[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

quote:

Op woensdag 17 september 2014 20:21 schreef Riparius het volgende:

[..]

Probeer niet te denken in termen van recepten maar in termen van concepten.

[..]

Geef eens een concreet voorbeeld van een functie waarbij je een symmetrie-as van de grafiek van die functie wil bepalen. Bedenk dat een grafiek van een functie overigens helemaal geen symmetrie-as hoeft te hebben.

Ik wil graag weten wat ik moet doen om die f(a+x) = f(a-x) te controleren.

quote:

Op woensdag 17 september 2014 20:33 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Ik wil graag weten wat ik moet doen om die f(a+x) = f(a-x) te controleren.

Aantonen dat f(a+x) en f(a-x) aan elkaar gelijk zijn ongeacht de waarde van x (mits a+x en a-x beide deel uitmaken van het domein van de functie).

Maar nogmaals, als je geen concreet voorbeeld geeft is ook niet te illustreren hoe dit in zijn werk gaat.

quote:

Op woensdag 17 september 2014 20:37 schreef Riparius het volgende:

[..]

Aantonen dat f(a+x) en f(a-x) aan elkaar gelijk zijn ongeacht de waarde van x (mits a+x en a-x beide deel uitmaken van het domein van de functie).

Maar nogmaals, als je geen concreet voorbeeld geeft is ook niet te illustreren hoe dit in zijn werk gaat.

-x² + 2x + 4

quote:

Op woensdag 17 september 2014 20:41 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

-x² + 2x + 4

Als f(x) = -x² + 2x + 4,

Dan is
f(a+x) = -(a+x)² + 2(a+x) + 4, en
f(a-x) = -(a-x)² + 2(a-x) + 4

En dan kan je met uitschrijven aantonen dat dat vast wel aan elkaar gelijk is - als je het goede symmetrie-punt hebt gevonden, de juiste a dus. Bij f hoort een parabool, waar vind je dan de symmetrie-as?

Maar wat zeggen nu precies de uitdrukkingen f(a+x) en f(a-x). Hoe liggen die ten opzichte van f(a) en wat zegt dat over symmetrie?

quote:

Op woensdag 17 september 2014 20:41 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

-x² + 2x + 4

Een kwadratische functie, in dit geval

f(x) = −x² + 2x + 4

geeft als grafiek altijd een parabool met een verticale symmetrie-as. Je kunt hier gebruik maken van het feit dat de functie

f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0

een parabool geeft met de lijn met vergelijking

x = −b/2a

als verticale symmetrie-as. In jouw voorbeeld is a = −1, b = 2, c = 4, en dus −b/2a = (−2)/(−2) = 1, zodat de lijn met vergelijking

x = 1

de verticale symmetrie-as is van de grafiek. Voor de functie betekent dit dat elk paar waarden van de onafhankelijke variabele dat symmetrisch ligt ten opzichte van het getal 1 dezelfde functiewaarde oplevert, dus geldt voor elke u

f(1 + u) = f(1 − u)

Om dit te bewijzen, vullen we eerst x = 1 + u in in het functievoorschrift, en dan x = 1 − u, en uiteraard moet er dan hetzelfde uit komen. Welnu, we hebben

f(1 + u) = −(1 + u)² + 2(1 + u) + 4 = −1 − 2u − u² + 2 + 2u + 4 = −u² + 5

en we hebben

f(1 − u) = −(1 − u)² + 2(1 − u) + 4 = −1 + 2u − u² + 2 − 2u + 4 = −u² + 5

zodat inderdaad

f(1 + u) = f(1 − u)

QED

Je kunt ook met kwadraatafsplitsing werken om het functievoorschrift eerst te herleiden, en dan hebben we

f(x) = −x² + 2x + 4 = −(x² − 2x − 4) = −((x − 1)² − 1 − 4) = −(x − 1)² + 1 + 4 = −(x − 1)² + 5, dus

f(x) = −(x − 1)² + 5

Nu zie je veel gemakkelijker dat

f(1 + u) = −(1 + u − 1)² + 5 = −u² + 5

en

f(1 − u) = −(1 − u − 1)² + 5 = −u² + 5

Uit het functievoorschrift

f(x) = −(x − 1)² + 5

kun je direct aflezen dat de grafiek van deze kwadratische functie een bergparabool is met als top het punt met de coördinaten (1, 5). De functiewaarde bereikt immers een maximum van 5 voor x = 1, aangezien de term −(x − 1)² steeds negatief is, behalve voor x = 1, dan is deze term gelijk aan 0.

Als de grafiek van de functie f(x) = y met c naar rechts geschoven wordt, hoe verandert de grafiek
van de inverse f⁻¹(y) precies?

Ik heb zelfs het antwoord gezien en ik begrijp het antwoord niet eens..:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Hoezo is ln (e^-9) = -9 ?

ln e^-9 = -9 * ln e = -9 *1 = -9

Geen kennis van de regels van de logaritme? Deze regels kan je natuurlijk ook gebruiken bij de natuurlijk logaritme.

quote:

Op donderdag 18 september 2014 09:40 schreef -J-D- het volgende:
ln e^-9 = -9 * ln e = -9 *1 = -9

huh?

quote:

Op donderdag 18 september 2014 09:40 schreef -J-D- het volgende:
ln e^-9 = -9 * ln e = -9 *1 = -9

Geen kennis van de regels van de logaritme? Deze regels kan je natuurlijk ook gebruiken bij de natuurlijk logaritme.

