[Bèta wiskunde] Huiswerk-en-vragentopic

quote:

Een klein raadsel dat ik ergens op een forum vond een tijd geleden.
Er is een gelijkbenige driehoek met op de hoekpunten, met de klok mee, de punten A B en C.
A beweegt richting B, B richting C en C richting A.
De benen hebben lengte 5, en de punten bewegen allemaal met snelheid 2.
Hoe lang duurt het voordat de punten allemaal op het middelpunt liggen?

Geen flauw idee hoe je dit kan oplossen, als iemand het leuk vindt of weet hoe dit moet hoor ik graag iets, laat anders maar zitten, want het heeft geen enkele prioriteit.

Je bedoelt ongetwijfeld een gelijkzijdige driehoek. Je vraag is zo niet te beantwoorden omdat je bij de snelheid geen eenheid van tijd opgeeft. Maar aangenomen dat je 2 eenheden per seconde bedoelt kom ik zelf uit op 5/3 seconde.

quote:

Op woensdag 15 september 2010 11:07 schreef minibeer het volgende:
haha, ja ik bedoelde inderdaad een gelijkzijdige driehoek en per seconde. Hoe heb je die berekening dan ongeveer gemaakt?

Op grond van symmetrie overwegingen is het duidelijk dat driehoek ABC gelijkzijdig blijft en dat ook het centrum (zwaartepunt) van de driehoek zich niet verplaatst. Bij een gelijkzijdige driehoek is het centrum (zwaartepunt) tevens het middelpunt O van de omgeschreven cirkel. Duiden we de straal van de omgeschreven cirkel aan met r, dan geldt dus OA = OB = OC = r.

Voor een willekeurige driehoek ABC laat de straal van de omgeschreven cirkel zich berekenen met de uitgebreide sinusregel:

(1) a : sin α = b : sin β = c : sin γ = 2r

Voor een gelijkzijdige driehoek ABC is α = β = γ = 60° en aangezien sin 60° = ½∙√3 vinden we dus voor een gelijkzijdige driehoek met zijden a = b = c = 5 dat 2r = 5/(½∙√3) en dus r = 5/√3 = (5/3)∙√3.

Het vraagstuk is nu herleid tot de vraag hoe de straal r van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC afhangt van de tijd t. Immers, als we r uit kunnen drukken als functie van t, dan kunnen we ook bepalen voor welke waarde van t geldt dat r = 0, en op welk tijdstip de drie hoekpunten A,B en C dus samenvallen met O.

Aangezien OA = OB = OC = r kunnen we volstaan met te kijken naar de afstand r van punt A tot het middelpunt O van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.

We beschouwen nu een zeer klein tijdsinterval [t, t + ∆t] waarin driehoek ABC overgaat in driehoek A'B'C'. We denken ons hierbij ∆t zó klein, dat de verplaatsing van punt A naar punt A' zeer klein is ten opzichte van de lengte van de zijde AB van de driehoek ABC op tijdstip t. Aangezien punt A zich beweegt naar punt B en ook de afstand van punt B' tot B zeer klein is ten opzichte van de lengte van de zijde AB, volgt dat de baan van A naar A' dan bij benadering een recht lijnstuk is dat bovendien vrijwel langs zijde AB ligt.

Duiden we de straal van de omgeschreven cirkel op tijdstip t aan met r en op tijdstip t + ∆t met r + ∆r (waarbij is te bedenken dat het increment ∆r ook negatief kan zijn) dan hebben we dus:

(2) OA = r en OA' = r + ∆r

Om nu een verband te vinden tussen het increment ∆r en daarbij behorende increment van het tijdsinterval ∆t beschouwen we driehoek OAA'. Volgens de cosinusregel geldt:

(3) (OA')² = (OA)² + (AA')² - 2∙OA∙AA'∙cos ∠OAA'

Nu zagen we al dat de baan van A naar A' nagenoeg samenvalt met het lijnstuk AA'. Gegeven is verder dat punt A zich met een snelheid van 2 eenheden per tijdseenheid (seconde) beweegt in de richting van B, zodat voor de lengte van lijnstuk AA' in goede benadering geldt:

(4) AA' ≈ 2∙∆t

Verder zagen we al dat AA' nagenoeg langs AB ligt, zodat ook geldt:

(5) ∠OAA' ≈ ∠OAB = 30°

En dus ook:

(6) cos ∠OAA' ≈ cos 30° = ½∙√3

Op grond van (2), (4) en (6) volgt nu uit (3) dat geldt:

(7) (r + ∆r)² ≈ r² + (2∙∆t)² - 2∙r∙2∙∆t∙½∙√3

Uitwerken geeft:

(8) r² + 2∙r∙∆r + (∆r)² ≈ r² + 4∙(∆t)² - 2∙r∙√3∙∆t

En van beide leden r² aftrekken geeft:

