[Bèta wiskunde] Huiswerk-en-vragentopic

quote:

Op dinsdag 21 september 2010 15:17 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik volg echt niet wat je hier doet. Je definieert L1 en L2 elk als een verzameling vectoren waarvan de eindpunten op een rechte lijn liggen, maar van een verzameling kun je geen modulus nemen.

Wat je moet doen is gebruik maken van het feit dat het inproduct van twee vectoren die loodrecht op elkaar staan gelijk is aan nul. Dan kun je twee lineaire vergelijkingen in x en y opstellen waaruit je dus x en y kunt bepalen, tenzij de lijnen evenwijdig lopen of samenvallen.

Ik dacht dat, als het inproduct 0 is, dan geld pythagoras, dus .. Maar ik dacht er niet aan dat L1 en L2 niet loodrecht op elkaar staan, maar juist de verbindingsvector op de lijnen.

Ik heb nog een vraag: Ik heb p1=(1 1 2) en v1=(2 0 1), zodat L1= {p1 +x v1) met x in R.
Hoe word de lijn L1 dan gevormd? En wat stelt die lijn voor? Wat voor invloed heeft de '+ x v1'?
Ik kan het me vrij moeilijk voorstellen.

Ik moet dus nu het inproduct van L1 en L2 gaan vormen, en dan gelijkstellen aan 0 ?

De lijn gaat door (1 1 2) en heeft richtingsvector (2 0 1). De punten (3 1 3) en (2 1 2.5) liggen bijvoorbeeld op de lijn.
Er bestaat geen 'inproduct van een lijn'. Maar je zoekt wel een vector die zowel loodrecht op de ene, als loodrecht op de andere lijn staat.

quote:

Op dinsdag 21 september 2010 17:10 schreef GlowMouse het volgende:
De lijn gaat door (1 1 2) en heeft richtingsvector (2 0 1). De punten (3 1 3) en (2 1 2.5) liggen bijvoorbeeld op de lijn.
Er bestaat geen 'inproduct van een lijn'. Maar je zoekt wel een vector die zowel loodrecht op de ene, als loodrecht op de andere lijn staat.

Dus juist v is de richtingsvector in de lijn L1? En dat komt omdat daar de variabele inzit, een beetje als een normale formule y = vx + p ?

Maar wel een inproduct van 2 lijnen, L1 en L2. Toch?

Het inproduct neem je van vectoren, niet van lijnen.

quote:

Op dinsdag 21 september 2010 17:15 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Dus juist v is de richtingsvector in de lijn L1? En dat komt omdat daar de variabele inzit, een beetje als een normale formule y = vx + p ?

Maar wel een inproduct van 2 lijnen, L1 en L2. Toch?

Je kunt niet spreken van het inproduct van twee lijnen. Om te beginnen zijn je keuzes van de naamgeving van de verschillende vectoriële en scalaire grootheden wel erg ongelukkig, en dat werkt begripsverwarring in de hand, zoals hier wel blijkt. Je moet in ieder geval niet x en y gebruiken voor de parameters in je vectorvoorstellingen van lijn ℓ₁ en lijn ℓ₂ omdat x, y en z gewoonlijk al worden gebruikt om de coördinaten van een punt in de driedimensionale ruimte aan te geven. Traditiegetrouw wordt de letter λ gebruikt voor de parameter in een vectorvoorstelling van een lijn. Verder zou je v kunnen gebruiken voor een algemene (variabele) vector, r voor een richtingsvector en s voor een steunvector. Een ander woord voor steunvector is plaatsvector, zodat je hiervoor ook p zou kunnen kiezen. Vectoren moeten verder in je notatie altijd goed onderscheiden kunnen worden van scalaire (reële) grootheden. Daarom worden letters die vectoren aanduiden vaak voorzien van een pijltje of streepje. Als dat typografisch lastig is of gewoon niet gaat, dan is het gebruik van vetgedrukte letters (bold) een prima alternatief. Een algemene vectorvoorstelling van een lijn ℓ kunnen we dan bijvoorbeeld noteren als:

