jungiaan | zondag 21 september 2014 @ 17:58 |
Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde. Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld! Opmaak: • met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg). Links: • http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren. • http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search. • http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie. • http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is. • http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc... OP Handig: Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden: www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d | |
jungiaan | zondag 21 september 2014 @ 17:59 |
Wellicht heb ik een andere druk/editie. Op pagina 140 waar je het net over had begint bij mijn exemplaar namelijk opgave 17.11. De identiteiten van de dubbele hoek moet je zelf afleiden bij 17.25.a. Die van de halve hoek staan er niet in. Bedankt, is gelukt. Dat kan ik inderdaad niet. Zou je jouw herleiding willen posten? Ik ben er wel benieuwd naar. | |
Janneke141 | zondag 21 september 2014 @ 18:08 |
Nu klopt ie. Overigens kun je prima met wat minder haakjes af, voor het overzicht: ( -x^2+8) / ( x^2 + 8)^2 Of eigenlijk nog beter: ( -x2+8) / ( x2 + 8)2 | |
rumiii | zondag 21 september 2014 @ 18:11 |
Bedankt voor je hulp. Wat notatie betreft heb je gelijk, ik zal het onthouden. Bedankt | |
Riparius | zondag 21 september 2014 @ 19:20 |
Goed, tijd voor wat trucjes uit de oude doos. We hadden en ook zodat Nu volgt uit α = arcsin(1/3) dat −½π ≤ α ≤ ½π zodat cos ½α positief is en we dus krijgen Om deze geneste vierkantswortel te herleiden, stellen we waarbij we x en y rationaal veronderstellen. Kwadrateren geeft nu Aangezien het linkerlid irrationaal is en we x en y rationaal veronderstellen, kan √xy in het rechterlid niet rationaal zijn zodat moet gelden Om nu x en y te bepalen, gaan we eerst x − y bepalen. Dit doen we door nogmaals te kwadrateren, dan krijgen we Nu is dus Veronderstellen we x > y, dan is dus en dus krijgen we en zodat Voilà. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 21-09-2014 21:04:07 ] | |
rumiii | zondag 21 september 2014 @ 20:36 |
Mocht het niet gewaardeerd worden om uitwerkingen hier te laten controleren hoor ik het graag f= e^(x²-3) - 2 + √(2x) f ' = e^(x²-3) * 2x + 0.5(2x)^-0.5 * 2 Is de afgeleide correct? | |
Riparius | zondag 21 september 2014 @ 20:42 |
Ja, als je het tenminste ook nog correct opschrijft, die f is geen variabele maar de naam van je functie en dus mag je f of f' niet laten volgen door een =-teken. Schrijf dus f(x) resp. f'(x). Verder moet je geen decimale breuken gebruiken in je afgeleide, schrijf dus ½ voor 0.5. | |
netchip | zondag 21 september 2014 @ 20:45 |
"In deze opgave gaat het over getallen van acht cijfers. De cijfers worden gekozen uit 1, 2, 3, 4, 5, 6. In hoeveel van deze getallen komt drie keer een 1, drie keer een 2, en twee keer een 3 voor?" In het uitwerkingen boekje staat: 8!/(3!*3!*2!) = 560. Ik kom uit op 8 nCr 3 * 5 nCr 3 * 2 nCr 2 = 560 uit. Nu vraag ik me af of dit stom toeval is, of ofdat het logisch is. | |
Janneke141 | zondag 21 september 2014 @ 20:46 |
Op zich wel, maar het tweede gedeelte kun je nog wel herleiden tot een iets netter beest. En wat betekent ^-0.5 ook weer? | |
Riparius | zondag 21 september 2014 @ 20:55 |
Als je bedenkt dat dan zie je waarom dit zo is. | |
rumiii | zondag 21 september 2014 @ 20:58 |
Duidelijk. Hoogstwaarschijnlijk zal de examintor door deze fout geen punten aan de uitwerking toekennen. Dus nogmaals bedankt. 0.5(2x)^-0.5 * 2= (2x)^-0.5= (2x)^-½ Bedankt | |
netchip | zondag 21 september 2014 @ 21:04 |
Oh ja, ik zie het nu! Ik ben trouwens verder gegaan met dat dictaat over lineaire algebra, lukt vrij goed, alhoewel ik niet echt heel veel tijd heb. | |
Novermars | zondag 21 september 2014 @ 22:09 |
Dit is ook de zogenaamde multinomiale verdeling, waarbij moet gelden dat | |
Quyxz_ | maandag 22 september 2014 @ 17:21 |
Ik heb een input- en een outputsignaal voor verschillende frequencies. Nu kan ik zelf makkelijk een script schrijven voor de gain, maar ik zou niet weten hoe ik een plot kan maken van de faseverschuiving. Heeft iemand enig idee? Eventueel met functies van Matlab. | |
Riparius | maandag 22 september 2014 @ 17:59 |
Als je het eerste hoofdstuk van dit dictaat hebt doorgewerkt, dan zou je bijvoorbeeld ook dit en dit nu moeten kunnen begrijpen. | |
Super-B | maandag 22 september 2014 @ 19:17 |
Waarom is dit zo? Ik begrijp het wel, maar logischerwijs met de standaardregels voor differentiëren zou ik denken aan: f'(x) = x * a x-1 Wat is overigens de afgeleide van ln ax ? Ik had: ln ax x ln a kettingregel toepassen resulteert tot: 1 * ln a + x * 1/a ln a + x/a klopt dit? [ Bericht 13% gewijzigd door Super-B op 22-09-2014 19:24:27 ] | |
Super-B | maandag 22 september 2014 @ 19:29 |
Dit snap ik overigens ook niet: Stel je hebt: e2x Dat wil dus zeggen dat e2x * 2 = 1? Dat is dus niet waar want, stel x = 2 dan kom ik uit op 109,20 i.p.v. 1 ... | |
Janneke141 | maandag 22 september 2014 @ 20:01 |
Dit volgt direct uit de rekenregels voor logaritmes en exponentiële functies, die in deze editie van het topic al de nodige keren zijn genoemd. Oh wacht, kennelijk heb je deze gelijkheid nodig om exponentiële functies te differentiëren. De 'standaardregel voor differentiëren' die jij wil toepassen, is de regel waarmee je polynomen kan differentiëren. De functie f(x) = ax is echter geen polynoom, maar een exponentiële functie - en dus is dat helemaal niet toepasbaar. Kijk nog eens goed naar het verschil: bij de exponentiële functie f(x) = ax is de exponent variabel, bij (als voorbeeld) het polynoom g(x) = x3 is de exponent een constante. Ik ga niet voor je afleiden dat ex zijn eigen afgeleide is, maar als we dat als uitgangspunt nemen en combineren met wat in je plaatjes staat, dan f(x) = ax = ex·lna Pas de kettingregel toe: f'(x) = ex·lna·ln a = (ln a)·ax x·ln a is lineair, en dus is de afgeleide constant (a is namelijk een constante, geen variabele. Het toepassen van de productregel is dus helemaal niet nodig). De afgeleide van ln ax is dus de constante functie met waarde ln a. De pijl betekent dat de rechtse uitspraak volgt uit de linkse - het zegt dus niets over het waar zijn van de afzonderlijke gelijkheden. Er staat dus dat ALS {1} (ef(x))' = (x)' DAN GELDT DAT {2} ef(x) · f'(x) = 1. Ga dat zelf eens na door de twee leden van gelijkheid {1} te differentiëren. Hint: nu heb je wél de kettingregel nodig. | |
Riparius | maandag 22 september 2014 @ 20:02 |
Hier worden meerdere rekenregels gebruikt. Om te beginnen hebben we de bekende rekenregel (1) ln(ax) = x·ln(a) (geldig voor a ∈ R+ en x ∈ R) Daarnaast hebben we (2) a = eln a (geldig voor a ∈ R+) Dit volgt direct uit de definitie van de logaritme, immers ln a is de exponent waartoe je e moet verheffen om a te verkrijgen. En dan hebben we ook nog de bekende rekenregel die zegt dat exponenten vermenigvuldigen als je een macht neemt van een macht, dus (3) (ap)q = apq (geldig voor a ∈ R+ en p,q ∈ R) Met behulp van deze regels hebben we dus Merk op dat ik hier achtereenvolgens (2) en (3) gebruik. We kunnen echter ook zeggen dat en hier heb ik weer eerst (2) gebruikt, maar nu met ax in plaats van a, en daarna heb ik (1) gebruikt. Nee, je begrijpt het dus niet. Bij f(x) = xn hebben we een vaste exponent maar bij f(x) = ax is de exponent de variabele, en dat is iets heel anders. In plaats van te roepen dat je logischerwijs zou denken aan iets wat niet logisch is zou je er beter aan doen mijn posts hier gewoon goed te lezen, deze post bijvoorbeeld die nota bene aan jou was gericht. Het lijkt erop alsof je alle antwoorden en uitleg die je hier krijgt zo goed als totaal negeert, óf dat je een antwoord dat je hebt gekregen enkele dagen later alweer totaal bent vergeten. Anders gezegd, je leert dus niets. Dit is je reinste lariekoek, die alleen maar bewijst dat je nog steeds niet begrijpt hoe je een afgeleide bepaalt en dat je zaken als de kettingregel ook gewoon niet begrijpt. Sterker nog, je zegt dat je de kettingregel gaat toepassen, maar wat je doet lijkt eerder op een - foutieve - toepassing van de productregel. Je vergeet helemaal dat ln a hier een constante is die niet afhangt van de onafhankelijke variabele x van de functie. We hebben f(x) = ln ax oftewel f(x) = x·ln a en de afgeleide is dan f'(x) = ln a De afgeleide functie is dus een constante functie, en dat is niet verwonderlijk, want f(x) = x·ln a is een lineaire functie, net als bijvoorbeeld g(x) = cx. Vervang die ln a maar door c, dan staat er f(x) = xc en dat is uiteraard hetzelfde als f(x) = cx. De afgeleide is dus f'(x) = c oftewel f'(x) = ln a. Het is wel mogelijk de afgeleide van f(x) = ln ax te bepalen met de kettingregel als je niet in de gaten zou hebben dat dit een lineaire functie van x is, en dan krijgen we Uiteraard vinden we ook langs deze - onnodige - weg dat f(x) = ln ax de constante functie f'(x) = ln a als afgeleide heeft. [ Bericht 3% gewijzigd door Riparius op 23-09-2014 02:59:07 ] | |
ibri | maandag 22 september 2014 @ 20:11 |
Hoe vind je n^th afgeleide van een functie via de binominale theorie? | |
Riparius | maandag 22 september 2014 @ 20:13 |
Ik denk dat je er beter aan doet om wat meer context te geven in plaats van alleen maar een wazige overmaatse scan te posten van een fragment van een opgave of stukje uitleg. Als je hebt g(x) = ef(x) dan vinden we met behulp van de kettingregel dat g'(x) = ef(x)·f'(x) maar uiteraard hoeft g(x) helemaal geen lineaire functie te zijn, en de afgeleide g'(x) dus ook geen constante. En ja, als we f(x) = ln x kiezen, dan wordt g(x) = x en daarmee ook g'(x) = 1. Maar dat had je kennelijk niet begrepen uit het verhaal dat bij deze scan hoort. | |
Riparius | maandag 22 september 2014 @ 20:16 |
Je vraag is slecht gesteld en daarmee nauwelijks begrijpelijk. Maar ik vermoed dat je de regel van Leibniz bedoelt voor het bepalen van de n-de afgeleide van een product van twee functies. | |
Super-B | maandag 22 september 2014 @ 20:54 |
| |
t4rt4rus | dinsdag 23 september 2014 @ 00:04 |
Lees de eerste zin van Riparius nog eens... Het gaat vast over de afgeleide van ln x. Maar zeg dat dan ook even ipv alleen een plaatje te plaatsen. | |
Riparius | dinsdag 23 september 2014 @ 00:59 |
Het is kennelijk de bedoeling om te laten zien dat terwijl zodat en dus Maar dit zal hij onmogelijk kunnen begrijpen zolang hij geen benul heeft van samenstellingen van functies, inversen van functies, logaritmen, exponenten en differentiëren, laat staan van eenvoudige (reken)regels zoals eln x = x of d(ex)/dx = ex en de kettingregel. | |
ibri | dinsdag 23 september 2014 @ 09:43 |
Dit is wat er letterlijk staat Let n in natural Numbers be given. Let F:real Numbers--> real number be given bij F(x) =x^3(1+x)^n Compute the nth derivative of F by applying the binominal theorem to (1+x)^n | |
Novermars | dinsdag 23 september 2014 @ 11:09 |
B-practice moet je zelf maken hè! Maar als hint: Wat is de n-de afgeleide van x^m waarbij geldt dat m < n (strikt) | |
Super-B | dinsdag 23 september 2014 @ 17:24 |
Kun je het pogen om uit te leggen? Want ik begrijp het nog steeds niet. | |
Riparius | dinsdag 23 september 2014 @ 17:54 |
Het idee is om te laten zien dat de afgeleide van de functie f(x) = ln x gelijk is aan f'(x) = 1/x door gebruik te maken van het gegeven dat f(x) = ln x de inverse functie is van de functie g(x) = ex waarvan we al weten dat deze zichzelf als afgeleide heeft, dus g'(x) = ex We bekijken nu de samengestelde functie h(x) = g(f(x)) waarvan we op twee verschillende manieren de afgeleide kunnen bepalen. Om te beginnen hebben we volgens de kettingregel (1) h'(x) = g'(f(x))·f'(x) Maar nu is h(x) = g(f(x)) = eln x = x en dus hebben we ook (2) h'(x) = 1 Uit (1) en (2) volgt nu dat (3) g'(f(x))·f'(x) = 1 Maar nu weten we dat g(x) = ex zichzelf als afgeleide heeft, zodat ook g'(f(x)) = g(f(x)) = h(x) = x en we voor (3) dus kunnen schrijven (4) x·f'(x) = 1 en hieruit volgt (5) f'(x) = 1/x Maar ik denk dat je dit evenmin begrijpt. Het probleem met jou is dat je allerlei zaken zoals ik die hierboven heb opgesomd gewoon niet begrijpt en dat je kennelijk ook niet in staat bent je deze stof eigen te maken omdat je een uitleg waarvan je zelf aangeeft het te hebben begrepen doorgaans enkele dagen later alweer geheel bent vergeten of omdat je totaal geen nota blijkt te hebben genomen van zaken die ik of anderen je hier eerder hebben proberen uit te leggen. En ik ben niet de enige die dit heeft opgemerkt, iedereen die je postgeschiedenis in deze topicreeks doorneemt zal dit moeten beamen. Daarom denk ik dat de studie die je nu probeert te volgen voor jou gewoon te hoog is gegrepen en denk ik ook dat het geen zin heeft jou verder iets uit te leggen. | |
Riparius | dinsdag 23 september 2014 @ 22:17 |