(9) 2∙r∙∆r + (∆r)² ≈ 4∙(∆t)² - 2∙r∙√3∙∆t

Nu is ∆t zeer klein, wat tot gevolg heeft dat (∆t)² weer zeer klein is ten opzichte van ∆t en daarmee verwaarloosbaar ten opzichte van ∆t. En omdat ∆t zeer klein is, is ook ∆r zeer klein, waarmee ook (∆r)² verwaarloosbaar is ten opzichte van ∆r. Aldus volgt uit (9) dat ook geldt:

(10) 2∙r∙∆r ≈ - 2∙r∙√3∙∆t

Deling van beide leden van (10) door 2r geeft dan:

(11) ∆r ≈ - √3∙∆t

En dus:

(12) ∆r/∆t ≈ -√3

Deze benadering wordt beter naarmate ∆t tot 0 nadert, zodat we kunnen concluderen dat geldt:

(13) lim _{∆t → 0} (∆r/∆t) = -√3

Oftewel:

(14) dr/dt = -√3

De straal r van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC neemt dus lineair af met de tijd, en wel met √3 eenheden per eenheid van tijd (seconde). En daar, zoals we hebben gezien, op tijdstip t = 0 geldt r = (5/3)∙√3 volgt dus dat r = 0 op tijdstip t = ((5/3)∙√3)/√3 = 5/3 seconde. Daarmee is het vraagstuk opgelost.

We kunnen r als volgt als functie van t schrijven:

(15) r = (5/3 - t)∙√3

Hiermee kunnen we bepalen wanneer de lengten van de zijden van driehoek ABC een bepaalde waarde bereiken door eerst aan de hand van (1) de straal van de omgeschreven cirkel te bepalen. Voor een gelijkzijdige driehoek met zijden van lengte 1 bijvoorbeeld geldt r = (1/3)∙√3 en dus t = 4/3 seconde.

Dit probleem is net wat anders dan Achilles en de schildpad, en daarom ook lastiger om te begrijpen. Je redenering loopt nu juist voor 0 <= t < 5/3. Op grond van het resultaat kan r(t) niet kloppen voor t > 5/3. Waarom zou r(5/3) = 0 gedefinieerd zijn? Het is wel duidelijk dat het midden willekeurig dicht benaderd wordt.

quote:

Op woensdag 15 september 2010 18:48 schreef GlowMouse het volgende:
Dit probleem is net wat anders dan Achilles en de schildpad, en daarom ook lastiger om te begrijpen. Je redenering loopt nu juist voor 0 <= t < 5/3. Op grond van het resultaat kan r(t) niet kloppen voor t > 5/3. Waarom zou r(5/3) = 0 gedefinieerd zijn? Het is wel duidelijk dat het midden willekeurig dicht benaderd wordt.

Ik zie je probleem natuurlijk wel, ik heb slechts aangetoond dat geldt dr/dt = -√3 op het open interval (0, 5/3). Maar uit het feit dat r(t) niet is gedefinieerd voor t > 5/3 en (dus) ook niet differentieerbaar is voor t = 5/3 volgt niet dat r(5/3) zelf niet gedefinieerd zou zijn.

Als je r(t) = 0 definieert voor t >= 5/3, dan heb je een continue functie, de unieke die aan het gestelde probleem voldoet.

Ken je complexe getallen, minibeer? Daarmee kan het namelijk een stuk simpeler.

quote:

Op donderdag 16 september 2010 11:33 schreef minibeer het volgende:

[..]

pff, respect hoor, ff kijken wat ik ervan begrijp

De baan die elk van de hoekpunten van de driehoek aflegt is een logaritmische spiraal. Eén van de eigenschappen daarvan is dat er oneindig veel omwentelingen nodig zijn om de pool (het centrum O) te bereiken, terwijl de totale lengte van de curve vanaf ieder punt op de curve tot aan de pool niettemin eindig is. Dat is denk ik een beetje de paradox waarmee GlowMouse worstelt.

quote:

Op donderdag 16 september 2010 14:19 schreef minibeer het volgende:

[..]

Volgens Riparius neemt de radius van de cirkel waarop de hoekpunten liggen af met sqrt(3) eenheden per seconde. Dit is geen logaritmische spiraal, en dat vond Glowmouse raar als ik het allemaal goed begrijp.

Je haalt wat dingen door elkaar, namelijk de lineaire afname in de tijd van de straal van de omgeschreven cirkel van de driehoek en de baan die elk van de hoekpunten van de driehoek beschrijft.

quote:

En even over de redenatie van Riparius: mag dat wel, delta t en delta r als 'klein' beschouwen, en dan delta r kwadraat en delta t kwadraat verwaarlozen? Volgens mij mag je alleen een infinitesimaal (ofzo) maken van delta t en delta r, waardoor je die dus als het ware als 0 beschouwt.

Wat ik doe mag inderdaad, maar als je liever een afleiding hebt zonder verwaarlozing van hogere-orde termen dan kan dat ook. Ik heb echter gekozen voor een elementaire aanpak die direct aansluit bij het vraagstuk en ben bij mijn uitwerking niet ingegaan op het feit dat de hoekpunten van de driehoek elk een logaritmische spiraal doorlopen.

