Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!
Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).
Links:
• http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
• http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
• http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
• http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
• http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...
OP
Handig:
Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden:
www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d
(-x + 1) e^-x + -1e^-xquote:Op maandag 19 mei 2014 10:17 schreef OllieWilliams het volgende:
[..]
Probeer eens
f(x) = e^-x en g(x) = (-x + 1)
en dan gewoon de productregel toe te passen.
En dat is dus:
(-x + 1) e^-x - 1e^-x
Je vergeet een minnetje en je kunt het nog verder vereenvoudigen.quote:
[..]
(-x + 1) e^-x + -1e^-x
En dat is dus:
(-x + 1) e^-x - 1e^-x
f(x)g'(x) + f'(x)g(x) = e^-x * (-1) + (-e^-x * (-x+1))
= (x - 1 - 1)e^-x = (x - 2)e^-x
Hoe kom je tot dat opeens?quote:
[..]
Je vergeet een minnetje en je kunt het nog verder vereenvoudigen.
f(x)g'(x) + f'(x)g(x) = e^-x * (-1) + (-e^-x * (-x+1))
= (x - 1 - 1)e^-x = (x - 2)e^-x
Eerste term is e^-x * (-1)quote:
Tweede term is (-e^-x * (-x+1)), oftewel e^-x * (x - 1) (let op de minnetjes)
en je maakt gebruik van de rekenregel ax + bx = (a+b)x en vindt
e^-x * (x - 2)
Ik heb de toets afgerond en wat ik erover kan zeggen:
Ik werd finaal met de grond gelijk gemaakt. De toets was inhoudelijk ongeveer als de voorbeeldtoets op 2-3 opgaveb na. Mijn cijfer is hoogstens een 3 a 4 en minstens een 0.
Dit wordt dus herkansen in juli. De klap is hard, maar goed.. dit is een goede weergave van mijn stofbeheersing dus. De komende (exact) twee maanden ga ik nog harder werken hiervoor en ga ik ook letterlijk elk opgave uit het boek maken.
Erg jammer ik had een ander afloop verwacht en gehoopt.
Hoe ik kan weten dat ik het zo slecht heb gedaan? Heb van de 9 opgaven er zowat 4 overgeslagen en dan nog paar fouten in de andere 5 opgaven.
[ Bericht 0% gewijzigd door Super-B op 19-05-2014 16:28:54 ]
Koop een paar VWO 4/5/6 Getal en Ruimte boeken, of lees een Calculus boek in het Engelsquote:Op maandag 19 mei 2014 16:16 schreef Super-B het volgende:
Bedankt voor jullie hulp en tijd voor het beantwoorden van mijn vragen.
Ik heb de toets afgerond en wat ik erover kan zeggen:
Ik werd finaal met de grond gelijk gemaakt. De toets was inhoudelijk ongeveer als de voorbeeldtoets op 2-3 opgaveb na. Mijn cijfer is hoogstens een 3 a 4 en minstens een 0.
Dit wordt dus herkansen in juli. De klap is hard, maar goed.. dit is een goede weergave van mijn stofbeheersing dus. De komende (exact) twee maanden ga ik nog harder werken hiervoor en ga ik ook letterlijk elk opgave uit het boek maken.
Erg jammer ik had een ander afloop verwacht en gehoopt.
Hoe ik kan weten dat ik het zo slecht heb gedaan? Heb van de 9 opgaven er zowat 4 overgeslagen en dan nog paar fouten in de andere 5 opgaven.
Een boek legt alles uit, wat het boek Basis Wiskunde (oid) van Van de Craats niet doet, voor zo ver ik weet.
Zeker. Maar weet niet of ik door 4,5 en 6 vwo boeken kan lopen in exact 2 maanden. De herkansing is 19 juli.quote:
[..]
Koop een paar VWO 4/5/6 Getal en Ruimte boeken, of lees een Calculus boek in het Engels
Een boek legt alles uit, wat het boek Basis Wiskunde (oid) van Van de Craats niet doet, voor zo ver ik weet.
Koop dan wel de WiB boeken, dat was ik vergeten te vertellen. Je hoeft niet alle WiB stof te beheersenquote:
[..]
Zeker. Maar weet niet of ik door 4,5 en 6 vwo boeken kan lopen in exact 2 maanden. De herkansing is 19 juli.
Ik zag dat op de oefentoets integreren niet gevraagd werkt, bewijzen in de vlakke meetkunde niet, en geen goniometrische functies. 
Is Spivak's Calculus een voorbeeld van een calculus 1 boek? Wat is het verschil tussen calculus 1/2/3/4?quote:
exacte namen/isbn nummers hoor ik graag. Heb geen flauw idee welke aan te raden is adhv toetsstof. Het liefst via internet!
Eigenlijk, hoe hij absolute waardes bewijst.
Dat was wel voorspelbaar. Je hebt hooguit enkele tientallen studieuren besteed aan stof die je niet eerder op school hebt gekregen (ik dacht dat je zei dat je zo'n drie weken 2 à 3 uur per dag had gestudeerd) en dat is echt veel te weinig. Mijn inschatting is dat iemand met een gemiddelde aanleg toch al gauw zo'n 300 uren studie nodig heeft om het boek van Van de Craats door te werken en de stof echt onder de knie te krijgen, wellicht meer vanwege het aantal opgaven. Dan heb ik het overigens wel over het gehele boek. En nu weet ik wel dat lang niet alle stof deel uitmaakte van hetgeen voor de toets werd gevraagd, maar een eclectische aanpak werkt nu eenmaal niet bij wiskunde: alles bouwt voort op het voorafgaande, en ook Van de Craats heeft zijn boek zo ingericht dat hij in ieder hoofdstuk behalve het eerste de stof van zijn voorafgaande hoofdstukken bekend veronderstelt. En dat heeft ook consequenties voor de manier waarop je het boek moet gebruiken als je er effectief uit wil kunnen leren.quote:
Bedankt voor jullie hulp en tijd voor het beantwoorden van mijn vragen.
Ik heb de toets afgerond en wat ik erover kan zeggen:
Ik werd finaal met de grond gelijk gemaakt. De toets was inhoudelijk ongeveer als de voorbeeldtoets op 2-3 opgaven na. Mijn cijfer is hoogstens een 3 a 4 en minstens een 0.
Je kunt nu eenmaal niet verwachten dat je veel terecht zult brengen van differentiaalrekening als je bijvoorbeeld geen goed begrip hebt van wat een functie nu precies is en wat de grafische voorstelling van een functie inhoudt en wat daarbij komt kijken. En daarvoor heb je weer een beetje (analytische) meetkunde nodig. Als je die achtergrond niet hebt, dan verwordt differentiëren tot een half begrepen of onbegrepen kunstje waarbij je een aantal 'regels' toepast waarvan de achtergronden ook duister blijven. En werken met differentiaalrekening zonder dat je op zijn minst een basale vaardigheid hebt in het foutloos uitvoeren van algebraïsche herleidingen is ook niet mogelijk.
Heel veel ellende met (school)wiskunde die je bijvoorbeeld in dit topic voorbij ziet trekken is terug te voeren op een manifest gebrek aan basale algebraïsche vaardigheden. Zaken als haakjes uitwerken, ontbinden in factoren, herleiden van breuken, merkwaardige producten, kwadraatafsplitsing, oplossen van eerste- en tweedegraads vergelijkingen en ongelijkheden, werken met machten, wortels en logaritmen (deze opsomming maakt geen aanspraak op volledigheid) moet je allemaal kunnen dromen en bij wijze van spreken ook met je ogen dicht foutloos uit kunnen voeren. Maar het verwerven van goede algebraïsche vaardigheden is weer niet mogelijk als je niet eerst een goede ondergrond hebt in rekenen, en daarmee zijn we meteen aangekomen bij één van wortels (no pun intended!) van alle wiskunde ellende: het rekenonderwijs. Als je op de basisschool nooit vlot (en uitsluitend met pen en papier of uit het hoofd) hebt leren rekenen met breuken, dan kun je niet verwachten dat je bijvoorbeeld algebraïsche herleidingen met breuken opeens wel tot een goed einde weet te brengen. En als je nooit hebt geleerd om staartdelingen uit te voeren dan zul je een polynoomstaartdeling ook niet uit kunnen voeren. Dat is precies wat Liesbeth van der Plas ook betoogt op haar website, zoals ik hier al eens heb opgemerkt.
Ik kan jou - en alle anderen die in hetzelfde schuitje zitten een of vergelijkbare problemen hebben met elementaire schoolwiskunde - alleen maar aanraden om te beginnen met het bijspijkeren van je rekenvaardigheden, daarna je algebraïsche vaardigheden op peil te brengen, dan tijd uit te trekken om te leren werken met het begrip functie en wat daar zoal bij komt kijken, en dan pas terug te keren tot het bestuderen van de differentiaalrekening. De eerste vier boekjes uit de reeds meermalen genoemde spijkerreeks kunnen je helpen deze weg af te leggen en zijn ook uitstekend geschikt voor zelfstudie. Ik denk wel dat de inschatting van de auteur dat je elk boekje uit zijn reeks in 10 à 20 uren studie door kunt werken wat te optimistisch is en zou eerder denken aan een gemiddelde van ca. 30 uur per boekje, waarmee je dus uitkomt op een studielast van ca. 120 uur voor het doorwerken van de eerste vier boekjes uit de reeks. Daarna zou je dan in een tweede ronde, en als herhaling, extra opgaven uit het boek van Van de Craats kunnen maken.
Ik hoop voor jou dat je bovenstaande adviezen ter harte neemt.quote:Dit wordt dus herkansen in juli. De klap is hard, maar goed.. dit is een goede weergave van mijn stofbeheersing dus. De komende (exact) twee maanden ga ik nog harder werken hiervoor en ga ik ook letterlijk elk opgave uit het boek maken.
Erg jammer ik had een ander afloop verwacht en gehoopt.
Hoe ik kan weten dat ik het zo slecht heb gedaan? Heb van de 9 opgaven er zowat 4 overgeslagen en dan nog paar fouten in de andere 5 opgaven.
Heb jij tips voor het bewijzen van stellingen?quote:
[..]
Dat was wel voorspelbaar. Je hebt hooguit enkele tientallen studieuren besteed aan stof die je niet eerder op school hebt gekregen (ik dacht dat je zei dat je zo'n drie weken 2 à 3 uur per dag had gestudeerd) en dat is echt veel te weinig. Mijn inschatting is dat iemand met een gemiddelde aanleg toch al gauw zo'n 300 uren studie nodig heeft om het boek van Van de Craats door te werken en de stof echt onder de knie te krijgen, wellicht meer vanwege het aantal opgaven. Dan heb ik het overigens wel over het gehele boek. En nu weet ik wel dat lang niet alle stof deel uitmaakte van hetgeen voor de toets werd gevraagd, maar een eclectische aanpak werkt nu eenmaal niet bij wiskunde: alles bouwt voort op het voorafgaande, en ook Van de Craats heeft zijn boek zo ingericht dat hij in ieder hoofdstuk behalve het eerste de stof van zijn voorafgaande hoofdstukken bekend veronderstelt. En dat heeft ook consequenties voor de manier waarop je het boek moet gebruiken als je er effectief uit wil kunnen leren.
Je kunt nu eenmaal niet verwachten dat je veel terecht zult brengen van differentiaalrekening als je bijvoorbeeld geen goed begrip hebt van wat een functie nu precies is en wat de grafische voorstelling van een functie inhoudt en wat daarbij komt kijken. En daarvoor heb je weer een beetje (analytische) meetkunde nodig. Als je die achtergrond niet hebt, dan verwordt differentiëren tot een half begrepen of onbegrepen kunstje waarbij je een aantal 'regels' toepast waarvan de achtergronden ook duister blijven. En werken met differentiaalrekening zonder dat je op zijn minst een basale vaardigheid hebt in het foutloos uitvoeren van algebraïsche herleidingen is ook niet mogelijk.
Heel veel ellende met (school)wiskunde die je bijvoorbeeld in dit topic voorbij ziet trekken is terug te voeren op een manifest gebrek aan basale algebraïsche vaardigheden. Zaken als haakjes uitwerken, ontbinden in factoren, herleiden van breuken, merkwaardige producten, kwadraatafsplitsing, oplossen van eerste- en tweedegraads vergelijkingen en ongelijkheden, werken met machten, wortels en logaritmen (deze opsomming maakt geen aanspraak op volledigheid) moet je allemaal kunnen dromen en bij wijze van spreken ook met je ogen dicht foutloos uit kunnen voeren. Maar het verwerven van goede algebraïsche vaardigheden is weer niet mogelijk als je niet eerst een goede ondergrond hebt in rekenen, en daarmee zijn we meteen aangekomen bij één van wortels (no pun intended!) van alle wiskunde ellende: het rekenonderwijs. Als je op de basisschool nooit vlot (en uitsluitend met pen en papier of uit het hoofd) hebt leren rekenen met breuken, dan kun je niet verwachten dat je bijvoorbeeld algebraïsche herleidingen met breuken opeens wel tot een goed einde weet te brengen. En als je nooit hebt geleerd om staartdelingen uit te voeren dan zul je een polynoomstaartdeling ook niet uit kunnen voeren. Dat is precies wat Liesbeth van der Plas ook betoogt op haar website, zoals ik hier al eens heb opgemerkt.
Ik kan jou - en alle anderen die in hetzelfde schuitje zitten een of vergelijkbare problemen hebben met elementaire schoolwiskunde - alleen maar aanraden om te beginnen met het bijspijkeren van je rekenvaardigheden, daarna je algebraïsche vaardigheden op peil te brengen, dan tijd uit te trekken om te leren werken met het begrip functie en wat daar zoal bij komt kijken, en dan pas terug te keren tot het bestuderen van de differentiaalrekening. De eerste vier boekjes uit de reeds meermalen genoemde spijkerreeks kunnen je helpen deze weg af te leggen en zijn ook uitstekend geschikt voor zelfstudie. Ik denk wel dat de inschatting van de auteur dat je elk boekje uit zijn reeks in 10 à 20 uren studie door kunt werken wat te optimistisch is en zou eerder denken aan een gemiddelde van ca. 30 uur per boekje, waarmee je dus uitkomt op een studielast van ca. 120 uur voor het doorwerken van de eerste vier boekjes uit de reeks. Daarna zou je dan in een tweede ronde, en als herhaling, extra opgaven uit het boek van Van de Craats kunnen maken.
[..]
Ik hoop voor jou dat je bovenstaande adviezen ter harte neemt.
Ik zal en moet tot en met Part II komen
Dank ik neem dit ook ter harte. In ieder geval enorm bedankt voor het reageren de afgelopen weken.quote:
[..]
Dat was wel voorspelbaar. Je hebt hooguit enkele tientallen studieuren besteed aan stof die je niet eerder op school hebt gekregen (ik dacht dat je zei dat je zo'n drie weken 2 à 3 uur per dag had gestudeerd) en dat is echt veel te weinig. Mijn inschatting is dat iemand met een gemiddelde aanleg toch al gauw zo'n 300 uren studie nodig heeft om het boek van Van de Craats door te werken en de stof echt onder de knie te krijgen, wellicht meer vanwege het aantal opgaven. Dan heb ik het overigens wel over het gehele boek. En nu weet ik wel dat lang niet alle stof deel uitmaakte van hetgeen voor de toets werd gevraagd, maar een eclectische aanpak werkt nu eenmaal niet bij wiskunde: alles bouwt voort op het voorafgaande, en ook Van de Craats heeft zijn boek zo ingericht dat hij in ieder hoofdstuk behalve het eerste de stof van zijn voorafgaande hoofdstukken bekend veronderstelt. En dat heeft ook consequenties voor de manier waarop je het boek moet gebruiken als je er effectief uit wil kunnen leren.
Je kunt nu eenmaal niet verwachten dat je veel terecht zult brengen van differentiaalrekening als je bijvoorbeeld geen goed begrip hebt van wat een functie nu precies is en wat de grafische voorstelling van een functie inhoudt en wat daarbij komt kijken. En daarvoor heb je weer een beetje (analytische) meetkunde nodig. Als je die achtergrond niet hebt, dan verwordt differentiëren tot een half begrepen of onbegrepen kunstje waarbij je een aantal 'regels' toepast waarvan de achtergronden ook duister blijven. En werken met differentiaalrekening zonder dat je op zijn minst een basale vaardigheid hebt in het foutloos uitvoeren van algebraïsche herleidingen is ook niet mogelijk.
Heel veel ellende met (school)wiskunde die je bijvoorbeeld in dit topic voorbij ziet trekken is terug te voeren op een manifest gebrek aan basale algebraïsche vaardigheden. Zaken als haakjes uitwerken, ontbinden in factoren, herleiden van breuken, merkwaardige producten, kwadraatafsplitsing, oplossen van eerste- en tweedegraads vergelijkingen en ongelijkheden, werken met machten, wortels en logaritmen (deze opsomming maakt geen aanspraak op volledigheid) moet je allemaal kunnen dromen en bij wijze van spreken ook met je ogen dicht foutloos uit kunnen voeren. Maar het verwerven van goede algebraïsche vaardigheden is weer niet mogelijk als je niet eerst een goede ondergrond hebt in rekenen, en daarmee zijn we meteen aangekomen bij één van wortels (no pun intended!) van alle wiskunde ellende: het rekenonderwijs. Als je op de basisschool nooit vlot (en uitsluitend met pen en papier of uit het hoofd) hebt leren rekenen met breuken, dan kun je niet verwachten dat je bijvoorbeeld algebraïsche herleidingen met breuken opeens wel tot een goed einde weet te brengen. En als je nooit hebt geleerd om staartdelingen uit te voeren dan zul je een polynoomstaartdeling ook niet uit kunnen voeren. Dat is precies wat Liesbeth van der Plas ook betoogt op haar website, zoals ik hier al eens heb opgemerkt.
Ik kan jou - en alle anderen die in hetzelfde schuitje zitten een of vergelijkbare problemen hebben met elementaire schoolwiskunde - alleen maar aanraden om te beginnen met het bijspijkeren van je rekenvaardigheden, daarna je algebraïsche vaardigheden op peil te brengen, dan tijd uit te trekken om te leren werken met het begrip functie en wat daar zoal bij komt kijken, en dan pas terug te keren tot het bestuderen van de differentiaalrekening. De eerste vier boekjes uit de reeds meermalen genoemde spijkerreeks kunnen je helpen deze weg af te leggen en zijn ook uitstekend geschikt voor zelfstudie. Ik denk wel dat de inschatting van de auteur dat je elk boekje uit zijn reeks in 10 à 20 uren studie door kunt werken wat te optimistisch is en zou eerder denken aan een gemiddelde van ca. 30 uur per boekje, waarmee je dus uitkomt op een studielast van ca. 120 uur voor het doorwerken van de eerste vier boekjes uit de reeks. Daarna zou je dan in een tweede ronde, en als herhaling, extra opgaven uit het boek van Van de Craats kunnen maken.
[..]
Ik hoop voor jou dat je bovenstaande adviezen ter harte neemt.
Heb je echter wel een ander idee dan het doorwerken van vier boeken en vervolgens nog die van Van Craats door te werken als tweede ronde. Ik heb namelijk ongeveer 1,5 tot 2 maanden om mij voor te bereiden voor de herkansing en daarnaast zit ik best krap, aangezien ik hiernaast nog ook mijn cijfers op peil moet houden op het hbo (om dan te kunnen voldoen aan die minimale gemiddelde van een 7,5-norm).
Je zit pas in de derde, beter werk je vooruit in de boeken van Getal en Ruimte. Ze voldoen prima aan het aantal herhalingsopgaven. Daar zit voldoende meetkunde bij. Aan analyse zou ik me nog even niet wagen, en anders zou je een dictaat op kunnen snorren. Het begint vrij simpel met rijtjes enzulks. Bewijzen is lastig en vergt naast creativiteit ook vooral veel tijd om het onder de knie te krijgen.quote:
[..]
Is Spivak's Calculus een voorbeeld van een calculus 1 boek? Wat is het verschil tussen calculus 1/2/3/4?
Hm ja, daar heb je zeker een punt. Ik heb alleen een Getal en Ruimte VWO 3 boek, om aan mijn docent te gaan vragen of ik een Getal en Ruimte VWO 4 WiB boek kan lenen, is een beetje awkwardquote:
[..]
Je zit pas in de derde, beter werk je vooruit in de boeken van Getal en Ruimte. Ze voldoen prima aan het aantal herhalingsopgaven. Daar zit voldoende meetkunde bij. Aan analyse zou ik me nog even niet wagen, en anders zou je een dictaat op kunnen snorren. Het begint vrij simpel met rijtjes enzulks. Bewijzen is lastig en vergt naast creativiteit ook vooral veel tijd om het onder de knie te krijgen.
Je hoeft niet mijn hele tekst te quoten als je een vraag hebt die volkomen los staat van deze tekst.quote:
[..]
Heb jij tips voor het bewijzen van stellingen?
Bewijzen leerde je vroeger gewoon op school, en dan vooral bij de vlakke meetkunde. En ja, meteen vanaf de eerste klas (Gegeven: ..., Te bewijzen: ..., Bewijs: ...). Zo ergens rond de kerst konden kinderen dan al bewijzen dat de hoogtelijnen van een driehoek door één punt gaan, en aan het einde van de eerste klas wisten ze al meer van vlakke meetkunde en bewijzen dan de meeste mensen met Wiskunde B die nu van het VWO af komen.
Maar goed, probeer dit kosteloos beschikbare boekje eens.
Gegeven is f(x) = 3^(ax^2 + x + b)
Verder waren 2 coordinaten gegeven: (0,243) en (2,81)
Bepaal nu a en b.
Waarschijnlijk heb ik de vraag niet helemaal goed hier staan maar het idee is duidelijk
Hierbij wil ik ook de wiskunde-genieën in dit topic bedanken voor hun hulp. Het is erg fijn dat wanneer je een half uur met een som aan het kloten bent je een extra paar ogen kan inzetten.
Ik denk toch dat je nu het beste kunt beginnen met de eerste vier boekjes (in volgorde) van de spijkerreeks. Het zijn dunne boekjes (ca. 60 blz.) en ze zijn met ¤ 11 per stuk (ik meen overigens dat ze eerder ¤ 10 waren) ook niet te duur in aanschaf.quote:
[..]
Dank ik neem dit ook ter harte. In ieder geval enorm bedankt voor het reageren de afgelopen weken.
Heb je echter wel een ander idee dan het doorwerken van vier boeken en vervolgens nog die van Van Craats door te werken als tweede ronde. Ik heb namelijk ongeveer 1,5 tot 2 maanden om mij voor te bereiden voor de herkansing en daarnaast zit ik best krap, aangezien ik hiernaast nog ook mijn cijfers op peil moet houden op het hbo (om dan te kunnen voldoen aan die minimale gemiddelde van een 7,5-norm).
Waarom is dat awkward?quote:
[..]
Hm ja, daar heb je zeker een punt. Ik heb alleen een Getal en Ruimte VWO 3 boek, om aan mijn docent te gaan vragen of ik een Getal en Ruimte VWO 4 WiB boek kan lenen, is een beetje awkward
Tja, "Uh ja, uh, ik zou graag verder willen werken in het wiskunde B boek van volgend jaar, zou ik er een mogen lenen?"quote:
Zij moet dan ook wel denken: "WTF wil die verder werken?!"
Stel je voor zeg, een gemotiveerde leerling, wat moet die docent wel niet denken!quote:
@Super-B. Voor mijn gevoel moet je daarnaast vooral werken aan structuur. Dus alles netjes stap voor stap doen, en voor elke stap duidelijke een verklaring hebben waarom je dat doet. Al die uitwerkingen die je hier gaf waren extreem rommelig.
Ik ga keihard leren voor die herkansing alvast.quote:
[..]
Stel je voor zeg, een gemotiveerde leerling, wat moet die docent wel niet denken!
@Super-B. Voor mijn gevoel moet je daarnaast vooral werken aan structuur. Dus alles netjes stap voor stap doen, en voor elke stap duidelijke een verklaring hebben waarom je dat doet. Al die uitwerkingen die je hier gaf waren extreem rommelig.
Ik ga van het weekend starten.
Gewoon van Van Craats?quote:Op maandag 19 mei 2014 20:26 schreef Amoeba het volgende:
Gewoon iedere dag een blokje theorie. En gewoon vanaf 0 beginnen man
Woensdag zal ik wel vragen of ik een 4e klas boek mag lenen, als ik de gelegenheid krijgquote:
Gewoon iedere dag een blokje theorie. En gewoon vanaf 0 beginnen man
Die spijkerreeks.quote:
Wel mooi om te zien dat je zo gemotiveerd bent. Goed bezig.quote:
[..]
Woensdag zal ik wel vragen of ik een 4e klas boek mag lenen, als ik de gelegenheid krijg
Ik ga even kijken of er nog andere mogelijkheden zijn via internet.quote:
Waarom zou je niet gewoon het advies opvolgen?quote:
[..]
Ik ga even kijken of er nog andere mogelijkheden zijn via internet.
Omdat ik niet zeker weet hoe het boek inhoudelijk is en of het kwalitatief goed is.. Kan er niks over vinden. Op de site staat:quote:Op maandag 19 mei 2014 20:41 schreef Ensemble het volgende:
[..]
