OllieWilliams | maandag 19 mei 2014 @ 10:18 |
Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde. Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld! Opmaak: • met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg). Links: • http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren. • http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search. • http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie. • http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is. • http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc... OP Handig: Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden: www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d | |
Super-B | maandag 19 mei 2014 @ 10:19 |
(-x + 1) e^-x + -1e^-x En dat is dus: (-x + 1) e^-x - 1e^-x | |
OllieWilliams | maandag 19 mei 2014 @ 10:23 |
Je vergeet een minnetje en je kunt het nog verder vereenvoudigen. f(x)g'(x) + f'(x)g(x) = e^-x * (-1) + (-e^-x * (-x+1)) = (x - 1 - 1)e^-x = (x - 2)e^-x | |
Super-B | maandag 19 mei 2014 @ 10:29 |
Hoe kom je tot dat opeens? | |
OllieWilliams | maandag 19 mei 2014 @ 10:31 |
Eerste term is e^-x * (-1) Tweede term is (-e^-x * (-x+1)), oftewel e^-x * (x - 1) (let op de minnetjes) en je maakt gebruik van de rekenregel ax + bx = (a+b)x en vindt e^-x * (x - 2) | |
wiskundenoob | maandag 19 mei 2014 @ 12:02 |
Succes Super-B! | |
Super-B | maandag 19 mei 2014 @ 16:16 |
Bedankt voor jullie hulp en tijd voor het beantwoorden van mijn vragen. Ik heb de toets afgerond en wat ik erover kan zeggen: Ik werd finaal met de grond gelijk gemaakt. De toets was inhoudelijk ongeveer als de voorbeeldtoets op 2-3 opgaveb na. Mijn cijfer is hoogstens een 3 a 4 en minstens een 0. Dit wordt dus herkansen in juli. De klap is hard, maar goed.. dit is een goede weergave van mijn stofbeheersing dus. De komende (exact) twee maanden ga ik nog harder werken hiervoor en ga ik ook letterlijk elk opgave uit het boek maken. Erg jammer ik had een ander afloop verwacht en gehoopt. ![]() Hoe ik kan weten dat ik het zo slecht heb gedaan? Heb van de 9 opgaven er zowat 4 overgeslagen en dan nog paar fouten in de andere 5 opgaven. [ Bericht 0% gewijzigd door Super-B op 19-05-2014 16:28:54 ] | |
netchip | maandag 19 mei 2014 @ 17:05 |
Koop een paar VWO 4/5/6 Getal en Ruimte boeken, of lees een Calculus boek in het Engels ![]() Een boek legt alles uit, wat het boek Basis Wiskunde (oid) van Van de Craats niet doet, voor zo ver ik weet. | |
Super-B | maandag 19 mei 2014 @ 17:11 |
Zeker. Maar weet niet of ik door 4,5 en 6 vwo boeken kan lopen in exact 2 maanden. De herkansing is 19 juli. | |
netchip | maandag 19 mei 2014 @ 17:13 |
Koop dan wel de WiB boeken, dat was ik vergeten te vertellen. Je hoeft niet alle WiB stof te beheersen ![]() ![]() | |
t4rt4rus | maandag 19 mei 2014 @ 17:15 |
Of neem een calculus 1 boek, zijn wel op internet te vinden. | |
netchip | maandag 19 mei 2014 @ 17:17 |
Is Spivak's Calculus een voorbeeld van een calculus 1 boek? Wat is het verschil tussen calculus 1/2/3/4? | |
Super-B | maandag 19 mei 2014 @ 17:18 |
http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf exacte namen/isbn nummers hoor ik graag. Heb geen flauw idee welke aan te raden is adhv toetsstof. Het liefst via internet! | |
netchip | maandag 19 mei 2014 @ 18:35 |
Ik snap niet hoe Spivak absolute waardes beschrijft, "Basic Properties Of Numbers" P. 11 Eigenlijk, hoe hij absolute waardes bewijst. | |
Riparius | maandag 19 mei 2014 @ 18:39 |
Dat was wel voorspelbaar. Je hebt hooguit enkele tientallen studieuren besteed aan stof die je niet eerder op school hebt gekregen (ik dacht dat je zei dat je zo'n drie weken 2 à 3 uur per dag had gestudeerd) en dat is echt veel te weinig. Mijn inschatting is dat iemand met een gemiddelde aanleg toch al gauw zo'n 300 uren studie nodig heeft om het boek van Van de Craats door te werken en de stof echt onder de knie te krijgen, wellicht meer vanwege het aantal opgaven. Dan heb ik het overigens wel over het gehele boek. En nu weet ik wel dat lang niet alle stof deel uitmaakte van hetgeen voor de toets werd gevraagd, maar een eclectische aanpak werkt nu eenmaal niet bij wiskunde: alles bouwt voort op het voorafgaande, en ook Van de Craats heeft zijn boek zo ingericht dat hij in ieder hoofdstuk behalve het eerste de stof van zijn voorafgaande hoofdstukken bekend veronderstelt. En dat heeft ook consequenties voor de manier waarop je het boek moet gebruiken als je er effectief uit wil kunnen leren. Je kunt nu eenmaal niet verwachten dat je veel terecht zult brengen van differentiaalrekening als je bijvoorbeeld geen goed begrip hebt van wat een functie nu precies is en wat de grafische voorstelling van een functie inhoudt en wat daarbij komt kijken. En daarvoor heb je weer een beetje (analytische) meetkunde nodig. Als je die achtergrond niet hebt, dan verwordt differentiëren tot een half begrepen of onbegrepen kunstje waarbij je een aantal 'regels' toepast waarvan de achtergronden ook duister blijven. En werken met differentiaalrekening zonder dat je op zijn minst een basale vaardigheid hebt in het foutloos uitvoeren van algebraïsche herleidingen is ook niet mogelijk. Heel veel ellende met (school)wiskunde die je bijvoorbeeld in dit topic voorbij ziet trekken is terug te voeren op een manifest gebrek aan basale algebraïsche vaardigheden. Zaken als haakjes uitwerken, ontbinden in factoren, herleiden van breuken, merkwaardige producten, kwadraatafsplitsing, oplossen van eerste- en tweedegraads vergelijkingen en ongelijkheden, werken met machten, wortels en logaritmen (deze opsomming maakt geen aanspraak op volledigheid) moet je allemaal kunnen dromen en bij wijze van spreken ook met je ogen dicht foutloos uit kunnen voeren. Maar het verwerven van goede algebraïsche vaardigheden is weer niet mogelijk als je niet eerst een goede ondergrond hebt in rekenen, en daarmee zijn we meteen aangekomen bij één van wortels (no pun intended!) van alle wiskunde ellende: het rekenonderwijs. Als je op de basisschool nooit vlot (en uitsluitend met pen en papier of uit het hoofd) hebt leren rekenen met breuken, dan kun je niet verwachten dat je bijvoorbeeld algebraïsche herleidingen met breuken opeens wel tot een goed einde weet te brengen. En als je nooit hebt geleerd om staartdelingen uit te voeren dan zul je een polynoomstaartdeling ook niet uit kunnen voeren. Dat is precies wat Liesbeth van der Plas ook betoogt op haar website, zoals ik hier al eens heb opgemerkt. Ik kan jou - en alle anderen die in hetzelfde schuitje zitten een of vergelijkbare problemen hebben met elementaire schoolwiskunde - alleen maar aanraden om te beginnen met het bijspijkeren van je rekenvaardigheden, daarna je algebraïsche vaardigheden op peil te brengen, dan tijd uit te trekken om te leren werken met het begrip functie en wat daar zoal bij komt kijken, en dan pas terug te keren tot het bestuderen van de differentiaalrekening. De eerste vier boekjes uit de reeds meermalen genoemde spijkerreeks kunnen je helpen deze weg af te leggen en zijn ook uitstekend geschikt voor zelfstudie. Ik denk wel dat de inschatting van de auteur dat je elk boekje uit zijn reeks in 10 à 20 uren studie door kunt werken wat te optimistisch is en zou eerder denken aan een gemiddelde van ca. 30 uur per boekje, waarmee je dus uitkomt op een studielast van ca. 120 uur voor het doorwerken van de eerste vier boekjes uit de reeks. Daarna zou je dan in een tweede ronde, en als herhaling, extra opgaven uit het boek van Van de Craats kunnen maken. Ik hoop voor jou dat je bovenstaande adviezen ter harte neemt. | |
netchip | maandag 19 mei 2014 @ 18:47 |
Heb jij tips voor het bewijzen van stellingen? Ik zal en moet tot en met Part II komen ![]() | |
Super-B | maandag 19 mei 2014 @ 19:01 |
Dank ik neem dit ook ter harte. In ieder geval enorm bedankt voor het reageren de afgelopen weken. Heb je echter wel een ander idee dan het doorwerken van vier boeken en vervolgens nog die van Van Craats door te werken als tweede ronde. Ik heb namelijk ongeveer 1,5 tot 2 maanden om mij voor te bereiden voor de herkansing en daarnaast zit ik best krap, aangezien ik hiernaast nog ook mijn cijfers op peil moet houden op het hbo (om dan te kunnen voldoen aan die minimale gemiddelde van een 7,5-norm). | |
#ANONIEM | maandag 19 mei 2014 @ 19:07 |
Je zit pas in de derde, beter werk je vooruit in de boeken van Getal en Ruimte. Ze voldoen prima aan het aantal herhalingsopgaven. Daar zit voldoende meetkunde bij. Aan analyse zou ik me nog even niet wagen, en anders zou je een dictaat op kunnen snorren. Het begint vrij simpel met rijtjes enzulks. Bewijzen is lastig en vergt naast creativiteit ook vooral veel tijd om het onder de knie te krijgen. | |
netchip | maandag 19 mei 2014 @ 19:20 |
Hm ja, daar heb je zeker een punt. Ik heb alleen een Getal en Ruimte VWO 3 boek, om aan mijn docent te gaan vragen of ik een Getal en Ruimte VWO 4 WiB boek kan lenen, is een beetje awkward ![]() | |
Riparius | maandag 19 mei 2014 @ 19:23 |
Je hoeft niet mijn hele tekst te quoten als je een vraag hebt die volkomen los staat van deze tekst. Bewijzen leerde je vroeger gewoon op school, en dan vooral bij de vlakke meetkunde. En ja, meteen vanaf de eerste klas (Gegeven: ..., Te bewijzen: ..., Bewijs: ...). Zo ergens rond de kerst konden kinderen dan al bewijzen dat de hoogtelijnen van een driehoek door één punt gaan, en aan het einde van de eerste klas wisten ze al meer van vlakke meetkunde en bewijzen dan de meeste mensen met Wiskunde B die nu van het VWO af komen. Maar goed, probeer dit kosteloos beschikbare boekje eens. | |
nodig | maandag 19 mei 2014 @ 19:26 |
De toets was erg vergelijkbaar met de oefentoets. Ik vond hem wel redelijk goed gaan. Ik hoop/gok op iets tussen een 6 en een 8. Alleen vraag 8 van de oefentoets was vervangen door een veel moeilijkere opgave vond ik. Vraag 9 vond ik trouwens (net als bij de oefentoets) één van de leukste. Dat was zoiets als: Gegeven is f(x) = 3^(ax^2 + x + b) Verder waren 2 coordinaten gegeven: (0,243) en (2,81) Bepaal nu a en b. Waarschijnlijk heb ik de vraag niet helemaal goed hier staan maar het idee is duidelijk ![]() Hierbij wil ik ook de wiskunde-genieën in dit topic bedanken voor hun hulp. Het is erg fijn dat wanneer je een half uur met een som aan het kloten bent je een extra paar ogen kan inzetten. | |
Riparius | maandag 19 mei 2014 @ 19:32 |
Ik denk toch dat je nu het beste kunt beginnen met de eerste vier boekjes (in volgorde) van de spijkerreeks. Het zijn dunne boekjes (ca. 60 blz.) en ze zijn met ¤ 11 per stuk (ik meen overigens dat ze eerder ¤ 10 waren) ook niet te duur in aanschaf. | |
#ANONIEM | maandag 19 mei 2014 @ 19:41 |
Waarom is dat awkward? | |
netchip | maandag 19 mei 2014 @ 19:49 |
Tja, "Uh ja, uh, ik zou graag verder willen werken in het wiskunde B boek van volgend jaar, zou ik er een mogen lenen?" Zij moet dan ook wel denken: "WTF wil die verder werken?!" | |
Thormodo | maandag 19 mei 2014 @ 19:50 |
Stel je voor zeg, een gemotiveerde leerling, wat moet die docent wel niet denken! @Super-B. Voor mijn gevoel moet je daarnaast vooral werken aan structuur. Dus alles netjes stap voor stap doen, en voor elke stap duidelijke een verklaring hebben waarom je dat doet. Al die uitwerkingen die je hier gaf waren extreem rommelig. | |
Super-B | maandag 19 mei 2014 @ 20:19 |
Ik ga keihard leren voor die herkansing alvast. Ik ga van het weekend starten. | |
#ANONIEM | maandag 19 mei 2014 @ 20:26 |
Gewoon iedere dag een blokje theorie. En gewoon vanaf 0 beginnen man | |
Super-B | maandag 19 mei 2014 @ 20:26 |
Gewoon van Van Craats? | |
netchip | maandag 19 mei 2014 @ 20:33 |
Woensdag zal ik wel vragen of ik een 4e klas boek mag lenen, als ik de gelegenheid krijg ![]() | |
Ensemble | maandag 19 mei 2014 @ 20:33 |
Die spijkerreeks. | |
Ensemble | maandag 19 mei 2014 @ 20:37 |
Wel mooi om te zien dat je zo gemotiveerd bent. Goed bezig. ![]() | |
Super-B | maandag 19 mei 2014 @ 20:37 |
Ik ga even kijken of er nog andere mogelijkheden zijn via internet. | |
Ensemble | maandag 19 mei 2014 @ 20:41 |
Waarom zou je niet gewoon het advies opvolgen? | |
Super-B | maandag 19 mei 2014 @ 20:44 |
Omdat ik niet zeker weet hoe het boek inhoudelijk is en of het kwalitatief goed is.. Kan er niks over vinden. Op de site staat: ''Daarom volgt na elke stukje uitleg een groot aantal oefeningen.'' Hiervan is ook sprake bij het boek van Van Craats.. | |
netchip | maandag 19 mei 2014 @ 20:49 |
Riparius raadt het aan... Hij weet echt wel wat een goed boek is en wat niet. | |
jordyqwerty | maandag 19 mei 2014 @ 20:53 |
Koop die boekjes nou maar voor vier tientjes. Geen geld, en het gaat tenslotte om je toekomst. | |
Thormodo | maandag 19 mei 2014 @ 20:55 |
Heb je het over deze Van Craats? http://staff.science.uva.nl/~craats/BasisboekWiskunde2HP.pdf Want dat vind ik meer een methode om je kennis op te frissen, dan eentje om het je van 0 af aan te leren. Daarvoor zijn de lesboeken (zoals die Spijkerreeks) veel geschikter. | |
Super-B | maandag 19 mei 2014 @ 20:57 |
& Ja deze Van Craats. Welke spijkerreeks? Ik dacht aan: Functies & Differentiëren. Ik merk dat mijn probleem grotendeels ligt bij deze twee onderwerpen en vergelijkingen met BREUKEN waar ik dan de som-product regel op moet toepassen.. | |
jordyqwerty | maandag 19 mei 2014 @ 20:59 |
De eerste vier. Lijkt kinderachtig, maar is nodig. | |
Ensemble | maandag 19 mei 2014 @ 20:59 |
Als ik jou was zou ik gewoon de eerste vier boekjes kopen (Rekenen, Algebra, Functies en Differentieren) en dan alles doorwerken. Een goede basis is belangrijk. | |
Super-B | maandag 19 mei 2014 @ 21:00 |
Ik weet niet of ik dat red in 7 weken, naast mijn hbo tentamens.. | |
#ANONIEM | maandag 19 mei 2014 @ 21:02 |
Je loopt voor of na de les naar je docent toe. Hey, mag ik alvast een vierdejaars boek voor wiskunde B én een boek van wiskunde D? Dan maak je om en om een hoofdstuk. Wiskunde D is een stuk lastiger dan B, althans dat is mijn ervaring. Ik heb in 5 vwo besloten wiskunde D te laten rusten, toen in mijn wiskunde B en wiskunde D uren compleet wiskunde B afgemaakt (dus 6 uur per week), examen gedaan in de vijfde en in mijn zesde jaar compleet wiskunde D gemaakt. Persoonlijk liep dat veel lekkerder doordat ik bedrevener was in algebra, functies en infinitesimaalrekening. | |