Goed, we stellen het middelpunt van de driehoek op 0. Dan komen A, B, en C overeen met complexe getallen. Als
A = z,
dan zit B 120 graden gedraaid tenopzichte van A en is dus
B = zeta_3 * z (zeta_3 = e^(2*pi*i/3)).
A wil naar B toe bewegen dus gaat in de richting
B - A = zeta_3 * z - z = (zeta_3 - 1) * z.

Als we ons even niks van de snelheid aantrekken (het gaat uiteindelijk alleen om de lengte van het pad), dan kan de beweging worden beschreven als
z'(t) = (zeta_3 -1) * z
en dus
z(t) = e^((zeta_3 - 1) * t) * z(0), waarbij z(0) het beginpunt is, dus z(0 )is bijvoorbeeld 5 / wortel(3). De lengte van het pad is dan de integraal van ||z'(t)||dt over t van 0 naar oneindig. Probeer dat nu zelf maar eens uit te werken. .

quote:

Op donderdag 16 september 2010 17:55 schreef minibeer het volgende:

[..]

Mmm. Maar als de straal linear afneemt in de tijd, zou er wel een tijdstip zijn waarop de straal 0 is. En dat zou weer niet moeten kunnen toch? Een logaritmische spiraal belandt toch uiteindelijk ook niet precies op het middelpunt?

Dat is precies de paradox waar ik hierboven op doelde. Het lineair afnemen in de tijd van de afstand van A tot het centrum O en het niet bereiken van punt O in een eindig aantal omwentelingen rond O sluiten elkaar niet uit. De totale baanlengte die punt A aflegt op weg naar O is wel degelijk eindig, namelijk 10/3, zodat het bij een constante baansnelheid van 2 eenheden per seconde dus 5/3 seconde duurt om O te bereiken.

quote:

Wat ik me afvroeg was of je oplossing wel exact was. Je verwaarloost immers wel enkele termen...

Ja, mijn oplossing is exact omdat ik beredeneer dat exact geldt dr/dt = -√3.

quote:

Sowieso heb ik hier niet zoveel verstand van, dus het is niet bedoeld om jou oplossing te ontkrachten ofzo, ik snap alleen niet alles...

Vertel maar wat je niet snapt. Je kunt natuurlijk ook beginnen met de oplossing van Thabit uit te werken, dan zul je zien dat het antwoord exact hetzelfde is. Thabit gebruikt alleen een andere insteek. Hij berekent niet de afstand van punt A tot het centrum O in functie van de tijd maar berekent de totale baanlengte die punt A aflegt op weg naar O. En aangezien deze baanlengte eindig is kun je dan de tijd die punt A nodig heeft om O te bereiken berekenen door de baanlengte te delen door de vaste baansnelheid van 2 lengte-eenheden per seconde.

(Latex doet het niet op dit forum?)

Ik heb een simpele vraag waar ik niet uitkom.

Zij E een subset van X.


Bewijs dat:

E is open <=> doorsnede E met de rand van E is leeg


rand van E is gedefinieerd als doorsnede van de afsluiting van E en de afsluiting van X\E

Ik zie het conceptueel wel, alleen het formele bewijs ontbreekt.

=>: Zij E open en zij P een punt in de doorsnede van E met z'n rand. Dan zit P in E en in de afsluiting van X-E. Echter, omdat E open is, is X-E gesloten, dus gelijk aan z'n afsluiding. Dus P zit in E en in X-E. Dat kan niet.

<=: Als E niet open is, is er een punt P in E zdd geen enkele open omgeving van P in E bevat is. Dus elke open omgeving van P bevat een punt van X-E. Dit betekent dat P in de afsluiting van X-E zit en dus ook in de rand van E.

Duidelijk. Merci!

quote:

Op woensdag 15 september 2010 11:07 schreef minibeer het volgende:
haha, ja ik bedoelde inderdaad een gelijkzijdige driehoek en per seconde. Hoe heb je die berekening dan ongeveer gemaakt?

WTF. Ben ik achterlijk als ik niet eens snap wat je precies bedoelt?

Ik zie wel in dat de driehoek verandert (hij wordt kleiner en draait met de klok mee en wordt dan weer groter toch?), maar wanneer komt elk punt dan bij elkaar in het middelpunt? Ik denk dat ik er geen goede voorstelling van maak.

quote:

Op vrijdag 17 september 2010 01:02 schreef Zwansen het volgende:

[..]

WTF. Ben ik achterlijk als ik niet eens snap wat je precies bedoelt?

Ik zie wel in dat de driehoek verandert (hij wordt kleiner en draait met de klok mee en wordt dan weer groter toch?),

Nee, dat is niet zo. Ik heb het hierboven allemaal al uitgelegd, dus als het vraagstuk je interesseert neem dan tenminste de moeite om ook de reacties op de vraag van minibeer door te lezen.

quote:

Op vrijdag 17 september 2010 01:40 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, dat is niet zo. Ik heb het hierboven allemaal al uitgelegd, dus als het vraagstuk je interesseert neem dan tenminste de moeite om ook de reacties op de vraag van minibeer door te lezen.