ℓ: v = p + λ∙r

Een vermenigvuldiging van een vector r met een scalaire grootheid λ levert een vector op die langs r ligt, zodat een vectorvoorstelling van het type v = λ∙r altijd een lijn door de oorsprong voorstelt. Het optellen van de vaste vector p bij λ∙r resulteert alleen in een translatie van de eindpunten van alle vectoren λ∙r met λ ∈ ℝ, zodat lijn ℓ gegeven door bovenstaande vectorvoorstelling parallel is aan vector r, hetgeen de naam richtingsvector verklaart.

Heb je nu twee lijnen ℓ₁ en ℓ₂ waarbij het van belang is de parameters in beide vectorvoorstellingen van elkaar te kunnen onderscheiden, dan zou je gebruik kunnen maken van indices om de parameters alsmede de richtings- en steunvectoren van elkaar te onderscheiden, dus:

(1) ℓ₁: v = p₁ + λ₁∙r₁

(2) ℓ₂: v = p₂ + λ₂∙r₂

Maar omdat we voor je vraagstuk een stelsel vergelijkingen in de beide parameters moeten opstellen is het, om verschrijvingen te voorkomen, beter om aparte letters te gebruiken voor de parameters, en dan ligt het gebruik van λ en μ voor de hand, dus:

(3) ℓ₁: v = p₁ + λ∙r₁

(4) ℓ₂: v = p₂ + μ∙r₂

Als nu ℓ₁ en ℓ₂ twee rechte lijnen zijn in de driedimensionale ruimte die elkaar kruisen, dan kunnen we de minimale afstand tussen twee punten die elk op één van beide lijnen liggen als volgt bepalen. Laten we een willekeurig punt Q₁ kiezen op ℓ₁ en laten we de vector OQ₁ aanduiden met q₁. Dan voldoet q₁ aan (3), zodat er een λ ∈ ℝ is waarvoor geldt:

(5) q₁ = p₁ + λ∙r₁

Evenzo kunnen we een willekeurig punt Q₂ kiezen op ℓ₂. Duiden we de vector OQ₂ aan met q₂, dan is er dus ook een μ ∈ ℝ zodanig dat:

(6) q₂ = p₂ + μ∙r₂

Nu weten we ook dat de afstand tussen punt Q₁ op ℓ₁ en punt Q₂ op ℓ₂ minimaal is als beide punten zodanig liggen dat het lijnstuk Q₁Q₂ loodrecht staat op zowel ℓ₁ als ℓ₂. Maar nu is het lijnstuk Q₁Q₂ parallel met de verschilvector q₁ - q₂, en ook weten we dat ℓ₁ parallel is met richtingsvector r₁ en dat ℓ₂ parallel is met richtingsvector r₂. Maar dan moet voor een minimale afstand van Q₁ en Q₂ dus gelden dat vector q₁ - q₂ loodrecht staat op zowel r₁ als r₂. En dat betekent weer dat het inproduct (dot product) van q₁ - q₂ met zowel r₁ als r₂ nul moet zijn, dus vinden we als voorwaarden:

(7a) (q₁ - q₂)∙r₁ = 0
(7b) (q₁ - q₂)∙r₂ = 0

Door (6) af te trekken van (5) vinden we:

(8) q₁ - q₂ = p₁ - p₂ + λ∙r₁ - μ∙r₂

Aangezien de vaste vectoren p₁, r₁, p₂ en r₂ bekend zijn, kun je met (8) de coördinaten van het eindpunt van vector q₁ - q₂ uitdrukken in λ en μ, waarna je met (7a) en (7b) twee lineaire vergelijkingen in λ en μ krijgt. Oplossen van dit stelsel levert de waarden van λ en μ waarna je door substitutie van de gevonden waarden in (5) en (6) de coördinaten van de gezochte punten Q₁ en Q₂ verkrijgt. De lengte van lijnstuk Q₁Q₂ en dus de minimale afstand van de lijnen ℓ₁ en ℓ₂ is dan de lengte ||q₁ - q₂|| van vector q₁ - q₂. Om een beter inzicht te krijgen in de manier waarop je met vectorvoorstellingen van rechte lijnen, parameters en inproducten kunt werken kan ik je aanraden om deze uitwerking door te nemen van een opgave waarin wordt gevraagd naar de coördinaten van een punt in een vlak dat een minimale afstand heeft tot een gegeven punt buiten dat vlak.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 22-09-2010 13:06:28 ]

Pff, ben even een formule vergeten. Schaam

Als je nu 2.300 euro hebt en je wil 10.000 hebben. Het interestpercentage is 5%, hoeveel jaren moet je dan sparen?

2.300 x 1,05^x = 10.000
1,05^x = 10.000/2.300
1,05^x = 4,348
x = ?

Ik kan wel een grafiekje plotten en dan het snijpunt traceren, maar dat is niet de bedoeling!

x = log (4,348) / log (1,05)

Dat was snel, thanks

quote:

Op woensdag 22 september 2010 03:37 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je kunt niet spreken van het inproduct van twee lijnen. Om te beginnen zijn je keuzes van de naamgeving van de verschillende vectoriële en scalaire grootheden wel erg ongelukkig, en dat werkt begripsverwarring in de hand, zoals hier wel blijkt. Je moet in ieder geval niet x en y gebruiken voor de parameters in je vectorvoorstellingen van lijn ℓ₁ en lijn ℓ₂ omdat x, y en z gewoonlijk al worden gebruikt om de coördinaten van een punt in de driedimensionale ruimte aan te geven. Traditiegetrouw wordt de letter λ gebruikt voor de parameter in een vectorvoorstelling van een lijn. Verder zou je v kunnen gebruiken voor een algemene (variabele) vector, r voor een richtingsvector en s voor een steunvector. Een ander woord voor steunvector is plaatsvector, zodat je hiervoor ook p zou kunnen kiezen. Vectoren moeten verder in je notatie altijd goed onderscheiden kunnen worden van scalaire (reële) grootheden. Daarom worden letters die vectoren aanduiden vaak voorzien van een pijltje of streepje. Als dat typografisch lastig is of gewoon niet gaat, dan is het gebruik van vetgedrukte letters (bold) een prima alternatief. Een algemene vectorvoorstelling van een lijn ℓ kunnen we dan bijvoorbeeld noteren als:

ℓ: v = p + λ∙r

Een vermenigvuldiging van een vector r met een scalaire grootheid λ levert een vector op die langs r ligt, zodat een vectorvoorstelling van het type v = λ∙r altijd een lijn door de oorsprong voorstelt. Het optellen van de vaste vector p bij λ∙r resulteert alleen in een translatie van de eindpunten van alle vectoren λ∙r met λ ∈ ℝ, zodat lijn ℓ gegeven door bovenstaande vectorvoorstelling parallel is aan vector r, hetgeen de naam richtingsvector verklaart.

Heb je nu twee lijnen ℓ₁ en ℓ₂ waarbij het van belang is de parameters in beide vectorvoorstellingen van elkaar te kunnen onderscheiden, dan zou je gebruik kunnen maken van indices om de parameters alsmede de richtings- en steunvectoren van elkaar te onderscheiden, dus:

(1) ℓ₁: v = p₁ + λ₁∙r₁

(2) ℓ₂: v = p₂ + λ₂∙r₂

Maar omdat we voor je vraagstuk een stelsel vergelijkingen in de beide parameters moeten opstellen is het, om verschrijvingen te voorkomen, beter om aparte letters te gebruiken voor de parameters, en dan ligt het gebruik van λ en μ voor de hand, dus:

(3) ℓ₁: v = p₁ + λ∙r₁

(4) ℓ₂: v = p₂ + μ∙r₂

Als nu ℓ₁ en ℓ₂ twee rechte lijnen zijn in de driedimensionale ruimte die elkaar kruisen, dan kunnen we de minimale afstand tussen twee punten die elk op één van beide lijnen liggen als volgt bepalen. Laten we een willekeurig punt Q₁ kiezen op ℓ₁ en laten we de vector OQ₁ aanduiden met q₁. Dan voldoet q₁ aan (3), zodat er een λ ∈ ℝ is waarvoor geldt:

(5) q₁ = p₁ + λ∙r₁

Evenzo kunnen we een willekeurig punt Q₂ kiezen op ℓ₂. Duiden we de vector OQ₂ aan met q₂, dan is er dus ook een μ ∈ ℝ zodanig dat:

(6) q₂ = p₂ + μ∙r₂

Nu weten we ook dat de afstand tussen punt Q₁ op ℓ₁ en punt Q₂ op ℓ₂ minimaal is als beide punten zodanig liggen dat het lijnstuk Q₁Q₂ loodrecht staat op zowel ℓ₁ als ℓ₂. Maar nu is het lijnstuk Q₁Q₂ parallel met de verschilvector q₁ - q₂, en ook weten we dat ℓ₁ parallel is met richtingsvector r₁ en dat ℓ₂ parallel is met richtingsvector r₂. Maar dan moet voor een minimale afstand van Q₁ en Q₂ dus gelden dat vector q₁ - q₂ loodrecht staat op zowel r₁ als r₂. En dat betekent weer dat het inproduct (dot product) van q₁ - q₂ met zowel r₁ als r₂ nul moet zijn, dus vinden we als voorwaarden:

(7a) (q₁ - q₂)∙r₁ = 0
(7b) (q₁ - q₂)∙r₂ = 0

Door (6) af te trekken van (5) vinden we:

(8) q₁ - q₂ = p₁ - p₂ + λ∙r₁ - μ∙r₂

Aangezien de vaste vectoren p₁, r₁, p₂ en r₂ bekend zijn, kun je met (8) de coördinaten van het eindpunt van vector q₁ - q₂ uitdrukken in λ en μ, waarna je met (7a) en (7b) twee lineaire vergelijkingen in λ en μ krijgt. Oplossen van dit stelsel levert de waarden van λ en μ waarna je door substitutie van de gevonden waarden in (5) en (6) de coördinaten van de gezochte punten Q₁ en Q₂ verkrijgt. De lengte van lijnstuk Q₁Q₂ en dus de minimale afstand van de lijnen ℓ₁ en ℓ₂ is dan de lengte ||q₁ - q₂|| van vector q₁ - q₂. Om een beter inzicht te krijgen in de manier waarop je met vectorvoorstellingen van rechte lijnen, parameters en inproducten kunt werken kan ik je aanraden om deze uitwerking door te nemen van een opgave waarin wordt gevraagd naar de coördinaten van een punt in een vlak dat een minimale afstand heeft tot een gegeven punt buiten dat vlak.

Waarom laat je alles zo helder en simpel uitzien?

Maar nog een vraag :
'Nu weten we ook dat de afstand tussen punt Q1 op ℓ1 en punt Q2 op ℓ2 minimaal is als beide punten zodanig liggen dat het lijnstuk Q1Q2 loodrecht staat op zowel ℓ1 als ℓ2. Maar nu is het lijnstuk Q1Q2 parallel met de verschilvector q1 - q2, en ook weten we dat ℓ1 parallel is met richtingsvector r1 en dat ℓ2 parallel is met richtingsvector r2. Maar dan moet voor een minimale afstand van Q1 en Q2 dus gelden dat vector q1 - q2 loodrecht staat op zowel r1 als r2. En dat betekent weer dat het inproduct (dot product) van q1 - q2 met zowel r1 als r2 nul moet zijn, dus vinden we als voorwaarden: ..'

