Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!
Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).
Links:
• http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
• http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
• http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
• http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
• http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...
OP
Handig:
Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden:
www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d
stel x=a en sqrt(x) = bquote:Op dinsdag 16 oktober 2012 22:35 schreef OhNoes het volgende:
even een klein vraagje; (x*sqrtx)² = x² * x V x * x?
(ab)^2=a^2b^2=x^2(sqrtx)^2=x^2*x=x^3
Weet alleen niet zeker of dit de "wortel opheft", of dat deze dan alleen bestaat voor positieve x.
Oke, weer wat geleerd :]quote:Op dinsdag 16 oktober 2012 22:36 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
De V is wat anders als het woordje 'en', aan beide kanten van de V moeten situaties staan, dus je bedoelt:
(x*sqrtx)² = x² * x V (x*sqrtx)² = x * x
en dat is een ware uitspraak.
Maar de vraag was eigenlijk of de uitkomst x² * x was, of dat de uitkomst x * x was?
Ik denk x² * x
Pas de rekenregel (a∙b)p = ap∙bp toe.quote:
[..]
Oke, weer wat geleerd :]
Maar de vraag was eigenlijk of de uitkomst x² * x was, of dat de uitkomst x * x was?
Ik denk x² * x
Om sin(x)∙sinh(x) te primitiveren kun je gebruik maken van de regel voor partieel integreren. Dit is de tegenhanger van de productregel bij het differentiëren. De afgeleide van u(x)∙v(x) naar x is u'(x)∙v(x) + u(x)∙v'(x), en dus hebben we ook:quote:
Ik snap trouwens niet hoe ik te werk moet gaan bij het integreren van een "normale" goniometrische functie en een hyperbolische, dwz functies van het type sin(x)sinh(x), cos(x)/cosh(x) etc. Apart lukt wel maar juist bij vermenigvuldigen/delen etc. zou ik eigenlijk niet weten waar te beginnen.
Aangezien du = u'(x)⋅dx en dv = v'(x)⋅dx kun je dit compacter opschrijven als:
Zie ook hier. Probeer nu zelf eens ∫ sin(x)∙sinh(x)⋅dx te bepalen met behulp van deze regel. Hint: je moet de regel tweemaal toepassen. Een primitieve van cos(x)/cosh(x) is overigens niet in elementaire functies uit te drukken.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 17-10-2012 02:01:51 ]
Ik kan ook andere vakken kiezen zodat ik geen scriptie hoef te maken, maar het lijkt me eigenlijk wel leuk.
Ik ben wel een beetje bang dat ik met mijn scriptie niet echt wat zal kunnen 'toevoegen'. Het is ook toegestaan een samenvattende scriptie te schrijven, maar dat lijkt me toch net wat minder. Iemand ideeën of nog leuker, wie heeft er al een (bachelor)scriptie gedaan en waarover?
Als ik jou was zou ik het denk ik zoeken in de richting van algoritmes die je ergens op kan toepassen, zeker als je ook informatica studeert. En dan misschien verschillende algoritmes schrijven en performance vergelijken. Er is dan meestal ook wel ruimte om zelf met je algoritmes te klooien om het te verbeteren. Er zit toch een stuk theorie achter, maar je bent ook wel echt zelf bezig.
Thanks! Dat wist ik niet zo meer, uit mijn hoofd.quote:
tan(a+b) = (tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))
Je moet trouwens tan(α - β) = (tan α - tan β)/(1 + tan α∙tan β) gebruiken. Zie mijn PDF over goniometrische identiteiten. En schrijf 54° om aan te geven dat je in graden werkt, of schrijf in plaats daarvan (3/10)∙π.quote:Op donderdag 18 oktober 2012 16:40 schreef Dale. het volgende:
[..]
Thanks! Dat wist ik niet zo meer, uit mijn hoofd.
I know maar kon het ° niet zo snel vinden in speciale tekens. En dacht toch wel dat 54 graden duidelijk wasquote:
[..]
Je moet trouwens tan(α - β) = (tan α - tan β)/(1 + tan α∙tan β) gebruiken. Zie mijn PDF over goniometrische identiteiten. En schrijf 54° om aan te geven dat je in graden werkt, of schrijf in plaats daarvan (3/10)∙π.
. En het eerste wist ik ook :-)Je kunt (bij de in Nederland standaard gebruikte toetsenbordindeling VS internationaal) een ° typen door de rechter Alt toets en de Shift toets ingedrukt te houden en dan : te typen (op de toets waar ook ; zit). Het was inderdaad wel duidelijk dat het graden moesten zijn want een arcus tangens ligt altijd tussen -½π en +½π (rad) oftewel -90° en +90°.quote:
[..]
I know maar kon het ° niet zo snel vinden in speciale tekens. En dacht toch wel dat 54 graden duidelijk was
∩
∪
⊂
⋅
≤
Netjes. Wel handig als je één symbooltje als ≤ wil en dan niet direct die tex-tags hoeft te typen.
Dat is inderdaad wel een goed idee, ik zag bij een paar andere bachelorscripties inderdaad ook dat idee (en dat ze inderdaad ook echt een algoritme konden verbeteren, qua looptijd). Goed onthouden trouwens dat ik ook informatica doequote:
Ik was zelf ook niet voor een theoretische bsc-scriptie gegaan, want dan wordt het meestal toch niet veel meer dan een uitgebreid literatuuronderzoek. Alhoewel dat er ook wel voor kan zorgen dat je leert waar wel/niet je interesses liggen, buiten de standaard vakken.
Als ik jou was zou ik het denk ik zoeken in de richting van algoritmes die je ergens op kan toepassen, zeker als je ook informatica studeert. En dan misschien verschillende algoritmes schrijven en performance vergelijken. Er is dan meestal ook wel ruimte om zelf met je algoritmes te klooien om het te verbeteren. Er zit toch een stuk theorie achter, maar je bent ook wel echt zelf bezig.
.Omdat de tree dan te groot wordt bedoel je?quote:
dus bij schaken werkt het niet zo goed
Dat, en omdat er te weinig geforceerde varianten in zitten.quote:
[..]
Omdat de tree dan te groot wordt bedoel je?
Ken ik niet nee. Toevallig ben ik nu wel bezig met een practicum waarbij je moet uitzoeken of er een winnende tactiek mogelijk is bij het schaken (dus ik weet niet, het zal wel een ander algoritme zijn, ik heb er nog niet echt naar gekeken).quote:
Ken je het proof-number search algoritme? Dat is een algoritme om zero-sum spellen met volledige informatie op te lossen. Oplossen als in: volledig doorrekenen, dus bij schaken werkt het niet zo goed, maar andere spellen zoals vier-op-een-rij wel. Er zijn allerlei uitbreidingen en tweaks met dat algoritme mogelijk. Volgens mij valt daar zeker wat interessants mee te doen.
Ik zal er binnenkort eens naar kijken, ik vind dat soort dingen altijd wel interessant
Dank! (ook thenxzero!)
Ik heb dit nooit begrepen. Zit hier een bepaalde logica achter?
http://i.imgur.com/BdvQ4.jpg
Vraag 4, 5 en 6. Ik heb geen idee waar ik moet beginnen.
keesjeislief zit volgens mij in de martingalesquote:
Waarom zijn submartingales gedefinieerd als een stochastisch proces met een stijgende trend? Bij sub denk ik aan "laag" of "onder". Dus ik zou verwachten dat submartingales een dalende trend zouden hebben.
Ik heb dit nooit begrepen. Zit hier een bepaalde logica achter?
ik zal je wat zoekwoorden geven:quote:
Iemand die mij kan helpen met de volgende vragen:
http://i.imgur.com/BdvQ4.jpg
Vraag 4, 5 en 6. Ik heb geen idee waar ik moet beginnen.
4: lineaire benadering
5: kettingregel
6: als je hem niet direct ziet, probeer dan te vereenvoudigen
quote:
Iemand die mij kan helpen met de volgende vragen: http://i.imgur.com/BdvQ4.jpg
Vraag 4, 5 en 6. Ik heb geen idee waar ik moet beginnen.
nog meer hints:quote:
ik zal je wat zoekwoorden geven:
4: lineaire benadering
5: kettingregel
6: als je hem niet direct ziet, probeer dan te vereenvoudigen
4. kettingregel, maar dan in dit geval dy/dx = dy/du * du/dv * dv/dx
5. eerst x en y in termen van t uitdrukken, dan direct in de exponent inpluggen.
6. Ik zie hier geen variabele staan
.Laat eerst eens zien wat je eigen gedachten zijn over deze opgaven. Het is wat te gemakkelijk om bij dit soort opgaven te zeggen dat je geen idee hebt waar te beginnen, dat is alleen maar een excuus om niets te proberen. Deze drie opgaven hebben trouwens wel gemeen dat je eerst de gegeven uitdrukkingen kunt vereenvoudigen alvorens er verder mee te gaan rekenen. De opstellers van deze vragen willen zo kennelijk het kaf van het koren kunnen scheiden ...quote:
Iemand die mij kan helpen met de volgende vragen:
http://i.imgur.com/BdvQ4.jpg
Vraag 4, 5 en 6. Ik heb geen idee waar ik moet beginnen.
Ik vroeg mij af of dit niet op één of andere manier veel makkelijker te bewijzen is? Iemand een idee?
Met kansgenererende functies of het volgende doen:quote:
Ik heb het volgende bewijs dat de som van twee poisson processen een poisson process is.
[ afbeelding ]
Ik vroeg mij af of dit niet op één of andere manier veel makkelijker te bewijzen is? Iemand een idee?
Zeg dat Y = X1 + X2 waarbij X1 en X2 poisson processen zijn met verschillende parameters.
Vervolgens kun je P(Y=k) als volgt bepalen:
Als je dit uitwerkt zul je zien dat Y inderdaad een poisson proces is.
waar komt die -300 vandaan
Ik heb 3 flessen met water. In de ene zit 1 liter, in tweede zit 2 liter en in de derde 3 liter.
De flessen hangen onderste boven en er zit een slangetje in waardoor 0,025 liter per minuut kan stromen.
De slangetjes van 2 en 3 komen samen in slangetje 4 waardoor ook 0,025 liter water per minuut kan stromen
Slangetje 1 en 4 komen samen in slangetje 5 waardoor ook 0,025 liter water per minuut kan stromen.
Slangetje 5 komt uit in een bak waar de flessen in leeglopen.
Hoe kan ik de inhoud van de flessen op elk tijdstip t bepalen?
Zodra fles 1 leeg is, kunnen 2 en 3 sneller leegstromen, hoe verwerk ik die omslagpunten in een algemene formule?
Ik kan het wel simpelweg uitrekenen, maar ik heb ook complexere situaties.
Ik hoop dat iemand me kan helpen of aan kan geven dat er niet zo'n formule is.
Je vraagstuk is niet op te lossen zonder bepaalde additionele aannames, waar je niets over zegt. Je zegt bijvoorbeeld niet of je aanneemt dat de flessen lineair met de tijd leeglopen. In werkelijkheid zal dat niet zo zijn, maar het is niet duidelijk of je daar wel van uit gaat. En waarom doe je zo geheimzinnig door het vraagstuk te presenteren als een 'fictief' voorbeeld? Daarmee suggereer je dat je in werkelijkheid een heel ander vraagstuk wil oplossen. Dan kun je beter iets over dat andere vraagstuk vertellen.quote:
Voor mijn gevoel is mijn probleem vrij simpel maar ik krijg er de vinger niet achter. Hierbij een fictief voorbeeld.
Ik heb 3 flessen met water. In de ene zit 1 liter, in tweede zit 2 liter en in de derde 3 liter.
De flessen hangen onderste boven en er zit een slangetje in waardoor 0,025 liter per minuut kan stromen.
De slangetjes van 2 en 3 komen samen in slangetje 4 waardoor ook 0,025 liter water per minuut kan stromen
Slangetje 1 en 4 komen samen in slangetje 5 waardoor ook 0,025 liter water per minuut kan stromen.
Slangetje 5 komt uit in een bak waar de flessen in leeglopen.
Hoe kan ik de inhoud van de flessen op elk tijdstip t bepalen?
Zodra fles 1 leeg is, kunnen 2 en 3 sneller leegstromen, hoe verwerk ik die omslagpunten in een algemene formule?
Ik kan het wel simpelweg uitrekenen, maar ik heb ook complexere situaties.
Ik hoop dat iemand me kan helpen of aan kan geven dat er niet zo'n formule is.
Het is inderdaad een ander vraagstuk, wat op zich zelf ook fictief is maar heel veel randvoorwaarden in zitten. Ik had het probleem voor me zelf versimpelt met de flessen. Ik denk dat ik anders nodeloos ingewikkeld maak.quote:
[..]
Je vraagstuk is niet op te lossen zonder bepaalde additionele aannames, waar je niets over zegt. Je zegt bijvoorbeeld niet of je aanneemt dat de flessen lineair met de tijd leeglopen. In werkelijkheid zal dat niet zo zijn, maar het is niet duidelijk of je daar wel van uit gaat. En waarom doe je zo geheimzinnig door het vraagstuk te presenteren als een 'fictief' voorbeeld? Daarmee suggereer je dat je in werkelijkheid een heel ander vraagstuk wil oplossen. Dan kun je beter iets over dat andere vraagstuk vertellen.
