[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

quote:

Op zondag 21 september 2014 17:48 schreef rumiii het volgende:

[..]

Ik was ff niet scherp inderdaad, hopelijk nu wel

( (-x^2)+8) / ( (x^2) + 8)^2

Nu klopt ie.

Overigens kun je prima met wat minder haakjes af, voor het overzicht:

( -x^2+8) / ( x^2 + 8)^2

Of eigenlijk nog beter:

( -x²+8) / ( x² + 8)²

quote:

Op zondag 21 september 2014 18:08 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Nu klopt ie.

Overigens kun je prima met wat minder haakjes af, voor het overzicht:

( -x^2+8) / ( x^2 + 8)^2

Of eigenlijk nog beter:

( -x²+8) / ( x² + 8)²

Bedankt voor je hulp.

Wat notatie betreft heb je gelijk, ik zal het onthouden.

Bedankt

quote:

Op zondag 21 september 2014 17:59 schreef jungiaan het volgende:

[..]

Wellicht heb ik een andere druk/editie. Op pagina 140 waar je het net over had begint bij mijn exemplaar namelijk opgave 17.11. De identiteiten van de dubbele hoek moet je zelf afleiden bij 17.25.a. Die van de halve hoek staan er niet in.

[..]

Bedankt, is gelukt.

[..]

Dat kan ik inderdaad niet. Zou je jouw herleiding willen posten? Ik ben er wel benieuwd naar.

Goed, tijd voor wat trucjes uit de oude doos. We hadden



en ook



zodat



Nu volgt uit α = arcsin(1/3) dat −½π ≤ α ≤ ½π zodat cos ½α positief is en we dus krijgen



Om deze geneste vierkantswortel te herleiden, stellen we



waarbij we x en y rationaal veronderstellen. Kwadrateren geeft nu



Aangezien het linkerlid irrationaal is en we x en y rationaal veronderstellen, kan √xy in het rechterlid niet rationaal zijn zodat moet gelden



Om nu x en y te bepalen, gaan we eerst x − y bepalen. Dit doen we door nogmaals te kwadrateren, dan krijgen we



Nu is dus



Veronderstellen we x > y, dan is dus



en dus krijgen we



en



zodat



Voilà.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 21-09-2014 21:04:07 ]

Mocht het niet gewaardeerd worden om uitwerkingen hier te laten controleren hoor ik het graag

f= e^(x²-3) - 2 + √(2x)

f ' = e^(x²-3) * 2x + 0.5(2x)^-0.5 * 2

Is de afgeleide correct?

quote:

Op zondag 21 september 2014 20:36 schreef rumiii het volgende:
Mocht het niet gewaardeerd worden om uitwerkingen hier te laten controleren hoor ik het graag

f(x) = e^x²-3 - 2 + √(2x)

f'(x) = e^x²-3·2x + ½·(2x)^-½·2

Is de afgeleide correct?

Ja, als je het tenminste ook nog correct opschrijft, die f is geen variabele maar de naam van je functie en dus mag je f of f' niet laten volgen door een =-teken. Schrijf dus f(x) resp. f'(x). Verder moet je geen decimale breuken gebruiken in je afgeleide, schrijf dus ½ voor 0.5.

"In deze opgave gaat het over getallen van acht cijfers. De cijfers worden gekozen uit 1, 2, 3, 4, 5, 6. In hoeveel van deze getallen komt drie keer een 1, drie keer een 2, en twee keer een 3 voor?"

In het uitwerkingen boekje staat: 8!/(3!*3!*2!) = 560. Ik kom uit op 8 nCr 3 * 5 nCr 3 * 2 nCr 2 = 560 uit. Nu vraag ik me af of dit stom toeval is, of ofdat het logisch is.

quote:

Op " zondag 21 september 2014 20:36 schreef rumiii het volgende:
Mocht het niet gewaardeerd worden om uitwerkingen hier te laten controleren hoor ik het graag

f= e^(x²-3) - 2 + √(2x)

f ' = e^(x²-3) * 2x + 0.5(2x)^-0.5 * 2

Is de afgeleide correct?

Op zich wel, maar het tweede gedeelte kun je nog wel herleiden tot een iets netter beest. En wat betekent ^-0.5 ook weer?

quote:

Op zondag 21 september 2014 20:45 schreef netchip het volgende:
"In deze opgave gaat het over getallen van acht cijfers. De cijfers worden gekozen uit 1, 2, 3, 4, 5, 6. In hoeveel van deze getallen komt drie keer een 1, drie keer een 2, en twee keer een 3 voor?"

In het uitwerkingen boekje staat: 8!/(3!*3!*2!) = 560. Ik kom uit op 8 nCr 3 * 5 nCr 3 * 2 nCr 2 = 560 uit. Nu vraag ik me af of dit stom toeval is, of ofdat het logisch is.

Als je bedenkt dat



dan zie je waarom dit zo is.

quote:

Op zondag 21 september 2014 20:42 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, als je het tenminste ook nog correct opschrijft, die f is geen variabele maar de naam van je functie en dus mag je f of f' niet laten volgen door een =-teken. Schrijf dus f(x) resp. f'(x). Verder moet je geen decimale breuken gebruiken in je afgeleide, schrijf dus ½ voor 0.5.

Duidelijk. Hoogstwaarschijnlijk zal de examintor door deze fout geen punten aan de uitwerking toekennen. Dus nogmaals bedankt.

quote:

Op zondag 21 september 2014 20:46 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Op zich wel, maar het tweede gedeelte kun je nog wel herleiden tot een iets netter beest. En wat betekent ^-0.5 ook weer?

0.5(2x)^-0.5 * 2= (2x)^-0.5= (2x)^-½

Bedankt

quote:

Op zondag 21 september 2014 20:55 schreef Riparius het volgende:

[..]

Als je bedenkt dat



dan zie je waarom dit zo is.

Oh ja, ik zie het nu!

Ik ben trouwens verder gegaan met dat dictaat over lineaire algebra, lukt vrij goed, alhoewel ik niet echt heel veel tijd heb.

quote:

Op zondag 21 september 2014 20:45 schreef netchip het volgende:
"In deze opgave gaat het over getallen van acht cijfers. De cijfers worden gekozen uit 1, 2, 3, 4, 5, 6. In hoeveel van deze getallen komt drie keer een 1, drie keer een 2, en twee keer een 3 voor?"

In het uitwerkingen boekje staat: 8!/(3!*3!*2!) = 560. Ik kom uit op 8 nCr 3 * 5 nCr 3 * 2 nCr 2 = 560 uit. Nu vraag ik me af of dit stom toeval is, of ofdat het logisch is.

Dit is ook de zogenaamde multinomiale verdeling, waarbij moet gelden dat

Ik heb een input- en een outputsignaal voor verschillende frequencies. Nu kan ik zelf makkelijk een script schrijven voor de gain, maar ik zou niet weten hoe ik een plot kan maken van de faseverschuiving. Heeft iemand enig idee? Eventueel met functies van Matlab.

quote:

Op zondag 21 september 2014 21:04 schreef netchip het volgende:

[..]

Ik ben trouwens verder gegaan met dat dictaat over lineaire algebra, lukt vrij goed, alhoewel ik niet echt heel veel tijd heb.

Als je het eerste hoofdstuk van dit dictaat hebt doorgewerkt, dan zou je bijvoorbeeld ook dit en dit nu moeten kunnen begrijpen.

Waarom is dit zo?


Ik begrijp het wel, maar logischerwijs met de standaardregels voor differentiëren zou ik denken aan:

f'(x) = x * a ^x-1


Wat is overigens de afgeleide van ln a^x ?

Ik had:

ln a^x

x ln a

kettingregel toepassen resulteert tot:

1 * ln a + x * 1/a

ln a + x/a

klopt dit?

[ Bericht 13% gewijzigd door Super-B op 22-09-2014 19:24:27 ]

Dit snap ik overigens ook niet:






Stel je hebt:

e^2x

Dat wil dus zeggen dat

e^2x * 2 = 1?

Dat is dus niet waar want, stel x = 2 dan kom ik uit op 109,20 i.p.v. 1 ...

quote:

Op maandag 22 september 2014 19:17 schreef Super-B het volgende:
Waarom is dit zo?
[ afbeelding ]

Dit volgt direct uit de rekenregels voor logaritmes en exponentiële functies, die in deze editie van het topic al de nodige keren zijn genoemd.

quote:

Ik begrijp het wel, maar logischerwijs met de standaardregels voor differentiëren zou ik denken aan:

f'(x) = x * a ^x-1

Oh wacht, kennelijk heb je deze gelijkheid nodig om exponentiële functies te differentiëren.

De 'standaardregel voor differentiëren' die jij wil toepassen, is de regel waarmee je polynomen kan differentiëren. De functie f(x) = a^x is echter geen polynoom, maar een exponentiële functie - en dus is dat helemaal niet toepasbaar. Kijk nog eens goed naar het verschil: bij de exponentiële functie f(x) = a^x is de exponent variabel, bij (als voorbeeld) het polynoom g(x) = x³ is de exponent een constante.

Ik ga niet voor je afleiden dat e^x zijn eigen afgeleide is, maar als we dat als uitgangspunt nemen en combineren met wat in je plaatjes staat, dan
f(x) = a^x = e^x·lna
Pas de kettingregel toe:
f'(x) = e^x·lna·ln a = (ln a)·a^x

quote:

Wat is overigens de afgeleide van ln a^x ?

Ik had:

ln a^x

x ln a
HO STOP
kettingregel toepassen resulteert tot:

1 * ln a + x * 1/a

ln a + x/a

klopt dit?

x·ln a is lineair, en dus is de afgeleide constant (a is namelijk een constante, geen variabele. Het toepassen van de productregel is dus helemaal niet nodig). De afgeleide van ln a^x is dus de constante functie met waarde ln a.

quote:

Op maandag 22 september 2014 19:29 schreef Super-B het volgende:
Dit snap ik overigens ook niet:

[ afbeelding ]

[ afbeelding ]

[ afbeelding ]
Stel je hebt:

e^2x

Dat wil dus zeggen dat

e^2x * 2 = 1?

Dat is dus niet waar want, stel x = 2 dan kom ik uit op 109,20 i.p.v. 1 ...

De pijl betekent dat de rechtse uitspraak volgt uit de linkse - het zegt dus niets over het waar zijn van de afzonderlijke gelijkheden.

Er staat dus dat ALS

{1} (e^f(x))' = (x)'

DAN GELDT DAT

{2} e^f(x) · f'(x) = 1.

Ga dat zelf eens na door de twee leden van gelijkheid {1} te differentiëren. Hint: nu heb je wél de kettingregel nodig.

quote:

Op maandag 22 september 2014 19:17 schreef Super-B het volgende:
Waarom is dit zo?
[ afbeelding ]

Hier worden meerdere rekenregels gebruikt.

Om te beginnen hebben we de bekende rekenregel

(1) ln(a^x) = x·ln(a)

(geldig voor a ∈ R⁺ en x ∈ R)

Daarnaast hebben we

(2) a = e^{ln a}

(geldig voor a ∈ R⁺)

Dit volgt direct uit de definitie van de logaritme, immers ln a is de exponent waartoe je e moet verheffen om a te verkrijgen.

En dan hebben we ook nog de bekende rekenregel die zegt dat exponenten vermenigvuldigen als je een macht neemt van een macht, dus

(3) (a^p)^q = a^pq

(geldig voor a ∈ R⁺ en p,q ∈ R)

Met behulp van deze regels hebben we dus



Merk op dat ik hier achtereenvolgens (2) en (3) gebruik. We kunnen echter ook zeggen dat



en hier heb ik weer eerst (2) gebruikt, maar nu met a^x in plaats van a, en daarna heb ik (1) gebruikt.

quote:

Ik begrijp het wel, maar logischerwijs met de standaardregels voor differentiëren zou ik denken aan:

f'(x) = x * a ^x-1

Nee, je begrijpt het dus niet. Bij f(x) = xⁿ hebben we een vaste exponent maar bij f(x) = a^x is de exponent de variabele, en dat is iets heel anders. In plaats van te roepen dat je logischerwijs zou denken aan iets wat niet logisch is zou je er beter aan doen mijn posts hier gewoon goed te lezen, deze post bijvoorbeeld die nota bene aan jou was gericht. Het lijkt erop alsof je alle antwoorden en uitleg die je hier krijgt zo goed als totaal negeert, óf dat je een antwoord dat je hebt gekregen enkele dagen later alweer totaal bent vergeten. Anders gezegd, je leert dus niets.

quote:

Wat is overigens de afgeleide van ln a^x ?

Ik had:

ln a^x

x ln a

kettingregel toepassen resulteert tot:

1 * ln a + x * 1/a

ln a + x/a

klopt dit?

Dit is je reinste lariekoek, die alleen maar bewijst dat je nog steeds niet begrijpt hoe je een afgeleide bepaalt en dat je zaken als de kettingregel ook gewoon niet begrijpt. Sterker nog, je zegt dat je de kettingregel gaat toepassen, maar wat je doet lijkt eerder op een - foutieve - toepassing van de productregel.

Je vergeet helemaal dat ln a hier een constante is die niet afhangt van de onafhankelijke variabele x van de functie. We hebben

f(x) = ln a^x

oftewel

f(x) = x·ln a

en de afgeleide is dan

f'(x) = ln a

De afgeleide functie is dus een constante functie, en dat is niet verwonderlijk, want f(x) = x·ln a is een lineaire functie, net als bijvoorbeeld g(x) = cx. Vervang die ln a maar door c, dan staat er f(x) = xc en dat is uiteraard hetzelfde als f(x) = cx. De afgeleide is dus f'(x) = c oftewel f'(x) = ln a.

Het is wel mogelijk de afgeleide van f(x) = ln a^x te bepalen met de kettingregel als je niet in de gaten zou hebben dat dit een lineaire functie van x is, en dan krijgen we



Uiteraard vinden we ook langs deze - onnodige - weg dat f(x) = ln a^x de constante functie f'(x) = ln a als afgeleide heeft.

[ Bericht 3% gewijzigd door Riparius op 23-09-2014 02:59:07 ]

Hoe vind je n^th afgeleide van een functie via de binominale theorie?

quote:

Op maandag 22 september 2014 19:29 schreef Super-B het volgende:
Dit snap ik overigens ook niet:

[ afbeelding ]

Ik denk dat je er beter aan doet om wat meer context te geven in plaats van alleen maar een wazige overmaatse scan te posten van een fragment van een opgave of stukje uitleg. Als je hebt

g(x) = e^f(x)

dan vinden we met behulp van de kettingregel dat

g'(x) = e^f(x)·f'(x)

maar uiteraard hoeft g(x) helemaal geen lineaire functie te zijn, en de afgeleide g'(x) dus ook geen constante.