Ik betwijfel of dit er letterlijk staat, want afgezien van je typo(?) is de juiste term binomial theorem. Het bijvoeglijk naamwoord binominal bestaat ook, maar dat heeft een andere betekenis. Ook de eerste zin is niet iets wat een native speaker zo op zou schrijven. Wellicht is je tekst geschreven door een Nederlandse docent die veel minder goed Engels kent dan hij of zij wel denkt, dat zou niet de eerste keer zijn. Maar goed, F(x) = x3(1 + x)n is een polynoom in x van de graad n+3, en als je dat n maal differentieert dan is F(n)(x) een polynoom van de derde graad. Voor een geheel getal m met 0 ≤ m < n is de n-de afgeleide van xm naar x identiek gelijk aan nul, en voor m ≥ n hebben we zodat we krijgen wat dus geeft [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 23-09-2014 22:24:32 ] | |
zerak | dinsdag 23 september 2014 @ 22:50 |
Als ik het volgende moet bewijzen; For all sets A, B and C, (B ⊆ C) ⇒ ((A ∪ Cc) ⊆ (A ∪ Bc)) Is het dan afdoende om te bewijzen dat als B ⊆ C dan Cc ⊆ Bc en vervolgens te vermelden dat de vereniging aan beide sets hetzelfde aantal elementen toevoegt en er dus niks aan de verhouding veranderd? Eerste keer dat ik iets met bewijzen doe, en ik merk alleen al aan deze verwoording dat ik echt moet werken aan mijn formaliteit in bewijzen. [ Bericht 0% gewijzigd door zerak op 23-09-2014 23:42:03 ] | |
thabit | woensdag 24 september 2014 @ 12:12 |
Dat is hoe je het bewijst nádat je een dergelijk vak hebt gehaald. Hier moet je beginnen met een x te nemen uit de linkerverzameling, en laat dan zien dat x ook in de rechterverzameling zit. Geen De Morgan of zo toepassen, maar expliciet uitschrijven. | |
zerak | woensdag 24 september 2014 @ 15:50 |
Thanks. For all sets A, B and C, (B ⊆ C) ⇒ ((A ∪ Cc) ⊆ (A ∪ Bc)). Assume (B ⊆ C) holds. Let x ∈ (A ∪ Cc) be arbitrary. We now have three cases; (I) x ∈ A. (II) x ∈ Cc. (III) x ∈ A ∧ x ∈ Cc. (I) x ∈ A. This is self-explanatory. Since (A ⊆ A), it must follow that ((A ∪ Cc) ⊆ (A ∪ Bc)). (II) x ∈ Cc. This means that x ∉ C. Because we assume (B ⊆ C) holds, this means that x ∉ B, thus x ∈ Bc. From this we can conclude that (Cc ⊆ Bc). Thus ((A ∪ Cc) ⊆ (A ∪ Bc)). (III) x ∈ A ∧ x ∈ Cc. This basically is (I) and (II) put together. Since we know that (A ⊆ A) and that (Cc ⊆ Bc), we can conclude that ((A ∪ Cc) ⊆ (A ∪ Bc)). Op- en/of aanmerkingen? [ Bericht 0% gewijzigd door zerak op 24-09-2014 18:00:03 ] | |
thabit | woensdag 24 september 2014 @ 17:37 |
Geval (III) kun je weglaten. Wordt al door de andere gevallen afgedekt. Verder concludeer je in elk van de gevallen iets over inclusies van verzamelingen. Dat kan op die punten nog niet. Je kan daar alleen concluderen dat x in de gewenste verzameling zit. | |
zerak | woensdag 24 september 2014 @ 18:01 |
Bedankt voor de feedback. Ik begrijp dus dat ik wat voorbarig concludeer? Revisie: For all sets A, B and C, (B ⊆ C) ⇒ ((A ∪ Cc) ⊆ (A ∪ Bc)). Assume (B ⊆ C) holds. Let x ∈ (A ∪ Cc) be arbitrary. We now have two cases; (I) x ∈ A. (II) x ∈ Cc. (I) x ∈ A. This means that x ∈ (A ∪ Cc) and that x ∈ (A ∪ Bc). (II) x ∈ Cc. This implies that x ∉ C. Because we assume (B ⊆ C) holds, this means that x ∉ B, thus x ∈ Bc. Which means that x ∈ (A ∪ Cc) and that x ∈ (A ∪ Bc). So, whether x ∈ A or x ∈ Cc, x can be found in both sets. Which means that ((A ∪ Cc) ⊆ (A ∪ Bc)). | |
Anoonumos | donderdag 25 september 2014 @ 20:59 |
Ik probeer aan te tonen dat span{gt: t > 0}, waar gt (x) = 1/(t+x) functies van R+ naar C zijn, gesloten is onder vermenigvuldiging. Voor t ongelijk aan s kan ik met behulp van breuksplitsen aantonen dat gt gs in de span zit. Voor het geval gt2 mislukt breuksplitsen, Zit dat wel in de span? Iemand een idee? | |
thenxero | donderdag 25 september 2014 @ 22:04 |
Het blijft een beetje warrig. Het idee is wel goed, maar ik zou het zo zeggen: Je neemt dus aan dat het element in de set links van het -teken zit, en laat zien dat het dan in de rechter zit. Je opmerking dat het dan in beide zit is niet nodig. | |
thabit | donderdag 25 september 2014 @ 22:06 |
Zit niet in de span: die bevat alleen functies met enkelvoudige polen. | |
thabit | donderdag 25 september 2014 @ 22:17 |
Waarbij we natuurlijk nog wel even opmerken dat dergelijke funties uniek voortzetbaar zijn tot een meromorfe (of rationale) functie op C. [ Bericht 5% gewijzigd door thabit op 25-09-2014 22:36:45 ] | |
Anoonumos | donderdag 25 september 2014 @ 22:42 |
Helaas. Dan ga ik puntje (ii) hier proberen te begrijpen, bedankt. | |
ibri | donderdag 25 september 2014 @ 22:52 |
Ik zie het nu pas, maar hartelijk bedankt. Deze uitleg snap ik | |
RustCohle | vrijdag 26 september 2014 @ 10:52 |
Hoe moet ik C benaderen als ik de afgeleide wil bepalen van y, waarvan de functie y = c/x ? En daarnaast: Hoe komt het dat op het einde (rechtsonder) de x² opeens x wordt? | |
OllieWilliams | vrijdag 26 september 2014 @ 11:14 |
Ze substitueren y = c/x in de vergelijking van y' | |
RustCohle | vrijdag 26 september 2014 @ 11:34 |
Klopt en dan krijg je y' = - c/x² maar op het einde staat er dan weer = -y/x en dan vraag ik mij af wat er met de kwadraat gebeurd is? | |
Alrac4 | vrijdag 26 september 2014 @ 11:38 |
y' = -c/x2 = -(c/x)*(1/x) = -(y)*(1/x) = -y/x | |
RustCohle | vrijdag 26 september 2014 @ 11:42 |
Top. Dankjewel! Weet jij welke regel hier gebruikt wordt? Volgens mij de productregel toch? Ik weet wel wat er gedaan wordt hoor, daar niet van, maar ik ben benieuwd of hier een productregel of kettingregel toegepast wordt of anders een combinatie van beide. Ik dacht zelf een combinatie van beide. Want ik snap niet hoe ze tot dat laatste gedeelte komen (+ 3x² f'(x)... ) Tot aan + 6xf(x) wordt er gewerkt met de kettingregel die gebruikt wordt bij composite functions, maar vanaf 6xf(x) weet ik niet wat ze doen.. Nja ik weet wel wat er gedaan wordt, maar ik begrijp de gedachtegang niet. [ Bericht 12% gewijzigd door RustCohle op 26-09-2014 11:50:58 ] | |
RustCohle | vrijdag 26 september 2014 @ 11:58 |
Wat ik mij verder afvraag is het volgende: Op het punt (0, ³√13) is y' = 0. Dat heb ik begrepen, maar x hoeft toch niet altijd 0 te zijn, zodat y'= 0 ? Kan iemand mij dit verklaren? Met de tekening ernaast is het logisch dat als je x = 0 invult je dan een y waarde krijgt en op dat punt dan y' = 0 , want er is een maximum. Maar zonder tekening is het wel lastig om te weten dat ik x = 0 moet invullen, omdat ik niet weet dat er op x = 0 een maximum/minimum wordt bereikt, het kan namelijk net zo goed op x = 5 gebeuren toch? | |
BroodjeKebab | vrijdag 26 september 2014 @ 14:22 |
Hallo, Zou iemand mij met de volgende vraagstukken van mij kunnen helpen: 1. Waarom mag je van het eerste stuk de ' ln y' eruit halen voor 1/y want 1/y * dy / dx is toch dy / dxy ? Ik snap de notatie van Leibniz niet helemaal... 2. Ik snap hier niet hoe dln y / dln x = dln y / dx * dx / dln x want d ln y * dx = d²xlny toch? Hetzelfde geldt dan voor dx * dln x = d²ln x² ? Of zit ik er compleet naast? Ik ben niet zo bekend met de notatie van Leibniz en ik zou hier graag meer duidelijkheid over willen. Ik snap het helemaal eigenlijk niet.. Dit is het volledige plaatje: Bij voorbaat dank! P.S; een heel simpel voorbeeld waarvan al duidelijk kan zijn voor mij dat ik al helemaal geen ruk van de notatie van Leibniz begrijp: Dit betekent niet meer dan dat ''ln y gedifferentieerd moet worden naar ln x'', maar dat begrijp ik dus niet.. Ik heb gewoon uit mijn hoofd geleerd dat als je bijv. hebt d/dx en je hebt x² dat de afgeleide dan 2x is (op zijn simpelst). | |
t4rt4rus | vrijdag 26 september 2014 @ 15:25 |
1. 1/y dy/dx is inderdaad dy/(dx y) maar wat schiet je daar mee op? Het is duidelijker als je die ervoor zet, kan je gelijk zien dat je daar niks meer mee hoeft te doen. Je moet d hier niet gaan zien als een variabel. In "dy" hoort de d bij de y. Snap je ook wat er gebeurd? Dit is de afgeleide van ln door gebruik te maken van de ketting regel. 2. Ik snap jou gebruik van "want" niet helemaal. Maar ook hier je moet d niet als een variabel zien. En ln gebruik je daar ook opeens als variabel... x ln x is niet gelijk aan ln x2 Dit mag wel d/dx d/dx = d2/dx2 maar hier heb je twee keer de afgeleide naar x, die mag je wel kwadrateren. d/dx d/dy = d2/(dx dy), hier kan dat dus niet. De bovenste d kan maar makt het nu niet veel duidelijker. Weet je wat de kettingregel is? En kan je die beschrijven met een andere notatie? [ Bericht 1% gewijzigd door t4rt4rus op 26-09-2014 15:37:24 ] | |
Super-B | vrijdag 26 september 2014 @ 15:36 |
Bij het bepalen van de afgeleide van y = xa (px + q)b ga ik ergens de fout in, maar ik weet niet waar... y' = u b u = xa (px + q) y' = bub-1 * u' u' = ax a-1 * v' --> v = px + q v' = p Dus y' = b [xa(px+q)]b-1 * [axa-1 * p ] | |
BroodjeKebab | vrijdag 26 september 2014 @ 15:38 |
Ja de 'newton' notatie weet ik wel. f'(x)=g'(h(x))·h'(x) | |
t4rt4rus | vrijdag 26 september 2014 @ 15:39 |
Gelijk de eerste regel | |
Super-B | vrijdag 26 september 2014 @ 15:43 |
Wat had het dan moeten zijn? y' = v * ub waar v = xa en u = (px + q)b ? Maar ja dan maak ik het mijzelf wel erg lastig.. want dan zou ik er niet uitkomen, want v zou in principe dan wegvallen bij y', dus dan zou ik de productregel moeten toepassen? | |
t4rt4rus | vrijdag 26 september 2014 @ 15:50 |
Heb je de rest ook gelezen? Ik heb altijd het gevoel dat jullie alleen het laatste lezen. Riparius geeft heel veel duidelijke uitleg en het enige waar jullie naar kijken is het antwoord... Het is een notatie je moet dus niet d opeena gebruiken als variabel, dat snap je? Kan je de ketting regel nu opschrijven in Leibniz notatie? En kan je dan uitleggen wat je niet snapt? | |
t4rt4rus | vrijdag 26 september 2014 @ 15:54 |
:S Je wil toch de afgeleide van y naar x uitrekenen? Dan valt xa toch echt niet zomaar weg. Ja productregel moet je toepassen. | |
Super-B | vrijdag 26 september 2014 @ 16:43 |
Ja je hebt gelijk.. Ben eruit gekomen. Ik loop bij een nieuw vraagstuk vast bij de tweede afgeleide.. y = (1 + x²) 1/2 Als eerste afgeleide kwam ik uit op: 1/2 (1+x²)-1/2 Bij de tweede had ik: y'' = 1/2 u -1/2 --> u' = 2x y'' = -1/4 u -3/2 * u' = -1/4 (1+x² ) -3/2 * 2x Klopt dit? | |
OllieWilliams | vrijdag 26 september 2014 @ 16:47 |
Om na te gaan of een afgeleide klopt is wolframalpha zeer geschikt. Mocht blijken dat je gevonden afgeleide niet klopt kun je hier altijd je methode nog plaatsen en vragen om uitleg | |
Super-B | vrijdag 26 september 2014 @ 16:49 |
Volgens Wolfram Alpha klopt die eerste afgeleide. Die tweede niet.. | |
t4rt4rus | vrijdag 26 september 2014 @ 16:50 |
Je notatie klopt niet, probeer het nog eens. Nu heb je twee keer y'' staan, de eerste moet y' zijn. Ik heb niet verder gekeken, doe eerst maar eens beter je best met notatie en UITLEG. En nee het klopt niet. Maar begin eerst maar eens met beter gestructureerd opschrijven wat je doet. | |
Super-B | vrijdag 26 september 2014 @ 16:56 |
y = (1 + x²) 1/2 Als eerste afgeleide kwam ik uit op: 1/2 (1+x²)-1/2 * 2x Dit is goed volgens Wolfram Alpha. Terugblikkend op mijn vorige post, lijkt het nergens op. Ik heb echt geen idee.. Door die haakjes.. [ Bericht 0% gewijzigd door Super-B op 26-09-2014 17:03:30 ] | |
t4rt4rus | vrijdag 26 september 2014 @ 17:01 |
Nee je geeft gewoon totaal geen uitleg, heeft niks met haakjes te maken. Wat heb je in wolframalpha ingevuld? Want het klopt niet, of ik lees niet goed... En graag geen DM want die doet vaag op de mobiele versie. Daarnaast kan dat hier ook gewoon. | |
Super-B | vrijdag 26 september 2014 @ 17:03 |
Zie edit: 1/2 (1+x²)-1/2 * 2x | |
t4rt4rus | vrijdag 26 september 2014 @ 17:13 |
En nu de hele berekening met uitleg... Als je dat hebt voor de eerste kan je het daarna herhalen met de tweede afgeleide... [ Bericht 4% gewijzigd door t4rt4rus op 26-09-2014 17:19:32 ] | |
Super-B | vrijdag 26 september 2014 @ 17:19 |
y = (1+x²)1/2 1+x² gelijkstellen aan u, dus u = 1+x² y' = 1/2u-1/2 * u' (standaardregel toepassen, evenals de kettingregel). y' = 1/2(1+x²)-1/2 * 2x (2x, want de afgeleide van u (u') = 2x) | |
t4rt4rus | vrijdag 26 september 2014 @ 17:43 |
Oke dit lijkt te kloppen. Maar je hoeft niet alles op 1 lijn te zetten. Dus afgeleide van u kan je appart zetten en later weer invullen. Je tweede regel is een beetje dubbel. Kan je nu hetzelfde doen met de tweede afgeleide? -edit- Voorbeeld Bereken afgeleide van Substitueer Dan krijgen we Afgeleide van f naar u is Afgeleide u naar x is Gebruik maken van de kettingregel en substitueren van u geeft dan Zo heb ik even getext op mijn mobiel... En dit is toch veel duidelijker dan jouw 4 regels. Laatste stap voor BroodjeKebab nog even met een extra stap Kettingregel toepassen Substitueer u Snapt BroodjeKebab nu ook de Leibniz notatie en kettingregel? [ Bericht 23% gewijzigd door t4rt4rus op 26-09-2014 18:30:00 ] | |
BroodjeKebab | vrijdag 26 september 2014 @ 21:31 |
Ja top bedankt!! | |
BroodjeKebab | vrijdag 26 september 2014 @ 21:37 |
Hoe differentieer je een exponentiele functie? 10-x Ik weet dat ik -x gelijk moet stellen aan u (dus u = -x ) en dat ik de kettingregel moet toepassen, maar dan loop ik vast?! Ik zou denken aan u*10-x-1 * u' u' = -1 Dus -10x -x-1 * -1 | |