Het gaat me dan ook om het wiskundige kernprincipe van de flessen, wat ik graag wil begrijpen. De snelheid van leeglopen gaat met een constante snelheid, de slangetjes zijn bij wijze van spreke even lang en hebben geen weerstand en de boel wordt netjes evenredig verdeeld over de slangetjes.
Dus na 120 minuten is fles 1 leeg en zit in fles 2 nog 1 liter en in fles 3 nog 2 liter.
Na 200 minuten is fles 2 leeg en zit in fles 3 nog 1 liter.
Na 240 minuten zijn alle flessen leeg.
Is dit genoeg info?
[ Bericht 0% gewijzigd door iamcj op 26-10-2012 21:20:02 ]
Ik wil graag op ieder tijdstip t de inhoud van alle 3 de flessen afzonderlijk kunnen bepalen.quote:
Naar wat voor formule ben je op zoek?
Dat zijn denk 3 aparte formules op basis van 1 vergelijking.
Je kan bijvoorbeeld zeggen de ene formule voor een bepaalde fles is geldig op een bepaald tijdsinterval (waar de uitstroomsnelheid gelijk blijft), en na dat interval krijg je een andere formule, etc... En dat voor alle flessen.
Maar omdat je doel nogal vaag is weet ik niet of dit helpt.
Zover was ik zelf ook, maar als fles 1 leeg is, moet die term als het ware 0 worden.quote:
Ja je krijgt minstens drie formules. Je kan het op allerlei manieren opschrijven.
Je kan bijvoorbeeld zeggen de ene formule voor een bepaalde fles is geldig op een bepaald tijdsinterval (waar de uitstroomsnelheid gelijk blijft), en na dat interval krijg je een andere formule, etc... En dat voor alle flessen.
Maar omdat je doel nogal vaag is weet ik niet of dit helpt.
Ik zelf zat de denken richting differentiëren, maar daar houdt mijn wiskundige kennis op.
Die functie is 1 in het tijdsinterval tussen 1 en 2 en anders 0.
Daarmee kan je voor iedere fles 1 vergelijking opschrijven. Maar een algemene formule zou ik het niet noemen, want als je andere flessen en buisjes krijgt kan je weer opnieuw beginnen.
En differentiëren van lineaire functies is niet bijster interessant, dan krijg je gewoon de richtingscoëfficiënt...
t = tijd
s = druppelsnelheid
x = verdeelde druppelsnelheid
t · s = (1- (tx1)) + (2 - (tx2)) + (3 - (tx3)
waarbij s = x1 + x2 + x3
En als de eerste term gelijk is aan 0, dat hij dat blijft, zodat s = 0 + x2 + x3
Voor mijn gevoel mis ik alleen de wiskundige techniek of truc om dit te realiseren.
[ Bericht 11% gewijzigd door iamcj op 26-10-2012 21:51:43 ]
Je geeft zelf eigenlijk al de oplossing aan, en thenxero verduidelijkt dat door aan te geven dat je de tijd in een aantal deelintervallen op kunt delen. Dan is de hoeveelheid water in elk van de flessen binnen elk deelinterval een lineaire functie van de tijd. Jij lijkt op zoek te zijn naar een lineaire functie voor de hoeveelheid water in elke fles als functie van de tijd die geldig is op het gehele tijdsinterval, vanaf t = 0 totdat alle flessen leeg zijn, maar dat kan niet: de grafieken voor de hoeveelheid water in elke fles als functie van de tijd bestaan weliswaar uit rechte lijnstukken, maar vertonen 'knikken'.quote:
Voor mijn gevoel mis ik alleen de wiskundige techniek of truc om dit te realiseren.
[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 28-10-2012 00:42:59 ]
quote:
[..]
Met kansgenererende functies of het volgende doen:
Zeg dat Y = X1 + X2 waarbij X1 en X2 poisson processen zijn met verschillende parameters.
Vervolgens kun je P(Y=k) als volgt bepalen:
Als je dit uitwerkt zul je zien dat Y inderdaad een poisson proces is.
Bedankt,quote:
Een poissonproces heeft wel wat meer eigenschappen dan je nu checkt.
De docent gaf nog de hint dat het met differentiëren heel makkelijk te bewijzen is. Ik heb al zitten googlen maar kan eigenlijk niks vinden.
• Non negative Random variable X (not zero) such that E(X) = 0
• Non negative Random variable X (not zero) such that E(X) = infinity
voor de tweede vraag dacht ik f(x)=1/x. Maar de eerste zou ik niet precies weten. Hebben jullie een hint?
En is f(x)=1/x een pdf?
Ja, is een density functionquote:
Pak een stochast met eindige verwachting en definieer een stochast die de oude stochast is plus een constante.
En is f(x)=1/x een pdf?
Ik zie ook dat ik een foutje heb gemaakt, ik denk dat het 1/(x^2) moet zijn. Hierbij de uitwerking:
Wat doe je nu? Je onderwaarde is 1, maar toch vul je 0 in? Ln(0).heeft namelijk geen uitkomst.quote:
Ik weet niet wat je bedoelt met drager.
Ik zie ook dat ik een foutje heb gemaakt, ik denk dat het 1/(x^2) moet zijn. Hierbij de uitwerking:
[ afbeelding ]
De normale verdeling heeft een aantal eigenschappen, zo geldt als als X~N(mu,sigma²), dan (N-mu)/sigma ~ N(0,1).quote:
Hoezo is N(0,θ²)/θ=N(0,1)? Ik snap echt niet hoe dit werkt
Ahh ok, bedanktquote:
[..]
De normale verdeling heeft een aantal eigenschappen, zo geldt als als X~N(mu,sigma²), dan (N-mu)/sigma ~ N(0,1).
Ik dacht dat het een algebraïsche regel zou zijn die ik gewoon niet zag ofzo..Ik zie het nu inderdaadquote:
Als je uitgaat van de pdf dan kun je eenvoudig zelf bewijzen.
20X + 12Y + 1.63Z - 1000 > 0
Hoe krijg ik de optimale X, Y en Z?
SPOILERPraktijkvoorbeeld met sportsbetten:
Odd winst thuisploeg: 20
Odd gelijkspel: 12
Odd winst uitploeg: 1.63
Ik wil 1000 inzetten, wat is de optimale inzet per variabele? Als in waar heb ik gegarandeerd (dus alle 3) de meeste winst / minste verlies.
Antwoord hierop moet zijn X =~ 68, Y =~ 112 en Z =~ 820
[ Bericht 3% gewijzigd door Sokz op 01-11-2012 18:48:41 ]
Wellicht dat het daar al knelt.Rotatie over een hoek van 2pi/3 , tegen de klok in, om de z-as.
Kan iemand mij aub een tip geven?
danku
Hoeveel moet je inzetten om 1 euro terug te krijgen:quote:Op donderdag 1 november 2012 18:40 schreef Sokz het volgende:
Niet echt meer into wiskunde en bij mijn god geen idee meer hoe ik dit aan moet pakken:
20X + 12Y + 1.63Z - 1000 > 0
Hoe krijg ik de optimale X, Y en Z?SPOILERPraktijkvoorbeeld met sportsbetten:
Odd winst thuisploeg: 20
Odd gelijkspel: 12
Odd winst uitploeg: 1.63
Ik wil 1000 inzetten, wat is de optimale inzet per variabele? Als in waar heb ik gegarandeerd (dus alle 3) de meeste winst / minste verlies.
Antwoord hierop moet zijn X =~ 68, Y =~ 112 en Z =~ 820
1/20=0.05
1/12=0.08333333333
1/1.63=0.6135
Je zet dus 0.05 + 0.083 + 0.6135 = 0.7465 in om altijd 1 euro terug te krijgen.
1000/0.7466=1339.58
0.05*1339.58=66.979 op odd 20
0.083*1339.58=111.631 op odd 12
0.6135*1339.58=821.83 op odd 1.63
Heb hier en daar misschien verkeerd afgerond, maar in grote lijnen lijkt het me duidelijk
Als je berekent hoeveel je bij iedere odd moet inzetten om er 1 terug te krijgen heb je de juiste verhoudingen.
Heel erg bedankt!quote:
[..]
Hoeveel moet je inzetten om 1 euro terug te krijgen:
1/20=0.05
1/12=0.08333333333
1/1.63=0.6135
Je zet dus 0.05 + 0.083 + 0.6135 = 0.7465 in om altijd 1 euro terug te krijgen.
1000/0.7466=1339.58
0.05*1339.58=66.979 op odd 20
0.083*1339.58=111.631 op odd 12
0.6135*1339.58=821.83 op odd 1.63
Heb hier en daar misschien verkeerd afgerond, maar in grote lijnen lijkt het me duidelijk
Als je berekent hoeveel je bij iedere odd moet inzetten om er 1 terug te krijgen heb je de juiste verhoudingen.
Je roteert om de z-as, dus de z-coördinaat van het beeldpunt van elk punt blijft gelijk. Nu hoef je dus alleen nog maar naar de x- en y-coördinaten te kijken, oftewel naar de loodrechte projectie van je punt in het xy-vlak. Vraag: als in R2 een punt P(x;y) door rotatie om de oorsprong over een hoek φ overgaat in een punt P'(x';y') hoe hangen x' en y' dan af van x en y en is deze afhankelijkheid lineair?quote:
''Is de volgende afbeelding van R^3 naar R^3 lineair? Licht je antwoord toe''
Rotatie over een hoek van 2pi/3 , tegen de klok in, om de z-as.
Kan iemand mij aub een tip geven?
danku
De opzet van de opgave is dat je de formule bewijst.
Dus bijvoorbeeld, toon aan: (1+2i)+(-2+3i)=z
Alvast bedankt.
Ik voelde al dat ik iets miste..quote:
Er valt niks te bewijzen als je de symbolen niet definieert
ikwadraat = -1
En de symbolen zijn gewoon complexe getallen.
En wat wil je bewijzen dan?quote:
[..]
Ik voelde al dat ik iets miste..
ikwadraat = -1
En de symbolen zijn gewoon complexe getallen.
Ik denk dat je vriendin beter haar wiskunde vragen zelf hier kan posten, want gezien je formulering blijft er niet veel over van een eventuele uitleg als ze die weer via jou moet vernemen ...quote:
Ik heb een vriendin die moeite heeft met haar wiskunde, zou iemand zo vrij willen zijn om mij even te helpen haar te helpen?
De opzet van de opgave is dat je de formule bewijst.
Dus bijvoorbeeld, toon aan: (1+2i)+(-2+3i)=z
Alvast bedankt.
Er valt niks te bewijzen, de betrekking die je geeft is te interpreteren als een variabele z die die som is van twee complexe getallen 1+2i en -2+3i. Dan heb je dus z = -1+5i. Maar misschien is het wel heel iets anders ...
Laat je vriendin gewoon zelf hier haar vragen posten, daar heeft ze jou niet voor nodig. Of beheerst ze de Nederlandse taal niet?quote:
Hm, dit wordt hem misschien niet inderdaad. Toch bedankt jongens. Ik kom later wel terug als ik het probleem begrijp.
Ze beheerst fok niet.quote:
[..]
Laat je vriendin gewoon zelf hier haar vragen posten, daar heeft ze jou niet voor nodig. Of beheerst ze de Nederlandse taal niet?
Dan kan ze maar beter stoppen met wiskunde.quote:
http://imgur.com/kbu5F
wat zijn de stapjes?
Bij de bovenste: noem F de primitieve, dan staat er:quote:
Beste FOK!'s. Ik moet de afgeleide van de bovenste functie bepalen, en de gewoon de exacte waarde van de onderste functie. Boek niet bij de hand en eindeloos googelen leverde niets op, terwijl ik weet dat het niet moeilijk is!
http://imgur.com/kbu5F
wat zijn de stapjes?
F(e^x) - F(sin(x)), en dan kun je de kettingregel gebruiken om te differentiëren.
Bij de onderste: probeer een primitieve.
Hm ja oke, maar de primitieve kan je niet uitdrukken in elementaire functies dus je zal geen mooie uitdrukking vinden.quote:
[..]
Bij de bovenste: noem F de primitieve, dan staat er:
F(e^x) - F(sin(x)), en dan kun je de kettingregel gebruiken om te differentiëren.
Bij de onderste: probeer een primitieve.
dat hoeft ook niet, zolang je maar een uitdrukking vindt voor d/dx F(x)quote:
[..]
Hm ja oke, maar de primitieve kan je niet uitdrukken in elementaire functies dus je zal geen mooie uitdrukking vinden.
Dit zijn de oplossingen. Wat bedoel je precies met vind een primitieve?
dat staat nergensquote:
http://imgur.com/hAius
Wat bedoel je precies met vind een primitieve?
Ik ga halllucineren hiervan. Ik bedoelde:quote:
quote:
[..]
Bij de bovenste: noem F de primitieve, dan staat er:
F(e^x) - F(sin(x)), en dan kun je de kettingregel gebruiken om te differentiëren.
