[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

maandag 29 september 2014 @ 06:51:40 #251

Riparius

quote:
Op zondag 28 september 2014 21:08 schreef BroodjeKebab het volgende:
Ik heb een vraag over het differentieren van de eerste en tweede afgeleide:

Find dy/dx and d²y/dx² by implicit differentiation when x - y + 3xy = 2.

Ik deed het volgende:

1 - y' + 3y + 3xy'

Dit is al direct fout, want in de opgave heb je een gelijkheid en hier zie ik geen =-teken meer.

We hebben

$x \,-\,y\,+\,3xy\,=\,2$

Impliciet differentiëren naar x geeft

$1\,-\,y'\,+\,3y\,+\,3xy'\,=\,0$

$(3x\,-\,1)y'\,+\,(3y\,+\,1)\,=\,0$

$y'\,=\,\frac{3y\,+\,1}{1\,-\,3x}$

Nu beginnen we weer met

$1\,-\,y'\,+\,3y\,+\,3xy'\,=\,0$

Wederom impliciet differentiëren naar x geeft

$-y''\,+\,3y'\,+\,3y'\,+\,3xy''\,=\,0$

$(3x\,-\,1)y''\,+\,6y'\,=\,0$

$y''\,=\,\frac{6y'}{1\,-\,3x}$

oftewel

$y''\,=\,y'\,\cdot\,\frac{6}{1\,-\,3x}$

Substitutie van de eerder gevonden uitdrukking voor y' geeft nu

$y''\,=\,\frac{3y\,+\,1}{1\,-\,3x}\,\cdot\,\frac{6}{1\,-\,3x}$

en dus

$y''\,=\,\frac{18y\,+\,6}{(1\,-\,3x)^2}$

Nu lossen we y op uit de betrekking

$x \,-\,y\,+\,3xy\,=\,2$

dit geeft

$(3x\,-\,1)y\,=\,2\,-\,x$

en dus

$y\,=\,\frac{x\,-\,2}{1\,-\,3x}$

Tenslotte substitueren we deze uitdrukking voor y in de eerder gevonden uitdrukking voor y'' en dit geeft

$y''\,=\,\frac{18\,\cdot\,\left(\frac{x\,-\,2}{1\,-\,3x}\right)\,+\,6}{(1\,-\,3x)^2}$

Teller en noemer van dit quotiënt vermenigvuldigen met (1 − 3x) geeft

$y''\,=\,\frac{18(x\,-\,2)\,+\,6(1\,-\,3x)}{(1\,-\,3x)^3}$

en dus

$y''\,=\,-\,\frac{30}{(1\,-\,3x)^3}$

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

maandag 29 september 2014 @ 09:07:42 #252

Janneke141

Green, green grass of home

quote:
Op maandag 29 september 2014 02:22 schreef Riparius het volgende:

Wijzig je nick maar in

$[\rm{X}]\,\rm{Ongeschikt}$

Nergens voor nodig, dit. Triest.

Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)

maandag 29 september 2014 @ 09:17:37 #253

GeschiktX

quote:
Op maandag 29 september 2014 02:22 schreef Riparius het volgende:

[..]

Impliciet differentiëren van v naar u van de betrekking

$u^2 \,+\, uv \,-\, v^3 \.=\, 0$

geeft

$2u \,+\, v \,+\,uv' \,-\, 3v^2v' \,=\, 0$

en dus

$(u \,-\,3v^2)v' \,+\, (2u \,+\, v) = 0$

zodat

$v'\,=\, \frac{2u \,+\,v}{3v^2\,-\,u}$

De voorwaarde v' = 0 geeft nu

$2u \,+\, v \,=\, 0$

en samen met de betrekking

$u^2 \,+\, uv \,-\, v^3 \.=\, 0$

hebben we nu een stelsel van twee vergelijkingen in de twee onbekenden u en v, en dit stelsel moeten we oplossen, onder de additionele voorwaarde dat u ≠ 0 moet zijn.

Uit 2u + v = 0 volgt v = −2u, en substitutie hiervan in u² + uv − v³ = 0 geeft

$u^2 \,+\ u\cdot(-2u) \,-\, (-2u)^3 \,=\, 0$
$-u^2 \,+\, 8u^3 \,=\, 0$
$u^2(-1\,+\,8u)\,=\,0$
$u \,=\,0 \,\vee\, u \,=\,\frac{1}{8}$

De oplossing u = 0 komt te vervallen zodat we u = 1/8 vinden, en aangezien v = −2u is dan v = −1/4. De coördinaten van het gevraagde punt zijn dus

$(\frac{1}{8}\,,\,-\frac{1}{4})$

Voor de andere oplossing u = 0, v = 0 van bovenstaand stelsel is v' niet gedefinieerd, zodat je nu ook begrijpt waarom de voorwaarde u ≠ 0 werd gesteld.

