t) niet kloppen voor t > 5/3. Waarom zou r(5/3) = 0 gedefinieerd zijn? Het is wel duidelijk dat het midden willekeurig dicht benaderd wordt.
quote:pff, respect hoor, ff kijken wat ik ervan begrijp
quote:De baan die elk van de hoekpunten van de driehoek aflegt is een logaritmische spiraal. Eén van de eigenschappen daarvan is dat er oneindig veel omwentelingen nodig zijn om de pool (het centrum O) te bereiken, terwijl de totale lengte van de curve vanaf ieder punt op de curve tot aan de pool niettemin eindig is. Dat is denk ik een beetje de paradox waarmee GlowMouse worstelt.Op donderdag 16 september 2010 11:33 schreef minibeer het volgende:
[..]
pff, respect hoor, ff kijken wat ik ervan begrijp
quote:Op donderdag 16 september 2010 12:26 schreef thabit het volgende:
Ken je complexe getallen, minibeer? Daarmee kan het namelijk een stuk simpeler.
quote:Volgens Riparius neemt de radius van de cirkel waarop de hoekpunten liggen af met sqrt(3) eenheden per seconde. Dit is geen logaritmische spiraal, en dat vond Glowmouse raar als ik het allemaal goed begrijp.Op donderdag 16 september 2010 13:43 schreef Riparius het volgende:
[..]
De baan die elk van de hoekpunten van de driehoek aflegt is een logaritmische spiraal. Eén van de eigenschappen daarvan is dat er oneindig veel omwentelingen nodig zijn om de pool (het centrum O) te bereiken, terwijl de totale lengte van de curve vanaf ieder punt op de curve tot aan de pool niettemin eindig is. Dat is denk ik een beetje de paradox waarmee GlowMouse worstelt.
En even over de redenatie van Riparius: mag dat wel, delta t en delta r als 'klein' beschouwen, en dan delta r kwadraat en delta t kwadraat verwaarlozen? Volgens mij mag je alleen een infinitesimaal (ofzo) maken van delta t en delta r, waardoor je die dus als het ware als 0 beschouwt.
quote:Je haalt wat dingen door elkaar, namelijk de lineaire afname in de tijd van de straal van de omgeschreven cirkel van de driehoek en de baan die elk van de hoekpunten van de driehoek beschrijft.Op donderdag 16 september 2010 14:19 schreef minibeer het volgende:
[..]
Volgens Riparius neemt de radius van de cirkel waarop de hoekpunten liggen af met sqrt(3) eenheden per seconde. Dit is geen logaritmische spiraal, en dat vond Glowmouse raar als ik het allemaal goed begrijp.
quote:Wat ik doe mag inderdaad, maar als je liever een afleiding hebt zonder verwaarlozing van hogere-orde termen dan kan dat ook. Ik heb echter gekozen voor een elementaire aanpak die direct aansluit bij het vraagstuk en ben bij mijn uitwerking niet ingegaan op het feit dat de hoekpunten van de driehoek elk een logaritmische spiraal doorlopen.En even over de redenatie van Riparius: mag dat wel, delta t en delta r als 'klein' beschouwen, en dan delta r kwadraat en delta t kwadraat verwaarlozen? Volgens mij mag je alleen een infinitesimaal (ofzo) maken van delta t en delta r, waardoor je die dus als het ware als 0 beschouwt.
A = z,
dan zit B 120 graden gedraaid tenopzichte van A en is dus
B = zeta_3 * z (zeta_3 = e^(2*pi*i/3)).
A wil naar B toe bewegen dus gaat in de richting
B - A = zeta_3 * z - z = (zeta_3 - 1) * z.
Als we ons even niks van de snelheid aantrekken (het gaat uiteindelijk alleen om de lengte van het pad), dan kan de beweging worden beschreven als
z'(t) = (zeta_3 -1) * z
en dus
z(t) = e^((zeta_3 - 1) * t) * z(0), waarbij z(0) het beginpunt is, dus z(0 )is bijvoorbeeld 5 / wortel(3). De lengte van het pad is dan de integraal van ||z'(t)||dt over t van 0 naar oneindig. Probeer dat nu zelf maar eens uit te werken.
.quote:Mmm. Maar als de straal linear afneemt in de tijd, zou er wel een tijdstip zijn waarop de straal 0 is. En dat zou weer niet moeten kunnen toch? Een logaritmische spiraal belandt toch uiteindelijk ook niet precies op het middelpunt?Op donderdag 16 september 2010 14:27 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je haalt wat dingen door elkaar, namelijk de lineaire afname in de tijd van de straal van de omgeschreven cirkel van de driehoek en de baan die elk van de hoekpunten van de driehoek beschrijft.
[..]
Wat ik doe mag inderdaad, maar als je liever een afleiding hebt zonder verwaarlozing van hogere-orde termen dan kan dat ook. Ik heb echter gekozen voor een elementaire aanpak die direct aansluit bij het vraagstuk en ben bij mijn uitwerking niet ingegaan op het feit dat de hoekpunten van de driehoek elk een logaritmische spiraal doorlopen.
Wat ik me afvroeg was of je oplossing wel exact was. Je verwaarloost immers wel enkele termen...
Sowieso heb ik hier niet zoveel verstand van, dus het is niet bedoeld om jou oplossing te ontkrachten ofzo, ik snap alleen niet alles...
quote:Dat is precies de paradox waar ik hierboven op doelde. Het lineair afnemen in de tijd van de afstand van A tot het centrum O en het niet bereiken van punt O in een eindig aantal omwentelingen rond O sluiten elkaar niet uit. De totale baanlengte die punt A aflegt op weg naar O is wel degelijk eindig, namelijk 10/3, zodat het bij een constante baansnelheid van 2 eenheden per seconde dus 5/3 seconde duurt om O te bereiken.Op donderdag 16 september 2010 17:55 schreef minibeer het volgende:
[..]
Mmm. Maar als de straal linear afneemt in de tijd, zou er wel een tijdstip zijn waarop de straal 0 is. En dat zou weer niet moeten kunnen toch? Een logaritmische spiraal belandt toch uiteindelijk ook niet precies op het middelpunt?
quote:Ja, mijn oplossing is exact omdat ik beredeneer dat exact geldt dr/dt = -√3.Wat ik me afvroeg was of je oplossing wel exact was. Je verwaarloost immers wel enkele termen...
quote:Vertel maar wat je niet snapt. Je kunt natuurlijk ook beginnen met de oplossing van Thabit uit te werken, dan zul je zien dat het antwoord exact hetzelfde is. Thabit gebruikt alleen een andere insteek. Hij berekent niet de afstand van punt A tot het centrum O in functie van de tijd maar berekent de totale baanlengte die punt A aflegt op weg naar O. En aangezien deze baanlengte eindig is kun je dan de tijd die punt A nodig heeft om O te bereiken berekenen door de baanlengte te delen door de vaste baansnelheid van 2 lengte-eenheden per seconde.Sowieso heb ik hier niet zoveel verstand van, dus het is niet bedoeld om jou oplossing te ontkrachten ofzo, ik snap alleen niet alles...
Ik heb een simpele vraag waar ik niet uitkom.
Zij E een subset van X.
Bewijs dat:
E is open <=> doorsnede E met de rand van E is leeg
rand van E is gedefinieerd als doorsnede van de afsluiting van E en de afsluiting van X\E
Ik zie het conceptueel wel, alleen het formele bewijs ontbreekt.
<=: Als E niet open is, is er een punt P in E zdd geen enkele open omgeving van P in E bevat is. Dus elke open omgeving van P bevat een punt van X-E. Dit betekent dat P in de afsluiting van X-E zit en dus ook in de rand van E.
quote:WTF. Ben ik achterlijk als ik niet eens snap wat je precies bedoelt?Op woensdag 15 september 2010 11:07 schreef minibeer het volgende:
haha, ja ik bedoelde inderdaad een gelijkzijdige driehoek en per seconde. Hoe heb je die berekening dan ongeveer gemaakt?
Ik zie wel in dat de driehoek verandert (hij wordt kleiner en draait met de klok mee en wordt dan weer groter toch?), maar wanneer komt elk punt dan bij elkaar in het middelpunt?
Ik denk dat ik er geen goede voorstelling van maak.
quote:Nee, dat is niet zo. Ik heb het hierboven allemaal al uitgelegd, dus als het vraagstuk je interesseert neem dan tenminste de moeite om ook de reacties op de vraag van minibeer door te lezen.Op vrijdag 17 september 2010 01:02 schreef Zwansen het volgende:
[..]
WTF. Ben ik achterlijk als ik niet eens snap wat je precies bedoelt?
Ik zie wel in dat de driehoek verandert (hij wordt kleiner en draait met de klok mee en wordt dan weer groter toch?),
quote:Uhm, dat heb ik natuurlijk gedaan voordat ik die post plaatste.Op vrijdag 17 september 2010 01:40 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee, dat is niet zo. Ik heb het hierboven allemaal al uitgelegd, dus als het vraagstuk je interesseert neem dan tenminste de moeite om ook de reacties op de vraag van minibeer door te lezen.
Anders ga ik het ook niet vragen.quote:Als je het zou proberen te begrijpen, denk je dan niet dat je gerichte vragen hebt?Op vrijdag 17 september 2010 11:08 schreef Zwansen het volgende:
[..]
Uhm, dat heb ik natuurlijk gedaan voordat ik die post plaatste.
Dus niet 'ik snap het niet, kun je nog eens een compleet ander verhaal ophangen', maar 'ik snap dit niet' of 'hoe kom je van dit naar dat?', etc.
Riparius geeft een verhaal waar hij duidelijk van stap naar stap gaat, met overal een korte uitleg. En dan kom jij met 'Ik snap er niks van, kun je het nog eens uitleggen'.
quote:Ik was vrij duidelijk dacht ik.Op vrijdag 17 september 2010 11:11 schreef Siddartha het volgende:
[..]
Als je het zou proberen te begrijpen, denk je dan niet dat je gerichte vragen hebt?
Dus niet 'ik snap het niet, kun je nog eens een compleet ander verhaal ophangen', maar 'ik snap dit niet' of 'hoe kom je van dit naar dat?', etc.
Riparius geeft een verhaal waar hij duidelijk van stap naar stap gaat, met overal een korte uitleg. En dan kom jij met 'Ik snap er niks van, kun je het nog eens uitleggen'.
Ik snap de probleemstelling zelf niet. Dat heb ik proberen weer te geven met dat plaatje. Hoe kunnen de punten ooit in een middelpunt samenkomen als het een gelijkzijdige driehoek is en ze allen even snel gaan?
Voor mijn gevoel wordt de driehoek kleiner tot aan de helft van de zijde en daarna weer groter. Als A in punt B is, B in C, etc. dan is de driehoek weer in zijn oorspronkelijk staat (alleen dan gedraaid natuurlijk). En daarna begint deze cyclus weer opnieuw. Ik zie dus niet in hoe de driehoek steeds kleiner wordt en de punten dus dichter op elkaar.
[ Bericht 5% gewijzigd door Zwansen op 17-09-2010 12:19:08 ]
quote:Oh, wacht. Nu snap ik het. Dat ik daar zelf niet op kwam.Op vrijdag 17 september 2010 13:09 schreef GlowMouse het volgende:
Punt B beweegt, en A gaat altijd naar de actuele positie van B.
Thnx
In het geval dat deze hoek 90 graden zou zijn, zou de beweging van A een cirkel zijn, en zou de straal niet veranderen.
Het lijkt me dat je dit met infinitesimalen zou kunnen uitrekenen, maar zowel de vraag als de bewering die ik net deed, kan ik niet met een of andere berekening aantonen
quote:Op dinsdag 14 september 2010 20:02 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
Nooit. Als A het middelpunt bereikt, is dat omdat op dat moment B aan de andere kant van het middelpunt ligt. Vanwege symmetrie komt dat nooit voor.
quote:Je observatie is niet helemaal juist geformuleerd, punt A beweegt zich in een richting die een hoek van 30° maakt met OA aangezien ∠OAB = 30°. En aangezien een raaklijn aan een cirkel loodrecht staat op de straal naar het raakpunt, beweegt punt A zich steeds in een richting die een (naar binnen gerichte) hoek maakt van 60° met de baan van een cirkel door A met middelpunt O. Dat is kenmerkend voor een logaritmische spiraal, die om deze reden ook wel een equiangulaire spiraal wordt genoemd.Op vrijdag 17 september 2010 14:28 schreef minibeer het volgende:
Ik ben erachter gekomen dat het probleem eigenlijk veel simpeler is dan de vraagstelling doet vermoeden. Door symmetrie beweegt a altijd naar een punt dat ten opzichte van de oorsprong zestig graden verschoven is:
[ afbeelding ]
In het geval dat deze hoek 90 graden zou zijn, zou de beweging van A een cirkel zijn, en zou de straal niet veranderen.
Het lijkt me dat je dit met infinitesimalen zou kunnen uitrekenen, maar zowel de vraag als de bewering die ik net deed, kan ik niet met een of andere berekening aantonen
Het is heel eenvoudig om hiermee via infinitesimalen een betrekking te vinden tussen de hoek waarover punt A op een gegeven moment is geroteerd vanaf het beginpunt en de daarbij behorende straal.
Laten we weer even een klein tijdsinterval [t, t + ∆t] beschouwen waarin punt A zich verplaatst naar punt A'. Laten we tevens de hoek waarover A is geroteerd om O vanaf het startpunt aanduiden met φ en de hoek waarover A' is geroteerd om O met φ + ∆φ, zodat ∠AOA' = ∆φ. Ik zal hierbij steeds aannemen dat φ in radialen is uitgedrukt. Noem verder de afstand van O tot A weer r en de afstand van O tot A' weer r + ∆r.
Nu hebben we gezien dat OA' < OA, zodat punt A' binnen de cirkel ligt met straal OA = r. Verleng nu OA' zodat het verlengde van OA' de cirkel met middelpunt O en straal r snijdt in een punt P. Je kunt nu gemakkelijk inzien dat driehoek AA'P bij benadering een rechte driehoek is met een rechte hoek in P. Ook kun je zien dat vanwege de richting waarin punt A beweegt geldt dat:
(1) ∠PAA' ≈ 60°.
Voor de zijde A'P van driehoek AA'P geldt A'P = OP - OA' = OA - OA' = r - (r + ∆r), dus:
(2) A'P = -∆r
De lengte AA' van de hypotenusa van de (nagenoeg) rechthoekige driehoek AA'P hadden we al eerder bekeken, dit lijnstuk is nagenoeg de baan van punt A naar punt A' in het tijdsinterval [t, t + ∆t], zodat:
(3) AA' ≈ 2∙∆t
Nu is in een rechthoekige driehoek de sinus van een scherpe hoek gelijk aan de verhouding tussen de overstaande zijde en de schuine zijde, zodat we hebben:
(4) A'P/AA' ≈ sin ∠PAA'
En op grond van (1), (2) en (3) hebben we dus:
(5) -∆r/(2∙∆t) ≈ sin 60° = ½∙√3
En dus vinden we weer:
(6) ∆r/∆t ≈ -√3
Deze benadering wordt beter naarmate ∆t tot nul nadert, dus hebben we:
(7) dr/dt = -√3
Dit is exact wat we eerder vonden, alleen heb ik nu geen hogere-orde termen verwaarloosd, waarmee ik aan je bezwaar tegemoet ben gekomen.