Bij de onderste: probeer een primitieve.
Als je dat niet snapt:quote:
[..]
Ik ga halllucineren hiervan. Ik bedoelde:
[..]
quote:
Bij die tweede kan je u=y² substitueren.
OK, maar ik snap niet hoe die grenzen, tegelijkertijd grens en functie kunnen zijn,quote:
Bij de eerste?quote:
[..]
OK, maar ik snap niet hoe die grenzen, tegelijkertijd grens en functie kunnen zijn,
Je integreert dus één of andere functie. Voor iedere vaste x krijg je een vaste onder en bovengrens van de integraal, waar dus een waarde uitkomt die je F(x) noemt. Als je x gaat variëren, dan gaan de onder en bovengrens ook veranderen want die zijn een functie van x, terwijl de integrand gelijk blijft.
Duidelijk .quote:
[..]
Bij de eerste?
Je integreert dus één of andere functie. Voor iedere vaste x krijg je een vaste onder en bovengrens van de integraal, waar dus een waarde uitkomt die je F(x) noemt. Als je x gaat variëren, dan gaan de onder en bovengrens ook veranderen want die zijn een functie van x, terwijl de integrand gelijk blijft.
7200=3600/√1-((V)^2)/(2,99792458*10^8)^2)
3600/√1 - ((V)^2) / (2,99792458*10^8)^2)
Maar dat is toch niet moeilijk? Een serie bewerkingen uitvoeren om tot isolatie van V te komen?
Je haalt eerst 3600 weg. Dan vermenigvuldig je met de noemer van je breuk, en daar neem je uiteindelijk de wortel van. Volgens mij was 'm dat wel?
?Av = A0 *1/(√1-(v2/c2))
Av/A0 = 1/(√1-(v2/c2))
A0/Av = √1-(v2/c2)
(A0/Av)2 = 1-(v2/c2)
(A0/Av)2 -1 = -(v2/c2)
1 - (A0/Av)2 = (v2/c2)
(Av2-A02)/Av2 = v2
c2*(Av2-A02)/Av2 = v2
SQRT(c2*(Av2-A02)/Av2) = v
Het publiek (en ikzelf) bestaat uit tweedejaars wiskunde studenten.
integer programmingquote:
Ik zoek een onderwerp voor een wiskundige voordracht. Wat vinden jullie leuke onderwerpen/bewijzen die je in ongeveer 20 minuten kan behandelen. en die ook interessant zijn voor mij om te bestuderen?
Het publiek (en ikzelf) bestaat uit tweedejaars wiskunde studenten.
Mwa, in 20 minuten?quote:
In 20 minuten kan je eigenlijk niet echt een nieuw onderwerp introduceren. Het is leuker om een bewijsje te zoeken in een gebied waar iedereen wat van weet, zodat je direct aan de slag kan.
Je hoeft geen oplossingsmethode uit te leggenquote:
[..]
Mwa, in 20 minuten?
In 20 minuten kan je eigenlijk niet echt een nieuw onderwerp introduceren. Het is leuker om een bewijsje te zoeken in een gebied waar iedereen wat van weet, zodat je direct aan de slag kan.
als je uitgelegd krijgt wat het is en een probleempje als max-clique zo kunt modelleren, heb je een mooie presentatie. Ik zit meer in de toegepaste hoek, dat wel 
Ah zo, dat is wel een leuk ideequote:
[..]
Je hoeft geen oplossingsmethode uit te leggen
Tja, welk vakgebied zit je aan te denken? Als je analyse leuk vindt zou je eens naar het Bazel-probleem kunnen kijken, is gemakkelijk veel over te vinden. 20 minuten is trouwens wel verdomde kort om er echt iets van te maken.quote:
Ik zoek een onderwerp voor een wiskundige voordracht. Wat vinden jullie leuke onderwerpen/bewijzen die je in ongeveer 20 minuten kan behandelen. en die ook interessant zijn voor mij om te bestuderen?
Het publiek (en ikzelf) bestaat uit tweedejaars wiskunde studenten.
Dat is toch met die bruggen?quote:
[..]
Tja, welk vakgebied zit je aan te denken? Als je analyse leuk vindt zou je eens naar het Bazel-probleem kunnen kijken, is gemakkelijk veel over te vinden. 20 minuten is trouwens wel verdomde kort om er echt iets van te maken.
Maargoed, ik wilde je sowieso al gaan quoten. Eentje uit den ouden doosch:
Ik ga mijn profielwerkstuk op de wiskunde te betrekken. Aangezien de Mercatorprojectie (waar ik toen mee bezig was voor mijn eindexamen wiskunde B) me wel interesseerde, wil ik het over dat vakgebied houden. Een subdomein van het wijde cartografie dus.quote:
[..]
Ik zou geloof ik eerder voor een bepaald (klassiek) probleem kiezen waarbij je het geleerde kunt toepassen en het ook nog een beetje spannend kunt maken door net een paar stapjes verder te gaan en iets te laten zien wat niet aan bod is gekomen in de stof. Denk aan iets als de rectificatie van een paraboolsegment waarbij je verschillende substitutiemethoden (goniometrisch, hyperbolisch, algebraïsch) kunt demonstreren om √(1 + x2) te primitiveren, of vertel (heel toepasselijk dit jaar) iets over de Mercatorprojectie en behandel het probleem van het primitiveren van 1/cos x, waarbij je wellicht ook nog iets over de Weierstraß-substitutie en de Gudermann functie kunt vertellen.
Nu zat ik te denken om enkel projecties van een sfeer op een tweedimensionaal vlak te gebruiken als onderwerp. Goed, dan krijg je een inleiding, inhoud, projecties, Mercatorprojectie. Verder wil ik ook nog de Gudermannfunctie gebruiken. Maar waarom is de Gudermann functie handig bij het bepalen van de integraal over sec(φ)? In de Nederlandstalige Wikipedia waar je naar refereert wordt aangegeven dat de afgeleide functie van de inverse gudermann gelijk is aan sec(x). Is dit de enige reden? Is het handiger om zo een y-coördinaat te bepalen?
Ik denk dat je de bruggen van Köningsberg bedoeld. Die worden vaak gebruikt in inleidingen in de grafentheorie, misschien is zoiets trouwens ook wel een leuk onderwerp. Het probleem is uiteindelijk opgelost door (hoe kan het ook andersquote:
) Euler ./Riparius mode
Ik wist dat het opgelost was door Euler. Dacht dat het de bruggen van Bazel waren o.i.d. Dank. Maargoed, de oplettende lezer kan spotten dat een andere, belangrijkere vraag mij naar dit godentopic lokte.quote:Op woensdag 7 november 2012 14:20 schreef kutkloon7 het volgende:
[..]
Ik denk dat je de bruggen van Köningsberg bedoeld. Die worden vaak gebruikt in inleidingen in de grafentheorie, misschien is zoiets trouwens ook wel een leuk onderwerp. Het probleem is uiteindelijk opgelost door (hoe kan het ook anders
/Riparius mode
Ja, daarover: met functies en reeksen is de gammafunctie (of de zètafunctie, maar dat hangt erg samen met het Bazelprobleem) kort behandeld, dat is misschien wel leuk om iets over te doen. Die is ook weer bedacht door Euler, hij probeerde een formule voor de faculteitsfunctie te vinden. (In analogie met de formulequote:
[..]
Ik wist dat het opgelost was door Euler. Dacht dat het de bruggen van Bazel waren o.i.d. Dank. Maargoed, de oplettende lezer kan spotten dat een andere, belangrijkere vraag mij naar dit godentopic lokte.
Correctie:quote:
Het Bazel-probleem leek me wel geschikt omdat het probleem, overigens in 1644 al door Mengoli geformuleerd, direct begrijpelijk is. Een oplossing lag niet voor de hand en daarom duurde dat ook zo'n 90 jaar. Enkele van de (vele) oplossingen zijn elementair genoeg om in een praatje van 20 minuten uiteen te kunnen zetten. Ik dacht dat Anoonumos in Utrecht zat, dus kan hij dan ook nog even een bruggetje maken naar Beukers en de wonderlijke substitutie van Calabi (zie bewijs #2 bij Chapman). Ik zag trouwens dat hier slides staan van iemand die dit onderwerp in een praatje heeft behandeld, dus origineel is het niet, maar goed dat verwachtte ik ook niet.quote:
[..]
Ja, daarover: met functies en reeksen is de gammafunctie (of de zètafunctie, maar dat hangt erg samen met het Bazelprobleem) kort behandeld, dat is misschien wel leuk om iets over te doen. Die is ook weer bedacht door Euler, hij probeerde een formule voor de faculteitsfunctie te vinden. (In analogie met de formule).
Dat is in zijn algemeenheid opgelost door Jacob Bernoulli in zijn Ars Conjectandi, postuum gepubliceerd in 1713 (de somformules voor m = 1 en m = 2 waren al in de Griekse oudheid bekend). Maar dan moet je ook iets over de getallen van Bernoulli gaan vertellen en dan wordt het denk ik al gauw te veel voor 20 minuten. Is verder wel prima.quote:Dat is misschien trouwens ook wel leuk: formules voor sommen van machten. Bijvoorbeeld, zoek een formule voor, voor alle machten m. Dan zou je eerst een paar simpele gevallen kunnen doen (m = 1 is erg makkelijk, m = 2 is ook nog wel te doen) en vervolgens een geval dat voor alle m geldt.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 07-11-2012 20:28:32 ]
Ach ja, de meeste bekende onderwerpen zullen al wel in praatjes behandeld zijn, bernoulli-getallen en sommen van machten ook welquote:
[..]
Ik zag trouwens dat hier slides staan van iemand die dit onderwerp in een praatje heeft behandeld, dus origineel is het niet, maar goed dat verwachtte ik ook niet.
[...]
Ik zou zelf voor de som van de machten gaan omdat dat vrij makkelijk zelf te doen en te volgen is en je toch een redelijk concreet resultaat hebt waar ook nog eens een grote naam aan verbonden is (wat dat betreft is iets van de afleiding van de formule van Euler, die voor complexe e-machten, ook wel een mooie, maar misschien iets te beperkt voor 20 minuten), en eerlijk gezegd ook omdat ik bijna niets van het Bazel-probleem weet. Toevallig weet ik dan wel weer wat meer van die sommen van machten (daar staat ook een mooi hoofdstuk in over veeltermrijen, helaas is de layout in de webversie ruk).Maar goed, ik weet ook niet helemaal voor wie het praatje is en hoe hoog het niveau moet zijn
.Nu maar eens aan functies en reeksen, morgen tentamen
.Dank! Ik heb er vrijwel geen tijd aan besteed, dus waarschijnlijk wordt het hem niet, maar het is ook weer geen ramp als ik het niet haal. Maargoed, ik ga het gewoon proberen morgen.quote:
Bij functies en reeksen komt het probleem van bazel ook nog voorbij. Volgens mij was het een opgave die je kon oplossen met Fouriertheorie. Succes morgen, F&R was ook niet mijn favoriet
Dat is wel een heel uitgebreid onderwerp. Er zijn nog veel meer kaartprojecties dan alleen de Mercatorprojectie, en daar zit ook een aardig stukje wiskunde aan vast.quote:Op woensdag 7 november 2012 13:54 schreef Amoeba het volgende:
Ik ga mijn profielwerkstuk op de wiskunde te betrekken. Aangezien de Mercatorprojectie (waar ik toen mee bezig was voor mijn eindexamen wiskunde B) me wel interesseerde, wil ik het over dat vakgebied houden. Een subdomein van het wijde cartografie dus.
Het beestje moest gewoon een naam hebben. De Gudermanniaan en de inverse daarvan geven betrekkingen tussen de goniometrische (circulaire) en de hyperbolische functies zonder gebruik van complexe getallen, en dat was vooral vroeger toen er nog geen electronische hulpmiddelen bestonden belangrijk om allerlei berekeningen in de cartografie en de navigatie te kunnen maken. Daarom werden er ook uitvoerige tabellen samengesteld van dergelijke speciale functies, allemaal met de hand berekend uiteraard. De functies die nu naar Gudermann (1798-1852) worden genoemd zijn al veel eerder geïntroduceerd door Johann Heinrich Lambert (1728-1777) in zijn artikelen waarin hij ook de hyperbolische functies introduceerde. Lambert interpreteerde de functie die we nu gewoonlijk de inverse functie van Gudermann noemen meetkundig, en spreekt van l'angle transcendant (nee, geen typo). De originele artikelen van Lambert over de hyperbolische functies kun je hier en hier vinden. Men heeft vroeger ook wel voorgesteld de functie die we nu de inverse van de Gudermann functie noemen de Lambertiaan te noemen, maar dat voorstel heeft het nooit gehaald. De huidige benamingen voor de functies en het symbool gd dateren van 1862 en gaan terug op Cayley (zie hier). Overigens zijn er wel verscheidene kaartprojecties naar Lambert vernoemd.quote:Nu zat ik te denken om enkel projecties van een sfeer op een tweedimensionaal vlak te gebruiken als onderwerp. Goed, dan krijg je een inleiding, inhoud, projecties, Mercatorprojectie. Verder wil ik ook nog de Gudermannfunctie gebruiken. Maar waarom is de Gudermann functie handig bij het bepalen van de integraal over sec(φ)? In de Nederlandstalige Wikipedia waar je naar refereert wordt aangegeven dat de afgeleide functie van de inverse gudermann gelijk is aan sec(x). Is dit de enige reden? Is het handiger om zo een y-coördinaat te bepalen?
