[Bèta wiskunde] Huiswerk-en-vragentopic

quote:

Op donderdag 23 september 2010 00:51 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Zelf heb ik dit tot nu toe:

Bewijs dat x |--> x^2 uniform continu is op het gesloten interval [2,3].

Bewijs:
We moeten dus voor een gegeven e een delta kunnen zoeken zodat geldt:
|f(x) - f(y)| < e
en
|x-y| < delta

Dat is niet nauwkeurig genoeg geformuleerd. Gevraagd wordt aan te tonen dat er voor elke ε > 0 een δ > 0 bestaat zodanig dat | f(x) - f(y) | < ε voor elk tweetal getallen x,y ∈ [2,3] waarvoor geldt | x - y | < δ. Je moet dus een existentiebewijs leveren, en dat kun je doen door te laten zien dat je voor elke ε > 0 zo'n δ > 0 kunt construeren.

quote:

Dus: |f(x) -f(y)| = |x^2 - y^2|
= |(x+y)(x-y)|
=|(x+y)|*|(x-y)|
en omdat |f(x)-f(y)|<e geldt ;
|(x-y)| < e/|(x+y)|

En omdat |x-y|< delta, is
|x+y|*|x-y| < |x+y|*delta = e

Dus delta = e/|x+y|

Nu moet ik nog bewijzen dat dit inderdaad klopt voor het interval [2,3], toch?

Je kunt inderdaad gebruik maken van:

| f(x) - f(y) | = | x + y |∙| x - y |

Als je bedenkt dat voor elk tweetal getallen x,y ∈ [2,3] geldt 4 ≤ | x + y | ≤ 6, dan zie je dat voor elke ε > 0 een waarde δ = ε/6 voldoet. Immers, zijn x en y twee getallen op het interval [2,3] zodanig dat | x - y | < δ, dan is | f(x) - f(y) | = | x + y |∙| x - y | < | x + y |∙δ = | x + y |∙(ε/6) ≤ 6∙(ε/6) = ε en dus | f(x) - f(y) | < ε, zoals vereist.

quote:

Op donderdag 23 september 2010 04:14 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat is niet nauwkeurig genoeg geformuleerd. Gevraagd wordt aan te tonen dat er voor elke ε > 0 een δ > 0 bestaat zodanig dat | f(x) - f(y) | < ε voor elk tweetal getallen x,y ∈ [2,3] waarvoor geldt | x - y | < δ. Je moet dus een existentiebewijs leveren, en dat kun je doen door te laten zien dat je voor elke ε > 0 zo'n δ > 0 kunt construeren.
[..]

Je kunt inderdaad gebruik maken van:

| f(x) - f(y) | = | x + y |∙| x - y |

Als je bedenkt dat voor elk tweetal getallen x,y ∈ [2,3] geldt 4 ≤ | x + y | ≤ 6, dan zie je dat voor elke ε > 0 een waarde δ = ε/6 voldoet. Immers, zijn x en y twee getallen op het interval [2,3] zodanig dat | x - y | < δ, dan is | f(x) - f(y) | = | x + y |∙| x - y | < | x + y |∙δ = | x + y |∙(ε/6) ≤ 6∙(ε/6) = ε en dus | f(x) - f(y) | < ε, zoals vereist.

Bedankt!

Ik moet de afgeleide opstellen van de functie X(y) = y - y ln y
Mijn uitwerking:

y - y ln y
[y]' - [y ln y]'

[y]' = 1
[-y ln y]' = - (y/y) namelijk ln y = (1/y)

= 1 - (y/y)

Maar het antwoord is:
1 - (y/y) - ln y
= - ln y

Ken je de productregel?

pas eens toe op -y ln y mensen met gelijklijkende UI's

Ah bedankt, dus de y vooraan even apartpakken, afgeleiden daarvan is 1.
Dan:
u = -y
u' = -1
v = ln y
v' = (1 / y)
-> -1 * ln y + (1 / y) * -y = - ln y - (y / y)
Dan de 1 erbij: 1 - ln y - (y / y) = - ln y