#ANONIEM | maandag 19 mei 2014 @ 21:03 |
Ik volg hier blindelings Riparius. Koop die reeks nu maar, want je niveau is echt hopeloos te noemen nu. Stelsels lineaire vergelijkingen worstel je al mee.. | |
jordyqwerty | maandag 19 mei 2014 @ 21:04 |
En, netchip, als je het boek niet kan krijgen, stuur ik het je wel in bruikleen op. | |
netchip | maandag 19 mei 2014 @ 21:08 |
Moet wel lukken om die boeken te lenen van school, denk ik. ![]() Ik laat het jullie weten! | |
Super-B | maandag 19 mei 2014 @ 21:08 |
Ik ben echt benieuwd over Riparius zijn achtergrond, helaas vertelt hij dat niet.. Op dit moment ga ik even rusten en echt helemaal niks doen. Ik zie wel wat er van komt. Eerst maar even al mijn energie bij elkaar sprokkelen. | |
#ANONIEM | maandag 19 mei 2014 @ 21:10 |
Heb je ambities voor een studie wiskunde na het vwo? ![]() | |
netchip | maandag 19 mei 2014 @ 21:26 |
Wiskunde (en natuurkunde in mindere mate) is wel iets wat me erg bezig houdt, en wat ik ook leuk vind om te doen. ![]() De komende drie jaar ga ik me orienteren op een studiekeuze, maar wiskunde is zeker een optie, zoals ik er nu tegen aankijk. ![]() [ Bericht 3% gewijzigd door netchip op 19-05-2014 21:54:14 ] | |
Diacetylmorfine | dinsdag 20 mei 2014 @ 21:44 |
Riparius, kun jij boeken over chaos theorie aanraden? | |
Riparius | dinsdag 20 mei 2014 @ 21:46 |
Nee. Wellicht kan Thabit je wel iets aanraden. Hoewel, ik herinner me net het bestaan van dit boekje. Maar dat heb ik zelf niet gelezen of ingezien, dus kan ik het in stricte zin ook niet aanraden. [ Bericht 10% gewijzigd door Riparius op 20-05-2014 21:51:22 ] | |
Riparius | dinsdag 20 mei 2014 @ 21:50 |
[ Bericht 100% gewijzigd door Riparius op 20-05-2014 21:50:39 ] | |
netchip | woensdag 21 mei 2014 @ 15:39 |
Nieuws! ![]() Ben vandaag naar mijn docente gegaan, en ze zei dat ze de boeken vrijdag mee zou nemen, als het goed is ![]() | |
jordyqwerty | woensdag 21 mei 2014 @ 15:59 |
Zie je nou dat het niet 'awkward' is ![]() | |
Holograph | woensdag 21 mei 2014 @ 16:04 |
Omschrijven van een formule: 5.3324 -/- k * SQRT(5,1172) = 0,5819 Dus ik denk: k * SQRT(5,1172)= 5,9143 k = 5,9143/SQRT(5,1172) = 2,6145 Echter, de antwoordindicatie laat zien dat k = 2,1. Wie kan me uitleggen wat ik verkeerd doe? | |
Anoonumos | woensdag 21 mei 2014 @ 16:13 |
Waarom schrijf je -/- ? 5.3324 - k * SQRT(5,1172)= 0.5819 k * SQRT(5,1172)= 5,3324 - 0.5819 = 4.7505 (Jij deed hier optellen) k = 4.7505 / SQRT(5,1172) = 2.1000 | |
Holograph | woensdag 21 mei 2014 @ 16:43 |
Aah ik snap 'm! Thanks! | |
defineaz | donderdag 22 mei 2014 @ 05:13 |
Ik heb wat problemen met een inleveropgave complexe analyse. Ik denk dat ik iets moet doen met de stelling van Rouché, die zegt dat als f en g analytisch zijn op een simply connected domein en |f(z)| < |g(z)| op een contour in dat domein, dat f(z) + g(z) evenveel nulpunten heeft als g(z) binnen de contour. Een andere identiteit die van pas kan komen is ∫C f'(z)/f(z) dz = 2πi(n0(f; C) - np(f; C)) waar n0(f; C) het aantal nulpunten van f binnen C en het aantal polen van f binnen C zijn. De opdracht waar ik op dit moment het meeste problemen mee heb: Stel dat f analytisch is op een open set die |z| ≤ 1 bevat, behalve op polen in |z| < 1. Stel dat c een complexe constante is zodat |f(z)| < |c| als |z| = 1. Laat zien dat het aantal keren dat f de waarde c aanneemt op |z| ≤ 1 gelijk is aan het aantal polen. Hint: Vergelijk de polen en nulpunten van f - c. Tips en suggesties worden erg op prijs gesteld ![]() | |
Riparius | donderdag 22 mei 2014 @ 08:05 |
Misschien mis ik iets, maar dit lijkt me vrij triviaal. Neem g(z) = f(z) − c, en zij C de eenheidscirkel, dan is het duidelijk dat g(z) geen nulpunten heeft op C aangezien |f(z)| < |c| en dus f(z) ≠ c voor |z| = 1. Eventuele nulpunten van g(z) op de gesloten cirkelschijf |z| ≤ 1 liggen dus binnen C, en datzelfde geldt voor eventuele polen van g(z), aangezien g(z) en f(z) dezelfde polen hebben en f(z) geen polen heeft op C. Nu hebben we (1) ∫C g'(z)/g(z) dz = 2πi(n0(g; C) - np(g; C)) waarbij n0(g; C) en np(g; C) het aantal nulpunten resp. het aantal polen van g(z) binnen C zijn, en daarmee dus ook het aantal malen dat f(z) binnen C de waarde c aanneemt resp. het aantal polen van f(z) binnen C (Cauchy's argument principe). Maar nu is g'(z) = f'(z) op C en hebben we (2) ∫C g'(z)/g(z) dz = ∫C f'(z)/(f(z)−c) dz en met de substitutie w = f(z) en dus dw = f'(z)·dz hebben we ook (3) ∫C f'(z)/(f(z)−c) dz = ∫f(C) dw/(w −c) waarbij f(C) het beeld is in het w-vlak van de eenheidscirkel onder f. Nu is het zo dat de integraal in het rechterlid afgezien van de factor 2πi niets anders voorstelt dan het windingsgetal W(f(C), c) van de gesloten curve f(C) ten opzichte van c, dus (4) ∫f(C) dw/(w −c) = 2πi·W(f(C),c) Maar nu is |f(z)| < |c| voor |z| = 1, zodat het punt c 'buiten' het beeld f(C) van C ligt en het windingsgetal van f(C) ten opzichte van c dus gelijk is aan nul oftewel (5) W(f(C),c) = 0 Uit (1) t/m (5) volgt dus (6) n0(g; C) − np(g; C) = 0 en aangezien f(z) niet de waarde c aanneemt en evenmin polen heeft voor |z| = 1 betekent dit niets anders dan dat het aantal malen dat f(z) de waarde c aanneemt voor |z| ≤ 1 gelijk is aan het aantal polen van f(z) voor |z| ≤ 1, QED. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 24-05-2014 01:08:20 ] | |
defineaz | donderdag 22 mei 2014 @ 08:45 |
Ik denk het niet. Misschien moeilijk voor te stellen voor jou, maar ik heb er een tijd lang naar gekeken zonder enig resultaat. Misschien komt het omdat ik nu bij het vak instroom (ik heb het eerste deel quarter gemist, lang verhaal). Ik mis soms wat trucjes die die de rest van de klas wel al goed lijkt te beheersen (ik heb nog niet echt gewerkt met het windingsgetal, en ben daar blijkbaar nog niet echt handig genoeg mee). Ook het beeld van de contour C onder f is voor mij ver van triviaal (het is niet ingewikkeld, maar ik zou er gewoon niet op komen omdat ik er nog niet mee gewerkt heb). Dat is het enige gedeelte waar ik nog even naar moet kijken, de rest is helemaal helder ![]() Grappig genoeg is dit vak voor 'getalenteerde wiskundeleerlingen' in de US. Het niveau hier is wel wat lager dan in Nederland (hoewel ik dit vak dus wel wat lastiger vind omdat ik later ben ingestroomd). In ieder geval hartstikke bedankt, ik was er waarschijnlijk niet op gekomen (de eerste stap zag ik al niet). | |
Riparius | donderdag 22 mei 2014 @ 08:59 |
Welk boek gebruiken jullie? Ik vond het zo triviaal dat ik me niet kon voorstellen dat hier een inleveropdracht van wordt gemaakt. Vandaar dat ik er wel even naar heb gekeken om te zien of ik wellicht iets miste. Succes met je vak complexe analyse! | |
defineaz | donderdag 22 mei 2014 @ 09:31 |
Basic Complex Analysis, 3rd edition, Jerrold Marsden and Michael Homan. 'Gebruiken' is een groot woord. Het vak bestaat enkel uit hoorcolleges met een kleine klas (6 tot 8 personen) waarin voornamelijk stellingen worden bewezen of voorbeelden gegeven van de evaluatie van integralen (of bijvoorbeeld het toepassen van de stelling van Rouché die ik eerder al noemde). Er zijn geen tentamens of quizzes (die volgens mij iets meer worden toegepast in het Amerikaanse systeem dan in het Nederlandse), en voor dit vak (het is een zogenaamd 'college of creative studies'-vak) geen cijfer maar een variabel aantal studiepunten (en het is niet me niet helemaal duidelijk of dit alleen van je cijfer voor de inleveropdrachten afhangt of ook van de indruk die je maakt op de docent). Ik volg een ander vak dat enigzins vergelijkbaar is (introduction to complex variables), maar een stuk meer gericht op het 'straightforward' evalueren van integralen en dergelijke (hier is gewoon er een inleveropdracht en twee tentamens). Omdat we hiervoor veel opdrachten uit het boek (Saff - Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering and Science) moeten maken, gebruik ik eigenlijk alleen dit boek (ook als PDF). Van het weinige wat ik van het eerste boek gezien heb, heb ik de indruk gekregen dat beide boeken erg vergelijkbaar in opzet zijn. Je hebt gelijk: dit is één van de vier opdrachten van de inleveropdracht. Ik vind de inleveropdrachten soms vrij moeilijk. Soms heb ik het geluk dat een methode om een bepaalde integraal te evalueren net bij het andere vak is behandeld, of dat ik een vergelijkbare opdracht op mathoverflow vind, of een bewijs of voorbeeld in het boek dat een vergelijkbaar probleem als in de opdracht oplost. Het is een beetje een struggle, maar tot nu toe lukt het heel aardig (ik heb geloof ik één keer eerder een post op een ander forum gemaakt omdat ik ergens niet uitkwam, en een keer naar de office hours van de docent gegaan). Ik heb hier het nadeel dat ik niet echt met mijn medestudenten praat over de stof, wat volgens mij toch wel erg goed is voor je begrip. Dank! | |
Riparius | donderdag 22 mei 2014 @ 09:59 |
Volg je een complete studie in de VS of zit je daar maar tijdelijk? (Als je hier liever niet op antwoordt, vind ik het ook best, ik beantwoord zelf nooit privé vragen). Het boek van Marsden en Homan ken ik niet, en kan het zo snel ook niet vinden. Ah zo. Dit boek kon ik wel direct vinden, maar ik heb nu geen tijd om het serieus door te nemen. Wel viel me het grappige plaatje op (p. 361) bij het theorema van Rouché: het principe van de hond aan de lijn die niet vaker of minder vaak rond een lantarenpaal kan lopen dan jijzelf als je de lijn maar korter houdt dan je eigen afstand tot de lantarenpaal wanneer je met de hond aan de lijn rondjes maakt rond de lantarenpaal. Visualiseren is erg belangrijk om meer inzicht te krijgen bij complexe analyse. En lees ook wat andere boeken naast de voorgeschreven of aanbevolen literatuur. | |
t4rt4rus | donderdag 22 mei 2014 @ 11:07 |
Déjà vu, Hey inderdaad p. 361 van Saff en Snider ![]() Ik heb vrij veel van dat boek gelezen. Maar moet het misschien maar weer eens gaan lezen, al die theorems zakken een beetje weg. En ik vind complexe analyse ook best wel leuk. | |
defineaz | vrijdag 23 mei 2014 @ 04:58 |
Tijdelijk. Een half jaar om precies te zijn (maar het zit er inmiddels al bijna op). Ik heb hier een tijd geleden nog wel gepost onder de username kutkloon7 (en eerder onder de naam minibeer). Ik weet dat je een goed geheugen hebt, dus je kan je vast nog wel wat dingen herinneren ![]() | |
Riparius | vrijdag 23 mei 2014 @ 06:20 |
Jazeker, ik herinner me dat jij o.a. aan kwam met dat aardige vraagstukje over die gelijkzijdige driehoek waarvan de hoekpunten met constante snelheid naar elkaar toe bewegen en dat toen aanleiding gaf tot heel wat posts, en ik heb ook nog wel eens een opgave voor je uitgewerkt waar naar een bewijs werd gevraagd voor de convergentie van de Newton-Raphson iteratie voor A1/3, en het was ook een vraag van jou over het memoriseren van goniometrische identiteiten die leidde tot een lange post van mij waar ik later nog een PDF van heb gemaakt. Verder sprak de meetkundige motivatie die ik gaf van de formule van Euler eit = cos t + i·sin t je erg aan. Zie daarvoor overigens ook Tristan Needham, Visual Complex Analysis, een boek dat je erg goed naast je huidige leerboeken zou kunnen lezen. En zo was er nog wel meer (dat ik me inderdaad nog herinner maar dat ik nu niet allemaal op ga sommen). Ik had het kunnen weten, want je leek me te kennen van het forum en je hebt toen je nog hier zat wel eens gevraagd naar dictaten over complexe analyse. Je vond toen vooral een Vlaams dictaat wel aardig want je had liever leerboeken in het Nederlands (zal nu dus wel even wennen zijn ...). En je hebt inderdaad ook wel eens aangegeven dat je een poosje naar de VS wilde voor studie. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 24-05-2014 18:27:21 ] | |
Diacetylmorfine | zondag 25 mei 2014 @ 14:04 |
Dank, misschien dat Thabit nog langs komt met een aanrader. Ik denk dat ik hier de komende week vaste klant ben, ik heb grote moeite met analyse. Wanneer ik de stof in het dictaat lees begrijp ik het goed, maar zodra ik aan kom bij de opgaven sla ik dicht. Ik zie niet wat ik precies moet bewijzen, of hoe ik dit moet doen; het valt allemaal wel op zijn plek wanneer de werkcollege begeleider (of iemand anders) het voor doet, maar ik kan het zelf niet produceren. Er is me verteld dat het puur oefenen is, maar dat komt maar niet van de grond. Bijvoorbeeld deze oefening: gegeven is een metrische ruimte (V,d), een deelverzameling A uit V, en een punt p dat in de afsluiting van A ligt, maar niet in A zelf. Toon aan dat voor iedere delta groter dan 0 de doorsnede van A en de bol met middelpunt p en straal delta oneindig veel elementen bevat. Hoe begin ik aan zo'n oefening? | |
Mathemaat | zondag 25 mei 2014 @ 15:00 |
De definitie nalezen van wat het betekent dat p in de afsluiting zit en vervolgens kijken hoe je hiermee oneindig veel elementen kunt kiezen. | |
Mathemaat | zondag 25 mei 2014 @ 15:04 |
Voor wat is dit? | |
Diacetylmorfine | zondag 25 mei 2014 @ 22:57 |
Het is kort aan bod gekomen bij een vak eerder dit jaar, en ik wil me er wat verder in verdiepen. De definitie van een limietpunt van A is volgens het dictaat een punt p uit een deelverzameling A van een metrische ruimte V waarvoor geldt dat voor iedere delta groter dan 0 de doorsnede van A en de bol met straal delta rondom p niet leeg is. Maar stel dat er een eenzaam punt in die doorsnede ligt voor een kleine delta, en er voor willekeurig grote delta geen andere punten in de doorsnede liggen, dan bevat de doorsnede toch een eindig aantal elementen? Of zie ik iets over het hoofd? | |
Anoonumos | maandag 26 mei 2014 @ 00:20 |
Nee, want dan neem je delta klein genoeg zodat dat ene punt niet meer in de doorsnede ligt, en dat kan omdat p geen element is van A. Dus tegenspraak met de definitie van limietpunt, want voor elke delta > 0 moet er een punt in de doorsnede liggen. Op dezelfde manier gaat het fout voor elke eindige hoeveelheid punten in de doorsnede. | |
Mathemaat | maandag 26 mei 2014 @ 11:18 |