En ja, als we f(x) = ln x kiezen, dan wordt g(x) = x en daarmee ook g'(x) = 1. Maar dat had je kennelijk niet begrepen uit het verhaal dat bij deze scan hoort.

quote:

Op maandag 22 september 2014 20:11 schreef ibri het volgende:
Hoe vind je n^th afgeleide van een functie via de binominale theorie?

Je vraag is slecht gesteld en daarmee nauwelijks begrijpelijk. Maar ik vermoed dat je de regel van Leibniz bedoelt voor het bepalen van de n-de afgeleide van een product van twee functies.

quote:

Op maandag 22 september 2014 20:13 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik denk dat je er beter aan doet om wat meer context te geven in plaats van alleen maar een wazige overmaatse scan te posten van een fragment van een opgave of stukje uitleg. Als je hebt

g(x) = e^f(x)

dan vinden we met behulp van de kettingregel dat

g'(x) = e^f(x)·f'(x)

maar uiteraard hoeft g(x) helemaal geen lineaire functie te zijn, en de afgeleide g'(x) dus ook geen constante.

En ja, als we f(x) = ln x kiezen, dan wordt g(x) = x en daarmee ook g'(x) = 1. Maar dat had je kennelijk niet begrepen uit het verhaal dat bij deze scan hoort.

quote:

Op maandag 22 september 2014 20:54 schreef Super-B het volgende:

[..]

[ afbeelding ]

Lees de eerste zin van Riparius nog eens...

Het gaat vast over de afgeleide van ln x.
Maar zeg dat dan ook even ipv alleen een plaatje te plaatsen.

quote:

Op dinsdag 23 september 2014 00:04 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Lees de eerste zin van Riparius nog eens...

Het gaat vast over de afgeleide van ln x.
Maar zeg dat dan ook even ipv alleen een plaatje te plaatsen.

Het is kennelijk de bedoeling om te laten zien dat



terwijl



zodat



en dus



Maar dit zal hij onmogelijk kunnen begrijpen zolang hij geen benul heeft van samenstellingen van functies, inversen van functies, logaritmen, exponenten en differentiëren, laat staan van eenvoudige (reken)regels zoals e^{ln x} = x of d(e^x)/dx = e^x en de kettingregel.

quote:

Op maandag 22 september 2014 20:16 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je vraag is slecht gesteld en daarmee nauwelijks begrijpelijk. Maar ik vermoed dat je de regel van Leibniz bedoelt voor het bepalen van de n-de afgeleide van een product van twee functies.

Dit is wat er letterlijk staat
Let n in natural Numbers be given. Let F:real Numbers--> real number be given bij F(x) =x^3(1+x)^n
Compute the nth derivative of F by applying the binominal theorem to (1+x)^n

quote:

Op dinsdag 23 september 2014 09:43 schreef ibri het volgende:

[..]

Dit is wat er letterlijk staat
Let n in natural Numbers be given. Let F:real Numbers--> real number be given bij F(x) =x^3(1+x)^n
Compute the nth derivative of F by applying the binominal theorem to (1+x)^n

B-practice moet je zelf maken hè!

Maar als hint: Wat is de n-de afgeleide van x^m waarbij geldt dat m < n (strikt)

quote:

Op dinsdag 23 september 2014 00:59 schreef Riparius het volgende:

[..]

Het is kennelijk de bedoeling om te laten zien dat



terwijl



zodat



en dus



Maar dit zal hij onmogelijk kunnen begrijpen zolang hij geen benul heeft van samenstellingen van functies, inversen van functies, logaritmen, exponenten en differentiëren, laat staan van eenvoudige (reken)regels zoals e^{ln x} = x of d(e^x)/dx = e^x en de kettingregel.

Kun je het pogen om uit te leggen? Want ik begrijp het nog steeds niet.

quote:

Op dinsdag 23 september 2014 17:24 schreef Super-B het volgende:

[..]

Kun je het pogen om uit te leggen? Want ik begrijp het nog steeds niet.

Het idee is om te laten zien dat de afgeleide van de functie

f(x) = ln x

gelijk is aan

f'(x) = 1/x

door gebruik te maken van het gegeven dat f(x) = ln x de inverse functie is van de functie

g(x) = e^x

waarvan we al weten dat deze zichzelf als afgeleide heeft, dus

g'(x) = e^x

We bekijken nu de samengestelde functie

h(x) = g(f(x))

waarvan we op twee verschillende manieren de afgeleide kunnen bepalen. Om te beginnen hebben we volgens de kettingregel

(1) h'(x) = g'(f(x))·f'(x)

Maar nu is

h(x) = g(f(x)) = e^{ln x} = x

en dus hebben we ook

(2) h'(x) = 1

Uit (1) en (2) volgt nu dat

(3) g'(f(x))·f'(x) = 1

Maar nu weten we dat g(x) = e^x zichzelf als afgeleide heeft, zodat ook g'(f(x)) = g(f(x)) = h(x) = x en we voor (3) dus kunnen schrijven

(4) x·f'(x) = 1

en hieruit volgt

(5) f'(x) = 1/x

Maar ik denk dat je dit evenmin begrijpt. Het probleem met jou is dat je allerlei zaken zoals ik die hierboven heb opgesomd gewoon niet begrijpt en dat je kennelijk ook niet in staat bent je deze stof eigen te maken omdat je een uitleg waarvan je zelf aangeeft het te hebben begrepen doorgaans enkele dagen later alweer geheel bent vergeten of omdat je totaal geen nota blijkt te hebben genomen van zaken die ik of anderen je hier eerder hebben proberen uit te leggen. En ik ben niet de enige die dit heeft opgemerkt, iedereen die je postgeschiedenis in deze topicreeks doorneemt zal dit moeten beamen. Daarom denk ik dat de studie die je nu probeert te volgen voor jou gewoon te hoog is gegrepen en denk ik ook dat het geen zin heeft jou verder iets uit te leggen.

quote:

Op dinsdag 23 september 2014 09:43 schreef ibri het volgende:

[..]

Dit is wat er letterlijk staat

Let n in natural Numbers be given. Let F:real Numbers--> real number be given by F(x) =x^3(1+x)^n
Compute the nth derivative of F by applying the binomial theorem to (1+x)^n

Ik betwijfel of dit er letterlijk staat, want afgezien van je typo(?) is de juiste term binomial theorem. Het bijvoeglijk naamwoord binominal bestaat ook, maar dat heeft een andere betekenis. Ook de eerste zin is niet iets wat een native speaker zo op zou schrijven. Wellicht is je tekst geschreven door een Nederlandse docent die veel minder goed Engels kent dan hij of zij wel denkt, dat zou niet de eerste keer zijn.

Maar goed, F(x) = x³(1 + x)ⁿ is een polynoom in x van de graad n+3, en als je dat n maal differentieert dan is F⁽ⁿ⁾(x) een polynoom van de derde graad. Voor een geheel getal m met 0 ≤ m < n is de n-de afgeleide van x^m naar x identiek gelijk aan nul, en voor m ≥ n hebben we



zodat we krijgen



wat dus geeft



[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 23-09-2014 22:24:32 ]

Als ik het volgende moet bewijzen;
For all sets A, B and C, (B ⊆ C) ⇒ ((A ∪ C^c) ⊆ (A ∪ B^c))

Is het dan afdoende om te bewijzen dat als B ⊆ C dan C^c ⊆ B^c en vervolgens te vermelden dat de vereniging aan beide sets hetzelfde aantal elementen toevoegt en er dus niks aan de verhouding veranderd? Eerste keer dat ik iets met bewijzen doe, en ik merk alleen al aan deze verwoording dat ik echt moet werken aan mijn formaliteit in bewijzen.

[ Bericht 0% gewijzigd door zerak op 23-09-2014 23:42:03 ]

Dat is hoe je het bewijst nádat je een dergelijk vak hebt gehaald.

Hier moet je beginnen met een x te nemen uit de linkerverzameling, en laat dan zien dat x ook in de rechterverzameling zit. Geen De Morgan of zo toepassen, maar expliciet uitschrijven.

quote:

Op woensdag 24 september 2014 12:12 schreef thabit het volgende:
Dat is hoe je het bewijst nádat je een dergelijk vak hebt gehaald.

Hier moet je beginnen met een x te nemen uit de linkerverzameling, en laat dan zien dat x ook in de rechterverzameling zit. Geen De Morgan of zo toepassen, maar expliciet uitschrijven.

Thanks.

For all sets A, B and C, (B ⊆ C) ⇒ ((A ∪ C^c) ⊆ (A ∪ B^c)).

Assume (B ⊆ C) holds.
Let x ∈ (A ∪ C^c) be arbitrary.
We now have three cases;
(I) x ∈ A.
(II) x ∈ C^c.
(III) x ∈ A ∧ x ∈ C^c.

(I) x ∈ A. This is self-explanatory. Since (A ⊆ A), it must follow that ((A ∪ C^c) ⊆ (A ∪ B^c)).
(II) x ∈ C^c. This means that x ∉ C. Because we assume (B ⊆ C) holds, this means that x ∉ B, thus x ∈ B^c. From this we can conclude that (C^c ⊆ B^c). Thus ((A ∪ C^c) ⊆ (A ∪ B^c)).
(III) x ∈ A ∧ x ∈ C^c. This basically is (I) and (II) put together. Since we know that (A ⊆ A) and that (C^c ⊆ B^c), we can conclude that ((A ∪ C^c) ⊆ (A ∪ B^c)).

Op- en/of aanmerkingen?

[ Bericht 0% gewijzigd door zerak op 24-09-2014 18:00:03 ]

Geval (III) kun je weglaten. Wordt al door de andere gevallen afgedekt.

Verder concludeer je in elk van de gevallen iets over inclusies van verzamelingen. Dat kan op die punten nog niet. Je kan daar alleen concluderen dat x in de gewenste verzameling zit.

quote:

Op woensdag 24 september 2014 17:37 schreef thabit het volgende:
Geval (III) kun je weglaten. Wordt al door de andere gevallen afgedekt.

Verder concludeer je in elk van de gevallen iets over inclusies van verzamelingen. Dat kan op die punten nog niet. Je kan daar alleen concluderen dat x in de gewenste verzameling zit.

Bedankt voor de feedback. Ik begrijp dus dat ik wat voorbarig concludeer?
Revisie:

For all sets A, B and C, (B ⊆ C) ⇒ ((A ∪ C^c) ⊆ (A ∪ B^c)).

Assume (B ⊆ C) holds.
Let x ∈ (A ∪ C^c) be arbitrary.
We now have two cases;
(I) x ∈ A.
(II) x ∈ C^c.

(I) x ∈ A. This means that x ∈ (A ∪ C^c) and that x ∈ (A ∪ B^c).
(II) x ∈ C^c. This implies that x ∉ C. Because we assume (B ⊆ C) holds, this means that x ∉ B, thus x ∈ B^c. Which means that x ∈ (A ∪ C^c) and that x ∈ (A ∪ B^c).

So, whether x ∈ A or x ∈ C^c, x can be found in both sets. Which means that ((A ∪ C^c) ⊆ (A ∪ B^c)).

Ik probeer aan te tonen dat span{g_t: t > 0}, waar g_t (x) = 1/(t+x) functies van R₊ naar C zijn, gesloten is onder vermenigvuldiging.

Voor t ongelijk aan s kan ik met behulp van breuksplitsen aantonen dat g_t g_s in de span zit.

Voor het geval g_t² mislukt breuksplitsen, Zit dat wel in de span? Iemand een idee?

quote:

Op woensdag 24 september 2014 18:01 schreef zerak het volgende:

[..]

Bedankt voor de feedback. Ik begrijp dus dat ik wat voorbarig concludeer?
Revisie:

For all sets A, B and C, (B ⊆ C) ⇒ ((A ∪ C^c) ⊆ (A ∪ B^c)).

Assume (B ⊆ C) holds.
Let x ∈ (A ∪ C^c) be arbitrary.
We now have two cases;
(I) x ∈ A.
(II) x ∈ C^c.

(I) x ∈ A. This means that x ∈ (A ∪ C^c) and that x ∈ (A ∪ B^c).
(II) x ∈ C^c. This implies that x ∉ C. Because we assume (B ⊆ C) holds, this means that x ∉ B, thus x ∈ B^c. Which means that x ∈ (A ∪ C^c) and that x ∈ (A ∪ B^c).

So, whether x ∈ A or x ∈ C^c, x can be found in both sets. Which means that ((A ∪ C^c) ⊆ (A ∪ B^c)).

Het blijft een beetje warrig. Het idee is wel goed, maar ik zou het zo zeggen:






Je neemt dus aan dat het element in de set links van het -teken zit, en laat zien dat het dan in de rechter zit. Je opmerking dat het dan in beide zit is niet nodig.

Zit niet in de span: die bevat alleen functies met enkelvoudige polen.

Waarbij we natuurlijk nog wel even opmerken dat dergelijke funties uniek voortzetbaar zijn tot een meromorfe (of rationale) functie op C.

[ Bericht 5% gewijzigd door thabit op 25-09-2014 22:36:45 ]

quote:

Op donderdag 25 september 2014 22:06 schreef thabit het volgende:
Zit niet in de span: die bevat alleen functies met enkelvoudige polen.

Helaas. Dan ga ik puntje (ii) hier proberen te begrijpen, bedankt.

quote:

Op dinsdag 23 september 2014 22:17 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik betwijfel of dit er letterlijk staat, want afgezien van je typo(?) is de juiste term binomial theorem. Het bijvoeglijk naamwoord binominal bestaat ook, maar dat heeft een andere betekenis. Ook de eerste zin is niet iets wat een native speaker zo op zou schrijven. Wellicht is je tekst geschreven door een Nederlandse docent die veel minder goed Engels kent dan hij of zij wel denkt, dat zou niet de eerste keer zijn.

Maar goed, F(x) = x³(1 + x)ⁿ is een polynoom in x van de graad n+3, en als je dat n maal differentieert dan is F⁽ⁿ⁾(x) een polynoom van de derde graad. Voor een geheel getal m met 0 ≤ m < n is de n-de afgeleide van x^m naar x identiek gelijk aan nul, en voor m ≥ n hebben we



zodat we krijgen



wat dus geeft

Ik zie het nu pas, maar hartelijk bedankt.
Deze uitleg snap ik

Hoe moet ik C benaderen als ik de afgeleide wil bepalen van y, waarvan de functie y = c/x ?