We kunnen nu ook een betrekking afleiden tussen de hoek φ waarover A is geroteerd om O vanaf het startpunt en de daarbij behorende afstand r van A tot O, zodat we een vergelijking in poolcoördinaten kunnen opstellen van de baan die punt A beschrijft.
Voor zijde AP van driehoek AA'P geldt dat deze vrijwel gelijk is aan de lengte r∙∆φ van de cirkelboog AP, dus:
(8) AP ≈ r∙∆φ
Verder is in een rechthoekige driehoek de tangens van een scherpe hoek gelijk aan de verhouding tussen de overstaande en de aanliggende rechthoekszijde, zodat we hebben:
(9) A'P/AP ≈ tan ∠PAA'
Op grond van (1), (2) en (8) hebben we dus:
(10) -∆r/(r∙∆φ) ≈ tan 60° = √3
En dus:
(11) ∆r/(r∙∆φ) ≈ -√3
Deze benadering wordt weer beter naarmate ∆t en daarmee ook ∆φ tot nul nadert, zodat we hebben:
(12) dr/dφ = -√3∙r
Dit is een differentiaalvergelijking waarmee we r als functie van φ kunnen bepalen. Aangezien de exponentiële functie zichzelf als afgeleide heeft zal het duidelijk zijn dat uit (12) volgt dat we hebben:
(13) r = C∙e-√3∙φ
De waarde van de constante C kunnen we bepalen door φ = 0 te nemen. Als we het startpunt van punt A op tijdstip t = 0 als referentiepunt nemen voor de rotatie van A om O dan moet dus gelden r = (5/3)∙√3 voor φ = 0 zodat C = (5/3)∙√3 en krijgen we dus:
(14) r = (5/3)∙√3∙e-√3∙φ
Dit is de vergelijking in poolcoördinaten van de baan die punt A beschrijft, waarbij je echter moet bedenken dat φ hier - in tegenstelling met wat gebruikelijk is - de rotatie (in radialen) met de wijzers van de klok mee aangeeft, omdat je in je probleem de hoekpunten van je driehoek met de wijzers van de klok mee laat bewegen. Maar dat is verder niet wezenlijk voor je vraagstuk.
Nu zul je misschien zeggen: aha, de waarde van die e-macht kan nooit nul worden, en 'dus' kan punt A nooit het centrum O bereiken, maar zo eenvoudig ligt dat niet. De totale lengte van de baan vanaf het startpunt van A tot aan O is wel degelijk eindig, namelijk 10/3, dus als je een vaste baansnelheid van 2 lengte-eenheden per seconde aanneemt dan zal A ook in een eindige tijd, namelijk 5/3 seconde, het centrum O bereiken. Fysisch kan dat niet omdat de hoeksnelheid dφ/dt = 1/r onbeperkt toeneemt naarmate r afneemt, maar wiskundig is het geen probleem.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 17-09-2010 18:42:51 ]
quote:Ik neem aan dat je er inmiddels ook achter bent dat er veel meer wiskunde aan vast zit dan je vermoedde. Maar als je het echt simpel wil doe het dan als volgt. Ontbind de snelheidsvector v in punt A in een radiale component vr en een angulaire component va. Aangezien A naar B beweegt met een snelheid van 2 eenheden per seconde en ∠OAB = 30° hebben we dan:Op vrijdag 17 september 2010 14:28 schreef minibeer het volgende:
Ik ben erachter gekomen dat het probleem eigenlijk veel simpeler is dan de vraagstelling doet vermoeden.
| vr | = |v|∙cos 30° = 2∙½√3 = √3 en | va | = |v|∙sin 30° = 2∙½ = 1.
Nu zie je meteen dat de afstand van A tot O lineair afneemt met de tijd en dat het 5/3 seconde duurt om O te bereiken aangezien r = (5/3)∙√3 voor t = 0. Makkelijker kan ik het echt niet maken.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 18-09-2010 07:38:01 ]
Ik heb een bepaalde vorm, de rode lijnen, de hoekige voorkant moet worden afgerond met een cirkel met straal r, die kies ik. De eisen zijn dat hij zowel onder als boven vloeiend overloopt, de afgeleide van de cirkel moet hetzelfde zijn als die van de rode lijnen. Ik moet het middelpunt van de cirkel vinden.
Voor de onderkant is dit makkelijk, het betekent dat de het midden van de cirkel begint op een hoogte gelijk aan de straal. De afgeleide van de cirkel is dy/dx = - (x-a)/(y-b) en die van de rode lijn is 0.1778106*x^-0.5355. Die moeten dus gelijk zijn op het punt waar ze samen komen aan de linkerkant.
Hoe doe ik dit? Ben nu al weer een tijdje zelf bezig, maar het lukt maar niet. Ik moet het in een programmaatje in Matlab verwerken, waarbij ik r kan variëren, uiteindelijk moet ik een optimale r vinden. Wie helpt?
quote:Dat is de oorsprong, 0,0 dus.Op zaterdag 18 september 2010 12:24 schreef GlowMouse het volgende:
wat is het (x,y)-coordinaat van het hoekpunt?
We zijn geïnteresseerd in de bovenste helft van de cirkel; de formule daarvoor is y = r + sqrt(r - (x-a)²). Er geldt dy/dx = (a-x) / sqrt(r-(x-a)²).
Nu moet je dus uitzoeken wanneer ze raken. Daarvoor moeten ze een punt gemeenschappelijk hebben en tevens dezelfde afgeleide hebben.
r + sqrt(r - (x-a)² = 0.3828 x^0.0.4645
(a-x) / sqrt(r-(x-a)²) = 0.1778106*x^-0.5355.
Twee vergelijkingen, twee onbekenden, succes
Edit: Ik dacht dat die solve functie het wel zou kunnen in matlab, maar die doet het niet. 'warning explicit solution could not be found' Wat kan ik het beste hiervoor gebruiken? fsolve? die is wel ingewikkelder en trager volgens mij.
Edit2: Die fsolver doet het ook niet. Optimization terminated: no further progress can be made.
Ik snap het niet.
[ Bericht 21% gewijzigd door Schuifpui op 18-09-2010 13:47:53 ]
quote:Ik verwachtte wel dat er zoveel wiskunde aan vast zou zittenOp zaterdag 18 september 2010 07:26 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ik neem aan dat je er inmiddels ook achter bent dat er veel meer wiskunde aan vast zit dan je vermoedde. Maar als je het echt simpel wil doe het dan als volgt. Ontbind de snelheidsvector v in punt A in een radiale component vr en een angulaire component va. Aangezien A naar B beweegt met een snelheid van 2 eenheden per seconde en ∠OAB = 30° hebben we dan:
| vr | = |v|∙cos 30° = 2∙½√3 = √3 en | va | = |v|∙sin 30° = 2∙½ = 1.
Nu zie je meteen dat de afstand van A tot O lineair afneemt met de tijd en dat het 5/3 seconde duurt om O te bereiken aangezien r = (5/3)∙√3 voor t = 0. Makkelijker kan ik het echt niet maken.
. Daarom zei ik ook dat je er vooral niet aan moest beginnen als je het niet boeiend vindt.Ik had inderdaad deze manier ook al overwogen, maar ik wist niet of je dat zo mag aantonen (aangezien het mij niet lukte om aan te tonen dat een punt dat alleen een angulaire component heeft dezelfde straal heeft, onafhankelijk van het tijdstip dat beken wordt).
Bedankt voor de hulp in ieder geval!
(ook riparius en thabit!)
quote:Boeiend is je vraagstuk niet echt omdat het meteen duidelijk was dat de punten van je driehoek een equiangulaire spiraal beschrijven, en de eigenschappen daarvan zijn al eeuwen bekend, maar ik vind het wel leuk om zoiets te analyseren.Op zaterdag 18 september 2010 13:54 schreef minibeer het volgende:
[..]
Ik verwachtte wel dat er zoveel wiskunde aan vast zou zitten
quote:Als punt A zou bewegen in een richting loodrecht op OA, dan zou |vr| = 0 zijn aangezien cos 90° = 0. Dan kan echter de afstand van A tot O niet veranderen, zodat punt A een cirkelbaan beschrijft, waarbij de angulaire snelheid |va| gelijk is aan de baansnelheid.Ik had inderdaad deze manier ook al overwogen, maar ik wist niet of je dat zo mag aantonen (aangezien het mij niet lukte om aan te tonen dat een punt dat alleen een angulaire component heeft dezelfde straal heeft, onafhankelijk van het tijdstip dat bekeken wordt).
Ik kwam op het idee om de snelheidsvector te ontbinden in een radiale en een angulaire component nadat ik langs analytische weg had afgeleid dat dφ/dt = 1/r. De implicatie daarvan is namelijk dat de angulaire snelheid |va| constant is en wel 1 eenheid per seconde. En aangezien uit dr/dt = -√3 volgt dat ook |vr| constant is moet |v| constant zijn en hebben we volgens Pythagoras |v| = √(3 + 1) = 2, en dat klopt als een bus.
quote:Graag gedaan. Mocht je nog belang stellen in een berekening van de baanlengte via poolcoördinaten of via een parametervoorstelling van de curve in het complexe vlak, laat dat dan maar even weten, de kladjes met de uitwerkingen liggen hier nu toch.Bedankt voor de hulp in ieder geval!
(ook riparius en thabit!)
[ Bericht 97% gewijzigd door Hanneke12345 op 18-09-2010 21:25:20 ]
quote:Het was ook meer omdat ik zelf niet goed snapte hoe je dit moest oplossen, niet dat het een nieuw terrein voor de wiskunde is ofzoOp zaterdag 18 september 2010 17:25 schreef Riparius het volgende:
Boeiend is je vraagstuk niet echt omdat het meteen duidelijk was dat de punten van je driehoek een equiangulaire spiraal beschrijven, en de eigenschappen daarvan zijn al eeuwen bekend, maar ik vind het wel leuk om zoiets te analyseren.
.quote:Ik ben eigenlijk wel benieuwd hoe je dit gedaan hebt, het lukt me nog steeds niet iets zinnigs te berekenen aan dit geval/de logaritmische spiraal... (ik hoef geen pagina's vol berekeningen te zien hoor, ik vraag me gewoon de manier af waarop je dat hebt gedaan)[b]Op zaterdag 18 september 2010 17:25
Ik kwam op het idee om de snelheidsvector te ontbinden in een radiale en een angulaire component nadat ik langs analytische weg had afgeleid dat dφ/dt = 1/r.
hartelijk dank iig
quote:Dat begrijp ik, daarom heb ik ook de moeite genomen om het eens uitvoerig op te schrijven zodat je er zelf verder mee kunt. Maar dat blijkt dus nog steeds moeilijk ...Op zondag 19 september 2010 17:38 schreef minibeer het volgende:
[..]
Het was ook meer omdat ik zelf niet goed snapte hoe je dit moest oplossen, niet dat het een nieuw terrein voor de wiskunde is ofzo
[..]
quote:Kijk nog even naar de driehoek AA'P in mijn post hierboven waar ik de vergelijking in poolcoördinaten van je curve afleid. We hadden al gekeken naar de sinus en de tangens van ∠PAA', maar we kunnen ook nog kijken naar de cosinus van deze hoek. In een rechthoekige driehoek is de cosinus van een scherpe hoek gelijk aan de verhouding tussen de aanliggende rechthoekszijde en de schuine zijde, dus hebben we:Ik ben eigenlijk wel benieuwd hoe je dit gedaan hebt, het lukt me nog steeds niet iets zinnigs te berekenen aan dit geval/de logaritmische spiraal... (ik hoef geen pagina's vol berekeningen te zien hoor, ik vraag me gewoon de manier af waarop je dat hebt gedaan)
hartelijk dank iig
(1) AP/AA' ≈ cos ∠PAA'
Nu is zoals we al hebben gezien AP ≈ r∙∆φ, AA' ≈ 2∙∆t en ∠PAA' ≈ 60°, terwijl cos 60° = ½. Dus krijgen we:
(2) r∙∆φ/(2∙∆t) ≈ 1/2
En dus:
(3) ∆φ/∆t ≈ 1/r
Deze benadering wordt weer beter naarmate ∆t tot nul nadert, zodat we dus vinden:
(4) dφ/dt = 1/r
Je kunt dit resultaat ook nog op een andere manier krijgen. Volgens de kettingregel geldt namelijk:
(5) dr/dt = (dr/dφ)∙(dφ/dt)
Maar nu had ik al afgeleid dat dr/dt = -√3 en dr/dφ = -√3∙r. Invullen in (5) geeft -√3 = -√3∙r∙dφ/dt en dus inderdaad dφ/dt = 1/r, waarmee we (4) weer hebben gevonden.
quote:Ik vraag me toch af of je wel precies genoeg weet wat je nu eigenlijk wil. Je spreekt over het vinden van een optimale waarde van r, maar dan moet je ook exact kunnen definiëren wat je in dit verband onder optimaal verstaat. Ik kan betrekkingen afleiden die, uitgaande van een willekeurig punt (x0; f(x0)) op de curve, de coördinaten leveren van het middelpunt van de cirkel die zowel raakt aan de curve als aan de horizontale as uitgedrukt in x0 (resp. f(x0) en f'(x0)), maar dat is precies het omgekeerde van wat je kennelijk wil. Uit de betrekking tussen x0 en r laat x0 zich alleen numeriek bepalen voor een gegeven r, maar dan nog zie ik niet wat je daarmee denkt te bereiken c.q. wat je onder het optimaliseren van r verstaat.Op zaterdag 18 september 2010 12:21 schreef Schuifpui het volgende:
Ik heb een vraag, voor de duidelijkheid even een paint erbij:
[ afbeelding ]
Ik heb een bepaalde vorm, de rode lijnen, de hoekige voorkant moet worden afgerond met een cirkel met straal r, die kies ik. De eisen zijn dat hij zowel onder als boven vloeiend overloopt, de afgeleide van de cirkel moet hetzelfde zijn als die van de rode lijnen. Ik moet het middelpunt van de cirkel vinden.
Voor de onderkant is dit makkelijk, het betekent dat de het midden van de cirkel begint op een hoogte gelijk aan de straal. De afgeleide van de cirkel is dy/dx = - (x-a)/(y-b) en die van de rode lijn is 0.1778106*x^-0.5355. Die moeten dus gelijk zijn op het punt waar ze samen komen aan de linkerkant.
Hoe doe ik dit? Ben nu al weer een tijdje zelf bezig, maar het lukt maar niet. Ik moet het in een programmaatje in Matlab verwerken, waarbij ik r kan variëren, uiteindelijk moet ik een optimale r vinden. Wie helpt?
Dus ze willen dat ik die functie uitbeeld in vectoren, maar wtf bedoelen ze met like eq.(24), hoe moet ik het dan neerzetten? Snap geen hol van wat ze nu precies willen.
Dit snap ik overigens ook niet;
Eerst heeft u2 nog de waarde 1 en daarna 1/2 sqrt(2)? Waarom?
Dan is L1 := {p1+xv1| x in R}
En L2
{p2 + yv2 | y in R}Nu moeten we de kleinste afstand tussen die twee lijnen bepalen, dwz het minimum van ||q1-q2|| waar q1 in L1 en q2 in L2.
Als tip krijg ik : Het minimum word bereikt als de verbindingsvector q1-q2 loodrecht op beide lijnen staat.
Nu heb ik het volgende gedaan:
||L1|| en ||L2|| bepaald, daarna L1-L2 gedaan en dan ||L1-L2|| bepaald.