Janneke141 | vrijdag 26 september 2014 @ 21:46 |
Verzin eerst eens wat de afgeleide is van f(x) = 10x. De exponent x-1 komt er in ieder geval niet in voor. | |
BroodjeKebab | vrijdag 26 september 2014 @ 21:48 |
10x.ln 10 | |
Janneke141 | vrijdag 26 september 2014 @ 21:49 |
Goedzo!. En nu de kettingregel gebruiken met 10-x. | |
BroodjeKebab | vrijdag 26 september 2014 @ 21:50 |
10-x ln 10 ? Ik snap de afgeleide van de exponentiële functies niet zo goed.. Want ik ken de regel wel, maar de betekenis/gedachte ervan niet, vandaar dat het mij dan ook snel klem zet, als er moeilijke vragen tevoorschijn komen. | |
Janneke141 | vrijdag 26 september 2014 @ 21:59 |
Bekijk eerst f(x) = ex. Als het goed is weet je dat f'(x) = f"(x) = ... = ex. Voor g(x) = cx, met c een of andere constante >0, kunnen we ook schrijven g(x) = ex·ln c (Oh ja?) En nu kunnen we zien, met behulp van de kettingregel, dat g'(x) = ex·ln c ·ln c = cx·ln c Hierbij moet je het volgende onthouden, om niet in de war te raken: de reflex om één van de exponent af te trekken komt voort uit de regels van machtsfuncties. Machtsfuncties en exponentiële functies zijn echter écht twee verschillende dingen: bij een machtsfunctie is de exponent constant, bij exponentiële functies is de exponent de variabele. Het verschil tussen x2 en 2x, zeg maar. Nu jouw functie f(x) = 10-x. Om jouw manier met de substitutie met u te gebruiken: f(x) = 10u met u = -x. Dan f'(x) = f'(u) ·u' = ln 10·10u·-1 = -ln 10·10-x | |
BroodjeKebab | vrijdag 26 september 2014 @ 22:03 |
Ik heb alles begrepen wat je zei tot op het eind na.. (vetgedrukte)... Ik weet wel dat u' = -1, maar ik zie gewoon niet dat de afgeleide van 10u ln 10 * 10u is.. Waarom werkte je bij je uitleg met u' ? Dan zou je toch ook moeten hebben: cu * ln c * u' | |
BroodjeKebab | vrijdag 26 september 2014 @ 22:06 |
Waarom komt die ln c er eigenlijk bij? als de afgeleide van de e^x = e^x dan is c^x toch ook c ^x (afgeleide)? Of denk ik te krom? | |
BroodjeKebab | vrijdag 26 september 2014 @ 22:13 |
Was het overigens niet eu en dat u = 10 -x ? | |
t4rt4rus | vrijdag 26 september 2014 @ 22:15 |
De afgeleide van c^x is alleen gelijk aan c^x als c gelijk is aan e. Waarom die ln c erbij komt heeft ze ook uitgelegd. c^x = e^(ln c^x) = e^(x ln c) En van die laatste kan je vast wel verzinnen waarom die ln c er bij moet komen in de afgeleide. Iets met een ketting en een regel. | |
Janneke141 | vrijdag 26 september 2014 @ 22:22 |
Als dat zo is dan moet je toch nog eens goed kijken naar de regels die boven het vetgedrukte staan, want daar staat de uitleg van het differentiëren van een exponentiële functie met een grondtal anders dan e. OK, ik zal het differentiëren nog eens herschrijven met behulp van de substitutie met u. Het is niet direct mijn favoriete manier, maar aangezien jij er zelf mee kwam (en het bepaald niet ongebruikelijk is) neem ik dat over. De afgeleide van ex is weer ex. Alleen de exponentiële functie met het grondtal e is zijn eigen afgeleide. Stel dat we de exponentiële functie g(x) = 10x willen differentiëren. Dan proberen we deze eerst te herschrijven als een e-macht, omdat we daar de afgeleide al van kennen. [Dit is eigenlijk de modus operandi van iedere wiskundige - probeer een probleem te herleiden naar een probleem waar je de oplossing al van kent] Omdat 10 = eln10, is 10x = (eln10)x = ex·ln10 Nu passen we de kettingregel toe om te differentiëren: subst. u = x·ln10, dan g'(x) = g'(u)·u' = eu·ln 10, en nu vullen we weer in dat u = x·ln10 dus staat er g'(x) = ex·ln10·ln 10 = 10x·ln 10 Dit werkt op deze manier natuurlijk met ieder grondtal >0, waardoor als h(x) = cx dan h'(x) = cx·ln c. Hieraan kun je ook weer zien dat ex zijn eigen afgeleide is, want ln e = 1. Ik leg de kettingregel meestal zo uit: Als f een samengestelde functie is van de vorm f(x) = g(h(x)), dan is f'(x) = g'(h(x))·h'(x). In jouw geval is f(x) = 10-x, dan is g(x) = 10x en h(x) = -x. Dan is f'(x) = ln 10·10-x·-1 Is het trouwens echt noodzakelijk om één post drie keer achter elkaar te quoten? | |
BroodjeKebab | vrijdag 26 september 2014 @ 22:45 |
DANKJEWEL!!!! HET IS EINDELIJK DUIDELIJK NA 3,5 UUR! | |
BroodjeKebab | vrijdag 26 september 2014 @ 23:01 |
Ik moest de afgeleide bepalen van de volgende functie: y = exx-2 Ik had de productregel toegepast: y' = ex * x-2 + ex * -2x-3 herschreven tot: y' = ex ( x-2 -2x-3 ) Klopt dit ? Antwoordenboek zegt namelijk wat anders.. antwoordenboek (ben benieuwd hoe ze erop komen): y' = ex ( x-2) / x³ | |
Janneke141 | vrijdag 26 september 2014 @ 23:03 |
Wat betekent x-3? | |
BroodjeKebab | vrijdag 26 september 2014 @ 23:04 |
1 / x³ Ik raak alleen door de war door mijn eigen haakjes etc.. | |
Janneke141 | vrijdag 26 september 2014 @ 23:06 |
Heel goed. Ga 'm nu eens netjes uitschrijven, dan zie je 'm denk ik wel. Bedenk daarbij dat x-2 = 1/x2 = x/x3 | |
RustCohle | vrijdag 26 september 2014 @ 23:17 |
Bij het differentieren van y = 2ex³ : valt die 2 uiteindelijk dan weg of niet? Ik heb namelijk: y = f(x) * g(x) g'(x) = e x³ * 3x² g'(x) = 3x²ex³ y' = 2ex³ + 2 * 3x²ex³ y' = 2 * ex³ + 6x²ex³ | |
Janneke141 | vrijdag 26 september 2014 @ 23:22 |
Je moet zelf maar even opzoeken waar je denkfout zit, want ik kan hier geen chocola van maken. In ieder geval heb je voor het differentiëren van f(x) = 2ex³ niet de productregel nodig, maar de kettingregel. f(x) = 2eg(x) waarbij g(x)=x³. Dan f'(x) = 2eg(x) · g'(x) = 2ex³·3x² = 6x²ex³ | |
RustCohle | vrijdag 26 september 2014 @ 23:28 |
Ohhh....oke.. Ik heb deze tip toegepast op een nieuwe vraagstuk om een eerste afgeleide te bepalen: y = e1/x Ik heb ervan gemaakt: y' = -x-2e1/x Alleen hoe zou ik van deze de tweede afgeleide kunnen bepalen? | |
Janneke141 | vrijdag 26 september 2014 @ 23:30 |
Als je je eigen vaardigheden wil testen probeer je het op twee manieren, namelijk één keer met de productregel en één keer met de quotiëntregel. En dan kijken of er hetzelfde uitkomt. | |
RustCohle | vrijdag 26 september 2014 @ 23:32 |
Met de productregel kom ik uit op: (e1/x * -x -2 ) * -x-2 + e1/x * 2x -3 | |
Janneke141 | vrijdag 26 september 2014 @ 23:36 |
Correct, en nu nog even wat korter opschrijven. | |
RustCohle | vrijdag 26 september 2014 @ 23:37 |
Echt waar? Dan ben ik wel heel onzeker, ik dacht dat het fout was. Hoe kan ik het korter opschrijven? | |
Janneke141 | vrijdag 26 september 2014 @ 23:41 |
(e1/x * -x -2 ) * -x-2 + e1/x * 2x -3 = e1/x * x-4 + e1/x * 2x-3 = e1/x * (x-4 + 2x-3) = e1/x(1+2x) / x4 | |
RustCohle | vrijdag 26 september 2014 @ 23:44 |
Ik zie niet waarom die e met 1/x niet vermenigvuldigt wordt met -x^-2 ? Hetzelfde geldt dat ik niet snap hoe je van die één na laatste naar die laatste herschrijving gaat? | |
Janneke141 | vrijdag 26 september 2014 @ 23:51 |
Het eerste gedeelte, voor het +-teken, is van de vorm (a*b)*c. Dit is uiteraard gewoon gelijk aan a*b*c. Ik zal een stap voor je toevoegen. Ik denk dat het verstandig is dat je nog even wat gaat terugbladeren in de hoofdstukken die algebraïsche vaardigheden zoals herleiden behandelen. = e1/x * (x-4 + 2x-3) = e1/x * (1 * x-4 + 2x * x-4) = e1/x * x-4 * (1 + 2x) = e1/x(1+2x) / x4 | |
RustCohle | vrijdag 26 september 2014 @ 23:56 |
Aha oke thnx | |
Riparius | zaterdag 27 september 2014 @ 02:51 |
Maak daar maar van helemaal niet. Begin met deze uitleg van mij nog eens heel goed te bestuderen. Je bent hier aan het goochelen met symbolen op een manier die mij in ieder geval duidelijk maakt dat je er nog niets van begrijpt. Om te beginnen is die d niet een grootheid maar een operator. Verder kun je hier beter haakjes gebruiken en het zo opschrijven: Als we nu even alleen naar de eerste stap kijken en daarbij even z in de plaats stellen van ln y, dan staat er eigenlijk en dit is uiteraard de kettingregel in de notatie van Leibniz. We hebben hier een variabele z die afhangt van een variabele y, en die variabele y hangt weer af van een variabele x. De kettingregel zegt nu dat we de rate of change van z ten opzichte van x, dus dz/dx, kunnen berekenen door de rate of change van z ten opzichte van y, dus dz/dy, te vermenigvuldigen met de rate of change van y ten opzichte van x, dus dy/dx. Het is helemaal niet moeilijk om in te zien waarom dit zo moet zijn. We hebben hier eigenlijk een samenstelling van twee functies, die we f en g zouden kunnen noemen, maar dat is niet essentieel. Eén van de prettige aspecten van de Leibniz notatie is namelijk dat we hiermee direct met variabelen en veranderingen van variabelen die afhangen van andere variabelen kunnen werken, zonder dat we eerst namen hoeven te verzinnen voor al die afhankelijkheidsrelaties (oftewel functies). Maar goed, stel dat we een functie f hebben waarbij x de onafhankelijke variabele is en y de afhankelijke variabele, zodat dus dan kun je deze functie beschouwen als een black box waar je iets in stopt, namelijk een waarde x, en waar dan ook weer iets uit komt, namelijk een waarde y. We kunnen dan zeggen dat x de input is van deze functie en y de output. Stel nu verder dat we nog een tweede functie g hebben die we uiteraard eveneens als een black box kunnen beschouwen waar we eveneens iets in kunnen stoppen en waar dan ook weer iets uit komt. Als we nu de output van onze eerste functie f, dus de variabele y, in deze tweede black box stoppen als input, dan komt hier ook weer een waarde uit, die we bijvoorbeeld aan kunnen geven met de letter z. We zeggen dan dat y de onafhankelijke variabele is van de functie g en dat z de afhankelijke variabele is van onze functie g en we kunnen dit noteren als en omdat y = f(x) kunnen we hiervoor ook schrijven We zien dus dat z nu afhangt van x, en dat is volkomen begrijpelijk, want als we iets aan x veranderen, dan verandert er (in het algemeen) iets aan y, en als er iets aan y verandert, dan verandert er (in het algemeen) weer iets aan z. Dat komt natuurlijk omdat we onze twee black boxes f en g hebben gekoppeld, de output y van de eerste black box gebruiken we als input voor de tweede black box. We hebben zo dus een samenstelling van deze twee black boxes, en als we hier een grote doos omheen doen, dan kunnen we aan de buitenkant niet meer zien dat het er twee zijn, maar dan hebben we één (grote) doos waar we een waarde van x in stoppen en waar dan een waarde van z uit komt. Als we deze nieuwe black box, oftewel deze nieuwe functie, nu even h noemen, dan is x dus de onafhankelijke variabele en z de afhankelijke variabele van de nieuwe functie h, dus en omdat z = g(f(x)) kunnen we dus ook schrijven De functie h is dus een samenstelling van de functies f en g. We kunnen dit nu symbolisch ook noteren als Het rondje geeft hier de samenstelling aan en spreek je uit als 'na', dus h is gelijk aan g na f. Het lijkt misschien wat onnatuurlijk om dit zo op te schrijven omdat ons schrift van links naar rechts loopt en we tenslotte functie h hebben gemaakt door eerst een functie f te nemen en de output daarvan weer als input te gebruiken voor een tweede functie g, maar het grote voordeel van deze notatie is dat de volgorde van de letters g en f zo hetzelfde blijft als bij de haakjesnotatie h(x) = g(f(x)) en we zo dus niet in de war raken met de volgorde. Als we bestuderen hoe variabelen van elkaar afhangen, dan zijn we er in het algemeen in geïnteresseerd om te weten te komen hoe een momentane verandering van een variabele afhangt van een momentane verandering van een andere variabele, en dat is nu precies wat een differentiaalquotiënt oftewel de limiet van een differentiequotiënt ons vertelt. Als we in onze opstelling met de twee gekoppelde black boxes de input x van de eerste black box een klein beetje veranderen, zeg met een verschil Δx (spreek uit: delta x), dan zal de output y van de eerste black box (in het algemeen) ook een klein beetje veranderen, zeg met een verschil Δy. Bedenk hierbij dat we de vrijheid hebben om de input x van de eerste black box een klein beetje groter te maken, maar ook een klein beetje kleiner ten opzichte van de gekozen beginwaarde x. Dat betekent dus dat Δx zowel positief als negatief kan zijn. En uiteraard betekent dit dat het verschil Δy in output van de eerste black box ook zowel positief als negatief kan zijn. En het is vanzelfsprekend niet per se zo dat een positieve waarde van Δx ook een positieve waarde van Δy oplevert: het kan best zo zijn dat y wat kleiner wordt als we x een beetje groter maken, dat hangt er helemaal van af wat er binnenin die black box gebeurt, oftewel wat voor functie we hebben. Nu hebben we gezien dat als we iets aan x veranderen, dat er dan (in het algemeen) ook iets aan z verandert, omdat we de output y van de eerste black box gebruiken als input voor de tweede black box. Laten we deze verandering in de waarde van z met Δz aangeven, dan kunnen we nu gaan kijken hoe de verandering Δz van de output z van de twee gekoppelde black boxes zich verhoudt tot de verandering Δx van de input x van ons gekoppelde systeem, en waarbij we die input x immers zelf in de hand hebben. Anders gezegd, we zijn nu geïnteresseerd in de