SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde.
Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!
Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).
Links:
• http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
• http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
• http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
• http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
• http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...
OP
Handig:
Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden:
www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d
Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!
Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).
Links:
• http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
• http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
• http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
• http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
• http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...
OP
Handig:
Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden:
www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d
Als iemand bereid is om mij met een vraagstuk te helpen met betrekking tot het differentiëren ofwel het bepalen van de afgeleide, graag! Ik ben een beetje radeloos geworden met dit vraagstuk:
''Bereken met behulp van de quotiëntregel de afgeleide van:''
e^x / (1 + e^x )
De quotiëntregel is als volgt: ( f(x) / g(x) ) ' = f'(x) g(x) - f(x) g' (x) / (g(x))²
De noemer is simpel, die moet van (1+e^x) veranderen in: (1+e^x)²
De teller daarentegen is mij een raadsel.
Zelf denk ik dat de teller het volgende moet worden (aan de hand van de quotiëntregel):
e^x * ( 1+e^x) - e^x * ( e^x)
Het uitwerken van dit resulteert tot:
e^x + e^x² - e^x²
Vervolgens wordt de teller dit, na het vereenvoudigen:
e^x
De uiteindelijke afgeleide (samen met de noemer, die ik eerder behandeld heb) wordt:
e^x / (1+e^x)²
Zit ik een beetje correct of heb ik de plank compleet misgeslagen?
''Bereken met behulp van de quotiëntregel de afgeleide van:''
e^x / (1 + e^x )
De quotiëntregel is als volgt: ( f(x) / g(x) ) ' = f'(x) g(x) - f(x) g' (x) / (g(x))²
De noemer is simpel, die moet van (1+e^x) veranderen in: (1+e^x)²
De teller daarentegen is mij een raadsel.
Zelf denk ik dat de teller het volgende moet worden (aan de hand van de quotiëntregel):
e^x * ( 1+e^x) - e^x * ( e^x)
Het uitwerken van dit resulteert tot:
e^x + e^x² - e^x²
Vervolgens wordt de teller dit, na het vereenvoudigen:
e^x
De uiteindelijke afgeleide (samen met de noemer, die ik eerder behandeld heb) wordt:
e^x / (1+e^x)²
Zit ik een beetje correct of heb ik de plank compleet misgeslagen?
Ja en als ie hierna ook nog moet integreren...quote:Op zondag 11 mei 2014 22:41 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ik ben benieuwd of iemand hier het vol gaat houden dit heerschap tot op de laatste dag voor zijn toets uitleg te blijven geven. Het moet alle respondenten hier nu toch wel duidelijk zijn dat dit gelijk staat aan water naar de zee dragen.
Of het klopt weet ik niet, maar de teller heeft een standaardafgeleide.quote:
Zit ik een beetje correct of heb ik de plank compleet misgeslagen?
Dat klopt. e^x heeft als standaardafgeleide e^x, dus e^x' = e^x.quote:
[..]
Of het klopt weet ik niet, maar de teller heeft een standaardafgeleide.
Nee, hier gaat het fout. Je kent de rekenregels voor het werken met machten niet. Hint:quote:
e^x * ( 1+e^x) - e^x * ( e^x)
Het uitwerken van dit resulteert tot:
e^x + e^x² - e^x²
ap·aq = ap+q
Ja die staat ook in zijn post.quote:
[..]
Of het klopt weet ik niet, maar de teller heeft een standaardafgeleide.
Ziet er goed uit.quote:
Zit ik een beetje correct of heb ik de plank compleet misgeslagen?
-edit- behalve dat foute die Riparius ziet.
Wat je ook had kunnen doe is
e^x / (1 + e^x ) = 1 / (e^{-x} + 1) = (e^{-x} + 1)^-1
Neem je daar de afgeleide van dan krijg je
-(e^{-x} + 1)^-2 * -e^{-x} = e^{-x} (e^{-x} + 1)^-2
Zit niet in de examenstofquote:
[..]