Vervolgens heb ik de kwadraten daarvan aan elkaar gelijkgesteld, en zo uitgerekend wat x en y moeten zijn, en dat weer invullen in L1 en L2 voor de q1 en q2 coordinaten. Klopt dit?
quote:Nee. De vector v bestaat uit de onbekende componenten (x, y) waarvoor je juist een vergelijking hebt. Die vergelijking moet je omschrijven tot een inproductvergelijking voor v.Op maandag 20 september 2010 19:26 schreef Diabox het volgende:
Ik ben hier echt noob in, ik heb dus als vector v (1,2) en als vector u (1,0) kan dit kloppen?
quote:Hier kan ik wat mee, straks even kijken.Op maandag 20 september 2010 20:21 schreef thabit het volgende:
[..]
Nee. De vector v bestaat uit de onbekende componenten (x, y) waarvoor je juist een vergelijking hebt. Die vergelijking moet je omschrijven tot een inproductvergelijking voor v.
quote:L1 en L2 zijn lijnen. Ik snap niet hoe je lijnen van elkaar kunt aftrekken en er een norm van kunt nemen.Op maandag 20 september 2010 20:13 schreef Siddartha het volgende:
Ik heb de volgende vectoren: p1, p2, v1 en v2.
Dan is L1 := {p1+xv1| x in R}
En L2
Nu moeten we de kleinste afstand tussen die twee lijnen bepalen, dwz het minimum van ||q1-q2|| waar q1 in L1 en q2 in L2.
Als tip krijg ik : Het minimum word bereikt als de verbindingsvector q1-q2 loodrecht op beide lijnen staat.
Nu heb ik het volgende gedaan:
||L1|| en ||L2|| bepaald, daarna L1-L2 gedaan en dan ||L1-L2|| bepaald.
Vervolgens heb ik de kwadraten daarvan aan elkaar gelijkgesteld, en zo uitgerekend wat x en y moeten zijn, en dat weer invullen in L1 en L2 voor de q1 en q2 coordinaten. Klopt dit?
quote:Ik volg echt niet wat je hier doet. Je definieert L1 en L2 elk als een verzameling vectoren waarvan de eindpunten op een rechte lijn liggen, maar van een verzameling kun je geen modulus nemen.Op maandag 20 september 2010 20:13 schreef Siddartha het volgende:
Ik heb de volgende vectoren: p1, p2, v1 en v2.
Dan is L1 := {p1+xv1| x in R}
En L2
Nu moeten we de kleinste afstand tussen die twee lijnen bepalen, dwz het minimum van ||q1-q2|| waar q1 in L1 en q2 in L2.
Als tip krijg ik : Het minimum word bereikt als de verbindingsvector q1-q2 loodrecht op beide lijnen staat.
Nu heb ik het volgende gedaan:
||L1|| en ||L2|| bepaald, daarna L1-L2 gedaan en dan ||L1-L2|| bepaald.
Vervolgens heb ik de kwadraten daarvan aan elkaar gelijkgesteld, en zo uitgerekend wat x en y moeten zijn, en dat weer invullen in L1 en L2 voor de q1 en q2 coordinaten. Klopt dit?
Wat je moet doen is gebruik maken van het feit dat het inproduct van twee vectoren die loodrecht op elkaar staan gelijk is aan nul. Dan kun je twee lineaire vergelijkingen in x en y opstellen waaruit je dus x en y kunt bepalen, tenzij de lijnen evenwijdig lopen of samenvallen.
quote:Ik dacht dat, als het inproduct 0 is, dan geld pythagoras, dus .. Maar ik dacht er niet aan dat L1 en L2 niet loodrecht op elkaar staan, maar juist de verbindingsvector op de lijnen.Op dinsdag 21 september 2010 15:17 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ik volg echt niet wat je hier doet. Je definieert L1 en L2 elk als een verzameling vectoren waarvan de eindpunten op een rechte lijn liggen, maar van een verzameling kun je geen modulus nemen.
Wat je moet doen is gebruik maken van het feit dat het inproduct van twee vectoren die loodrecht op elkaar staan gelijk is aan nul. Dan kun je twee lineaire vergelijkingen in x en y opstellen waaruit je dus x en y kunt bepalen, tenzij de lijnen evenwijdig lopen of samenvallen.
Ik heb nog een vraag: Ik heb p1=(1 1 2) en v1=(2 0 1), zodat L1= {p1 +x v1) met x in R.
Hoe word de lijn L1 dan gevormd? En wat stelt die lijn voor? Wat voor invloed heeft de '+ x v1'?
Ik kan het me vrij moeilijk voorstellen.
Ik moet dus nu het inproduct van L1 en L2 gaan vormen, en dan gelijkstellen aan 0 ?
Er bestaat geen 'inproduct van een lijn'. Maar je zoekt wel een vector die zowel loodrecht op de ene, als loodrecht op de andere lijn staat.
quote:Dus juist v is de richtingsvector in de lijn L1? En dat komt omdat daar de variabele inzit, een beetje als een normale formule y = vx + p ?Op dinsdag 21 september 2010 17:10 schreef GlowMouse het volgende:
De lijn gaat door (1 1 2) en heeft richtingsvector (2 0 1). De punten (3 1 3) en (2 1 2.5) liggen bijvoorbeeld op de lijn.
Er bestaat geen 'inproduct van een lijn'. Maar je zoekt wel een vector die zowel loodrecht op de ene, als loodrecht op de andere lijn staat.
Maar wel een inproduct van 2 lijnen, L1 en L2. Toch?
quote:Je kunt niet spreken van het inproduct van twee lijnen. Om te beginnen zijn je keuzes van de naamgeving van de verschillende vectoriële en scalaire grootheden wel erg ongelukkig, en dat werkt begripsverwarring in de hand, zoals hier wel blijkt. Je moet in ieder geval niet x en y gebruiken voor de parameters in je vectorvoorstellingen van lijn ℓ1 en lijn ℓ2 omdat x, y en z gewoonlijk al worden gebruikt om de coördinaten van een punt in de driedimensionale ruimte aan te geven. Traditiegetrouw wordt de letter λ gebruikt voor de parameter in een vectorvoorstelling van een lijn. Verder zou je v kunnen gebruiken voor een algemene (variabele) vector, r voor een richtingsvector en s voor een steunvector. Een ander woord voor steunvector is plaatsvector, zodat je hiervoor ook p zou kunnen kiezen. Vectoren moeten verder in je notatie altijd goed onderscheiden kunnen worden van scalaire (reële) grootheden. Daarom worden letters die vectoren aanduiden vaak voorzien van een pijltje of streepje. Als dat typografisch lastig is of gewoon niet gaat, dan is het gebruik van vetgedrukte letters (bold) een prima alternatief. Een algemene vectorvoorstelling van een lijn ℓ kunnen we dan bijvoorbeeld noteren als:Op dinsdag 21 september 2010 17:15 schreef Siddartha het volgende:
[..]
Dus juist v is de richtingsvector in de lijn L1? En dat komt omdat daar de variabele inzit, een beetje als een normale formule y = vx + p ?
Maar wel een inproduct van 2 lijnen, L1 en L2. Toch?
ℓ: v = p + λ∙r
Een vermenigvuldiging van een vector r met een scalaire grootheid λ levert een vector op die langs r ligt, zodat een vectorvoorstelling van het type v = λ∙r altijd een lijn door de oorsprong voorstelt. Het optellen van de vaste vector p bij λ∙r resulteert alleen in een translatie van de eindpunten van alle vectoren λ∙r met λ ∈ ℝ, zodat lijn ℓ gegeven door bovenstaande vectorvoorstelling parallel is aan vector r, hetgeen de naam richtingsvector verklaart.
Heb je nu twee lijnen ℓ1 en ℓ2 waarbij het van belang is de parameters in beide vectorvoorstellingen van elkaar te kunnen onderscheiden, dan zou je gebruik kunnen maken van indices om de parameters alsmede de richtings- en steunvectoren van elkaar te onderscheiden, dus:
(1) ℓ1: v = p1 + λ1∙r1
(2) ℓ2: v = p2 + λ2∙r2
Maar omdat we voor je vraagstuk een stelsel vergelijkingen in de beide parameters moeten opstellen is het, om verschrijvingen te voorkomen, beter om aparte letters te gebruiken voor de parameters, en dan ligt het gebruik van λ en μ voor de hand, dus:
(3) ℓ1: v = p1 + λ∙r1
(4) ℓ2: v = p2 + μ∙r2
Als nu ℓ1 en ℓ2 twee rechte lijnen zijn in de driedimensionale ruimte die elkaar kruisen, dan kunnen we de minimale afstand tussen twee punten die elk op één van beide lijnen liggen als volgt bepalen. Laten we een willekeurig punt Q1 kiezen op ℓ1 en laten we de vector OQ1 aanduiden met q1. Dan voldoet q1 aan (3), zodat er een λ ∈ ℝ is waarvoor geldt:
(5) q1 = p1 + λ∙r1
Evenzo kunnen we een willekeurig punt Q2 kiezen op ℓ2. Duiden we de vector OQ2 aan met q2, dan is er dus ook een μ ∈ ℝ zodanig dat:
(6) q2 = p2 + μ∙r2
Nu weten we ook dat de afstand tussen punt Q1 op ℓ1 en punt Q2 op ℓ2 minimaal is als beide punten zodanig liggen dat het lijnstuk Q1Q2 loodrecht staat op zowel ℓ1 als ℓ2. Maar nu is het lijnstuk Q1Q2 parallel met de verschilvector q1 - q2, en ook weten we dat ℓ1 parallel is met richtingsvector r1 en dat ℓ2 parallel is met richtingsvector r2. Maar dan moet voor een minimale afstand van Q1 en Q2 dus gelden dat vector q1 - q2 loodrecht staat op zowel r1 als r2. En dat betekent weer dat het inproduct (dot product) van q1 - q2 met zowel r1 als r2 nul moet zijn, dus vinden we als voorwaarden:
(7a) (q1 - q2)∙r1 = 0
(7b) (q1 - q2)∙r2 = 0
Door (6) af te trekken van (5) vinden we:
(8) q1 - q2 = p1 - p2 + λ∙r1 - μ∙r2
Aangezien de vaste vectoren p1, r1, p2 en r2 bekend zijn, kun je met (8) de coördinaten van het eindpunt van vector q1 - q2 uitdrukken in λ en μ, waarna je met (7a) en (7b) twee lineaire vergelijkingen in λ en μ krijgt. Oplossen van dit stelsel levert de waarden van λ en μ waarna je door substitutie van de gevonden waarden in (5) en (6) de coördinaten van de gezochte punten Q1 en Q2 verkrijgt. De lengte van lijnstuk Q1Q2 en dus de minimale afstand van de lijnen ℓ1 en ℓ2 is dan de lengte ||q1 - q2|| van vector q1 - q2. Om een beter inzicht te krijgen in de manier waarop je met vectorvoorstellingen van rechte lijnen, parameters en inproducten kunt werken kan ik je aanraden om deze uitwerking door te nemen van een opgave waarin wordt gevraagd naar de coördinaten van een punt in een vlak dat een minimale afstand heeft tot een gegeven punt buiten dat vlak.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 22-09-2010 13:06:28 ]
Als je nu 2.300 euro hebt en je wil 10.000 hebben. Het interestpercentage is 5%, hoeveel jaren moet je dan sparen?
2.300 x 1,05x = 10.000
1,05x = 10.000/2.300
1,05x = 4,348
x = ?
Ik kan wel een grafiekje plotten en dan het snijpunt traceren, maar dat is niet de bedoeling!
quote:Op woensdag 22 september 2010 03:37 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je kunt niet spreken van het inproduct van twee lijnen. Om te beginnen zijn je keuzes van de naamgeving van de verschillende vectoriële en scalaire grootheden wel erg ongelukkig, en dat werkt begripsverwarring in de hand, zoals hier wel blijkt. Je moet in ieder geval niet x en y gebruiken voor de parameters in je vectorvoorstellingen van lijn ℓ1 en lijn ℓ2 omdat x, y en z gewoonlijk al worden gebruikt om de coördinaten van een punt in de driedimensionale ruimte aan te geven. Traditiegetrouw wordt de letter λ gebruikt voor de parameter in een vectorvoorstelling van een lijn. Verder zou je v kunnen gebruiken voor een algemene (variabele) vector, r voor een richtingsvector en s voor een steunvector. Een ander woord voor steunvector is plaatsvector, zodat je hiervoor ook p zou kunnen kiezen. Vectoren moeten verder in je notatie altijd goed onderscheiden kunnen worden van scalaire (reële) grootheden. Daarom worden letters die vectoren aanduiden vaak voorzien van een pijltje of streepje. Als dat typografisch lastig is of gewoon niet gaat, dan is het gebruik van vetgedrukte letters (bold) een prima alternatief. Een algemene vectorvoorstelling van een lijn ℓ kunnen we dan bijvoorbeeld noteren als:
ℓ: v = p + λ∙r
Een vermenigvuldiging van een vector r met een scalaire grootheid λ levert een vector op die langs r ligt, zodat een vectorvoorstelling van het type v = λ∙r altijd een lijn door de oorsprong voorstelt. Het optellen van de vaste vector p bij λ∙r resulteert alleen in een translatie van de eindpunten van alle vectoren λ∙r met λ ∈ ℝ, zodat lijn ℓ gegeven door bovenstaande vectorvoorstelling parallel is aan vector r, hetgeen de naam richtingsvector verklaart.
Heb je nu twee lijnen ℓ1 en ℓ2 waarbij het van belang is de parameters in beide vectorvoorstellingen van elkaar te kunnen onderscheiden, dan zou je gebruik kunnen maken van indices om de parameters alsmede de richtings- en steunvectoren van elkaar te onderscheiden, dus:
(1) ℓ1: v = p1 + λ1∙r1
(2) ℓ2: v = p2 + λ2∙r2
Maar omdat we voor je vraagstuk een stelsel vergelijkingen in de beide parameters moeten opstellen is het, om verschrijvingen te voorkomen, beter om aparte letters te gebruiken voor de parameters, en dan ligt het gebruik van λ en μ voor de hand, dus:
(3) ℓ1: v = p1 + λ∙r1
(4) ℓ2: v = p2 + μ∙r2
Als nu ℓ1 en ℓ2 twee rechte lijnen zijn in de driedimensionale ruimte die elkaar kruisen, dan kunnen we de minimale afstand tussen twee punten die elk op één van beide lijnen liggen als volgt bepalen. Laten we een willekeurig punt Q1 kiezen op ℓ1 en laten we de vector OQ1 aanduiden met q1. Dan voldoet q1 aan (3), zodat er een λ ∈ ℝ is waarvoor geldt:
(5) q1 = p1 + λ∙r1
Evenzo kunnen we een willekeurig punt Q2 kiezen op ℓ2. Duiden we de vector OQ2 aan met q2, dan is er dus ook een μ ∈ ℝ zodanig dat:
(6) q2 = p2 + μ∙r2
Nu weten we ook dat de afstand tussen punt Q1 op ℓ1 en punt Q2 op ℓ2 minimaal is als beide punten zodanig liggen dat het lijnstuk Q1Q2 loodrecht staat op zowel ℓ1 als ℓ2. Maar nu is het lijnstuk Q1Q2 parallel met de verschilvector q1 - q2, en ook weten we dat ℓ1 parallel is met richtingsvector r1 en dat ℓ2 parallel is met richtingsvector r2. Maar dan moet voor een minimale afstand van Q1 en Q2 dus gelden dat vector q1 - q2 loodrecht staat op zowel r1 als r2. En dat betekent weer dat het inproduct (dot product) van q1 - q2 met zowel r1 als r2 nul moet zijn, dus vinden we als voorwaarden:
(7a) (q1 - q2)∙r1 = 0
(7b) (q1 - q2)∙r2 = 0
Door (6) af te trekken van (5) vinden we:
(8) q1 - q2 = p1 - p2 + λ∙r1 - μ∙r2
Aangezien de vaste vectoren p1, r1, p2 en r2 bekend zijn, kun je met (8) de coördinaten van het eindpunt van vector q1 - q2 uitdrukken in λ en μ, waarna je met (7a) en (7b) twee lineaire vergelijkingen in λ en μ krijgt. Oplossen van dit stelsel levert de waarden van λ en μ waarna je door substitutie van de gevonden waarden in (5) en (6) de coördinaten van de gezochte punten Q1 en Q2 verkrijgt. De lengte van lijnstuk Q1Q2 en dus de minimale afstand van de lijnen ℓ1 en ℓ2 is dan de lengte ||q1 - q2|| van vector q1 - q2. Om een beter inzicht te krijgen in de manier waarop je met vectorvoorstellingen van rechte lijnen, parameters en inproducten kunt werken kan ik je aanraden om deze uitwerking door te nemen van een opgave waarin wordt gevraagd naar de coördinaten van een punt in een vlak dat een minimale afstand heeft tot een gegeven punt buiten dat vlak.
