[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 21:48 schreef netchip het volgende:
Deze heb ik nu: 30((p+q)(p-q)-(11/30)pq). Ik heb geen idee wat je wilt zien, "Bedoeld zijn factoren van de gedaante (ap + bq + c) waarin a,b en c getallen zijn." vind ik zelf een beetje vaag. Kan aan mij liggen.

Er lijkt me niets vaags aan mijn toelichting. De letters a,b en c stellen concrete (reële) getallen voor. Lineaire veeltermen in p en q zijn bijvoorbeeld 2p − 3q + 7 (hier is a = 2, b = −3, c = 7) en p + 4q (hier is a = 1, b = 4, c = 0). Het is de bedoeling de gegeven kwadratische veelterm in p en q te herleiden tot een product van factoren van uitsluitend deze gedaante (ap + bq + c), niets meer en niets minder.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 21:52 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Lees eens wat factoren en termen zijn. Stel je hebt ap + q, dan zijn a en p factoren en ap en q termen.

Ik word echt kriebelig van het onvermogen om GOOGLE te gebruiken.

Dus, alleen FACTOREN en geen TERMEN. (Of zoals je wilt, slechts een term)

Out.

Je kan toch niet een formule met meerdere termen ontbinden in een formule met maar 1 term? In Riparius' formule zie ik zeven factoren, en drie termen. Mij lukt het niet om zoiets te ontbinden in factoren met maar 1 term.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 22:05 schreef netchip het volgende:

[..]

Je kan toch niet een formule met meerdere termen ontbinden in een formule met maar 1 term? In Riparius' formule zie ik zeven factoren, en drie termen. Mij lukt het niet om zoiets te ontbinden in factoren met maar 1 term.

De lineare factoren waarin je 30p² − 11pq − 30q² moet ontbinden zijn van de gedaante (ap + bq + c) en elk van de bedoelde factoren kan dus hetzij één hetzij twee hetzij drie termen bevatten. Je veronderstelling dat elk van de factoren maar één term zou mogen of kunnen bevatten is dus onjuist.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 21:08 schreef Riparius het volgende:
Overigens, probeer iets als

30p2 − 11pq − 30q2

eens te ontbinden in lineaire factoren. Pakweg een halve eeuw geleden kon iedere middelbare scholier dat, nu stuikelen zelfs beta studenten over zoiets simpels.

Dit soort opgaven kreeg ik gewoon in de tweede klas, ik geloof dat elke leerling met wiskunde in het pakket zo'n opgave wel aankan.

30p(p - (11/30)q - q/p). Als dat niet klopt, ga ik er een nachtje overslapen.

Het is me nogsteeds niet duidelijk wat je precies bedoelt met "de gedaante (ap + bq + c)" Het lijkt me dat a = 30p, b = 11p, c = 30q². Heb je misschien een link naar een voorbeeld?

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 20:16 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat is dan volkomen onzinnig, en dan wordt het hoog tijd dat dit weer eerste klas stof wordt, zoals dat vroeger het geval was. Als je leerlingen vertelt dat

a(b + c) = ab + ac

dan is het ook aan de orde om te vertellen dat

ab + ac = a(b + c)

Lees dit maar eens goed, en eventueel dit.

Tja, jij mag dat onzinnig vinden, maar het is niet volkomen onzinnig. Het is qua moeilijkheid vrij makkelijk uit te leggen in de brugklas, maar het is geen vereiste om dat in de brugklas al te kennen.
Zo geldt voor veel onderwerpen dat het discutabel is of ze in klas 1 of 2 (of zelfs op de basisschool) thuis horen. Bepaalde vaardigheden betreffende niet-lineaire formules kunnen qua moeilijkheid makkelijk in de brugklas. En dus ook het ontbinden in factoren.
Basiskennis over de symmetrie van vlakke figuren hoort natuurlijk niet in een brugklas. Dat zou basiskennis moeten zijn voor een brugklasser.

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 22:45 schreef netchip het volgende:
30p(p - (11/30)q - q/p). Als dat niet klopt, ga ik er een nachtje overslapen.

Het is me nogsteeds niet duidelijk wat je precies bedoelt met "de gedaante (ap + bq + c)" Het lijkt me dat a = 30p, b = 11p, c = 30q². Heb je misschien een link naar een voorbeeld?

Ik zou bijna gaan denken dat je een troll bent, en niets meer dan dat. De uitdrukking 30p(p − (11/30)q − q/p) is trouwens alweer een foute herleiding, want

30p(p − (11/30)q − q/p) = 30p² − 11pq − 30q

Afgezien daarvan is dit niet de bedoeling, je tweede factor is immers geen lineaire veelterm in p en q.

Ik heb duidelijk aangegeven dat met een lineaire veelterm in p en q een uitdrukking wordt bedoeld van de gedaante

ap + bq + c

waarbij a, b en c concrete (reële) getallen zijn, en dus niet uitdrukkingen in p en of q, en ik heb twee voorbeelden gegeven, namelijk 2p − 3q + 7 en p + 4q.

Laten we voor de grap deze twee lineaire veeltermen in p en q eens met elkaar vermenigvuldigen, dan krijgen we

(2p − 3q + 7)(p + 4q) = 2p² + 5pq + 7p − 12q² + 28q

De omgekeerde bewerking is dan om de kwadratische veelterm

2p² + 5pq + 7p − 12q² + 28q

te herleiden tot

(2p − 3q + 7)(p + 4q)

zijnde een product van lineaire veeltermen in p en q. Je ziet overigens dat de kwadratische veelterm in p en q die je krijgt door 2p − 3q + 7 en p + 4q met elkaar te vermenigvuldigen vijf termen heeft en daarmee een stuk ingewikkelder is dan de drieterm

30p² − 11pq − 30q²

die ik je had gegeven om in lineaire veeltermen in p en q te ontbinden.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:11 schreef Riparius het volgende:
Ik zou bijna gaan denken dat je een troll bent, en niets meer dan dat.