Waarom zou je niet gewoon het advies opvolgen?
''Daarom volgt na elke stukje uitleg een groot aantal oefeningen.''
Hiervan is ook sprake bij het boek van Van Craats..
Riparius raadt het aan... Hij weet echt wel wat een goed boek is en wat niet.quote:
[..]
Omdat ik niet zeker weet hoe het boek inhoudelijk is en of het kwalitatief goed is.. Kan er niks over vinden. Op de site staat:
''Daarom volgt na elke stukje uitleg een groot aantal oefeningen.''
Hiervan is ook sprake bij het boek van Van Craats..
Koop die boekjes nou maar voor vier tientjes. Geen geld, en het gaat tenslotte om je toekomst.quote:
[..]
Omdat ik niet zeker weet hoe het boek inhoudelijk is en of het kwalitatief goed is.. Kan er niks over vinden. Op de site staat:
''Daarom volgt na elke stukje uitleg een groot aantal oefeningen.''
Hiervan is ook sprake bij het boek van Van Craats..
Heb je het over deze Van Craats? http://staff.science.uva.nl/~craats/BasisboekWiskunde2HP.pdfquote:
[..]
Omdat ik niet zeker weet hoe het boek inhoudelijk is en of het kwalitatief goed is.. Kan er niks over vinden. Op de site staat:
''Daarom volgt na elke stukje uitleg een groot aantal oefeningen.''
Hiervan is ook sprake bij het boek van Van Craats..
Want dat vind ik meer een methode om je kennis op te frissen, dan eentje om het je van 0 af aan te leren. Daarvoor zijn de lesboeken (zoals die Spijkerreeks) veel geschikter.
"e:
[..]
Koop die boekjes nou maar voor vier tientjes. Geen geld, en het gaat tenslotte om je toekomst.
Ja deze Van Craats.quote:
[..]
Heb je het over deze Van Craats? http://staff.science.uva.nl/~craats/BasisboekWiskunde2HP.pdf
Want dat vind ik meer een methode om je kennis op te frissen, dan eentje om het je van 0 af aan te leren. Daarvoor zijn die lesboeken (zoals die Spijkerreeks) veel geschikter.
Welke spijkerreeks?
Ik dacht aan:
Functies & Differentiëren.
Ik merk dat mijn probleem grotendeels ligt bij deze twee onderwerpen en vergelijkingen met BREUKEN waar ik dan de som-product regel op moet toepassen..
De eerste vier. Lijkt kinderachtig, maar is nodig.quote:
[..]
&
[..]
Ja deze Van Craats.
Welke spijkerreeks?
Ik dacht aan:
Functies & Differentiëren.
Ik merk dat mijn probleem grotendeels ligt bij deze twee onderwerpen en vergelijkingen met BREUKEN waar ik dan de som-product regel op moet toepassen..
Als ik jou was zou ik gewoon de eerste vier boekjes kopen (Rekenen, Algebra, Functies en Differentieren) en dan alles doorwerken. Een goede basis is belangrijk.quote:
[..]
&
[..]
Ja deze Van Craats.
Welke spijkerreeks?
Ik dacht aan:
Functies & Differentiëren.
Ik merk dat mijn probleem grotendeels ligt bij deze twee onderwerpen en vergelijkingen met BREUKEN waar ik dan de som-product regel op moet toepassen..
Ik weet niet of ik dat red in 7 weken, naast mijn hbo tentamens..quote:
[..]
Als ik jou was zou ik gewoon de eerste vier boekjes kopen (Rekenen, Algebra, Functies en Differentieren) en dan alles doorwerken. Een goede basis is belangrijk.
Je loopt voor of na de les naar je docent toe. Hey, mag ik alvast een vierdejaars boek voor wiskunde B én een boek van wiskunde D?quote:
[..]
Woensdag zal ik wel vragen of ik een 4e klas boek mag lenen, als ik de gelegenheid krijg
Dan maak je om en om een hoofdstuk. Wiskunde D is een stuk lastiger dan B, althans dat is mijn ervaring. Ik heb in 5 vwo besloten wiskunde D te laten rusten, toen in mijn wiskunde B en wiskunde D uren compleet wiskunde B afgemaakt (dus 6 uur per week), examen gedaan in de vijfde en in mijn zesde jaar compleet wiskunde D gemaakt. Persoonlijk liep dat veel lekkerder doordat ik bedrevener was in algebra, functies en infinitesimaalrekening.
Ik volg hier blindelings Riparius. Koop die reeks nu maar, want je niveau is echt hopeloos te noemen nu. Stelsels lineaire vergelijkingen worstel je al mee..quote:
En, netchip, als je het boek niet kan krijgen, stuur ik het je wel in bruikleen op.quote:Op maandag 19 mei 2014 21:02 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Je loopt voor of na de les naar je docent toe. Hey, mag ik alvast een vierdejaars boek voor wiskunde B én een boek van wiskunde D?
Dan maak je om en om een hoofdstuk. Wiskunde D is een stuk lastiger dan B, althans dat is mijn ervaring. Ik heb in 5 vwo besloten wiskunde D te laten rusten, toen in mijn wiskunde B en wiskunde D uren compleet wiskunde B afgemaakt (dus 6 uur per week), examen gedaan in de vijfde en in mijn zesde jaar compleet wiskunde D gemaakt. Persoonlijk liep dat veel lekkerder doordat ik bedrevener was in algebra, functies en infinitesimaalrekening.
Moet wel lukken om die boeken te lenen van school, denk ik.quote:Op maandag 19 mei 2014 21:04 schreef jordyqwerty het volgende:
[..]
En, netchip, als je het boek niet kan krijgen, stuur ik het je wel in bruikleen op.
Ik laat het jullie weten!
Ik ben echt benieuwd over Riparius zijn achtergrond, helaas vertelt hij dat niet..quote:
[..]
Ik volg hier blindelings Riparius. Koop die reeks nu maar, want je niveau is echt hopeloos te noemen nu. Stelsels lineaire vergelijkingen worstel je al mee..
Op dit moment ga ik even rusten en echt helemaal niks doen. Ik zie wel wat er van komt. Eerst maar even al mijn energie bij elkaar sprokkelen.
Heb je ambities voor een studie wiskunde na het vwo?quote:
[..]
Moet wel lukken om die boeken te lenen van school, denk ik.
Ik laat het jullie weten!
Wiskunde (en natuurkunde in mindere mate) is wel iets wat me erg bezig houdt, en wat ik ook leuk vind om te doen.quote:
[..]
Heb je ambities voor een studie wiskunde na het vwo?
De komende drie jaar ga ik me orienteren op een studiekeuze, maar wiskunde is zeker een optie, zoals ik er nu tegen aankijk.
Ik zie wel, hoef gelukkig nog niet te beslissen en ik ben breed geintresseerd ^^[ Bericht 3% gewijzigd door netchip op 19-05-2014 21:54:14 ]
Nee. Wellicht kan Thabit je wel iets aanraden.quote:Op dinsdag 20 mei 2014 21:44 schreef Diacetylmorfine het volgende:
Riparius, kun jij boeken over chaos theorie aanraden?
Hoewel, ik herinner me net het bestaan van dit boekje. Maar dat heb ik zelf niet gelezen of ingezien, dus kan ik het in stricte zin ook niet aanraden.
[ Bericht 10% gewijzigd door Riparius op 20-05-2014 21:51:22 ]
[ Bericht 100% gewijzigd door Riparius op 20-05-2014 21:50:39 ]
Ben vandaag naar mijn docente gegaan, en ze zei dat ze de boeken vrijdag mee zou nemen, als het goed is
Zie je nou dat het niet 'awkward' isquote:
Nieuws!
Ben vandaag naar mijn docente gegaan, en ze zei dat ze de boeken vrijdag mee zou nemen, als het goed is
.5.3324 -/- k * SQRT(5,1172) = 0,5819
Dus ik denk:
k * SQRT(5,1172)= 5,9143
k = 5,9143/SQRT(5,1172) = 2,6145
Echter, de antwoordindicatie laat zien dat k = 2,1. Wie kan me uitleggen wat ik verkeerd doe?
Waarom schrijf je -/- ?quote:
Omschrijven van een formule:
5.3324 -/- k * SQRT(5,1172) = 0,5819
Dus ik denk:
k * SQRT(5,1172)= 5,9143
k = 5,9143/SQRT(5,1172) = 2,6145
Echter, de antwoordindicatie laat zien dat k = 2,1. Wie kan me uitleggen wat ik verkeerd doe?
5.3324 - k * SQRT(5,1172)= 0.5819
k * SQRT(5,1172)= 5,3324 - 0.5819 = 4.7505 (Jij deed hier optellen)
k = 4.7505 / SQRT(5,1172) = 2.1000
Aah ik snap 'm! Thanks!quote:
[..]
Waarom schrijf je -/- ?
5.3324 - k * SQRT(5,1172)= 0.5819
k * SQRT(5,1172)= 5,3324 - 0.5819 = 4.7505 (Jij deed hier optellen)
k = 4.7505 / SQRT(5,1172) = 2.1000
Een andere identiteit die van pas kan komen is
∫C f'(z)/f(z) dz = 2πi(n0(f; C) - np(f; C))
waar n0(f; C) het aantal nulpunten van f binnen C en het aantal polen van f binnen C zijn.
De opdracht waar ik op dit moment het meeste problemen mee heb:
Stel dat f analytisch is op een open set die |z| ≤ 1 bevat, behalve op polen in |z| < 1. Stel dat c een complexe constante is zodat |f(z)| < |c| als |z| = 1. Laat zien dat het aantal keren dat f de waarde c aanneemt op |z| ≤ 1 gelijk is aan het aantal polen. Hint: Vergelijk de polen en nulpunten van f - c.
Tips en suggesties worden erg op prijs gesteld
Misschien mis ik iets, maar dit lijkt me vrij triviaal. Neem g(z) = f(z) − c, en zij C de eenheidscirkel, dan is het duidelijk dat g(z) geen nulpunten heeft op C aangezien |f(z)| < |c| en dus f(z) ≠ c voor |z| = 1. Eventuele nulpunten van g(z) op de gesloten cirkelschijf |z| ≤ 1 liggen dus binnen C, en datzelfde geldt voor eventuele polen van g(z), aangezien g(z) en f(z) dezelfde polen hebben en f(z) geen polen heeft op C. Nu hebben wequote:
Ik heb wat problemen met een inleveropgave complexe analyse. Ik denk dat ik iets moet doen met de stelling van Rouché, die zegt dat als f en g analytisch zijn op een simply connected domein en |f(z)| < |g(z)| op een contour in dat domein, dat f(z) + g(z) evenveel nulpunten heeft als g(z) binnen de contour.
Een andere identiteit die van pas kan komen is
∫C f'(z)/f(z) dz = 2πi(n0(f; C) - np(f; C))
waar n0(f; C) het aantal nulpunten van f binnen C en het aantal polen van f binnen C zijn.
De opdracht waar ik op dit moment het meeste problemen mee heb:
Stel dat f analytisch is op een open set die |z| ≤ 1 bevat, behalve op polen in |z| < 1. Stel dat c een complexe constante is zodat |f(z)| < |c| als |z| = 1. Laat zien dat het aantal keren dat f de waarde c aanneemt op |z| ≤ 1 gelijk is aan het aantal polen. Hint: Vergelijk de polen en nulpunten van f - c.
Tips en suggesties worden erg op prijs gesteld
(1) ∫C g'(z)/g(z) dz = 2πi(n0(g; C) - np(g; C))
waarbij n0(g; C) en np(g; C) het aantal nulpunten resp. het aantal polen van g(z) binnen C zijn, en daarmee dus ook het aantal malen dat f(z) binnen C de waarde c aanneemt resp. het aantal polen van f(z) binnen C (Cauchy's argument principe). Maar nu is g'(z) = f'(z) op C en hebben we
(2) ∫C g'(z)/g(z) dz = ∫C f'(z)/(f(z)−c) dz
en met de substitutie w = f(z) en dus dw = f'(z)·dz hebben we ook
(3) ∫C f'(z)/(f(z)−c) dz = ∫f(C) dw/(w −c)
waarbij f(C) het beeld is in het w-vlak van de eenheidscirkel onder f. Nu is het zo dat de integraal in het rechterlid afgezien van de factor 2πi niets anders voorstelt dan het windingsgetal W(f(C), c) van de gesloten curve f(C) ten opzichte van c, dus
(4) ∫f(C) dw/(w −c) = 2πi·W(f(C),c)
Maar nu is |f(z)| < |c| voor |z| = 1, zodat het punt c 'buiten' het beeld f(C) van C ligt en het windingsgetal van f(C) ten opzichte van c dus gelijk is aan nul oftewel
(5) W(f(C),c) = 0
Uit (1) t/m (5) volgt dus
(6) n0(g; C) − np(g; C) = 0
en aangezien f(z) niet de waarde c aanneemt en evenmin polen heeft voor |z| = 1 betekent dit niets anders dan dat het aantal malen dat f(z) de waarde c aanneemt voor |z| ≤ 1 gelijk is aan het aantal polen van f(z) voor |z| ≤ 1, QED.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 24-05-2014 01:08:20 ]
Ik denk het niet. Misschien moeilijk voor te stellen voor jou, maar ik heb er een tijd lang naar gekeken zonder enig resultaat. Misschien komt het omdat ik nu bij het vak instroom (ik heb het eerste deel quarter gemist, lang verhaal). Ik mis soms wat trucjes die die de rest van de klas wel al goed lijkt te beheersen (ik heb nog niet echt gewerkt met het windingsgetal, en ben daar blijkbaar nog niet echt handig genoeg mee). Ook het beeld van de contour C onder f is voor mij ver van triviaal (het is niet ingewikkeld, maar ik zou er gewoon niet op komen omdat ik er nog niet mee gewerkt heb). Dat is het enige gedeelte waar ik nog even naar moet kijken, de rest is helemaal helderquote:
[..]
Misschien mis ik iets, maar dit lijkt me vrij triviaal.
Grappig genoeg is dit vak voor 'getalenteerde wiskundeleerlingen' in de US. Het niveau hier is wel wat lager dan in Nederland (hoewel ik dit vak dus wel wat lastiger vind omdat ik later ben ingestroomd).
In ieder geval hartstikke bedankt, ik was er waarschijnlijk niet op gekomen (de eerste stap zag ik al niet).
Welk boek gebruiken jullie?quote:
[..]
Ik denk het niet. Misschien moeilijk voor te stellen voor jou, maar ik heb er een tijd lang naar gekeken zonder enig resultaat. Misschien komt het omdat ik nu bij het vak instroom (ik heb het eerste deel quarter gemist, lang verhaal). Ik mis soms wat trucjes die die de rest van de klas wel al goed lijkt te beheersen (ik heb nog niet echt gewerkt met het windingsgetal, en ben daar blijkbaar nog niet echt handig genoeg mee). Ook het beeld van de contour C onder f is voor mij ver van triviaal (het is niet ingewikkeld, maar ik zou er gewoon niet op komen omdat ik er nog niet mee gewerkt heb). Dat is het enige gedeelte waar ik nog even naar moet kijken, de rest is helemaal helder
Ik vond het zo triviaal dat ik me niet kon voorstellen dat hier een inleveropdracht van wordt gemaakt. Vandaar dat ik er wel even naar heb gekeken om te zien of ik wellicht iets miste.quote:Grappig genoeg is dit vak voor 'getalenteerde wiskundeleerlingen' in de US. Het niveau hier is wel wat lager dan in Nederland (hoewel ik dit vak dus wel wat lastiger vind omdat ik later ben ingestroomd).
Succes met je vak complexe analyse!quote:In ieder geval hartstikke bedankt, ik was er waarschijnlijk niet op gekomen (de eerste stap zag ik al niet).
Basic Complex Analysis, 3rd edition, Jerrold Marsden and Michael Ho man. 'Gebruiken' is een groot woord. Het vak bestaat enkel uit hoorcolleges met een kleine klas (6 tot 8 personen) waarin voornamelijk stellingen worden bewezen of voorbeelden gegeven van de evaluatie van integralen (of bijvoorbeeld het toepassen van de stelling van Rouché die ik eerder al noemde). Er zijn geen tentamens of quizzes (die volgens mij iets meer worden toegepast in het Amerikaanse systeem dan in het Nederlandse), en voor dit vak (het is een zogenaamd 'college of creative studies'-vak) geen cijfer maar een variabel aantal studiepunten (en het is niet me niet helemaal duidelijk of dit alleen van je cijfer voor de inleveropdrachten afhangt of ook van de indruk die je maakt op de docent).quote:
Ik volg een ander vak dat enigzins vergelijkbaar is (introduction to complex variables), maar een stuk meer gericht op het 'straightforward' evalueren van integralen en dergelijke (hier is gewoon er een inleveropdracht en twee tentamens). Omdat we hiervoor veel opdrachten uit het boek (Saff - Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering and Science) moeten maken, gebruik ik eigenlijk alleen dit boek (ook als PDF). Van het weinige wat ik van het eerste boek gezien heb, heb ik de indruk gekregen dat beide boeken erg vergelijkbaar in opzet zijn.
Je hebt gelijk: dit is één van de vier opdrachten van de inleveropdracht. Ik vind de inleveropdrachten soms vrij moeilijk. Soms heb ik het geluk dat een methode om een bepaalde integraal te evalueren net bij het andere vak is behandeld, of dat ik een vergelijkbare opdracht op mathoverflow vind, of een bewijs of voorbeeld in het boek dat een vergelijkbaar probleem als in de opdracht oplost. Het is een beetje een struggle, maar tot nu toe lukt het heel aardig (ik heb geloof ik één keer eerder een post op een ander forum gemaakt omdat ik ergens niet uitkwam, en een keer naar de office hours van de docent gegaan). Ik heb hier het nadeel dat ik niet echt met mijn medestudenten praat over de stof, wat volgens mij toch wel erg goed is voor je begrip.quote:Ik vond het zo triviaal dat ik me niet kon voorstellen dat hier een inleveropdracht van wordt gemaakt. Vandaar dat ik er wel even naar heb gekeken om te zien of ik wellicht iets miste.
Dank!quote:Succes met je vak complexe analyse!
Volg je een complete studie in de VS of zit je daar maar tijdelijk? (Als je hier liever niet op antwoordt, vind ik het ook best, ik beantwoord zelf nooit privé vragen). Het boek van Marsden en Homan ken ik niet, en kan het zo snel ook niet vinden.quote:
[..]
Basic Complex Analysis, 3rd edition, Jerrold Marsden and Michael Ho man. 'Gebruiken' is een groot woord. Het vak bestaat enkel uit hoorcolleges met een kleine klas (6 tot 8 personen) waarin voornamelijk stellingen worden bewezen of voorbeelden gegeven van de evaluatie van integralen (of bijvoorbeeld het toepassen van de stelling van Rouché die ik eerder al noemde). Er zijn geen tentamens of quizzes (die volgens mij iets meer worden toegepast in het Amerikaanse systeem dan in het Nederlandse), en voor dit vak (het is een zogenaamd 'college of creative studies'-vak) geen cijfer maar een variabel aantal studiepunten (en het is niet me niet helemaal duidelijk of dit alleen van je cijfer voor de inleveropdrachten afhangt of ook van de indruk die je maakt op de docent).
Ah zo. Dit boek kon ik wel direct vinden, maar ik heb nu geen tijd om het serieus door te nemen. Wel viel me het grappige plaatje op (p. 361) bij het theorema van Rouché: het principe van de hond aan de lijn die niet vaker of minder vaak rond een lantarenpaal kan lopen dan jijzelf als je de lijn maar korter houdt dan je eigen afstand tot de lantarenpaal wanneer je met de hond aan de lijn rondjes maakt rond de lantarenpaal.quote:Ik volg een ander vak dat enigzins vergelijkbaar is (introduction to complex variables), maar een stuk meer gericht op het 'straightforward' evalueren van integralen en dergelijke (hier is gewoon er een inleveropdracht en twee tentamens). Omdat we hiervoor veel opdrachten uit het boek (Saff - Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering and Science) moeten maken, gebruik ik eigenlijk alleen dit boek (ook als PDF). Van het weinige wat ik van het eerste boek gezien heb, heb ik de indruk gekregen dat beide boeken erg vergelijkbaar in opzet zijn.
Visualiseren is erg belangrijk om meer inzicht te krijgen bij complexe analyse. En lees ook wat andere boeken naast de voorgeschreven of aanbevolen literatuur.quote:[..]
Je hebt gelijk: dit is één van de vier opdrachten van de inleveropdracht. Ik vind de inleveropdrachten soms vrij moeilijk. Soms heb ik het geluk dat een methode om een bepaalde integraal te evalueren net bij het andere vak is behandeld, of dat ik een vergelijkbare opdracht op mathoverflow vind, of een bewijs of voorbeeld in het boek dat een vergelijkbaar probleem als in de opdracht oplost. Het is een beetje een struggle, maar tot nu toe lukt het heel aardig (ik heb geloof ik één keer eerder een post op een ander forum gemaakt omdat ik ergens niet uitkwam, en een keer naar de office hours van de docent gegaan). Ik heb hier het nadeel dat ik niet echt met mijn medestudenten praat over de stof, wat volgens mij toch wel erg goed is voor je begrip.
Déjà vu,quote:
Ah zo. Dit boek kon ik wel direct vinden, maar ik heb nu geen tijd om het serieus door te nemen. Wel viel me het grappige plaatje op (p. 361) bij het theorema van Rouché: het principe van de hond aan de lijn die niet vaker of minder vaak rond een lantarenpaal kan lopen dan jijzelf als je de lijn maar korter houdt dan je eigen afstand tot de lantarenpaal wanneer je met de hond aan de lijn rondjes maakt rond de lantarenpaal.
Hey inderdaad p. 361 van Saff en Snider
Ik heb vrij veel van dat boek gelezen.
Maar moet het misschien maar weer eens gaan lezen, al die theorems zakken een beetje weg.
En ik vind complexe analyse ook best wel leuk.
Tijdelijk. Een half jaar om precies te zijn (maar het zit er inmiddels al bijna op). Ik heb hier een tijd geleden nog wel gepost onder de username kutkloon7 (en eerder onder de naam minibeer). Ik weet dat je een goed geheugen hebt, dus je kan je vast nog wel wat dingen herinnerenquote:
[..]
Volg je een complete studie in de VS of zit je daar maar tijdelijk? (Als je hier liever niet op antwoordt, vind ik het ook best, ik beantwoord zelf nooit privé vragen). Het boek van Marsden en Homan ken ik niet, en kan het zo snel ook niet vinden.
Jazeker, ik herinner me dat jij o.a. aan kwam met dat aardige vraagstukje over die gelijkzijdige driehoek waarvan de hoekpunten met constante snelheid naar elkaar toe bewegen en dat toen aanleiding gaf tot heel wat posts, en ik heb ook nog wel eens een opgave voor je uitgewerkt waar naar een bewijs werd gevraagd voor de convergentie van de Newton-Raphson iteratie voor A1/3, en het was ook een vraag van jou over het memoriseren van goniometrische identiteiten die leidde tot een lange post van mij waar ik later nog een PDF van heb gemaakt. Verder sprak de meetkundige motivatie die ik gaf van de formule van Euler eit = cos t + i·sin t je erg aan. Zie daarvoor overigens ook Tristan Needham, Visual Complex Analysis, een boek dat je erg goed naast je huidige leerboeken zou kunnen lezen. En zo was er nog wel meer (dat ik me inderdaad nog herinner maar dat ik nu niet allemaal op ga sommen). Ik had het kunnen weten, want je leek me te kennen van het forum en je hebt toen je nog hier zat wel eens gevraagd naar dictaten over complexe analyse. Je vond toen vooral een Vlaams dictaat wel aardig want je had liever leerboeken in het Nederlands (zal nu dus wel even wennen zijn ...). En je hebt inderdaad ook wel eens aangegeven dat je een poosje naar de VS wilde voor studie.quote:
[..]
Tijdelijk. Een half jaar om precies te zijn (maar het zit er inmiddels al bijna op). Ik heb hier een tijd geleden nog wel gepost onder de username kutkloon7 (en eerder onder de naam minibeer). Ik weet dat je een goed geheugen hebt, dus je kan je vast nog wel wat dingen herinneren
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 24-05-2014 18:27:21 ]
Dank, misschien dat Thabit nog langs komt met een aanrader.quote:
[..]
Nee. Wellicht kan Thabit je wel iets aanraden.
Hoewel, ik herinner me net het bestaan van dit boekje. Maar dat heb ik zelf niet gelezen of ingezien, dus kan ik het in stricte zin ook niet aanraden.
Ik denk dat ik hier de komende week vaste klant ben, ik heb grote moeite met analyse. Wanneer ik de stof in het dictaat lees begrijp ik het goed, maar zodra ik aan kom bij de opgaven sla ik dicht. Ik zie niet wat ik precies moet bewijzen, of hoe ik dit moet doen; het valt allemaal wel op zijn plek wanneer de werkcollege begeleider (of iemand anders) het voor doet, maar ik kan het zelf niet produceren. Er is me verteld dat het puur oefenen is, maar dat komt maar niet van de grond.
Bijvoorbeeld deze oefening: gegeven is een metrische ruimte (V,d), een deelverzameling A uit V, en een punt p dat in de afsluiting van A ligt, maar niet in A zelf. Toon aan dat voor iedere delta groter dan 0 de doorsnede van A en de bol met middelpunt p en straal delta oneindig veel elementen bevat.