Waarom laat je alles zo helder en simpel uitzien?
Maar nog een vraag :
'Nu weten we ook dat de afstand tussen punt Q1 op ℓ1 en punt Q2 op ℓ2 minimaal is als beide punten zodanig liggen dat het lijnstuk Q1Q2 loodrecht staat op zowel ℓ1 als ℓ2. Maar nu is het lijnstuk Q1Q2 parallel met de verschilvector q1 - q2, en ook weten we dat ℓ1 parallel is met richtingsvector r1 en dat ℓ2 parallel is met richtingsvector r2. Maar dan moet voor een minimale afstand van Q1 en Q2 dus gelden dat vector q1 - q2 loodrecht staat op zowel r1 als r2. En dat betekent weer dat het inproduct (dot product) van q1 - q2 met zowel r1 als r2 nul moet zijn, dus vinden we als voorwaarden: ..'
Waarom maak je hier nog een Q1 en Q2 ? En wat stelt het precies voor?
( En over notatie: Excuses, ik gebruikte x en y als vervanging voor labda en mu omdat het me makkelijker leek om weer te geven.)
Ik vraag me af wat het streepje boven de X betekent in de formules bij A.5 and A.6..
quote:Streepje boven x betekent dat het niet 'een waarde is' , maar het gemiddelde.Op woensdag 22 september 2010 22:27 schreef Kudtstudent het volgende:
Hoi, dit is misschien echt een kutvraag en ik zou het gewoon Googelen, maar ik kom gewoon niet op de correcte term die ik in zou kunnen tikken op Google
Ik vraag me af wat het streepje boven de X betekent in de formules bij A.5 and A.6..
[ afbeelding ]
quote:Danku! Kun je me misschien ook nog vertellen waarom er een driedubbele = staat verderop de pagina? Die zie ik nu pasOp woensdag 22 september 2010 22:28 schreef Siddartha het volgende:
[..]
Streepje boven x betekent dat het niet 'een waarde is' , maar het gemiddelde.
Driedubbele boven een x? Geen idee, maar in de logica betekent het iff (if and only if)
en het betekent geen rij maar gemiddelde.
quote:Thx, wist ik nietOp woensdag 22 september 2010 22:32 schreef GlowMouse het volgende:
of x-streep
en het betekent geen rij maar gemiddelde.
Ik dacht altijd een reeks getallen 
ik was te laat met intekenen voor een verplichte verbredende module voor mijn studie en kon enkel nog meedoen met de module Introductory Econometrics
? http://en.wikipedia.org/wiki/X-bar_theoryMaar ok.
quote:Maar snap je wat de tekst zegt?Op woensdag 22 september 2010 22:30 schreef Kudtstudent het volgende:
[..]
Danku! Kun je me misschien ook nog vertellen waarom er een driedubbele = staat verderop de pagina? Die zie ik nu pas
Aangezien je de betekenis vrijwel letterlijk uit de tekst kan halen?
quote:Ja ik snap het nu. DankuOp woensdag 22 september 2010 22:37 schreef Siddartha het volgende:
[..]
Maar snap je wat de tekst zegt?
Aangezien je de betekenis vrijwel letterlijk uit de tekst kan halen?
Kan iemand me uitleggen hoe delta afhangt van epsilon/andersom en hoe ik dit kan laten zien voor een functie ( Bijvoorbeeld de functie f(x) = x^2 )
quote:Excuses, de functie f(x)= x^2 met domein [2,3] bedoelde ik.Op donderdag 23 september 2010 00:09 schreef thabit het volgende:
Als je een functie opschrijft, moet je ook het domein en het codomein geven.
quote:Misschien omdat het dat ook is als je het begrijpt?Op woensdag 22 september 2010 21:41 schreef Siddartha het volgende:
[..]
Waarom laat je alles zo helder en simpel uitzien?
quote:Ik werk niet met een tweede set punten Q1 en Q2. Ik kies eerst een willekeurig punt op ℓ1 en noem dat Q1, en een willekeurig punt op ℓ2 dat ik Q2 noem. De vectoren OQ1 en OQ2 duid ik aan met q1 resp. q2. Er geldt altijd dat de lengte van het lijnstuk Q1Q2 gelijk is aan de lengte van vector q1 - q2 én dat deze vector evenwijdig is met het lijnstuk Q1Q2. Pas dan formuleer ik aan welke voorwaarden vector q1 - q2 moet voldoen wil lijnstuk Q1Q2 loodrecht staan op zowel lijn ℓ1 als lijn ℓ2. Deze voorwaarden zijn dat de inproducten (q1 - q2)∙r1 en (q1 - q2)∙r2 beide nul zijn, en dat leidt dan tot een stelsel van twee lineaire vergelijkingen in λ en μ. Op deze manier hebben we de vertaalslag gemaakt van een meetkundig geformuleerde voorwaarde naar een algebraïsch geformuleerde voorwaarde.Maar nog een vraag :
'Nu weten we ook dat de afstand tussen punt Q1 op ℓ1 en punt Q2 op ℓ2 minimaal is als beide punten zodanig liggen dat het lijnstuk Q1Q2 loodrecht staat op zowel ℓ1 als ℓ2. Maar nu is het lijnstuk Q1Q2 parallel met de verschilvector q1 - q2, en ook weten we dat ℓ1 parallel is met richtingsvector r1 en dat ℓ2 parallel is met richtingsvector r2. Maar dan moet voor een minimale afstand van Q1 en Q2 dus gelden dat vector q1 - q2 loodrecht staat op zowel r1 als r2. En dat betekent weer dat het inproduct (dot product) van q1 - q2 met zowel r1 als r2 nul moet zijn, dus vinden we als voorwaarden: ..'
Waarom maak je hier nog een Q1 en Q2 ? En wat stelt het precies voor?
quote:Op FOK kun je met Unicode werken, en alle tekens die in de systeemfonts van de gebruiker aanwezig zijn zullen dan correct worden weergegeven in een moderne browser. Meestal beperk ik me tot de tekens die aanwezig zijn in het (Windows) font Lucida Sans Unicode, omdat ik ervan uit ga dat dit font, of een unicode font met een vergelijkbare tekenset, wel bij iedere gebruiker aanwezig is. Als het een probleem voor je is om bijvoorbeeld Griekse letters te typen, dan begrijp ik dat je hiervoor een alternatief wil gebruiken, maar dan nog moet je geen letters gebruiken die binnen hetzelfde vraagstuk al een andere betekenis hebben. Omdat ik de letters p,q en r (met indices) gebruik om vectoren aan te geven zou ik dan bijvoorbeeld s et t kunnen gebruiken als parameters.( En over notatie: Excuses, ik gebruikte x en y als vervanging voor labda en mu omdat het me makkelijker leek om weer te geven.)
quote:Zelf heb ik dit tot nu toe:Op donderdag 23 september 2010 00:17 schreef Siddartha het volgende:
[..]
Excuses, de functie f(x)= x^2 met domein [2,3] bedoelde ik.
Bewijs dat x |--> x^2 uniform continu is op het gesloten interval [2,3].
Bewijs:
We moeten dus voor een gegeven e een delta kunnen zoeken zodat geld:
|f(x) - f(y)| < e
en
|x-y| < delta
Dus: |f(x) -f(y)| = |x^2 - y^2|
= |(x+y)(x-y)|
=|(x+y)|*|(x-y)|
en omdat |f(x)-f(y)|<e geld ;
|(x-y)| < e/|(x+y)
En omdat |x-y|< delta, is
|x+y|*|x-y| < |x+y|*delta = e
Dus delta = e/|x+y|
Nu moet ik nog bewijzen dat dit inderdaad klopt voor het interval [2,3], toch?
quote:Dat is niet nauwkeurig genoeg geformuleerd. Gevraagd wordt aan te tonen dat er voor elke ε > 0 een δ > 0 bestaat zodanig dat | f(x) - f(y) | < ε voor elk tweetal getallen x,y ∈ [2,3] waarvoor geldt | x - y | < δ. Je moet dus een existentiebewijs leveren, en dat kun je doen door te laten zien dat je voor elke ε > 0 zo'n δ > 0 kunt construeren.Op donderdag 23 september 2010 00:51 schreef Siddartha het volgende:
[..]
Zelf heb ik dit tot nu toe:
Bewijs dat x |--> x^2 uniform continu is op het gesloten interval [2,3].
Bewijs:
We moeten dus voor een gegeven e een delta kunnen zoeken zodat geldt:
|f(x) - f(y)| < e
en
|x-y| < delta
quote:Je kunt inderdaad gebruik maken van:Dus: |f(x) -f(y)| = |x^2 - y^2|
= |(x+y)(x-y)|
=|(x+y)|*|(x-y)|
en omdat |f(x)-f(y)|<e geldt ;
|(x-y)| < e/|(x+y)|
En omdat |x-y|< delta, is
|x+y|*|x-y| < |x+y|*delta = e
Dus delta = e/|x+y|
Nu moet ik nog bewijzen dat dit inderdaad klopt voor het interval [2,3], toch?
| f(x) - f(y) | = | x + y |∙| x - y |
Als je bedenkt dat voor elk tweetal getallen x,y ∈ [2,3] geldt 4 ≤ | x + y | ≤ 6, dan zie je dat voor elke ε > 0 een waarde δ = ε/6 voldoet. Immers, zijn x en y twee getallen op het interval [2,3] zodanig dat | x - y | < δ, dan is | f(x) - f(y) | = | x + y |∙| x - y | < | x + y |∙δ = | x + y |∙(ε/6) ≤ 6∙(ε/6) = ε en dus | f(x) - f(y) | < ε, zoals vereist.
quote:Bedankt!Op donderdag 23 september 2010 04:14 schreef Riparius het volgende:
[..]
Dat is niet nauwkeurig genoeg geformuleerd. Gevraagd wordt aan te tonen dat er voor elke ε > 0 een δ > 0 bestaat zodanig dat | f(x) - f(y) | < ε voor elk tweetal getallen x,y ∈ [2,3] waarvoor geldt | x - y | < δ. Je moet dus een existentiebewijs leveren, en dat kun je doen door te laten zien dat je voor elke ε > 0 zo'n δ > 0 kunt construeren.
[..]
Je kunt inderdaad gebruik maken van:
| f(x) - f(y) | = | x + y |∙| x - y |
Als je bedenkt dat voor elk tweetal getallen x,y ∈ [2,3] geldt 4 ≤ | x + y | ≤ 6, dan zie je dat voor elke ε > 0 een waarde δ = ε/6 voldoet. Immers, zijn x en y twee getallen op het interval [2,3] zodanig dat | x - y | < δ, dan is | f(x) - f(y) | = | x + y |∙| x - y | < | x + y |∙δ = | x + y |∙(ε/6) ≤ 6∙(ε/6) = ε en dus | f(x) - f(y) | < ε, zoals vereist.
Mijn uitwerking:
y - y ln y
[y]' - [y ln y]'
[y]' = 1
[-y ln y]' = - (y/y) namelijk ln y = (1/y)
= 1 - (y/y)
Maar het antwoord is:
1 - (y/y) - ln y
= - ln y
Dan:
u = -y
u' = -1
v = ln y
v' = (1 / y)
-> -1 * ln y + (1 / y) * -y = - ln y - (y / y)
Dan de 1 erbij: 1 - ln y - (y / y) = - ln y
Even om het duidelijk te krijgen voor mezelf hoe dit werkt: (of jullie kunnen beoordelen of de volgende oplossingen goed zijn)
vb.1. afgeleide van e^(x² + x)
e^y met y = x² + x
[e^y]' = e^y
[x² + x] = 2x + 1
dus [e^(x² + x)]' = e^(x² + x) * (2x + 1)
Goed neem ik aan?
_____________________
vb.2. afgeleide van e^(2x - 1)
e^y met y = 2x - 1
[e^y]' = e^y
[2x - 1]' = 2
dus [e^(2x - 1)]' = e^(2x - 1) * 2
Voorbeeld 2 is fout volgens mijn antwoordenmodel. (antwoord vb2 is namelijk: (2x - 1) * e^(2x - 1) * 2)
Ik snap alleen het verschil in techniek niet?
In voorbeeld 1 pak je namelijk gewoon de bestaande functie en vermenigvuldigt die met de afgeleide van de exponent en in voorbeeld 2 doe je hetzelfde maar vermenigvuldig je óók nog eens met de exponent zelf... kan iemand mij dit uitleggen?
quote:Antwoord op voorbeeld 2 is dus gewoon 2e^(2x - 1)?
Best verwarrend want het antwoordenmodel geeft dus anders aan; nu ken ik wel die fouten in antwoordmodellen van de middelbare school maar dit is universiteitsstof.
Ik zie nu dat dit boek dus alles op die andere manier doet; erg vaag.
(Wiskunde met toepassingen in de Micro-Economie, B. Kaper & H. Hamers)
[ Bericht 17% gewijzigd door Granaatappel op 23-09-2010 20:17:16 ]
quote:Hoe is het dan eigenlijk te verklaren dat 'wij' de kettingregel anders gebruiken dan de schrijvers van het boek?Op donderdag 23 september 2010 20:27 schreef GlowMouse het volgende:
Dat laatste boek is geschreven door collega's van mij.
De antwoorden zijn namelijk verschillend.
Vind een vector u in R3 zo dat (v,w, u) nog steeds lineair onafhankelijk is.
Ik heb dus eerder aangetoond dat (v,w) lineair onafhankelijk is.
Nu komt daar dus een willekeurige u bij, waarvoor dus moet gelden dat u lineair onafhankelijk is én (v,w) niet valt te schrijven als een lineaire combinatie van u.
Is dit dan voldoende:
De (scalaire) vermenigvuldigers van v,w,u zijn respectievelijk a,b,c.
Voor een lineaire combinatie geldt:
a1-b1 + a2+ a3+b3 + c1*u1+c2*u2 + c3*u3 = 0
Zodat a1=a2=a3=b1=b2=b3=c1=c2=c3=0 de enige oplossing is.
