SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde.
Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!
Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).
Links:
• http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
• http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
• http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
• http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
• http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...
OP
Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!
Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).
Links:
• http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
• http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
• http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
• http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
• http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...
OP
Ik heb (wederom) een vraagje over meetkunde (en nu wel in het goede topic).
De volgende koordenvierhoek is gegeven (tegen de klok in met punt A - D). De bogen BC, CD en DA zijn in de verhoudingen 1:3:5. De lijn AB ligt op het midden van de cirkel en bevat punt M.
Nu is het de bedoeling dat ik de hoeken uitrekenen van de koordenvierhoek. Maar ik kom niet verder aangezien ik niet weet waar ik moet beginnen/ik heb geen referentie.
De volgende koordenvierhoek is gegeven (tegen de klok in met punt A - D). De bogen BC, CD en DA zijn in de verhoudingen 1:3:5. De lijn AB ligt op het midden van de cirkel en bevat punt M.
Nu is het de bedoeling dat ik de hoeken uitrekenen van de koordenvierhoek. Maar ik kom niet verder aangezien ik niet weet waar ik moet beginnen/ik heb geen referentie.
Wel nauwkeurig formuleren: kennelijk bedoel je dat zijde AB van je koordenvierhoek een middellijn is van de cirkel waarop de hoekpunten van de koordenvierhoek liggen.quote:Op zondag 10 juni 2012 16:44 schreef Aardappel2610 het volgende:
Ik heb (wederom) een vraagje over meetkunde (en nu wel in het goede topic).
De volgende koordenvierhoek is gegeven (tegen de klok in met punt A - D). De bogen BC, CD en DA zijn in de verhoudingen 1:3:5. De lijn AB ligt op het midden van de cirkel en bevat punt M.
[ afbeelding ]
Nu is het de bedoeling dat ik de hoeken uitrekenen van de koordenvierhoek. Maar ik kom niet verder aangezien ik niet weet waar ik moet beginnen/ik heb geen referentie.
Ken je de stelling dat een omtrekshoek op een cirkelboog gelijk is aan de helft van de middelpuntshoek op diezelfde cirkelboog?
Ja die stelling ben ik bekend mee. Ik heb al zitten kijken of ik daar iets mee kon, maar dat schoot niet op.
Uiteraard schiet dat wél op. Kijk nog eens naar je figuur. Gegeven is (tegen de klok in) dat:quote:
Ja die stelling ben ik bekend mee. Ik heb al zitten kijken of ik daar iets mee kon, maar dat schoot niet op.
bg(BC) : bg(CD) : bg(DA) = 1 : 3 : 5
Nu hebben we ook nog (weer tegen de klok in) bg(AB), en dat is een halve cirkel, oftewel 180 graden, want AB is een middellijn van de cirkel. Maar die drie andere bogen die zich verhouden als 1 : 3 : 5 zijn samen ook 180 graden, want die vormen samen de andere helft van de cirkel. Nu kun je dus gemakkelijk uitrekenen hoe groot bg(BC), bg(CD) en bg(DA) zijn.
Ach zo, nu snap ik het.quote:
[..]
Vergeet even die hoek waarover punt A om het centrum O is geroteerd op een tijdstip t > 0. Maak een tekening van een gelijkzijdige driehoek ABC met centrum O. Deze tekening kun je beschouwen als een momentopname van de positie van de punten A,B,C op een gegeven tijdstip. Nu weet je dat A in de richting van B beweegt, dus de snelheidsvector v (met aangrijppunt A) ligt langs AB. Teken ook deze vector. De lengte van v in je tekening is niet belangrijk, maar omwille van de overzichtelijkheid van je tekening kun je het best de lengte van v in je tekening kleiner nemen dan de helft van de lengte van AB. Nu ontbind je deze vector in twee onderling loodrechte componenten. De radiale component vr ligt langs de radius OA en de transversale component vθ staat daar loodrecht op. Bereken nu (exact) de lengtes van vr en vθ. Dit kun je doen omdat de lengte |v| = 2 van de snelheidvector v bekend is. De lengte |vr| van de radiale component vr vertelt je nu hoe snel de afstand van punt A tot het centrum O afneemt. En aangezien je al uit had gerekend dat OA = (5/3)∙√3 op tijdstip t = 0 kun je dan ook uitrekenen op welk tijdstip zou moeten gelden dat OA = 0.
De hoek tussen v en vr is uiteraard 30 graden, dus:
1/2∙√3 = vr/v
v = 2 eenheden per seconde, cos(30°) is een getal zonder eenheid. Hieruit volgt direct dat vr ook de eenheid eenheden per seconde heeft.
Maargoed, oplossen geeft vr = √3
Een eenvoudige deling levert op dat het 5/3 seconden zal duren.
Maargoed, dit is een (inmiddels duidelijke) aanpak. Ik blijf echter wel zitten met de vraag hoe ik het dan via poolcoördinaten op had kunnen lossen (met r = r(θ))
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Die zag ik niet, maar nu zie ik het wel en is het me gelukt. Bedankt!quote:
[..]
Uiteraard schiet dat wél op. Kijk nog eens naar je figuur. Gegeven is (tegen de klok in) dat:
bg(BC) : bg(CD) : bg(DA) = 1 : 3 : 5
Nu hebben we ook nog (weer tegen de klok in) bg(AB), en dat is een halve cirkel, oftewel 180 graden, want AB is een middellijn van de cirkel. Maar die drie andere bogen die zich verhouden als 1 : 3 : 5 zijn samen ook 180 graden, want die vormen samen de andere helft van de cirkel. Nu kun je dus gemakkelijk uitrekenen hoe groot bg(BC), bg(CD) en bg(DA) zijn.
In eerste instantie heb ik het vraagstuk opgelost [link] door meetkundig af te leiden dat dr/dt = -√3, aangezien je dan geen vergelijking in poolcoördinaten hoeft op te stellen: als je eenmaal weet dat de afstand OA = r lineair afneemt met de tijd en je weet dat OA = (5/3)∙√3 voor t = 0 dan volgt direct dat OA = 0 voor t = 5/3 sec. Later [link] heb ik een afleiding gegeven voor een vergelijking in poolcoördinaten van de baan die punt A beschrijft. Je zou dan met behulp van integraalrekening de totale lengte van de (logaritmische) spiraal vanaf het startpunt van A uit kunnen rekenen, en dan moet je uiteraard op 10/3 uitkomen. De totale baanlengte wordt dan gegeven door:quote:
[..]
Ach zo, nu snap ik het.
De hoek tussen v en vr is uiteraard 30 graden, dus:
1/2∙√3 = vr/v
v = 2 eenheden per seconde, cos(30°) is een getal zonder eenheid. Hieruit volgt direct dat vr ook de eenheid eenheden per seconde heeft.
Maargoed, oplossen geeft vr = √3
Een eenvoudige deling levert op dat het 5/3 seconden zal duren.
Maargoed, dit is een (inmiddels duidelijke) aanpak. Ik blijf echter wel zitten met de vraag hoe ik het dan via poolcoördinaten op had kunnen lossen (met r = r(θ))
∫0∞ √(r2 + (dr/dθ)2)dθ,
waarin:
r = (5/3)∙√3∙e-√3∙θ
OK. Als je het goed hebt gedaan moet je uitkomen op α = 40°, β = 80°, en dan uiteraard γ = 140° en δ = 100°, aangezien α + γ = β + δ = 180°.quote:
[..]
Die zag ik niet, maar nu zie ik het wel en is het me gelukt. Bedankt!
Wat ik wel verbazend vind is dat hij in een rechte lijn er ongeveer 1,44 seconden over doet, en via deze weg 5/3 seconden. Dat is 'slechts' 15% langer.
Riparius:
"Het is heel eenvoudig om hiermee via
infinitesimalen een betrekking te vinden
tussen de hoek waarover punt A op een
gegeven moment is geroteerd vanaf het
beginpunt en de daarbij behorende straal."
En ik zocht me hier maar een ongeluk naar.
Wat ik me wel afvraag is of je zomaar mag stellen dat de radius lineair afneemt in de tijd, zonder dit toe te lichten.
× Alhoewel dit misschien wel duidelijk is aangezien v constant is en de driehoek altijd gelijkzijdig blijft. Je bent wel leerzaam trouwens, die anekdotes over de geschiedenis van de wiskunde zijn zeer interessant.
Riparius:
"Het is heel eenvoudig om hiermee via
infinitesimalen een betrekking te vinden
tussen de hoek waarover punt A op een
gegeven moment is geroteerd vanaf het
beginpunt en de daarbij behorende straal."
En ik zocht me hier maar een ongeluk naar.
Wat ik me wel afvraag is of je zomaar mag stellen dat de radius lineair afneemt in de tijd, zonder dit toe te lichten.
× Alhoewel dit misschien wel duidelijk is aangezien v constant is en de driehoek altijd gelijkzijdig blijft. Je bent wel leerzaam trouwens, die anekdotes over de geschiedenis van de wiskunde zijn zeer interessant.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Deze opmerking begrijp ik niet, ik heb immers bewezen dat dr/dt = -√3.quote:Op zondag 10 juni 2012 18:35 schreef Amoeba het volgende:
Wat ik wel verbazend vind is dat hij in een rechte lijn er ongeveer 1,44 seconden over doet, en via deze weg 5/3 seconden. Dat is 'slechts' 15% langer.
Riparius:
"Het is heel eenvoudig om hiermee via
infinitesimalen een betrekking te vinden
tussen de hoek waarover punt A op een
gegeven moment is geroteerd vanaf het
beginpunt en de daarbij behorende straal."
En ik zocht me hier maar een ongeluk naar.
Wat ik me wel afvraag is of je zomaar mag stellen dat de radius lineair afneemt in de tijd, zonder dit toe te lichten.
Aardig om nog even te vermelden is dat de rectificatie (lengtebepaling) van de logaritmische spiraal voor het eerst werd gevonden door Torricelli (1608-1647), zonder gebruik van infinitesimaalrekening, aangezien die toen nog niet bestond. De methode die Torricelli gebruikte was equivalent met de vectormethode die je nu hebt gezien, alleen kende Torricelli het begrip vector nog niet. Iets later werden logaritmische oftewel equiangulaire spiralen uitvoerig bestudeerd door Jacob Bernoulli (1654-1705), die daarbij ook het begrip poolcoördinaten introduceerde. Bernoulli was zo gefascineerd door de eigenschappen van deze spiraal, dat hij in zijn testament vast had laten leggen dat er een logaritmische spiraal op zijn grafmonument moest komen, met als motto eadem mutata resurgo. Helaas wist de steenhouwer niet wat nou eigenlijk een logaritmische spiraal was, want de spiraal op het monument leek veel meer op een archimedische spiraal. De steen bestaat nog steeds en is te zien in Basel (foto).quote:× Alhoewel dit misschien wel duidelijk is aangezien v constant is en de driehoek altijd gelijkzijdig blijft. Je bent wel leerzaam trouwens, die anekdotes over de geschiedenis van de wiskunde zijn zeer interessant.
quote:
[..]
Deze opmerking begrijp ik niet, ik heb immers bewezen dat dr/dt = -√3.Maar in mijn oplossing is dat niet bewezen. Daarmee heb ik dus het idee dat mijn berekening (die uiteraard niet helemaal van mij is) niet waterdicht is.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Toch wel. Gegeven is namelijk dat |v| = 2 constant is, en aangezien v langs AB ligt en ∠OAB = 30° ook constant is volgt dat de lengte |vr| van de radiale component vr langs OA eveneens constant is, en wel |vr| = √3.quote:
[..]
Maar in mijn oplossing is dat niet bewezen. Daarmee heb ik dus het idee dat mijn berekening (die uiteraard niet helemaal van mij is) niet waterdicht is.
Hallo,
Graag wil ik een vraag stellen over het isoleren van een variabele. Het gaat dan over een opdracht en die luidt: maak uit de volgende vergelijking a vrij.
Nou had ik het antwoord wel goed maar toch zit ik te twijfelen of mijn berekening goed is. Ik laat nu zien hoe ik het stapsgewijs heb aangepakt.
Mijn vraag is: hoe kan ik in de enelaatste stap weten dat PS een noemer wordt en R een teller en niet andersom? Verder wil ik graag vragen of ik mijn berekeningen op de juiste manier heb berekend, omdat ik dit soort wiskunde nooit heb gekregen.
Graag wacht ik op uw reactie. Alvast bedankt voor uw antwoord.
Groet,
superky
Graag wil ik een vraag stellen over het isoleren van een variabele. Het gaat dan over een opdracht en die luidt: maak uit de volgende vergelijking a vrij.
Nou had ik het antwoord wel goed maar toch zit ik te twijfelen of mijn berekening goed is. Ik laat nu zien hoe ik het stapsgewijs heb aangepakt.
Mijn vraag is: hoe kan ik in de enelaatste stap weten dat PS een noemer wordt en R een teller en niet andersom? Verder wil ik graag vragen of ik mijn berekeningen op de juiste manier heb berekend, omdat ik dit soort wiskunde nooit heb gekregen.
Graag wacht ik op uw reactie. Alvast bedankt voor uw antwoord.
Groet,
superky
Je doet het fout. In je tweede stap vereenvoudig je het linkerlid en vermenigvuldig je daar met a, maar vermenigvuldig je het rechterlid plotseling met R, en dat deugt natuurlijk niet. Als je links met een bepaalde factor vermenigvuldigt of door een bepaalde factor deelt, dan moet je dat rechts ook doen.quote:
Hallo,
Graag wil ik een vraag stellen over het isoleren van een variabele. Het gaat dan over een opdracht en die luidt: maak uit de volgende vergelijking a vrij.
Voor hem is die knop dan juist weer overbodigquote:Op zondag 10 juni 2012 19:19 schreef thenxero het volgende:
Had ik ook maar een knopje zodat ik domme posts van mezelf kon verwijderen, net als Glowmouse
I asked God for a bike, but I know God doesn't work that way.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
Hij maakte er net gebruik van, maar dat is dus niet meer te achterhalenquote:
[..]
Voor hem is die knop dan juist weer overbodig
Achja, uiteraard. Mijn excuses.quote:
[..]
Toch wel. Gegeven is namelijk dat |v| = 2 constant is, en aangezien v langs AB ligt en ∠OAB = 30° ook constant is volgt dat de lengte |vr| van de radiale component vr langs OA eveneens constant is, en wel |vr| = √3.
Je zou ze kunnen bewerken naar een ., maar dan kunnen moderators je originele reactie nog zien.quote:
Had ik ook maar een knopje zodat ik domme posts van mezelf kon verwijderen, net als Glowmouse
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Je moet weten dat:quote:
Hallo,
Graag wil ik een vraag stellen over het isoleren van een variabele. Het gaat dan over een opdracht en die luidt: maak uit de volgende vergelijking a vrij.
Nou had ik het antwoord wel goed maar toch zit ik te twijfelen of mijn berekening goed is. Ik laat nu zien hoe ik het stapsgewijs heb aangepakt.
Mijn vraag is: hoe kan ik in de enelaatste stap weten dat PS een noemer wordt en R een teller en niet andersom? Verder wil ik graag vragen of ik mijn berekeningen op de juiste manier heb berekend, omdat ik dit soort wiskunde nooit heb gekregen.
Graag wacht ik op uw reactie. Alvast bedankt voor uw antwoord.
Groet,
superky
y =
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
En als je niet meer weet hoe het zat, kun je het altijd nog beredeneren aan de hand van een cijfervoorbeeld. Bijvoorbeeld: 6/2=3 --> 2=6/3, en 6 = 2*3quote:
26"
Fading slowly.
Fading slowly.
Ja ik had ook een cijfervoorbeeld gebruikt maar toch kom ik er nog steeds niet uit. Wilt u of iemand anders dan de juiste werkwijze stapsgewijs uitleggen? U mag het zeggen, want ik weet het echt nog steeds niet. Ik ben vandaag ongeveer vanaf 09:30 hiermee bezig. Niet alleen met deze vergelijking maar ook met andere vergelijkingen die er anders uit zien. En die ik moet isoleren.quote:Op zondag 10 juni 2012 19:55 schreef Unsub het volgende:
[..]
En als je niet meer weet hoe het zat, kun je het altijd nog beredeneren aan de hand van een cijfervoorbeeld. Bijvoorbeeld: 6/2=3 --> 2=6/3, en 6 = 2*3
Daarom wil ik ook er maar één vergelijking hier laten zien anders wordt het denk ik te veel? Graag wacht ik op uw reactie. Alvast bedankt voor uw antwoord.
Groet,
superky
R/(aS) = Pquote:
[..]
Ja ik had ook een cijfervoorbeeld gebruikt maar toch kom ik er nog steeds niet uit. Wilt u of iemand anders dan de juiste werkwijze stapsgewijs uitleggen? U mag het zeggen, want ik weet het echt nog steeds niet. Ik ben vandaag ongeveer vanaf 09:30 hiermee bezig. Niet alleen met deze vergelijking maar ook met andere vergelijkingen die er anders uit zien. En die ik moet isoleren.
Daarom wil ik ook er maar één vergelijking hier laten zien anders wordt het denk ik te veel? Graag wacht ik op uw reactie. Alvast bedankt voor uw antwoord.
Groet,
superky
P*S = R/a
R/(P*S) = a
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik zie trouwens niet in waarom je die stelling zou gebruiken.quote:
[..]
Wel nauwkeurig formuleren: kennelijk bedoel je dat zijde AB van je koordenvierhoek een middellijn is van de cirkel waarop de hoekpunten van de koordenvierhoek liggen.
Ken je de stelling dat een omtrekshoek op een cirkelboog gelijk is aan de helft van de middelpuntshoek op diezelfde cirkelboog?
We weten allemaal dat bij een bepaalde hoek een bepaalde booglengte hoort. De verhouding tussen de 3 bogen is gegeven. ∠A hoort dan bij bg(BC)+bg(CD) = 4x
(Trouwens een halve cirkel staat tot 9x, levert een simpele som op)
∠C staat op bg(AB)+bg(AD) = 14x
14x + 4x = 180° (koordenvierhoek)
x = 10°
Hieruit volgt dat ∠A = 40° (en dus ∠C = 140°)
Op dezelfde wijze vallen hoeken ∠B en ∠D te berekenen.
Of maak ik hier nu een idiote fout?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ja. Je maakt namelijk impliciet gebruik van de stelling dat een omtrekshoek en een middelpuntshoek op dezelfde cirkelboog een vaste verhouding tot elkaar hebben om tot de conclusie te kunnen komen dat α : γ = 4 : 14. Je maakt alleen geen gebruik van het feit dat die verhouding 1 : 2 bedraagt maar gebruikt in plaats daarvan dat α + γ = 180° om te kunnen concluderen dat α = 40° en γ = 140°.quote:
[..]
Ik zie trouwens niet in waarom je die stelling zou gebruiken.
We weten allemaal dat bij een bepaalde hoek een bepaalde booglengte hoort. De verhouding tussen de 3 bogen is gegeven. ∠A hoort dan bij bg(BC)+bg(CD) = 4x
(Trouwens een halve cirkel staat tot 9x, levert een simpele som op)
∠C staat op bg(AB)+bg(AD) = 14x
14x + 4x = 180° (koordenvierhoek)
x = 10°
Hieruit volgt dat ∠A = 40° (en dus ∠C = 140°)
Op dezelfde wijze vallen hoeken ∠B en ∠D te berekenen.
Of maak ik hier nu een idiote fout?
Ik lees nu inderdaad op Wikipedia dat mijn stelling "bij gelijke hoeken horen gelijke bogen" een afgeleide stelling is van de stelling die ik wilde omzeilen. Mijn bewijs is dus niet fout, toch?quote:
[..]
Ja. Je maakt namelijk impliciet gebruik van de stelling dat een omtrekshoek en een middelpuntshoek op dezelfde cirkelboog een vaste verhouding tot elkaar hebben om tot de conclusie te kunnen komen dat α : γ = 4 : 14. Je maakt alleen geen gebruik van het feit dat die verhouding 1 : 2 bedraagt maar gebruikt in plaats daarvan dat α + γ = 180° om te kunnen concluderen dat α = 40° en γ = 140°.
Het laat zich trouwens wel raden welke user ik ben.
Dat lijkt me niet.quote:
[..]
Ik lees nu inderdaad op Wikipedia dat mijn stelling "bij gelijke hoeken horen gelijke bogen" een afgeleide stelling is van de stelling die ik wilde omzeilen.
Geef eens een linkje. Ik heb namelijk het idee dat je nu omtrekshoeken en middelpuntshoeken door elkaar haalt. Zie ook hier.quote:Mijn bewijs is dus niet fout, toch?
Daar was ik al geweest. Het ging me om deze passage:
Ik zie trouwens ook in dat die passage niet helemaal strookt met wat ik gebruikte voor stelling. Leesfoutje.
deze wiki
Omtrekshoeken op dezelfde boog
Omtrekshoeken die op dezelfde boog staan, zijn even groot.
Bewijs:
Uit de hoofdeigenschap volgt: θ = 2α en θ = 2β en θ = 2ε zodat α = β = ε
Q.E.D.
(dit wordt dus bewezen met de stelling dat een omtrekshoek 2x zo klein is als een middelpuntshoek).
Of heb ik nu mis dat als een omtrekshoek gelijk is aan een andere omtrekshoek (op een andere boog) dat deze bogen dan even lang zijn? Dat is namelijk het idee van waaruit ik handel. En dat als een hoek 2x zo groot wordt een boog 2x zo groot wordt. Dat is namelijk makkelijk aan te tonen als mijn eerste 'stelling' klopt.
Ik zie trouwens ook in dat die passage niet helemaal strookt met wat ik gebruikte voor stelling. Leesfoutje.
deze wiki
Omtrekshoeken op dezelfde boog
Omtrekshoeken die op dezelfde boog staan, zijn even groot.
Bewijs:
Uit de hoofdeigenschap volgt: θ = 2α en θ = 2β en θ = 2ε zodat α = β = ε
Q.E.D.
(dit wordt dus bewezen met de stelling dat een omtrekshoek 2x zo klein is als een middelpuntshoek).
Of heb ik nu mis dat als een omtrekshoek gelijk is aan een andere omtrekshoek (op een andere boog) dat deze bogen dan even lang zijn? Dat is namelijk het idee van waaruit ik handel. En dat als een hoek 2x zo groot wordt een boog 2x zo groot wordt. Dat is namelijk makkelijk aan te tonen als mijn eerste 'stelling' klopt.
Goed, wat ik dus wil stellen dat wanneer ∠C gelijk is aan ∠B dat bg(DE) = bg(FG)
Tekenprogramma: GeoGebra, weet niet of je het kent, maar is wel leuk om deze schetsen in te maken. En als ik dit zo eens een GeoGebra maak en laat berekenen schijnt dit wel te kloppen. Maar dit is niks revolutionairs, als je het mij vraagt.
[ Bericht 80% gewijzigd door Muiroe op 11-06-2012 04:29:16 ]
Je maakt nog steeds een denkfout. Het simpele feit dat gelijke omtrekshoeken op gelijke bogen staan impliceert namelijk eo ipso niet dat de grootte van een omtrekshoek ook recht evenredig is met de grootte van de boog waarop die omtrekshoek staat. Maar van dat laatste ging je wél uit.quote:
Daar was ik al geweest. Het ging me om deze passage:
Ik zie trouwens ook in dat die passage niet helemaal strookt met wat ik gebruikte voor stelling. Leesfoutje.
deze wiki
[ afbeelding ]
Omtrekshoeken op dezelfde boog
Omtrekshoeken die op dezelfde boog staan, zijn even groot.
Bewijs:
Uit de hoofdeigenschap volgt: θ = 2α en θ = 2β en θ = 2ε zodat α = β = ε
Q.E.D.
(dit wordt dus bewezen met de stelling dat een omtrekshoek 2x zo klein is als een middelpuntshoek).
Of heb ik nu mis dat als een omtrekshoek gelijk is aan een andere omtrekshoek (op een andere boog) dat deze bogen dan even lang zijn? Dat is namelijk het idee van waaruit ik handel. En dat als een hoek 2x zo groot wordt een boog 2x zo groot wordt. Dat is namelijk makkelijk aan te tonen als mijn eerste 'stelling' klopt.
Ja, het is wel zo dat omtrekshoeken evenredig zijn met de bogen waarop ze staan, maar dat volgt niet uit het simpele feit dat gelijke omtrekshoeken op gelijke bogen staan. Dat is een non sequitur. Je kunt bijvoorbeeld ook zeggen dat cirkels met gelijke stralen gelijke oppervlakte hebben, maar daar volgt niet uit dat de oppervlakte van een cirkel evenredig is met de straal van die cirkel.quote:
Ja, ik volg je redenering. Waaruit volgt dit dan wel?quote:
[..]
Ja, het is wel zo dat omtrekshoeken evenredig zijn met de bogen waarop ze staan, maar dat volgt niet uit het simpele feit dat gelijke omtrekshoeken op gelijke bogen staan. Dat is een non sequitur. Je kunt bijvoorbeeld ook zeggen dat cirkels met gelijke stralen gelijke oppervlakte hebben, maar daar volgt niet uit dat de oppervlakte van een cirkel evenredig is met de straal van die cirkel.
