[Bèta wiskunde] Huiswerk-en-vragentopic

quote:

Op vrijdag 17 september 2010 13:09 schreef GlowMouse het volgende:
Punt B beweegt, en A gaat altijd naar de actuele positie van B.

Oh, wacht. Nu snap ik het. Dat ik daar zelf niet op kwam.

Thnx

Het is wel duidelijk dat de straal steeds kleiner wordt, maar met jouw redenering zit je hier nog mee:

quote:

Op dinsdag 14 september 2010 20:02 schreef GlowMouse het volgende:

[..]


Nooit. Als A het middelpunt bereikt, is dat omdat op dat moment B aan de andere kant van het middelpunt ligt. Vanwege symmetrie komt dat nooit voor.

quote:

Op vrijdag 17 september 2010 14:28 schreef minibeer het volgende:
Ik ben erachter gekomen dat het probleem eigenlijk veel simpeler is dan de vraagstelling doet vermoeden. Door symmetrie beweegt a altijd naar een punt dat ten opzichte van de oorsprong zestig graden verschoven is:
[ afbeelding ]

In het geval dat deze hoek 90 graden zou zijn, zou de beweging van A een cirkel zijn, en zou de straal niet veranderen.

Het lijkt me dat je dit met infinitesimalen zou kunnen uitrekenen, maar zowel de vraag als de bewering die ik net deed, kan ik niet met een of andere berekening aantonen

Je observatie is niet helemaal juist geformuleerd, punt A beweegt zich in een richting die een hoek van 30° maakt met OA aangezien ∠OAB = 30°. En aangezien een raaklijn aan een cirkel loodrecht staat op de straal naar het raakpunt, beweegt punt A zich steeds in een richting die een (naar binnen gerichte) hoek maakt van 60° met de baan van een cirkel door A met middelpunt O. Dat is kenmerkend voor een logaritmische spiraal, die om deze reden ook wel een equiangulaire spiraal wordt genoemd.

Het is heel eenvoudig om hiermee via infinitesimalen een betrekking te vinden tussen de hoek waarover punt A op een gegeven moment is geroteerd vanaf het beginpunt en de daarbij behorende straal.

Laten we weer even een klein tijdsinterval [t, t + ∆t] beschouwen waarin punt A zich verplaatst naar punt A'. Laten we tevens de hoek waarover A is geroteerd om O vanaf het startpunt aanduiden met φ en de hoek waarover A' is geroteerd om O met φ + ∆φ, zodat ∠AOA' = ∆φ. Ik zal hierbij steeds aannemen dat φ in radialen is uitgedrukt. Noem verder de afstand van O tot A weer r en de afstand van O tot A' weer r + ∆r.

Nu hebben we gezien dat OA' < OA, zodat punt A' binnen de cirkel ligt met straal OA = r. Verleng nu OA' zodat het verlengde van OA' de cirkel met middelpunt O en straal r snijdt in een punt P. Je kunt nu gemakkelijk inzien dat driehoek AA'P bij benadering een rechte driehoek is met een rechte hoek in P. Ook kun je zien dat vanwege de richting waarin punt A beweegt geldt dat:

(1) ∠PAA' ≈ 60°.

Voor de zijde A'P van driehoek AA'P geldt A'P = OP - OA' = OA - OA' = r - (r + ∆r), dus:

(2) A'P = -∆r

De lengte AA' van de hypotenusa van de (nagenoeg) rechthoekige driehoek AA'P hadden we al eerder bekeken, dit lijnstuk is nagenoeg de baan van punt A naar punt A' in het tijdsinterval [t, t + ∆t], zodat:

(3) AA' ≈ 2∙∆t

Nu is in een rechthoekige driehoek de sinus van een scherpe hoek gelijk aan de verhouding tussen de overstaande zijde en de schuine zijde, zodat we hebben:

(4) A'P/AA' ≈ sin ∠PAA'

En op grond van (1), (2) en (3) hebben we dus:

(5) -∆r/(2∙∆t) ≈ sin 60° = ½∙√3

En dus vinden we weer:

(6) ∆r/∆t ≈ -√3

Deze benadering wordt beter naarmate ∆t tot nul nadert, dus hebben we:

(7) dr/dt = -√3

Dit is exact wat we eerder vonden, alleen heb ik nu geen hogere-orde termen verwaarloosd, waarmee ik aan je bezwaar tegemoet ben gekomen.

We kunnen nu ook een betrekking afleiden tussen de hoek φ waarover A is geroteerd om O vanaf het startpunt en de daarbij behorende afstand r van A tot O, zodat we een vergelijking in poolcoördinaten kunnen opstellen van de baan die punt A beschrijft.

