[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op zaterdag 25 februari 2012 18:36 schreef Setting_Sun het volgende:
hoe toon je, gegeven onderstaande definities van de sinus en cosinus, aan dat cos²x + sin²x = 1 ???

[ afbeelding ]

Je zou dit heel eenvoudig kunnen doen door eerst aan de hand van de reeksontwikkelingen aan te tonen dat cos x en sin x resp. -sin x en cos x als afgeleide hebben. Vervolgens definieer je de functie:

f(x) = cos²x + sin²x

Je kunt nu gemakkelijk controleren dat f'(x) = 2∙cos x∙(-sin x) + 2∙sin x∙cos x = 0 voor elke x ∈ R, zodat f(x) een constante functie moet zijn. Substitutie van x = 0 geeft f(0) = 1, zodat geldt f(x) = 1 voor elke x ∈ R, QED.

quote:

(mijn vraag komt van de oorspronkelijke vraag waarom de functie exp(ti) een cirkel in het complexe vlak geeft, geen huiswerk maar eigen interesse)

Bekijk het eens als volgt. Je weet dat je een curve in een plat vlak met een cartesisch assenstelsel kunt beschrijven met een parametervoorstelling x = x(t) en y = y(t). Op dezelfde wijze kun je in het complexe vlak een curve beschrijven met een complexe functie z(t) = x(t) + i∙y(t) van een reële variabele t, aangezien het punt (x(t);y(t)) het beeldpunt is van het complexe getal x(t) + i∙y(t).

Laten we nu verder aannemen dat x(t) en y(t) differentieerbare functies zijn van t, zodat ook z(t) differentieerbaar is met z'(t) = x'(t) + i∙y'(t). Als je de parametervoorstelling z(t) = x(t) + i∙y(t) nu even 'fysisch' beschouwt als de baan van een puntvormig deeltje in het complexe vlak als functie van de tijd t, dan begrijp je dat de afgeleide z'(t) = x'(t) + i∙y'(t) eigenlijk de snelheidsvector voorstelt van het bewegende puntdeeltje. En dat betekent dat de richting (i.e het argument) van z'(t) steeds de richting aangeeft van de beweging - en dus de richting van de raaklijn aan de curve - en dat de absolute waarde ofwel modulus | z'(t) | van z'(t) steeds de grootte van de snelheid aangeeft waarmee het puntdeeltje op dat moment beweegt.

Laten we ons nu voorstellen dat we een parametervoorstelling z(t) hebben van een curve in het complexe vlak die voldoet aan:

(1) z'(t) = i∙z(t), z(0) = 1

Wat betekent dit meetkundig? Wel, zoals je (hopelijk) weet representeert een vermenigvuldiging van een complex getal z = a + bi met i meetkundig een rotatie om de oorsprong tegen de klok in over een rechte hoek van het beeldpunt (a;b) van z = a + bi. Immers, we hebben i∙z = i∙(a + bi) = a∙i + b∙i² = -b + ai, en je kunt gemakkelijk controleren dat het beeldpunt (-b;a) van i∙z een kwart slag tegen de klok in is gedraaid t.o.v. het beeldpunt (a;b) van z (als je dit niet begrijpt, maak dan een tekening of kijk even hier).

Goed, maar wat betekent dit meetkundig voor de curve die wordt beschreven door (1)? Wel, aangezien z'(t) op ieder tijdstip (i.e. voor elke reële waarde van t) gelijk is aan i∙z(t) en dus op ieder tijdstip de raaklijn aan de curve loodrecht staat op het lijnstuk tussen de oorsprong het beeldpunt van z(t), volgt dat (1) een cirkelbeweging rond de oorsprong beschrijft. Immers, kenmerkend voor een cirkel is nu juist dat de raaklijn aan ieder punt op de cirkel loodrecht staat op de straal naar het raakpunt.

Maar, we kunnen nog meer zeggen over de curve die wordt beschreven door (1). Aangezien is gespecificeerd dat z(0) = 1 ligt het startpunt (i.e. de positie op tijdstip t = 0) van de baan van z(t) in het beeldpunt (1;0) van het getal 1 + 0∙i = 1. En omdat uit z'(t) = i∙z(t) en z(0) = 1 volgt dat z'(0) = i en dus | z'(0) | = 1 weten we dat de beweging op het tijdstip t = 0 loodrecht omhoog is gericht en dat de snelheid op dat moment een grootte 1 (eenheid per eenheid van tijd) heeft. Maar omdat er sprake is van een cirkelbeweging rond de oorsprong is de afstand | z(t) | van het beeldpunt van z(t) tot de oorsprong constant. En dus is | z'(t) | = | i∙z(t) | = | i |∙| z(t) | = | z(t) | eveneens constant, en wel gelijk aan | z(0) | = 1. De baan die wordt beschreven door (1) is dus een eenparige cirkelbeweging tegen de klok in langs de eenheidscirkel met een snelheid één, en waarbij het puntdeeltje zich op tijdstip t = 0 in het punt (1;0) bevindt.