Jawel. Ln e = 1, maar die macht maakt het mij lastig..

quote:

Op donderdag 18 september 2014 09:41 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Jawel. Ln e = 1, maar die macht maakt het mij lastig..

Dan kan je de regels omtrent de logaritme niet.....
Bv. ^glog a^b = b * ^glog a

quote:

Op donderdag 18 september 2014 09:42 schreef -J-D- het volgende:

[..]

Dan kan ken je de regels omtrent de logaritme niet.....
Bv. ^glog a^b = b * ^glog a

Thanks!!

Het is 'ken' trouwens.

quote:

Op donderdag 18 september 2014 09:17 schreef BroodjeKebab het volgende:
Hoezo is ln (e^-9) = -9 ?

Het kan met de rekenregels van J-D, het kan ook rechtstreeks vanuit de definitie:

quote:

De logaritme van een bepaald getal is de exponent waarmee een constante waarde, het grondtal, moet worden verheven om dat bepaalde getal als resultaat te verkrijgen.

Omdat het grondtal van de ln het getal e is, kun je meteen zien dat ln (e^-9) = -9, kwestie van exponent aflezen.

Oh, en je leraar verbeteren is zelden een goed idee

quote:

Op donderdag 18 september 2014 10:00 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Thanks!!

Het is 'ken' trouwens.

Domme tikfout van me.

Als je je wilt inlezen over de rekenregels van de logaritmen dan kan je een begin maken met http://www.wisfaq.nl/pagina.asp?nummer=1925. Deze lijst is echter maar een begin en dekt niet de hele lading. Zonder deze basis is het onmogelijk om fatsoenlijk met de logaritmen te werken.
Veel succes.

quote:

Op donderdag 18 september 2014 12:29 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Oh, en je leraar verbeteren is zelden een goed idee

Dat verschilt per geval. Een correctie uitspreken op een nette manier hoeft niet altijd onoverkomelijk te zijn. Dat heb je toch wel eens gezien bij mij in de les? Als een tiran boven de groep hangen zonder ruimte voor een suggestie/weerwoord, is niet mijn stijl en ook niet die van jou, volgens mij

quote:

Op donderdag 18 september 2014 12:29 schreef -J-D- het volgende:
Dat verschilt per geval. Een correctie uitspreken op een nette manier hoeft niet altijd onoverkomelijk te zijn. Dat heb je toch wel eens gezien bij mij in de les? Als een tiran boven de groep hangen zonder ruimte voor een suggestie/weerwoord, is niet mijn stijl en ook niet die van jou, volgens mij

Hap hap, er staat niet voor niets een heuse smiley bij Ik maak deze grap tegen mijn leerlingen ook wel, en ze komen er meestal vrij snel achter hoe ik dat bedoel.

quote:

Op donderdag 18 september 2014 12:35 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Hap hap, er staat niet voor niets een heuse smiley bij Ik maak deze grap tegen mijn leerlingen ook wel, en ze komen er meestal vrij snel achter hoe ik dat bedoel.

Sorry, ik heb geen humor.

quote:

Op donderdag 18 september 2014 12:42 schreef -J-D- het volgende:

[..]

Sorry, ik heb geen humor.

Kun je niks aan doen, dat komt vaker voor bij wiskundeleraren.

quote:

Op donderdag 18 september 2014 08:46 schreef RustCohle het volgende:
Als de grafiek van de functie f(x) = y met c naar rechts geschoven wordt, hoe verandert de grafiek
van de inverse f⁻¹(y) precies?

Ik heb zelfs het antwoord gezien en ik begrijp het antwoord niet eens..:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

De uitleg is inderdaad niet duidelijk genoeg. Ze hadden op zijn minst moeten uitleggen dat de grafiek van een (inverteerbare) functie en van de inverse van die functie elkaars spiegelbeeld zijn bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x. Immers, bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x gaat een punt met coördinaten (x, y) over in het punt met coördinaten (y, x). Als nu het punt (x, y) op de grafiek ligt van een inverteerbare functie f, dan is y = f(x) en daarmee x = f⁻¹(y) zodat het punt (y, x) inderdaad op de grafiek van de inverse functie f⁻¹ van functie f ligt. Omgekeerd geldt voor een punt (y, x) op de grafiek van f⁻¹ dat het punt (x, y) op de grafiek van f ligt. En omdat dit geldt voor elk willekeurig gekozen punt (x, y) op de grafiek van f volgt dus inderdaad dat de grafiek van f⁻¹ het spiegelbeeld is van de grafiek van f bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x.

Welnu, als we de grafiek van f (niet de functie f(x) zoals in de tekst staat) met c eenheden opschuiven naar rechts (dat is: in de positieve richting van de x-as) dan krijgen we de grafiek van een andere functie, die we g kunnen noemen, en waarvoor geldt dat deze functie g steeds dezelfde functiewaarden heeft als f als we de onafhankelijke variabele x met c vermeerderen.