En daarnaast:



Hoe komt het dat op het einde (rechtsonder) de x² opeens x wordt?

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 10:52 schreef RustCohle het volgende:
Hoe moet ik C benaderen als ik de afgeleide wil bepalen van y, waarvan de functie y = c/x ?

En daarnaast:

[ afbeelding ]

Hoe komt het dat op het einde (rechtsonder) de x² opeens x wordt?

Ze substitueren y = c/x in de vergelijking van y'

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 11:14 schreef OllieWilliams het volgende:

[..]

Ze substitueren y = c/x in de vergelijking van y'

Klopt en dan krijg je y' = - c/x² maar op het einde staat er dan weer = -y/x

en dan vraag ik mij af wat er met de kwadraat gebeurd is?

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 11:34 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Klopt en dan krijg je y' = - c/x² maar op het einde staat er dan weer = -y/x

en dan vraag ik mij af wat er met de kwadraat gebeurd is?

y' = -c/x² = -(c/x)*(1/x) = -(y)*(1/x) = -y/x

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 11:38 schreef Alrac4 het volgende:

[..]

y' = -c/x² = -(c/x)*(1/x) = -(y)*(1/x) = -y/x

Top. Dankjewel!

Weet jij welke regel hier gebruikt wordt? Volgens mij de productregel toch? Ik weet wel wat er gedaan wordt hoor, daar niet van, maar ik ben benieuwd of hier een productregel of kettingregel toegepast wordt of anders een combinatie van beide. Ik dacht zelf een combinatie van beide. Want ik snap niet hoe ze tot dat laatste gedeelte komen (+ 3x² f'(x)... )



Tot aan + 6xf(x) wordt er gewerkt met de kettingregel die gebruikt wordt bij composite functions, maar vanaf 6xf(x) weet ik niet wat ze doen.. Nja ik weet wel wat er gedaan wordt, maar ik begrijp de gedachtegang niet.

[ Bericht 12% gewijzigd door RustCohle op 26-09-2014 11:50:58 ]

Wat ik mij verder afvraag is het volgende:



Op het punt (0, ³√13) is y' = 0. Dat heb ik begrepen, maar x hoeft toch niet altijd 0 te zijn, zodat y'= 0 ? Kan iemand mij dit verklaren? Met de tekening ernaast is het logisch dat als je x = 0 invult je dan een y waarde krijgt en op dat punt dan y' = 0 , want er is een maximum. Maar zonder tekening is het wel lastig om te weten dat ik x = 0 moet invullen, omdat ik niet weet dat er op x = 0 een maximum/minimum wordt bereikt, het kan namelijk net zo goed op x = 5 gebeuren toch?

Hallo,

Zou iemand mij met de volgende vraagstukken van mij kunnen helpen:

1.



Waarom mag je van het eerste stuk de ' ln y' eruit halen voor 1/y want

1/y * dy / dx is toch dy / dxy ? Ik snap de notatie van Leibniz niet helemaal...

2.

Ik snap hier niet hoe

dln y / dln x = dln y / dx * dx / dln x want

d ln y * dx = d²xlny toch? Hetzelfde geldt dan voor dx * dln x = d²ln x² ?


Of zit ik er compleet naast? Ik ben niet zo bekend met de notatie van Leibniz en ik zou hier graag meer duidelijkheid over willen.

Ik snap het helemaal eigenlijk niet.. Dit is het volledige plaatje:



Bij voorbaat dank!


P.S; een heel simpel voorbeeld waarvan al duidelijk kan zijn voor mij dat ik al helemaal geen ruk van de notatie van Leibniz begrijp:



Dit betekent niet meer dan dat ''ln y gedifferentieerd moet worden naar ln x'', maar dat begrijp ik dus niet..

Ik heb gewoon uit mijn hoofd geleerd dat als je bijv. hebt d/dx en je hebt x² dat de afgeleide dan 2x is (op zijn simpelst).

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 14:22 schreef BroodjeKebab het volgende:
Hallo,

Zou iemand mij met de volgende vraagstukken van mij kunnen helpen:

1.

[ afbeelding ]

Waarom mag je van het eerste stuk de ' ln y' eruit halen voor 1/y want

1/y * dy / dx is toch dy / dxy ? Ik snap de notatie van Leibniz niet helemaal...

2. [ afbeelding ]

Ik snap hier niet hoe

dln y / dln x = dln y / dx * dx / dln x want

d ln y * dx = d²xlny toch? Hetzelfde geldt dan voor dx * dln x = d²ln x² ?


Of zit ik er compleet naast? Ik ben niet zo bekend met de notatie van Leibniz en ik zou hier graag meer duidelijkheid over willen.

Ik snap het helemaal eigenlijk niet.. Dit is het volledige plaatje:

[ afbeelding ]

Bij voorbaat dank!


P.S; een heel simpel voorbeeld waarvan al duidelijk kan zijn voor mij dat ik al helemaal geen ruk van de notatie van Leibniz begrijp:

[ afbeelding ]

Dit betekent niet meer dan dat ''ln y gedifferentieerd moet worden naar ln x'', maar dat begrijp ik dus niet..

Ik heb gewoon uit mijn hoofd geleerd dat als je bijv. hebt d/dx en je hebt x² dat de afgeleide dan 2x is (op zijn simpelst).

1. 1/y dy/dx is inderdaad dy/(dx y) maar wat schiet je daar mee op? Het is duidelijker als je die ervoor zet, kan je gelijk zien dat je daar niks meer mee hoeft te doen.

Je moet d hier niet gaan zien als een variabel.
In "dy" hoort de d bij de y.

Snap je ook wat er gebeurd?
Dit is de afgeleide van ln door gebruik te maken van de ketting regel.

2. Ik snap jou gebruik van "want" niet helemaal.
Maar ook hier je moet d niet als een variabel zien.
En ln gebruik je daar ook opeens als variabel...
x ln x is niet gelijk aan ln x²

Dit mag wel
d/dx d/dx = d²/dx²
maar hier heb je twee keer de afgeleide naar x, die mag je wel kwadrateren.

d/dx d/dy = d²/(dx dy), hier kan dat dus niet.
De bovenste d kan maar makt het nu niet veel duidelijker.


Weet je wat de kettingregel is?
En kan je die beschrijven met een andere notatie?

[ Bericht 1% gewijzigd door t4rt4rus op 26-09-2014 15:37:24 ]

Bij het bepalen van de afgeleide van y = x^a (px + q)^b ga ik ergens de fout in, maar ik weet niet waar...

y' = u ^b

u = x^a (px + q)

y' = bu^b-1 * u'

u' = ax ^a-1 * v' --> v = px + q

v' = p

Dus

y' = b [x^a(px+q)]^b-1 * [ax^a-1 * p ]

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 15:25 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

1. 1/y dy/dx is inderdaad dy/(dx y) maar wat schiet je daar mee op? Het is duidelijker als je die ervoor zet, kan je gelijk zien dat je daar niks meer mee hoeft te doen.

Je moet d hier niet gaan zien als een variabel.
In "dy" hoort de d bij de y.

Snap je ook wat er gebeurd?
Dit is de afgeleide van ln door gebruik te maken van de ketting regel.

2. Ik snap jou gebruik van "want" niet helemaal.
Maar ook hier je moet d niet als een variabel zien.
En ln gebruik je daar ook opeens als variabel...
x ln x is niet gelijk aan ln x²

Dit mag wel
d/dx d/dx = d²/dx²
maar hier heb je twee keer de afgeleide naar x, die mag je wel kwadrateren.

d/dx d/dy = d²/(dx dy), hier kan dat dus niet.
De bovenste d kan maar makt het nu niet veel duidelijker.

Weet je wat de kettingregel is?
En kan je die beschrijven met een andere notatie?

Ja de 'newton' notatie weet ik wel.

f'(x)=g'(h(x))·h'(x)

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 15:36 schreef Super-B het volgende:
Bij het bepalen van de afgeleide van y = x^a (px + q)^b ga ik ergens de fout in, maar ik weet niet waar...

y' = u ^b

u = x^a (px + q)

y' = bu^b-1 * u'

u' = ax ^a-1 * v' --> v = px + q

v' = p

Dus

y' = b [x^a(px+q)]^b-1 * [ax^a-1 * p ]

Gelijk de eerste regel

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 15:39 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Gelijk de eerste regel

Wat had het dan moeten zijn?

y' = v * u^b

waar v = x^a en u = (px + q)^b ?

Maar ja dan maak ik het mijzelf wel erg lastig.. want dan zou ik er niet uitkomen, want v zou in principe dan wegvallen bij y', dus dan zou ik de productregel moeten toepassen?

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 15:38 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Ja de 'newton' notatie weet ik wel.

f'(x)=g'(h(x))·h'(x)

Heb je de rest ook gelezen? Ik heb altijd het gevoel dat jullie alleen het laatste lezen.
Riparius geeft heel veel duidelijke uitleg en het enige waar jullie naar kijken is het antwoord...

Het is een notatie je moet dus niet d opeena gebruiken als variabel, dat snap je?

Kan je de ketting regel nu opschrijven in Leibniz notatie?

En kan je dan uitleggen wat je niet snapt?

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 15:43 schreef Super-B het volgende:

[..]

Wat had het dan moeten zijn?

y' = v * u^b

waar v = x^a en u = (px + q)^b ?

Maar ja dan maak ik het mijzelf wel erg lastig.. want dan zou ik er niet uitkomen, want v zou in principe dan wegvallen bij y', dus dan zou ik de productregel moeten toepassen?

:S

Je wil toch de afgeleide van y naar x uitrekenen?
Dan valt x^a toch echt niet zomaar weg.
Ja productregel moet je toepassen.

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 15:54 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

:S

Je wil toch de afgeleide van y naar x uitrekenen?
Dan valt x^a toch echt niet zomaar weg.
Ja productregel moet je toepassen.

Ja je hebt gelijk.. Ben eruit gekomen.

Ik loop bij een nieuw vraagstuk vast bij de tweede afgeleide..

y = (1 + x²) ^1/2

Als eerste afgeleide kwam ik uit op:

1/2 (1+x²)^-1/2

Bij de tweede had ik:

y'' = 1/2 u ^-1/2 --> u' = 2x

y'' = -1/4 u ^-3/2 * u' = -1/4 (1+x² ) ^-3/2 * 2x

Klopt dit?

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 16:43 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ja je hebt gelijk.. Ben eruit gekomen.

Ik loop bij een nieuw vraagstuk vast bij de tweede afgeleide..

y = (1 + x²) ^1/2

Als eerste afgeleide kwam ik uit op:

1/2 (1+x²)^-1/2

Bij de tweede had ik:

y'' = 1/2 u ^-1/2 --> u' = 2x

y'' = -1/4 u ^-3/2 * u' = -1/4 (1+x² ) ^-3/2 * 2x

Klopt dit?

Om na te gaan of een afgeleide klopt is wolframalpha zeer geschikt. Mocht blijken dat je gevonden afgeleide niet klopt kun je hier altijd je methode nog plaatsen en vragen om uitleg

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 16:47 schreef OllieWilliams het volgende:

[..]

Om na te gaan of een afgeleide klopt is wolframalpha zeer geschikt. Mocht blijken dat je gevonden afgeleide niet klopt kun je hier altijd je methode nog plaatsen en vragen om uitleg

Volgens Wolfram Alpha klopt die eerste afgeleide. Die tweede niet..

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 16:43 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ja je hebt gelijk.. Ben eruit gekomen.

Ik loop bij een nieuw vraagstuk vast bij de tweede afgeleide..

y = (1 + x²) ^1/2

Als eerste afgeleide kwam ik uit op:

1/2 (1+x²)^-1/2

Bij de tweede had ik:

y'' = 1/2 u ^-1/2 --> u' = 2x

y'' = -1/4 u ^-3/2 * u' = -1/4 (1+x² ) ^-3/2 * 2x

Klopt dit?

Je notatie klopt niet, probeer het nog eens.

Nu heb je twee keer y'' staan, de eerste moet y' zijn.
Ik heb niet verder gekeken, doe eerst maar eens beter je best met notatie en UITLEG.

En nee het klopt niet.
Maar begin eerst maar eens met beter gestructureerd opschrijven wat je doet.

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 16:50 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Je notatie klopt niet, probeer het nog eens.

Nu heb je twee keer y'' staan, de eerste moet y' zijn.
Ik heb niet verder gekeken, doe eerst maar eens beter je best met notatie en UITLEG.

En nee het klopt niet.
Maar begin eerst maar eens met beter gestructureerd opschrijven wat je doet.

y = (1 + x²) ^1/2

Als eerste afgeleide kwam ik uit op:

1/2 (1+x²)^-1/2 * 2x

Dit is goed volgens Wolfram Alpha.

Terugblikkend op mijn vorige post, lijkt het nergens op. Ik heb echt geen idee.. Door die haakjes..

[ Bericht 0% gewijzigd door Super-B op 26-09-2014 17:03:30 ]

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 16:56 schreef Super-B het volgende:

[..]

y = (1 + x²) ^1/2

Als eerste afgeleide kwam ik uit op:

1/2 (1+x²)^-1/2

Dit is goed volgens Wolfram Alpha.

Terugblikkend op mijn vorige post, lijkt het nergens op. Ik heb echt geen idee.. Door die haakjes..

Nee je geeft gewoon totaal geen uitleg, heeft niks met haakjes te maken.

Wat heb je in wolframalpha ingevuld? Want het klopt niet, of ik lees niet goed...

En graag geen DM want die doet vaag op de mobiele versie.
Daarnaast kan dat hier ook gewoon.

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 17:01 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Nee je geeft gewoon totaal geen uitleg, heeft niks met haakjes te maken.

Wat heb je in wolframalpha ingevuld? Want het klopt niet, of ik lees niet goed...

Zie edit:

1/2 (1+x²)^-1/2 * 2x

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 17:03 schreef Super-B het volgende:

[..]

Zie edit:

1/2 (1+x²)^-1/2 * 2x

En nu de hele berekening met uitleg...

Als je dat hebt voor de eerste kan je het daarna herhalen met de tweede afgeleide...

