[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

Moet het echt met de definitie? Zoja, dan heb ik medelijden met je...

Kettingregel, f(x) = g ( h(x) ), dan f'(x) = g' ( h(x) ) * h'(x)

quote:

Op maandag 23 juni 2014 21:12 schreef Novermars het volgende:
Moet het echt met de definitie? Zoja, dan heb ik medelijden met je...

Is er een andere manier?

quote:

Op maandag 23 juni 2014 21:12 schreef Janneke141 het volgende:
Kettingregel, f(x) = g ( h(x) ), dan f'(x) = g' ( h(x) ) * h'(x)

Sla ik dan niet een aantal stappen over? Want ik heb nu het idee dat (sin(dx²+dx))/dx en (1-cos(dx²+dx)/dx naar iets neigen als het limiet dx 0 nadert... Of bedoel je dat ik de ''limiettermen'' als h(x) moet benoemen en dan de kettingregel moet toepassen? Dan behoud ik de limieten toch wel lijkt me?

quote:

Op maandag 23 juni 2014 21:12 schreef GeorgeArArMartin het volgende:

[..]

Is er een andere manier?

Zoals hierboven gezegd is: Kettingregel.

Verder nog over je notatie: Zeggen dat is overbodig, dat gebeurt altijd.

Wat is je niveau eigenlijk? Dat is ook altijd handig om te weten.

quote:

Op maandag 23 juni 2014 21:16 schreef GeorgeArArMartin het volgende:

[..]

Sla ik dan niet een aantal stappen over? Want ik heb nu het idee dat (sin(dx²+dx))/dx en (1-cos(dx²+dx)/dx naar iets neigen als het limiet dx 0 nadert... Of bedoel je dat ik de ''limiettermen'' als h(x) moet benoemen en dan de kettingregel moet toepassen? Dan behoud ik de limieten toch wel lijkt me?

Hangt ervan af wat de opdracht is. Iedere 5-VWO'er gebruikt hier de kettingregel voor, maar als je in een theoretisch hoofdstuk over definities van differentieerbaarheid zit dan wordt er misschien wat anders van je verwacht.

VWO lees ik, dus gewoon de kettingregel gebruiken. Zie mijn eerdere post, waarbij g(x) = sin x en h(x) = x²+x

quote:

Op maandag 23 juni 2014 21:17 schreef Novermars het volgende:

[..]

Zoals hierboven gezegd is: Kettingregel.

Verder nog over je notatie: Zeggen dat is overbodig, dat gebeurt altijd.

Wat is je niveau eigenlijk? Dat is ook altijd handig om te weten.

Oh, bedankt!

Vwo, volgend jaar moet ik Wiskunde D voor het eerst volgen.

Sorry dat ik nogal traag overkom, het is dat ik dit nog nooit gehad heb... Afgelopen jaar heb ik alleen wiskunde B gehad en daar kwamen dit soort dingen zo goed als niet voor. Ik heb momenteel ook geen docent aan wie ik vragen kan stellen.

quote:

Op maandag 23 juni 2014 21:19 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Hangt ervan af wat de opdracht is. Iedere 5-VWO'er gebruikt hier de kettingregel voor, maar als je in een theoretisch hoofdstuk over definities van differentieerbaarheid zit dan wordt er misschien wat anders van je verwacht.

In het voorbeeld wordt de afgeleide van sin(x) gedefinieerd op dezelfde manier waarbij gonio. identiteiten gebruikt worden, ik denk dat ik het op dezelfde manier moet doen.

Dit is het bewijs dat ik op een oefenblad heb gekregen:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

quote:

Op maandag 23 juni 2014 21:19 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Hangt ervan af wat de opdracht is. Iedere 5-VWO'er gebruikt hier de kettingregel voor, maar als je in een theoretisch hoofdstuk over definities van differentieerbaarheid zit dan wordt er misschien wat anders van je verwacht.

VWO lees ik, dus gewoon de kettingregel gebruiken. Zie mijn eerdere post, waarbij g(x) = sin x en h(x) = x²+x

Is er ook een andere manier, waarmee het te bewijzen is? Of moet ik dan gebruik maken van het bewijs dat de afgeleide van sin(x), cos(x) is en dat de kettingregel klopt?

Wordt er gevraagd om te bewijzen dat de afgeleide is wat ie is, of wordt er alleen om de afgeleide gevraagd? Want het bewijs in je afbeelding is het bewijs dat sin'(x)=cos(x) maar dat hoef je niet iedere keer dat je dat gebruikt, te geven natuurlijk.

Er is alleen gezegd dat ik moet aantonen dat f'(x) = (2x + 1 )cos(x² + x) de afgeleide is van f(x)= sin(x² + x)

Normaliter zou ik even bij de antwoorden kijken zodat ik weet wat hij voor antwoord verwacht, maar helaas is dit een door hemzelf samengesteld schrift zonder antwoorden.

quote:

Op maandag 23 juni 2014 21:36 schreef GeorgeArArMartin het volgende:
Er is alleen gezegd dat ik moet aantonen dat f'(x) = (2x + 1 )cos(x² + x) de afgeleide is van f(x)= sin(x² + x)

Normaliter zou ik even bij de antwoorden kijken zodat ik weet wat hij voor antwoord verwacht, maar helaas is dit een door hemzelf samengesteld schrift zonder antwoorden.

Gezien het niveau (VWO) lijkt het me voldoende dat je de bekende rekenregels op de goede manier gebruikt en uitwerkt. Zie boven.

Dus f(x)= g(u(x)) met g(u)= sin(u) en u= x² + x
f'(x)= g'(u(x))u'(x)
Waardoor u'= 2x + 1
en g(u) = cos(u)

en dus f'(x) = cos(x² + x)(2x+1) klopt/voldoet?

Lijkt me wel.

quote:

Op maandag 23 juni 2014 21:41 schreef GeorgeArArMartin het volgende:
Dus f(x)= g(u(x)) met g(u)= sin(u) en u= x² + x
f'(x)= g'(u(x))u'(x)
Waardoor u'= 2x + 1
en g(u) = cos(u)

en dus f'(x) = cos(x² + x)(2x+1) klopt/voldoet?

je moet niet dezelfde letter u tegelijk gebruiken als (1) een naam van een variable en (2) een naam van een functie, dat is conceptueel fout.