Kiezen we nu een willekeurig punt (x, y) dat op de grafiek van g ligt, zodat y = g(x), dan is dit punt (x, y) het beeld van een punt (x−c, y) op de grafiek van f, omdat we de grafiek van f immers c eenheden naar rechts hebben verschoven om de grafiek van g te krijgen. En aangezien het punt (x−c, y) op de grafiek van f ligt, geldt dus y = f(x−c) en daarmee g(x) = f(x−c).

Omdat het punt (x, y) op de grafiek van g ligt, ligt het spiegelbeeld (y, x) bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x op de grafiek van de inverse g⁻¹ van g, en is dus

(1) g⁻¹(y) = x

Maar nu zagen we ook dat het punt (x−c, y) op de grafiek van f ligt, en dat betekent dat het spiegelbeeld (y, x−c) van dit punt bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x op de grafiek van de inverse f⁻¹ van f ligt, dus

(2) f⁻¹(y) = x − c

en dus is

(3) x = f⁻¹(y) + c

Uit (1) en (3) volgt dus

(4) g⁻¹(y) = f⁻¹(y) + c

zodat we kunnen constateren dat de grafiek van g⁻¹ wordt verkregen door de grafiek van f⁻¹ met c eenheden omhoog (dat is: in de positieve richting van de y-as) te verschuiven. Meetkundig is dit natuurlijk volstrekt duidelijk: een translatie in de positieve richting van de x-as correspondeert met een translatie van het spiegelbeeld in de positieve richting van de y-as bij een spiegeling in de lijn met vergelijking y = x.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 19-09-2014 17:35:31 ]

quote:

Op donderdag 18 september 2014 09:17 schreef BroodjeKebab het volgende:
Hoezo is ln (e^-9) = -9 ?

Je moet altijd de definitie van de logaritme in het achterhoofd houden. Ik heb het al vaker gezegd en ik ga het nog een keer zeggen:

De natuurlijke logaritme van een getal is de exponent waartoe we e moeten verheffen om dat getal te verkrijgen.

Dus,

ln(e⁻⁹)

is de exponent waartoe we e moeten verheffen om e⁻⁹ te verkrijgen. En die exponent is −9 (duh!). Dus hebben we

ln(e⁻⁹) = −9

Je kunt uiteraard ook met formele rekenregels werken om dit resultaat te verkrijgen, zoals hier door anderen wordt aanbevolen, maar daar ben ik niet voor zolang je nog niet goed begrijpt wat een logaritme nu eigenlijk is, omdat het werken met logaritmen dan verwordt tot een mechanisch manipuleren van symbolen zonder dat je werkelijk begrijpt waar die symbolen voor staan, en dat is niet de bedoeling. En, opdat ik niet verkeerd worde begrepen: uiteraard dien je alle gangbare rekenregels voor het werken met logaritmen wel te kennen en ook te herkennen en te begrijpen zodat je deze regels te allen tijde kunt toepassen.

Waarom is

ln (x - 4) = y/4 gelijk aan (x-4) = e^y/4

quote:

Op donderdag 18 september 2014 22:09 schreef RustCohle het volgende:
Waarom is

ln (x - 4) = y/4 gelijk aan (x-4) = e^y/4

quote:

Op donderdag 18 september 2014 16:48 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je moet altijd de definitie van de logaritme in het achterhoofd houden. Ik heb het al vaker gezegd en ik ga het nog een keer zeggen:

De natuurlijke logaritme van een getal is de exponent waartoe we e moeten verheffen om dat getal te verkrijgen.

Dus,

ln(e⁻⁹)

is de exponent waartoe we e moeten verheffen om e⁻⁹ te verkrijgen. En die exponent is −9 (duh!). Dus hebben we

ln(e⁻⁹) = −9

Je kunt uiteraard ook met formele rekenregels werken om dit resultaat te verkrijgen, zoals hier door anderen wordt aanbevolen, maar daar ben ik niet voor zolang je nog niet goed begrijpt wat een logaritme nu eigenlijk is, omdat het werken met logaritmen dan verwordt tot een mechanisch manipuleren van symbolen zonder dat je werkelijk begrijpt waar die symbolen voor staan, en dat is niet de bedoeling. En, opdat ik niet verkeerd worde begrepen: uiteraard dien je alle gangbare rekenregels voor het werken met logaritmen wel te kennen en ook te herkennen en te begrijpen zodat je deze regels te allen tijde kunt toepassen.

Eén post boven je.

X

[ Bericht 100% gewijzigd door RustCohle op 19-09-2014 08:25:17 ]

Logx ^{e^2} = 2

Waarom ia dat x= e?

quote:

Op vrijdag 19 september 2014 08:26 schreef RustCohle het volgende:
Logx ^{e^2} = 2

Waarom ia dat x= e?

Als je met Logx, log_x bedoelt, lees dan die post van Riparius nog een keer door.
Maar dan verander je e in x en dan is het geen natuurlijk logaritme meer.

Daarnaast kan je je berichten gewoon aanpassen dus hoef je geen bericht met X erin te plaatsen.

quote:

Op vrijdag 19 september 2014 08:26 schreef RustCohle het volgende:
Logx ^{e^2} = 2

Waarom ia dat x= e?