Iedereen die iets minder goed kan rekenen in veeltermen, is namelijk een troll.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:14 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Iedereen die iets minder goed kan rekenen in veeltermen, is namelijk een troll.

Hij lijkt erop uit te zijn de opdracht doelbewust verkeerd te interpreteren, terwijl er zeker na mijn toelichting hierboven geen enkele reden is om aan te nemen dat hij niet begrijpt wat een lineaire veelterm is. Dat is typisch trollgedrag en heeft verder niets te maken met zijn algebraïsche vaardigheden.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:25 schreef Riparius het volgende:

[..]

Hij lijkt erop uit te zijn de opdracht doelbewust verkeerd te interpreteren, terwijl er zeker na mijn toelichting hierboven geen enkele reden is om aan te nemen dat hij niet begrijpt wat een lineaire veelterm is. Dat is typisch trollgedrag en heeft verder niets te maken met zijn algebraïsche vaardigheden.

Geloof me, er zijn echt mensen die minder goed zijn in wiskunde dan jij. En oprecht en welgemeend opmerkingen maken die in jouw ogen debiel zijn.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:30 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Geloof me, er zijn echt mensen die minder goed zijn in wiskunde dan jij. En oprecht en welgemeend opmerkingen maken die in jouw ogen debiel zijn.

Ik streef er altijd naar om zo helder en exact mogelijk te formuleren. Dat lukt natuurlijk niet altijd, en als dat een keer niet is gelukt, dan blijkt dat doordat mijn woorden verkeerd worden geïnterpreteerd. Ik zou dat niet debiel willen noemen, maar in dit geval zie ik moeilijk in hoe ik nog duidelijker kan maken wat nu de bedoeling is (even los daarvan of hij het vraagstukje nu wel of niet kan oplossen). Als je een 3VWO leerling vraagt x² − 5x + 6 te ontbinden in lineaire factoren, dan komt zo'n leerling toch ook niet aanzetten met iets als x(x − 5 + 6/x) ?

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:42 schreef Riparius het volgende:
. Als je een 3VWO leerling vraagt x2 − 5x + 6 te ontbinden in lineaire factoren, dan komt zo'n leerling toch ook niet aanzetten met iets als x(x − 5 + 6/x) ?

Hoe weet je dat?

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:45 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Hoe weet je dat?

Oplossen van kwadratische vergelijkingen door ontbinden in (lineaire) factoren staat bij mijn weten nog steeds op het programma, en ook Netchip begrijpt ongetwijfeld dat x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:49 schreef Riparius het volgende:
Oplossen van kwadratische vergelijkingen door ontbinden in (lineaire) factoren staat bij mijn weten nog steeds op het programma,

Dat klopt, maar dat geeft nog geen garantie dat iedere leerling ook begrijpt wat-ie aan het doen is.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:56 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Dat klopt, maar dat geeft nog geen garantie dat iedere leerling ook begrijpt wat-ie aan het doen is.

Nee, dat is waar. Het lijkt erop (maar dat is mijn indruk louter gebaseerd op wat ik hier vaak voorbij zie komen) dat veel leerlingen (en studenten) hebben geleerd om kunstjes te reproduceren zonder dat ze begrijpen wat ze aan het doen zijn. Als je zulke mensen bijvoorbeeld die Vlaamse toelatingsexamens voorlegt die testen op inzicht, dan gaan ze genadeloos onderuit. Mijn vraag aan jou als docente is dan hoe je dat tijdig onderkent bij je leerlingen, en wat je daar tegen doet?

quote:

Op vrijdag 27 juni 2014 22:45 schreef netchip het volgende:
30p(p - (11/30)q - q/p). Als dat niet klopt, ga ik er een nachtje overslapen.

Het is me nogsteeds niet duidelijk wat je precies bedoelt met "de gedaante (ap + bq + c)" Het lijkt me dat a = 30p, b = 11p, c = 30q². Heb je misschien een link naar een voorbeeld?

1/p is niet lineair. Verder is de conventie dat a, b en c constant zijn, dus getallen die gewoonlijk 'vast maar willekeurig' zijn (willekeurig todat je bijvoorbeeld a = 30 stelt). Door a = 30p te stellen, maak je a afhankelijk van p, een variabele. Dit is strikt genomen niet fout, maar meestal niet de bedoeling (omdat dat nou eenmaal de conventie is). De latere letters in het alfabet worden vaak gebruikt voor variabelen.

Riparius, ik zit je zeker niet te trollen. Het is toch mogelijk dat ik het niet snap?

Ik zie wel een verband tussen die variabelen, maar kan het niet uitwerken. Irritant.

Ik kan een drieterm waar a = 1 wel ontbinden in twee factoren.

Ik denk dat ik hem zie.

Ik heb nu (p-5q)(p-6q). Ik mis nu dus nog de factor 30 bij de eerste term... Dit is niet van de gedaante die Riparius gaf...

[ Bericht 11% gewijzigd door netchip op 28-06-2014 09:11:24 ]

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 00:42 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik streef er altijd naar om zo helder en exact mogelijk te formuleren. Dat lukt natuurlijk niet altijd, en als dat een keer niet is gelukt, dan blijkt dat doordat mijn woorden verkeerd worden geïnterpreteerd. Ik zou dat niet debiel willen noemen, maar in dit geval zie ik moeilijk in hoe ik nog duidelijker kan maken wat nu de bedoeling is (even los daarvan of hij het vraagstukje nu wel of niet kan oplossen). Als je een 3VWO leerling vraagt x² − 5x + 6 te ontbinden in lineaire factoren, dan komt zo'n leerling toch ook niet aanzetten met iets als x(x − 5 + 6/x) ?

Hoe het werkt als a ≠ 1, weet ik niet. Ik ken alleen de product-som methode, dat houdt in dat het product van twee getallen de laatste term moet vormen, en dat die twee getallen opgeteld de tweede term moet vormen.