[..]

Nee, je volgt de regels niet correct. Differentiëren van 5y⁴y' naar x met behulp van de productregel en de kettingregel geeft

$(5y^4\,\cdot\,y')' \,=\, (5y^4)'\cdot(y')\,+\,(5y^4)\cdot(y')' \,=\,(20y^3\,\cdot\,y')\,\cdot\,y'\,+\,5y^4y''\,=\,20y^3(y')^2\,+\,5y^4y''$

Wijzig je nick maar in

$[\rm{X}]\,\rm{Ongeschikt}$

Duidelijk. Dank. Hoezo komt u = 0 te vervallen.. ? De noemer is niet 0, ookal is u 0

maandag 29 september 2014 @ 09:21:20 #254

Janneke141

Green, green grass of home

quote:
Op maandag 29 september 2014 09:17 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

Duidelijk. Dank. Hoezo komt u = 0 te vervallen.. ? De noemer is niet 0, ookal is u 0

Stond als voorwaarde in de opgave.

Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)

maandag 29 september 2014 @ 09:40:37 #255

GeschiktX

quote:
Op maandag 29 september 2014 09:21 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Stond als voorwaarde in de opgave.

Oke bedankt!

maandag 29 september 2014 @ 09:48:28 #256

Brainstorm245

Weet iemand hoe in het begin het boek komt op f'(Y) dY/dI + 1?

Ik had namelijk f'(Y) + 1

Ongeveer aan het eind van de eerste alinea (totaan het eind van de rode cirkel) staat er 'easy algebra yields'' ......

Ik kwam zelf daar uit op:

f'' (y) / [1 - f'[Y)]² + f'(y) d²Y/dI²

[ Bericht 38% gewijzigd door Brainstorm245 op 29-09-2014 10:05:08 ]

maandag 29 september 2014 @ 10:28:08 #257

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op maandag 29 september 2014 09:48 schreef Brainstorm245 het volgende:
Weet iemand hoe in het begin het boek komt op f'(Y) dY/dI + 1?

Ik had namelijk f'(Y) + 1

Ongeveer aan het eind van de eerste alinea (totaan het eind van de rode cirkel) staat er 'easy algebra yields'' ......

Ik kwam zelf daar uit op:

f'' (y) / [1 - f'[Y)]² + f'(y) d²Y/dI²

[ afbeelding ]

Laat eens zien wat je gedaan hebt, anders weten wij ook niet waar je fout gaat.
En graag, zoals veel vaker gezegd wordt hier, een duidelijke structuur met een goede uitleg wat je doet.
Je hoeft hier niet per woord te betalen.

maandag 29 september 2014 @ 10:32:06 #258

Brainstorm245

quote:
Op maandag 29 september 2014 10:28 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Laat eens zien wat je gedaan hebt, anders weten wij ook niet waar je fout gaat.
En graag, zoals veel vaker gezegd wordt hier, een duidelijke structuur met een goede uitleg wat je doet.
Je hoeft hier niet per woord te betalen.

Bij de eerste:

Y = f(Y) + I

dY/dI = f'(Y) + 1 (gewoon de somregel toepassen)

Bij de tweede ben ik er al uit.

maandag 29 september 2014 @ 10:36:14 #259

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op maandag 29 september 2014 10:32 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Bij de eerste:

Y = f(Y) + I

dY/dI = f'(Y) + 1 (gewoon de somregel toepassen)

Bij de tweede ben ik er al uit.

Ken je de productregel en kettingregel ook?

maandag 29 september 2014 @ 10:36:58 #260

Brainstorm245

quote:
Op maandag 29 september 2014 10:36 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Ken je de productregel ook?

ja en ook de chain rule

maandag 29 september 2014 @ 10:37:41 #261

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op maandag 29 september 2014 10:36 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

ja en ook de chain rule

Pas die eens toe.

maandag 29 september 2014 @ 10:39:07 #262

Brainstorm245

quote:
Op maandag 29 september 2014 10:37 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Pas die eens toe.