Dan moet dus gelden dat:
a1 /= - (-b1 + a2+ a3+b3 + c1*u1+c2*u2 + c3*u3)
b1 /= (a1 + a2+ a3+b3 + c1*u1+c2*u2 + c3*u3)
.
.
etc.
Of is het voldoende een c1*u1 + c2*u2 + c3*u3=0 te vinden die lineair onafhankelijk is (aangezien (v,w) lineair onafhankelijk is).
[ Bericht 1% gewijzigd door Siddartha op 23-09-2010 23:48:08 ]
quote:Je zult het boek wel verkeerd lezen. Scan maar in wat je denkt dat fout is.
[..]
Hoe is het dan eigenlijk te verklaren dat 'wij' de kettingregel anders gebruiken dan de schrijvers van het boek?
De antwoorden zijn namelijk verschillend.
quote:Wat bedoel je met "de vermenigvuldiger van w valt weg"?
Zij v := (1, 1, 1),w := (−1, 0, 1) 2 R3.
Vind een vector u in R3 zo dat (v,w, u) nog steeds lineair onafhankelijk is.
Ik heb dus eerder aangetoond dat (v,w) lineair onafhankelijk is (de vermenigvuldiger van w valt weg).
quote:Ik snap het niet: als a,b,c scalairen zijn, wat zijn a1,a2 en a3 dan?Nu komt daar dus een willekeurige u bij, waarvoor dus moet gelden dat u lineair onafhankelijk is én (v,w) niet valt te schrijven als een lineaire combinatie van u.
Is dit dan voldoende:
De (scalaire) vermenigvuldigers van v,w,u zijn respectievelijk a,b,c.
Voor een lineaire combinatie geldt:
a1-b1 + a2+ a3+b3 + c1*u1+c2*u2 + c3*u3 = 0
Zodat a1=a2=a3=b1=b2=b3=c1=c2=c3=0 de enige oplossing is.
Dan moet dus gelden dat:
a1 /= - (-b1 + a2+ a3+b3 + c1*u1+c2*u2 + c3*u3)
b1 /= (a1 + a2+ a3+b3 + c1*u1+c2*u2 + c3*u3)
quote:Op donderdag 23 september 2010 20:03 schreef Granaatappel het volgende:
Ik had nog een vraag m.b.t. de kettingregel bij exponentiële functies met het getal van Euler.
Even om het duidelijk te krijgen voor mezelf hoe dit werkt: (of jullie kunnen beoordelen of de volgende oplossingen goed zijn)
vb.1. afgeleide van e^(x² + x)
e^y met y = x² + x
[e^y]' = e^y
[x² + x] = 2x + 1
dus [e^(x² + x)]' = e^(x² + x) * (2x + 1)
Goed neem ik aan?
_____________________
vb.2. afgeleide van e^(2x - 1)
e^y met y = 2x - 1
[e^y]' = e^y
[2x - 1]' = 2
dus [e^(2x - 1)]' = e^(2x - 1) * 2
Voorbeeld 2 is fout volgens mijn antwoordenmodel. (antwoord vb2 is namelijk: (2x - 1) * e^(2x - 1) * 2)
Ik snap alleen het verschil in techniek niet?
In voorbeeld 1 pak je namelijk gewoon de bestaande functie en vermenigvuldigt die met de afgeleide van de exponent en in voorbeeld 2 doe je hetzelfde maar vermenigvuldig je óók nog eens met de exponent zelf... kan iemand mij dit uitleggen?
quote:Uitwerking is trouwens door Daniel Neuhann excuus.
quote:Excuses, die zin was ik vergeten eruit te halen.Op donderdag 23 september 2010 23:19 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
Wat bedoel je met "de vermenigvuldiger van w valt weg"?
[..]
quote:v := (1,1,1), dus de lineaire combinatie van v is (normaal word labda hiervoor gebruikt) :Ik snap het niet: als a,b,c scalairen zijn, wat zijn a1,a2 en a3 dan?
a1*1 +a2*1+a3*1
Antwoord:
SPOILER1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... +
1/4 + 1/8 + 1/16 + .... +
1/8 + 1/16 + .... +
1/16 + .... +
....
=
1 +
1/2 +
1/4 +
1/8 +
.
.
.
=
2
[ Bericht 0% gewijzigd door Outlined op 24-09-2010 11:12:40 ]
quote:Het geval is echter dat elke functie op dezelfde foute manier wordt afgeleid, volgens de uitwerkingen van het boek. Ik vroeg me dus af hoe dat kon.Op donderdag 23 september 2010 23:30 schreef Diabox het volgende:
Dat de uitkomsten verschillend zijn betekent niet dat de auteurs iets anders toepassen. Fouten komen nu eenmaal voor in uitwerkingen
quote:Herhalingsfout van de auteurOp vrijdag 24 september 2010 11:33 schreef Granaatappel het volgende:
[..]
Het geval is echter dat elke functie op dezelfde foute manier wordt afgeleid, volgens de uitwerkingen van het boek. Ik vroeg me dus af hoe dat kon.
?quote:Ik zou het als volgt doen. Vector u is in ieder geval lineair onafhankelijk als deze vector loodrecht staat op zowel vector v als vector w. Dat betekent dat het inproduct van u met zowel v als w nul moet zijn. Dus:Op donderdag 23 september 2010 23:01 schreef Siddartha het volgende:
Zij v := (1, 1, 1),w := (−1, 0, 1) 2 R3.
Vind een vector u in R3 zo dat (v,w, u) nog steeds lineair onafhankelijk is.
Ik heb dus eerder aangetoond dat (v,w) lineair onafhankelijk is.
Nu komt daar dus een willekeurige u bij, waarvoor dus moet gelden dat u lineair onafhankelijk is én (v,w) niet valt te schrijven als een lineaire combinatie van u.
(1a) v∙u = 0
(1b) w∙u = 0
Nu houd ik zelf niet zo van het gebruik van indices bij vraagstukken die uitlopen op stelsels lineaire vergelijkingen, dus laten we zeggen dat:
(2) u = (p, q, r)
Aangezien gegeven is dat v = (1, 1, 1) en w = (-1, 0, 1) volgt dan uit (1a) en (1b) dat:
(3a) p + q + r = 0
(3b) -p + r = 0
Uit (3b) volgt p = r, en invullen hiervan in (3a) levert q = -2r. Dus heb ik:
(4) u = (r, -2r, r) (r ongelijk aan 0)
Kies ik r = 1, dan heb ik bijvoorbeeld u = (1, -2, 1) als mogelijke oplossing.
[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 24-09-2010 14:28:44 ]
Een kleine belegger wil over vijf jaar van zijn geld gaan genieten. Op dit moment heeft hij 100.000 euro ter beschikking voor investeringen. Er zijn drie investeringsmogelijkheden. Investering A heeft een looptijd van één jaar en geeft 1,25 euro terug aan het eind van het jaar voor elke euro die aan het begin van het jaar geïnvesteerd is. De investeringsmogelijkheid A kan alleen in het tweede, derde en vijfde jaar gebruikt worden. De investeringen B en C vereisen dat het geïnvesteerde geld een aantal jaren vaststaat en geven voor elke geïnvesteerde euro 1,35 euro respectievelijk 1,50 euro terug na drie jaar respectievelijk vier jaar.
Formuleer een LP-model om te berekenen hoe de belegger moet investeren wil zijn kapitaal na vijf jaar zo groot mogelijk zijn.
(Aanwijzing: gebruik de voorraadvariabelen v1,...v5, waarbij de variabele vi het aantal euro's aangeeft dat in jaar i in kas gehouden wordt.)
LP-model:
Beslissingsvariabelen:
v1 = het aantal euro's dat in jaar 1 in kas wordt gehouden
v2 = het aantal euro's dat in jaar 2 in kas wordt gehouden
v3 = het aantal euro's dat in jaar 3 in kas wordt gehouden
v4 = het aantal euro's dat in jaar 4 in kas wordt gehouden
v5 = het aantal euro's dat in jaar 5 in kas wordt gehouden
xa2 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product a in jaar 2
xa3 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product a in jaar 3
xa5 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product a in jaar 5
xb1 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product b in jaar 1
xb2 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product b in jaar 2
xb3 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product b in jaar 3 (xb4/5 zijn niet nodig vanwege looptijd?)
xc1 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product c in jaar 1
xc2 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product c in jaar 2 (xc3/4/5 zijn niet nodig vanwege looptijd?)
Maximaliseer:
xa2*1,25 + xa3*1,25 + xa5*1,25 + xb1*1,35 + xb2*1,35 + xb3*1,35 + xc1*1,50 + xc2*1,50
maar dan kom je de looptijd tegen en snap ik het niet meer.
Kan iemand mij hierbij helpen?
quote:Zal er dadelijk eens naar kijken maar als ik heel kort zo scan hoef je slechts 3 scenario's door te rekenen en kan je zonder LP model af. Maar goed als dat de vraag isOp vrijdag 24 september 2010 16:06 schreef Martijnnn91 het volgende:
Vraagstuk:
Een kleine belegger wil over vijf jaar van zijn geld gaan genieten. Op dit moment heeft hij 100.000 euro ter beschikking voor investeringen. Er zijn drie investeringsmogelijkheden. Investering A heeft een looptijd van één jaar en geeft 1,25 euro terug aan het eind van het jaar voor elke euro die aan het begin van het jaar geïnvesteerd is. De investeringsmogelijkheid A kan alleen in het tweede, derde en vijfde jaar gebruikt worden. De investeringen B en C vereisen dat het geïnvesteerde geld een aantal jaren vaststaat en geven voor elke geïnvesteerde euro 1,35 euro respectievelijk 1,50 euro terug na drie jaar respectievelijk vier jaar.
Formuleer een LP-model om te berekenen hoe de belegger moet investeren wil zijn kapitaal na vijf jaar zo groot mogelijk zijn.
(Aanwijzing: gebruik de voorraadvariabelen v1,...v5, waarbij de variabele vi het aantal euro's aangeeft dat in jaar i in kas gehouden wordt.)
LP-model:
Beslissingsvariabelen:
v1 = het aantal euro's dat in jaar 1 in kas wordt gehouden
v2 = het aantal euro's dat in jaar 2 in kas wordt gehouden
v3 = het aantal euro's dat in jaar 3 in kas wordt gehouden
v4 = het aantal euro's dat in jaar 4 in kas wordt gehouden
v5 = het aantal euro's dat in jaar 5 in kas wordt gehouden
xa2 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product a in jaar 2
xa3 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product a in jaar 3
xa5 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product a in jaar 5
xb1 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product b in jaar 1
xb2 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product b in jaar 2
xb3 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product b in jaar 3 (xb4/5 zijn niet nodig vanwege looptijd?)
xc1 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product c in jaar 1
xc2 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product c in jaar 2 (xc3/4/5 zijn niet nodig vanwege looptijd?)
Maximaliseer:
xa2*1,25 + xa3*1,25 + xa5*1,25 + xb1*1,35 + xb2*1,35 + xb3*1,35 + xc1*1,50 + xc2*1,50
maar dan kom je de looptijd tegen en snap ik het niet meer.
Kan iemand mij hierbij helpen?
quote:Geld begin jaar 1 = 100.000Op vrijdag 24 september 2010 16:23 schreef GlowMouse het volgende:
kun je het geld aan het begin van jaar 2 uitdrukken in het geld aan het begin van jaar 1?
Geld begin jaar 2 = v1 - xb1 - xc1
Geld begin jaar 3 = v2 - xa2 - xb2 - xc2
Geld begin jaar 4 = v3 + 1,25*xa2 - xa3 - xb3
Geld begin jaar 5 = v4 + 1,25*xa3 + 1,35xb1 - xa4
Geld begin jaar 6 = v5 + 1,25*xa4 + 1,35xb2 + 1,50xc1
Geld begin jaar 6 = Geld eind jaar 5
maar xc2 is dan niet teruggekomen.
[ Bericht 30% gewijzigd door Martijnnn91 op 24-09-2010 17:27:08 ]
?quote:Teken 'n cirkel, daarna copy paste je die cirkel? Ik kon het prima in paint afOp vrijdag 24 september 2010 19:50 schreef FastFox91 het volgende:
Voor als klad kan dat wel, maar het moet wat netter. In Paint kan ik niet eens twee gelijke cirkels tekenen.
quote:Als ik de selecttool gebruik, cirkel kopieer, dan neemt die de background mee en die overlapt dan uiteindelijk de andere cirkel, waardoor hij nog niet goed is. Ik wil gewoon een gemakkelijk programma. Bestaat toch vast wel? Iemand met ervaring?Op vrijdag 24 september 2010 19:52 schreef Diabox het volgende:
[..]
Teken 'n cirkel, daarna copy paste je die cirkel? Ik kon het prima in paint af
quote:Noobs met paint.Op vrijdag 24 september 2010 20:17 schreef FastFox91 het volgende:
[..]
Als ik de selecttool gebruik, cirkel kopieer, dan neemt die de background mee en die overlapt dan uiteindelijk de andere cirkel, waardoor hij nog niet goed is. Ik wil gewoon een gemakkelijk programma. Bestaat toch vast wel? Iemand met ervaring?
Je kan transparant selection kiezen he.
quote:Paint 2.0Op vrijdag 24 september 2010 20:18 schreef Diabox het volgende:
[..]
Noobs met paint.
Je kan transparant selection kiezen he.
[ afbeelding ]
Ik gebruik nog oude.
quote:Oh, cool. Wist niet dat zoiets ook in Latex kon, ben een Latex-newbie. Dank.Op vrijdag 24 september 2010 20:19 schreef thabit het volgende:
Als word goed genoeg is, is paint dat ook wel. Anders: [LaTeX #6] TeXnologen voor de zetTeXniek.
quote:Ook in de oude paint kan het, zelfs die van Win95 ondersteunt het.Op vrijdag 24 september 2010 20:24 schreef FastFox91 het volgende:
[..]
Paint 2.0
Ik gebruik nog oude.
[..]
Oh, cool. Wist niet dat zoiets ook in Latex kon, ben een Latex-newbie. Dank.
quote:Op vrijdag 24 september 2010 19:32 schreef FastFox91 het volgende:
In Word 2010 lukt het mij niet om een intersection van een Venndiagram een pattern te geven. Heeft iemand hiervoor een oplossing of desnoods een mooi programma die dat wel kan?
quote:Goeie vraag. Wat is daar het antwoord op? Zo ja dan kan je het misschien beter in een grafen probleem vertalen.Op vrijdag 24 september 2010 16:23 schreef GlowMouse het volgende:
kun je het geld aan het begin van jaar 2 uitdrukken in het geld aan het begin van jaar 1?
Functie f: R^n -> R^p
Lineaire afbeelding: L: R^n -> R^p
Voor iedere x in R^n is Df(x) = L.
----
Df(x) is de totale afgeleide van f... dit is de matrix van partiële afgeleiden en dat is inderdaad een lineaire afbeelding van R^n naar R^p. Maar er staat L, en niet L(x), dus betekent dit dat de afgeleide niet afhangt van x?
(Dat is met functies van R->R en in het algemeen niet, want als f(x)=x², f'(x)=2x en f'(1)=! f'(2) )
quote:Wel als het een lineaire functie betreft: f(x) = 2x, dan f'(x) = 2 in elk punt x.Op zaterdag 25 september 2010 17:11 schreef BasementDweller het volgende:
Volgens mij begrijp je mijn vraag verkeerd, dus ik zal het herformuleren. Is de afgeleide van f in ieder punt x in dit geval hetzelfde?