verhouding Δz/Δx. Volgens de rekenregels voor breuken hebben we of, als we dit even van rechts naar links opschrijven, Kijk, en dit is interessant: we zien nu dat de verhouding Δz/Δx tussen de verandering van de output Δz en de verandering van de input Δx van ons gekoppelde systeem van de twee black boxes niets anders is dan het product van de verhouding Δz/Δy van de verandering van output en input van de tweede black box en de verhouding Δy/Δx van de verandering van output en input van de eerste black box. Maar nu zijn we niet zozeer geïnteresseerd in de verhouding Δz/Δx als we de waarde x van de input van ons gekoppelde systeem een beetje veranderen van x naar x + Δx (waarbij de verandering Δx zoals gezegd ook negatief kan zijn), want de verhouding Δz/Δx is over het algemeen niet constant maar afhankelijk van de gekozen verandering Δx van onze input x, tenzij z op een lineaire manier afhangt van x. Wat we eigenlijk willen weten is de momentane verandering van de afhankelijke variabele oftewel de output z bij een momentane verandering van een gegeven waarde van de onafhankelijke variabele oftewel de input x. Daarom gaan we kijken wat er gebeurt met die verhouding Δz/Δx als we de verandering Δx steeds kleiner maken. Anders gezegd, we gaan kijken naar de limiet van de verhouding Δz/Δx voor Δx → 0. Nu is het zo dat we de functies f en g in ieder geval continu veronderstellen, en dat betekent dat de verandering Δy van y ook naar nul toe gaat als we de verandering Δx van x naar nul laten gaan, en uiteraard zal dan ook de verandering Δz van z naar nul toe gaan omdat immers de verandering Δy van y naar nul toe gaat. We hebben en als we nu Δx en daarmee ook Δy naar nul laten gaan, dan krijgen we dus en dit kunnen we met de notatie van Leibniz symbolisch weergeven als Een notatie als dy/dx noemen we traditioneel een differentiaalquotiënt, maar dit is dus feitelijk geen quotiënt maar een limiet van een quotiënt, namelijk de limiet van het differentiequotiënt Δy/Δx voor Δx → 0 waarbij y een variabele is die afhangt van een variabele x. En op precies dezelfde manier is het differentiaalquotiënt dz/dy de limiet van een differentiequotiënt Δz/Δy voor Δy → 0 waarbij z een variabele is die afhangt van een variabele y. Eén van de grote voordelen van de notatie van Leibniz is, zoals al gezegd, dat we hiermee direct kunnen werken met een variabele die afhangt van een andere variabele zonder dat we die afhankelijkheidsrelatie oftewel functie eerst een naam hoeven te geven. Daarnaast is de notatie dy/dx direct geïnspireerd door de notatie Δy/Δx van het bijbehorende differentiequotiënt en deze symboliek maakt het bijzonder eenvoudig om bijvoorbeeld de kettingregel in bovenstaande notatie te onthouden en op te schrijven. Hebben we nu bijvoorbeeld een variabele z die afhangt van een variabele y zodanig dat dan is in de notatie van Leibniz Nu staat de z voor ln y en als we hier de z vervangen door ln y dan kunnen we dus ook schrijven Maar laten we nu eens aannemen dat die variabele y weer afhangt van een variabele x. Dan hangt z dus af van y en y weer van x, zodat uiteindelijk z afhangt van x. Volgens de kettingregel in de notatie van Leibniz hebben we dan en als we hier weer ln y in de plaats stellen van z omdat immers z = ln y in het voorbeeld dat we nu bekijken, dan hebben we dus oftewel Zie je hoe eenvoudig deze notatie is te hanteren? Maar nu gaan we het wat ingewikkelder maken. Tot nu toe hebben een variabele z die afhangt van een variabele y en waarbij geldt z = ln y en de variabele y hangt weer af van een variabele x, alleen is niet gespecificeerd hoe. Maar stel nu eens dat we nog een variabele u toevoegen die afhangt van x, en wel zo dat u = ln x. Dan is het zo dat een verandering van x uiteraard een verandering van u bewerkstelligt, en omdat een verandering van x ook een verandering geeft van y en een verandering van y weer een verandering van z, is het zo dat we met een verandering van u ten gevolge van de verandering van x ook een verandering zien van z. Maar stel nu eens dat we die verandering van z willen relateren aan die verandering van u, oftewel de rate of change willen bepalen van z ten opzichte van u, wat dan? Waarschijnlijk begint het je nu een beetje te duizelen, maar dat hoeft niet, want Leibniz is hier je grote redder in nood. We hebben immers volgens de kettingregel Nu mogen we hier ln x in de plaats stellen van u en ln y in de plaats van z, want we hebben immers z = ln y en u = ln x, en dan krijgen we Maar we kunnen nog verder gaan, want we hebben immers ook volgens de kettingregel wat dus betekent dat we in de uitdrukking voor dz/du hierboven dz/dx kunnen vervangen door het product van dz/dy en dy/dx, zodat we krijgen Substitueren we nu weer z = ln y en u = ln x, dan hebben we dus Maar nu hadden we al gezien dat en evenzo hebben we en daarmee ook zodat we de uitdrukking voor dz/du oftewel d(ln y)/(d ln x) nu kunnen schrijven als De kettingregel wordt behalve in de notatie van Leibniz ook vaak gegeven in een andere notatie, de notatie van Lagrange, en dus is het van belang ook deze notatie alsmede het verband tussen beide notaties te begrijpen. Laten we zeggen dat we een functie f hebben waarbij x de onafhankelijke variabele is en u de afhankelijke variabele, zodat dus en laten we zeggen dat we een tweede functie g hebben waarbij u de onafhankelijke variabele is en y de afhankelijke variabele, dan hebben we dus ook en aangezien u = f(x) kunnen we hiervoor dan schrijven Denken we nog even terug aan ons model van de twee gekoppelde black boxes f en g, dan kunnen we ons dit zo voorstellen dat we een variabele x hebben die we als input in de eerste black box f stoppen, en de output u van deze black box stoppen we weer als input in een tweede black box g, die dan weer een output y levert. Het is duidelijk dat de output y die uit de tweede black box komt nu afhangt van de input x die we in de eerste black box stoppen. Doen we hier weer even een grote doos omheen zodat we aan de buitenkant niet meer zien dat het twee black boxes zijn dan hebben we één (grote) doos waar we een waarde van x in stoppen en waar dan een waarde van y uit komt. Als we deze nieuwe black box, oftewel deze nieuwe functie, nu even h noemen, dan is x dus de onafhankelijke variabele en y de afhankelijke variabele van de nieuwe functie h, dus en omdat y = g(f(x)) kunnen we dus schrijven Nu is de functie h dus een samenstelling van de functies f en g, en zoals we eerder zagen kunnen we dit symbolisch ook noteren als Volgens de kettingregel in de notatie van Leibniz hebben we nu Nu is uiteraard het differentiaalquotiënt dy/dx als limiet van Δy/Δx voor Δx → 0 hier niets anders dan de afgeleide h'(x) van h(x), want hier is Δy de verandering in de functiewaarde y = h(x) als we x laten veranderen naar x + Δx, dus Δy = h(x + Δx) − h(x), zodat we in overeenstemming met de definitie van de afgeleide functie hebben Evenzo is dy/du = g'(u) en du/dx = f'(x) zodat we voor de kettingregel in de notatie van Lagrange dus krijgen en aangezien u = f(x) kunnen we dit schrijven als of, met h = g ∘ f, als of, in symbolische vorm, als Even een eenvoudig voorbeeld om het gebruik van de kettingregel in de notaties van Lagrange en Leibniz te illustreren. Laten we zeggen dat we de afgeleide willen bepalen van de functie De eerste stap is altijd om na te gaan uit welke functies we ons een functie als deze samengesteld kunnen denken. Vaak helpt het daarbij om na te gaan hoe je een concrete functiewaarde voor een gegeven waarde van de onafhankelijke variabele (hier: x) zou berekenen. Welnu, dan berekenen we eerst x2 + 1 en vervolgens nemen we daarvan de natuurlijke logaritme. Schematisch voorgesteld: Als we nu het 'tussenresultaat' x2 + 1 even voorstellen door de letter u en de functiewaarde ln(x2 + 1) zoals te doen gebruikelijk door de letter y, dan hebben we dus We zien nu dat we een samenstelling hebben van een functie f(x) = x2 + 1 en een functie g(u) = ln u waarbij u = x2 + 1. De functie f(x) = x2 + 1 heeft als afgeleide f'(x) = 2x en de functie g(u) = ln u heeft als afgeleide g'(u) = 1/u zodat we dus met de kettingregel in de notatie van Lagrange krijgen en met de kettingregel in de notatie van Leibniz hebben we y = ln u en u = x2 + 1 zodat dy/du = 1/u en du/dx = 2x en dus krijgen we evenzo Na de nodige oefening zul je merken dat je niet meer expliciet met een tussenvariabele hoeft te werken en dat je dan de afgeleide van een samengestelde functie gemakkelijk direct op kunt schrijven. In de notatie van Lagrange hebben we dan Substitueren we in bovenstaande kettingregel in de notatie van Leibniz y = h(x) = g(f(x) en u = f(x) dan hebben we Of, met wat minder haakjes, en voor de afgeleide van ln(x2 + 1) naar x krijgen we zo dus in de notatie van Leibniz Het is van belang om een goede parate kennis te hebben van zaken zoals allerlei identiteiten (merkwaardige producten, binomiaalformule, somformules voor rekenkundige en meetkundige reeksen, goniometrische identiteiten), en rekenregels voor het werken met bijvoorbeeld machten, wortels en logaritmen, alsmede rekenregels voor het differentiëren (afgeleiden van een aantal standaardfuncties, differentiëren van een som, verschil, product en quotiënt, en natuurlijk de kettingregel) maar je moet nooit, en ik herhaal, echt h-e-l-e-m-a-a-l n-o-o-i-t iets uit je hoofd leren of memoriseren dat je niet begrijpt. Pas als je een formule of identiteit werkelijk hebt begrepen en deze ook kunt afleiden mag je deze memoriseren, en dan zul je merken dat het memoriseren ervan ook geen enkele moeite meer kost. Als je de - foute - omgekeerde weg bewandelt, dan zul je alleen maar gefrustreerd raken en op zijn best alleen wat kunstjes kunnen reproduceren waarvan je de achterliggende ideeën niet begrijpt en waarmee je direct uit de bocht vliegt zodra er ook maar een greintje creativiteit van je wordt verwacht. Tot slot nog even iets over de notatie d/dx aangezien je die hier noemt. Als we de afgeleide naar x van bijvoorbeeld x2 + 6x + 9 in de notatie van Leibniz opschrijven, dan krijgen we Dit is niet al te fraai en om typografische redenen noteert men dit meestal als Deze notatie heeft ertoe geleid dat men is gaan opvatten als een operator. In het algemeen kun je dus in plaats van ook schrijven [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 28-09-2014 20:51:40 ] | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 12:07 |
Ik heb hier een afgeleide van: (3qt² * tet) - (p+ qt³) * (1+t)et / t²e2t Wat moet ik nu doen? Alles delen door et ? Als ik dat doe, kom ik niet helemaal goed uit.. Hetzelfde geldt voor: [2(at + bt²) (a + 2bt) - (at + bt² ) ² ] / (et)² [ Bericht 10% gewijzigd door Super-B op 27-09-2014 12:14:26 ] | |
Janneke141 | zaterdag 27 september 2014 @ 12:12 |
Ik zal dan nog voor je gokken dat je moet differentiëren naar t en niet naar p, q of z, maar verder zal je je post toch echt moeten herschrijven zodat duidelijk wordt wat je bedoelt. Welke functie moet je differentiëren? Wat komt eruit volgens jouw eigen berekening? Welke techniek heb je daarvoor gebruikt, of welke tussenstappen heb je gemaakt? -edit- En na herlezing vraag ik me inmiddels af of je überhaupt wel moet differentiëren. | |
Anoonumos | zaterdag 27 september 2014 @ 12:13 |
Kun je iets duidelijker zijn? Waarvan neem je de afgeleide? Waar komt p vandaan? Wat Janneke zei dus. | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 12:15 |
a, b ,c , p , en q zijn constanten: Differentieer de volgende functies door t (w.r.t. t): 1. p + qt³ / tet 2. (at + bt²)² / et [ Bericht 0% gewijzigd door Super-B op 27-09-2014 12:40:03 ] | |
Janneke141 | zaterdag 27 september 2014 @ 12:29 |
Aan de eerste begin ik niet eens, want ik kan op drie verschillende manieren uitleggen hoe die functie eruit ziet vanwege het gebrek aan duidelijke haakjes. De tweede functie is van de vorm f(t) = g(t)/h(t) en dus zullen we de quotiëntregel moeten toepassen. Deze zegt dat f'(t) = [g'(t)h(t) - g(t)h'(t)] / h'(t)2 g'(t) = 2(at + bt2)(a+2bt) met behulp van de kettingregel. h'(t) = et Nu invullen levert ons Nu kun je inderdaad boven en onder delen door et (Waarom eigenlijk?), en als je dan nog wat termen bij elkaar neemt krijg je | |
Anoonumos | zaterdag 27 september 2014 @ 12:32 |
Volgens mij bedoelt hij 1. (p + qt³) / tet En dan klopt zijn (editted) eerste post. Waar moet je op uitkomen dan? Of dat bedoelt hij niet en dan is dat het probleem. | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 12:40 |
Ik moet het mooier schrijven ofwel herschrijven. | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 12:42 |
Duidelijk. Dankje! Ik moet inderdaad even opletten op welke wijze ik het opschrijf... | |
Janneke141 | zaterdag 27 september 2014 @ 12:43 |
Maar waarom mag je nu boven en beneden delen door et? | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 12:57 |
Omdat er in de teller sprake is van een vermenigvuldiging met et, zowel aan de linkerkant van de minteken als aan de rechterkant. | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 12:58 |