Ik kan niet inzien waarom ik de productregel moet toepassen? Want de afgeleide van f(Y) is toch gewoon f'(Y) of is het omdat ik een 'functie' differentieer en dat ik bijv moet zien als u² en het daarom is dat je de afgeleide van de functie neemt en daarna de afgeleide van Y?

maandag 29 september 2014 @ 10:43:25 #263

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op maandag 29 september 2014 10:39 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Ik kan niet inzien waarom ik de productregel moet toepassen? Want de afgeleide van f(Y) is toch gewoon f'(Y) of is het omdat ik een 'functie' differentieer en dat ik bijv moet zien als u² en het daarom is dat je de afgeleide van de functie neemt en daarna de afgeleide van Y?

"w.r.t. I" niet "w.r.t. Y"
Dus je moet nog de kettingregel toepassen en dan krijg je precies de vergelijking van de opgave.

maandag 29 september 2014 @ 10:44:55 #264

Brainstorm245

quote:
Op maandag 29 september 2014 10:43 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

"w.r.t. I" niet "w.r.t. Y"
Dus je moet nog de kettingregel toepassen en dan krijg je precies de vergelijking van de opgave.

Wat bedoelen ze met w.r.t. I? Ik weet dat het betekent: With Respect to .. maar... ik begrijp de bedoeling niet

maandag 29 september 2014 @ 10:52:24 #265

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op maandag 29 september 2014 10:44 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Wat bedoelen ze met w.r.t. I? Ik weet dat het betekent: With Respect to .. maar... ik begrijp de bedoeling niet

Je moet afleiden naar I. De afgeleide van Y naar I is $\frac{dY}{dI}$
De afgeleide van f(Y) naar I is $\frac{d f(Y)}{dY}\frac{dY}{dI}=f'(Y)\frac{dY}{dI}$

Kan je eens uitleggen wat de kettingregel is?

maandag 29 september 2014 @ 10:55:05 #266

Brainstorm245

quote:
Op maandag 29 september 2014 10:52 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Je moet afleiden naar I. De afgeleide van Y naar I is $\frac{dY}{dI}$
De afgeleide van f(Y) naar I is $\frac{d f(Y)}{dY}\frac{dY}{dI}=f'(Y)\frac{dY}{dI}$

Kan je eens uitleggen wat de kettingregel is?

Ik heb deze regels altijd in een y' etc notatie geleerd (heel kort door de bocht) en de leibniz notatie maakt het mij moeilijk. Ik zag in eerdere reeksen wat uitleg van een user genaamd Ripurias, maar dat vond ik te ingewikkeld, ondanks dat hij wel zijn best deed.

Ik snap dus niet wat er bedoelt wordt, met 'afleiden naar I ' etc..

Excuus als het dom overkomt.

De kettingregel: f'(x)=g'(h(x))·h'(x)

Zo heb ik dat tenminste geleerd. Gewoon recht door zee, zonder leibniz notaties.. Echter stoot ik mij nu tegen het hoofd doordat als je de leibniz notatie begrijpt, je in principe heel makkelijk kan differentiëren...

[ Bericht 4% gewijzigd door Brainstorm245 op 29-09-2014 11:01:15 ]

maandag 29 september 2014 @ 11:03:00 #267

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op maandag 29 september 2014 10:55 schreef Brainstorm245 het volgende:
De kettingregel: f'(x)=g'(h(x))·h'(x)

En die is equivalent met
$\frac{df}{dx}=\frac{dg}{dh}\frac{dh}{dx}$

Maar waarom kan je die niet toepassen op f(Y)?
Y is afhankelijk van I en dan kan je dat schrijven als f(Y(I)),
kan je hierop de kettingregel uitvoeren die jij kent?

maandag 29 september 2014 @ 11:07:12 #268

Brainstorm245

quote:
Op maandag 29 september 2014 11:03 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

En die is equivalent met
$\frac{df}{dx}=\frac{dg}{dh}\frac{dh}{dx}$

Maar waarom kan je die niet toepassen op f(Y)?
Y is afhankelijk van I en dan kan je dat schrijven als f(Y(I)),
kan je hierop de kettingregel uitvoeren die jij kent?

df/dx = d f(Y) / dI

maandag 29 september 2014 @ 11:11:34 #269

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op maandag 29 september 2014 11:07 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

df/dx = d f(Y) / dI

Nee dat klopt niet.
Ten eerste is er helemaal geen x.