Uhm, dat heb ik natuurlijk gedaan voordat ik die post plaatste. Anders ga ik het ook niet vragen.

quote:

Op vrijdag 17 september 2010 11:08 schreef Zwansen het volgende:

[..]

Uhm, dat heb ik natuurlijk gedaan voordat ik die post plaatste. Anders ga ik het ook niet vragen.

Als je het zou proberen te begrijpen, denk je dan niet dat je gerichte vragen hebt?
Dus niet 'ik snap het niet, kun je nog eens een compleet ander verhaal ophangen', maar 'ik snap dit niet' of 'hoe kom je van dit naar dat?', etc.

Riparius geeft een verhaal waar hij duidelijk van stap naar stap gaat, met overal een korte uitleg. En dan kom jij met 'Ik snap er niks van, kun je het nog eens uitleggen'.

quote:

Op vrijdag 17 september 2010 11:11 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Als je het zou proberen te begrijpen, denk je dan niet dat je gerichte vragen hebt?
Dus niet 'ik snap het niet, kun je nog eens een compleet ander verhaal ophangen', maar 'ik snap dit niet' of 'hoe kom je van dit naar dat?', etc.

Riparius geeft een verhaal waar hij duidelijk van stap naar stap gaat, met overal een korte uitleg. En dan kom jij met 'Ik snap er niks van, kun je het nog eens uitleggen'.

Ik was vrij duidelijk dacht ik.

Ik snap de probleemstelling zelf niet. Dat heb ik proberen weer te geven met dat plaatje. Hoe kunnen de punten ooit in een middelpunt samenkomen als het een gelijkzijdige driehoek is en ze allen even snel gaan?

Voor mijn gevoel wordt de driehoek kleiner tot aan de helft van de zijde en daarna weer groter. Als A in punt B is, B in C, etc. dan is de driehoek weer in zijn oorspronkelijk staat (alleen dan gedraaid natuurlijk). En daarna begint deze cyclus weer opnieuw. Ik zie dus niet in hoe de driehoek steeds kleiner wordt en de punten dus dichter op elkaar.

[ Bericht 5% gewijzigd door Zwansen op 17-09-2010 12:19:08 ]

Punt B beweegt, en A gaat altijd naar de actuele positie van B.

quote:

Op vrijdag 17 september 2010 13:09 schreef GlowMouse het volgende:
Punt B beweegt, en A gaat altijd naar de actuele positie van B.

Oh, wacht. Nu snap ik het. Dat ik daar zelf niet op kwam.

Thnx

Het is wel duidelijk dat de straal steeds kleiner wordt, maar met jouw redenering zit je hier nog mee:

quote:

Op dinsdag 14 september 2010 20:02 schreef GlowMouse het volgende:

[..]


Nooit. Als A het middelpunt bereikt, is dat omdat op dat moment B aan de andere kant van het middelpunt ligt. Vanwege symmetrie komt dat nooit voor.

quote:

Op vrijdag 17 september 2010 14:28 schreef minibeer het volgende:
Ik ben erachter gekomen dat het probleem eigenlijk veel simpeler is dan de vraagstelling doet vermoeden. Door symmetrie beweegt a altijd naar een punt dat ten opzichte van de oorsprong zestig graden verschoven is:
[ afbeelding ]

In het geval dat deze hoek 90 graden zou zijn, zou de beweging van A een cirkel zijn, en zou de straal niet veranderen.

Het lijkt me dat je dit met infinitesimalen zou kunnen uitrekenen, maar zowel de vraag als de bewering die ik net deed, kan ik niet met een of andere berekening aantonen

Je observatie is niet helemaal juist geformuleerd, punt A beweegt zich in een richting die een hoek van 30° maakt met OA aangezien ∠OAB = 30°. En aangezien een raaklijn aan een cirkel loodrecht staat op de straal naar het raakpunt, beweegt punt A zich steeds in een richting die een (naar binnen gerichte) hoek maakt van 60° met de baan van een cirkel door A met middelpunt O. Dat is kenmerkend voor een logaritmische spiraal, die om deze reden ook wel een equiangulaire spiraal wordt genoemd.

Het is heel eenvoudig om hiermee via infinitesimalen een betrekking te vinden tussen de hoek waarover punt A op een gegeven moment is geroteerd vanaf het beginpunt en de daarbij behorende straal.

Laten we weer even een klein tijdsinterval [t, t + ∆t] beschouwen waarin punt A zich verplaatst naar punt A'. Laten we tevens de hoek waarover A is geroteerd om O vanaf het startpunt aanduiden met φ en de hoek waarover A' is geroteerd om O met φ + ∆φ, zodat ∠AOA' = ∆φ. Ik zal hierbij steeds aannemen dat φ in radialen is uitgedrukt. Noem verder de afstand van O tot A weer r en de afstand van O tot A' weer r + ∆r.