De evenredigheid volgt uit de bekende stelling dat een omtrekshoek op een cirkelboog gelijk is aan de helft van de middelpuntshoek op dezelfde cirkelboog. En dat is precies de stelling die jij impliciet ook gebruikte.quote:
[..]
Ja, ik volg je redenering. Waaruit volgt dit dan wel?
Doordat de omtrekshoek evenredig is met de middelpuntshoek, en de middelpuntshoek met de boog (bij 1 radiaal is de boog gelijk aan de radius)
Sorry, meetkunde is altijd m'n slechtste punt geweest. Integraal- en differentiaalrekening allemaal (afgerond) een 10 of een 9, meetkunde een 4,8 om precies te zijn.
Sorry, meetkunde is altijd m'n slechtste punt geweest. Integraal- en differentiaalrekening allemaal (afgerond) een 10 of een 9, meetkunde een 4,8 om precies te zijn.
Ik wil de volgende formule herleiden naar ⅙(4-a)³ :
(2 - ⅓(4-a) - ½a)(4-a)²
Echter lukt me dit niet helemaal. Heeft iemand een aanwijzing voor mij?
(2 - ⅓(4-a) - ½a)(4-a)²
Echter lukt me dit niet helemaal. Heeft iemand een aanwijzing voor mij?
quote:
Ik wil de volgende formule herleiden naar ⅙(4-a)³ :
(2 - ⅓(4-a) - ½a)(4-a)²
Echter lukt me dit niet helemaal. Heeft iemand een aanwijzing voor mij?
Vermenigvuldig dat met
.
The biggest argument against democracy is a five minute discussion with the average voter.
Ah, ik zie al wat ik fout deed. Ik maakte de vertaalslag terug naar de vormquote:
[..]
Vermenigvuldig dat meten je krijgt je antwoord
Bedankt.
Voor diegenen die geïnteresseerd zijn:
Voor mijn mondeling examen wiskunde B moet ik een keuze onderwerp presenteren. Mijn keuze onderwerp is De Voortgezette Integraalrekening Nagenoeg iedereen bij mij op school presenteert aan de hand van een aantal A4'tjes op een groot vel karton. Ik wil (vooral voor wiskunde B) origineel zijn en heb dus 12 wiskundige vergelijking opgesteld, met als uitkomst 1 t/m 12. Je raadt het vast al, ik ga een klok bewerken. Dus ik op de fiets naar de Action, klokje gehaald. Nu wil ik met afbeeldingen van historisch succesvolle wiskundigen hun portretten plus een wiskundige functie (die als uitkomst een heel uur heeft) op de plek van de cijfers plaatsen.
De vergelijkingen:
Voor mijn mondeling examen wiskunde B moet ik een keuze onderwerp presenteren. Mijn keuze onderwerp is De Voortgezette Integraalrekening Nagenoeg iedereen bij mij op school presenteert aan de hand van een aantal A4'tjes op een groot vel karton. Ik wil (vooral voor wiskunde B) origineel zijn en heb dus 12 wiskundige vergelijking opgesteld, met als uitkomst 1 t/m 12. Je raadt het vast al, ik ga een klok bewerken. Dus ik op de fiets naar de Action, klokje gehaald. Nu wil ik met afbeeldingen van historisch succesvolle wiskundigen hun portretten plus een wiskundige functie (die als uitkomst een heel uur heeft) op de plek van de cijfers plaatsen.
De vergelijkingen:
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Nu nog de wiskundigen:
De Moivre
Euler
Pythagoras
Freudenthal
Viète
Ik moet er dus 12 hebben. Het liefst natuurlijk wiskundigen die bij de keuze van mijn onderwerp aansluiten!
Andere misschien nog gave ideeën?
[ Bericht 21% gewijzigd door Muiroe op 12-06-2012 21:16:41 ]
[LaTeX #7] TeXnologen voor de zetTeXniekquote:Op dinsdag 12 juni 2012 16:35 schreef Muiroe het volgende:
Weet iemand hoe ik in TeX een derdemachtswortel maak? Ik heb dit nodig voor een project voor mijn mondeling examen wiskunde B.
En ook e^(πi)
quote:
Voor diegenen die geïnteresseerd zijn:
Voor mijn mondeling examen wiskunde B moet ik een keuze onderwerp presenteren. Mijn keuze onderwerp is De Voortgezette Integraalrekening Nagenoeg iedereen bij mij op school presenteert aan de hand van een aantal A4'tjes op een groot vel karton. Ik wil (vooral voor wiskunde B) origineel zijn en heb dus 12 wiskundige vergelijking opgesteld, met als uitkomst 1 t/m 12. Je raadt het vast al, ik ga een klok bewerken. Dus ik op de fiets naar de Action, klokje gehaald. Nu wil ik met afbeeldingen van historisch succesvolle wiskundigen hun portretten plus een wiskundige functie (die als uitkomst een heel uur heeft) op de plek van de cijfers plaatsen.
De vergelijkingen:Sowieso Gauss er nog bij die een stelling heeft bedacht waarmee je een volume-integraal kan omschrijven naar een oppervlakte-integraal.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Nu nog de wiskundigen:
De Moivre
Euler
Pythagoras
Freudenthal
Viète
Ik moet er dus 12 hebben. Het liefst natuurlijk wiskundigen die bij de keuze van mijn onderwerp aansluiten!
Andere misschien nog gave ideeën?
http://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Gauss
Edit: Ah, hij is dus door meerdere personen bedacht. Heb je er gelijk 3.quote:Dit theorema werd het eerst ontdekt door Joseph-Louis Lagrange in 1762, en later onafhankelijk opnieuw ontdekt door Carl Friedrich Gauss in 1813, door George Green in 1825 en in 1831 door Mikhail Vasilievich Ostrogradsky, die ook het eerste bewijs leverde. Variaties op de divergentiestelling werden dan ook naar hen genoemd.gr gr
quote:
Voor diegenen die geïnteresseerd zijn:
Voor mijn mondeling examen wiskunde B moet ik een keuze onderwerp presenteren. Mijn keuze onderwerp is De Voortgezette Integraalrekening Nagenoeg iedereen bij mij op school presenteert aan de hand van een aantal A4'tjes op een groot vel karton. Ik wil (vooral voor wiskunde B) origineel zijn en heb dus 12 wiskundige vergelijking opgesteld, met als uitkomst 1 t/m 12. Je raadt het vast al, ik ga een klok bewerken. Dus ik op de fiets naar de Action, klokje gehaald. Nu wil ik met afbeeldingen van historisch succesvolle wiskundigen hun portretten plus een wiskundige functie (die als uitkomst een heel uur heeft) op de plek van de cijfers plaatsen.
De vergelijkingen:Stieltjes, Lebesgue, Riemann, Green, Stokes, Fourier, CauchySPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Nu nog de wiskundigen:
De Moivre
Euler
Pythagoras
Freudenthal
Viète
Ik moet er dus 12 hebben. Het liefst natuurlijk wiskundigen die bij de keuze van mijn onderwerp aansluiten!
Andere misschien nog gave ideeën?
Het idee van een wiskundige klok is niet zo origineel als je misschien denkt. Maar al je dit toch gaat gebruiken zou ik wel wat mooiere c.q. fundamentelere resultaten zoeken om te presenteren. En 'voortgezette integraalrekening', wat mogen we ons daarbij voorstellen?quote:
Voor diegenen die geïnteresseerd zijn:
Voor mijn mondeling examen wiskunde B moet ik een keuze onderwerp presenteren. Mijn keuze onderwerp is De Voortgezette Integraalrekening Nagenoeg iedereen bij mij op school presenteert aan de hand van een aantal A4'tjes op een groot vel karton. Ik wil (vooral voor wiskunde B) origineel zijn en heb dus 12 wiskundige vergelijking opgesteld, met als uitkomst 1 t/m 12. Je raadt het vast al, ik ga een klok bewerken.
Nouja, het idee van die klok komt van een klok die lijkt het op je eerste zoekresultaat. De voortgezette integraalrekening is een hoofdstuk dat voortborduurt op hoofdstuk 10 van wiskunde B, de integraalrekening. Daar leer je de beginselen, Riemannsom, ln(x) primitiveren enzulks. De voortgezette integraalrekening behandelt vier onderdelen, cyclometrische functies (arctan/arcsin), breuksplitsen, partieel integreren en de substitutiemethode. Allemaal niet zo heel spannend op het vwo.quote:
[..]
Het idee van een wiskundige klok is niet zo origineel als je misschien denkt. Maar al je dit toch gaat gebruiken zou ik wel wat mooiere/fundamentelere resultaten zoeken om te presenteren. En 'voortgezette integraalrekening', wat mogen we ons daarbij voorstellen?
Maargoed, ik moet dus met opgaven komen die daarop ingaan, en dat is niet altijd even makkelijk. Vooruit, er zitten wel een paar 'bonusuren' bij.
Want niet bij alle opgaven komt even mooi 12 of 7 uit. Maargoed, het is geen scriptie of iets dergelijks. Ik hoef alleen maar uit te leggen wat ik geleerd heb. Complexe getallen was trouwens ook een keuze onderwerp.
Even zitten kijken. Er zitten wel echt gave ideeën bij voor zo'n klok!
quote:
Voor diegenen die geïnteresseerd zijn:
Voor mijn mondeling examen wiskunde B moet ik een keuze onderwerp presenteren. Mijn keuze onderwerp is De Voortgezette Integraalrekening Nagenoeg iedereen bij mij op school presenteert aan de hand van een aantal A4'tjes op een groot vel karton. Ik wil (vooral voor wiskunde B) origineel zijn en heb dus 12 wiskundige vergelijking opgesteld, met als uitkomst 1 t/m 12. Je raadt het vast al, ik ga een klok bewerken. Dus ik op de fiets naar de Action, klokje gehaald. Nu wil ik met afbeeldingen van historisch succesvolle wiskundigen hun portretten plus een wiskundige functie (die als uitkomst een heel uur heeft) op de plek van de cijfers plaatsen.
De vergelijkingen:SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Nu nog de wiskundigen:
De Moivre
Euler
Pythagoras
Freudenthal
Viète
Ik moet er dus 12 hebben. Het liefst natuurlijk wiskundigen die bij de keuze van mijn onderwerp aansluiten!
Andere misschien nog gave ideeën?
[ Bericht 0% gewijzigd door Muiroe op 12-06-2012 21:12:21 ]
Ik zou geloof ik eerder voor een bepaald (klassiek) probleem kiezen waarbij je het geleerde kunt toepassen en het ook nog een beetje spannend kunt maken door net een paar stapjes verder te gaan en iets te laten zien wat niet aan bod is gekomen in de stof. Denk aan iets als de rectificatie van een paraboolsegment waarbij je verschillende substitutiemethoden (goniometrisch, hyperbolisch, algebraïsch) kunt demonstreren om √(1 + x2) te primitiveren, of vertel (heel toepasselijk dit jaar) iets over de Mercatorprojectie en behandel het probleem van het primitiveren van 1/cos x, waarbij je wellicht ook nog iets over de Weierstraß-substitutie en de Gudermann functie kunt vertellen.quote:
[..]
Nouja, het idee van die klok komt van een klok die lijkt het op je eerste zoekresultaat. De voortgezette integraalrekening is een hoofdstuk dat voortborduurt op hoofdstuk 10 van wiskunde B, de integraalrekening. Daar leer je de beginselen, Riemannsom, ln(x) primitiveren enzulks. De voortgezette integraalrekening behandelt vier onderdelen, cyclometrische functies (arctan/arcsin), breuksplitsen, partieel integreren en de substitutiemethode. Allemaal niet zo heel spannend op het vwo.
Maargoed, ik moet dus met opgaven komen die daarop ingaan, en dat is niet altijd even makkelijk. Vooruit, er zitten wel een paar 'bonusuren' bij.
[ Bericht 2% gewijzigd door Riparius op 12-06-2012 20:19:57 ]
Ik zal er eens naar kijken. Vooralsnog heb ik nu dit 'werkstuk' bijna af. Wel stom dat ik sin(1,5π) voor 1 aanzag, terwijl dit uiteraard -1 is. Zag het staan en dacht gelijk: "Wat domquote:
[..]
Ik zou geloof ik eerder voor een bepaald (klassiek) probleem kiezen waarbij je het geleerde kunt toepassen en het ook nog een beetje spannend kunt maken door net een paar stapjes verder te gaan en iets te laten zien wat niet aan bod is gekomen in de stof. Denk aan iets als de rectificatie van een paraboolsegment waarbij je verschillende substitutiemethoden (goniometrisch, hyperbolisch, algebraïsch) kunt demonstreren om √(1 + x2) te primitiveren, of vertel (heel toepasselijk dit jaar) iets over de Mercatorprojectie en behandel het probleem van het primitiveren van 1/cos x, waarbij je wellicht ook nog iets over de Weierstraß-substitutie en de Gudermann functie kunt vertellen.
"Trouwens wel leuk dat WolframAlpha direct overweg kan met invoer in TeX, ofja het meeste.
Edit:
Je edit is zeker wel interessant. Ik ga het doorlezen!
"cyclometrische functies (arctan/arcsin), breuksplitsen, partieel integreren en de substitutiemethode."quote:En 'voortgezette integraalrekening', wat mogen we ons daarbij voorstellen?
Dus wat basale integratietechnieken die niet lang geleden nog een onderdeel waren van de Wiskunde-B-stof en die nu een keuze-onderdeel zijn geworden bij wiskunde B. Jammer, bij calculus op de universiteit moeten ze nu nogmaals die onderdelen behandelen waardoor andere onderdelen niet behandeld kunnen worden.
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
Dat was wiskunde B1,2. Nu wordt er ook een hoop behandeld in wiskunde D, zoals limieten en complexe getallen. Enfin, ik doe m'n best om een hoop bij te leren voordat ik naar de TU ga.quote:
[..]
"cyclometrische functies (arctan/arcsin), breuksplitsen, partieel integreren en de substitutiemethode."
Dus wat basale integratietechnieken die niet lang geleden nog een onderdeel waren van de Wiskunde-B-stof en die nu een keuze-onderdeel zijn geworden bij wiskunde B. Jammer, bij calculus op de universiteit moeten ze nu nogmaals die onderdelen behandelen waardoor andere onderdelen niet behandeld kunnen worden.
Ik moet een nieuwe verzinnen voor 6 en 9, iemand een idee?
6 keer de pdf van de standaardnormale verdeling geïntegreerd over de reële getallen (ook wel Gaussverdeling)
Wel een gelukje. Het getal 6 had ik nou net uitgeprint, geplastificeerd en uitgeknipt. Mis ik de /pi, kudt.quote:
6 keer de pdf van de standaardnormale verdeling geïntegreerd over de reële getallen (ook wel Gaussverdeling)
Prachtig!
Een mondeling examen wiskunde B, wie heeft dat verzonnen?quote:Op dinsdag 12 juni 2012 22:13 schreef thenxero het volgende:
jaja harde struggles op de middelbare school
Ja, moet hij natuurlijk wél kunnen vertellen hoe je dit aan kunt tonen. Daar zijn een hoop manieren voor die minder afgezaagd zijn dan de bekende conversie naar een dubbelintegraal en dan transformatie naar poolcoördinaten. Misschien is dit artikel aardig om mee te beginnen.quote:
6 keer de pdf van de standaardnormale verdeling geïntegreerd over de reële getallen (ook wel Gaussverdeling)
Daar wilde ik me nog in gaan verdiepen.quote:
[..]
Ja, moet hij natuurlijk wél kunnen vertellen hoe je dit aan kunt tonen. Daar zijn een hoop manieren voor die minder afgezaagd zijn dan de bekende conversie naar een dubbelintegraal en dan transformatie naar poolcoördinaten. Misschien is dit artikel aardig om mee te beginnen.
Maargoed, ik heb m'n klok af. Morgen ga ik me in zowel deze link als in het probleem van de integraal over 1/cos(x) verdiepen. Ik blijf benieuwd naar wat jij allemaal gestudeerd hebt (ook al wil je het niet zeggen.)
http://s7.postimage.org/sduet4zih/2012_06_12_22_36_30.jpg
Mensen die een beetje opletten zullen direct zien dat de Gaussverdeling boven de afbeelding van Riemann staat, terwijl Carl Friedrich opgeschoven is naar de zeven. Toeval.
[ Bericht 2% gewijzigd door Muiroe op 12-06-2012 22:56:46 ]
Het lijkt me vrij duidelijk dat Riparius wiskunde gestudeerd heeft.quote:
[..]
Ik blijf benieuwd naar wat jij allemaal gestudeerd hebt (ook al wil je het niet zeggen.)
Ik las toevallig zijn post in een topic wat ging over Nederlands (hexameters meende ik). Toevallig legde ik dit uit zuivere interesse voor aan mijn docente Nederlands, die moest volgens mij heel diep teruggraven voordat ze het me uit kon leggen. En niet iedere wiskundige heeft wiskunde gestudeerd. Dit volgt wel uit Riparius zijn voorbeeld over Argand, wiens publicatie over de complexe getallen in zijn eigen boekhandeltje te vinden was. (als ik het goed begrepen heb)quote:Op dinsdag 12 juni 2012 22:48 schreef thenxero het volgende:
[..]
Het lijkt me vrij duidelijk dat Riparius wiskunde gestudeerd heeft.
Volgens mij ben je een post te laat.quote:
Die heeft de docent bij infi A ook een keer voorgedaan, eens kijken of ik er nog iets van snap.quote:
[..]
Ja, moet hij natuurlijk wél kunnen vertellen hoe je dit aan kunt tonen. Daar zijn een hoop manieren voor die minder afgezaagd zijn dan de bekende conversie naar een dubbelintegraal en dan transformatie naar poolcoördinaten. Misschien is dit artikel aardig om mee te beginnen.
Prof. Hogendijk?quote:
[..]
Die heeft de docent bij infi A ook een keer voorgedaan, eens kijken of ik er nog iets van snap.
Goed, ik ben dat artikel over de Secant aan het lezen. Het stuk wat ik niet begrijp komt meteen na figuur 1, ofwel het bovenste stukje. Wat is een loxodrome precies, en wat heeft secθ hiermee te maken?
Een loxodroom is een koerslijn (in het engels ook rhumb line), oftewel een lijn op het aardoppervlak die alle meridianen onder een gelijke hoek snijdt. Als je een stereografische kaartprojectie maakt dan is de projectie van een loxodroom een logaritmische spiraal (!) met de noordpool of de zuidpool als centrum. Om nu te bereiken dat deze koerslijnen oftewel loxodromen op je kaartprojectie als rechte lijnen verschijnen (zodat je een zeekaart kunt maken waarop koersen als rechte lijnen zijn uit te zetten) heb je dus een hoekgetrouwe (conforme) projectie nodig waarbij tevens de meridianen als parallelle lijnen worden weergegeven. Lees ook het hoofdstuk A Mapmaker's Paradise uit het boekje van Maor en dit Wikipedia artikel, dan zal alles je wel duidelijker worden.quote:
Goed, ik ben dat artikel over de Secant aan het lezen. Het stuk wat ik niet begrijp komt meteen na figuur 1, ofwel het bovenste stukje. Wat is een loxodrome precies, en wat heeft secθ hiermee te maken?
[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 13-06-2012 13:39:34 ]
Vraagje, 4VWO:
(1/2)^-x+2 + 2^x+3 = 4 1/8
(2^-1)^-x+2 + 2^x+3 = 4 1/8
2^x-2 + 2^x+3 = 4 1/8
2^x-2 + 2^x-2 * 2^5 = 4 1/8
Het vetgedrukte begrijp ik niet
Hoezo wordt 2^x+3 vervangen voor 2^x-2 * 2^5
(1/2)^-x+2 + 2^x+3 = 4 1/8
(2^-1)^-x+2 + 2^x+3 = 4 1/8
2^x-2 + 2^x+3 = 4 1/8
2^x-2 + 2^x-2 * 2^5 = 4 1/8
Het vetgedrukte begrijp ik niet
Hoezo wordt 2^x+3 vervangen voor 2^x-2 * 2^5
.
Heel eenvoudig, je kent toch wel de volgende rekenregel voor machten:quote:
Vraagje, 4VWO:
(1/2)^-x+2 + 2^x+3 = 4 1/8
(2^-1)^-x+2 + 2^x+3 = 4 1/8
2^x-2 + 2^x+3 = 4 1/8
2^x-2 + 2^x-2 * 2^5 = 4 1/8
Het vetgedrukte begrijp ik niet
Hoezo wordt 2^x+3 vervangen voor 2^x-2 * 2^5
ap+q = ap∙aq
Gebruik trouwens superscript voor je exponenten, dat is er niet voor niets.
Begrijp het nog steeds niet.quote:
[..]
Heel eenvoudig, je kent toch wel de volgende rekenregel voor machten:
ap+q = ap∙aq
Gebruik trouwens superscript voor je exponenten, dat is er niet voor niets.
De clou is hier dat je 2x+3 herschrijft als het product 2x-2∙25 omdat je dan in het linkerlid van je vergelijking een factor 2x-2 buiten haakjes kunt halen. En je ziet toch hopelijk wel in dat x + 3 = (x - 2) + 5.quote:
Metquote:
Waarom is:
5x-1
hetzelfde als:
5x-2 * 51
Ik snap het nogsteeds niet helemaal. Hoe doe je dit nou
ap+q = ap∙aq
waarbij in dit geval
p=x-2 en q=1
Snap je de regel wel?quote:
Waarom is:
5x-1
hetzelfde als:
5x-2 * 51
Ik snap het nogsteeds niet helemaal. Hoe doe je dit nou
Anders moet je misschien even een voorbeeld nemen met getallen.
Als je bijvoorbeeld 25 hebt, kan je dat natuurlijk schrijven als
2∙2∙2∙2∙2
=
2∙2 ∙ 2∙2∙2=22∙23
=
2 ∙ 2∙2∙2∙2=2∙24
Dit kan je ook doen voor andere getallen dan 2 en 5, bijvoorbeeld het getal 'a' tot de macht 'm'. Dus als je eerst a tot een bepaalde macht m hebt (dit kan je dus schrijven als het product van m a's), kan je dat als het ware opsplitsen in een product van twee factoren, zolang het totaal aantal a's maar gelijk is aan m.
En als er in die exponent een variabele zit, maakt dat verder niet zoveel uit, je kan de macht nog steeds 'uitsplitsen' in twee factoren.
Haha, wel uniek ja. Eigenlijk moeten ze hem een keer een gong geven om aan te geven wanneer het college begint.quote:
[..]
Ja. Wat een baas is dat trouwens, met zijn klankschaal [ afbeelding ].
Ik snap nu wat het probleem was vroeger, wat de reeds bestaande mogelijkheden waren, wat een loxodrome en een grootcirkel / orthodrome is. Verder snap ik het verband tussen de straal van een breedtegraad en de afstand tot de evenaar. Ik snap alleen niet precies waar de integraal over de secans nu voor dient. Nu duurt een mondeling examen maar 40 minuten, waarvan ik misschien 5 minuten krijg om te presenteren, dus ik weet niet of ik ook nog toekom aan de Gudermann functie..
Je begrijpt dat we een hoekgetrouwe (conforme) projectie nodig hebben waarbij bovendien de meridianen als parallelle lijnen worden afgebeeld om te bewerkstelligen dat loxodromen (koerslijnen) als rechte lijnen zullen worden afgebeeld op de kaartprojectie.quote:
Ik snap nu wat het probleem was vroeger, wat de reeds bestaande mogelijkheden waren, wat een loxodrome en een grootcirkel / orthodrome is. Verder snap ik het verband tussen de straal van een breedtegraad en de afstand tot de evenaar. Ik snap alleen niet precies waar de integraal over de secans nu voor dient. Nu duurt een mondeling examen maar 40 minuten, waarvan ik misschien 5 minuten krijg om te presenteren, dus ik weet niet of ik ook nog toekom aan de Gudermann functie..
Welnu, omdat een breedtecirkel op een noorderbreedte of zuiderbreedte φ slechts cos φ maal de omtrek van de evenaar heeft, moeten we dus op onze kaartprojectie op een noorderbreedte of zuiderbreedte φ een horizontale rekking met een factor 1/cos φ = sec φ toepassen ten opzichte van de schaal waarmee de evenaar wordt weergegeven om te bereiken dat de meridianen als verticale parallelle lijnen kunnen worden afgebeeld.
Maar omdat onze kaartprojectie ook nog hoekgetrouw moet zijn, moeten we dan bij onze kaartprojectie op een noorderbreedte of zuiderbreedte φ ook een verticale rekking met een factor 1/cos φ = sec φ toepassen ten opzichte van de schaal waarmee de evenaar wordt afgebeeld. En dat betekent dus dat we langs een meridiaan vanaf de evenaar naar elk van de beide polen toe niet alleen een oplopende horizontale rekking maar tevens een oplopende verticale rekking krijgen.
Hebben we nu een punt op aarde met een geografische lengte λ (positief voor oosterlengte, negatief voor westerlengte) en een geografische breedte φ (positief voor noorderbreedte, negatief voor zuiderbreedte), dan moeten we dit afbeelden op een punt met cartesische coördinaten (x;y) op onze kaartprojectie. Laten we omwille van de eenvoud aannemen dat we de evenaar laten samenvallen met de x-as en dat we de nulmeridiaan laten samenvallen met de y-as op onze kaartprojectie.
