[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op zondag 11 mei 2014 23:16 schreef Novermars het volgende:

[..]

Hint: , dan is

e^x blijft gewoon hetzelfde als afgeleide.

e^x * ^2x+1 * e^2x

Dit wordt:

e^x * ^2x+1 * 2e^x

2e ^3+3x

Dit is hartstikke fout denk ik.

[ Bericht 2% gewijzigd door Super-B op 11-05-2014 23:24:09 ]

, dan

quote:

Op zondag 11 mei 2014 23:24 schreef Novermars het volgende:
, dan

f(x)' (g(x)) is toch de afgeleide van functie f(x) vermenigvuldigt met de functie g(x)?

Ik kom er eerlijk gezegd niet uit.

Heb je enig idee wat een compositie(/samenstelling) van functies is? Zo nee, dan moet je nog helemaal niet bezig houden met de kettingregel.

quote:

Op zondag 11 mei 2014 23:29 schreef Novermars het volgende:
Heb je enig idee wat een compositie(/samenstelling) van functies is? Zo nee, dan moet je nog helemaal niet bezig houden met de kettingregel.

Kettingregel ging wel goed tot nu toe. De notatie is mij niet geheel duidelijk en het differentiëren met het getal e.

Als ik niet wist ik hoe ik de kettingregel moest toepassen, was ik denk ik al tegen de muur aangelopen.

http://nl.wikipedia.org/wiki/Functiecompositie

Ken je fundamenten.

Het is gelukt dankjewel.

Tenslotte nog één vraag voordat ik ga slapen.

De afgeleide van:

ln (1 - 2x)

Ik deed

ln (1-2x) + ln (1-2x) --> afgeleide van de haakjes aan de rechterkant is -2.

Dus:

ln(1-2x) + ln -2

Daarna:

1 / (1-2x) + (1/x) -2

Dit wordt:

1 / (1-2x) + (-2x) / x

Ik doe iets fout, dat weet ik zeker.

Uitleg beetje kort door de bocht, excuus daarvoor.

quote:

Op zondag 11 mei 2014 23:42 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

ln is een operator, dus ln (1-2x) is niet ln * (1-2x) maar ln(1-2x).

Bewerkt.

Wat doe ik fout?

Wat een differentieerstress hier opeens.

quote:

Op zondag 11 mei 2014 23:11 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ik wil dit topic niet overdonderen met vragen. Echter heb ik nog een vraag, mits jullie bereid zijn deze te beantwoorden:

Hoe differentieer ik functies met de e waarde? Zoals

e^(2x+1)

Dit is een samengestelde functie. Je hebt eigenlijk twee functies f: x → 2x + 1 en g: u → e^u waarbij op een variabele x eerst f wordt toegepast en op het resultaat 2x + 1 = u daarvan weer g. Als je je een functie voorstelt als een black box waar je iets in stopt en waar dan ook weer iets uitkomt, dan heb je hier dus twee black boxes f en g, waarbij je de output van de eerste functie f gebruikt als input voor de tweede functie g. Schematisch voorgesteld:

x → 2x+1 → e^2x+1

of, als we het 'tussenresultaat' 2x + 1 even voorstellen door de letter u en de functiewaarde e^2x+1 zoals te doen gebruikelijk door de letter y:

x → u → y

Een afgeleide is eigenlijk niets anders dan wat in het Engels zo mooi kan worden uitgedrukt met de term rate of change. De afgeleide van een functie in een bepaald punt (i.e. voor een bepaalde waarde van x) vertelt ons hoe snel de functiewaarde op dat punt verandert in verhouding tot een verandering van x. Grafisch is de afgeleide zo niets anders dan de steilheid van de raaklijn aan de grafiek van de functie in dat punt.