Over jouw vraagstuk heb ik een hele tijd nagedacht, maar ik kom er niet uit. Uitleg op YouTube werkt ook niet; wordt weer een truc gebruikt.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 09:38 schreef netchip het volgende:

[..]

Hoe het werkt als a ≠ 1, weet ik niet. Ik ken alleen de product-som methode, dat houdt in dat het product van twee getallen de laatste term moet vormen, en dat die twee getallen opgeteld de tweede term moet vormen.

De algemene gedaante van een vierkantsvergelijking met het rechterlid herleid op nul is:

(1) ax² + bx + c = 0

waarbij a, b en c vaste (gewoonlijk reële) getallen zijn en a ≠ 0 omdat we anders geen kwadratische term meer zouden hebben.

Als a, b en c gehele getallen zijn en je weet - of vermoedt - dat de vergelijking rationale oplossingen heeft, dan kun je proberen deze vergelijking op te lossen door ontbinden in factoren. De product-som methode om de kwadatische veelterm in het linkerlid van (1) te ontbinden in lineaire factoren is evengoed bruikbaar als a ≠ 1. Hiervoor moet je op zoek gaan naar twee gehele getallen waarvan het product gelijk is aan ac terwijl de som gelijk is aan b.

Eerst een eenvoudig voorbeeld. Stel je wil de volgende vierkantsvergelijking oplossen waarvan gegeven is dat deze rationale oplossingen heeft:

12x² − 11x + 2 = 0

We hebben hier a = 12, b = −11, c = 2. We zoeken nu twee gehele getallen waarvan het product gelijk is aan ac = 24 terwijl de som gelijk is aan b = −11. Het is (hier) niet moeilijk te zien dat de gezochte getallen −8 en −3 zijn. We splitsen nu eerst −11x op in −8x en −3x, zodat we krijgen:

12x² − 8x − 3x + 2 = 0

Nu zie je dat de eerste twee termen 12x² en 8x een factor 4x gemeen hebben die we dus buiten haakjes kunnen halen. Het tweede tweetal −3x en 2 heeft hier geen factor gemeen die we buiten haakjes kunnen halen (behalve 1 of −1), dus die laten we even zo staan. Dan krijgen we:

4x(3x − 2) − 3x + 2 = 0

En aangezien −3x + 2 = −(3x − 2) kunnen we dit herschrijven als:

4x(3x − 2) − (3x − 2) = 0

Nu hebben we in het linkerlid van de vergelijking twee termen met een gemeenschappelijke factor (3x − 2) die we dus weer buiten haakjes kunnen halen, en dan krijgen we:

(4x − 1)(3x − 2) = 0

Nu kan een product alleen gelijk zijn aan nul als (tenminste) één van de factoren nul is, zodat moet gelden:

4x − 1 = 0 ∨ 3x − 2 = 0

En dus:

x = 1/4 ∨ x = 2/3

Hiermee is de vergelijking opgelost.

Maar goed, nu wil je natuurlijk weten waarom dit zo werkt. Dat is elementaire algebra, die je heel vroeger toen er nog onderwijs was gewoon op school leerde. Maar ik zal het hier nog maar eens uitleggen.

Wat we willen is vergelijking (1) omvormen tot een vergelijking van de gedaante:

(2) (px + q)(rx + s) = 0

waarin p, q, r, s gehele getallen zijn. Welnu, uitwerken van de haakjes in (2) levert:

(3) prx² + (ps + qr)x + qs = 0

Door nu de coëfficiënten van (3) te vergelijken met de coëfficiënten van (1) zien we dat we moeten hebben:

(4) pr = a, ps + qr = b, qs = c

We kennen a, b, c en de kunst is nu om vier gehele getallen p, q, r, s te vinden die aan (4) voldoen. Dat lijkt een vrij hopeloze opgave, maar dat is niet zo omdat we kunnen bedenken dat we hebben:

(5) ac = pr·qs = ps·qr

Als je nu (4) en (5) bekijkt zie je dat we het vinden van p, q, r, s sterk kunnen vereenvoudigen door eerst twee getallen ps en qr te zoeken waarvan het product gelijk is aan ac en de som gelijk is aan b, en dat is over het algemeen niet zo moeilijk. Hebben we ps en qr, dan kunnen we in (1) bx alvast vervangen door (ps + qr)x = ps·x + qr·x zodat we krijgen:

(6) ax² + psx + qrx + c = 0

Hierna is het niet moeilijk meer om de ontbinding te voltooien. Immers, in (6) heeft het eerste tweetal termen ax² = prx² en psx een factor px gemeen en het tweede tweetal termen qrx en c = qs heeft een factor q gemeen. Dus is het mogelijk om (6) om te vormen tot:

(7) px(rx + s) + q(rx + s) = 0

En aangezien de beide termen in (7) een factor (rx + s) gemeen hebben, kunnen we deze factor weer buiten haakjes halen en daarmee (7) eenvoudig omvormen tot (2), en dat was precies de bedoeling. Hiermee is dus verklaard waarom de methode werkt, en waarom we moeten zoeken naar twee getallen waarvan het product ac is en de som b.

quote:

Over jouw vraagstuk heb ik een hele tijd nagedacht, maar ik kom er niet uit. Uitleg op YouTube werkt ook niet; wordt weer een truc gebruikt.

Nu terug naar de opgave. De vraag was om

30p² − 11pq − 30q²

te ontbinden in lineaire factoren. Zoals je zelf al had opgemerkt, kun je deze uitdrukking opvatten als een kwadratische veelterm in p van de gedaante ap² + bp + c met a = 30, b = −11q, c = −30q². Willen we deze veelterm ontbinden in factoren met de product-som methode, dan moeten we dus op zoek gaan naar twee grootheden waarvan het product gelijk is aan ac = −900q² terwijl de som gelijk is aan b = −11q. Nu zou het niet te moeilijk meer moeten zijn om deze veelterm te ontbinden, maar dat mag je zelf even uitwerken.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 19:28 schreef Riparius het volgende:
Nu hebben we in het linkerlid van de vergelijking twee termen met een gemeenschappelijke factor (3x − 2) die we dus weer buiten haakjes kunnen halen, en dan krijgen we:

(4x − 1)(3x − 2) = 0

We gaan eerst iets ontbinden... Om het daarna weer buiten de haakjes te halen?