De x-coördinaat op onze kaart van een locatie op aarde met geografische coördinaten (λ;φ) is gemakkelijk te bepalen, want om verticale parallelle lijnen te verkrijgen voor de meridianen doen we op onze kaart net alsof alle breedtecirkels dezelfde omtrek hebben als de evenaar. Is de straal van de aarde R en drukken we λ uit in radialen dan is de werkelijke afstand van een punt op de evenaar tot de nulmeridiaan afgezien van het teken R∙λ.
Is nu de schaalfactor waarmee de evenaar op onze kaart wordt afgebeeld s0 dan is de x-coördinaat op de kaart, en dus, afgezien van het teken, de horizontale afstand op de kaart tot de nulmeridiaan, gelijk aan:
(1) x = s0∙R∙λ
Deze zelfde waarde houden we op onze kaart aan voor locaties die niet op de evenaar liggen, zodat meridianen worden afgebeeld als evenwijdige verticale lijnen en we als gevolg daarvan voor locaties met een geografische breedte φ op onze kaartprojectie een horizontale rekking met een factor 1/cos φ = sec φ krijgen.
De verticale afstand tot de evenaar die het punt met geografische coördinaten (λ;φ) op onze kaart moet krijgen is niet zo gemakkelijk te bepalen. De rekking langs een breedtecirkel is constant voor onze kaartprojectie, zodat x recht evenredig is met λ, en uit (1) volgt dan ook dat we hebben:
(2) dx/dλ = s0∙R
De rekking langs een meridiaan is echter niet constant maar neemt toe in de richting van de beide polen zodat y niet recht evenredig is met φ. Op een geografische breedte φ hebben we een verticale (en horizontale) rekking met een factor 1/cos φ = sec φ ten opzichte van de schaal s0 waarmee de equator wordt afgebeeld, zodat we ook kunnen zeggen dat we voor een geografische breedte φ een verticale (en horizontale) schaalfactor sφ hebben waarvoor geldt:
(3) sφ = s0∙sec φ
Laten we nu ten noorden of ten zuiden van het punt met geografische coördinaten (λ;φ) een tweede punt (λ;φ + ∆φ) op aarde kiezen, dat dus op dezelfde meridiaan ligt. Op onze kaartprojectie krijgen deze locaties dan resp. de coördinaten (x;y) en (x;y+∆y). De onderlinge afstand van deze punten gemeten langs de meridiaan bedraagt dan (afgezien van het teken van het increment) R∙∆φ, maar hoe groot moet nu de verticale afstand ∆y van deze punten op onze kaart worden? Als de punten dicht bij elkaar liggen, en ∆φ dus dicht bij nul ligt, dan zal de verticale schaalfactor sφ die geldt voor het punt met geografische coördinaten (λ;φ) niet noemenswaardig veranderen langs de meridiaan naar het punt (λ;φ + ∆φ), zodat dan moet gelden:
(4) ∆y ≈ sφ∙R∙∆φ,
en dus ook:
(5) ∆y/∆φ ≈ sφ∙R
Deze benadering wordt beter naarmate we ∆φ dichter tot nul laten naderen, zodat dus geldt:
(6) dy/dφ = sφ∙R
en op grond van (3) dus ook:
(7) dy/dφ = s0∙R∙sec φ
Nu beelden we de equator af op de x-as, zodat voor φ = 0 geldt y = 0, en dus volgt uit (7) dat:
(8) y = s0∙R∙∫0φsec θ∙dθ
Vergelijk je nu (1) en (8), dan zie je dat voor de afbeelding van een punt met geografische coördinaten (λ;φ) bij de Mercatorprojectie geldt dat de verticale afstand tot de evenaar op de kaart zich verhoudt tot de horizontale afstand tot de nulmeridiaan op de kaart zoals ∫0φsec θ∙dθ zich (afgezien van het teken) verhoudt tot λ. En dus is het noodzakelijk deze integraal te evalueren om een Mercatorprojectie te kunnen realiseren. Voor -½π < φ < ½π geldt:
(9) ∫0φsec θ∙dθ = ln(tan(π/4 + φ/2))
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 14-06-2012 13:49:57 ]
Goed, ik snap het half. Pak zodirect de figuren erbij om je formules wat beter te begrijpen, kon je tot vrij ver volgen. Als ik het juist beredeneer je het verschil (dy/dφ), en om daarna tot de absolute afstand op de kaart te komen moet je dus de integraal nemen. Wikipedia stelt dat de Mercatorprojectie een cilinderprojectie is. Als ik het juist heb gelezen weerlegt Eli Maor dit in zijn boek, omdat de Mercatorprojectie eigenlijk geen directe projectie van een sfeer op een 2-dimensionaal vlak is, maar een soort 'wiskundige projectie'. Klopt dit? Ik las verkeerd, helder.
Tevens:
[ Bericht 3% gewijzigd door Muiroe op 14-06-2012 13:27:08 ]
Tevens:
[ Bericht 3% gewijzigd door Muiroe op 14-06-2012 13:27:08 ]
Ziet er keurig uit voor boeken van bijna 90 jaar oud, daar bof je maar mee (mijn exemplaar is een stuk minder).quote:
Het is wel 'professioneel gerestaureerd'. Het is uiteraard niet puntgaaf, maar enfin. En er is veel in de kantlijn geschreven met potlood. f(x) = f{a+(x-a)} dit soort dingen (Taylorreeks)quote:
[..]
Ziet er keurig uit voor boeken van bijna 90 jaar oud, daar bof je maar mee (mijn exemplaar is een stuk minder).
Ik denk dat je met φ de hoek tussen de straal van de aarde en de hoogte van het middelpunt van de aarde tot het middelpunt van een breedtecirkel bedoelt?
[ Bericht 10% gewijzigd door Muiroe op 14-06-2012 16:55:22 ]
[ Bericht 10% gewijzigd door Muiroe op 14-06-2012 16:55:22 ]
Goed, ik snap je tekst, op 2 kleine stukjes na.
(1): Bij de horizontale afstand krijg je omwille van de rek toch ook een vermenigvuldiging met sec(φ)?
En daarmee begrijp ik waarschijnlijk de vergelijking tussen (1) en (8) ook niet. (Ofwel het laatste stukje)
(1): Bij de horizontale afstand krijg je omwille van de rek toch ook een vermenigvuldiging met sec(φ)?
En daarmee begrijp ik waarschijnlijk de vergelijking tussen (1) en (8) ook niet. (Ofwel het laatste stukje)
Jazeker, maar dat zit al verdisconteerd in formule (1). Als je een punt op aarde hebt met geografische coördinaten (λ;φ), dan heeft de breedtecirkel die door dat punt loopt een radius R∙cos φ, zodat de werkelijke afstand van dat punt op aarde tot de nulmeridiaan gemeten langs de breedtecirkel (afgezien van het teken) R∙cos φ∙λ bedraagt. Op de kaart zou dat dus een horizontale coördinaat x = s0∙R∙cos φ∙λ opleveren als we de afbeelding niet in horizontale richting zouden rekken met een factor 1/cos φ = sec φ. Maar omdat we wel rekken in horizontale richting met een factor sec φ wordt de horizontale coördinaat dus x = s0∙R∙cos φ∙λ∙sec φ = s0∙R∙λ.quote:
Goed, ik snap je tekst, op 2 kleine stukjes na.
(1): Bij de horizontale afstand krijg je omwille van de rek toch ook een vermenigvuldiging met sec(φ)?
Ik neem aan dat het nu wel duidelijk is.quote:En daarmee begrijp ik waarschijnlijk de vergelijking tussen (1) en (8) ook niet. (Ofwel het laatste stukje)
Hallo,
Graag wil ik een vraagje stellen over de formule: y=a(x-p)^2+q
Mijn vraag is wat is x? Ik had al gegoogled maar ik kon het antwoord nog niet vinden. Alvast bedankt voor uw antwoord.
Groet,
superky
Graag wil ik een vraagje stellen over de formule: y=a(x-p)^2+q
Mijn vraag is wat is x? Ik had al gegoogled maar ik kon het antwoord nog niet vinden. Alvast bedankt voor uw antwoord
.Groet,
superky
x is een variabele, p wordt als een bekende constante beschouwd, evenals q.quote:
Hallo,
Graag wil ik een vraagje stellen over de formule: y=a(x-p)^2+q
Mijn vraag is wat is x? Ik had al gegoogled maar ik kon het antwoord nog niet vinden. Alvast bedankt voor uw antwoord
Groet,
superky
Om x te kunnen berekenen hebben we wel wat meer informatie nodig. Het uitwerken van de haakjes levert op:
x2 - 2px + p2 + q
Dat wordt waarschijnlijk bedoeld, maar in principe kan y een functie zijn van p,q en/of x, zolang je dat niet aangeeft met haakjes.quote:
[..]
x is een variabele, p wordt als een bekende constante beschouwd, evenals q.
Om x te kunnen berekenen hebben we wel wat meer informatie nodig. Het uitwerken van de haakjes levert op:
x2 - 2px + p2 + q
Bepaal de functie van de parabool als de parabool de x-as snijdt voor x=0 en x=3quote:
[..]
x is een variabele, p wordt als een bekende constante beschouwd, evenals q.
Om x te kunnen berekenen hebben we wel wat meer informatie nodig. Het uitwerken van de haakjes levert op:
x2 - 2px + p2 + q
en als verder nog gegeven is dat de top op de lijn y=-7 ligt.
f(x)=...
Je vraag is strict genomen niet te beantwoorden, je formule geeft alleen aan hoe een grootheid y is gerelateerd aan de grootheden a, p, q en x. Maar doorgaans worden x en y voor variabelen of onbekende grootheden gebruikt en letters als a, p en q voor constanten of bekende grootheden. In een cartesisch assenstelsel met een x-as en een y-as stelt deze formule voor a ongelijk aan nul de vergelijking voor van een parabool met als top het punt met de coördinaten (p;q). Als a > 0 dan is het een dalparabool en als a < 0 een bergparabool. Begrijp je dit?quote:
Hallo,
Graag wil ik een vraagje stellen over de formule: y = a(x-p)2+q
Mijn vraag is wat is x? Ik had al gegoogled maar ik kon het antwoord nog niet vinden. Alvast bedankt voor uw antwoord
Groet,
superky
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 14-06-2012 19:38:25 ]
Bedenk eerst eens dat de snijpunten van de parabool met de x-as symmetrisch liggen t.o.v. de (verticale) symmetrie-as van de parabool, en dat de top van de parabool op de symmetrie-as ligt. Wat zijn dus de coördinaten van de top van de parabool?quote:
[..]
Bepaal het functievoorschrift van de parabool als de parabool de x-as snijdt voor x=0 en x=3
en als verder nog gegeven is dat de top op de lijn y=-7 ligt.
f(x)=...
(3/2, -7)quote:
[..]
Bedenk eerst eens dat de snijpunten van de parabool met de x-as symmetrisch liggen t.o.v. de (verticale) symmetrie-as van de parabool, en dat de top van de parabool op de symmetrie-as ligt. Wat zijn dus de coördinaten van de top van de parabool?
Dat is correct. Het functievoorschrift waarvan de grafiek een parabool is met top (p;q) is in het algemeen:quote:
f(x) = a(x - p)2 + q
Nu weten we al dat p = 3/2 en q = -7, dus hebben we:
f(x) = a(x - 3/2)2 - 7
Nu moeten we de waarde van a nog bepalen. Je weet dat x = 0 en x = 3 de nulpunten zijn van deze functie, dus f(0) = f(3) = 0. Als je dus (bijvoorbeeld) x = 0 invult in het functievoorschift dat we nu hebben, dan moet de uitkomst nul zijn. Gebruik dit om de waarde van a te bepalen.
Maar uiteraard wil ik Riparius nog even bedanken voor zijn tijd in het steken van een uitmuntende post over de Mercatorprojectie. Het is me in ieder geval duidelijk! Onwaarschijnlijk dat ik wiskunde wil gaan studeren nadat ik in klas 2 niets eens begreep dat bij een lineaire vergelijking y = ax+b dat bij x stapjes naar rechts je a stapjes omhoog gaat. (5 voor het proefwerk, na herkansing een 10)
Hoi, sorry dat ik nu een beetje laat reageer maar a=63/4quote:
[..]
Dat is correct. Het functievoorschrift waarvan de grafiek een parabool is met top (p;q) is in het algemeen:
f(x) = a(x - p)2 + q
Nu weten we al dat p = 3/2 en q = -7, dus hebben we:
f(x) = a(x - 3/2)2 - 7
Nu moeten we de waarde van a nog bepalen. Je weet dat x = 0 en x = 3 de nulpunten zijn van deze functie, dus f(0) = f(3) = 0. Als je dus (bijvoorbeeld) x = 0 invult in het functievoorschift dat we nu hebben, dan moet de uitkomst nul zijn. Gebruik dit om de waarde van a te bepalen.
met
Misschien moet je je berekening eens bekijken.
Je moet weten dat:
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Thanks je hebt het correct.quote:
met
Misschien moet je je berekening eens bekijken.
Je moet weten dat:
Nu wil ik graag een andere kleine vraagje stellen: stel de kwadratische functie op van de grafiek die door het punt (2,-1) gaat en een top/dal heeft bij (5,3).
Als antwoord heb ik:
Maar het juiste antwoord is:
Mijn vraag is hoe kom je aan het goede antwoord
? Overigen heb ik gemerkt dat ik hem bijna goed had, maar dat ik ergens een foutje heb gemaakt. En dat zit ik dus nog te zoeken. Graag wacht ik op uw reactie. Alvast bedankt voor uw antwoord.
Vul maar eens x=2 in in je eigen antwoord, dat gaat duidelijk niet goed.
Je wil dat f(2) = -1. Je weet dat f(x) = a(x-5)^2 + 3. Los dan a op uit f(2)=-1.
Je wil dat f(2) = -1. Je weet dat f(x) = a(x-5)^2 + 3. Los dan a op uit f(2)=-1.
Ik laat jullie ook mijn berekeningen zien dan is het duidelijk wat ik heb gedaan.
Door het punt (2,-1)
Door het punt (2,-1)
Ik heb geen idee hoe je aan die 100a komt, maar als je zowel de x als de y invult krijg je dit:quote:
Ik laat jullie ook mijn berekeningen zien dan is het duidelijk wat ik heb gedaan.
Door het punt (2,-1)
Oh ik had zomaar 2*-5 gedaan :S. Maar harstikke bedankt ik ga nu beter mijn ogen open houden xD.quote:
[..]
Ik heb geen idee hoe je aan die 100a komt, maar als je zowel de x als de y invult krijg je dit:
Hoi, ik wil niet irritant zijn maar toch wil ik graag nog één vraag stellen, omdat mijn volgende berekening nog niet lukt.
Bepaal de functie van de parabool als de parabool de x-as snijdt voor x=-1 en x=1
en als verder nog gegeven is dat de top op de lijn y=5 ligt.
f(x)=...
Zo heb ik het aangepakt:
Door het punt (-1,0)
Als antwoord heb ik dan:
Maar het juiste antwoord is:
Mijn vraag is: hoe krijg ik het juiste antwoord? Alvast bedankt voor uw antwoord.
Bepaal de functie van de parabool als de parabool de x-as snijdt voor x=-1 en x=1
en als verder nog gegeven is dat de top op de lijn y=5 ligt.
f(x)=...
Zo heb ik het aangepakt:
Door het punt (-1,0)
Als antwoord heb ik dan:
Maar het juiste antwoord is:
Mijn vraag is: hoe krijg ik het juiste antwoord? Alvast bedankt voor uw antwoord.
Oke dus beide antwoorden zijn dus goed? Die computer zei dat mijn antwoord fout was :S.quote:
x-0 is hetzelfde als x
Dus je hebt het gewoon goed gedaan
En 1a is toch hetzelfde als a of niet? Nog dankjewel voor je antwoord
De computer wil waarschijnlijk dat je het vereenvoudigt. In principe is -5*1 ( x+0-0*0+0+0)^2 +10 - 6 + 1 ook goed, maar dat zal ook fout gerekend worden.
En ja... 1*a = 1a = a
En ja... 1*a = 1a = a
Dat is dus ook de reden waarom ze meestal computers niet laten nakijkenquote:
[..]
Oke dus beide antwoorden zijn dus goed? Die computer zei dat mijn antwoord fout was :S.
En 1a is toch hetzelfde als a of niet? Nog dankjewel voor je antwoord
Het kan trouwens wel, computers antwoorden laten vereenvoudigen, maar meestal willen leraren dat je zelf ook dingen kan vereenvoudigen (breuken bijvoorbeeld worden soms foutgerekend als ze niet vereenvoudigd zijn).
Maar bij sommige dingen is dan weer onduidelijk wat het meest vereenvoudigd is, bijvoorbeeld: 5x/3 of 5/3 x. Daarom is het meestal makkelijker met de hand na te kijken
.Trouwens, als je een beetje strenge leraar hebt zou die dingen als x-0 niet vereenvoudigen ook nog wel fout kunnen rekenen.
Zeker als er "vereenvoudig je antwoord zoveel mogelijk" o.i.d. staat.quote:Op zaterdag 16 juni 2012 14:04 schreef kutkloon7 het volgende:
[..]
Trouwens, als je een beetje strenge leraar hebt zou die dingen als x-0 niet vereenvoudigen ook nog wel fout kunnen rekenen.
Ik vind x-0 ook geen mooie notatie. x-0 = x, schrijf dan ook enkel x op.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Een computer zegt helemaal niets, hooguit een computerprogramma. Wat zegt datzelfde programma als je f(x) = 5 - 5x2 of f(x) = 5(1 - x2) als antwoord zou geven?quote:
[..]
Oke dus beide antwoorden zijn dus goed? Die computer zei dat mijn antwoord fout was :S.
En 1a is toch hetzelfde als a of niet? Nog dankjewel voor je antwoord
Overigens zou het helpen als je eens vertelt wat je precies moet bestuderen voor dat toelatingsexamen dat je kennelijk wil gaan afleggen, en welk boek of welke cursus je daarvoor gebruikt. Ik heb het idee dat je steeds stukloopt op zaken die nog stukken elementairder zijn dan de stof die je geacht wordt te bestuderen, wat dus betekent dat je het examen zo in ieder geval niet gaat halen.
Ik had wel opgeschreven wat de computer als antwoord gaf, het waren er twee:quote:
[..]
Een computer zegt helemaal niets, hooguit een computerprogramma. Wat zegt datzelfde programma als je f(x) = 5 - 5x2 of f(x) = 5(1 - x2) als antwoord zou geven?
Overigens zou het helpen als je eens vertelt wat je precies moet bestuderen voor dat toelatingsexamen dat je kennelijk wil gaan afleggen, en welk boek of welke cursus je daarvoor gebruikt. Ik heb het idee dat je steeds stukloopt op zaken die nog stukken elementairder zijn dan de stof die je geacht wordt te bestuderen, wat dus betekent dat je het examen zo in ieder geval niet gaat halen.
Of
De computer genereert telkens een andere vraag en die vraag heb ik niet meer voor mijn neus. Maar ik zal wel de manier waarop je je antwoorden hebt geschreven eens gaan gebruiken als ik weer zo'n vraag krijg.
Het is een zomercursus van de HvA en ik heb ook een boek HTO basisvaardigheden wiskunde (2e herziene druk ISBN: 978-90-01-76438-8) van Noordhoff Uitgevers. Maar ik leer niet uit het boek, ik oefen, nadat de docent uitleg heeft gegeven, op de computer omdat die vragen ook worden gesteld tijdens de toets.
Je begrijpt dat je de wiskunde achter een vraagstuk moet snappen alvorens je een vraagstuk volledig kan begrijpen? Mensen die wiskunde proberen op te lossen aan de hand van vaste regeltjes komen over het algemeen niet ver, wiskunde is begrijpen. Klinkt een beetje hard, maar als je vast blijft lopen op deze opgaven heb je duidelijk niet begrepen hoe een functievoorschrift van een parabool in elkaar zit.quote:
[..]
Ik had wel opgeschreven wat de computer als antwoord gaf, het waren er twee:
Of
De computer genereert telkens een andere vraag en die vraag heb ik niet meer voor mijn neus. Maar ik zal wel de manier waarop je je antwoorden hebt geschreven eens gaan gebruiken als ik weer zo'n vraag krijg.
Het is een zomercursus van de HvA en ik heb ook een boek HTO basisvaardigheden wiskunde (2e herziene druk ISBN: 978-90-01-76438-8) van Noordhoff Uitgevers. Maar ik leer niet uit het boek, ik oefen, nadat de docent uitleg heeft gegeven, op de computer omdat die vragen ook worden gesteld tijdens de toets.
Riparius heeft het antwoord al gegeven, waarom ligt een top op (p, q) bij een functie a(x-p)2 + q, wat is vereenvoudigen precies? Hoe vereenvoudig ik? Wat zijn de zogenaamde 'rekenregels', waarom werken deze zo? Het maakt het allemaal zoveel simpeler dan jezelf killen met vraagstukken zonder ze te begrijpen.
[ Bericht 0% gewijzigd door Amoeba op 16-06-2012 19:25:48 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik heb een opgave over bodeplot met uitwerkingen en heb hem uitgewerkt hoe ik denk dat het zou moeten maar een aantal zaken begrijp ik niet, en heb er een vraag bijgezet.
, 
, 
en 
.
Asymptoten:
, 
, 
en 
kunnen verwaarloosd worden dus:
, en kunnen verwaarloosd worden dus:
Vraag waarom kan de 1 die in de wortel staat in de teller
verwaarloosd worden?
, kan verwaarloosd worden dus:
Vraag opnieuw waarom kan de 1 in de wortels verwaarloosd worden?
Vraag wanneer ik nu gewoon de getalletjes invul... dan krijg je
dus waarom is het 0? De enigste manier waarmee ik op 0 uitkom is dus met 
, alle termen doen nu mee.
Vraag opnieuw waarom heeft de 1 in de wortel geen belang
Zelfde hier... moet het niet
zijn?
Asymptoten:
Vraag waarom kan de 1 die in de wortel staat in de teller
Vraag opnieuw waarom kan de 1 in de wortels verwaarloosd worden?
Vraag wanneer ik nu gewoon de getalletjes invul... dan krijg je
Vraag opnieuw waarom heeft de 1 in de wortel geen belang
Zelfde hier... moet het niet
Oke kan hem dus verwaarlozen. Zou je het misschien in woorden kunnen uitleggen. Ik heb die big-O notatie nooit begrepenquote:
en hoe zit het met
Even kijken... Heb het nog ergens staan:quote:
[..]
Oke kan hem dus verwaarlozen. Zou je het misschien in woorden kunnen uitleggen. Ik heb die big-O notatie nooit begrepen?
met O(g(n)) bedoelt men de verzameling functies f(n) zodat er positieve constanten c en n0 bestaan zodat:
voor alle
Dus, als f(n) = O(g(n)) bedoelt men dat vanaf een bepaalde waarde voor n (n0) de functie f(n) vanaf bovenaf begrensd wordt door een constante c maal de functie g.
Je kan f(n) = O(g(n)) dus intuïtief lezen als: f wordt begrensd door g(n).
Waarbij je natuurlijk wel in je achterhoofd moet houden dat je g maal een constante mag doen, en het alleen voor waarden van n hoeft te gelden die hoog genoeg zijn (n groter of gelijk aan n0)
Voorbeelden:
1/n = O(1)
(Want voor n groter of gelijk aan 1, geldt dat 1/n kleiner is dan 1. Natuurlijk kan je ook andere waarden dan c = 1 kiezen dan ik hier heb gedaan, het gaat erom dat deze waarden bestaan, niet welke waarden je precies kiest. Ik zou ook c = 1000 kunnen kiezen, en n0 = 100, want voor n groter dan of gelijk aan 100 geldt dat 1/n is minder of gelijk aan 1000)
[ Bericht 5% gewijzigd door kutkloon7 op 17-06-2012 23:05:56 ]
nevermind komt wel goed.
[ Bericht 49% gewijzigd door GoodGawd op 18-06-2012 13:05:52 ]
[ Bericht 49% gewijzigd door GoodGawd op 18-06-2012 13:05:52 ]
Blues ain't nothing but a good man feeling bad...
Je moet een particuliere oplossing vinden en de homogene vgl oplossen. Algemene oplossing is dan particulier + homogeen. En bedoel je daar een lambda?quote:
Vraagje, als ik de differntial equation heb:
y'' - 2y'- 3y = 3e2t
En ze vragen de general solution moet ik dit dan met dmv particular solution methode oplossen. Want dit is een niet homogene equation right.
Bij een homogene bijv:
y'' - 2y'- 3y = 0
kan ik gewoon de y subtitueren met (omgekeerde gamma, hoe heet dat tekentje ook alweer lol .... ) en dan verder oplossen spreek voor zich.