Voor zijde AP van driehoek AA'P geldt dat deze vrijwel gelijk is aan de lengte r∙∆φ van de cirkelboog AP, dus:

(8) AP ≈ r∙∆φ

Verder is in een rechthoekige driehoek de tangens van een scherpe hoek gelijk aan de verhouding tussen de overstaande en de aanliggende rechthoekszijde, zodat we hebben:

(9) A'P/AP ≈ tan ∠PAA'

Op grond van (1), (2) en (8) hebben we dus:

(10) -∆r/(r∙∆φ) ≈ tan 60° = √3

En dus:

(11) ∆r/(r∙∆φ) ≈ -√3

Deze benadering wordt weer beter naarmate ∆t en daarmee ook ∆φ tot nul nadert, zodat we hebben:

(12) dr/dφ = -√3∙r

Dit is een differentiaalvergelijking waarmee we r als functie van φ kunnen bepalen. Aangezien de exponentiële functie zichzelf als afgeleide heeft zal het duidelijk zijn dat uit (12) volgt dat we hebben:

(13) r = C∙e^-√3∙φ

De waarde van de constante C kunnen we bepalen door φ = 0 te nemen. Als we het startpunt van punt A op tijdstip t = 0 als referentiepunt nemen voor de rotatie van A om O dan moet dus gelden r = (5/3)∙√3 voor φ = 0 zodat C = (5/3)∙√3 en krijgen we dus:

(14) r = (5/3)∙√3∙e^-√3∙φ

Dit is de vergelijking in poolcoördinaten van de baan die punt A beschrijft, waarbij je echter moet bedenken dat φ hier - in tegenstelling met wat gebruikelijk is - de rotatie (in radialen) met de wijzers van de klok mee aangeeft, omdat je in je probleem de hoekpunten van je driehoek met de wijzers van de klok mee laat bewegen. Maar dat is verder niet wezenlijk voor je vraagstuk.

Nu zul je misschien zeggen: aha, de waarde van die e-macht kan nooit nul worden, en 'dus' kan punt A nooit het centrum O bereiken, maar zo eenvoudig ligt dat niet. De totale lengte van de baan vanaf het startpunt van A tot aan O is wel degelijk eindig, namelijk 10/3, dus als je een vaste baansnelheid van 2 lengte-eenheden per seconde aanneemt dan zal A ook in een eindige tijd, namelijk 5/3 seconde, het centrum O bereiken. Fysisch kan dat niet omdat de hoeksnelheid dφ/dt = 1/r onbeperkt toeneemt naarmate r afneemt, maar wiskundig is het geen probleem.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 17-09-2010 18:42:51 ]

quote:

Op vrijdag 17 september 2010 14:28 schreef minibeer het volgende:
Ik ben erachter gekomen dat het probleem eigenlijk veel simpeler is dan de vraagstelling doet vermoeden.

Ik neem aan dat je er inmiddels ook achter bent dat er veel meer wiskunde aan vast zit dan je vermoedde. Maar als je het echt simpel wil doe het dan als volgt. Ontbind de snelheidsvector v in punt A in een radiale component v_r en een angulaire component v_a. Aangezien A naar B beweegt met een snelheid van 2 eenheden per seconde en ∠OAB = 30° hebben we dan:

| v_r | = |v|∙cos 30° = 2∙½√3 = √3 en | v_a | = |v|∙sin 30° = 2∙½ = 1.

Nu zie je meteen dat de afstand van A tot O lineair afneemt met de tijd en dat het 5/3 seconde duurt om O te bereiken aangezien r = (5/3)∙√3 voor t = 0. Makkelijker kan ik het echt niet maken.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 18-09-2010 07:38:01 ]

Ik heb een vraag, voor de duidelijkheid even een paint erbij:



Ik heb een bepaalde vorm, de rode lijnen, de hoekige voorkant moet worden afgerond met een cirkel met straal r, die kies ik. De eisen zijn dat hij zowel onder als boven vloeiend overloopt, de afgeleide van de cirkel moet hetzelfde zijn als die van de rode lijnen. Ik moet het middelpunt van de cirkel vinden.

Voor de onderkant is dit makkelijk, het betekent dat de het midden van de cirkel begint op een hoogte gelijk aan de straal. De afgeleide van de cirkel is dy/dx = - (x-a)/(y-b) en die van de rode lijn is 0.1778106*x^-0.5355. Die moeten dus gelijk zijn op het punt waar ze samen komen aan de linkerkant.