Dat ia x=e omda logxe^2/3=5sqrt(pi).

quote:

Op vrijdag 19 september 2014 08:26 schreef RustCohle het volgende:
Logx ^{e^2} = 2

Waarom is dat x= e?

Laten we eens beginnen met je notatie. Voor de logaritme met een grondtal oftewel basis b van een getal a wordt in de Angelsaksische wereld, en dus ongetwijfeld ook in je Engelstalige boek,

log_b a

geschreven, en je ziet dat hier de basis b in subscript wordt genoteerd achter het generieke symbool log voor de logaritme. Ik ben altijd tegen deze notatie geweest, omdat vooral in handschrift het dan al heel gauw lijkt of er log ba staat, en dat is iets heel anders. En tegenwoordig heb je dan mensen zoals jij die niet weten hoe je een letter moet subscripten of daar gewoon te lui voor zijn, en dan krijg je dit soort ellende. Bovendien maak jij hier de ellende nog groter door het getal waarvan de logaritme moet worden genomen onterecht te superscripten, en dan is het hek van de dam.

In Nederland, maar ook in een aantal andere landen in Europa werd vroeger altijd gebruik gemaakt van de notatie

^blog a

voor de logaritme met grondtal b van het getal a, en dit is een veel betere notatie, omdat de basis nu niet verward kan worden met het getal waarvan we de logaritme nemen. Uiteraard moet je dan niet vergeten de basis te superscripten, zodat deze niet verward kan worden met een factor voor het log symbool.

Ook de formule voor het omzetten van een logaritme naar een andere basis is met deze notatie veel gemakkelijker te onthouden en op te schrijven, vooral als we de zogeheten kettingvorm gebruiken. Stel dat we

^blog a

willen uitdrukken in de logaritme van a met een ander grondtal g, dan schrijven we eerst de identiteit die we hiervoor gebruiken in de zogeheten kettingvorm

^glog b · ^blog a = ^glog a

en dan zien we meteen dat

^blog a = ^glog a / ^glog b

en in het bijzonder hebben we voor g = e dan

^blog a = ln a / ln b

Als je bovenstaande identiteit in kettingvorm in de Angelsaksische notatie zou willen opschrijven, dan heb je

log_g b · log_b a = log_g a

en dan zie je dat het hele kettingeffect weg is en dat je nu een formule hebt die je opeens niet meer gemakkelijk kunt memoriseren en opschrijven, en die dus ongetwijfeld fouten in de hand gaat werken. Kortom, niet gebruiken dus, die Angelsaksische notatie voor de basis van een logaritme.

Nu terug naar je vraag. Je wil kennelijk de vergelijking

^xlog(e²) = 2

oplossen. Welnu, de logaritme met een (positief) grondtal x van e² is per definitie de exponent waartoe we x moeten verheffen om e² te verkrijgen, en deze exponent moet volgens de vergelijking 2 zijn. Dus hebben we

x² = e²

en daarmee

x = e

En inderdaad is ^elog(e²) = ln(e²) = 2. Als je dit niet begrijpt dan begrijp je nog steeds niet wat een logaritme is.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 21-09-2014 03:24:51 ]

Ik vroeg me af waarom Ø (de empty set) één partitie heeft. Ik zou intuitief zeggen dat deze geen partities heeft. Komt het doordat elk element in Ø 'nonempty' is? Er zijn immers geen elementen in Ø.

[ Bericht 2% gewijzigd door zerak op 19-09-2014 19:52:50 ]

Van dit snap ik de overgang niet van een stap naar het ander.. hoe je dus opeens het volgende krijgt:





Tenslotte snap ik opgave b niet. Laatste zin vanaf ''omdat'' begrijp ik dus niet...

quote:

Op vrijdag 19 september 2014 21:47 schreef RustCohle het volgende:
[ afbeelding ]

Van dit snap ik de overgang niet van een stap naar het ander.. hoe je dus opeens het volgende krijgt:

[ afbeelding ]

[ afbeelding ]

Tenslotte snap ik opgave b niet. Laatste zin vanaf ''omdat'' begrijp ik dus niet...

1.
e^y(x + 1) = x + 5
e^yx - x = 5 - e^y
x(e^y - 1) = 5 - e^y
e^y(x + 1) = x + 5 ↔ x(e^y - 1) = 5 - e^y

2.
Weet je iets over inverse functies? Dan zou je moeten weten dat het bereik van de oorspronkelijke functie het domein van de inverse functie is.

quote:

Op vrijdag 19 september 2014 19:37 schreef zerak het volgende:
Ik vroeg me af waarom Ø (de empty set) één partitie heeft. Ik zou intuitief zeggen dat deze geen partities heeft. Komt het doordat elk element in Ø 'nonempty' is? Er zijn immers geen elementen in Ø.