[ Bericht 4% gewijzigd door t4rt4rus op 26-09-2014 17:19:32 ]

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 17:13 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

En nu de hele berekenen met uitleg...

y = (1+x²)^1/2

1+x² gelijkstellen aan u, dus u = 1+x²

y' = 1/2u^-1/2 * u' (standaardregel toepassen, evenals de kettingregel).
y' = 1/2(1+x²)^-1/2 * 2x (2x, want de afgeleide van u (u') = 2x)

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 17:19 schreef Super-B het volgende:

[..]

y = (1+x²)^1/2

1+x² gelijkstellen aan u, dus u = 1+x²

y' = 1/2u^-1/2 * u' (standaardregel toepassen, evenals de kettingregel).
y' = 1/2(1+x²)^-1/2 * 2x (2x, want de afgeleide van u (u') = 2x)

Oke dit lijkt te kloppen.
Maar je hoeft niet alles op 1 lijn te zetten.
Dus afgeleide van u kan je appart zetten en later weer invullen.
Je tweede regel is een beetje dubbel.

Kan je nu hetzelfde doen met de tweede afgeleide?

-edit- Voorbeeld
Bereken afgeleide van

Substitueer

Dan krijgen we


Afgeleide van f naar u is


Afgeleide u naar x is


Gebruik maken van de kettingregel en substitueren van u geeft dan


Zo heb ik even getext op mijn mobiel...
En dit is toch veel duidelijker dan jouw 4 regels.

Laatste stap voor BroodjeKebab nog even met een extra stap

Kettingregel toepassen

Substitueer u


Snapt BroodjeKebab nu ook de Leibniz notatie en kettingregel?

[ Bericht 23% gewijzigd door t4rt4rus op 26-09-2014 18:30:00 ]

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 17:43 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Oke dit lijkt te kloppen.
Maar je hoeft niet alles op 1 lijn te zetten.
Dus afgeleide van u kan je appart zetten en later weer invullen.
Je tweede regel is een beetje dubbel.

Kan je nu hetzelfde doen met de tweede afgeleide?

-edit- Voorbeeld
Bereken afgeleide van

Substitueer

Dan krijgen we


Afgeleide van f naar u is


Afgeleide u naar x is


Gebruik maken van de kettingregel en substitueren van u geeft dan


Zo heb ik even getext op mijn mobiel...
En dit is toch veel duidelijker dan jouw 4 regels.

Laatste stap voor BroodjeKebab nog even met een extra stap

Kettingregel toepassen

Substitueer u


Snapt BroodjeKebab nu ook de Leibniz notatie en kettingregel?

Ja top bedankt!!

Hoe differentieer je een exponentiele functie?

10^-x

Ik weet dat ik -x gelijk moet stellen aan u (dus u = -x ) en dat ik de kettingregel moet toepassen, maar dan loop ik vast?!

Ik zou denken aan

u*10^-x-1 * u'


u' = -1

Dus

-10x ^-x-1 * -1

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 21:37 schreef BroodjeKebab het volgende:
Hoe differentieer je een exponentiele functie?

10^-x

Ik weet dat ik -x gelijk moet stellen aan u (dus u = -x ) en dat ik de kettingregel moet toepassen, maar dan loop ik vast?!

Ik zou denken aan

u*10^-x-1 * u'

u' = -1

Dus

-10x ^-x-1 * -1

Verzin eerst eens wat de afgeleide is van f(x) = 10^x.

De exponent ^x-1 komt er in ieder geval niet in voor.

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 21:46 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Verzin eerst eens wat de afgeleide is van f(x) = 10^x.

De exponent ^x-1 komt er in ieder geval niet in voor.

10^x.ln 10

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 21:48 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

10^x.ln 10

Goedzo!. En nu de kettingregel gebruiken met 10^-x.

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 21:49 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Goedzo!. En nu de kettingregel gebruiken met 10^-x.

10^-x ln 10 ? Ik snap de afgeleide van de exponentiële functies niet zo goed.. Want ik ken de regel wel, maar de betekenis/gedachte ervan niet, vandaar dat het mij dan ook snel klem zet, als er moeilijke vragen tevoorschijn komen.

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 21:50 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

10^-x ln 10 ? Ik snap de afgeleide van de exponentiële functies niet zo goed.. Want ik ken de regel wel, maar de betekenis/gedachte ervan niet, vandaar dat het mij dan ook snel klem zet, als er moeilijke vragen tevoorschijn komen.

Bekijk eerst

f(x) = e^x.
Als het goed is weet je dat f'(x) = f"(x) = ... = e^x.

Voor g(x) = c^x, met c een of andere constante >0, kunnen we ook schrijven
g(x) = e^{x·ln c} (Oh ja?)
En nu kunnen we zien, met behulp van de kettingregel, dat
g'(x) = e^{x·ln c} ·ln c = c^x·ln c

Hierbij moet je het volgende onthouden, om niet in de war te raken: de reflex om één van de exponent af te trekken komt voort uit de regels van machtsfuncties. Machtsfuncties en exponentiële functies zijn echter écht twee verschillende dingen: bij een machtsfunctie is de exponent constant, bij exponentiële functies is de exponent de variabele. Het verschil tussen x² en 2^x, zeg maar.

Nu jouw functie f(x) = 10^-x. Om jouw manier met de substitutie met u te gebruiken:
f(x) = 10^u met u = -x.

Dan f'(x) = f'(u) ·u' = ln 10·10^u·-1 = -ln 10·10^-x

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 21:59 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Bekijk eerst

f(x) = e^x.
Als het goed is weet je dat f'(x) = f"(x) = ... = e^x.

Voor g(x) = c^x, met c een of andere constante >0, kunnen we ook schrijven
g(x) = e^{x·ln c} (Oh ja?)
En nu kunnen we zien, met behulp van de kettingregel, dat
g'(x) = e^{x·ln c} ·ln c = c^x·ln c

Hierbij moet je het volgende onthouden, om niet in de war te raken: de reflex om één van de exponent af te trekken komt voort uit de regels van machtsfuncties. Machtsfuncties en exponentiële functies zijn echter écht twee verschillende dingen: bij een machtsfunctie is de exponent constant, bij exponentiële functies is de exponent de variabele. Het verschil tussen x² en 2^x, zeg maar.

Nu jouw functie f(x) = 10^-x. Om jouw manier met de substitutie met u te gebruiken:
f(x) = 10^u met u = -x.

Dan f'(x) = f'(u) ·u' = ln 10·10^u·-1 = -ln 10·10^-x

Ik heb alles begrepen wat je zei tot op het eind na.. (vetgedrukte)...

Ik weet wel dat u' = -1, maar ik zie gewoon niet dat de afgeleide van 10^u ln 10 * 10^u is..

Waarom werkte je bij je uitleg met u' ?

Dan zou je toch ook moeten hebben: c^u * ln c * u'

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 21:59 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Bekijk eerst

f(x) = e^x.
Als het goed is weet je dat f'(x) = f"(x) = ... = e^x.

Voor g(x) = c^x, met c een of andere constante >0, kunnen we ook schrijven
g(x) = e^{x·ln c} (Oh ja?)
En nu kunnen we zien, met behulp van de kettingregel, dat
g'(x) = e^{x·ln c} ·ln c = c^x·ln c

Hierbij moet je het volgende onthouden, om niet in de war te raken: de reflex om één van de exponent af te trekken komt voort uit de regels van machtsfuncties. Machtsfuncties en exponentiële functies zijn echter écht twee verschillende dingen: bij een machtsfunctie is de exponent constant, bij exponentiële functies is de exponent de variabele. Het verschil tussen x² en 2^x, zeg maar.

Nu jouw functie f(x) = 10^-x. Om jouw manier met de substitutie met u te gebruiken:
f(x) = 10^u met u = -x.

Dan f'(x) = f'(u) ·u' = ln 10·10^u·-1 = -ln 10·10^-x

Waarom komt die ln c er eigenlijk bij?

als de afgeleide van de e^x = e^x dan is

c^x toch ook c ^x (afgeleide)?

Of denk ik te krom?

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 21:59 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Bekijk eerst

f(x) = e^x.
Als het goed is weet je dat f'(x) = f"(x) = ... = e^x.

Voor g(x) = c^x, met c een of andere constante >0, kunnen we ook schrijven
g(x) = e^{x·ln c} (Oh ja?)
En nu kunnen we zien, met behulp van de kettingregel, dat
g'(x) = e^{x·ln c} ·ln c = c^x·ln c

Hierbij moet je het volgende onthouden, om niet in de war te raken: de reflex om één van de exponent af te trekken komt voort uit de regels van machtsfuncties. Machtsfuncties en exponentiële functies zijn echter écht twee verschillende dingen: bij een machtsfunctie is de exponent constant, bij exponentiële functies is de exponent de variabele. Het verschil tussen x² en 2^x, zeg maar.

Nu jouw functie f(x) = 10^-x. Om jouw manier met de substitutie met u te gebruiken:
f(x) = 10^u met u = -x.

Dan f'(x) = f'(u) ·u' = ln 10·10^u·-1 = -ln 10·10^-x

Was het overigens niet e^u en dat u = 10 ^-x ?

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 22:06 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Waarom komt die ln c er eigenlijk bij?

als de afgeleide van de e^x = e^x dan is

c^x toch ook c ^x (afgeleide)?

Of denk ik te krom?

De afgeleide van c^x is alleen gelijk aan c^x als c gelijk is aan e.

Waarom die ln c erbij komt heeft ze ook uitgelegd.

c^x = e^(ln c^x) = e^(x ln c)
En van die laatste kan je vast wel verzinnen waarom die ln c er bij moet komen in de afgeleide.
Iets met een ketting en een regel.

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 22:03 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Ik heb alles begrepen wat je zei tot op het eind na.. (vetgedrukte)...

Ik weet wel dat u' = -1, maar ik zie gewoon niet dat de afgeleide van 10^u ln 10 * 10^u is..

Als dat zo is dan moet je toch nog eens goed kijken naar de regels die boven het vetgedrukte staan, want daar staat de uitleg van het differentiëren van een exponentiële functie met een grondtal anders dan e.

quote:

Waarom werkte je bij je uitleg met u' ?

Dan zou je toch ook moeten hebben: c^u * ln c * u'

OK, ik zal het differentiëren nog eens herschrijven met behulp van de substitutie met u. Het is niet direct mijn favoriete manier, maar aangezien jij er zelf mee kwam (en het bepaald niet ongebruikelijk is) neem ik dat over.

De afgeleide van e^x is weer e^x. Alleen de exponentiële functie met het grondtal e is zijn eigen afgeleide.

Stel dat we de exponentiële functie g(x) = 10^x willen differentiëren. Dan proberen we deze eerst te herschrijven als een e-macht, omdat we daar de afgeleide al van kennen. [Dit is eigenlijk de modus operandi van iedere wiskundige - probeer een probleem te herleiden naar een probleem waar je de oplossing al van kent]
Omdat 10 = e^ln10, is 10^x = (e^ln10)^x = e^x·ln10

Nu passen we de kettingregel toe om te differentiëren: subst. u = x·ln10, dan
g'(x) = g'(u)·u' = e^u·ln 10, en nu vullen we weer in dat u = x·ln10 dus staat er
g'(x) = e^x·ln10·ln 10 = 10^x·ln 10

Dit werkt op deze manier natuurlijk met ieder grondtal >0, waardoor als h(x) = c^x dan h'(x) = c^x·ln c.
Hieraan kun je ook weer zien dat e^x zijn eigen afgeleide is, want ln e = 1.

Ik leg de kettingregel meestal zo uit:
Als f een samengestelde functie is van de vorm f(x) = g(h(x)), dan is f'(x) = g'(h(x))·h'(x).
In jouw geval is f(x) = 10^-x, dan is g(x) = 10^x en h(x) = -x.

Dan is f'(x) = ln 10·10^-x·-1

Is het trouwens echt noodzakelijk om één post drie keer achter elkaar te quoten?

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 22:22 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Als dat zo is dan moet je toch nog eens goed kijken naar de regels die boven het vetgedrukte staan, want daar staat de uitleg van het differentiëren van een exponentiële functie met een grondtal anders dan e.

[..]

OK, ik zal het differentiëren nog eens herschrijven met behulp van de substitutie met u. Het is niet direct mijn favoriete manier, maar aangezien jij er zelf mee kwam (en het bepaald niet ongebruikelijk is) neem ik dat over.

De afgeleide van e^x is weer e^x. Alleen de exponentiële functie met het grondtal e is zijn eigen afgeleide.

Stel dat we de exponentiële functie g(x) = 10^x willen differentiëren. Dan proberen we deze eerst te herschrijven als een e-macht, omdat we daar de afgeleide al van kennen. [Dit is eigenlijk de modus operandi van iedere wiskundige - probeer een probleem te herleiden naar een probleem waar je de oplossing al van kent]
Omdat 10 = e^ln10, is 10^x = (e^ln10)^x = e^x·ln10

Nu passen we de kettingregel toe om te differentiëren: subst. u = x·ln10, dan
g'(x) = g'(u)·u' = e^u·ln 10, en nu vullen we weer in dat u = x·ln10 dus staat er
g'(x) = e^x·ln10·ln 10 = 10^x·ln 10

Dit werkt op deze manier natuurlijk met ieder grondtal >0, waardoor als h(x) = c^x dan h'(x) = c^x·ln c.
Hieraan kun je ook weer zien dat e^x zijn eigen afgeleide is, want ln e = 1.

Ik leg de kettingregel meestal zo uit:
Als f een samengestelde functie is van de vorm f(x) = g(h(x)), dan is f'(x) = g'(h(x))·h'(x).
In jouw geval is f(x) = 10^-x, dan is g(x) = 10^x en h(x) = -x.

Dan is f'(x) = ln 10·10^-x·-1

Is het trouwens echt noodzakelijk om één post drie keer achter elkaar te quoten?

DANKJEWEL!!!! HET IS EINDELIJK DUIDELIJK NA 3,5 UUR!

Ik moest de afgeleide bepalen van de volgende functie:

y = e^xx^-2

Ik had de productregel toegepast:

y' = e^x * x^-2 + e^x * -2x^-3

herschreven tot:

y' = e^x ( x^-2 -2x^-3 )

Klopt dit ? Antwoordenboek zegt namelijk wat anders..


antwoordenboek (ben benieuwd hoe ze erop komen):

y' = e^x ( x-2) / x³

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:01 schreef BroodjeKebab het volgende:
(ben benieuwd hoe ze erop komen)

Wat betekent x^-3?

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:03 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Wat betekent x^-3?

1 / x³

Ik raak alleen door de war door mijn eigen haakjes etc..

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:04 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

1 / x³

Heel goed. Ga 'm nu eens netjes uitschrijven, dan zie je 'm denk ik wel. Bedenk daarbij dat x^-2 = 1/x² = x/x³

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:06 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

...

Bij het differentieren van y = 2e^x³ :

valt die 2 uiteindelijk dan weg of niet?