Ik had nog een vraag m.b.t. de kettingregel bij exponentiële functies met het getal van Euler.
Even om het duidelijk te krijgen voor mezelf hoe dit werkt: (of jullie kunnen beoordelen of de volgende oplossingen goed zijn)

vb.1. afgeleide van e^(x² + x)
e^y met y = x² + x
[e^y]' = e^y
[x² + x] = 2x + 1
dus [e^(x² + x)]' = e^(x² + x) * (2x + 1)

Goed neem ik aan?
_____________________
vb.2. afgeleide van e^(2x - 1)
e^y met y = 2x - 1
[e^y]' = e^y
[2x - 1]' = 2
dus [e^(2x - 1)]' = e^(2x - 1) * 2

Voorbeeld 2 is fout volgens mijn antwoordenmodel. (antwoord vb2 is namelijk: (2x - 1) * e^(2x - 1) * 2)
Ik snap alleen het verschil in techniek niet?
In voorbeeld 1 pak je namelijk gewoon de bestaande functie en vermenigvuldigt die met de afgeleide van de exponent en in voorbeeld 2 doe je hetzelfde maar vermenigvuldig je óók nog eens met de exponent zelf... kan iemand mij dit uitleggen?

jouw antwoorden zijn juist.

quote:

Op donderdag 23 september 2010 20:05 schreef GlowMouse het volgende:
jouw antwoorden zijn juist.

Antwoord op voorbeeld 2 is dus gewoon 2e^(2x - 1)?
Best verwarrend want het antwoordenmodel geeft dus anders aan; nu ken ik wel die fouten in antwoordmodellen van de middelbare school maar dit is universiteitsstof.

Antwoord is inderdaad 2e^(2x-1)

Ok bedankt, dat stemt me gerust. Zit namelijk hele tijd uit te vogelen wat het nu precies is (uitgaande van het feit dat het correctiemodel klopt).

Ik zie nu dat dit boek dus alles op die andere manier doet; erg vaag.
(Wiskunde met toepassingen in de Micro-Economie, B. Kaper & H. Hamers)

[ Bericht 17% gewijzigd door Granaatappel op 23-09-2010 20:17:16 ]

Dat laatste boek is geschreven door collega's van mij.

quote:

Op donderdag 23 september 2010 20:27 schreef GlowMouse het volgende:
Dat laatste boek is geschreven door collega's van mij.

Hoe is het dan eigenlijk te verklaren dat 'wij' de kettingregel anders gebruiken dan de schrijvers van het boek?
De antwoorden zijn namelijk verschillend.

Zij v := (1, 1, 1),w := (−1, 0, 1) 2 R3.
Vind een vector u in R3 zo dat (v,w, u) nog steeds lineair onafhankelijk is.

Ik heb dus eerder aangetoond dat (v,w) lineair onafhankelijk is.
Nu komt daar dus een willekeurige u bij, waarvoor dus moet gelden dat u lineair onafhankelijk is én (v,w) niet valt te schrijven als een lineaire combinatie van u.
Is dit dan voldoende:
De (scalaire) vermenigvuldigers van v,w,u zijn respectievelijk a,b,c.
Voor een lineaire combinatie geldt:
a1-b1 + a2+ a3+b3 + c1*u1+c2*u2 + c3*u3 = 0
Zodat a1=a2=a3=b1=b2=b3=c1=c2=c3=0 de enige oplossing is.
Dan moet dus gelden dat:
a1 /= - (-b1 + a2+ a3+b3 + c1*u1+c2*u2 + c3*u3)
b1 /= (a1 + a2+ a3+b3 + c1*u1+c2*u2 + c3*u3)
.
.
etc.
Of is het voldoende een c1*u1 + c2*u2 + c3*u3=0 te vinden die lineair onafhankelijk is (aangezien (v,w) lineair onafhankelijk is).

[ Bericht 1% gewijzigd door Siddartha op 23-09-2010 23:48:08 ]

quote:

Op donderdag 23 september 2010 20:44 schreef Granaatappel het volgende:

[..]

Hoe is het dan eigenlijk te verklaren dat 'wij' de kettingregel anders gebruiken dan de schrijvers van het boek?
De antwoorden zijn namelijk verschillend.

Je zult het boek wel verkeerd lezen. Scan maar in wat je denkt dat fout is.

quote:

Op donderdag 23 september 2010 23:01 schreef Siddartha het volgende:
Zij v := (1, 1, 1),w := (−1, 0, 1) 2 R3.
Vind een vector u in R3 zo dat (v,w, u) nog steeds lineair onafhankelijk is.