Ik heb nog een vraagje: Waarom wordt hier [....,...] gedaan i.p.v. (....,...) ? Want bij 0 en 1/2 is de functie 0... en als y' = 0 dan is er geen sprake van een stijging/daling... | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 13:04 |
Hoe komen ze hierop?: Ik kom namelijk (bij de herschrijving) uit op: e-x ( 2xe-x - 2x³) | |
Janneke141 | zaterdag 27 september 2014 @ 13:04 |
Daar moet nog één opmerking bij, vind ik. De functie is niet 0, de afgeleide is daar 0. Kwestie van taalgebruik. Een functie f(x) is stijgend als f'(x)≥0, een functie f(x) is strikt stijgend als f'(x)>0. | |
Janneke141 | zaterdag 27 september 2014 @ 13:07 |
Leg eens stap voor stap uit hoe je daarbij komt. Ik zal je zo wel uitleggen hoe de afleiding werkt, maar ik denk ook dat het goed is dat je leert van je eigen fouten. | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 13:11 |
Omdat alles vermenigvuldigt wordt met het getal e (en haar exponent), dacht ik dat het verstandig was om dat uit de factor te halen... en ik behoud een afscheiding tussen de twee kanten, links en rechts.. van de plus. Aangezien er nog een -2x staat, heb ik tussen de haakjes een - gezet i.p.v. een plus, want + maal - is - en aangezien het getal e (bijna) altijd plus is, is het weer + maal - = -. | |
RustCohle | zaterdag 27 september 2014 @ 13:22 |
Ik heb hier een afgeleide: y' = ex - 3e3x Ik heb het veranderd in: ex ( 1 - 3e2x ) Ik moet weten wanneer de functie stijgt.. Aangezien ex bijna altijd stijgend is, hoef ik daar niks mee te doen. Dus ik moet kijken naar 1 - 3e2x. Het is te zien dat 3e2x in totaal lager dan 1 moet zijn.. Dus ik deed: 3e2x = 1 e2x = 1 / 3 2x = ln 1/3 Vervolgens loop ik vast... [ Bericht 0% gewijzigd door RustCohle op 27-09-2014 13:30:16 ] | |
Anoonumos | zaterdag 27 september 2014 @ 13:27 |
Je zoekt naar 3e2x = 1, niet min. | |
RustCohle | zaterdag 27 september 2014 @ 13:30 |
Scherpzinnig van je! Maar dan loop ik nog steeds vast | |
Janneke141 | zaterdag 27 september 2014 @ 13:35 |
Als ik je vraag om stap voor stap uit te leggen hoe je bij je antwoord komt, dan bedoel ik daarbij geen verhaaltje, maar een aantal gelijkwaardige uitdrukkingen waar je telkens één rekenstap maakt, om bij je antwoord te komen. Er staan genoeg voorbeelden in dit topic, hoe zoiets eruit moet zien. Je docent zal dergelijke afleidingen ook van je verlangen. Probeer ook zeker niet te veel in één stap te doen, de kans dat je fouten gaat maken wordt alleen maar groter. Je bent behoorlijk slordig in je taalgebruik, en ik ben bang dat dat van invloed is op de slordigheid in je herleidingen. De beide termen hebben een gemeenschappelijke factor e-x². Omdat ab+ac=a(b+c) kun je een gemeenschappelijke factor buiten haakjes halen en dan staat er e-x² · (2x + x²·-2x) Hier staat niets. In ieder geval niets wat wiskundig gezien iets betekent. Ik zie maar één minteken. Er is inderdaad in het gedeelte tussen de haakjes nog een gemeenschappelijke factor, namelijk 2x, dus kunnen we schrijven 2x · e-x² · (1 - x²) Er staat nog steeds maar één minteken. Daarnaast is e ≈2,71727.. en dus altijd positief, evenals ec voor iedere willekeurige waarde van c. En dus niet bijna altijd. Handig om te onthouden, en meteen het antwoord op de vraag die ik je stelde waarom je nu mag delen door et: de uitkomst van een e-macht is altijd positief - en dus nooit gelijk aan 0. De laatste stap die je nog moet zetten, is inzien dat 1 - x² een merkwaardig product is: (a+b)(a-b) = a² - b². Dus is 1 - x² = (1+x)(1-x). Nemen we dat nog mee in de uitdrukking, dan staat er 2x(1+x)(1-x) · e-x² En dat was precies wat het zijn moest. Bekijk de stappen hierboven goed. Je hebt ze vaak nodig, en het is niet voldoende dat je begrijpt waarom ik doe wat ik doe. Je moet zelf weten wanneer je welke techniek moet gebruiken, en waarom ze toepasbaar is. Denk dus niet alleen in technieken (trucjes) maar in de reden waarom het zo mogen. | |
Anoonumos | zaterdag 27 september 2014 @ 13:39 |
Dus 1 - 3e2x = 0 als 2x = ln (1/3) = - ln 3 oftewel x = - (1/2) ln 3 3e2x is overal strikt stijgend dus 1 - 3e2x < 0 als x > - (1/2) ln 3 en 1 - 3e2x > 0 als x < - (1/2) ln 3 Conclusie: de originele functie is stijgend als x ≤ - (1/2) ln 3 | |
RustCohle | zaterdag 27 september 2014 @ 13:43 |
Hoe maak je van ln 1/3 opeens - ln 3 en vervolgens - 1/2 ln 3? | |
Janneke141 | zaterdag 27 september 2014 @ 13:45 |
Hoe vaak heb je van Riparius al het advies gekregen om je nog eens te verdiepen in de rekenregels van exponenten en logaritmen? | |
RustCohle | zaterdag 27 september 2014 @ 13:48 |
Dat doe ik, maar ik vergeet het steeds, ondanks dat ik zijn posts echt goed doorneem. Ik zit nog in de lerende fase he.. | |
RustCohle | zaterdag 27 september 2014 @ 13:49 |
Laat maar, ik weet het alweer.. tot de macht -1 opschrijven... | |
RustCohle | zaterdag 27 september 2014 @ 13:52 |
Hoe weet je dat je die teken moet omdraaien en dus weet dat x > .... | |
RustCohle | zaterdag 27 september 2014 @ 13:57 |
Het rare is dat als ik in mijn rekenmachine -(1/4) ln 3 invoert dat ik -0,27 krijg en dan krijg ik 1 - - 0,27 ofwel 1 + 0,27 en dan alsnog is die nog positief... Pas ongeveer bij 1ln3 is het ongeveer 1.. volgens mijn rekenmachine (1,098) | |
Anoonumos | zaterdag 27 september 2014 @ 13:58 |
ex is strikt stijgend (als x > y dan ex > ey). Dus ook 3e2x is strikt stijgend. En dus is 1 - 3e2x strikt dalend (wegens het minteken) We weten dat 1 - 3e2x = 0 als x = - (1/2) ln 3 Dus vanwege het strikt dalend zijn geldt 1 - 3e2x < 0 als x > - (1/2) ln 3 | |
RustCohle | zaterdag 27 september 2014 @ 14:01 |
Begrijp er niks van sorry... | |
Anoonumos | zaterdag 27 september 2014 @ 14:06 |
Laat f(x) = ex Dan afgeleide f ' (x) = ex > 0 voor alle x Dus ex is strikt stijgend, oftewel als x > y dan ex > ey Dit staat vast wel uitgelegd in je boek. | |
RustCohle | zaterdag 27 september 2014 @ 14:09 |
Nope.. Die eerste twee regels wel. Ik snap die x > y en ex > ey niet.. Want ex is toch altijd gelijk aan y?!? | |
Anoonumos | zaterdag 27 september 2014 @ 14:13 |
De mean value theorem gehad? Het is daar een gevolg van. | |
Janneke141 | zaterdag 27 september 2014 @ 14:13 |
Je moet 'm zo lezen: ALS een functie f(x) strikt stijgend is, DAN moet gelden dat UIT x>y VOLGT DAT f(x)>f(y). In peppi en kokki-taal, wellicht dat je 'm grafisch wel voor je ziet: Van een of andere strikt stijgende functie is de grafiek een lijn die omhoog loopt. Er zitten geen vlakke stukken in en hij gaat ook nergens naar beneden. Alleen maar berg op. Als we op de x-as twee punten hebben, waarvan de ene rechts van de andere ligt (dus groter is), dan moet de berg op die plek wel hoger zijn. De grafiek gaat immers alleen maar omhoog. | |
RustCohle | zaterdag 27 september 2014 @ 14:16 |
Die stof wordt overgeslagen bij onze examenstof.. | |
RustCohle | zaterdag 27 september 2014 @ 14:18 |
Ja maar dan is het toch x2 > x1 en y2 > y1 ... ik snap niet waar die x > y en f(x) > f(y) vandaan komen. | |
Anoonumos | zaterdag 27 september 2014 @ 14:21 |
Je moet wel ergens gehad hebben dat een overal positieve afgeleide impliceert dat de functie stijgend is anders kan je deze opgave niet maken. En Janneke bedankt voor de toelichting. | |
RustCohle | zaterdag 27 september 2014 @ 14:22 |
Ja dat heb ik gehad en dat als de afgeleide 0 is dat het impliceert dat er bijv. een minimum of maximum bereikt is. | |
Janneke141 | zaterdag 27 september 2014 @ 14:22 |
Fair enough, wellicht werkt het gebruik van x en y in deze wat verwarrend. Een functie is strikt stijgend als voor ieder paar getallen a en b, waarbij a>b, geldt dat f(a)>f(b). Is ie zo beter? | |
RustCohle | zaterdag 27 september 2014 @ 14:25 |
Jep super duidelijk. Bij x en y zat de verwarring ja. Aangezien ex = x, vond ik het maar al te raar waarom x dan kleiner/groter kon zijn dan..y ofzo. | |
RustCohle | zaterdag 27 september 2014 @ 14:33 |
En ehm.. hoe weet je dat het > moet zijn ipv < bijvoorbeeld? | |
Anoonumos | zaterdag 27 september 2014 @ 14:44 |
1 - 3e2x is strikt dalend, dus het idee is dat 1 - 3e2x kleiner wordt als we x laten toenemen. Aangezien 1 - 3e2x = 0 als x = - (1/2) ln 3 betekent dat dus dat 1 - 3e2x < 0 als x > - (1/2) ln 3 | |
RustCohle | zaterdag 27 september 2014 @ 14:52 |
Held! Bedankt! | |
BroodjeKebab | zaterdag 27 september 2014 @ 15:07 |
y = [2(x+1)] / [(x+1)² (x-1)] - 1/4 = [9 - x²] / [4(x²-1)] Wat wordt hier gedaan? Ik had in eerste instantie de noemers gelijk gemaakt en kwam uit op: [8(x+1) - (x+1)² (x-1)] / [4(x+1)² (x-1)] Vervolgens eenmaal delen door (x+1) levert op: [8 - (x+1) (x-1)] / [4(x+1) (x-1)] , toch zit ik fout? | |
Janneke141 | zaterdag 27 september 2014 @ 15:12 |
Deel eerst eens boven en onder door (x+1) voordat je de noemers gelijk gaat maken. Minder kans op rekenfouten. Je zit trouwens niet eens fout, je moet het gewoon nog even wat netter opschrijven. | |
GeschiktX | zaterdag 27 september 2014 @ 15:14 |
Hoi, y' = x ( 2 ln x + 1) Hoe weet ik dat wanneer y' > 0 is? Ik weet dat 2 ln x + 1 ln x = -1/2 x = e -1/2 Maar hoe weet ik of ik > of < moet gebruiken? | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 15:18 |
Waarom is de afgeleide van 4x - 5 ln(x² + 1) --> 4 - [ 10x / (x² + 1) ? Ik zelf had: 4 - [ 5 / (x² + 1) | |
Janneke141 | zaterdag 27 september 2014 @ 15:20 |
Het toverwoord is 'kettingregel'. | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 15:21 |
Moet ik de kettingregel op 5 ln (x² + 1) toepassen? Hoezo eigenlijk, in verband met dat die 5 een exponent is? | |
Janneke141 | zaterdag 27 september 2014 @ 15:28 |
In deze post wordt bijzonder uitgebreid uitgelegd hoe de kettingregel werkt en waarvoor je hem moet gebruiken. Zoiets zal ongetwijfeld ook in jouw boek staan, en als je daar nog eens goed naar kijkt zie je vrij snel dat dat niets te maken heeft met het vermenigvuldigen met een of andere constante. | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 16:11 |
Thanks. Ik heb er nog één Afgeleide van y = x³ (ln x)² Ik had het volgende: y =x³ (ln x)² u = ln x y' = 3x² * u² + x³ * [ 2(ln x)²] / x want afgeleide van u is --> 2u * u' en u' = 1/x y' = 3x² * (ln x)² + x³ * [ 2(ln x)²] / x Nu loop ik vast, want ik weet niet eens of ik in de goede richting zit.. | |
OllieWilliams | zaterdag 27 september 2014 @ 16:21 |
bijna goed, behalve dat ln x niet gekwadrateerd dient te worden in de tweede term aan de rechterkant van het dikgedrukte (immers u = ln x). dit geeft y' = 3x2(ln x)2 + x3(2(ln x))/x y' = 3x2(ln x)2 + x2(2(ln x)) y' = x2(ln x) * [3(ln x) + 2] | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 16:34 |
Oeff.. Stomme slordigheidsfoutje... y = ( ln x + 3x)² u = ln x + 3x y' = 2u * u' y' = [ 2 (ln x + 3x ) * 1/x ] + 3 y' = ([ 2ln x + 6x] / x) + 3 Ik doe weer iets fout... | |
Janneke141 | zaterdag 27 september 2014 @ 16:38 |
Ja, een slordigheidsfoutje met de haakjes. y' = 2u * u' y' = 2 (ln x + 3x ) * (1/x + 3) Je zal dus echt nauwkeuriger moeten gaan werken! | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 16:42 |
Ik had: y = ln u y' = 1/u * (1/2)u-1/2 * u' y' = 1/√(1-x²) * 1/(2√1-x²) * -2x y' = 2 / (2√1-x²) * -2x / (2√1-x²) Delen door 2 levert bij mij op: -x / (√1-x²) | |
Janneke141 | zaterdag 27 september 2014 @ 16:45 |
Hoe vermenigvuldig je twee breuken? | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 16:48 |
teller * teller noemer * noemer edit... ja weer van die kleine foutjes die mij de kop kosten.. | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 17:25 |
Ik vermenigvuldig allereerst die 2x met -1/x om zodoende -2 te krijgen en dan deel ik alles door 2 om zodoende in de noemer 2x² te krijgen en in de teller: [(1 - ln x) - ( 1 - ln x)²] / 2x² en dan loop ik weer vast... Ik moet namelijk uitkomen op : Als ik dan bereken wanneer ln x 0 is... ln x = 3 --> x = e³ en de andere : - ln x = -1 ln x = 1 x = e Maar alleen dan zit ik weer met dat ik niet weet waar ik deze getallen moet zetten op de getallenlijn (sign diagram..). Dat e = 2,7 weet ik, maar verder kom ik niet.. | |
BroodjeKebab | zaterdag 27 september 2014 @ 17:44 |
Afgeleide van y = 2xx Vermenigvuldigen met ln aan beide kanten.. dus: ln y = x ln 2x y' / y = 1 * ln 2x + x * 1/(2x) * 2 y' / y = ln 2x + 1 Vermenigvuldigen met y = 2xx y' = 2xx ( ln 2x + 1) Toch is het antwoord...: y' = 2xx ( ln x + ln 2x + 1) en ik weet niet waar die ln x vandaan komt./. | |
Janneke141 | zaterdag 27 september 2014 @ 17:59 |
