SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Nee, ik wist niet waarom het zo belangrijk moest zijn..quote:Op zondag 28 september 2014 18:23 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je zult toch echt wat meer moeite moeten doen om uit te leggen wat je precies niet begrijpt. Alleen een paar foto's posten met rode kringen om een heel stuk tekst en dan zeggen dat je daar vastloopt helpt niet echt, en al helemaal niet als je twee niet opeenvolgende bladzijden post terwijl daar wordt verwezen naar bijvoorbeeld formules op de tussenliggende bladzijden. De afkorting w.r.t. staat voor with regard to of with respect to 'met betrekking tot'. In het Nederlands spreken we over differentiëren naar een variabele. Maar goed, ik vrees het ergste voor je, want als je al niet begrijpt dat
f(1) = 7
als is gegeven dat
f(x) = x5 + 3x3 + 6x − 3
dan zul je de rest van de tekst inderdaad ook niet kunnen begrijpen.
Maar goed.. Ik snap het in het begin niet wat er gedaan wordt, want met die leibniz notatie er tussen door die vermenigvuldigt wordt met f(y) brengt mij in verwarring
Dat blijkt. Kijk nog eens goed naar de grafiek van die functies f en g die elkaars inverse zijn (figuur 1 op je foto).quote:
[..]
Nee, ik wist niet waarom het zo belangrijk moest zijn..
De grafieken van twee functies die elkaars inverse zijn, zijn elkaars spiegelbeeld bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x (gestreept weergegeven in de figuur). Dit heb ik overigens onlangs nog uitgelegd.
Als we hebben
y0 = f(x0)
dan is hier ook
x0 = g(y0)
Dus, het punt P(x0, y0) ligt op de grafiek van f en het punt Q(y0, x0) ligt op de grafiek van g die de inverse is van f.
Nu zijn de afgeleiden van f(x) voor x = x0 en van g(y) voor y = y0 niets anders dan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt P resp. de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van g in het punt Q, en deze raaklijnen zijn uiteraard elkaars spiegelbeeld bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x.
Ook is het zo dat het product van de richtingscoëfficiënten van twee rechte lijnen die elkaars spiegelbeeld zijn bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x gelijk is aan 1 (mits deze lijnen niet parallel zijn aan de coördinaatassen) zodat we dus hebben
g'(y0)·f'(x0) = 1
Maar nu is y0 = f(x0) zodat we hiervoor kunnen schrijven
g'(f(x0))·f'(x0) = 1
Welnu, als je dus een inverteerbare functie f(x) = x5 + 3x3 + 6x − 3 hebt waarvoor f(1) = 7, en je noemt de inverse functie van deze functie g, dan kun je dus g'(7) = g'(f(1)) = 1/f'(1) toch berekenen, hoewel je geen expliciet functievoorschrift voor g op kunt stellen.
Misschien helpt het als je even begint deze post van mij over de kettingregel in de notaties van Leibniz en Lagrange goed door te nemen. Je moet door en door vertrouwd raken met de notaties van Lagrange en Leibniz, en niet van je stuk raken als deze worden gecombineerd.quote:Maar goed.. Ik snap het in het begin niet wat er gedaan wordt, want met die Leibniz notatie er tussen door die vermenigvuldigd wordt met f(y) brengt mij in verwarring
Als ik een prijsfunctie heb, waarvan de equilibrium:
P = a - bQ = A + 2BQ is..
De equilibrium voor Q is dan:
(a - A) / (b + 2B)
Hoe bereken ik de equilibrium voor P?
P = a - bQ = A + 2BQ is..
De equilibrium voor Q is dan:
(a - A) / (b + 2B)
Hoe bereken ik de equilibrium voor P?
HELP IK HEB MORGEN TOETS!!quote:
Als ik een prijsfunctie heb, waarvan de equilibrium:
P = a - bQ = A + 2BQ is..