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 08-11-2012 02:01:56 ]
Ik was wel van plan wat over zijn numerieke oplossing, zoals beschreven in A Mapmaker's Paradise (H13 van Trigonometric Delights) te vertellen.
Dat is maar net wat je onder een 'oplossing' verstaat. Wright heeft aangegeven - vertaald naar moderne bewoordingen - dat je een (limiet van een) Riemann som van secanten moest bepalen: hij sprak van een perpetuall addition of the Secantes answerable to the latitudes of each point or parallel vnto the summe compounded of all former secantes en hij heeft deze (moeizame) berekeningen ook werkelijk uitgevoerd. Maar vervolgens merkte Henry Bond in 1645 op dat de tabel met de door Wright berekende afstanden tot de equator van de Mercator projectie voor een breedtegraad θ overeen kwam met een tabel met logaritmen van tangenten, om precies te zijn met ln(tan(π/4 + θ/2)). Maar dat was een empirische observatie, die natuurlijk wél bewezen moest worden. En Barrow leverde daarvoor in 1670 een bewijs waarbij hij op een meetkundige manier gebruik maakte van iets wat we nu integratie via breuksplitsing zouden noemen. Maar de geschiedenis van het probleem is nog wat ingewikkelder omdat later is gebleken dat Thomas Harriot (c. 1560-1621) het probleem al rond 1590 langs meetkundige weg had opgelost, maar dat was toen niet bekend. Het is jammer dat je kennelijk geen toegang hebt tot JSTOR, anders zou je de relevante (secundaire) literatuur gemakkelijk kunnen vinden.quote:Op woensdag 7 november 2012 22:22 schreef Amoeba het volgende:
Maar de Engelse wiskundige Wright was toch de eerste die het vraagstuk van hoe Mercator de afstanden in richting van de polen had berekend heeft 'opgelost'?
Ik was wel van plan wat over zijn numerieke oplossing, zoals beschreven in A Mapmaker's Paradise (H13 van Trigonometric Delights) te vertellen.
Hoe verkrijg je toegang tot JSTOR dan? Ik weet dat het een archief is voor academische journalen en publicaties, maar volgens mij kost dat best veel geld.quote:
[..]
Dat is maar net wat je onder een 'oplossing' verstaat. Wright heeft aangegeven - vertaald naar moderne bewoordingen - dat je een (limiet van een) Riemann som van secanten moest bepalen: hij sprak van een perpetuall addition of the Secantes answerable to the latitudes of each point or parallel vnto the summe compounded of all former secantes en hij heeft deze (moeizame) berekeningen ook werkelijk uitgevoerd. Maar vervolgens merkte Henry Bond in 1645 op dat de tabel met de door Wright berekende afstanden tot de equator van de Mercator projectie voor een breedtegraad θ overeen kwam met een tabel met logaritmen van tangenten, om precies te zijn met ln(tan(π/4 + θ/2)). Maar dat was een empirische observatie, die natuurlijk wél bewezen moest worden. En Barrow leverde daarvoor in 1670 een bewijs waarbij hij op een meetkundige manier gebruik maakte van iets wat we nu integratie via breuksplitsing zouden noemen. Maar de geschiedenis van het probleem is nog wat ingewikkelder omdat later is gebleken dat Thomas Harriot (c. 1560-1621) het probleem al rond 1590 langs meetkundige weg had opgelost, maar dat was toen niet bekend. Het is jammer dat je kennelijk geen toegang hebt tot JSTOR, anders zou je de relevante (secundaire) literatuur gemakkelijk kunnen vinden.
Nu loop ik flink achter en wil dit het weekend bijschroeven.
Nu heb ik alleen wat vragen over delen met kommagetallen als uitkomst.
Een vooorbeeldje 13:100
hoe reken ik dat uit?
Zit je op de basisschool? Als je deelt door 10 gaat de komma 1 plek naar links.quote:
Ik heb maandag een toets wiskunde.
Nu loop ik flink achter en wil dit het weekend bijschroeven.
Nu heb ik alleen wat vragen over delen met kommagetallen als uitkomst.
Een vooorbeeldje 13:100
hoe reken ik dat uit?
en dan?!
Ik heb geen idee wat een individueel account kost. Mensen die het gebruiken hebben gewoonlijk toegang via een instelling of een grote bibliotheek die een contract met ze heeft. Hele oude artikelen zijn sinds een klein jaar trouwens ook zonder account in te zien en te downloaden. Duur hoeft het niet te zijn want als je een jaarpas neemt van ¤ 15 voor de KB heb je ook al toegang tot allerlei elektronische databases waaronder JSTOR.quote:
[..]
Hoe verkrijg je toegang tot JSTOR dan? Ik weet dat het een archief is voor academische journalen en publicaties, maar volgens mij kost dat best veel geld.
Dus jij noteert 13:100 voor 100 gedeeld door 13?quote:
13 past 7x in 100 ik kom uit op 91 en dan hou ik nog 9 over
en dan?!
Ik zou er dan 100:13 of 100/13 van maken.
Zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Staartdeling voor hoe je het berekent.
Wat het misschien verwarrend maakt is dat als je a gedeeld door b wil berekenen (a:b), dat je dan b/a\ ... noteert.
over: 9
1,3 = 1x
2,6 = 2x
enz
9,1 = 7x
dus dat word 7,7
rekenmachine zegt 7,692
100 - 91 = 9
6*13 = 78 ------>6
90 - 78 = 12
9*13 = 117 ----->9
120 - 117 = 3
2*13 = 26 ------>2
30 - 26 = 4 ... etc
7,692
Niet helemaal. Ik had hier afgeleid dat je hebtquote:
En hij ging toch zo te werk. Y2 = Y1 + ΔY, waarin ΔY een verschil van een arcminuut voorstelde.
dy/dφ = s0∙R∙sec φ
waarbij s0 de schaalfactor is waarmee de evenaar wordt afgebeeld, R de straal van de aarde en φ de breedtegraad. Dan krijg je dus bij benadering
Δy = s0∙R∙sec φ∙Δφ
Jazeker, volledig correct. Dat bedoelde ik ook. Iets moet namelijk delta y zijn. Goed, niet zo gezegd, maar inderdaad.quote:
[..]
Niet helemaal. Ik had hier afgeleid dat je hebt
dy/dφ = s0∙R∙sec φ
waarbij s0 de schaalfactor is waarmee de evenaar wordt afgebeeld, R de straal van de aarde en φ de breedtegraad. Dan krijg je dus bij benadering
Δy = s0∙R∙sec φ∙Δφ
Ik zal eens even voor toegang tot JSTOR gaan kijken dan.
ik denk dat ik maat mijn eigen manier houdquote:
[..]
Niet helemaal. Ik had hier afgeleid dat je hebt
dy/dφ = s0∙R∙sec φ
waarbij s0 de schaalfactor is waarmee de evenaar wordt afgebeeld, R de straal van de aarde en φ de breedtegraad. Dan krijg je dus bij benadering
Δy = s0∙R∙sec φ∙Δφ
ik zie alleen maar tekens die ik nog nooit heb gezien
doe geen universiteit fso
Waarom reageer je op een post die duidelijk niet voor jou is bedoeld als je niks inhoudelijks hebt te melden?quote:
[..]
ik denk dat ik maar mijn eigen manier houd
ik zie alleen maar tekens die ik nog nooit heb gezien
doe geen universiteit of zo.
Had ik niet zo snel gezien
DOM!
Hij is niet zo lastig jongens, houd die hersens bezig.
Nergens staat aan welke eisen de uitkomst moet voldoen. Ik vind dat het een heel mooi antwoord is. Vooral voor de kortzichtigen die verder gaan zoeken omdat ze niet zeker zijn van hun eigen beredenering.quote:
Haha komt uit een ander topic, maar hij klopt niet.
Er staat dat er 100 aliens meededen, dan mag je toch verwachten dat er hoogstens 100 een rare eigenschap hebben?quote:
[..]
Nergens staat aan welke eisen de uitkomst moet voldoen. Ik vind dat het een heel mooi antwoord is. Vooral voor de kortzichtigen die verder gaan zoeken omdat ze niet zeker zijn van hun eigen beredenering.
Dat zou je inderdaad verwachten. Maar gelukkig is het een wiskundig probleem, waardoor het antwoord niet positief hoeft te zijn. Komop, de vraag is eenvoudig aan te passen. Als er 133 aliens meededen zou het wel kloppen, maar 100 komt echt zo mooi uit. Je ziet de humor van de vraag toch ook wel?quote:
[..]
Er staat dat er 100 aliens meededen, dan mag je toch verwachten dat er hoogstens 100 een rare eigenschap hebben?
Oh is dat humor. Ik dacht dat het een falende leraar was.quote:
[..]
Dat zou je inderdaad verwachten. Maar gelukkig is het een wiskundig probleem, waardoor het antwoord niet positief hoeft te zijn. Komop, de vraag is eenvoudig aan te passen. Als er 133 aliens meededen zou het wel kloppen, maar 100 komt echt zo mooi uit. Je ziet de humor van de vraag toch ook wel?
Bedankt voor de tips. Ik ga ze dit weekend bestuderen.quote:
Ik zoek een onderwerp voor een wiskundige voordracht. Wat vinden jullie leuke onderwerpen/bewijzen die je in ongeveer 20 minuten kan behandelen. en die ook interessant zijn voor mij om te bestuderen?
Het publiek (en ikzelf) bestaat uit tweedejaars wiskunde studenten.
De aannames lijken te kloppen, behalve dat ik de vloeistof wetten niet ken. Dus ik ga ervan uit dat het antwoord klopt.quote:
Ik heb een gesloten vat met vloeistof en lucht er in. De temperatuur in het vat loopt op en daardoor zet de vloeistof uit. Kloppen aannames en berekeningen?:
[ afbeelding ]
Toch kun je hier volledige inductie gebruiken. En uiteraard kun je wél wat over de afgeleiden zeggen als je de eerste paar afgeleiden gewoon even bepaalt.quote:
Hoe toon ik aan dat de functie van R naar R, gegeven door f(x) = e-(1/x^2) voor x =/ 0 en f(x) = 0 voor x=0, n keer differentieerbaar is voor alle n in {0, 1, 2, ... , n}? Ik weet eigenlijk niet eens waar ik moet beginnen. Volledige inductie lijkt op niets uit te draaien, omdat ik niets kan zeggen over de n-de afgeleide.
Je hebt voor x ≠ 0:
(1) f'(x) = e-1/x²∙2x-3
(2) f''(x) = e-1/x²∙(4x-6 - 6x-4)
(3) f'''(x) = e-1/x²∙(8x-9 - 36x-7 + 24x-5)
Je wil toch niet zeggen dat je nog steeds niets ziet? Het exacte patroon is niet zo van belang maar we zien in ieder geval dat we voor x ≠ 0 kennelijk hebben:
(4) f(n)(x) = e-1/x²∙∑i=13n ai∙x-i
waarbij ai voor i = 1..3n bepaalde (reële) coëfficienten zijn, waarover we ons verder niet druk maken. Je moet uiteraard (4) wel echt bewijzen met volledige inductie. Dat doe je door na te gaan dat (4) juist is voor n = 1 (dat volgt direct uit (1)), en door te laten zien dat (4) juist is voor n = k + 1 áls (4) juist is voor een zekere n = k (dat volgt door (4) met n = k te differentiëren naar x).
Goed, maar nu wordt gevraagd aan te tonen dat f(x) oneindig vaak differentieerbaar is voor x = 0. Ook hiervoor maak je weer gebruik van volledige inductie. We kijken eerst eens naar de eerste afgeleide f'(x) voor x = 0. Volgens de definitie van de afgeleide hebben we:
(5) f'(0) = limh→0 (f(h) - f(0))/h = limh→0 e-1/h²∙h-1 = 0
Inderdaad is f(x) differentieerbaar in x = 0 en hebben we f'(0) = 0.
In het algemeen geldt:
(6) limh→0 e-1/h²∙h-n = 0 voor elke n ∈ N
Uiteraard moet je (6) ook bewijzen. Bedenk zelf eens hoe je dat aanpakt (nee, hier geen volledige inductie gebruiken). Heb je (6) bewezen, dan is het met behulp van (4) en (6) niet moeilijk meer om te laten zien dat:
(7) f(n)(0) = 0 voor elke n ∈ N
Hier gebruik je weer volledige inductie. Uit (5) volgt direct dat (7) juist is voor n = 1, dus nu moet je alleen nog aantonen dat (7) juist is voor n = k + 1 áls (7) juist is voor een zekere n = k (hetgeen dus impliceert dat de eerste tot en met de k-de afgeleiden van f(x) bestaan in het punt x = 0). Dat is alles.
Die zien er stuk voor stuk lastig uit. Arme jodenquote:
Op http://arxiv.org/pdf/1110.1556v2.pdf staan nog wat leuke probleempjes.