Nu hebben we gezien dat OA' < OA, zodat punt A' binnen de cirkel ligt met straal OA = r. Verleng nu OA' zodat het verlengde van OA' de cirkel met middelpunt O en straal r snijdt in een punt P. Je kunt nu gemakkelijk inzien dat driehoek AA'P bij benadering een rechte driehoek is met een rechte hoek in P. Ook kun je zien dat vanwege de richting waarin punt A beweegt geldt dat:

(1) ∠PAA' ≈ 60°.

Voor de zijde A'P van driehoek AA'P geldt A'P = OP - OA' = OA - OA' = r - (r + ∆r), dus:

(2) A'P = -∆r

De lengte AA' van de hypotenusa van de (nagenoeg) rechthoekige driehoek AA'P hadden we al eerder bekeken, dit lijnstuk is nagenoeg de baan van punt A naar punt A' in het tijdsinterval [t, t + ∆t], zodat:

(3) AA' ≈ 2∙∆t

Nu is in een rechthoekige driehoek de sinus van een scherpe hoek gelijk aan de verhouding tussen de overstaande zijde en de schuine zijde, zodat we hebben:

(4) A'P/AA' ≈ sin ∠PAA'

En op grond van (1), (2) en (3) hebben we dus:

(5) -∆r/(2∙∆t) ≈ sin 60° = ½∙√3

En dus vinden we weer:

(6) ∆r/∆t ≈ -√3

Deze benadering wordt beter naarmate ∆t tot nul nadert, dus hebben we:

(7) dr/dt = -√3

Dit is exact wat we eerder vonden, alleen heb ik nu geen hogere-orde termen verwaarloosd, waarmee ik aan je bezwaar tegemoet ben gekomen.

We kunnen nu ook een betrekking afleiden tussen de hoek φ waarover A is geroteerd om O vanaf het startpunt en de daarbij behorende afstand r van A tot O, zodat we een vergelijking in poolcoördinaten kunnen opstellen van de baan die punt A beschrijft.

Voor zijde AP van driehoek AA'P geldt dat deze vrijwel gelijk is aan de lengte r∙∆φ van de cirkelboog AP, dus:

(8) AP ≈ r∙∆φ

Verder is in een rechthoekige driehoek de tangens van een scherpe hoek gelijk aan de verhouding tussen de overstaande en de aanliggende rechthoekszijde, zodat we hebben:

(9) A'P/AP ≈ tan ∠PAA'

Op grond van (1), (2) en (8) hebben we dus:

(10) -∆r/(r∙∆φ) ≈ tan 60° = √3

En dus:

(11) ∆r/(r∙∆φ) ≈ -√3

Deze benadering wordt weer beter naarmate ∆t en daarmee ook ∆φ tot nul nadert, zodat we hebben:

(12) dr/dφ = -√3∙r

Dit is een differentiaalvergelijking waarmee we r als functie van φ kunnen bepalen. Aangezien de exponentiële functie zichzelf als afgeleide heeft zal het duidelijk zijn dat uit (12) volgt dat we hebben:

(13) r = C∙e^-√3∙φ

De waarde van de constante C kunnen we bepalen door φ = 0 te nemen. Als we het startpunt van punt A op tijdstip t = 0 als referentiepunt nemen voor de rotatie van A om O dan moet dus gelden r = (5/3)∙√3 voor φ = 0 zodat C = (5/3)∙√3 en krijgen we dus:

(14) r = (5/3)∙√3∙e^-√3∙φ

Dit is de vergelijking in poolcoördinaten van de baan die punt A beschrijft, waarbij je echter moet bedenken dat φ hier - in tegenstelling met wat gebruikelijk is - de rotatie (in radialen) met de wijzers van de klok mee aangeeft, omdat je in je probleem de hoekpunten van je driehoek met de wijzers van de klok mee laat bewegen. Maar dat is verder niet wezenlijk voor je vraagstuk.

Nu zul je misschien zeggen: aha, de waarde van die e-macht kan nooit nul worden, en 'dus' kan punt A nooit het centrum O bereiken, maar zo eenvoudig ligt dat niet. De totale lengte van de baan vanaf het startpunt van A tot aan O is wel degelijk eindig, namelijk 10/3, dus als je een vaste baansnelheid van 2 lengte-eenheden per seconde aanneemt dan zal A ook in een eindige tijd, namelijk 5/3 seconde, het centrum O bereiken. Fysisch kan dat niet omdat de hoeksnelheid dφ/dt = 1/r onbeperkt toeneemt naarmate r afneemt, maar wiskundig is het geen probleem.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 17-09-2010 18:42:51 ]

quote:

Op vrijdag 17 september 2010 14:28 schreef minibeer het volgende:
Ik ben erachter gekomen dat het probleem eigenlijk veel simpeler is dan de vraagstelling doet vermoeden.