De equilibrium voor Q is dan:
(a - A) / (b + 2B)
Hoe bereken ik de equilibrium voor P?
De uitdrukking die je gevonden hebt voor Q vul je in in één van beide prijsfuncties. Welke maakt niet uit; je hebt immers het punt berekend waar het gelijk is.quote:
Als ik een prijsfunctie heb, waarvan de equilibrium:
P = a - bQ = A + 2BQ is..
De equilibrium voor Q is dan:
(a - A) / (b + 2B)
Hoe bereken ik de equilibrium voor P?
Het kan trouwens ook anders: zie hier
En hou je gemak een beetje als er niet binnen vijf minuten iemand reageert
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Dat heb ik begrepen maar stel ik vul het in in --> a - bQ dan krijg ik niet het juiste antwoord:quote:
[..]
De uitdrukking die je gevonden hebt voor Q vul je in in één van beide prijsfuncties. Welke maakt niet uit; je hebt immers het punt berekend waar het gelijk is.
Het kan trouwens ook anders: zie hier
En hou je gemak een beetje als er niet binnen vijf minuten iemand reageert
a - [(ab - Ab) / (b + 2B)] Q invullen en vervolgens de teller vermenigvuldigen met b.
Het antwoord moet zijn
(2aB + Ab) / (b + 2B)
Maak eens één breuk van jouw antwoord voor P?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Hoe bedoel je?quote:
Maak eens één breuk van jouw antwoord voor P?
a - [(ab - Ab) / (b + 2B)]quote:
Maak eens één breuk van jouw antwoord voor P?
Dit is niet één breuk.quote:
Ik bedoel het volgende:
a - [(ab - Ab) / (b + 2B)]
= a(b+2B)/(b+2B) - [(ab - Ab) / (b + 2B)]
= [a(b+2B) - ab+Ab] / (b+2B)
= [ab+2aB-ab+Ab] / (b+2B)
= (2aB+Ab) / (b+2B).
Klaar.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Oh op die fiets. Bedankt.quote:
[..]
Dit is niet één breuk.
Ik bedoel het volgende:
a - [(ab - Ab) / (b + 2B)]
= a(b+2B)/(b+2B) - [(ab - Ab) / (b + 2B)]
= [a(b+2B) - ab+Ab] / (b+2B)
= [ab+2aB-ab+Ab] / (b+2B)
= (2aB+Ab) / (b+2B).
Klaar.
Ik had nog een vraag over een ander onderwerp:
Bij het impliciet differentiëren van x²y = 1 om zodoende dy/dx en d²y/dx² te vinden heb ik de eerste afgeleide volgens de productregel gevonden, maar hoe moet ik d²y/dx² vinden?
2x * y + x² * y'
2xy + x² * y'
delen door x:
2y + xy'
y' = -2y/x
Hoe zou je een vergelijking als: 0.1x4+0.1x3-12x2-25x-50 = 0, exact kunnen oplossen? Wij moeten dit nu met de Grafische Rekenmachine doen, maar ik bepaal de oplossing liever exact.
Nog eentje: x3-4x2+3 = 0
Nog eentje: x3-4x2+3 = 0
Niet, tenzij er toevallig een makkelijke ontbinding in zit. Er bestaat wel een soort van abc-formule voor derde- en vierdegraadsvergelijkingen, maar die zijn te lelijk om te kunnen onthouden. Vanaf graad 5 gaat het sowieso niet meer.quote:
Hoe zou je een vergelijking als: 0.1x4+0.1x3-12x2-25x-50 = 0, exact kunnen oplossen? Wij moeten dit nu met de Grafische Rekenmachine doen, maar ik bepaal de oplossing liever exact.
Nog eentje: x3-4x2+3 = 0
De onderste, x3-4x2+3 = 0, heeft een factor (x-1). Als je die eruit deelt houd je een kwadratische vergelijking over, en die kun je wel algebraïsch oplossen.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Al opgelost!quote:
[..]