De steilheid van zo'n raaklijn in een punt op de grafiek van een functie f berekenen we in wezen door naast het punt (x; f(x)) op de grafiek waar het ons om te doen is nog een tweede punt op de grafiek te nemen dat hier heel dicht bij in de buurt ligt, en dan te kijken wat er gebeurt met de steilheid van de snijlijn door deze twee punten als we dat tweede punt langs de grafiek naar het eerste punt toe laten bewegen.

Als je die x een klein beetje in waarde verandert, zodat we x+h krijgen, waarin h dus een getal voorstelt (positief óf negatief!) dat heel dicht bij nul ligt, dan heeft het tweede punt op onze grafiek de coördinaten (x+h; f(x+h)).

Om nu de steilheid (richtingscoëfficiënt) van de snijlijn door de punten (x; f(x)) en (x+h; f(x+h)) te krijgen, moeten we het hoogteverschil

Δy = f(x+h) − f(x)

tussen deze twee punten delen door de horizontale afstand

Δx = h

tussen deze twee punten, zodat we voor de steilheid van onze snijlijn door de punten (x; f(x)) en (x+h ; f(x+h)) dus krijgen

Δy/Δx = (f(x+h) − f(x))/h

Maar nu zijn we niet geïnteresseerd in de steilheid van de snijlijn door de punten (x; f(x)) en (x+h ; f(x+h)) maar in de steilheid van de raaklijn aan de grafiek in het punt (x; f(x)) en die vinden we door te kijken wat er gebeurt als we dat tweede punt (x+h ; f(x+h)) op onze grafiek steeds dichter naar het eerste punt (x; f(x)) laten gaan, dus als we h steeds dichter naar nul toe laten gaan.

We kunnen niet simpelweg h = 0 invullen in de formule voor Δy/Δx, want dan krijgen we 0/0 en dat heeft geen betekenis. Daarom moeten we met het begrip limiet werken. Limiet komt van het Latijnse woord limes (genitief limitis) dat 'grens' betekent. Een limiet is niets anders dan een grenswaarde waar we zo dicht bij in de buurt kunnen komen als we maar willen, als we een variabele (hier: h) maar dicht genoeg bij een bepaalde waarde (hier: nul) laten komen. Voor de afgeleide f'(x) van f(x) en daarmee de steilheid van de raaklijn aan de grafiek van f in een willekeurig punt (x; f(x)) op de grafiek hebben we dan

f'(x) = lim_h→0 (f(x+h) − f(x))/h

We kunnen dit ook anders noteren, de limiet van het quotiënt Δy/Δx als we Δx naar nul laten gaan wordt ook voorgesteld door dy/dx, dus

dy/dx = lim_Δx→0 Δy/Δx

Maar nu terug naar onze samengestelde functie, die we hierboven schematisch hadden voorgesteld als

x → u → y

We zijn nu geïnteresseerd in de rate of change van y ten opzichte van x, dus de snelheid waarmee y verandert in verhouding tot een verandering van x bij een gegeven uitgangswaarde van x, want dat is immers de steilheid van de raaklijn aan de grafiek voor een gegeven waarde van x.

Welnu, volgens de rekenregels voor breuken heb je

Δy/Δx = Δy/Δu · Δu/Δx

Maar dit stelt een steilheid voor van een snijlijn door twee punten op de grafiek, dus moeten we weer de limiet nemen voor Δx → 0. Aangezien Δu ook naar nul toe gaat als we Δx naar nul laten gaan geeft dit

lim_Δx→0 Δy/Δx = lim_Δu→0 Δy/Δu · lim_Δx→0 Δu/Δx

en dus

dy/dx = dy/du · du/dx

Dit is de kettingregel in de notatie van Leibniz. De kettingregel wordt ook vaak gegeven in een andere notatie, van Lagrange. We hebben hier u = f(x) en y = g(u) zodat y = g(f(x)). Nu is dy/du = g'(u) = g'(f(x)) en du/dx = f'(x) zodat we voor de afgeleide van g(f(x)) naar x dus hebben

g'(f(x))·f'(x)

In deze vorm is de kettingregel minder 'transparant' en intuïtief dan in de vorm van Leibniz, zodat het aanbeveling verdient om de kettingregel ook in de vorm van Leibniz te onthouden en te leren gebruiken.