Ja en als ie hierna ook nog moet integreren...
http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf
Ook een handige. Dankjewel!quote:
[..]
Ja die staat ook in zijn post.
[..]
Ziet er goed uit.
Wat je ook had kunnen doe is
e^x / (1 + e^x ) = 1 / (e^{-x} + 1) = (e^{-x} + 1)^-1
Neem je daar de afgeleide van dan krijg je
-(e^{-x} + 1)^-2 * -e^{-x} = e^{-x} (e^{-x} + 1)^-2
Dit was ook zowat de enige vraag waarover ik twijfelde bij de paragraaf differentiëren.
Volgende paragraaf is wel klote lijkt mij, maar het is wel het laatste 'onbekende'' onderwerp voor mij: Differentieerbaarheid.
Kijk nog wel even naar de opmerking van Riparius.quote:
[..]
Ook een handige. Dankjewel!
Dit was ook zowat de enige vraag waarover ik twijfelde bij de paragraaf differentiëren.
Volgende paragraaf is wel klote lijkt mij, maar het is wel het laatste 'onbekende'' onderwerp voor mij: Differentieerbaarheid.
Dank voor de attentie. Heb niet gezien wat ik fout deed. Want ik deed het wel goed toch?quote:
[..]
Kijk nog wel even naar de opmerking van Riparius.
Nee. Kijk nog eens naar Riparius post.quote:
[..]
Dank voor de attentie. Heb niet gezien wat ik fout deed. Want ik deed het wel goed toch?
-weg- Mag niet van thormodoquote:
[..]
Dank voor de attentie. Heb niet gezien wat ik fout deed. Want ik deed het wel goed toch?
Waarom geef je hem het antwoord nu gelijk? Als hij a.d.v. de rekenregels zelf moet uitvogelen wat hij fout doet leert hij daar veel meer van. Daarnaast blijft het dan veel beter hangen.quote:
Het is ook een beetje een notatieprobleem, maar als je e^x² schrijft dan betekent dat e-tot-de-macht-x-kwadraat en niet e-tot-de-macht-x-en-dat-weer-in-het-kwadraat. Dat laatste zou je namelijk moeten noteren als (e^x)^2 als je dan toch per se carets wil gebruiken. Maar, mijn advies: gebruik nu gewoon superscript. En geen smoesjes dat je een mobieltje gebruikt of zo, want daarmee gaat het ook.quote:
[..]
Dank voor de attentie. Heb niet gezien wat ik fout deed. Want ik deed het wel goed toch?
Ik weet niet hoe ik een superscript moet maken.quote:
[..]
Het is ook een beetje een notatieprobleem, maar als je e^x² schrijft dan betekent dat e-tot-de-macht-x-kwadraat en niet e-tot-de-macht-x-en-dat-weer-in-het kwadraat. Dat laatste zou je namelijk moeten noteren als (e^x)^2 als je dan toch per se carets wil gebruiken. Maar, mijn advies: gebruik nu gewoon superscript. En geen smoesjes dat je een mobieltje gebruikt of zo, want daarmee gaat het ook.
Ik denk dat het dan e^2x moet zijn. Want ik heb mijzelf in de tuin geleidt door anders te denken. Als ik dat nu zou opschrijven, zouden jullie mij niet kunnen volgen denk ik.
Je gebruikt zelfs superscript in je posts en als je quote kun je het commando ook zienquote:
[..]
Ik weet niet hoe ik een superscript moet maken.
Ik denk dat het dan e^2x moet zijn. Want ik heb mijzelf in de tuin geleidt door anders te denken. Als ik dat nu zou opschrijven, zouden jullie mij niet kunnen volgen denk ik.
. Dus e(sup)2x(/sup) , maar dan met blokhaken [ ].En als je de rekenregels netjes toepast hoef je niet te "denken", maar kun je het gewoon zeker weten
.
Ik wil dit topic niet overdonderen met vragen. Echter heb ik nog een vraag, mits jullie bereid zijn deze te beantwoorden:quote:
[..]