Ik neem aan dat je er inmiddels ook achter bent dat er veel meer wiskunde aan vast zit dan je vermoedde. Maar als je het echt simpel wil doe het dan als volgt. Ontbind de snelheidsvector v in punt A in een radiale component v_r en een angulaire component v_a. Aangezien A naar B beweegt met een snelheid van 2 eenheden per seconde en ∠OAB = 30° hebben we dan:

| v_r | = |v|∙cos 30° = 2∙½√3 = √3 en | v_a | = |v|∙sin 30° = 2∙½ = 1.

Nu zie je meteen dat de afstand van A tot O lineair afneemt met de tijd en dat het 5/3 seconde duurt om O te bereiken aangezien r = (5/3)∙√3 voor t = 0. Makkelijker kan ik het echt niet maken.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 18-09-2010 07:38:01 ]

Ik heb een vraag, voor de duidelijkheid even een paint erbij:



Ik heb een bepaalde vorm, de rode lijnen, de hoekige voorkant moet worden afgerond met een cirkel met straal r, die kies ik. De eisen zijn dat hij zowel onder als boven vloeiend overloopt, de afgeleide van de cirkel moet hetzelfde zijn als die van de rode lijnen. Ik moet het middelpunt van de cirkel vinden.

Voor de onderkant is dit makkelijk, het betekent dat de het midden van de cirkel begint op een hoogte gelijk aan de straal. De afgeleide van de cirkel is dy/dx = - (x-a)/(y-b) en die van de rode lijn is 0.1778106*x^-0.5355. Die moeten dus gelijk zijn op het punt waar ze samen komen aan de linkerkant.

Hoe doe ik dit? Ben nu al weer een tijdje zelf bezig, maar het lukt maar niet. Ik moet het in een programmaatje in Matlab verwerken, waarbij ik r kan variëren, uiteindelijk moet ik een optimale r vinden. Wie helpt?

wat is het (x,y)-coordinaat van het hoekpunt?

quote:

Op zaterdag 18 september 2010 12:24 schreef GlowMouse het volgende:
wat is het (x,y)-coordinaat van het hoekpunt?

Dat is de oorsprong, 0,0 dus.

Laat (a,r) het middelpunt van de cirkel met straal r. De formule voor de cirkel is (x-a)² + (y-r)² = r.
We zijn geïnteresseerd in de bovenste helft van de cirkel; de formule daarvoor is y = r + sqrt(r - (x-a)²). Er geldt dy/dx = (a-x) / sqrt(r-(x-a)²).
Nu moet je dus uitzoeken wanneer ze raken. Daarvoor moeten ze een punt gemeenschappelijk hebben en tevens dezelfde afgeleide hebben.
r + sqrt(r - (x-a)² = 0.3828 x^0.0.4645
(a-x) / sqrt(r-(x-a)²) = 0.1778106*x^-0.5355.
Twee vergelijkingen, twee onbekenden, succes

Thanks, ik had een iets ingewikkeldere manier gedaan om 2 vlg en 2 var te krijgen. Het blijkt dat ik gewoon een verkeerde functie in matlab heb gepakt, die kan geen nonlineaire dingen oplossen. Heb je daar toevallig verstand van?

Edit: Ik dacht dat die solve functie het wel zou kunnen in matlab, maar die doet het niet. 'warning explicit solution could not be found' Wat kan ik het beste hiervoor gebruiken? fsolve? die is wel ingewikkelder en trager volgens mij.

Edit2: Die fsolver doet het ook niet. Optimization terminated: no further progress can be made.
Ik snap het niet.

[ Bericht 21% gewijzigd door Schuifpui op 18-09-2010 13:47:53 ]

Ik vraag me af of het eigenlijk ook wel een goede manier is. Je hebt natuurlijk maar één echt variable, die cirkel kan naar links en rechts schuiven en moet aan twee boundary conditions voldoen, hem raken en gelijke afgeleides hebben.

quote:

Op zaterdag 18 september 2010 13:54 schreef minibeer het volgende:

[..]

Ik verwachtte wel dat er zoveel wiskunde aan vast zou zitten . Daarom zei ik ook dat je er vooral niet aan moest beginnen als je het niet boeiend vindt.

Boeiend is je vraagstuk niet echt omdat het meteen duidelijk was dat de punten van je driehoek een equiangulaire spiraal beschrijven, en de eigenschappen daarvan zijn al eeuwen bekend, maar ik vind het wel leuk om zoiets te analyseren.

quote:

Ik had inderdaad deze manier ook al overwogen, maar ik wist niet of je dat zo mag aantonen (aangezien het mij niet lukte om aan te tonen dat een punt dat alleen een angulaire component heeft dezelfde straal heeft, onafhankelijk van het tijdstip dat bekeken wordt).

Als punt A zou bewegen in een richting loodrecht op OA, dan zou |v_r| = 0 zijn aangezien cos 90° = 0. Dan kan echter de afstand van A tot O niet veranderen, zodat punt A een cirkelbaan beschrijft, waarbij de angulaire snelheid |v_a| gelijk is aan de baansnelheid.