Als je toch wil werken met een 'tussenvariabele', dan is het handiger om gebruik te maken van de kettingregel in de notatie van Leibniz

dy/dx = dy/du · du/dx

Zie ook hier en hier.

Voor deze opgave heb je

u = x² + x

en

y = sin u

zodat

dy/du = cos u = cos(x² + x)

en

du/dx = 2x + 1

en dus

dy/dx = cos(x² + x)·(2x + 1).

Je kunt het ook opschrijven in de notatie van Leibniz zonder gebruik te maken van een 'tussenvariabele', dan wordt het

d(sin(x² + x))/dx = d(sin(x² + x))/d(x² + x) · d(x² + x)/dx = cos(x² + x)·(2x + 1).

Tenzij dit expliciet in de opgave wordt gevraagd, is het niet nodig om de afgeleide van een gegeven functie aan te tonen aan de hand van de definitie van de afgeleide.

Wil je dit toch, dan moet je het wel correct doen. Wat je hierboven doet lijkt nergens op. Om te beginnen verwar je een differentiaal dx met een (finiet) increment van je onafhankelijke variabele x, en zo'n increment wordt gewoonlijk aangegeven met Δx maar ook met de kleine letter h. En dan zit je ook nog te goochelen met je algebraïsche herleidingen (hint: leer je merkwaardige producten).

Het is de bedoeling dat je eerst een uitdrukking opschrijft voor f(x + h) zodat je vervolgens

Δy = f(x + h) − f(x)

kunt herleiden. Je krijgt dan voor jouw opgave een verschil van twee sinussen, en het is dan het handigst om niet gebruik te maken van het additietheorema voor sin(α + β) zoals dat wordt gedaan in het bewijs voor de afgeleide van de sinusfunctie dat je had gekregen, maar om gebruik te maken van de formule van Simpson voor het verschil van twee sinussen

sin θ − sin φ = 2·sin½(θ − φ)·cos½(θ + φ)

Dan deel je Δy = f(x + h) − f(x) door Δx = h om het differentiequotiënt Δy/Δx = (f(x + h) − f(x))/h te bepalen, waarvan je dan weer - na nog wat verdere herleiding - de limiet voor h → 0 kunt bepalen om f'(x) te vinden. Hiervoor zul je gebruik moeten maken de 'standaardlimiet'

lim_θ→0 sin θ / θ = 1

[ Bericht 18% gewijzigd door Riparius op 24-06-2014 18:30:20 ]

quote:

Op maandag 23 juni 2014 21:36 schreef GeorgeArArMartin het volgende:
Er is alleen gezegd dat ik moet aantonen dat f'(x) = (2x + 1 )cos(x² + x) de afgeleide is van f(x)= sin(x² + x)

Normaliter zou ik even bij de antwoorden kijken zodat ik weet wat hij voor antwoord verwacht, maar helaas is dit een door hemzelf samengesteld schrift zonder antwoorden.

Volgens mij bedoelen ze met aantonen wat anders dan met bewijzen. Ook al een paar keer overgestruikeld.

quote:

Op maandag 23 juni 2014 23:15 schreef netchip het volgende:

[..]

Volgens mij bedoelen ze met aantonen wat anders dan met bewijzen. Ook al een paar keer over gestruikeld.

Lijkt me niet dat er een verschil is. Hooguit word je geacht het wat formeler op te schrijven als er naar een bewijs wordt gevraagd. Maar de vragensteller maakt niet duidelijk wat nu precies de bedoeling is, en wat hij wel en niet bekend mag veronderstellen, en dan is zijn vraag niet goed te beantwoorden. Het bewijs voor de afgeleide van de sinusfunctie dat hij als voorbeeld heeft gekregen is overigens ook slecht opgeschreven, dus als hij het daarvan moet hebben ...

Nou omdat ik gek ben:
Te bewijzen:
Gegeven:
Definieer en merk op dat als en
Hier begint het bewijs, voor :

Een standaard goniometrische identiteit geeft:

Wat te splitsen valt in en
Vermenigvuldigen van beide expressies met geeft
en
Wanneer we de limiet nemen van en gebruik maken van en met concluderen we dat en dat
Alles te samen:

quote:

Op dinsdag 24 juni 2014 16:34 schreef Novermars het volgende:
Nou omdat ik gek ben:

Zoals ik al had opgemerkt gaat het een stuk eenvoudiger met de formule van Simpson voor het verschil van twee sinussen. Je hebt dan namelijk

f(x + h) − f(x) = sin(x² + 2xh + h² + x + h) − sin(x² + x) = 2·sin(½h(2x + 1 + h))·cos(x² + x + xh + ½h² + ½h)

Dan is het nog slechts een kwestie van teller en noemer van het differentiequotiënt (f(x + h) − f(x))/h vermenigvuldigen met ½·(2x + 1 + h) en de limiet nemen voor h → 0 en je hebt f'(x) = (2x + 1)·cos(x² + x), QED.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 24-06-2014 18:32:48 ]

quote:

Op dinsdag 24 juni 2014 17:01 schreef Riparius het volgende:

[..]

Zoals ik al had opgemerkt gaat het een stuk eenvoudiger met de formule van Simpson voor het verschil van twee sinussen. Je hebt dan namelijk

f(x+h) − f(x) = sin(x² + 2xh + h² + x + h) − sin(x² + x) = 2·sin(½h(2x + 1 + h))·cos(x² + x + xh + ½h² + ½h)

Dan is het nog slechts een kwestie van teller en noemer van het differentiequotiënt (f(x+h) − f(x))/h vermenigvuldigen met (2x + 1 + h) en de limiet nemen voor h → 0 en je hebt f'(x) = (2x + 1)·cos(x² + x), QED.

Je hebt natuurlijk volkomen gelijk, dat is inderdaad de simpelste manier. Maar eerlijk gezegd kende ik jouw (tutoyeren lijkt me OK?) formule niet. Dat terwijl de som/verschil formules een stuk bekender zijn.

Er zijn altijd meerdere wegen naar Rome, zeker in de wiskunde, maar de beste weg, naar mijn mening, is de weg die je kent.

quote:

Op dinsdag 24 juni 2014 17:08 schreef Novermars het volgende:

[..]

