[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 21:48 schreef netchip het volgende:
Deze heb ik nu: 30((p+q)(p-q)-(11/30)pq). Ik heb geen idee wat je wilt zien, "Bedoeld zijn factoren van de gedaante (ap + bq + c) waarin a,b en c getallen zijn." vind ik zelf een beetje vaag. Kan aan mij liggen.

Er lijkt me niets vaags aan mijn toelichting. De letters a,b en c stellen concrete (reële) getallen voor. Lineaire veeltermen in p en q zijn bijvoorbeeld 2p − 3q + 7 (hier is a = 2, b = −3, c = 7) en p + 4q (hier is a = 1, b = 4, c = 0). Het is de bedoeling de gegeven kwadratische veelterm in p en q te herleiden tot een product van factoren van uitsluitend deze gedaante (ap + bq + c), niets meer en niets minder.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 21:52 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Lees eens wat factoren en termen zijn. Stel je hebt ap + q, dan zijn a en p factoren en ap en q termen.

Ik word echt kriebelig van het onvermogen om GOOGLE te gebruiken.

Dus, alleen FACTOREN en geen TERMEN. (Of zoals je wilt, slechts een term)

Out.

Je kan toch niet een formule met meerdere termen ontbinden in een formule met maar 1 term? In Riparius' formule zie ik zeven factoren, en drie termen. Mij lukt het niet om zoiets te ontbinden in factoren met maar 1 term.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 22:05 schreef netchip het volgende:

[..]

Je kan toch niet een formule met meerdere termen ontbinden in een formule met maar 1 term? In Riparius' formule zie ik zeven factoren, en drie termen. Mij lukt het niet om zoiets te ontbinden in factoren met maar 1 term.

De lineare factoren waarin je 30p² − 11pq − 30q² moet ontbinden zijn van de gedaante (ap + bq + c) en elk van de bedoelde factoren kan dus hetzij één hetzij twee hetzij drie termen bevatten. Je veronderstelling dat elk van de factoren maar één term zou mogen of kunnen bevatten is dus onjuist.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 21:08 schreef Riparius het volgende:
Overigens, probeer iets als

30p2 − 11pq − 30q2

eens te ontbinden in lineaire factoren. Pakweg een halve eeuw geleden kon iedere middelbare scholier dat, nu stuikelen zelfs beta studenten over zoiets simpels.

Dit soort opgaven kreeg ik gewoon in de tweede klas, ik geloof dat elke leerling met wiskunde in het pakket zo'n opgave wel aankan.

30p(p - (11/30)q - q/p). Als dat niet klopt, ga ik er een nachtje overslapen.

Het is me nogsteeds niet duidelijk wat je precies bedoelt met "de gedaante (ap + bq + c)" Het lijkt me dat a = 30p, b = 11p, c = 30q². Heb je misschien een link naar een voorbeeld?

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 20:16 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat is dan volkomen onzinnig, en dan wordt het hoog tijd dat dit weer eerste klas stof wordt, zoals dat vroeger het geval was. Als je leerlingen vertelt dat

a(b + c) = ab + ac

dan is het ook aan de orde om te vertellen dat

ab + ac = a(b + c)

Lees dit maar eens goed, en eventueel dit.

Tja, jij mag dat onzinnig vinden, maar het is niet volkomen onzinnig. Het is qua moeilijkheid vrij makkelijk uit te leggen in de brugklas, maar het is geen vereiste om dat in de brugklas al te kennen.
Zo geldt voor veel onderwerpen dat het discutabel is of ze in klas 1 of 2 (of zelfs op de basisschool) thuis horen. Bepaalde vaardigheden betreffende niet-lineaire formules kunnen qua moeilijkheid makkelijk in de brugklas. En dus ook het ontbinden in factoren.
Basiskennis over de symmetrie van vlakke figuren hoort natuurlijk niet in een brugklas. Dat zou basiskennis moeten zijn voor een brugklasser.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 22:45 schreef netchip het volgende:
30p(p - (11/30)q - q/p). Als dat niet klopt, ga ik er een nachtje overslapen.

Het is me nogsteeds niet duidelijk wat je precies bedoelt met "de gedaante (ap + bq + c)" Het lijkt me dat a = 30p, b = 11p, c = 30q². Heb je misschien een link naar een voorbeeld?