Ik heb namelijk:

y = f(x) * g(x)

g'(x) = e ^x³ * 3x²

g'(x) = 3x²e^x³

y' = 2e^x³ + 2 * 3x²e^x³
y' = 2 * e^x³ + 6x²e^x³

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:17 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Bij het differentieren van y = 2e^x³ :

valt die 2 uiteindelijk dan weg of niet?

Ik heb namelijk:

y = f(x) * g(x)

g'(x) = e ^x³ * 3x²

g'(x) = 3x²e^x³

y' = 2e^x³ + 2 * 3x²e^x³
y' = 2 * e^x³ + 6x²e^x³

Je moet zelf maar even opzoeken waar je denkfout zit, want ik kan hier geen chocola van maken.

In ieder geval heb je voor het differentiëren van f(x) = 2e^x³ niet de productregel nodig, maar de kettingregel.

f(x) = 2e^g(x) waarbij g(x)=x³.
Dan f'(x) = 2e^g(x) · g'(x) = 2e^x³·3x² = 6x²e^x³

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:22 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Je moet zelf maar even opzoeken waar je denkfout zit, want ik kan hier geen chocola van maken.

In ieder geval heb je voor het differentiëren van f(x) = 2e^x³ niet de productregel nodig, maar de kettingregel.

f(x) = 2e^g(x) waarbij g(x)=x³.
Dan f'(x) = 2e^g(x) · g'(x) = 2e^x³·3x² = 6x²e^x³

Ohhh....oke..

Ik heb deze tip toegepast op een nieuwe vraagstuk om een eerste afgeleide te bepalen:

y = e^1/x

Ik heb ervan gemaakt:

y' = -x^-2e^1/x

Alleen hoe zou ik van deze de tweede afgeleide kunnen bepalen?

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:28 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Ohhh....oke..

Ik heb deze tip toegepast op een nieuwe vraagstuk om een eerste afgeleide te bepalen:

y = e^1/x

Ik heb ervan gemaakt:

y' = -x^-2e^1/x

Alleen hoe zou ik van deze de tweede afgeleide kunnen bepalen?

Als je je eigen vaardigheden wil testen probeer je het op twee manieren, namelijk één keer met de productregel en één keer met de quotiëntregel. En dan kijken of er hetzelfde uitkomt.

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:30 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Als je je eigen vaardigheden wil testen probeer je het op twee manieren, namelijk één keer met de productregel en één keer met de quotiëntregel. En dan kijken of er hetzelfde uitkomt.

Met de productregel kom ik uit op:

(e^1/x * -x ^-2 ) * -x^-2 + e^1/x * 2x ^-3

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:32 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Met de productregel kom ik uit op:

(e^1/x * -x ^-2 ) * -x^-2 + e^1/x * 2x ^-3

Correct, en nu nog even wat korter opschrijven.

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:36 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Correct, en nu nog even wat korter opschrijven.

Echt waar? Dan ben ik wel heel onzeker, ik dacht dat het fout was.

Hoe kan ik het korter opschrijven?

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:37 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Echt waar? Dan ben ik wel heel onzeker, ik dacht dat het fout was.

Hoe kan ik het korter opschrijven?

(e^1/x * -x ^-2 ) * -x^-2 + e^1/x * 2x ^-3

= e^1/x * x^-4 + e^1/x * 2x^-3

= e^1/x * (x^-4 + 2x^-3)

= e^1/x(1+2x) / x⁴

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:41 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

(e^1/x * -x ^-2 ) * -x^-2 + e^1/x * 2x ^-3

= e^1/x * x^-4 + e^1/x * 2x^-3

= e^1/x * (x^-4 + 2x^-3)

= e^1/x(1+2x) / x⁴

Ik zie niet waarom die e met 1/x niet vermenigvuldigt wordt met -x^-2 ?

Hetzelfde geldt dat ik niet snap hoe je van die één na laatste naar die laatste herschrijving gaat?

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:44 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Ik zie niet waarom die e met 1/x niet vermenigvuldigt wordt met -x^-2 ?

Het eerste gedeelte, voor het +-teken, is van de vorm (a*b)*c. Dit is uiteraard gewoon gelijk aan a*b*c.

quote:

Hetzelfde geldt dat ik niet snap hoe je van die één na laatste naar die laatste herschrijving gaat?

Ik zal een stap voor je toevoegen. Ik denk dat het verstandig is dat je nog even wat gaat terugbladeren in de hoofdstukken die algebraïsche vaardigheden zoals herleiden behandelen.

= e^1/x * (x^-4 + 2x^-3)

= e^1/x * (1 * x^-4 + 2x * x^-4)

= e^1/x * x^-4 * (1 + 2x)

= e^1/x(1+2x) / x⁴

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:51 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Het eerste gedeelte, voor het +-teken, is van de vorm (a*b)*c. Dit is uiteraard gewoon gelijk aan a*b*c.

[..]

Ik zal een stap voor je toevoegen. Ik denk dat het verstandig is dat je nog even wat gaat terugbladeren in de hoofdstukken die algebraïsche vaardigheden zoals herleiden behandelen.

= e^1/x * (x^-4 + 2x^-3)

= e^1/x * (1 * x^-4 + 2x * x^-4)

= e^1/x * x^-4 * (1 + 2x)

= e^1/x(1+2x) / x⁴

Aha oke thnx

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 14:22 schreef BroodjeKebab het volgende:
Ik snap de notatie van Leibniz niet helemaal...

Maak daar maar van helemaal niet. Begin met deze uitleg van mij nog eens heel goed te bestuderen.

quote:

2. [ afbeelding ]

Ik snap hier niet hoe

dln y / dln x = dln y / dx * dx / dln x want

d ln y * dx = d²xlny toch? Hetzelfde geldt dan voor dx * dln x = d²ln x² ?

Of zit ik er compleet naast? Ik ben niet zo bekend met de notatie van Leibniz en ik zou hier graag meer duidelijkheid over willen.

Je bent hier aan het goochelen met symbolen op een manier die mij in ieder geval duidelijk maakt dat je er nog niets van begrijpt. Om te beginnen is die d niet een grootheid maar een operator. Verder kun je hier beter haakjes gebruiken en het zo opschrijven:



Als we nu even alleen naar de eerste stap kijken en daarbij even z in de plaats stellen van ln y, dan staat er eigenlijk



en dit is uiteraard de kettingregel in de notatie van Leibniz. We hebben hier een variabele z die afhangt van een variabele y, en die variabele y hangt weer af van een variabele x. De kettingregel zegt nu dat we de rate of change van z ten opzichte van x, dus dz/dx, kunnen berekenen door de rate of change van z ten opzichte van y, dus dz/dy, te vermenigvuldigen met de rate of change van y ten opzichte van x, dus dy/dx.

Het is helemaal niet moeilijk om in te zien waarom dit zo moet zijn. We hebben hier eigenlijk een samenstelling van twee functies, die we f en g zouden kunnen noemen, maar dat is niet essentieel. Eén van de prettige aspecten van de Leibniz notatie is namelijk dat we hiermee direct met variabelen en veranderingen van variabelen die afhangen van andere variabelen kunnen werken, zonder dat we eerst namen hoeven te verzinnen voor al die afhankelijkheidsrelaties (oftewel functies).

Maar goed, stel dat we een functie f hebben waarbij x de onafhankelijke variabele is en y de afhankelijke variabele, zodat dus



dan kun je deze functie beschouwen als een black box waar je iets in stopt, namelijk een waarde x, en waar dan ook weer iets uit komt, namelijk een waarde y. We kunnen dan zeggen dat x de input is van deze functie en y de output.

Stel nu verder dat we nog een tweede functie g hebben die we uiteraard eveneens als een black box kunnen beschouwen waar we eveneens iets in kunnen stoppen en waar dan ook weer iets uit komt. Als we nu de output van onze eerste functie f, dus de variabele y, in deze tweede black box stoppen als input, dan komt hier ook weer een waarde uit, die we bijvoorbeeld aan kunnen geven met de letter z. We zeggen dan dat y de onafhankelijke variabele is van de functie g en dat z de afhankelijke variabele is van onze functie g en we kunnen dit noteren als



en omdat y = f(x) kunnen we hiervoor ook schrijven



We zien dus dat z nu afhangt van x, en dat is volkomen begrijpelijk, want als we iets aan x veranderen, dan verandert er (in het algemeen) iets aan y, en als er iets aan y verandert, dan verandert er (in het algemeen) weer iets aan z. Dat komt natuurlijk omdat we onze twee black boxes f en g hebben gekoppeld, de output y van de eerste black box gebruiken we als input voor de tweede black box.

We hebben zo dus een samenstelling van deze twee black boxes, en als we hier een grote doos omheen doen, dan kunnen we aan de buitenkant niet meer zien dat het er twee zijn, maar dan hebben we één (grote) doos waar we een waarde van x in stoppen en waar dan een waarde van z uit komt. Als we deze nieuwe black box, oftewel deze nieuwe functie, nu even h noemen, dan is x dus de onafhankelijke variabele en z de afhankelijke variabele van de nieuwe functie h, dus



en omdat z = g(f(x)) kunnen we dus ook schrijven



De functie h is dus een samenstelling van de functies f en g. We kunnen dit nu symbolisch ook noteren als



Het rondje geeft hier de samenstelling aan en spreek je uit als 'na', dus h is gelijk aan g na f. Het lijkt misschien wat onnatuurlijk om dit zo op te schrijven omdat ons schrift van links naar rechts loopt en we tenslotte functie h hebben gemaakt door eerst een functie f te nemen en de output daarvan weer als input te gebruiken voor een tweede functie g, maar het grote voordeel van deze notatie is dat de volgorde van de letters g en f zo hetzelfde blijft als bij de haakjesnotatie h(x) = g(f(x)) en we zo dus niet in de war raken met de volgorde.

Als we bestuderen hoe variabelen van elkaar afhangen, dan zijn we er in het algemeen in geïnteresseerd om te weten te komen hoe een momentane verandering van een variabele afhangt van een momentane verandering van een andere variabele, en dat is nu precies wat een differentiaalquotiënt oftewel de limiet van een differentiequotiënt ons vertelt.

Als we in onze opstelling met de twee gekoppelde black boxes de input x van de eerste black box een klein beetje veranderen, zeg met een verschil Δx (spreek uit: delta x), dan zal de output y van de eerste black box (in het algemeen) ook een klein beetje veranderen, zeg met een verschil Δy. Bedenk hierbij dat we de vrijheid hebben om de input x van de eerste black box een klein beetje groter te maken, maar ook een klein beetje kleiner ten opzichte van de gekozen beginwaarde x. Dat betekent dus dat Δx zowel positief als negatief kan zijn. En uiteraard betekent dit dat het verschil Δy in output van de eerste black box ook zowel positief als negatief kan zijn. En het is vanzelfsprekend niet per se zo dat een positieve waarde van Δx ook een positieve waarde van Δy oplevert: het kan best zo zijn dat y wat kleiner wordt als we x een beetje groter maken, dat hangt er helemaal van af wat er binnenin die black box gebeurt, oftewel wat voor functie we hebben.

Nu hebben we gezien dat als we iets aan x veranderen, dat er dan (in het algemeen) ook iets aan z verandert, omdat we de output y van de eerste black box gebruiken als input voor de tweede black box. Laten we deze verandering in de waarde van z met Δz aangeven, dan kunnen we nu gaan kijken hoe de verandering Δz van de output z van de twee gekoppelde black boxes zich verhoudt tot de verandering Δx van de input x van ons gekoppelde systeem, en waarbij we die input x immers zelf in de hand hebben. Anders gezegd, we zijn nu geïnteresseerd in de verhouding Δz/Δx. Volgens de rekenregels voor breuken hebben we



of, als we dit even van rechts naar links opschrijven,



Kijk, en dit is interessant: we zien nu dat de verhouding Δz/Δx tussen de verandering van de output Δz en de verandering van de input Δx van ons gekoppelde systeem van de twee black boxes niets anders is dan het product van de verhouding Δz/Δy van de verandering van output en input van de tweede black box en de verhouding Δy/Δx van de verandering van output en input van de eerste black box.

Maar nu zijn we niet zozeer geïnteresseerd in de verhouding Δz/Δx als we de waarde x van de input van ons gekoppelde systeem een beetje veranderen van x naar x + Δx (waarbij de verandering Δx zoals gezegd ook negatief kan zijn), want de verhouding Δz/Δx is over het algemeen niet constant maar afhankelijk van de gekozen verandering Δx van onze input x, tenzij z op een lineaire manier afhangt van x. Wat we eigenlijk willen weten is de momentane verandering van de afhankelijke variabele oftewel de output z bij een momentane verandering van een gegeven waarde van de onafhankelijke variabele oftewel de input x. Daarom gaan we kijken wat er gebeurt met die verhouding Δz/Δx als we de verandering Δx steeds kleiner maken. Anders gezegd, we gaan kijken naar de limiet van de verhouding Δz/Δx voor Δx → 0.

Nu is het zo dat we de functies f en g in ieder geval continu veronderstellen, en dat betekent dat de verandering Δy van y ook naar nul toe gaat als we de verandering Δx van x naar nul laten gaan, en uiteraard zal dan ook de verandering Δz van z naar nul toe gaan omdat immers de verandering Δy van y naar nul toe gaat. We hebben



en als we nu Δx en daarmee ook Δy naar nul laten gaan, dan krijgen we dus



en dit kunnen we met de notatie van Leibniz symbolisch weergeven als



Een notatie als dy/dx noemen we traditioneel een differentiaalquotiënt, maar dit is dus feitelijk geen quotiënt maar een limiet van een quotiënt, namelijk de limiet van het differentiequotiënt Δy/Δx voor Δx → 0 waarbij y een variabele is die afhangt van een variabele x. En op precies dezelfde manier is het differentiaalquotiënt dz/dy de limiet van een differentiequotiënt Δz/Δy voor Δy → 0 waarbij z een variabele is die afhangt van een variabele y.

Eén van de grote voordelen van de notatie van Leibniz is, zoals al gezegd, dat we hiermee direct kunnen werken met een variabele die afhangt van een andere variabele zonder dat we die afhankelijkheidsrelatie oftewel functie eerst een naam hoeven te geven. Daarnaast is de notatie dy/dx direct geïnspireerd door de notatie Δy/Δx van het bijbehorende differentiequotiënt en deze symboliek maakt het bijzonder eenvoudig om bijvoorbeeld de kettingregel in bovenstaande notatie te onthouden en op te schrijven.