Nu gaan we de kettingregel toepassen op onze samengestelde functie. We hadden

u = 2x + 1

en dat geeft

du/dx = 2

en verder hadden we

y = e^u

en dat geeft

dy/du = e^u

en dus vinden we

dy/dx = dy/du · du/dx = e^u·2 = 2·e^u = 2·e^2x+1

In de praktijk is het na een beetje oefening heel goed mogelijk - en ook de bedoeling - om de afgeleide van een samengestelde functie direct op te schrijven zonder expliciet met de 'tussenvariabele' u te werken. We hebben hier y = e^2x+1 en u = 2x+1 en als je dit invult in de kettingregel dy/dx = dy/du · du/dx dan heb je dus

d(e^2x+1)/dx = d(e^2x+1)/d(2x+1) · d(2x+1)/dx = e^2x+1·2 = 2·e^2x+1.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 12-05-2014 03:30:06 ]

quote:

Op maandag 12 mei 2014 00:49 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit is een samengestelde functie. Je hebt eigenlijk twee functies f: x → 2x + 1 en g: u → e^u waarbij op een variabele x eerst f wordt toegepast en op het resultaat 2x + 1 = u daarvan weer g. Als je je een functie voorstelt als een black box waar je iets in stopt en waar dan ook weer iets uitkomt, dan heb je hier dus twee black boxes f en g, waarbij je de output van de eerste functie f gebruikt als input voor de tweede functie g. Schematisch voorgesteld:

x → 2x+1 → e^2x+1

of, als we het 'tussenresultaat' 2x + 1 even voorstellen door de letter u en de functiewaarde e^2x+1 zoals te doen gebruikelijk door de letter y:

x → u → y

Een afgeleide is eigenlijk niets anders dan wat in het Engels zo mooi kan worden uitgedrukt met de term rate of change. De afgeleide van een functie in een bepaald punt (i.e. voor een bepaalde waarde van x) vertelt ons hoe snel de functiewaarde op dat punt verandert in verhouding tot een verandering van x. Grafisch is de afgeleide zo niets anders dan de steilheid van de raaklijn aan de grafiek van de functie in dat punt.

De steilheid van zo'n raaklijn in een punt op de grafiek van een functie f berekenen we in wezen door naast het punt (x; f(x)) op de grafiek waar het ons om te doen is nog een tweede punt op de grafiek te nemen dat hier heel dicht bij in de buurt ligt, en dan te kijken wat er gebeurt met de steilheid van de snijlijn door deze twee punten als we dat tweede punt langs de grafiek naar het eerste punt toe laten bewegen.

Als je die x een klein beetje in waarde verandert, zodat we x+h krijgen, waarin h dus een getal voorstelt (positief óf negatief!) dat heel dicht bij nul ligt, dan heeft het tweede punt op onze grafiek de coördinaten (x+h; f(x+h)).

Om nu de steilheid (richtingscoëfficiënt) van de snijlijn door de punten (x; f(x)) en (x+h; f(x+h)) te krijgen, moeten we het hoogteverschil

Δy = f(x+h) − f(x)

tussen deze twee punten delen door de horizontale afstand

Δx = h

tussen deze twee punten, zodat we voor de steilheid van onze snijlijn door de punten (x; f(x)) en (x+h ; f(x+h)) dus krijgen

Δy/Δx = (f(x+h) − f(x))/h

Maar nu zijn we niet geïnteresseerd in de steilheid van de snijlijn door de punten (x; f(x)) en (x+h ; f(x+h)) maar in de steilheid van de raaklijn aan de grafiek in het punt (x; f(x)) en die vinden we door te kijken wat er gebeurt als we dat tweede punt (x+h ; f(x+h)) op onze grafiek steeds dichter naar het eerste punt (x; f(x)) laten gaan, dus als we h steeds dichter naar nul toe laten gaan.