Laten we nu eens kijken naar de curve die wordt beschreven door:

(2) z(t) = e^it

Als je nu even aanneemt dat e^it differentieerbaar is naar t en dat voor het differentiëren de gewone rekenregels gelden zoals je die kent van reële functies, dan kun je gemakkelijk nagaan (kettingregel) dat de afgeleide van (2) zou moeten zijn:

(3) z'(t) = i∙e^it

Maar dit betekent dat voor (2) geldt z'(t) = i∙z(t), en door substitutie van t = 0 in (2) vinden we ook dat z(0) = e⁰ = 1. De curve die beschreven wordt door (2) voldoet dus aan (1), en zoals we hebben gezien betekent dit niets anders dan dat (2) een parametervoorstelling is van de eenheidscirkel!

Zoals je weet kunnen we een parametervoorstelling van een eenparige cirkelbeweging tegen de klok in met snelheid één langs de eenheidscirkel in een cartesisch assenstelsel met startpunt (1;0) ook voorstellen door x(t) = cos t, y(t) = sin t. Dit is een direct gevolg van de definitie van de cosinus en sinus functies aan de hand van de eenheidscirkel. En dus kunnen we de curve z(t) = x(t) + i∙y(t) die wordt gekarakteriseerd door (1) ook beschrijven als:

(4) z(t) = cos t + i∙sin t

En aangezien (2) en (4) dezelfde curve beschrijven met dezelfde parametrisering hebben we dus:

(5) e^it = cos t + i∙sin t

Dit is uiteraard de bekende formule van Euler.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 28-02-2012 11:58:53 ]

quote:

Op zaterdag 25 februari 2012 21:37 schreef kutkloon7 het volgende:
Iemand een idee wat handig is om aan te tonen dat als je de Peterson graaf

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

inbed in het platte vlak, er minstens twee snijpunten zijn? (dus waar twee zijden elkaar snijden...)
(En dezelfde vraag voor K₆, de complete graaf met 6 en 3 snijpunten, maar misschien kom ik daar zelf wel achter als ik deze snap)

Ik wil eigenlijk gebruiken dat als je bijvoorbeeld K₅ inbed in het platte vlak met maar een (ik kan geen accenten op de e doen?) snijpunt, dat de topologie dan als het ware elke keer hetzelfde is, anders moet je erg veel gevallen gaan onderscheiden. Als iemand me kan helpen, graag!

Je kunt proberen aan te tonen dat je minstens 2 kanten moet weghalen om de graaf planair te maken. Een standaardargument met Euler's formule zou hier wel moeten werken denk ik. Je hebt in elk geval dat elk vlakdeel minstens een vijfhoek is.

quote:

Op zaterdag 25 februari 2012 18:36 schreef Setting_Sun het volgende:
mijn vraag komt van de oorspronkelijke vraag waarom de functie exp(ri) een cirkel in het complexe vlak geeft, geen huiswerk maar eigen interesse

Merk eerst op dat je alle complexe functies als het volgende kunt schrijven met i als het complexe getal



Beschouw vervolgens de machtsreeks van de complexe e-macht, die kun je schrijven als de machtsreeks van de cosinus plus de sinus (de formule van Euler). Definieer als voorbereiding




We kunnen met de formule van Euler schrijven dat



Je kunt de laatste uitdrukking herschrijven naar iets bekends van de vwo



oftewel in parametervoorstelling

Hallo,

Ik kom er niet uit:los algebraisch op : f (x)=3.

Iemand die wel weet hoe het moet?

x = f^-1(3)

quote:

Op maandag 27 februari 2012 18:18 schreef GlowMouse het volgende:
x = f^-1(3)

Bedankt voor het antwoord, zou u misschien uit willen leggen hoe u er op gekomen bent?

quote:

Op maandag 27 februari 2012 18:20 schreef pocketplayer09 het volgende:

[..]