Aangezien ik die stap niet helemaal snap, heb ik nu: 6p(5p-6q)+5q(5p-6q).

[ Bericht 11% gewijzigd door netchip op 28-06-2014 21:11:49 ]

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 20:11 schreef netchip het volgende:

[..]

We gaan eerst iets ontbinden... Om het daarna weer buiten de haakjes te halen?

Aangezien ik die stap niet helemaal snap, heb ik nu: 6p(5p-6q)+5q(5p-6q).

Dit is dus waar je
xy + xz = x(y + z) moet toepassen. Of eigenlijk yx + zx = (y + z)x

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 21:19 schreef defineaz het volgende:

[..]

Dit is dus waar je
xy + xz = x(y + z) moet toepassen. Of eigenlijk yx + zx = (y + z)x

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Oh, ik zie het nu! (5p-6q)(6p+5q)

Waarom leer ik zulke dingen niet op school? Ik kan me hier echt aan irriteren, ik zal opsommen wat ik de afgelopen drie jaar heb geleerd:
- Termen met gemeenschappelijke factoren optellen (zeg ik dit goed?)
- De hoeken in een driehoek zijn bij elkaar 180 graden
- Overstaande hoeken zijn hetzelfde
- Ontbinden van tweedegraads polynomen, met a = 1
- De abc-formule
- De goniometrische formules

That's it. Het is werkelijk schandalig.

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 19:28 schreef Riparius het volgende:

[..]

De algemene gedaante van een vierkantsvergelijking met het rechterlid herleid op nul is:

(1) ax² + bx + c = 0

waarbij a, b en c vaste (gewoonlijk reële) getallen zijn en a ≠ 0 omdat we anders geen kwadratische term meer zouden hebben.

Als a, b en c gehele getallen zijn en je weet - of vermoedt - dat de vergelijking rationale oplossingen heeft, dan kun je proberen deze vergelijking op te lossen door ontbinden in factoren. De product-som methode om de kwadatische veelterm in het linkerlid van (1) te ontbinden in lineaire factoren is evengoed bruikbaar als a ≠ 1. Hiervoor moet je op zoek gaan naar twee gehele getallen waarvan het product gelijk is aan ac terwijl de som gelijk is aan b.

Eerst een eenvoudig voorbeeld. Stel je wil de volgende vierkantsvergelijking oplossen waarvan gegeven is dat deze rationale oplossingen heeft:

12x² − 11x + 2 = 0

We hebben hier a = 12, b = −11, c = 2. We zoeken nu twee gehele getallen waarvan het product gelijk is aan ac = 24 terwijl de som gelijk is aan b = −11. Het is (hier) niet moeilijk te zien dat de gezochte getallen −8 en −3 zijn. We splitsen nu eerst −11x op in −8x en −3x, zodat we krijgen:

12x² − 8x − 3x + 2 = 0

Nu zie je dat de eerste twee termen 12x² en 8x een factor 4x gemeen hebben die we dus buiten haakjes kunnen halen. Het tweede tweetal −3x en 2 heeft hier geen factor gemeen die we buiten haakjes kunnen halen (behalve 1 of −1), dus die laten we even zo staan. Dan krijgen we:

4x(3x − 2) − 3x + 2 = 0

En aangezien −3x + 2 = −(3x − 2) kunnen we dit herschrijven als:

4x(3x − 2) − (3x − 2) = 0

Nu hebben we in het linkerlid van de vergelijking twee termen met een gemeenschappelijke factor (3x − 2) die we dus weer buiten haakjes kunnen halen, en dan krijgen we:

(4x − 1)(3x − 2) = 0

Nu kan een product alleen gelijk zijn aan nul als (tenminste) één van de factoren nul is, zodat moet gelden:

4x − 1 = 0 ∨ 3x − 2 = 0

En dus:

x = 1/4 ∨ x = 2/3

Hiermee is de vergelijking opgelost.

Maar goed, nu wil je natuurlijk weten waarom dit zo werkt. Dat is elementaire algebra, die je heel vroeger toen er nog onderwijs was gewoon op school leerde. Maar ik zal het hier nog maar eens uitleggen.

Wat we willen is vergelijking (1) omvormen tot een vergelijking van de gedaante:

(2) (px + q)(rx + s) = 0

waarin p, q, r, s gehele getallen zijn. Welnu, uitwerken van de haakjes in (2) levert:

(3) prx² + (ps + qr)x + qs = 0

Door nu de coëfficiënten van (3) te vergelijken met de coëfficiënten van (1) zien we dat we moeten hebben:

(4) pr = a, ps + qr = b, qs = c

We kennen a, b, c en de kunst is nu om vier gehele getallen p, q, r, s te vinden die aan (4) voldoen. Dat lijkt een vrij hopeloze opgave, maar dat is niet zo omdat we kunnen bedenken dat we hebben:

(5) ac = pr·qs = ps·qr

Als je nu (4) en (5) bekijkt zie je dat we het vinden van p, q, r, s sterk kunnen vereenvoudigen door eerst twee getallen ps en qr te zoeken waarvan het product gelijk is aan ac en de som gelijk is aan b, en dat is over het algemeen niet zo moeilijk. Hebben we ps en qr, dan kunnen we in (1) bx alvast vervangen door (ps + qr)x = ps·x + qr·x zodat we krijgen:

(6) ax² + psx + qrx + c = 0

Hierna is het niet moeilijk meer om de ontbinding te voltooien. Immers, in (6) heeft het eerste tweetal termen ax² = prx² en psx een factor px gemeen en het tweede tweetal termen qrx en c = qs heeft een factor q gemeen. Dus is het mogelijk om (6) om te vormen tot:

(7) px(rx + s) + q(rx + s) = 0

En aangezien de beide termen in (7) een factor (rx + s) gemeen hebben, kunnen we deze factor weer buiten haakjes halen en daarmee (7) eenvoudig omvormen tot (2), en dat was precies de bedoeling. Hiermee is dus verklaard waarom de methode werkt, en waarom we moeten zoeken naar twee getallen waarvan het product ac is en de som b.