Ik zou bijna gaan denken dat je een troll bent, en niets meer dan dat. De uitdrukking 30p(p − (11/30)q − q/p) is trouwens alweer een foute herleiding, want

30p(p − (11/30)q − q/p) = 30p² − 11pq − 30q

Afgezien daarvan is dit niet de bedoeling, je tweede factor is immers geen lineaire veelterm in p en q.

Ik heb duidelijk aangegeven dat met een lineaire veelterm in p en q een uitdrukking wordt bedoeld van de gedaante

ap + bq + c

waarbij a, b en c concrete (reële) getallen zijn, en dus niet uitdrukkingen in p en of q, en ik heb twee voorbeelden gegeven, namelijk 2p − 3q + 7 en p + 4q.

Laten we voor de grap deze twee lineaire veeltermen in p en q eens met elkaar vermenigvuldigen, dan krijgen we

(2p − 3q + 7)(p + 4q) = 2p² + 5pq + 7p − 12q² + 28q

De omgekeerde bewerking is dan om de kwadratische veelterm

2p² + 5pq + 7p − 12q² + 28q

te herleiden tot

(2p − 3q + 7)(p + 4q)

zijnde een product van lineaire veeltermen in p en q. Je ziet overigens dat de kwadratische veelterm in p en q die je krijgt door 2p − 3q + 7 en p + 4q met elkaar te vermenigvuldigen vijf termen heeft en daarmee een stuk ingewikkelder is dan de drieterm

30p² − 11pq − 30q²

die ik je had gegeven om in lineaire veeltermen in p en q te ontbinden.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:11 schreef Riparius het volgende:
Ik zou bijna gaan denken dat je een troll bent, en niets meer dan dat.

Iedereen die iets minder goed kan rekenen in veeltermen, is namelijk een troll.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:14 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Iedereen die iets minder goed kan rekenen in veeltermen, is namelijk een troll.

Hij lijkt erop uit te zijn de opdracht doelbewust verkeerd te interpreteren, terwijl er zeker na mijn toelichting hierboven geen enkele reden is om aan te nemen dat hij niet begrijpt wat een lineaire veelterm is. Dat is typisch trollgedrag en heeft verder niets te maken met zijn algebraïsche vaardigheden.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:25 schreef Riparius het volgende:

[..]

Hij lijkt erop uit te zijn de opdracht doelbewust verkeerd te interpreteren, terwijl er zeker na mijn toelichting hierboven geen enkele reden is om aan te nemen dat hij niet begrijpt wat een lineaire veelterm is. Dat is typisch trollgedrag en heeft verder niets te maken met zijn algebraïsche vaardigheden.

Geloof me, er zijn echt mensen die minder goed zijn in wiskunde dan jij. En oprecht en welgemeend opmerkingen maken die in jouw ogen debiel zijn.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:30 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Geloof me, er zijn echt mensen die minder goed zijn in wiskunde dan jij. En oprecht en welgemeend opmerkingen maken die in jouw ogen debiel zijn.

Ik streef er altijd naar om zo helder en exact mogelijk te formuleren. Dat lukt natuurlijk niet altijd, en als dat een keer niet is gelukt, dan blijkt dat doordat mijn woorden verkeerd worden geïnterpreteerd. Ik zou dat niet debiel willen noemen, maar in dit geval zie ik moeilijk in hoe ik nog duidelijker kan maken wat nu de bedoeling is (even los daarvan of hij het vraagstukje nu wel of niet kan oplossen). Als je een 3VWO leerling vraagt x² − 5x + 6 te ontbinden in lineaire factoren, dan komt zo'n leerling toch ook niet aanzetten met iets als x(x − 5 + 6/x) ?

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:42 schreef Riparius het volgende:
. Als je een 3VWO leerling vraagt x2 − 5x + 6 te ontbinden in lineaire factoren, dan komt zo'n leerling toch ook niet aanzetten met iets als x(x − 5 + 6/x) ?

Hoe weet je dat?

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:45 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Hoe weet je dat?

Oplossen van kwadratische vergelijkingen door ontbinden in (lineaire) factoren staat bij mijn weten nog steeds op het programma, en ook Netchip begrijpt ongetwijfeld dat x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:49 schreef Riparius het volgende:
Oplossen van kwadratische vergelijkingen door ontbinden in (lineaire) factoren staat bij mijn weten nog steeds op het programma,

Dat klopt, maar dat geeft nog geen garantie dat iedere leerling ook begrijpt wat-ie aan het doen is.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:56 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Dat klopt, maar dat geeft nog geen garantie dat iedere leerling ook begrijpt wat-ie aan het doen is.