Ik heb dus eerder aangetoond dat (v,w) lineair onafhankelijk is (de vermenigvuldiger van w valt weg).

Wat bedoel je met "de vermenigvuldiger van w valt weg"?

quote:

Nu komt daar dus een willekeurige u bij, waarvoor dus moet gelden dat u lineair onafhankelijk is én (v,w) niet valt te schrijven als een lineaire combinatie van u.
Is dit dan voldoende:
De (scalaire) vermenigvuldigers van v,w,u zijn respectievelijk a,b,c.
Voor een lineaire combinatie geldt:
a1-b1 + a2+ a3+b3 + c1*u1+c2*u2 + c3*u3 = 0
Zodat a1=a2=a3=b1=b2=b3=c1=c2=c3=0 de enige oplossing is.
Dan moet dus gelden dat:
a1 /= - (-b1 + a2+ a3+b3 + c1*u1+c2*u2 + c3*u3)
b1 /= (a1 + a2+ a3+b3 + c1*u1+c2*u2 + c3*u3)

Ik snap het niet: als a,b,c scalairen zijn, wat zijn a1,a2 en a3 dan?

quote:

Op donderdag 23 september 2010 20:03 schreef Granaatappel het volgende:
Ik had nog een vraag m.b.t. de kettingregel bij exponentiële functies met het getal van Euler.
Even om het duidelijk te krijgen voor mezelf hoe dit werkt: (of jullie kunnen beoordelen of de volgende oplossingen goed zijn)

vb.1. afgeleide van e^(x² + x)
e^y met y = x² + x
[e^y]' = e^y
[x² + x] = 2x + 1
dus [e^(x² + x)]' = e^(x² + x) * (2x + 1)

Goed neem ik aan?
_____________________
vb.2. afgeleide van e^(2x - 1)
e^y met y = 2x - 1
[e^y]' = e^y
[2x - 1]' = 2
dus [e^(2x - 1)]' = e^(2x - 1) * 2

Voorbeeld 2 is fout volgens mijn antwoordenmodel. (antwoord vb2 is namelijk: (2x - 1) * e^(2x - 1) * 2)
Ik snap alleen het verschil in techniek niet?
In voorbeeld 1 pak je namelijk gewoon de bestaande functie en vermenigvuldigt die met de afgeleide van de exponent en in voorbeeld 2 doe je hetzelfde maar vermenigvuldig je óók nog eens met de exponent zelf... kan iemand mij dit uitleggen?

quote:

Op donderdag 23 september 2010 20:05 schreef GlowMouse het volgende:
jouw antwoorden zijn juist.

Uitwerking is trouwens door Daniel Neuhann excuus.

Dat de uitkomsten verschillend zijn betekent niet dat de auteurs iets anders toepassen. Fouten komen nu eenmaal voor in uitwerkingen

quote:

Op donderdag 23 september 2010 23:19 schreef GlowMouse het volgende:

[..]



Wat bedoel je met "de vermenigvuldiger van w valt weg"?
[..]

Excuses, die zin was ik vergeten eruit te halen.

quote:

Ik snap het niet: als a,b,c scalairen zijn, wat zijn a1,a2 en a3 dan?

v := (1,1,1), dus de lineaire combinatie van v is (normaal word labda hiervoor gebruikt) :
a1*1 +a2*1+a3*1

Gewoon omdat hij leuk is: vind ∑_{n > 0}n / 2ⁿ.

Antwoord:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

[ Bericht 0% gewijzigd door Outlined op 24-09-2010 11:12:40 ]

quote:

Op donderdag 23 september 2010 23:30 schreef Diabox het volgende:
Dat de uitkomsten verschillend zijn betekent niet dat de auteurs iets anders toepassen. Fouten komen nu eenmaal voor in uitwerkingen

Het geval is echter dat elke functie op dezelfde foute manier wordt afgeleid, volgens de uitwerkingen van het boek. Ik vroeg me dus af hoe dat kon.

quote:

Op vrijdag 24 september 2010 11:33 schreef Granaatappel het volgende:

[..]