Wederom maak je twee slordigheidsfouten ineen. Niet alleen staat hierboven niet de teller maar de hele breuk, maar ook ben je nog ergens een factor 2 vergeten. De noemer wordt zoals je terecht concludeert 2x², en de teller wordt -2·(1-ln x) - (1-ln x)² = (haakjes uitwerken) = -2 + 2ln x - 1 + 2lnx - (ln x)² Als je 'ln x' heel even z noemt, dan staat er -z² + 4z -3, en die heeft een keurige ontbinding: (1-z)(z-3) ln x = 0 als x=1. Altijd. Maar dat bedoel je vast niet... Het helpt mij, maar vooral ook jezelf, als je het probleem goed weet uit te leggen. Wat er van je gevraagd wordt, is een schema maken waar je functie stijgend en dalend is. Waar de functie stijgend is is de afgeleide groter dan 0, waar je functie dalend is is de afgeleide kleiner dan 0. Je hebt nu de plekken gevonden waar de afgeleide gelijk 0 is. We houden dus drie stukken getallenlijn over: (-∞;e), (e;e³) en (e³;∞). Hoe groot e en e³ precies zijn weet ik niet, en vind ik ook niet belangrijk; maar ik weet wel dat e < e² < e³. e² zit dus in het middelste interval, en de afgeleide functie heeft daar als waarde (1-2)(2-3)/2e4, en dat is iets positiefs. De oorspronkelijke functie is dus stijgend op het middelste interval. Nu mag je gokken hoe het zit op de buitenste twee stukken, maar netjes narekenen kan natuurlijk ook. | |
Anoonumos | zaterdag 27 september 2014 @ 18:00 |
Dit klopt niet want het is 2xx en niet (2x)x Er geldt ln (2xx) = ln 2 + ln xx = ln 2 + x ln x | |
Janneke141 | zaterdag 27 september 2014 @ 18:01 |
Vermenigvuldig jij ook met de wortel of met cos? | |
Riparius | zaterdag 27 september 2014 @ 18:02 |
Nee. Het symbool ln is een functiesymbool, net als log of sin of tan, het is geen grootheid, en je kunt er dus ook niet mee vermenigvuldigen. Wat je doet is de natuurlijke logaritme nemen van beide leden van je gelijkheid, en dat doe je ook nog eens fout. Je hebt namelijk ln(2·xx) = ln 2 + ln(xx) = ln 2 + x·ln x | |
BroodjeKebab | zaterdag 27 september 2014 @ 18:29 |
Mijn professor gebruikt deze methode. | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 18:35 |
Je deelt door 2 en dan gaan alle grondgetallen van 2 toch weg? | |
Riparius | zaterdag 27 september 2014 @ 18:36 |
Nee, dat doet hij niet, tenzij hij niet meer bij zijn volle verstand is. Hij gebruikte kennelijk de methode die bekend staat als logaritmisch differentiëren. | |
OllieWilliams | zaterdag 27 september 2014 @ 18:36 |
Er staan twee 2'en in de eerste term, 2*2=4 en 4/2 = 2. | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 18:38 |
Er staat toch nog één met 2x, mag je die dan niet delen door 2, waardoor het gewoon x wordt? | |
Janneke141 | zaterdag 27 september 2014 @ 18:40 |
Nee, want dan zou je de eerste term door 4 delen in plaats van door 2. Oh, en wat zijn grondgetallen? Stoepkrijt? | |
BroodjeKebab | zaterdag 27 september 2014 @ 18:40 |
| |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 18:42 |
Huh? Je die 2x kun je toch zien als 2 * x, waardoor je het kunt delen door 2? | |
OllieWilliams | zaterdag 27 september 2014 @ 18:43 |
Je vermenigvuldigt in die zelfde term ook nog een keer met 2... | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 18:44 |
Owjaa... Dat mag dus maar eenmaal? Ik dacht dat je meerdere getallen mocht delen door twee in hetzelfde term.. | |
OllieWilliams | zaterdag 27 september 2014 @ 18:44 |
2(1 - ln x)(-1/x)2x = 2(1 - ln x)(-2) = -4(1 - ln x) | |
OllieWilliams | zaterdag 27 september 2014 @ 18:44 |
Waar heb je die onjuiste informatie vandaan? Dat is echt basisalgebra namelijk. | |
Anoonumos | zaterdag 27 september 2014 @ 18:45 |
Oke, zet dan ook haakjes hier neer. Dan is je antwoord goed maar moet je alleen nog opmerken dat ln 2x = ln 2 + ln x. Het antwoord is y' = (2x)x (ln x + ln 2 + 1) en niet y' = (2x)x (ln x + ln 2x + 1) | |
Janneke141 | zaterdag 27 september 2014 @ 18:46 |
Eerder groep 6 breukrekenen. Als we de logica van Super-B zouden volgen, konden we 24/26 = 2*2*2*3/26 vereenvoudigen tot 3/13. | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 18:47 |
2x + 4x + 6x = 4x Alles delen door 2 resulteert tot: x + 2x + 3x = 2x Dus ik deelde 3 getallen in één dezelfde term (linkerkant) door 2. | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 18:47 |
| |
OllieWilliams | zaterdag 27 september 2014 @ 18:47 |
De linkerkant bevat hier drie termen... | |
Janneke141 | zaterdag 27 september 2014 @ 18:47 |
En als je hetzelfde wil doen met 2x * 4x + 6x = 4x | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 18:48 |
x * 4x + 3x = 2x Of 2x * 2x + 3x = 2x Toch? | |
Janneke141 | zaterdag 27 september 2014 @ 18:49 |
Ja. Ik neem aan dat je nu ook ziet waarom je hierboven de mist in ging. | |
Riparius | zaterdag 27 september 2014 @ 18:56 |
(2x)x = 2x·xx is niet hetzelfde als 2xx = 2·xx Oefening: bepaal de afgeleide van je functie op twee verschillende manieren, namelijk (1) via logaritmisch differentiëren en (2) door het functievoorschrift eerst te herschrijven als een e-macht. En gebruik WolframAlpha om je uitkomsten te controleren, dan hoef je hier niet steeds te zeuren of je uitkomst nu wel of niet correct is. | |
BroodjeKebab | zaterdag 27 september 2014 @ 19:56 |
Ik kom inzicht tekort om het punt waar ik de fout beging te herleiden. | |
#ANONIEM | zaterdag 27 september 2014 @ 20:08 |
Zijn hier mensen die weleens een merkanalyse moeten doen? Ik heb een vrij lastig merk geloot gekregen waarvoor ik producten moet ontwerpen, en daar voorafgaand moet ik een analyse maken/de doelgroep bepalen. Nou heb ik dus een sh*tmerk waar weinig cijfers over te vinden zijn. Ik zoek op "target group" "customer profile" en dat soort termen. Heeft iemand nog andere woorden waarop ik kan zoeken? Ik kan helaas niet meer als voorgaande jaren gewoon een verhaal aan elkaar lullen, we hebben nu les van een marketeer die sterke kwantitatieve data met betrouwbare bronnen wil. Ik heb wel een paar dingen, van betrouwbare bronnen, maar meneer wil perse zes op zichzelf staande bronnen. Iemand andere woorden waarop ik kan zoeken? Ik ga nu overigens zelf maar in het Frans zoeken, wellicht dat daar meer te vinden is. [ Bericht 3% gewijzigd door #ANONIEM op 27-09-2014 20:10:01 ] | |
BroodjeKebab | zaterdag 27 september 2014 @ 20:09 |
Kan iemand kort zeggen waarom -7ex als afgeleide dezelfde functie heeft en niet gewoon ex is? Als ik het anders ga benaderen kom ik op het volgende uit (productregel): ex - 7ex | |
rumiii | zaterdag 27 september 2014 @ 20:13 |
-7* e^x (e^x als afgeleide van e^x) + 0* e^x (0 als afgeleide van -7) = -7* e^x | |
Janneke141 | zaterdag 27 september 2014 @ 20:13 |
Heel kort dan: Als f(x) van de vorm c·g(x) is, met c een constante, dan geldt f'(x) = c·g'(x). | |
BroodjeKebab | zaterdag 27 september 2014 @ 20:28 |
Stom stom stom.. y = (ln x)² - 4 u = x y = ln u² - 4 y = 2 ln u - 4 y' = 2 * 1/x y' = 2/x Wat doe ik fout? Het antwoord is y' = (2/x) * ln x... | |
Anoonumos | zaterdag 27 september 2014 @ 20:30 |
Je substitueert x = u (waarom uberhaupt) en de formule verandert? | |
BroodjeKebab | zaterdag 27 september 2014 @ 20:31 |
Heb het al. Excuus.. y = (ln x)² - 4 u = ln x y = u² - 4 y' = 2u * u' y' = 2 * ln x * 1/x y' = 2/x * ln x Zo goed? | |
BroodjeKebab | zaterdag 27 september 2014 @ 20:32 |
Hoe is jouw methode dan? | |
Anoonumos | zaterdag 27 september 2014 @ 20:39 |
Hetzelfde (Kettingregel), en ja hij is goed. | |
BroodjeKebab | zaterdag 27 september 2014 @ 20:42 |
Ik snap hier de bevinding van dit niet: Ik snap wel dat positief moet zijn en daarom de linkerkant > rechterkant moet zijn in de teller, maar waarom wordt er niet naar de noemer gekeken? Er moet daar immers >0 uitkomen (evenals de teller) en daarnaast... Hoe komen ze dan op: En moet het niet >0 zijn ipv groter of gelijk aan 1? Want bijv .. e^0,5 kan ook... | |
OllieWilliams | zaterdag 27 september 2014 @ 20:46 |
Ze krijgen dat door aan beide kanten te vermenigvuldigen met e^x. En hoe kan de noemer hier ooit negatief worden? | |
t4rt4rus | zaterdag 27 september 2014 @ 20:53 |
Dat heeft geen nut... Hier maak je van (ln x)^2 opeens ln x^2... En dan gaat alles fout natuurlijk.
| |
BroodjeKebab | zaterdag 27 september 2014 @ 20:55 |
I dont understand shit! Ik heb ook geen idee. | |
Anoonumos | zaterdag 27 september 2014 @ 20:56 |
ex > 0 voor alle x e-x > 0 voor alle x dus ex + e-x > 0 voor alle x De noemer is dus altijd positief. | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 21:22 |
Qua links en rechts verschuiven met de letters en getallen weet ik dat er (y + c) uit moet komen, maar ik snap niet de gedachtegang erachter.. Notaties begrijp ik niet: en Waarom is het bovendien (y) + c en niet y + c? Alvast bedankt. Het is mij dus niet duidelijk hoe er van g(x) overgegaan wordt naar g-1(y). Ik weet dat die -1 staat voor de inverse van de functie g, maar opeens staat er een y i.p.v. een x... Ik snap er geen pepernoot van.. Ik kom niet verder dan het opschrijven van: y = f(x-c) [ Bericht 76% gewijzigd door Super-B op 27-09-2014 21:32:17 ] | |
Riparius | zaterdag 27 september 2014 @ 21:50 |
Je moet in deze topicreeks natuurlijk niet alleen antwoorden lezen op vragen die je zelf hebt gesteld, maar ook antwoorden op vragen die je studiegenoten hier stellen, want die vragen gaan over dezelfde stof en stemmen grotendeels overeen met het soort vragen dat je zelf hebt. Kijk hier voor mijn uitleg. Dat heb ik je minder dan twee weken geleden nog uitgelegd, maar ja, als je alles binnen een paar dagen weer vergeet ... | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 21:55 |
Ja ik lees inderdaad alleen de antwoorden op mijn eigen vragen, omdat het topic best snel gaat.. Ik had je posts gelezen hoor, echter blijf ik vasthaken op wat ingewikkeldere vraagstukken zoals deze. Ik ga even de posts, als antwoord op de vragen van Rustcohle, even goed doorspitten. | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 22:20 |
Die ene post m.b.t. de spiegeling van de grafiek is echt zeer helder en duidelijk. Ik dank je zeer! | |
Super-B | zaterdag 27 september 2014 @ 23:50 |
g(xy2 ) = xy + 1 Stel dat deze impliciet gedifferentieerd wordt voor y' De linkerzijde wordt: g'(xy2) *(y2 + x2yy') Wat ik mij dus afvraag is waarom er een vermenigvuldigingsteken komt i.p.v. een plus (productregel)? Daarnaast is de complete afgeleide: g'(xy2) *(y2 + x2yy') = y + xy' Hoe vind ik y' ofwel los ik de functie voor y' op? Ik vind het lastig doordat er een dubbele y' is, waarvan 1 binnen de haakjes zit (linkerterm) | |
Rezania | zondag 28 september 2014 @ 16:52 |
Ik snap dat ik de 'central limit theorem' moet gebruiken, dus: Waarbij: Waardoor: Alleen snap ik niet precies hoe je dit moet uitrekenen. Gewoon invoeren levert een negatief getal op, dus dat werkt sowieso niet. De uitwerkingen zeggen dat het ongeveer 0,06 moet zijn, maar ik zie niet echt in hoe. Iemand die me kan helpen? Weet iemand trouwens ook waarom die } blijft staan bij de laatste latex-formule? Voor zover ik zie is er niks mis met mijn code? Edit: Laat maar, snap het al. Hoefde blijkbaar enkel een tabel af te lezen. [ Bericht 3% gewijzigd door Rezania op 28-09-2014 19:02:41 ] | |
zerak | zondag 28 september 2014 @ 17:10 |
Nog bedankt . | |
Brainstorm245 | zondag 28 september 2014 @ 17:43 |
Hallo Aankomende dinsdag heb ik een tentamen voor het vak wiskunde 1. Ik ben niet een meester in het vak, maar ik moet het halen om door te kunnen gaan met mijn opleiding... Ik loop vast bij een aantal zaken binnen de kaders van het theorie van het boek, in plaats van alles over te tikken heb ik netjes foto's gemaakt van de betreffende bladzijden en met paint onderstreept/omcirkeld met een rode kwast om aan te duiden wat ik niet begrijp (waar ik vast loop). | |
Riparius | zondag 28 september 2014 @ 18:23 |
Je zult toch echt wat meer moeite moeten doen om uit te leggen wat je precies niet begrijpt. Alleen een paar foto's posten met rode kringen om een heel stuk tekst en dan zeggen dat je daar vastloopt helpt niet echt, en al helemaal niet als je twee niet opeenvolgende bladzijden post terwijl daar wordt verwezen naar bijvoorbeeld formules op de tussenliggende bladzijden. De afkorting w.r.t. staat voor with regard to of with respect to 'met betrekking tot'. In het Nederlands spreken we over differentiëren naar een variabele. Maar goed, ik vrees het ergste voor je, want als je al niet begrijpt dat f(1) = 7 als is gegeven dat f(x) = x5 + 3x3 + 6x − 3 dan zul je de rest van de tekst inderdaad ook niet kunnen begrijpen. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 28-09-2014 18:29:25 ] | |
Brainstorm245 | zondag 28 september 2014 @ 18:47 |
Nee, ik wist niet waarom het zo belangrijk moest zijn.. Maar goed.. Ik snap het in het begin niet wat er gedaan wordt, want met die leibniz notatie er tussen door die vermenigvuldigt wordt met f(y) brengt mij in verwarring | |
Riparius | zondag 28 september 2014 @ 19:21 |