(Dat is met functies van R->R en in het algemeen niet, want als f(x)=x², f'(x)=2x en f'(1)=! f'(2) )
[ Bericht 1% gewijzigd door thabit op 25-09-2010 17:24:10 ]
quote:Kan je dat uitleggen? Waarom is de afgeleide dan opeens 2 ipv 2x?Op zaterdag 25 september 2010 17:19 schreef thabit het volgende:
[..]
Wel als het een lineaire functie betreft: f(x) = x2, dan f'(x) = 2 in elk punt x.
Jullie draaien er een beetje omheen
Anderzijds kun je de totale afgeleide in een punt ook zien als zijnde een lineaire afbeelding. Als een afbeelding lineair is, dan is-ie in elk punt z'n eigen totale afgeleide.
Ik moet namelijk laten zien dat er een c in R^p bestaat met de eigenschap dat f(x)=L(x) + c voor iedere x in R^n. Ik probeer dus te begrijpen waarom daar wel L(x) staat en eerder alleen L, en wat precies het verschil is.
Lineaire afbeelding: L: R^n -> R^p
Bewijs dat a) en b) equivalent zijn:
a) Voor iedere x in R^n is Df(x) = L
b) Er is een c in R^p met de eigenschap dat f(x) = L(x) +c voor iedere x in R^n.
quote:Kan iemand me op weg helpen voor a=>b?Op zaterdag 25 september 2010 18:05 schreef BasementDweller het volgende:
Functie f: R^n -> R^p differentieerbaar
Lineaire afbeelding: L: R^n -> R^p
Bewijs dat a) en b) equivalent zijn:
a) Voor iedere x in R^n is Df(x) = L
b) Er is een c in R^p met de eigenschap dat f(x) = L(x) +c voor iedere x in R^n.
Heb een wiskunde som hier en hoop dat jullie me kunnen helpen.
De vraag luidt als volgt:
Primitiveer f(x) = 2 + tan2(x)
Voor zover ik weet is dat niet zo direct mogelijk, dus moet je de formule gaan ombouwen.
Ik kom dan tot: f(x) = 2 + sin2(x) / cos2(x) = 2 + (0,5 - 0,5cos(2x)) / (0,5cos(2x) + 0,5)
Dan ben je van de kwadraten af, maar wat dan? Ik weet wel hoe ik bijv. 0,5cos(2x) moet primitiveren, maar ik weet niet hoe het werkt als het in een breuk staat...
Kan iemand mij hier mee helpen? VWO 5 vraag trouwens.
Ho foutje
editquote:Ja ik dacht al, die is voor differentiëren
Ik al allemaal denken hoe ik dat om kon draaien enzo 
quote:Ook geen idee verder?
quote:Zo 1,2,3 weet ik dit niet uit m'n hoofd nee haha. Ik heb 5 en 6vwo alle wiskunde overgeslagen
Is de primitieve van tan2x niet gewoon -x + tan(x)
? Zodoende dus daarna nog die 2 integreren, is 2x Dus krijg je -x + tan(x) + 2x = x + tan(x) zoiets.Edit: Denk dat basementdweller het wat beter doet
Edit2: Oh m'n antwoord klopt wel
Edit3: Oh nee niet
Edit4: Toch wel
[ Bericht 16% gewijzigd door Diabox op 26-09-2010 15:01:38 ]
= 2 + (1 - cos²(x)) / cos²(x)
= 2 + (1 / cos²(x)) - 1
= 1 + (1 / cos²(x))
De primitieve van (1/cos²(x)) is tan(x), zoals je waarschijnlijk wel bekend is
quote:Het is wel goed, maar dan moet wel de primitieve van tan²(x) gegeven zijn, wat denk ik niet het geval isOp zondag 26 september 2010 14:49 schreef Diabox het volgende:
[..]
Zo 1,2,3 weet ik dit niet uit m'n hoofd nee haha. Ik heb 5 en 6vwo alle wiskunde overgeslagen
Is de primitieve van tan2x niet gewoon -x + tan(x)
Edit: Denk dat basementdweller het wat beter doet
Edit2: Oh m'n antwoord klopt wel
quote:Ja hallo, die dingen leer je toch uit je hoofd voor je (her)examenOp zondag 26 september 2010 14:53 schreef BasementDweller het volgende:
[..]
Het is wel goed, maar dan moet wel de primitieve van tan²(x) gegeven zijn, wat denk ik niet het geval is
?quote:Ik leerde voor mijn examen niks uit mijn hoofd, alles wat ik nodig had stond op mijn formulekaart (die ik overigens eigenlijk ook niet of nauwelijks nodig had).Op zondag 26 september 2010 14:54 schreef Diabox het volgende:
[..]
Ja hallo, die dingen leer je toch uit je hoofd voor je (her)examen
En waarschijnlijk zou je punten krijgen voor het afleiden van zoiets op een examen, omdat ze er vanuitgaan dat niemand dat uit zijn hoofd weet als het niet op de formulekaart staat. Maar goed
edit: en je antwoord klopt gewoon hoor
quote:Ja ik had sowieso niet zoveel punten voor m'n wiskunde examen.......Op zondag 26 september 2010 14:56 schreef BasementDweller het volgende:
[..]
Ik leerde voor mijn examen niks uit mijn hoofd, alles wat ik nodig had stond op mijn formulekaart (die ik overigens eigenlijk ook niet of nauwelijks nodig had).
En waarschijnlijk zou je punten krijgen voor het afleiden van zoiets op een examen, omdat ze er vanuitgaan dat niemand dat uit zijn hoofd weet als het niet op de formulekaart staat. Maar goed
edit: en je antwoord klopt gewoon hoor
quote:Jaaaa, natuurlijk. Sterker nog, de primitieve van tan2(x) + 1 is óók tan(x)!Op zondag 26 september 2010 14:49 schreef BasementDweller het volgende:
f(x) = 2 + sin²(x) / cos²(x)
= 2 + (1 - cos²(x)) / cos²(x)
= 2 + (1 / cos²(x)) - 1
= 1 + (1 / cos²(x))
De primitieve van (1/cos²(x)) is tan(x), zoals je waarschijnlijk wel bekend is
Maar dit stond natuurlijk onder het stukje differentiëren ergens weggestopt, en ik had er nog niet aan gedacht
Bedankt voor de hulp BasementDweller en Diabox.
Maakt de som een stuk eenvoudiger
[ Bericht 35% gewijzigd door Johan_Haas_ op 27-09-2010 16:12:13 ]
f(t) =
0 voor t<pi
(t-pi) voor pi<t<2*pi
0 voor t>2*pi
Nu moet je dat dus met die unit step functions doen. Hoe je hem opschrijft als een unit step function denk ik wel te weten:
f(t) = upi(t)*(t-pi) - u2pi(t)*(t-pi). Toch?
Nu moet ik de Laplace transform van dat f(t) hebben en ik kom zelf uit op e-pi*s/s2 voor het eerste deel. Maar het tweede deel begrijp ik niet hoe je dat transformeert. Dus hoe doe ik die transform van u2pi(t)*(t-pi)?
Die tweede komt daarbij niet overeen omdat c niet gelijk is in de step function en de gewone function(namelijk pi en 2*pi). Ik snap ook niet hoe ik die wel oplos en kom dus ook niet op het juiste antwoord. Enig idee?
Wat gebeurt er als je f(t-c) = t-c-pi pakt?
u2pi(t)*t - pi*u2pi(t) krijgt. Die laatste term kan ik ook oplossen, dat wordt pi*e-2pi*s/s. Maar hoe los ik t*u2pi(t) dan op? Dat is dan nog de enige term waar ik niet uit komt
Dit zijn de constraints:
0,5A + 0,45B + 0,6C is <= 2400
0,0625A + 0,0625B + 0,0625C <= 343,75
De vraag naar producten is aankomende week echter ontzettend hoog: 2000 voor A, 4000 voor B en 5000 voor C.
Omdat bedrijf X zelf niet genoeg capaciteit heeft om al deze producten zelf te maken, kunnen ze deze producten ook inkopen van een Japans bedrijf om ze vervolgens weer door te verkopen. De winst per product daalt dan wel naar respectievelijk 4, 6 en 2.
Nu moet ik berekenen hoeveel ze van elk product zelf moeten maken en hoeveel ze van elk product ze beter van de Japanse aanbieder kunnen kopen.
Ik ben bekend met de solver-functie in Excel, alleen snap ik nog niet hoe ik deze vraag met de Excel solver kan oplossen omdat er nu twee verschillende winst maximalisatie functies zijn. Kan iemand mij op weg helpen?
quote:Dankje, ik denk dat ik hem nu heb!Op maandag 27 september 2010 21:54 schreef GlowMouse het volgende:
Introduceer extra variabelen X,Y,Z voor de ingekochte producten. Er geldt A+X=2000, etc. Winst kun je nu ook makkelijk berekenen.
Zou je het Excel bestand willen bekijken om te zien of ik het zo goed heb? (m.a.w. of ik het even in een privé bericht zou kunnen sturen?) Of dat ik mijn antwoorden geef en jij het op die manier zou kunnen nakijken? Of vraag ik nu teveel? 
quote:Ik heb het model in Excel geschreven en dus ook door Excel op laten lossen. De solver-functie helpt je om heel snel maximalisatie problemen e.d. op te lossen. Maar ik ben nogmaals door m'n model gegaan en ik ben er bijna zeker van dat het correct is, dus hulp is niet meer nodig. Hartstikke bedankt voor je tip in ieder geval!Op maandag 27 september 2010 22:30 schreef GlowMouse het volgende:
Laat je model maar zien, Excel solver ken ik niet.
Echter staat vervolgens dat een dambord van 100 (10x10) vlakken een df heeft van 36. Ze vragen hier om uitleg, maar ik snap dit niet. Bij een dambord is het dan toch df = 9*9 = 81? Hoezo is de df dan 36?
Iemand die mij dit kan uitleggen?
quote:Dat dus. Daarnaast is een dambord niet in elk land even groot.
Zeggen dat een schaakbord 49 vrijheidsgraden heeft, is net zoiets als zeggen dat pindakaas blauw smaakt. Er moet wel aangegeven worden wat voor zaken op het schaakbord je gaat bekijken om tot een aantal vrijheidsgraden te kunnen komen.
[ Bericht 31% gewijzigd door Diabox op 29-09-2010 00:05:25 ]
quote:Ja, maja dat staat er dus niet. Ik lees het boek ook maar voor. Ik citeerOp dinsdag 28 september 2010 23:52 schreef thabit het volgende:
Zeggen dat een schaakbord 49 vrijheidsgraden heeft, is net zoiets als zeggen dat pindakaas blauw smaakt. Er moet wel aangegeven worden wat voor zaken op het schaakbord je gaat bekijken om tot een aantal vrijheidsgraden te kunnen komen.
"Een schaakbord heeft 64 velden en 49 vrijheidsgraden. Een dambord met zijn 100 vakken is groter, maar heeft slechts 36 vrijheidsgraden. Hoe kan dat?"
Meer staat er niet?
Zoiets zal het ook wel zijn, maar heb geen antwoorden. Vind het sowieso een flutboek 
Jongens = X
Meisjes = Y
Los op: P(X>1 | Y = 3)
P(X=2 of X=3 of X=4 gegeven Y=3)
P(Y=3) = 10/100
P(X=2) = 21/100
P(X=3) = 7/100
P(X=4) = 7/100
P(X=2 of X=3 of X=4) = (21+7+7)/100
P((21+7+7)/100 | (10/100))
Hier kom ik even niet uit. Wie helpt mij?
(Let niet op lijntjes, was van vorige vraag.)
[ Bericht 19% gewijzigd door Martijnnn91 op 29-09-2010 21:57:22 ]
Oftewel: de kans dat zowel A als B plaatsvinden, gedeeld door de kans op B.
Lukt het dan?
quote:((21+7+7)/100) * (10/100)Op woensdag 29 september 2010 23:26 schreef FedExpress het volgende:
Heb je al verzamelingen gehad? Je kan het volgens mij met de volgende formule oplossen:[ afbeelding ]
Oftewel: de kans dat zowel A als B plaatsvinden, gedeeld door de kans op B.
Lukt het dan?
------------------------------ = 0,35
(10/100)
maar hierbij vermenigvuldig je met 10/100 om er vervolgens weer door te delen.
We zijn momenteel hiermee bezig.
quote:Je hebt nu de kans op A vermenigvuldigt met de kans op B, maar dat is niet de bedoeling. Het gaat hier om de zogenoemde doorsnede van deze twee.Op donderdag 30 september 2010 11:10 schreef Martijnnn91 het volgende:
[..]
((21+7+7)/100) * (10/100)
------------------------------ = 0,35
(10/100)
maar hierbij vermenigvuldig je met 10/100 om er vervolgens weer door te delen.
We zijn momenteel hiermee bezig.
Okee, hier de formule iets verder uitgewerkt:
Bij deze opgave is het makkelijker je te beperken tot de rij Y=3. Je ziet dat er van de 10 observaties er 2 zijn met X>1.
quote:Dat is inderdaad het makkelijkste. Aangezien hij het volgens mij echt wilde gaan berekenen dacht ik, ik geef hem deze formule
De definities van X en Y kloppen niet. Ik neem aan dat (X,Y) het aantal jongens/meisjes is in een populatie die uniform willekeurig gekozen is uit de genoemde populaties.
Bij deze opgave is het makkelijker je te beperken tot de rij Y=3. Je ziet dat er van de 10 observaties er 2 zijn met X>1.
Nu zag ik in wiki dat geldt:
alleen als ik dit toepas:
Klopt er niks van.
quote:Als je rechts alleen die sommatie had staan zonder die extra term, dan tel je de term met k=0 teveel, en de term met k=n+1 vergeet je. Je moet dus de term met k=0 er nog vanaf trekken, en de term met k=n+1 bij optellen.
Ik ben bezig met het herschrijven van sommaties alleen sommige stappen snap ik niet, zoals deze:
[ afbeelding ]
Hello,
Deze vraag gaat over statistiek:
bekijk een model:
y1i=ay2i+fxi+ei
y2i=By1i+n1i
Met: xi ~iid(0, dx2) exogeen en waarbij f != 0.
De storingstermen ei~i.i.d(0, de2) en ni~i.i.d(0, dn2) zijn onderling ongecorreleerd.
Nu komen de vragen:waarom geeft de OLS (ordinary least Square) schatter b gebaseerd op de tweede vergelijking geen goede schatter van B?. Geef een consistente schatter voor B.
De tweede vraag denk ik heeft te maken met instrumenten, ik vraag me af of ik xi kan gebruiken als instrument om B consistent te schatten.
Zou iemand mij ermee kunnen helpen?
Zou iemand me kunnen uitleggen hoe je een drieterm ontbindt en de top van een parabool vindt
Heb je al afgeleides gehad? (ik gok van niet
)Een parabool is symmetrisch om een as die parallel is aan de y-as. Waar die as de parabool snijdt, zit precies de top. Neem een lijn y=c (c=constant) die de parabool snijdt. Je vindt twee snijpunten, namelijk
x1 = [-b+wortel(b²-4ac)] / [2a] en x2 = [-b-wortel(b²-4ac)] / [2a]. De top zit vanwege symmetrie precies tussen deze twee punten in. Dus als je het gemiddelde neemt van x1 en x2, dan krijg je x = -b/(2a) (check maar!). Je kunt dus iedere keer twee snijpunten met een lijn y=c zoeken, en daar het gemiddelde van nemen, of gewoon altijd x = -b/(2a) gebruiken. Als de vraag is om de coördinaten te vinden, vergeet dan niet nog de y-coördinaat te berekenen. (kwestie van invullen in de formule van je parabool).