Je hebt natuurlijk volkomen gelijk, dat is inderdaad de simpelste manier. Maar eerlijk gezegd kende ik jouw (tutoyeren lijkt me OK?) formule niet. Dat terwijl de som/verschil formules een stuk bekender zijn.

Er zijn altijd meerdere wegen naar Rome, zeker in de wiskunde, maar de beste weg, naar mijn mening, is de weg die je kent.

Dat is het leuke van wiskunde, het kan altijd anders, en vaak eenvoudiger. De formules van Simpson worden in elementaire leerboeken voor differentiaalrekening vaak gebruikt om te bewijzen dat d(sin(x))/dx = cos(x) resp. d(cos(x))/dx = −sin(x) en dat ligt ook wel voor de hand omdat je in de teller van je differentiequotiënt een verschil van twee sinussen resp. cosinussen hebt. De formules van Simpson zijn trouwens eenvoudig af te leiden uit de additietheorema's. Je hebt

sin(α + β) = sin α·cos β + cos α·sin β
sin(α − β) = sin α·cos β − cos α·sin β

Aftrekken van de leden van de tweede identiteit van de leden van de eerste identiteit geeft

sin(α + β) − sin(α − β) = 2·cos α·sin β

Stel nu α + β = θ en α − β = φ, dan is α = ½(θ + φ) en β = ½(θ − φ) en je hebt

sin θ − sin φ = 2·cos½(θ + φ)·sin½(θ − φ)

Op volkomen analoge wijze kun je ook identiteiten afleiden voor het verschil van twee cosinussen en voor de som van twee sinussen of cosinussen.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 24-06-2014 18:17:26 ]

Hey,

Heeft iemand misschien een PDF met de antwoorden van Stewart Calculus, Early Transcendentals 7E? Ik heb namelijk alleen het boek (in PDF vorm).

netchip

quote:

Op donderdag 26 juni 2014 14:52 schreef netchip het volgende:
Hey,

Heeft iemand misschien een PDF met de antwoorden van Stewart Calculus, Early Transcendentals 7E? Ik heb namelijk alleen het boek (in PDF vorm).

netchip

Ik haalde de antwoorden voor dat boek altijd hier vandaan: http://www.slader.com/tex(...)dentals-7th-edition/.

Daarnaast staat ook een deel van de antwoorden helemaal achterin het boek.

quote:

Op donderdag 26 juni 2014 15:23 schreef Ensemble het volgende:

[..]

Ik haalde de antwoorden voor dat boek altijd hier vandaan: http://www.slader.com/tex(...)dentals-7th-edition/.

Daarnaast staat ook een deel van de antwoorden helemaal achterin het boek.

en g(x) = x zijn toch hetzelfde? Op internet staat dat het domein hetzelfde moet zijn en f(x) = g(x) moet gelden voor alle voorkomende waardes in dat domein.

f(x) kan je echter versimpelen tot: dus f(x) = x.

Dan is f(x) toch gelijk aan g(x)?

quote:

Op donderdag 26 juni 2014 16:36 schreef netchip het volgende:

[..]

en g(x) = x zijn toch hetzelfde? Op internet staat dat het domein hetzelfde moet zijn en f(x) = g(x) moet gelden voor alle voorkomende waardes in dat domein.

f(x) kan je echter versimpelen tot: dus f(x) = x.

Dan is f(x) toch gelijk aan g(x)?

Nee, niet helemaal, want f(x) is niet gedefinieerd voor x = 1. De grafiek van f is dan ook een rechte lijn met een 'gaatje' erin bij x = 1. Zoiets heet een ophefbare discontinuïteit. We kunnen het 'gaatje' namelijk dicht maken door aanvullend nog f(1) = 1 te definiëren.

quote:

Op donderdag 26 juni 2014 16:42 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, niet helemaal, want f(x) is niet gedefinieerd voor x = 1. De grafiek van f is dan ook een rechte lijn met een 'gaatje' erin bij x = 1. Zoiets heet een ophefbare discontinuïteit. We kunnen het 'gaatje' namelijk dicht maken door aanvullend nog f(1) = 1 te definiëren.

Ah, OK.

Andere vraag, deze is misschien een beetje triest, maar ik zie hem echt niet.

De vraag is dan, hoeveel is V(r+1)-V(r)? Ik kom uit op . Het antwoord is echter . Waarschijnlijk zie ik iets over het hoofd...

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 16:54 schreef netchip het volgende:

[..]

Ah, OK.

Andere vraag, deze is misschien een beetje triest, maar ik zie hem echt niet.

De vraag is dan, hoeveel is V(r+1)-V(r)? Ik kom uit op . Het antwoord is echter . Waarschijnlijk zie ik iets over het hoofd...

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 16:58 schreef Alrac4 het volgende:

[..]

Hoe heb je die r³ eruit gehaald? En die ?

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 17:09 schreef netchip het volgende:

[..]

Hoe heb je die r³ eruit gehaald?

Ik heb zo'n hekel aan het herleiden van lange sommen met veel verschillende letters.

Dit is echt brugklasalgebra hoor.

Grapje: differentieer V(r) = (4/3)·π·r³ eens naar r. Wat krijg je dan? Herken je het resultaat? En, kun je het resultaat ook verklaren?

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 17:09 schreef netchip het volgende:

[..]

Hoe heb je die r³ eruit gehaald? En die ?

Je hebt dus in de eerste term een factor staan. De laatste term heeft deze factor precies op.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 17:16 schreef Alrac4 het volgende:

[..]



Je hebt dus in de eerste term een factor staan. De laatste term heeft deze factor precies op.

Ik snap dat dat elkaar opheft, de 1e naar de 2e stap volg ik alleen niet helemaal... Waar haal je die (4/3)*Pi*r^3 vandaan?

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 17:18 schreef netchip het volgende:

[..]

Ik snap dat dat elkaar opheft, de 1e naar de 2e stap volg ik alleen niet helemaal... Waar haal je die (4/3)*Pi*r^3 vandaan?

Dat is de eerste term binnen de haakjes

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 17:22 schreef Alrac4 het volgende:

[..]

Dat is de eerste term binnen de haakjes

De eerste term binnen de haakjes is r^3, toch? Of heb je eerst die 4/3*pi keer alles tussen de haakjes gedaan?