Oh op die fiets. Bedankt.
Ik had nog een vraag over een ander onderwerp:
Bij het impliciet differentiëren van x²y = 1 om zodoende dy/dx en d²y/dx² te vinden heb ik de eerste afgeleide volgens de productregel gevonden, maar hoe moet ik d²y/dx² vinden?
2x * y + x² * y'
2xy + x² * y'
delen door x:
2y + xy'
y' = -2y/x
11
Stel ik heb
1 - y' + 3y + 3xy'
Wat is het beste om voor y' op te lossen? Welke kan ik het beste, qua min en plustekens, naar welke kant halen ? Ik weet wel hoe ik het moet oplossen voor y'..
Ik ben alleen benieuwd wat het handigst is?
Het moet
zijn, maar ik kwam uit op
y' = (-3y - 1) / (3x -1)
1 - y' + 3y + 3xy'
Wat is het beste om voor y' op te lossen? Welke kan ik het beste, qua min en plustekens, naar welke kant halen ? Ik weet wel hoe ik het moet oplossen voor y'..
Ik ben alleen benieuwd wat het handigst is?
Het moet
zijn, maar ik kwam uit op
y' = (-3y - 1) / (3x -1)
Denk even na voor je wat gaat plaatsen, echt.quote:
Stel ik heb
1 - y' + 3y + 3xy'
Wat is het beste om voor y' op te lossen? Welke kan ik het beste, qua min en plustekens, naar welke kant halen ? Ik weet wel hoe ik het moet oplossen voor y'..
Ik ben alleen benieuwd wat het handigst is?
Het moet [ afbeelding ]
zijn, maar ik kwam uit op
y' = (-3y - 1) / (3x -1)
Gaat bij jullie alles het ene oog in en het andere weer uit?
Lees uitleg van Riparius eens helemaal goed door en blijf er over nadenken voordat je het ook echt snapt.
Hij steekt er hartstikke veel werk in en ik heb het gevoel dat iedereen alleen maar het antwoord leest en dan weer een domme vraag stelt.
Domme vraag? Omdat jij het snapt, wilt het niet zeggen dat het dom is. Ik lees alle posts van Riparius goed door.Maar ik blijf het lastig vinden.quote:
[..]
Denk even na voor je wat gaat plaatsen, echt.
Gaat bij jullie alles het ene oog in en het andere weer uit?
Lees uitleg van Riparius eens helemaal goed door en blijf er over nadenken voordat je het ook echt snapt.
Hij steekt er hartstikke veel werk in en ik heb het gevoel dat iedereen alleen maar het antwoord leest en dan weer een domme vraagt stelt.
Ik lees zijn posts ook, dus hij doet het niet voor niemand.quote:
Hij steekt er hartstikke veel werk in en ik heb het gevoel dat iedereen alleen maar het antwoord leest en dan weer een domme vraag stelt.
Ja een domme vraag.quote:
[..]
Domme vraag? Omdat jij het snapt, wilt het niet zeggen dat het dom is. Ik lees alle posts van Riparius goed door.Maar ik blijf het lastig vinden.
Kijk eens na het verschil tussen die van jouw en het antwoord en dan even er over nadenken...
En als het geen domme vraag is, dan gaat alles dus echt het ene oog in en de andere eruit.
Ik lees ze ookquote:
[..]
Ik lees zijn posts ook, dus hij doet het niet voor niemand.
[ Bericht 18% gewijzigd door t4rt4rus op 28-09-2014 21:00:24 ]
Ben er al uit.. thanks.quote:
[..]
Ik lees zijn posts ook, dus hij doet het niet voor niemand.
Ah OK. Hoe berekent een GR dat eigenlijk?quote:
[..]
Niet, tenzij er toevallig een makkelijke ontbinding in zit. Er bestaat wel een soort van abc-formule voor derde- en vierdegraadsvergelijkingen, maar die zijn te lelijk om te kunnen onthouden. Vanaf graad 5 gaat het sowieso niet meer.