Je gebruikt zelfs superscript in je posts en als je quote kun je het commando ook zien
Hoe differentieer ik functies met de e waarde? Zoals
e(2x+1)
Superscript kun je op twee manieren krijgen:quote:
[..]
Ik weet niet hoe ik een superscript moet maken.
Ik denk dat het dan e^2x moet zijn. Want ik heb mijzelf in de tuin geleidt door anders te denken. Als ik dat nu zou opschrijven, zouden jullie mij niet kunnen volgen denk ik.
Eerste manier:
Datgene wat je wil superscripten met de muis selecteren (highlighten) en dan in het edit menu de button x² aanklikken.
Tweede manier:
| 1 | Laat hetgeen je wil superscripten vooraf gaan door [sup] en volgen door [/sup] |
Dank! Zie mijn post boven jouw post. Superscript is gelukt.quote:
[..]
Superscript kun je op twee manieren krijgen:
Eerste manier:
Datgene wat je wil superscripten met de muis selecteren (highlighten) en dan in het edit menu de button x² aanklikken.
Tweede manier:
[ code verwijderd ]
Door de kettingregel toe te passenquote:
[..]
Hoe differentieer ik functies met de e waarde? Zoals
e(2x+1)
.
Dit hem juist. Ik zou denken om 2x+1 als g(x) te benaderen en e als f(x), echter staat er gewoon e en geen e x .quote:
Raak er een beetje verward door.
Eerste wat mij te binnen schiet is:
2e2
Hint:quote:
[..]
Dit hem juist. Ik zou denken om 2x+1 als g(x) te benaderen en e als f(x), echter staat er gewoon e en geen e x .
Raak er een beetje verward door.
ex blijft gewoon hetzelfde als afgeleide.quote:
ex * 2x+1 * e2x
Dit wordt:
ex * 2x+1 * 2ex
2e 3+3x
Dit is hartstikke fout denk ik.
[ Bericht 2% gewijzigd door Super-B op 11-05-2014 23:24:09 ]
f(x)' (g(x)) is toch de afgeleide van functie f(x) vermenigvuldigt met de functie g(x)?quote:
Ik kom er eerlijk gezegd niet uit.
Heb je enig idee wat een compositie(/samenstelling) van functies is? Zo nee, dan moet je nog helemaal niet bezig houden met de kettingregel.
Kettingregel ging wel goed tot nu toe. De notatie is mij niet geheel duidelijk en het differentiëren met het getal e.quote:
Heb je enig idee wat een compositie(/samenstelling) van functies is? Zo nee, dan moet je nog helemaal niet bezig houden met de kettingregel.
Als ik niet wist ik hoe ik de kettingregel moest toepassen, was ik denk ik al tegen de muur aangelopen.
Het is gelukt dankjewel.
Tenslotte nog één vraag voordat ik ga slapen.
De afgeleide van:
ln (1 - 2x)
Ik deed
ln (1-2x) + ln (1-2x) --> afgeleide van de haakjes aan de rechterkant is -2.
Dus:
ln(1-2x) + ln -2
Daarna:
1 / (1-2x) + (1/x) -2
Dit wordt:
1 / (1-2x) + (-2x) / x
Ik doe iets fout, dat weet ik zeker.
Uitleg beetje kort door de bocht, excuus daarvoor.
Tenslotte nog één vraag voordat ik ga slapen.
De afgeleide van:
ln (1 - 2x)
Ik deed
ln (1-2x) + ln (1-2x) --> afgeleide van de haakjes aan de rechterkant is -2.
Dus:
ln(1-2x) + ln -2
Daarna:
1 / (1-2x) + (1/x) -2
Dit wordt:
1 / (1-2x) + (-2x) / x
Ik doe iets fout, dat weet ik zeker.