Het is me nu ook gelukt door de haakjes weg te werken... En daarna de som weer te vereenvoudigen door het daarna weer te ontbinden in factoren.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 17:13 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit is echt brugklasalgebra hoor.

Grapje: differentieer V(r) = (4/3)·π·r³ eens naar r. Wat krijg je dan? Herken je het resultaat? En, kun je het resultaat ook verklaren?

Ik was zo dom om niet eerst de haakjes weg te werken, en daarna de som weer te ontbinden.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 17:13 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit is echt brugklasalgebra hoor.

Onjuist. Dit is bij heel veel methodes onderdeel van de stof in de tweede klas op de middelbare school. Het wegwerken van haakjes zit wel in de brugklas, maar het ontbinden in factoren pas in leerjaar 2.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 18:19 schreef -J-D- het volgende:

[..]

Onjuist. Dit is bij heel veel methodes onderdeel van de stof in de tweede klas op de middelbare school. Het wegwerken van haakjes zit wel in de brugklas, maar het ontbinden in factoren pas in leerjaar 2.

Dat is dan volkomen onzinnig, en dan wordt het hoog tijd dat dit weer eerste klas stof wordt, zoals dat vroeger het geval was. Als je leerlingen vertelt dat

a(b + c) = ab + ac

dan is het ook aan de orde om te vertellen dat

ab + ac = a(b + c)

Lees dit maar eens goed, en eventueel dit.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 20:16 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat is dan volkomen onzinnig, en dan wordt het hoog tijd dat dit weer eerste klas stof wordt, zoals dat vroeger het geval was. Als je leerlingen vertelt dat

a(b + c) = ab + ac

dan is het ook aan de orde om te vertellen dat

ab + ac = a(b + c)

Lees dit maar eens goed, en eventueel dit.

Yep. Iemand met een beetje inzicht zal dat ook snel zien. Ik dacht dat Alrac een speciale methode gebruikte. Haakjes wegwerken en dan weer ontbinden wordt vaak afgeraden bij mij op school, want dat komt vaak niet gelukkig uit.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 20:34 schreef netchip het volgende:

[..]

Yep. Iemand met een beetje inzicht zal dat ook snel zien. Ik dacht dat Alrac een speciale methode gebruikte. Haakjes wegwerken en dan weer ontbinden wordt vaak afgeraden bij mij op school, want dat komt vaak niet gelukkig uit.

Ik begrijp niet goed wat je bedoelt met je opmerking dat haakjes wegwerken en weer ontbinden 'vaak niet gelukkig' uitkomt. Heb je een voorbeeld?

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 20:38 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik begrijp niet goed wat je bedoelt met je opmerking dat haakjes wegwerken en weer ontbinden 'vaak niet gelukkig' uitkomt. Heb je een voorbeeld?

Natuurlijk, (x-5)(x+20)-5.3 => x²+15x-94.7. Zie dat maar weer te ontbinden in factoren.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 20:57 schreef netchip het volgende:

[..]

Natuurlijk, (x-5)(x+20)-5.3 => x²+15x-94.7. Zie dat maar weer te ontbinden in factoren.

Ontbinden in factoren van een kwadratische veelterm lukt altijd. Maar er zijn twee andere problemen met je voorbeeld, (x-5)(x+20)-5.3 is geen product en de uitkomst die je geeft klopt ook niet. Je voorbeeld is dus niet geldig.

Overigens, probeer iets als

30p² − 11pq − 30q²

eens te ontbinden in lineaire factoren. Pakweg een halve eeuw geleden kon iedere middelbare scholier dat, nu struikelen zelfs beta studenten over zoiets simpels.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 28-06-2014 19:48:37 ]

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 21:08 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ontbinden in factoren van een kwadratische veelterm lukt altijd. Maar er zijn twee andere problemen met je voorbeeld, (x-5)(x+20)-5.3 is geen product en de uitkomst die je geeft klopt ook niet. Je voorbeeld is dus niet geldig.

Overigens, probeer iets als

30p² − 11pq − 30q²

eens te ontbinden in lineaire factoren. Pakweg een halve eeuw geleden kon iedere middelbare scholier dat, nu stuikelen zelfs beta studenten over zoiets simpels.

Bedoel je dit? p(30p-q((30q)/p-11))

Ik denk niet dat het is wat je bedoelt, maar ik zou het wel graag willen leren.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 21:21 schreef netchip het volgende:

[..]

Bedoel je dit? p(30p-q((30q)/p-11))

Ik denk niet dat het is wat je bedoelt, maar ik zou het wel graag willen leren.

Nee. Ontbinden in lineaire factoren is de opgave. Overigens is je herleiding ook nog fout, uitwerken levert namelijk 30p² + 11pq − 30q².

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 21:30 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee. Ontbinden in lineaire factoren is de opgave. Overigens is je herleiding ook nog fout, uitwerken levert namelijk 30p² + 11pq − 30q².

Oeps, verkeerd gelezen.

Ik zie niet in hoe 30 en 11 een gemeenschappelijke deler hebben, dus ik heb geen idee.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 21:32 schreef netchip het volgende:

[..]

Oeps, verkeerd gelezen.

Ik zie niet in hoe 30 en 11 een gemeenschappelijke deler hebben, dus ik heb geen idee.

Ik verwachtte al dat je met zo'n soort opmerking zou komen, 30 en 11 zijn uiteraard onderling ondeelbaar. Maar dat impliceert niet dat je deze veelterm niet in lineaire factoren zou kunnen ontbinden. Ga hier maar eens een nachtje over slapen.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 21:37 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik verwachtte al dat je met zo'n soort opmerking zou komen, 30 en 11 zijn uiteraard onderling ondeelbaar. Maar dat impliceert niet dat je deze veelterm niet in lineaire factoren zou kunnen ontbinden. Ga hier maar eens een nachtje over slapen.

Is een breuk ook een 'lineaire factor'?

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 21:38 schreef netchip het volgende:

[..]

Is een breuk ook een 'lineaire factor'?

Bedoeld zijn factoren van de gedaante (ap + bq + c) waarin a,b en c getallen zijn.