Hoe doe ik dit? Ben nu al weer een tijdje zelf bezig, maar het lukt maar niet. Ik moet het in een programmaatje in Matlab verwerken, waarbij ik r kan variëren, uiteindelijk moet ik een optimale r vinden. Wie helpt?

wat is het (x,y)-coordinaat van het hoekpunt?

quote:

Op zaterdag 18 september 2010 12:24 schreef GlowMouse het volgende:
wat is het (x,y)-coordinaat van het hoekpunt?

Dat is de oorsprong, 0,0 dus.

Laat (a,r) het middelpunt van de cirkel met straal r. De formule voor de cirkel is (x-a)² + (y-r)² = r.
We zijn geïnteresseerd in de bovenste helft van de cirkel; de formule daarvoor is y = r + sqrt(r - (x-a)²). Er geldt dy/dx = (a-x) / sqrt(r-(x-a)²).
Nu moet je dus uitzoeken wanneer ze raken. Daarvoor moeten ze een punt gemeenschappelijk hebben en tevens dezelfde afgeleide hebben.
r + sqrt(r - (x-a)² = 0.3828 x^0.0.4645
(a-x) / sqrt(r-(x-a)²) = 0.1778106*x^-0.5355.
Twee vergelijkingen, twee onbekenden, succes

Thanks, ik had een iets ingewikkeldere manier gedaan om 2 vlg en 2 var te krijgen. Het blijkt dat ik gewoon een verkeerde functie in matlab heb gepakt, die kan geen nonlineaire dingen oplossen. Heb je daar toevallig verstand van?

Edit: Ik dacht dat die solve functie het wel zou kunnen in matlab, maar die doet het niet. 'warning explicit solution could not be found' Wat kan ik het beste hiervoor gebruiken? fsolve? die is wel ingewikkelder en trager volgens mij.

Edit2: Die fsolver doet het ook niet. Optimization terminated: no further progress can be made.
Ik snap het niet.

[ Bericht 21% gewijzigd door Schuifpui op 18-09-2010 13:47:53 ]

Ik vraag me af of het eigenlijk ook wel een goede manier is. Je hebt natuurlijk maar één echt variable, die cirkel kan naar links en rechts schuiven en moet aan twee boundary conditions voldoen, hem raken en gelijke afgeleides hebben.

quote:

Op zaterdag 18 september 2010 13:54 schreef minibeer het volgende:

[..]

Ik verwachtte wel dat er zoveel wiskunde aan vast zou zitten . Daarom zei ik ook dat je er vooral niet aan moest beginnen als je het niet boeiend vindt.

Boeiend is je vraagstuk niet echt omdat het meteen duidelijk was dat de punten van je driehoek een equiangulaire spiraal beschrijven, en de eigenschappen daarvan zijn al eeuwen bekend, maar ik vind het wel leuk om zoiets te analyseren.

quote:

Ik had inderdaad deze manier ook al overwogen, maar ik wist niet of je dat zo mag aantonen (aangezien het mij niet lukte om aan te tonen dat een punt dat alleen een angulaire component heeft dezelfde straal heeft, onafhankelijk van het tijdstip dat bekeken wordt).

Als punt A zou bewegen in een richting loodrecht op OA, dan zou |v_r| = 0 zijn aangezien cos 90° = 0. Dan kan echter de afstand van A tot O niet veranderen, zodat punt A een cirkelbaan beschrijft, waarbij de angulaire snelheid |v_a| gelijk is aan de baansnelheid.

Ik kwam op het idee om de snelheidsvector te ontbinden in een radiale en een angulaire component nadat ik langs analytische weg had afgeleid dat dφ/dt = 1/r. De implicatie daarvan is namelijk dat de angulaire snelheid |v_a| constant is en wel 1 eenheid per seconde. En aangezien uit dr/dt = -√3 volgt dat ook |v_r| constant is moet |v| constant zijn en hebben we volgens Pythagoras |v| = √(3 + 1) = 2, en dat klopt als een bus.

quote:

Bedankt voor de hulp in ieder geval!
(ook riparius en thabit!)

Graag gedaan. Mocht je nog belang stellen in een berekening van de baanlengte via poolcoördinaten of via een parametervoorstelling van de curve in het complexe vlak, laat dat dan maar even weten, de kladjes met de uitwerkingen liggen hier nu toch.

Edit

[ Bericht 97% gewijzigd door Hanneke12345 op 18-09-2010 21:25:20 ]

quote:

Op zondag 19 september 2010 17:38 schreef minibeer het volgende:

[..]