[..]

Nu terug naar de opgave. De vraag was om

30p² − 11pq − 30q²

te ontbinden in lineaire factoren. Zoals je zelf al had opgemerkt, kun je deze uitdrukking opvatten als een kwadratische veelterm in p van de gedaante ap² + bp + c met a = 30, b = −11q, c = −30q². Willen we deze veelterm ontbinden in factoren met de product-som methode, dan moeten we dus op zoek gaan naar twee grootheden waarvan het product gelijk is aan ac = −900q² terwijl de som gelijk is aan b = −11q. Nu zou het niet te moeilijk meer moeten zijn om deze veelterm te ontbinden, maar dat mag je zelf even uitwerken.

Riparius (en anderen), dank je voor de moeite die je hebt genomen om mij dit uit te leggen. Ik waardeer dit heel erg!

quote:

Op zaterdag 28 juni 2014 21:27 schreef netchip het volgende:

[..]

Oh, ik zie het nu! (5p-6q)(6p+5q)

Dat is correct.

Nog even een toelichting voor anderen die hier meelezen: we zochten twee grootheden waarvan het product −900q² moest zijn en de som −11q. Het is duidelijk dat elk van de gezochte grootheden dan één factor q moet hebben, aangezien de som anders geen veelvoud van q kan zijn.

Verder moeten we dan zoeken naar twee getallen met als product −900 en als som −11. Het is duidelijk dat één van deze beide getallen negatief moet zijn en het andere positief. Als we de juiste tekens (plus of min) even buiten beschouwing laten betekent dit dat we zoeken naar twee getallen met als product 900 en waarvan het verschil 11 bedraagt. Louter uitproberen is bij wat grotere getallen niet zo handig, dan is het beter het product eerst te ontbinden in priemfactoren. Dit geeft

900 = 2²·3²·5²

Nu is het duidelijk dat de gezochte getallen niet beide even kunnen zijn, omdat het verschil van twee even getallen weer even is, en dus niet 11 kan zijn. De beide factoren 2 moeten dus in één van de beide getallen zitten. Ook is het duidelijk dat het verschil van twee drievouden of twee vijfvouden weer een drievoud resp. een vijfvoud is, en dus niet 11 kan zijn. De beide factoren 3 moeten dus in één van de beide getallen zitten en de beide factoren 5 ook. Dan blijven er nog maar een paar mogelijkheden over en zie je snel dat 2²·3² = 36 en 5² = 25 de gezochte getallen zijn, afgezien van de juiste tekens. Nu moeten we nog één van deze twee getallen van een minteken voorzien, en aangezien de som −11 moet zijn is het duidelijk dat 25 en −36 de gezochte getallen zijn.

De gezochte grootheden met als product −900q² en als som −11q zijn dus 25q en −36q. We krijgen zo

30p² − 11pq − 30q² = 30p² + 25pq − 36pq − 30q² = 5p(6p + 5q) − 6q(6p + 5q) = (5p − 6q)(6p + 5q)

quote:

Waarom leer ik zulke dingen niet op school? Ik kan me hier echt aan irriteren, ik zal opsommen wat ik de afgelopen drie jaar heb geleerd:
- Termen met gemeenschappelijke factoren optellen (zeg ik dit goed?)
- De hoeken in een driehoek zijn bij elkaar 180 graden
- Overstaande hoeken zijn hetzelfde
- Ontbinden van tweedegraads polynomen, met a = 1
- De abc-formule
- De goniometrische formules

That's it. Het is werkelijk schandalig.

[ Bericht 2% gewijzigd door Riparius op 29-06-2014 13:40:28 ]

Wow, dat deduceren van de kenmerken van de gezochte getallen is echt baas ! Meestal voer ik dat onbewust uit (m.u.v. het ontbinden in priemfactoren en het bepalen dat één van de twee getallen even moet zijn), maar om het uitgeschreven te zien is toch wat anders.

Lijkt me ook simpel genoeg om gewoon twee vergelijkingen dan op te stellen toch?

x*y = -900
x-y = -11

En dan rollen ze er ook zo uit. Hoewel dit priemfactoren verhaal ook wel nice is.

quote:

Op zondag 29 juni 2014 00:54 schreef Inaithnir het volgende:
Lijkt me ook simpel genoeg om gewoon twee vergelijkingen dan op te stellen toch?

x*y = -900
x+y = -11

En dan rollen ze er ook zo uit. Hoewel dit priemfactoren verhaal ook wel nice is.

Als je dit stelsel wil oplossen (waarbij de som van de gezochte getallen −11 is, niet het verschil) en je elimineert één van de beide onbekenden, dan kom je weer uit op een vierkantsvergelijking. Dan draai je in een kringetje als je twee getallen zoekt waarvan product en som zijn gegeven teneinde een vierkantsvergelijking op te lossen door ontbinden in factoren. Stel namelijk dat je de vierkantsvergelijking

z² − 11z − 900 = 0

zou willen oplossen door ontbinden in factoren. Dan moet je dus twee getallen x en y vinden waarvan de som −11 is en het product −900. Elimineer je echter de y uit bovenstaand stelsel, dan kom je uit op

x² + 11x − 900 = 0

Wil je nu deze vergelijking oplossen door ontbinden in factoren, dan moet je twee getallen w en z vinden zodanig dat wz = −900 en w + z = 11. Elimineer je w uit dit stelsel, dan kom je weer uit op bovenstaande vergelijking in z, en daarmee ben je weer terug bij af.