Deze heb ik nu: 30((p+q)(p-q)-(11/30)pq). Ik heb geen idee wat je wilt zien, "Bedoeld zijn factoren van de gedaante (ap + bq + c) waarin a,b en c getallen zijn." vind ik zelf een beetje vaag. Kan aan mij liggen.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 21:48 schreef netchip het volgende:
Deze heb ik nu: 30((p+q)(p-q)-(11/30)pq). Ik heb geen idee wat je wilt zien, "Bedoeld zijn factoren van de gedaante (ap + bq + c) waarin a,b en c getallen zijn." vind ik zelf een beetje vaag. Kan aan mij liggen.

Er lijkt me niets vaags aan mijn toelichting. De letters a,b en c stellen concrete (reële) getallen voor. Lineaire veeltermen in p en q zijn bijvoorbeeld 2p − 3q + 7 (hier is a = 2, b = −3, c = 7) en p + 4q (hier is a = 1, b = 4, c = 0). Het is de bedoeling de gegeven kwadratische veelterm in p en q te herleiden tot een product van factoren van uitsluitend deze gedaante (ap + bq + c), niets meer en niets minder.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 21:52 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Lees eens wat factoren en termen zijn. Stel je hebt ap + q, dan zijn a en p factoren en ap en q termen.

Ik word echt kriebelig van het onvermogen om GOOGLE te gebruiken.

Dus, alleen FACTOREN en geen TERMEN. (Of zoals je wilt, slechts een term)

Out.

Je kan toch niet een formule met meerdere termen ontbinden in een formule met maar 1 term? In Riparius' formule zie ik zeven factoren, en drie termen. Mij lukt het niet om zoiets te ontbinden in factoren met maar 1 term.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 22:05 schreef netchip het volgende:

[..]

Je kan toch niet een formule met meerdere termen ontbinden in een formule met maar 1 term? In Riparius' formule zie ik zeven factoren, en drie termen. Mij lukt het niet om zoiets te ontbinden in factoren met maar 1 term.

De lineare factoren waarin je 30p² − 11pq − 30q² moet ontbinden zijn van de gedaante (ap + bq + c) en elk van de bedoelde factoren kan dus hetzij één hetzij twee hetzij drie termen bevatten. Je veronderstelling dat elk van de factoren maar één term zou mogen of kunnen bevatten is dus onjuist.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 21:08 schreef Riparius het volgende:
Overigens, probeer iets als

30p2 − 11pq − 30q2

eens te ontbinden in lineaire factoren. Pakweg een halve eeuw geleden kon iedere middelbare scholier dat, nu stuikelen zelfs beta studenten over zoiets simpels.

Dit soort opgaven kreeg ik gewoon in de tweede klas, ik geloof dat elke leerling met wiskunde in het pakket zo'n opgave wel aankan.

30p(p - (11/30)q - q/p). Als dat niet klopt, ga ik er een nachtje overslapen.

Het is me nogsteeds niet duidelijk wat je precies bedoelt met "de gedaante (ap + bq + c)" Het lijkt me dat a = 30p, b = 11p, c = 30q². Heb je misschien een link naar een voorbeeld?

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 20:16 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat is dan volkomen onzinnig, en dan wordt het hoog tijd dat dit weer eerste klas stof wordt, zoals dat vroeger het geval was. Als je leerlingen vertelt dat

a(b + c) = ab + ac

dan is het ook aan de orde om te vertellen dat

ab + ac = a(b + c)

Lees dit maar eens goed, en eventueel dit.

Tja, jij mag dat onzinnig vinden, maar het is niet volkomen onzinnig. Het is qua moeilijkheid vrij makkelijk uit te leggen in de brugklas, maar het is geen vereiste om dat in de brugklas al te kennen.
Zo geldt voor veel onderwerpen dat het discutabel is of ze in klas 1 of 2 (of zelfs op de basisschool) thuis horen. Bepaalde vaardigheden betreffende niet-lineaire formules kunnen qua moeilijkheid makkelijk in de brugklas. En dus ook het ontbinden in factoren.
Basiskennis over de symmetrie van vlakke figuren hoort natuurlijk niet in een brugklas. Dat zou basiskennis moeten zijn voor een brugklasser.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 22:45 schreef netchip het volgende:
30p(p - (11/30)q - q/p). Als dat niet klopt, ga ik er een nachtje overslapen.

Het is me nogsteeds niet duidelijk wat je precies bedoelt met "de gedaante (ap + bq + c)" Het lijkt me dat a = 30p, b = 11p, c = 30q². Heb je misschien een link naar een voorbeeld?

Ik zou bijna gaan denken dat je een troll bent, en niets meer dan dat. De uitdrukking 30p(p − (11/30)q − q/p) is trouwens alweer een foute herleiding, want

30p(p − (11/30)q − q/p) = 30p² − 11pq − 30q

Afgezien daarvan is dit niet de bedoeling, je tweede factor is immers geen lineaire veelterm in p en q.

Ik heb duidelijk aangegeven dat met een lineaire veelterm in p en q een uitdrukking wordt bedoeld van de gedaante

ap + bq + c

waarbij a, b en c concrete (reële) getallen zijn, en dus niet uitdrukkingen in p en of q, en ik heb twee voorbeelden gegeven, namelijk 2p − 3q + 7 en p + 4q.

Laten we voor de grap deze twee lineaire veeltermen in p en q eens met elkaar vermenigvuldigen, dan krijgen we

(2p − 3q + 7)(p + 4q) = 2p² + 5pq + 7p − 12q² + 28q

De omgekeerde bewerking is dan om de kwadratische veelterm

2p² + 5pq + 7p − 12q² + 28q

te herleiden tot

(2p − 3q + 7)(p + 4q)

zijnde een product van lineaire veeltermen in p en q. Je ziet overigens dat de kwadratische veelterm in p en q die je krijgt door 2p − 3q + 7 en p + 4q met elkaar te vermenigvuldigen vijf termen heeft en daarmee een stuk ingewikkelder is dan de drieterm

30p² − 11pq − 30q²

die ik je had gegeven om in lineaire veeltermen in p en q te ontbinden.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:11 schreef Riparius het volgende:
Ik zou bijna gaan denken dat je een troll bent, en niets meer dan dat.

Iedereen die iets minder goed kan rekenen in veeltermen, is namelijk een troll.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:14 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Iedereen die iets minder goed kan rekenen in veeltermen, is namelijk een troll.