Dat blijkt. Kijk nog eens goed naar de grafiek van die functies f en g die elkaars inverse zijn (figuur 1 op je foto). De grafieken van twee functies die elkaars inverse zijn, zijn elkaars spiegelbeeld bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x (gestreept weergegeven in de figuur). Dit heb ik overigens onlangs nog uitgelegd. Als we hebben y0 = f(x0) dan is hier ook x0 = g(y0) Dus, het punt P(x0, y0) ligt op de grafiek van f en het punt Q(y0, x0) ligt op de grafiek van g die de inverse is van f. Nu zijn de afgeleiden van f(x) voor x = x0 en van g(y) voor y = y0 niets anders dan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt P resp. de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van g in het punt Q, en deze raaklijnen zijn uiteraard elkaars spiegelbeeld bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x. Ook is het zo dat het product van de richtingscoëfficiënten van twee rechte lijnen die elkaars spiegelbeeld zijn bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x gelijk is aan 1 (mits deze lijnen niet parallel zijn aan de coördinaatassen) zodat we dus hebben g'(y0)·f'(x0) = 1 Maar nu is y0 = f(x0) zodat we hiervoor kunnen schrijven g'(f(x0))·f'(x0) = 1 Welnu, als je dus een inverteerbare functie f(x) = x5 + 3x3 + 6x − 3 hebt waarvoor f(1) = 7, en je noemt de inverse functie van deze functie g, dan kun je dus g'(7) = g'(f(1)) = 1/f'(1) toch berekenen, hoewel je geen expliciet functievoorschrift voor g op kunt stellen. Misschien helpt het als je even begint deze post van mij over de kettingregel in de notaties van Leibniz en Lagrange goed door te nemen. Je moet door en door vertrouwd raken met de notaties van Lagrange en Leibniz, en niet van je stuk raken als deze worden gecombineerd. | |
BroodjeKebab | zondag 28 september 2014 @ 19:46 |
Als ik een prijsfunctie heb, waarvan de equilibrium: P = a - bQ = A + 2BQ is.. De equilibrium voor Q is dan: (a - A) / (b + 2B) Hoe bereken ik de equilibrium voor P? | |
BroodjeKebab | zondag 28 september 2014 @ 19:53 |
HELP IK HEB MORGEN TOETS!! | |
Janneke141 | zondag 28 september 2014 @ 19:53 |
De uitdrukking die je gevonden hebt voor Q vul je in in één van beide prijsfuncties. Welke maakt niet uit; je hebt immers het punt berekend waar het gelijk is. Het kan trouwens ook anders: zie hier En hou je gemak een beetje als er niet binnen vijf minuten iemand reageert | |
BroodjeKebab | zondag 28 september 2014 @ 20:06 |
Dat heb ik begrepen maar stel ik vul het in in --> a - bQ dan krijg ik niet het juiste antwoord: a - [(ab - Ab) / (b + 2B)] Q invullen en vervolgens de teller vermenigvuldigen met b. Het antwoord moet zijn (2aB + Ab) / (b + 2B) | |
Janneke141 | zondag 28 september 2014 @ 20:09 |
Maak eens één breuk van jouw antwoord voor P? | |
BroodjeKebab | zondag 28 september 2014 @ 20:12 |
Hoe bedoel je? | |
BroodjeKebab | zondag 28 september 2014 @ 20:12 |
a - [(ab - Ab) / (b + 2B)] | |
Janneke141 | zondag 28 september 2014 @ 20:16 |
Dit is niet één breuk. Ik bedoel het volgende: a - [(ab - Ab) / (b + 2B)] = a(b+2B)/(b+2B) - [(ab - Ab) / (b + 2B)] = [a(b+2B) - ab+Ab] / (b+2B) = [ab+2aB-ab+Ab] / (b+2B) = (2aB+Ab) / (b+2B). Klaar. | |
BroodjeKebab | zondag 28 september 2014 @ 20:20 |
Oh op die fiets. Bedankt. Ik had nog een vraag over een ander onderwerp: Bij het impliciet differentiëren van x²y = 1 om zodoende dy/dx en d²y/dx² te vinden heb ik de eerste afgeleide volgens de productregel gevonden, maar hoe moet ik d²y/dx² vinden? 2x * y + x² * y' 2xy + x² * y' delen door x: 2y + xy' y' = -2y/x | |
netchip | zondag 28 september 2014 @ 20:25 |
Hoe zou je een vergelijking als: 0.1x4+0.1x3-12x2-25x-50 = 0, exact kunnen oplossen? Wij moeten dit nu met de Grafische Rekenmachine doen, maar ik bepaal de oplossing liever exact. Nog eentje: x3-4x2+3 = 0 | |
Janneke141 | zondag 28 september 2014 @ 20:32 |
Niet, tenzij er toevallig een makkelijke ontbinding in zit. Er bestaat wel een soort van abc-formule voor derde- en vierdegraadsvergelijkingen, maar die zijn te lelijk om te kunnen onthouden. Vanaf graad 5 gaat het sowieso niet meer. De onderste, x3-4x2+3 = 0, heeft een factor (x-1). Als je die eruit deelt houd je een kwadratische vergelijking over, en die kun je wel algebraïsch oplossen. | |
BroodjeKebab | zondag 28 september 2014 @ 20:41 |
Al opgelost! 11 | |
BroodjeKebab | zondag 28 september 2014 @ 20:48 |
Stel ik heb 1 - y' + 3y + 3xy' Wat is het beste om voor y' op te lossen? Welke kan ik het beste, qua min en plustekens, naar welke kant halen ? Ik weet wel hoe ik het moet oplossen voor y'.. Ik ben alleen benieuwd wat het handigst is? Het moet zijn, maar ik kwam uit op y' = (-3y - 1) / (3x -1) | |
t4rt4rus | zondag 28 september 2014 @ 20:51 |
Denk even na voor je wat gaat plaatsen, echt. Gaat bij jullie alles het ene oog in en het andere weer uit? Lees uitleg van Riparius eens helemaal goed door en blijf er over nadenken voordat je het ook echt snapt. Hij steekt er hartstikke veel werk in en ik heb het gevoel dat iedereen alleen maar het antwoord leest en dan weer een domme vraag stelt. | |
BroodjeKebab | zondag 28 september 2014 @ 20:52 |
Domme vraag? Omdat jij het snapt, wilt het niet zeggen dat het dom is. Ik lees alle posts van Riparius goed door.Maar ik blijf het lastig vinden. | |
netchip | zondag 28 september 2014 @ 20:53 |
Ik lees zijn posts ook, dus hij doet het niet voor niemand. | |
t4rt4rus | zondag 28 september 2014 @ 20:55 |
Ja een domme vraag. Kijk eens na het verschil tussen die van jouw en het antwoord en dan even er over nadenken... En als het geen domme vraag is, dan gaat alles dus echt het ene oog in en de andere eruit. Ik lees ze ook [ Bericht 18% gewijzigd door t4rt4rus op 28-09-2014 21:00:24 ] | |
BroodjeKebab | zondag 28 september 2014 @ 21:03 |
Ben er al uit.. thanks. | |
t4rt4rus | zondag 28 september 2014 @ 21:06 |
Zo ben je eruit dan -1 = -1? | |
netchip | zondag 28 september 2014 @ 21:07 |
Ah OK. Hoe berekent een GR dat eigenlijk? | |
BroodjeKebab | zondag 28 september 2014 @ 21:08 |
Ik heb een vraag over het differentieren van de eerste en tweede afgeleide: 'Find dy/dx and d²y / dx² by implicit differentiation when x-y+3xy = 2'' Ik deed het volgende: 1 - y' + 3y + 3xy' -y' + 3xy' = -3y - 1 y' = [1 + 3y] / [1-3x] Vervolgens 1 - y' + 3y + 3xy' verder afleiden: -y'' + 3y' + 3y' + 3xy'' y' invullen in de tweede afgeleide: -y'' + 3 * ( 1+6y)/(1-3x) + 3* ( 1+6y)/(1-3x) + 3xy'' -y'' + ( 3+6y)/(1-3x) + (3+6y)/(1-3x) + 3xy'' Herschrijven levert op: -y'' + ( 6+12y)/(1-3x) + 3xy'' y'' ( 3x - 1) = - (6 + 12y)/(1-3x) Hier loop ik vast.. | |
t4rt4rus | zondag 28 september 2014 @ 21:08 |
Met een "fixed-point" methode bijvoorbeeld. | |
GeschiktX | zondag 28 september 2014 @ 21:11 |
Er ontgaat mij hier iets, want waar is de y gebleven?: | |
t4rt4rus | zondag 28 september 2014 @ 21:12 |
Zonder context weten wij dat ook niet. | |
Janneke141 | zondag 28 september 2014 @ 21:13 |
Kwijt. Wellicht dat alle andere dingen die op de pagina staan en die je hier hebt weggelaten, wel duidelijk maken waar ie heen is. | |
GeschiktX | zondag 28 september 2014 @ 21:13 |
| |
t4rt4rus | zondag 28 september 2014 @ 21:14 |
Jezus plaats dan gewoon gelijk alles. | |
Janneke141 | zondag 28 september 2014 @ 21:14 |
Links en rechts vermenigvuldigen met -1 levert y'' ( 1 - 3x) = (6 + 12y)/(1-3x) Links en rechts delen door (1 -3x): y" = (6 + 12y)/(1-3x)2 Veel mooier wordt ie niet, lijkt me. | |
BroodjeKebab | zondag 28 september 2014 @ 21:16 |
Dat dacht ik dus ook (ongeveer).. Maar het bleek dus dit te zijn: Hoezo mag je als je een breuk deelt door, in dit geval, (1 -3x) hem toevoegen aan de noemer? Dit is wellicht een regel die ik of vergeten ben of mij ontgaan is... edit: zeker omdat je hem mag vermenigvuldigen als je 'het' omkeert? | |
t4rt4rus | zondag 28 september 2014 @ 21:18 |
... | |
BroodjeKebab | zondag 28 september 2014 @ 21:20 |
Het gaat hier om delen en niet vermenigvuldigen. | |
netchip | zondag 28 september 2014 @ 21:21 |
Linkje voor vragen over impliciet differentieren: http://web.mit.edu/wwmath/calculus/differentiation/implicit.html | |
t4rt4rus | zondag 28 september 2014 @ 21:22 |
| |
BroodjeKebab | zondag 28 september 2014 @ 21:22 |
Theorie vind ik easy. Als ik het in de praktijk moet brengen, maak ik fouten.. | |
BroodjeKebab | zondag 28 september 2014 @ 21:22 |
Thanks. | |
t4rt4rus | zondag 28 september 2014 @ 21:23 |
Ik zie het... | |
GeschiktX | zondag 28 september 2014 @ 21:24 |
Waar is de y gebleven? | |
t4rt4rus | zondag 28 september 2014 @ 21:26 |
Vroeg je net ook al. Kom dan met de hele vraag. | |
GeschiktX | zondag 28 september 2014 @ 21:28 |
dy/dx en d²y/dx² vinden van y5 = x6 | |
Janneke141 | zondag 28 september 2014 @ 21:31 |
Dus y=x6/5. Dat is in dit geval nogal relevante informatie, want 6x5 / 5y4 = 6x5 / 5x(6/5)*4 = (6/5)x1/5 (want 5 - 24/5 = 1/5) De tip van de week is dus: plaats bij je volgende vraag meteen alle relevante informatie. | |
GeschiktX | zondag 28 september 2014 @ 21:36 |
Oké hartstikke bedankt voor je tijd en moeite. Is het erg als ik nog twee vragen stel? Heb je daar tijd voor ? | |
Janneke141 | zondag 28 september 2014 @ 21:37 |
Je kunt het altijd proberen. Ik geef geen garanties af of er ook een antwoord komt. | |
GeschiktX | zondag 28 september 2014 @ 21:43 |
Want? Maar goed... Mijn eerste vraag is: ''A curve in the uv-plane is given bij u² + uv - v³ = 0. compute dv/du by implicit differentiation. Find the point (u,v) on the curve where dv/du = o and u =/ 0'' Ik ben hier allereerst opzoek gegaan naar de afgeleide en dat is: 2u + v + uv' - 3v² * v' = 0 v' ( u - 3v² ) = -2u - v v' = (-2u - v) / (u - 3v²) Ik moet dus nu erachter zien te komen wanneer dv /du en dat is bij +2u Maar dan loop ik hier vast.. met wat ik vervolgens moet gaan doen.. Mijn tweede vraag is het volgende: Hoe komen ze aan (y')², ik kwam daar toch echt bij alleen y' uit... | |
Janneke141 | zondag 28 september 2014 @ 21:43 |
Want? Dit is geen aangenomen werk. | |
Janneke141 | zondag 28 september 2014 @ 22:01 |
Ik heb even een zinnetje uit je post onderstreept, omdat ik niet begrijp wat er staat. Of misschien begrijp je het zelf wel niet en klopt daarom je formulering niet, dat kan ook. In ieder geval, ik heb je afleiding niet nagerekend, ik gok er maar op dat die klopt. Je zoekt naar een plek waar dv/du=0, en dat is dus ergens op de lijn met vergelijking -2u-v=0. Maar je weet dat je gezochte punt óók op de kromme moet liggen, dus dat u² + uv - v³ = 0 Nu heb je 2 vergelijkingen met 2 onbekenden, en die kun je oplossen. | |
GeschiktX | zondag 28 september 2014 @ 22:28 |
Ik heb het niet begrepen. Sorry | |
Riparius | zondag 28 september 2014 @ 22:43 |
Het is maar de vraag of je de oplossingen van deze vergelijking nog steeds liever exact bepaalt nadat ik je heb laten zien hoe dit gaat. Voor de oplossing van een vierdegraadsvergelijking bestaan verschillende methoden waar ook weer allerlei varianten op bestaan, maar in de literatuur vind je vooral de methoden die zijn aangegeven door (in chronologische volgorde) Ferrari, Descartes en Euler. De oudste methode van Ferrari (een leerling en protégé van Cardano) is wel het eenvoudigst en heeft tevens het voordeel dat we de vergelijking niet eerst in gereduceerde vorm hoeven te brengen (een gereduceerde vierdemachtsvergelijking is een vergelijking waarin de term met x3 ontbreekt). Als je een indruk wil krijgen van de manier waarop deze methode werkt, dan kan ik je aanraden deze post van mij eens door te nemen. In deze post gaat het over de oplossing van een klassiek probleem, het probleem van de kruisende ladders: in een nauwe steeg staan twee ladders van resp. 2 en 3 meter lang waarbij de onderzijde van elke ladder op de grond tegen de muur aan staat terwijl de bovenzijde van elke ladder tegen de muur aan de andere kant van de steeg steunt. In zijaanzicht kruisen de ladders elkaar op een hoogte van precies 1 meter boven de bestrating van de steeg, en gevraagd wordt nu de exacte breedte van de steeg te bepalen. Dit vraagstuk leidt tot een vierdegraadsvergelijking die niet eenvoudig is op te lossen. Derdegraadsvergelijkingen oftewel kubische vergelijkingen kun je in het algemeen oplossen met een methode die gewoonlijk naar Cardano wordt vernoemd, maar die niet door hem is bedacht, maar wel als eerste door hem in 1545 is gepubliceerd. In zijn boek gaf Cardano ook een methode voor de oplossing van vierdegraadsvergelijkingen zoals die door zijn leerling Ferrari was ontwikkeld. Voor een complete uitleg van de naar Cardano vernoemde methode voor de oplossing van een kubische vergelijking verwijs ik je naar deze post van mij. Als een derdegraadsvergelijking (met reële coëfficiënten) echter drie (verschillende) reële oplossingen heeft, dan geven de formules die de oplossingen uitdrukken deze oplossingen weer in de vorm van derdemachtswortels uit complexe getallen, die in het algemeen niet op een algebraïsche manier zijn te herleiden, en pogingen om dat wel te doen voeren dan tot een derdemachtsvergelijking die equivalent is met de oorspronkelijke, zodat je dan weer terug bent bij af. Daarom noemde men deze patstelling bij de oplossing van kubische vergelijkingen casus irreducibilis. Deze patstelling werd doorbroken door Viète, die liet zien dat de kubische vergelijking dan met behulp van goniometrie toch is op te lossen. Pas veel later is men echt gaan begrijpen hoe dit kan en waarom dit zo is, zie hier. De kubische vergelijking die je hier geeft is echter eenvoudig exact op te lossen, want zoals Janneke al heeft aangegeven is x = 1 een oplossing van deze vergelijking, en dat houdt in dat het polynoom x3 − 4x2 + 3 een factor (x − 1) bevat. Deze factor kunnen we nu buiten haakjes halen, als volgt x3 − 4x2 + 3 = 0 x2(x − 1) − 3x2 + 3 = 0 x2(x − 1) − 3x(x − 1) − 3x + 3 = 0 x2(x − 1) − 3x(x − 1) − 3(x − 1) = 0 (x − 1)(x2 − 3x − 3) = 0 x − 1 = 0 ∨ x2 − 3x − 3 = 0 Nu gaan we verder met het oplossen van de vierkantsvergelijking, en dat kan bijvoorbeeld als volgt (methode van Sridhara): x2 − 3x − 3 = 0 4x2 − 12x − 12 = 0 (2x − 3)2 − 9 − 12 = 0 (2x − 3)2 = 21 2x − 3 = ±√21 x = 3/2 ± ½√21 De kubische vergelijking x3 − 4x2 + 3 = 0 heeft dus drie reële oplossingen x1 = 1, x2 = 3/2 + ½√21, x3 = 3/2 − ½√21. Uit de coëfficiënten van de kubische vergelijking is af te lezen dat moet gelden x1 + x2 + x3 = 4 en x1x2x3 = −3 en je kunt gemakkelijk nagaan dat dit inderdaad klopt. | |