Ik vrees eigenlijk van niet, maar het zou wel goed van pas komen.
Laat x is een willekeurige eigenvector zijn. Danquote:
Je moet nog hebben dat M symmetrisch is. De stelling is eenvoudig te bewijzen.
voor alle eigenvectoren x. Dus lambda ≥ 0 voor alle eigenwaardes lambda. Een symmetrische matrix is psd d.e.s.d.a. alle eigenwaarden ≥ 0 zijn.
QED.
Ja dat is triviaalquote:
Je moet de andere kant nog op bewijzen, maar die is simpel. En 'is' hoort niet in je eerste zin, sommigen laten 'zijn' ook weg.
. Mijn zin was eerst stel x is.... Vervolgens ben ik vergeten die is weg te laten. En het woordje zijn weglaten lijkt me grammaticaal niet correct, dat is gewoon luiheid.Kan iemand mij helpen met het oplossen van een som? Het gaat hier om
de rekenen met letters, maar ik kom er helaas niet uit.
(8-5)(7a-3) +7a +3
T zal heel fijn zijn als iemand hiermee kan helpen.
Ik kom uit op onderstaande (haakjes weghalen en naar de andere kant verplaatsen):quote:
Hey iedereen,
Kan iemand mij helpen met het oplossen van een som? Het gaat hier om
de rekenen met letters, maar ik kom er helaas niet uit.
(8-5)(7a-3) +7a +3
T zal heel fijn zijn als iemand hiermee kan helpen.
28a = 6
hoe doe je dat? en welke andere kant?quote:
[..]
Ik kom uit op onderstaande (haakjes weghalen en naar de andere kant verplaatsen):
28a = 6
(8-5)(7a-3) +7a +3quote:
[..]
hoe doe je dat? en welke andere kant?
8*7a+8*-3+-5*7a+-5*-3+7a+3
56a-24-35a+15+7a+3
28a-6
Daarbij aangenomen dat de uitkomst van de som 0 was geeft dan 28a = 6
Strikt genomen is je opgave niet op te lossen, omdat het geen vergelijking is. Waaraan moet dit gelijk zijn?quote:
Hey iedereen,
Kan iemand mij helpen met het oplossen van een som? Het gaat hier om
de rekenen met letters, maar ik kom er helaas niet uit.
(8-5)(7a-3) +7a +3
T zal heel fijn zijn als iemand hiermee kan helpen.
Het kan ook een simpele oefening zijn in het herleiden van een veelterm. In ieder geval is het geen 'som' want dat is de uitkomst van een optelling. Platina maakt de verwarring alleen maar groter door aan te nemen dat het om een vergelijking gaat, maar dat blijkt nergens uit (en de letter a wordt gewoonlijk voor een constante of bekende grootheid gebruikt, niet voor een variabele of onbekende grootheid).quote:
[..]
Strikt genomen is je opgave niet op te lossen, omdat het geen vergelijking is. Waaraan moet dit gelijk zijn?
Uiteraard. Inderdaad wordt in de methode Getal & Ruimte (vooral in de lagere klassen) vaak de opgave 'herleid de volgende veeltermen' gegeven, ter oefening.quote:
[..]
Het kan ook een simpele oefening zijn in het herleiden van een veelterm. In ieder geval is het geen 'som' want dat is de uitkomst van een optelling. Platina maakt de verwarring alleen maar groter door aan te nemen dat het om een vergelijking gaat, maar dat blijkt nergens uit (en de letter a wordt gewoonlijk voor een constante of bekende grootheid gebruikt, niet voor een variabele of onbekende grootheid).
Het is handig de merkwaardige producten uit je hoofd te kennen:quote:
Hey iedereen,
Kan iemand mij helpen met het oplossen van een som? Het gaat hier om
de rekenen met letters, maar ik kom er helaas niet uit.
(8-5)(7a-3) +7a +3
T zal heel fijn zijn als iemand hiermee kan helpen.
(a+b)2 = a2 +2ab + b2
(a-b)(a+b) = a2 - b2
(a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd
Dit is in feite 'rekenen met letters'. Echter nu substitueer je voor a, b, c en d de gegeven waarden. bijvoorbeeld mag je substitueren:
b = 7a of b = 3 of b = sin(a) of b = 5000sec(a).
Het beste voorbeeld is het 'pijltjes' voorbeeld. Je vermenigvuldigt alles tussen de eerste haakjes met alles tussen de tweede haakjes, dus a met c en d en b met c en d. Stel dat je hebt (a + b + c)(d+e+f), wat krijg je dan? Als je weet dat hiervoor precies hetzelfde geldt?
[ Bericht 0% gewijzigd door Amoeba op 11-11-2012 18:16:09 ]
Ja. Moet je het wel zelf goed doen natuurlijk ...quote:
Het is handig de opmerkelijke producten uit je hoofd te kennen:
Hier staat een gangbaar (?) lijstje. Het zijn trouwens merkwaardige producten, i.e. producten die het merken (onthouden) waard zijn.
Wat doe ik fout danquote:
[..]
Ja. Moet je het wel zelf goed doen natuurlijk ...
Hier staat een gangbaar (?) lijstje.
Ik kan mezelf even niet betrappen op het geven van onjuiste vergelijkingen. En dat laatste is juist. Aangepast.
Minteken bij (a+b)(a-b)quote:
[..]
Wat doe ik fout dan
Ik kan mezelf even niet betrappen op het geven van onjuiste vergelijkingen. En dat laatste is juist. Aangepast.
Oja, kutquote:
Ik heb met de formule van Maclaurin aan moeten tonen dat f(x) = sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! ... allemaal prima.
Evenzo voor g(x) = cos(x)
Nu moet ik aantonen dat f'(x) = g(x), uitgaande van de 'bewezen' reeksontwikkelingen. En daarna nog dat g'(x) = -f(x). Hoe pak ik dit aan?
Dan zal je zien dat als je de reeksontwikkeling van een sinus differentieert, de reeksontwikkeling van de cosinus krijgt.
Een Maclaurinreeks is gewoon een Taylorreeks die je ontwikkelt in 0, dus daar valt ook weinig aan te bewijzen.
Volgens mij geldt dat niet alleen voor een oneindige som..quote:
Er is een stelling die zegt dat je onder bepaalde voorwaarden een oneindige som termgewijs mag differentiëren. In dit geval mag dat.
Dan zal je zien dat als je de reeksontwikkeling van een sinus differentieert, de reeksontwikkeling van de cosinus krijgt.
Een Maclaurinreeks is gewoon een Taylorreeks die je ontwikkelt in 0, dus daar valt ook weinig aan te bewijzen.
Maar bedankt. Zag even zo niet direct wat ze bedoelden. Voor een eindige som geldt het altijd. Maar met oneindige sommen kan het misgaan. Daar zit nog een hele hoop analyse achter als je wil weten hoe dat precies zit.quote:
[..]
Volgens mij geldt dat niet alleen voor een oneindige som..
Een Taylor-reeks is een reeksontwikkeling van een functie f(x) rond een punt x = a, zodat je f(x) uitdrukt als een (convergente) oneindige machtreeks waarvan de termen machten van (x-a) zijn. Een MacLaurin-reeks is niets anders dan een speciaal geval van de Taylorreeks voor a = 0. Daar is dan verder weinig aan te bewijzen.quote:
Ik heb even een vraagje. Mijn boek stelt dat uit de formule van Taylor (Taylorreeks?) de formule van Maclaurin volgt. Uiteraard zonder bewijs. Nu ga ik het bewijs zelf nog even bestuderen wanneer ik tijd heb, maar ik heb wel een vraag betreffende het bewijs van afgeleide functies.
Het idee is dat je de reeksen 'termsgewijs' mag differentiëren, net zoals je een polynoom in x termsgewijs kunt differentiëren. Uiteraard moet dan wel eerst zijn aangetoond onder welke voorwaarden dit mag. Het omgekeerde kan ook, je kunt convergente reeksen (alweer: onder bepaalde voorwaarden) termsgewijs primitiveren. Een (eenvoudig) voorbeeld: je weet dat de som (limiet) van een convergente meetkundige reeks met eerste term a en reden r gelijk is aan a/(1-r). Zo heb je dus bijvoorbeeld:quote:Ik heb met de formule van Maclaurin aan moeten tonen dat f(x) = sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! ... allemaal prima.
Evenzo voor g(x) = cos(x)
Nu moet ik aantonen dat f'(x) = g(x), uitgaande van de 'bewezen' reeksontwikkelingen. En daarna nog dat g'(x) = -f(x). Hoe pak ik dit aan?
1/(1 + x) = 1 - x + x2 - x3 + .... (|x| < 1)
Primitiveren geeft dan:
ln(1 + x) = x - x2/2 + x3/3 - x4/4 + ...
Merk op dat er geen constante bij komt, aangezien we voor x = 0 hebben ln(1) = 0. Dit is de bekende Mercator reeks, gepubliceerd in 1668 door Nicholas Mercator, niet te verwarren met (en geen familie van) de Vlaamse cartograaf Gerard Mercator.
Dank allen. En geef maar toe dat je met opzet over een man genaamd Mercator begon. Maar ik moet huiswerk maken, dus heb echt geen tijd om erop in te gaan.
Bedenk wel dat je voor de herleiding van de reeksen voor sin x en cos x niet gebruik mag maken van de afgeleiden van deze functies en dan vervolgens deze reeksontwikkelingen doodleuk gebruiken om te 'bewijzen' dat d(sin x)/dx = cos x en d(cos x)/dx = -sin x, want dan begeef je je in een cirkelredenering (no pun intended). Het is wat anders als je sin x en cos x definieert aan de hand van hun reeksontwikkelingen, maar dan nog moet je bewijzen dat de reeksen convergent zijn voor elke reële x en bewijzen dat 'termsgewijs' differentiëren hier überhaupt toelaatbaar is. Welk boek gebruik je als ik vragen mag?quote:
Ik doelde meer op het bewijs van de Maclaurinreeks als zijnde het bewijs van de Taylorreeks. Ik heb wel door dat de Maclaurinreeks niets anders is dan de Taylorreeks voor a = 0, maar verder is het bewijs van de Taylorreeks niet gegeven. Maar dat zoek ik nog wel uit.
Je hoeft er ook niet op in te gaan, het was alleen een voorbeeld om te laten zien wat je met 'termsgewijs' differentiëren of primitiveren van een reeksontwikkeling kunt doen. En ja, vind je het gek dat ik bij jou steeds aan Mercator moet denken?quote:Dank allen. En geef maar toe dat je met opzet over een man genaamd Mercator begon. Maar ik moet huiswerk maken, dus heb echt geen tijd om erop in te gaan. [ afbeelding ]
Wiskunde D. Getal en Ruimte, deel 3. Hoofdstuk 12, pagina 136-137. Hoofdstuk heet 'Complexe getallen gebruiken'. De paragraaf behandelt de formule van Euler.quote:
Bedenk wel dat je voor de herleiding van de reeksen voor sin x en cos x niet gebruik mag maken van de afgeleiden van deze functies en dan vervolgens deze reeksontwikkelingen gebruiken om te 'bewijzen' dat d(sin x)/dx = cos x en d(cos x)/dx = -sin x, want dan begeef je je in een cirkelredenatie (no pun intended). Het is wat anders als je sin x en cos x definieert aan de hand van hun reeksontwikkelingen, maar dan nog moet je bewijzen dat de reeksen convergent zijn voor elke reële x en bewijzen dat 'termsgewijs' differentiëren hier überhaupt toelaatbaar is. Welk boek gebruik je als ik vragen mag?
Ik heb dit gedaan:
Eerst heb ik aangetoond dat met behulp van de Taylorreeks dat sin(x) = x-x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + x^9/9!....
En dat cos(x) = 1-x^2/2!+x^4/4!+x^6/6! etc.
Daarna heb ik de afgeleide van de Taylorreeks van sin(x) genomen, en ja, daarvoor heb ik eerst sin(x) moeten differentiëren naar cos(x) om tot de conclusie te komen dat sin(x) gelijk is aan de Taylorreeks. Daarmee heb ik dus in feite helemaal niets bewezen. Dus dit is een cirkelredenatie.
Toch is dit volgens de uitwerkingen wel correct, deze zijn hier te vinden. Opgave 2.
Zal dinsdag eens slim gaan doen en dit aankaarten.
Dat weet ik. Ik hoop dat jij ook nog weet dat ik graag tot midden in de nacht bezig ben met interessante wiskunde. Volgens mij hebben we dat wel eens ooit besproken. En nee hoor, je 'humor' bevalt me wel.quote:
Je hoeft er ook niet op in te gaan, het was alleen een voorbeeld om te laten zien wat je met 'termsgewijs' differentiëren of primitiveren van een reeksontwikkeling kunt doen. En ja, vind je het gek dat ik bij jou steeds aan Mercator moet denken?
Ik kan me deze post trouwens nog wel herinneren. Misschien jij ook?
quote:
Je bent wel leerzaam trouwens, die anekdotes over de geschiedenis van de wiskunde zijn zeer interessant.