Als je wel afgeleides hebt gehad is deze afleiding simpeler: f(x)= ax²+bx+x => f'(x)=2ax+b=0 => x=-b/2a.
quote:Oja, het is inderdaad voldoende om elementen te vinden die zowel met zowel r als s commuteren. BedanktOp zondag 3 oktober 2010 11:29 schreef thabit het volgende:
Dn heeft 2 voortbrengers r en s, plus wat relaties. Elk element is te schrijven als risj met 0 <= i < n, j in {0, 1}. Zo'n element zit in het centrum desda het met zowel r als s commuteert. Lijkt me iets wat je vrij eenvoudig kunt uitwerken in dit geval.
quote:Weet je wat kwadraatafsplitsing is en kun je dat zelfstandig gebruiken?Op zondag 3 oktober 2010 13:15 schreef Jmsls het volgende:
Wat een moeilijke vragen hier
Zou iemand me kunnen uitleggen hoe je een drieterm ontbindt en de top van een parabool vindt
quote:Nop :pOp zondag 3 oktober 2010 14:08 schreef Riparius het volgende:
[..]
Weet je wat kwadraatafsplitsing is en kun je dat zelfstandig gebruiken?
@ty voor hulp hierboven
M'n vader heeft drietermen al uitgelegd, dus ik heb geen hulp meer nodig
quote:Het antwoord hierboven van BasementDweller klopt in zijn algemeenheid niet, hij geeft de snijpunten (if any) van de parabool y = ax2 + bx met de lijn y = -c.
quote:Ik help het je hopen.M'n vader heeft drietermen al uitgelegd, dus ik heb geen hulp meer nodig
quote:Bij een groep als die van de Quaternionen, is het centrum {-1,1}. Je kan makkelijk nagaan dat -1 en 1 in het centrum zitten door te checken of ze commuteren met de generators, maar hoe laat je makkelijk zien dat er geen andere elementen in het centrum zitten? Het is nogal een werk om alles in een tabel te gaan zetten en na te gaan dat alleen -1 en 1 commuteren.Op zondag 3 oktober 2010 11:29 schreef thabit het volgende:
Dn heeft 2 voortbrengers r en s, plus wat relaties. Elk element is te schrijven als risj met 0 <= i < n, j in {0, 1}. Zo'n element zit in het centrum desda het met zowel r als s commuteert. Lijkt me iets wat je vrij eenvoudig kunt uitwerken in dit geval.
Dit regressie model is gegeven
en nu is de opdracht: perform a t-test of null hypothesis
Hoe zou ik zoiets in stata doen? Ik dacht misschien een nieuwe variabele maken en die de waarde 0 geven met "gen nieuwevariabele=0" en dan een regressie analyse doen met "reg voteA expendA nieuwevariabele prtystrA", maar dan omit hij die variabele
quote:Om mijn vraag even toe te spitsen. Ik laat nu zien dat er een lokaal isomorfisme van orde n van de ene naar de andere structuur bestaat, voor alle n. De docent zei echter ook iets van dat de lege verzameling in LI_n zou moeten zitten. (LI_n={f|f is een lokaalisomorfisme van orde n}). Dit laatste kan ik niet plaatsen.Op zaterdag 2 oktober 2010 22:29 schreef marleenhoofd- het volgende:
Hoe bewijs je dat een structuur een axiomatisering is van een andere structuur?
Waarom zou dat moeten gelden of wat wordt daarmee bedoeld?
Ik ga nu verder met isomorfismes maken, maar t zou mooi zijn als iemand t hier weet.
u= 2x2-3x+1
Volgens mij moet dit zijn:
Y`= 5(4x-3)eu
Y``= 5eu(16x2-24x+9)
Maar volgende het boek is het
Y``=5eu(16x2-24x+13)
Ik zou bijna zeggen dat het boek het fout heeft....
Dus ik heb bijvoorbeeld een lin. deelruimte met voorwaarde f(x) = c.
Is de basis dan c en kan ik dat zo zeggen?
quote:Misschien moet je de volledige vraag hier op schrijven, dit is nu half duidelijk.Op maandag 4 oktober 2010 19:17 schreef Siddartha het volgende:
Kan de basis van een lineaire deelruimte een formule/constante zijn?
Dus ik heb bijvoorbeeld een lin. deelruimte met voorwaarde f(x) = c.
Is de basis dan c en kan ik dat zo zeggen?
quote:Bepaal de basis van de volgende lineaire deelruimten van C, waar C de verzameling van functies van R naar R is die minstens twee keer differentieerbaar zijn:Op maandag 4 oktober 2010 19:19 schreef Outlined het volgende:
[..]
Misschien moet je de volledige vraag hier op schrijven, dit is nu half duidelijk.
U= {f uit C | f'+cf = 0} waarbij c=/0 in R
Nu dacht ik dat f óf gelijk aan 0 is, óf f= e^(-cx) (want voor beide geld de voorwaarde f'+cf=0).
Maar hoe schrijf ik hier dan de basis voor op?
quote:Dat dacht je dan verkeerd, er zijn meer functies. De twee functies die je noemt vormen bovendien geen lineaire deelruimte van C.Op maandag 4 oktober 2010 19:26 schreef Siddartha het volgende:
[..]
Bepaal de basis van de volgende lineaire deelruimten van C, waar C de verzameling van functies van R naar R is die minstens twee keer differentieerbaar zijn:
U= {f uit C | f'+cf = 0} waarbij c=/0 in R
Nu dacht ik dat f óf gelijk aan 0 is, óf f= e^(-cx) (want voor beide geld de voorwaarde f'+cf=0).
Maar hoe schrijf ik hier dan de basis voor op?
quote:hij wilde ze voor U hebbenOp maandag 4 oktober 2010 19:29 schreef thabit het volgende:
[..]
Dat dacht je dan verkeerd, er zijn meer functies. De twee functies die je noemt vormen bovendien geen lineaire deelruimte van C.
quote:Maar ze zitten wel in C en ook in de lin. deelruimte U, toch?Op maandag 4 oktober 2010 19:29 schreef thabit het volgende:
[..]
Dat dacht je dan verkeerd, er zijn meer functies. De twee functies die je noemt vormen bovendien geen lineaire deelruimte van C.
En ik kan op dit moment alleen die twee functies bedenken die voldoen aan U={f in C | f'+cf = 0 }
En als e^(-cx) hier een functie van is, moet ik dus een basis hebben die alle waardes van e^(-cx) kan aannemen.
Toch?
Je basis zal uit functies bestaan (de ruimte bestaat immers uit functies), dus wat bedoel je met 'alle waardes van e^(-cx)'?
[ Bericht 4% gewijzigd door GlowMouse op 04-10-2010 19:52:20 ]
quote:Een basis is een verzameling. Daarnaast zie ik nog niet waarom U een lineaire deelruimte zou zijn als hij uit slechts twee functies bestaat.
Hij heeft het antwoord al, de basis is dus e-cx
quote:Nou, dat was dus mijn vraag: Kan een basis een functie zijn?Op maandag 4 oktober 2010 19:46 schreef GlowMouse het volgende:
De functies zitten wel in U ja (en daarmee ook in C).
Je basis zal een functie worden (de ruimte bestaat immers uit functies), dus wat bedoel je met 'alle waardes van e^(-cx)'?
Met 'alle waardes van e^(-cx)' probeer ik dat eigenlijk te vragen hoe ik dat dan moet opschrijven, maar het is dus voldoende als ik zeg dat de basis = e^(-cx) ?
quote:okay, {e-cx}Op maandag 4 oktober 2010 19:49 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
Een basis is een verzameling. Daarnaast zie ik nog niet waarom U een lineaire deelruimte zou zijn als hij uit slechts twee functies bestaat.
U bestaat uit alle functies die aan de vergelijking voldoet.
quote:Wat bedoel je met dat laatste?
[..]
okay, {e-cx}
U bestaat uit alle functies die aan de vergelijking voldoet.
quote:nog nooit van gehoord dus denk het nietOp maandag 4 oktober 2010 19:49 schreef Siddartha het volgende:
[..]
Nou, dat was dus mijn vraag: Kan een basis een functie zijn?
quote:Vergeet de { en } niet.Met 'alle waardes van e^(-cx)' probeer ik dat eigenlijk te vragen hoe ik dat dan moet opschrijven, maar het is dus voldoende als ik zeg dat de basis = e^(-cx) ?
quote:Is het wel goed als ik zeg:Op maandag 4 oktober 2010 19:49 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
Een basis is een verzameling. Daarnaast zie ik nog niet waarom U een lineaire deelruimte zou zijn als hij uit slechts twee functies bestaat.
Basis = { x | x in e^(-cx) } met c=/0 in R ?
Als C de verzameling functies is die (minstens) twee keer differentieerbaar zijn, is de verzameling U met alle functies die minstens 2 keer differentieerbaar zijn én aan een bepaalde voorwaarde doen een lin. deelverzameling van C. Toch?
quote:C zelf is ook een vectorruimte. Kun je dat aantonen? Misschien levert dat meer begrip op.
[..]
Bepaal de basis van de volgende lineaire deelruimten van C, waar C de verzameling van functies van R naar R is die minstens twee keer differentieerbaar zijn.
Goeie antwoord is dus: de basis is {e-cx}
quote:Doe eens iets met de opmerking van Thabit. Je denkt dat je alle oplossingen van de dv y' + cy = 0 hebt gevonden, maar dat is niet zo.Op maandag 4 oktober 2010 19:42 schreef Siddartha het volgende:
[..]
Maar ze zitten wel in C en ook in de lin. deelruimte U, toch?
En ik kan op dit moment alleen die twee functies bedenken die voldoen aan U={f in C | f'+cf = 0 }
En als e^(-cx) hier een functie van is, moet ik dus een basis hebben die alle waardes van e^(-cx) kan aannemen.
Toch?
[ Bericht 2% gewijzigd door Outlined op 04-10-2010 20:06:43 ]
quote:Omdat ik niet zo op een functie kom die aan die voorwaarde voldoet, zal ik even het probleem (voor mezelf) verduidelijken:Op maandag 4 oktober 2010 19:56 schreef Riparius het volgende:
[..]
Doe eens iets met de opmerking van Thabit. Je denkt dat je alle oplossingen van de dv y' + cy = 0 hebt gevonden, maar dat is niet zo.
Zij C = { f : R -> R | f is minstens twee keer differentieerbaar }, f'is de eerste afgeleide, f'' is de tweede afgeleide van de functie f in C.
U is een lin. deelruimte van C, met
U = { f in c | f' + cf = 0}
Vind de basis van U.
f = e^(-cx) is in U, dus een basis daarvan is {e^(-cx)} (Moet ik daar trouwens de x uit weglaten, dus de basis is {e^(-c)} ? )
En blijkbaar zijn er nog meer functies in U ?
quote:Dat is immers de basis!Op maandag 4 oktober 2010 22:11 schreef thabit het volgende:
Ja, er zitten nog meer functies in U. {e-cx} is namelijk geen vectorruimte.
quote:
quote:
Volgens mij moet ik hier de productregel toepassen dus:
a= x3
b= lnx
c= b2
Dan krijg je:
3x2.b2+a.1/x2+a.2(b)
Als ik dit echter bereken kom ik nooit op het antwoord uit, dit is :
x2 ln x (3 ln x + 2)
Ze stellen het voorbeeld op:
Bij het 5x gooien met een dobbelsteen is de kans op 2 keer 4 ogen en 3x een oneven aantal ogen gelijk aan:
(5boven2).(1/6)².(3/6)³
Ik snap dat 1/6 de kans is om 4 te gooien, en 3/6 de kans is op oneven, maar ik raak bij meerdere opgaven verward door de 5boven2. Wie kan mij dit uitleggen en misschien een extra voorbeeldje er boven op geven?
Dat gedoe met dat 5 boven 2 geeft aan op hoeveel manieren het kan. In dit geval:
4 4 o o o
4 o 4 o o
...
o 4 4 o o
..
o o o 4 4
5 boven 2 is het aantal manieren waarop je twee dingen op vijf plekken kunt zetten (of drie dingen op vijf plekken, dat maakt niet uit). Je moet dus met dit getalletje vermenigvuldigen om de totale kans te berekenen.
quote:Moet je het aantal manieren zelf uitrekenen of is hier nog trucje voor? Tot zover alvast bedankt, dit is me in ieder geval duidelijk! (of perhaps een klein voorbeeldje?Op dinsdag 5 oktober 2010 12:46 schreef RQPS het volgende:
@broodmongool
Dat gedoe met dat 5 boven 2 geeft aan op hoeveel manieren het kan. In dit geval:
4 4 o o o
4 o 4 o o
...
o 4 4 o o
..
o o o 4 4
5 boven 2 is het aantal manieren waarop je twee dingen op vijf plekken kunt zetten (of drie dingen op vijf plekken, dat maakt niet uit). Je moet dus met dit getalletje vermenigvuldigen om de totale kans te berekenen.
)quote:Je kunt het gewoon op je rekenmachine uitrekenen. Wil je het zelf doen, zonder rekenmachine, dan kun je de driehoek van Pascal (zie Wikipedia) gebruiken.Op dinsdag 5 oktober 2010 12:55 schreef Broodmongool het volgende:
[..]
Moet je het aantal manieren zelf uitrekenen of is hier nog trucje voor? Tot zover alvast bedankt, dit is me in ieder geval duidelijk! (of perhaps een klein voorbeeldje?
quote:Je maakt alleen maar jezelf in de war met die rare substituties, niet doen dus. Je hebt het product van twee factoren, x3 en (ln x)2. De afgeleide van x3 naar x is 3x2, maar bij de bepaling van de afgeleide van (ln x)2 naar x ga je de mist in. Om de afgeleide van (ln x)2 te bepalen kun je de kettingregel gebruiken, of uiteraard (weer) de productregel. Wat krijg je dan?Op dinsdag 5 oktober 2010 10:48 schreef algebra010 het volgende:
Ik moet de afgeleide hebben van y = x3 (Ln x)2
Volgens mij moet ik hier de productregel toepassen dus:
a= x3
b= lnx
c= b2
Dan krijg je:
3x2.b2+a.1/x2+a.2(b)
Als ik dit echter bereken kom ik nooit op het antwoord uit, dit is :
x2 ln x (3 ln x + 2)
quote:Mijn dictaat zegt: een n-keer heen en weer lokaal isomorfisme.Op zondag 3 oktober 2010 21:09 schreef thabit het volgende:
Wat is een lokaal isomorfisme van orde n?
Recursieve defenitie:
i)LI_0(U,B):=LI(U,B)
ii)Voor elk natuurlijk getal n, LI_{n+1} is de verzameling van alle functies f uit een eindige verzameling A' van A onto een eindige verzamelijk B' van B, zodanig dat:
-(heen): voor elke a in A, bestaat er een b in B zodanig dat f verenigd met {(a,b)} in LI_n zit.
-(weer): voor elke b in B, bestaat er een a in A zodanig dat f verenigd met {a,b} in LI_n zit.
).quote:Ja, vertel eens... dan heb je een verzameling differentieerbare functies (de 'vectoren'?) die aan de axioma's van een vectorruimte voldoen?Op zaterdag 9 oktober 2010 20:29 schreef GlowMouse het volgende:
En de vectorruimte bestaande uit tweemaal differentieerbare functies dan?