Nee, dat is waar. Het lijkt erop (maar dat is mijn indruk louter gebaseerd op wat ik hier vaak voorbij zie komen) dat veel leerlingen (en studenten) hebben geleerd om kunstjes te reproduceren zonder dat ze begrijpen wat ze aan het doen zijn. Als je zulke mensen bijvoorbeeld die Vlaamse toelatingsexamens voorlegt die testen op inzicht, dan gaan ze genadeloos onderuit. Mijn vraag aan jou als docente is dan hoe je dat tijdig onderkent bij je leerlingen, en wat je daar tegen doet?

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 01:04 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, dat is waar. Het lijkt erop (maar dat is mijn indruk louter gebaseerd op wat ik hier vaak voorbij zie komen) dat veel leerlingen (en studenten) hebben geleerd om kunstjes te reproduceren zonder dat ze begrijpen wat ze aan het doen zijn. Als je zulke mensen bijvoorbeeld die Vlaamse toelatingsexamens voorlegt die testen op inzicht, dan gaan ze genadeloos onderuit. Mijn vraag aan jou als docente is dan hoe je dat tijdig onderkent bij je leerlingen, en wat je daar tegen doet?

Deze 'kunstjes' worden zelfs op de TU/e nog onderwezen. Bij differentiaalvergelijkingen waar matrices mee gemoeid zijn was het niets anders dan steeds het kunstje herhalen.

En zo nog wat vakken waar de verantwoordelijk docent er een potje van maakt.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 22:45 schreef netchip het volgende:
30p(p - (11/30)q - q/p). Als dat niet klopt, ga ik er een nachtje overslapen.

Het is me nogsteeds niet duidelijk wat je precies bedoelt met "de gedaante (ap + bq + c)" Het lijkt me dat a = 30p, b = 11p, c = 30q². Heb je misschien een link naar een voorbeeld?

1/p is niet lineair. Verder is de conventie dat a, b en c constant zijn, dus getallen die gewoonlijk 'vast maar willekeurig' zijn (willekeurig todat je bijvoorbeeld a = 30 stelt). Door a = 30p te stellen, maak je a afhankelijk van p, een variabele. Dit is strikt genomen niet fout, maar meestal niet de bedoeling (omdat dat nou eenmaal de conventie is). De latere letters in het alfabet worden vaak gebruikt voor variabelen.

Riparius, ik zit je zeker niet te trollen. Het is toch mogelijk dat ik het niet snap?

Ik zie wel een verband tussen die variabelen, maar kan het niet uitwerken. Irritant.

Ik kan een drieterm waar a = 1 wel ontbinden in twee factoren.

Ik denk dat ik hem zie.

Ik heb nu (p-5q)(p-6q). Ik mis nu dus nog de factor 30 bij de eerste term... Dit is niet van de gedaante die Riparius gaf...

[ Bericht 11% gewijzigd door netchip op 28-06-2014 09:11:24 ]

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:42 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik streef er altijd naar om zo helder en exact mogelijk te formuleren. Dat lukt natuurlijk niet altijd, en als dat een keer niet is gelukt, dan blijkt dat doordat mijn woorden verkeerd worden geïnterpreteerd. Ik zou dat niet debiel willen noemen, maar in dit geval zie ik moeilijk in hoe ik nog duidelijker kan maken wat nu de bedoeling is (even los daarvan of hij het vraagstukje nu wel of niet kan oplossen). Als je een 3VWO leerling vraagt x² − 5x + 6 te ontbinden in lineaire factoren, dan komt zo'n leerling toch ook niet aanzetten met iets als x(x − 5 + 6/x) ?

Hoe het werkt als a ≠ 1, weet ik niet. Ik ken alleen de product-som methode, dat houdt in dat het product van twee getallen de laatste term moet vormen, en dat die twee getallen opgeteld de tweede term moet vormen.

Over jouw vraagstuk heb ik een hele tijd nagedacht, maar ik kom er niet uit. Uitleg op YouTube werkt ook niet; wordt weer een truc gebruikt.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 09:38 schreef netchip het volgende:

[..]