[ Bericht 5% gewijzigd door Amoeba op 11-11-2012 20:22:36 ]
Inderdaad, ik ben blij dat je het probleem ook ziet. Maar veel schrijvers van leerboeken kennelijk niet, of ze zien het wel en hopen dat de studenten het niet in de gaten hebben. Maar het blijft slechte didactiek (en slechte wiskunde). Hetzelfde geldt voor de manier waarop de formule van Euler vaak in leerboeken en cursussen wordt geïntroduceerd.quote:
[..]
Wiskunde D. Getal en Ruimte, deel 3. Hoofdstuk 12, pagina 136-137. Hoofdstuk heet 'Complexe getallen gebruiken'. De paragraaf behandelt de formule van Euler.
Ik heb dit gedaan:
Eerst heb ik aangetoond dat met behulp van de Taylorreeks dat sin(x) = x-x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + x^9/9!....
En dat cos(x) = 1-x^2/2!+x^4/4!+x^6/6! etc.
Daarna heb ik de afgeleide van de Taylorreeks van sin(x) genomen, en ja, daarvoor heb ik eerst sin(x) moeten differentiëren naar cos(x) om tot de conclusie te komen dat sin(x) gelijk is aan de Taylorreeks. Daarmee heb ik dus in feite helemaal niets bewezen. Dus dit is een cirkelredenatie.
quote:Toch is dit volgens de uitwerkingen wel correct, deze zijn hier te vinden. Opgave 2.
Zal dinsdag eens slim gaan doen en dit aankaarten.
Uiteraard, het zou niet best zijn als ik me mijn eigen posts na een paar maanden al niet meer zou herinneren. Grappig trouwens dat ik daar Jacob Bernoulli noem, ik zat net wat briefwisselingen tussen Leibniz en de broers Jacob en Johann Bernoulli te lezen waarin het zogeheten Bazel-probleem aan de orde komt. Daar zie je ook mooi hoe nonchalant men toen omging met het manipuleren van reeksen, waaronder de Mercator reeks, die op een bepaalde manier een rol speelde bij het Bazel-probleem. Maar daarover misschien een andere keer meer, omdat je kennelijk denkt dat je uit je boek meer leert ...quote:
Ik kan me deze post trouwens nog wel herinneren. Misschien jij ook?
[..]
Waar staat dat? Ik stel zelfs nog dat je heel leerzaam bent in mijn eigen quote. Ik krijg op m'n donder als ik die opgaven niet af heb. Kan ik er wat aan doen dat het boek fouten maakt..quote:
[..]
Uiteraard, het zou niet best zijn als ik me mijn eigen posts na een paar maanden al niet meer zou herinneren. Grappig trouwens dat ik daar Jacob Bernoulli noem, ik zat net wat briefwisselingen tussen Leibniz en de broers Jacob en Johann Bernoulli te lezen waarin het zogeheten Bazel-probleem aan de orde komt. Daar zie je ook mooi hoe nonchalant men toen omging met het manipuleren van reeksen, waaronder de Mercator reeks, die op een bepaalde manier een rol speelde bij het Bazel-probleem. Maar daarover misschien een andere keer meer, omdat je kennelijk denkt dat je uit je boek meer leert ...
Maar, hoe zou je dan bewijzen dat de [sin(x)]' = cos(x) met behulp van reeksen?
druk sin(x) uit in eix en e-ix
Waarbij je bij a aan moest toen dat:
Krijg je dit als uitwerking.
Vond ik mijn uitwerking met behulp van de integraalrekening (want de primitieve van cos(x) is sin(x)) toch een stuk eleganter. Ik vrees dat je toch wat 'leerzamer' bent.
Ha, dat is wel een leuke opgave. Je kan het doen door de volgende differentiaalvergelijking te beschouwenquote:
[..]
Waar staat dat? Ik stel zelfs nog dat je heel leerzaam bent in mijn eigen quote. Ik krijg op m'n donder als ik die opgaven niet af heb. Kan ik er wat aan doen dat het boek fouten maakt..
Maar, hoe zou je dan bewijzen dat de [sin(x)]' = cos(x) met behulp van reeksen?
(Dat is niet vreemd want je weet stiekem al dat sinus en cosinus aan deze DV voldoen, maar dat moet je direct weer vergeten want je wil nog laten zien dat sin' =cos)
Als je de volgende randvoorwaarden geeft: voor de oplossing S die voldoet aan (*) geldt S(0) = 0 en S'(0) =1 (S moet dus de sinus voorstellen) en voor de oplossing C van (*) geldt C(0)=1 en C'(0)=0 (C stelt dus de cosinus voor).
Stel vervolgens dat y(x) te schrijven is als machtreeks:
Door die machtreeks in (*) in te vullen vind je de coëfficienten van S(x) en van C(x) (dat zijn de gewone Taylorreeksen, die je nu dus vindt zonder te weten dat de afgeleide van S gelijk is aan C).
Vervolgens kan je bewijzen dat die reeksen uniform convergeren zodat je ze termsgewijs mag differentiëren. Dan vind je dat S'(x) = C(x).
Leuke opgave om eens in een nachtje uit te werken
.[ Bericht 0% gewijzigd door thenxero op 11-11-2012 22:20:18 ]
Ik verkeerde in de veronderstelling dat je aan zelfstudie deed. Je kunt inderdaad niet voorkomen dat een auteur van een boek het niet zo nauw neemt, maar je kunt wel op zoek gaan naar betere boeken. Maar aangezien het geen zelfstudie is begrijp ik dat je toch geacht wordt je huidige boek te gebruiken.quote:
[..]
Waar staat dat? Ik stel zelfs nog dat je heel leerzaam bent in mijn eigen quote. Ik krijg op m'n donder als ik die opgaven niet af heb. Kan ik er wat aan doen dat het boek fouten maakt..
Een bewijs voor de differentieerbaarheid en de afgeleiden van sin x en cos x hangt af van de definitie die je hanteert voor de goniometrische functies. Als je uitgaat van de bekende meetkundige definitie aan de hand van de eenheidscirkel, dan kun je op verschillende manieren gebruik maken van goniometrische identiteiten om aan te tonen dat voor elke x ∈ R geldt:quote:Maar, hoe zou je dan bewijzen dat de [sin(x)]' = cos(x) met behulp van reeksen?
(1) limh→0 (sin(x+h) - sin x)/h = cos x
Hierbij moet je dan gebruik maken van de 'standaardlimiet'
(2) limθ→0 sin θ / θ = 1
waarbij θ uiteraard in radialen is uitgedrukt. Deze limiet moet je natuurlijk ook eerst hebben aangetoond, waarvoor je gebruik maakt van een meetkundige beschouwing om te laten zien dat:
(3) cos θ < sin θ / θ < 1 (0 < |θ| < π/2)
waarna (2) volgt uit (3) met behulp van de insluitstelling én (en dat wordt vaak onder het vloerkleed geveegd) de continuïteit van de functie cos θ in het punt θ = 0. Die laatste moeilijkheid kan omzeild worden door eerst aan te tonen dat je hebt:
(4) 1 – θ2 < sin θ / θ < 1 (0 < |θ| < π/2)
Een heel aanschouwlijk 'fysisch' getint bewijs voor de afgeleiden van de sinus en cosinus functies krijg je door de meetkundige definitie op te vatten als een parametervoorstelling van een puntdeeltje dat met een eenparige snelheid één in tegenwijzerzin langs de eenheidscirkel beweegt. De plaatsvector s(t) van de beweging als functie van de tijd t is dan:
(5) s(t) = cos t ∙ ex + sin t ∙ ey
En de eerste afgeleide van de plaatsvector s(t) naar de tijd is de snelheidsvector v(t), dus:
(6) v(t) = d(cos t)/dt ∙ ex + d(sin t)/dt ∙ ey
Maar we weten dat de snelheidsvector v(t) een lengte één heeft en tevens op ieder moment loodrecht op de plaatsvector s(t) staat omdat een raaklijn aan een cirkel loodrecht staat op de straal naar het raakpunt. Bovendien weten we dat de snelheidsvector v(t) steeds een kwart slag tegen de klok in is gedraaid ten opzichte van de plaatsvector s(t), omdat de beweging langs de eenheidscirkel in tegenwijzerzin verloopt. Dus hebben we ook:
(7) v(t) = cos(t +½π) ∙ ex + sin(t +½π) ∙ ey
En aangezien elke vector in R2 op precies één manier kan worden uitgedrukt als een lineaire combinatie van ex en ey volgt uit (6) en (7) dus direct dat:
(8) d(cos t)/dt = cos(t + ½π) = -sin t
en:
(9) d(sin t)/dt = sin(t + ½π) = cos t
Als je sin x en cos x louter analytisch introduceert dan wordt het een ander verhaal maar hangt het bewijs voor de differentieerbaarheid en de afgeleiden van deze functies weer af van de manier waarop je ze hebt geïntroduceerd. Vaak wordt in de reële analyse eerst begonnen met een analytische definitie van bijvoorbeeld arctan x op R, omdat die is uit te drukken als een integraal met een algebraïsche integrand:
(10) arctan x = ∫0x dt/(1 + t2)
Dan kun je tan x definiëren op (-½π, ½π) als de inverse van arctan x en dan kun je sin x en cos x weer definiëren (en het domein uitbreiden naar R) aan de hand van tan x. Maar elegant is anders. In de complexe analyse worden cos z en sin z als analytische voortzetting van cos x en sin x meestal gedefinieerd op C met behulp van exp z, waarbij exp z dan (meestal) weer aan de hand van een machtreeks wordt gedefinieerd. Maar daar komt echt nog een aardig stukje wiskunde bij kijken om dat allemaal streng te verantwoorden. En de formule van Euler is dan een tautologie geworden en het bewijs dat d(cos z)/dz = -sin z en d(sin z)/dz = cos z triviaal.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 12-11-2012 02:50:15 ]
Het is de bedoeling dat je ziet dat op grond van:quote:
Net als opgave 9b.
druk sin(x) uit in eix en e-ix
Waarbij je bij a aan moest toen dat:
Krijg je dit als uitwerking.
[ afbeelding ]
(1) eix = cos x + i∙sin x
voor elke x ∈ R ook geldt:
(2) e-ix = cos (-x) + i∙sin(-x)
En aangezien cos x een even functie is en sin x een oneven functie heb je dus:
(3) e-ix = cos x - i∙sin x
Door optelling resp. aftrekking van de leden van (1) en (3) volgt dan onmiddellijk:
(4) cos x = (eix + e-ix)/2
(5) sin x = (eix - e-ix)/2i
Euler deed het trouwens in zijn Introductio precies andersom: hij leidde eerst (4) en (5) af en daaruit dan (1) en (3).
Het is mij niet duidelijk wat je precies bedoelt, maar ik heb je boek hier niet, dus ik weet ook niet wat voor (al dan niet verborgen) vooronderstellingen er allemaal gemaakt worden. Als je mag gebruiken dat d(eix)/dx = i∙eix dan is de bepaling van de afgeleiden van cos x en sin x uit (4) resp. (5) natuurlijk triviaal, en dan zie ik niet in waarom je voor je opgave integraalrekening zou gebruiken.quote:Vond ik mijn uitwerking met behulp van de integraalrekening (want de primitieve van cos(x) is sin(x)) toch een stuk eleganter. Ik vrees dat je toch wat 'leerzamer' bent.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 12-11-2012 00:00:13 ]
Nu moest je voor sin(x) ook zo'n uitdrukking verzinnen, ik heb enkel en alleen de primitieve genomen. Kom je op exact hetzelfde uit. Alhoewel ik er wel van uit ging dat afgeleide functies hetzelfde zijn in C..
ik moet y weten van: 5=2x^0.5 + y^0.5 (je kan de machten als wortels zien, maar dat weten jullie ofc)
Ik haal y naar links, 5 naar rechts: y^0.5 = 5- 2x^0.5
dan beide termen ^2 -> y= (5 - 2x^0.5)^2
y= 25 - 4x
Maaar mijn vriend wolfram alpha zegt dat het y=4x-20x^0.5+25 moet zijn, ik geloof hem uiteraard, maar hoe kom ik aan die -20^0.5 ertussen??
BVD
Oh, op die manier.quote:
(4) was gegeven. Dit moest je alleen nog even bewijzen dat dit klopte..
Inderdaad, verborgen aannames ...quote:Nu moest je voor sin(x) ook zo'n uitdrukking verzinnen, ik heb enkel en alleen de primitieve genomen. Kom je op exact hetzelfde uit. Alhoewel ik er wel van uit ging dat afgeleide functies hetzelfde zijn in C..
Je had bijvoorbeeld ook kunnen gebruiken dat
sin x = cos(½π - x)
En dan met de additietheoremas verder uitwerken. Had gekund.quote:
[..]
Oh, op die manier.
[..]
Inderdaad, verborgen aannames ...
Je had bijvoorbeeld ook kunnen gebruiken dat
sin x = cos(½π - x)
Ik weet niet of je precies begrijpt wat ik bedoelde. Ik had het volgende in gedachten:quote:
[..]