Hoe begin ik aan zo'n oefening?
De definitie nalezen van wat het betekent dat p in de afsluiting zit en vervolgens kijken hoe je hiermee oneindig veel elementen kunt kiezen.quote:Op zondag 25 mei 2014 14:04 schreef Diacetylmorfine het volgende:
[..]
Dank, misschien dat Thabit nog langs komt met een aanrader.
Ik denk dat ik hier de komende week vaste klant ben, ik heb grote moeite met analyse. Wanneer ik de stof in het dictaat lees begrijp ik het goed, maar zodra ik aan kom bij de opgaven sla ik dicht. Ik zie niet wat ik precies moet bewijzen, of hoe ik dit moet doen; het valt allemaal wel op zijn plek wanneer de werkcollege begeleider (of iemand anders) het voor doet, maar ik kan het zelf niet produceren. Er is me verteld dat het puur oefenen is, maar dat komt maar niet van de grond.
Bijvoorbeeld deze oefening: gegeven is een metrische ruimte (V,d), een deelverzameling A uit V, en een punt p dat in de afsluiting van A ligt, maar niet in A zelf. Toon aan dat voor iedere delta groter dan 0 de doorsnede van A en de bol met middelpunt p en straal delta oneindig veel elementen bevat.
Hoe begin ik aan zo'n oefening?
Voor wat is dit?quote:
Riparius, kun jij boeken over chaos theorie aanraden?
Het is kort aan bod gekomen bij een vak eerder dit jaar, en ik wil me er wat verder in verdiepen.quote:
De definitie van een limietpunt van A is volgens het dictaat een punt p uit een deelverzameling A van een metrische ruimte V waarvoor geldt dat voor iedere delta groter dan 0 de doorsnede van A en de bol met straal delta rondom p niet leeg is. Maar stel dat er een eenzaam punt in die doorsnede ligt voor een kleine delta, en er voor willekeurig grote delta geen andere punten in de doorsnede liggen, dan bevat de doorsnede toch een eindig aantal elementen? Of zie ik iets over het hoofd?quote:
[..]
De definitie nalezen van wat het betekent dat p in de afsluiting zit en vervolgens kijken hoe je hiermee oneindig veel elementen kunt kiezen.
Nee, want dan neem je delta klein genoeg zodat dat ene punt niet meer in de doorsnede ligt, en dat kan omdat p geen element is van A. Dus tegenspraak met de definitie van limietpunt, want voor elke delta > 0 moet er een punt in de doorsnede liggen.quote:Op zondag 25 mei 2014 22:57 schreef Diacetylmorfine het volgende:
[..]
Het is kort aan bod gekomen bij een vak eerder dit jaar, en ik wil me er wat verder in verdiepen.
[..]
De definitie van een limietpunt van A is volgens het dictaat een punt p uit een deelverzameling A van een metrische ruimte V waarvoor geldt dat voor iedere delta groter dan 0 de doorsnede van A en de bol met straal delta rondom p niet leeg is. Maar stel dat er een eenzaam punt in die doorsnede ligt voor een kleine delta, en er voor willekeurig grote delta geen andere punten in de doorsnede liggen, dan bevat de doorsnede toch een eindig aantal elementen? Of zie ik iets over het hoofd?
Op dezelfde manier gaat het fout voor elke eindige hoeveelheid punten in de doorsnede.
Ik zou als ik jou was eerst multivariabele analyse en differentiaalvergelijkingen halen, want dat heb je nodig om erin te kunnen verdiepen. En dan kun dat als je bachelorscriptieonderwerp kiezen, als dat je interessant lijkt.quote:
[..]
Het is kort aan bod gekomen bij een vak eerder dit jaar, en ik wil me er wat verder in verdiepen.
Het is gegeven datquote:[..]
De definitie van een limietpunt van A is volgens het dictaat een punt p uit een deelverzameling A van een metrische ruimte V waarvoor geldt dat voor iedere delta groter dan 0 de doorsnede van A en de bol met straal delta rondom p niet leeg is. Maar stel dat er een eenzaam punt in die doorsnede ligt voor een kleine delta, en er voor willekeurig grote delta geen andere punten in de doorsnede liggen, dan bevat de doorsnede toch een eindig aantal elementen? Of zie ik iets over het hoofd?
zodat
Dus er geldt dat
Hierbij moet je snappen dat elke metrische ruimte
Hiermee kun je dan oneindig verschillende elementen kiezen in
door met de delta te spelen.
Werk de details voor jezelf uit
[ Bericht 0% gewijzigd door Mathemaat op 26-05-2014 11:34:09 ]
Ahja, dat is logisch. Ik bekijk even de mogelijkheden; een bewijs door tegenspraak?quote:
[..]
Nee, want dan neem je delta klein genoeg zodat dat ene punt niet meer in de doorsnede ligt, en dat kan omdat p geen element is van A. Dus tegenspraak met de definitie van limietpunt, want voor elke delta > 0 moet er een punt in de doorsnede liggen.
Op dezelfde manier gaat het fout voor elke eindige hoeveelheid punten in de doorsnede.
Als ik dat zo hoor is het denk ik verstandiger om eerst heelhuids door analyse heen te komen. Ik zal er nog even van af blijven.quote:
[..]
Ik zou als ik jou was eerst multivariabele analyse en differentiaalvergelijkingen halen, want dat heb je nodig om erin te kunnen verdiepen. En dan kun dat als je bachelorscriptieonderwerp kiezen, als dat je interessant lijkt.
Ik snap wat je zegt, maar niet hoe ik dat kan gebruiken. Mag ik spelen voor nog een hint?quote:[..]
Het is gegeven dat,
zodat.
Dus er geldt dat.
Hierbij moet je snappen dat elke metrische ruimteaan de eigenschap voldoet dat
.
Hiermee kun je dan oneindig verschillende elementen kiezen in
door met de delta te spelen.
Werk de details voor jezelf uit
Nee, want je hoeft nog maar één ding te doen eigenlijk; ik heb alles gegeven wat je nodig hebt en moet doen.quote:
Ik snap wat je zegt, maar niet hoe ik dat kan gebruiken. Mag ik spelen voor nog een hint?
[ Bericht 2% gewijzigd door Mathemaat op 26-05-2014 16:01:02 ]
Helaas, ik ken geen boeken over chaostheorie.quote:
[..]
Dank, misschien dat Thabit nog langs komt met een aanrader.
Dit boekje heb ik wel in mijn bezit gehad bij mijn studie. Een aanrader wat mij betreft.quote:
[..]
Nee. Wellicht kan Thabit je wel iets aanraden.
Hoewel, ik herinner me net het bestaan van dit boekje. Maar dat heb ik zelf niet gelezen of ingezien, dus kan ik het in stricte zin ook niet aanraden.
Ik zie het echt niet.quote:
[..]
Nee, want je hoeft nog maar één ding te doen eigenlijk; ik heb alles gegeven wat je nodig hebt en moet doen.
Kun je laten zien dat er ten minste één element daarin zit? En twee elementen? En drie?quote:
Nu ik er zo over na denk weet ik dat eigenlijk alleen vanuit de definitie. Ik maakte geen grapje toen ik aan gaf dat ik de draad kwijt was.quote:
[..]
Kun je laten zien dat er ten minste één element daarin zit? En twee elementen? En drie?
Het is heel belangrijk en moet heel duidelijk en netjes in een stappenplan staan, want ik ben namelijk een beetje slecht van begrip en dit moet ik leren voor een toets. Alvast bedankt !
Het is heel belangrijk en moet heel duidelijk en netjes in een stappenplan staan, want ik ben namelijk een beetje slecht van begrip en dit moet ik leren voor een toets. Alvast bedankt !
Je hebt deze vraag al eerder gesteld in het verkeerde topic (hier) en toen heb ik je niet alleen verzocht om je vraag hier opnieuw te stellen maar ook om een voorbeeld te geven van het soort vraagstukken dat je geacht wordt op te lossen en te laten zien wat je zelf al hebt gedaan en waarom het niet lukt. Waarom doe je dat dan niet?quote:
Wil iemand mij aub, in een stappenplan uitleggen hoe ik de horizontale asymptoot van een hyperbolische functie moet bepalen??
Het is heel belangrijk en moet heel duidelijk en netjes in een stappenplan staan, want ik ben namelijk een beetje slecht van begrip en dit moet ik leren voor een toets. Alvast bedankt !
Ik heb een kleine vraag bij het volgende:
(2√3 / √2)³ --> moet geschreven worden in de standaardvorm.
Moet ik de 2 die buiten de wortel, die in de teller staat, ook machtsverheffen met het exponent 3?
Ik deed het volgende stapgewijs:
(2√3 / √2)³
Alle getallen verheffen met de macht
(8√9) / (√8)
De noemer en teller vermenigvuldigen met √8
(8√72) / 8
72 uit de wortel halen door het getal 36 te nemen (6x6 = 36)
(48√2) / 8
48 delen door 8 resulteert tot 6 dus..
6√2
[ Bericht 16% gewijzigd door Super-B op 06-06-2014 16:22:33 ]
Dit gaat eenvoudiger als je eerst bedenkt dat je hebtquote:
Hallo allen, daar ben ik weer. Ik heb al enige tijd mijzelf zoet gehouden met wiskunde. Tot mijn verbazing heb ik in deze tijd geen vragen gesteld in dit topic. Ik merk dat ik langzamerhand steeds meer vooruitgang boek.
Ik heb een kleine vraag bij het volgende:
(2√3 / √2)³ --> moet geschreven worden in de standaardvorm.
2√3 / √2 = 2√6 / 2 = √6
zodat
(2√3 / √2)3 = (√6)3 = 6√6
Thanks.quote:
[..]
Dit gaat eenvoudiger als je eerst bedenkt dat je hebt
2√3 / √2 = 2√6 / 2 = √6
zodat
(2√3 / √2)3 = (√6)3 = 6√6
Hoe gaat het met
³√(1 / 343) ?
Als je herkent dat 343 = 73 dan zie je meteen dat dit gelijk is aan 1/7.quote:
Ja, maar ik probeer het handmatig op te lossen door de wortel in de noemer weg te werken. Zoals dat moet gebeuren mij tweedemachtswortels.quote:
[..]
Als je herkent dat 343 = 73 dan zie je meteen dat dit gelijk is aan 1/7.
Maar deze niet:
Het bovenste deel wordt inderdaad 630, wat in de wortel moet blijven horen, maar hoe kom je tot 1/15? Daarnaast wordt het toch 3² x 5^4 ... als je 3 x 5² met 3 x 5² vermenigvuldigd..
Ik ken namelijk alleen de eerste methode (eerste afbeelding).
Dan moet je 343 ontbinden in priemfactoren omdat je elk drietal gelijke priemfactoren als één zo'n factor voor het derdemachtswortelteken kunt brengen. Maar dan vind je uiteraard ook dat 343 = 73 en dus 3√343 = 3√(73) = 7.quote:
[..]
Ja, maar ik probeer het handmatig op te lossen door de wortel in de noemer weg te werken. Zoals dat moet gebeuren mij tweedemachtswortels.
Ik snap wat je bedoeld, maar kun je de methode niet toepassen hierop dat de wortel van de noemer met zichzelf wordt vermenigvuldigd waardoor het 343 wordt in de noemer en in de teller √343 wat dus oplevert 7.. Dus 7 / 343 = 1/49quote:
[..]
Dan moet je 343 ontbinden in priemfactoren omdat je elk drietal gelijke priemfactoren als één zo'n factor voor het derdemachtswortelteken kunt brengen. Maar dan vind je uiteraard ook dat 343 = 73 en dus 3√343 = 3√(73) = 7.
De bedoeling is om in de noemer van de breuk waarvan we de derdemachtswortel nemen van elke priemfactor een aantal te krijgen dat een drievoud is. Je ziet dat we hebbenquote:
De volgende methode is mij hartstikke duidelijk:
[ afbeelding ]
Maar deze niet:
[ afbeelding ]
Het bovenste deel wordt inderdaad 630, wat in de wortel moet blijven horen, maar hoe kom je tot 1/15? Daarnaast wordt het toch 3² x 5^4 ... als je 3 x 5² met 3 x 5² vermenigvuldigd..
Ik ken namelijk alleen de eerste methode (eerste afbeelding).
75 = 3·52
We hebben dus in de priemfdactorontbinding van 75 één factor 3 en twee factoren 5. Maar nu willen we in de noemer drie factoren 3 en drie factoren 5 krijgen. En dat betekent dat er in de noemer nog twee factoren 3 bij moeten en één factor 5. Dat kunnen we krijgen door teller en noemer van de breuk te vermenigvuldigen met 32·5 en dat is dan ook precies wat hier wordt gedaan. Vervolgens heb je in de noemer
3√(33·53) = 3·5 = 15
Nee, want het gaat hier om derdemachtswortels, niet om vierkantswortels.quote:
[..]
Ik snap wat je bedoelt, maar kun je de methode niet toepassen hierop dat de wortel van de noemer met zichzelf wordt vermenigvuldigd waardoor het 343 wordt in de noemer en in de teller √343 wat dus oplevert 7.. Dus 7 / 343 = 1/49
Aha zo...quote:
[..]
De bedoeling is om in de noemer van de breuk waarvan we de derdemachtswortel nemen van elke priemfactor een aantal te krijgen dat een drievoud is. Je ziet dat we hebben
75 = 3·52
We hebben dus in de priemfdactorontbinding van 75 één factor 3 en twee factoren 5. Maar nu willen we in de noemer drie factoren 3 en drie factoren 5 krijgen. En dat betekent dat er in de noemer nog twee factoren 3 bij moeten en één factor 5. Dat kunnen we krijgen door teller en noemer van de breuk te vermenigvuldigen met 32·5 en dat is dan ook precies wat hier wordt gedaan. Vervolgens heb je in de noemer
3√(33·53) = 3·5 = 15
Nou bij deze deed ik de methode:
5√32 / 5√-243
De priemontbindingen zijn:
5√2^5/ 5√-3^5
Dat heeft 5 exponenten zoals hoort.. Maar wat dan?
Het principe blijft hetzelfde. De n-de machts wortel uit an is a (voor a ≥ 0), want a is het getal dat je tot de n-de macht moet verheffen om an te krijgen.quote:
[..]
Aha zo...
Nou bij deze deed ik de methode:
5√32 / 5√-243
De priemontbindingen zijn:
5√2^5/ 5√-3^5
Dat heeft 5 exponenten zoals hoort.. Maar wat dan?
Dus heb je
5√(25) = 2
en
5√(35) = 3
en in het algemeen voor a ≥ 0
n√(an) = a
Thanks Riparius!quote:
[..]
Het principe blijft hetzelfde. De n-de machts wortel uit an is a (voor a ≥ 0), want a is het getal dat je tot de n-de macht moet verheffen om an te krijgen.
Dus heb je
5√(25) = 2
en
5√(35) = 3
en in het algemeen voor a ≥ 0
n√(an) = a
((-√7) / (2√2)) ^4
Ik deed:
(-4 √28) / (8√8)
Is dat goed?
Vooral veel herhaling uit de 3e 
Iedereen die klaar was met het huidige boek mocht door de bovenbouw boeken bladeren, de eenheidscirkels zagen er... eng uit
Wel fijn dat we eindelijk iets anders krijgen dan wat we al twee jaar doen - tweedegraads vergelijkingen oplossen.Ik hou uiteindelijk
1/2 ³√-12 over...
De min moet uit de wortel en naast 1/2 staan, maar hoe doe ik dat?
5√7 / 5√-27
Hoe ga ik met die -27 om in priemgetallen? Ik wil het ontbinden zodat ik de priemgetallen heb.. Maar moet ik dan gewoon beginnen met -27 / 3 of -27 / -3 ?
Bij onevenmachtswortels kun je binnen de reële getallen wel de wortel nemen van een negatief getal. En aangezienquote:
³√-3 / ³√2
Ik hou uiteindelijk
1/2 ³√-12 over...
De min moet uit de wortel en naast 1/2 staan, maar hoe doe ik dat?
3√(−1) = −1
heb je dus ook
3√(−12) = 3√((−1)·12) = 3√(−1)·3√12 = −3√12
Die min kun je in principe gewoon d.m.v. een soort regel (wat jij postte zojuist) altijd buiten de wortel halen?quote:
[..]
Bij onevenmachtswortels kun je binnen de reële getallen wel de wortel nemen van een negatief getal. En aangezien
3√(−1) = −1
heb je dus ook
3√(−12) = 3√((−1)·12) = 3√(−1)·3√12 = −3√12
Breng eerst het minteken vóór het wortelteken, en daarmee vóór de breuk, aangezien a/(−b) = −a/b.quote:
Daarnaast:
5√7 / 5√-27
Hoe ga ik met die -27 om in priemgetallen? Ik wil het ontbinden zodat ik de priemgetallen heb.. Maar moet ik dan gewoon beginnen met -27 / 3 of -27 / -3 ?
Niet altijd, alleen bij onevenmachtswortels. En het is niet een of andere duistere regel, maar gewoon de regelquote:
[..]
Die min kun je in principe gewoon d.m.v. een soort regel (wat jij postte zojuist) altijd buiten de wortel halen?
n√(a·b) = n√a · n√b
Let wel op dat deze regel voor even n alleen geldt als a en b beide niet negatief zijn. Bij oneven n mogen a of b (of beide) wel negatief zijn.
Je bent een held. Dank je wel!quote:
[..]
Niet altijd, alleen bij onevenmachtswortels. En het is niet een of andere duistere regel, maar gewoon de regel
n√(a·b) = n√a · n√b
Let wel op dat deze regel voor even n alleen geldt als a en b beide niet negatief zijn. Bij oneven n mogen a of b (of beide) wel negatief zijn.
Laatste ''wortel''vraag:
Hoe vermenigvuldig/deel je wortels die ongelijk aan elkaar zijn? Gewoon herschrijven naar machtenvorm en vervolgens de regels voor machten toepassen?
Geef eens een voorbeeld en laat zien hoe je dat zelf zou herleiden.quote:
Hoe vermenigvuldig/deel je wortels die ongelijk aan elkaar zijn? Gewoon herschrijven naar machtenvorm en vervolgens de regels voor machten toepassen?
Drie voorbeelden (twee m.b.t. machten en wortels en één m.b.t. ongelijke wortels):quote:
[..]
Geef eens een voorbeeld en laat zien hoe je dat zelf zou herleiden.
1 / (2 4√2) --> 2-1/4 * 2
3 / ²√3 -- > geen idee vanwege die 3 in de teller?
²√2 : ³√2 --> 2-1/2 : 2-1/3 en vervolgens ....dan:
2-1/6 volgens de machtregel van het delen van letters/getallen met machten.
Nee, die factor 2 staat in de noemer van de breuk en is dus 1/2 = 2−1.quote:
[..]
Drie voorbeelden (twee m.b.t. machten en wortels en één m.b.t. ongelijke wortels):
1 / (2 4√2) --> 2-1/4 * 2
1 / (2·4√2) = 2−1·2−1/4 = 2−5/4
Tuurlijk weet je dit wel. 3 = 2√9, dusquote:3 / ²√3 -- > geen idee vanwege die 3 in de teller?
3 / 2√3 = 2√9 / 2√3 = 2√(9/3) = 2√3
Nee. Je hebt voor a > 0quote:²√2 : ³√2 --> 2-1/2 : 2-1/3 en vervolgens ....dan:
2-1/6 volgens de machtregel van het delen van letters/getallen met machten.
n√a = a1/n
en
ap : aq = ap−q
dus
2√2 : 3√2 = 21/2 : 21/3 = 21/2 − 1/3 = 21/6
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 07-06-2014 15:21:09 ]
Die tweede begrijp ik geen donder van.quote:
[..]
Nee, die factor 2 staat in de noemer van de breuk en is dus 1/2 = 2−1.
1 / (2·4√2) = 2−1·2−1/4 = 2−5/4
[..]
Tuurlijk weet je dit wel. 3 = 2√9, dus
3 / 2√3 = 2√9 / 2√3 = 2√(9/3) = 2√3
[..]
Nee. Je hebt voor a ≥ 0
n√a = a1/n
en
ap : aq = ap−q
dus
2√2 : 3√2 = 21/2 : 21/3 = 21/2 − 1/3 = 21/6
Ik snap die overgang niet van het begin naar 3 / 2√3Vierkantswortels komen zo vaak voor dat men de 2 dan meestal weglaat, dus 2√9 is hetzelfde als √9. En je weet toch dat 3 = √9 en ook dat voor a,b > 0 geldtquote:
[..]
Die tweede begrijp ik geen donder van.
√a / √b = √(a/b)
Dus hebben we
3 / √3 = √9 / √3 = √3
Andere manier: vermenigvuldig teller en noemer van 3 / √ 3 met √3, dan krijg je
3 / √3 = 3√3 / 3 = √3
Laat maar heb het al!quote:
[..]
Vierkantswortels komen zo vaak voor dat men de 2 dan meestal weglaat, dus 2√9 is hetzelfde als √9. En je weet toch dat 3 = √9 en ook dat voor a,b > 0 geldt
√a / √b = √(a/b)
Dus hebben we
3 / √3 = √9 / √3 = √3
Andere manier: vermenigvuldig teller en noemer van 3 / √ 3 met √3, dan krijg je
3 / √3 = 3√3 / 3 = √3
Thanks!Is het ook goed als ik jouw methode voor die tweede gebruik? Dus een deling met wortels oplossen dmv priemgetallen ipv de wortel met hetzelfde wortel te vermenigvuldigen?quote:
[..]
Nee, die factor 2 staat in de noemer van de breuk en is dus 1/2 = 2−1.
1 / (2·4√2) = 2−1·2−1/4 = 2−5/4
[..]
Tuurlijk weet je dit wel. 3 = 2√9, dus
3 / 2√3 = 2√9 / 2√3 = 2√(9/3) = 2√3
[..]
Nee. Je hebt voor a ≥ 0
n√a = a1/n
en
ap : aq = ap−q
dus
2√2 : 3√2 = 21/2 : 21/3 = 21/2 − 1/3 = 21/6
Ik los nu wortels op dmv priemgetallen en dat gaat een stuk beter en ik begrijp het ook veel beter. Eerst ging ik trial and error uitoefenen op de wortels.. om zodoende op een getal uit te komen dat vereenvoudigbaar is etc.. Duurde veelste lang en was ook maar 70% kans dat het goed uitkwam.
Nog éénquote:
[..]
Vierkantswortels komen zo vaak voor dat men de 2 dan meestal weglaat, dus 2√9 is hetzelfde als √9. En je weet toch dat 3 = √9 en ook dat voor a,b > 0 geldt
√a / √b = √(a/b)
Dus hebben we
3 / √3 = √9 / √3 = √3
Andere manier: vermenigvuldig teller en noemer van 3 / √ 3 met √3, dan krijg je
3 / √3 = 3√3 / 3 = √3
7 / 5√7
Ik gebruikte de priemgetallen methode en dus:
5√7 * 7^4 (om zodoende een 5e macht ervan te maken) levert dus op 5√2401 en dat is gewoon 7
en dan de teller:
7 = 5√16807
Aangzien ook de noemer weg is gewerkt dmv 7^4 via de priemgetallen methode, dus ook de teller met 7^4 vermenigvuldigen dus:
5√16807 * 7^4
En dus
5√40353607 / 7
Wat doe ik fout?
Je wil hier kennelijk 5√7 vermenigvuldigen met 5√(74) om 5√(75) = 7 te krijgen in de noemer, maar dan moet je de teller ook vermenigvuldigen met 5√(74).quote:
[..]
Nog één
7 / 5√7
Ik gebruikte de priemgetallen methode en dus:
5√7 * 7^4 (om zodoende een 5e macht ervan te maken) levert dus op 5√2401 en dat is gewoon 7
Nee, zo werkt dat niet, omdat je iets anders doet dan je beweert. Je hebt de noemer niet vermenigvuldigd met 74 en dus mag je de teller ook niet vermenigvuldigen met 74. Je hebt de noemer immers vermenigvuldigd met 5√(74) en dus moet je nu de teller ook vermenigvuldigen met 5√(74). En dan krijg je voor de tellerquote:en dan de teller:
7 = 5√16807
Ja, maar je moet hier niet met van die grote getallen gaan rekenen. Je kunt wel zeggen dat
7 = 5√(75)
Aangzien ook de noemer weg is gewerkt dmv 7^4 via de priemgetallen methode, dus ook de teller met 7^4 vermenigvuldigen dus:
5√(75) · 5√(74) = 5√(79)
En de breuk wordt dan
5√(79−5) = 5√(74)
Maar denk je nu echt dat dit handig is? Wat zou je denken van
7 / 5√7 = 7 / 71/5 = 74/5 = 5√(74) = 5√2401
?
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 06-06-2014 22:44:55 ]
Hoe verandert 7 / 71/5 opeens in 74/5 ?quote:
[..]
Je wil hier kennelijk 5√7 vermenigvuldigen met 5√(74) om 5√(75) = 7 te krijgen in de noemer, maar dan moet je de teller ook vermenigvuldigen met 5√(74).
[..]