Hij lijkt erop uit te zijn de opdracht doelbewust verkeerd te interpreteren, terwijl er zeker na mijn toelichting hierboven geen enkele reden is om aan te nemen dat hij niet begrijpt wat een lineaire veelterm is. Dat is typisch trollgedrag en heeft verder niets te maken met zijn algebraïsche vaardigheden.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:25 schreef Riparius het volgende:

[..]

Hij lijkt erop uit te zijn de opdracht doelbewust verkeerd te interpreteren, terwijl er zeker na mijn toelichting hierboven geen enkele reden is om aan te nemen dat hij niet begrijpt wat een lineaire veelterm is. Dat is typisch trollgedrag en heeft verder niets te maken met zijn algebraïsche vaardigheden.

Geloof me, er zijn echt mensen die minder goed zijn in wiskunde dan jij. En oprecht en welgemeend opmerkingen maken die in jouw ogen debiel zijn.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:30 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Geloof me, er zijn echt mensen die minder goed zijn in wiskunde dan jij. En oprecht en welgemeend opmerkingen maken die in jouw ogen debiel zijn.

Ik streef er altijd naar om zo helder en exact mogelijk te formuleren. Dat lukt natuurlijk niet altijd, en als dat een keer niet is gelukt, dan blijkt dat doordat mijn woorden verkeerd worden geïnterpreteerd. Ik zou dat niet debiel willen noemen, maar in dit geval zie ik moeilijk in hoe ik nog duidelijker kan maken wat nu de bedoeling is (even los daarvan of hij het vraagstukje nu wel of niet kan oplossen). Als je een 3VWO leerling vraagt x² − 5x + 6 te ontbinden in lineaire factoren, dan komt zo'n leerling toch ook niet aanzetten met iets als x(x − 5 + 6/x) ?

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:42 schreef Riparius het volgende:
. Als je een 3VWO leerling vraagt x2 − 5x + 6 te ontbinden in lineaire factoren, dan komt zo'n leerling toch ook niet aanzetten met iets als x(x − 5 + 6/x) ?

Hoe weet je dat?

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:45 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Hoe weet je dat?

Oplossen van kwadratische vergelijkingen door ontbinden in (lineaire) factoren staat bij mijn weten nog steeds op het programma, en ook Netchip begrijpt ongetwijfeld dat x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:49 schreef Riparius het volgende:
Oplossen van kwadratische vergelijkingen door ontbinden in (lineaire) factoren staat bij mijn weten nog steeds op het programma,

Dat klopt, maar dat geeft nog geen garantie dat iedere leerling ook begrijpt wat-ie aan het doen is.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:56 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Dat klopt, maar dat geeft nog geen garantie dat iedere leerling ook begrijpt wat-ie aan het doen is.

Nee, dat is waar. Het lijkt erop (maar dat is mijn indruk louter gebaseerd op wat ik hier vaak voorbij zie komen) dat veel leerlingen (en studenten) hebben geleerd om kunstjes te reproduceren zonder dat ze begrijpen wat ze aan het doen zijn. Als je zulke mensen bijvoorbeeld die Vlaamse toelatingsexamens voorlegt die testen op inzicht, dan gaan ze genadeloos onderuit. Mijn vraag aan jou als docente is dan hoe je dat tijdig onderkent bij je leerlingen, en wat je daar tegen doet?

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 22:45 schreef netchip het volgende:
30p(p - (11/30)q - q/p). Als dat niet klopt, ga ik er een nachtje overslapen.

Het is me nogsteeds niet duidelijk wat je precies bedoelt met "de gedaante (ap + bq + c)" Het lijkt me dat a = 30p, b = 11p, c = 30q². Heb je misschien een link naar een voorbeeld?

1/p is niet lineair. Verder is de conventie dat a, b en c constant zijn, dus getallen die gewoonlijk 'vast maar willekeurig' zijn (willekeurig todat je bijvoorbeeld a = 30 stelt). Door a = 30p te stellen, maak je a afhankelijk van p, een variabele. Dit is strikt genomen niet fout, maar meestal niet de bedoeling (omdat dat nou eenmaal de conventie is). De latere letters in het alfabet worden vaak gebruikt voor variabelen.

Riparius, ik zit je zeker niet te trollen. Het is toch mogelijk dat ik het niet snap?

Ik zie wel een verband tussen die variabelen, maar kan het niet uitwerken. Irritant.

Ik kan een drieterm waar a = 1 wel ontbinden in twee factoren.

Ik denk dat ik hem zie.

Ik heb nu (p-5q)(p-6q). Ik mis nu dus nog de factor 30 bij de eerste term... Dit is niet van de gedaante die Riparius gaf...

[ Bericht 11% gewijzigd door netchip op 28-06-2014 09:11:24 ]

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:42 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik streef er altijd naar om zo helder en exact mogelijk te formuleren. Dat lukt natuurlijk niet altijd, en als dat een keer niet is gelukt, dan blijkt dat doordat mijn woorden verkeerd worden geïnterpreteerd. Ik zou dat niet debiel willen noemen, maar in dit geval zie ik moeilijk in hoe ik nog duidelijker kan maken wat nu de bedoeling is (even los daarvan of hij het vraagstukje nu wel of niet kan oplossen). Als je een 3VWO leerling vraagt x² − 5x + 6 te ontbinden in lineaire factoren, dan komt zo'n leerling toch ook niet aanzetten met iets als x(x − 5 + 6/x) ?

Hoe het werkt als a ≠ 1, weet ik niet. Ik ken alleen de product-som methode, dat houdt in dat het product van twee getallen de laatste term moet vormen, en dat die twee getallen opgeteld de tweede term moet vormen.

Over jouw vraagstuk heb ik een hele tijd nagedacht, maar ik kom er niet uit. Uitleg op YouTube werkt ook niet; wordt weer een truc gebruikt.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 09:38 schreef netchip het volgende:

[..]

Hoe het werkt als a ≠ 1, weet ik niet. Ik ken alleen de product-som methode, dat houdt in dat het product van twee getallen de laatste term moet vormen, en dat die twee getallen opgeteld de tweede term moet vormen.

De algemene gedaante van een vierkantsvergelijking met het rechterlid herleid op nul is:

(1) ax² + bx + c = 0

waarbij a, b en c vaste (gewoonlijk reële) getallen zijn en a ≠ 0 omdat we anders geen kwadratische term meer zouden hebben.