Maar kan je de afgeleide naar x nemen van f(x) = g(h(x))? (hint: het antwoord heb je al in je vorige post staan...)
En nu verander je alleen de symbolen en moet je de afgeleide nemen van f(Y(I)) naar I.

maandag 29 september 2014 @ 11:13:47 #270

Riparius

quote:
Op maandag 29 september 2014 09:48 schreef Brainstorm245 het volgende:
Weet iemand hoe in het begin het boek komt op f'(Y) dY/dI + 1?

Ik had namelijk f'(Y) + 1

Dat is fout. Dit is echt een stukje hopeloze economenwiskunde (Y zelf uitdrukken als functie van Y plus nog een term I, waarbij dan Y afhangt van I), maar goed, ik ga een poging doen het je duidelijk te maken. In de notatie van Leibniz hebben we

$\frac{\rm{d}Y}{\rm{d}I}\,=\,\frac{\rm{d}(f(Y)\,+\,I)}{\rm{d}I}\,=\,\frac{\rm{d}(f(Y))}{\rm{d}I}\,+\,\frac{\rm{d}I}{\rm{d}I}\,=\,\frac{\rm{d}(f(Y))}{\rm{d}Y}\,\cdot\,\frac{\rm{d}Y}{\rm{d}I}\,+\,1\,=\,f'(Y)\,\cdot\,\frac{\rm{d}Y}{\rm{d}I}\,+\,1$

Ik heb hier gebruik gemaakt van de somregel en van de kettingregel. Als je deze herleiding of de gebezigde notatie niet begrijpt, dan moet je echt deze post van mij eens heel goed bestuderen.

quote:
Ongeveer aan het eind van de eerste alinea (totaan het eind van de rode cirkel) staat er 'easy algebra yields'' ......

Ik kwam zelf daar uit op:

f'' (y) / [1 - f'[Y)]² + f'(y) d²Y/dI²

[ afbeelding ]

Dit kan niet, want ik zie geen =-teken, waar is dat gebleven? Hier wordt een uitdrukking voor d²Y/dI² afgeleid, dus dan had je op zijn minst een gelijkheid op kunnen schrijven met als linkerlid d²Y/dI² en dan in het rechterlid uiteraard niet d²Y/dI². Ik heb dus niet het idee dat je je erg inspant om het te begrijpen.

We hebben

$\frac{\rm{d}^2Y}{\rm{d}I^2}\,=\,f''(Y)\,\cdot\,\left(\frac{\rm{d}Y}{\rm{d}I}\right)^2\,+\,f'(Y)\,\cdot\,\frac{\rm{d}^2Y}{\rm{d}I^2}$

Nu substitueren we dY/dI = 1/(1 − f'(Y)) zodat we krijgen

$\frac{\rm{d}^2Y}{\rm{d}I^2}\,=\,\frac{f''(Y)}{[1\,-\,f'(Y)]^2}\,+\,f'(Y)\,\cdot\,\frac{\rm{d}^2Y}{\rm{d}I^2}$

Vervolgens trekken we van beide leden f'(Y)·d²Y/dI² af, zodat we krijgen

$\frac{\rm{d}^2Y}{\rm{d}I^2}\,-\,f'(Y)\,\cdot\,\frac{\rm{d}^2Y}{\rm{d}I^2}\,=\,\frac{f''(Y)}{[1\,-\,f'(Y)]^2}$

Nu kunnen we in het linkerlid een factor d²Y/dI² buiten haakjes halen, dit geeft

$\frac{\rm{d}^2Y}{\rm{d}I^2}\,\cdot\,[1\,-\,f'(Y)]\,=\,\frac{f''(Y)}{[1\,-\,f'(Y)]^2}$

Tot slot delen we beide leden door [1 − f'(Y)], en zie daar

$\frac{\rm{d}^2Y}{\rm{d}I^2}\,=\,\frac{f''(Y)}{[1\,-\,f'(Y)]^3}$

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

maandag 29 september 2014 @ 11:16:06 #271

Brainstorm245

quote:
Op maandag 29 september 2014 11:13 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat is fout. Dit is echt een stukje hopeloze economenwiskunde (Y zelf uitdrukken als functie van Y plus nog een term I, waarbij dan Y afhangt van I), maar goed, ik ga een poging doen het je duidelijk te maken. In de notatie van Leibniz hebben we

$\frac{\rm{d}Y}{\rm{d}I}\,=\,\frac{\rm{d}(f(Y)\,+\,I)}{\rm{d}I}\,=\,\frac{\rm{d}(f(Y))}{\rm{d}I}\,+\,\frac{\rm{d}I}{\rm{d}I}\,=\,\frac{\rm{d}(f(Y))}{\rm{d}Y}\,\cdot\,\frac{\rm{d}Y}{\rm{d}I}\,+\,1\,=\,f'(Y)\,\cdot\,\frac{\rm{d}Y}{\rm{d}I}\,+\,1$

Ik heb hier gebruik gemaakt van de somregel en van de kettingregel. Als je deze herleiding of de gebezigde notatie niet begrijpt, dan moet je echt deze post van mij eens heel goed bestuderen.