Uitleg beetje kort door de bocht, excuus daarvoor.
ln is een operator, dus ln (1-2x) is niet ln * (1-2x) maar ln(1-2x).quote:
Het is gelukt dankjewel.
Tenslotte nog één vraag voordat ik ga slapen.
De afgeleide van:
ln (1 - 2x)
Ik deed
ln * (1-2x) + ln (1-2x) --> afgeleide van de haakjes aan de rechterkant is -2.
Bewerkt.quote:
[..]
ln is een operator, dus ln (1-2x) is niet ln * (1-2x) maar ln(1-2x).
Wat doe ik fout?
ln(1-2x) = 2 ln(1-2x) ? = 2 (ln(1-2x) + ln(1-2x)) = 4 ln(1-2x)?quote:ln (1 - 2x)
Ik deed
ln (1-2x) + ln (1-2x)
yey gratis getallen
-edit-
Nu mag jij weer de kettingregel toepassen.
Dit is een samengestelde functie. Je hebt eigenlijk twee functies f: x → 2x + 1 en g: u → eu waarbij op een variabele x eerst f wordt toegepast en op het resultaat 2x + 1 = u daarvan weer g. Als je je een functie voorstelt als een black box waar je iets in stopt en waar dan ook weer iets uitkomt, dan heb je hier dus twee black boxes f en g, waarbij je de output van de eerste functie f gebruikt als input voor de tweede functie g. Schematisch voorgesteld:quote:
[..]
Ik wil dit topic niet overdonderen met vragen. Echter heb ik nog een vraag, mits jullie bereid zijn deze te beantwoorden:
Hoe differentieer ik functies met de e waarde? Zoals
e(2x+1)
x → 2x+1 → e2x+1
of, als we het 'tussenresultaat' 2x + 1 even voorstellen door de letter u en de functiewaarde e2x+1 zoals te doen gebruikelijk door de letter y:
x → u → y
Een afgeleide is eigenlijk niets anders dan wat in het Engels zo mooi kan worden uitgedrukt met de term rate of change. De afgeleide van een functie in een bepaald punt (i.e. voor een bepaalde waarde van x) vertelt ons hoe snel de functiewaarde op dat punt verandert in verhouding tot een verandering van x. Grafisch is de afgeleide zo niets anders dan de steilheid van de raaklijn aan de grafiek van de functie in dat punt.
De steilheid van zo'n raaklijn in een punt op de grafiek van een functie f berekenen we in wezen door naast het punt (x; f(x)) op de grafiek waar het ons om te doen is nog een tweede punt op de grafiek te nemen dat hier heel dicht bij in de buurt ligt, en dan te kijken wat er gebeurt met de steilheid van de snijlijn door deze twee punten als we dat tweede punt langs de grafiek naar het eerste punt toe laten bewegen.
Als je die x een klein beetje in waarde verandert, zodat we x+h krijgen, waarin h dus een getal voorstelt (positief óf negatief!) dat heel dicht bij nul ligt, dan heeft het tweede punt op onze grafiek de coördinaten (x+h; f(x+h)).
Om nu de steilheid (richtingscoëfficiënt) van de snijlijn door de punten (x; f(x)) en (x+h; f(x+h)) te krijgen, moeten we het hoogteverschil
Δy = f(x+h) − f(x)
tussen deze twee punten delen door de horizontale afstand
Δx = h
tussen deze twee punten, zodat we voor de steilheid van onze snijlijn door de punten (x; f(x)) en (x+h ; f(x+h)) dus krijgen
Δy/Δx = (f(x+h) − f(x))/h
Maar nu zijn we niet geïnteresseerd in de steilheid van de snijlijn door de punten (x; f(x)) en (x+h ; f(x+h)) maar in de steilheid van de raaklijn aan de grafiek in het punt (x; f(x)) en die vinden we door te kijken wat er gebeurt als we dat tweede punt (x+h ; f(x+h)) op onze grafiek steeds dichter naar het eerste punt (x; f(x)) laten gaan, dus als we h steeds dichter naar nul toe laten gaan.