Als a, b en c gehele getallen zijn en je weet - of vermoedt - dat de vergelijking rationale oplossingen heeft, dan kun je proberen deze vergelijking op te lossen door ontbinden in factoren. De product-som methode om de kwadatische veelterm in het linkerlid van (1) te ontbinden in lineaire factoren is evengoed bruikbaar als a ≠ 1. Hiervoor moet je op zoek gaan naar twee gehele getallen waarvan het product gelijk is aan ac terwijl de som gelijk is aan b.

Eerst een eenvoudig voorbeeld. Stel je wil de volgende vierkantsvergelijking oplossen waarvan gegeven is dat deze rationale oplossingen heeft:

12x² − 11x + 2 = 0

We hebben hier a = 12, b = −11, c = 2. We zoeken nu twee gehele getallen waarvan het product gelijk is aan ac = 24 terwijl de som gelijk is aan b = −11. Het is (hier) niet moeilijk te zien dat de gezochte getallen −8 en −3 zijn. We splitsen nu eerst −11x op in −8x en −3x, zodat we krijgen:

12x² − 8x − 3x + 2 = 0

Nu zie je dat de eerste twee termen 12x² en 8x een factor 4x gemeen hebben die we dus buiten haakjes kunnen halen. Het tweede tweetal −3x en 2 heeft hier geen factor gemeen die we buiten haakjes kunnen halen (behalve 1 of −1), dus die laten we even zo staan. Dan krijgen we:

4x(3x − 2) − 3x + 2 = 0

En aangezien −3x + 2 = −(3x − 2) kunnen we dit herschrijven als:

4x(3x − 2) − (3x − 2) = 0

Nu hebben we in het linkerlid van de vergelijking twee termen met een gemeenschappelijke factor (3x − 2) die we dus weer buiten haakjes kunnen halen, en dan krijgen we:

(4x − 1)(3x − 2) = 0

Nu kan een product alleen gelijk zijn aan nul als (tenminste) één van de factoren nul is, zodat moet gelden:

4x − 1 = 0 ∨ 3x − 2 = 0

En dus:

x = 1/4 ∨ x = 2/3

Hiermee is de vergelijking opgelost.

Maar goed, nu wil je natuurlijk weten waarom dit zo werkt. Dat is elementaire algebra, die je heel vroeger toen er nog onderwijs was gewoon op school leerde. Maar ik zal het hier nog maar eens uitleggen.

Wat we willen is vergelijking (1) omvormen tot een vergelijking van de gedaante:

(2) (px + q)(rx + s) = 0

waarin p, q, r, s gehele getallen zijn. Welnu, uitwerken van de haakjes in (2) levert:

(3) prx² + (ps + qr)x + qs = 0

Door nu de coëfficiënten van (3) te vergelijken met de coëfficiënten van (1) zien we dat we moeten hebben:

(4) pr = a, ps + qr = b, qs = c

We kennen a, b, c en de kunst is nu om vier gehele getallen p, q, r, s te vinden die aan (4) voldoen. Dat lijkt een vrij hopeloze opgave, maar dat is niet zo omdat we kunnen bedenken dat we hebben:

(5) ac = pr·qs = ps·qr

Als je nu (4) en (5) bekijkt zie je dat we het vinden van p, q, r, s sterk kunnen vereenvoudigen door eerst twee getallen ps en qr te zoeken waarvan het product gelijk is aan ac en de som gelijk is aan b, en dat is over het algemeen niet zo moeilijk. Hebben we ps en qr, dan kunnen we in (1) bx alvast vervangen door (ps + qr)x = ps·x + qr·x zodat we krijgen:

(6) ax² + psx + qrx + c = 0

Hierna is het niet moeilijk meer om de ontbinding te voltooien. Immers, in (6) heeft het eerste tweetal termen ax² = prx² en psx een factor px gemeen en het tweede tweetal termen qrx en c = qs heeft een factor q gemeen. Dus is het mogelijk om (6) om te vormen tot:

(7) px(rx + s) + q(rx + s) = 0

En aangezien de beide termen in (7) een factor (rx + s) gemeen hebben, kunnen we deze factor weer buiten haakjes halen en daarmee (7) eenvoudig omvormen tot (2), en dat was precies de bedoeling. Hiermee is dus verklaard waarom de methode werkt, en waarom we moeten zoeken naar twee getallen waarvan het product ac is en de som b.

quote:

Over jouw vraagstuk heb ik een hele tijd nagedacht, maar ik kom er niet uit. Uitleg op YouTube werkt ook niet; wordt weer een truc gebruikt.

Nu terug naar de opgave. De vraag was om

30p² − 11pq − 30q²

te ontbinden in lineaire factoren. Zoals je zelf al had opgemerkt, kun je deze uitdrukking opvatten als een kwadratische veelterm in p van de gedaante ap² + bp + c met a = 30, b = −11q, c = −30q². Willen we deze veelterm ontbinden in factoren met de product-som methode, dan moeten we dus op zoek gaan naar twee grootheden waarvan het product gelijk is aan ac = −900q² terwijl de som gelijk is aan b = −11q. Nu zou het niet te moeilijk meer moeten zijn om deze veelterm te ontbinden, maar dat mag je zelf even uitwerken.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 19:28 schreef Riparius het volgende:
Nu hebben we in het linkerlid van de vergelijking twee termen met een gemeenschappelijke factor (3x − 2) die we dus weer buiten haakjes kunnen halen, en dan krijgen we:

(4x − 1)(3x − 2) = 0

We gaan eerst iets ontbinden... Om het daarna weer buiten de haakjes te halen?

Aangezien ik die stap niet helemaal snap, heb ik nu: 6p(5p-6q)+5q(5p-6q).

[ Bericht 11% gewijzigd door netchip op 28-06-2014 21:11:49 ]

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 20:11 schreef netchip het volgende:

[..]

We gaan eerst iets ontbinden... Om het daarna weer buiten de haakjes te halen?

Aangezien ik die stap niet helemaal snap, heb ik nu: 6p(5p-6q)+5q(5p-6q).

Dit is dus waar je
xy + xz = x(y + z) moet toepassen. Of eigenlijk yx + zx = (y + z)x

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 21:19 schreef defineaz het volgende:

[..]