Ik zou als ik jou was eerst multivariabele analyse en differentiaalvergelijkingen halen, want dat heb je nodig om erin te kunnen verdiepen. En dan kun dat als je bachelorscriptieonderwerp kiezen, als dat je interessant lijkt. Het is gegeven dat zodat Dus er geldt dat Hierbij moet je snappen dat elke metrische ruimte Hiermee kun je dan oneindig verschillende elementen kiezen in door met de delta te spelen. Werk de details voor jezelf uit ![]() [ Bericht 0% gewijzigd door Mathemaat op 26-05-2014 11:34:09 ] | |
Diacetylmorfine | maandag 26 mei 2014 @ 12:38 |
Ahja, dat is logisch. Ik bekijk even de mogelijkheden; een bewijs door tegenspraak? Als ik dat zo hoor is het denk ik verstandiger om eerst heelhuids door analyse heen te komen. Ik zal er nog even van af blijven. Ik snap wat je zegt, maar niet hoe ik dat kan gebruiken. Mag ik spelen voor nog een hint? | |
Mathemaat | maandag 26 mei 2014 @ 14:54 |
Nee, want je hoeft nog maar één ding te doen eigenlijk; ik heb alles gegeven wat je nodig hebt en moet doen. [ Bericht 2% gewijzigd door Mathemaat op 26-05-2014 16:01:02 ] | |
thabit | maandag 26 mei 2014 @ 15:09 |
Helaas, ik ken geen boeken over chaostheorie. | |
-J-D- | maandag 26 mei 2014 @ 15:33 |
Dit boekje heb ik wel in mijn bezit gehad bij mijn studie. Een aanrader wat mij betreft. | |
Diacetylmorfine | maandag 26 mei 2014 @ 16:50 |
Ik zie het echt niet. | |
Mathemaat | maandag 26 mei 2014 @ 19:29 |
Kun je laten zien dat er ten minste één element daarin zit? En twee elementen? En drie? | |
Diacetylmorfine | dinsdag 27 mei 2014 @ 20:50 |
Nu ik er zo over na denk weet ik dat eigenlijk alleen vanuit de definitie. Ik maakte geen grapje toen ik aan gaf dat ik de draad kwijt was. | |
hanskarel | zondag 1 juni 2014 @ 12:06 |
Wil iemand mij aub, in een stappenplan uitleggen hoe ik de horizontale asymptoot van een hyperbolische functie moet bepalen?? Het is heel belangrijk en moet heel duidelijk en netjes in een stappenplan staan, want ik ben namelijk een beetje slecht van begrip en dit moet ik leren voor een toets. Alvast bedankt ! | |
hanskarel | zondag 1 juni 2014 @ 17:09 |
Wil iemand mij aub, in een stappenplan uitleggen hoe ik de horizontale asymptoot van een hyperbolische functie moet bepalen?? Het is heel belangrijk en moet heel duidelijk en netjes in een stappenplan staan, want ik ben namelijk een beetje slecht van begrip en dit moet ik leren voor een toets. Alvast bedankt ! | |
Riparius | zondag 1 juni 2014 @ 17:26 |
Je hebt deze vraag al eerder gesteld in het verkeerde topic (hier) en toen heb ik je niet alleen verzocht om je vraag hier opnieuw te stellen maar ook om een voorbeeld te geven van het soort vraagstukken dat je geacht wordt op te lossen en te laten zien wat je zelf al hebt gedaan en waarom het niet lukt. Waarom doe je dat dan niet? | |
Super-B | vrijdag 6 juni 2014 @ 16:15 |
Hallo allen, daar ben ik weer. Ik heb al enige tijd mijzelf zoet gehouden met wiskunde. Tot mijn verbazing heb ik in deze tijd geen vragen gesteld in dit topic. Ik merk dat ik langzamerhand steeds meer vooruitgang boek. Ik heb een kleine vraag bij het volgende: (2√3 / √2)³ --> moet geschreven worden in de standaardvorm. Moet ik de 2 die buiten de wortel, die in de teller staat, ook machtsverheffen met het exponent 3? Ik deed het volgende stapgewijs: (2√3 / √2)³ Alle getallen verheffen met de macht (8√9) / (√8) De noemer en teller vermenigvuldigen met √8 (8√72) / 8 72 uit de wortel halen door het getal 36 te nemen (6x6 = 36) (48√2) / 8 48 delen door 8 resulteert tot 6 dus.. 6√2 [ Bericht 16% gewijzigd door Super-B op 06-06-2014 16:22:33 ] | |
Anoonumos | vrijdag 6 juni 2014 @ 16:42 |
33 = 27 niet 9, dat is je enige fout. | |
Riparius | vrijdag 6 juni 2014 @ 17:00 |
Dit gaat eenvoudiger als je eerst bedenkt dat je hebt 2√3 / √2 = 2√6 / 2 = √6 zodat (2√3 / √2)3 = (√6)3 = 6√6 | |
Super-B | vrijdag 6 juni 2014 @ 17:01 |
Thanks. Hoe gaat het met ³√(1 / 343) ? | |
Riparius | vrijdag 6 juni 2014 @ 17:03 |
Als je herkent dat 343 = 73 dan zie je meteen dat dit gelijk is aan 1/7. | |
Super-B | vrijdag 6 juni 2014 @ 17:06 |
Ja, maar ik probeer het handmatig op te lossen door de wortel in de noemer weg te werken. Zoals dat moet gebeuren mij tweedemachtswortels. | |
Super-B | vrijdag 6 juni 2014 @ 17:08 |
De volgende methode is mij hartstikke duidelijk:![]() Maar deze niet: ![]() Het bovenste deel wordt inderdaad 630, wat in de wortel moet blijven horen, maar hoe kom je tot 1/15? Daarnaast wordt het toch 3² x 5^4 ... als je 3 x 5² met 3 x 5² vermenigvuldigd.. Ik ken namelijk alleen de eerste methode (eerste afbeelding). | |
Riparius | vrijdag 6 juni 2014 @ 17:11 |
Dan moet je 343 ontbinden in priemfactoren omdat je elk drietal gelijke priemfactoren als één zo'n factor voor het derdemachtswortelteken kunt brengen. Maar dan vind je uiteraard ook dat 343 = 73 en dus 3√343 = 3√(73) = 7. | |
Super-B | vrijdag 6 juni 2014 @ 17:14 |
Ik snap wat je bedoeld, maar kun je de methode niet toepassen hierop dat de wortel van de noemer met zichzelf wordt vermenigvuldigd waardoor het 343 wordt in de noemer en in de teller √343 wat dus oplevert 7.. Dus 7 / 343 = 1/49 | |
Riparius | vrijdag 6 juni 2014 @ 17:20 |
De bedoeling is om in de noemer van de breuk waarvan we de derdemachtswortel nemen van elke priemfactor een aantal te krijgen dat een drievoud is. Je ziet dat we hebben 75 = 3·52 We hebben dus in de priemfdactorontbinding van 75 één factor 3 en twee factoren 5. Maar nu willen we in de noemer drie factoren 3 en drie factoren 5 krijgen. En dat betekent dat er in de noemer nog twee factoren 3 bij moeten en één factor 5. Dat kunnen we krijgen door teller en noemer van de breuk te vermenigvuldigen met 32·5 en dat is dan ook precies wat hier wordt gedaan. Vervolgens heb je in de noemer 3√(33·53) = 3·5 = 15 | |
Riparius | vrijdag 6 juni 2014 @ 17:22 |
Nee, want het gaat hier om derdemachtswortels, niet om vierkantswortels. | |
Super-B | vrijdag 6 juni 2014 @ 17:26 |
Aha zo... Nou bij deze deed ik de methode: 5√32 / 5√-243 De priemontbindingen zijn: 5√2^5/ 5√-3^5 Dat heeft 5 exponenten zoals hoort.. Maar wat dan? | |
Riparius | vrijdag 6 juni 2014 @ 17:32 |
Het principe blijft hetzelfde. De n-de machts wortel uit an is a (voor a ≥ 0), want a is het getal dat je tot de n-de macht moet verheffen om an te krijgen. Dus heb je 5√(25) = 2 en 5√(35) = 3 en in het algemeen voor a ≥ 0 n√(an) = a | |
Super-B | vrijdag 6 juni 2014 @ 17:36 |
Thanks Riparius! ![]() | |
Super-B | vrijdag 6 juni 2014 @ 17:49 |
Ik loop hier ook vast: ((-√7) / (2√2)) ^4 Ik deed: (-4 √28) / (8√8) Is dat goed? | |
netchip | vrijdag 6 juni 2014 @ 17:51 |
Hmm. Deel 1 van Getal en Ruimte WiB VWO 4 valt een beetje tegen ![]() ![]() Iedereen die klaar was met het huidige boek mocht door de bovenbouw boeken bladeren, de eenheidscirkels zagen er... eng uit ![]() | |
Super-B | vrijdag 6 juni 2014 @ 18:05 |
³√-3 / ³√2 Ik hou uiteindelijk 1/2 ³√-12 over... De min moet uit de wortel en naast 1/2 staan, maar hoe doe ik dat? | |
Super-B | vrijdag 6 juni 2014 @ 18:08 |
Daarnaast: 5√7 / 5√-27 Hoe ga ik met die -27 om in priemgetallen? Ik wil het ontbinden zodat ik de priemgetallen heb.. Maar moet ik dan gewoon beginnen met -27 / 3 of -27 / -3 ? | |
Riparius | vrijdag 6 juni 2014 @ 18:18 |
Bij onevenmachtswortels kun je binnen de reële getallen wel de wortel nemen van een negatief getal. En aangezien 3√(−1) = −1 heb je dus ook 3√(−12) = 3√((−1)·12) = 3√(−1)·3√12 = −3√12 | |
Super-B | vrijdag 6 juni 2014 @ 18:20 |
Die min kun je in principe gewoon d.m.v. een soort regel (wat jij postte zojuist) altijd buiten de wortel halen? | |
Riparius | vrijdag 6 juni 2014 @ 18:21 |
Breng eerst het minteken vóór het wortelteken, en daarmee vóór de breuk, aangezien a/(−b) = −a/b. | |
Riparius | vrijdag 6 juni 2014 @ 18:26 |
Niet altijd, alleen bij onevenmachtswortels. En het is niet een of andere duistere regel, maar gewoon de regel n√(a·b) = n√a · n√b Let wel op dat deze regel voor even n alleen geldt als a en b beide niet negatief zijn. Bij oneven n mogen a of b (of beide) wel negatief zijn. | |
Super-B | vrijdag 6 juni 2014 @ 19:32 |
Je bent een held. Dank je wel! Laatste ''wortel''vraag: Hoe vermenigvuldig/deel je wortels die ongelijk aan elkaar zijn? Gewoon herschrijven naar machtenvorm en vervolgens de regels voor machten toepassen? | |
Riparius | vrijdag 6 juni 2014 @ 19:42 |
Geef eens een voorbeeld en laat zien hoe je dat zelf zou herleiden. | |
Super-B | vrijdag 6 juni 2014 @ 19:50 |
Drie voorbeelden (twee m.b.t. machten en wortels en één m.b.t. ongelijke wortels): 1 / (2 4√2) --> 2-1/4 * 2 3 / ²√3 -- > geen idee vanwege die 3 in de teller? ²√2 : ³√2 --> 2-1/2 : 2-1/3 en vervolgens ....dan: 2-1/6 volgens de machtregel van het delen van letters/getallen met machten. | |
Riparius | vrijdag 6 juni 2014 @ 20:06 |
Nee, die factor 2 staat in de noemer van de breuk en is dus 1/2 = 2−1. 1 / (2·4√2) = 2−1·2−1/4 = 2−5/4 Tuurlijk weet je dit wel. 3 = 2√9, dus 3 / 2√3 = 2√9 / 2√3 = 2√(9/3) = 2√3 Nee. Je hebt voor a > 0 n√a = a1/n en ap : aq = ap−q dus 2√2 : 3√2 = 21/2 : 21/3 = 21/2 − 1/3 = 21/6 [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 07-06-2014 15:21:09 ] | |
Super-B | vrijdag 6 juni 2014 @ 20:12 |
Die tweede begrijp ik geen donder van. ![]() | |
Riparius | vrijdag 6 juni 2014 @ 20:19 |
Vierkantswortels komen zo vaak voor dat men de 2 dan meestal weglaat, dus 2√9 is hetzelfde als √9. En je weet toch dat 3 = √9 en ook dat voor a,b > 0 geldt √a / √b = √(a/b) Dus hebben we 3 / √3 = √9 / √3 = √3 Andere manier: vermenigvuldig teller en noemer van 3 / √ 3 met √3, dan krijg je 3 / √3 = 3√3 / 3 = √3 | |
Super-B | vrijdag 6 juni 2014 @ 20:24 |
Laat maar heb het al! ![]() | |
Super-B | vrijdag 6 juni 2014 @ 20:28 |
Is het ook goed als ik jouw methode voor die tweede gebruik? Dus een deling met wortels oplossen dmv priemgetallen ipv de wortel met hetzelfde wortel te vermenigvuldigen? Ik los nu wortels op dmv priemgetallen en dat gaat een stuk beter en ik begrijp het ook veel beter. Eerst ging ik trial and error uitoefenen op de wortels.. om zodoende op een getal uit te komen dat vereenvoudigbaar is etc.. Duurde veelste lang en was ook maar 70% kans dat het goed uitkwam. | |
Super-B | vrijdag 6 juni 2014 @ 20:34 |
Nog één 7 / 5√7 Ik gebruikte de priemgetallen methode en dus: 5√7 * 7^4 (om zodoende een 5e macht ervan te maken) levert dus op 5√2401 en dat is gewoon 7 en dan de teller: 7 = 5√16807 Aangzien ook de noemer weg is gewerkt dmv 7^4 via de priemgetallen methode, dus ook de teller met 7^4 vermenigvuldigen dus: 5√16807 * 7^4 En dus 5√40353607 / 7 Wat doe ik fout? | |
Riparius | vrijdag 6 juni 2014 @ 21:05 |
Je wil hier kennelijk 5√7 vermenigvuldigen met 5√(74) om 5√(75) = 7 te krijgen in de noemer, maar dan moet je de teller ook vermenigvuldigen met 5√(74). Nee, zo werkt dat niet, omdat je iets anders doet dan je beweert. Je hebt de noemer niet vermenigvuldigd met 74 en dus mag je de teller ook niet vermenigvuldigen met 74. Je hebt de noemer immers vermenigvuldigd met 5√(74) en dus moet je nu de teller ook vermenigvuldigen met 5√(74). En dan krijg je voor de teller 5√(75) · 5√(74) = 5√(79) En de breuk wordt dan 5√(79−5) = 5√(74) Maar denk je nu echt dat dit handig is? Wat zou je denken van 7 / 5√7 = 7 / 71/5 = 74/5 = 5√(74) = 5√2401 ? [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 06-06-2014 22:44:55 ] | |
Super-B | vrijdag 6 juni 2014 @ 21:36 |
Hoe verandert 7 / 71/5 opeens in 74/5 ? | |
Super-B | vrijdag 6 juni 2014 @ 21:39 |
Ik heb dit keer dit gedaan: 5 √(7^5 * 7^4) / 5 √(7^1 * 7^4) = 7 5√(7^4) / 7 En dus 5√(7^4) en dus 74/5 | |
Super-B | vrijdag 6 juni 2014 @ 21:59 |
((a-²)³(2a³)²)² Ik kom uit op -a12 * 16a12 Dus -16a24 Antwoordenboek zegt 16a i.p.v -16 ?! | |
Aardappeltaart | vrijdag 6 juni 2014 @ 22:48 |
Welke rekenregel voor machten ken je met betrekking tot delingen? Leer de regels nu eens goed en pas ze systematisch toe... | |
Riparius | vrijdag 6 juni 2014 @ 22:48 |
Weer de bekende rekenregel ap : aq = ap−q en aangezien 7 = 71 krijg je dan 7 / 71/5 = 71 : 71/5 = 71−1/5 = 74/5 | |
Aardappeltaart | vrijdag 6 juni 2014 @ 22:56 |
Omdat je de vraag verkeerd interpreteert of overschrijft. Er staat nu ergens a-2. Dat is wiskundige onzin. Ik weet niet wat de goede formulering van de vraag wel is, maar bedenk je dit: (-a)2 = -a*-a =a2, maar -(a2) = -a2. Of een getal eerst gekwadrateerd wordt en dan negatief wordt of andersom is dus essentieel. | |
Super-B | vrijdag 6 juni 2014 @ 23:38 |
Oeps er moest -a^2 staan.. voor de rest staat het er zo. | |
Aardappeltaart | vrijdag 6 juni 2014 @ 23:44 |
Dan heeft het precies met mijn opmerking te maken. Heb je die gelezen? | |
Riparius | zaterdag 7 juni 2014 @ 00:04 |
((−a2)3(2a3)2)2 = (−a6·22·a6)2 = (−4a12)2 = (−4)2(a12)2 = 16a24 Je had natuurlijk direct moeten zien dat er niet iets negatiefs uit kon komen, aangezien de uitdrukking die je moest herleiden een kwadraat is, namelijk het kwadraat van (−a2)3(2a3)2. | |
Super-B | zaterdag 7 juni 2014 @ 13:55 |
- [ Bericht 99% gewijzigd door Super-B op 07-06-2014 15:07:22 ] | |
Super-B | zaterdag 7 juni 2014 @ 15:07 |
Ik heb de uitslag van de wiskunde deficiëntie toets ontvangen via de post. Ik heb een 7,0 behaald! ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() [ Bericht 37% gewijzigd door Super-B op 07-06-2014 16:16:58 ] | |
Anoonumos | zaterdag 7 juni 2014 @ 15:35 |
Gefeliciteerd ![]() | |
Super-B | zaterdag 7 juni 2014 @ 15:39 |
Thanks! ![]() Ik was nog hartstikke onzeker erover toen de toets voorbij was. Want de stof was vrijwel nieuw voor mij. Nja diepgaander, zal ik het zo stellen. Op de havo en op het hbo stelde wiskunde niks voor. Grappige is dat ik al was begonnen met het leren voor de herkansing. Gelukkig heb ik het voor ''niets'' geleerd. Wat een verademing die 7,0. Ben echt blij! ![]() Nu nog het cijfergemiddelde boven de 7,5 houden (nu tussen de 7,5 a 7,7/7,8) en dan kan ik naar mijn gewenste wo-opleiding. ![]() | |
nodig | zaterdag 7 juni 2014 @ 19:41 |
Gefeliciteerd SuperB! Ik ben ook geslaagd, met een 8,6 ![]() | |
Super-B | zaterdag 7 juni 2014 @ 20:53 |
Gefeliciteerd!!! ![]() Alleen nog mijn cijfergemiddelde. Enige wegversperring op dit moment! | |
nodig | zaterdag 7 juni 2014 @ 21:08 |
Heb ik mij de hele tijd voor niks druk gemaakt ![]() Achja ![]() ![]() | |
Super-B | zaterdag 7 juni 2014 @ 21:16 |