Ik weet niet zeker of dit het juiste topic is, maar:
aantal doelpunten / frequentie
0 / 31
1 / 64
2 / 83
3 / 55
4 / 27
5 / 18
6 / 16
7 / 9
8 / 3
Hier moet ik dus een boxplot bij maken. De totale frequentie is 306. Ik heb dat de mediaan het 153e + 154e getal, :2 is. Dus dan is de mediaan 2. Alleen dan moet je Q1 en Q3 berekenen, en dan snap ik het niet meer..
Iemand die me zou kunnen helpen?
aantal doelpunten / frequentie
0 / 31
1 / 64
2 / 83
3 / 55
4 / 27
5 / 18
6 / 16
7 / 9
8 / 3
Hier moet ik dus een boxplot bij maken. De totale frequentie is 306. Ik heb dat de mediaan het 153e + 154e getal, :2 is. Dus dan is de mediaan 2. Alleen dan moet je Q1 en Q3 berekenen, en dan snap ik het niet meer..
Iemand die me zou kunnen helpen?
Q1 en Q3 liggen ieder op een kwart van de getallenverzameling. Ze heten ook wel kwartielen. Vervolgens construeer je de boxplot door een doosje om Q1 en Q3 te tekenen in een geschikt stelsel, je geeft de meridiaan aan met een verticaal streepje en tekent de uitschieters naar het minimum en maximum.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Heb je al bedacht wat je voor je mondelinge presentatie gaat doen? Ik ontdekte vandaag dat je lang geleden een vraag hebt gesteld die relevant is voor de meetkundige interpretatie van de Weierstraß substitutie, maar dat je toen niets met mijn hint hebt gedaan.quote:
Q1 en Q3 liggen ieder op een kwart van de getallenverzameling. Ze heten ook wel kwartielen.
Ik heb de Mercatorprojectie voorbereid, toevallig dat ik vandaag tijdens Nederlands me aan het inlezen was over bovengenoemde persoon, maar van die poging kwam niet veel terecht. Ik heb een felle discussie met mijn docenten wiskunde B gehad, misschien dat jij het antwoord weet?quote:
[..]
Heb je al bedacht wat je voor je mondelinge presentatie gaat doen? Ik ontdekte vandaag dat je lang geleden een vraag hebt gesteld die relevant is voor de meetkundige interpretatie van de Weierstraß substitutie, maar dat je toen niets met mijn hint hebt gedaan.
Ik heb als keuzeonderwerp de voortgezette integraalrekening, een K(euze)-onderwerp in deel 3 van Getal en Ruimte. Mijn ene docent motiveerde mij om die klok te maken, en raadde het af daarnaast een aanvullende presentatie over de Mercatorprojectie te geven, mijn andere docent was juist niet gecharmeerd van die klok, maar vond dat stukje verdieping wel een goed idee. Wat vinden de examinatoren nou goed?
Ik kan me die post met 3 linkjes nog heel goed herinneren.
(Gudermann functie zat er ook bij)Maar zo'n examen duurt 40 minuten, waarin een casus, een keuzeonderwerp en de rest behandeld moet worden..
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Tja, dat is niet zozeer een wiskundige vraag, maar meer dat je advies wil hebben. Ik begrijp wel dat de eerste docent(e) het afraadt om nog iets over de Mercatorprojectie te vertellen als je toch al de klok gaat doen (is dat soms een idee van hem/haar?) omdat het dan bij elkaar gewoon te veel wordt. De tijd gaat altijd veel sneller voorbij dan je denkt als je een presentatie doet waar het erg op de details aankomt.quote:
[..]
Ik heb de Mercatorprojectie voorbereid, toevallig dat ik vandaag tijdens Nederlands me aan het inlezen was over bovengenoemde persoon, maar van die poging kwam niet veel terecht. Ik heb een felle discussie met mijn docenten wiskunde B gehad, misschien dat jij het antwoord weet?
Ik heb als keuzeonderwerp de voortgezette integraalrekening, een K(euze)-onderwerp in deel 3 van Getal en Ruimte. Mijn ene docent motiveerde mij om die klok te maken, en raadde het af daarnaast een aanvullende presentatie over de Mercatorprojectie te geven, mijn andere docent was juist niet gecharmeerd van die klok, maar vond dat stukje verdieping wel een goed idee. Wat vinden de examinatoren nou goed?
Zelf zit ik meer op de lijn van de tweede docent(e), die een stukje verdieping belangrijker vindt dan de uiterlijke vormgeving van je presentatie (de klok).
Ik doelde op een post van lang geleden, uit oktober 2011 om precies te zijn. Ben je waarschijnlijk al lang weer vergeten, maar ik niet, omdat ik het zo'n gemiste kans vond.quote:Ik kan me die post met 3 linkjes nog heel goed herinneren.
Hoeveel tijd krijg je voor je presentatie? En zijn je klasgenoten er dan ook bij als je je verhaal houdt, of gebeurt dat in besloten kring met alleen de examinatoren?quote:Maar zo'n examen duurt 40 minuten, waarin een casus, een keuzeonderwerp en de rest behandeld moet worden..
Ter verduidelijking, ik doe staatsexamen. Ik moet voor ieder vak slechts een schriftelijk en mondeling examen afleggen, schoolexamens doen we niet aan. M.u.v. bepaalde examens, zo zijn wiskunde D en maatschappijleer enkel mondeling.
Het betreft dus een onderonsje tussen mij en 2 examinatoren. Ik hoop voor die presentatie 10 minuten te krijgen. Ik wil ook niet zoveel met die klok doen, maar direct toestemming vragen om die presentatie te houden. Maar ik moest een werkstuk daarover maken, dus het is aan de gratie van mijn examinatoren.
Maargoed, J. is mijn docent, hij kwam met het idee v/d klok, inderdaad. Toen ik dat hier neerzette kwam jij met dat stukje verdieping, waar J. niet zo van gecharmeerd was, maar M., een eerstegraads docent wel.
En een quote van die post zou gewenst zijn.
Het betreft dus een onderonsje tussen mij en 2 examinatoren. Ik hoop voor die presentatie 10 minuten te krijgen. Ik wil ook niet zoveel met die klok doen, maar direct toestemming vragen om die presentatie te houden. Maar ik moest een werkstuk daarover maken, dus het is aan de gratie van mijn examinatoren.
Maargoed, J. is mijn docent, hij kwam met het idee v/d klok, inderdaad. Toen ik dat hier neerzette kwam jij met dat stukje verdieping, waar J. niet zo van gecharmeerd was, maar M., een eerstegraads docent wel.
En een quote van die post zou gewenst zijn.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Waarschijnlijk snapt die ene docent geen bal van projecties.quote:
Ter verduidelijking, ik doe staatsexamen. Ik moet voor ieder vak slechts een schriftelijk en mondeling examen afleggen, schoolexamens doen we niet aan. M.u.v. bepaalde examens, zo zijn wiskunde D en maatschappijleer enkel mondeling.
Het betreft dus een onderonsje tussen mij en 2 examinatoren. Ik hoop voor die presentatie 10 minuten te krijgen. Ik wil ook niet zoveel met die klok doen, maar direct toestemming vragen om die presentatie te houden. Maar ik moest een werkstuk daarover maken, dus het is aan de gratie van mijn examinatoren.
Maargoed, J. is mijn docent, hij kwam met het idee v/d klok, inderdaad. Toen ik dat hier neerzette kwam jij met dat stukje verdieping, waar J. niet zo van gecharmeerd was, maar M., een eerstegraads docent wel.
En een quote van die post zou gewenst zijn.
Ik moet wel toegeven dat zodra ik buiten de stof van het vwo treed hij me nauwelijks kan volgen.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ah zo. Die andere docent is misschien bang dat hij het zelf niet meer gemakkelijk kan volgen, of alleen na er zelf extra moeite voor te hebben gedaan waar hij wellicht geen zin in heeft? Of denkt die docent wellicht dat je het niet goed aankunt? Je neemt natuurlijk wel een zeker risico als je iets gaat presenteren wat voor jezelf ook nieuw is. Je moet dan wel sterk in je schoenen staan en je onderwerp goed beheersen, zodat je geen onzekere indruk maakt tijdens het examen en eventuele 'lastige' vragen ook goed kunt beantwoorden.quote:
Ter verduidelijking, ik doe staatsexamen. Ik moet voor ieder vak slechts een schriftelijk en mondeling examen afleggen, schoolexamens doen we niet aan. M.u.v. bepaalde examens, zo zijn wiskunde D en maatschappijleer enkel mondeling.
Het betreft dus een onderonsje tussen mij en 2 examinatoren. Ik hoop voor die presentatie 10 minuten te krijgen. Ik wil ook niet zoveel met die klok doen, maar direct toestemming vragen om die presentatie te houden. Maar ik moest een werkstuk daarover maken, dus het is aan de gratie van mijn examinatoren.
Maargoed, J. is mijn docent, hij kwam met het idee v/d klok, inderdaad. Toen ik dat hier neerzette kwam jij met dat stukje verdieping, waar J. niet zo van gecharmeerd was, maar M., een eerstegraads docent wel.
Ik doelde op deze post. Wellicht vraag je je nu af wat dit met de Weierstraß substitutie te maken kan hebben, maar om dat te begrijpen zou je dit en dit eens door kunnen nemen. Ik gaf destijds pythagoreïsche tripletten als hint, maar daar reageerde niemand op. Het verband is uiteraard dat de Weierstraß substitutie een rationale parametrisatie van de eenheidscirkel geeft en dat er oneindig veel punten met rationale coördinaten op de eenheidscirkel liggen die corresponderen met pythagoreïsche tripletten (a,b,c), aangezien uit a2 + b2 = c2 volgt dat (a/c)2 + (b/c)2 = 1, zodat de punten (a/c;b/c), (-a/c;b/c), (-a/c;-b/c), (a/c;-b/c) met rationale coördinaten op de eenheidscirkel liggen. Als je meer wil weten over dit laatste zou je p. 152-155 van dit boek eens door kunnen nemen.quote:En een quote van die post zou gewenst zijn.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 19-06-2012 01:49:01 ]
Ik krijg de laatste tijd wel steeds vaker te horen dat hij geen tijd meer wil besteden aan de verdieping die ik zoek. Hij vertikte het ook al om mijn presentatie over de Mercatorprojectie een keer aan te horen, want een paar leerlingen hadden zijn hulp harder nodig. Die zitten pas in 4 havo, maar dat maakt blijkbaar niet uit tegenover een examenkandidaat.
Ik moest even denken waar dat vraagstuk vandaan kwam, maar het komt uit een webklas wiskunde over het ABC vermoeden van de UvA. Een goed geheugen schrijf ik je toe, trouwens.
Ik moest even denken waar dat vraagstuk vandaan kwam, maar het komt uit een webklas wiskunde over het ABC vermoeden van de UvA. Een goed geheugen schrijf ik je toe, trouwens.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Wat zouden een paar lastige vragen dan kunnen zijn? Ik verwacht dat de presentatie niet zo moeilijk zal zijn, zolang ik kan verdedigen dat we de integraal over de secans moeten evalueren voordat we de Mercatorprojectie kunnen realiseren heb ik een vrij goede presentatie (met in het achterhoofd dat het allemaal 'verdieping' is)
[ Bericht 50% gewijzigd door Amoeba op 18-06-2012 22:56:20 ]
[ Bericht 50% gewijzigd door Amoeba op 18-06-2012 22:56:20 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Als ik me even beperk tot de wiskundige aspecten (dus niet de historische of nautische aspecten) dan zou je bijvoorbeeld als vraag kunnen krijgen hoe je ½∙ln((1 + sin φ)/(1 - sin φ)) (met -½π < φ < ½π) goniometrisch herleidt tot ln(sec φ + tan φ) of tot ln(tan(π/4 + φ/2)).quote:
Wat zouden een paar lastige vragen dan kunnen zijn? Ik verwacht dat de presentatie niet zo moeilijk zal zijn.
Ik kan de integraal over de secans uitschrijven en herleiden tot ln(secx + tanx) Vermenigvuldigen met 1 + sin phi, het kwadraat wegwerken (lnx^2 = 2lnx) en je bent al bijna klaar.quote:
[..]
Als ik me even beperk tot de wiskundige aspecten (dus niet de historische of nautische aspecten) dan zou je bijvoorbeeld als vraag kunnen krijgen hoe je ½∙ln((1 + sin φ)/(1 - sin φ)) (met -½π < φ < ½π) goniometrisch herleidt tot ln(sec φ + tan φ) of tot ln(tan(π/4 + φ/2)).
Verder had ik dit in mijn presentatie sowieso al herleid, maargoed. Met behulp van de formules van Simpson is het andere een keer gelukt, maar dat was slechts aantonen.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Waarschijnlijk heeft die lerarenopleiding gedaan op het hbo. Dan schijn je echt niet meer te leren dan de standaard vwo stof. Echt slecht eigenlijk, want dan sta je niet/nauwelijks boven de stof. Maarja beter één leraar dan geen leraar....quote:
Ik moet wel toegeven dat zodra ik buiten de stof van het vwo treed hij me nauwelijks kan volgen.
Hij is begonnen op de universiteit, maar is afgevallen naar een lerarenopleiding op het HBO inderdaad. Nou was zijn motivatie bij aanvang v/h schooljaar nog uitstekend, nu is het weinig meer waard.quote:
[..]
Waarschijnlijk heeft die lerarenopleiding gedaan op het hbo. Dan schijn je echt niet meer te leren dan de standaard vwo stof. Echt slecht eigenlijk, want dan sta je niet/nauwelijks boven de stof. Maarja beter één leraar dan geen leraar....
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Dan zal het geen toppertje geweest zijnquote:
[..]
Hij is begonnen op de universiteit, maar is afgevallen naar een lerarenopleiding op het HBO inderdaad. Nou was zijn motivatie bij aanvang v/h schooljaar nog uitstekend, nu is het weinig meer waard.
. Is hij net begonnen met lesgeven?Dat je motivatie een beetje daalt als de zomervakantie nadert kan ik me wel voorstellen trouwens, had ik ook altijd als leerling op de middelbare school.
Nee. Hij kan wel duidelijk uitleggen, maar hij heeft blijkbaar de beperking dat vwo zijn beperking is. Ook wel wat meer, ik vroeg hem wat over hyperbolen en ellipsen construeren, daar kon hij ook wel mee uit de voeten.
Mijn motivatie neemt dan juist toe.
Mijn motivatie neemt dan juist toe.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Dat is toch ook gewoon standaard vwo stof? In ieder geval tot voor kort wel, dus wel logisch dat ie dat wel kan.
Wiskunde B niet meer, misschien wiskunde D.quote:
Dat is toch ook gewoon standaard vwo stof?
Ik denk dat Riparius op een uitzonderlijk lange verklarende post broedt
Maargoed, ik heb ooit een docente gehad die ik de tangens uit kon gaan leggen, dus het niveau is gestegen.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Pff, en dat moet dan lesgevenquote:
[..]
Wiskunde B niet meer, misschien wiskunde D.
Ik denk dat Riparius op een uitzonderlijk lange verklarende post broedt
Maargoed, ik heb ooit een docente gehad die ik de tangens uit kon gaan leggen, dus het niveau is gestegen.
. Hopelijk op het vmbo of zo, alhoewel ze daar ook gewoon sin en cos krijgen (tan slaan ze denk ik over).
Onderbouw havo/vwo. Gaf wiskunde, tekenen en geschiedenis. Bij geschiedenis ging zo voorlezen uit het tekstboek, bij wiskunde kwamen de vragen vaak bij mij terecht en tekenen had ik niet. Maar genoeg gehaat.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Daar heb ik eigenlijk even geen tijd voor. Ik vond nog wel twee artikelen waar je misschien wat aan hebt, hier en hier.quote:
[..]
Wiskunde B niet meer, misschien wiskunde D.
Ik denk dat Riparius op een uitzonderlijk lange verklarende post broedt
Maar vooruit, even een leuk grapje dat ik zo gauw niet online vind om de Weierstraß substitutie af te leiden. We gaan uit van de volgende identiteit, die direct volgt met De Moivre:
(1) cos φ + i∙sin φ = (cos ½φ + i∙sin ½φ)2
Nu is ook:
(2) (cos ½φ + i∙sin ½φ) = 1/(cos ½φ - i∙sin ½φ),
zodat we voor (1) kunnen schrijven:
(3) cos φ + i∙sin φ = (cos ½φ + i∙sin ½φ)/(cos ½φ - i∙sin ½φ)
Teller en noemer van de breuk in het rechterlid van (3) delen door cos ½φ geeft dan:
(4) cos φ + i∙sin φ = (1 + i∙tan ½φ)/(1 - i∙tan ½φ)
Stellen we nu:
(5) t = tan ½φ,
dan is dus:
(6) cos φ + i∙sin φ = (1 + i∙t)/(1 - i∙t) = (1 - t2)/(1 + t2) + i∙2t/(1 + t2),
zodat:
(7) cos φ = (1 - t2)/(1 + t2) en sin φ = 2t/(1 + t2),
QED
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 20-06-2012 02:00:40 ]
Dat moet een zij-instromer zijn.quote:Maargoed, ik heb ooit een docente gehad die ik de tangens uit kon gaan leggen, dus het niveau is gestegen.
Het is te zot voor woorden. De stof van wiskunde B op VWO-niveau kan gemakkelijk in een half jaar worden gedoceerd (half jaar alleen dat) op HBO-niveau. Het is niet meer dan wat calculus en een klein beetje meetkunde. Hoe kan het dat bij een vierjarige HBO-opleiding voor leraar wiskunde nog geen 1/8ste wordt besteed aan het vak zelf. Natuurlijk is er ook wat pedagogie nodig maar die pedagogie moet relatief gezien de bijzaak zijn, de wiskunde de hoofdzaak. Verhoudingsgewijs zou minstens 3 jaar aan de wiskunde worden besteed en maximaal 1 jaar aan de pedagogie.quote:Waarschijnlijk heeft die lerarenopleiding gedaan op het hbo. Dan schijn je echt niet meer te leren dan de standaard vwo stof. Echt slecht eigenlijk, want dan sta je niet/nauwelijks boven de stof. Maarja beter één leraar dan geen leraar....
@Amoeba
Ik vind het een moedige keuze van jou om die mercatorprojectie te kiezen als onderwerp. Ik heb die artikelen oppervlakkig ingekeken, het is te volgen maar het vergt flink wat tijd en ik schat in dat je hier en daar nog wat kennis tekort komt. Je kiest zeker iets moeilijkers dan wat vereist is, dat is een goede instelling.
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
Het valt allemaal wel mee als je het eenmaal begrijpt. Als je Riparius zijn uitleg leest is het je voor 9/10de duidelijk, althans voor mij. Voor het mondeling examen moet je een onderwerp voorbereiden uit een lijstje, daarin staan o.a. de voortgezette integraalrekening (mijn keuze), complexe getallen, perspectief en nog wat onzin. Als presentatie van mijn keuzeonderwerp heb ik dus de Mercatorprojectie ( Het probleem van 1/cosφ primitiveren sluit daarbij aan (substitutiemethode & breuksplitsen)) voorbereid, maar de kans zit er ook in dat de examinatoren het niet eens aan willen horen..
@ Riparius:
Quite Easily Done
[ Bericht 7% gewijzigd door Amoeba op 19-06-2012 06:27:24 ]
@ Riparius:
Quite Easily Done
[ Bericht 7% gewijzigd door Amoeba op 19-06-2012 06:27:24 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Mijn proefpresentatie over die projectie ging slecht in het zesvoudige. Hoe krijg ik dit gepresenteerd in een snelle manier, ik krijg echt geen half uur.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Wiskunde tot in de details uitleggen kost altijd meer tijd dan je denkt... zeker als blijkt dat iedereen je wazig aankijkt tijdens je presentatie.
Je kan nog wat bezuinigen. Als je gebruikt dat x=y, kan je zeggen dat dit af te leiden is met xxxx. En dat je dat nog wel wil doen als ze dat graag willen zien, maar dat je dat omwille van de tijd even aanneemt.
Je kan nog wat bezuinigen. Als je gebruikt dat x=y, kan je zeggen dat dit af te leiden is met xxxx. En dat je dat nog wel wil doen als ze dat graag willen zien, maar dat je dat omwille van de tijd even aanneemt.
Dus is het makkelijk om de inleiding te geven, waarom we deze projectie willen, en dan direct door te gaan met het evalueren van de integraal?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Misschien nuttig om nog even op te merken dat je 1/cos φ op verschillende manieren in breuken kunt splitsen die zich eenvoudig laten primitiveren. Behalve de methode van Barrow, die neerkomt op:quote:
Het valt allemaal wel mee als je het eenmaal begrijpt. Als je Riparius zijn uitleg leest is het je voor 9/10de duidelijk, althans voor mij. Voor het mondeling examen moet je een onderwerp voorbereiden uit een lijstje, daarin staan o.a. de voortgezette integraalrekening (mijn keuze), complexe getallen, perspectief en nog wat onzin. Als presentatie van mijn keuzeonderwerp heb ik dus de Mercatorprojectie ( Het probleem van 1/cosφ primitiveren sluit daarbij aan (substitutiemethode & breuksplitsen)) voorbereid, maar de kans zit er ook in dat de examinatoren het niet eens aan willen horen..
@ Riparius:
Quite Easily Done
sec φ = 1/cos φ = ½∙(cos φ/(1 + sin φ)) + ½∙(cos φ/(1 - sin φ)),
kun je ook nog gebuik maken van:
1 = cos2½φ + sin2½φ en cos φ = cos2½φ - sin2½φ,
zodat:
sec φ = 1/cos φ = (cos2½φ + sin2½φ)/(cos2½φ - sin2½φ),
waarbij we teller en noemer in het rechterlid kunnen delen door cos2½φ zodat we krijgen:
sec φ = 1/cos φ = (1 + tan2½φ)/(1 - tan2½φ) = ½∙(1 + tan2½φ)/(1 + tan ½φ) + ½∙(1 + tan2½φ)/(1 - tan ½φ),
en deze twee termen kun je weer gemakkelijk primitiveren aangezien ½∙(1 + tan2½φ) de afgeleide is van tan ½φ en dus ook van 1 + tan ½φ, oftewel d(1 + tan ½φ) = ½∙(1 + tan2½φ)∙dφ en daarmee ook -d(1 - tan ½φ) = ½∙(1 + tan2½φ)∙dφ. Dus heb je (voor -½π < φ < ½π):
∫ sec φ∙dφ = ∫ d(1 + tan ½φ)/(1 + tan ½φ) - ∫ d(1 - tan ½φ)/(1 - tan ½φ) = ln((1 + tan ½φ)/(1 - tan ½φ)) + C
En aangezien tan ¼π = 1 en tan(α + β) = (tan α + tan β)/(1 - tan α∙tan β) is uiteraard ook:
(1 + tan ½φ)/(1 - tan ½φ) = tan(¼π + ½φ)
Je kunt dit laatste resultaat ook verkrijgen en daarbij het gebruik van breuksplitsing geheel vermijden door 1/cos φ eerst te herschrijven als 1/sin(½π - φ) en dan pas de Weierstraß substitutie t = tan(½∙(½π - φ)) te gebruiken. Dan is namelijk 1/sin(½π - φ) = (1 + t2)/2t en dφ = -(2/(1 + t2))∙dt en krijg je dus heel eenvoudig:
∫ sec φ∙dφ = ∫ dφ/sin(½π - φ) = - ∫ dt/t = - ln t + C = - ln(tan(½∙(½π - φ))) + C = ln(tan(¼π + ½φ)) + C
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 20-06-2012 17:27:24 ]
Dat vind ik ook wel allemaal heel leuk. Ik begon helder, maar bij het definieren van de x-coördinaat raakte ik de draad kwijt, nou goed, dat is een kwestie van oefenen. Maar ik merk wel dat vooraleer het verhaal duidelijk is er al een kwartier verstreken is, en dan moet ik nog aan de integraal beginnen (wat de opzet van de hele presentatie is).
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
(cos(x))/((1-sin(x)) (1+sin(x)))
Waarom is dit gelijk aan ½ cosx/(1+sinx) + ½cosx/(1-sinx)?
Waarom is dit gelijk aan ½ cosx/(1+sinx) + ½cosx/(1-sinx)?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Dat zie je direct als je in de vergelijking met de twee breuken, die twee breuken bij elkaar optelt (noemers gelijk maken, etc).quote:
(cos(x))/((1-sin(x)) (1+sin(x)))
Waarom is dit gelijk aan ½ cosx/(1+sinx) + ½cosx/(1-sinx)?
In het algemeen heb je:quote:
(1) 1/(1 - u2) = 1/((1+u)∙(1-u)) = ½∙(1/(1 + u)) + ½∙(1/(1 - u))
Dit gebruik ik hierboven ook om te herleiden dat:
(2) sec φ = 1/cos φ = (1 + tan2½φ)/(1 - tan2½φ) = ½∙(1 + tan2½φ)/(1 + tan ½φ) + ½∙(1 + tan2½φ)/(1 - tan ½φ)
Uit (1) volgt dat we hebben:
(3) ∫ du/(1 - u2) = ½∙ln((1 + u)/(1 - u)) + C (voor |u| < 1)
En aangezien ook:
(4) artanh u = ½∙ln((1 + u)/(1 - u)) (voor |u| < 1)
en:
(5) ∫ sec φ∙dφ = ½∙ln((1 + sin φ)/(1 - sin φ)) + C (voor |φ| < ½π)
kun je dus ook zeggen dat:
(6) ∫ sec φ∙dφ = artanh(sin φ) + C (voor |φ| < ½π)
Voor de afleiding van Barrow kun je ook even hier kijken. Merk op dat (1 + sin φ)/(1 - sin φ) niet negatief kan worden aangezien | sin φ | ≦ 1, zodat de vaak gebruikte absoluutstrepen hier overbodig zijn.