Hebben we nu bijvoorbeeld een variabele z die afhangt van een variabele y zodanig dat



dan is in de notatie van Leibniz



Nu staat de z voor ln y en als we hier de z vervangen door ln y dan kunnen we dus ook schrijven



Maar laten we nu eens aannemen dat die variabele y weer afhangt van een variabele x. Dan hangt z dus af van y en y weer van x, zodat uiteindelijk z afhangt van x. Volgens de kettingregel in de notatie van Leibniz hebben we dan



en als we hier weer ln y in de plaats stellen van z omdat immers z = ln y in het voorbeeld dat we nu bekijken, dan hebben we dus



oftewel



Zie je hoe eenvoudig deze notatie is te hanteren?

Maar nu gaan we het wat ingewikkelder maken. Tot nu toe hebben een variabele z die afhangt van een variabele y en waarbij geldt z = ln y en de variabele y hangt weer af van een variabele x, alleen is niet gespecificeerd hoe. Maar stel nu eens dat we nog een variabele u toevoegen die afhangt van x, en wel zo dat u = ln x. Dan is het zo dat een verandering van x uiteraard een verandering van u bewerkstelligt, en omdat een verandering van x ook een verandering geeft van y en een verandering van y weer een verandering van z, is het zo dat we met een verandering van u ten gevolge van de verandering van x ook een verandering zien van z. Maar stel nu eens dat we die verandering van z willen relateren aan die verandering van u, oftewel de rate of change willen bepalen van z ten opzichte van u, wat dan? Waarschijnlijk begint het je nu een beetje te duizelen, maar dat hoeft niet, want Leibniz is hier je grote redder in nood. We hebben immers volgens de kettingregel



Nu mogen we hier ln x in de plaats stellen van u en ln y in de plaats van z, want we hebben immers z = ln y en u = ln x, en dan krijgen we



Maar we kunnen nog verder gaan, want we hebben immers ook volgens de kettingregel



wat dus betekent dat we in de uitdrukking voor dz/du hierboven dz/dx kunnen vervangen door het product van dz/dy en dy/dx, zodat we krijgen



Substitueren we nu weer z = ln y en u = ln x, dan hebben we dus



Maar nu hadden we al gezien dat



en evenzo hebben we



en daarmee ook



zodat we de uitdrukking voor dz/du oftewel d(ln y)/(d ln x) nu kunnen schrijven als



De kettingregel wordt behalve in de notatie van Leibniz ook vaak gegeven in een andere notatie, de notatie van Lagrange, en dus is het van belang ook deze notatie alsmede het verband tussen beide notaties te begrijpen.

Laten we zeggen dat we een functie f hebben waarbij x de onafhankelijke variabele is en u de afhankelijke variabele, zodat dus



en laten we zeggen dat we een tweede functie g hebben waarbij u de onafhankelijke variabele is en y de afhankelijke variabele, dan hebben we dus ook



en aangezien u = f(x) kunnen we hiervoor dan schrijven



Denken we nog even terug aan ons model van de twee gekoppelde black boxes f en g, dan kunnen we ons dit zo voorstellen dat we een variabele x hebben die we als input in de eerste black box f stoppen, en de output u van deze black box stoppen we weer als input in een tweede black box g, die dan weer een output y levert. Het is duidelijk dat de output y die uit de tweede black box komt nu afhangt van de input x die we in de eerste black box stoppen. Doen we hier weer even een grote doos omheen zodat we aan de buitenkant niet meer zien dat het twee black boxes zijn dan hebben we één (grote) doos waar we een waarde van x in stoppen en waar dan een waarde van y uit komt. Als we deze nieuwe black box, oftewel deze nieuwe functie, nu even h noemen, dan is x dus de onafhankelijke variabele en y de afhankelijke variabele van de nieuwe functie h, dus



en omdat y = g(f(x)) kunnen we dus schrijven



Nu is de functie h dus een samenstelling van de functies f en g, en zoals we eerder zagen kunnen we dit symbolisch ook noteren als



Volgens de kettingregel in de notatie van Leibniz hebben we nu



Nu is uiteraard het differentiaalquotiënt dy/dx als limiet van Δy/Δx voor Δx → 0 hier niets anders dan de afgeleide h'(x) van h(x), want hier is Δy de verandering in de functiewaarde y = h(x) als we x laten veranderen naar x + Δx, dus Δy = h(x + Δx) − h(x), zodat we in overeenstemming met de definitie van de afgeleide functie hebben



Evenzo is dy/du = g'(u) en du/dx = f'(x) zodat we voor de kettingregel in de notatie van Lagrange dus krijgen



en aangezien u = f(x) kunnen we dit schrijven als



of, met h = g ∘ f, als



of, in symbolische vorm, als



Even een eenvoudig voorbeeld om het gebruik van de kettingregel in de notaties van Lagrange en Leibniz te illustreren. Laten we zeggen dat we de afgeleide willen bepalen van de functie



De eerste stap is altijd om na te gaan uit welke functies we ons een functie als deze samengesteld kunnen denken. Vaak helpt het daarbij om na te gaan hoe je een concrete functiewaarde voor een gegeven waarde van de onafhankelijke variabele (hier: x) zou berekenen. Welnu, dan berekenen we eerst x² + 1 en vervolgens nemen we daarvan de natuurlijke logaritme. Schematisch voorgesteld:



Als we nu het 'tussenresultaat' x² + 1 even voorstellen door de letter u en de functiewaarde ln(x² + 1) zoals te doen gebruikelijk door de letter y, dan hebben we dus



We zien nu dat we een samenstelling hebben van een functie f(x) = x² + 1 en een functie g(u) = ln u waarbij u = x² + 1. De functie f(x) = x² + 1 heeft als afgeleide f'(x) = 2x en de functie g(u) = ln u heeft als afgeleide g'(u) = 1/u zodat we dus met de kettingregel in de notatie van Lagrange krijgen



en met de kettingregel in de notatie van Leibniz hebben we y = ln u en u = x² + 1 zodat dy/du = 1/u en du/dx = 2x en dus krijgen we evenzo



Na de nodige oefening zul je merken dat je niet meer expliciet met een tussenvariabele hoeft te werken en dat je dan de afgeleide van een samengestelde functie gemakkelijk direct op kunt schrijven. In de notatie van Lagrange hebben we dan



Substitueren we in bovenstaande kettingregel in de notatie van Leibniz y = h(x) = g(f(x) en u = f(x) dan hebben we



Of, met wat minder haakjes,



en voor de afgeleide van ln(x² + 1) naar x krijgen we zo dus in de notatie van Leibniz

quote:

Ik heb gewoon uit mijn hoofd geleerd dat als je bijv. hebt d/dx en je hebt x² dat de afgeleide dan 2x is (op zijn simpelst).

Het is van belang om een goede parate kennis te hebben van zaken zoals allerlei identiteiten (merkwaardige producten, binomiaalformule, somformules voor rekenkundige en meetkundige reeksen, goniometrische identiteiten), en rekenregels voor het werken met bijvoorbeeld machten, wortels en logaritmen, alsmede rekenregels voor het differentiëren (afgeleiden van een aantal standaardfuncties, differentiëren van een som, verschil, product en quotiënt, en natuurlijk de kettingregel) maar je moet nooit, en ik herhaal, echt h-e-l-e-m-a-a-l n-o-o-i-t iets uit je hoofd leren of memoriseren dat je niet begrijpt. Pas als je een formule of identiteit werkelijk hebt begrepen en deze ook kunt afleiden mag je deze memoriseren, en dan zul je merken dat het memoriseren ervan ook geen enkele moeite meer kost. Als je de - foute - omgekeerde weg bewandelt, dan zul je alleen maar gefrustreerd raken en op zijn best alleen wat kunstjes kunnen reproduceren waarvan je de achterliggende ideeën niet begrijpt en waarmee je direct uit de bocht vliegt zodra er ook maar een greintje creativiteit van je wordt verwacht.

Tot slot nog even iets over de notatie d/dx aangezien je die hier noemt. Als we de afgeleide naar x van bijvoorbeeld x² + 6x + 9 in de notatie van Leibniz opschrijven, dan krijgen we



Dit is niet al te fraai en om typografische redenen noteert men dit meestal als



Deze notatie heeft ertoe geleid dat men



is gaan opvatten als een operator. In het algemeen kun je dus in plaats van



ook schrijven



[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 28-09-2014 20:51:40 ]

Ik heb hier een afgeleide van:

(3qt² * te^t) - (p+ qt³) * (1+t)e^t / t²e^2t

Wat moet ik nu doen? Alles delen door e^t ? Als ik dat doe, kom ik niet helemaal goed uit..

Hetzelfde geldt voor:


[2(at + bt²) (a + 2bt) - (at + bt² ) ² ] / (e^t)²

[ Bericht 10% gewijzigd door Super-B op 27-09-2014 12:14:26 ]

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:07 schreef Super-B het volgende:
Ik heb hier een afgeleide van:

3qt² * te^t) = (p+ qt³) * (1+t)e^t / (t²e^2t

Wat moet ik nu doen? Alles delen door e^t ? Als ik dat doe, kom ik niet helemaal goed uit..

Ik zal dan nog voor je gokken dat je moet differentiëren naar t en niet naar p, q of z, maar verder zal je je post toch echt moeten herschrijven zodat duidelijk wordt wat je bedoelt.
Welke functie moet je differentiëren?
Wat komt eruit volgens jouw eigen berekening?
Welke techniek heb je daarvoor gebruikt, of welke tussenstappen heb je gemaakt?

-edit- En na herlezing vraag ik me inmiddels af of je überhaupt wel moet differentiëren.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:07 schreef Super-B het volgende:
Ik heb hier een afgeleide van:

3qt² * te^t) = (p+ qt³) * (1+t)e^t / (t²e^2t

Wat moet ik nu doen? Alles delen door e^t ? Als ik dat doe, kom ik niet helemaal goed uit..

Kun je iets duidelijker zijn?
Waarvan neem je de afgeleide? Waar komt p vandaan?

Wat Janneke zei dus.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:12 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Ik zal dan nog voor je gokken dat je moet differentiëren naar t en niet naar p, q of z, maar verder zal je je post toch echt moeten herschrijven zodat duidelijk wordt wat je bedoelt.
Welke functie moet je differentiëren?
Wat komt eruit volgens jouw eigen berekening?
Welke techniek heb je daarvoor gebruikt, of welke tussenstappen heb je gemaakt?

-edit- En na herlezing vraag ik me inmiddels af of je überhaupt wel moet differentiëren.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:13 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Kun je iets duidelijker zijn?
Waarvan neem je de afgeleide? Waar komt p vandaan?

Wat Janneke zei dus.

a, b ,c , p , en q zijn constanten: Differentieer de volgende functies door t (w.r.t. t):

1. p + qt³ / te^t

2. (at + bt²)² / e^t

[ Bericht 0% gewijzigd door Super-B op 27-09-2014 12:40:03 ]

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:15 schreef Super-B het volgende:

[..]

[..]

a, b ,c , p , en q zijn constanten: Differentieer de volgende functies door t (w.r.t. t):

1. p + qt³ / te^t / te^t

2. (at + bt²)² / e^t

Aan de eerste begin ik niet eens, want ik kan op drie verschillende manieren uitleggen hoe die functie eruit ziet vanwege het gebrek aan duidelijke haakjes.

De tweede functie is van de vorm f(t) = g(t)/h(t) en dus zullen we de quotiëntregel moeten toepassen.

Deze zegt dat f'(t) = [g'(t)h(t) - g(t)h'(t)] / h'(t)²

g'(t) = 2(at + bt²)(a+2bt) met behulp van de kettingregel.
h'(t) = e^t

Nu invullen levert ons



Nu kun je inderdaad boven en onder delen door e^t (Waarom eigenlijk?), en als je dan nog wat termen bij elkaar neemt krijg je

Volgens mij bedoelt hij

1. (p + qt³) / te^t

En dan klopt zijn (editted) eerste post.

Waar moet je op uitkomen dan?

Of dat bedoelt hij niet en dan is dat het probleem.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:32 schreef Anoonumos het volgende:
Volgens mij bedoelt hij

1. (p + qt³) / te^t

En dan klopt zijn (editted) eerste post.

Waar moet je op uitkomen dan?

Of dat bedoelt hij niet en dan is dat het probleem.

Ik moet het mooier schrijven ofwel herschrijven.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:29 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Aan de eerste begin ik niet eens, want ik kan op drie verschillende manieren uitleggen hoe die functie eruit ziet vanwege het gebrek aan duidelijke haakjes.

De tweede functie is van de vorm f(t) = g(t)/h(t) en dus zullen we de quotiëntregel moeten toepassen.

Deze zegt dat f'(t) = [g'(t)h(t) - g(t)h'(t)] / h'(t)²

g'(t) = 2(at + bt²)(a+2bt) met behulp van de kettingregel.
h'(t) = e^t

Nu invullen levert ons



Nu kun je inderdaad boven en onder delen door e^t (Waarom eigenlijk?), en als je dan nog wat termen bij elkaar neemt krijg je

Duidelijk. Dankje! Ik moet inderdaad even opletten op welke wijze ik het opschrijf...

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:42 schreef Super-B het volgende:
Duidelijk. Dankje!

Maar waarom mag je nu boven en beneden delen door e^t?

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:43 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Maar waarom mag je nu boven en beneden delen door e^t?

Omdat er in de teller sprake is van een vermenigvuldiging met e^t, zowel aan de linkerkant van de minteken als aan de rechterkant.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:43 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Maar waarom mag je nu boven en beneden delen door e^t?

Ik heb nog een vraagje:



Waarom wordt hier [....,...] gedaan i.p.v. (....,...) ?

Want bij 0 en 1/2 is de functie 0... en als y' = 0 dan is er geen sprake van een stijging/daling...

Hoe komen ze hierop?:



Ik kom namelijk (bij de herschrijving) uit op:

e^-x ( 2xe^-x - 2x³)

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:57 schreef Super-B het volgende:

[..]

Omdat er in de teller sprake is van een vermenigvuldiging met e^t, zowel aan de linkerkant van de minteken als aan de rechterkant.

Daar moet nog één opmerking bij, vind ik.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:58 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ik heb nog een vraagje:

[ afbeelding ]

Waarom wordt hier [....,...] gedaan i.p.v. (....,...) ?

Want bij 0 en 1/2 is de functie 0... en als y' = 0 dan is er geen sprake van een stijging/daling...

De functie is niet 0, de afgeleide is daar 0.