Nu zul je waarschijnlijk tegenwerpen dat er ook andere methoden zijn om bovenstaande vierkantsvergelijking in x op te lossen, en dat klopt, maar daarmee schiet je wel je doel voorbij, want dan had je beter direct bovenstaande oorspronkelijke vergelijking in z op een andere manier kunnen oplossen dan door ontbinden in factoren.

Er is overigens wel een manier om deze vicieuze cirkel te vermijden. Uit xy = −900 en x + y = −11 volgt

(x − y)² = (x + y)² − 4xy = 121 − (−4·900) = 3721

en dus

x − y = 61

Uiteraard is x − y = −61 ook mogelijk, maar aangezien het inverteren van het teken van het verschil van x en y neerkomt op het omwisselen van x en y hebben we aan één waarde voor het verschil genoeg. Nu hebben we

2x = (x + y) + (x − y) = −11 + 61 = 50, dus x = 25

en

2y = (x + y) − (x − y) = −11 − 61 = −72, dus y = −36

Zo kan het dus wel, maar je ziet dat dit toch meer werk is dan het ontbinden van 900 in priemfactoren en even kijken welke combinaties van priemfactoren afvallen.

De strategie om het product van de gezochte grootheden zo ver mogelijk te ontbinden in factoren is ook bruikbaar als de grootheden in kwestie geen concrete getallen zijn. Stel dat je wordt gevraagd om de kwadratische veelterm

2bx² − (a + b)²x + (a + b)²(a − b)

in de variabele x te ontbinden in lineaire factoren in x (waarbij is gegeven dat dit inderdaad mogelijk is), dan kun je als volgt te werk gaan. We zoeken nu twee grootheden waarvan het product gelijk moet zijn aan 2b(a + b)²(a − b) terwijl de som gelijk moet zijn aan −(a + b)². Dit lijkt lastig, maar je kunt als volgt redeneren. Het product bevat de factoren

2, b, (a + b), (a + b), (a − b)

en deze vijf factoren moeten we nu verdelen over twee grootheden. Kennelijk bevat elk van de beide gezochte grootheden één factor (a + b), anders zou de som geen factor (a + b) bevatten. Dan moeten we alleen nog de drie resterende factoren 2, b, (a − b) verdelen, en dan is het duidelijk dat we de factoren 2 en b in de ene grootheid moeten stoppen, en de factor (a − b) in de andere grootheid, aangezien 2b + (a − b) = (a + b) en aangezien de som nog een tweede factor (a + b) bevat. De gezochte grootheden zijn dus −(a + b)2b en −(a + b)(a − b) zodat we kunnen schrijven

2bx² − (a + b)2bx − (a + b)(a − b)x + (a + b)²(a − b)

en dus

2bx·(x − (a + b)) − (a + b)(a − b)·(x − (a + b))

Nu kunnen we de factor (x − (a + b)) buiten haakjes halen en hebben we dus

(2bx − (a + b)(a − b))·(x − (a + b))

en met gebruikmaking van het merkwaardig product (a + b)(a − b) = a² − b² is dit nog te schrijven als

(2bx − (a² − b²))·(x − (a + b))

edit: zie nu pas dat dit het wiskunde topic is.. sorry!

Ik schaam me om deze vraag te stellen...

Ik heb . Ik wil deze breuk versimpelen. Wat ik normaal zou doen is de 1+1/(u+1) versimpelen. Dat maakt . Maar wat dan? Ik zou zeggen . Dit is echter fout. Kan iemand aanwijzen waar ik de denkfout maak?

Het is u + 1 gedeeld door (u+2)/(u + 1),
niet (u+1)/(u+2) gedeeld door u + 1.

Delen door een breuk.. etc

quote:

Op zaterdag 5 juli 2014 12:21 schreef Anoonumos het volgende:
Het is u + 1 gedeeld door (u+2)/(u + 1),
niet (u+1)/(u+2) gedeeld door u + 1.

Delen door een breuk.. etc

Dat was erg dom van me.

quote:

Op zaterdag 5 juli 2014 12:12 schreef netchip het volgende:
Ik schaam me om deze vraag te stellen...

Ik heb . Ik wil deze breuk versimpelen. Wat ik normaal zou doen is de 1+1/(u+1) versimpelen. Dat maakt . Maar wat dan? Ik zou zeggen . Dit is echter fout. Kan iemand aanwijzen waar ik de denkfout maak?

Delen door a/b is hetzelfde als vermenigvuldigen met b/a. Maar nog eenvoudiger is hier om teller en noemer van je oorspronkelijke breuk met (u+1) te vermenigvuldigen. In de teller krijg je dan (u+1)² en in de noemer (u+1)+1 = u+2.

quote:

Op zaterdag 5 juli 2014 13:56 schreef Riparius het volgende:

[..]

Delen door a/b is hetzelfde als vermenigvuldigen met b/a. Maar nog eenvoudiger is hier om teller en noemer van je oorspronkelijke breuk met (u+1) te vermenigvuldigen. In de teller krijg je dan (u+1)² en in de noemer (u+1)+1 = u+2.

Dit was weer een goed voorbeeld van mijn onnauwkeurigheid op bepaalde momenten.

Wat je schrijft klopt overigens wel, het is hier alleen niet zo bruikbaar om de breuk te vereenvoudigen. Zie je ook waarom?

De notatie voor breuken kan soms verwarrend zijn. Als je hebt, is het soms lastig te zien of je a/(b/c) bedoelt of (a/b)/c. Kan het zijn dat je daardoor in de war raakt?

Als je namelijk hebt (wat niet hetzelfde is als de breuk die jij probeert te vereenvoudigen) kan je wel gebruiken wat jij nu probeerde.