En dan met de additietheoremas verder uitwerken. Had gekund.
sin x = cos(½π - x) = (ei(½π-x) + e-i(½π-x))/2 = (e½πi∙e-ix + e-½πi∙eix)/2 = (i∙e-ix - i∙eix)/2 = -i∙(-e-ix + eix)/2 = (eix - e-ix)/2i
He Bedankt Platina! Ik heb uiteindelijk diezelfde gekregen, al was dat na enige trail & errorquote:
[..]
(8-5)(7a-3) +7a +3
8*7a+8*-3+-5*7a+-5*-3+7a+3
56a-24-35a+15+7a+3
28a-6
Daarbij aangenomen dat de uitkomst van de som 0 was geeft dan 28a = 6
Many thanks:)Hey Amoeba,quote:
[..]
Uiteraard. Inderdaad wordt in de methode Getal & Ruimte (vooral in de lagere klassen) vaak de opgave 'herleid de volgende veeltermen' gegeven, ter oefening.
[..]
Het is handig de merkwaardige producten uit je hoofd te kennen:
(a+b)2 = a2 +2ab + b2
(a-b)(a+b) = a2 - b2
(a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd
Dit is in feite 'rekenen met letters'. Echter nu substitueer je voor a, b, c en d de gegeven waarden. bijvoorbeeld mag je substitueren:
b = 7a of b = 3 of b = sin(a) of b = 5000sec(a).
Het beste voorbeeld is het 'pijltjes' voorbeeld. Je vermenigvuldigt alles tussen de eerste haakjes met alles tussen de tweede haakjes, dus a met c en d en b met c en d. Stel dat je hebt (a + b + c)(d+e+f), wat krijg je dan? Als je weet dat hiervoor precies hetzelfde geldt?
Bedankt voor de
Hey Amoeba,quote:
[..]
Uiteraard. Inderdaad wordt in de methode Getal & Ruimte (vooral in de lagere klassen) vaak de opgave 'herleid de volgende veeltermen' gegeven, ter oefening.
[..]
Het is handig de merkwaardige producten uit je hoofd te kennen:
(a+b)2 = a2 +2ab + b2
(a-b)(a+b) = a2 - b2
(a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd
Dit is in feite 'rekenen met letters'. Echter nu substitueer je voor a, b, c en d de gegeven waarden. bijvoorbeeld mag je substitueren:
b = 7a of b = 3 of b = sin(a) of b = 5000sec(a).
Het beste voorbeeld is het 'pijltjes' voorbeeld. Je vermenigvuldigt alles tussen de eerste haakjes met alles tussen de tweede haakjes, dus a met c en d en b met c en d. Stel dat je hebt (a + b + c)(d+e+f), wat krijg je dan? Als je weet dat hiervoor precies hetzelfde geldt?
Bedankt voor de uitwerking achter mijn som. Het gaat hier inderdaad over de herleiding som. In jouw voorbeeld over de zogenaamde 'pijltjes' kan ik niet helemaal begrijpen wat de toepassing is. Gaat het om de (A+B)(C+D)= AC+ AD+ BC + BD formule? In dat geval zou de uitkomst van Platinum correct zijn, toch?
de 'wiskundeleraar' heeft 8 goedgekeurd, en de TS denkt nu dat 8 goed isquote:
Haha komt uit een ander topic, maar hij klopt niet.
Dit bevestigt toch mijn idee dat dit een falende leraar is en geen humor (sorry Amoebaquote:
[..]
de 'wiskundeleraar' heeft 8 goedgekeurd, en de TS denkt nu dat 8 goed is
). Het juiste antwoord is toch gewoon -1?quote:
[..]
Dit bevestigt toch mijn idee dat dit een falende leraar is en geen humor (sorry Amoeba
Met een poging net zo'n taalgebruik te produceren als geadresseerde stuurde hij mij dus zojuist een mail terug. Tijdens het lezen van dit document kreeg mijn brein de volgende passage te verwerken:
Hier nogmaals de exacte opgave:quote:Ik heb gerede twijfel bij uw constatering dat er sprake is van een cirkelredenering. Er wordt namelijk niet van u verwacht te bewijzen dat de f'= g en g'=-f volgt uit de Taylorreeksen. Maar u hoeft slechts uw normale kennis der differentieertechnieken los te laten op de achtereenvolgende reekstermen en daarmee een ziedewel-gevoel te genereren.
Wat zegt het brein van geadresseerde hier van? Ondergetekende vindt het nog steeds een cirkelredenering, aangezien bij de bepaling van de reeksontwikkeling expliciet gebruik wordt gemaakt van de identiteit van de afgeleide van f(x) = sin(x).
Amoeba
Tja, het hangt op een subtiele manier van de vraagstelling af of er nu wel of niet sprake is van een cirkelredenering. Je eigen formulering van deelopgave c hierboven luidt: Nu moet ik aantonen dat f'(x) = g(x), uitgaande van de 'bewezen' reeksontwikkelingen. En daarna nog dat g'(x) = -f(x). Hiermee suggereer je dat werd gevraagd om aan de hand van de reeksontwikkelingen van f(x) = sin x en g(x) = cos x aan te tonen dat f'(x) = cos x = g(x) en g'(x) = -sin x = -f(x), en dan begeef je je in een cirkelredenering omdat je al gebruik hebt gemaakt van de afgeleiden van f(x) = sin x en g(x) = cos x om de MacLaurin reeksen voor deze functies überhaupt op te kunnen stellen.quote:
Riparius. Ik had dus op den zondagavond jongstleden mijn docent wiskunde een boodschap per elektronische post gestuurd, betreffende de cirkelredenatie van opgave 2c. Ik neem aan dat het probleem nog vers in het geheugen zit.
Met een poging net zo'n taalgebruik te produceren als geadresseerde stuurde hij mij dus zojuist een mail terug. Tijdens het lezen van dit document kreeg mijn brein de volgende passage te verwerken:
[..]
Hier nogmaals de exacte opgave:
[ afbeelding ]
Wat zegt het brein van geadresseerde hier van? Ondergetekende vindt het nog steeds een cirkelredenering, aangezien bij de bepaling van de reeksontwikkeling expliciet gebruik wordt gemaakt van de identiteit van de afgeleide van f(x) = sin(x).
Amoeba
Maar in het boek zelf wordt je alleen gevraagd om na te gaan dat de verkregen reeksontwikkelingen voor f(x) en g(x) voldoen aan f'(x) = g(x) en g'(x) = -f(x), en dan is er inderdaad geen cirkelredenering, zodat ik je docent in deze gelijk moet geven. Dat neemt niet weg dat opgave c triviaal is, maar dat is wat anders.
Immers, als je hebt f(x) = sin x en g(x) = cos x, dan is f'(x) = g(x) en dus ook f''(x) = g'(x) en in het algemeen dus f(n)(x) = g(n-1)(x) en daarmee ook f(n)(0) = g(n-1)(0). De algemene term van de MacLaurin reeks voor f(x) is:
(f(n)(0)/n!)∙xn
en de afgeleide naar x van deze algemene term is:
n∙(f(n)(0)/n!)∙xn-1 = (f(n)(0)/(n-1)!)∙xn-1 = (g(n-1)(0)/(n-1)!)∙xn-1
en dat is de algemene term met rangnummer n-1 van de MacLaurin reeks voor g(x), zodat het nogal wiedes is dat je de reeksontwikkeling voor g(x) krijgt als je de reeksontwikkeling voor f(x) 'termsgewijs' differentieert (de term met x0 in de MacLaurin reeks voor f(x) = sin x heeft een coëfficiënt f(0)/0! = 0 aangezien f(0) = 0 en ontbreekt dus in de reeks voor f(x), zodat we beginnen met n = 1). Omgekeerd levert 'termsgewijs' differentiëren van de reeks voor g(x) de termen op van de reeks voor f(x), maar dan steeds met tegengesteld teken.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 13-11-2012 04:11:18 ]
Ik zie ook niet hoe. Het is een telargument dat pariteit gebruikt, geen ladenprincipe.quote:
Op deze site staat dat het bewijs van Sperner's lemma in Proofs from the Book gebruik maakt van het Pigeon Hole principe. Wij hebben het bewijs bekeken, en zien echt niet hoe. Iemand die dat boek toevallig thuis heeft / dit bewijs kent en het ons kan vertellen?
Klopt, maar je kan dat heel makkelijk met het ladenprincipe bewijzen. Verdeel de driehoek in kleinere driehoekjes (bijvoorbeeld met de middenparallels), dan is er een driehoekje waar de rij oneindig vaak in terechtkomt (oneindig-eindig ladenprincipe). Dat driehoekje kun je ook weer opdelen, en zo ga je door en krijg je dus een rij driekhoekjes die steeds kleiner worden. Een deelrij van je puntenrij die je krijgt door uit elk van die driehoekjes een punt te kiezen is convergent.quote:
Ik dacht dat dat een stelling uit de topologie ofzo was, omdat de driehoek compact is...
[ Bericht 0% gewijzigd door thabit op 15-11-2012 16:10:31 ]
R2 is overigens de R-squared.
Ŷt = 2.40 +0.018t + 0.60 lnt
R2 = 0.40
[ Bericht 3% gewijzigd door RealMadrid10 op 15-11-2012 18:56:52 ]
Ik wil het getal 676 ontbinden in priemfactoren:
676/2= 338
338/2= 169
Nu is 169 geen priemgetal, hoe kan ik nu gemakkelijk uitvinden met welk getal ik het moet delen ? (Ben er wel achter dat het antwoord 13 is, maar hoe kan ik dit zonder 'trial and error' vinden ?)
Nee, wel een simpele vraag maar geen simpel probleem. Begin hier maar eens mee.quote:
Hele simpele vraag voor jullie hoor, maar hier komt hij:
Je hoeft hier natuurlijk sowieso alleen priemgetallen groter dan 2 en kleiner dan of gelijk aan √169 te proberen. En als je wat deelbaarheidskenmerken kent, kun je 3, 5, 7 en 11 al overslaan, dus hoef je alleen 13 te proberen.quote:Ik wil het getal 676 ontbinden in priemfactoren:
676/2= 338
338/2= 169
Nu is 169 geen priemgetal, hoe kan ik nu gemakkelijk uitvinden met welk getal ik het moet delen ? (Ben er wel achter dat het antwoord 13 is, maar hoe kan ik dit zonder 'trial and error' vinden ?)
Schrijf een computerprogrammaatje of gebruik WolframAlpha. Of deze site voor het zwaardere werk.
Duidelijk verhaal, bedankt !quote:
[..]
Nee, wel een simpele vraag maar geen simpel probleem. Begin hier maar eens mee.
[..]
Je hoeft hier natuurlijk sowieso alleen priemgetallen groter dan 2 en kleiner dan of gelijk aan √169 te proberen. En als je wat deelbaarheidskenmerken kent, kun je 3, 5, 7 en 11 al overslaan, dus hoef je alleen 13 te proberen.
Schrijf een computerprogrammaatje of gebruik WolframAlpha. Of deze site voor het zwaardere werk.
Hoe kan ik het best 3 breuken gelijknamig maken ?
Voorbeeld van hoe ik het met 2 breuken doe (wat wel lukt).
3/20 en 1/8
20*8= 160
20 in priemgetallen = 2x2x5
8 in priemgetallen = 2x2x2
2x2 komt overeen maakt 4
160/4= */40
op deze bijt ik echter mijn tanden stuk:
4/63, 5/42 en 1/56
63 in priemgetallen =x3x3x7
42 in priemgetallen =x2x3x7
56 in priemgetallen =x2x2x2x7
Hoe kan ik het nou uitrekenen, bedankt alvast
Dit werkt omdat 2*2*2*3*3*7 deelbaar is door 3*3*7, door 2*3*7 en door 2*2*2*7.
En als ze allemaal maar één keer voorkomen neem ik het hoogste getal ?quote:
Kijk welke factoren je nodig hebt (bij elke priemfactor neem je het aantal dat het vaakste voorkomt bij één getal): driemaal een 2, tweemaal een 3, eenmaal een 7: 2*2*2*3*3*7 = 504.
Dit werkt omdat 2*2*2*3*3*7 deelbaar is door 3*3*7, door 2*3*7 en door 2*2*2*7.
Bij 78,39,65 is het bijvoorbeeld dit:
x2x3x13
x3x13
x5x13
Dit lijkt me dan niet te kloppen ? //edit, dit klopt dus wel, excuses.
Als ik achterin 5/78,5/39,3/65 op zoek geeft het boek 25/390,50/390,18/390 aan. Mis ik een stuk ?
[ Bericht 4% gewijzigd door obsama op 17-11-2012 01:35:53 ]
Ik dacht misschien iets als X_n is uniform op [-1/n, 1/n] en Y_n uniform op [2-1/n, 2+1/n]. Dan geldt X=0, Y=2. Maar dan moet ik laten zien dat P(X<a, Y<b) niet gelijk is aan P(X<a)P(Y<b) voor bepaalde a en b, maar dat zie ik niet.
Hoe evalueer ik P(X<a, Y<b) als ik de joint density function niet weet? (en zolang je geen onafhankelijkheid hebt weet ik ook niet hoe ik die zou kunnen bepalen)quote:
Kijk voor welke a en b er 0 uitkomt, en wanneer er 1 uitkomt.