We kunnen niet simpelweg h = 0 invullen in de formule voor Δy/Δx, want dan krijgen we 0/0 en dat heeft geen betekenis. Daarom moeten we met het begrip limiet werken. Limiet komt van het Latijnse woord limes (genitief limitis) dat 'grens' betekent. Een limiet is niets anders dan een grenswaarde waar we zo dicht bij in de buurt kunnen komen als we maar willen, als we een variabele (hier: h) maar dicht genoeg bij een bepaalde waarde (hier: nul) laten komen. Voor de afgeleide f'(x) van f(x) en daarmee de steilheid van de raaklijn aan de grafiek van f in een willekeurig punt (x; f(x)) op de grafiek hebben we dan
f'(x) = limh→0 (f(x+h) − f(x))/h
We kunnen dit ook anders noteren, de limiet van het quotiënt Δy/Δx als we Δx naar nul laten gaan wordt ook voorgesteld door dy/dx, dus
dy/dx = limΔx→0 Δy/Δx
Maar nu terug naar onze samengestelde functie, die we hierboven schematisch hadden voorgesteld als
x → u → y
We zijn nu geïnteresseerd in de rate of change van y ten opzichte van x, dus de snelheid waarmee y verandert in verhouding tot een verandering van x bij een gegeven uitgangswaarde van x, want dat is immers de steilheid van de raaklijn aan de grafiek voor een gegeven waarde van x.
Welnu, volgens de rekenregels voor breuken heb je
Δy/Δx = Δy/Δu · Δu/Δx
Maar dit stelt een steilheid voor van een snijlijn door twee punten op de grafiek, dus moeten we weer de limiet nemen voor Δx → 0. Aangezien Δu ook naar nul toe gaat als we Δx naar nul laten gaan geeft dit
limΔx→0 Δy/Δx = limΔu→0 Δy/Δu · limΔx→0 Δu/Δx
en dus
dy/dx = dy/du · du/dx
Dit is de kettingregel in de notatie van Leibniz. De kettingregel wordt ook vaak gegeven in een andere notatie, van Lagrange. We hebben hier u = f(x) en y = g(u) zodat y = g(f(x)). Nu is dy/du = g'(u) = g'(f(x)) en du/dx = f'(x) zodat we voor de afgeleide van g(f(x)) naar x dus hebben
g'(f(x))·f'(x)
In deze vorm is de kettingregel minder 'transparant' en intuïtief dan in de vorm van Leibniz, zodat het aanbeveling verdient om de kettingregel ook in de vorm van Leibniz te onthouden en te leren gebruiken.
Nu gaan we de kettingregel toepassen op onze samengestelde functie. We hadden
u = 2x + 1
en dat geeft
du/dx = 2
en verder hadden we
y = eu
en dat geeft
dy/du = eu
en dus vinden we
dy/dx = dy/du · du/dx = eu·2 = 2·eu = 2·e2x+1
In de praktijk is het na een beetje oefening heel goed mogelijk - en ook de bedoeling - om de afgeleide van een samengestelde functie direct op te schrijven zonder expliciet met de 'tussenvariabele' u te werken. We hebben hier y = e2x+1 en u = 2x+1 en als je dit invult in de kettingregel dy/dx = dy/du · du/dx dan heb je dus
d(e2x+1)/dx = d(e2x+1)/d(2x+1) · d(2x+1)/dx = e2x+1·2 = 2·e2x+1.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 12-05-2014 03:30:06 ]
Dankje! Zeer heldere en duidelijke uitleg. Er zijn echter wat vraagtekens:quote:
[..]