Als je in de war raakt, kan je proberen de notatie (a/b) voor breuken te gebruiken (of gewoon haakjes om je breuken te zetten) en je te herinneren dat vermenigvuldigen en delen zich onderling zo gedragen als optellen en aftrekken. Hoewel dit niet helpt bij het vereenvoudigen, dwingt dit je wel de volgorde van de operaties te begrijpen, en is het misschien intuitief iets makkelijker om te begrijpen wat er gebeurt.

Daarnaast: vaak is teller en noemer vermenigvuldigen met hetzelfde getal een trucje wat vaak werkt. Als je ook weet dat (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 kan je dit trucje ook gebruiken om breuken waarin teller en noemer ccomplexe getallen zijn te vereenvoudigen.

Ik ben nu bezig met Rudin's Principles of Mathematical Analysis en het maken van de meeste opgaven gaat verbazingwekkend goed. Maar elk hoofdstuk heeft wat vragen die me gewoon maar niet lukken, zoals deze:
https://www.dropbox.com/s/9izr76oi5zd1m58/baby%20rudin.png
Is dit erg? Want op het internet lees ik erg veel tegenstrijdige meningen. De een vindt dat je alle vragen moet doen en dat ze lukken terwijl de ander van mening is dat enkel proberen genoeg is.

En mijn god zeg, wat is dit boek pittig.

quote:

Op maandag 7 juli 2014 16:28 schreef Novermars het volgende:
Ik ben nu bezig met Rudin's Principles of Mathematical Analysis en het maken van de meeste opgaven gaat verbazingwekkend goed. Maar elk hoofdstuk heeft wat vragen die me gewoon maar niet lukken, zoals deze:
https://www.dropbox.com/s/9izr76oi5zd1m58/baby%20rudin.png
Is dit erg? Want op het internet lees ik erg veel tegenstrijdige meningen. De een vindt dat je alle vragen moet doen en dat ze lukken terwijl de ander van mening is dat enkel proberen genoeg is.

En mijn god zeg, wat is dit boek pittig.

Nouja, of dat erg is moet je maar voor jezelf bedenken. Het belangrijkste is denk ik dat je het idee achter de vraag begrijpt. Het is niet zo'n schande als je het bewijs niet kan vinden (al zullen sommigen daar anders over denken). Nu is het natuurlijk ook de vraag wat je precies wil oefenen en hoeveel tijd je hebt, en ook wel hoeveel aanleg je hebt. Ik vind het meestal genoeg om de vragen door te lezen, en de interessante vragen te maken (bijvoorbeeld die waarvan de aanpak niet direct duidelijk is, of die die een techniek vereisen die ik wil oefenen).

Hoe zit het met 'complexe' exponenten? Als je de identiteit van Euler hebt, , hoe kan je e dan verheffen tot de macht i maal pi?

quote:

Op woensdag 9 juli 2014 17:53 schreef netchip het volgende:
Hoe zit het met 'complexe' exponenten? Als je de identiteit van Euler hebt, , hoe kan je e dan verheffen tot de macht i maal pi?

Met deze formule

Euler's formule

Zo heb je ook de complexe logarithme
log z = Log |z| + i arg z, waar Log the logarithme voor positieve getallen is.
en arg alle mogelijke argumenten van z.

[ Bericht 5% gewijzigd door t4rt4rus op 09-07-2014 18:07:39 ]

quote:

Op woensdag 9 juli 2014 17:53 schreef netchip het volgende:
Hoe zit het met 'complexe' exponenten? Als je de identiteit van Euler hebt, , hoe kan je e dan verheffen tot de macht i maal pi?

Dit is een beetje vage vraag zo.

Ik neem aan dat je de waarde van e tot de macht i maal pi wil weten? Kijk eens naar die formule: daarin is e al tot de macht i maal pi genomen.

Als je meer in het algemeen bedoelt hoe men aan deze waarde is gekomen, dan zijn er verschillende manieren. Misschien de makkelijkste is om naar machtreeks ontwikkelingen voor e, sinus en cosinus te kijken. Ik ga dat niet hier uittypen, als het je interesseert kan je googlen of wolfram alhpa gebruiken om de taylorreeksen van e^x, sinus en cosinus op te zoeken, en de machtreeks van e^x te bekijken als je bijvoorbeeld x = iy substitueert, en gebruikt dat
i^2 = i^6 = ... = -1
i^3 = i^7 = ... = -i
i^4 = i^8 = ... = 1
i^5 = i^9 = ... = i

Daarnaast is er nog een wat inzichtelijkere manier, die Riparius een keer heeft uitgelegd en die gebruiktmaakt van een geometrische interpretatie (maar hiervoor moet je wel de geometrische interpretaties van complexe getallen en hun producten kennen).

quote:

Op woensdag 9 juli 2014 18:00 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Met deze formule
[ afbeelding ]
Euler's formule

Zo heb je ook de complexe logarithme
log z = Log |z| + i arg z, waar Log the logarithme voor positieve getallen is.
en arg alle mogelijke argumenten van z.

Ah, OK. Hoe zou ik kunnen uitrekenen?

quote:

Op woensdag 9 juli 2014 18:09 schreef defineaz het volgende:

[..]

Dit is een beetje vage vraag zo.

Ik neem aan dat je de waarde van e tot de macht i maal pi wil weten? Kijk eens naar die formule: daarin is e al tot de macht i maal pi genomen.

Als je meer in het algemeen bedoelt hoe men aan deze waarde is gekomen, dan zijn er verschillende manieren. Misschien de makkelijkste is om naar machtreeks ontwikkelingen voor e, sinus en cosinus te kijken. Ik ga dat niet hier uittypen, als het je interesseert kan je googlen of wolfram alhpa gebruiken om de taylorreeksen van e^x, sinus en cosinus op te zoeken, en de machtreeks van e^x te bekijken als je bijvoorbeeld x = iy substitueert, en gebruikt dat
i^2 = i^6 = ... = -1
i^3 = i^7 = ... = -i
i^4 = i^8 = ... = 1
i^5 = i^9 = ... = i

Daarnaast is er nog een wat inzichtelijkere manier, die Riparius een keer heeft uitgelegd en die gebruiktmaakt van een geometrische interpretatie (maar hiervoor moet je wel de geometrische interpretaties van complexe getallen en hun producten kennen).