[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 20-06-2012 16:17:48 ]
Goed, het stukje over de integraal zit er goed in. Nu moet ik nog de inleiding (orthodroom-/loxodroomnavigatie), ofwel de probleemstelling. Dan schrap ik omwille van de hoeveelheid tijd het hele stuk over de cartesische en geografische coördinaten, maar ga ik direct door op de integraal. Breuksplitsen, cyclometrische functies en substitutiemethode. Mooie samenvatting.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik heb de volgende uitwerking bij een opgave staan:
Nu weet ik dat dit is gedaan met de chain rule, maar toch kom ik er niet helemaal bij hoe ze bij het antwoord zijn gekomen.
Zou iemand hier het mij aub duidelijk willen uitleggen?
Alvast bedankt,
Ps. J is de Principal moment of intertia
Nu weet ik dat dit is gedaan met de chain rule, maar toch kom ik er niet helemaal bij hoe ze bij het antwoord zijn gekomen.
Zou iemand hier het mij aub duidelijk willen uitleggen?
Alvast bedankt,
Ps. J is de Principal moment of intertia
Als het goed is is X een functie van x en J een constante.
De afgeleide van (X(x))² is volgens de kettingregel 2(X(x)) * X'(x).
De afgeleide van (X(x))² is volgens de kettingregel 2(X(x)) * X'(x).
Oke, in dat geval is de notatie vreemd en heb je geen kettingregel nodig. Je kan gewoon direct gebruiken dat de afgeleide naar x van x² gelijk is aan 2x.
En die x^dot is dan gewoon 1 ( dx/dx = 1)
En die x^dot is dan gewoon 1 ( dx/dx = 1)
Dat dacht ik in eerste instantie ook, maar dan zou het antwoord wat de docent heeft gegeven niet kloppen, Het plaatje klopt nu exact met wat de docent heeft gegeven.quote:
Oke, in dat geval is de notatie vreemd en heb je geen kettingregel nodig. Je kan gewoon direct gebruiken dat de afgeleide naar x van x² gelijk is aan 2x.
En die x^dot is dan gewoon 1 ( dx/dx = 1)
Waarschijnlijk zit er toch een variabele verborgen in je vergelijking, anders is je docent wel raar als hij de afgeleide zo opschrijft. Betekent die dot misschien afgeleide naar de tijd?
Jaquote:
Waarschijnlijk zit er toch een variabele verborgen in je vergelijking, anders is je docent wel raar als hij de afgeleide zo opschrijft. Betekent die dot misschien afgeleide naar de tijd?
Aha. In dat geval zal x een functie van t zijn.quote:
Dus je kan schrijven V(x,t) = ½ J (x(t))². Er geldt dan
Een directe toepassing van de kettingregel dus. Misschien herken je het niet omdat de functie x(t) niet expliciet gegeven is. Maar stel dat je (sin(t))^2 moest differentiëren naar t, dan zul je dat op dezelfde manier doen alleen kan je wel berekenen wat d/dt sin(t) is.
Heel erg bedankt, Ik heb het even bij andere opgaven toegepast en ik snap hetquote:
[..]
Aha. In dat geval zal x een functie van t zijn.
Dus je kan schrijven V(x,t) = ½ J (x(t))². Er geldt dan
Een directe toepassing van de kettingregel dus. Misschien herken je het niet omdat de functie x(t) niet expliciet gegeven is. Maar stel dat je (sin(t))^2 moest differentiëren naar t, dan zul je dat op dezelfde manier doen alleen kan je wel berekenen wat d/dt sin(t) is.
Als je je uiteindelijke versie op schrift hebt staan, wil ik het (als je daar tenminste prijs op stelt) wel even doorkijken om te zien of er geen rare dingen of onjuistheden in staan.quote:
Goed, het stukje over de integraal zit er goed in. Nu moet ik nog de inleiding (orthodroom-/loxodroomnavigatie), ofwel de probleemstelling. Dan schrap ik omwille van de hoeveelheid tijd het hele stuk over de cartesische en geografische coördinaten, maar ga ik direct door op de integraal. Breuksplitsen, cyclometrische functies en substitutiemethode. Mooie samenvatting.
Overigens bedacht ik nog een herleiding voor het primitiveren van de secans die je examinatoren vast nog nooit gezien hebben.
Het idee is om eerst naar functies te kijken waarbij de afgeleide een factor sec φ bevat om dan van daaruit te proberen om een primitieve voor sec φ te vinden. Ik gebruik hier de notatie van Leibniz, je zult zo wel zien waarom.
We kijken eerst naar de afgeleide van sec φ, waarvoor we hebben d(sec φ)/dφ = d(1/cos φ)/dφ = (-1/cos2φ)∙(-sin φ) = (1/cos φ)∙(sin φ/cos φ) = sec φ∙tan φ, dus:
(1) d(sec φ)/dφ = sec φ∙tan φ
Daarnaast hebben we ook d(tan φ)/dφ = 1/cos2φ = sec2φ, dus:
(2) d(tan φ)/dφ = sec2φ
Nu is de afgeleide van een som gelijk aan de som van de afgeleiden van de termen, dus is ook:
(3) d(sec φ + tan φ)/dφ = sec φ∙tan φ + sec2φ
En dus:
(4) d(sec φ + tan φ)/dφ = sec φ∙(sec φ + tan φ)
En dus:
(5) d(sec φ + tan φ)/(sec φ + tan φ) = sec φ∙dφ
En dus:
(6) ∫ sec φ∙dφ = ∫ d(sec φ + tan φ)/(sec φ + tan φ) = ln(sec φ + tan φ) + C (|φ| < ½π)
QED
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 20-06-2012 17:55:59 ]
Graag zelfs! Ik ga direct beginnen met het typen ervan!
Misschien is het een goed idee om QED als je signature te nemen? Staat het er sowieso onder.
Misschien is het een goed idee om QED als je signature te nemen?
Staat het er sowieso onder.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Dit is Riparius.quote:
Ik ken iemand die in real life een QED handtekening hanteert
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Tja, dat ■ van Halmos vind ik niks. Maar misschien schrijf ik de volgende keer wel ΟΕΔ voor ὅπερ ἔδει δεῖξαι, dan denken mensen in ieder geval niet dat het Engels is.quote:
Persoonlijk vind ik het Latijn toch mooier dan het Grieks.quote:
[..]
Tja, dat ■ van Halmos vind ik niks. Maar misschien schrijf ik de volgende keer wel ΟΕΔ voor ὅπερ ἔδει δεῖξαι, dan denken mensen in ieder geval niet dat het Engels is.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Geen flauw idee of ik hier goed zit Maar ik heb morgen een tentamen discrete wiskunde waar ik al eens voor gezakt ben. Er waren een aantal dingen waar ik over struikelde. Een daarvan is het herschrijven van proposities volgens de logische wetten.
We hebben wel zo'n blad met logische equivalenties (implicatieregel, commutativiteit etc) maar ik zie nog steeds niet hoe het moet. Heeft iemand misschien een duidelijkere uitleg?
Maar ik heb morgen een tentamen discrete wiskunde waar ik al eens voor gezakt ben. Er waren een aantal dingen waar ik over struikelde. Een daarvan is het herschrijven van proposities volgens de logische wetten.We hebben wel zo'n blad met logische equivalenties (implicatieregel, commutativiteit etc) maar ik zie nog steeds niet hoe het moet. Heeft iemand misschien een duidelijkere uitleg?
Op dinsdag 9 augustus 2011 23:01 schreef SuperrrTuxxx het volgende:
Ik hou zoveel van jou, ik doe alles voor je! O+
Ik hou zoveel van jou, ik doe alles voor je! O+
Dit is er bijvoorbeeld eentje. Je moet bij deze aantonen dat het een tautologie is d.m.v. het herschrijven.
Ik zou hier dan bijvoorbeeld De Morgan gebruiken gezien de dubbele negatie. Maar verder kom ik gewoon echt niet.
Op dinsdag 9 augustus 2011 23:01 schreef SuperrrTuxxx het volgende:
Ik hou zoveel van jou, ik doe alles voor je! O+
Ik hou zoveel van jou, ik doe alles voor je! O+
Dan ben je er al bijna. Schrijf maar op wat je met De Morgan krijgt.quote:
[ afbeelding ]
Dit is er bijvoorbeeld eentje. Je moet bij deze aantonen dat het een tautologie is d.m.v. het herschrijven.
Ik zou hier dan bijvoorbeeld De Morgan gebruiken gezien de dubbele negatie. Maar verder kom ik gewoon echt niet.
Ik kom dan hierop uit:
Op dinsdag 9 augustus 2011 23:01 schreef SuperrrTuxxx het volgende:
Ik hou zoveel van jou, ik doe alles voor je! O+
Ik hou zoveel van jou, ik doe alles voor je! O+
Je past De Morgan niet goed toe, je conjunctie/disjunctie-teken klapt dan om.quote:
Neequote:
Is dan niet:
-q = p
p = p
Dus een tautologie? Dan ben je toch klaar?
Verder heb ik er niet zoveel verstand van, maar -q v p = p klinkt een beetje dubbel.
Ik zag die strepen en dacht aan geconjugeerde letters. Maargoed, ik probeerde mee te denkenquote:
[..]
Je past De Morgan niet goed toe, je conjunctie/disjunctie-teken klapt dan om.
[..]
Nee
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Als je deze wiki leest: http://en.wikipedia.org/wiki/De_Morgan%27s_laws , dan zie je waar het over gaat.quote:
[..]
Ik zag die strepen en dacht aan geconjugeerde letters. Maargoed, ik probeerde mee te denken
Ik zat de Nederlandse wiki te lezen. De Engelse ziet er inderdaad iets helderder uit. Als ik het dus goed begrijp moet ik daarvan conjunctie ipv disjunctie maken?
Op dinsdag 9 augustus 2011 23:01 schreef SuperrrTuxxx het volgende:
Ik hou zoveel van jou, ik doe alles voor je! O+
Ik hou zoveel van jou, ik doe alles voor je! O+
Ok! Al een stuk duidelijker nu. Thanks
Op dinsdag 9 augustus 2011 23:01 schreef SuperrrTuxxx het volgende:
Ik hou zoveel van jou, ik doe alles voor je! O+
Ik hou zoveel van jou, ik doe alles voor je! O+
Het is geen beta wiskunde, maar ik wist niet waar ik het anders het beste kon vragen...
Hier klopt toch niks van, of ligt dat nu aan mij? Volgens mij wordt er alleen de kans berekent dat je de eerste keer alleen een prijs wint en de kans dat je de tweede keer een prijs wint. Maar niet de kans dat je zowel de eerste als de tweede keer een prijs wint. En dat moet wel, aangezien er wordt gevraagd naar de kans op minstens 1 prijs.
Of ik kijk ergens over heen, kan ook. Mijn hersenen zijn een beetje moe. Maar ik snap niet hoe ze op die uitkomst komen.
Hier klopt toch niks van, of ligt dat nu aan mij? Volgens mij wordt er alleen de kans berekent dat je de eerste keer alleen een prijs wint en de kans dat je de tweede keer een prijs wint. Maar niet de kans dat je zowel de eerste als de tweede keer een prijs wint. En dat moet wel, aangezien er wordt gevraagd naar de kans op minstens 1 prijs.
Of ik kijk ergens over heen, kan ook. Mijn hersenen zijn een beetje moe. Maar ik snap niet hoe ze op die uitkomst komen.
En het antwoord klopt wel. Je mag me vertellen welke rekenregel of welke gelijkheid niet zou kloppen.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Klopt wel volgens mij.quote:
Het is geen beta wiskunde, maar ik wist niet waar ik het anders het beste kon vragen...
[ afbeelding ]
Hier klopt toch niks van, of ligt dat nu aan mij? Volgens mij wordt er alleen de kans berekent dat je de eerste keer alleen een prijs wint en de kans dat je de tweede keer een prijs wint. Maar niet de kans dat je zowel de eerste als de tweede keer een prijs wint. En dat moet wel, aangezien er wordt gevraagd naar de kans op minstens 1 prijs.
Of ik kijk ergens over heen, kan ook. Mijn hersenen zijn een beetje moe. Maar ik snap niet hoe ze op die uitkomst komen.
De kans dat je twee prijzen hebt zit in {prijs en A1} (je mag nog best ook A2 hebben).
Toen ik het eerst zelf had gedaan, had ik: 5/100 x 4/99 (de kans op twee prijzen) + 95/100 x 5/99 (de kans op A2) + 5/100 x 95/99 (de kans op A1).quote:
[..]
Klopt wel volgens mij.
De kans dat je twee prijzen hebt zit in {prijs en A1} (je mag nog best ook A2 hebben).
Okay, dan snap ik het dus gewoon niet.quote:
En het antwoord klopt wel. Je mag me vertellen welke rekenregel of welke gelijkheid niet zou kloppen.
Kan ook, is hetzelfde antwoord.quote:
[..]
Toen ik het eerst zelf had gedaan, had ik: 5/100 x 4/99 (de kans op twee prijzen) + 95/100 x 5/99 (de kans op A2) + 5/100 x 95/99 (de kans op A1).
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Ik zou het ook op jouw manier doen, ligt veel meer voor de hand. Maar snap die andere methode nu ook?quote:
Nee, dat is een beetje een probleem.quote:
[..]
Ik zou het ook op jouw manier doen, ligt veel meer voor de hand. Maar snap die andere methode nu ook?
Ik snap niet hoe je op bijvoorbeeld die 1 komt. Maar ik denk dat ik de theorie van voorwaardelijke kansen nog maar een keer goed door moet nemen.
De eerste observatie die je moet maken is dat de gebeurtenis "je wint een prijs" op te delen is in twee stukken: "je wint minstens één prijs, waaronder A1" (equivalent met je wint A1 of je wint A1 en A2) of "je wint minstens één prijs, maar niet A1" (equivalent met je wint A2). Samengevat staat er dus weer gewoon "je wint alleen A1, of je wint alleen A2, of je wint A1 en A2".quote:
[..]
Nee, dat is een beetje een probleem.
Omdat niet beide stukken tegelijkertijd kunnen voorkomen (dan zou je wel A1 winnen en niet A1 winnen), kan je de regel P(A of B) = P(A) + P(B) gebruiken. Dat is wat ze in de eerste regel doen.
De tweede regel is gewoon de definitie van geconditioneerde kansen toepassen.
Je kunt het ook lezen alsquote:
[..]
Nee, dat is een beetje een probleem.
Omdat in de tweede term gegeven is dat de kans binnen A_1 nul is:
Omdat in de eerste term gegeven is dat de kans buiten A_1 nul is:
Duidelijk?
Croce e delizia cor. Misterioso, Misterioso altero, croce e delizia al cor.
Ik vind het verdomme een schande dat niemand op mijn school nog even door dat werkstuk heen wil kijken dat ik (met dank aan Riparius) had gemaakt. Van die docent wiskunde kreeg ik juist het dringende advies de Mercatorprojectie buiten beschouwing te laten. Terwijl die eerstegraads docent (die tevens examinator is volgende week) het juist wel een goed idee vond. Rampzalige school.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
quote:
[..]
De eerste observatie die je moet maken is dat de gebeurtenis "je wint een prijs" op te delen is in twee stukken: "je wint minstens één prijs, waaronder A1" (equivalent met je wint A1 of je wint A1 en A2) of "je wint minstens één prijs, maar niet A1" (equivalent met je wint A2). Samengevat staat er dus weer gewoon "je wint alleen A1, of je wint alleen A2, of je wint A1 en A2".
Omdat niet beide stukken tegelijkertijd kunnen voorkomen (dan zou je wel A1 winnen en niet A1 winnen), kan je de regel P(A of B) = P(A) + P(B) gebruiken. Dat is wat ze in de eerste regel doen.
De tweede regel is gewoon de definitie van geconditioneerde kansen toepassen.
Bedankt allebei.quote:
[..]
Je kunt het ook lezen als
Omdat in de tweede term gegeven is dat de kans binnen A_1 nul is:
Omdat in de eerste term gegeven is dat de kans buiten A_1 nul is:
Duidelijk?
Welkom in de echte wereld, die in handen is van de faalhazenquote:
Ik vind het verdomme een schande dat niemand op mijn school nog even door dat werkstuk heen wil kijken dat ik (met dank aan Riparius) had gemaakt. Van die docent wiskunde kreeg ik juist het dringende advies de Mercatorprojectie buiten beschouwing te laten. Terwijl die eerstegraads docent (die tevens examinator is volgende week) het juist wel een goed idee vond. Rampzalige school.
En waar kan ik naar toe met een klacht. Ik heb zero voorbereiding voor wiskunde B gekregen op het mondeling examen. Er is bij ons geen rector, enkel een kutkop die zichzelf afdelingscoördinator noemt en zij persoonlijke interne begeleiders. Die leggen die klacht naast zich neer. En als ik hem er direct op aanspreek begint hij over ongemotiveerde havistjes te zeuren die een 4,6 gemiddeld staan in de derde klas.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik heb snel door de topic gekeken en ik moet zeggen dat je werkstuk wel voorbij vwo wiskunde gaat. Vwo wiskunde stopt namelijk bij de methode van Cavalieri, waarmee je de inhoud van een bol bepaalt. Wel jammer dat het onderwijs in Nederland ook niet goed is gericht op leerlingen die meer kunnen hebben.quote:
En waar kan ik naar toe met een klacht. Ik heb zero voorbereiding voor wiskunde B gekregen op het mondeling examen. Er is bij ons geen rector, enkel een kutkop die zichzelf afdelingscoördinator noemt en zij persoonlijke interne begeleiders. Die leggen die klacht naast zich neer. En als ik hem er direct op aanspreek begint hij over ongemotiveerde havistjes te zeuren die een 4,6 gemiddeld staan in de derde klas.
Croce e delizia cor. Misterioso, Misterioso altero, croce e delizia al cor.
Meer willen hebben. De kwaliteit van de docenten is sowieso bedroevend. Maar misschien komt dat wel omdat ik geen regulier onderwijs meer volg vanwege een diagnose in het autistisch spectrum.quote:
[..]
Ik heb snel door de topic gekeken en ik moet zeggen dat je werkstuk wel voorbij vwo wiskunde gaat. Vwo wiskunde stopt namelijk bij de methode van Cavalieri, waarmee je de inhoud van een bol bepaalt. Wel jammer dat het onderwijs in Nederland ook niet goed is gericht op leerlingen die meer kunnen hebben.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik kom niet uit de volgende opgave:
Het puntje boven de w betekend een tijdsafgeleide zie:
http://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_notation
Het puntje boven de w betekend een tijdsafgeleide zie:
http://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_notation
Ik snap niet waarom je zowel met een w als een d moet werken, maar je hebt dus de vector
Op de plek van het vraagteken moet de primitieve van
komen, omdat je anders door een lineaire differentiaalvergelijking nooit meer op kunt uitkomen. Je krijgt dus
en gevraagd is de matrix S zodanig dat
![\dot w=\left[\begin{array}{r} 0 \\ -3\sin t \\ 3\cos t \end{array}\right]=S\left[\begin{array}{r} 2 \\3\cos t \\ 3\sin t \end{array}\right]](https://forum.fok.nl/lib/mimetex.cgi?%5Cdot%20w%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Br%7D%200%20%5C%5C%20-3%5Csin%20t%20%5C%5C%203%5Ccos%20t%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3DS%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Br%7D%202%20%5C%5C3%5Ccos%20t%20%5C%5C%203%5Csin%20t%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Dan kom je uit op de matrix van het antwoord.
Op de plek van het vraagteken moet de primitieve van
en gevraagd is de matrix S zodanig dat
Dan kom je uit op de matrix van het antwoord.
Dat lijkt me nogal meevallen. Elke goede VWO leerling die die zogeheten 'voortgezette integraalrekening' heeft gevolgd is bekend met zaken als breuksplitsing en de substitutiemethode en zou dus, met wat hulp, in staat moeten worden geacht iets als 1/cos φ te primitiveren.quote:
[..]
Ik heb snel door het topic gekeken en ik moet zeggen dat je werkstuk wel voorbij vwo wiskunde gaat.
Dit is gewoon niet waar, en dat weet je zelf ook wel. Cavalieri leefde in een tijd waarin er van differentiaal- en integraalrekening nog geen sprake was, en op het VWO programma staat in ieder geval de berekening van het volume van een omwentelingslichaam met behulp van integraalrekening.quote:Vwo wiskunde stopt namelijk bij de methode van Cavalieri, waarmee je de inhoud van een bol bepaalt. Wel jammer dat het onderwijs in Nederland ook niet goed is gericht op leerlingen die meer kunnen hebben.
Overigens maakte Archimedes zo'n 1900 jaar (!) vóór Cavalieri al gebruik van het naar deze laatste genoemde principe. Archimedes realiseerde zich namelijk dat het snijvlak op een hoogte h boven het grondvlak van een halve bol met straal r een oppervlakte π∙(r2 - h2) heeft, zodat de oppervlakte van de ring op hoogte h buiten de bol maar binnen de omgeschreven cilinder van de halve bol π∙h2 bedraagt, en dus gelijk is aan de oppervlakte van het snijvlak met een (omgekeerde) kegel binnen dezelfde omgeschreven cilinder. Archimedes concludeerde hieruit dat het volume binnen de omgeschreven cilinder maar buiten de halve bol gelijk moest zijn aan het volume van de kegel, zijnde (1/3)∙π∙r2∙r = (1/3)∙π∙r3. En aangezien het totale volume van de omgeschreven cilinder π∙r2∙r = π∙r3 bedraagt, volgt dus dat het volume van de halve bol (2/3)∙π∙r3 moet zijn, waaruit weer volgt dat het volume van een gehele bol met gelijke straal (4/3)∙π∙r3 bedraagt. Archimedes drukte dit uit door te zeggen het het volume van een bol gelijk is aan 2/3 deel van het volume van de omgeschreven cilinder. Hij bewees overigens ook dat de oppervlakte van een bol gelijk is aan de manteloppervlakte van de omgeschreven cilinder, en daarmee weer gelijk aan 2/3 deel van de totale oppervlakte van de omgeschreven cilinder. Zelf beschouwde hij dit als één van zijn fraaiste resultaten.
Strakjes even dit puike stukje historie lezen, altijd leuk.
Verder:
Het primitiveren van de secans met behulp van de voortgezette integraalrekening is inderdaad mogelijk. Echter is het een vele malen ingewikkeldere primitieve om tot te komen dan alle opgaven (zoals: primitiveer f(x) = ln(x)) die in Getal & Ruimte staan beschreven.
Niet om lullig te doen, maar vwo spel je dus enkel met kleine letters.
Verder:
Het primitiveren van de secans met behulp van de voortgezette integraalrekening is inderdaad mogelijk. Echter is het een vele malen ingewikkeldere primitieve om tot te komen dan alle opgaven (zoals: primitiveer f(x) = ln(x)) die in Getal & Ruimte staan beschreven.
Niet om lullig te doen, maar vwo spel je dus enkel met kleine letters.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ja, hij is lastig, maar toch te doen met de aangereikte methoden. Ik weet eigenlijk niet of dit vroeger aan bod kwam in de hoogste klassen in het Nederlandse of Vlaamse middelbaar onderwijs, moet ik eens proberen te achterhalen.quote:
Strakjes even dit puike stukje historie lezen, altijd leuk.
Verder:
Het primitiveren van de secans met behulp van de voortgezette integraalrekening is inderdaad mogelijk. Echter is het een vele malen ingewikkeldere primitieve om tot te komen dan alle opgaven (zoals: primitiveer f(x) = ln(x)) die in Getal & Ruimte staan beschreven.
Vroeger schreef je onderwijs met hoofdletters, nu niet meer. Overigens zie ik bijvoorbeeld op dit correctievoorschrift uit 2009 (nota bene voor het vak Nederlands) toch echt VWO staan.quote:Niet om lullig te doen, maar vwo spel je dus enkel met kleine letters.
Dat klopt, maar het gaat wel voorbij wiskunde B.quote:
[..]
Dat lijkt me nogal meevallen. Elke goede VWO leerling die die zogeheten 'voortgezette integraalrekening' heeft gevolgd is bekend met zaken als breuksplitsing en de substitutiemethode en zou dus, met wat hulp, in staat moeten worden geacht iets als 1/cos φ te primitiveren.
Oké, je hebt ook nog de differentiaal- en integraalrekening. Mijn fout.quote:[..]
Dit is gewoon niet waar, en dat weet je zelf ook wel. Cavalieri leefde in een tijd waarin er van differentiaal- en integraalrekening nog geen sprake was,
Croce e delizia cor. Misterioso, Misterioso altero, croce e delizia al cor.
Mij werd aangeleerd (tijdens het vak Nederlands) dat het vwo is. Misschien zijn die voorbladen al 80 jaar hetzelfde en past niemand het aan.quote:
[..]