De onderste, x3-4x2+3 = 0, heeft een factor (x-1). Als je die eruit deelt houd je een kwadratische vergelijking over, en die kun je wel algebraïsch oplossen.
Ik heb een vraag over het differentieren van de eerste en tweede afgeleide:
'Find dy/dx and d²y / dx² by implicit differentiation when x-y+3xy = 2''
Ik deed het volgende:
1 - y' + 3y + 3xy'
-y' + 3xy' = -3y - 1
y' = [1 + 3y] / [1-3x]
Vervolgens 1 - y' + 3y + 3xy' verder afleiden:
-y'' + 3y' + 3y' + 3xy''
y' invullen in de tweede afgeleide:
-y'' + 3 * ( 1+6y)/(1-3x) + 3* ( 1+6y)/(1-3x) + 3xy''
-y'' + ( 3+6y)/(1-3x) + (3+6y)/(1-3x) + 3xy''
Herschrijven levert op:
-y'' + ( 6+12y)/(1-3x) + 3xy''
y'' ( 3x - 1) = - (6 + 12y)/(1-3x)
Hier loop ik vast..
'Find dy/dx and d²y / dx² by implicit differentiation when x-y+3xy = 2''
Ik deed het volgende:
1 - y' + 3y + 3xy'
-y' + 3xy' = -3y - 1
y' = [1 + 3y] / [1-3x]
Vervolgens 1 - y' + 3y + 3xy' verder afleiden:
-y'' + 3y' + 3y' + 3xy''
y' invullen in de tweede afgeleide:
-y'' + 3 * ( 1+6y)/(1-3x) + 3* ( 1+6y)/(1-3x) + 3xy''
-y'' + ( 3+6y)/(1-3x) + (3+6y)/(1-3x) + 3xy''
Herschrijven levert op:
-y'' + ( 6+12y)/(1-3x) + 3xy''
y'' ( 3x - 1) = - (6 + 12y)/(1-3x)
Hier loop ik vast..
Met een "fixed-point" methode bijvoorbeeld.quote:
[..]
Ah OK. Hoe berekent een GR dat eigenlijk?
Zonder context weten wij dat ook niet.quote:
Er ontgaat mij hier iets, want waar is de y gebleven?:
[ afbeelding ]
Kwijt. Wellicht dat alle andere dingen die op de pagina staan en die je hier hebt weggelaten, wel duidelijk maken waar ie heen is.quote:
Er ontgaat mij hier iets, want waar is de y gebleven?:
[ afbeelding ]
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
quote:
[..]
Zonder context weten wij dat ook niet.
quote:
[..]
Kwijt. Wellicht dat alle andere dingen die op de pagina staan en die je hier hebt weggelaten, wel duidelijk maken waar ie heen is.
Links en rechts vermenigvuldigen met -1 levertquote:
y'' ( 3x - 1) = - (6 + 12y)/(1-3x)
Hier loop ik vast..
y'' ( 1 - 3x) = (6 + 12y)/(1-3x)
Links en rechts delen door (1 -3x):
y" = (6 + 12y)/(1-3x)2
Veel mooier wordt ie niet, lijkt me.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Dat dacht ik dus ook (ongeveer).. Maar het bleek dus dit te zijn:quote:
[..]
Links en rechts vermenigvuldigen met -1 levert
y'' ( 1 - 3x) = (6 + 12y)/(1-3x)
Links en rechts delen door (1 -3x):
y" = (6 + 12y)/(1-3x)2
Veel mooier wordt ie niet, lijkt me.
Hoezo mag je als je een breuk deelt door, in dit geval, (1 -3x) hem toevoegen aan de noemer? Dit is wellicht een regel die ik of vergeten ben of mij ontgaan is...
edit: zeker omdat je hem mag vermenigvuldigen als je 'het' omkeert?
quote:
[..]