Bedankt voor het antwoord, zou u misschien uit willen leggen hoe u er op gekomen bent?

Dat is de definite van een inverse functie. Je kan er pas concreet mee aan de slag als je f weet.

Ik ben het trouwens niet helemaal met GM eens, want het is niet gegeven dat f inverteerbaar is

[ Bericht 14% gewijzigd door thenxero op 27-02-2012 19:40:44 ]

quote:

Op maandag 27 februari 2012 18:18 schreef GlowMouse het volgende:
x = f^inv(3)

fixed that for ya

quote:

Op maandag 27 februari 2012 19:41 schreef VanishedEntity het volgende:

[..]

fixed that for ya

http://mathworld.wolfram.com/InverseFunction.html

quote:

Op maandag 27 februari 2012 19:41 schreef VanishedEntity het volgende:

[..]

fixed that for ya

Die notatie heb ik nog nooit gezien

Ik heb een hekel aan de ^-1 notatie want dat impliceert multiplicatieve inverse terwijl in ons geval compositief inverse bedoeld wordt. voorbeeld: sin^-1x = 1/sinx =/= arcsinx

quote:

Op maandag 27 februari 2012 19:53 schreef VanishedEntity het volgende:
sin^-1x = 1/sinx

Dat is een kutnotatie. Gebruik liever (sin x)^-1 voor zoiets.

Whatever floats your boat...

quote:

Op maandag 27 februari 2012 20:00 schreef thabit het volgende:

[..]

Dat is een kutnotatie. Gebruik liever (sin x)^-1 voor zoiets.

cscx

quote:

Op zondag 26 februari 2012 13:17 schreef thabit het volgende:

[..]

Je kunt proberen aan te tonen dat je minstens 2 kanten moet weghalen om de graaf planair te maken. Een standaardargument met Euler's formule zou hier wel moeten werken denk ik. Je hebt in elk geval dat elk vlakdeel minstens een vijfhoek is.

Ik ben er niet helemaal uitgekomen, maar het was een inleveropgave en ik heb van niemand gehoord dat hij er helemaal uitgekomen is. Misschien was het niet de bedoeling om een bewijs te geven (er stond 'laat zien'). In ieder geval bedankt!

quote:

Op maandag 27 februari 2012 21:50 schreef kutkloon7 het volgende:

[..]

Ik ben er niet helemaal uitgekomen, maar het was een inleveropgave en ik heb van niemand gehoord dat hij er helemaal uitgekomen is. Misschien was het niet de bedoeling om een bewijs te geven (er stond 'laat zien'). In ieder geval bedankt!

Volgens mij werkt het wel op de manier die ik voorstelde.

Voor planaire grafen geldt de formule van Euler: v - e + f = 2. Voor de Petersengraaf hebben v=10 en e=15. Hieruit volgt 10 - 15 + f = 2, ofwel f = 7. Elk vlak is minstens een vijfhoek (elke cykel heeft lengte minstens 5). Verder grenst elke kant aan 2 vlakken, dus 5f <= 2e = 30, dus f <= 6, in tegenspraak met f=7.

Wat we moeten bewijzen is, dat als we 1 kant weghalen, dat dat ding nog steeds niet planair is (als er maar 1 snijpunt zou zijn, dan zou je namelijk 1 van de twee betreffende kanten weg kunnen halen om het planair te maken). De resulterende graaf heeft dan v=10 en e=14, dus f=6. Maar nog steeds geldt 5f <= 2e, wat in dit geval 28 is. Dit is in tegenspraak met f=6.

Aangezien er wel inbeddingen bestaan met 2 snijpunten, zou nog een kant weghalen geen tegenspraak meer moeten geven (even als sanity check). Maar dan krijg je inderdaad e=13 en f=5 uit Euler, dus 5f = 25 en 2e = 26.

quote:

Op maandag 27 februari 2012 22:09 schreef thabit het volgende:

[..]

Volgens mij werkt het wel op de manier die ik voorstelde.

Voor planaire grafen geldt de formule van Euler: v - e + f = 2. Voor de Petersengraaf hebben v=10 en e=15. Hieruit volgt 10 - 15 + f = 2, ofwel f = 7. Elk vlak is minstens een vijfhoek (elke cykel heeft lengte minstens 5). Verder grenst elke kant aan 2 vlakken, dus 5f <= 2e = 30, dus f <= 6, in tegenspraak met f=7.

