Wel nauwkeurig formuleren: kennelijk bedoel je dat zijde AB van je koordenvierhoek een middellijn is van de cirkel waarop de hoekpunten van de koordenvierhoek liggen.quote:Op zondag 10 juni 2012 16:44 schreef Aardappel2610 het volgende:
Ik heb (wederom) een vraagje over meetkunde (en nu wel in het goede topic).
De volgende koordenvierhoek is gegeven (tegen de klok in met punt A - D). De bogen BC, CD en DA zijn in de verhoudingen 1:3:5. De lijn AB ligt op het midden van de cirkel en bevat punt M.
[ afbeelding ]
Nu is het de bedoeling dat ik de hoeken uitrekenen van de koordenvierhoek. Maar ik kom niet verder aangezien ik niet weet waar ik moet beginnen/ik heb geen referentie.
Uiteraard schiet dat wél op. Kijk nog eens naar je figuur. Gegeven is (tegen de klok in) dat:quote:Op zondag 10 juni 2012 16:58 schreef Aardappel2610 het volgende:
Ja die stelling ben ik bekend mee. Ik heb al zitten kijken of ik daar iets mee kon, maar dat schoot niet op.
Ach zo, nu snap ik het.quote:Op zondag 10 juni 2012 14:18 schreef Riparius het volgende:
[..]
Vergeet even die hoek waarover punt A om het centrum O is geroteerd op een tijdstip t > 0. Maak een tekening van een gelijkzijdige driehoek ABC met centrum O. Deze tekening kun je beschouwen als een momentopname van de positie van de punten A,B,C op een gegeven tijdstip. Nu weet je dat A in de richting van B beweegt, dus de snelheidsvector v (met aangrijppunt A) ligt langs AB. Teken ook deze vector. De lengte van v in je tekening is niet belangrijk, maar omwille van de overzichtelijkheid van je tekening kun je het best de lengte van v in je tekening kleiner nemen dan de helft van de lengte van AB. Nu ontbind je deze vector in twee onderling loodrechte componenten. De radiale component vr ligt langs de radius OA en de transversale component vθ staat daar loodrecht op. Bereken nu (exact) de lengtes van vr en vθ. Dit kun je doen omdat de lengte |v| = 2 van de snelheidvector v bekend is. De lengte |vr| van de radiale component vr vertelt je nu hoe snel de afstand van punt A tot het centrum O afneemt. En aangezien je al uit had gerekend dat OA = (5/3)∙√3 op tijdstip t = 0 kun je dan ook uitrekenen op welk tijdstip zou moeten gelden dat OA = 0.
Die zag ik niet, maar nu zie ik het wel en is het me gelukt. Bedankt!quote:Op zondag 10 juni 2012 17:06 schreef Riparius het volgende:
[..]
Uiteraard schiet dat wél op. Kijk nog eens naar je figuur. Gegeven is (tegen de klok in) dat:
bg(BC) : bg(CD) : bg(DA) = 1 : 3 : 5
Nu hebben we ook nog (weer tegen de klok in) bg(AB), en dat is een halve cirkel, oftewel 180 graden, want AB is een middellijn van de cirkel. Maar die drie andere bogen die zich verhouden als 1 : 3 : 5 zijn samen ook 180 graden, want die vormen samen de andere helft van de cirkel. Nu kun je dus gemakkelijk uitrekenen hoe groot bg(BC), bg(CD) en bg(DA) zijn.
In eerste instantie heb ik het vraagstuk opgelost [link] door meetkundig af te leiden dat dr/dt = -√3, aangezien je dan geen vergelijking in poolcoördinaten hoeft op te stellen: als je eenmaal weet dat de afstand OA = r lineair afneemt met de tijd en je weet dat OA = (5/3)∙√3 voor t = 0 dan volgt direct dat OA = 0 voor t = 5/3 sec. Later [link] heb ik een afleiding gegeven voor een vergelijking in poolcoördinaten van de baan die punt A beschrijft. Je zou dan met behulp van integraalrekening de totale lengte van de (logaritmische) spiraal vanaf het startpunt van A uit kunnen rekenen, en dan moet je uiteraard op 10/3 uitkomen. De totale baanlengte wordt dan gegeven door:quote:Op zondag 10 juni 2012 17:30 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Ach zo, nu snap ik het.