Het was ook meer omdat ik zelf niet goed snapte hoe je dit moest oplossen, niet dat het een nieuw terrein voor de wiskunde is ofzo .
[..]

Dat begrijp ik, daarom heb ik ook de moeite genomen om het eens uitvoerig op te schrijven zodat je er zelf verder mee kunt. Maar dat blijkt dus nog steeds moeilijk ...

quote:

Ik ben eigenlijk wel benieuwd hoe je dit gedaan hebt, het lukt me nog steeds niet iets zinnigs te berekenen aan dit geval/de logaritmische spiraal... (ik hoef geen pagina's vol berekeningen te zien hoor, ik vraag me gewoon de manier af waarop je dat hebt gedaan)
hartelijk dank iig

Kijk nog even naar de driehoek AA'P in mijn post hierboven waar ik de vergelijking in poolcoördinaten van je curve afleid. We hadden al gekeken naar de sinus en de tangens van ∠PAA', maar we kunnen ook nog kijken naar de cosinus van deze hoek. In een rechthoekige driehoek is de cosinus van een scherpe hoek gelijk aan de verhouding tussen de aanliggende rechthoekszijde en de schuine zijde, dus hebben we:

(1) AP/AA' ≈ cos ∠PAA'

Nu is zoals we al hebben gezien AP ≈ r∙∆φ, AA' ≈ 2∙∆t en ∠PAA' ≈ 60°, terwijl cos 60° = ½. Dus krijgen we:

(2) r∙∆φ/(2∙∆t) ≈ 1/2

En dus:

(3) ∆φ/∆t ≈ 1/r

Deze benadering wordt weer beter naarmate ∆t tot nul nadert, zodat we dus vinden:

(4) dφ/dt = 1/r

Je kunt dit resultaat ook nog op een andere manier krijgen. Volgens de kettingregel geldt namelijk:

(5) dr/dt = (dr/dφ)∙(dφ/dt)

Maar nu had ik al afgeleid dat dr/dt = -√3 en dr/dφ = -√3∙r. Invullen in (5) geeft -√3 = -√3∙r∙dφ/dt en dus inderdaad dφ/dt = 1/r, waarmee we (4) weer hebben gevonden.

quote:

Op zaterdag 18 september 2010 12:21 schreef Schuifpui het volgende:
Ik heb een vraag, voor de duidelijkheid even een paint erbij:

[ afbeelding ]

Ik heb een bepaalde vorm, de rode lijnen, de hoekige voorkant moet worden afgerond met een cirkel met straal r, die kies ik. De eisen zijn dat hij zowel onder als boven vloeiend overloopt, de afgeleide van de cirkel moet hetzelfde zijn als die van de rode lijnen. Ik moet het middelpunt van de cirkel vinden.

Voor de onderkant is dit makkelijk, het betekent dat de het midden van de cirkel begint op een hoogte gelijk aan de straal. De afgeleide van de cirkel is dy/dx = - (x-a)/(y-b) en die van de rode lijn is 0.1778106*x^-0.5355. Die moeten dus gelijk zijn op het punt waar ze samen komen aan de linkerkant.

Hoe doe ik dit? Ben nu al weer een tijdje zelf bezig, maar het lukt maar niet. Ik moet het in een programmaatje in Matlab verwerken, waarbij ik r kan variëren, uiteindelijk moet ik een optimale r vinden. Wie helpt?

Ik vraag me toch af of je wel precies genoeg weet wat je nu eigenlijk wil. Je spreekt over het vinden van een optimale waarde van r, maar dan moet je ook exact kunnen definiëren wat je in dit verband onder optimaal verstaat. Ik kan betrekkingen afleiden die, uitgaande van een willekeurig punt (x₀; f(x₀)) op de curve, de coördinaten leveren van het middelpunt van de cirkel die zowel raakt aan de curve als aan de horizontale as uitgedrukt in x₀ (resp. f(x₀) en f'(x₀)), maar dat is precies het omgekeerde van wat je kennelijk wil. Uit de betrekking tussen x₀ en r laat x₀ zich alleen numeriek bepalen voor een gegeven r, maar dan nog zie ik niet wat je daarmee denkt te bereiken c.q. wat je onder het optimaliseren van r verstaat.

Dus ze willen dat ik die functie uitbeeld in vectoren, maar wtf bedoelen ze met like eq.(24), hoe moet ik het dan neerzetten? Snap geen hol van wat ze nu precies willen.