Ja, hij is lastig, maar toch te doen met de aangereikte methoden. Ik weet eigenlijk niet of dit vroeger aan bod kwam in de hoogste klassen in het Nederlandse of Vlaamse middelbaar onderwijs, moet ik eens proberen te achterhalen.
[..]
Vroeger schreef je onderwijs met hoofdletters, nu niet meer. Overigens zie ik bijvoorbeeld op dit correctievoorschrift uit 2009 (nota bene voor het vak Nederlands) toch echt VWO staan.
En wat bedoel je nu, de voortgezette integraalrekening of het primitiveren van de secans?
Naar mijn mening is het hoofdstuk goniometrie en meetkunde in wiskunde B vele malen moeilijker dan de integraalrekening. De differentiaalrekening is uiteraard appeltje eitje (op vwo niveau dan, om even te nuanceren).quote:
[..]
Dat klopt, maar het gaat wel voorbij wiskunde B.
[..]
Oké, je hebt ook nog de differentiaal- en integraalrekening. Mijn fout.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik wilde trouwens even zeggen dat m'n tentamen goed was gegaan. Deze herkansing was vele malen makkelijker dan het eerste tentamen. Dus een voldoende moet er zeker in gaan zitten 
Alleen jammer dan dat ze niets vroegen over herschrijven van expressies
Alleen jammer dan dat ze niets vroegen over herschrijven van expressies
Op dinsdag 9 augustus 2011 23:01 schreef SuperrrTuxxx het volgende:
Ik hou zoveel van jou, ik doe alles voor je! O+
Ik hou zoveel van jou, ik doe alles voor je! O+
Het schijnt tegenwoordig (sinds een spellingswijziging van enkele jaren geleden) inderdaad opeens met kleine letters te moeten. De 'regels' (voor zover je daarvan kunt spreken) voor het schrijven van zogeheten letterwoorden zijn sowieso krankzinnig en tegenstrijdig, zodat het onmogelijk is deze regels te volgen. Zo is er een principe dat zegt dat je kleine letters moet gebruiken als het als één woord is uit te spreken, en dan zou je dus wel havo maar geen vwo moeten hebben. En toch heb je dan weer pvc naast DDT. Weer een andere regel zegt dat 'vreemde' letterwoorden eerst met hoofdletters moeten worden geschreven, maar later, als ze zijn ingeburgerd (wie bepaalt dat?), met kleine letters. Zo heb je dus eerst ADSL maar nu adsl, waarmee weer volkomen wordt voorbij gegaan aan het feit dat adsl niet strookt met de foneemdistributie in Nederlandse woorden. Ziekten zijn ook heel leuk: die moeten met hoofdletters, waarbij plotseling de mogelijk vreemdtalige herkomst opeens geen rol meer speelt: MKZ, BSE. Maar als ziekten zijn 'ingeburgerd' (jawel) dan worden het weer kleine letters, zoals aids en tbc. En dan is nog een regel die zegt dat letterwoorden van niet meer dan drie letters met hoofdletters moeten geschreven (ondanks pvc, tbc en vwo). Je begrijpt: niemand kan dit nog volgen en ik weiger mee te doen aan dergelijke idioterie en houd het dus gewoon op VWO.quote:
[..]
Mij werd aangeleerd (tijdens het vak Nederlands) dat het vwo is. Misschien zijn die voorbladen al 80 jaar hetzelfde en past niemand het aan.
Het primitiveren van de secans. Ik bedacht trouwens nog dat je ∫ dφ/√(1 - sin2φ) kunt schrijven (voor |φ| < ½π), en substitutie t = sin φ geeft dan ∫ dt/(1 - t2) en deze laatste integraal is wel zo'n beetje het meest basale voorbeeld dat je kunt bedenken van een integraal die je met breuksplitsing kunt behandelen. Is dus prima te doen.quote:En wat bedoel je nu, de voortgezette integraalrekening of het primitiveren van de secans?
Vele malen moeilijker? Ik weet dat veel leerlingen tegenwoordig hun goniometrische identiteiten niet meer kennen en ook al niks meer bakken van een eenvoudige bewijsopgave uit de vlakke meetkunde, maar waarom zou vlakke meetkunde of goniometrie moeilijker zijn dan integraalrekening? Soms omdat integreren is verworden tot het gebruik van een formulekaart met een paar standaard primitieven en verder maar gewoon een beetje pielen met de GR als de functie in kwestie toevallig niet op de kaart staat?quote:[..]
Naar mijn mening is het hoofdstuk goniometrie en meetkunde in wiskunde B vele malen moeilijker dan de integraalrekening. De differentiaalrekening is uiteraard appeltje eitje (op vwo niveau dan, om even te nuanceren).
Aangenomen dat dit allemaal klopt geef ik je gelijk.quote:
[..]
Het schijnt tegenwoordig (sinds een spellingswijziging van enkele jaren geleden) inderdaad opeens met kleine letters te moeten. De 'regels' (voor zover je daarvan kunt spreken) voor het schrijven van zogeheten letterwoorden zijn sowieso krankzinnig en tegenstrijdig, zodat het onmogelijk is deze regels te volgen. Zo is er een principe dat zegt dat je kleine letters moet gebruiken als het als één woord is uit te spreken, en dan zou je dus wel havo maar geen vwo moeten hebben. En toch heb je dan weer pvc naast DDT. Weer een andere regel zegt dat 'vreemde' letterwoorden eerst met hoofdletters moeten worden geschreven, maar later, als ze zijn ingeburgerd (wie bepaalt dat?), met kleine letters. Zo heb je dus eerst ADSL maar nu adsl, waarmee weer volkomen wordt voorbij gegaan aan het feit dat adsl niet strookt met de foneemdistributie in Nederlandse woorden. Ziekten zijn ook heel leuk: die moeten met hoofdletters, waarbij plotseling de mogelijk vreemdtalige herkomst opeens geen rol meer speelt: MKZ, BSE. Maar als ziekten zijn 'ingeburgerd' (jawel) dan worden het weer kleine letters, zoals aids en tbc. En dan is nog een regel die zegt dat letterwoorden van niet meer dan drie letters met hoofdletters moeten geschreven (ondanks pvc, tbc en vwo). Je begrijpt: niemand kan dit nog volgen en ik weiger mee te doen aan dergelijke idioterie en houd het dus gewoon op VWO
Dit is wel ongelijk aan het behandelen van de secans. Nu behandel je juist het kwadraat van de secans, wat uiteraard stukken eenvoudiger ligt. Maar dit is inderdaad een vrij eenvoudige breuksplitsing.quote:Het primitiveren van de secans. Ik bedacht trouwens nog dat je ∫ dφ/√(1 - sin2φ) kunt schrijven (voor |φ| < ½π), en substitutie t = sin φ geeft dan ∫ dt/(1 - t2) en deze laatste integraal is wel zo'n beetje het meest basale voorbeeld dat je kunt bedenken van een integraal die je met breuksplitsing kunt behandelen. Is dus prima te doen.
Ik moet eerlijk bekennen dat ik altijd schuldig was aan het niet kennen van de dubbele hoek formules en dergelijke, (inmiddels wel). Echter moet ik wel altijd nadenken over de gegeven identiteiten voor de tangens, cosinus en sinus. 1/4π Nadenken, niet de GR pakken bedoel ik dan.quote:Vele malen moeilijker? Ik weet dat veel leerlingen tegenwoordig hun goniometrische identiteiten niet meer kennen en ook al niks meer bakken van een eenvoudige bewijsopgave uit de vlakke meetkunde, maar waarom zou vlakke meetkunde of goniometrie moeilijker zijn dan integraalrekening? Soms omdat integreren is verworden tot het gebruik van een formulekaart met een paar standaard primitieven en verder maar gewoon een beetje pielen met de GR als de functie in kwestie toevallig niet op de kaart staat?
Maar goed, over de meetkundige bewijzen. Ik vond het altijd geweldig leuk om Q.E.D. achter mijn redenatie te zetten, maar ik moet eerlijk bekennen dat als ik een examen meetkunde zou krijgen, dat ik er voor zou zakken. En niet omdat ik de gegeven stellingen niet ken die ik dien toe te passen. Goniometrie was wel vrij eenvoudig, maar ik vond het wel moeilijker dan de integraalrekening.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Klopt, op de vwo toetsen werden bij differentiëren en integreren bijna alleen maar standaardintegralen en -afgeleiden gevraagd. Bij goniometrie moet je opeens ook echt bewijzen gaan formuleren, wat de meeste mensen tot dan toe nog nooit gedaan hebben (inclusief mezelf, ik had erg veel moeite met dat hoofdstuk). Daarom lijkt goniometrie natuurlijk veel moeilijker, maar dat komt natuurlijk door de methode waarop het behandeld wordt.quote:
Vele malen moeilijker? Ik weet dat veel leerlingen tegenwoordig hun goniometrische identiteiten niet meer kennen en ook al niks meer bakken van een eenvoudige bewijsopgave uit de vlakke meetkunde, maar waarom zou vlakke meetkunde of goniometrie moeilijker zijn dan integraalrekening? Soms omdat integreren is verworden tot het gebruik van een formulekaart met een paar standaard primitieven en verder maar gewoon een beetje pielen met de GR als de functie in kwestie toevallig niet op de kaart staat?
Trouwens, ik heb nog een vraag aan jou. Het is duidelijk dat je vrij veel goniometrische identiteiten kent, heb je nog een tip om die te leren? Heb je gewoon een lijst opgezocht en uit je hoofd geleerd, bewijzen bestudeerd, of misschien zelf een bewijs gezocht voor sommige gevallen?
Ik merkte dat die identiteiten inderdaad vaak wel van pas komen, maar ik ken bijna geen goniometrische identiteiten.
Nee hoor: ∫ sec φ∙dφ = ∫ dφ/√(1 - sin2φ)quote:
[..]
Dit is wel ongelijk aan het behandelen van de secans. Nu behandel je juist het kwadraat van de secans, wat uiteraard stukken eenvoudiger ligt.
Precies.quote:Maar dit is inderdaad een vrij eenvoudige breuksplitsing.
Je bedoelt cos(π/4) = sin(π/4) = ½√2 en zo? Of sin(¼π - φ) = cos(¼π + φ) of tan(¼π - φ)∙tan(¼π + φ) = 1 (nee, die staan vast niet op je formulekaart).quote:[..]
Ik moet eerlijk bekennen dat ik altijd schuldig was aan het niet kennen van de dubbele hoek formules en dergelijke, (inmiddels wel). Echter moet ik wel altijd nadenken over de gegeven identiteiten voor de tangens, cosinus en sinus. 1/4π
Als je wiskunde wil gaan studeren lijkt me een goed meetkundig inzicht toch ook wel belangrijk. Meetkunde heeft in vroeger tijden ook heel lang de hoofdmoot gevormd van het wiskunde onderwijs vanwege de streng axiomatische opbouw en de oefening die dat gaf in het opstellen van strict deductieve redeneringen (bewijzen dus). Oudere generaties herinneren het zich nog: Gegeven: ..., Te bewijzen: ..., Bewijs: ... Sterker nog, wiskunde wás meetkunde in vroeger tijden, en een wiskundige werd toen ook een geometer genoemd (het woord geometrie betekent eigenlijk landmeetkunde en verwijst dus naar de praktische oorsprong).quote:Nadenken, niet de GR pakken bedoel ik dan.
Maar goed, over de meetkundige bewijzen. Ik vond het altijd geweldig leuk om Q.E.D. achter mijn redenatie te zetten, maar ik moet eerlijk bekennen dat als ik een examen meetkunde zou krijgen, dat ik er voor zou zakken. En niet omdat ik de gegeven stellingen niet ken die ik dien toe te passen. Goniometrie was wel vrij eenvoudig, maar ik vond het wel moeilijker dan de integraalrekening.
Och verrek, met jouw unicode had ik dat wortelteken helemaal niet gezien. Pas in vierde instantie.
Ik heb er wel veel op zitten oefenen. Het lukte me ook beter en beter, maar aangezien het examen zo verrekte lang was heb ik die maar uitgesteld tot het laatste waardoor ik er 2 niet af had. Beetje jammer.
En ja, ik bedoelde die goniometrische identiteiten. Maar ik ga ze leren.
Ik heb er wel veel op zitten oefenen. Het lukte me ook beter en beter, maar aangezien het examen zo verrekte lang was heb ik die maar uitgesteld tot het laatste waardoor ik er 2 niet af had. Beetje jammer.
En ja, ik bedoelde die goniometrische identiteiten. Maar ik ga ze leren.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Mooi. Sowieso wel handig om dat soort dingen te snappen, het is gewoon basislogica die je gewoon in het dagelijks leven kan toepassen. Als je die regels snapt merk je ook sneller redeneerfouten op van anderen. Wat studeer je eigenlijk?quote:
Ik wilde trouwens even zeggen dat m'n tentamen goed was gegaan. Deze herkansing was vele malen makkelijker dan het eerste tentamen. Dus een voldoende moet er zeker in gaan zitten
Alleen jammer dan dat ze niets vroegen over herschrijven van expressies
Ik bedacht trouwens nog dat je ∫ dφ/√(1 - sin2φ) kunt schrijven (voor |φ| < ½π), en substitutie t = sin φ geeft dan ∫ dt/(1 - t2)
- Riparius
Kun je even uitleggen waarom je nu ineens wel dat wortelteken weglaat ná je substitutie?
- Riparius
Kun je even uitleggen waarom je nu ineens wel dat wortelteken weglaat ná je substitutie?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Geldt ook voor mij. Eigenlijk alles van wiskunde B ging me makkelijk af, behalve goniometrie. Ik heb uiteindelijk geloof ik nog steeds geen voldoende voor die toets gehaaldquote:
Och verrek, met jouw unicode had ik dat wortelteken helemaal niet gezien. Pas in vierde instantie.
Ik heb er wel veel op zitten oefenen. Het lukte me ook beter en beter, maar aangezien het examen zo verrekte lang was heb ik die maar uitgesteld tot het laatste waardoor ik er 2 niet af had. Beetje jammer.
. Maar het inzicht komt inderdaad ook wel met oefenen, gelukkig. Ik moet zeggen, ik heb nog niet veel moeilijke goniometrie gehad bij mijn studie wiskunde (bij lineaire algebra en infinitesimaalrekening/calculus een beetje). Maar ik volg dan ook geen concrete meetkunde, wat volgens mij nog wel vrij veel op goniometrie lijkt.
Je verwisselt ook nog de dphi met dt.quote:
Ik bedacht trouwens nog dat je ∫ dφ/√(1 - sin2φ) kunt schrijven (voor |φ| < ½π), en substitutie t = sin φ geeft dan ∫ dt/(1 - t2)
- Riparius
Kun je even uitleggen waarom je nu ineens wel dat wortelteken weglaat ná je substitutie?
Omdat
geldt
Croce e delizia cor. Misterioso, Misterioso altero, croce e delizia al cor.
Ik weet nog dat ik goniometrie ook lastig vond, met name het bewijzen van goniometrische identiteiten. Sinds de middelbare school heb ik er niks aan gedaan, maar nu vind ik die sommetjes juist heel erg eenvoudig. Volgens mij was het probleem vooral dat ik niet in één keer kon zien dat een bepaalde identiteit gold, waardoor je direct dacht van "ik snap het niet". Terwijl, als je gewoon domweg wat identiteiten toepast kom je er bij die sommen zo'n beetje automatisch.quote:
[..]
Geldt ook voor mij. Eigenlijk alles van wiskunde B ging me makkelijk af, behalve goniometrie. Ik heb uiteindelijk geloof ik nog steeds geen voldoende voor die toets gehaald
Maar goed, gonio en meetkunde is allemaal leuk en aardig om mee te oefenen, maar wel een beetje overrated op de middelbare school naar mijn mening.
Inderdaad, ik word niet vrolijk van wat ik van de huidige lesmethoden heb gezien, en het is geen wonder dat het met het inzicht vaak niet best is gesteld. In Vlaanderen gaat dat beter, daar wordt nog (enigszins) ouderwets onderwijs gegeven. Een tijd geleden stond er op de site beteronderwijsnederland.nl een aardig overzicht van een zomercursus van de KU Leuven die je als opfrisser zou kunnen doornemen. De link is helaas verdwenen, maar gelukkig wel gearchiveerd door archive.org en hier nog te zien.quote:
[..]
Klopt, op de vwo toetsen werden bij differentiëren en integreren bijna alleen maar standaardintegralen en -afgeleiden gevraagd. Bij goniometrie moet je opeens ook echt bewijzen gaan formuleren, wat de meeste mensen tot dan toe nog nooit gedaan hebben (inclusief mezelf, ik had erg veel moeite met dat hoofdstuk). Daarom lijkt goniometrie natuurlijk veel moeilijker, maar dat komt natuurlijk door de methode waarop het behandeld wordt.
Ik heb ze nooit echt uit het hoofd geleerd, en dat zou ik je ook niet aanraden. Maar ik ben wel gezegend met een goed geheugen, en ik ken ze gewoon al van jongs af aan (en dat is echt heel lang geleden). Belangrijk is vooral dat je inzicht hebt (of krijgt) in de reden waarom die identiteiten zijn zoals ze zijn. Bijvoorbeeld, bijquote:Trouwens, ik heb nog een vraag aan jou. Het is duidelijk dat je vrij veel goniometrische identiteiten kent, heb je nog een tip om die te leren? Heb je gewoon een lijst opgezocht en uit je hoofd geleerd, bewijzen bestudeerd, of misschien zelf een bewijs gezocht voor sommige gevallen?
Ik merkte dat die identiteiten inderdaad vaak wel van pas komen, maar ik ken bijna geen goniometrische identiteiten.
cos2φ + sin2φ = 1
denk je aan de eenheidscirkel. Aangezien cos φ en sin φ zijn gedefinieerd als resp. de x-coördinaat en de y-coördinaat van het beeldpunt van (1;0) bij rotatie om de oorsprong over een hoek φ en de eenheidscirkel de vergelijking x2 + y2 = 1 heeft, is het evident dat deze identiteit geldt. Je kunt deze identiteit ook als een goniometrische variant van de stelling van Pythagoras zien.
Fundamenteel is ook dat de cosinusfunctie een even functie is en de sinusfunctie een oneven functie. Dat wil zeggen dat:
cos(-φ) = cos φ
sin(-φ) = -sin φ
Om dit in te zien denk je aan het startpunt (1;0) op de eenheidscirkel. Als we dit startpunt roteren over een hoek -φ en over een hoek φ, dan liggen de twee beeldpunten van (1;0) symmetrisch t.o.v. de x-as, omdat het startpunt zelf op de x-as ligt. En dat betekent dat deze twee beeldpunten dezelfde x-coördinaat hebben, maar een tegengestelde y-coördinaat. En aangezien de x-coördinaat van het beeldpunt per definitie de cosinus is van de rotatiehoek en de y-coördinaat de sinus, geldt dus inderdaad cos(-φ) = cos φ en sin(-φ) = -sin φ.
Tegengestelde hoeken (rotaties) corresponderen dus met een spiegeling in de x-as, maar supplementaire hoeken corresponderen met een spiegeling in de y-as, waarbij de x-coördinaat tegengesteld wordt en de y-coördinaat hetzelfde blijft, zodat cos(π-φ) = -cos φ en sin(π-φ) = sin φ. En bij complementaire hoeken hebben we een spiegeling in de lijn y = x zodat de x- en de y-coördinaten omwisselen en dus cos(½π-φ) = sin φ en sin(½π-φ) = cos φ.
Bij de formule van De Moivre
(cos φ + i∙sin φ)n = cos nφ + i∙sin nφ
kun je denken aan de fundamentele eigenschap van complexe getallen dat vermenigvuldiging met een complex getal meetkundig overeenkomt met een draaistrekking. Is de modulus van het getal waarmee je vermenigvuldigt gelijk aan één, dan heb je geen strekking en (dus) alleen een rotatie. Vermenigvuldiging met cos φ + i∙sin φ betekent een rotatie tegen de klok in over een hoek φ. Als we dus beginnen met het getal 1 en dat n maal achtereen vermenigvuldigen met cos φ + i∙sin φ dan hebben we uiteindelijk vermenigvuldigd met (cos φ + i∙sin φ)n. Elke vermenigvuldiging gaf een rotatie over een hoek φ en dus hebben we in totaal een rotatie over een hoek nφ wat betekent dat dit precies hetzelfde is als direct vermenigvuldigen met cos nφ + i∙sin nφ, waarmee de formule inzichtelijk is geworden.
Vermenigvuldig je een complex getal eerst met cos α + i∙sin α en dan het resultaat weer met cos β + i∙sin β, dan roteren we eerst over een hoek α en dan nog eens over een hoek β, wat dus betekent dat we in totaal over een hoek α + β hebben geroteerd en we dus net zo goed meteen met cos(α+β) + i∙sin(α+β) hadden kunnen vermenigvuldigen om hetzelfde resultaat te krijgen. Dus hebben we:
cos(α+β) + i∙sin(α+β) = (cos α + i∙sin α)(cos β + i∙sin β)
Uitwerken van de haakjes in het rechterlid en gebruik maken van i2 = -1 geeft:
cos(α+β) + i∙sin(α+β) = (cos α∙cos β - sin α∙sin β) + i∙(sin α∙cos β + cos α∙sin β)
En omdat twee complexe getallen alleen aan elkaar gelijk zijn als zowel de reële als de imaginaire delen aan elkaar gelijk zijn hebben we dus:
cos(α+β) = cos α∙cos β - sin α∙sin β
sin(α+β) = sin α∙cos β + cos α∙sin β
Dit zijn de bekende additietheorema's voor de cosinus en de sinus die vaak lastig worden gevonden. Maar je ziet dat ze heel gemakkelijk zijn af te leiden. Het patroon dat er in zit is ook heel gemakkelijk te herkennen (en dus te onthouden!) als je weet dat (x1 + iy1)(x2 + iy2) = (x1x2 - y1y2) + i(y1x2 + x1y2).
Nog eenvoudiger wordt het als je denkt aan de formule van Euler, die een verband geeft tussen een e-macht met een (zuiver imaginaire) exponent iφ en een rotatiehoek φ:
eiφ = cos φ + i∙sin φ
Ook hier geldt weer dat je dit gemakkelijk onthoudt als je begrijpt wat dit meetkundig betekent zoals ik wel eens heb uitgelegd.
De functie z(t) = eit voldoet aan z'(t) = i∙z(t) en z(0) = 1, wat betekent dat dit een parametervoorstelling is van de eenheidscirkel in het complexe vlak. Immers, vermenigvuldiging met i betekent een rotatie over een rechte hoek tegen de klok in, en dus betekent z'(t) = i∙z(t) een curve (baan) waarbij de raaklijn aan de curve (in de richting van z'(t)) steeds loodrecht staat op het lijnstuk vanuit de oorsprong naar het raakpunt z(t). En dat kan alleen maar een cirkel rond de oorsprong zijn, want alleen bij een cirkel staat een raaklijn steeds loodrecht op de straal. En omdat we starten in het punt z(0) = 1 is het de eenheidscirkel, zodat |z(t)| constant is, en wel |z(t)| = 1.
En dat niet alleen, omdat |z(t)| = 1 en dus ook |z'(t)| = |i∙z(t)| = |i|∙|z(t)| = 1∙1 = 1 is het ook nog eens een speciale parametrisatie van de eenheidscirkel, namelijk een booglengteparametrisatie. Dat betekent dat de parameter t de booglengte geeft vanaf het startpunt z(0) = 1, of, als je het 'fysisch' wil bekijken, de afgelegde weg op tijdstip t van een puntdeeltje dat eenparig met een snelheid één (eenheid per eenheid van tijd) tegen de klok in langs de eenheidcirkel beweegt, te beginnen in het punt (1;0) op tijdstip t = 0.
Omdat de gebruikelijke meetkundige definitie van de cosinus en sinus aan de hand van de eenheidscirkel impliceert dat x(t) = cos t, y(t) = sin t een booglengteparametrisatie van de eenheidcirkel geeft met startpunt (1;0), kunnen we de curve z(t) = x(t) + i∙y(t) in het complexe vlak die wordt gekarakteriseerd door z'(t) = i∙z(t), z(0) = 1 evengoed beschrijven als z(t) = cos t + i∙sin t, zodat eit dus niets anders is dan cos t + i∙sin t.
Omgekeerd betekent dit dat we cos(α+β) + i∙sin(α+β) = (cos α + i∙sin α)(cos β + i∙sin β) ook kunnen schrijven als:
ei(α+β) = eiα∙eiβ
De formule van Euler impliceert dus eigenlijk dat het optellen van rotatiehoeken bij vermenigvuldiging van complexe getallen niets anders is dan het optellen van (zuiver imaginaire) exponenten bij vermenigvuldiging van twee e-machten. De bekende additieformules voor cos(α+β) en sin(α+β) kun je dus zien als een andere gedaante van ei(α+β) = eiα∙eiβ en daarmee als een manifestatie van iets veel fundamentelers, namelijk een verband tussen rotatie en vermenigvuldiging van complexe getallen. Ook de formule van De Moivre kun je zo in een bijzonder eenvoudige vorm brengen, namelijk:
(eiφ)n = einφ
Het is misschien instructief om nog even te laten zien dat je alle eigenschappen van de cosinus en de sinus functie ook zonder meetkundige beschouwingen af kunt leiden uit een complexe functie z(t) = x(t) + i∙y(t) van een reële variabele t die voldoet aan z'(t) = i∙z(t), z(0) = 1.