Waarom maak je hier nog een Q1 en Q2 ? En wat stelt het precies voor?

( En over notatie: Excuses, ik gebruikte x en y als vervanging voor labda en mu omdat het me makkelijker leek om weer te geven.)

edit: verkeerde topic.

Hoi, dit is misschien echt een kutvraag, en niet helemaal relevant in dit topic en ik zou het gewoon Googelen, maar ik kom gewoon niet op de correcte term die ik in zou kunnen tikken op Google

Ik vraag me af wat het streepje boven de X betekent in de formules bij A.5 and A.6..

quote:

Op woensdag 22 september 2010 22:27 schreef Kudtstudent het volgende:
Hoi, dit is misschien echt een kutvraag en ik zou het gewoon Googelen, maar ik kom gewoon niet op de correcte term die ik in zou kunnen tikken op Google

Ik vraag me af wat het streepje boven de X betekent in de formules bij A.5 and A.6..

[ afbeelding ]

Streepje boven x betekent dat het niet 'een waarde is' , maar het gemiddelde.

quote:

Op woensdag 22 september 2010 22:28 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Streepje boven x betekent dat het niet 'een waarde is' , maar het gemiddelde.

Danku! Kun je me misschien ook nog vertellen waarom er een driedubbele = staat verderop de pagina? Die zie ik nu pas

Ook wel 'x-bar', betekent een rij van getallen. Was dus als antwoord op dat ene streepje

Driedubbele boven een x? Geen idee, maar in de logica betekent het iff (if and only if)

of x-streep
en het betekent geen rij maar gemiddelde.

quote:

Op woensdag 22 september 2010 22:32 schreef GlowMouse het volgende:
of x-streep
en het betekent geen rij maar gemiddelde.

Thx, wist ik niet Ik dacht altijd een reeks getallen

Ah, en deze Wiki pagina beantwoordt de rest van mijn vragen wel na googlen op x-bar. Dank voor de hulp, ik kan weer verder!

_{ik was te laat met intekenen voor een verplichte verbredende module voor mijn studie en kon enkel nog meedoen met de module Introductory Econometrics}

Ik krijg x-bar theory ? http://en.wikipedia.org/wiki/X-bar_theory

Maar ok.

quote:

Op woensdag 22 september 2010 22:30 schreef Kudtstudent het volgende:

[..]

Danku! Kun je me misschien ook nog vertellen waarom er een driedubbele = staat verderop de pagina? Die zie ik nu pas

Maar snap je wat de tekst zegt?
Aangezien je de betekenis vrijwel letterlijk uit de tekst kan halen?

quote:

Op woensdag 22 september 2010 22:37 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Maar snap je wat de tekst zegt?
Aangezien je de betekenis vrijwel letterlijk uit de tekst kan halen?

Ja ik snap het nu. Danku

Ik moet voor een functie aantonen dat die uniform continu is door gebruik te maken van delta en epsilon.
Kan iemand me uitleggen hoe delta afhangt van epsilon/andersom en hoe ik dit kan laten zien voor een functie ( Bijvoorbeeld de functie f(x) = x^2 )

Als je een functie opschrijft, moet je ook het domein en het codomein geven.

quote:

Op donderdag 23 september 2010 00:09 schreef thabit het volgende:
Als je een functie opschrijft, moet je ook het domein en het codomein geven.

Excuses, de functie f(x)= x^2 met domein [2,3] bedoelde ik.

quote:

Op woensdag 22 september 2010 21:41 schreef Siddartha het volgende:

[..]



Waarom laat je alles zo helder en simpel uitzien?