Ik was vandaag en gister nog keihard aan het leren voor de herkansing. ![]() Gelukkig heb ik voor niks geleerd. Liever voor niks leren dan daadwerkelijk moeten herkansen. ![]() ![]() ![]() Alleen nog die cijfergemiddelde en dan is het echt feest! ![]() ![]() | |
nodig | zaterdag 7 juni 2014 @ 21:18 |
Ik denk dat mijn motivatie naar een nulpunt was gedaald als ik een onvoldoende had ![]() Ik zit wel goed met mijn gemiddelde, ik ben dus zo goed als binnen ![]() | |
Super-B | zaterdag 7 juni 2014 @ 21:23 |
Wil je nog voor mij bidden? ![]() | |
netchip | woensdag 18 juni 2014 @ 17:05 |
Hmm, even een vraag. Als je hebt: Is sin(x) een voorbeeld van zo'n functie? Nog een vraag: [ Bericht 12% gewijzigd door netchip op 18-06-2014 21:34:08 ] | |
tacos049 | woensdag 18 juni 2014 @ 20:43 |
hoekpositie | |
Alrac4 | woensdag 18 juni 2014 @ 21:21 |
Klein detail, sin(x) voldoet niet hieraan, want deze functie is afhankelijk van x en niet van t Ken je de productregel of de quotiëntregel? Volgens mij is het niet mogelijk om dit met alleen de kettingregel te doen, maar daar denkt Riparius vast anders over ![]() Je maakt hier wel een foutje met de kettingregel. Als je | |
netchip | woensdag 18 juni 2014 @ 21:33 |
Dat was een tikfoutje ![]() ![]() Nu kan ik hem wel oplossen ![]() Is sin(t) dan wel goed? | |
Riparius | donderdag 19 juni 2014 @ 02:12 |
Je was kennelijk niet alleen de productregel maar ook de quotiëntregel vergeten. Wonderlijk dat je je dan de kettingregel nog wel kon herinneren. Er is nochtans een eenvoudig ezelsbruggetje om de zowel de productregel als de quotiëntregel af te leiden uit de kettingregel. Ga uit van de bekende rekenregel ln(uv) = ln(u) + ln(v) en veronderstel dat u en v differentieerbare functies zijn van eenzelfde variabele. Beide leden differentiëren met behulp van de kettingregel geeft, aangenomen dat u en v alleen positieve waarden aannemen (uv)'/uv = u'/u + v'/v en beide leden vermenigvuldigen met uv geeft dan (uv)' = u'v + uv' waamee je de productregel hebt gevonden. Geheel analoog kun je de quotiëntregel afleiden door uit te gaan van de rekenregel ln(u/v) = ln(u) − ln(v) en beide leden te differentiëren met behulp van de kettingregel, zodat je krijgt (u/v)'/(u/v) = u'/u − v'/v Beide leden vermenigvuldigen met u/v geeft dan (u/v)'= u'/v − uv'/v² oftewel (u/v)' = (u'v − uv')/v² waarmee je de quotiëntregel hebt gevonden. Uiteraard gelden de product- en quotiëntregel eveneens als u en of v niet-positieve waarden aannemen, behalve dat v niet nul mag zijn in het quotiënt u/v aangezien het quotiënt dan geen betekenis heeft. | |
Riparius | donderdag 19 juni 2014 @ 02:24 |
Inderdaad. Het zal je na lezing van het bovenstaande duidelijk zijn dat het in principe mogelijk is het gebruik van de product- en quotiëntregel te vermijden door gebruik te maken van logaritmisch differentiëren, maar ik raad dit niet aan, en zeker niet aan iemand die de kettingregel niet foutloos kan toepassen. | |
Brammetjuh94 | donderdag 19 juni 2014 @ 17:50 |
Hallo Allemaal, Ik zit echt met een probleempje ![]() Nu was de ondersteuning in dit cijfermatig gebeuren vanuit de opleiding BAR-slecht. Ik heb meerdere malen tijdens een vragen tienminuutje geprobeerd wijzer te worden, maar in deze tien minuten werd ik niet wijzer, maar juist meer verward. Volgens mij zijn hier mensen die echt verstand hebben van correlaties, regressies en dergelijke. Kan iemand mij op weg helpen met eventueel een voorbeeld? PS. we worden geadviseerd om met Excel te werken. | |
Maarten9191 | vrijdag 20 juni 2014 @ 13:57 |
Ik ben momenteel een keuze-onderwerp aan het voorbereiden van het mondeling examen VWO WisB dat halverwege volgende maand plaatsvind. Het gekozen onderwerp is voortgezette integraalrekening. Het gaat aardig, maar ik betrap mezelf erop dat ik werk met trucjes: ik pas de stappen toe, maar ik begrijp de onderliggende gedachte niet echt. Het begint eigenlijk al bij de volgende (basis-)notatie: df(x) = f'(x) * dx df(x) staat voor de afgeleide van f(x), nietwaar? Maar dan zou df(x) = f'(x) toch waar zijn? Waarom staat dx er dan achter? Want dx is toch niets anders dan de afgeleide van x? Of is dit net als bij kettingregel met bijvoorbeeld: d(x2 + 5)3 = d(u3) = 3u2 * u' = 3(x2 + 5)2 * 2x Voor de duidelijkheid: ik ben dus wat in de war over de betekenis en toepassing van dx. Bij voorbaat dank ![]() | |
#ANONIEM | vrijdag 20 juni 2014 @ 14:11 |
Nee, dy/dx = y' En omdat vaak geldt y = f(x) geldt dus d(f(x))/dx = f'(x) En dus d(f(x)) = f'(x)dx Nu staat d(f(x))/dx voor de richtingsafgeleide van f naar de variabele x. Maw je differentieert naar x. Stel dat je een functie van 2 variabelen hebt, dus g(x,y). Dan dg/dy is de partiële afgeleide van g naar y en dg/dx kun je dan vast wel raden. [ Bericht 48% gewijzigd door #ANONIEM op 20-06-2014 14:14:12 ] | |
thabit | vrijdag 20 juni 2014 @ 14:13 |
De uitdrukking df geeft een zogenoemde differentiaalvorm weer. Differentiaalvormen zijn in het algemeen sommen van uitdrukkingen fdg, waarbij f en g functies zijn: Er gelden allerlei rekenregels voor die differentiaalvormen: Verder geldt ook voor een functie f(x): Maar de variabele x kun je gewoon als functie interpreteren (dx is niet wezenlijk anders dan df), dus je krijgt hieruit bijvoorbeeld de kettingregel: | |
Maarten9191 | vrijdag 20 juni 2014 @ 15:19 |
Amoeba en thabit, bedankt! Het is nu wél duidelijk ![]() | |
thabit | vrijdag 20 juni 2014 @ 15:32 |
Goed om te horen. Op Wikipedia staat ook een heel stuk over differentiaalvormen, waarin ook meer algemene ruimten met meerdere dimensies behandeld worden (mijn post beperkt zich slechts tot differentiaalvormen op een rechte lijn). http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form | |
Riparius | vrijdag 20 juni 2014 @ 17:10 |
Dat moet je zo niet opschrijven. De kettingregel luidt in de notatie van Leibniz dy/dx = dy/du · du/dx Is nu u = x2 + 5 en y = u3 dan is y = (x2 + 5)3 en dan krijg je dus d((x2 + 5)3)/dx = d((x2 + 5)3)/d(x2 + 5) · d(x2 + 5)/dx = 3·(x2 + 5)2·2x Lees dit eens goed door, wellicht begint het dan te dagen. | |
Frootlup | zaterdag 21 juni 2014 @ 13:49 |
Ik moet ook dat mondeling gedoe doen. Alleen weet ik niet waar ik me op moet voorbereiden. Heb jij mischien nuttige informatie hierover? | |
Iateyourtaco | zondag 22 juni 2014 @ 00:09 |
Hoe herken je gemakkelijk welk integraalformule je moet toepassen? Ik raak vaak in de war tussen de afgeleide ![]() integraal f ' (x)*g(x)dx = f(x)*g(x) - integral f(x)* g ' (x) dx of integraal f(x)*g ' (x)dx = f(x)*g(x) - integral f ' (x)*g(x) dx | |
qua111 | zondag 22 juni 2014 @ 00:36 |
Geen ervaring met Google Analytics data, wel bijna in het bezit van m'n bachelor diploma Econometrie, dus wieweet? | |
Brammetjuh94 | zondag 22 juni 2014 @ 13:56 |
Bedankt nog voor de reactie, maar het is nu te laat. De deadline was helaas gisteren, maar ik hoop toch op een voldoende... ![]() | |
GeorgeArArMartin | maandag 23 juni 2014 @ 21:10 |
f(x)= sin(x2 + x) Ik weet dat f'(x) = (2x + 1) cos(x2 + x) Maar ik snap niet echt hoe ik tot de uitwerking kom. Ik dacht zelf het volgende: f'(x) = (f(x+dx) - f(x))/dx Maar dan loop ik vast wanneer ik de limiet van dx --> 0 neem... Ik kom uit op f'(x)= cos(x2+x) (limdx-->0) (sin(dx2+dx)/dx - sin(x2 + x)(limdx-->0 (1-cos(dx2+dx))/dx Maar ik snap nu niet hoe ik verder moet en/of ik wel de goede kant op ga. Kan iemand hier mij een duwtje in de goede richting geven?overigens excuses voor het niet gebruiken van Latex | |
Novermars | maandag 23 juni 2014 @ 21:12 |
Moet het echt met de definitie? Zoja, dan heb ik medelijden met je... | |
Janneke141 | maandag 23 juni 2014 @ 21:12 |
Kettingregel, f(x) = g ( h(x) ), dan f'(x) = g' ( h(x) ) * h'(x) | |
GeorgeArArMartin | maandag 23 juni 2014 @ 21:12 |
Is er een andere manier? | |
GeorgeArArMartin | maandag 23 juni 2014 @ 21:16 |
Sla ik dan niet een aantal stappen over? Want ik heb nu het idee dat (sin(dx2+dx))/dx en (1-cos(dx2+dx)/dx naar iets neigen als het limiet dx 0 nadert... Of bedoel je dat ik de ''limiettermen'' als h(x) moet benoemen en dan de kettingregel moet toepassen? Dan behoud ik de limieten toch wel lijkt me? | |
Novermars | maandag 23 juni 2014 @ 21:17 |
Zoals hierboven gezegd is: Kettingregel. Verder nog over je notatie: Zeggen dat Wat is je niveau eigenlijk? Dat is ook altijd handig om te weten. | |
Janneke141 | maandag 23 juni 2014 @ 21:19 |
Hangt ervan af wat de opdracht is. Iedere 5-VWO'er gebruikt hier de kettingregel voor, maar als je in een theoretisch hoofdstuk over definities van differentieerbaarheid zit dan wordt er misschien wat anders van je verwacht. VWO lees ik, dus gewoon de kettingregel gebruiken. Zie mijn eerdere post, waarbij g(x) = sin x en h(x) = x2+x | |
GeorgeArArMartin | maandag 23 juni 2014 @ 21:19 |
Oh, bedankt! Vwo, volgend jaar moet ik Wiskunde D voor het eerst volgen. | |
GeorgeArArMartin | maandag 23 juni 2014 @ 21:26 |
Sorry dat ik nogal traag overkom, het is dat ik dit nog nooit gehad heb... Afgelopen jaar heb ik alleen wiskunde B gehad en daar kwamen dit soort dingen zo goed als niet voor. Ik heb momenteel ook geen docent aan wie ik vragen kan stellen. In het voorbeeld wordt de afgeleide van sin(x) gedefinieerd op dezelfde manier waarbij gonio. identiteiten gebruikt worden, ik denk dat ik het op dezelfde manier moet doen. Dit is het bewijs dat ik op een oefenblad heb gekregen:
Is er ook een andere manier, waarmee het te bewijzen is? Of moet ik dan gebruik maken van het bewijs dat de afgeleide van sin(x), cos(x) is en dat de kettingregel klopt? | |
Janneke141 | maandag 23 juni 2014 @ 21:33 |
Wordt er gevraagd om te bewijzen dat de afgeleide is wat ie is, of wordt er alleen om de afgeleide gevraagd? Want het bewijs in je afbeelding is het bewijs dat sin'(x)=cos(x) maar dat hoef je niet iedere keer dat je dat gebruikt, te geven natuurlijk. | |
GeorgeArArMartin | maandag 23 juni 2014 @ 21:36 |
Er is alleen gezegd dat ik moet aantonen dat f'(x) = (2x + 1 )cos(x2 + x) de afgeleide is van f(x)= sin(x2 + x) Normaliter zou ik even bij de antwoorden kijken zodat ik weet wat hij voor antwoord verwacht, maar helaas is dit een door hemzelf samengesteld schrift zonder antwoorden. | |
Janneke141 | maandag 23 juni 2014 @ 21:37 |
Gezien het niveau (VWO) lijkt het me voldoende dat je de bekende rekenregels op de goede manier gebruikt en uitwerkt. Zie boven. | |
GeorgeArArMartin | maandag 23 juni 2014 @ 21:41 |
Dus f(x)= g(u(x)) met g(u)= sin(u) en u= x2 + x f'(x)= g'(u(x))u'(x) Waardoor u'= 2x + 1 en g(u) = cos(u) en dus f'(x) = cos(x2 + x)(2x+1) klopt/voldoet? | |
Janneke141 | maandag 23 juni 2014 @ 21:43 |
Lijkt me wel. | |
Riparius | maandag 23 juni 2014 @ 22:55 |
je moet niet dezelfde letter u tegelijk gebruiken als (1) een naam van een variable en (2) een naam van een functie, dat is conceptueel fout. Als je toch wil werken met een 'tussenvariabele', dan is het handiger om gebruik te maken van de kettingregel in de notatie van Leibniz dy/dx = dy/du · du/dx Zie ook hier en hier. Voor deze opgave heb je u = x2 + x en y = sin u zodat dy/du = cos u = cos(x2 + x) en du/dx = 2x + 1 en dus dy/dx = cos(x2 + x)·(2x + 1). Je kunt het ook opschrijven in de notatie van Leibniz zonder gebruik te maken van een 'tussenvariabele', dan wordt het d(sin(x2 + x))/dx = d(sin(x2 + x))/d(x2 + x) · d(x2 + x)/dx = cos(x2 + x)·(2x + 1). Tenzij dit expliciet in de opgave wordt gevraagd, is het niet nodig om de afgeleide van een gegeven functie aan te tonen aan de hand van de definitie van de afgeleide. Wil je dit toch, dan moet je het wel correct doen. Wat je hierboven doet lijkt nergens op. Om te beginnen verwar je een differentiaal dx met een (finiet) increment van je onafhankelijke variabele x, en zo'n increment wordt gewoonlijk aangegeven met Δx maar ook met de kleine letter h. En dan zit je ook nog te goochelen met je algebraïsche herleidingen (hint: leer je merkwaardige producten). Het is de bedoeling dat je eerst een uitdrukking opschrijft voor f(x + h) zodat je vervolgens Δy = f(x + h) − f(x) kunt herleiden. Je krijgt dan voor jouw opgave een verschil van twee sinussen, en het is dan het handigst om niet gebruik te maken van het additietheorema voor sin(α + β) zoals dat wordt gedaan in het bewijs voor de afgeleide van de sinusfunctie dat je had gekregen, maar om gebruik te maken van de formule van Simpson voor het verschil van twee sinussen sin θ − sin φ = 2·sin½(θ − φ)·cos½(θ + φ) Dan deel je Δy = f(x + h) − f(x) door Δx = h om het differentiequotiënt Δy/Δx = (f(x + h) − f(x))/h te bepalen, waarvan je dan weer - na nog wat verdere herleiding - de limiet voor h → 0 kunt bepalen om f'(x) te vinden. Hiervoor zul je gebruik moeten maken de 'standaardlimiet' limθ→0 sin θ / θ = 1 [ Bericht 18% gewijzigd door Riparius op 24-06-2014 18:30:20 ] | |
netchip | maandag 23 juni 2014 @ 23:15 |
Volgens mij bedoelen ze met aantonen wat anders dan met bewijzen. Ook al een paar keer overgestruikeld. | |
Riparius | maandag 23 juni 2014 @ 23:28 |
Lijkt me niet dat er een verschil is. Hooguit word je geacht het wat formeler op te schrijven als er naar een bewijs wordt gevraagd. Maar de vragensteller maakt niet duidelijk wat nu precies de bedoeling is, en wat hij wel en niet bekend mag veronderstellen, en dan is zijn vraag niet goed te beantwoorden. Het bewijs voor de afgeleide van de sinusfunctie dat hij als voorbeeld heeft gekregen is overigens ook slecht opgeschreven, dus als hij het daarvan moet hebben ... | |
Novermars | dinsdag 24 juni 2014 @ 16:34 |
Nou omdat ik gek ben: Te bewijzen: Gegeven: Definieer Hier begint het bewijs, voor Een standaard goniometrische identiteit geeft: Wat te splitsen valt in Vermenigvuldigen van beide expressies met Wanneer we de limiet nemen van Alles te samen: | |
Riparius | dinsdag 24 juni 2014 @ 17:01 |
Zoals ik al had opgemerkt gaat het een stuk eenvoudiger met de formule van Simpson voor het verschil van twee sinussen. Je hebt dan namelijk f(x + h) − f(x) = sin(x2 + 2xh + h2 + x + h) − sin(x2 + x) = 2·sin(½h(2x + 1 + h))·cos(x2 + x + xh + ½h2 + ½h) Dan is het nog slechts een kwestie van teller en noemer van het differentiequotiënt (f(x + h) − f(x))/h vermenigvuldigen met ½·(2x + 1 + h) en de limiet nemen voor h → 0 en je hebt f'(x) = (2x + 1)·cos(x2 + x), QED. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 24-06-2014 18:32:48 ] | |