Hoe het werkt als a ≠ 1, weet ik niet. Ik ken alleen de product-som methode, dat houdt in dat het product van twee getallen de laatste term moet vormen, en dat die twee getallen opgeteld de tweede term moet vormen.

De algemene gedaante van een vierkantsvergelijking met het rechterlid herleid op nul is:

(1) ax² + bx + c = 0

waarbij a, b en c vaste (gewoonlijk reële) getallen zijn en a ≠ 0 omdat we anders geen kwadratische term meer zouden hebben.

Als a, b en c gehele getallen zijn en je weet - of vermoedt - dat de vergelijking rationale oplossingen heeft, dan kun je proberen deze vergelijking op te lossen door ontbinden in factoren. De product-som methode om de kwadatische veelterm in het linkerlid van (1) te ontbinden in lineaire factoren is evengoed bruikbaar als a ≠ 1. Hiervoor moet je op zoek gaan naar twee gehele getallen waarvan het product gelijk is aan ac terwijl de som gelijk is aan b.

Eerst een eenvoudig voorbeeld. Stel je wil de volgende vierkantsvergelijking oplossen waarvan gegeven is dat deze rationale oplossingen heeft:

12x² − 11x + 2 = 0

We hebben hier a = 12, b = −11, c = 2. We zoeken nu twee gehele getallen waarvan het product gelijk is aan ac = 24 terwijl de som gelijk is aan b = −11. Het is (hier) niet moeilijk te zien dat de gezochte getallen −8 en −3 zijn. We splitsen nu eerst −11x op in −8x en −3x, zodat we krijgen:

12x² − 8x − 3x + 2 = 0

Nu zie je dat de eerste twee termen 12x² en 8x een factor 4x gemeen hebben die we dus buiten haakjes kunnen halen. Het tweede tweetal −3x en 2 heeft hier geen factor gemeen die we buiten haakjes kunnen halen (behalve 1 of −1), dus die laten we even zo staan. Dan krijgen we:

4x(3x − 2) − 3x + 2 = 0

En aangezien −3x + 2 = −(3x − 2) kunnen we dit herschrijven als:

4x(3x − 2) − (3x − 2) = 0

Nu hebben we in het linkerlid van de vergelijking twee termen met een gemeenschappelijke factor (3x − 2) die we dus weer buiten haakjes kunnen halen, en dan krijgen we:

(4x − 1)(3x − 2) = 0

Nu kan een product alleen gelijk zijn aan nul als (tenminste) één van de factoren nul is, zodat moet gelden:

4x − 1 = 0 ∨ 3x − 2 = 0

En dus:

x = 1/4 ∨ x = 2/3

Hiermee is de vergelijking opgelost.

Maar goed, nu wil je natuurlijk weten waarom dit zo werkt. Dat is elementaire algebra, die je heel vroeger toen er nog onderwijs was gewoon op school leerde. Maar ik zal het hier nog maar eens uitleggen.

Wat we willen is vergelijking (1) omvormen tot een vergelijking van de gedaante:

(2) (px + q)(rx + s) = 0

waarin p, q, r, s gehele getallen zijn. Welnu, uitwerken van de haakjes in (2) levert:

(3) prx² + (ps + qr)x + qs = 0

Door nu de coëfficiënten van (3) te vergelijken met de coëfficiënten van (1) zien we dat we moeten hebben:

(4) pr = a, ps + qr = b, qs = c

We kennen a, b, c en de kunst is nu om vier gehele getallen p, q, r, s te vinden die aan (4) voldoen. Dat lijkt een vrij hopeloze opgave, maar dat is niet zo omdat we kunnen bedenken dat we hebben:

(5) ac = pr·qs = ps·qr

Als je nu (4) en (5) bekijkt zie je dat we het vinden van p, q, r, s sterk kunnen vereenvoudigen door eerst twee getallen ps en qr te zoeken waarvan het product gelijk is aan ac en de som gelijk is aan b, en dat is over het algemeen niet zo moeilijk. Hebben we ps en qr, dan kunnen we in (1) bx alvast vervangen door (ps + qr)x = ps·x + qr·x zodat we krijgen:

(6) ax² + psx + qrx + c = 0

Hierna is het niet moeilijk meer om de ontbinding te voltooien. Immers, in (6) heeft het eerste tweetal termen ax² = prx² en psx een factor px gemeen en het tweede tweetal termen qrx en c = qs heeft een factor q gemeen. Dus is het mogelijk om (6) om te vormen tot:

(7) px(rx + s) + q(rx + s) = 0

En aangezien de beide termen in (7) een factor (rx + s) gemeen hebben, kunnen we deze factor weer buiten haakjes halen en daarmee (7) eenvoudig omvormen tot (2), en dat was precies de bedoeling. Hiermee is dus verklaard waarom de methode werkt, en waarom we moeten zoeken naar twee getallen waarvan het product ac is en de som b.

quote:

Over jouw vraagstuk heb ik een hele tijd nagedacht, maar ik kom er niet uit. Uitleg op YouTube werkt ook niet; wordt weer een truc gebruikt.

Nu terug naar de opgave. De vraag was om

30p² − 11pq − 30q²

te ontbinden in lineaire factoren. Zoals je zelf al had opgemerkt, kun je deze uitdrukking opvatten als een kwadratische veelterm in p van de gedaante ap² + bp + c met a = 30, b = −11q, c = −30q². Willen we deze veelterm ontbinden in factoren met de product-som methode, dan moeten we dus op zoek gaan naar twee grootheden waarvan het product gelijk is aan ac = −900q² terwijl de som gelijk is aan b = −11q. Nu zou het niet te moeilijk meer moeten zijn om deze veelterm te ontbinden, maar dat mag je zelf even uitwerken.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 19:28 schreef Riparius het volgende:
Nu hebben we in het linkerlid van de vergelijking twee termen met een gemeenschappelijke factor (3x − 2) die we dus weer buiten haakjes kunnen halen, en dan krijgen we:

(4x − 1)(3x − 2) = 0

We gaan eerst iets ontbinden... Om het daarna weer buiten de haakjes te halen?

Aangezien ik die stap niet helemaal snap, heb ik nu: 6p(5p-6q)+5q(5p-6q).

[ Bericht 11% gewijzigd door netchip op 28-06-2014 21:11:49 ]

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 20:11 schreef netchip het volgende:

[..]

We gaan eerst iets ontbinden... Om het daarna weer buiten de haakjes te halen?

Aangezien ik die stap niet helemaal snap, heb ik nu: 6p(5p-6q)+5q(5p-6q).

Dit is dus waar je
xy + xz = x(y + z) moet toepassen. Of eigenlijk yx + zx = (y + z)x

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 21:19 schreef defineaz het volgende:

[..]

Dit is dus waar je
xy + xz = x(y + z) moet toepassen. Of eigenlijk yx + zx = (y + z)x

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Oh, ik zie het nu! (5p-6q)(6p+5q)

Waarom leer ik zulke dingen niet op school? Ik kan me hier echt aan irriteren, ik zal opsommen wat ik de afgelopen drie jaar heb geleerd:
- Termen met gemeenschappelijke factoren optellen (zeg ik dit goed?)
- De hoeken in een driehoek zijn bij elkaar 180 graden
- Overstaande hoeken zijn hetzelfde
- Ontbinden van tweedegraads polynomen, met a = 1
- De abc-formule
- De goniometrische formules

That's it. Het is werkelijk schandalig.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 19:28 schreef Riparius het volgende:

[..]

De algemene gedaante van een vierkantsvergelijking met het rechterlid herleid op nul is:

(1) ax² + bx + c = 0

waarbij a, b en c vaste (gewoonlijk reële) getallen zijn en a ≠ 0 omdat we anders geen kwadratische term meer zouden hebben.

Als a, b en c gehele getallen zijn en je weet - of vermoedt - dat de vergelijking rationale oplossingen heeft, dan kun je proberen deze vergelijking op te lossen door ontbinden in factoren. De product-som methode om de kwadatische veelterm in het linkerlid van (1) te ontbinden in lineaire factoren is evengoed bruikbaar als a ≠ 1. Hiervoor moet je op zoek gaan naar twee gehele getallen waarvan het product gelijk is aan ac terwijl de som gelijk is aan b.