Dat dacht ik dus ook (ongeveer).. Maar het bleek dus dit te zijn:
[ afbeelding ]
Hoezo mag je als je een breuk deelt door, in dit geval, (1 -3x) hem toevoegen aan de noemer? Dit is wellicht een regel die ik of vergeten ben of mij ontgaan is...
edit: zeker omdat je hem mag vermenigvuldigen als je 'het' omkeert?
Linkje voor vragen over impliciet differentieren: http://web.mit.edu/wwmath/calculus/differentiation/implicit.html
quote:
[..]
Het gaat hier om delen en niet vermenigvuldigen.
Theorie vind ik easy. Als ik het in de praktijk moet brengen, maak ik fouten..quote:
Linkje voor vragen over impliciet differentieren: http://web.mit.edu/wwmath/calculus/differentiation/implicit.html
quote:
[..]
Theorie vind ik easy. Als ik het in de praktijk moet brengen, maak ik fouten..
Ik zie het...quote:
Hoezo mag je als je een breuk deelt door, in dit geval, (1 -3x) hem toevoegen aan de noemer? Dit is wellicht een regel die ik of vergeten ben of mij ontgaan is...
edit: zeker omdat je hem mag vermenigvuldigen als je 'het' omkeert?
dy/dx en d²y/dx² vinden van y5 = x6quote:
[..]
Vroeg je net ook al.
Kom dan met de hele vraag.
Dus y=x6/5. Dat is in dit geval nogal relevante informatie, wantquote:
[..]
dy/dx en d²y/dx² vinden van y5 = x6
6x5 / 5y4
= 6x5 / 5x(6/5)*4
= (6/5)x1/5 (want 5 - 24/5 = 1/5)
De tip van de week is dus: plaats bij je volgende vraag meteen alle relevante informatie.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Oké hartstikke bedankt voor je tijd en moeite. Is het erg als ik nog twee vragen stel? Heb je daar tijd voor ?quote:
[..]
Dus y=x6/5. Dat is in dit geval nogal relevante informatie, want
6x5 / 5y4
= 6x5 / 5x(6/5)*4
= (6/5)x1/5 (want 5 - 24/5 = 1/5)
De tip van de week is dus: plaats bij je volgende vraag meteen alle relevante informatie.
Je kunt het altijd proberen. Ik geef geen garanties af of er ook een antwoord komt.quote:
[..]
Oké hartstikke bedankt voor je tijd en moeite. Is het erg als ik nog twee vragen stel?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Want?quote:
[..]
Je kunt het altijd proberen. Ik geef geen garanties af of er ook een antwoord komt.
Maar goed...
Mijn eerste vraag is:
''A curve in the uv-plane is given bij u² + uv - v³ = 0. compute dv/du by implicit differentiation. Find the point (u,v) on the curve where dv/du = o and u =/ 0''
Ik ben hier allereerst opzoek gegaan naar de afgeleide en dat is:
2u + v + uv' - 3v² * v' = 0
v' ( u - 3v² ) = -2u - v
v' = (-2u - v) / (u - 3v²)
Ik moet dus nu erachter zien te komen wanneer dv /du en dat is bij +2u
Maar dan loop ik hier vast.. met wat ik vervolgens moet gaan doen..
Mijn tweede vraag is het volgende:
Hoe komen ze aan (y')², ik kwam daar toch echt bij alleen y' uit...
Want? Dit is geen aangenomen werk.quote:
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Ik heb even een zinnetje uit je post onderstreept, omdat ik niet begrijp wat er staat. Of misschien begrijp je het zelf wel niet en klopt daarom je formulering niet, dat kan ook.quote:
''A curve in the uv-plane is given bij u² + uv - v³ = 0. compute dv/du by implicit differentiation. Find the point (u,v) on the curve where dv/du = o and u =/ 0''
Ik ben hier allereerst opzoek gegaan naar de afgeleide en dat is:
2u + v + uv' - 3v² * v' = 0
v' ( u - 3v² ) = -2u - v
v' = (-2u - v) / (u - 3v²)
Ik moet dus nu erachter zien te komen wanneer dv /du en dat is bij +2u
Maar dan loop ik hier vast.. met wat ik vervolgens moet gaan doen..