Novermars | dinsdag 24 juni 2014 @ 17:08 |
Je hebt natuurlijk volkomen gelijk, dat is inderdaad de simpelste manier. Maar eerlijk gezegd kende ik jouw (tutoyeren lijkt me OK?) formule niet. Dat terwijl de som/verschil formules een stuk bekender zijn. Er zijn altijd meerdere wegen naar Rome, zeker in de wiskunde, maar de beste weg, naar mijn mening, is de weg die je kent. | |
Riparius | dinsdag 24 juni 2014 @ 17:41 |
Dat is het leuke van wiskunde, het kan altijd anders, en vaak eenvoudiger. De formules van Simpson worden in elementaire leerboeken voor differentiaalrekening vaak gebruikt om te bewijzen dat d(sin(x))/dx = cos(x) resp. d(cos(x))/dx = −sin(x) en dat ligt ook wel voor de hand omdat je in de teller van je differentiequotiënt een verschil van twee sinussen resp. cosinussen hebt. De formules van Simpson zijn trouwens eenvoudig af te leiden uit de additietheorema's. Je hebt sin(α + β) = sin α·cos β + cos α·sin β sin(α − β) = sin α·cos β − cos α·sin β Aftrekken van de leden van de tweede identiteit van de leden van de eerste identiteit geeft sin(α + β) − sin(α − β) = 2·cos α·sin β Stel nu α + β = θ en α − β = φ, dan is α = ½(θ + φ) en β = ½(θ − φ) en je hebt sin θ − sin φ = 2·cos½(θ + φ)·sin½(θ − φ) Op volkomen analoge wijze kun je ook identiteiten afleiden voor het verschil van twee cosinussen en voor de som van twee sinussen of cosinussen. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 24-06-2014 18:17:26 ] | |
netchip | donderdag 26 juni 2014 @ 14:52 |
Hey, Heeft iemand misschien een PDF met de antwoorden van Stewart Calculus, Early Transcendentals 7E? Ik heb namelijk alleen het boek (in PDF vorm). netchip | |
Ensemble | donderdag 26 juni 2014 @ 15:23 |
Ik haalde de antwoorden voor dat boek altijd hier vandaan: http://www.slader.com/tex(...)dentals-7th-edition/. Daarnaast staat ook een deel van de antwoorden helemaal achterin het boek. | |
netchip | donderdag 26 juni 2014 @ 16:36 |
f(x) kan je echter versimpelen tot: Dan is f(x) toch gelijk aan g(x)? | |
Riparius | donderdag 26 juni 2014 @ 16:42 |
Nee, niet helemaal, want f(x) is niet gedefinieerd voor x = 1. De grafiek van f is dan ook een rechte lijn met een 'gaatje' erin bij x = 1. Zoiets heet een ophefbare discontinuïteit. We kunnen het 'gaatje' namelijk dicht maken door aanvullend nog f(1) = 1 te definiëren. | |
netchip | vrijdag 27 juni 2014 @ 16:54 |
Ah, OK. Andere vraag, deze is misschien een beetje triest, maar ik zie hem echt niet. ![]() | |
#ANONIEM | vrijdag 27 juni 2014 @ 16:58 |
Je antwoord is alleen iets minder ver vereenvoudigd. | |
Alrac4 | vrijdag 27 juni 2014 @ 16:58 |
| |
netchip | vrijdag 27 juni 2014 @ 17:09 |
Hoe heb je die r3 eruit gehaald? En die | |
Riparius | vrijdag 27 juni 2014 @ 17:13 |
Dit is echt brugklasalgebra hoor. Grapje: differentieer V(r) = (4/3)·π·r3 eens naar r. Wat krijg je dan? Herken je het resultaat? En, kun je het resultaat ook verklaren? | |
Alrac4 | vrijdag 27 juni 2014 @ 17:16 |
Je hebt dus in de eerste term een factor | |
netchip | vrijdag 27 juni 2014 @ 17:18 |
Ik snap dat dat elkaar opheft, de 1e naar de 2e stap volg ik alleen niet helemaal... Waar haal je die (4/3)*Pi*r^3 vandaan? | |
Alrac4 | vrijdag 27 juni 2014 @ 17:22 |
Dat is de eerste term binnen de haakjes | |
netchip | vrijdag 27 juni 2014 @ 17:23 |
De eerste term binnen de haakjes is r^3, toch? Of heb je eerst die 4/3*pi keer alles tussen de haakjes gedaan? | |
netchip | vrijdag 27 juni 2014 @ 17:27 |
Het is me nu ook gelukt door de haakjes weg te werken... En daarna de som weer te vereenvoudigen door het daarna weer te ontbinden in factoren. | |
netchip | vrijdag 27 juni 2014 @ 17:29 |
Ik was zo dom om niet eerst de haakjes weg te werken, en daarna de som weer te ontbinden. ![]() | |
-J-D- | vrijdag 27 juni 2014 @ 18:19 |
Onjuist. Dit is bij heel veel methodes onderdeel van de stof in de tweede klas op de middelbare school. Het wegwerken van haakjes zit wel in de brugklas, maar het ontbinden in factoren pas in leerjaar 2. | |
Riparius | vrijdag 27 juni 2014 @ 20:16 |
Dat is dan volkomen onzinnig, en dan wordt het hoog tijd dat dit weer eerste klas stof wordt, zoals dat vroeger het geval was. Als je leerlingen vertelt dat a(b + c) = ab + ac dan is het ook aan de orde om te vertellen dat ab + ac = a(b + c) Lees dit maar eens goed, en eventueel dit. | |
netchip | vrijdag 27 juni 2014 @ 20:34 |
Yep. Iemand met een beetje inzicht zal dat ook snel zien. ![]() ![]() | |
Riparius | vrijdag 27 juni 2014 @ 20:38 |
Ik begrijp niet goed wat je bedoelt met je opmerking dat haakjes wegwerken en weer ontbinden 'vaak niet gelukkig' uitkomt. Heb je een voorbeeld? | |
netchip | vrijdag 27 juni 2014 @ 20:57 |
Natuurlijk, (x-5)(x+20)-5.3 => x2+15x-94.7. Zie dat maar weer te ontbinden in factoren. ![]() | |
Riparius | vrijdag 27 juni 2014 @ 21:08 |
Ontbinden in factoren van een kwadratische veelterm lukt altijd. Maar er zijn twee andere problemen met je voorbeeld, (x-5)(x+20)-5.3 is geen product en de uitkomst die je geeft klopt ook niet. Je voorbeeld is dus niet geldig. Overigens, probeer iets als 30p2 − 11pq − 30q2 eens te ontbinden in lineaire factoren. Pakweg een halve eeuw geleden kon iedere middelbare scholier dat, nu struikelen zelfs beta studenten over zoiets simpels. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 28-06-2014 19:48:37 ] | |
netchip | vrijdag 27 juni 2014 @ 21:21 |
Bedoel je dit? p(30p-q((30q)/p-11)) Ik denk niet dat het is wat je bedoelt, maar ik zou het wel graag willen leren. ![]() | |
Riparius | vrijdag 27 juni 2014 @ 21:30 |
Nee. Ontbinden in lineaire factoren is de opgave. Overigens is je herleiding ook nog fout, uitwerken levert namelijk 30p2 + 11pq − 30q2. | |
netchip | vrijdag 27 juni 2014 @ 21:32 |
Oeps, verkeerd gelezen. ![]() Ik zie niet in hoe 30 en 11 een gemeenschappelijke deler hebben, dus ik heb geen idee. | |
Riparius | vrijdag 27 juni 2014 @ 21:37 |
Ik verwachtte al dat je met zo'n soort opmerking zou komen, 30 en 11 zijn uiteraard onderling ondeelbaar. Maar dat impliceert niet dat je deze veelterm niet in lineaire factoren zou kunnen ontbinden. Ga hier maar eens een nachtje over slapen. | |
netchip | vrijdag 27 juni 2014 @ 21:38 |
Is een breuk ook een 'lineaire factor'? | |
OllieWilliams | vrijdag 27 juni 2014 @ 21:38 |
Ik struikelde er niet over ![]() | |
Riparius | vrijdag 27 juni 2014 @ 21:40 |
Bedoeld zijn factoren van de gedaante (ap + bq + c) waarin a,b en c getallen zijn. | |
netchip | vrijdag 27 juni 2014 @ 21:48 |
Deze heb ik nu: 30((p+q)(p-q)-(11/30)pq). Ik heb geen idee wat je wilt zien, "Bedoeld zijn factoren van de gedaante (ap + bq + c) waarin a,b en c getallen zijn." vind ik zelf een beetje vaag. Kan aan mij liggen. | |
#ANONIEM | vrijdag 27 juni 2014 @ 21:52 |
Lees eens wat factoren en termen zijn. Stel je hebt ap + q, dan zijn a en p factoren en ap en q termen. Ik word echt kriebelig van het onvermogen om GOOGLE te gebruiken. Dus, alleen FACTOREN en geen TERMEN. (Of zoals je wilt, slechts een term) Out. [ Bericht 2% gewijzigd door #ANONIEM op 27-06-2014 21:53:27 ] | |
Riparius | vrijdag 27 juni 2014 @ 21:57 |
Er lijkt me niets vaags aan mijn toelichting. De letters a,b en c stellen concrete (reële) getallen voor. Lineaire veeltermen in p en q zijn bijvoorbeeld 2p − 3q + 7 (hier is a = 2, b = −3, c = 7) en p + 4q (hier is a = 1, b = 4, c = 0). Het is de bedoeling de gegeven kwadratische veelterm in p en q te herleiden tot een product van factoren van uitsluitend deze gedaante (ap + bq + c), niets meer en niets minder. | |
netchip | vrijdag 27 juni 2014 @ 22:05 |
Je kan toch niet een formule met meerdere termen ontbinden in een formule met maar 1 term? In Riparius' formule zie ik zeven factoren, en drie termen. Mij lukt het niet om zoiets te ontbinden in factoren met maar 1 term. | |
Riparius | vrijdag 27 juni 2014 @ 22:15 |
De lineare factoren waarin je 30p2 − 11pq − 30q2 moet ontbinden zijn van de gedaante (ap + bq + c) en elk van de bedoelde factoren kan dus hetzij één hetzij twee hetzij drie termen bevatten. Je veronderstelling dat elk van de factoren maar één term zou mogen of kunnen bevatten is dus onjuist. | |
DonnieDarkno | vrijdag 27 juni 2014 @ 22:34 |
Dit soort opgaven kreeg ik gewoon in de tweede klas, ik geloof dat elke leerling met wiskunde in het pakket zo'n opgave wel aankan. | |
netchip | vrijdag 27 juni 2014 @ 22:45 |
30p(p - (11/30)q - q/p). Als dat niet klopt, ga ik er een nachtje overslapen. Het is me nogsteeds niet duidelijk wat je precies bedoelt met "de gedaante (ap + bq + c)" Het lijkt me dat a = 30p, b = 11p, c = 30q2. Heb je misschien een link naar een voorbeeld? | |
-J-D- | vrijdag 27 juni 2014 @ 23:13 |
Tja, jij mag dat onzinnig vinden, maar het is niet volkomen onzinnig. Het is qua moeilijkheid vrij makkelijk uit te leggen in de brugklas, maar het is geen vereiste om dat in de brugklas al te kennen. Zo geldt voor veel onderwerpen dat het discutabel is of ze in klas 1 of 2 (of zelfs op de basisschool) thuis horen. Bepaalde vaardigheden betreffende niet-lineaire formules kunnen qua moeilijkheid makkelijk in de brugklas. En dus ook het ontbinden in factoren. Basiskennis over de symmetrie van vlakke figuren hoort natuurlijk niet in een brugklas. Dat zou basiskennis moeten zijn voor een brugklasser. | |
Riparius | zaterdag 28 juni 2014 @ 00:11 |
Ik zou bijna gaan denken dat je een troll bent, en niets meer dan dat. De uitdrukking 30p(p − (11/30)q − q/p) is trouwens alweer een foute herleiding, want 30p(p − (11/30)q − q/p) = 30p2 − 11pq − 30q Afgezien daarvan is dit niet de bedoeling, je tweede factor is immers geen lineaire veelterm in p en q. Ik heb duidelijk aangegeven dat met een lineaire veelterm in p en q een uitdrukking wordt bedoeld van de gedaante ap + bq + c waarbij a, b en c concrete (reële) getallen zijn, en dus niet uitdrukkingen in p en of q, en ik heb twee voorbeelden gegeven, namelijk 2p − 3q + 7 en p + 4q. Laten we voor de grap deze twee lineaire veeltermen in p en q eens met elkaar vermenigvuldigen, dan krijgen we (2p − 3q + 7)(p + 4q) = 2p2 + 5pq + 7p − 12q2 + 28q De omgekeerde bewerking is dan om de kwadratische veelterm 2p2 + 5pq + 7p − 12q2 + 28q te herleiden tot (2p − 3q + 7)(p + 4q) zijnde een product van lineaire veeltermen in p en q. Je ziet overigens dat de kwadratische veelterm in p en q die je krijgt door 2p − 3q + 7 en p + 4q met elkaar te vermenigvuldigen vijf termen heeft en daarmee een stuk ingewikkelder is dan de drieterm 30p2 − 11pq − 30q2 die ik je had gegeven om in lineaire veeltermen in p en q te ontbinden. | |
Janneke141 | zaterdag 28 juni 2014 @ 00:14 |
Iedereen die iets minder goed kan rekenen in veeltermen, is namelijk een troll. | |
Riparius | zaterdag 28 juni 2014 @ 00:25 |
Hij lijkt erop uit te zijn de opdracht doelbewust verkeerd te interpreteren, terwijl er zeker na mijn toelichting hierboven geen enkele reden is om aan te nemen dat hij niet begrijpt wat een lineaire veelterm is. Dat is typisch trollgedrag en heeft verder niets te maken met zijn algebraïsche vaardigheden. | |
Janneke141 | zaterdag 28 juni 2014 @ 00:30 |
Geloof me, er zijn echt mensen die minder goed zijn in wiskunde dan jij. En oprecht en welgemeend opmerkingen maken die in jouw ogen debiel zijn. | |
Riparius | zaterdag 28 juni 2014 @ 00:42 |
Ik streef er altijd naar om zo helder en exact mogelijk te formuleren. Dat lukt natuurlijk niet altijd, en als dat een keer niet is gelukt, dan blijkt dat doordat mijn woorden verkeerd worden geïnterpreteerd. Ik zou dat niet debiel willen noemen, maar in dit geval zie ik moeilijk in hoe ik nog duidelijker kan maken wat nu de bedoeling is (even los daarvan of hij het vraagstukje nu wel of niet kan oplossen). Als je een 3VWO leerling vraagt x2 − 5x + 6 te ontbinden in lineaire factoren, dan komt zo'n leerling toch ook niet aanzetten met iets als x(x − 5 + 6/x) ? | |
Janneke141 | zaterdag 28 juni 2014 @ 00:45 |
Hoe weet je dat? | |
Riparius | zaterdag 28 juni 2014 @ 00:49 |
Oplossen van kwadratische vergelijkingen door ontbinden in (lineaire) factoren staat bij mijn weten nog steeds op het programma, en ook Netchip begrijpt ongetwijfeld dat x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). | |
Janneke141 | zaterdag 28 juni 2014 @ 00:56 |
Dat klopt, maar dat geeft nog geen garantie dat iedere leerling ook begrijpt wat-ie aan het doen is. | |
Riparius | zaterdag 28 juni 2014 @ 01:04 |
Nee, dat is waar. Het lijkt erop (maar dat is mijn indruk louter gebaseerd op wat ik hier vaak voorbij zie komen) dat veel leerlingen (en studenten) hebben geleerd om kunstjes te reproduceren zonder dat ze begrijpen wat ze aan het doen zijn. Als je zulke mensen bijvoorbeeld die Vlaamse toelatingsexamens voorlegt die testen op inzicht, dan gaan ze genadeloos onderuit. Mijn vraag aan jou als docente is dan hoe je dat tijdig onderkent bij je leerlingen, en wat je daar tegen doet? | |
#ANONIEM | zaterdag 28 juni 2014 @ 01:23 |
Deze 'kunstjes' worden zelfs op de TU/e nog onderwezen. Bij differentiaalvergelijkingen waar matrices mee gemoeid zijn was het niets anders dan steeds het kunstje herhalen. En zo nog wat vakken waar de verantwoordelijk docent er een potje van maakt. [ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 28-06-2014 01:23:28 ] | |
defineaz | zaterdag 28 juni 2014 @ 04:40 |
1/p is niet lineair. Verder is de conventie dat a, b en c constant zijn, dus getallen die gewoonlijk 'vast maar willekeurig' zijn (willekeurig todat je bijvoorbeeld a = 30 stelt). Door a = 30p te stellen, maak je a afhankelijk van p, een variabele. Dit is strikt genomen niet fout, maar meestal niet de bedoeling (omdat dat nou eenmaal de conventie is). De latere letters in het alfabet worden vaak gebruikt voor variabelen. | |
netchip | zaterdag 28 juni 2014 @ 08:46 |
Riparius, ik zit je zeker niet te trollen. Het is toch mogelijk dat ik het niet snap? Ik zie wel een verband tussen die variabelen, maar kan het niet uitwerken. Irritant. Ik kan een drieterm waar a = 1 wel ontbinden in twee factoren. Ik denk dat ik hem zie. ![]() Ik heb nu (p-5q)(p-6q). Ik mis nu dus nog de factor 30 bij de eerste term... Dit is niet van de gedaante die Riparius gaf... [ Bericht 11% gewijzigd door netchip op 28-06-2014 09:11:24 ] | |
OllieWilliams | zaterdag 28 juni 2014 @ 09:16 |