Duiden we de geconjugeerde van z(t) aan met z*(t) = x(t) - i∙y(t) dan is |z(t)|2 = z(t)∙z*(t) en is de afgeleide van |z(t)|2 dus d(|z(t)|2)/dt = z'(t)∙z*(t) + z(t)∙z*'(t) = i∙z(t)∙z*(t) + z(t)∙(z'(t))* = i∙z(t)∙z*(t) + z(t)∙(i∙z(t))* = i∙z(t)∙z*(t) + z(t)∙(-i)∙z*(t) = 0, zodat z(t)∙z*(t) = |z(t)|2 en dus ook |z(t)| constant moet zijn. En aangezien z(0) = 1 geldt dus |z(t)| = 1 voor elke reële waarde van t. Zo hebben we dus
z(t)∙z*(t) = 1
oftewel:
(x(t))2 + (y(t))2 = 1.
Uit |z(t)| = 1 volgt zoals we al gezien hebben |z'(t)| = 1 en dus s(t) = ∫0t |z'(τ)|∙dτ = t, zodat we een booglengteparametrisatie van de eenheidscirkel hebben.
Kijken we nu naar de afgeleide van z(t)∙z(-t), dan vinden we d(z(t)∙z(-t))/dt = z'(t)∙z(-t) + z(t)∙z'(-t)∙(-1) = i∙z(t)∙z(-t) + z(t)∙i∙z(-t)∙(-1) = 0, zodat z(t)∙z(-t) constant is en wel gelijk aan z(0)∙z(0) = 1. Uit z(t)∙z(-t) = 1 en z(t)∙z*(t) = 1 volgt
z(-t) = z*(t)
oftewel
x(-t) = x(t) en y(-t) = -y(t),
zodat we kunnen concluderen dat x(t) een even functie en y(t) een oneven functie is. Is nu c een willekeurige reële constante, dan kunnen we door de afgeleide te bepalen van z(t)∙z(c - t) op dezelfde wijze constateren dat dit ook een constante moet zijn, en aangezien we voor t = 0 hebben z(0)∙z(c - 0) = 1∙z(c) = z(c) hebben we dus z(t)∙z(c - t) = z(c) voor elke reële c en t. Substitutie van t = α en c = α + β (en dus c - t = β) geeft dan
z(α)∙z(β) = z(α+β)
Bedenken we nu dat z(t) = x(t) + i∙y(t) met z'(t) = i∙z(t), z(0) = 1 een booglengteparametrisatie van de eenheidscirkel voorstelt en dat dus op grond van de conventionele definitie van de cosinus en de sinus aan de hand van de eenheidscirkel moet gelden x(t) = cos t en y(t) = sin t, dan zie je dat we alle belangrijke eigenschappen van de sinus en cosinus terug hebben gevonden: uit z(t)∙z*(t) = 1 volgt (cos t + i∙sin t)(cos t - i∙sin t) = 1 oftewel cos2t + sin2t = 1, uit z(-t) = z*(t) volgt cos(-t) = cos t en sin(-t) = -sint, en z(α+β) = z(α)∙z(β) levert de additietheorema's voor cos(α+β) en sin(α+β). Merk nog op dat z'(t) = i∙z(t) impliceert dat z'(t) = z(t + ½π) aangezien i = z(½π) zodat ook x'(t) = x(t + ½π) en y'(t) = y(t + ½π) en dus d(cos t)/dt = cos(t + ½π) = -sin t en d(sin t)/dt = sin(t + ½π) = cos t. Zo zie je waarom je na viermaal differentiëren van cos t of sin t weer terug bent bij de oorspronkelijke functie, omdat cos t en sin t een periode 2π = 4∙½π hebben.
Nu zul je misschien zeggen, goed dat is allemaal interessant en mooi om de formules voor cos(α+β) en sin(α+β) te onthouden, maar zo heb ik het op school niet geleerd. Kan het ook zonder complexe getallen? Ja, dat kan zeker, en dat zou in de schoolstof aan bod moeten komen, maar ik heb de indruk dat dat niet goed meer of wellicht helemaal niet meer wordt uitgelegd. Er is een bijzonder elegant en eenvoudig bewijs mogelijk voor de additietheorema's met behulp van vectoren en uitgaande van de definitie van de cosinus en de sinus aan de hand van de eenheidscirkel waarvoor geen kennis buiten de normale schoolstof is vereist. Dit bewijs heeft bovendien het belangrijke voordeel, in tegenstelling tot andere meetkundige bewijzen die ik heb gezien, dat het geldig is voor willekeurige hoeken (rotaties) zowel in positieve als in negatieve zin. Als je dit bewijs wil bestuderen (aanbevolen) dan kun je het hier vinden.
Goed, we hebben nu het analogon cos2φ + sin2φ = 1 van de stelling van Pythagoras gezien, we begrijpen dat de cosinus een even functie is en de sinus een oneven functie, en we hebben de additietheorema's voor cos(α+β) en sin(α+β) gezien. En eigenlijk is dit alles wat je echt nodig hebt, alle andere goniometrische identiteiten laten zich hieruit afleiden. Aangezien α - β = α + (-β) en cos(-β) = cos β en sin(-β) = -sin β vind je met de formules voor cos(α+β) en sin(α+β) gemakkelijk dat ook geldt:
cos(α-β) = cos α∙cos β + sin α∙sin β
sin(α-β) = sin α∙cos β - cos α∙sin β
Stel je β = α in de formules voor cos(α+β) en sin(α+β), dan vind je de formules voor de dubbele hoek:
cos 2α = cos2α - sin2α
sin 2α = 2∙sinα∙cosα
In de formule voor cos 2α zie je kwadraten cos2α en sin2α verschijnen, die we ook hebben in cos2α + sin2α = 1. Dat betekent dat we hier cos2α = 1 - sin2α óf sin2α = 1 - cos2α kunnen substitueren, zodat we nog twee formules voor cos 2α krijgen, namelijk:
cos 2α = 2∙cos2α - 1
cos 2α = 1 - 2∙sin2α
Het nut van deze twee extra formules is vooral dat je hiermee een kwadraat van een cosinus of sinus kunt uitdrukken in de cosinus van de dubbele hoek, als volgt:
cos2α = ½(1 + cos 2α)
sin2α = ½(1 - cos 2α)
Deze formules komen van pas bij de integraalrekening.
Uit de formules de sinus en cosinus van de som en het verschil van twee hoeken kun je ook weer formules afleiden om een som of verschil van twee sinussen of cosinussen om te zetten in een product, of omgekeerd. Tellen we bijvoorbeeld de formules voor cos(α+β) en cos(α-β) bij elkaar op, dan krijgen we:
cos(α+β) + cos(α-β) = 2∙cosα∙cosβ
Stellen we nu α + β = θ en α - β = φ, dan is α = ½(θ + φ) en β = ½(θ - φ) en hebben we dus:
cos θ + cos φ = 2∙cos½(θ + φ)∙cos½(θ - φ)
Op analoge wijze kun je ook formules voor cos θ - cos φ, sin θ + sin φ en sin θ - sin φ afleiden. Dit zijn de regels van Simpson (soms ook de formules van Mollweide genoemd).
Formules voor de sinus of cosinus van de drievoudige hoek komen ook wel eens van pas (casus irreducibilis bij kubische vergelijkingen!). Deze kun je afleiden uit de additietheorema's door uit te gaan van cos 3α = cos(2α + α) en sin 3α = sin(2α + α) en dan uit te werken en de reeds gekende formules voor cos 2α en sin 2α te substitueren. Maar het kan ook eleganter en eenvoudiger met De Moivre. Nemen we n = 3 in de formule van De Moivre, dan krijgen we:
cos 3φ + i∙sin 3φ = (cos + i∙sin φ)3
Uitwerken met behulp van het merkwaardig product (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 geeft:
cos 3φ + i∙sin 3φ = cos3φ + 3∙i∙cos2φ∙sinφ + 3∙i2cosφ∙sin2φ + i3∙sin3φ
cos 3φ + i∙sin 3φ = (cos3φ - 3∙cosφ∙sin2φ) + i∙(3∙cos2φ∙sinφ - sin3φ)
cos 3φ + i∙sin 3φ = (cos3φ - 3∙cosφ + 3∙cos3φ) + i∙(3∙sinφ - 3∙sin3φ - sin3φ)
En dus vinden we door gelijkstelling van de reële en imaginaire delen:
cos 3φ = 4∙cos3φ - 3∙cosφ
sin 3φ = 3∙sinφ - 4∙sin3φ
Tot nu toe hebben we alleen gekeken naar de sinus en cosinus, maar je hebt natuurlijk ook nog de tangens, cotangens, secans en cosecans die als volgt zijn gerelateerd aan de sinus en cosinus:
tan α = sin α/cos α, cot α = cos α/sin α, sec α = 1/cos α, csc α = 1/sin α
Er bestaan nog veel meer goniometrische functies zoals de sinus versus (versin), cosinus versus (coversin), halve sinus versus (haversin), halve cosinus versus (hacoversin), exsecans (exsec), excosecans (excsc) en niet te vergeten de koorde (crd α = 2∙sin ½α), maar die zul je wel zelden of nooit meer tegenkomen, tenzij je je gaat specialiseren in historische wiskunde.
Uiteraard laten alle goniometrische identiteiten waarin een tangens, cotangens, secans of cosecans voorkomt zich herleiden uit de basisidentiteiten voor de sinus en cosinus. Delen we bijvoorbeeld de leden van de identiteit cos2α + sin2α = 1 door cos2α en door sin2α dan krijgen we respectievelijk:
1 + tan2α = sec2α
cot2α + 1 = csc2α
En willen we bijvoorbeeld formules afleiden voor tan(α+β) en tan(α-β) dan gaan we uit van tan(α+β) = sin(α+β)/cos(α+β) en tan(α-β) = sin(α-β)/cos(α-β) en vinden we na substitutie van de uitdrukkingen voor sin(α+β), cos(α+β), sin(α-β) en cos(α-β) en deling van teller en noemer van de breuken door cosα∙cosβ dat
tan(α+β) = (tan α + tan β)/(1 - tan α∙tan β)
tan(α-β) = (tan α - tan β)/(1 + tan α∙tan β)
En door β = α te stellen in de formule voor tan(α+β) krijgen we nog:
tan 2α = 2∙tan α/(1 - tan2α)
Uiteraard hadden we de formule voor de tangens van de dubbele hoek ook kunnen verkrijgen uit tan 2α = sin 2α/cos 2α. Nuttig is nog dat we sin 2α en cos 2α ook uitsluitend in tan α uit kunnen drukken. Delen we de reeds gevonden uitdrukkingen door cos2α + sin2α (waardoor er dus niets verandert, aangezien dit gelijk is aan 1), dan hebben we cos 2α = (cos2α - sin2α)/(cos2α + sin2α) en sin 2α = 2∙sin α∙cos α/(cos2α + sin2α). Delen van teller en noemer van de breuken door cos2α geeft dan:
cos 2α = (1 - tan2α)/(1 + tan2α)
sin 2α = 2∙tan α/(1 + tan2α)
Stellen we nu α = ½φ en dus 2α = φ, en
t = tan ½φ
dan hebben we
cos φ = (1 - t2)/(1 + t2), sin φ = 2t/(1 + t2), tan φ = 2t/(1 - t2),
terwijl uit t = tan ½φ ook volgt dt/dφ = ½(1 + tan2½φ) = ½(1 + t2) en dus
dφ = 2dt/(1 + t2)
Dit zijn de bekende substitutieformules voor de tangens van de halve hoek, ook bekend als de Weierstraß substitutie, die je kunt gebruiken voor het herleiden van integralen waarbij de integrand een rationale functie van sinus en cosinus is.
Dit is natuurlijk maar een kleine greep uit de enorme hoeveelheid goniometrische identiteiten. Voor een overzicht kun je hier of (uitgebreider) hier kijken.
@Riparius
@Xero
Na een tijdje merk je dat er steeds weer dezelfde truucjes worden gebruikt in een ietwat gewijzigde vorm.
[ Bericht 40% gewijzigd door Bram_van_Loon op 23-06-2012 12:09:51 ]
Het probleem zal eerder de zwakke beheersing van de 'algebraïsche' fundamenten zijn. Dat heb ik gemerkt bij een ingangstest/instaptoets of hoe je het ook wil noemen. De meeste vragen testten slechts 1 fundament, je wil niet weten hoeveel personen een onvoldoende behaalden. Bij calculus bleek eveneens dat studenten vastliepen doordat ze de fundamenten niet beheersten. Nu waren niet al deze studenten goede VWO-leerlingen maar ook een aanzienlijk deel van de studenten die dat wel waren hadden hier problemen mee.quote:Dat lijkt me nogal meevallen. Elke goede VWO leerling die die zogeheten 'voortgezette integraalrekening' heeft gevolgd is bekend met zaken als breuksplitsing en de substitutiemethode en zou dus, met wat hulp, in staat moeten worden geacht iets als 1/cos φ te primitiveren.
@Xero
Dat is herkenbaar.quote:Ik weet nog dat ik goniometrie ook lastig vond, met name het bewijzen van goniometrische identiteiten. Sinds de middelbare school heb ik er niks aan gedaan, maar nu vind ik die sommetjes juist heel erg eenvoudig. Volgens mij was het probleem vooral dat ik niet in één keer kon zien dat een bepaalde identiteit gold, waardoor je direct dacht van "ik snap het niet". Terwijl, als je gewoon domweg wat identiteiten toepast kom je er bij die sommen zo'n beetje automatisch.
Na een tijdje merk je dat er steeds weer dezelfde truucjes worden gebruikt in een ietwat gewijzigde vorm.
Ja en nee. Die koordenvierhoeken en congruentie zijn stof voor de eerste paar jaar van het VWO (congruentie was vroeger trouwens ook MAVO-stof). De meetkunde die bij wiskunde D wordt gegeven zou daarentegen juist wel bij wiskunde B moeten worden gegeven.quote:Maar goed, gonio en meetkunde is allemaal leuk en aardig om mee te oefenen, maar wel een beetje overrated op de middelbare school naar mijn mening.
[ Bericht 40% gewijzigd door Bram_van_Loon op 23-06-2012 12:09:51 ]
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
Voor wie het interesseert, hier kan je de complete zomercursus van de KULeuven krijgen: http://set.kuleuven.be/ap(...)modules_wiskunde.php
Je moet wel eventjes je e-mailadres opgeven zodat het wordt opgestuurd, je kan het niet direct downloaden.
Je kan ook twee testjes afleggen waarmee wordt ingeschat of dat je basis goed genoeg is om te starten met een opleiding waarbinnen wiskunde een wat prominentere rol speelt. http://www.kuleuven-kulak(...)zomercursus-wiskunde
Je moet wel eventjes je e-mailadres opgeven zodat het wordt opgestuurd, je kan het niet direct downloaden.
Je kan ook twee testjes afleggen waarmee wordt ingeschat of dat je basis goed genoeg is om te starten met een opleiding waarbinnen wiskunde een wat prominentere rol speelt. http://www.kuleuven-kulak(...)zomercursus-wiskunde
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
Het is te merken dat je geheugen goed is.quote:
[..]
Ik heb ze nooit echt uit het hoofd geleerd, en dat zou ik je ook niet aanraden. Maar ik ben wel gezegend met een goed geheugen, en ik ken ze gewoon al van jongs af aan (en dat is echt heel lang geleden). Belangrijk is vooral dat je inzicht hebt (of krijgt) in de reden waarom die identiteiten zijn zoals ze zijn.
Ik vind het nu wel jammer dat ik pas sedert vorig schooljaar me wat meer op wiskunde ben gaan focussen, op het vwo (of VWO) was ik er altijd al goed in, zonder ook maar enige verdieping te zoeken tot dit schooljaar.Verder bevat jouw post meer goniometrie dan dat ik met 3 jaar wiskunde wiskunde B heb gekregen. Geeft wel aan hoe magertjes het wiskunde onderwijs op het vwo is in Nederland, als er een maand voor (Briggse) logaritmen wordt uitgetrokken.
[ Bericht 0% gewijzigd door Amoeba op 23-06-2012 14:12:55 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
(Latex kan niet op fok?)
Hoe laat ik zien dat:
gelijk is aan
Achtergrond: beiden zijn uitdrukkingen voor het aantal blokken in een t-(v,k,lambda) design (X, B) dat geen punten overeenkomt met een j-subset van X, J.
De eerste uitdrukking komt van een dubbeltelargument het tweede van het gebruik van het principe van inclusie exclusie. Dit is het enige wat ik me nog afvraag, hoe je ze omschrijft in elkaar.
[ Bericht 15% gewijzigd door Oneironaut op 23-06-2012 15:43:09 ]
Hoe laat ik zien dat:
gelijk is aan
Achtergrond: beiden zijn uitdrukkingen voor het aantal blokken in een t-(v,k,lambda) design (X, B) dat geen punten overeenkomt met een j-subset van X, J.
De eerste uitdrukking komt van een dubbeltelargument het tweede van het gebruik van het principe van inclusie exclusie. Dit is het enige wat ik me nog afvraag, hoe je ze omschrijft in elkaar.
[ Bericht 15% gewijzigd door Oneironaut op 23-06-2012 15:43:09 ]
LaTeX kan wel, dan moet je het tussen
zetten. Dan zal het al een stuk leesbaarder zijn.
Als ik het goed begrijp vraag je om een algebraïsch bewijs?
| 1 | [tex] [/tex] |
Als ik het goed begrijp vraag je om een algebraïsch bewijs?
Thanks. Ge-edit. Ja algebraisch inderdaad, want combinatorisch heb ik dus eigenlijk al.quote:
LaTeX kan wel, dan moet je het tussen
[ code verwijderd ]
zetten. Dan zal het al een stuk leesbaarder zijn.
Als ik het goed begrijp vraag je om een algebraïsch bewijs?
Hulde!quote:
Die post over Euler's formule had ik al opgeslagen inderdaad, die komt inderdaad erg goed van pas bij goniometrische identiteiten!Deze ga ik ook even opslaan en vanmiddag nog eens lezen
Sowieso print ik wel meer posts van Rip uit om in een mapje te stoppen.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Een jaartje posts opsparen en je kan een hele bundel op de markt brengenquote:
Sowieso print ik wel meer posts van Rip uit om in een mapje te stoppen.
Die post over de Mercatorprojectie op pagina 3 of 4 ligt al ergens boven.quote:
[..]
Een jaartje posts opsparen en je kan een hele bundel op de markt brengen
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Waar kan ik pre-orderen?quote:
[..]
Een jaartje posts opsparen en je kan een hele bundel op de markt brengen
Ik heb nog een jaar de tijd om het op te zetten. Maar uiteraard moet ik dan wel een contract met onze auteur aangaan, die gaarne een centje mee wil pakken (mag ik hopen voor hem).quote:
[..]
Ik wil ook graag pre-orderen, maar de site werkt niet mee...
En oja, het is trouwens onwaarschijnlijk dat we elkaar volgend schooljaar ontmoeten. De TU/e heeft geen ruimte voor een 6 vwo'er die reeds wiskunde B heeft afgesloten en gemotiveerd is om aan een aantal vakken te beginnen. kutzooi zeg.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Gegeven een samenhangende (lijn) gewogen graaf G(V,E) die 1 MST T(V,F) bevat.
Bewijs dat voor een lijn uv uit G-F geldt dat g(uv)>g(e) voor elke lijn e in het u,v-pad in T.
--------
Aangezien een lijn e op het u,v-pad in T ligt is e een element van F en E. Hieruit volgt dat e geen element is van de verzameling E \ F. Een willekeurige lijn uv uit G - F is per assumptie geen element van F, en ligt daardoor ook niet op het u,v-pad in T.
g(uv)>g(e) geldt in deze situatie altijd, aangezien e onderdeel is van de MST en uv niet, alleen hoe bewijs ik dat accuraat en volledig in de algemeenheid?
Bewijs dat voor een lijn uv uit G-F geldt dat g(uv)>g(e) voor elke lijn e in het u,v-pad in T.
--------
Aangezien een lijn e op het u,v-pad in T ligt is e een element van F en E. Hieruit volgt dat e geen element is van de verzameling E \ F. Een willekeurige lijn uv uit G - F is per assumptie geen element van F, en ligt daardoor ook niet op het u,v-pad in T.
g(uv)>g(e) geldt in deze situatie altijd, aangezien e onderdeel is van de MST en uv niet, alleen hoe bewijs ik dat accuraat en volledig in de algemeenheid?
quote:
[..]
Ik heb nog een jaar de tijd om het op te zetten. Maar uiteraard moet ik dan wel een contract met onze auteur aangaan, die gaarne een centje mee wil pakken (mag ik hopen voor hem).
En oja, het is trouwens onwaarschijnlijk dat we elkaar volgend schooljaar ontmoeten. De TU/e heeft geen ruimte voor een 6 vwo'er die reeds wiskunde B heeft afgesloten en gemotiveerd is om aan een aantal vakken te beginnen. kutzooi zeg.
O, dat is saai! En dat terwijl er maar 44 mensen ingeschreven staan voor TW dit jaar.. Wat was de reden van de TU/e om je niet aan te nemen? Is een diploma verplicht? Of moet je alle bètavakken afgerond hebben?
Ach, als goed is, zit ik er volgend jaar ook nog
26"
Fading slowly.
Fading slowly.
Ik wil prestuderen. Ik wil sowieso met een vwo diploma van school gaan, mocht ik onverhoopt de TU/e niet halen (als ik direct fulltime ga studeren, wat ik ook sowieso nog niet moet doen) dan heb ik nog iets om op terug te vallen. Een N&T vwo diploma geeft recht op toegang tot veel studies, dus altijd handig om op zak te hebben.quote:
[..]
O, dat is saai! En dat terwijl er maar 44 mensen ingeschreven staan voor TW dit jaar.. Wat was de reden van de TU/e om je niet aan te nemen? Is een diploma verplicht? Of moet je alle bètavakken afgerond hebben?
Ach, als goed is, zit ik er volgend jaar ook nog
Iets met bachelors omgooien, daardoor gaat waarschijnlijk het traject niet van start, aldus PUC. Nouja, dan nog maar een jaartje vwo zonder TU.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Gewoon aanschuiven bij de hoorcolleges. Niemand die het doorheeft dat je niet officieel staat ingeschrevenquote:
[..]
Ik heb nog een jaar de tijd om het op te zetten. Maar uiteraard moet ik dan wel een contract met onze auteur aangaan, die gaarne een centje mee wil pakken (mag ik hopen voor hem).
En oja, het is trouwens onwaarschijnlijk dat we elkaar volgend schooljaar ontmoeten. De TU/e heeft geen ruimte voor een 6 vwo'er die reeds wiskunde B heeft afgesloten en gemotiveerd is om aan een aantal vakken te beginnen. kutzooi zeg.
.
Dan moet ik wel een roostervrije dag krijgen. Voor Technische Wiskunde, is daar veel natuurkunde voor nodig? Ik zuig namelijk best wel hard in natuurkunde.quote:
[..]
Gewoon aanschuiven bij de hoorcolleges. Niemand die het doorheeft dat je niet officieel staat ingeschreven
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Het lijkt mij dat eerste jaars TW gewoon calculus en lineaire algebra omvat. Daar kan je mee beginnen en dat vereist geen natuurkundekennis. (misschien dat ze hier en daar een toepassing zullen noemen als uitstapje)quote:
[..]
Dan moet ik wel een roostervrije dag krijgen. Voor Technische Wiskunde, is daar veel natuurkunde voor nodig? Ik zuig namelijk best wel hard in natuurkunde.
Je kan ook het materiaal vast kopen wat ze op de uni gebruiken en zelfstandig daarin gaan werken. Als je vastloopt heb je dit forum.
Waarom doe je niet gewoon dit http://ocw.mit.edu/courses/ocw-scholar/
Single + multivariabele calculus
Differentiaalvergelijkingen
Lineaire Algebra
Fysica 1 en 2
Single + multivariabele calculus
Differentiaalvergelijkingen
Lineaire Algebra
Fysica 1 en 2
Je zou anders e kunnen weghalen uit T en uv eraan kunnen toevoegen. Dan heb je een ST die minimaler is dan T.quote:
Gegeven een samenhangende (lijn) gewogen graaf G(V,E) die 1 MST T(V,F) bevat.
Bewijs dat voor een lijn uv uit G-F geldt dat g(uv)>g(e) voor elke lijn e in het u,v-pad in T.
--------
Aangezien een lijn e op het u,v-pad in T ligt is e een element van F en E. Hieruit volgt dat e geen element is van de verzameling E \ F. Een willekeurige lijn uv uit G - F is per assumptie geen element van F, en ligt daardoor ook niet op het u,v-pad in T.
g(uv)>g(e) geldt in deze situatie altijd, aangezien e onderdeel is van de MST en uv niet, alleen hoe bewijs ik dat accuraat en volledig in de algemeenheid?