Voor dit soort gevallen is het vaak handig om naar de definitie te kijken (subtiele verschillen kunnen voor dit soort randgevallen cruciaal zijn). Ik heb even de definitie van de Engelse wikipedia gepakt (het is natuurlijk mogelijk dat jij een andere definitie gebruikt, ik weet niet in hoeverre die gestandaardiseerd is):

P is a partition of X if and only if:

1. P does not contain the empty set.
2. The union of the sets in P is equal to X. (The sets in P are said to cover X.)
3. The intersection of any two distinct sets in P is empty. (We say the elements of P are pairwise disjoint.)

En inderdaad voldoet P = Ø, X = Ø aan deze eisen. (P bevat immers niet de lege verzameling: hij is zelf de lege verzameling en bevat dus niks).

quote:

Op vrijdag 19 september 2014 22:08 schreef defineaz het volgende:

[..]

Voor dit soort gevallen is het vaak handig om naar de definitie te kijken (subtiele verschillen kunnen voor dit soort randgevallen cruciaal zijn). Ik heb even de definitie van de Engelse wikipedia gepakt (het is natuurlijk mogelijk dat jij een andere definitie gebruikt, ik weet niet in hoeverre die gestandaardiseerd is):

P is a partition of X if and only if:

1. P does not contain the empty set.
2. The union of the sets in P is equal to X. (The sets in P are said to cover X.)
3. The intersection of any two distinct sets in P is empty. (We say the elements of P are pairwise disjoint.)

En inderdaad voldoet P = Ø, X = Ø aan deze eisen. (P bevat immers niet de lege verzameling: hij is zelf de lege verzameling en bevat dus niks).

Thanks. Deze definitie komt aardig overeen met wat ik hier heb staan. Subtiel inderdaad .

quote:

Op vrijdag 19 september 2014 22:07 schreef zerak het volgende:

[..]

1.
e^y(x + 1) = x + 5
e^yx - x = 5 - e^y
x(e^y - 1) = 5 - e^y
e^y(x + 1) = x + 5 ↔

x(e^y - 1) = 5 - e^y

2.
Weet je iets over inverse functies? Dan zou je moeten weten dat het bereik van de oorspronkelijke functie het domein van de inverse functie is.

Ik snap dat niet..


2. Ja.. dat weet ik toch begrijp ik het niet met de elementen en al..

quote:

Op zaterdag 20 september 2014 00:01 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Ik snap dat niet..

Dit wordt echt nooit wat als je zulke elementaire herleidingen niet met je ogen dicht kunt uitvoeren.

Je hebt

e^y(x + 1) = x + 5

Haakjes uitwerken in het linkerlid geeft

e^yx + e^y = x + 5

Nu willen we x oplossen uit deze betrekking, en om dat te doen moeten we eerst zorgen dat alle termen met x in het linkerlid komen te staan en alle termen zonder x in het rechterlid. We trekken nu eerst e^y van beide leden af, dat geeft

e^yx = x + 5 − e^y

Vervolgens trekken we x van beide leden af, en dan krijgen we

e^yx − x = 5 − e^y

Nu kunnen we bij de termen in het linkerlid een factor x buiten haakjes halen en krijgen we

x(e^y − 1) = 5 − e^y

Tenslotte delen we beide leden door (e^y − 1) en zie, dan krijgen we

x = (5 − e^y) / (e^y − 1)

quote:

2. Ja.. dat weet ik toch begrijp ik het niet met de elementen en al..

Je hebt een functie f die strict monotoon dalend is en die het interval [0, ∞) als domein heeft. De uitdrukking (x+5)/(x+1) heeft de waarde 5 voor x = 0 en neemt af in waarde als we x groter laten worden. Maar ... deze uitdrukking neemt niet onbegrensd af als we x onbegrensd toe laten nemen, want we hebben immers

(x+5)/(x+1) = 1 + 4/(x+1)

en de breuk 4/(x+1) nadert tot nul als we x onbeperkt toe laten nemen. De waarde van de breuk (x+5)/(x+1) nadert dus tot 1 maar wordt nooit 1 als we x onbeperkt toe laten nemen. Dus, als we voor x een waarde kiezen op het interval [0, ∞) zijnde het domein van f, dan ligt de waarde van (x+5)/(x+1) op het interval (1, 5]. En dus ligt de waarde van ln((x+5)/(x+1)) oftewel de functiewaarde f(x) op het interval (0, ln 5] en dit is dan het bereik van de functie f.

De functie f beeldt het interval [0, ∞) af op het interval (0, ln 5], en dus beeldt de inverse f⁻¹ van deze functie omgekeerd het interval (0, ln 5] af op het interval [0, ∞). Het domein van de inverse functie f⁻¹ is dus het interval (0, ln 5].

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 20-09-2014 01:05:15 ]

quote:

Op zaterdag 20 september 2014 00:54 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit wordt echt nooit wat als je zulke elementaire herleidingen niet met je ogen dicht kunt uitvoeren.

Je hebt

e^y(x + 1) = x + 5

Haakjes uitwerken in het linkerlid geeft

e^yx + e^y = x + 5

Nu willen we x oplossen uit deze betrekking, en om dat te doen moeten we eerst zorgen dat alle termen met x in het linkerlid komen te staan en alle termen zonder x in het rechterlid. We trekken nu eerst e^y van beide leden af, dat geeft

e^yx = x + 5 − e^y

Vervolgens trekken we x van beide leden af, en dan krijgen we

e^yx − x = 5 − e^y

Nu kunnen we bij de termen in het linkerlid een factor x buiten haakjes halen en krijgen we

x(e^y − 1) = 5 − e^y

Tenslotte delen we beide leden door (e^y − 1) en zie, dan krijgen we

x = (5 − e^y) / (e^y − 1)

[..]