Nee, zo werkt dat niet, omdat je iets anders doet dan je beweert. Je hebt de noemer niet vermenigvuldigd met 74 en dus mag je de teller ook niet vermenigvuldigen met 74. Je hebt de noemer immers vermenigvuldigd met 5√(74) en dus moet je nu de teller ook vermenigvuldigen met 5√(74). En dan krijg je voor de teller
5√(75) · 5√(74) = 5√(79)
En de breuk wordt dan
5√(79−5) = 5√(74)
Maar denk je nu echt dat dit handig is? Wat zou je denken van
7 / 5√7 = 7 / 71/5 = 74/5 = 5√(74) = 5√2401
?
Ik heb dit keer dit gedaan:quote:
[..]
Je wil hier kennelijk 5√7 vermenigvuldigen met 5√(74) om 5√(75) = 7 te krijgen in de noemer, maar dan moet je de teller ook vermenigvuldigen met 5√(74).
[..]
Nee, zo werkt dat niet, omdat je iets anders doet dan je beweert. Je hebt de noemer niet vermenigvuldigd met 74 en dus mag je de teller ook niet vermenigvuldigen met 74. Je hebt de noemer immers vermenigvuldigd met 5√(74) en dus moet je nu de teller ook vermenigvuldigen met 5√(74). En dan krijg je voor de teller
5√(75) · 5√(74) = 5√(79)
En de breuk wordt dan
5√(79−5) = 5√(74)
Maar denk je nu echt dat dit handig is? Wat zou je denken van
7 / 5√7 = 7 / 71/5 = 74/5 = 5√(74) = 5√2401
?
5 √(7^5 * 7^4) / 5 √(7^1 * 7^4)
= 7 5√(7^4) / 7
En dus 5√(7^4) en dus 74/5
Ik kom uit op -a12 * 16a12
Dus -16a24
Antwoordenboek zegt 16a i.p.v -16 ?!
Welke rekenregel voor machten ken je met betrekking tot delingen?quote:
[..]
Hoe verandert 7 / 71/5 opeens in 74/5 ?
Leer de regels nu eens goed en pas ze systematisch toe...SPOILERxa/xb = xa-b
Weer de bekende rekenregelquote:
[..]
Hoe verandert 7 / 71/5 opeens in 74/5 ?
ap : aq = ap−q
en aangezien 7 = 71 krijg je dan
7 / 71/5 = 71 : 71/5 = 71−1/5 = 74/5
Omdat je de vraag verkeerd interpreteert of overschrijft. Er staat nu ergens a-2. Dat is wiskundige onzin.quote:
((a-²)³(2a³)²)²
Ik kom uit op -a12 * 16a12
Dus -16a24
Antwoordenboek zegt 16a i.p.v -16 ?!
Ik weet niet wat de goede formulering van de vraag wel is, maar bedenk je dit:
(-a)2 = -a*-a =a2, maar -(a2) = -a2. Of een getal eerst gekwadrateerd wordt en dan negatief wordt of andersom is dus essentieel.
Oeps er moest -a^2 staan.. voor de rest staat het er zo.quote:
[..]
Omdat je de vraag verkeerd interpreteert of overschrijft. Er staat nu ergens a-2. Dat is wiskundige onzin.
Ik weet niet wat de goede formulering van de vraag wel is, maar bedenk je dit:
(-a)2 = -a*-a =a2, maar -(a2) = -a2. Of een getal eerst gekwadrateerd wordt en dan negatief wordt of andersom is dus essentieel.
Dan heeft het precies met mijn opmerking te maken. Heb je die gelezen?quote:
[..]
Oeps er moest -a^2 staan.. voor de rest staat het er zo.
((−a2)3(2a3)2)2 = (−a6·22·a6)2 = (−4a12)2 = (−4)2(a12)2 = 16a24quote:
[..]
Oeps er moest -a^2 staan.. voor de rest staat het er zo.
Je had natuurlijk direct moeten zien dat er niet iets negatiefs uit kon komen, aangezien de uitdrukking die je moest herleiden een kwadraat is, namelijk het kwadraat van (−a2)3(2a3)2.
[ Bericht 99% gewijzigd door Super-B op 07-06-2014 15:07:22 ]
[ Bericht 37% gewijzigd door Super-B op 07-06-2014 16:16:58 ]
Gefeliciteerdquote:
Ik heb de uitslag van de wiskunde deficiëntie toets ontvangen via de post. Ik heb een 7,0 behaald!
Thanks!quote:
Ik was nog hartstikke onzeker erover toen de toets voorbij was. Want de stof was vrijwel nieuw voor mij. Nja diepgaander, zal ik het zo stellen. Op de havo en op het hbo stelde wiskunde niks voor.
Grappige is dat ik al was begonnen met het leren voor de herkansing. Gelukkig heb ik het voor ''niets'' geleerd. Wat een verademing die 7,0. Ben echt blij!
Nu nog het cijfergemiddelde boven de 7,5 houden (nu tussen de 7,5 a 7,7/7,8) en dan kan ik naar mijn gewenste wo-opleiding.
Gefeliciteerd!!!quote:
Gefeliciteerd SuperB! Ik ben ook geslaagd, met een 8,6
Alleen nog mijn cijfergemiddelde. Enige wegversperring op dit moment!
Heb ik mij de hele tijd voor niks druk gemaaktquote:
[..]
Gefeliciteerd!!!
Alleen nog mijn cijfergemiddelde. Enige wegversperring op dit moment!
Achja
Ik was vandaag en gister nog keihard aan het leren voor de herkansing.quote:
[..]
Heb ik mij de hele tijd voor niks druk gemaakt
Achja
Gelukkig heb ik voor niks geleerd. Liever voor niks leren dan daadwerkelijk moeten herkansen.
Alleen nog die cijfergemiddelde en dan is het echt feest!
Ik denk dat mijn motivatie naar een nulpunt was gedaald als ik een onvoldoende hadquote:
[..]
Ik was vandaag en gister nog keihard aan het leren voor de herkansing.
Gelukkig heb ik voor niks geleerd. Liever voor niks leren dan daadwerkelijk moeten herkansen.
Alleen nog die cijfergemiddelde en dan is het echt feest!
Ik zit wel goed met mijn gemiddelde, ik ben dus zo goed als binnen
Wil je nog voor mij bidden?quote:
[..]
Ik denk dat mijn motivatie naar een nulpunt was gedaald als ik een onvoldoende had
Ik zit wel goed met mijn gemiddelde, ik ben dus zo goed als binnen
Is sin(x) een voorbeeld van zo'n functie?
Nog een vraag:
[ Bericht 12% gewijzigd door netchip op 18-06-2014 21:34:08 ]
hoekpositiequote:
Hmm, even een vraag. Als je hebt:Waarin φ(t) de hoek is, en dus Omegaphi(t) de hoeksnelheid is, wat voor soort functie is φ(t) dan?
quote:
Hmm, even een vraag. Als je hebt:
Is sin(x) een voorbeeld van zo'n functie?
Klein detail, sin(x) voldoet niet hieraan, want deze functie is afhankelijk van x en niet van t
Ken je de productregel of de quotiëntregel? Volgens mij is het niet mogelijk om dit met alleen de kettingregel te doen, maar daar denkt Riparius vast anders overquote:Nog een vraag:is het mogelijk om van y de afgeleide te bepalen met alleen de kettingregel? Ik had namelijk:
en
waardoor
en
.
met behulp van de kettingregel. En
. Ik heb geen idee hoe ik nu verder moet.
Je maakt hier wel een foutje met de kettingregel. Als je
Dat was een tikfoutjequote:
[..]kan iedere functie zijn die van de tijd afhangt. In veel situaties is dit een periodieke functie, dus dan kom je vaak bij een sinus of cosinus uit, maar dat hoeft zeker niet!
Klein detail, sin(x) voldoet niet hieraan, want deze functie is afhankelijk van x en niet van t
[..]
Ken je de productregel of de quotiëntregel? Volgens mij is het niet mogelijk om dit met alleen de kettingregel te doen, maar daar denkt Riparius vast anders over
Je maakt hier wel een foutje met de kettingregel. Als jeberekent, moet je ook de afgeleide van de sinus meenemen. Snap je?
Ik heb al een tijdje niet meer gedifferentieerd, ik was de hele productregel vergeten 
Nu kan ik hem wel oplossen
Is sin(t) dan wel goed?
Je was kennelijk niet alleen de productregel maar ook de quotiëntregel vergeten. Wonderlijk dat je je dan de kettingregel nog wel kon herinneren. Er is nochtans een eenvoudig ezelsbruggetje om de zowel de productregel als de quotiëntregel af te leiden uit de kettingregel. Ga uit van de bekende rekenregelquote:
[..]
Ik heb al een tijdje niet meer gedifferentieerd, ik was de hele productregel vergeten
ln(uv) = ln(u) + ln(v)
en veronderstel dat u en v differentieerbare functies zijn van eenzelfde variabele. Beide leden differentiëren met behulp van de kettingregel geeft, aangenomen dat u en v alleen positieve waarden aannemen
(uv)'/uv = u'/u + v'/v
en beide leden vermenigvuldigen met uv geeft dan
(uv)' = u'v + uv'
waamee je de productregel hebt gevonden. Geheel analoog kun je de quotiëntregel afleiden door uit te gaan van de rekenregel
ln(u/v) = ln(u) − ln(v)
en beide leden te differentiëren met behulp van de kettingregel, zodat je krijgt
(u/v)'/(u/v) = u'/u − v'/v
Beide leden vermenigvuldigen met u/v geeft dan
(u/v)'= u'/v − uv'/v²
oftewel
(u/v)' = (u'v − uv')/v²
waarmee je de quotiëntregel hebt gevonden. Uiteraard gelden de product- en quotiëntregel eveneens als u en of v niet-positieve waarden aannemen, behalve dat v niet nul mag zijn in het quotiënt u/v aangezien het quotiënt dan geen betekenis heeft.
Inderdaad. Het zal je na lezing van het bovenstaande duidelijk zijn dat het in principe mogelijk is het gebruik van de product- en quotiëntregel te vermijden door gebruik te maken van logaritmisch differentiëren, maar ik raad dit niet aan, en zeker niet aan iemand die de kettingregel niet foutloos kan toepassen.quote:
Ken je de productregel of de quotiëntregel? Volgens mij is het niet mogelijk om dit met alleen de kettingregel te doen, maar daar denkt Riparius vast anders over
Ik zit echt met een probleempje
Voor school ben ik al zo ontzettend lang bezig met het analyseren van kwantitatieve gegevens uit Google Analytics. Mijn eindrapport moet minimaal 3 verschillende beschrijvende Statistische methodes en minimaal 2 verschillende verklarende statistische methodes bevatten.Nu was de ondersteuning in dit cijfermatig gebeuren vanuit de opleiding BAR-slecht. Ik heb meerdere malen tijdens een vragen tienminuutje geprobeerd wijzer te worden, maar in deze tien minuten werd ik niet wijzer, maar juist meer verward. Volgens mij zijn hier mensen die echt verstand hebben van correlaties, regressies en dergelijke. Kan iemand mij op weg helpen met eventueel een voorbeeld?
PS. we worden geadviseerd om met Excel te werken.
df(x) = f'(x) * dx
df(x) staat voor de afgeleide van f(x), nietwaar? Maar dan zou df(x) = f'(x) toch waar zijn? Waarom staat dx er dan achter? Want dx is toch niets anders dan de afgeleide van x? Of is dit net als bij kettingregel met bijvoorbeeld:
d(x2 + 5)3 = d(u3) = 3u2 * u' = 3(x2 + 5)2 * 2x
Voor de duidelijkheid: ik ben dus wat in de war over de betekenis en toepassing van dx. Bij voorbaat dank
En omdat vaak geldt y = f(x) geldt dus
d(f(x))/dx = f'(x)
En dus
d(f(x)) = f'(x)dx
Nu staat d(f(x))/dx voor de richtingsafgeleide van f naar de variabele x. Maw je differentieert naar x.
Stel dat je een functie van 2 variabelen hebt, dus g(x,y). Dan dg/dy is de partiële afgeleide van g naar y en dg/dx kun je dan vast wel raden.
[ Bericht 48% gewijzigd door #ANONIEM op 20-06-2014 14:14:12 ]
De uitdrukking df geeft een zogenoemde differentiaalvorm weer. Differentiaalvormen zijn in het algemeen sommen van uitdrukkingen fdg, waarbij f en g functies zijn:quote:
Ik ben momenteel een keuze-onderwerp aan het voorbereiden van het mondeling examen VWO WisB dat halverwege volgende maand plaatsvind. Het gekozen onderwerp is voortgezette integraalrekening. Het gaat aardig, maar ik betrap mezelf erop dat ik werk met trucjes: ik pas de stappen toe, maar ik begrijp de onderliggende gedachte niet echt. Het begint eigenlijk al bij de volgende (basis-)notatie:
df(x) = f'(x) * dx
df(x) staat voor de afgeleide van f(x), nietwaar? Maar dan zou df(x) = f'(x) toch waar zijn? Waarom staat dx er dan achter? Want dx is toch niets anders dan de afgeleide van x? Of is dit net als bij kettingregel met bijvoorbeeld:
d(x2 + 5)3 = d(u3) = 3u2 * u' = 3(x2 + 5)2 * 2x
Voor de duidelijkheid: ik ben dus wat in de war over de betekenis en toepassing van dx. Bij voorbaat dank
Er gelden allerlei rekenregels voor die differentiaalvormen:
Verder geldt ook voor een functie f(x):
Maar de variabele x kun je gewoon als functie interpreteren (dx is niet wezenlijk anders dan df), dus je krijgt hieruit bijvoorbeeld de kettingregel:
Goed om te horen. Op Wikipedia staat ook een heel stuk over differentiaalvormen, waarin ook meer algemene ruimten met meerdere dimensies behandeld worden (mijn post beperkt zich slechts tot differentiaalvormen op een rechte lijn).quote:
Amoeba en thabit, bedankt! Het is nu wél duidelijk
http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form
Dat moet je zo niet opschrijven. De kettingregel luidt in de notatie van Leibnizquote:
d(x2 + 5)3 = d(u3) = 3u2 * u' = 3(x2 + 5)2 * 2x
Voor de duidelijkheid: ik ben dus wat in de war over de betekenis en toepassing van dx. Bij voorbaat dank
dy/dx = dy/du · du/dx
Is nu u = x2 + 5 en y = u3 dan is y = (x2 + 5)3 en dan krijg je dus
d((x2 + 5)3)/dx = d((x2 + 5)3)/d(x2 + 5) · d(x2 + 5)/dx = 3·(x2 + 5)2·2x
Lees dit eens goed door, wellicht begint het dan te dagen.
Ik moet ook dat mondeling gedoe doen. Alleen weet ik niet waar ik me op moet voorbereiden. Heb jij mischien nuttige informatie hierover?quote:Ik ben momenteel een keuze-onderwerp aan het voorbereiden van het mondeling examen VWO WisB dat halverwege volgende maand plaatsvind
integraal f ' (x)*g(x)dx = f(x)*g(x) - integral f(x)* g ' (x) dx
of
integraal f(x)*g ' (x)dx = f(x)*g(x) - integral f ' (x)*g(x) dx
Geen ervaring met Google Analytics data, wel bijna in het bezit van m'n bachelor diploma Econometrie, dus wieweet?quote:
Hallo Allemaal,
Ik zit echt met een probleempje
Nu was de ondersteuning in dit cijfermatig gebeuren vanuit de opleiding BAR-slecht. Ik heb meerdere malen tijdens een vragen tienminuutje geprobeerd wijzer te worden, maar in deze tien minuten werd ik niet wijzer, maar juist meer verward. Volgens mij zijn hier mensen die echt verstand hebben van correlaties, regressies en dergelijke. Kan iemand mij op weg helpen met eventueel een voorbeeld?
PS. we worden geadviseerd om met Excel te werken.
Bedankt nog voor de reactie, maar het is nu te laat. De deadline was helaas gisteren, maar ik hoop toch op een voldoende...quote:
[..]
Geen ervaring met Google Analytics data, wel bijna in het bezit van m'n bachelor diploma Econometrie, dus wieweet?
Ik weet dat f'(x) = (2x + 1) cos(x2 + x)
Maar ik snap niet echt hoe ik tot de uitwerking kom. Ik dacht zelf het volgende:
f'(x) = (f(x+dx) - f(x))/dx
Maar dan loop ik vast wanneer ik de limiet van dx --> 0 neem...
Ik kom uit op
f'(x)= cos(x2+x) (limdx-->0) (sin(dx2+dx)/dx - sin(x2 + x)(limdx-->0 (1-cos(dx2+dx))/dx
Maar ik snap nu niet hoe ik verder moet en/of ik wel de goede kant op ga. Kan iemand hier mij een duwtje in de goede richting geven?overigens excuses voor het niet gebruiken van Latex
Is er een andere manier?quote:
Moet het echt met de definitie? Zoja, dan heb ik medelijden met je...
Sla ik dan niet een aantal stappen over? Want ik heb nu het idee dat (sin(dx2+dx))/dx en (1-cos(dx2+dx)/dx naar iets neigen als het limiet dx 0 nadert... Of bedoel je dat ik de ''limiettermen'' als h(x) moet benoemen en dan de kettingregel moet toepassen? Dan behoud ik de limieten toch wel lijkt me?quote:
Kettingregel, f(x) = g ( h(x) ), dan f'(x) = g' ( h(x) ) * h'(x)
Zoals hierboven gezegd is: Kettingregel.quote:
Verder nog over je notatie: Zeggen dat
Wat is je niveau eigenlijk? Dat is ook altijd handig om te weten.
Hangt ervan af wat de opdracht is. Iedere 5-VWO'er gebruikt hier de kettingregel voor, maar als je in een theoretisch hoofdstuk over definities van differentieerbaarheid zit dan wordt er misschien wat anders van je verwacht.quote:
[..]
Sla ik dan niet een aantal stappen over? Want ik heb nu het idee dat (sin(dx2+dx))/dx en (1-cos(dx2+dx)/dx naar iets neigen als het limiet dx 0 nadert... Of bedoel je dat ik de ''limiettermen'' als h(x) moet benoemen en dan de kettingregel moet toepassen? Dan behoud ik de limieten toch wel lijkt me?
VWO lees ik, dus gewoon de kettingregel gebruiken. Zie mijn eerdere post, waarbij g(x) = sin x en h(x) = x2+x
Oh, bedankt!quote:
[..]
Zoals hierboven gezegd is: Kettingregel.
Verder nog over je notatie: Zeggen datis overbodig, dat gebeurt altijd.
Wat is je niveau eigenlijk? Dat is ook altijd handig om te weten.
Vwo, volgend jaar moet ik Wiskunde D voor het eerst volgen.
In het voorbeeld wordt de afgeleide van sin(x) gedefinieerd op dezelfde manier waarbij gonio. identiteiten gebruikt worden, ik denk dat ik het op dezelfde manier moet doen.quote:
[..]
Hangt ervan af wat de opdracht is. Iedere 5-VWO'er gebruikt hier de kettingregel voor, maar als je in een theoretisch hoofdstuk over definities van differentieerbaarheid zit dan wordt er misschien wat anders van je verwacht.
Dit is het bewijs dat ik op een oefenblad heb gekregen:
SPOILER
Is er ook een andere manier, waarmee het te bewijzen is? Of moet ik dan gebruik maken van het bewijs dat de afgeleide van sin(x), cos(x) is en dat de kettingregel klopt?quote:
[..]
Hangt ervan af wat de opdracht is. Iedere 5-VWO'er gebruikt hier de kettingregel voor, maar als je in een theoretisch hoofdstuk over definities van differentieerbaarheid zit dan wordt er misschien wat anders van je verwacht.
VWO lees ik, dus gewoon de kettingregel gebruiken. Zie mijn eerdere post, waarbij g(x) = sin x en h(x) = x2+x
Normaliter zou ik even bij de antwoorden kijken zodat ik weet wat hij voor antwoord verwacht, maar helaas is dit een door hemzelf samengesteld schrift zonder antwoorden.
Gezien het niveau (VWO) lijkt het me voldoende dat je de bekende rekenregels op de goede manier gebruikt en uitwerkt. Zie boven.quote:
Er is alleen gezegd dat ik moet aantonen dat f'(x) = (2x + 1 )cos(x2 + x) de afgeleide is van f(x)= sin(x2 + x)
Normaliter zou ik even bij de antwoorden kijken zodat ik weet wat hij voor antwoord verwacht, maar helaas is dit een door hemzelf samengesteld schrift zonder antwoorden.
f'(x)= g'(u(x))u'(x)
Waardoor u'= 2x + 1
en g(u) = cos(u)
en dus f'(x) = cos(x2 + x)(2x+1) klopt/voldoet?
je moet niet dezelfde letter u tegelijk gebruiken als (1) een naam van een variable en (2) een naam van een functie, dat is conceptueel fout.quote:
Dus f(x)= g(u(x)) met g(u)= sin(u) en u= x2 + x
f'(x)= g'(u(x))u'(x)
Waardoor u'= 2x + 1
en g(u) = cos(u)
en dus f'(x) = cos(x2 + x)(2x+1) klopt/voldoet?
Als je toch wil werken met een 'tussenvariabele', dan is het handiger om gebruik te maken van de kettingregel in de notatie van Leibniz
dy/dx = dy/du · du/dx
Zie ook hier en hier.
Voor deze opgave heb je
u = x2 + x
en
y = sin u
zodat
dy/du = cos u = cos(x2 + x)
en
du/dx = 2x + 1
en dus
dy/dx = cos(x2 + x)·(2x + 1).
Je kunt het ook opschrijven in de notatie van Leibniz zonder gebruik te maken van een 'tussenvariabele', dan wordt het
d(sin(x2 + x))/dx = d(sin(x2 + x))/d(x2 + x) · d(x2 + x)/dx = cos(x2 + x)·(2x + 1).
Tenzij dit expliciet in de opgave wordt gevraagd, is het niet nodig om de afgeleide van een gegeven functie aan te tonen aan de hand van de definitie van de afgeleide.
Wil je dit toch, dan moet je het wel correct doen. Wat je hierboven doet lijkt nergens op. Om te beginnen verwar je een differentiaal dx met een (finiet) increment van je onafhankelijke variabele x, en zo'n increment wordt gewoonlijk aangegeven met Δx maar ook met de kleine letter h. En dan zit je ook nog te goochelen met je algebraïsche herleidingen (hint: leer je merkwaardige producten).
Het is de bedoeling dat je eerst een uitdrukking opschrijft voor f(x + h) zodat je vervolgens
Δy = f(x + h) − f(x)
kunt herleiden. Je krijgt dan voor jouw opgave een verschil van twee sinussen, en het is dan het handigst om niet gebruik te maken van het additietheorema voor sin(α + β) zoals dat wordt gedaan in het bewijs voor de afgeleide van de sinusfunctie dat je had gekregen, maar om gebruik te maken van de formule van Simpson voor het verschil van twee sinussen
sin θ − sin φ = 2·sin½(θ − φ)·cos½(θ + φ)
Dan deel je Δy = f(x + h) − f(x) door Δx = h om het differentiequotiënt Δy/Δx = (f(x + h) − f(x))/h te bepalen, waarvan je dan weer - na nog wat verdere herleiding - de limiet voor h → 0 kunt bepalen om f'(x) te vinden. Hiervoor zul je gebruik moeten maken de 'standaardlimiet'
limθ→0 sin θ / θ = 1
[ Bericht 18% gewijzigd door Riparius op 24-06-2014 18:30:20 ]
Volgens mij bedoelen ze met aantonen wat anders dan met bewijzen. Ook al een paar keer overgestruikeld.quote:
Er is alleen gezegd dat ik moet aantonen dat f'(x) = (2x + 1 )cos(x2 + x) de afgeleide is van f(x)= sin(x2 + x)
Normaliter zou ik even bij de antwoorden kijken zodat ik weet wat hij voor antwoord verwacht, maar helaas is dit een door hemzelf samengesteld schrift zonder antwoorden.
Lijkt me niet dat er een verschil is. Hooguit word je geacht het wat formeler op te schrijven als er naar een bewijs wordt gevraagd. Maar de vragensteller maakt niet duidelijk wat nu precies de bedoeling is, en wat hij wel en niet bekend mag veronderstellen, en dan is zijn vraag niet goed te beantwoorden. Het bewijs voor de afgeleide van de sinusfunctie dat hij als voorbeeld heeft gekregen is overigens ook slecht opgeschreven, dus als hij het daarvan moet hebben ...quote:
[..]
Volgens mij bedoelen ze met aantonen wat anders dan met bewijzen. Ook al een paar keer over gestruikeld.
Te bewijzen:
Gegeven:
Definieer
Hier begint het bewijs, voor
Een standaard goniometrische identiteit geeft:
Wat te splitsen valt in
Vermenigvuldigen van beide expressies met
Wanneer we de limiet nemen van
Alles te samen:
Zoals ik al had opgemerkt gaat het een stuk eenvoudiger met de formule van Simpson voor het verschil van twee sinussen. Je hebt dan namelijkquote:
f(x + h) − f(x) = sin(x2 + 2xh + h2 + x + h) − sin(x2 + x) = 2·sin(½h(2x + 1 + h))·cos(x2 + x + xh + ½h2 + ½h)
Dan is het nog slechts een kwestie van teller en noemer van het differentiequotiënt (f(x + h) − f(x))/h vermenigvuldigen met ½·(2x + 1 + h) en de limiet nemen voor h → 0 en je hebt f'(x) = (2x + 1)·cos(x2 + x), QED.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 24-06-2014 18:32:48 ]
Je hebt natuurlijk volkomen gelijk, dat is inderdaad de simpelste manier. Maar eerlijk gezegd kende ik jouw (tutoyeren lijkt me OK?) formule niet. Dat terwijl de som/verschil formules een stuk bekender zijn.quote:
[..]