We kunnen niet simpelweg h = 0 invullen in de formule voor Δy/Δx, want dan krijgen we 0/0 en dat heeft geen betekenis. Daarom moeten we met het begrip limiet werken. Limiet komt van het Latijnse woord limes (genitief limitis) dat 'grens' betekent. Een limiet is niets anders dan een grenswaarde waar we zo dicht bij in de buurt kunnen komen als we maar willen, als we een variabele (hier: h) maar dicht genoeg bij een bepaalde waarde (hier: nul) laten komen. Voor de afgeleide f'(x) van f(x) en daarmee de steilheid van de raaklijn aan de grafiek van f in een willekeurig punt (x; f(x)) op de grafiek hebben we dan

f'(x) = lim_h→0 (f(x+h) − f(x))/h

We kunnen dit ook anders noteren, de limiet van het quotiënt Δy/Δx als we Δx naar nul laten gaan wordt ook voorgesteld door dy/dx, dus

dy/dx = lim_Δx→0 Δy/Δx

Maar nu terug naar onze samengestelde functie, die we hierboven schematisch hadden voorgesteld als

x → u → y

We zijn nu geïnteresseerd in de rate of change van y ten opzichte van x, dus de snelheid waarmee y verandert in verhouding tot een verandering van x bij een gegeven uitgangswaarde van x, want dat is immers de steilheid van de raaklijn aan de grafiek voor een gegeven waarde van x.

Welnu, volgens de rekenregels voor breuken heb je

Δy/Δx = Δy/Δu · Δu/Δx

Maar dit stelt een steilheid voor van een snijlijn door twee punten op de grafiek, dus moeten we weer de limiet nemen voor Δx → 0. Aangezien Δu ook naar nul toe gaat als we Δx naar nul laten gaan geeft dit

lim_Δx→0 Δy/Δx = lim_Δu→0 Δy/Δu · lim_Δx→0 Δu/Δx

en dus

dy/dx = dy/du · du/dx

Dit is de kettingregel in de notatie van Leibniz. De kettingregel wordt ook vaak gegeven in een andere notatie, van Lagrange. We hebben hier u = f(x) en y = g(u) zodat y = g(f(x)). Nu is dy/du = g'(u) = g'(f(x)) en du/dx = f'(x) zodat we voor de afgeleide van g(f(x)) naar x dus hebben

g'(f(x))·f'(x)

In deze vorm is de kettingregel minder 'transparant' en intuïtief dan in de vorm van Leibniz, zodat het aanbeveling verdient om de kettingregel ook in de vorm van Leibniz te onthouden en te leren gebruiken.

Nu gaan we de kettingregel toepassen op onze samengestelde functie. We hadden

u = 2x + 1

en dat geeft

du/dx = 2

en verder hadden we

y = e^u

en dat geeft

dy/du = e^u

en dus vinden we

dy/dx = dy/du · du/dx = e^u·2 = 2·e^u = 2·e^2x+1

In de praktijk is het na een beetje oefening heel goed mogelijk - en ook de bedoeling - om de afgeleide van een samengestelde functie direct op te schrijven zonder expliciet met de 'tussenvariabele' u te werken. We hebben hier y = e^2x+1 en u = 2x+1 en als je dit invult in de kettingregel dy/dx = dy/du · du/dx dan heb je dus

d(e^2x+1)/dx = d(e^2x+1)/d(2x+1) · d(2x+1)/dx = e^2x+1·2 = 2·e^2x+1.