Je hebt een functie f die strict monotoon dalend is en die het interval [0, ∞) als domein heeft. De uitdrukking (x+5)/(x+1) heeft de waarde 5 voor x = 0 en neemt af in waarde als we x groter laten worden. Maar ... deze uitdrukking neemt niet onbegrensd af als we x onbegrensd toe laten nemen, want we hebben immers

(x+5)/(x+1) = 1 + 4/(x+1)

en de breuk 4/(x+1) nadert tot nul als we x onbeperkt toe laten nemen. De waarde van de breuk (x+5)/(x+1) nadert dus tot 1 maar wordt nooit 1 als we x onbeperkt toe laten nemen. Dus, als we voor x een waarde kiezen op het interval [0, ∞) zijnde het domein van f, dan ligt de waarde van (x+5)/(x+1) op het interval (1, 5]. En dus ligt de waarde van ln((x+5)/(x+1)) oftewel de functiewaarde f(x) op het interval (0, ln 5] en dit is dan het bereik van de functie f.

De functie f beeldt het interval [0, ∞) af op het interval (0, ln 5], en dus beeldt de inverse f⁻¹ van deze functie omgekeerd het interval (0, ln 5] af op het interval [0, ∞). Het domein van de inverse functie f⁻¹ is dus het interval (0, ln 5].

Ik weet niet hoe je tot die breuk komt. Hoe zie je dat? Hoe weet je dat x nadert naar 1 maar nooit 1 wordt?en hoezo is het ln5 bij het antwoord ipv 5?

Mijn antwoord was (-oneindig,oneindig)

quote:

Op zaterdag 20 september 2014 09:06 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Ik weet niet hoe je tot die breuk komt. Hoe zie je dat? Hoe weet je dat x nadert naar 1 maar nooit 1 wordt?en hoezo is het ln5 bij het antwoord ipv 5?

Mijn antwoord was (-oneindig,oneindig)

Dat is wel erg elementair.

Staartdeling

x+1 / x+5 \ 1
-------------------
4

Dus er komt 1 uit de deling en de rest is 4/(x+1).

Of:

(x+5)/(x+1) = (x+1+4)/(x+1) = 1 + 4/(x+1)

Snap je wel dat 1/x naar 0 nadert als x naar oneindig gaat?

quote:

Op zaterdag 20 september 2014 13:24 schreef thenxero het volgende:

[..]

Dat is wel erg elementair.

Staartdeling

x+1 / x+5 \ 1
-------------------
4

Dus er komt 1 uit de deling en de rest is 4/(x+1).

Of:

(x+5)/(x+1) = (x+1+4)/(x+1) = 1 + 4/(x+1)

Snap je wel dat 1/x naar 0 nadert als x naar oneindig gaat?

Ja dat begrijp ik. Hoe kun je zien dat ik de functie moest herschrijven naar 1 + 4/(x+1) ?

Wat ik niet begrijp is wat ze bedoelen met E (1,5], althans hoe ze erop komen? En waarom ln 5 en niet 5?

quote:

Op zaterdag 20 september 2014 16:56 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Ja dat begrijp ik. Hoe kun je zien dat ik de functie moest herschrijven naar 1 + 4/(x+1) ?

Wat ik niet begrijp is wat ze bedoelen met E (1,5], althans hoe ze erop komen? En waarom ln 5 en niet 5? [ afbeelding ]

1.
http://nl.wikipedia.org/wiki/Element_(wiskunde)

2. Men praat over de functie (x+5)/(x+1), niet over de oorspronkelijke. Daarom moet van deze getallen het natuurlijk logaritme geworden nomen en dus ln(1) = 0 en ln(5). Hoezo snap je de nul wel en ln(5) niet?

[ Bericht 1% gewijzigd door zerak op 20-09-2014 18:07:59 ]

quote:

Op zaterdag 20 september 2014 09:06 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Ik weet niet hoe je tot die breuk komt. Hoe zie je dat?

Vul eerst eens een concrete positieve waarde in voor x, bijvoorbeeld x = 2. Dan heb je



Dit kon vroeger ieder kind van 10 je vertellen. En ja, 4/3 is nog te schrijven als 1 + 1/3 zodat je uiteindelijk hebt 7/3 = 2 + 1/3, maar dat hebben we nu niet nodig. In het algemeen heb je

quote:

Hoe weet je dat x nadert naar tot 1 maar nooit 1 wordt?