Dit is dus waar je
xy + xz = x(y + z) moet toepassen. Of eigenlijk yx + zx = (y + z)x

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Oh, ik zie het nu! (5p-6q)(6p+5q)

Waarom leer ik zulke dingen niet op school? Ik kan me hier echt aan irriteren, ik zal opsommen wat ik de afgelopen drie jaar heb geleerd:
- Termen met gemeenschappelijke factoren optellen (zeg ik dit goed?)
- De hoeken in een driehoek zijn bij elkaar 180 graden
- Overstaande hoeken zijn hetzelfde
- Ontbinden van tweedegraads polynomen, met a = 1
- De abc-formule
- De goniometrische formules

That's it. Het is werkelijk schandalig.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 19:28 schreef Riparius het volgende:

[..]

De algemene gedaante van een vierkantsvergelijking met het rechterlid herleid op nul is:

(1) ax² + bx + c = 0

waarbij a, b en c vaste (gewoonlijk reële) getallen zijn en a ≠ 0 omdat we anders geen kwadratische term meer zouden hebben.

Als a, b en c gehele getallen zijn en je weet - of vermoedt - dat de vergelijking rationale oplossingen heeft, dan kun je proberen deze vergelijking op te lossen door ontbinden in factoren. De product-som methode om de kwadatische veelterm in het linkerlid van (1) te ontbinden in lineaire factoren is evengoed bruikbaar als a ≠ 1. Hiervoor moet je op zoek gaan naar twee gehele getallen waarvan het product gelijk is aan ac terwijl de som gelijk is aan b.

Eerst een eenvoudig voorbeeld. Stel je wil de volgende vierkantsvergelijking oplossen waarvan gegeven is dat deze rationale oplossingen heeft:

12x² − 11x + 2 = 0

We hebben hier a = 12, b = −11, c = 2. We zoeken nu twee gehele getallen waarvan het product gelijk is aan ac = 24 terwijl de som gelijk is aan b = −11. Het is (hier) niet moeilijk te zien dat de gezochte getallen −8 en −3 zijn. We splitsen nu eerst −11x op in −8x en −3x, zodat we krijgen:

12x² − 8x − 3x + 2 = 0

Nu zie je dat de eerste twee termen 12x² en 8x een factor 4x gemeen hebben die we dus buiten haakjes kunnen halen. Het tweede tweetal −3x en 2 heeft hier geen factor gemeen die we buiten haakjes kunnen halen (behalve 1 of −1), dus die laten we even zo staan. Dan krijgen we:

4x(3x − 2) − 3x + 2 = 0

En aangezien −3x + 2 = −(3x − 2) kunnen we dit herschrijven als:

4x(3x − 2) − (3x − 2) = 0

Nu hebben we in het linkerlid van de vergelijking twee termen met een gemeenschappelijke factor (3x − 2) die we dus weer buiten haakjes kunnen halen, en dan krijgen we:

(4x − 1)(3x − 2) = 0

Nu kan een product alleen gelijk zijn aan nul als (tenminste) één van de factoren nul is, zodat moet gelden:

4x − 1 = 0 ∨ 3x − 2 = 0

En dus:

x = 1/4 ∨ x = 2/3

Hiermee is de vergelijking opgelost.

Maar goed, nu wil je natuurlijk weten waarom dit zo werkt. Dat is elementaire algebra, die je heel vroeger toen er nog onderwijs was gewoon op school leerde. Maar ik zal het hier nog maar eens uitleggen.

Wat we willen is vergelijking (1) omvormen tot een vergelijking van de gedaante:

(2) (px + q)(rx + s) = 0

waarin p, q, r, s gehele getallen zijn. Welnu, uitwerken van de haakjes in (2) levert:

(3) prx² + (ps + qr)x + qs = 0

Door nu de coëfficiënten van (3) te vergelijken met de coëfficiënten van (1) zien we dat we moeten hebben:

(4) pr = a, ps + qr = b, qs = c

We kennen a, b, c en de kunst is nu om vier gehele getallen p, q, r, s te vinden die aan (4) voldoen. Dat lijkt een vrij hopeloze opgave, maar dat is niet zo omdat we kunnen bedenken dat we hebben:

(5) ac = pr·qs = ps·qr

Als je nu (4) en (5) bekijkt zie je dat we het vinden van p, q, r, s sterk kunnen vereenvoudigen door eerst twee getallen ps en qr te zoeken waarvan het product gelijk is aan ac en de som gelijk is aan b, en dat is over het algemeen niet zo moeilijk. Hebben we ps en qr, dan kunnen we in (1) bx alvast vervangen door (ps + qr)x = ps·x + qr·x zodat we krijgen:

(6) ax² + psx + qrx + c = 0

Hierna is het niet moeilijk meer om de ontbinding te voltooien. Immers, in (6) heeft het eerste tweetal termen ax² = prx² en psx een factor px gemeen en het tweede tweetal termen qrx en c = qs heeft een factor q gemeen. Dus is het mogelijk om (6) om te vormen tot:

(7) px(rx + s) + q(rx + s) = 0

En aangezien de beide termen in (7) een factor (rx + s) gemeen hebben, kunnen we deze factor weer buiten haakjes halen en daarmee (7) eenvoudig omvormen tot (2), en dat was precies de bedoeling. Hiermee is dus verklaard waarom de methode werkt, en waarom we moeten zoeken naar twee getallen waarvan het product ac is en de som b.

[..]

Nu terug naar de opgave. De vraag was om

30p² − 11pq − 30q²

te ontbinden in lineaire factoren. Zoals je zelf al had opgemerkt, kun je deze uitdrukking opvatten als een kwadratische veelterm in p van de gedaante ap² + bp + c met a = 30, b = −11q, c = −30q². Willen we deze veelterm ontbinden in factoren met de product-som methode, dan moeten we dus op zoek gaan naar twee grootheden waarvan het product gelijk is aan ac = −900q² terwijl de som gelijk is aan b = −11q. Nu zou het niet te moeilijk meer moeten zijn om deze veelterm te ontbinden, maar dat mag je zelf even uitwerken.

Riparius (en anderen), dank je voor de moeite die je hebt genomen om mij dit uit te leggen. Ik waardeer dit heel erg!