Zoals ik al had opgemerkt gaat het een stuk eenvoudiger met de formule van Simpson voor het verschil van twee sinussen. Je hebt dan namelijk
f(x+h) − f(x) = sin(x2 + 2xh + h2 + x + h) − sin(x2 + x) = 2·sin(½h(2x + 1 + h))·cos(x2 + x + xh + ½h2 + ½h)
Dan is het nog slechts een kwestie van teller en noemer van het differentiequotiënt (f(x+h) − f(x))/h vermenigvuldigen met (2x + 1 + h) en de limiet nemen voor h → 0 en je hebt f'(x) = (2x + 1)·cos(x2 + x), QED.
Er zijn altijd meerdere wegen naar Rome, zeker in de wiskunde, maar de beste weg, naar mijn mening, is de weg die je kent.
Dat is het leuke van wiskunde, het kan altijd anders, en vaak eenvoudiger. De formules van Simpson worden in elementaire leerboeken voor differentiaalrekening vaak gebruikt om te bewijzen dat d(sin(x))/dx = cos(x) resp. d(cos(x))/dx = −sin(x) en dat ligt ook wel voor de hand omdat je in de teller van je differentiequotiënt een verschil van twee sinussen resp. cosinussen hebt. De formules van Simpson zijn trouwens eenvoudig af te leiden uit de additietheorema's. Je hebtquote:
[..]
Je hebt natuurlijk volkomen gelijk, dat is inderdaad de simpelste manier. Maar eerlijk gezegd kende ik jouw (tutoyeren lijkt me OK?) formule niet. Dat terwijl de som/verschil formules een stuk bekender zijn.
Er zijn altijd meerdere wegen naar Rome, zeker in de wiskunde, maar de beste weg, naar mijn mening, is de weg die je kent.
sin(α + β) = sin α·cos β + cos α·sin β
sin(α − β) = sin α·cos β − cos α·sin β
Aftrekken van de leden van de tweede identiteit van de leden van de eerste identiteit geeft
sin(α + β) − sin(α − β) = 2·cos α·sin β
Stel nu α + β = θ en α − β = φ, dan is α = ½(θ + φ) en β = ½(θ − φ) en je hebt
sin θ − sin φ = 2·cos½(θ + φ)·sin½(θ − φ)
Op volkomen analoge wijze kun je ook identiteiten afleiden voor het verschil van twee cosinussen en voor de som van twee sinussen of cosinussen.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 24-06-2014 18:17:26 ]
Heeft iemand misschien een PDF met de antwoorden van Stewart Calculus, Early Transcendentals 7E? Ik heb namelijk alleen het boek (in PDF vorm).
netchip
Ik haalde de antwoorden voor dat boek altijd hier vandaan: http://www.slader.com/tex(...)dentals-7th-edition/.quote:
Hey,
Heeft iemand misschien een PDF met de antwoorden van Stewart Calculus, Early Transcendentals 7E? Ik heb namelijk alleen het boek (in PDF vorm).
netchip
Daarnaast staat ook een deel van de antwoorden helemaal achterin het boek.
quote:
[..]
Ik haalde de antwoorden voor dat boek altijd hier vandaan: http://www.slader.com/tex(...)dentals-7th-edition/.
Daarnaast staat ook een deel van de antwoorden helemaal achterin het boek.
f(x) kan je echter versimpelen tot:
Dan is f(x) toch gelijk aan g(x)?
Nee, niet helemaal, want f(x) is niet gedefinieerd voor x = 1. De grafiek van f is dan ook een rechte lijn met een 'gaatje' erin bij x = 1. Zoiets heet een ophefbare discontinuïteit. We kunnen het 'gaatje' namelijk dicht maken door aanvullend nog f(1) = 1 te definiëren.quote:
[..]en g(x) = x zijn toch hetzelfde? Op internet staat dat het domein hetzelfde moet zijn en f(x) = g(x) moet gelden voor alle voorkomende waardes in dat domein.
f(x) kan je echter versimpelen tot:dus f(x) = x.
Dan is f(x) toch gelijk aan g(x)?
Ah, OK.quote:
[..]
Nee, niet helemaal, want f(x) is niet gedefinieerd voor x = 1. De grafiek van f is dan ook een rechte lijn met een 'gaatje' erin bij x = 1. Zoiets heet een ophefbare discontinuïteit. We kunnen het 'gaatje' namelijk dicht maken door aanvullend nog f(1) = 1 te definiëren.
Andere vraag, deze is misschien een beetje triest, maar ik zie hem echt niet.
quote:
[..]
Ah, OK.
Andere vraag, deze is misschien een beetje triest, maar ik zie hem echt niet.De vraag is dan, hoeveel is V(r+1)-V(r)? Ik kom uit op
. Het antwoord is echter
. Waarschijnlijk zie ik iets over het hoofd...
Hoe heb je die r3 eruit gehaald? En diequote:
Dit is echt brugklasalgebra hoor.quote:
[..]
Hoe heb je die r3 eruit gehaald?
Ik heb zo'n hekel aan het herleiden van lange sommen met veel verschillende letters.
Grapje: differentieer V(r) = (4/3)·π·r3 eens naar r. Wat krijg je dan? Herken je het resultaat? En, kun je het resultaat ook verklaren?
quote:
[..]
Hoe heb je die r3 eruit gehaald? En die?
Je hebt dus in de eerste term een factor
Ik snap dat dat elkaar opheft, de 1e naar de 2e stap volg ik alleen niet helemaal... Waar haal je die (4/3)*Pi*r^3 vandaan?quote:
[..]
Je hebt dus in de eerste term een factorstaan. De laatste term heeft deze factor precies op.
Dat is de eerste term binnen de haakjesquote:
[..]
Ik snap dat dat elkaar opheft, de 1e naar de 2e stap volg ik alleen niet helemaal... Waar haal je die (4/3)*Pi*r^3 vandaan?
De eerste term binnen de haakjes is r^3, toch? Of heb je eerst die 4/3*pi keer alles tussen de haakjes gedaan?quote:
[..]
Dat is de eerste term binnen de haakjes
Ik was zo dom om niet eerst de haakjes weg te werken, en daarna de som weer te ontbinden.quote:
[..]
Dit is echt brugklasalgebra hoor.
Grapje: differentieer V(r) = (4/3)·π·r3 eens naar r. Wat krijg je dan? Herken je het resultaat? En, kun je het resultaat ook verklaren?
Onjuist. Dit is bij heel veel methodes onderdeel van de stof in de tweede klas op de middelbare school. Het wegwerken van haakjes zit wel in de brugklas, maar het ontbinden in factoren pas in leerjaar 2.quote:
Dat is dan volkomen onzinnig, en dan wordt het hoog tijd dat dit weer eerste klas stof wordt, zoals dat vroeger het geval was. Als je leerlingen vertelt datquote:
[..]
Onjuist. Dit is bij heel veel methodes onderdeel van de stof in de tweede klas op de middelbare school. Het wegwerken van haakjes zit wel in de brugklas, maar het ontbinden in factoren pas in leerjaar 2.
a(b + c) = ab + ac
dan is het ook aan de orde om te vertellen dat
ab + ac = a(b + c)
Lees dit maar eens goed, en eventueel dit.
Yep. Iemand met een beetje inzicht zal dat ook snel zien.quote:
[..]
Dat is dan volkomen onzinnig, en dan wordt het hoog tijd dat dit weer eerste klas stof wordt, zoals dat vroeger het geval was. Als je leerlingen vertelt dat
a(b + c) = ab + ac
dan is het ook aan de orde om te vertellen dat
ab + ac = a(b + c)
Lees dit maar eens goed, en eventueel dit.
Ik dacht dat Alrac een speciale methode gebruikte. Haakjes wegwerken en dan weer ontbinden wordt vaak afgeraden bij mij op school, want dat komt vaak niet gelukkig uit.Ik begrijp niet goed wat je bedoelt met je opmerking dat haakjes wegwerken en weer ontbinden 'vaak niet gelukkig' uitkomt. Heb je een voorbeeld?quote:
[..]
Yep. Iemand met een beetje inzicht zal dat ook snel zien.
Natuurlijk, (x-5)(x+20)-5.3 => x2+15x-94.7. Zie dat maar weer te ontbinden in factoren.quote:
[..]
Ik begrijp niet goed wat je bedoelt met je opmerking dat haakjes wegwerken en weer ontbinden 'vaak niet gelukkig' uitkomt. Heb je een voorbeeld?
Ontbinden in factoren van een kwadratische veelterm lukt altijd. Maar er zijn twee andere problemen met je voorbeeld, (x-5)(x+20)-5.3 is geen product en de uitkomst die je geeft klopt ook niet. Je voorbeeld is dus niet geldig.quote:
[..]
Natuurlijk, (x-5)(x+20)-5.3 => x2+15x-94.7. Zie dat maar weer te ontbinden in factoren.
Overigens, probeer iets als
30p2 − 11pq − 30q2
eens te ontbinden in lineaire factoren. Pakweg een halve eeuw geleden kon iedere middelbare scholier dat, nu struikelen zelfs beta studenten over zoiets simpels.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 28-06-2014 19:48:37 ]
Bedoel je dit? p(30p-q((30q)/p-11))quote:
[..]
Ontbinden in factoren van een kwadratische veelterm lukt altijd. Maar er zijn twee andere problemen met je voorbeeld, (x-5)(x+20)-5.3 is geen product en de uitkomst die je geeft klopt ook niet. Je voorbeeld is dus niet geldig.
Overigens, probeer iets als
30p2 − 11pq − 30q2
eens te ontbinden in lineaire factoren. Pakweg een halve eeuw geleden kon iedere middelbare scholier dat, nu stuikelen zelfs beta studenten over zoiets simpels.
Ik denk niet dat het is wat je bedoelt, maar ik zou het wel graag willen leren.
Nee. Ontbinden in lineaire factoren is de opgave. Overigens is je herleiding ook nog fout, uitwerken levert namelijk 30p2 + 11pq − 30q2.quote:
[..]
Bedoel je dit? p(30p-q((30q)/p-11))
Ik denk niet dat het is wat je bedoelt, maar ik zou het wel graag willen leren.
Oeps, verkeerd gelezen.quote:
[..]
Nee. Ontbinden in lineaire factoren is de opgave. Overigens is je herleiding ook nog fout, uitwerken levert namelijk 30p2 + 11pq − 30q2.
Ik zie niet in hoe 30 en 11 een gemeenschappelijke deler hebben, dus ik heb geen idee.
Ik verwachtte al dat je met zo'n soort opmerking zou komen, 30 en 11 zijn uiteraard onderling ondeelbaar. Maar dat impliceert niet dat je deze veelterm niet in lineaire factoren zou kunnen ontbinden. Ga hier maar eens een nachtje over slapen.quote:
[..]
Oeps, verkeerd gelezen.
Ik zie niet in hoe 30 en 11 een gemeenschappelijke deler hebben, dus ik heb geen idee.
Is een breuk ook een 'lineaire factor'?quote:
[..]
Ik verwachtte al dat je met zo'n soort opmerking zou komen, 30 en 11 zijn uiteraard onderling ondeelbaar. Maar dat impliceert niet dat je deze veelterm niet in lineaire factoren zou kunnen ontbinden. Ga hier maar eens een nachtje over slapen.
Ik struikelde er niet overquote:
[..]
Ontbinden in factoren van een kwadratische veelterm lukt altijd. Maar er zijn twee andere problemen met je voorbeeld, (x-5)(x+20)-5.3 is geen product en de uitkomst die je geeft klopt ook niet. Je voorbeeld is dus niet geldig.
Overigens, probeer iets als
30p2 − 11pq − 30q2
eens te ontbinden in lineaire factoren. Pakweg een halve eeuw geleden kon iedere middelbare scholier dat, nu stuikelen zelfs beta studenten over zoiets simpels.
Bedoeld zijn factoren van de gedaante (ap + bq + c) waarin a,b en c getallen zijn.quote:
[..]
Is een breuk ook een 'lineaire factor'?
Lees eens wat factoren en termen zijn. Stel je hebt ap + q, dan zijn a en p factoren en ap en q termen.quote:
Deze heb ik nu: 30((p+q)(p-q)-(11/30)pq). Ik heb geen idee wat je wilt zien, "Bedoeld zijn factoren van de gedaante (ap + bq + c) waarin a,b en c getallen zijn." vind ik zelf een beetje vaag. Kan aan mij liggen.
Ik word echt kriebelig van het onvermogen om GOOGLE te gebruiken.
Dus, alleen FACTOREN en geen TERMEN. (Of zoals je wilt, slechts een term)
Out.
[ Bericht 2% gewijzigd door #ANONIEM op 27-06-2014 21:53:27 ]
Er lijkt me niets vaags aan mijn toelichting. De letters a,b en c stellen concrete (reële) getallen voor. Lineaire veeltermen in p en q zijn bijvoorbeeld 2p − 3q + 7 (hier is a = 2, b = −3, c = 7) en p + 4q (hier is a = 1, b = 4, c = 0). Het is de bedoeling de gegeven kwadratische veelterm in p en q te herleiden tot een product van factoren van uitsluitend deze gedaante (ap + bq + c), niets meer en niets minder.quote:
Deze heb ik nu: 30((p+q)(p-q)-(11/30)pq). Ik heb geen idee wat je wilt zien, "Bedoeld zijn factoren van de gedaante (ap + bq + c) waarin a,b en c getallen zijn." vind ik zelf een beetje vaag. Kan aan mij liggen.
Je kan toch niet een formule met meerdere termen ontbinden in een formule met maar 1 term? In Riparius' formule zie ik zeven factoren, en drie termen. Mij lukt het niet om zoiets te ontbinden in factoren met maar 1 term.quote:
[..]
Lees eens wat factoren en termen zijn. Stel je hebt ap + q, dan zijn a en p factoren en ap en q termen.
Ik word echt kriebelig van het onvermogen om GOOGLE te gebruiken.
Dus, alleen FACTOREN en geen TERMEN. (Of zoals je wilt, slechts een term)
Out.
De lineare factoren waarin je 30p2 − 11pq − 30q2 moet ontbinden zijn van de gedaante (ap + bq + c) en elk van de bedoelde factoren kan dus hetzij één hetzij twee hetzij drie termen bevatten. Je veronderstelling dat elk van de factoren maar één term zou mogen of kunnen bevatten is dus onjuist.quote:
[..]
Je kan toch niet een formule met meerdere termen ontbinden in een formule met maar 1 term? In Riparius' formule zie ik zeven factoren, en drie termen. Mij lukt het niet om zoiets te ontbinden in factoren met maar 1 term.
Dit soort opgaven kreeg ik gewoon in de tweede klas, ik geloof dat elke leerling met wiskunde in het pakket zo'n opgave wel aankan.quote:
Overigens, probeer iets als
30p2 − 11pq − 30q2
eens te ontbinden in lineaire factoren. Pakweg een halve eeuw geleden kon iedere middelbare scholier dat, nu stuikelen zelfs beta studenten over zoiets simpels.
Het is me nogsteeds niet duidelijk wat je precies bedoelt met "de gedaante (ap + bq + c)" Het lijkt me dat a = 30p, b = 11p, c = 30q2. Heb je misschien een link naar een voorbeeld?
Tja, jij mag dat onzinnig vinden, maar het is niet volkomen onzinnig. Het is qua moeilijkheid vrij makkelijk uit te leggen in de brugklas, maar het is geen vereiste om dat in de brugklas al te kennen.quote:
[..]
Dat is dan volkomen onzinnig, en dan wordt het hoog tijd dat dit weer eerste klas stof wordt, zoals dat vroeger het geval was. Als je leerlingen vertelt dat
a(b + c) = ab + ac
dan is het ook aan de orde om te vertellen dat
ab + ac = a(b + c)
Lees dit maar eens goed, en eventueel dit.
Zo geldt voor veel onderwerpen dat het discutabel is of ze in klas 1 of 2 (of zelfs op de basisschool) thuis horen. Bepaalde vaardigheden betreffende niet-lineaire formules kunnen qua moeilijkheid makkelijk in de brugklas. En dus ook het ontbinden in factoren.
Basiskennis over de symmetrie van vlakke figuren hoort natuurlijk niet in een brugklas. Dat zou basiskennis moeten zijn voor een brugklasser.
Ik zou bijna gaan denken dat je een troll bent, en niets meer dan dat. De uitdrukking 30p(p − (11/30)q − q/p) is trouwens alweer een foute herleiding, wantquote:
30p(p - (11/30)q - q/p). Als dat niet klopt, ga ik er een nachtje overslapen.
Het is me nogsteeds niet duidelijk wat je precies bedoelt met "de gedaante (ap + bq + c)" Het lijkt me dat a = 30p, b = 11p, c = 30q2. Heb je misschien een link naar een voorbeeld?
30p(p − (11/30)q − q/p) = 30p2 − 11pq − 30q
Afgezien daarvan is dit niet de bedoeling, je tweede factor is immers geen lineaire veelterm in p en q.
Ik heb duidelijk aangegeven dat met een lineaire veelterm in p en q een uitdrukking wordt bedoeld van de gedaante
ap + bq + c
waarbij a, b en c concrete (reële) getallen zijn, en dus niet uitdrukkingen in p en of q, en ik heb twee voorbeelden gegeven, namelijk 2p − 3q + 7 en p + 4q.
Laten we voor de grap deze twee lineaire veeltermen in p en q eens met elkaar vermenigvuldigen, dan krijgen we
(2p − 3q + 7)(p + 4q) = 2p2 + 5pq + 7p − 12q2 + 28q
De omgekeerde bewerking is dan om de kwadratische veelterm
2p2 + 5pq + 7p − 12q2 + 28q
te herleiden tot
(2p − 3q + 7)(p + 4q)
zijnde een product van lineaire veeltermen in p en q. Je ziet overigens dat de kwadratische veelterm in p en q die je krijgt door 2p − 3q + 7 en p + 4q met elkaar te vermenigvuldigen vijf termen heeft en daarmee een stuk ingewikkelder is dan de drieterm
30p2 − 11pq − 30q2
die ik je had gegeven om in lineaire veeltermen in p en q te ontbinden.
Iedereen die iets minder goed kan rekenen in veeltermen, is namelijk een troll.quote:
Ik zou bijna gaan denken dat je een troll bent, en niets meer dan dat.
Hij lijkt erop uit te zijn de opdracht doelbewust verkeerd te interpreteren, terwijl er zeker na mijn toelichting hierboven geen enkele reden is om aan te nemen dat hij niet begrijpt wat een lineaire veelterm is. Dat is typisch trollgedrag en heeft verder niets te maken met zijn algebraïsche vaardigheden.quote:
[..]
Iedereen die iets minder goed kan rekenen in veeltermen, is namelijk een troll.
Geloof me, er zijn echt mensen die minder goed zijn in wiskunde dan jij. En oprecht en welgemeend opmerkingen maken die in jouw ogen debiel zijn.quote:
[..]
Hij lijkt erop uit te zijn de opdracht doelbewust verkeerd te interpreteren, terwijl er zeker na mijn toelichting hierboven geen enkele reden is om aan te nemen dat hij niet begrijpt wat een lineaire veelterm is. Dat is typisch trollgedrag en heeft verder niets te maken met zijn algebraïsche vaardigheden.
Ik streef er altijd naar om zo helder en exact mogelijk te formuleren. Dat lukt natuurlijk niet altijd, en als dat een keer niet is gelukt, dan blijkt dat doordat mijn woorden verkeerd worden geïnterpreteerd. Ik zou dat niet debiel willen noemen, maar in dit geval zie ik moeilijk in hoe ik nog duidelijker kan maken wat nu de bedoeling is (even los daarvan of hij het vraagstukje nu wel of niet kan oplossen). Als je een 3VWO leerling vraagt x2 − 5x + 6 te ontbinden in lineaire factoren, dan komt zo'n leerling toch ook niet aanzetten met iets als x(x − 5 + 6/x) ?quote:
[..]
Geloof me, er zijn echt mensen die minder goed zijn in wiskunde dan jij. En oprecht en welgemeend opmerkingen maken die in jouw ogen debiel zijn.
Hoe weet je dat?quote:
. Als je een 3VWO leerling vraagt x2 − 5x + 6 te ontbinden in lineaire factoren, dan komt zo'n leerling toch ook niet aanzetten met iets als x(x − 5 + 6/x) ?
Oplossen van kwadratische vergelijkingen door ontbinden in (lineaire) factoren staat bij mijn weten nog steeds op het programma, en ook Netchip begrijpt ongetwijfeld dat x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).quote:
Dat klopt, maar dat geeft nog geen garantie dat iedere leerling ook begrijpt wat-ie aan het doen is.quote:
Oplossen van kwadratische vergelijkingen door ontbinden in (lineaire) factoren staat bij mijn weten nog steeds op het programma,
Nee, dat is waar. Het lijkt erop (maar dat is mijn indruk louter gebaseerd op wat ik hier vaak voorbij zie komen) dat veel leerlingen (en studenten) hebben geleerd om kunstjes te reproduceren zonder dat ze begrijpen wat ze aan het doen zijn. Als je zulke mensen bijvoorbeeld die Vlaamse toelatingsexamens voorlegt die testen op inzicht, dan gaan ze genadeloos onderuit. Mijn vraag aan jou als docente is dan hoe je dat tijdig onderkent bij je leerlingen, en wat je daar tegen doet?quote:
[..]
Dat klopt, maar dat geeft nog geen garantie dat iedere leerling ook begrijpt wat-ie aan het doen is.
Deze 'kunstjes' worden zelfs op de TU/e nog onderwezen. Bij differentiaalvergelijkingen waar matrices mee gemoeid zijn was het niets anders dan steeds het kunstje herhalen.quote:
[..]
Nee, dat is waar. Het lijkt erop (maar dat is mijn indruk louter gebaseerd op wat ik hier vaak voorbij zie komen) dat veel leerlingen (en studenten) hebben geleerd om kunstjes te reproduceren zonder dat ze begrijpen wat ze aan het doen zijn. Als je zulke mensen bijvoorbeeld die Vlaamse toelatingsexamens voorlegt die testen op inzicht, dan gaan ze genadeloos onderuit. Mijn vraag aan jou als docente is dan hoe je dat tijdig onderkent bij je leerlingen, en wat je daar tegen doet?
En zo nog wat vakken waar de verantwoordelijk docent er een potje van maakt.
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 28-06-2014 01:23:28 ]
1/p is niet lineair. Verder is de conventie dat a, b en c constant zijn, dus getallen die gewoonlijk 'vast maar willekeurig' zijn (willekeurig todat je bijvoorbeeld a = 30 stelt). Door a = 30p te stellen, maak je a afhankelijk van p, een variabele. Dit is strikt genomen niet fout, maar meestal niet de bedoeling (omdat dat nou eenmaal de conventie is). De latere letters in het alfabet worden vaak gebruikt voor variabelen.quote:
30p(p - (11/30)q - q/p). Als dat niet klopt, ga ik er een nachtje overslapen.
Het is me nogsteeds niet duidelijk wat je precies bedoelt met "de gedaante (ap + bq + c)" Het lijkt me dat a = 30p, b = 11p, c = 30q2. Heb je misschien een link naar een voorbeeld?
Ik zie wel een verband tussen die variabelen, maar kan het niet uitwerken. Irritant.
Ik kan een drieterm waar a = 1 wel ontbinden in twee factoren.
Ik denk dat ik hem zie.
Ik heb nu (p-5q)(p-6q). Ik mis nu dus nog de factor 30 bij de eerste term... Dit is niet van de gedaante die Riparius gaf...
[ Bericht 11% gewijzigd door netchip op 28-06-2014 09:11:24 ]
Je bent in ieder geval op de goede weg.quote:Op zaterdag 28 juni 2014 08:46 schreef netchip het volgende:
Riparius, ik zit je zeker niet te trollen. Het is toch mogelijk dat ik het niet snap?
Ik zie wel een verband tussen die variabelen, maar kan het niet uitwerken. Irritant.
Ik kan een drieterm waar a = 1 wel ontbinden in twee factoren.
Ik denk dat ik hem zie.
Ik heb nu (p-5q)(p-6q). Ik mis nu dus nog de factor 30 bij de eerste term... Dit is niet van de gedaante die Riparius gaf...
Hoe het werkt als a ≠ 1, weet ik niet. Ik ken alleen de product-som methode, dat houdt in dat het product van twee getallen de laatste term moet vormen, en dat die twee getallen opgeteld de tweede term moet vormen.quote:
[..]