Wat we moeten bewijzen is, dat als we 1 kant weghalen, dat dat ding nog steeds niet planair is (als er maar 1 snijpunt zou zijn, dan zou je namelijk 1 van de twee betreffende kanten weg kunnen halen om het planair te maken). De resulterende graaf heeft dan v=10 en e=14, dus f=6. Maar nog steeds geldt 5f <= 2e, wat in dit geval 28 is. Dit is in tegenspraak met f=6.

Aangezien er wel inbeddingen bestaan met 2 snijpunten, zou nog een kant weghalen geen tegenspraak meer moeten geven (even als sanity check). Maar dan krijg je inderdaad e=13 en f=5 uit Euler, dus 5f = 25 en 2e = 26.

Klopt, het was alleen niet de bedoeling dat we de formule van Euler gebruikten 'want die kwam pas in het hoofdstuk erna'. Wel bewonderenswaardig dat je zo snel een bewijs weet te produceren .

quote:

Op maandag 27 februari 2012 21:39 schreef twaalf het volgende:
cscx

nog beter

y is de variabele en alpha>0 is gegeven. Waarom mag je dan stellen dat dit 0 is? Het lijkt mij dat je krijgt -(e^(-inf))*inf^(a-1), ik zie niet hoezo dat 0 is, 0*oneindig is toch niet gedefiniëerd?

Je moet de termen niet los bekijken. Een exponentiële functie 'wint' altijd van een machtsfunctie.

quote:

Op dinsdag 28 februari 2012 20:09 schreef GlowMouse het volgende:
Je moet de termen niet los bekijken. Een exponentiële functie 'wint' altijd van een machtsfunctie.

Daar kan ik nog wel inkomen, maar waarom is dit dan onbepaald, want dat is toch feitelijk hetzelfde?

quote:

Op dinsdag 28 februari 2012 21:13 schreef Thas het volgende:

[..]

Daar kan ik nog wel inkomen, maar waarom is dit dan onbepaald, want dat is toch feitelijk hetzelfde?

je rekent een oneigenlijke integraal per definitie uit als limiet: link

quote:

Op dinsdag 28 februari 2012 21:19 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

je rekent een oneigenlijke integraal per definitie uit als limiet: link

Ah, ok, dat wist ik niet. Hoe kan ik trouwens laten zien dat de ene functie het "wint" van de andere? Het enige wat ik kan verzinnen is van zowel de teller als de noemer de afgeleide nemen en dan laten zien dat die van de noemer voor elke a>0 en x>0 groter is, maar dat is hier duidelijk niet het geval, (a-1)*x^(a-2) is niet kleiner dan e^x voor elke combinatie van x en a.
Of is dit gewoon een regel die ik maar moet onthouden zonder dat het veel te ingewikkeld wordt?

Hallo, ik heb een vraag over deze algebra opgave:

Zij X = {1,2,3...} de verzameling van positieve natuurlijke getallen en vat S_n op als ondergroep van S(X) door zijn natuurlijke werking op {1,2,3,...,n}. Laat zien dat



een ondergroep is van S(X). Is H gelijk aan S(X)?

Ik zou zeggen dat voor alle n geldt dat , en dan heb ik al een bewijs dat zegt dat de vereniging van twee ondergroepen een ondergroep is als er één bevat is in de ander.
En voor het tweede deel lijkt me dat een element a in S(X) bevat is in S_a, en andersom iets soortgelijks.
Maar het kan nooit zo gemakkelijk zijn, dus ik vroeg me af of iemand hier weet wat ik over het hoofd zie?

quote:

Op dinsdag 28 februari 2012 21:52 schreef Thas het volgende:

[..]

Ah, ok, dat wist ik niet. Hoe kan ik trouwens laten zien dat de ene functie het "wint" van de andere? Het enige wat ik kan verzinnen is van zowel de teller als de noemer de afgeleide nemen en dan laten zien dat die van de noemer voor elke a>0 en x>0 groter is, maar dat is hier duidelijk niet het geval, (a-1)*x^(a-2) is niet kleiner dan e^x voor elke combinatie van x en a.
Of is dit gewoon een regel die ik maar moet onthouden zonder dat het veel te ingewikkeld wordt?

Deze kun je wel onthouden, maar je kunt ook laten zien dat er voor elke epsilon altijd wel een x* bestaat zodanig dat a^x / x^b < epsilon voor x>x* (mits a>1). Daarvoor kun je gebruiken dat