In ieder geval, ik heb je afleiding niet nagerekend, ik gok er maar op dat die klopt. Je zoekt naar een plek waar dv/du=0, en dat is dus ergens op de lijn met vergelijking -2u-v=0. Maar je weet dat je gezochte punt óók op de kromme moet liggen, dus dat u² + uv - v³ = 0
Nu heb je 2 vergelijkingen met 2 onbekenden, en die kun je oplossen.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Ik heb het niet begrepen. Sorryquote:
[..]
Ik heb even een zinnetje uit je post onderstreept, omdat ik niet begrijp wat er staat. Of misschien begrijp je het zelf wel niet en klopt daarom je formulering niet, dat kan ook.
In ieder geval, ik heb je afleiding niet nagerekend, ik gok er maar op dat die klopt. Je zoekt naar een plek waar dv/du=0, en dat is dus ergens op de lijn met vergelijking -2u-v=0. Maar je weet dat je gezochte punt óók op de kromme moet liggen, dus dat u² + uv - v³ = 0
Nu heb je 2 vergelijkingen met 2 onbekenden, en die kun je oplossen.
Het is maar de vraag of je de oplossingen van deze vergelijking nog steeds liever exact bepaalt nadat ik je heb laten zien hoe dit gaat.quote:
Hoe zou je een vergelijking als: 0.1x4+0.1x3-12x2-25x-50 = 0, exact kunnen oplossen? Wij moeten dit nu met de Grafische Rekenmachine doen, maar ik bepaal de oplossing liever exact.
Voor de oplossing van een vierdegraadsvergelijking bestaan verschillende methoden waar ook weer allerlei varianten op bestaan, maar in de literatuur vind je vooral de methoden die zijn aangegeven door (in chronologische volgorde) Ferrari, Descartes en Euler. De oudste methode van Ferrari (een leerling en protégé van Cardano) is wel het eenvoudigst en heeft tevens het voordeel dat we de vergelijking niet eerst in gereduceerde vorm hoeven te brengen (een gereduceerde vierdemachtsvergelijking is een vergelijking waarin de term met x3 ontbreekt).
Als je een indruk wil krijgen van de manier waarop deze methode werkt, dan kan ik je aanraden deze post van mij eens door te nemen. In deze post gaat het over de oplossing van een klassiek probleem, het probleem van de kruisende ladders: in een nauwe steeg staan twee ladders van resp. 2 en 3 meter lang waarbij de onderzijde van elke ladder op de grond tegen de muur aan staat terwijl de bovenzijde van elke ladder tegen de muur aan de andere kant van de steeg steunt. In zijaanzicht kruisen de ladders elkaar op een hoogte van precies 1 meter boven de bestrating van de steeg, en gevraagd wordt nu de exacte breedte van de steeg te bepalen. Dit vraagstuk leidt tot een vierdegraadsvergelijking die niet eenvoudig is op te lossen.