Je bent in ieder geval op de goede weg. | |
netchip | zaterdag 28 juni 2014 @ 09:38 |
Hoe het werkt als a ≠ 1, weet ik niet. Ik ken alleen de product-som methode, dat houdt in dat het product van twee getallen de laatste term moet vormen, en dat die twee getallen opgeteld de tweede term moet vormen. Over jouw vraagstuk heb ik een hele tijd nagedacht, maar ik kom er niet uit. Uitleg op YouTube werkt ook niet; wordt weer een truc gebruikt. | |
Riparius | zaterdag 28 juni 2014 @ 19:28 |
De algemene gedaante van een vierkantsvergelijking met het rechterlid herleid op nul is: (1) ax2 + bx + c = 0 waarbij a, b en c vaste (gewoonlijk reële) getallen zijn en a ≠ 0 omdat we anders geen kwadratische term meer zouden hebben. Als a, b en c gehele getallen zijn en je weet - of vermoedt - dat de vergelijking rationale oplossingen heeft, dan kun je proberen deze vergelijking op te lossen door ontbinden in factoren. De product-som methode om de kwadatische veelterm in het linkerlid van (1) te ontbinden in lineaire factoren is evengoed bruikbaar als a ≠ 1. Hiervoor moet je op zoek gaan naar twee gehele getallen waarvan het product gelijk is aan ac terwijl de som gelijk is aan b. Eerst een eenvoudig voorbeeld. Stel je wil de volgende vierkantsvergelijking oplossen waarvan gegeven is dat deze rationale oplossingen heeft: 12x2 − 11x + 2 = 0 We hebben hier a = 12, b = −11, c = 2. We zoeken nu twee gehele getallen waarvan het product gelijk is aan ac = 24 terwijl de som gelijk is aan b = −11. Het is (hier) niet moeilijk te zien dat de gezochte getallen −8 en −3 zijn. We splitsen nu eerst −11x op in −8x en −3x, zodat we krijgen: 12x2 − 8x − 3x + 2 = 0 Nu zie je dat de eerste twee termen 12x2 en 8x een factor 4x gemeen hebben die we dus buiten haakjes kunnen halen. Het tweede tweetal −3x en 2 heeft hier geen factor gemeen die we buiten haakjes kunnen halen (behalve 1 of −1), dus die laten we even zo staan. Dan krijgen we: 4x(3x − 2) − 3x + 2 = 0 En aangezien −3x + 2 = −(3x − 2) kunnen we dit herschrijven als: 4x(3x − 2) − (3x − 2) = 0 Nu hebben we in het linkerlid van de vergelijking twee termen met een gemeenschappelijke factor (3x − 2) die we dus weer buiten haakjes kunnen halen, en dan krijgen we: (4x − 1)(3x − 2) = 0 Nu kan een product alleen gelijk zijn aan nul als (tenminste) één van de factoren nul is, zodat moet gelden: 4x − 1 = 0 ∨ 3x − 2 = 0 En dus: x = 1/4 ∨ x = 2/3 Hiermee is de vergelijking opgelost. Maar goed, nu wil je natuurlijk weten waarom dit zo werkt. Dat is elementaire algebra, die je heel vroeger toen er nog onderwijs was gewoon op school leerde. Maar ik zal het hier nog maar eens uitleggen. Wat we willen is vergelijking (1) omvormen tot een vergelijking van de gedaante: (2) (px + q)(rx + s) = 0 waarin p, q, r, s gehele getallen zijn. Welnu, uitwerken van de haakjes in (2) levert: (3) prx2 + (ps + qr)x + qs = 0 Door nu de coëfficiënten van (3) te vergelijken met de coëfficiënten van (1) zien we dat we moeten hebben: (4) pr = a, ps + qr = b, qs = c We kennen a, b, c en de kunst is nu om vier gehele getallen p, q, r, s te vinden die aan (4) voldoen. Dat lijkt een vrij hopeloze opgave, maar dat is niet zo omdat we kunnen bedenken dat we hebben: (5) ac = pr·qs = ps·qr Als je nu (4) en (5) bekijkt zie je dat we het vinden van p, q, r, s sterk kunnen vereenvoudigen door eerst twee getallen ps en qr te zoeken waarvan het product gelijk is aan ac en de som gelijk is aan b, en dat is over het algemeen niet zo moeilijk. Hebben we ps en qr, dan kunnen we in (1) bx alvast vervangen door (ps + qr)x = ps·x + qr·x zodat we krijgen: (6) ax2 + psx + qrx + c = 0 Hierna is het niet moeilijk meer om de ontbinding te voltooien. Immers, in (6) heeft het eerste tweetal termen ax2 = prx2 en psx een factor px gemeen en het tweede tweetal termen qrx en c = qs heeft een factor q gemeen. Dus is het mogelijk om (6) om te vormen tot: (7) px(rx + s) + q(rx + s) = 0 En aangezien de beide termen in (7) een factor (rx + s) gemeen hebben, kunnen we deze factor weer buiten haakjes halen en daarmee (7) eenvoudig omvormen tot (2), en dat was precies de bedoeling. Hiermee is dus verklaard waarom de methode werkt, en waarom we moeten zoeken naar twee getallen waarvan het product ac is en de som b. Nu terug naar de opgave. De vraag was om 30p2 − 11pq − 30q2 te ontbinden in lineaire factoren. Zoals je zelf al had opgemerkt, kun je deze uitdrukking opvatten als een kwadratische veelterm in p van de gedaante ap2 + bp + c met a = 30, b = −11q, c = −30q2. Willen we deze veelterm ontbinden in factoren met de product-som methode, dan moeten we dus op zoek gaan naar twee grootheden waarvan het product gelijk is aan ac = −900q2 terwijl de som gelijk is aan b = −11q. Nu zou het niet te moeilijk meer moeten zijn om deze veelterm te ontbinden, maar dat mag je zelf even uitwerken. | |
netchip | zaterdag 28 juni 2014 @ 20:11 |
We gaan eerst iets ontbinden... Om het daarna weer buiten de haakjes te halen? Aangezien ik die stap niet helemaal snap, heb ik nu: 6p(5p-6q)+5q(5p-6q). ![]() [ Bericht 11% gewijzigd door netchip op 28-06-2014 21:11:49 ] | |
defineaz | zaterdag 28 juni 2014 @ 21:19 |
Dit is dus waar je xy + xz = x(y + z) moet toepassen. Of eigenlijk yx + zx = (y + z)x
| |
netchip | zaterdag 28 juni 2014 @ 21:27 |
Oh, ik zie het nu! (5p-6q)(6p+5q) Waarom leer ik zulke dingen niet op school? Ik kan me hier echt aan irriteren, ik zal opsommen wat ik de afgelopen drie jaar heb geleerd: - Termen met gemeenschappelijke factoren optellen (zeg ik dit goed?) - De hoeken in een driehoek zijn bij elkaar 180 graden - Overstaande hoeken zijn hetzelfde - Ontbinden van tweedegraads polynomen, met a = 1 - De abc-formule - De goniometrische formules That's it. Het is werkelijk schandalig. ![]() | |
netchip | zaterdag 28 juni 2014 @ 21:39 |
Riparius (en anderen), dank je voor de moeite die je hebt genomen om mij dit uit te leggen. Ik waardeer dit heel erg! ![]() | |
Riparius | zaterdag 28 juni 2014 @ 22:08 |
Dat is correct. Nog even een toelichting voor anderen die hier meelezen: we zochten twee grootheden waarvan het product −900q2 moest zijn en de som −11q. Het is duidelijk dat elk van de gezochte grootheden dan één factor q moet hebben, aangezien de som anders geen veelvoud van q kan zijn. Verder moeten we dan zoeken naar twee getallen met als product −900 en als som −11. Het is duidelijk dat één van deze beide getallen negatief moet zijn en het andere positief. Als we de juiste tekens (plus of min) even buiten beschouwing laten betekent dit dat we zoeken naar twee getallen met als product 900 en waarvan het verschil 11 bedraagt. Louter uitproberen is bij wat grotere getallen niet zo handig, dan is het beter het product eerst te ontbinden in priemfactoren. Dit geeft 900 = 22·32·52 Nu is het duidelijk dat de gezochte getallen niet beide even kunnen zijn, omdat het verschil van twee even getallen weer even is, en dus niet 11 kan zijn. De beide factoren 2 moeten dus in één van de beide getallen zitten. Ook is het duidelijk dat het verschil van twee drievouden of twee vijfvouden weer een drievoud resp. een vijfvoud is, en dus niet 11 kan zijn. De beide factoren 3 moeten dus in één van de beide getallen zitten en de beide factoren 5 ook. Dan blijven er nog maar een paar mogelijkheden over en zie je snel dat 22·32 = 36 en 52 = 25 de gezochte getallen zijn, afgezien van de juiste tekens. Nu moeten we nog één van deze twee getallen van een minteken voorzien, en aangezien de som −11 moet zijn is het duidelijk dat 25 en −36 de gezochte getallen zijn. De gezochte grootheden met als product −900q2 en als som −11q zijn dus 25q en −36q. We krijgen zo 30p2 − 11pq − 30q2 = 30p2 + 25pq − 36pq − 30q2 = 5p(6p + 5q) − 6q(6p + 5q) = (5p − 6q)(6p + 5q)
[ Bericht 2% gewijzigd door Riparius op 29-06-2014 13:40:28 ] | |
DonnieDarkno | zaterdag 28 juni 2014 @ 22:21 |
Wow, dat deduceren van de kenmerken van de gezochte getallen is echt baas ![]() | |
Inaithnir | zondag 29 juni 2014 @ 00:54 |
Lijkt me ook simpel genoeg om gewoon twee vergelijkingen dan op te stellen toch? x*y = -900 x-y = -11 En dan rollen ze er ook zo uit. Hoewel dit priemfactoren verhaal ook wel nice is. | |
Riparius | zondag 29 juni 2014 @ 03:56 |
Als je dit stelsel wil oplossen (waarbij de som van de gezochte getallen −11 is, niet het verschil) en je elimineert één van de beide onbekenden, dan kom je weer uit op een vierkantsvergelijking. Dan draai je in een kringetje als je twee getallen zoekt waarvan product en som zijn gegeven teneinde een vierkantsvergelijking op te lossen door ontbinden in factoren. Stel namelijk dat je de vierkantsvergelijking z2 − 11z − 900 = 0 zou willen oplossen door ontbinden in factoren. Dan moet je dus twee getallen x en y vinden waarvan de som −11 is en het product −900. Elimineer je echter de y uit bovenstaand stelsel, dan kom je uit op x2 + 11x − 900 = 0 Wil je nu deze vergelijking oplossen door ontbinden in factoren, dan moet je twee getallen w en z vinden zodanig dat wz = −900 en w + z = 11. Elimineer je w uit dit stelsel, dan kom je weer uit op bovenstaande vergelijking in z, en daarmee ben je weer terug bij af. Nu zul je waarschijnlijk tegenwerpen dat er ook andere methoden zijn om bovenstaande vierkantsvergelijking in x op te lossen, en dat klopt, maar daarmee schiet je wel je doel voorbij, want dan had je beter direct bovenstaande oorspronkelijke vergelijking in z op een andere manier kunnen oplossen dan door ontbinden in factoren. Er is overigens wel een manier om deze vicieuze cirkel te vermijden. Uit xy = −900 en x + y = −11 volgt (x − y)2 = (x + y)2 − 4xy = 121 − (−4·900) = 3721 en dus x − y = 61 Uiteraard is x − y = −61 ook mogelijk, maar aangezien het inverteren van het teken van het verschil van x en y neerkomt op het omwisselen van x en y hebben we aan één waarde voor het verschil genoeg. Nu hebben we 2x = (x + y) + (x − y) = −11 + 61 = 50, dus x = 25 en 2y = (x + y) − (x − y) = −11 − 61 = −72, dus y = −36 Zo kan het dus wel, maar je ziet dat dit toch meer werk is dan het ontbinden van 900 in priemfactoren en even kijken welke combinaties van priemfactoren afvallen. De strategie om het product van de gezochte grootheden zo ver mogelijk te ontbinden in factoren is ook bruikbaar als de grootheden in kwestie geen concrete getallen zijn. Stel dat je wordt gevraagd om de kwadratische veelterm 2bx2 − (a + b)2x + (a + b)2(a − b) in de variabele x te ontbinden in lineaire factoren in x (waarbij is gegeven dat dit inderdaad mogelijk is), dan kun je als volgt te werk gaan. We zoeken nu twee grootheden waarvan het product gelijk moet zijn aan 2b(a + b)2(a − b) terwijl de som gelijk moet zijn aan −(a + b)2. Dit lijkt lastig, maar je kunt als volgt redeneren. Het product bevat de factoren 2, b, (a + b), (a + b), (a − b) en deze vijf factoren moeten we nu verdelen over twee grootheden. Kennelijk bevat elk van de beide gezochte grootheden één factor (a + b), anders zou de som geen factor (a + b) bevatten. Dan moeten we alleen nog de drie resterende factoren 2, b, (a − b) verdelen, en dan is het duidelijk dat we de factoren 2 en b in de ene grootheid moeten stoppen, en de factor (a − b) in de andere grootheid, aangezien 2b + (a − b) = (a + b) en aangezien de som nog een tweede factor (a + b) bevat. De gezochte grootheden zijn dus −(a + b)2b en −(a + b)(a − b) zodat we kunnen schrijven 2bx2 − (a + b)2bx − (a + b)(a − b)x + (a + b)2(a − b) en dus 2bx·(x − (a + b)) − (a + b)(a − b)·(x − (a + b)) Nu kunnen we de factor (x − (a + b)) buiten haakjes halen en hebben we dus (2bx − (a + b)(a − b))·(x − (a + b)) en met gebruikmaking van het merkwaardig product (a + b)(a − b) = a2 − b2 is dit nog te schrijven als (2bx − (a2 − b2))·(x − (a + b)) | |
Greatmarked | zondag 29 juni 2014 @ 12:48 |
edit: zie nu pas dat dit het wiskunde topic is.. sorry! | |
netchip | zaterdag 5 juli 2014 @ 12:12 |
Ik schaam me om deze vraag te stellen... ![]() Ik heb | |
Anoonumos | zaterdag 5 juli 2014 @ 12:21 |
Het is u + 1 gedeeld door (u+2)/(u + 1), niet (u+1)/(u+2) gedeeld door u + 1. Delen door een breuk.. etc | |
netchip | zaterdag 5 juli 2014 @ 13:53 |
Dat was erg dom van me. ![]() | |
Riparius | zaterdag 5 juli 2014 @ 13:56 |
Delen door a/b is hetzelfde als vermenigvuldigen met b/a. Maar nog eenvoudiger is hier om teller en noemer van je oorspronkelijke breuk met (u+1) te vermenigvuldigen. In de teller krijg je dan (u+1)² en in de noemer (u+1)+1 = u+2. | |
netchip | zaterdag 5 juli 2014 @ 16:32 |
Dit was weer een goed voorbeeld van mijn onnauwkeurigheid op bepaalde momenten. ![]() | |
defineaz | maandag 7 juli 2014 @ 11:54 |
Wat je schrijft klopt overigens wel, het is hier alleen niet zo bruikbaar om de breuk te vereenvoudigen. Zie je ook waarom? De notatie voor breuken kan soms verwarrend zijn. Als je Als je namelijk Als je in de war raakt, kan je proberen de notatie (a/b) voor breuken te gebruiken (of gewoon haakjes om je breuken te zetten) en je te herinneren dat vermenigvuldigen en delen zich onderling zo gedragen als optellen en aftrekken. Hoewel dit niet helpt bij het vereenvoudigen, dwingt dit je wel de volgorde van de operaties te begrijpen, en is het misschien intuitief iets makkelijker om te begrijpen wat er gebeurt. Daarnaast: vaak is teller en noemer vermenigvuldigen met hetzelfde getal een trucje wat vaak werkt. Als je ook weet dat (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 kan je dit trucje ook gebruiken om breuken waarin teller en noemer ccomplexe getallen zijn te vereenvoudigen. | |
Novermars | maandag 7 juli 2014 @ 16:28 |
Ik ben nu bezig met Rudin's Principles of Mathematical Analysis en het maken van de meeste opgaven gaat verbazingwekkend goed. Maar elk hoofdstuk heeft wat vragen die me gewoon maar niet lukken, zoals deze: https://www.dropbox.com/s/9izr76oi5zd1m58/baby%20rudin.png Is dit erg? Want op het internet lees ik erg veel tegenstrijdige meningen. De een vindt dat je alle vragen moet doen en dat ze lukken terwijl de ander van mening is dat enkel proberen genoeg is. En mijn god zeg, wat is dit boek pittig. | |
defineaz | maandag 7 juli 2014 @ 18:40 |