Ik streef er altijd naar om zo helder en exact mogelijk te formuleren. Dat lukt natuurlijk niet altijd, en als dat een keer niet is gelukt, dan blijkt dat doordat mijn woorden verkeerd worden geïnterpreteerd. Ik zou dat niet debiel willen noemen, maar in dit geval zie ik moeilijk in hoe ik nog duidelijker kan maken wat nu de bedoeling is (even los daarvan of hij het vraagstukje nu wel of niet kan oplossen). Als je een 3VWO leerling vraagt x2 − 5x + 6 te ontbinden in lineaire factoren, dan komt zo'n leerling toch ook niet aanzetten met iets als x(x − 5 + 6/x) ?
Over jouw vraagstuk heb ik een hele tijd nagedacht, maar ik kom er niet uit. Uitleg op YouTube werkt ook niet; wordt weer een truc gebruikt.
De algemene gedaante van een vierkantsvergelijking met het rechterlid herleid op nul is:quote:
[..]
Hoe het werkt als a ≠ 1, weet ik niet. Ik ken alleen de product-som methode, dat houdt in dat het product van twee getallen de laatste term moet vormen, en dat die twee getallen opgeteld de tweede term moet vormen.
(1) ax2 + bx + c = 0
waarbij a, b en c vaste (gewoonlijk reële) getallen zijn en a ≠ 0 omdat we anders geen kwadratische term meer zouden hebben.
Als a, b en c gehele getallen zijn en je weet - of vermoedt - dat de vergelijking rationale oplossingen heeft, dan kun je proberen deze vergelijking op te lossen door ontbinden in factoren. De product-som methode om de kwadatische veelterm in het linkerlid van (1) te ontbinden in lineaire factoren is evengoed bruikbaar als a ≠ 1. Hiervoor moet je op zoek gaan naar twee gehele getallen waarvan het product gelijk is aan ac terwijl de som gelijk is aan b.
Eerst een eenvoudig voorbeeld. Stel je wil de volgende vierkantsvergelijking oplossen waarvan gegeven is dat deze rationale oplossingen heeft:
12x2 − 11x + 2 = 0
We hebben hier a = 12, b = −11, c = 2. We zoeken nu twee gehele getallen waarvan het product gelijk is aan ac = 24 terwijl de som gelijk is aan b = −11. Het is (hier) niet moeilijk te zien dat de gezochte getallen −8 en −3 zijn. We splitsen nu eerst −11x op in −8x en −3x, zodat we krijgen:
12x2 − 8x − 3x + 2 = 0
Nu zie je dat de eerste twee termen 12x2 en 8x een factor 4x gemeen hebben die we dus buiten haakjes kunnen halen. Het tweede tweetal −3x en 2 heeft hier geen factor gemeen die we buiten haakjes kunnen halen (behalve 1 of −1), dus die laten we even zo staan. Dan krijgen we:
4x(3x − 2) − 3x + 2 = 0
En aangezien −3x + 2 = −(3x − 2) kunnen we dit herschrijven als:
4x(3x − 2) − (3x − 2) = 0
Nu hebben we in het linkerlid van de vergelijking twee termen met een gemeenschappelijke factor (3x − 2) die we dus weer buiten haakjes kunnen halen, en dan krijgen we:
(4x − 1)(3x − 2) = 0
Nu kan een product alleen gelijk zijn aan nul als (tenminste) één van de factoren nul is, zodat moet gelden:
4x − 1 = 0 ∨ 3x − 2 = 0
En dus:
x = 1/4 ∨ x = 2/3
Hiermee is de vergelijking opgelost.
Maar goed, nu wil je natuurlijk weten waarom dit zo werkt. Dat is elementaire algebra, die je heel vroeger toen er nog onderwijs was gewoon op school leerde. Maar ik zal het hier nog maar eens uitleggen.
Wat we willen is vergelijking (1) omvormen tot een vergelijking van de gedaante:
(2) (px + q)(rx + s) = 0
waarin p, q, r, s gehele getallen zijn. Welnu, uitwerken van de haakjes in (2) levert:
(3) prx2 + (ps + qr)x + qs = 0
Door nu de coëfficiënten van (3) te vergelijken met de coëfficiënten van (1) zien we dat we moeten hebben:
(4) pr = a, ps + qr = b, qs = c
We kennen a, b, c en de kunst is nu om vier gehele getallen p, q, r, s te vinden die aan (4) voldoen. Dat lijkt een vrij hopeloze opgave, maar dat is niet zo omdat we kunnen bedenken dat we hebben:
(5) ac = pr·qs = ps·qr
Als je nu (4) en (5) bekijkt zie je dat we het vinden van p, q, r, s sterk kunnen vereenvoudigen door eerst twee getallen ps en qr te zoeken waarvan het product gelijk is aan ac en de som gelijk is aan b, en dat is over het algemeen niet zo moeilijk. Hebben we ps en qr, dan kunnen we in (1) bx alvast vervangen door (ps + qr)x = ps·x + qr·x zodat we krijgen:
(6) ax2 + psx + qrx + c = 0
Hierna is het niet moeilijk meer om de ontbinding te voltooien. Immers, in (6) heeft het eerste tweetal termen ax2 = prx2 en psx een factor px gemeen en het tweede tweetal termen qrx en c = qs heeft een factor q gemeen. Dus is het mogelijk om (6) om te vormen tot:
(7) px(rx + s) + q(rx + s) = 0
En aangezien de beide termen in (7) een factor (rx + s) gemeen hebben, kunnen we deze factor weer buiten haakjes halen en daarmee (7) eenvoudig omvormen tot (2), en dat was precies de bedoeling. Hiermee is dus verklaard waarom de methode werkt, en waarom we moeten zoeken naar twee getallen waarvan het product ac is en de som b.
Nu terug naar de opgave. De vraag was omquote:Over jouw vraagstuk heb ik een hele tijd nagedacht, maar ik kom er niet uit. Uitleg op YouTube werkt ook niet; wordt weer een truc gebruikt.
30p2 − 11pq − 30q2
te ontbinden in lineaire factoren. Zoals je zelf al had opgemerkt, kun je deze uitdrukking opvatten als een kwadratische veelterm in p van de gedaante ap2 + bp + c met a = 30, b = −11q, c = −30q2. Willen we deze veelterm ontbinden in factoren met de product-som methode, dan moeten we dus op zoek gaan naar twee grootheden waarvan het product gelijk is aan ac = −900q2 terwijl de som gelijk is aan b = −11q. Nu zou het niet te moeilijk meer moeten zijn om deze veelterm te ontbinden, maar dat mag je zelf even uitwerken.
We gaan eerst iets ontbinden... Om het daarna weer buiten de haakjes te halen?quote:
Nu hebben we in het linkerlid van de vergelijking twee termen met een gemeenschappelijke factor (3x − 2) die we dus weer buiten haakjes kunnen halen, en dan krijgen we:
(4x − 1)(3x − 2) = 0
Aangezien ik die stap niet helemaal snap, heb ik nu: 6p(5p-6q)+5q(5p-6q).
[ Bericht 11% gewijzigd door netchip op 28-06-2014 21:11:49 ]
Dit is dus waar jequote:
[..]
We gaan eerst iets ontbinden... Om het daarna weer buiten de haakjes te halen?
Aangezien ik die stap niet helemaal snap, heb ik nu: 6p(5p-6q)+5q(5p-6q).
xy + xz = x(y + z) moet toepassen. Of eigenlijk yx + zx = (y + z)x
SPOILERmet x = 5p - 6q
Oh, ik zie het nu! (5p-6q)(6p+5q)quote:
[..]
Dit is dus waar je
xy + xz = x(y + z) moet toepassen. Of eigenlijk yx + zx = (y + z)xSPOILERmet x = 5p - 6q
Waarom leer ik zulke dingen niet op school? Ik kan me hier echt aan irriteren, ik zal opsommen wat ik de afgelopen drie jaar heb geleerd:
- Termen met gemeenschappelijke factoren optellen (zeg ik dit goed?)
- De hoeken in een driehoek zijn bij elkaar 180 graden
- Overstaande hoeken zijn hetzelfde
- Ontbinden van tweedegraads polynomen, met a = 1
- De abc-formule
- De goniometrische formules
That's it. Het is werkelijk schandalig.
Riparius (en anderen), dank je voor de moeite die je hebt genomen om mij dit uit te leggen. Ik waardeer dit heel erg!quote:
[..]
De algemene gedaante van een vierkantsvergelijking met het rechterlid herleid op nul is:
(1) ax2 + bx + c = 0
waarbij a, b en c vaste (gewoonlijk reële) getallen zijn en a ≠ 0 omdat we anders geen kwadratische term meer zouden hebben.
Als a, b en c gehele getallen zijn en je weet - of vermoedt - dat de vergelijking rationale oplossingen heeft, dan kun je proberen deze vergelijking op te lossen door ontbinden in factoren. De product-som methode om de kwadatische veelterm in het linkerlid van (1) te ontbinden in lineaire factoren is evengoed bruikbaar als a ≠ 1. Hiervoor moet je op zoek gaan naar twee gehele getallen waarvan het product gelijk is aan ac terwijl de som gelijk is aan b.
Eerst een eenvoudig voorbeeld. Stel je wil de volgende vierkantsvergelijking oplossen waarvan gegeven is dat deze rationale oplossingen heeft:
12x2 − 11x + 2 = 0
We hebben hier a = 12, b = −11, c = 2. We zoeken nu twee gehele getallen waarvan het product gelijk is aan ac = 24 terwijl de som gelijk is aan b = −11. Het is (hier) niet moeilijk te zien dat de gezochte getallen −8 en −3 zijn. We splitsen nu eerst −11x op in −8x en −3x, zodat we krijgen:
12x2 − 8x − 3x + 2 = 0
Nu zie je dat de eerste twee termen 12x2 en 8x een factor 4x gemeen hebben die we dus buiten haakjes kunnen halen. Het tweede tweetal −3x en 2 heeft hier geen factor gemeen die we buiten haakjes kunnen halen (behalve 1 of −1), dus die laten we even zo staan. Dan krijgen we:
4x(3x − 2) − 3x + 2 = 0
En aangezien −3x + 2 = −(3x − 2) kunnen we dit herschrijven als:
4x(3x − 2) − (3x − 2) = 0
Nu hebben we in het linkerlid van de vergelijking twee termen met een gemeenschappelijke factor (3x − 2) die we dus weer buiten haakjes kunnen halen, en dan krijgen we:
(4x − 1)(3x − 2) = 0
Nu kan een product alleen gelijk zijn aan nul als (tenminste) één van de factoren nul is, zodat moet gelden:
4x − 1 = 0 ∨ 3x − 2 = 0
En dus:
x = 1/4 ∨ x = 2/3
Hiermee is de vergelijking opgelost.
Maar goed, nu wil je natuurlijk weten waarom dit zo werkt. Dat is elementaire algebra, die je heel vroeger toen er nog onderwijs was gewoon op school leerde. Maar ik zal het hier nog maar eens uitleggen.
Wat we willen is vergelijking (1) omvormen tot een vergelijking van de gedaante:
(2) (px + q)(rx + s) = 0
waarin p, q, r, s gehele getallen zijn. Welnu, uitwerken van de haakjes in (2) levert:
(3) prx2 + (ps + qr)x + qs = 0
Door nu de coëfficiënten van (3) te vergelijken met de coëfficiënten van (1) zien we dat we moeten hebben:
(4) pr = a, ps + qr = b, qs = c
We kennen a, b, c en de kunst is nu om vier gehele getallen p, q, r, s te vinden die aan (4) voldoen. Dat lijkt een vrij hopeloze opgave, maar dat is niet zo omdat we kunnen bedenken dat we hebben:
(5) ac = pr·qs = ps·qr
Als je nu (4) en (5) bekijkt zie je dat we het vinden van p, q, r, s sterk kunnen vereenvoudigen door eerst twee getallen ps en qr te zoeken waarvan het product gelijk is aan ac en de som gelijk is aan b, en dat is over het algemeen niet zo moeilijk. Hebben we ps en qr, dan kunnen we in (1) bx alvast vervangen door (ps + qr)x = ps·x + qr·x zodat we krijgen:
(6) ax2 + psx + qrx + c = 0
Hierna is het niet moeilijk meer om de ontbinding te voltooien. Immers, in (6) heeft het eerste tweetal termen ax2 = prx2 en psx een factor px gemeen en het tweede tweetal termen qrx en c = qs heeft een factor q gemeen. Dus is het mogelijk om (6) om te vormen tot:
(7) px(rx + s) + q(rx + s) = 0
En aangezien de beide termen in (7) een factor (rx + s) gemeen hebben, kunnen we deze factor weer buiten haakjes halen en daarmee (7) eenvoudig omvormen tot (2), en dat was precies de bedoeling. Hiermee is dus verklaard waarom de methode werkt, en waarom we moeten zoeken naar twee getallen waarvan het product ac is en de som b.
[..]
Nu terug naar de opgave. De vraag was om
30p2 − 11pq − 30q2
te ontbinden in lineaire factoren. Zoals je zelf al had opgemerkt, kun je deze uitdrukking opvatten als een kwadratische veelterm in p van de gedaante ap2 + bp + c met a = 30, b = −11q, c = −30q2. Willen we deze veelterm ontbinden in factoren met de product-som methode, dan moeten we dus op zoek gaan naar twee grootheden waarvan het product gelijk is aan ac = −900q2 terwijl de som gelijk is aan b = −11q. Nu zou het niet te moeilijk meer moeten zijn om deze veelterm te ontbinden, maar dat mag je zelf even uitwerken.
Dat is correct.quote:
Nog even een toelichting voor anderen die hier meelezen: we zochten twee grootheden waarvan het product −900q2 moest zijn en de som −11q. Het is duidelijk dat elk van de gezochte grootheden dan één factor q moet hebben, aangezien de som anders geen veelvoud van q kan zijn.
Verder moeten we dan zoeken naar twee getallen met als product −900 en als som −11. Het is duidelijk dat één van deze beide getallen negatief moet zijn en het andere positief. Als we de juiste tekens (plus of min) even buiten beschouwing laten betekent dit dat we zoeken naar twee getallen met als product 900 en waarvan het verschil 11 bedraagt. Louter uitproberen is bij wat grotere getallen niet zo handig, dan is het beter het product eerst te ontbinden in priemfactoren. Dit geeft
900 = 22·32·52
Nu is het duidelijk dat de gezochte getallen niet beide even kunnen zijn, omdat het verschil van twee even getallen weer even is, en dus niet 11 kan zijn. De beide factoren 2 moeten dus in één van de beide getallen zitten. Ook is het duidelijk dat het verschil van twee drievouden of twee vijfvouden weer een drievoud resp. een vijfvoud is, en dus niet 11 kan zijn. De beide factoren 3 moeten dus in één van de beide getallen zitten en de beide factoren 5 ook. Dan blijven er nog maar een paar mogelijkheden over en zie je snel dat 22·32 = 36 en 52 = 25 de gezochte getallen zijn, afgezien van de juiste tekens. Nu moeten we nog één van deze twee getallen van een minteken voorzien, en aangezien de som −11 moet zijn is het duidelijk dat 25 en −36 de gezochte getallen zijn.
De gezochte grootheden met als product −900q2 en als som −11q zijn dus 25q en −36q. We krijgen zo
30p2 − 11pq − 30q2 = 30p2 + 25pq − 36pq − 30q2 = 5p(6p + 5q) − 6q(6p + 5q) = (5p − 6q)(6p + 5q)
quote:Waarom leer ik zulke dingen niet op school? Ik kan me hier echt aan irriteren, ik zal opsommen wat ik de afgelopen drie jaar heb geleerd:
- Termen met gemeenschappelijke factoren optellen (zeg ik dit goed?)
- De hoeken in een driehoek zijn bij elkaar 180 graden
- Overstaande hoeken zijn hetzelfde
- Ontbinden van tweedegraads polynomen, met a = 1
- De abc-formule
- De goniometrische formules
That's it. Het is werkelijk schandalig.
[ Bericht 2% gewijzigd door Riparius op 29-06-2014 13:40:28 ]
! Meestal voer ik dat onbewust uit (m.u.v. het ontbinden in priemfactoren en het bepalen dat één van de twee getallen even moet zijn), maar om het uitgeschreven te zien is toch wat anders.x*y = -900
x-y = -11
En dan rollen ze er ook zo uit. Hoewel dit priemfactoren verhaal ook wel nice is.
Als je dit stelsel wil oplossen (waarbij de som van de gezochte getallen −11 is, niet het verschil) en je elimineert één van de beide onbekenden, dan kom je weer uit op een vierkantsvergelijking. Dan draai je in een kringetje als je twee getallen zoekt waarvan product en som zijn gegeven teneinde een vierkantsvergelijking op te lossen door ontbinden in factoren. Stel namelijk dat je de vierkantsvergelijkingquote:
Lijkt me ook simpel genoeg om gewoon twee vergelijkingen dan op te stellen toch?
x*y = -900
x+y = -11
En dan rollen ze er ook zo uit. Hoewel dit priemfactoren verhaal ook wel nice is.
z2 − 11z − 900 = 0
zou willen oplossen door ontbinden in factoren. Dan moet je dus twee getallen x en y vinden waarvan de som −11 is en het product −900. Elimineer je echter de y uit bovenstaand stelsel, dan kom je uit op
x2 + 11x − 900 = 0
Wil je nu deze vergelijking oplossen door ontbinden in factoren, dan moet je twee getallen w en z vinden zodanig dat wz = −900 en w + z = 11. Elimineer je w uit dit stelsel, dan kom je weer uit op bovenstaande vergelijking in z, en daarmee ben je weer terug bij af.
Nu zul je waarschijnlijk tegenwerpen dat er ook andere methoden zijn om bovenstaande vierkantsvergelijking in x op te lossen, en dat klopt, maar daarmee schiet je wel je doel voorbij, want dan had je beter direct bovenstaande oorspronkelijke vergelijking in z op een andere manier kunnen oplossen dan door ontbinden in factoren.
Er is overigens wel een manier om deze vicieuze cirkel te vermijden. Uit xy = −900 en x + y = −11 volgt
(x − y)2 = (x + y)2 − 4xy = 121 − (−4·900) = 3721
en dus
x − y = 61
Uiteraard is x − y = −61 ook mogelijk, maar aangezien het inverteren van het teken van het verschil van x en y neerkomt op het omwisselen van x en y hebben we aan één waarde voor het verschil genoeg. Nu hebben we
2x = (x + y) + (x − y) = −11 + 61 = 50, dus x = 25
en
2y = (x + y) − (x − y) = −11 − 61 = −72, dus y = −36
Zo kan het dus wel, maar je ziet dat dit toch meer werk is dan het ontbinden van 900 in priemfactoren en even kijken welke combinaties van priemfactoren afvallen.
De strategie om het product van de gezochte grootheden zo ver mogelijk te ontbinden in factoren is ook bruikbaar als de grootheden in kwestie geen concrete getallen zijn. Stel dat je wordt gevraagd om de kwadratische veelterm
2bx2 − (a + b)2x + (a + b)2(a − b)
in de variabele x te ontbinden in lineaire factoren in x (waarbij is gegeven dat dit inderdaad mogelijk is), dan kun je als volgt te werk gaan. We zoeken nu twee grootheden waarvan het product gelijk moet zijn aan 2b(a + b)2(a − b) terwijl de som gelijk moet zijn aan −(a + b)2. Dit lijkt lastig, maar je kunt als volgt redeneren. Het product bevat de factoren
2, b, (a + b), (a + b), (a − b)
en deze vijf factoren moeten we nu verdelen over twee grootheden. Kennelijk bevat elk van de beide gezochte grootheden één factor (a + b), anders zou de som geen factor (a + b) bevatten. Dan moeten we alleen nog de drie resterende factoren 2, b, (a − b) verdelen, en dan is het duidelijk dat we de factoren 2 en b in de ene grootheid moeten stoppen, en de factor (a − b) in de andere grootheid, aangezien 2b + (a − b) = (a + b) en aangezien de som nog een tweede factor (a + b) bevat. De gezochte grootheden zijn dus −(a + b)2b en −(a + b)(a − b) zodat we kunnen schrijven
2bx2 − (a + b)2bx − (a + b)(a − b)x + (a + b)2(a − b)
en dus
2bx·(x − (a + b)) − (a + b)(a − b)·(x − (a + b))
Nu kunnen we de factor (x − (a + b)) buiten haakjes halen en hebben we dus
(2bx − (a + b)(a − b))·(x − (a + b))
en met gebruikmaking van het merkwaardig product (a + b)(a − b) = a2 − b2 is dit nog te schrijven als
(2bx − (a2 − b2))·(x − (a + b))
Ik heb
niet (u+1)/(u+2) gedeeld door u + 1.
Delen door een breuk.. etc
Dat was erg dom van me.quote:
Het is u + 1 gedeeld door (u+2)/(u + 1),
niet (u+1)/(u+2) gedeeld door u + 1.
Delen door een breuk.. etc
Delen door a/b is hetzelfde als vermenigvuldigen met b/a. Maar nog eenvoudiger is hier om teller en noemer van je oorspronkelijke breuk met (u+1) te vermenigvuldigen. In de teller krijg je dan (u+1)² en in de noemer (u+1)+1 = u+2.quote:
Ik schaam me om deze vraag te stellen...
Ik heb. Ik wil deze breuk versimpelen. Wat ik normaal zou doen is de 1+1/(u+1) versimpelen. Dat maakt
. Maar wat dan? Ik zou zeggen
. Dit is echter fout. Kan iemand aanwijzen waar ik de denkfout maak?
Dit was weer een goed voorbeeld van mijn onnauwkeurigheid op bepaalde momenten.quote:
[..]
Delen door a/b is hetzelfde als vermenigvuldigen met b/a. Maar nog eenvoudiger is hier om teller en noemer van je oorspronkelijke breuk met (u+1) te vermenigvuldigen. In de teller krijg je dan (u+1)² en in de noemer (u+1)+1 = u+2.
De notatie voor breuken kan soms verwarrend zijn. Als je
Als je namelijk
Als je in de war raakt, kan je proberen de notatie (a/b) voor breuken te gebruiken (of gewoon haakjes om je breuken te zetten) en je te herinneren dat vermenigvuldigen en delen zich onderling zo gedragen als optellen en aftrekken. Hoewel dit niet helpt bij het vereenvoudigen, dwingt dit je wel de volgorde van de operaties te begrijpen, en is het misschien intuitief iets makkelijker om te begrijpen wat er gebeurt.
Daarnaast: vaak is teller en noemer vermenigvuldigen met hetzelfde getal een trucje wat vaak werkt. Als je ook weet dat (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 kan je dit trucje ook gebruiken om breuken waarin teller en noemer ccomplexe getallen zijn te vereenvoudigen.
https://www.dropbox.com/s/9izr76oi5zd1m58/baby%20rudin.png
Is dit erg? Want op het internet lees ik erg veel tegenstrijdige meningen. De een vindt dat je alle vragen moet doen en dat ze lukken terwijl de ander van mening is dat enkel proberen genoeg is.
En mijn god zeg, wat is dit boek pittig.
Nouja, of dat erg is moet je maar voor jezelf bedenken. Het belangrijkste is denk ik dat je het idee achter de vraag begrijpt. Het is niet zo'n schande als je het bewijs niet kan vinden (al zullen sommigen daar anders over denken). Nu is het natuurlijk ook de vraag wat je precies wil oefenen en hoeveel tijd je hebt, en ook wel hoeveel aanleg je hebt. Ik vind het meestal genoeg om de vragen door te lezen, en de interessante vragen te maken (bijvoorbeeld die waarvan de aanpak niet direct duidelijk is, of die die een techniek vereisen die ik wil oefenen).quote:
Ik ben nu bezig met Rudin's Principles of Mathematical Analysis en het maken van de meeste opgaven gaat verbazingwekkend goed. Maar elk hoofdstuk heeft wat vragen die me gewoon maar niet lukken, zoals deze:
https://www.dropbox.com/s/9izr76oi5zd1m58/baby%20rudin.png
Is dit erg? Want op het internet lees ik erg veel tegenstrijdige meningen. De een vindt dat je alle vragen moet doen en dat ze lukken terwijl de ander van mening is dat enkel proberen genoeg is.
En mijn god zeg, wat is dit boek pittig.
Neem er de tijd voor. Maak iedere dag een opgave, en zorg dat je bewijs ook juist is.quote:
Ik ben nu bezig met Rudin's Principles of Mathematical Analysis en het maken van de meeste opgaven gaat verbazingwekkend goed. Maar elk hoofdstuk heeft wat vragen die me gewoon maar niet lukken, zoals deze:
https://www.dropbox.com/s/9izr76oi5zd1m58/baby%20rudin.png
Is dit erg? Want op het internet lees ik erg veel tegenstrijdige meningen. De een vindt dat je alle vragen moet doen en dat ze lukken terwijl de ander van mening is dat enkel proberen genoeg is.
En mijn god zeg, wat is dit boek pittig.
Het is absoluut geen schande als analyse soms niet lukt.
Met deze formulequote:
Hoe zit het met 'complexe' exponenten? Als je de identiteit van Euler hebt,, hoe kan je e dan verheffen tot de macht i maal pi?
Euler's formule
Zo heb je ook de complexe logarithme
log z = Log |z| + i arg z, waar Log the logarithme voor positieve getallen is.
en arg alle mogelijke argumenten van z.
[ Bericht 5% gewijzigd door t4rt4rus op 09-07-2014 18:07:39 ]
Dit is een beetje vage vraag zo.quote:
Hoe zit het met 'complexe' exponenten? Als je de identiteit van Euler hebt,
Ik neem aan dat je de waarde van e tot de macht i maal pi wil weten? Kijk eens naar die formule: daarin is e al tot de macht i maal pi genomen.