Kwestie van taalgebruik. Een functie f(x) is stijgend als f'(x)≥0, een functie f(x) is strikt stijgend als f'(x)>0.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:04 schreef Super-B het volgende:
Hoe komen ze hierop?:

[ afbeelding ]

Ik kom namelijk (bij de herschrijving) uit op:

e^-x ( 2xe^-x - 2x³)

Leg eens stap voor stap uit hoe je daarbij komt. Ik zal je zo wel uitleggen hoe de afleiding werkt, maar ik denk ook dat het goed is dat je leert van je eigen fouten.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:07 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Leg eens stap voor stap uit hoe je daarbij komt. Ik zal je zo wel uitleggen hoe de afleiding werkt, maar ik denk ook dat het goed is dat je leert van je eigen fouten.

Omdat alles vermenigvuldigt wordt met het getal e (en haar exponent), dacht ik dat het verstandig was om dat uit de factor te halen... en ik behoud een afscheiding tussen de twee kanten, links en rechts.. van de plus. Aangezien er nog een -2x staat, heb ik tussen de haakjes een - gezet i.p.v. een plus, want + maal - is - en aangezien het getal e (bijna) altijd plus is, is het weer + maal - = -.

Ik heb hier een afgeleide:

y' = e^x - 3e^3x

Ik heb het veranderd in:

e^x ( 1 - 3e^2x )

Ik moet weten wanneer de functie stijgt.. Aangezien e^x bijna altijd stijgend is, hoef ik daar niks mee te doen. Dus ik moet kijken naar 1 - 3e^2x.

Het is te zien dat 3e^2x in totaal lager dan 1 moet zijn..

Dus ik deed:

3e^2x = 1

e^2x = 1 / 3

2x = ln 1/3

Vervolgens loop ik vast...

[ Bericht 0% gewijzigd door RustCohle op 27-09-2014 13:30:16 ]

Je zoekt naar 3e^2x = 1, niet min.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:27 schreef Anoonumos het volgende:
Je zoekt naar 3e^2x = 1, niet min.

Scherpzinnig van je! Maar dan loop ik nog steeds vast

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:11 schreef Super-B het volgende:

[..]

Omdat alles vermenigvuldigt wordt met het getal e (en haar exponent), dacht ik dat het verstandig was om dat uit de factor te halen... en ik behoud een afscheiding tussen de twee kanten, links en rechts.. van de plus. Aangezien er nog een -2x staat, heb ik tussen de haakjes een - gezet i.p.v. een plus, want + maal - is - en aangezien het getal e (bijna) altijd plus is, is het weer + maal - = -.

Als ik je vraag om stap voor stap uit te leggen hoe je bij je antwoord komt, dan bedoel ik daarbij geen verhaaltje, maar een aantal gelijkwaardige uitdrukkingen waar je telkens één rekenstap maakt, om bij je antwoord te komen. Er staan genoeg voorbeelden in dit topic, hoe zoiets eruit moet zien. Je docent zal dergelijke afleidingen ook van je verlangen. Probeer ook zeker niet te veel in één stap te doen, de kans dat je fouten gaat maken wordt alleen maar groter.

Je bent behoorlijk slordig in je taalgebruik, en ik ben bang dat dat van invloed is op de slordigheid in je herleidingen.

quote:

Omdat alles vermenigvuldigD wordt met het getal e (en haar exponent), dacht ik dat het verstandig was om dat uit de factor te halen

De beide termen hebben een gemeenschappelijke factor e^-x². Omdat ab+ac=a(b+c) kun je een gemeenschappelijke factor buiten haakjes halen en dan staat er

e^-x² · (2x + x²·-2x)

quote:

en ik behoud een afscheiding tussen de twee kanten, links en rechts.. van de plus.

Hier staat niets. In ieder geval niets wat wiskundig gezien iets betekent.

quote:

Aangezien er nog een -2x staat, heb ik tussen de haakjes een - gezet i.p.v. een plus, want + maal - is -

Ik zie maar één minteken. Er is inderdaad in het gedeelte tussen de haakjes nog een gemeenschappelijke factor, namelijk 2x, dus kunnen we schrijven

2x · e^-x² · (1 - x²)

quote:

en aangezien het getal e (bijna) altijd plus is, is het weer + maal - = -.

Er staat nog steeds maar één minteken. Daarnaast is e ≈2,71727.. en dus altijd positief, evenals e^c voor iedere willekeurige waarde van c. En dus niet bijna altijd. Handig om te onthouden, en meteen het antwoord op de vraag die ik je stelde waarom je nu mag delen door e^t: de uitkomst van een e-macht is altijd positief - en dus nooit gelijk aan 0.

De laatste stap die je nog moet zetten, is inzien dat 1 - x² een merkwaardig product is:
(a+b)(a-b) = a² - b².

Dus is 1 - x² = (1+x)(1-x). Nemen we dat nog mee in de uitdrukking, dan staat er

2x(1+x)(1-x) · e^-x²

En dat was precies wat het zijn moest.

Bekijk de stappen hierboven goed. Je hebt ze vaak nodig, en het is niet voldoende dat je begrijpt waarom ik doe wat ik doe. Je moet zelf weten wanneer je welke techniek moet gebruiken, en waarom ze toepasbaar is. Denk dus niet alleen in technieken (trucjes) maar in de reden waarom het zo mogen.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:22 schreef RustCohle het volgende:
Ik heb hier een afgeleide:

y' = e^x - 3e^3x

Ik heb het veranderd in:

e^x ( 1 - 3e^2x )

Ik moet weten wanneer de functie stijgt.. Aangezien e^x bijna altijd stijgend is altijd groter dan 0 is, hoef ik daar niks mee te doen. Dus ik moet kijken naar 1 - 3e^2x.

Het is te zien dat 3e^2x in totaal lager dan 1 moet zijn..

Dus ik deed:

3e^2x = 1

e^2x = 1 / 3

2x = ln 1/3

Vervolgens loop ik vast...

Dus 1 - 3e^2x = 0 als 2x = ln (1/3) = - ln 3 oftewel x = - (1/2) ln 3

3e^2x is overal strikt stijgend dus 1 - 3e^2x < 0 als x > - (1/2) ln 3
en 1 - 3e^2x > 0 als x < - (1/2) ln 3

Conclusie: de originele functie is stijgend als x ≤ - (1/2) ln 3

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:39 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Dus 1 - 3e^2x = 0 als 2x = ln (1/3) = - ln 3 oftewel x = - (1/2) ln 3

3e^2x is overal strikt stijgend dus 1 - 3e^2x < 0 als x > - (1/2) ln 3
en 1 - 3e^2x > 0 als x < - (1/2) ln 3

Conclusie: de originele functie is stijgend als x ≤ - (1/2) ln 3

Hoe maak je van ln 1/3 opeens - ln 3 en vervolgens - 1/2 ln 3?

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:43 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Hoe maak je van ln 1/3 opeens - ln 3 en vervolgens - 1/2 ln 3?

Hoe vaak heb je van Riparius al het advies gekregen om je nog eens te verdiepen in de rekenregels van exponenten en logaritmen?

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:45 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Hoe vaak heb je van Riparius al het advies gekregen om je nog eens te verdiepen in de rekenregels van exponenten en logaritmen?

Dat doe ik, maar ik vergeet het steeds, ondanks dat ik zijn posts echt goed doorneem. Ik zit nog in de lerende fase he..

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:45 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Hoe vaak heb je van Riparius al het advies gekregen om je nog eens te verdiepen in de rekenregels van exponenten en logaritmen?

Laat maar, ik weet het alweer.. tot de macht -1 opschrijven...

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:39 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Dus 1 - 3e^2x = 0 als 2x = ln (1/3) = - ln 3 oftewel x = - (1/2) ln 3

3e^2x is overal strikt stijgend dus 1 - 3e^2x < 0 als x > - (1/2) ln 3
en 1 - 3e^2x > 0 als x < - (1/2) ln 3

Conclusie: de originele functie is stijgend als x ≤ - (1/2) ln 3

Hoe weet je dat je die teken moet omdraaien en dus weet dat x > ....

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:39 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Dus 1 - 3e^2x = 0 als 2x = ln (1/3) = - ln 3 oftewel x = - (1/2) ln 3

3e^2x is overal strikt stijgend dus 1 - 3e^2x < 0 als x > - (1/2) ln 3
en 1 - 3e^2x > 0 als x < - (1/2) ln 3

Conclusie: de originele functie is stijgend als x ≤ - (1/2) ln 3

Het rare is dat als ik in mijn rekenmachine -(1/4) ln 3 invoert dat ik -0,27 krijg en dan krijg ik

1 - - 0,27 ofwel 1 + 0,27 en dan alsnog is die nog positief...

Pas ongeveer bij 1ln3 is het ongeveer 1.. volgens mijn rekenmachine (1,098)

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:52 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Hoe weet je dat je die teken moet omdraaien en dus weet dat x > ....

e^x is strikt stijgend (als x > y dan e^x > e^y).
Dus ook 3e^2x is strikt stijgend.
En dus is 1 - 3e^2x strikt dalend (wegens het minteken)

We weten dat 1 - 3e^2x = 0 als x = - (1/2) ln 3
Dus vanwege het strikt dalend zijn geldt 1 - 3e^2x < 0 als x > - (1/2) ln 3

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:58 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

e^x is strikt stijgend (als x > y dan e^x > e^y).
Dus ook 3e^2x is strikt stijgend.
En dus is 1 - 3e^2x strikt dalend (wegens het minteken)

We weten dat 1 - 3e^2x = 0 als x = - (1/2) ln 3
Dus vanwege het strikt dalend zijn geldt 1 - 3e^2x < 0 als x > - (1/2) ln 3

Begrijp er niks van sorry...

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 14:01 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Begrijp er niks van sorry...

Laat f(x) = e^x
Dan afgeleide f ' (x) = e^x > 0 voor alle x
Dus e^x is strikt stijgend, oftewel als x > y dan e^x > e^y

Dit staat vast wel uitgelegd in je boek.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 14:06 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Laat f(x) = e^x
Dan afgeleide f ' (x) = e^x > 0 voor alle x
Dus e^x is strikt stijgend, oftewel als x > y dan e^x > e^y

Dit staat vast wel uitgelegd in je boek.

Nope..

Die eerste twee regels wel.

Ik snap die x > y en e^x > e^y niet..

Want e^x is toch altijd gelijk aan y?!?

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 14:09 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Nope..

Die eerste twee regels wel.

Ik snap die x > y en e^x > e^y niet..

Want e^x is toch altijd gelijk aan y?!?

De mean value theorem gehad? Het is daar een gevolg van.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 14:09 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Nope..

Die eerste twee regels wel.

Ik snap die x > y en e^x > e^y niet..

Je moet 'm zo lezen: ALS een functie f(x) strikt stijgend is, DAN moet gelden dat UIT x>y VOLGT DAT f(x)>f(y).

In peppi en kokki-taal, wellicht dat je 'm grafisch wel voor je ziet:
Van een of andere strikt stijgende functie is de grafiek een lijn die omhoog loopt. Er zitten geen vlakke stukken in en hij gaat ook nergens naar beneden. Alleen maar berg op. Als we op de x-as twee punten hebben, waarvan de ene rechts van de andere ligt (dus groter is), dan moet de berg op die plek wel hoger zijn. De grafiek gaat immers alleen maar omhoog.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 14:13 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

De mean value theorem gehad? Het is daar een gevolg van.

Die stof wordt overgeslagen bij onze examenstof..

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 14:13 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Je moet 'm zo lezen: ALS een functie f(x) strikt stijgend is, DAN moet gelden dat UIT x>y VOLGT DAT f(x)>f(y).

In peppi en kokki-taal, wellicht dat je 'm grafisch wel voor je ziet:
Van een of andere strikt stijgende functie is de grafiek een lijn die omhoog loopt. Er zitten geen vlakke stukken in en hij gaat ook nergens naar beneden. Alleen maar berg op. Als we op de x-as twee punten hebben, waarvan de ene rechts van de andere ligt (dus groter is), dan moet de berg op die plek wel hoger zijn. De grafiek gaat immers alleen maar omhoog.

Ja maar dan is het toch x2 > x1 en y2 > y1 ...

ik snap niet waar die x > y en f(x) > f(y) vandaan komen.

Je moet wel ergens gehad hebben dat een overal positieve afgeleide impliceert dat de functie stijgend is anders kan je deze opgave niet maken.

En Janneke bedankt voor de toelichting.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 14:21 schreef Anoonumos het volgende:
Je moet wel ergens gehad hebben dat een overal positieve afgeleide impliceert dat de functie stijgend is anders kan je deze opgave niet maken.

En Janneke bedankt voor de toelichting.

Ja dat heb ik gehad en dat als de afgeleide 0 is dat het impliceert dat er bijv. een minimum of maximum bereikt is.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 14:18 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Ja maar dan is het toch x2 > x1 en y2 > y1 ...

ik snap niet waar die x > y en f(x) > f(y) vandaan komen.

Fair enough, wellicht werkt het gebruik van x en y in deze wat verwarrend.

Een functie is strikt stijgend als voor ieder paar getallen a en b, waarbij a>b, geldt dat f(a)>f(b).

Is ie zo beter?

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 14:22 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Fair enough, wellicht werkt het gebruik van x en y in deze wat verwarrend.

Een functie is strikt stijgend als voor ieder paar getallen a en b, waarbij a>b, geldt dat f(a)>f(b).

Is ie zo beter?

[ afbeelding ]

Jep super duidelijk. Bij x en y zat de verwarring ja. Aangezien e^x = x, vond ik het maar al te raar waarom x dan kleiner/groter kon zijn dan..y ofzo.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:58 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

e^x is strikt stijgend (als x > y dan e^x > e^y).
Dus ook 3e^2x is strikt stijgend.
En dus is 1 - 3e^2x strikt dalend (wegens het minteken)

We weten dat 1 - 3e^2x = 0 als x = - (1/2) ln 3
Dus vanwege het strikt dalend zijn geldt 1 - 3e^2x < 0 als x > - (1/2) ln 3

En ehm.. hoe weet je dat het > moet zijn ipv < bijvoorbeeld?

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 14:33 schreef RustCohle het volgende:

[..]

En ehm.. hoe weet je dat het > moet zijn ipv < bijvoorbeeld?

1 - 3e^2x is strikt dalend, dus het idee is dat 1 - 3e^2x kleiner wordt als we x laten toenemen.

Aangezien 1 - 3e^2x = 0 als x = - (1/2) ln 3
betekent dat dus dat 1 - 3e^2x < 0 als x > - (1/2) ln 3

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 14:44 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

1 - 3e^2x is strikt dalend, dus het idee is dat 1 - 3e^2x kleiner wordt als we x laten toenemen.

