[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Ja ik had het al.

En andersom is het een kwestie van breuksplitsen

Dat was 'm juist.

quote:

Op woensdag 20 juni 2012 13:02 schreef Amoeba het volgende:
Dat was 'm juist.

In het algemeen heb je:

(1) 1/(1 - u²) = 1/((1+u)∙(1-u)) = ½∙(1/(1 + u)) + ½∙(1/(1 - u))

Dit gebruik ik hierboven ook om te herleiden dat:

(2) sec φ = 1/cos φ = (1 + tan²½φ)/(1 - tan²½φ) = ½∙(1 + tan²½φ)/(1 + tan ½φ) + ½∙(1 + tan²½φ)/(1 - tan ½φ)

Uit (1) volgt dat we hebben:

(3) ∫ du/(1 - u²) = ½∙ln((1 + u)/(1 - u)) + C (voor |u| < 1)

En aangezien ook:

(4) artanh u = ½∙ln((1 + u)/(1 - u)) (voor |u| < 1)

en:

(5) ∫ sec φ∙dφ = ½∙ln((1 + sin φ)/(1 - sin φ)) + C (voor |φ| < ½π)

kun je dus ook zeggen dat:

(6) ∫ sec φ∙dφ = artanh(sin φ) + C (voor |φ| < ½π)

Voor de afleiding van Barrow kun je ook even hier kijken. Merk op dat (1 + sin φ)/(1 - sin φ) niet negatief kan worden aangezien | sin φ | ≦ 1, zodat de vaak gebruikte absoluutstrepen hier overbodig zijn.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 20-06-2012 16:17:48 ]

Goed, het stukje over de integraal zit er goed in. Nu moet ik nog de inleiding (orthodroom-/loxodroomnavigatie), ofwel de probleemstelling. Dan schrap ik omwille van de hoeveelheid tijd het hele stuk over de cartesische en geografische coördinaten, maar ga ik direct door op de integraal. Breuksplitsen, cyclometrische functies en substitutiemethode. Mooie samenvatting.

Ik heb de volgende uitwerking bij een opgave staan:


Nu weet ik dat dit is gedaan met de chain rule, maar toch kom ik er niet helemaal bij hoe ze bij het antwoord zijn gekomen.

Zou iemand hier het mij aub duidelijk willen uitleggen?

Alvast bedankt,

Ps. J is de Principal moment of intertia

Als het goed is is X een functie van x en J een constante.

De afgeleide van (X(x))² is volgens de kettingregel 2(X(x)) * X'(x).

Sorry erg slordige fout gemaakt X=x

Maar zou het dan niet xdot^2 moeten zijn?

Oke, in dat geval is de notatie vreemd en heb je geen kettingregel nodig. Je kan gewoon direct gebruiken dat de afgeleide naar x van x² gelijk is aan 2x.

En die x^dot is dan gewoon 1 ( dx/dx = 1)

quote:

Op woensdag 20 juni 2012 15:44 schreef thenxero het volgende:
Oke, in dat geval is de notatie vreemd en heb je geen kettingregel nodig. Je kan gewoon direct gebruiken dat de afgeleide naar x van x² gelijk is aan 2x.

En die x^dot is dan gewoon 1 ( dx/dx = 1)

Dat dacht ik in eerste instantie ook, maar dan zou het antwoord wat de docent heeft gegeven niet kloppen, Het plaatje klopt nu exact met wat de docent heeft gegeven.

Waarschijnlijk zit er toch een variabele verborgen in je vergelijking, anders is je docent wel raar als hij de afgeleide zo opschrijft. Betekent die dot misschien afgeleide naar de tijd?

quote:

Op woensdag 20 juni 2012 15:48 schreef thenxero het volgende:
Waarschijnlijk zit er toch een variabele verborgen in je vergelijking, anders is je docent wel raar als hij de afgeleide zo opschrijft. Betekent die dot misschien afgeleide naar de tijd?

Ja

quote:

Op woensdag 20 juni 2012 15:49 schreef dynamiet het volgende:

[..]

Ja

Aha. In dat geval zal x een functie van t zijn.

Dus je kan schrijven V(x,t) = ½ J (x(t))². Er geldt dan


Een directe toepassing van de kettingregel dus. Misschien herken je het niet omdat de functie x(t) niet expliciet gegeven is. Maar stel dat je (sin(t))^2 moest differentiëren naar t, dan zul je dat op dezelfde manier doen alleen kan je wel berekenen wat d/dt sin(t) is.

quote:

Op woensdag 20 juni 2012 15:55 schreef thenxero het volgende:

[..]