Als je meer in het algemeen bedoelt hoe men aan deze waarde is gekomen, dan zijn er verschillende manieren. Misschien de makkelijkste is om naar machtreeks ontwikkelingen voor e, sinus en cosinus te kijken. Ik ga dat niet hier uittypen, als het je interesseert kan je googlen of wolfram alhpa gebruiken om de taylorreeksen van e^x, sinus en cosinus op te zoeken, en de machtreeks van e^x te bekijken als je bijvoorbeeld x = iy substitueert, en gebruikt dat
i^2 = i^6 = ... = -1
i^3 = i^7 = ... = -i
i^4 = i^8 = ... = 1
i^5 = i^9 = ... = i
Daarnaast is er nog een wat inzichtelijkere manier, die Riparius een keer heeft uitgelegd en die gebruiktmaakt van een geometrische interpretatie (maar hiervoor moet je wel de geometrische interpretaties van complexe getallen en hun producten kennen).
Ah, OK. Hoe zou ikquote:
[..]
Met deze formule
[ afbeelding ]
Euler's formule
Zo heb je ook de complexe logarithme
log z = Log |z| + i arg z, waar Log the logarithme voor positieve getallen is.
en arg alle mogelijke argumenten van z.
Hier zou ik naar kunnen kijken; alhoewel dit wel een beetje buiten mijn kunnen ligt, denk ik.quote:
[..]
Dit is een beetje vage vraag zo.
Ik neem aan dat je de waarde van e tot de macht i maal pi wil weten? Kijk eens naar die formule: daarin is e al tot de macht i maal pi genomen.
Als je meer in het algemeen bedoelt hoe men aan deze waarde is gekomen, dan zijn er verschillende manieren. Misschien de makkelijkste is om naar machtreeks ontwikkelingen voor e, sinus en cosinus te kijken. Ik ga dat niet hier uittypen, als het je interesseert kan je googlen of wolfram alhpa gebruiken om de taylorreeksen van e^x, sinus en cosinus op te zoeken, en de machtreeks van e^x te bekijken als je bijvoorbeeld x = iy substitueert, en gebruikt dat
i^2 = i^6 = ... = -1
i^3 = i^7 = ... = -i
i^4 = i^8 = ... = 1
i^5 = i^9 = ... = i
Daarnaast is er nog een wat inzichtelijkere manier, die Riparius een keer heeft uitgelegd en die gebruiktmaakt van een geometrische interpretatie (maar hiervoor moet je wel de geometrische interpretaties van complexe getallen en hun producten kennen).
Wanneer weet je of dat je aanleg hebt voor wiskunde? Mensen nemen vaak aan: hoog cijfer voor wiskunde -> talent. Dat geloof ik niet 100%. Ik ben namelijk benieuwd hoe het met mij zit. Ik zal even wat achtergrond informatie geven. Ik zit in 3 vwo (na de zomervakantie 4 vwo), heb plezier in wiskunde en sta er dan ook een goed cijfer voor. In mijn vrije tijd ben ik bezig met het lezen van een calculus boek en het maken van opdrachten. Dit gaat mij vrij goed af. Ik hoef voor het 'gewone' boek (Getal en Ruimte) ook nauwelijks moeite te doen, ik snap het in een keer. Het bewijzen van stellingen gaat ongeveer zo bij mij:
.Interpreteer deze vraag niet als arrogantie, of zoiets. Ik ben oprecht benieuwd naar of dat ik nu een hoog cijfer haal door mijn interesse, of doordat ik aanleg heb.
Verder is WA perfect om dingen te berekenen: http://www.wolframalpha.com/input/?i=5%5E%285i%29
Probeer maar eens uit te leggen dat
Is die 5log(5) bedoelt als 5log(5) of als 5ln(5)?quote:
Achten zonder te leren haal je door aanleg. Alles daarboven komt door interesse én hard werken.
Verder is WA perfect om dingen te berekenen: http://www.wolframalpha.com/input/?i=5%5E%285i%29
Probeer maar eens uit te leggen dat
Leren voor wiskunde heb ik nooit gedaan. Een half uurtje serieus werken in de les is genoeg om het huiswerk af te hebben.
Probeer daar eens zelf uit te komen.quote:
[..]
Is die 5log(5) bedoelt als 5log(5) of als 5ln(5)?
Leren voor wiskunde heb ik nooit gedaan. Een half uurtje serieus werken in de les is genoeg om het huiswerk af te hebben.
Hele dikke hint is het gene waar 5log5 in staat.
Oh joh, ik dacht dat je al aan het studeren wasquote:
[..]
Is die 5log(5) bedoelt als 5log(5) of als 5ln(5)?
Leren voor wiskunde heb ik nooit gedaan. Een half uurtje serieus werken in de les is genoeg om het huiswerk af te hebben.
Bij wiskunde wordt meestal de 'natuurlijke logaritme' bedoeld, die op de middelbare school met ln wordt genoteerd. In dit geval is dat ook zo. Probeer eens te bedenken hoe je 5^x om kan schrijven in de vorm e^y, dan ben je al een heel eind
Welk calculusboek ben je aan het lezen? Ik vind het altijd wel apart dat calculus in de VS als het summum van de wiskunde wordt gezien, terwijl de ideeën erachter echt heel erg elementair zijn vergeleken met veel andere wiskunde
Ik denk dat het misschien wel beter is als hij iets van discrete wiskunde/grafentheorie/lineaire algebra gaat doen in plaats van calculus.quote:
[..]
Oh joh, ik dacht dat je al aan het studeren was
Bij wiskunde wordt meestal de 'natuurlijke logaritme' bedoeld, die op de middelbare school met ln wordt genoteerd. In dit geval is dat ook zo. Probeer eens te bedenken hoe je 5^x om kan schrijven in de vorm e^y, dan ben je al een heel eind
Welk calculusboek ben je aan het lezen? Ik vind het altijd wel apart dat calculus in de VS als het summum van de wiskunde wordt gezien, terwijl de ideeën erachter echt heel erg elementair zijn vergeleken met veel andere wiskunde
Calculus is veelal het toepassen van een stappenplan, terwijl de dingen die ik net opnoemde misschien wel veel beter zijn om een wiskundetalent te ontkiemen.
Ben nog bezig met het volledig uitdenken, dit is wat ik tot nu toe heb:quote:
Achten zonder te leren haal je door aanleg. Alles daarboven komt door interesse én hard werken.
Verder is WA perfect om dingen te berekenen: http://www.wolframalpha.com/input/?i=5%5E%285i%29
Probeer maar eens uit te leggen dat
Ik heb het gevoel dat ik iets mis. Het meest logische zou zijn dat de rekenregels voor complexe getallen niet hetzelfde zijn als voor de reele getallen.
[ Bericht 3% gewijzigd door netchip op 09-07-2014 21:38:49 ]
de log is een natuurlijk logarithme niet 5log.quote:
[..]
Ben nog bezig met het volledig uitdenken, dit is wat ik tot nu toe heb:. Bij mijn voorbeeld 55i is x is 5.
. Die 5log kan je dan omrekenen door te doen: ln(5)/ln(5).
Ik heb het gevoel dat ik iets mis. Het meest logische zou zijn dat de rekenregels voor complexe getallen niet hetzelfde zijn als voor de reele getallen.
5 log 5 is dus 5 * log 5
Dat laatste is spot-on, maar niet de reden waarom je een fout maakt.quote:
[..]
Ben nog bezig met het volledig uitdenken, dit is wat ik tot nu toe heb:
Ik heb het gevoel dat ik iets mis. Het meest logische zou zijn dat de rekenregels voor complexe getallen niet hetzelfde zijn als voor de reele getallen.
We weten dat
Met dit alles, probeer het eens opnieuw!
[ Bericht 3% gewijzigd door Novermars op 10-07-2014 19:08:21 ]
Was ik achtergekomen.quote:
[..]
de log is een natuurlijk logarithme niet 5log.
5 log 5 is dus 5 * log 5
Echter, als je als grondtal voor het logaritme 5 neemt, dan is 5log(5) = 1. Dat rekende wat makkelijker. Maar het blijkt fout te zijn. Dus nog maar even verder denken.Verder ben je natuurlijk nog (i arg 5) vergeten.quote:
Dus er komen oneindig veel antwoorden uit.
SPOILER
[ Bericht 21% gewijzigd door thabit op 09-07-2014 22:01:48 ]
De principle branch is de enige branch die ertoe doet!quote:
[..]
Verder ben je natuurlijk nog (i arg 5) vergeten.
Dus er komen oneindig veel antwoorden uit.
@Thabit, laat hem zelf even nadenken...
quote:
[..]
Dat laatste is spot-on, maar niet de reden waarom je een fout maakt.
We weten dat, waar
en dat
en dat in de Engelstalige literatuur dat [tex \ln (x) = \log (x)[/tex]
Met dit alles, probeer het eens opnieuw!
Wel jammer dat thabit de oplossing al heeft gepost. Toch ga ik verder zoeken naar nog een manier. Zou je misschien nog een interessante vraag willen posten?
Laat eens je stappen zien, want je doet volgens mij hele vreemde dingen...quote:
[..], tja, en nu?
Wel jammer dat thabit de oplossing al heeft gepost. Toch ga ik verder zoeken naar nog een manier. Zou je misschien nog een interessante vraag willen posten?
En ik wil dat best doen, maar probeer dit eerst maar degelijk te begrijpen.
quote:
[..]
Laat eens je stappen zien, want je doet volgens mij hele vreemde dingen...
En ik wil dat best doen, maar probeer dit eerst maar degelijk te begrijpen.
Ah, daar had ik niet eens aan gedacht. In my defense, je hebt er niks aan om het zo te doen.quote:
[..]. Dan neem ik het natuurlijk logaritme van beide kanten. Als je dan de haakjes wegwerkt kom je op dat uit...
Schrijf
Voordat je kunt begrijpen waaromquote:
Hoe zit het met 'complexe' exponenten? Als je de identiteit van Euler hebt,
eiπ = −1
moet je wel het een en ander weten over complexe getallen en trouwens ook over analyse. Een complex getal z kun je opvatten als een lineaire combinatie van de reële eenheid 1 en de imaginaire eenheid i, dus
z = x·1 + y·i
waarbij x en y scalaire (reële) grootheden zijn. Aangezien x·1 = x schrijft men dit meestal als z = x + yi of als z = x + iy. Omdat een complex getal volledig is bepaald door de coëfficiënten x en y van de reële resp. de imaginaire eenheid en daarmee door het geordende paar reële getallen (x, y) kun je een complex getal z = x + iy op een eenduidige manier weergeven als het punt met coördinaten (x, y) in een vlak voorzien van een cartesisch assenstelsel. We spreken dan ook wel van het complexe vlak.
Als y = 0 dan is z = x·1 + 0·i = x een reëel getal, zodat de x-as dus de 'gewone' reële getallenlijn representeert in het complexe vlak. De x-as heet dan ook de reële as als we werken met een assenstelsel als grafische voorstelling van de complexe getallen. Als x = 0 dan is z = 0·1 + y·i = yi een getal dat men ook wel een 'zuiver imaginair' getal noemt, omdat het complexe getal dan geen reële component heeft. Deze getallen worden uiteraard afgebeeld op de y-as, die daarom de imaginaire as wordt genoemd wanneer we werken met een assenstelsel om complexe getallen grafisch voor te stellen.
Het punt (1, 0) is het beeldpunt van de reële eenheid 1 (omdat 1 = 1·1 + 0·i) en het punt (0, 1) is het beeldpunt van de imaginaire eenheid i (omdat i = 0·1 + 1·i). Als we 1 vermenigvuldigen met i dan krijgen we 1·i = i, zodat we ook kunnen zeggen dat het beeldpunt (1, 0) van het getal 1 door een vermenigvuldiging met i overgaat in het beeldpunt (0, 1) van het getal i. Vermenigvuldigen we i nu weer met i, dan krijgen we i·i = −1 met als beeldpunt het punt (−1, 0) zodat we kunnen zeggen dat het beeldpunt (0, 1) van i door een vermenigvuldiging met i overgaat in het beeldpunt (−1, 0) van het getal −1.
Kennelijk is het dus zo dat vermenigvuldiging met i, zowel van de reële eenheid 1 als van de imaginaire eenheid i, in het complexe vlak overeenkomt met een rotatie om de oorsprong over een rechte hoek tegen de klok in. Dit zie je uitgebeeld in het volgende plaatje:
Omdat vermenigvuldiging met i van zowel de reële eenheid 1 als de imaginaire eenheid i beantwoordt aan een rotatie om de oorsprong over een rechte hoek tegen de klok in, geldt ditzelfde ook voor elke lineaire combinatie z = x·1 + y·i en daarmee dus voor elk complex getal z. Het beeldpunt van het product z·i van een vermenigvuldiging van een willekeurig complex getal z met i ligt dus een kwartslag tegen de klok in om de oorsprong gedraaid ten opzichte van het beeldpunt van z. Nog een plaatje om dit te illustreren:
In dit plaatje is z = 2 + i met als beeldpunt (2, 1). Vermenigvuldiging met i geeft zi = (2 + i)i = 2i + i2 = 2i − 1 = −1 + 2i met als beeldpunt (−1, 2) en je ziet dat dit punt inderdaad een kwartslag tegen de klok in om de oorsprong gedraaid ligt ten opzichte van het beeldpunt (2, 1) van z = 2 + i. En uiteraard kunnen we zi weer met i vermenigvuldigen, en dan krijgen we zi2 = z·(−1) = −z = −2 − i met als beeldpunt (−2, −1). Na vier maal achtereen vermenigvuldigen met i hebben we vier maal een kwartslag tegen de klok in gemaakt zodat we dan weer terug zijn op ons uitgangspunt, en inderdaad is zi4 = z·1 = z.
Het is uiteraard niet toevallig dat vermenigvuldiging met i beantwoordt aan een rotatie om de oorsprong over een rechte hoek tegen de klok in, dat is een eenvoudige consequentie van de rekenregel i2 = −1 en de identificatie van het complexe getal z = x + yi met het punt (x, y) in een vlak voorzien van een cartesisch assenstelsel. Twee getallen die elkaars tegengestelde zijn hebben beeldpunten die diametraal liggen ten opzichte van de oorsprong, zodat je kunt zeggen dat vermenigvuldiging met −1 beantwoordt aan een rotatie over een halve slag rond de oorsprong. En omdat vermenigvuldigen met −1 hetzelfde is als tweemaal achtereen vermenigvuldigen met i beantwoordt eenmaal vermenigvuldigen met i dus aan een rotatie over de helft van een halve slag oftewel een kwartslag rond de oorsprong.
Nu kun je nog opmerken dat het bij een rotatie over een halve slag rond de oorsprong voor het resultaat niet uit maakt of we tegen de klok in of met de klok mee roteren, terwijl dit bij een rotatie over een kwart slag uiteraard wel verschil maakt. Ga zelf na dat vermenigvuldiging met −i beantwoordt aan een rotatie rond de oorsprong over een kwartslag met de klok mee. Twee kwartslagen met de klok mee leveren hetzelfde resultaat op als twee kwartslagen tegen de klok in, en inderdaad heb je (−i)·(−i) = −1 evenals i·i = −1.
Probeer nu eens of je mijn uitleg hier en hier over de formule van Euler enigszins kunt begrijpen.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 09-07-2014 23:17:15 ]
Waarom doet alleen de principal branch ertoe?quote:
[..]
De principle branch is de enige branch die ertoe doet!
@Thabit, laat hem zelf even nadenken...
Lijkt mij dat dat anderen er ook toe doen.
x^2 = 1
doet natuurlijk niet alleen x = 1 ertoe.
Jouw uitleg snap ik opzich wel, maar ik heb geen idee wat een parametervoorstelling is... Verder weet ik vaag wat de eenheidscirkel is, de definitie van de sinus en cosinus in de eenheidscirkel ken ik echter niet.quote:
[..]
Voordat je kunt begrijpen waarom
eiπ = −1
moet je wel het een en ander weten over complexe getallen en trouwens ook over analyse. Een complex getal z kun je opvatten als een lineaire combinatie van de reële eenheid 1 en de imaginaire eenheid i, dus
z = x·1 + y·i
waarbij x en y scalaire (reële) grootheden zijn. Aangezien x·1 = x schrijft men dit meestal als z = x + yi of als z = x + iy. Omdat een complex getal volledig is bepaald door de coëfficiënten x en y van de reële resp. de imaginaire eenheid en daarmee door het geordende paar reële getallen (x, y) kun je een complex getal z = x + iy op een eenduidige manier weergeven als het punt met coördinaten (x, y) in een vlak voorzien van een cartesisch assenstelsel. We spreken dan ook wel van het complexe vlak.
Als y = 0 dan is z = x·1 + 0·i = x een reëel getal, zodat de x-as dus de 'gewone' reële getallenlijn representeert in het complexe vlak. De x-as heet dan ook de reële as als we werken met een assenstelsel als grafische voorstelling van de complexe getallen. Als x = 0 dan is z = 0·1 + y·i = yi een getal dat men ook wel een 'zuiver imaginair' getal noemt, omdat het complexe getal dan geen reële component heeft. Deze getallen worden uiteraard afgebeeld op de y-as, die daarom de imaginaire as wordt genoemd wanneer we werken met een assenstelsel om complexe getallen grafisch voor te stellen.
Het punt (1, 0) is het beeldpunt van de reële eenheid 1 (omdat 1 = 1·1 + 0·i) en het punt (0, 1) is het beeldpunt van de imaginaire eenheid i (omdat i = 0·1 + 1·i). Als we 1 vermenigvuldigen met i dan krijgen we 1·i = i, zodat we ook kunnen zeggen dat het beeldpunt (1, 0) van het getal 1 door een vermenigvuldiging met i overgaat in het beeldpunt (0, 1) van het getal i. Vermenigvuldigen we i nu weer met i, dan krijgen we i·i = −1 met als beeldpunt het punt (−1, 0) zodat we kunnen zeggen dat het beeldpunt (0, 1) van i door een vermenigvuldiging met i overgaat in het beeldpunt (−1, 0) van het getal −1.
Kennelijk is het dus zo dat vermenigvuldiging met i, zowel van de reële eenheid 1 als van de imaginaire eenheid i, in het complexe vlak overeenkomt met een rotatie om de oorsprong over een rechte hoek tegen de klok in. Dit zie je uitgebeeld in het volgende plaatje:
[ afbeelding ]
Omdat vermenigvuldiging met i van zowel de reële eenheid 1 als de imaginaire eenheid i beantwoordt aan een rotatie om de oorsprong over een rechte hoek tegen de klok in, geldt ditzelfde ook voor elke lineaire combinatie z = x·1 + y·i en daarmee dus voor elk complex getal z. Het beeldpunt van het product z·i van een vermenigvuldiging van een willekeurig complex getal z met i ligt dus een kwartslag tegen de klok in om de oorsprong gedraaid ten opzichte van het beeldpunt van z. Nog een plaatje om dit te illustreren:
[ afbeelding ]
In dit plaatje is z = 2 + i met als beeldpunt (2, 1). Vermenigvuldiging met i geeft zi = (2 + i)i = 2i + i2 = 2i − 1 = −1 + 2i met als beeldpunt (−1, 2) en je ziet dat dit punt inderdaad een kwartslag tegen de klok in om de oorsprong gedraaid ligt ten opzichte van het beeldpunt (2, 1) van z = 2 + i. En uiteraard kunnen we zi weer met i vermenigvuldigen, en dan krijgen we zi2 = z·(−1) = −z = −2 − i met als beeldpunt (−2, −1). Na vier maal achtereen vermenigvuldigen met i hebben we vier maal een kwartslag tegen de klok in gemaakt zodat we dan weer terug zijn op ons uitgangspunt, en inderdaad is zi4 = z·1 = z.
Het is uiteraard niet toevallig dat vermenigvuldiging met i beantwoordt aan een rotatie om de oorsprong over een rechte hoek tegen de klok in, dat is een eenvoudige consequentie van de rekenregel i2 = −1 en de identificatie van het complexe getal z = x + yi met het punt (x, y) in een vlak voorzien van een cartesisch assenstelsel. Twee getallen die elkaars tegengestelde zijn hebben beeldpunten die diametraal liggen ten opzichte van de oorsprong, zodat je kunt zeggen dat vermenigvuldiging met −1 beantwoordt aan een rotatie over een halve slag rond de oorsprong. En omdat vermenigvuldigen met −1 hetzelfde is als tweemaal achtereen vermenigvuldigen met i beantwoordt eenmaal vermenigvuldigen met i dus aan een rotatie over de helft van een halve slag oftewel een kwartslag rond de oorsprong.
Nu kun je nog opmerken dat het bij een rotatie over een halve slag rond de oorsprong voor het resultaat niet uit maakt of we tegen de klok in of met de klok mee roteren, terwijl dit bij een rotatie over een kwart slag uiteraard wel verschil maakt. Ga zelf na dat vermenigvuldiging met −i beantwoordt aan een rotatie rond de oorsprong over een kwartslag met de klok mee. Twee kwartslagen met de klok mee leveren hetzelfde resultaat op als twee kwartslagen tegen de klok in, en inderdaad heb je (−i)·(−i) = −1 evenals i·i = −1.
Probeer nu eens of je mijn uitleg hier en hier over de formule van Euler enigszins kunt begrijpen.
Dit zijn perfect dingen die je zelf kan googelen.quote:
[..]
Jouw uitleg snap ik opzich wel, maar ik heb geen idee wat een parametervoorstelling is... Verder weet ik vaag wat de eenheidscirkel is, de definitie van de sinus en cosinus in de eenheidscirkel ken ik echter niet.
Was maar een grapje om mijn falen te maskeren!quote:
[..]
Waarom doet alleen de principal branch ertoe?
Lijkt mij dat dat anderen er ook toe doen.
x^2 = 1
doet natuurlijk niet alleen x = 1 ertoe.
Heb ik gedaan. Concrete definities vinden is moeilijk.quote:
[..]
Dit zijn perfect dingen die je zelf kan googelen.
Ook al in het Engels geprobeerd?quote:
[..]
Heb ik gedaan. Concrete definities vinden is moeilijk.
Had ik nog niet gedaan. Nu wel, wat is de Nederlandse Wikipedia toch goedkoop bij de Engelse versie.quote:
Als Nederlanders Engels kunnen, waarom dan een aparte wiki?quote:
[..]
Had ik nog niet gedaan. Nu wel, wat is de Nederlandse Wikipedia toch goedkoop bij de Engelse versie.
We zijn toch geen Duitsers die alles inspreken in Duits.
Hetzelfde met studieboeken, waarom zou iemand die in het Nederlands gaan schrijven als je een veel groter Engelstalig publiek hebt.
Je weet dat je in een plat vlak voorzien van een cartesisch coördinatenstelsel rechte lijnen en curves kunt representeren door vergelijkingen in de variabelen x en y. Als je bijvoorbeeld gaat kijken naar de verzameling van alle punten waarvan de coördinaten (x, y) voldoen aan 2x + 3y = 7 dan vind je dat al deze punten op een rechte lijn liggen die door de punten (2, 1) en (5, −1) gaat. Daarom heet een vergelijking als deze ook een lineaire vergelijking in x en y (linea betekent 'lijn'). Maar je hebt uiteraard ook allerlei andere vergelijkingen in x en y. Als je bijvoorbeeld de vergelijking x² − y + 1 = 0 neemt en je gaat dan kijken naar alle punten waarvan de coördinaten (x, y) voldoen aan deze betrekking, dan vind je dat al deze punten een parabool vormen met een verticale symmetrie-as en met als top het punt (0, 1).quote:
[..]
Jouw uitleg snap ik opzich wel, maar ik heb geen idee wat een parametervoorstelling is... Verder weet ik vaag wat de eenheidscirkel is, de definitie van de sinus en cosinus in de eenheidscirkel ken ik echter niet.
Nu zie je dat we hier steeds één vergelijking hebben in de variabelen x en y, maar het is ook vaak handig om twee afzonderlijke vergelijkingen te hebben, namelijk eentje waarmee we de x-coördinaat van een punt op de curve of lijn direct uit kunnen rekenen en een tweede vergelijking waarmee we de bijbehorende y-coördinaat van hetzelfde punt op de curve of lijn direct uit kunnen rekenen. Maar dan hebben we wel een derde variabele nodig waar we x en y in uit kunnen drukken. Zo'n hulpvariabele noemen we een parameter en het samenstel van de twee vergelijkingen die ons vertellen hoe x en y elk afhangen van deze parameter noemen we dan een parametervoorstelling van de curve of lijn.
Het is gangbaar om voor de parameter de letter t te gebruiken, onder meer omdat in de fysica de letter t vaak wordt gebruikt om tijd aan te geven. Zo kun je dan de baan die een bewegend punt in een plat vlak aflegt beschrijven doordat je voor elk tijdstip t de coördinaten (x, y) van het punt op dat moment kunt bepalen aan de hand van een parametervoorstelling.