Nouja, of dat erg is moet je maar voor jezelf bedenken. Het belangrijkste is denk ik dat je het idee achter de vraag begrijpt. Het is niet zo'n schande als je het bewijs niet kan vinden (al zullen sommigen daar anders over denken). Nu is het natuurlijk ook de vraag wat je precies wil oefenen en hoeveel tijd je hebt, en ook wel hoeveel aanleg je hebt. Ik vind het meestal genoeg om de vragen door te lezen, en de interessante vragen te maken (bijvoorbeeld die waarvan de aanpak niet direct duidelijk is, of die die een techniek vereisen die ik wil oefenen). | |
#ANONIEM | maandag 7 juli 2014 @ 18:50 |
Neem er de tijd voor. Maak iedere dag een opgave, en zorg dat je bewijs ook juist is. Het is absoluut geen schande als analyse soms niet lukt. | |
netchip | woensdag 9 juli 2014 @ 17:53 |
Hoe zit het met 'complexe' exponenten? Als je de identiteit van Euler hebt, | |
t4rt4rus | woensdag 9 juli 2014 @ 18:00 |
Met deze formule ![]() Euler's formule Zo heb je ook de complexe logarithme log z = Log |z| + i arg z, waar Log the logarithme voor positieve getallen is. en arg alle mogelijke argumenten van z. [ Bericht 5% gewijzigd door t4rt4rus op 09-07-2014 18:07:39 ] | |
defineaz | woensdag 9 juli 2014 @ 18:09 |
Dit is een beetje vage vraag zo. Ik neem aan dat je de waarde van e tot de macht i maal pi wil weten? Kijk eens naar die formule: daarin is e al tot de macht i maal pi genomen. Als je meer in het algemeen bedoelt hoe men aan deze waarde is gekomen, dan zijn er verschillende manieren. Misschien de makkelijkste is om naar machtreeks ontwikkelingen voor e, sinus en cosinus te kijken. Ik ga dat niet hier uittypen, als het je interesseert kan je googlen of wolfram alhpa gebruiken om de taylorreeksen van e^x, sinus en cosinus op te zoeken, en de machtreeks van e^x te bekijken als je bijvoorbeeld x = iy substitueert, en gebruikt dat i^2 = i^6 = ... = -1 i^3 = i^7 = ... = -i i^4 = i^8 = ... = 1 i^5 = i^9 = ... = i Daarnaast is er nog een wat inzichtelijkere manier, die Riparius een keer heeft uitgelegd en die gebruiktmaakt van een geometrische interpretatie (maar hiervoor moet je wel de geometrische interpretaties van complexe getallen en hun producten kennen). | |
netchip | woensdag 9 juli 2014 @ 20:15 |
Ah, OK. Hoe zou ik Hier zou ik naar kunnen kijken; alhoewel dit wel een beetje buiten mijn kunnen ligt, denk ik. Wanneer weet je of dat je aanleg hebt voor wiskunde? Mensen nemen vaak aan: hoog cijfer voor wiskunde -> talent. Dat geloof ik niet 100%. Ik ben namelijk benieuwd hoe het met mij zit. Ik zal even wat achtergrond informatie geven. Ik zit in 3 vwo (na de zomervakantie 4 vwo), heb plezier in wiskunde en sta er dan ook een goed cijfer voor. In mijn vrije tijd ben ik bezig met het lezen van een calculus boek en het maken van opdrachten. Dit gaat mij vrij goed af. Ik hoef voor het 'gewone' boek (Getal en Ruimte) ook nauwelijks moeite te doen, ik snap het in een keer. Het bewijzen van stellingen gaat ongeveer zo bij mij: ![]() Interpreteer deze vraag niet als arrogantie, of zoiets. Ik ben oprecht benieuwd naar of dat ik nu een hoog cijfer haal door mijn interesse, of doordat ik aanleg heb. | |
Novermars | woensdag 9 juli 2014 @ 20:37 |
Achten zonder te leren haal je door aanleg. Alles daarboven komt door interesse én hard werken. Verder is WA perfect om dingen te berekenen: http://www.wolframalpha.com/input/?i=5%5E%285i%29 Probeer maar eens uit te leggen dat | |
netchip | woensdag 9 juli 2014 @ 20:54 |
Is die 5log(5) bedoelt als 5log(5) of als 5ln(5)? Leren voor wiskunde heb ik nooit gedaan. Een half uurtje serieus werken in de les is genoeg om het huiswerk af te hebben. | |
t4rt4rus | woensdag 9 juli 2014 @ 20:59 |
Probeer daar eens zelf uit te komen. Hele dikke hint is het gene waar 5log5 in staat. | |
defineaz | woensdag 9 juli 2014 @ 21:00 |
Oh joh, ik dacht dat je al aan het studeren was ![]() Bij wiskunde wordt meestal de 'natuurlijke logaritme' bedoeld, die op de middelbare school met ln wordt genoteerd. In dit geval is dat ook zo. Probeer eens te bedenken hoe je 5^x om kan schrijven in de vorm e^y, dan ben je al een heel eind ![]() Welk calculusboek ben je aan het lezen? Ik vind het altijd wel apart dat calculus in de VS als het summum van de wiskunde wordt gezien, terwijl de ideeën erachter echt heel erg elementair zijn vergeleken met veel andere wiskunde ![]() | |
Novermars | woensdag 9 juli 2014 @ 21:10 |
Ik denk dat het misschien wel beter is als hij iets van discrete wiskunde/grafentheorie/lineaire algebra gaat doen in plaats van calculus. Calculus is veelal het toepassen van een stappenplan, terwijl de dingen die ik net opnoemde misschien wel veel beter zijn om een wiskundetalent te ontkiemen. | |
netchip | woensdag 9 juli 2014 @ 21:33 |
Ben nog bezig met het volledig uitdenken, dit is wat ik tot nu toe heb: Ik heb het gevoel dat ik iets mis. Het meest logische zou zijn dat de rekenregels voor complexe getallen niet hetzelfde zijn als voor de reele getallen. [ Bericht 3% gewijzigd door netchip op 09-07-2014 21:38:49 ] | |
t4rt4rus | woensdag 9 juli 2014 @ 21:40 |
de log is een natuurlijk logarithme niet 5log. 5 log 5 is dus 5 * log 5 | |
Novermars | woensdag 9 juli 2014 @ 21:41 |
Dat laatste is spot-on, maar niet de reden waarom je een fout maakt. We weten dat Met dit alles, probeer het eens opnieuw! [ Bericht 3% gewijzigd door Novermars op 10-07-2014 19:08:21 ] | |
netchip | woensdag 9 juli 2014 @ 21:42 |
Was ik achtergekomen. ![]() | |
t4rt4rus | woensdag 9 juli 2014 @ 21:45 |
Verder ben je natuurlijk nog (i arg 5) vergeten. ![]() Dus er komen oneindig veel antwoorden uit. | |
thabit | woensdag 9 juli 2014 @ 21:45 |
[ Bericht 21% gewijzigd door thabit op 09-07-2014 22:01:48 ] | |
Novermars | woensdag 9 juli 2014 @ 21:47 |
De principle branch is de enige branch die ertoe doet! @Thabit, laat hem zelf even nadenken... | |
netchip | woensdag 9 juli 2014 @ 21:51 |
Wel jammer dat thabit de oplossing al heeft gepost. Toch ga ik verder zoeken naar nog een manier. Zou je misschien nog een interessante vraag willen posten? ![]() | |
Novermars | woensdag 9 juli 2014 @ 21:54 |
Laat eens je stappen zien, want je doet volgens mij hele vreemde dingen... En ik wil dat best doen, maar probeer dit eerst maar degelijk te begrijpen. | |
netchip | woensdag 9 juli 2014 @ 21:55 |
| |
Novermars | woensdag 9 juli 2014 @ 21:59 |
Ah, daar had ik niet eens aan gedacht. In my defense, je hebt er niks aan om het zo te doen. Schrijf | |
Riparius | woensdag 9 juli 2014 @ 23:10 |
Voordat je kunt begrijpen waarom eiπ = −1 moet je wel het een en ander weten over complexe getallen en trouwens ook over analyse. Een complex getal z kun je opvatten als een lineaire combinatie van de reële eenheid 1 en de imaginaire eenheid i, dus z = x·1 + y·i waarbij x en y scalaire (reële) grootheden zijn. Aangezien x·1 = x schrijft men dit meestal als z = x + yi of als z = x + iy. Omdat een complex getal volledig is bepaald door de coëfficiënten x en y van de reële resp. de imaginaire eenheid en daarmee door het geordende paar reële getallen (x, y) kun je een complex getal z = x + iy op een eenduidige manier weergeven als het punt met coördinaten (x, y) in een vlak voorzien van een cartesisch assenstelsel. We spreken dan ook wel van het complexe vlak. Als y = 0 dan is z = x·1 + 0·i = x een reëel getal, zodat de x-as dus de 'gewone' reële getallenlijn representeert in het complexe vlak. De x-as heet dan ook de reële as als we werken met een assenstelsel als grafische voorstelling van de complexe getallen. Als x = 0 dan is z = 0·1 + y·i = yi een getal dat men ook wel een 'zuiver imaginair' getal noemt, omdat het complexe getal dan geen reële component heeft. Deze getallen worden uiteraard afgebeeld op de y-as, die daarom de imaginaire as wordt genoemd wanneer we werken met een assenstelsel om complexe getallen grafisch voor te stellen. Het punt (1, 0) is het beeldpunt van de reële eenheid 1 (omdat 1 = 1·1 + 0·i) en het punt (0, 1) is het beeldpunt van de imaginaire eenheid i (omdat i = 0·1 + 1·i). Als we 1 vermenigvuldigen met i dan krijgen we 1·i = i, zodat we ook kunnen zeggen dat het beeldpunt (1, 0) van het getal 1 door een vermenigvuldiging met i overgaat in het beeldpunt (0, 1) van het getal i. Vermenigvuldigen we i nu weer met i, dan krijgen we i·i = −1 met als beeldpunt het punt (−1, 0) zodat we kunnen zeggen dat het beeldpunt (0, 1) van i door een vermenigvuldiging met i overgaat in het beeldpunt (−1, 0) van het getal −1. Kennelijk is het dus zo dat vermenigvuldiging met i, zowel van de reële eenheid 1 als van de imaginaire eenheid i, in het complexe vlak overeenkomt met een rotatie om de oorsprong over een rechte hoek tegen de klok in. Dit zie je uitgebeeld in het volgende plaatje: ![]() Omdat vermenigvuldiging met i van zowel de reële eenheid 1 als de imaginaire eenheid i beantwoordt aan een rotatie om de oorsprong over een rechte hoek tegen de klok in, geldt ditzelfde ook voor elke lineaire combinatie z = x·1 + y·i en daarmee dus voor elk complex getal z. Het beeldpunt van het product z·i van een vermenigvuldiging van een willekeurig complex getal z met i ligt dus een kwartslag tegen de klok in om de oorsprong gedraaid ten opzichte van het beeldpunt van z. Nog een plaatje om dit te illustreren: ![]() In dit plaatje is z = 2 + i met als beeldpunt (2, 1). Vermenigvuldiging met i geeft zi = (2 + i)i = 2i + i2 = 2i − 1 = −1 + 2i met als beeldpunt (−1, 2) en je ziet dat dit punt inderdaad een kwartslag tegen de klok in om de oorsprong gedraaid ligt ten opzichte van het beeldpunt (2, 1) van z = 2 + i. En uiteraard kunnen we zi weer met i vermenigvuldigen, en dan krijgen we zi2 = z·(−1) = −z = −2 − i met als beeldpunt (−2, −1). Na vier maal achtereen vermenigvuldigen met i hebben we vier maal een kwartslag tegen de klok in gemaakt zodat we dan weer terug zijn op ons uitgangspunt, en inderdaad is zi4 = z·1 = z. Het is uiteraard niet toevallig dat vermenigvuldiging met i beantwoordt aan een rotatie om de oorsprong over een rechte hoek tegen de klok in, dat is een eenvoudige consequentie van de rekenregel i2 = −1 en de identificatie van het complexe getal z = x + yi met het punt (x, y) in een vlak voorzien van een cartesisch assenstelsel. Twee getallen die elkaars tegengestelde zijn hebben beeldpunten die diametraal liggen ten opzichte van de oorsprong, zodat je kunt zeggen dat vermenigvuldiging met −1 beantwoordt aan een rotatie over een halve slag rond de oorsprong. En omdat vermenigvuldigen met −1 hetzelfde is als tweemaal achtereen vermenigvuldigen met i beantwoordt eenmaal vermenigvuldigen met i dus aan een rotatie over de helft van een halve slag oftewel een kwartslag rond de oorsprong. Nu kun je nog opmerken dat het bij een rotatie over een halve slag rond de oorsprong voor het resultaat niet uit maakt of we tegen de klok in of met de klok mee roteren, terwijl dit bij een rotatie over een kwart slag uiteraard wel verschil maakt. Ga zelf na dat vermenigvuldiging met −i beantwoordt aan een rotatie rond de oorsprong over een kwartslag met de klok mee. Twee kwartslagen met de klok mee leveren hetzelfde resultaat op als twee kwartslagen tegen de klok in, en inderdaad heb je (−i)·(−i) = −1 evenals i·i = −1. Probeer nu eens of je mijn uitleg hier en hier over de formule van Euler enigszins kunt begrijpen. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 09-07-2014 23:17:15 ] | |
t4rt4rus | donderdag 10 juli 2014 @ 14:08 |
Waarom doet alleen de principal branch ertoe? Lijkt mij dat dat anderen er ook toe doen. x^2 = 1 doet natuurlijk niet alleen x = 1 ertoe. | |
netchip | donderdag 10 juli 2014 @ 14:24 |
Jouw uitleg snap ik opzich wel, maar ik heb geen idee wat een parametervoorstelling is... Verder weet ik vaag wat de eenheidscirkel is, de definitie van de sinus en cosinus in de eenheidscirkel ken ik echter niet. | |
Novermars | donderdag 10 juli 2014 @ 14:28 |
Dit zijn perfect dingen die je zelf kan googelen. | |
Novermars | donderdag 10 juli 2014 @ 14:28 |
Was maar een grapje om mijn falen te maskeren! | |
netchip | donderdag 10 juli 2014 @ 14:28 |
Heb ik gedaan. Concrete definities vinden is moeilijk. | |
Novermars | donderdag 10 juli 2014 @ 14:33 |
Ook al in het Engels geprobeerd? | |
netchip | donderdag 10 juli 2014 @ 14:35 |
Had ik nog niet gedaan. Nu wel, wat is de Nederlandse Wikipedia toch goedkoop bij de Engelse versie. ![]() | |
t4rt4rus | donderdag 10 juli 2014 @ 14:56 |
Als Nederlanders Engels kunnen, waarom dan een aparte wiki? We zijn toch geen Duitsers die alles inspreken in Duits. Hetzelfde met studieboeken, waarom zou iemand die in het Nederlands gaan schrijven als je een veel groter Engelstalig publiek hebt. | |
Riparius | donderdag 10 juli 2014 @ 18:06 |