Eerst een eenvoudig voorbeeld. Stel je wil de volgende vierkantsvergelijking oplossen waarvan gegeven is dat deze rationale oplossingen heeft:

12x² − 11x + 2 = 0

We hebben hier a = 12, b = −11, c = 2. We zoeken nu twee gehele getallen waarvan het product gelijk is aan ac = 24 terwijl de som gelijk is aan b = −11. Het is (hier) niet moeilijk te zien dat de gezochte getallen −8 en −3 zijn. We splitsen nu eerst −11x op in −8x en −3x, zodat we krijgen:

12x² − 8x − 3x + 2 = 0

Nu zie je dat de eerste twee termen 12x² en 8x een factor 4x gemeen hebben die we dus buiten haakjes kunnen halen. Het tweede tweetal −3x en 2 heeft hier geen factor gemeen die we buiten haakjes kunnen halen (behalve 1 of −1), dus die laten we even zo staan. Dan krijgen we:

4x(3x − 2) − 3x + 2 = 0

En aangezien −3x + 2 = −(3x − 2) kunnen we dit herschrijven als:

4x(3x − 2) − (3x − 2) = 0

Nu hebben we in het linkerlid van de vergelijking twee termen met een gemeenschappelijke factor (3x − 2) die we dus weer buiten haakjes kunnen halen, en dan krijgen we:

(4x − 1)(3x − 2) = 0

Nu kan een product alleen gelijk zijn aan nul als (tenminste) één van de factoren nul is, zodat moet gelden:

4x − 1 = 0 ∨ 3x − 2 = 0

En dus:

x = 1/4 ∨ x = 2/3

Hiermee is de vergelijking opgelost.

Maar goed, nu wil je natuurlijk weten waarom dit zo werkt. Dat is elementaire algebra, die je heel vroeger toen er nog onderwijs was gewoon op school leerde. Maar ik zal het hier nog maar eens uitleggen.

Wat we willen is vergelijking (1) omvormen tot een vergelijking van de gedaante:

(2) (px + q)(rx + s) = 0

waarin p, q, r, s gehele getallen zijn. Welnu, uitwerken van de haakjes in (2) levert:

(3) prx² + (ps + qr)x + qs = 0

Door nu de coëfficiënten van (3) te vergelijken met de coëfficiënten van (1) zien we dat we moeten hebben:

(4) pr = a, ps + qr = b, qs = c

We kennen a, b, c en de kunst is nu om vier gehele getallen p, q, r, s te vinden die aan (4) voldoen. Dat lijkt een vrij hopeloze opgave, maar dat is niet zo omdat we kunnen bedenken dat we hebben:

(5) ac = pr·qs = ps·qr

Als je nu (4) en (5) bekijkt zie je dat we het vinden van p, q, r, s sterk kunnen vereenvoudigen door eerst twee getallen ps en qr te zoeken waarvan het product gelijk is aan ac en de som gelijk is aan b, en dat is over het algemeen niet zo moeilijk. Hebben we ps en qr, dan kunnen we in (1) bx alvast vervangen door (ps + qr)x = ps·x + qr·x zodat we krijgen:

(6) ax² + psx + qrx + c = 0

Hierna is het niet moeilijk meer om de ontbinding te voltooien. Immers, in (6) heeft het eerste tweetal termen ax² = prx² en psx een factor px gemeen en het tweede tweetal termen qrx en c = qs heeft een factor q gemeen. Dus is het mogelijk om (6) om te vormen tot:

(7) px(rx + s) + q(rx + s) = 0

En aangezien de beide termen in (7) een factor (rx + s) gemeen hebben, kunnen we deze factor weer buiten haakjes halen en daarmee (7) eenvoudig omvormen tot (2), en dat was precies de bedoeling. Hiermee is dus verklaard waarom de methode werkt, en waarom we moeten zoeken naar twee getallen waarvan het product ac is en de som b.

[..]

Nu terug naar de opgave. De vraag was om

30p² − 11pq − 30q²

te ontbinden in lineaire factoren. Zoals je zelf al had opgemerkt, kun je deze uitdrukking opvatten als een kwadratische veelterm in p van de gedaante ap² + bp + c met a = 30, b = −11q, c = −30q². Willen we deze veelterm ontbinden in factoren met de product-som methode, dan moeten we dus op zoek gaan naar twee grootheden waarvan het product gelijk is aan ac = −900q² terwijl de som gelijk is aan b = −11q. Nu zou het niet te moeilijk meer moeten zijn om deze veelterm te ontbinden, maar dat mag je zelf even uitwerken.

Riparius (en anderen), dank je voor de moeite die je hebt genomen om mij dit uit te leggen. Ik waardeer dit heel erg!