Het geval is echter dat elke functie op dezelfde foute manier wordt afgeleid, volgens de uitwerkingen van het boek. Ik vroeg me dus af hoe dat kon.

Herhalingsfout van de auteur ?

Wel vervelend want ik heb Wiskunde A gehad en dit boek is voornamelijk Wiskunde B en dan mag je er toch vanuit gaan dat de antwoorden kloppen en leer je het dus misschien verkeerd aan.

quote:

Op donderdag 23 september 2010 23:01 schreef Siddartha het volgende:
Zij v := (1, 1, 1),w := (−1, 0, 1) 2 R3.
Vind een vector u in R3 zo dat (v,w, u) nog steeds lineair onafhankelijk is.

Ik heb dus eerder aangetoond dat (v,w) lineair onafhankelijk is.
Nu komt daar dus een willekeurige u bij, waarvoor dus moet gelden dat u lineair onafhankelijk is én (v,w) niet valt te schrijven als een lineaire combinatie van u.

Ik zou het als volgt doen. Vector u is in ieder geval lineair onafhankelijk als deze vector loodrecht staat op zowel vector v als vector w. Dat betekent dat het inproduct van u met zowel v als w nul moet zijn. Dus:

(1a) v∙u = 0
(1b) w∙u = 0

Nu houd ik zelf niet zo van het gebruik van indices bij vraagstukken die uitlopen op stelsels lineaire vergelijkingen, dus laten we zeggen dat:

(2) u = (p, q, r)

Aangezien gegeven is dat v = (1, 1, 1) en w = (-1, 0, 1) volgt dan uit (1a) en (1b) dat:

(3a) p + q + r = 0
(3b) -p + r = 0

Uit (3b) volgt p = r, en invullen hiervan in (3a) levert q = -2r. Dus heb ik:

(4) u = (r, -2r, r) (r ongelijk aan 0)

Kies ik r = 1, dan heb ik bijvoorbeeld u = (1, -2, 1) als mogelijke oplossing.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 24-09-2010 14:28:44 ]

Vraagstuk:
Een kleine belegger wil over vijf jaar van zijn geld gaan genieten. Op dit moment heeft hij 100.000 euro ter beschikking voor investeringen. Er zijn drie investeringsmogelijkheden. Investering A heeft een looptijd van één jaar en geeft 1,25 euro terug aan het eind van het jaar voor elke euro die aan het begin van het jaar geïnvesteerd is. De investeringsmogelijkheid A kan alleen in het tweede, derde en vijfde jaar gebruikt worden. De investeringen B en C vereisen dat het geïnvesteerde geld een aantal jaren vaststaat en geven voor elke geïnvesteerde euro 1,35 euro respectievelijk 1,50 euro terug na drie jaar respectievelijk vier jaar.
Formuleer een LP-model om te berekenen hoe de belegger moet investeren wil zijn kapitaal na vijf jaar zo groot mogelijk zijn.
(Aanwijzing: gebruik de voorraadvariabelen v1,...v5, waarbij de variabele vi het aantal euro's aangeeft dat in jaar i in kas gehouden wordt.)

LP-model:
Beslissingsvariabelen:
v1 = het aantal euro's dat in jaar 1 in kas wordt gehouden
v2 = het aantal euro's dat in jaar 2 in kas wordt gehouden
v3 = het aantal euro's dat in jaar 3 in kas wordt gehouden
v4 = het aantal euro's dat in jaar 4 in kas wordt gehouden
v5 = het aantal euro's dat in jaar 5 in kas wordt gehouden
xa2 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product a in jaar 2
xa3 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product a in jaar 3
xa5 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product a in jaar 5
xb1 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product b in jaar 1
xb2 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product b in jaar 2
xb3 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product b in jaar 3 (xb4/5 zijn niet nodig vanwege looptijd?)
xc1 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product c in jaar 1
xc2 = het geïnvesteerde bedrag in euro's in product c in jaar 2 (xc3/4/5 zijn niet nodig vanwege looptijd?)

Maximaliseer:
xa2*1,25 + xa3*1,25 + xa5*1,25 + xb1*1,35 + xb2*1,35 + xb3*1,35 + xc1*1,50 + xc2*1,50

maar dan kom je de looptijd tegen en snap ik het niet meer.


Kan iemand mij hierbij helpen?