Wat zijn de periode en vergelijking van de snijpunten met de x-as van cos(2*pi*x + pi/2)?
Ik kom uit op periode 1 en x = k/2 voor iedere gehele waarde k, het boek zegt x = k.
Ik kom uit op periode 1 en x = k/2 voor iedere gehele waarde k, het boek zegt x = k.
SPOILER: ToelichtingOm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt."Social order at the expense of liberty is hardly a bargain."
cos(2πx + π/2) = cos(2π(x+1/4))
De grafiek van de rechterkant krijg je door de grafiek van cos(2πx) een kwart naar links op te schuiven. De periode is 1, dus je verschuift de cosinus een kwart periode naar links. Als je een cosinus een kwart periode naar links verschuift krijg je een -sinus. Dus
cos(2π(x+1/4)) = -sin(2πx)
sin(x) = 0 heeft als oplossing x=kπ. Dus sin(2πx)=0 heeft als oplossing x = k/2 . Ik krijg dus hetzelfde als jij .
De grafiek van de rechterkant krijg je door de grafiek van cos(2πx) een kwart naar links op te schuiven. De periode is 1, dus je verschuift de cosinus een kwart periode naar links. Als je een cosinus een kwart periode naar links verschuift krijg je een -sinus. Dus
cos(2π(x+1/4)) = -sin(2πx)
sin(x) = 0 heeft als oplossing x=kπ. Dus sin(2πx)=0 heeft als oplossing x = k/2 . Ik krijg dus hetzelfde als jij
.
cos(2πx + ½π ) = 0
2πx + ½π = ½π + 2kπ
ofwel x= k
Zo staat het in ieder geval beschreven. Maar ze houden er vast geen rekening mee dat de cosinus 2x 0 is in een periode.
Want 2πx+½π = 1½π +2kπ
[ Bericht 24% gewijzigd door Amoeba op 23-06-2012 18:00:18 ]
2πx + ½π = ½π + 2kπ
ofwel x= k
Zo staat het in ieder geval beschreven. Maar ze houden er vast geen rekening mee dat de cosinus 2x 0 is in een periode.
Want 2πx+½π = 1½π +2kπ
[ Bericht 24% gewijzigd door Amoeba op 23-06-2012 18:00:18 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Als g(e)=g(uv) voor een bepaalde e, dan krijg je twee MST's, een die uv bevat, en een die e bevat.quote:
[..]
Je zou anders e kunnen weghalen uit T en uv eraan kunnen toevoegen. Dan heb je een ST die minimaler is dan T.
Als g(e)>g(uv), dan e uit T en uv in T.
Denk dat ik daar dan maar iets mee ga doen
Maak je niet druk. Je kan gewoon alvast wat boeken kopen of downloaden die ze daar of aan een andere universiteit gebruiken. Grotendeels zal je het toch zelf moeten doen, ook als je daar gaat studeren.quote:En oja, het is trouwens onwaarschijnlijk dat we elkaar volgend schooljaar ontmoeten. De TU/e heeft geen ruimte voor een 6 vwo'er die reeds wiskunde B heeft afgesloten en gemotiveerd is om aan een aantal vakken te beginnen. kutzooi zeg.
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
Waarom technische wiskunde? Je kunt ook theoretische doenquote:
[..]
Dan moet ik wel een roostervrije dag krijgen. Voor Technische Wiskunde, is daar veel natuurkunde voor nodig? Ik zuig namelijk best wel hard in natuurkunde.
.
Croce e delizia cor. Misterioso, Misterioso altero, croce e delizia al cor.
Je hebt ook heel veel gratis dictaten die gewoon op de internet staan.quote:
[..]
Maak je niet druk. Je kan gewoon alvast wat boeken kopen of downloaden die ze daar of aan een andere universiteit gebruiken. Grotendeels zal je het toch zelf moeten doen, ook als je daar gaat studeren.
Croce e delizia cor. Misterioso, Misterioso altero, croce e delizia al cor.
Dat was al ooit aan bod gekomen. Eindhoven ligt dichtbij, evenals Nijmegen. Wiskunde en technische wiskunde zijn beide een optie, maar toch trekt de technische kant mij meer.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Verder weg studeren is voor jou geen optie omdat je liever thuis wil blijven wonen? Ik weet niet hoe de kwaliteit eventueel verschilt tussen de Nederlandse universiteiten maar het schijnt sowieso bij wiskunde zo te zijn dat de specialisaties sterk verschillen.
http://websites.math.leidenuniv.nl/algebra/
Amoeba, hier ben je vast wel eventjes zoet mee.
Zoek wat en je zal nog veel meer vinden maar maak wel af waar je mee begint.
Dat ook ja. De universiteit Leiden heeft bijv. wat dictaten die daar voor algebra worden gebruikt.quote:Je hebt ook heel veel gratis dictaten die gewoon op de internet staan.
http://websites.math.leidenuniv.nl/algebra/
Amoeba, hier ben je vast wel eventjes zoet mee.
Zoek wat en je zal nog veel meer vinden maar maak wel af waar je mee begint.
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
Ik wil in de vakantie m'n literatuurlijst wat bijwerken en vooral veel wiskunde. Een paar hoofdstukken wiskunde D, en zo'n dictaat bestuderen.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Hoi,
Graag wil ik een vraag stellen over het volgende:
Een miligram koolstof kun je nog net zien. Het is een schraapseltje van een potloodpunt. Een koolstofatoom heeft een massa van 2*10^-26 kg.
Hoeveel atomen bevat een milligram koolstof?
De aarde heeft een straal van 6000 km. Hoeveel koolstof atomen uit die milligram kunnen we op elke vierkante meter van het aardoppervlak leggen?
Het antwoord op de eerste vraag weet ik al, want dat is gewoon van kilo naar miligram rekenen.
.
Maar die tweede vraag lukt me niet. Ik had wel de omtrek berekend van de aarde dus 2*Pi*6000= 12000 Pi. Dus 12000 is de omtrek toch? Maar verder dan dit kom ik nog niet . Kan iemand me helpen? Graag wacht ik op uw reactie. Alvast bedankt voor uw antwoord.
Groet,
superky
Graag wil ik een vraag stellen over het volgende:
Een miligram koolstof kun je nog net zien. Het is een schraapseltje van een potloodpunt. Een koolstofatoom heeft een massa van 2*10^-26 kg.
Hoeveel atomen bevat een milligram koolstof?
De aarde heeft een straal van 6000 km. Hoeveel koolstof atomen uit die milligram kunnen we op elke vierkante meter van het aardoppervlak leggen?
Het antwoord op de eerste vraag weet ik al, want dat is gewoon van kilo naar miligram rekenen.
Maar die tweede vraag lukt me niet
. Ik had wel de omtrek berekend van de aarde dus 2*Pi*6000= 12000 Pi. Dus 12000 is de omtrek toch? Maar verder dan dit kom ik nog niet . Kan iemand me helpen? Graag wacht ik op uw reactie. Alvast bedankt voor uw antwoord.Groet,
superky
Je wil nu het oppervlak van de aardbol weten, niet de omtrek.
En dat wordt gegeven door 4πr2
En verder moet je eens vragen wat ze precies vragen. Je geeft namelijk tóch een verkeerd antwoord.
[ Bericht 32% gewijzigd door Amoeba op 23-06-2012 19:27:06 ]
En dat wordt gegeven door 4πr2
En verder moet je eens vragen wat ze precies vragen. Je geeft namelijk tóch een verkeerd antwoord.
[ Bericht 32% gewijzigd door Amoeba op 23-06-2012 19:27:06 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Tja, bij technische wiskunde mis je denk ik wel pareltjes als topologie en maattheorie.quote:
[..]
Waarom technische wiskunde? Je kunt ook theoretische doen
Jij studeert theoretische wiskunde?quote:
[..]
Tja, bij technische wiskunde mis je denk ik wel pareltjes als topologie en maattheorie.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Je brengt me toch wel erg aan het twijfelen. Maar met een studie theoretische wiskunde het bedrijfsleven ingaan is ook makkelijk?quote:
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Bij TW (op de TU/e) volg je alleen Mechanica I als natuurkundevak. Geen moeilijk vak (in principe alleen herhaling van vwo-stof), maar toch hadden veel wiskundestudenten er moeite mee.quote:
[..]
Dan moet ik wel een roostervrije dag krijgen. Voor Technische Wiskunde, is daar veel natuurkunde voor nodig? Ik zuig namelijk best wel hard in natuurkunde.
The biggest argument against democracy is a five minute discussion with the average voter.
Ah, maattheorie wordt ook netjes gegeven aan de TU/e.quote:
[..]
Je brengt me toch wel erg aan het twijfelen. Maar met een studie theoretische wiskunde het bedrijfsleven ingaan is ook makkelijk?
Zie hier , bij Keuzepakket Voortgezette Stochastiek (15 sp). "Topologie en meetkunde" en "getaltheorie" zit in keuzepakket Utrecht, dus dan sprokkel je ook nog wat theoretische vakken mee. Degelijke analyse en functionaalanalyse kan je ook nog kiezen aan de TU zie ik. En aan toegepaste vakken kan je zo'n beetje alles doen wat je maar kan bedenken.
TW lijkt me dus zeker geen slechte keuze. Uiteindelijk zal het niet zoveel uitmaken wat voor bachelor je doet, de overlap is erg groot. Het lijkt me wel aan te raden dat je met zoveel mogelijk wiskunde vakgebieden in aanraking komt in je bachelor, dan merk je vanzelf wat je het leukste vindt zodat je de juiste master kan kiezen.
Oh, en theoretische vakken doe je eigenlijk alleen maar omdat het mooi is of omdat het duidelijk de fundamenten neerlegt die je bij toegepaste vakken alleen maar gebruikt (en niet direct voor een baan in het bedrijfsleven). Maar als daar echt je passie in zit (wat ik me bij jou nog wel kan voorstellen als ik je posts zo zie) en er goed in bent, kan je natuurlijk nog wel die kant op in de academische wereld (Phd, postdoc, professor, etc
).[ Bericht 7% gewijzigd door thenxero op 23-06-2012 19:49:03 ]
Je vergeet Groepen-, Ringen-, Galois- en Getaltheorie.quote:
[..]
Tja, bij technische wiskunde mis je denk ik wel pareltjes als topologie en maattheorie.
Croce e delizia cor. Misterioso, Misterioso altero, croce e delizia al cor.
Klopt, die vind je niet terug in het keuzepakket van TU/e. (ik was ze niet vergeten maar het waren niet mijn favorieten, laat ik het zo zeggen)quote:
[..]
Je vergeet Groepen-, Ringen- , Galois- en Getaltheorie.
De wiskunde an sich boeit mij, ofwel het theoretische gedeelte. Maar om later toch een mooi baantje te krijgen zal men er toch ook wat mee moeten kunnen, daarom overwoog ik Technische Wiskunde.quote:
[..]
Ah, maattheorie wordt ook netjes gegeven aan de TU/e.
Zie hier , bij Keuzepakket Voortgezette Stochastiek (15 sp). "Topologie en meetkunde" en "getaltheorie" zit in keuzepakket Utrecht, dus dan sprokkel je ook nog wat theoretische vakken mee. Degelijke analyse en functionaalanalyse kan je ook nog kiezen aan de TU zie ik. En aan toegepaste vakken kan je zo'n beetje alles doen wat je maar kan bedenken.
TW lijkt me dus zeker geen slechte keuze. Uiteindelijk zal het niet zoveel uitmaken wat voor bachelor je doet, de overlap is erg groot. Het lijkt me wel aan te raden dat je met zoveel mogelijk wiskunde vakgebieden in aanraking komt in je bachelor, dan merk je vanzelf wat je het leukste vindt zodat je de juiste master kan kiezen.
Oh, en theoretische vakken doe je eigenlijk alleen maar omdat het mooi is of omdat het duidelijk de fundamenten neerlegt die je bij toegepaste vakken alleen maar gebruikt (en niet direct voor een baan in het bedrijfsleven). Maar als daar echt je passie in zit (wat ik me bij jou nog wel kan voorstellen als ik je posts zo zie) en er goed in bent, kan je natuurlijk nog wel die kant op in de academische wereld (Phd, postdoc, professor, etc
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Oh oke, puur voor de baan hoef je het niet te doen. Uiteindelijk zal je (denk ik) toch een master doen. Het is veel meer van belang wat je dan gaat uitspoken. Er zijn zat toegepaste vakken te kiezen, en je kan in je master ook ruim een half jaar stage lopen bij een bedrijf (bij theoretische wiskunde). Dan heb je je dosis praktijk ook wel gehad.quote:
[..]
De wiskunde an sich boeit mij, ofwel het theoretische gedeelte. Maar om later toch een mooi baantje te krijgen zal men er toch ook wat mee moeten kunnen, daarom overwoog ik Technische Wiskunde.
Dus je raadt mij aan toch theoretische wiskunde te proberen?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
@Amoeba: ik beantwoord je vraag maar even hier, want dan hebben anderen er misschien ook (ooit) nog eens iets aan.
Probleem: primitiveer sin4x
Oplossing: we maken gebruik van de identiteiten sin2α = ½(1 - cos 2α) en cos2α = ½(1 + cos 2α)
sin4x = (½∙(1 - cos 2x))2
sin4x = ¼∙(1 - 2∙cos 2x + cos22x)
sin4x = ¼∙(1 - 2∙cos 2x + ½(1 + cos 4x))
sin4x = ¼∙(1 - 2∙cos 2x + ½ + ½∙cos 4x)
sin4x = ¼ - ½∙cos 2x + 1/8 + 1/8∙cos 4x
sin4x = 3/8 - ½∙cos 2x + 1/8∙cos 4x
Ergo:
∫ sin4x∙dx = ∫ (3/8 - ½∙cos 2x + 1/8∙cos 4x)dx = 3/8∙x -¼∙sin 2x + 1/32∙sin 4x + C
Probleem: primitiveer sin4x
Oplossing: we maken gebruik van de identiteiten sin2α = ½(1 - cos 2α) en cos2α = ½(1 + cos 2α)
sin4x = (½∙(1 - cos 2x))2
sin4x = ¼∙(1 - 2∙cos 2x + cos22x)
sin4x = ¼∙(1 - 2∙cos 2x + ½(1 + cos 4x))
sin4x = ¼∙(1 - 2∙cos 2x + ½ + ½∙cos 4x)
sin4x = ¼ - ½∙cos 2x + 1/8 + 1/8∙cos 4x
sin4x = 3/8 - ½∙cos 2x + 1/8∙cos 4x
Ergo:
∫ sin4x∙dx = ∫ (3/8 - ½∙cos 2x + 1/8∙cos 4x)dx = 3/8∙x -¼∙sin 2x + 1/32∙sin 4x + C
Super, misschien zou je het aan mijn wiskunde docent uit willen leggen?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Waarom? Print de post maar even uit, lijkt me duidelijk. En ja, zeg maar tegen die docent dat hij z'n goniometrische identiteiten moet kennen.quote:
Super, misschien zou je het aan mijn wiskunde docent uit willen leggen?
O ja, en voor ∫ sinnxdx kun je in de leer bij .
Was een geintje.. Ik doelde er eigenlijk op dat het niet mijn vraag was aangezien ik het via de reductie formule had gedaan, maar zijn vraag.
Alhoewel ik op een vorm van:
[tex] \frac{1}{8}(3x - 2cos(x)sin^3(x) - 3sin(\frac{1}{2}x))[/tex]
uitkwam.
Maar dat was in de haast zonder het even na te kijken. Volgens mij klopt dit nml even niet.
[ Bericht 43% gewijzigd door Amoeba op 23-06-2012 20:33:16 ]
Alhoewel ik op een vorm van:
[tex] \frac{1}{8}(3x - 2cos(x)sin^3(x) - 3sin(\frac{1}{2}x))[/tex]
uitkwam.
Maar dat was in de haast zonder het even na te kijken. Volgens mij klopt dit nml even niet.
[ Bericht 43% gewijzigd door Amoeba op 23-06-2012 20:33:16 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Graag wil ik nog één vraagje stellen over het volgende:
Het wereldrecord op de 100 m hardlopen is kort geleden gebracht op 9,79 s. Heeft de atleet op enig moment gedurende zijn race met een snelheid groter dan 40 km per uur gelopen?
Ik weet al dat een snelheid van 1 meter per seconde overeen komt met een snelheid van 3,6 kilometer per uur. Maar hoe ik het daarna moet aanpakken weet ik niet. Ik kom nog intelligentie tekort... Kan iemand me weer helpen? Alvast bedankt voor uw antwoord
Het wereldrecord op de 100 m hardlopen is kort geleden gebracht op 9,79 s. Heeft de atleet op enig moment gedurende zijn race met een snelheid groter dan 40 km per uur gelopen?
Ik weet al dat een snelheid van 1 meter per seconde overeen komt met een snelheid van 3,6 kilometer per uur. Maar hoe ik het daarna moet aanpakken weet ik niet
. Ik kom nog intelligentie tekort... Kan iemand me weer helpen? Alvast bedankt voor uw antwoord
Als je jezelf nu bedenkt dat als hij constant 40 km/h zou lopen, zou hij dan in 9,79 seconden 100 meter gelopen hebben?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Dat is niet correct. Controleer maar even in WolframAlpha.quote:
Was een geintje.. Ik doelde er eigenlijk op dat het niet mijn vraag was aangezien ik het via de reductie formule had gedaan, maar zijn vraag.
Alhoewel ik op een vorm van:
uitkwam.
Ik denk dat je ervan uit mag/moet gaan dat zijn snelheid lineair stijgt, anders kan je het niet echt uitrekenen. Weet je wat over integralen/afgeleiden? Die heb je namelijk nodig.quote:
Graag wil ik nog één vraagje stellen over het volgende:
Het wereldrecord op de 100 m hardlopen is kort geleden gebracht op 9,79 s. Heeft de atleet op enig moment gedurende zijn race met een snelheid groter dan 40 km per uur gelopen?
Ik weet al dat een snelheid van 1 meter per seconde overeen komt met een snelheid van 3,6 kilometer per uur. Maar hoe ik het daarna moet aanpakken weet ik niet
Ja ik zag net ook al een foutje op papier staan. Mijn excuses.quote:
[..]
Dat is niet correct. Controleer maar even in WolframAlpha.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
40 km/h = 40/3,6 = 11,11 m/s * 9,79 is ongeveer 108,78. Dat schiet dus ook niet op.quote:
[..]
Ik denk dat je ervan uit mag/moet gaan dat zijn snelheid lineair stijgt, anders kan je het niet echt uitrekenen. Weet je wat over integralen/afgeleiden? Die heb je namelijk nodig.
Je vraagstelling is dus onvolledig, wat was de extra informatie?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Het ligt eraan wat je het meest trekt. Beide programma's zijn prima, en er is veel overlap zoals ik al zei... bij technische wiskunde wat meer nadruk op modelleren (wel nuttig want dat zal je in banen vaak gebruiken, maar wiskundig gezien misschien wat minder interessant), bij wiskunde wat meer nadruk op theorie (leuk maar vaak niet direct "nuttig").quote:
Dus je raadt mij aan toch theoretische wiskunde te proberen?
Dat lijkt me onrealistisch. Bovendien is dat niet uit de vraagstelling af te leiden. Gegeven is dat hij 9,79 sec. deed over 100 m zodat de gemiddelde snelheid dus ((100/9,79)*3600)/1000 km/h bedroeg, wat neerkomt op ca. 36,77 km/h. De vraag of hij op enig moment harder heeft gelopen dan 40 km/h is niet te beantwoorden.quote:
[..]
Ik denk dat je ervan uit mag/moet gaan dat zijn snelheid lineair stijgt, anders kan je het niet echt uitrekenen. Weet je wat over integralen/afgeleiden? Die heb je namelijk nodig.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 23-06-2012 21:02:57 ]
=
Ergo
Ik primitiveerde net sin2(x) met partieel integreren, toen kwam ik op:
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Nee, dat laatste klopt niet.quote:
=
Ergo
Ik primitiveerde net sin2(x) met partieel integreren, toen kwam ik op:uit, klopt dit?
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 23-06-2012 20:57:40 ]
Ah zo. Ik dacht dat je de integraal zelf via partieel integreren probeerde op te lossen, en niet met een kant en klare recursieve formule.quote:
Maar bedenk nu eerst maar eens hoe je sin2x primitiveert. Ken je identiteiten ...
Wat is daar fout aan? Ik kom weer op hetzelfde antwoord uit.
Zelfs WolframAlpha geeft me gelijk, enkel kon ik verder vereenvoudigen naar 1/2x -1/2cos(x)sin(x). Want sin(2x) = 2cos(x)sin(x)
Of bedoel je via partieel integreren? In dat geval ga ik nog eens aan het schrijven.
Zelfs WolframAlpha geeft me gelijk, enkel kon ik verder vereenvoudigen naar 1/2x -1/2cos(x)sin(x). Want sin(2x) = 2cos(x)sin(x)
Of bedoel je via partieel integreren? In dat geval ga ik nog eens aan het schrijven.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ach f*ck, ik schreef sin(1/2x) in plaats van sin(2x).
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Zo praten we een beetje langs elkaar heen. Toen ik hierboven zei dat je primitieve van sin2x niet klopte doelde ik op de uitdrukking die je daar geeft, en die is gewoon fout.quote:
Wat is daar fout aan? Ik kom weer op hetzelfde antwoord uit.
goeien foto van een Galaxy S3
Correct, mag ik hopen?
ik hoop dat jullie geen nekklachten krijgen
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ja, wel een beetje een rare notatie zo met die d'tjes.quote:
[ afbeelding ]
goeien foto van een Galaxy S3
Correct, mag ik hopen?
Wát?quote:
[..]
Ja, wel een beetje een rare notatie zo met die d'tjes.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Mij werd eigenlijk altijd aangeleerd dat het voor *de afgeleide van stond. Maar is het dan per definitie fout?quote:
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Nee, je eigen notatie gebruiken is nooit fout, hooguit onhandig voor andere lezers (alhoewel het hier wel duidelijk is). d/dx of een accentje is standaard.quote:
[..]
Mij werd eigenlijk altijd aangeleerd dat het voor *de afgeleide van stond. Maar is het dan per definitie fout?
jaquote:
[..]
Zo praten we een beetje langs elkaar heen. Toen ik hierboven zei dat je primitieve van sin2x niet klopte doelde ik op de uitdrukking die je daar geeft, en die is gewoon fout.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Je moet wel je haakjes correct gebruiken. En eigen notaties zijn niet altijd een goed idee, vooral niet als je niet consequent bent. De regel voor partieel integreren luidt symbolisch:quote:
[..]
Mij werd eigenlijk altijd aangeleerd dat het voor *de afgeleide van stond. Maar is het dan per definitie fout?
∫ u∙dv = u∙v - ∫ v∙du
Welnu, in jouw geval heb je u = sin(x), dv = sin(x)∙dx, en dus du = cos(x)∙dx, v = -cos(x). Dit geeft:
∫ sin(x)∙d(-cos(x)) = -sin(x)∙cos(x) - ∫ -cos(x)∙d(sin(x))
Fck it, ik geef je gelijk. Ik zal er op letten.quote:
[..]
Je moet wel je haakjes correct gebruiken. En eigen notaties zijn niet altijd een goed idee, vooral niet als je niet consequent bent. De regel voor partieel integreren luidt symbolisch:
∫ u∙dv = u∙v - ∫ v∙du
Welnu, in jouw geval heb je u = sin(x), dv = sin(x)∙dx, en dus du = cos(x)∙dx, v = -cos(x). Dit geeft:
∫ sin(x)∙d(-cos(x)) = -sin(x)∙cos(x) - ∫ -cos(x)∙d(sin(x))
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Afgeleiden ken ik en ook de regels (bijv. productregel, kettingregel, quotiëntregel etc.) Maar hoe pak ik het aan? Wat moet ik als eerst doen en wat daarna?quote:
[..]
Ik denk dat je ervan uit mag/moet gaan dat zijn snelheid lineair stijgt, anders kan je het niet echt uitrekenen. Weet je wat over integralen/afgeleiden? Die heb je namelijk nodig.
Ik zou zeggenquote:
[..]
∫ sin(x)∙d(-cos(x)) = -sin(x)∙cos(x) - ∫ -cos(x)∙d(sin(x))
∫ sin(x)∙(-cos(x))' dx = -sin(x)∙cos(x) - ∫ -cos(x)∙(sin(x))' dx
Moeilijk zo te zeggen... geef eens een voorbeeld waar je twijfelt over de volgorde.quote:
[..]
Afgeleiden ken ik en ook de regels (bijv. productregel, kettingregel, quotiëntregel etc.) Maar hoe pak ik het aan? Wat moet ik als eerst doen en wat daarna?
Heb je mijn opmerking hierboven niet gelezen? De vraag of de loper op enig moment sneller dan 40 km/h heeft gelopen is met de gegevens die je verstrekt niet te beantwoorden.quote:
[..]
Afgeleiden ken ik en ook de regels (bijv. productregel, kettingregel, quotiëntregel etc.) Maar hoe pak ik het aan? Wat moet ik als eerst doen en wat daarna?
| Forum Opties | |
|---|---|
| Forumhop: | |
| Hop naar: | |