Derdegraadsvergelijkingen oftewel kubische vergelijkingen kun je in het algemeen oplossen met een methode die gewoonlijk naar Cardano wordt vernoemd, maar die niet door hem is bedacht, maar wel als eerste door hem in 1545 is gepubliceerd. In zijn boek gaf Cardano ook een methode voor de oplossing van vierdegraadsvergelijkingen zoals die door zijn leerling Ferrari was ontwikkeld. Voor een complete uitleg van de naar Cardano vernoemde methode voor de oplossing van een kubische vergelijking verwijs ik je naar deze post van mij.quote:Nog eentje: x3 - 4x2 + 3 = 0
Als een derdegraadsvergelijking (met reële coëfficiënten) echter drie (verschillende) reële oplossingen heeft, dan geven de formules die de oplossingen uitdrukken deze oplossingen weer in de vorm van derdemachtswortels uit complexe getallen, die in het algemeen niet op een algebraïsche manier zijn te herleiden, en pogingen om dat wel te doen voeren dan tot een derdemachtsvergelijking die equivalent is met de oorspronkelijke, zodat je dan weer terug bent bij af. Daarom noemde men deze patstelling bij de oplossing van kubische vergelijkingen casus irreducibilis. Deze patstelling werd doorbroken door Viète, die liet zien dat de kubische vergelijking dan met behulp van goniometrie toch is op te lossen. Pas veel later is men echt gaan begrijpen hoe dit kan en waarom dit zo is, zie hier.
De kubische vergelijking die je hier geeft is echter eenvoudig exact op te lossen, want zoals Janneke al heeft aangegeven is x = 1 een oplossing van deze vergelijking, en dat houdt in dat het polynoom x3 − 4x2 + 3 een factor (x − 1) bevat. Deze factor kunnen we nu buiten haakjes halen, als volgt
x3 − 4x2 + 3 = 0
x2(x − 1) − 3x2 + 3 = 0
x2(x − 1) − 3x(x − 1) − 3x + 3 = 0
x2(x − 1) − 3x(x − 1) − 3(x − 1) = 0
(x − 1)(x2 − 3x − 3) = 0
x − 1 = 0 ∨ x2 − 3x − 3 = 0
Nu gaan we verder met het oplossen van de vierkantsvergelijking, en dat kan bijvoorbeeld als volgt (methode van Sridhara):
x2 − 3x − 3 = 0
4x2 − 12x − 12 = 0
(2x − 3)2 − 9 − 12 = 0
(2x − 3)2 = 21
2x − 3 = ±√21
x = 3/2 ± ½√21
De kubische vergelijking x3 − 4x2 + 3 = 0 heeft dus drie reële oplossingen x1 = 1, x2 = 3/2 + ½√21, x3 = 3/2 − ½√21. Uit de coëfficiënten van de kubische vergelijking is af te lezen dat moet gelden x1 + x2 + x3 = 4 en x1x2x3 = −3 en je kunt gemakkelijk nagaan dat dit inderdaad klopt.
Impliciet differentiëren van v naar u van de betrekkingquote:
Mijn eerste vraag is:
A curve in the uv-plane is given bij u² + uv - v³ = 0. compute dv/du by implicit differentiation. Find the point (u,v) on the curve where dv/du = 0 and u ≠ 0.
geeft
en dus
zodat
De voorwaarde v' = 0 geeft nu
en samen met de betrekking
hebben we nu een stelsel van twee vergelijkingen in de twee onbekenden u en v, en dit stelsel moeten we oplossen, onder de additionele voorwaarde dat u ≠ 0 moet zijn.
Uit 2u + v = 0 volgt v = −2u, en substitutie hiervan in u2 + uv − v3 = 0 geeft
De oplossing u = 0 komt te vervallen zodat we u = 1/8 vinden, en aangezien v = −2u is dan v = −1/4. De coördinaten van het gevraagde punt zijn dus
Voor de andere oplossing u = 0, v = 0 van bovenstaand stelsel is v' niet gedefinieerd, zodat je nu ook begrijpt waarom de voorwaarde u ≠ 0 werd gesteld.
Nee, je volgt de regels niet correct. Differentiëren van 5y4y' naar x met behulp van de productregel en de kettingregel geeftquote:Mijn tweede vraag is het volgende:
[ afbeelding ]
Hoe komen ze aan (y')², ik kwam daar toch echt bij alleen y' uit... [ afbeelding ]
Wijzig je nick maar in