Ik kwam op het idee om de snelheidsvector te ontbinden in een radiale en een angulaire component nadat ik langs analytische weg had afgeleid dat dφ/dt = 1/r. De implicatie daarvan is namelijk dat de angulaire snelheid |v_a| constant is en wel 1 eenheid per seconde. En aangezien uit dr/dt = -√3 volgt dat ook |v_r| constant is moet |v| constant zijn en hebben we volgens Pythagoras |v| = √(3 + 1) = 2, en dat klopt als een bus.

quote:

Bedankt voor de hulp in ieder geval!
(ook riparius en thabit!)

Graag gedaan. Mocht je nog belang stellen in een berekening van de baanlengte via poolcoördinaten of via een parametervoorstelling van de curve in het complexe vlak, laat dat dan maar even weten, de kladjes met de uitwerkingen liggen hier nu toch.

Edit

[ Bericht 97% gewijzigd door Hanneke12345 op 18-09-2010 21:25:20 ]

quote:

Op zondag 19 september 2010 17:38 schreef minibeer het volgende:

[..]

Het was ook meer omdat ik zelf niet goed snapte hoe je dit moest oplossen, niet dat het een nieuw terrein voor de wiskunde is ofzo .
[..]

Dat begrijp ik, daarom heb ik ook de moeite genomen om het eens uitvoerig op te schrijven zodat je er zelf verder mee kunt. Maar dat blijkt dus nog steeds moeilijk ...

quote:

Ik ben eigenlijk wel benieuwd hoe je dit gedaan hebt, het lukt me nog steeds niet iets zinnigs te berekenen aan dit geval/de logaritmische spiraal... (ik hoef geen pagina's vol berekeningen te zien hoor, ik vraag me gewoon de manier af waarop je dat hebt gedaan)
hartelijk dank iig

Kijk nog even naar de driehoek AA'P in mijn post hierboven waar ik de vergelijking in poolcoördinaten van je curve afleid. We hadden al gekeken naar de sinus en de tangens van ∠PAA', maar we kunnen ook nog kijken naar de cosinus van deze hoek. In een rechthoekige driehoek is de cosinus van een scherpe hoek gelijk aan de verhouding tussen de aanliggende rechthoekszijde en de schuine zijde, dus hebben we:

(1) AP/AA' ≈ cos ∠PAA'

Nu is zoals we al hebben gezien AP ≈ r∙∆φ, AA' ≈ 2∙∆t en ∠PAA' ≈ 60°, terwijl cos 60° = ½. Dus krijgen we:

(2) r∙∆φ/(2∙∆t) ≈ 1/2

En dus:

(3) ∆φ/∆t ≈ 1/r

Deze benadering wordt weer beter naarmate ∆t tot nul nadert, zodat we dus vinden:

(4) dφ/dt = 1/r

Je kunt dit resultaat ook nog op een andere manier krijgen. Volgens de kettingregel geldt namelijk:

(5) dr/dt = (dr/dφ)∙(dφ/dt)

Maar nu had ik al afgeleid dat dr/dt = -√3 en dr/dφ = -√3∙r. Invullen in (5) geeft -√3 = -√3∙r∙dφ/dt en dus inderdaad dφ/dt = 1/r, waarmee we (4) weer hebben gevonden.

quote:

Op zaterdag 18 september 2010 12:21 schreef Schuifpui het volgende:
Ik heb een vraag, voor de duidelijkheid even een paint erbij:

[ afbeelding ]

Ik heb een bepaalde vorm, de rode lijnen, de hoekige voorkant moet worden afgerond met een cirkel met straal r, die kies ik. De eisen zijn dat hij zowel onder als boven vloeiend overloopt, de afgeleide van de cirkel moet hetzelfde zijn als die van de rode lijnen. Ik moet het middelpunt van de cirkel vinden.

Voor de onderkant is dit makkelijk, het betekent dat de het midden van de cirkel begint op een hoogte gelijk aan de straal. De afgeleide van de cirkel is dy/dx = - (x-a)/(y-b) en die van de rode lijn is 0.1778106*x^-0.5355. Die moeten dus gelijk zijn op het punt waar ze samen komen aan de linkerkant.

Hoe doe ik dit? Ben nu al weer een tijdje zelf bezig, maar het lukt maar niet. Ik moet het in een programmaatje in Matlab verwerken, waarbij ik r kan variëren, uiteindelijk moet ik een optimale r vinden. Wie helpt?

Ik vraag me toch af of je wel precies genoeg weet wat je nu eigenlijk wil. Je spreekt over het vinden van een optimale waarde van r, maar dan moet je ook exact kunnen definiëren wat je in dit verband onder optimaal verstaat. Ik kan betrekkingen afleiden die, uitgaande van een willekeurig punt (x₀; f(x₀)) op de curve, de coördinaten leveren van het middelpunt van de cirkel die zowel raakt aan de curve als aan de horizontale as uitgedrukt in x₀ (resp. f(x₀) en f'(x₀)), maar dat is precies het omgekeerde van wat je kennelijk wil. Uit de betrekking tussen x₀ en r laat x₀ zich alleen numeriek bepalen voor een gegeven r, maar dan nog zie ik niet wat je daarmee denkt te bereiken c.q. wat je onder het optimaliseren van r verstaat.