Dit is een samengestelde functie. Je hebt eigenlijk twee functies f: x → 2x + 1 en g: u → eu waarbij op een variabele x eerst f wordt toegepast en op het resultaat 2x + 1 = u daarvan weer g. Als je je een functie voorstelt als een black box waar je iets in stopt en waar dan ook weer iets uitkomt, dan heb je hier dus twee black boxes f en g, waarbij je de output van de eerste functie f gebruikt als input voor de tweede functie g. Schematisch voorgesteld:
x → 2x+1 → e2x+1
of, als we het 'tussenresultaat' 2x + 1 even voorstellen door de letter u en de functiewaarde e2x+1 zoals te doen gebruikelijk door de letter y:
x → u → y
Een afgeleide is eigenlijk niets anders dan wat in het Engels zo mooi kan worden uitgedrukt met de term rate of change. De afgeleide van een functie in een bepaald punt (i.e. voor een bepaalde waarde van x) vertelt ons hoe snel de functiewaarde op dat punt verandert in verhouding tot een verandering van x. Grafisch is de afgeleide zo niets anders dan de steilheid van de raaklijn aan de grafiek van de functie in dat punt.
De steilheid van zo'n raaklijn in een punt op de grafiek van een functie f berekenen we in wezen door naast het punt (x; f(x)) op de grafiek waar het ons om te doen is nog een tweede punt op de grafiek te nemen dat hier heel dicht bij in de buurt ligt, en dan te kijken wat er gebeurt met de steilheid van de snijlijn door deze twee punten als we dat tweede punt langs de grafiek naar het eerste punt toe laten bewegen.
Als je die x een klein beetje in waarde verandert, zodat we x+h krijgen, waarin h dus een getal voorstelt (positief óf negatief!) dat heel dicht bij nul ligt, dan heeft het tweede punt op onze grafiek de coördinaten (x+h; f(x+h)).
Om nu de steilheid (richtingscoëfficiënt) van de snijlijn door de punten (x; f(x)) en (x+h; f(x+h)) te krijgen, moeten we het hoogteverschil
Δy = f(x+h) − f(x)
tussen deze twee punten delen door de horizontale afstand
Δx = h
tussen deze twee punten, zodat we voor de steilheid van onze snijlijn door de punten (x; f(x)) en (x+h ; f(x+h)) dus krijgen
Δy/Δx = (f(x+h) − f(x))/h
Maar nu zijn we niet geïnteresseerd in de steilheid van de snijlijn door de punten (x; f(x)) en (x+h ; f(x+h)) maar in de steilheid van de raaklijn aan de grafiek in het punt (x; f(x)) en die vinden we door te kijken wat er gebeurt als we dat tweede punt (x+h ; f(x+h)) op onze grafiek steeds dichter naar het eerste punt (x; f(x)) laten gaan, dus als we h steeds dichter naar nul toe laten gaan.
We kunnen niet simpelweg h = 0 invullen in de formule voor Δy/Δx, want dan krijgen we 0/0 en dat heeft geen betekenis. Daarom moeten we met het begrip limiet werken. Limiet komt van het Latijnse woord limes (genitief limitis) dat 'grens' betekent. Een limiet is niets anders dan een grenswaarde waar we zo dicht bij in de buurt kunnen komen als we maar willen, als we een variabele (hier: h) maar dicht genoeg bij een bepaalde waarde (hier: nul) laten komen. Voor de afgeleide f'(x) van f(x) en daarmee de steilheid van de raaklijn aan de grafiek van f in een willekeurig punt (x; f(x)) op de grafiek hebben we dan
f'(x) = limh→0 (f(x+h) − f(x))/h
We kunnen dit ook anders noteren, de limiet van het quotiënt Δy/Δx als we Δx naar nul laten gaan wordt ook voorgesteld door dy/dx, dus
dy/dx = limΔx→0 Δy/Δx
Maar nu terug naar onze samengestelde functie, die we hierboven schematisch hadden voorgesteld als
x → u → y
We zijn nu geïnteresseerd in de rate of change van y ten opzichte van x, dus de snelheid waarmee y verandert in verhouding tot een verandering van x bij een gegeven uitgangswaarde van x, want dat is immers de steilheid van de raaklijn aan de grafiek voor een gegeven waarde van x.