De hoek tussen v en vr is uiteraard 30 graden, dus:
1/2∙√3 = vr/v
v = 2 eenheden per seconde, cos(30°) is een getal zonder eenheid. Hieruit volgt direct dat vr ook de eenheid eenheden per seconde heeft.
Maargoed, oplossen geeft vr = √3
Een eenvoudige deling levert op dat het 5/3 seconden zal duren.
Maargoed, dit is een (inmiddels duidelijke) aanpak. Ik blijf echter wel zitten met de vraag hoe ik het dan via poolcoördinaten op had kunnen lossen (met r = r(θ))
OK. Als je het goed hebt gedaan moet je uitkomen op α = 40°, β = 80°, en dan uiteraard γ = 140° en δ = 100°, aangezien α + γ = β + δ = 180°.quote:Op zondag 10 juni 2012 17:52 schreef Aardappel2610 het volgende:
[..]
Die zag ik niet, maar nu zie ik het wel en is het me gelukt. Bedankt!
Deze opmerking begrijp ik niet, ik heb immers bewezen dat dr/dt = -√3.quote:Op zondag 10 juni 2012 18:35 schreef Amoeba het volgende:
Wat ik wel verbazend vind is dat hij in een rechte lijn er ongeveer 1,44 seconden over doet, en via deze weg 5/3 seconden. Dat is 'slechts' 15% langer.
Riparius:
"Het is heel eenvoudig om hiermee via
infinitesimalen een betrekking te vinden
tussen de hoek waarover punt A op een
gegeven moment is geroteerd vanaf het
beginpunt en de daarbij behorende straal."
En ik zocht me hier maar een ongeluk naar.
Wat ik me wel afvraag is of je zomaar mag stellen dat de radius lineair afneemt in de tijd, zonder dit toe te lichten.
Aardig om nog even te vermelden is dat de rectificatie (lengtebepaling) van de logaritmische spiraal voor het eerst werd gevonden door Torricelli (1608-1647), zonder gebruik van infinitesimaalrekening, aangezien die toen nog niet bestond. De methode die Torricelli gebruikte was equivalent met de vectormethode die je nu hebt gezien, alleen kende Torricelli het begrip vector nog niet. Iets later werden logaritmische oftewel equiangulaire spiralen uitvoerig bestudeerd door Jacob Bernoulli (1654-1705), die daarbij ook het begrip poolcoördinaten introduceerde. Bernoulli was zo gefascineerd door de eigenschappen van deze spiraal, dat hij in zijn testament vast had laten leggen dat er een logaritmische spiraal op zijn grafmonument moest komen, met als motto eadem mutata resurgo. Helaas wist de steenhouwer niet wat nou eigenlijk een logaritmische spiraal was, want de spiraal op het monument leek veel meer op een archimedische spiraal. De steen bestaat nog steeds en is te zien in Basel (foto).quote:× Alhoewel dit misschien wel duidelijk is aangezien v constant is en de driehoek altijd gelijkzijdig blijft. Je bent wel leerzaam trouwens, die anekdotes over de geschiedenis van de wiskunde zijn zeer interessant.
quote:Op zondag 10 juni 2012 18:54 schreef Riparius het volgende:
[..]
Deze opmerking begrijp ik niet, ik heb immers bewezen dat dr/dt = -√3.Maar in mijn oplossing is dat niet bewezen. Daarmee heb ik dus het idee dat mijn berekening (die uiteraard niet helemaal van mij is) niet waterdicht is.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Toch wel. Gegeven is namelijk dat |v| = 2 constant is, en aangezien v langs AB ligt en ∠OAB = 30° ook constant is volgt dat de lengte |vr| van de radiale component vr langs OA eveneens constant is, en wel |vr| = √3.quote:Op zondag 10 juni 2012 18:58 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Maar in mijn oplossing is dat niet bewezen. Daarmee heb ik dus het idee dat mijn berekening (die uiteraard niet helemaal van mij is) niet waterdicht is.
Je doet het fout. In je tweede stap vereenvoudig je het linkerlid en vermenigvuldig je daar met a, maar vermenigvuldig je het rechterlid plotseling met R, en dat deugt natuurlijk niet. Als je links met een bepaalde factor vermenigvuldigt of door een bepaalde factor deelt, dan moet je dat rechts ook doen.quote:Op zondag 10 juni 2012 19:13 schreef superky het volgende:
Hallo,
Graag wil ik een vraag stellen over het isoleren van een variabele. Het gaat dan over een opdracht en die luidt: maak uit de volgende vergelijking a vrij.