Dit is niet zo. Ik heb gezegd dat (x+5)/(x+1) tot 1 nadert maar nooit 1 wordt als we x onbeperkt toe laten nemen. Dat is heel iets anders. We hebben



De breuk 4/(x+1) nadert tot 0 maar wordt nooit 0 als we x onbeperkt toe laten nemen. Dit is eenvoudig in te zien. Stel dat we een x > 0 willen vinden zodanig dat



waarin ε een willekeurig klein te kiezen positief getal is. Dan is dit het geval als



en dus



en dus



De waarde van de breuk 4/(x+1) kan dus willekeurig dicht tot nul naderen, als we x maar groot genoeg maken. Willen we bijvoorbeeld de waarde van de breuk kleiner dan 0,001 laten worden, dus ε = 0,001, dan vertelt bovenstaande ongelijkheid ons dat dit het geval is voor elke x > 3999. Maar het is ook duidelijk dat de waarde van de breuk 4/(x+1) nooit gelijk aan nul kan worden: een breuk heeft immers uitsluitend de waarde nul als de teller nul is terwijl de noemer niet nul is. En dat is bij 4/(x+1) onmogelijk, want de teller heeft hier de vaste waarde 4.

Je kunt ook nog op een andere manier inzien dat de breuk (x+5)/(x+1) nooit de waarde 1 aan kan nemen. Immers, stel dat



dan moet dus gelden



maar dit is onmogelijk, want dan zou 5 gelijk moeten zijn aan 1 en dat is niet zo.

quote:

en hoezo is het ln 5 bij het antwoord i.p.v. 5?

We hebben gezien dat de waarde van de breuk



gelijk is aan 5 voor x = 0 en dat de waarde van deze breuk gestaag oftewel strict monotoon afneemt als we x steeds groter laten worden, en dat de waarde van de breuk daarbij willekeurig dicht nadert tot 1 maar nooit 1 wordt. Dat betekent dus dat de waarde van de breuk het interval (1, 5] doorloopt als we x het interval [0, ∞) laten doorlopen. Maar nu gaat het niet om de waarden van deze breuk, maar om de waarden die de functie met het functievoorschrift



aanneemt als we x het (gegeven) domein [0, ∞) laten doorlopen. Aangezien (x+5)/(x+1) de waarde 5 heeft voor x = 0 en willekeurig dicht nadert tot de waarde 1 als we x onbeperkt toe laten nemen en ln(1) = 0 volgt dus dat de functiewaarde f(x) het interval (ln 1, ln 5] oftewel (0, ln 5] doorloopt, en dit is dus het bereik van deze functie f.

De functie f geeft een afbeelding van het interval [0, ∞) op het interval (0, ln 5] en de inverse functie f⁻¹ van deze functie f met als functievoorschrift



geeft dus een afbeelding van het interval (0, ln 5] op het interval [0, ∞). Het domein van f⁻¹ is dus het interval (0, ln 5]. In onderstaand plaatje is de grafiek van f weergegeven in rood en de grafiek van f⁻¹ in blauw. Tevens is de lijn met vergelijking y = x weergegeven in zwart. De grafieken van f en f⁻¹ zijn elkaars spiegelbeeld bij spiegeling in deze lijn.

quote:

Mijn antwoord was (-oneindig,oneindig)

Zwei Dinge sind unendlich, das Universum und die menschliche Dummheit, aber bei dem Universum bin ich mir noch nicht ganz sicher.

--- Albert Einstein

[ Bericht 2% gewijzigd door Riparius op 21-09-2014 09:01:32 ]

"In deze opgave gaat het over getallen van vijf cijfers, waarin alleen de cijfers 2, 3, 4, 5, 6, 7 en 8 voorkomen."

"Hoeveel van die getallen zijn er in het geval dat: elk cijfer maar een keer gebruikt mag worden en het getal groter dan 54 000 moet zijn?"

Ik heb: 1*5*5*4*3 + 3*6*5*4*3. Ik ben niet zo goed in combinatoriek, dus daarom vraag ik me af of dit klopt.

quote:

Op zondag 21 september 2014 11:08 schreef netchip het volgende:
"In deze opgave gaat het over getallen van vijf cijfers, waarin alleen de cijfers 2, 3, 4, 5, 6, 7 en 8 voorkomen."

"Hoeveel van die getallen zijn er in het geval dat: elk cijfer maar een keer gebruikt mag worden en het getal groter dan 54 000 moet zijn?"

Ik heb: 1*5*5*4*3 + 3*6*5*4*3. Ik ben niet zo goed in combinatoriek, dus daarom vraag ik me af of dit klopt.

Volgens mij niet helemaal.

Voor alle getallen >60.000 heb je (inderdaad) 3 * 6*5*4*3 mogelijkheden, namelijk voor het eerste cijfer 3 mogelijkheden (6-7-8) en dan achtereenvolgens 6, 5, 4 en 3 opties.
Voor alle getallen tussen 54.000 en 59.999 heb je 1 * 4 * 5*4*3 opties, namelijk: cijfer 1 een 5, cijfer 2 is 4, 6, 7 of 8, en dan nog 5*4*3 willekeurige opties.

[ Bericht 0% gewijzigd door Janneke141 op 21-09-2014 14:49:35 ]

quote:

Op zondag 21 september 2014 14:21 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Volgens mij niet helemaal.

Voor alle getallen >60.000 heb je (inderdaad) 3 * 6*5*4*3 mogelijkheden, namelijk voor het eerste cijfer 3 mogelijkheden (6-7-8) en dan achtereenvolgens 6, 5, 4 en 3 opties.
Voor alle getallen tussen 54.000 en 59.999 heb je 1 * 4 * 5*4*3 opties, namelijk: cijfer 1 een 5, cijfer 2 is 4, 6, 7 of 8, en dan nog 5*4*3 willekeurige opties.