Dankje! Zeer heldere en duidelijke uitleg. Er zijn echter wat vraagtekens:

Ik had hier ook nog eens naar gekeken:


Hier wordt dezelfde methode gebruikt (2:14) , echter wordt dy/du hier afgeleid direct van (p)³ naar 3p², terwijl jij in jouw quote echter alleen een variabele toewijst, dus in dit geval u = 2x + 1 en dan is dat dan e^u

[ Bericht 0% gewijzigd door Super-B op 12-05-2014 11:40:18 ]

quote:

Op maandag 12 mei 2014 11:55 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Die kerel in die video doet hetzelfde als Riparius.
Alleen heeft Riparius er veel meer informatie voor je bij gegeven.

y = e^(2x+1)
neem p = 2x+1
dan y = e^p
dy/dp = e^p
dp/dx = 2

En vervolgens
dy/dx = dy/dp dp/dx = e^p 2 = 2 e^(2x+1)

Riparius doet precies hetzelfde maar gebruikt dan een u ipv p.

Ow zo. Ja het is duidelijk.

Hoe pas je deze methode toe op de afgeleide van natuurlijke logaritmen?

Bijvoorbeeld: ln( 1 - 2x)

Ik pas dan de kettinregel toe:

1/x (1-2x) * -2

Doe ik hier iets fouts of..?

Weet iemand hoe je de inhoud van een achthoek berekend? elke zijde heeft een lengte van 18 meter en een hoogte van 12 m. Ik denk dat het iets met integralen is waar is heel slecht in ben..

quote:

Op maandag 12 mei 2014 14:02 schreef yasmine97 het volgende:
Weet iemand hoe je de inhoud van een achthoek berekend? elke zijde heeft een lengte van 18 meter en een hoogte van 12 m. Ik denk dat het iets met integralen is waar is heel slecht in ben..

Een achthoek heeft geen inhoud. De juiste benaming is een prisma.
Ken je de formule en/of aanpak voor het berekenen van de inhoud van een prisma?

quote:

Op maandag 12 mei 2014 13:48 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ow zo. Ja het is duidelijk.

Hoe pas je deze methode toe op de afgeleide van natuurlijke logaritmen?

Bijvoorbeeld: ln( 1 - 2x)

Ik pas dan de kettinregel toe:

1/x (1-2x) * -2

Doe ik hier iets fouts of..?

Het is -2/(1-2x).

f(x) = ln(x)
u(x) = 1-2x
f(u(x))' = f'(u(x)) u'(x) = -2/(1-2x)

quote:

Op maandag 12 mei 2014 14:06 schreef -J-D- het volgende:

[..]

Een achthoek heeft geen inhoud. De juiste benaming is een prisma.
Ken je de formule en/of aanpak voor het berekenen van de inhoud van een prisma?

Nee het is geen prisma, ik moet de inhoud berekenen van de rotskoepel in Jeruzalem en het onderste deel is een achthoek, misschien zeg ik het verkeerd maar het is geen prisma :p de inhoud van de koepel heb ik ergens op internet al gevonden dus ik moet alleen nog de achthoek en het schuine 'dak' berekenen.

oh, misschien heet het toch een prisma.

quote:

Op maandag 12 mei 2014 14:07 schreef thenxero het volgende:

[..]

Het is -2/(1-2x).

f(x) = ln(x)
u(x) = 1-2x
f(u(x))' = f'(u(x)) u'(x) = -2/(1-2x)

En deze?

ln √(x+1)

Ik kom uit op :

1 / (√x+1) * 1/2x^-1/2

quote:

Op maandag 12 mei 2014 14:37 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Schrijf de stappen eens op, dan weet je waarschijnlijk ook of je het goed gedaan hebt.

De stappen staan in mijn schrift. Ik schrijf alleen hier even het eindantwoord. Ik zal het even overnemen.. even wachten.

quote:

Op maandag 12 mei 2014 14:37 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Schrijf de stappen eens op, dan weet je waarschijnlijk ook of je het goed gedaan hebt.

Dit is letterlijk hoe ik het in mijn schrift heb opgenomen qua tussenstappen:

ln √(x+1) --> functie

ln ( x + 1)^1/2 ---> herschrijving

1/x * 1/2(x + 1) ^-1/2 --> afgeleide van ln en afgeleide van (x+1)^1/2

1 / √(2x+2) --> herschrijving van de afgeleide