Dit wil ik weten zodat ik de bewerkingen die ik met vectoren uitvoer beter kan gebrijpen e.d.
Bedankt voor de reacties tot dusver, iig =)
quote:Je moet je er eigenlijk helemaal niks bij voorstellen. Het is gewoon een definitie.Op zaterdag 9 oktober 2010 21:01 schreef Pankappen het volgende:
En hoe moet ik me een vector in de praktijk voorstellen? Ik bedoel, elementen van N zoals 1 of 2 snap ik. Bijvoorbeeld: 1 appel, 2 huizen. Alle elementen van R snap ik, die geven ook een bepaalde waarde, zogezegd. Vectoren van de R² en R³ snap ik ook nog, die kan ik voor me zien als pijlen in 2- danwel 3-dimensionale ruimte, maar wat "zijn" vectoren in andere vectorruimtes nou eigenlijk?
Dit wil ik weten zodat ik de bewerkingen die ik met vectoren uitvoer beter kan gebrijpen e.d.
Bedankt voor de reacties tot dusver, iig =)
Probeer je maar eens iets voor te stellen bij R^100. Succes. Het is beter om gewoon de definitie te kennen. Dan weet je dat je gewoon 100 geordende reële getallen hebt, that's it.
quote:Na R3 komt R4 en dan R5, etc. Vectoren kan je bij elkaar optellen. Ook kan je ze met een getal vermenigvuldigen. Voorbeelden voor de vectoren x = (1, 2, 3, 4) en y = (5, 6, 7, -8) in R4.Op zaterdag 9 oktober 2010 21:01 schreef Pankappen het volgende:
En hoe moet ik me een vector in de praktijk voorstellen? Ik bedoel, elementen van N zoals 1 of 2 snap ik. Bijvoorbeeld: 1 appel, 2 huizen. Alle elementen van R snap ik, die geven ook een bepaalde waarde, zogezegd. Vectoren van de R² en R³ snap ik ook nog, die kan ik voor me zien als pijlen in 2- danwel 3-dimensionale ruimte, maar wat "zijn" vectoren in andere vectorruimtes nou eigenlijk?
Dit wil ik weten zodat ik de bewerkingen die ik met vectoren uitvoer beter kan gebrijpen e.d.
Bedankt voor de reacties tot dusver, iig =)
x + y = (6, 8, 10, -4)
2 * x = (2, 4, 6, 8)
Dan moet ik maar gewoon aannemen wat het is dat het is. En wat het is dat het is is dus... een ordening van verschillende reële waarden? (gesproken over R^n dan).Bedankt voor de feedback iig, ik kan het denk ik al wel iets beter handlen nu (=
[ Bericht 8% gewijzigd door BasementDweller op 09-10-2010 22:01:42 ]
quote:Prachtig dit soort definities.Op zaterdag 9 oktober 2010 20:27 schreef BasementDweller het volgende:
een vector (is) een element van een vectorruimte
quote:En die wordt door de vectorruimte gegeven. Een vector is immers een element van een vectorruimteOp zondag 10 oktober 2010 00:40 schreef RQPS het volgende:
Ik vind wel dat jullie een beetje slordig zijn met het verschil tussen een vector en de componenten van een vector. (1,3,2) is niet ineens een vector, daar is ook nog een basis voor nodig.
quote:De notatie Rn impliceert een gegeven basis.Op zondag 10 oktober 2010 00:40 schreef RQPS het volgende:
Ik vind wel dat jullie een beetje slordig zijn met het verschil tussen een vector en de componenten van een vector. (1,3,2) is niet ineens een vector, daar is ook nog een basis voor nodig. Maar hoe noteer je die dan weer? Wat een problemen allemaal, zo 's avonds laat.
quote:Ja, maar ik bedenk me net dat het vrij betekenisloos is als je de basisvectoren noteert/definieert als (1,0,0), (0,1,0) en (0,0,1).Op zondag 10 oktober 2010 00:42 schreef Outlined het volgende:
[..]
En die wordt door de vectorruimte gegeven. Een vector is immers een element van een vectorruimte
(ja, expres met een hoofdletter)
quote:De basis wordt niet door de vectorruimte gegeven. Het is een stelling dat (onder de aanname van het keuze-axioma) elke vectorruimte een basis heeft, maar deze basis is niet uniek. Sommige vectorruimten komen per definitie met een keuze van een basis, maar in het algemeen is dat niet zo.Op zondag 10 oktober 2010 00:42 schreef Outlined het volgende:
[..]
En die wordt door de vectorruimte gegeven. Een vector is immers een element van een vectorruimte
quote:Niet helemaal. Natuurkundigen onderscheiden vectoren van 'covectoren'. Wiskundig gezien zijn beide dingen gewoon elementen van vectorruimten.Op zondag 10 oktober 2010 01:04 schreef Pankappen het volgende:
Hebben vectoren in de natuurkunde en Wiskunde dezelfde betekenis?
(ja, expres met een hoofdletter)
quote:Door een expliciet isomorfisme te construeren.Op zondag 10 oktober 2010 12:56 schreef BasementDweller het volgende:
Hoe kan ik nagaan of (R, +) en (R(positief), * ) isomorf zijn?
Het antwoord is dus p + ax. Ik snap alleen niet hoe ze er aan komen.
Ik streep de gedeeld door xpeax weg tegen de keer pxp-1eax.
Dan hou ik over p + x (xpaeax)
Wat doe ik fout?
xp-1/p * (p + ax)
kan dat?
Is ergens gegeven dat xp-1/p = 1. ? ?
Dit streep je weg tegen te eerst term, dan hou je p over. Van de tweede term hou je ax over.
quote:Oh, gewoon de logOp zondag 10 oktober 2010 13:05 schreef Outlined het volgende:
[..]
Door een expliciet isomorfisme te construeren.
Maar stel dat er geen isomorfisme daartussen bestond, hoe kan je dat dan laten zien?
quote:Dan streep je het dus twee keer weg? Van de tweede term (rechts van de +) moet je dan ook wegstrepen om ax over te houden..Op zondag 10 oktober 2010 13:44 schreef RQPS het volgende:
x/(x^p e^{ax}) = 1/(x^{p-1} e^{ax})
Dit streep je weg tegen te eerst term, dan hou je p over. Van de tweede term hou je ax over.
quote:Ja, immers, a(b+c) = ab+ac.Op zondag 10 oktober 2010 13:48 schreef algebra010 het volgende:
[..]
Dan streep je het dus twee keer weg? Van de tweede term (rechts van de +) moet je dan ook wegstrepen om ax over te houden..
quote:Laten we daar voor jou een opgave van maken: toon aan dat (R, +) en (R - {0}, * ) niet isomorf zijn.Op zondag 10 oktober 2010 13:45 schreef BasementDweller het volgende:
[..]
Oh, gewoon de log
Maar stel dat er geen isomorfisme daartussen bestond, hoe kan je dat dan laten zien?
quote:Ahaa nu zie ik hem, de hele som valt te zien als a(b+c), door al die getallen zie ik vaak het grotere plaatje niet meer. Thanks.
quote:Stel dat ze wel isomorf zijn en zij f:R->R\{0} het morfisme. Er geldt f(x+y)=f(x)*f(y), en ihb f(0+0)=f(0)*f(0) = f(0). Dus f(0)=e=1 en dus 1=f(0)-1. Dus f(0)=f(0)-1. Maar f-1 is niet gedefinieerd in 0.Op zondag 10 oktober 2010 13:50 schreef thabit het volgende:
[..]
Laten we daar voor jou een opgave van maken: toon aan dat (R, +) en (R - {0}, * ) niet isomorf zijn.
Zoiets?
Als ze isomorf zijn is f bijectief, dus moet f(0)-1 bestaan maar dat doet het niet. Dus tegenspraak, dus niet isomorf?
Ik probeer iets te vinden zodat f(iets)=0... alleen dat lukt niet.
Ik heb al allerlei elementen geprobeerd, 1, wortel(2), pi, negatieve getallen... maar het gaat altijd goed.
Ik heb f(x+y) = f(x)f(y) = -1 (= -f(0)), dus f(x)=-f(y)-1....
f(x,y) = 3x2+2xy+y3
Vindt f(a+h,b) - f(a,b)
Dus dan heb ik 3(a+h)2+2(a+h)b+b3 - (3a2+2ab+b3)
= 3h2+2hb
= h(3h+2b)
Het antwoord is echter 2(a+b)h+h2 , hoe kan dit?
quote:Dan heb ik dus
3a2+h2+2ah+2(a+h)b+b3 - (3a2+2ab+b3)
= h2+2ah+2hb
= 2(a+b)h+h2
Begrijp ik het dus goed dat je bij 3(a+h)2, eerst (a+h).(a+h) doet en vervolgens alleen de a keer 3? Want ik dacht in eerste instantie dat je alles keer 3 moest doen. Dan zou je 3a2+3h2+6ah hebben
quote:Als f(a) = -1, wat is dan f(2a)?Op zondag 10 oktober 2010 15:57 schreef BasementDweller het volgende:
Heb ik dus al gedaan, maar wat voor tegenspraak zou ik dan moeten krijgen?
Ik heb f(x+y) = f(x)f(y) = -1 (= -f(0)), dus f(x)=-f(y)-1....
Oh, en vooral ook 0.
f(a)=f(0)=1 en f(a)=-1, tegenspraak.
Bedankt
[ Bericht 45% gewijzigd door BasementDweller op 10-10-2010 16:58:29 ]
quote:Je moet inderdaad vinden dat f(a+h,b) - f(a,b) = 6ah + 3h2 + 2bh.Op zondag 10 oktober 2010 16:22 schreef algebra010 het volgende:
[..]
Dan heb ik dus
3a2+h2+2ah+2(a+h)b+b3 - (3a2+2ab+b3)
= h2+2ah+2hb
= 2(a+b)h+h2
Begrijp ik het dus goed dat je bij 3(a+h)2, eerst (a+h).(a+h) doet en vervolgens alleen de a keer 3? Want ik dacht in eerste instantie dat je alles keer 3 moest doen. Dan zou je 3a2+3h2+6ah hebben
De rechte lijn m die door de punten A (-4, 2) en B (5, 5).
Bepaal een vergelijking van de lijn l die door C (3, -2), die parallel loopt aan m.
Is toch gewoon L = -1/3x -1 neem ik aan of ben ik nu zo dom geworden
antwoordenblad zegt (kan ook een andere vraagstelling zijn):
y+2 = -1/3(x-3)
Wat krijg je als je bij y+2 = -1/3(x-3) de haakjes wegwerkt en de +2 naar de andere kant haalt?
quote:y = -1/3x -3 ?Op maandag 11 oktober 2010 23:51 schreef GlowMouse het volgende:
ik zou zeggen dat de richtingscoëfficient +1/3 is
Wat krijg je als je bij y+2 = -1/3(x-3) de haakjes wegwerkt en de +2 naar de andere kant haalt?
Dus de vergelijking is van de vorm y=ax+b= x/3 + b. Dan vul je in x=3 en y=-2. En dan vind je 1+b=-2, dus b=-3. Dus y=x/3 -3.
Lijkt er dus op alsof ze er een minnetje naast zitten.
quote:De richtingscoëfficient van de lijn door de gegeven punten A en B is ∆y/∆x = (5-2)/(5-(-4)) = 1/3. Verder is het gemakkelijk te onthouden dat de vergelijking van een rechte lijn door een punt (x0;y0) met richtingscoëfficiënt m is te schrijven als:Op maandag 11 oktober 2010 23:35 schreef Lindstrøm. het volgende:
Iemand stelde aan mij deze vraag. Aangezien ik het zelf helemaal kwijt ben weet ik het niet meer. Eén van jullie misschien?
Gegeven is de rechte lijn m die door de punten A (-4, 2) en B (5, 5) gaat.
Bepaal een vergelijking van de lijn l die door C (3, -2) gaat en parallel loopt aan m.
Is toch gewoon y = -1/3x -1 neem ik aan? Of ben ik nu zo dom geworden
Antwoordenblad zegt (kan ook een andere vraagstelling zijn):
y+2 = -1/3(x-3)
y - y0 = m(x - x0)
De vergelijking van de gevraagde lijn is dus te schrijven als y + 2 = 1/3(x - 3).
quote:Maar het antwoord moet zijn 2(a+b)h+h2, iig dat staat in het boek.Op maandag 11 oktober 2010 17:03 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je moet inderdaad vinden dat f(a+h,b) - f(a,b) = 6ah + 3h2 + 2bh.
quote:Nee, dat 'moet' niet. Waarom geloof je mij niet en het antwoordenboekje wel? Dat kun je beter niet doen, mijn antwoord is juist.Op dinsdag 12 oktober 2010 09:02 schreef algebra010 het volgende:
[..]
Maar het antwoord moet zijn 2(a+b)h+h2, iig dat staat in het boek.
De bewijzen voor a=0 en a=1 zijn makkelijk. Stel nu a>1. Kies e=1 en zij d>0 willekeurig. Ik moet nu aantonen dat er een x,y bestaat met |x-y|<d en |f(x)-f(y)|>=e=1.
Definieer d1=d/2 en kies x=y+d1. Dan geldt |x-y|<d, en |f(x)-f(y)|=|f(y+d1)-f(y)|=|(y+d1)a-ya|=....
Is er een manier om dit zo af te schatten dat dit groter is dan 1? Of moet ik een uitdrukking vinden voor y zodat het groter is dan 1? Zo ja, hoe?
Het is intuïtief duidelijk dat als y maar groot genoeg wordt, dat het verschil vanzelf groter dan 1 wordt...
[ Bericht 6% gewijzigd door BasementDweller op 12-10-2010 21:50:54 ]
En wat heb je eraan dat de functie boven zijn raaklijn ligt?
quote:Om te beginnen kun je eerst een goede ondergrens voor (y+d1)a-ya proberen te bepalen. Daarna kun je direct een y opschrijven in termen van d1 die laat zien dat het groter is dan 1.Op dinsdag 12 oktober 2010 21:40 schreef BasementDweller het volgende:
Ik probeer te bewijzen dat xa uniform continu is op het domein van alle positieve reële getallen, als a=0 of a=1, en anders niet.
De bewijzen voor a=0 en a=1 zijn makkelijk. Stel nu a>1. Kies e=1 en zij d>0 willekeurig. Ik moet nu aantonen dat er een x,y bestaat met |x-y|<d en |f(x)-f(y)|>=e=1.
Definieer d1=d/2 en kies x=y+d1. Dan geldt |x-y|<d, en |f(x)-f(y)|=|f(y+d1)-f(y)|=|(y+d1)a-ya|=....
Is er een manier om dit zo af te schatten dat dit groter is dan 1? Of moet ik een uitdrukking vinden voor y zodat het groter is dan 1? Zo ja, hoe?
Het is intuïtief duidelijk dat als y maar groot genoeg wordt, dat het verschil vanzelf groter dan 1 wordt...
quote:a = 2, y = 1/4, d1 = 1/4 gaat niet d1 als ondergrens geven.Op dinsdag 12 oktober 2010 22:04 schreef BasementDweller het volgende:
d1 is een ondergrens, maar ik zie niet hoe je dan een y kan opschrijven in termen van d1
@thabit: ik bedoelde eigenlijk ook d1a, want als y naar nul gaat dan is het gelijk aan d1a, en anders is het verschil altijd groter dan d1a