Dus ze willen dat ik die functie uitbeeld in vectoren, maar wtf bedoelen ze met like eq.(24), hoe moet ik het dan neerzetten? Snap geen hol van wat ze nu precies willen.

Dit snap ik overigens ook niet;


Eerst heeft u2 nog de waarde 1 en daarna 1/2 sqrt(2)? Waarom?

Ze willen dat je de vergelijking y = x + 1 uitdrukt als een inproduct v.u = d, met v = (x, y), u een eenheidsvector en d een getal.

Ik ben hier echt noob in, ik heb dus als vector v (1,2) en als vector u (1,0) kan dit kloppen?

Ik heb de volgende vectoren: p1, p2, v1 en v2.
Dan is L1 := {p1+xv1| x in R}
En L2 {p2 + yv2 | y in R}

Nu moeten we de kleinste afstand tussen die twee lijnen bepalen, dwz het minimum van ||q1-q2|| waar q1 in L1 en q2 in L2.
Als tip krijg ik : Het minimum word bereikt als de verbindingsvector q1-q2 loodrecht op beide lijnen staat.

Nu heb ik het volgende gedaan:
||L1|| en ||L2|| bepaald, daarna L1-L2 gedaan en dan ||L1-L2|| bepaald.
Vervolgens heb ik de kwadraten daarvan aan elkaar gelijkgesteld, en zo uitgerekend wat x en y moeten zijn, en dat weer invullen in L1 en L2 voor de q1 en q2 coordinaten. Klopt dit?

quote:

Op maandag 20 september 2010 19:26 schreef Diabox het volgende:
Ik ben hier echt noob in, ik heb dus als vector v (1,2) en als vector u (1,0) kan dit kloppen?

Nee. De vector v bestaat uit de onbekende componenten (x, y) waarvoor je juist een vergelijking hebt. Die vergelijking moet je omschrijven tot een inproductvergelijking voor v.

quote:

Op maandag 20 september 2010 20:21 schreef thabit het volgende:

[..]

Nee. De vector v bestaat uit de onbekende componenten (x, y) waarvoor je juist een vergelijking hebt. Die vergelijking moet je omschrijven tot een inproductvergelijking voor v.

Hier kan ik wat mee, straks even kijken.

quote:

Op maandag 20 september 2010 20:13 schreef Siddartha het volgende:
Ik heb de volgende vectoren: p1, p2, v1 en v2.
Dan is L1 := {p1+xv1| x in R}
En L2 {p2 + yv2 | y in R}

Nu moeten we de kleinste afstand tussen die twee lijnen bepalen, dwz het minimum van ||q1-q2|| waar q1 in L1 en q2 in L2.
Als tip krijg ik : Het minimum word bereikt als de verbindingsvector q1-q2 loodrecht op beide lijnen staat.

Nu heb ik het volgende gedaan:
||L1|| en ||L2|| bepaald, daarna L1-L2 gedaan en dan ||L1-L2|| bepaald.
Vervolgens heb ik de kwadraten daarvan aan elkaar gelijkgesteld, en zo uitgerekend wat x en y moeten zijn, en dat weer invullen in L1 en L2 voor de q1 en q2 coordinaten. Klopt dit?

L1 en L2 zijn lijnen. Ik snap niet hoe je lijnen van elkaar kunt aftrekken en er een norm van kunt nemen.

quote:

Op maandag 20 september 2010 20:13 schreef Siddartha het volgende:
Ik heb de volgende vectoren: p1, p2, v1 en v2.
Dan is L1 := {p1+xv1| x in R}
En L2 {p2 + yv2 | y in R}

Nu moeten we de kleinste afstand tussen die twee lijnen bepalen, dwz het minimum van ||q1-q2|| waar q1 in L1 en q2 in L2.
Als tip krijg ik : Het minimum word bereikt als de verbindingsvector q1-q2 loodrecht op beide lijnen staat.

Nu heb ik het volgende gedaan:
||L1|| en ||L2|| bepaald, daarna L1-L2 gedaan en dan ||L1-L2|| bepaald.
Vervolgens heb ik de kwadraten daarvan aan elkaar gelijkgesteld, en zo uitgerekend wat x en y moeten zijn, en dat weer invullen in L1 en L2 voor de q1 en q2 coordinaten. Klopt dit?

Ik volg echt niet wat je hier doet. Je definieert L1 en L2 elk als een verzameling vectoren waarvan de eindpunten op een rechte lijn liggen, maar van een verzameling kun je geen modulus nemen.

Wat je moet doen is gebruik maken van het feit dat het inproduct van twee vectoren die loodrecht op elkaar staan gelijk is aan nul. Dan kun je twee lineaire vergelijkingen in x en y opstellen waaruit je dus x en y kunt bepalen, tenzij de lijnen evenwijdig lopen of samenvallen.