Dank je, ik zie het nu! Ik had per ongeluk een 5 gebruikt, terwijl het zonder herhaling was.

Hoe bereken je exact

met

zonder gebruik te maken van halve hoek-identiteiten?
Het betreft opgave 17.46.e van Basisboek Wiskunde.

quote:

Op zondag 21 september 2014 15:27 schreef jungiaan het volgende:
Hoe bereken je exact

met

zonder gebruik te maken van halve hoek-identiteiten?
Het betreft opgave 17.46.e van Basisboek Wiskunde.

Meetkundig?

quote:

Op zondag 21 september 2014 15:33 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Meetkundig?

Bij de andere opgaven van 17.46 had ik gebruik gemaakt van

En in een rechthoekige driehoek is dus de overstaande zijde van hoek gelijk aan 1 en de hypotenusa gelijk aan 3. De andere zijde rekende ik dan uit met de stelling van Pythagoras.
Kan je hier iets mee?

quote:

Op zondag 21 september 2014 15:27 schreef jungiaan het volgende:
Hoe bereken je exact

met

zonder gebruik te maken van halve hoek-identiteiten?
Het betreft opgave 17.46.e van Basisboek Wiskunde.

Het zijn allebei vragen waarvoor je wat voorkennis nodig hebt. Je moet het bijbehorende hoofdstuk waarschijnlijk nog even doorlezen. Voor de eerste kan je gebruikmaken voor de formule voor cos(a + b), of voor cos(2a). De tweede is ook iets wat je eigenlijk gewoon uit je hoofd moet weten.

Voor de tweede, kijk eens naar de hoeken en lengtes van een gelijkzijdige driehoek met zijde 1 (en trek een middenloodlijn/bisectrice vanuit een zijde). Dit is een trucje om achter enkele veelgebruikte waarden van de sinus en cosinus te komen.

Ik neem aan dat er in je basisboek wiskunde ook wel een tabel met waarden van de sinus en de cosinus staat, maar ik vind het zelf een beter manier om die gelijkzijdige driehoek te tekenen, omdat je die procedure, in tegenstelling tot de specifieke waarden van de sinus en de cosinus voor die hoeken, niet zo snel vergeet.

quote:

Op zondag 21 september 2014 15:52 schreef jungiaan het volgende:

[..]

Bij de andere opgaven van 17.46 had ik gebruik gemaakt van

En in een rechthoekige driehoek is dus de overstaande zijde van hoek gelijk aan 1 en de hypotenusa gelijk aan 3. De andere zijde rekende ik dan uit met de stelling van Pythagoras.
Kan je hier iets mee?

Ik vraag me af waarom je deze opgave wil oplossen zonder gebruik van de identiteiten voor de halve hoek (c.q. de identiteiten voor de dubbele hoek). Van de Craats zegt namelijk expliciet (p. 140) dat je deze identiteiten moet gebruiken.

Ik kom op



maar WolframAlpha weet geen exacte uitdrukking te produceren voor ½α, dus een meetkundige oplossing (afgezien van een meetkundig equivalent van het gebruik van de identiteiten voor de halve c.q. de dubbele hoek) lijkt me hier niet voor de hand te liggen.

Met de halve hoek-identiteiten(van Wikipedia) lukt het mij ook wel, maar aangezien deze nog niet waren afgeleid in de theorie gebruikte ik deze niet. Hoe zou ik de benodigde halve hoek-identiteit af moeten leiden uit bijv. de som/dubbele hoek formules zoals defineaz suggereert?

quote:

Op zondag 21 september 2014 17:11 schreef jungiaan het volgende:
Met de halve hoek-identiteiten(van Wikipedia) lukt het mij ook wel, maar aangezien deze nog niet waren afgeleid in de theorie gebruikte ik deze niet. Hoe zou ik de benodigde halve hoek-identiteit af moeten leiden uit bijv. de som/dubbele hoek formules zoals defineaz suggereert?

Je moet toch beter je boek lezen, want Van de Craats leidt de formules voor cos ½α en sin ½α af voordat jouw opgave aan bod komt.

Als het goed is heb je cos α al bepaald en daarvoor vind je dan



Nu kun je gebruik maken van de identiteit voor de cosinus van de dubbele hoek, waarbij je dan α vervangt door ½α zodat je krijgt



Je zult nog wel een geneste vierkantswortel moeten herleiden om het resultaat te verkrijgen dat ik hierboven geef, en ik betwijfel of je dat kunt, aangezien dat tegenwoordig niet meer wordt onderwezen.

Is het volgende correct?
f= x / ((x^2)+8)

f ' = ( (x^2) + 8 - 3x) / ( (x^2) + 8)^2

quote:

Op zondag 21 september 2014 17:39 schreef rumiii het volgende:
Is het volgende correct?
f= x / ((x^2)+8)

f ' = ( (x^2) + 8 - 3x) / ( (x^2) + 8)^2

Nee, de fout zit in het onderstreepte stukje.