Een parametervoorstelling van de rechte lijn met vergelijking 2x + 3y = 7 is bijvoorbeeld
x = −3t + 2
y = 2t + 1
Als we hier t = 0 invullen, dan krijgen we x = 2 en y = 1, zodat we het punt (2, 1) op de lijn vinden. En als we hier t = −1 invullen dan krijgen we x = 5 en y = −1 zodat we het punt (5, −1) op de lijn vinden.
Een parametervoorstelling van een lijn of curve is nooit uniek, want we kunnen oneindig veel andere parametervoorstellingen bedenken die toch exact dezelfde curve of lijn opleveren. Je zou dezelfde lijn bijvoorbeeld ook weer kunnen geven door de parametervoorstelling
x = 3t + 5
y = −2t − 1
Nu zie je dat de waarde t = 0 van de parameter het punt (5, −1) geeft terwijl de waarde t = −1 het punt (2, 1) oplevert.
Uit een parametervoorstelling van een lijn of curve kun je vaak weer een vergelijking in x en y van de betreffende kromme of lijn verkrijgen. Dat lukt wanneer je erin slaagt om de parameter t uit het stelsel te elimineren. Bij een lineair stelsel zoals in dit voorbeeld is dit heel eenvoudig. Laten we uitgaan van de tweede parametervoorstelling. Als we beide leden van de eerste vergelijking voor x vermenigvuldigen met 2 en we vermenigvuldigen beide leden van de tweede vergelijking voor y met 3, dan krijgen we
2x = 6t + 10
3y = −6t − 3
Tellen we de leden van deze beide vergelijkingen nu bij elkaar op, dan krijgen we
2x + 3y = 6t + 10 − 6t − 3
en dus
2x + 3y = 7
en dat is inderdaad de vergelijking in x en y waar we mee begonnen.
Voor de parabool met als vergelijking x² − y + 1 = 0 zou je eenvoudig x = t kunnen nemen, en als je dit invult in de vergelijking krijg je t² − y + 1 = 0 en dus y = t2 + 1. Een parametervoorstelling van deze parabool is dus
x = t
y = t² + 1
Oefening: bedenk zelf nog een paar andere parametervoorstellingen voor deze zelfde parabool.
Dan de goniometrie. Een goed begrip van de definities van de sinus- en de cosinusfunctie aan de hand van de eenheidscirkel is absoluut onmisbaar als je je met complexe getallen bezig wil gaan houden. Je hebt al gezien dat een vermenigvuldiging met i in het complexe vlak beantwoordt aan een rotatie om de oorsprong over een rechte hoek in tegenwijzerzin. Welnu, het blijkt dat elke vermenigvuldiging met een complex getal ongelijk nul in het complexe vlak beantwoordt aan een draaistrekking, dat is een samenstelling van een rotatie rond de oorsprong en een meetkundige vermenigvuldiging (schaling) ten opzichte van de oorsprong. Daarom is het fundamenteel dat je begrijpt hoe je een complex getal
z = x + iy
omzet in de zogeheten goniometrische of polaire vorm
z = r(cos φ + i·sin φ)
Bestudeer nu eerst deze uitleg van mij over de definitie van de sinus- en de cosinusfunctie aan de hand van de eenheidscirkel.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 12-07-2014 22:24:28 ]
Keer dit argument eens om. Waarom denk je dat Duitsers en bijvoorbeeld ook Fransen een eigen Wikipedia hebben als die volgens jou ook genoegen zouden kunnen nemen met de Engelse Wikipedia? Dat is echt geen kwestie van het niet beheersen van de Engelse taal. Aan universiteiten in Duitsland of Frankrijk hoef je niet aan te komen met leerboeken of dictaten in het Engels, ook niet voor wat meer gevorderde onderwerpen, dat zouden zowel de studenten als de hoogleraren niet pikken, en terecht.quote:
[..]
Als Nederlanders Engels kunnen, waarom dan een aparte wiki?
We zijn toch geen Duitsers die alles inspreken in Duits.
Het kleine Nederlandse taalgebied is inderdaad een probleem, vooral voor uitgevers die onvoldoende afzetmogelijkheden zien. Maar dat is vanuit het oogpunt van goed onderwijs een oneigenlijk argument en daarmee nog geen rechtvaardiging om de handdoek dan maar in de ring te werpen en te buigen voor Amerikaans (niet Engels) cultuurimperialisme.quote:Hetzelfde met studieboeken, waarom zou iemand die in het Nederlands gaan schrijven als je een veel groter Engelstalig publiek hebt?
Om te beginnen beheersen veel studenten (en hoogleraren!) het Engels veel minder goed dan ze zelf menen, en dat heeft een nefaste invloed op de kennisoverdracht alsmede op de kwaliteit van het geproduceerde lesmateriaal, voor zover er niet van bestaand Engelstalig (doorgaans Amerikaans) materiaal gebruik wordt gemaakt.
Daarnaast dreigt door de obsessie met het Engels een voornamelijk Amerikaanse monocultuur te ontstaan, en dat is ook voor een vak als wiskunde een slechte zaak. Ik zie heel vaak artikelen van Amerikaanse wiskundigen waarin (met name op historisch vlak) onjuiste beweringen worden gedaan of waaruit blijkt dat de auteur belangrijke literatuur over zijn of haar onderwerp niet kent. Dat komt doordat de meeste Amerikaanse wiskundigen kennelijk al lang niet meer in staat zijn vakliteratuur in het Duits en Frans te lezen, laat staan dat ze nog in staat zouden zijn een artikel van bijvoorbeeld Euler of Gauss in het Latijn te lezen (en nee, bij lange na niet alle geschriften uit het gigantische œuvre van Euler zijn vertaald).
Zo'n oefening:quote:
[..]
Je weet dat je in een plat vlak voorzien van een cartesisch coördinatenstelsel rechte lijnen en curves kunt representeren door vergelijkingen in de variabelen x en y. Als je bijvoorbeeld gaat kijken naar de verzameling van alle punten waarvan de coördinaten (x, y) voldoen aan 2x + 3y = 7 dan vind je dat al deze punten op een rechte lijn liggen die door de punten (2, 1) en (5, −1) gaat. Daarom heet een vergelijking als deze ook een lineaire vergelijking in x en y (linea betetekent 'lijn'). Maar je hebt uiteraard ook allerlei andere vergelijkingen in x en y. Als je bijvoorbeeld de vergelijking x² − y + 1 = 0 neemt en je gaat dan kijken naar alle punten waarvan de coördinaten (x, y) voldoen aan deze betrekking, dan vind je dat al deze punten een parabool vormen met een verticale symmetrie-as en met als top het punt (0, 1).
Nu zie je dat we hier steeds één vergelijking hebben in de variabelen x en y, maar het is ook vaak handig om twee afzonderlijke vergelijkingen te hebben, namelijk eentje waarmee we de x-coördinaat van een punt op de curve of lijn direct uit kunnen rekenen en een tweede vergelijking waarmee we de bijbehorende y-coördinaat van hetzelfde punt op de curve of lijn direct uit kunnen rekenen. Maar dan hebben we wel een derde variabele nodig waar we x en y in uit kunnen drukken. Zo'n hulpvariabele noemen we een parameter en het samenstel van de twee vergelijkingen die ons vertellen hoe x en y elk afhangen van deze parameter noemen we dan een parametervoorstelling van de curve of lijn.
Het is gebruikelijk om voor de parameter de letter t te gebruiken, onder meer omdat in de fysica de letter t vaak wordt gebruikt om tijd aan te geven. Zo kun je dan de baan die een bewegend punt in een plat vlak aflegt beschrijven doordat je voor elk tijdstip t de coördinaten (x, y) van het punt op dat moment kunt bepalen aan de hand van een parametervoorstelling.
Een parametervoorstelling van de rechte lijn met vergelijking 2x + 3y = 7 is bijvoorbeeld
x = −3t + 2
y = 2t + 1
Als we hier t = 0 invullen, dan krijgen we x = 2 en y = 1, zodat we het punt (2, 1) op de lijn vinden. En als we hier t = −1 invullen dan krijgen we x = 5 en y = −1 zodat we het punt (5, −1) op de lijn vinden.
Een parametervoorstelling van een lijn of curve is nooit uniek, want we kunnen oneindig veel andere parametervoorstellingen bedenken die toch exact dezelfde curve of lijn opleveren. Je zou dezelfde lijn bijvoorbeeld ook weer kunnen geven door de parametervoorstelling
x = 3t + 5
y = −2t −1
Nu zie je dat de waarde t = 0 van de parameter het punt (5, −1) geeft terwijl de waarde t = −1 het punt (2, 1) oplevert.
Uit een parametervoorstelling van een lijn of curve kun je vaak weer een vergelijking in x en y van de betreffende kromme of lijn verkrijgen. Dat lukt wanneer je er in slaagt om de parameter t uit het stelsel te elimineren. Bij een lineair stelsel zoals in dit voorbeeld is dit heel eenvoudig. Laten we uitgaan van de tweede parametervoorstelling. Als we beide leden van de eerste vergelijking voor x vermenigvuldigen met 2 en we vermenigvuldigen beide leden van de tweede vergelijking voor y met 3, dan krijgen we
2x = 6t + 10
3y = −6t −3
Tellen we de leden van deze beide vergelijkingen nu bij elkaar op, dan krijgen we
2x + 3y = 6t + 10 − 6t − 3
en dus
2x + 3y = 7
en dat is inderdaad de vergelijking in x en y waar we mee begonnen.
Voor de parabool met als vergelijking x² − y + 1 = 0 zou je eenvoudig x = t kunnen nemen, en als je dit invult in de vergelijking krijg je t² − y + 1 = 0 en dus y = t2 + 1. Een parametervoorstelling van deze parabool is dus
x = t
y = t² + 1
Oefening: bedenk zelf nog een paar andere parametervoorstellingen voor deze zelfde parabool.
Dan de goniometrie. Een goed begrip van de definities van de sinus- en cosinusfunctie aan de hand van de eenheidscirkel is absoluut onmisbaar als je je met complexe getallen bezig wil gaan houden. Je hebt al gezien dat een vermenigvuldiging met i in het complexe vlak beantwoordt aan een rotatie om de oorsprong over een rechte hoek in tegenwijzerzin. Welnu, het blijkt dat elke vermenigvuldiging met een complex getal ongelijk nul in het complexe vlak beantwoordt aan een draaistrekking, dat is een samenstelling van een rotatie rond de oorsprong en een meetkundige vermenigvuldiging (schaling) ten opzichte van de oorsprong. Daarom is het fundamenteel dat je begrijpt hoe je een complex getal
z = x + iy
omzet in de zogeheten goniometrische vorm
z = r(cos φ + i·sin φ)
Bestudeer nu eerst deze uitleg van mij over de definitie van de sinus- en de cosinusfuncties aan de hand van de eenheidscirkel.
Ik heb gedaan x2-y = -1. Daaruit heb ik opgesteld: x2 = 4t2-4 en -y = -4t2+3. Een parameterstelling is f(t) = x+y dus,
[ Bericht 0% gewijzigd door netchip op 10-07-2014 20:48:02 ]
Dit is niet dezelfde curve, want een vierkantswortel is niet negatief, zodat x hier geen negatieve waarden aan kan nemen. Je krijgt hiermee dan ook slechts een 'halve' parabool, kijk maar.quote:
[..]
Zo'n oefening:
Ik heb gedaan x2-y = -1. Daaruit heb ik opgesteld: x2 = 4t2-4 en -y = -4t2+3. Een parameterstelling is f(t) = x+y dus,en
. Is dit een van het oneindig aantal functies?
Stel dat ik dan zou definieren: f(t) = x2 - y. Met x2 = 4t2-4 en y = 4t2 - 3, zou het dan kloppen? (WolframAlpha geeft geen grafiek hierbij)quote:
[..]
Dit is niet dezelfde curve, want een vierkantswortel is niet negatief, zodat x hier geen negatieve waarden aan kan nemen. Je krijgt hiermee dan ook slechts een 'halve' parabool, kijk maar.
Riparius had die al gegeven.quote:
Je maakt het veel te moeilijk voor je zelf. Je wilt de PV van. Stel nu
en dan rolt er automatisch
uit. Wat dus je PV is.
Oh, nvm dan.quote:
Complexe machten van complexe getallen zijn lastiger dan je zo op het eerste gezicht zou denken. Voor a ∈ R+ en p ∈ R heb je ap = exp(log(ap)) = exp(p·log(a)) en je kunt je hierop baseren om voor a,p ∈ C, a ≠ 0 te definiërenquote:
[..]
Was maar een grapje om mijn falen te maskeren!
ap := exp(p·log(a))
Nu is w = exp(z) in C periodiek met een periode 2πi, zodat omgekeerd log(w) = z niet eenduidig is, de (natuurlijke) logaritme van een complex getal w ≠ 0 is slechts bepaald tot op een geheel veelvoud van 2πi. De consequentie hiervan is dat conform bovenstaande definitie ap in C eenduidig is dan en slechts dan als p ∈ Z. Als p ∈ Q\Z, zeg p = m/n met m en n geheel en onderling ondeelbaar en m ≠ 0, n > 1, dan heeft ap precies n verschillende waarden in C. In alle overige gevallen heeft ap oneindig veel waarden in C.
Dit betekent dat de notatie ez in wezen ook niet eenduidig is binnen C, tenzij z ∈ Z. Maar in de praktijk beschouwt men ez meestal als een alternatieve notatie voor exp(z) waardoor ez dus wel eenduidig wordt voor elke z ∈ C terwijl az voor elke andere a ∈ C\{0} meerduidig blijft tenzij z ∈ Z.
De bekende rekenregels ap·aq = ap+q en (ap)q = apq die gelden voor a ∈ R+ en p,q ∈ R gelden in het algemeen niet in C, ook niet als we ons beperken tot één (hoofd)waarde (principal branch) van de complexe logaritme. Als je hier geen rekening mee houdt en er evenmin rekening mee houdt dat de notatie ez in het algemeen staat voor exp(z) dan kan dit aanleiding geven tot opmerkelijke paradoxen. Heel bekend in dit verband is de paradox van Clausen, gepubliceerd in 1827 (link naar originele publicatie). In een enigszins gemoderniseerde vorm luidt deze paradox als volgt.
Je weet dat voor elke k ∈ Z geldt e2kπi = 1 en dus ook
e1+2kπi = e
En dus zouden we moeten hebben:
(e1+2kπi)1+2kπi = e1+2kπi
oftewel
e-4k²π²∙e1+4kπi = e
Nu is e1+4kπi = e, en dus zou moeten gelden
e-4k²π² = 1
maar dit is pertinent onjuist voor k ≠ 0.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 11-07-2014 20:42:45 ]
Je maakt het veel te moeilijk voor jezelf. Denk eens aan een lineaire substitutie. Als je in de parametervoorstelling x = t, y = t² + 1 de t vervangt door, zeg, (t+1) of door pakweg (2t−3), dan heb je al een andere parametervoorstelling van precies dezelfde parabool.quote:
Mag ik de kroon van te moeilijk denken?quote:
[..]
Je maakt het veel te moeilijk voor jezelf. Denk eens aan een lineaire substitutie. Als je in de parametervoorstelling x = t, y = t² + 1 de t vervangt door, zeg, (t+1) of door pakweg (2t−3), dan heb je al een andere parametervoorstelling van precies dezelfde parabool.
Huh? (x+5)^2 is toch ook niet hetzelfde als x^2? Ik volg het niet helemaal meer...quote:
[..]
Je maakt het veel te moeilijk voor jezelf. Denk eens aan een lineaire substitutie. Als je in de parametervoorstelling x = t, y = t² + 1 de t vervangt door, zeg, (t+1) of door pakweg (2t−3), dan heb je al een andere parametervoorstelling van precies dezelfde parabool.
Dat is een mooie inderdaad.quote:
[..]
Mag ik de kroon van te moeilijk denken?
Probeer het gewoon uit. Laten we t vervangen door (t+1), dan krijgen wequote:
[..]
Huh? (x+5)^2 is toch ook niet hetzelfde als x^2? Ik volg het niet helemaal meer...
x = t+1
y = (t+1)² + 1
Nu geldt nog steeds y = x² + 1, dus dit is echt dezelfde parabool.
Vergelijk het maar met een soort meetlint dat je precies langs een curve drapeert. Het maakt niet uit of het meetlint nu een onderverdeling heeft in centimeters of in inches, de curve waar je het lint langs drapeert blijft precies hetzelfde, ook al hoort er bij elk punt op de curve nu een ander getalletje op het lint. En: als je het lint verschuift langs de curve dan veranderen de getalletjes van het lint bij elk punt op de curve ook, maar aan de curve zelf verandert niets.
Duurde alleen veel te lang voordat ik er op kwam. Waren nooit mijn favoriete dingen, PV'squote:
Waarom niet? Kun je leuke dingen mee doen. Oefeningetje (vooral voor Netchip):quote:
[..]
Duurde alleen veel te lang voordat ik er op kwam. Waren nooit mijn favoriete dingen, PV's
Gegeven is een kromme met als parametervoorstelling
x = 2·sin t
y = sin 2t
Bepaal een cartesische vergelijking van deze kromme.
Oh, ik dacht dat alle punten ook 1:1 overeen moesten komen. De vorm blijft wel hetzelfde, inderdaad.quote:
[..]
Probeer het gewoon uit. Laten we t vervangen door (t+1), dan krijgen we
x = t+1
y = (t+1)² + 1
Nu geldt nog steeds y = x² + 1, dus dit is echt dezelfde parabool.
Vergelijk het maar met een soort meetlint dat je precies langs een curve drapeert. Het maakt niet uit of het meetlint nu een onderverdeling heeft in centimeters of in inches, de curve waar je het lint langs drapeert blijft precies hetzelfde, ook al hoort er bij elk punt op de curve nu een ander getalletje op het lint. En: als je het lint verschuift langs de curve dan veranderen de getalletjes van het lint bij elk punt op de curve ook, maar aan de curve zelf verandert niets.
Ben nu bezig met je oefening. Ik heb nu x + y = sin(t) (2 + 2cos(t)). Hoe kan ik t 'elimineren'?
[ Bericht 2% gewijzigd door netchip op 10-07-2014 23:13:41 ]
[ Bericht 24% gewijzigd door GeorgeArArMartin op 12-07-2014 10:11:30 ]
Niet honderd procent. Je mist een constant van integratie.quote:
Als f(x)-g(x)=s(x), klopt het dan om te zeggen dat S(x)= F(x)-G(x); waarbij S'(x) = s(x), F'(x)= f(x) en G'(x) = g(x)
Ik heb je een PM gestuurd.quote:
[..]
Niet honderd procent. Je mist een constant van integratie.
(Geen DM!)Ik ben ook verder gegaan met het probleem dat je me had gegeven.quote:
[..]
Niet honderd procent. Je mist een constant van integratie.
[ Bericht 1% gewijzigd door netchip op 12-07-2014 15:29:07 ]
Dus S(x) = F(x) - G(x) + C? Kun je me misschien verwijzen naar de naam van dit bewijs of de opzet ervan?quote:
[..]
Niet honderd procent. Je mist een constant van integratie.
Een primitieve van een gegeven functie is altijd slechts bepaald tot op een constante. Dit is een eenvoudig gevolg van het feit dat de afgeleide van een constante functie identiek gelijk is aan nul.quote:
[..]
Dus S(x) = F(x) - G(x) + C? Kun je me misschien verwijzen naar de naam van dit bewijs of de opzet ervan?
Immers, zij F(x) een primitieve van f(x), dus F'(x) = f(x), dan is G(x) = F(x) + C met een willekeurige constante C eveneens een primitieve van f, want de afgeleide van G(x) is dan G'(x) = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x). Je kunt dus in het algemeen ook niet spreken van de primitieve van een gegeven functie f(x) maar wel van een primitieve van die functie.
Fundamentele stelling van calculus met C_f + C_g = Cquote:
[..]
Dus S(x) = F(x) - G(x) + C? Kun je me misschien verwijzen naar de naam van dit bewijs of de opzet ervan?
En wat Riparius zegt natuurlijk.
Oké! Bedankt, zo had ik het nog niet bekeken.quote:
[..]
Een primitieve van een gegeven functie is altijd slechts bepaald tot op een constante. Dit is een eenvoudig gevolg van het feit dat de afgeleide van een constante functie identiek gelijk is aan nul.
Immers, zij F(x) een primitieve van f(x), dus F'(x) = f(x), dan is G(x) = F(x) + C met een willekeurige constante C eveneens een primitieve van f, want de afgeleide van G(x) is dan G'(x) = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x). Je kunt dus in het algemeen ook niet spreken van de primitieve van een gegeven functie f(x) maar wel van een primitieve van die functie.
Ik snap even niet wat je met de lage streep bedoelt, hoort dat een minteken of subscript te zijn?quote:
[..]
Fundamentele stelling van calculus met C_f + C_g = C
En wat Riparius zegt natuurlijk.
Subscript.quote:
[..]
Oké! Bedankt, zo had ik het nog niet bekeken.
[..]
Ik snap even niet wat je met de lage streep bedoelt, hoort dat een minteken of subscript te zijn?
Rudin 2.2: A complex number z is said to be algebraic if there integers a_0,...,a_n, not all zero, such that
Prove that the set of all algebraic numbers is countable.
Dan wordt er een hint gegeven die de vraag erg makkelijk maakt: Hint: For every positive integer N there are only finitely many equations with
De vraag beantwoorden met de hint was zoals ik al zei vrij makkelijk, aangezien de vereniging van eindige verzameling hoogstens aftelbaar is en je concludeert omdat elk rationeel getal algebraïsch dat de verzameling van algebraïsche getallen aftelbaar is.
Maar wat is de gedachtegang achter deze hint? Met andere woorden, hoe was ik zelf bij deze hint uitgekomen?
En dan de tweede vraag: Construct a bounded set of real numbers with exactly three limit points.
Definitie van een limit point: A point p is a limit point of the set E (of a metric space X) if every neighbourhood of p contans a point q not equal to p such that q is in E.
Constructie vragen ben ik altijd erg slecht in :/
[ Bericht 0% gewijzigd door Novermars op 13-07-2014 13:52:17 ]
Waarom dit zo is, ben ik nog niet helemaal over uit...quote:
[..]
Ik ben ook verder gegaan met het probleem dat je me had gegeven.
OHHHH, er staat nu 55i = cos(5log(5)) + i*sin(5log(5))
Ik ben erover uit, geloof ik.
Je hebt 55i = exp(5i·log(5)), maar bedenk dat log(5) in C slechts bepaald is tot op een geheel veelvoud van 2πi, zodat exp(5i·log(5)) oneindig veel waarden heeft. Als je de reële natuurlijke logaritme van 5 noteert als ln(5), dan isquote:
[..]
Waarom dit zo is, ben ik nog niet helemaal over uit...
OHHHH, er staat nu 55i = cos(5log(5)) + i*sin(5log(5))
Ik ben erover uit, geloof ik.
log(5) = ln(5) + 2kπi, k ∈ Z
en dus
55i = exp(5i·log(5)) = exp(5i·(ln(5) + 2kπi)) = exp(−10kπ)·exp(5i·ln(5)) = exp(−10kπ)·(cos(5·ln(5)) + i·sin(5·ln(5))), k ∈ Z.
Dit zegt mij niet erg veel.quote:
[..]
Je hebt 55i = exp(5i·log(5)), maar bedenk dat log(5) in C slechts bepaald is tot op een geheel veelvoud van 2πi, zodat exp(5i·log(5)) oneindig veel waarden heeft. Als je de reële natuurlijke logaritme van 5 noteert als ln(5), dan is
log(5) = ln(5) + 2kπi, k ∈ Z
en dus
55i = exp(5i·log(5)) = exp(5i·(ln(5) + 2kπi)) = exp(−10kπ)·exp(5i·ln(5)) = exp(−10kπ)·(cos(5·ln(5)) + i·sin(5·ln(5))), k ∈ Z.
Ik zal er een nachtje overslapen.Leuk dat je er tijd insteekt om mij iets te leren over complexe getallen, Riparius.
Ik merk dat ik nu nieuwe inzichten heb, jij vertelde dat een vermenigvuldiging met i een rotatie van 90 graden tegen de klok in betekent. Erg leuk (voor mij) om die kennis dan ook te gebruiken, omdat ik nu weet wat een vermigvuldiging met i inhoudt. Het kwartje met de parametervoorstellingen is nu ook gevallen. Het principe is mij duidelijk.
Het is eigenlijk een redelijk abstract principe als je gewend bent dat y een functie van x is.zodat exp(5i·log(5)) oneindig veel waarden heeft [in C]. Dat is het belangrijkste om te onthouden. De details zijn (nu) nog niet belangrijk voor je.quote:
[..]
Dit zegt mij niet erg veel.
Leuk dat je er tijd insteekt om mij iets te leren over complexe getallen, Riparius.
Het kwartje met de parametervoorstellingen is nu ook gevallen. Het principe is mij duidelijk.
Ik denk dat ik 'm snap. Die 2k*pi is mogelijk omdat de sinus en cosinus periodiek zijn met 2k*pi... En k zit in de collectie Z, die reikt van -oneindig naar +oneindig, right? Dan zijn er inderdaad oneindig veel waardes...quote:
[..]
zodat exp(5i·log(5)) oneindig veel waarden heeft [in C]. Dat is het belangrijkste om te onthouden. De details zijn (nu) nog niet belangrijk voor je.
Of heb ik dit verkeerd beredeneerd?