Misschien omdat het dat ook is als je het begrijpt?

quote:

Maar nog een vraag :
'Nu weten we ook dat de afstand tussen punt Q1 op ℓ1 en punt Q2 op ℓ2 minimaal is als beide punten zodanig liggen dat het lijnstuk Q1Q2 loodrecht staat op zowel ℓ1 als ℓ2. Maar nu is het lijnstuk Q1Q2 parallel met de verschilvector q1 - q2, en ook weten we dat ℓ1 parallel is met richtingsvector r1 en dat ℓ2 parallel is met richtingsvector r2. Maar dan moet voor een minimale afstand van Q1 en Q2 dus gelden dat vector q1 - q2 loodrecht staat op zowel r1 als r2. En dat betekent weer dat het inproduct (dot product) van q1 - q2 met zowel r1 als r2 nul moet zijn, dus vinden we als voorwaarden: ..'

Waarom maak je hier nog een Q1 en Q2 ? En wat stelt het precies voor?

Ik werk niet met een tweede set punten Q₁ en Q₂. Ik kies eerst een willekeurig punt op ℓ₁ en noem dat Q₁, en een willekeurig punt op ℓ₂ dat ik Q₂ noem. De vectoren OQ₁ en OQ₂ duid ik aan met q₁ resp. q₂. Er geldt altijd dat de lengte van het lijnstuk Q₁Q₂ gelijk is aan de lengte van vector q₁ - q₂ én dat deze vector evenwijdig is met het lijnstuk Q₁Q₂. Pas dan formuleer ik aan welke voorwaarden vector q₁ - q₂ moet voldoen wil lijnstuk Q₁Q₂ loodrecht staan op zowel lijn ℓ₁ als lijn ℓ₂. Deze voorwaarden zijn dat de inproducten (q₁ - q₂)∙r₁ en (q₁ - q₂)∙r₂ beide nul zijn, en dat leidt dan tot een stelsel van twee lineaire vergelijkingen in λ en μ. Op deze manier hebben we de vertaalslag gemaakt van een meetkundig geformuleerde voorwaarde naar een algebraïsch geformuleerde voorwaarde.

quote:

( En over notatie: Excuses, ik gebruikte x en y als vervanging voor labda en mu omdat het me makkelijker leek om weer te geven.)

Op FOK kun je met Unicode werken, en alle tekens die in de systeemfonts van de gebruiker aanwezig zijn zullen dan correct worden weergegeven in een moderne browser. Meestal beperk ik me tot de tekens die aanwezig zijn in het (Windows) font Lucida Sans Unicode, omdat ik ervan uit ga dat dit font, of een unicode font met een vergelijkbare tekenset, wel bij iedere gebruiker aanwezig is. Als het een probleem voor je is om bijvoorbeeld Griekse letters te typen, dan begrijp ik dat je hiervoor een alternatief wil gebruiken, maar dan nog moet je geen letters gebruiken die binnen hetzelfde vraagstuk al een andere betekenis hebben. Omdat ik de letters p,q en r (met indices) gebruik om vectoren aan te geven zou ik dan bijvoorbeeld s et t kunnen gebruiken als parameters.

quote:

Op donderdag 23 september 2010 00:17 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Excuses, de functie f(x)= x^2 met domein [2,3] bedoelde ik.

Zelf heb ik dit tot nu toe:

Bewijs dat x |--> x^2 uniform continu is op het gesloten interval [2,3].

Bewijs:
We moeten dus voor een gegeven e een delta kunnen zoeken zodat geld:
|f(x) - f(y)| < e
en
|x-y| < delta

Dus: |f(x) -f(y)| = |x^2 - y^2|
= |(x+y)(x-y)|
=|(x+y)|*|(x-y)|
en omdat |f(x)-f(y)|<e geld ;
|(x-y)| < e/|(x+y)

En omdat |x-y|< delta, is
|x+y|*|x-y| < |x+y|*delta = e

Dus delta = e/|x+y|

Nu moet ik nog bewijzen dat dit inderdaad klopt voor het interval [2,3], toch?