Dit snap ik overigens ook niet;


Eerst heeft u2 nog de waarde 1 en daarna 1/2 sqrt(2)? Waarom?

Ze willen dat je de vergelijking y = x + 1 uitdrukt als een inproduct v.u = d, met v = (x, y), u een eenheidsvector en d een getal.

Ik ben hier echt noob in, ik heb dus als vector v (1,2) en als vector u (1,0) kan dit kloppen?

Ik heb de volgende vectoren: p1, p2, v1 en v2.
Dan is L1 := {p1+xv1| x in R}
En L2 {p2 + yv2 | y in R}

Nu moeten we de kleinste afstand tussen die twee lijnen bepalen, dwz het minimum van ||q1-q2|| waar q1 in L1 en q2 in L2.
Als tip krijg ik : Het minimum word bereikt als de verbindingsvector q1-q2 loodrecht op beide lijnen staat.

Nu heb ik het volgende gedaan:
||L1|| en ||L2|| bepaald, daarna L1-L2 gedaan en dan ||L1-L2|| bepaald.
Vervolgens heb ik de kwadraten daarvan aan elkaar gelijkgesteld, en zo uitgerekend wat x en y moeten zijn, en dat weer invullen in L1 en L2 voor de q1 en q2 coordinaten. Klopt dit?

quote:

Op maandag 20 september 2010 19:26 schreef Diabox het volgende:
Ik ben hier echt noob in, ik heb dus als vector v (1,2) en als vector u (1,0) kan dit kloppen?

Nee. De vector v bestaat uit de onbekende componenten (x, y) waarvoor je juist een vergelijking hebt. Die vergelijking moet je omschrijven tot een inproductvergelijking voor v.

quote:

Op maandag 20 september 2010 20:21 schreef thabit het volgende:

[..]

Nee. De vector v bestaat uit de onbekende componenten (x, y) waarvoor je juist een vergelijking hebt. Die vergelijking moet je omschrijven tot een inproductvergelijking voor v.

Hier kan ik wat mee, straks even kijken.

quote:

Op maandag 20 september 2010 20:13 schreef Siddartha het volgende:
Ik heb de volgende vectoren: p1, p2, v1 en v2.
Dan is L1 := {p1+xv1| x in R}
En L2 {p2 + yv2 | y in R}

Nu moeten we de kleinste afstand tussen die twee lijnen bepalen, dwz het minimum van ||q1-q2|| waar q1 in L1 en q2 in L2.
Als tip krijg ik : Het minimum word bereikt als de verbindingsvector q1-q2 loodrecht op beide lijnen staat.

Nu heb ik het volgende gedaan:
||L1|| en ||L2|| bepaald, daarna L1-L2 gedaan en dan ||L1-L2|| bepaald.
Vervolgens heb ik de kwadraten daarvan aan elkaar gelijkgesteld, en zo uitgerekend wat x en y moeten zijn, en dat weer invullen in L1 en L2 voor de q1 en q2 coordinaten. Klopt dit?

L1 en L2 zijn lijnen. Ik snap niet hoe je lijnen van elkaar kunt aftrekken en er een norm van kunt nemen.

quote:

Op maandag 20 september 2010 20:13 schreef Siddartha het volgende:
Ik heb de volgende vectoren: p1, p2, v1 en v2.
Dan is L1 := {p1+xv1| x in R}
En L2 {p2 + yv2 | y in R}

Nu moeten we de kleinste afstand tussen die twee lijnen bepalen, dwz het minimum van ||q1-q2|| waar q1 in L1 en q2 in L2.
Als tip krijg ik : Het minimum word bereikt als de verbindingsvector q1-q2 loodrecht op beide lijnen staat.

Nu heb ik het volgende gedaan:
||L1|| en ||L2|| bepaald, daarna L1-L2 gedaan en dan ||L1-L2|| bepaald.
Vervolgens heb ik de kwadraten daarvan aan elkaar gelijkgesteld, en zo uitgerekend wat x en y moeten zijn, en dat weer invullen in L1 en L2 voor de q1 en q2 coordinaten. Klopt dit?

Ik volg echt niet wat je hier doet. Je definieert L1 en L2 elk als een verzameling vectoren waarvan de eindpunten op een rechte lijn liggen, maar van een verzameling kun je geen modulus nemen.

Wat je moet doen is gebruik maken van het feit dat het inproduct van twee vectoren die loodrecht op elkaar staan gelijk is aan nul. Dan kun je twee lineaire vergelijkingen in x en y opstellen waaruit je dus x en y kunt bepalen, tenzij de lijnen evenwijdig lopen of samenvallen.