Aha. In dat geval zal x een functie van t zijn.

Dus je kan schrijven V(x,t) = ½ J (x(t))². Er geldt dan


Een directe toepassing van de kettingregel dus. Misschien herken je het niet omdat de functie x(t) niet expliciet gegeven is. Maar stel dat je (sin(t))^2 moest differentiëren naar t, dan zul je dat op dezelfde manier doen alleen kan je wel berekenen wat d/dt sin(t) is.

Heel erg bedankt, Ik heb het even bij andere opgaven toegepast en ik snap het

Is toch complete onzin? Want

Kan je altijd makkelijk checken met wolfram alpha

http://www.wolframalpha.c(...)^2+%2B+0.6}\right%29

quote:

Op woensdag 20 juni 2012 14:06 schreef Amoeba het volgende:
Goed, het stukje over de integraal zit er goed in. Nu moet ik nog de inleiding (orthodroom-/loxodroomnavigatie), ofwel de probleemstelling. Dan schrap ik omwille van de hoeveelheid tijd het hele stuk over de cartesische en geografische coördinaten, maar ga ik direct door op de integraal. Breuksplitsen, cyclometrische functies en substitutiemethode. Mooie samenvatting.

Als je je uiteindelijke versie op schrift hebt staan, wil ik het (als je daar tenminste prijs op stelt) wel even doorkijken om te zien of er geen rare dingen of onjuistheden in staan.

Overigens bedacht ik nog een herleiding voor het primitiveren van de secans die je examinatoren vast nog nooit gezien hebben.

Het idee is om eerst naar functies te kijken waarbij de afgeleide een factor sec φ bevat om dan van daaruit te proberen om een primitieve voor sec φ te vinden. Ik gebruik hier de notatie van Leibniz, je zult zo wel zien waarom.

We kijken eerst naar de afgeleide van sec φ, waarvoor we hebben d(sec φ)/dφ = d(1/cos φ)/dφ = (-1/cos²φ)∙(-sin φ) = (1/cos φ)∙(sin φ/cos φ) = sec φ∙tan φ, dus:

(1) d(sec φ)/dφ = sec φ∙tan φ

Daarnaast hebben we ook d(tan φ)/dφ = 1/cos²φ = sec²φ, dus:

(2) d(tan φ)/dφ = sec²φ

Nu is de afgeleide van een som gelijk aan de som van de afgeleiden van de termen, dus is ook:

(3) d(sec φ + tan φ)/dφ = sec φ∙tan φ + sec²φ

En dus:

(4) d(sec φ + tan φ)/dφ = sec φ∙(sec φ + tan φ)

En dus:

(5) d(sec φ + tan φ)/(sec φ + tan φ) = sec φ∙dφ

En dus:

(6) ∫ sec φ∙dφ = ∫ d(sec φ + tan φ)/(sec φ + tan φ) = ln(sec φ + tan φ) + C (|φ| < ½π)

QED

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 20-06-2012 17:55:59 ]

Graag zelfs! Ik ga direct beginnen met het typen ervan!
Misschien is het een goed idee om QED als je signature te nemen? Staat het er sowieso onder.

Ik ken iemand die in real life een QED handtekening hanteert (dus QED op je paspoort etc)

quote:

Op woensdag 20 juni 2012 19:37 schreef thenxero het volgende:
Ik ken iemand die in real life een QED handtekening hanteert

Dit is Riparius.

quote:

Op woensdag 20 juni 2012 19:40 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Dit is Riparius.

Tja, dat ■ van Halmos vind ik niks. Maar misschien schrijf ik de volgende keer wel ΟΕΔ voor ὅπερ ἔδει δεῖξαι, dan denken mensen in ieder geval niet dat het Engels is.

quote:

Op woensdag 20 juni 2012 20:21 schreef Riparius het volgende:

[..]

Tja, dat ■ van Halmos vind ik niks. Maar misschien schrijf ik de volgende keer wel ΟΕΔ voor ὅπερ ἔδει δεῖξαι, dan denken mensen in ieder geval niet dat het Engels is.

Persoonlijk vind ik het Latijn toch mooier dan het Grieks.

Geen flauw idee of ik hier goed zit Maar ik heb morgen een tentamen discrete wiskunde waar ik al eens voor gezakt ben. Er waren een aantal dingen waar ik over struikelde. Een daarvan is het herschrijven van proposities volgens de logische wetten.

We hebben wel zo'n blad met logische equivalenties (implicatieregel, commutativiteit etc) maar ik zie nog steeds niet hoe het moet. Heeft iemand misschien een duidelijkere uitleg?

Het is nuttiger als je met concrete vragen komt.