Riparius | maandag 29 september 2014 @ 02:22 |
Impliciet differentiëren van v naar u van de betrekking geeft en dus zodat De voorwaarde v' = 0 geeft nu en samen met de betrekking hebben we nu een stelsel van twee vergelijkingen in de twee onbekenden u en v, en dit stelsel moeten we oplossen, onder de additionele voorwaarde dat u ≠ 0 moet zijn. Uit 2u + v = 0 volgt v = −2u, en substitutie hiervan in u2 + uv − v3 = 0 geeft De oplossing u = 0 komt te vervallen zodat we u = 1/8 vinden, en aangezien v = −2u is dan v = −1/4. De coördinaten van het gevraagde punt zijn dus Voor de andere oplossing u = 0, v = 0 van bovenstaand stelsel is v' niet gedefinieerd, zodat je nu ook begrijpt waarom de voorwaarde u ≠ 0 werd gesteld. Nee, je volgt de regels niet correct. Differentiëren van 5y4y' naar x met behulp van de productregel en de kettingregel geeft Wijzig je nick maar in | |
Riparius | maandag 29 september 2014 @ 06:51 |
Dit is al direct fout, want in de opgave heb je een gelijkheid en hier zie ik geen =-teken meer. We hebben Impliciet differentiëren naar x geeft Nu beginnen we weer met Wederom impliciet differentiëren naar x geeft oftewel Substitutie van de eerder gevonden uitdrukking voor y' geeft nu en dus Nu lossen we y op uit de betrekking dit geeft en dus Tenslotte substitueren we deze uitdrukking voor y in de eerder gevonden uitdrukking voor y'' en dit geeft Teller en noemer van dit quotiënt vermenigvuldigen met (1 − 3x) geeft en dus | |
Janneke141 | maandag 29 september 2014 @ 09:07 |
Nergens voor nodig, dit. Triest. | |
GeschiktX | maandag 29 september 2014 @ 09:17 |
Duidelijk. Dank. Hoezo komt u = 0 te vervallen.. ? De noemer is niet 0, ookal is u 0 | |
Janneke141 | maandag 29 september 2014 @ 09:21 |
Stond als voorwaarde in de opgave. | |
GeschiktX | maandag 29 september 2014 @ 09:40 |
Oke bedankt! | |
Brainstorm245 | maandag 29 september 2014 @ 09:48 |
Weet iemand hoe in het begin het boek komt op f'(Y) dY/dI + 1? Ik had namelijk f'(Y) + 1 Ongeveer aan het eind van de eerste alinea (totaan het eind van de rode cirkel) staat er 'easy algebra yields'' ...... Ik kwam zelf daar uit op: f'' (y) / [1 - f'[Y)]² + f'(y) d²Y/dI² [ Bericht 38% gewijzigd door Brainstorm245 op 29-09-2014 10:05:08 ] | |
t4rt4rus | maandag 29 september 2014 @ 10:28 |
Laat eens zien wat je gedaan hebt, anders weten wij ook niet waar je fout gaat. En graag, zoals veel vaker gezegd wordt hier, een duidelijke structuur met een goede uitleg wat je doet. Je hoeft hier niet per woord te betalen. | |
Brainstorm245 | maandag 29 september 2014 @ 10:32 |
Bij de eerste: Y = f(Y) + I dY/dI = f'(Y) + 1 (gewoon de somregel toepassen) Bij de tweede ben ik er al uit. | |
t4rt4rus | maandag 29 september 2014 @ 10:36 |
Ken je de productregel en kettingregel ook? | |
Brainstorm245 | maandag 29 september 2014 @ 10:36 |
ja en ook de chain rule | |
t4rt4rus | maandag 29 september 2014 @ 10:37 |
Pas die eens toe. | |
Brainstorm245 | maandag 29 september 2014 @ 10:39 |
Ik kan niet inzien waarom ik de productregel moet toepassen? Want de afgeleide van f(Y) is toch gewoon f'(Y) of is het omdat ik een 'functie' differentieer en dat ik bijv moet zien als u² en het daarom is dat je de afgeleide van de functie neemt en daarna de afgeleide van Y? | |
t4rt4rus | maandag 29 september 2014 @ 10:43 |
"w.r.t. I" niet "w.r.t. Y" Dus je moet nog de kettingregel toepassen en dan krijg je precies de vergelijking van de opgave. | |
Brainstorm245 | maandag 29 september 2014 @ 10:44 |
Wat bedoelen ze met w.r.t. I? Ik weet dat het betekent: With Respect to .. maar... ik begrijp de bedoeling niet | |
t4rt4rus | maandag 29 september 2014 @ 10:52 |
Je moet afleiden naar I. De afgeleide van Y naar I is De afgeleide van f(Y) naar I is Kan je eens uitleggen wat de kettingregel is? | |
Brainstorm245 | maandag 29 september 2014 @ 10:55 |
Ik heb deze regels altijd in een y' etc notatie geleerd (heel kort door de bocht) en de leibniz notatie maakt het mij moeilijk. Ik zag in eerdere reeksen wat uitleg van een user genaamd Ripurias, maar dat vond ik te ingewikkeld, ondanks dat hij wel zijn best deed. Ik snap dus niet wat er bedoelt wordt, met 'afleiden naar I ' etc.. Excuus als het dom overkomt. De kettingregel: f'(x)=g'(h(x))·h'(x) Zo heb ik dat tenminste geleerd. Gewoon recht door zee, zonder leibniz notaties.. Echter stoot ik mij nu tegen het hoofd doordat als je de leibniz notatie begrijpt, je in principe heel makkelijk kan differentiëren... [ Bericht 4% gewijzigd door Brainstorm245 op 29-09-2014 11:01:15 ] | |
t4rt4rus | maandag 29 september 2014 @ 11:03 |
En die is equivalent met Maar waarom kan je die niet toepassen op f(Y)? Y is afhankelijk van I en dan kan je dat schrijven als f(Y(I)), kan je hierop de kettingregel uitvoeren die jij kent? | |
Brainstorm245 | maandag 29 september 2014 @ 11:07 |
df/dx = d f(Y) / dI | |
t4rt4rus | maandag 29 september 2014 @ 11:11 |
Nee dat klopt niet. Ten eerste is er helemaal geen x. Maar kan je de afgeleide naar x nemen van f(x) = g(h(x))? (hint: het antwoord heb je al in je vorige post staan...) En nu verander je alleen de symbolen en moet je de afgeleide nemen van f(Y(I)) naar I. | |
Riparius | maandag 29 september 2014 @ 11:13 |
Dat is fout. Dit is echt een stukje hopeloze economenwiskunde (Y zelf uitdrukken als functie van Y plus nog een term I, waarbij dan Y afhangt van I), maar goed, ik ga een poging doen het je duidelijk te maken. In de notatie van Leibniz hebben we Ik heb hier gebruik gemaakt van de somregel en van de kettingregel. Als je deze herleiding of de gebezigde notatie niet begrijpt, dan moet je echt deze post van mij eens heel goed bestuderen. Dit kan niet, want ik zie geen =-teken, waar is dat gebleven? Hier wordt een uitdrukking voor d2Y/dI2 afgeleid, dus dan had je op zijn minst een gelijkheid op kunnen schrijven met als linkerlid d2Y/dI2 en dan in het rechterlid uiteraard niet d2Y/dI2. Ik heb dus niet het idee dat je je erg inspant om het te begrijpen. We hebben Nu substitueren we dY/dI = 1/(1 − f'(Y)) zodat we krijgen Vervolgens trekken we van beide leden f'(Y)·d2Y/dI2 af, zodat we krijgen Nu kunnen we in het linkerlid een factor d2Y/dI2 buiten haakjes halen, dit geeft Tot slot delen we beide leden door [1 − f'(Y)], en zie daar | |
Brainstorm245 | maandag 29 september 2014 @ 11:16 |
Hoe kom je aan * dY / dI ofwel y' ? Ik ga je post even goed bestuderen. Het ziet er iig veelbelovend uit. | |
t4rt4rus | maandag 29 september 2014 @ 11:17 |
Kettingregel -_- Als je trouwens één regel verder leest, legt Riparius dat ook gewoon uit. | |
Brainstorm245 | maandag 29 september 2014 @ 11:31 |
x [ Bericht 100% gewijzigd door Brainstorm245 op 29-09-2014 11:34:52 ] | |
Brainstorm245 | maandag 29 september 2014 @ 11:34 |
Ik heb het al. Bedankt | |
Riparius | maandag 29 september 2014 @ 11:36 |
Ga nu eerst mijn verhaal over de kettingregel en de notaties van Leibniz en Lagrange maar eens serieus bestuderen, en als je dan nog vragen hebt dan kun je die hier stellen. | |
Brainstorm245 | maandag 29 september 2014 @ 11:37 |
Oké. | |
Super-B | maandag 29 september 2014 @ 11:41 |
''Vind dQ/dP bij Q * p1/2 door impliciet te differentiëren. '' Allereerst Q = 38 / p1/2 dQ / dP = dQ/dP * p1/2 + Q * 1/2p-1/2 Q = 38 / p1/2 Dus dat kan ik invullen. dQ / dP = dQ/dP * p1/2 + 38 / p1/2 * 1/2p-1/2 dQ / dP (p1/2 + 1) = 38 / p1/2 * 1/2p-1/2 Vervolgens weet ik niet meer wat te doen.. | |
Riparius | maandag 29 september 2014 @ 11:45 |
De crux is hier dat je inziet dat Als we hier bijvoorbeeld f(Y) = Z substitueren, dan staat er Houd dit maar even in gedachten als je mijn uiteenzetting bestudeert. | |
t4rt4rus | maandag 29 september 2014 @ 11:47 |
Kan je de hele opgave eens plaatsen? | |
Super-B | maandag 29 september 2014 @ 11:49 |
''According to Herman Wold, the demand Q for butter in Stockholm during the period 1925-1937 was related to the price by P by the equation Q * p1/2 = 38. Find dQ/dP by implicit differentiation. Check the answer by using a different method to compute the derivative. '' | |
Brainstorm245 | maandag 29 september 2014 @ 11:53 |
Even tussen het lezen door: Stel ik zou hebben g(f(x)) = x Dan zou het in leibniz notatie het volgende moeten zijn toch?: dg/dx = dg/df * df/dx ? | |
Riparius | maandag 29 september 2014 @ 12:03 |
Als je met de notatie van Leibniz werkt, dan moet je niet namen van functies als variabelen gebruiken (ja, dat wordt soms gedaan, maar het is niet correct). Hier zou je kunnen schrijven Bedenk ook dat f en g elkaars inverse zijn als je hebt g(f(x)) = x en dat je dan ook hebt en dus oftewel | |
t4rt4rus | maandag 29 september 2014 @ 12:07 |
Geen idee wat je in je vorige post aan het doen was. Maar je moet dus impliciet differentiëren. De eerste stap is dan Kan jij nu verder? | |
Brainstorm245 | maandag 29 september 2014 @ 12:22 |
Hmm volgende keer beter opletten dan.. Het viel mij inderdaad ook op dat g(f(x)) = x elkaars inverse zijn, alleen het is mij niet duidelijk de afgeleide gelijk is aan 1? Kun je daar een voorbeeld van geven? | |
t4rt4rus | maandag 29 september 2014 @ 12:31 |
Je hebt de functie g(x) = x, de afgeleide daarvan is 1... | |
Brainstorm245 | maandag 29 september 2014 @ 12:38 |
Aha top, duidelijk! Nog één vraagje m.b.t. inverse: Stel ik heb een functie f(x) = x5 3x³ + 6x - 3 en f heeft een inverse functie van g en ik moet g'(7) vinden. Ik moet dan sowieso de formule: g'(y) = 1 / f'(x) gebruiken waarbij y = f(x) Invullen levert dus op: g'(7) = 1 / f'(x) Hoe kom ik achter x ? | |
Janneke141 | maandag 29 september 2014 @ 12:43 |
Vraag is al beantwoord, namelijk hier. | |
Brainstorm245 | maandag 29 september 2014 @ 12:44 |
Ow die post is mij ontgaan! Excuus!! | |
Brainstorm245 | maandag 29 september 2014 @ 12:46 |
Tuurlijk begrijp ik dat wel, maar stel nou dat ''note f(1) = 7'' er niet stond, hoe zou ik x van f(x) dan moeten berekenen? | |
t4rt4rus | maandag 29 september 2014 @ 12:47 |
f(1) uitrekenen... | |
Brainstorm245 | maandag 29 september 2014 @ 12:48 |
Ja maar er staat find g'(7), als ik de functie zou zien, zou ik echt niet uit mijn hoofd weten dat f(1) = 7.. en dat ik dus überhaupt 1 nodig hebt en geen ander getal... (dus vanuitgaand dat die NOTE er niet bij stond..) En sowieso...: het gaat om g'(7), dus waarom moet je een getal in f(x) invullen en niet in f'(x) ? | |
Riparius | maandag 29 september 2014 @ 12:53 |
Je hebt net gezien dat als twee functies f en g elkaars inverse zijn, dat dan geldt en dus welnu, in je opgave is f(1) = 7, en dus oftewel | |
Brainstorm245 | maandag 29 september 2014 @ 12:56 |
Het gaat om g'(7), dus waarom moet je een getal in f(x) invullen om 7 (dat is g(7) lijkt mij ipv g('7) )te krijgen en niet in f'(x)? | |
RustCohle | maandag 29 september 2014 @ 13:04 |
Ln Q = a -b Ln P a) Express Q as a function of P, and show that dQ / dP = -bQ/P Ik deed het volgende: Vermenigvuldigen met e: Q = ea-b ln P = ea (eln P) -b = ea P-b En vervolgens de productregel: ea * -bP-b-1 + ea * P-b Nu loop ik een beetje vast.. ? | |
Riparius | maandag 29 september 2014 @ 13:05 |
Lees mijn uitgebreide uitleg hier nog eens en kijk naar het plaatje in je boek. Het punt (1, 7) ligt op de grafiek van f en het punt (7, 1) ligt op de grafiek van g. Verder is het product van de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen aan de grafiek van f in het punt (1, 7) en aan de grafiek van g in het punt (7, 1) gelijk aan 1, dus g'(7)·f'(1) = 1. Vergeet niet dat je geen expliciet functievoorschrift hebt voor g, dus hoe zou je g'(7) anders willen bepalen? | |
t4rt4rus | maandag 29 september 2014 @ 13:06 |
Kan je nou lezen? Het is niet vermenigvuldigen met ln of e, damn. Dit is ook al zo vaak gezegd. | |
RustCohle | maandag 29 september 2014 @ 13:07 |
Ben even de terminologie ervoor vergeten. | |
Anoonumos | maandag 29 september 2014 @ 13:10 |
Productregel? ea is geen functie van P dus de afgeleide is heel eenvoudig (geen productregel nodig). | |
RustCohle | maandag 29 september 2014 @ 13:12 |
Hoe bedoel je? Hoe moet ik het dan zien? | |
t4rt4rus | maandag 29 september 2014 @ 13:15 |
Omdat er niet gezegd wordt dat a van P afhangt. Als dat trouwens wel zo is, doe je de productregel ook nog eens fout ook. En je begint met "en vervolgens de productregel", maar zegt niet dat je de afgeleide aan het nemen bent. Leer nou eens duidelijk beschrijven wat je aan het doen bent. | |
RustCohle | maandag 29 september 2014 @ 13:17 |
Hoeft toch ook niet, stel er is een functie y = z² g² Dan zou je om de afgeleide te bepalen toch ook gewoon de productregel toepassen.. |