Je weet dat je in een plat vlak voorzien van een cartesisch coördinatenstelsel rechte lijnen en curves kunt representeren door vergelijkingen in de variabelen x en y. Als je bijvoorbeeld gaat kijken naar de verzameling van alle punten waarvan de coördinaten (x, y) voldoen aan 2x + 3y = 7 dan vind je dat al deze punten op een rechte lijn liggen die door de punten (2, 1) en (5, −1) gaat. Daarom heet een vergelijking als deze ook een lineaire vergelijking in x en y (linea betekent 'lijn'). Maar je hebt uiteraard ook allerlei andere vergelijkingen in x en y. Als je bijvoorbeeld de vergelijking x² − y + 1 = 0 neemt en je gaat dan kijken naar alle punten waarvan de coördinaten (x, y) voldoen aan deze betrekking, dan vind je dat al deze punten een parabool vormen met een verticale symmetrie-as en met als top het punt (0, 1). Nu zie je dat we hier steeds één vergelijking hebben in de variabelen x en y, maar het is ook vaak handig om twee afzonderlijke vergelijkingen te hebben, namelijk eentje waarmee we de x-coördinaat van een punt op de curve of lijn direct uit kunnen rekenen en een tweede vergelijking waarmee we de bijbehorende y-coördinaat van hetzelfde punt op de curve of lijn direct uit kunnen rekenen. Maar dan hebben we wel een derde variabele nodig waar we x en y in uit kunnen drukken. Zo'n hulpvariabele noemen we een parameter en het samenstel van de twee vergelijkingen die ons vertellen hoe x en y elk afhangen van deze parameter noemen we dan een parametervoorstelling van de curve of lijn. Het is gangbaar om voor de parameter de letter t te gebruiken, onder meer omdat in de fysica de letter t vaak wordt gebruikt om tijd aan te geven. Zo kun je dan de baan die een bewegend punt in een plat vlak aflegt beschrijven doordat je voor elk tijdstip t de coördinaten (x, y) van het punt op dat moment kunt bepalen aan de hand van een parametervoorstelling. Een parametervoorstelling van de rechte lijn met vergelijking 2x + 3y = 7 is bijvoorbeeld x = −3t + 2 y = 2t + 1 Als we hier t = 0 invullen, dan krijgen we x = 2 en y = 1, zodat we het punt (2, 1) op de lijn vinden. En als we hier t = −1 invullen dan krijgen we x = 5 en y = −1 zodat we het punt (5, −1) op de lijn vinden. Een parametervoorstelling van een lijn of curve is nooit uniek, want we kunnen oneindig veel andere parametervoorstellingen bedenken die toch exact dezelfde curve of lijn opleveren. Je zou dezelfde lijn bijvoorbeeld ook weer kunnen geven door de parametervoorstelling x = 3t + 5 y = −2t − 1 Nu zie je dat de waarde t = 0 van de parameter het punt (5, −1) geeft terwijl de waarde t = −1 het punt (2, 1) oplevert. Uit een parametervoorstelling van een lijn of curve kun je vaak weer een vergelijking in x en y van de betreffende kromme of lijn verkrijgen. Dat lukt wanneer je erin slaagt om de parameter t uit het stelsel te elimineren. Bij een lineair stelsel zoals in dit voorbeeld is dit heel eenvoudig. Laten we uitgaan van de tweede parametervoorstelling. Als we beide leden van de eerste vergelijking voor x vermenigvuldigen met 2 en we vermenigvuldigen beide leden van de tweede vergelijking voor y met 3, dan krijgen we 2x = 6t + 10 3y = −6t − 3 Tellen we de leden van deze beide vergelijkingen nu bij elkaar op, dan krijgen we 2x + 3y = 6t + 10 − 6t − 3 en dus 2x + 3y = 7 en dat is inderdaad de vergelijking in x en y waar we mee begonnen. Voor de parabool met als vergelijking x² − y + 1 = 0 zou je eenvoudig x = t kunnen nemen, en als je dit invult in de vergelijking krijg je t² − y + 1 = 0 en dus y = t2 + 1. Een parametervoorstelling van deze parabool is dus x = t y = t² + 1 Oefening: bedenk zelf nog een paar andere parametervoorstellingen voor deze zelfde parabool. Dan de goniometrie. Een goed begrip van de definities van de sinus- en de cosinusfunctie aan de hand van de eenheidscirkel is absoluut onmisbaar als je je met complexe getallen bezig wil gaan houden. Je hebt al gezien dat een vermenigvuldiging met i in het complexe vlak beantwoordt aan een rotatie om de oorsprong over een rechte hoek in tegenwijzerzin. Welnu, het blijkt dat elke vermenigvuldiging met een complex getal ongelijk nul in het complexe vlak beantwoordt aan een draaistrekking, dat is een samenstelling van een rotatie rond de oorsprong en een meetkundige vermenigvuldiging (schaling) ten opzichte van de oorsprong. Daarom is het fundamenteel dat je begrijpt hoe je een complex getal z = x + iy omzet in de zogeheten goniometrische of polaire vorm z = r(cos φ + i·sin φ) Bestudeer nu eerst deze uitleg van mij over de definitie van de sinus- en de cosinusfunctie aan de hand van de eenheidscirkel. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 12-07-2014 22:24:28 ] | |
Riparius | donderdag 10 juli 2014 @ 18:55 |
Keer dit argument eens om. Waarom denk je dat Duitsers en bijvoorbeeld ook Fransen een eigen Wikipedia hebben als die volgens jou ook genoegen zouden kunnen nemen met de Engelse Wikipedia? Dat is echt geen kwestie van het niet beheersen van de Engelse taal. Aan universiteiten in Duitsland of Frankrijk hoef je niet aan te komen met leerboeken of dictaten in het Engels, ook niet voor wat meer gevorderde onderwerpen, dat zouden zowel de studenten als de hoogleraren niet pikken, en terecht. Het kleine Nederlandse taalgebied is inderdaad een probleem, vooral voor uitgevers die onvoldoende afzetmogelijkheden zien. Maar dat is vanuit het oogpunt van goed onderwijs een oneigenlijk argument en daarmee nog geen rechtvaardiging om de handdoek dan maar in de ring te werpen en te buigen voor Amerikaans (niet Engels) cultuurimperialisme. Om te beginnen beheersen veel studenten (en hoogleraren!) het Engels veel minder goed dan ze zelf menen, en dat heeft een nefaste invloed op de kennisoverdracht alsmede op de kwaliteit van het geproduceerde lesmateriaal, voor zover er niet van bestaand Engelstalig (doorgaans Amerikaans) materiaal gebruik wordt gemaakt. Daarnaast dreigt door de obsessie met het Engels een voornamelijk Amerikaanse monocultuur te ontstaan, en dat is ook voor een vak als wiskunde een slechte zaak. Ik zie heel vaak artikelen van Amerikaanse wiskundigen waarin (met name op historisch vlak) onjuiste beweringen worden gedaan of waaruit blijkt dat de auteur belangrijke literatuur over zijn of haar onderwerp niet kent. Dat komt doordat de meeste Amerikaanse wiskundigen kennelijk al lang niet meer in staat zijn vakliteratuur in het Duits en Frans te lezen, laat staan dat ze nog in staat zouden zijn een artikel van bijvoorbeeld Euler of Gauss in het Latijn te lezen (en nee, bij lange na niet alle geschriften uit het gigantische œuvre van Euler zijn vertaald). | |
netchip | donderdag 10 juli 2014 @ 20:41 |
Zo'n oefening: Ik heb gedaan x2-y = -1. Daaruit heb ik opgesteld: x2 = 4t2-4 en -y = -4t2+3. Een parameterstelling is f(t) = x+y dus, [ Bericht 0% gewijzigd door netchip op 10-07-2014 20:48:02 ] | |
Riparius | donderdag 10 juli 2014 @ 20:52 |
Dit is niet dezelfde curve, want een vierkantswortel is niet negatief, zodat x hier geen negatieve waarden aan kan nemen. Je krijgt hiermee dan ook slechts een 'halve' parabool, kijk maar. | |
netchip | donderdag 10 juli 2014 @ 21:15 |
Stel dat ik dan zou definieren: f(t) = x2 - y. Met x2 = 4t2-4 en y = 4t2 - 3, zou het dan kloppen? (WolframAlpha geeft geen grafiek hierbij) | |
Novermars | donderdag 10 juli 2014 @ 21:20 |
Je maakt het veel te moeilijk voor je zelf. Je wilt de PV van | |
netchip | donderdag 10 juli 2014 @ 21:23 |
Riparius had die al gegeven. | |
Novermars | donderdag 10 juli 2014 @ 21:26 |
Oh, nvm dan. | |
Riparius | donderdag 10 juli 2014 @ 21:59 |
Complexe machten van complexe getallen zijn lastiger dan je zo op het eerste gezicht zou denken. Voor a ∈ R+ en p ∈ R heb je ap = exp(log(ap)) = exp(p·log(a)) en je kunt je hierop baseren om voor a,p ∈ C, a ≠ 0 te definiëren ap := exp(p·log(a)) Nu is w = exp(z) in C periodiek met een periode 2πi, zodat omgekeerd log(w) = z niet eenduidig is, de (natuurlijke) logaritme van een complex getal w ≠ 0 is slechts bepaald tot op een geheel veelvoud van 2πi. De consequentie hiervan is dat conform bovenstaande definitie ap in C eenduidig is dan en slechts dan als p ∈ Z. Als p ∈ Q\Z, zeg p = m/n met m en n geheel en onderling ondeelbaar en m ≠ 0, n > 1, dan heeft ap precies n verschillende waarden in C. In alle overige gevallen heeft ap oneindig veel waarden in C. Dit betekent dat de notatie ez in wezen ook niet eenduidig is binnen C, tenzij z ∈ Z. Maar in de praktijk beschouwt men ez meestal als een alternatieve notatie voor exp(z) waardoor ez dus wel eenduidig wordt voor elke z ∈ C terwijl az voor elke andere a ∈ C\{0} meerduidig blijft tenzij z ∈ Z. De bekende rekenregels ap·aq = ap+q en (ap)q = apq die gelden voor a ∈ R+ en p,q ∈ R gelden in het algemeen niet in C, ook niet als we ons beperken tot één (hoofd)waarde (principal branch) van de complexe logaritme. Als je hier geen rekening mee houdt en er evenmin rekening mee houdt dat de notatie ez in het algemeen staat voor exp(z) dan kan dit aanleiding geven tot opmerkelijke paradoxen. Heel bekend in dit verband is de paradox van Clausen, gepubliceerd in 1827 (link naar originele publicatie). In een enigszins gemoderniseerde vorm luidt deze paradox als volgt. Je weet dat voor elke k ∈ Z geldt e2kπi = 1 en dus ook e1+2kπi = e En dus zouden we moeten hebben: (e1+2kπi)1+2kπi = e1+2kπi oftewel e-4k²π²∙e1+4kπi = e Nu is e1+4kπi = e, en dus zou moeten gelden e-4k²π² = 1 maar dit is pertinent onjuist voor k ≠ 0. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 11-07-2014 20:42:45 ] | |
Riparius | donderdag 10 juli 2014 @ 22:04 |
Je maakt het veel te moeilijk voor jezelf. Denk eens aan een lineaire substitutie. Als je in de parametervoorstelling x = t, y = t² + 1 de t vervangt door, zeg, (t+1) of door pakweg (2t−3), dan heb je al een andere parametervoorstelling van precies dezelfde parabool. | |
Novermars | donderdag 10 juli 2014 @ 22:29 |
Mag ik de kroon van te moeilijk denken? | |
netchip | donderdag 10 juli 2014 @ 22:31 |
Huh? (x+5)^2 is toch ook niet hetzelfde als x^2? Ik volg het niet helemaal meer... | |
Riparius | donderdag 10 juli 2014 @ 22:33 |
Dat is een mooie inderdaad. | |
Riparius | donderdag 10 juli 2014 @ 22:40 |
Probeer het gewoon uit. Laten we t vervangen door (t+1), dan krijgen we x = t+1 y = (t+1)² + 1 Nu geldt nog steeds y = x² + 1, dus dit is echt dezelfde parabool. Vergelijk het maar met een soort meetlint dat je precies langs een curve drapeert. Het maakt niet uit of het meetlint nu een onderverdeling heeft in centimeters of in inches, de curve waar je het lint langs drapeert blijft precies hetzelfde, ook al hoort er bij elk punt op de curve nu een ander getalletje op het lint. En: als je het lint verschuift langs de curve dan veranderen de getalletjes van het lint bij elk punt op de curve ook, maar aan de curve zelf verandert niets. | |
Novermars | donderdag 10 juli 2014 @ 22:43 |
Duurde alleen veel te lang voordat ik er op kwam. Waren nooit mijn favoriete dingen, PV's ![]() | |
Riparius | donderdag 10 juli 2014 @ 22:50 |
Waarom niet? Kun je leuke dingen mee doen. Oefeningetje (vooral voor Netchip): Gegeven is een kromme met als parametervoorstelling x = 2·sin t y = sin 2t Bepaal een cartesische vergelijking van deze kromme. | |
netchip | donderdag 10 juli 2014 @ 23:04 |
Oh, ik dacht dat alle punten ook 1:1 overeen moesten komen. De vorm blijft wel hetzelfde, inderdaad. Ben nu bezig met je oefening. Ik heb nu x + y = sin(t) (2 + 2cos(t)). Hoe kan ik t 'elimineren'? [ Bericht 2% gewijzigd door netchip op 10-07-2014 23:13:41 ] | |
GeorgeArArMartin | zaterdag 12 juli 2014 @ 10:05 |
Als f(x)-g(x)=s(x), klopt het dan om te zeggen dat S(x)= F(x)-G(x); waarbij S'(x) = s(x), F'(x)= f(x) en G'(x) = g(x) [ Bericht 24% gewijzigd door GeorgeArArMartin op 12-07-2014 10:11:30 ] | |
Novermars | zaterdag 12 juli 2014 @ 14:59 |
Niet honderd procent. Je mist een constant van integratie. | |
netchip | zaterdag 12 juli 2014 @ 15:03 |
Ik heb je een PM gestuurd. ![]() | |
netchip | zaterdag 12 juli 2014 @ 15:08 |
Ik ben ook verder gegaan met het probleem dat je me had gegeven. [ Bericht 1% gewijzigd door netchip op 12-07-2014 15:29:07 ] | |
GeorgeArArMartin | zaterdag 12 juli 2014 @ 15:34 |
Dus S(x) = F(x) - G(x) + C? Kun je me misschien verwijzen naar de naam van dit bewijs of de opzet ervan? | |
Riparius | zaterdag 12 juli 2014 @ 15:45 |
Een primitieve van een gegeven functie is altijd slechts bepaald tot op een constante. Dit is een eenvoudig gevolg van het feit dat de afgeleide van een constante functie identiek gelijk is aan nul. Immers, zij F(x) een primitieve van f(x), dus F'(x) = f(x), dan is G(x) = F(x) + C met een willekeurige constante C eveneens een primitieve van f, want de afgeleide van G(x) is dan G'(x) = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x). Je kunt dus in het algemeen ook niet spreken van de primitieve van een gegeven functie f(x) maar wel van een primitieve van die functie. | |
Novermars | zaterdag 12 juli 2014 @ 15:50 |
Fundamentele stelling van calculus met C_f + C_g = C En wat Riparius zegt natuurlijk. | |
GeorgeArArMartin | zaterdag 12 juli 2014 @ 15:56 |
Oké! Bedankt, zo had ik het nog niet bekeken. Ik snap even niet wat je met de lage streep bedoelt, hoort dat een minteken of subscript te zijn? | |
Novermars | zaterdag 12 juli 2014 @ 15:56 |
Subscript. | |
Novermars | zaterdag 12 juli 2014 @ 16:15 |
Twee vraagjes: Rudin 2.2: A complex number z is said to be algebraic if there integers a_0,...,a_n, not all zero, such that Prove that the set of all algebraic numbers is countable. Dan wordt er een hint gegeven die de vraag erg makkelijk maakt: Hint: For every positive integer N there are only finitely many equations with De vraag beantwoorden met de hint was zoals ik al zei vrij makkelijk, aangezien de vereniging van eindige verzameling hoogstens aftelbaar is en je concludeert omdat elk rationeel getal algebraïsch dat de verzameling van algebraïsche getallen aftelbaar is. Maar wat is de gedachtegang achter deze hint? Met andere woorden, hoe was ik zelf bij deze hint uitgekomen? En dan de tweede vraag: Construct a bounded set of real numbers with exactly three limit points. Definitie van een limit point: A point p is a limit point of the set E (of a metric space X) if every neighbourhood of p contans a point q not equal to p such that q is in E. Constructie vragen ben ik altijd erg slecht in :/ [ Bericht 0% gewijzigd door Novermars op 13-07-2014 13:52:17 ] | |
netchip | zondag 13 juli 2014 @ 13:41 |
Waarom dit zo is, ben ik nog niet helemaal over uit... OHHHH, er staat nu 55i = cos(5log(5)) + i*sin(5log(5)) Ik ben erover uit, geloof ik. | |
Riparius | zondag 13 juli 2014 @ 17:00 |
Je hebt 55i = exp(5i·log(5)), maar bedenk dat log(5) in C slechts bepaald is tot op een geheel veelvoud van 2πi, zodat exp(5i·log(5)) oneindig veel waarden heeft. Als je de reële natuurlijke logaritme van 5 noteert als ln(5), dan is log(5) = ln(5) + 2kπi, k ∈ Z en dus 55i = exp(5i·log(5)) = exp(5i·(ln(5) + 2kπi)) = exp(−10kπ)·exp(5i·ln(5)) = exp(−10kπ)·(cos(5·ln(5)) + i·sin(5·ln(5))), k ∈ Z. | |
netchip | maandag 14 juli 2014 @ 23:16 |
Dit zegt mij niet erg veel. ![]() Leuk dat je er tijd insteekt om mij iets te leren over complexe getallen, Riparius. ![]() ![]() Het kwartje met de parametervoorstellingen is nu ook gevallen. Het principe is mij duidelijk. ![]() | |
Novermars | maandag 14 juli 2014 @ 23:29 |
zodat exp(5i·log(5)) oneindig veel waarden heeft [in C]. Dat is het belangrijkste om te onthouden. De details zijn (nu) nog niet belangrijk voor je. | |
netchip | maandag 14 juli 2014 @ 23:33 |
Ik denk dat ik 'm snap. Die 2k*pi is mogelijk omdat de sinus en cosinus periodiek zijn met 2k*pi... En k zit in de collectie Z, die reikt van -oneindig naar +oneindig, right? Dan zijn er inderdaad oneindig veel waardes... Of heb ik dit verkeerd beredeneerd? | |
netchip | maandag 14 juli 2014 @ 23:34 |
Laatste post. |