[..]

Dit kan niet, want ik zie geen =-teken, waar is dat gebleven? Hier wordt een uitdrukking voor d²Y/dI² afgeleid, dus dan had je op zijn minst een gelijkheid op kunnen schrijven met als linkerlid d²Y/dI² en dan in het rechterlid uiteraard niet d²Y/dI². Ik heb dus niet het idee dat je je erg inspant om het te begrijpen.

We hebben

$\frac{\rm{d}^2Y}{\rm{d}I^2}\,=\,f''(Y)\,\cdot\,\left(\frac{\rm{d}Y}{\rm{d}I}\right)^2\,+\,f'(Y)\,\cdot\,\frac{\rm{d}^2Y}{\rm{d}I^2}$

Nu substitueren we dY/dI = 1/(1 − f'(Y)) zodat we krijgen

$\frac{\rm{d}^2Y}{\rm{d}I^2}\,=\,\frac{f''(Y)}{[1\,-\,f'(Y)]^2}\,+\,f'(Y)\,\cdot\,\frac{\rm{d}^2Y}{\rm{d}I^2}$

Vervolgens trekken we van beide leden f'(Y)·d²Y/dI² af, zodat we krijgen

$\frac{\rm{d}^2Y}{\rm{d}I^2}\,-\,f'(Y)\,\cdot\,\frac{\rm{d}^2Y}{\rm{d}I^2}\,=\,\frac{f''(Y)}{[1\,-\,f'(Y)]^2}$

Nu kunnen we in het linkerlid een factor d²Y/dI² buiten haakjes halen, dit geeft

$\frac{\rm{d}^2Y}{\rm{d}I^2}\,\cdot\,[1\,-\,f'(Y)]\,=\,\frac{f''(Y)}{[1\,-\,f'(Y)]^2}$

Tot slot delen we beide leden door [1 − f'(Y)], en zie daar

$\frac{\rm{d}^2Y}{\rm{d}I^2}\,=\,\frac{f''(Y)}{[1\,-\,f'(Y)]^3}$

Hoe kom je aan * dY / dI ofwel y' ?

Ik ga je post even goed bestuderen. Het ziet er iig veelbelovend uit.

maandag 29 september 2014 @ 11:17:54 #272

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op maandag 29 september 2014 11:16 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Hoe kom je aan * dY / dI ofwel y' ?

Kettingregel -_-
Als je trouwens één regel verder leest, legt Riparius dat ook gewoon uit.

maandag 29 september 2014 @ 11:31:00 #273

Brainstorm245

x

[ Bericht 100% gewijzigd door Brainstorm245 op 29-09-2014 11:34:52 ]

maandag 29 september 2014 @ 11:34:45 #274

Brainstorm245

quote:
Op maandag 29 september 2014 11:31 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Ja klopt... Maar ik blijf maar denken in termen als y' etc.. dus het maakt het mij er lastiger op..

Ik snap de kettingregel wel, maar ik snap die dY/ Di gewoon niet, wat valt er te 'kettingregelen' ?

De afgeleide van f(Y) is gewoon f'(Y)

Ik heb het al. Bedankt

maandag 29 september 2014 @ 11:36:11 #275

Riparius

quote:
Op maandag 29 september 2014 11:31 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Ja klopt... Maar ik blijf maar denken in termen als y' etc.. dus het maakt het mij er lastiger op..

Ik snap de kettingregel wel, maar ik snap die dY/ Di gewoon niet, wat valt er te 'kettingregelen' ?

De afgeleide van f(Y) is gewoon f'(Y)

Ga nu eerst mijn verhaal over de kettingregel en de notaties van Leibniz en Lagrange maar eens serieus bestuderen, en als je dan nog vragen hebt dan kun je die hier stellen.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:	(afkorting, bv 'KLB')

» school, studie en onderwijs

» school, studie en onderwijs