Welnu, volgens de rekenregels voor breuken heb je
Δy/Δx = Δy/Δu · Δu/Δx
Maar dit stelt een steilheid voor van een snijlijn door twee punten op de grafiek, dus moeten we weer de limiet nemen voor Δx → 0. Aangezien Δu ook naar nul toe gaat als we Δx naar nul laten gaan geeft dit
limΔx→0 Δy/Δx = limΔu→0 Δy/Δu · limΔx→0 Δu/Δx
en dus
dy/dx = dy/du · du/dx
Dit is de kettingregel in de notatie van Leibniz. De kettingregel wordt ook vaak gegeven in een andere notatie, van Lagrange. We hebben hier u = f(x) en y = g(u) zodat y = g(f(x)). Nu is dy/du = g'(u) = g'(f(x)) en du/dx = f'(x) zodat we voor de afgeleide van g(f(x)) naar x dus hebben
g'(f(x))·f'(x)
In deze vorm is de kettingregel minder 'transparant' en intuïtief dan in de vorm van Leibniz, zodat het aanbeveling verdient om de kettingregel ook in de vorm van Leibniz te onthouden en te leren gebruiken.
Nu gaan we de kettingregel toepassen op onze samengestelde functie. We hadden
u = 2x + 1
en dat geeft
du/dx = 2
en verder hadden we
y = eu
en dat geeft
dy/du = eu
en dus vinden we
dy/dx = dy/du · du/dx = eu·2 = 2·eu = 2·e2x+1
In de praktijk is het na een beetje oefening heel goed mogelijk - en ook de bedoeling - om de afgeleide van een samengestelde functie direct op te schrijven zonder expliciet met de 'tussenvariabele' u te werken. We hebben hier y = e2x+1 en u = 2x+1 en als je dit invult in de kettingregel dy/dx = dy/du · du/dx dan heb je dus
d(e2x+1)/dx = d(e2x+1)/d(2x+1) · d(2x+1)/dx = e2x+1·2 = 2·e2x+1.
Ik had hier ook nog eens naar gekeken:
Hier wordt dezelfde methode gebruikt (2:14) , echter wordt dy/du hier afgeleid direct van (p)³ naar 3p², terwijl jij in jouw quote echter alleen een variabele toewijst, dus in dit geval u = 2x + 1 en dan is dat dan eu
[ Bericht 0% gewijzigd door Super-B op 12-05-2014 11:40:18 ]
Die kerel in die video doet hetzelfde als Riparius.quote:
[..]
Dankje! Zeer heldere en duidelijke uitleg. Er zijn echter wat vraagtekens:
Ik had hier ook nog eens naar gekeken:
Hier wordt dezelfde methode gebruikt (2:14) , echter wordt dy/du hier afgeleid direct van (p)³ naar 3p², terwijl jij in jouw quote echter alleen een variabele toewijst, dus in dit geval u = 2x + 1 en dan is dat dan eu
Alleen heeft Riparius er veel meer informatie voor je bij gegeven.
y = e^(2x+1)
neem p = 2x+1
dan y = e^p
dy/dp = e^p
dp/dx = 2
En vervolgens
dy/dx = dy/dp dp/dx = e^p 2 = 2 e^(2x+1)
Riparius doet precies hetzelfde maar gebruikt dan een u ipv p.
[ Bericht 4% gewijzigd door t4rt4rus op 12-05-2014 12:02:01 ]
Ow zo. Ja het is duidelijk.quote:Op maandag 12 mei 2014 11:55 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
Die kerel in die video doet hetzelfde als Riparius.
Alleen heeft Riparius er veel meer informatie voor je bij gegeven.
y = e^(2x+1)
neem p = 2x+1
dan y = e^p
dy/dp = e^p
dp/dx = 2
En vervolgens
dy/dx = dy/dp dp/dx = e^p 2 = 2 e^(2x+1)
Riparius doet precies hetzelfde maar gebruikt dan een u ipv p.