Hier zou ik naar kunnen kijken; alhoewel dit wel een beetje buiten mijn kunnen ligt, denk ik.

Wanneer weet je of dat je aanleg hebt voor wiskunde? Mensen nemen vaak aan: hoog cijfer voor wiskunde -> talent. Dat geloof ik niet 100%. Ik ben namelijk benieuwd hoe het met mij zit. Ik zal even wat achtergrond informatie geven. Ik zit in 3 vwo (na de zomervakantie 4 vwo), heb plezier in wiskunde en sta er dan ook een goed cijfer voor. In mijn vrije tijd ben ik bezig met het lezen van een calculus boek en het maken van opdrachten. Dit gaat mij vrij goed af. Ik hoef voor het 'gewone' boek (Getal en Ruimte) ook nauwelijks moeite te doen, ik snap het in een keer. Het bewijzen van stellingen gaat ongeveer zo bij mij: .

Interpreteer deze vraag niet als arrogantie, of zoiets. Ik ben oprecht benieuwd naar of dat ik nu een hoog cijfer haal door mijn interesse, of doordat ik aanleg heb.

Achten zonder te leren haal je door aanleg. Alles daarboven komt door interesse én hard werken.

Verder is WA perfect om dingen te berekenen: http://www.wolframalpha.com/input/?i=5%5E%285i%29

Probeer maar eens uit te leggen dat

quote:

Op woensdag 9 juli 2014 20:37 schreef Novermars het volgende:
Achten zonder te leren haal je door aanleg. Alles daarboven komt door interesse én hard werken.

Verder is WA perfect om dingen te berekenen: http://www.wolframalpha.com/input/?i=5%5E%285i%29

Probeer maar eens uit te leggen dat

Is die 5log(5) bedoelt als ⁵log(5) of als 5ln(5)?

Leren voor wiskunde heb ik nooit gedaan. Een half uurtje serieus werken in de les is genoeg om het huiswerk af te hebben.

quote:

Op woensdag 9 juli 2014 20:54 schreef netchip het volgende:

[..]

Is die 5log(5) bedoelt als ⁵log(5) of als 5ln(5)?

Leren voor wiskunde heb ik nooit gedaan. Een half uurtje serieus werken in de les is genoeg om het huiswerk af te hebben.

Probeer daar eens zelf uit te komen.
Hele dikke hint is het gene waar 5log5 in staat.

quote:

Op woensdag 9 juli 2014 20:54 schreef netchip het volgende:

[..]

Is die 5log(5) bedoelt als ⁵log(5) of als 5ln(5)?

Leren voor wiskunde heb ik nooit gedaan. Een half uurtje serieus werken in de les is genoeg om het huiswerk af te hebben.

Oh joh, ik dacht dat je al aan het studeren was

Bij wiskunde wordt meestal de 'natuurlijke logaritme' bedoeld, die op de middelbare school met ln wordt genoteerd. In dit geval is dat ook zo. Probeer eens te bedenken hoe je 5^x om kan schrijven in de vorm e^y, dan ben je al een heel eind

Welk calculusboek ben je aan het lezen? Ik vind het altijd wel apart dat calculus in de VS als het summum van de wiskunde wordt gezien, terwijl de ideeën erachter echt heel erg elementair zijn vergeleken met veel andere wiskunde

quote:

Op woensdag 9 juli 2014 21:00 schreef defineaz het volgende:

[..]

Oh joh, ik dacht dat je al aan het studeren was

Bij wiskunde wordt meestal de 'natuurlijke logaritme' bedoeld, die op de middelbare school met ln wordt genoteerd. In dit geval is dat ook zo. Probeer eens te bedenken hoe je 5^x om kan schrijven in de vorm e^y, dan ben je al een heel eind

Welk calculusboek ben je aan het lezen? Ik vind het altijd wel apart dat calculus in de VS als het summum van de wiskunde wordt gezien, terwijl de ideeën erachter echt heel erg elementair zijn vergeleken met veel andere wiskunde

Ik denk dat het misschien wel beter is als hij iets van discrete wiskunde/grafentheorie/lineaire algebra gaat doen in plaats van calculus.

Calculus is veelal het toepassen van een stappenplan, terwijl de dingen die ik net opnoemde misschien wel veel beter zijn om een wiskundetalent te ontkiemen.

quote:

Op woensdag 9 juli 2014 20:37 schreef Novermars het volgende:
Achten zonder te leren haal je door aanleg. Alles daarboven komt door interesse én hard werken.

Verder is WA perfect om dingen te berekenen: http://www.wolframalpha.com/input/?i=5%5E%285i%29

Probeer maar eens uit te leggen dat

Ben nog bezig met het volledig uitdenken, dit is wat ik tot nu toe heb: . Bij mijn voorbeeld 5⁵ⁱ is x is 5. . Die ⁵log kan je dan omrekenen door te doen: ln(5)/ln(5).

Ik heb het gevoel dat ik iets mis. Het meest logische zou zijn dat de rekenregels voor complexe getallen niet hetzelfde zijn als voor de reele getallen.

[ Bericht 3% gewijzigd door netchip op 09-07-2014 21:38:49 ]

quote:

Op woensdag 9 juli 2014 21:33 schreef netchip het volgende:

[..]

Ben nog bezig met het volledig uitdenken, dit is wat ik tot nu toe heb: . Bij mijn voorbeeld 5⁵ⁱ is x is 5. . Die ⁵log kan je dan omrekenen door te doen: ln(5)/ln(5).

Ik heb het gevoel dat ik iets mis. Het meest logische zou zijn dat de rekenregels voor complexe getallen niet hetzelfde zijn als voor de reele getallen.

de log is een natuurlijk logarithme niet 5log.
5 log 5 is dus 5 * log 5