Aangezien 1 - 3e^2x = 0 als x = - (1/2) ln 3
betekent dat dus dat 1 - 3e^2x < 0 als x > - (1/2) ln 3

Held! Bedankt!

y = [2(x+1)] / [(x+1)² (x-1)] - 1/4 = [9 - x²] / [4(x²-1)]

Wat wordt hier gedaan?

Ik had in eerste instantie de noemers gelijk gemaakt en kwam uit op:

[8(x+1) - (x+1)² (x-1)] / [4(x+1)² (x-1)]

Vervolgens eenmaal delen door (x+1) levert op:

[8 - (x+1) (x-1)] / [4(x+1) (x-1)] , toch zit ik fout?

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 15:07 schreef BroodjeKebab het volgende:
y = [2(x+1)] / [(x+1)² (x-1)] - 1/4 = [9 - x²] / [4(x²-1)]

Wat wordt hier gedaan?

Ik had in eerste instantie de noemers gelijk gemaakt en kwam uit op:

[8(x+1) - (x+1)² (x-1)] / [4(x+1)² (x-1)]

Vervolgens eenmaal delen door (x+1) levert op:

[8 - (x+1) (x-1)] / [4(x+1) (x-1)] , toch zit ik fout?

Deel eerst eens boven en onder door (x+1) voordat je de noemers gelijk gaat maken. Minder kans op rekenfouten.
Je zit trouwens niet eens fout, je moet het gewoon nog even wat netter opschrijven.

Hoi,

y' = x ( 2 ln x + 1)

Hoe weet ik dat wanneer y' > 0 is?

Ik weet dat

2 ln x + 1

ln x = -1/2

x = e ^-1/2

Maar hoe weet ik of ik > of < moet gebruiken?

Waarom is de afgeleide van 4x - 5 ln(x² + 1) --> 4 - [ 10x / (x² + 1) ? Ik zelf had:

4 - [ 5 / (x² + 1)

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 15:18 schreef Super-B het volgende:
Waarom is de afgeleide van 4x - 5 ln(x² + 1) --> 4 - [ 10x / (x² + 1) ? Ik zelf had:

4 - [ 5 / (x² + 1)

Het toverwoord is 'kettingregel'.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 15:20 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Het toverwoord is 'kettingregel'.

Moet ik de kettingregel op 5 ln (x² + 1) toepassen? Hoezo eigenlijk, in verband met dat die 5 een exponent is?

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 15:21 schreef Super-B het volgende:

[..]

Moet ik de kettingregel op 5 ln (x² + 1) toepassen? Hoezo eigenlijk, in verband met dat die 5 een exponent is?

In deze post wordt bijzonder uitgebreid uitgelegd hoe de kettingregel werkt en waarvoor je hem moet gebruiken. Zoiets zal ongetwijfeld ook in jouw boek staan, en als je daar nog eens goed naar kijkt zie je vrij snel dat dat niets te maken heeft met het vermenigvuldigen met een of andere constante.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 15:28 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

In deze post wordt bijzonder uitgebreid uitgelegd hoe de kettingregel werkt en waarvoor je hem moet gebruiken. Zoiets zal ongetwijfeld ook in jouw boek staan, en als je daar nog eens goed naar kijkt zie je vrij snel dat dat niets te maken heeft met het vermenigvuldigen met een of andere constante.

Thanks. Ik heb er nog één

Afgeleide van y = x³ (ln x)²

Ik had het volgende:

y =x³ (ln x)²
u = ln x
y' = 3x² * u² + x³ * [ 2(ln x)²] / x want afgeleide van u is --> 2u * u' en u' = 1/x

y' = 3x² * (ln x)² + x³ * [ 2(ln x)²] / x

Nu loop ik vast, want ik weet niet eens of ik in de goede richting zit..

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 16:11 schreef Super-B het volgende:

[..]

Thanks. Ik heb er nog één

Afgeleide van y = x³ (ln x)²

Ik had het volgende:

y =x³ (ln x)²
u = ln x
y' = 3x² * u² + x³ * [ 2(ln x)²] / x want afgeleide van u is --> 2u * u' en u' = 1/x

y' = 3x² * (ln x)² + x³ * [ 2(ln x)²] / x

Nu loop ik vast, want ik weet niet eens of ik in de goede richting zit..

bijna goed, behalve dat ln x niet gekwadrateerd dient te worden in de tweede term aan de rechterkant van het dikgedrukte (immers u = ln x). dit geeft

y' = 3x²(ln x)² + x³(2(ln x))/x
y' = 3x²(ln x)² + x²(2(ln x))
y' = x²(ln x) * [3(ln x) + 2]

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 16:21 schreef OllieWilliams het volgende:

[..]

bijna goed, behalve dat ln x niet gekwadrateerd dient te worden in de tweede term aan de rechterkant van het dikgedrukte (immers u = ln x). dit geeft

y' = 3x²(ln x)² + x³(2(ln x))/x
y' = 3x²(ln x)² + x²(2(ln x))
y' = x²(ln x) * [3(ln x) + 2]

Oeff.. Stomme slordigheidsfoutje...

y = ( ln x + 3x)²
u = ln x + 3x

y' = 2u * u'

y' = [ 2 (ln x + 3x ) * 1/x ] + 3

y' = ([ 2ln x + 6x] / x) + 3

Ik doe weer iets fout...

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 16:34 schreef Super-B het volgende:

[..]

Oeff.. Stomme slordigheidsfoutje...

y = ( ln x + 3x)²
u = ln x + 3x

y' = 2u * u'

y' = [ 2 (ln x + 3x ) * 1/x ] + 3

y' = ([ 2ln x + 6x] / x) + 3

Ik doe weer iets fout...

Ja, een slordigheidsfoutje met de haakjes.

y' = 2u * u'

y' = 2 (ln x + 3x ) * (1/x + 3)

Je zal dus echt nauwkeuriger moeten gaan werken!

Ik had:

y = ln u
y' = 1/u * (1/2)u^-1/2 * u'

y' = 1/√(1-x²) * 1/(2√1-x²) * -2x

y' = 2 / (2√1-x²) * -2x / (2√1-x²)

Delen door 2 levert bij mij op:

-x / (√1-x²)

Hoe vermenigvuldig je twee breuken?

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 16:45 schreef Janneke141 het volgende:
Hoe vermenigvuldig je twee breuken?

teller * teller
noemer * noemer

edit... ja weer van die kleine foutjes die mij de kop kosten..

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 16:45 schreef Janneke141 het volgende:
Hoe vermenigvuldig je twee breuken?

Ik vermenigvuldig allereerst die 2x met -1/x om zodoende -2 te krijgen en dan deel ik alles door 2 om zodoende in de noemer 2x² te krijgen en in de teller:

[(1 - ln x) - ( 1 - ln x)²] / 2x²

en dan loop ik weer vast...

Ik moet namelijk uitkomen op :




Als ik dan bereken wanneer ln x 0 is...

ln x = 3 --> x = e³

en de andere :

- ln x = -1
ln x = 1
x = e

Maar alleen dan zit ik weer met dat ik niet weet waar ik deze getallen moet zetten op de getallenlijn (sign diagram..). Dat e = 2,7 weet ik, maar verder kom ik niet..

Afgeleide van y = 2x^x

Vermenigvuldigen met ln aan beide kanten.. dus:

ln y = x ln 2x

y' / y = 1 * ln 2x + x * 1/(2x) * 2

y' / y = ln 2x + 1

Vermenigvuldigen met y = 2x^x

y' = 2x^x ( ln 2x + 1)

Toch is het antwoord...:

y' = 2x^x ( ln x + ln 2x + 1) en ik weet niet waar die ln x vandaan komt./.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 17:25 schreef Super-B het volgende:

[..]

[ afbeelding ]

Ik vermenigvuldig allereerst die 2x met -1/x om zodoende -2 te krijgen en dan deel ik alles door 2 om zodoende in de noemer 2x² te krijgen en in de teller:

[(1 - ln x) - ( 1 - ln x)²] / 2x²

Wederom maak je twee slordigheidsfouten ineen. Niet alleen staat hierboven niet de teller maar de hele breuk, maar ook ben je nog ergens een factor 2 vergeten. De noemer wordt zoals je terecht concludeert 2x², en de teller wordt

-2·(1-ln x) - (1-ln x)² = (haakjes uitwerken) = -2 + 2ln x - 1 + 2lnx - (ln x)²

Als je 'ln x' heel even z noemt, dan staat er -z² + 4z -3, en die heeft een keurige ontbinding: (1-z)(z-3)

quote:

Als ik dan bereken wanneer ln x 0 is...

ln x = 0 als x=1. Altijd. Maar dat bedoel je vast niet...

quote:

ln x = 3 --> x = e³

en de andere :

- ln x = -1
ln x = 1
x = e

Maar alleen dan zit ik weer met dat ik niet weet waar ik deze getallen moet zetten op de getallenlijn (sign diagram..). Dat e = 2,7 weet ik, maar verder kom ik niet..

Het helpt mij, maar vooral ook jezelf, als je het probleem goed weet uit te leggen.
Wat er van je gevraagd wordt, is een schema maken waar je functie stijgend en dalend is. Waar de functie stijgend is is de afgeleide groter dan 0, waar je functie dalend is is de afgeleide kleiner dan 0.
Je hebt nu de plekken gevonden waar de afgeleide gelijk 0 is. We houden dus drie stukken getallenlijn over: (-∞;e), (e;e³) en (e³;∞).

Hoe groot e en e³ precies zijn weet ik niet, en vind ik ook niet belangrijk; maar ik weet wel dat e < e² < e³. e² zit dus in het middelste interval, en de afgeleide functie heeft daar als waarde (1-2)(2-3)/2e⁴, en dat is iets positiefs. De oorspronkelijke functie is dus stijgend op het middelste interval.
Nu mag je gokken hoe het zit op de buitenste twee stukken, maar netjes narekenen kan natuurlijk ook.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 17:44 schreef BroodjeKebab het volgende:
Afgeleide van y = 2x^x

Vermenigvuldigen met ln aan beide kanten.. dus:

ln y = x ln 2x

Dit klopt niet want het is 2x^x en niet (2x)^x

Er geldt
ln (2x^x) = ln 2 + ln x^x = ln 2 + x ln x

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 17:44 schreef BroodjeKebab het volgende:
Vermenigvuldigen met ln aan beide kanten.. dus:

Vermenigvuldig jij ook met de wortel of met cos?

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 17:44 schreef BroodjeKebab het volgende:
Afgeleide van y = 2x^x

Vermenigvuldigen met ln aan beide kanten.. dus:

Nee.

Het symbool ln is een functiesymbool, net als log of sin of tan, het is geen grootheid, en je kunt er dus ook niet mee vermenigvuldigen.

Wat je doet is de natuurlijke logaritme nemen van beide leden van je gelijkheid, en dat doe je ook nog eens fout.

Je hebt namelijk

ln(2·x^x) = ln 2 + ln(x^x) = ln 2 + x·ln x

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 18:01 schreef Janneke141 het volgende:

[..]



Vermenigvuldig jij ook met de wortel of met cos?

Mijn professor gebruikt deze methode.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 17:59 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Wederom maak je twee slordigheidsfouten ineen. Niet alleen staat hierboven niet de teller maar de hele breuk, maar ook ben je nog ergens een factor 2 vergeten. De noemer wordt zoals je terecht concludeert 2x², en de teller wordt

-2·(1-ln x) - (1-ln x)² = (haakjes uitwerken) = -2 + 2ln x - 1 + 2lnx - (ln x)²

Als je 'ln x' heel even z noemt, dan staat er -z² + 4z -3, en die heeft een keurige ontbinding: (1-z)(z-3)

[..]

ln x = 0 als x=1. Altijd. Maar dat bedoel je vast niet...

[..]

Het helpt mij, maar vooral ook jezelf, als je het probleem goed weet uit te leggen.
Wat er van je gevraagd wordt, is een schema maken waar je functie stijgend en dalend is. Waar de functie stijgend is is de afgeleide groter dan 0, waar je functie dalend is is de afgeleide kleiner dan 0.
Je hebt nu de plekken gevonden waar de afgeleide gelijk 0 is. We houden dus drie stukken getallenlijn over: (-∞;e), (e;e³) en (e³;∞).

Hoe groot e en e³ precies zijn weet ik niet, en vind ik ook niet belangrijk; maar ik weet wel dat e < e² < e³. e² zit dus in het middelste interval, en de afgeleide functie heeft daar als waarde (1-2)(2-3)/2e⁴, en dat is iets positiefs. De oorspronkelijke functie is dus stijgend op het middelste interval.
Nu mag je gokken hoe het zit op de buitenste twee stukken, maar netjes narekenen kan natuurlijk ook.

Je deelt door 2 en dan gaan alle grondgetallen van 2 toch weg?

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 18:29 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Mijn professor gebruikt deze methode.

Nee, dat doet hij niet, tenzij hij niet meer bij zijn volle verstand is. Hij gebruikte kennelijk de methode die bekend staat als logaritmisch differentiëren.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 18:35 schreef Super-B het volgende:

[..]

Je deelt door 2 en dan gaan alle grondgetallen van 2 toch weg?

Er staan twee 2'en in de eerste term, 2*2=4 en 4/2 = 2.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 18:36 schreef OllieWilliams het volgende:

[..]

Er staan twee 2'en in de eerste term, 2*2=4 en 4/2 = 2.

Er staat toch nog één met 2x, mag je die dan niet delen door 2, waardoor het gewoon x wordt?

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 18:38 schreef Super-B het volgende:

[..]

Er staat toch nog één met 2x, mag je die dan niet delen door 2, waardoor het gewoon x wordt?

Nee, want dan zou je de eerste term door 4 delen in plaats van door 2.

Oh, en wat zijn grondgetallen? Stoepkrijt?

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 18:00 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Dit klopt niet want het is 2x^x en niet (2x)^x

Er geldt
ln (2x^x) = ln 2 + ln x^x = ln 2 + x ln x

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 18:40 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Nee, want dan zou je de eerste term door 4 delen in plaats van door 2.

Oh, en wat zijn grondgetallen? Stoepkrijt?

Huh? Je die 2x kun je toch zien als 2 * x, waardoor je het kunt delen door 2?

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 18:42 schreef Super-B het volgende:

[..]

Huh? Je die 2x kun je toch zien als 2 * x, waardoor je het kunt delen door 2?

Je vermenigvuldigt in die zelfde term ook nog een keer met 2...

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 18:43 schreef OllieWilliams het volgende:

[..]

Je vermenigvuldigt in die zelfde term ook nog een keer met 2...

Owjaa... Dat mag dus maar eenmaal? Ik dacht dat je meerdere getallen mocht delen door twee in hetzelfde term..