Hoe pas je deze methode toe op de afgeleide van natuurlijke logaritmen?
Bijvoorbeeld: ln( 1 - 2x)
Ik pas dan de kettinregel toe:
1/x (1-2x) * -2
Doe ik hier iets fouts of..?
Weet iemand hoe je de inhoud van een achthoek berekend? elke zijde heeft een lengte van 18 meter en een hoogte van 12 m. Ik denk dat het iets met integralen is waar is heel slecht in ben..
Een achthoek heeft geen inhoud. De juiste benaming is een prisma.quote:
Weet iemand hoe je de inhoud van een achthoek berekend? elke zijde heeft een lengte van 18 meter en een hoogte van 12 m. Ik denk dat het iets met integralen is waar is heel slecht in ben..
Ken je de formule en/of aanpak voor het berekenen van de inhoud van een prisma?
I asked God for a bike, but I know God doesn't work that way.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
Het is -2/(1-2x).quote:
[..]
Ow zo. Ja het is duidelijk.
Hoe pas je deze methode toe op de afgeleide van natuurlijke logaritmen?
Bijvoorbeeld: ln( 1 - 2x)
Ik pas dan de kettinregel toe:
1/x (1-2x) * -2
Doe ik hier iets fouts of..?
f(x) = ln(x)
u(x) = 1-2x
f(u(x))' = f'(u(x)) u'(x) = -2/(1-2x)
Nee het is geen prisma, ik moet de inhoud berekenen van de rotskoepel in Jeruzalem en het onderste deel is een achthoek, misschien zeg ik het verkeerd maar het is geen prisma :p de inhoud van de koepel heb ik ergens op internet al gevonden dus ik moet alleen nog de achthoek en het schuine 'dak' berekenen.quote:
[..]
Een achthoek heeft geen inhoud. De juiste benaming is een prisma.
Ken je de formule en/of aanpak voor het berekenen van de inhoud van een prisma?
En deze?quote:
[..]
Het is -2/(1-2x).
f(x) = ln(x)
u(x) = 1-2x
f(u(x))' = f'(u(x)) u'(x) = -2/(1-2x)
ln √(x+1)
Ik kom uit op :
1 / (√x+1) * 1/2x-1/2
Schrijf de stappen eens op, dan weet je waarschijnlijk ook of je het goed gedaan hebt.quote:
[..]
En deze?
ln √(x+1)
Ik kom uit op :
1 / (√x+1) * 1/2x-1/2
De stappen staan in mijn schrift. Ik schrijf alleen hier even het eindantwoord. Ik zal het even overnemen.. even wachten.quote:
[..]
Schrijf de stappen eens op, dan weet je waarschijnlijk ook of je het goed gedaan hebt.
Dit is letterlijk hoe ik het in mijn schrift heb opgenomen qua tussenstappen:quote:
[..]
Schrijf de stappen eens op, dan weet je waarschijnlijk ook of je het goed gedaan hebt.
ln √(x+1) --> functie
ln ( x + 1)1/2 ---> herschrijving
1/x * 1/2(x + 1) -1/2 --> afgeleide van ln en afgeleide van (x+1)1/2
1 / √(2x+2) --> herschrijving van de afgeleide
Duidelijkere stappen, schrijf op wat je subtitueert etc...quote:
[..]
Dit is letterlijk hoe ik het in mijn schrift heb opgenomen qua tussenstappen:
ln √(x+1) --> functie
ln ( x + 1)1/2 ---> herschrijving
1/x * 1/2(x + 1) -1/2 --> afgeleide van ln en afgeleide van (x+1)1/2
1 / √(2x+2) --> herschrijving van de afgeleide
Zoals het vorige voorbeeld
quote:y = e^(2x+1)
neem p = 2x+1
dan y = e^p
dy/dp = e^p
dp/dx = 2
En vervolgens de kettingregel toepassen
dy/dx = dy/dp dp/dx = e^p 2 = 2 e^(2x+1)