Voor hem is die knop dan juist weer overbodigquote:Op zondag 10 juni 2012 19:19 schreef thenxero het volgende:
Had ik ook maar een knopje zodat ik domme posts van mezelf kon verwijderen, net als Glowmouse
Hij maakte er net gebruik van, maar dat is dus niet meer te achterhalenquote:Op zondag 10 juni 2012 19:28 schreef -J-D- het volgende:
[..]
Voor hem is die knop dan juist weer overbodig
Achja, uiteraard. Mijn excuses.quote:Op zondag 10 juni 2012 19:09 schreef Riparius het volgende:
[..]
Toch wel. Gegeven is namelijk dat |v| = 2 constant is, en aangezien v langs AB ligt en ∠OAB = 30° ook constant is volgt dat de lengte |vr| van de radiale component vr langs OA eveneens constant is, en wel |vr| = √3.
Je zou ze kunnen bewerken naar een ., maar dan kunnen moderators je originele reactie nog zien.quote:Op zondag 10 juni 2012 19:19 schreef thenxero het volgende:
Had ik ook maar een knopje zodat ik domme posts van mezelf kon verwijderen, net als Glowmouse
Je moet weten dat:quote:Op zondag 10 juni 2012 19:13 schreef superky het volgende:
Hallo,
Graag wil ik een vraag stellen over het isoleren van een variabele. Het gaat dan over een opdracht en die luidt: maak uit de volgende vergelijking a vrij.
Nou had ik het antwoord wel goed maar toch zit ik te twijfelen of mijn berekening goed is. Ik laat nu zien hoe ik het stapsgewijs heb aangepakt.
Mijn vraag is: hoe kan ik in de enelaatste stap weten dat PS een noemer wordt en R een teller en niet andersom? Verder wil ik graag vragen of ik mijn berekeningen op de juiste manier heb berekend, omdat ik dit soort wiskunde nooit heb gekregen.
Graag wacht ik op uw reactie. Alvast bedankt voor uw antwoord.
Groet,
superky
En als je niet meer weet hoe het zat, kun je het altijd nog beredeneren aan de hand van een cijfervoorbeeld. Bijvoorbeeld: 6/2=3 --> 2=6/3, en 6 = 2*3quote:
Ja ik had ook een cijfervoorbeeld gebruikt maar toch kom ik er nog steeds niet uit. Wilt u of iemand anders dan de juiste werkwijze stapsgewijs uitleggen? U mag het zeggen, want ik weet het echt nog steeds niet. Ik ben vandaag ongeveer vanaf 09:30 hiermee bezig. Niet alleen met deze vergelijking maar ook met andere vergelijkingen die er anders uit zien. En die ik moet isoleren.quote:Op zondag 10 juni 2012 19:55 schreef Unsub het volgende:
[..]
En als je niet meer weet hoe het zat, kun je het altijd nog beredeneren aan de hand van een cijfervoorbeeld. Bijvoorbeeld: 6/2=3 --> 2=6/3, en 6 = 2*3
R/(aS) = Pquote:Op zondag 10 juni 2012 20:12 schreef superky het volgende:
[..]
Ja ik had ook een cijfervoorbeeld gebruikt maar toch kom ik er nog steeds niet uit. Wilt u of iemand anders dan de juiste werkwijze stapsgewijs uitleggen? U mag het zeggen, want ik weet het echt nog steeds niet. Ik ben vandaag ongeveer vanaf 09:30 hiermee bezig. Niet alleen met deze vergelijking maar ook met andere vergelijkingen die er anders uit zien. En die ik moet isoleren.
Daarom wil ik ook er maar één vergelijking hier laten zien anders wordt het denk ik te veel? Graag wacht ik op uw reactie. Alvast bedankt voor uw antwoord.
Groet,
superky
Ik zie trouwens niet in waarom je die stelling zou gebruiken.quote:Op zondag 10 juni 2012 16:54 schreef Riparius het volgende:
[..]
Wel nauwkeurig formuleren: kennelijk bedoel je dat zijde AB van je koordenvierhoek een middellijn is van de cirkel waarop de hoekpunten van de koordenvierhoek liggen.
Ken je de stelling dat een omtrekshoek op een cirkelboog gelijk is aan de helft van de middelpuntshoek op diezelfde cirkelboog?
Forum Opties | |
---|---|
Forumhop: | |
Hop naar: |