P(X ≤ a, Y ≤ b) = P(0 ≤ a, 2 ≤ b)quote:
X en Y zijn constant, dan weet je de joint density
= 1 als a ≥ 0 en b ≥ 2 en 0 anders
= P(X ≤ a) P(Y ≤ b)
[ Bericht 48% gewijzigd door thenxero op 18-11-2012 19:11:34 ]
Ik zoek toch een tegenvoorbeeld!quote:
Ik moet een opgave maken die dan en slechts dan mogelijk is als je kan bewijzen dat X en Y onafhankelijk zijn. Jij zegt dat het niet waar is maar ik kan geen tegenvoorbeeld vinden, maar ik kan het ook niet bewijzen. Laat maar eens jouw "eenvoudige" tegenvoorbeeld zien, ik ben benieuwd.
(ik dacht al: zit je me nou te trollenquote:
Ah constanten zijn inderdaad onafhankelijk, mijn fout. Kun je "(X_n) en (Y_n) onafhankelijk" nog iets verduidelijken? Geldt dit voor één N, of bedoel je hier de hele rij stochasten?
)Die notatie betekent dat de hele rij stochasten onafhankelijk is: (X_n) staat voor
Met n positieve gehele getallen.
Oftewel dat er een c > 0 is zodat er een N is zodat voor alle n > N geldt :
Je moet vast iets omschrijven maar het is lang geleden dat ik met andere logaritmes dan het natuurlijke logaritme heb gewerkt, dus ik zie het niet.
[ Bericht 0% gewijzigd door Anoonumos op 18-11-2012 22:40:08 ]
Ik begrijp iets niet. In je ongelijkheid kan 2log x toch willekeurig groot worden door x voldoende groot te nemen? Dan kan er dus geen c zijn waarmee voor elke x > 0 aan je ongelijkheid wordt voldaan?quote:Op zondag 18 november 2012 22:01 schreef Anoonumos het volgende:
Hoe bewijs ik dat.
Met n positieve gehele getallen.
Oftewel dat er een c > 0 is zodat er een N is zodat voor alle n > N geldt :.
Je moet vast iets omschrijven maar het is lang geleden dat ik met andere logaritmes dan het natuurlijke logaritme heb gewerkt, dus ik zie het niet.
Die x moet volgens mij gewoon een n zijn.quote:
[..]
Ik begrijp iets niet. In je ongelijkheid kan 2log x toch willekeurig groot worden door x voldoende groot te nemen? Dan kan er dus geen c zijn waarmee voor elke x > 0 aan je ongelijkheid wordt voldaan?
Dat ligt voor de hand, maar dat moet Anoonumos dan wel eerst bevestigen.quote:
[..]
Die x moet volgens mij gewoon een n zijn.
En log 2 is constant, dus op zich werkt alles precies hetzelfde als bij de natuurlijke logaritme
Bedenk dat je hebt n = 2lb n, c = 2lb c etc. waar ik lb a schrijf voor 2log a (ISO recommendatie). Dan kun je je ongelijkheid omschrijven zodanig dat je links en rechts een macht van 2 krijgt. En als 2p ≤ 2q dan is p ≤ q. Daarmee zou het moeten lukken.quote:
Ja, excuses. Die x moet een n zijn. Ik zal het aanpassen.
Je bent me voor.quote:
[..]
Bedenk dat je hebt n = 2lb n, c = 2lb c etc. waar ik lb a schrijf voor 2log a (ISO recommendatie). Dan kun je je ongelijkheid omschrijven zodanig dat je links en rechts een macht van 2 krijgt. En als 2p ≤ 2q dan is p ≤ q. Daarmee zou het moeten lukken.
Het is toch iets trickier dan ik dacht. Je kunt direct links en rechts de binaire log nemen van de ongelijkheid:quote:
(1) nlb(n) ≤ c∙2n
en dan krijg je:
(2) (lb(n))2 ≤ lb(c) + n
Nu kun je gebruik maken van
(3) limn→∞ lb(n)/√n = 0
zodat er dus een N bestaat zodanig dat
(4) (lb(n))2 ≤ n voor elke n > N
Verder is voor elke c ≥ 1
(5) n ≤ lb(c) + n
en uit (4) en (5) volgt dan voor elke c ≥ 1 en n > N
(2) (lb(n))2 ≤ lb(c) + n
en dus ook (1), QED.
Ik snap de vraag niet goed. Als je hebt X=Y~N(0,1), en X_i, Y_i~N(0,1) allemaal onafhankelijk van de anderen, wat gaat er dan mis?quote:
Zij X_n een rij stochasten die convergeert naar X, en Y_n naar Y, waarbij (X_n) en (Y_n) onafhankelijk zijn. Geldt dan dat X en Y onafhankelijk zijn?
Ja, zo was het mij uiteindelijk ook gelukt.quote:
[..]
Het is toch iets trickier dan ik dacht. Je kunt direct links en rechts de binaire log nemen van de ongelijkheid:
..
en dus ook (1), QED.
Hartelijk dank.
Zo had ik het niet bedacht. Ik zou n=2m substirueren, dat is volgens mij wat makkelijker.quote:
[..]
Het is toch iets trickier dan ik dacht. Je kunt direct links en rechts de binaire log nemen van de ongelijkheid:
(1) nlb(n) ≤ c∙2n
en dan krijg je:
(2) (lb(n))2 ≤ lb(c) + n
Nu kun je gebruik maken van
(3) limn→∞ lb(n)/√n = 0
zodat er dus een N bestaat zodanig dat
(4) (lb(n))2 ≤ n voor elke n > N
Verder is voor elke c ≥ 1
(5) n ≤ lb(c) + n
en uit (4) en (5) volgt dan voor elke c ≥ 1 en n > N
(2) (lb(n))2 ≤ lb(c) + n
en dus ook (1), QED.
Laat eens precies zien hoe je dan verder gaat? Met jouw substitutie krijg je in het rechterlid van de ongelijkheid een macht van een macht. Ik zie niet hoe dat gemakkelijker zou zijn. Ook heb ik het idee dat je vergeet dat m dan niet uitsluitend geheel kan zijn.quote:
[..]
Zo had ik het niet bedacht. Ik zou n=2m substitueren, dat is volgens mij wat makkelijker.
Dan gaat er niks mis. De vraag is eigenlijk of onafhankelijkheid overeind blijft in de limiet. Je weet dat de X_i en de Y_i allemaal onafhankelijk zijn, maar geldt dat nog steeds in de limiet? D.w.z.: geldt ook X onafhankelijk van Y (als dat nog niet gesteld is).quote:
[..]
Ik snap de vraag niet goed. Als je hebt X=Y~N(0,1), en X_i, Y_i~N(0,1) allemaal onafhankelijk van de anderen, wat gaat er dan mis?
Ik heb X=Y gekozen.quote:
[..]
Dan gaat er niks mis. De vraag is eigenlijk of onafhankelijkheid overeind blijft in de limiet. Je weet dat de X_i en de Y_i allemaal onafhankelijk zijn, maar geldt dat nog steeds in de limiet? D.w.z.: geldt ook X onafhankelijk van Y (als dat nog niet gesteld is).
Oh dat zie ik nu pasquote:
. Ik weet niet of je dat zo kan definiëren. Het klopt dat X_n gaat naar X, Y_n naar Y in distributie. Maar of je de limieten zo aan elkaar gelijk kan kiezen? Hmmm....Je kan wel termen noemen als "tegengestelde" of "additieve inverse", maar "g(x)=-f(x)" lijkt me in vrijwel alle gevallen het duidelijkst, dus ik zou het geen naam geven.quote:
Ik heb een functie f(x) en een functie g(x), g(x) is in feite -f(x), heeft dat een naam?
Wat is er precies onduidelijk aan?quote:
Het is me nog steeds niet duidelijk wat de vraag precies is. Misschien moet je even een stap terug doen en daar nog eens over nadenken.
Klopt, ik was in de war. Ik dacht even dat (2m)2 = 2m*m, dan zou het volgens mij een stuk makkelijker kunnen. He, denk ik ook eens wat te wetenquote:
[..]
Laat eens precies zien hoe je dan verder gaat? Met jouw substitutie krijg je in het rechterlid van de ongelijkheid een macht van een macht. Ik zie niet hoe dat gemakkelijker zou zijn. Ook heb ik het idee dat je vergeet dat m dan niet uitsluitend geheel kan zijn.
. Nevermind.
Pff, wat ben ik alles van lineaire algebra B snel vergeten. In ieder geval moet je laten zien dat elke vector in V/U uitgedrukt kan worden als lineaire combinatie van de vectoren vr+1 + U, ..., vn + U. Ik weet niet of je hier wat aan hebt?quote:
Kan iemand mij iets duidelijk maken omtrent quotientruimte, restklassen etc? Als voorbeeld deze vraag. Waar begin ik met denken? Hoe bewijs je het vanzelfsprekende? Mijn antwoord is nu zoiets als: dat zie je toch? Helaas volstaat dat niet in Lineaire Algebra
(Ik moet bekennen dat ik het begrip quotiëntruimte van een lineaire ruimte niet ken, volgens mij is die nooit in het college behandeld bij ons, en de notatie vr + U ook niet)
Kan iemand me vertellen waar die tot de 3e macht vandaan komt?
Kettingregel.quote:
[ afbeelding ]
Kan iemand me vertellen waar die tot de 3e macht vandaan komt?
Het antwoord zou -2te^(-3t) moeten zijn.
Kan iemand mij helpen?
Welke stappen of standaardtransformaties gebruiken ze?
Ik neem aan dat ze niet verwachten dat je met de inversieformules van Mellin of Post aan de slag gaat, dus zal het de bedoeling zijn om gewoon je standaardtabelletje met Laplace transformaties te gebruiken.quote:
Ik moet de inverse laplacegettransformeerde van -2/((s+3)^2) hebben, maar kom er niet helemaal uit.
Het antwoord zou -2te^(-3t) moeten zijn.
Kan iemand mij helpen?
Welke stappen of standaardtransformaties gebruiken ze?
Dankje. Lineaire Algebra wordt hoogstwaarschijnlijke reden #1 dat ik gedwongen wordt te stoppen met Natuurkundequote:
[..]
Pff, wat ben ik alles van lineaire algebra B snel vergeten. In ieder geval moet je laten zien dat elke vector in V/U uitgedrukt kan worden als lineaire combinatie van de vectoren vr+1 + U, ..., vn + U. Ik weet niet of je hier wat aan hebt?
(Ik moet bekennen dat ik het begrip quotiëntruimte van een lineaire ruimte niet ken, volgens mij is die nooit in het college behandeld bij ons, en de notatie vr + U ook niet)
Ga je het vak niet halen? Als je denkt dat je de studie voor de rest wel aankan, zou ik er gewoon wat wiskunde bijles tegenaan gooien.quote:
[..]
Dankje. Lineaire Algebra wordt hoogstwaarschijnlijke reden #1 dat ik gedwongen wordt te stoppen met Natuurkunde
Wel, je moet twee dingen aantonen:quote:
Kan iemand mij iets duidelijk maken omtrent quotientruimte, restklassen etc? Als voorbeeld deze vraag. Waar begin ik met denken? Hoe bewijs je het vanzelfsprekende? Mijn antwoord is nu zoiets als: dat zie je toch? Helaas volstaat dat niet in Lineaire Algebra
(a) de gegeven elementen zijn lineair onafhankelijk in V/U
(b) spannen V/U op
Ik zal (a) voordoen, dan mag je zelf (b) doen.
(a) Stel ze zijn afhankelijk. Dan zijn er cr+1, ..., cn in F, niet allemaal 0, met somi>rci(vi + U) = 0 in V/U. Dat betekent niks anders dan dat somi>rcivi in U zit, en dus is dat een lineaire combinatie van v1, ..., vr. Er zijn dus d1, ..., dr in F met somi<=rdivi = somi>rcivi. Maar de vi vormen een basis voor V, dus ze zijn linear onafhankelijk, dus zo'n relatie kan niet bestaan.
Ik heb elke dag van half 9 tot half 6 colleges en op donderdag zelfs tot half 7. Als ik het daarmee niet redt (thuis ook nog zelfstudie) is het voor mij een groot genoeg teken dat ik er maar beter mee kan kappenquote:
[..]
Ga je het vak niet halen? Als je denkt dat je de studie voor de rest wel aankan, zou ik er gewoon wat wiskunde bijles tegenaan gooien.
Twee studies?quote:
[..]
Ik heb elke dag van half 9 tot half 6 colleges en op donderdag zelfs tot half 7. Als ik het daarmee niet redt (thuis ook nog zelfstudie) is het voor mij een groot genoeg teken dat ik er maar beter mee kan kappen
Nee, alleen natuurkunde.quote:
Vreemd, dat was bij mij een stuk minder.quote:
Dat is wel erg veel. Ik doe 2 studies, ik doe nu 6 vakken en ik heb halve dagen college (alleen maandag van 9 tot 5). Waar studeer je als ik vragen mag?quote:
[..]
Ik heb elke dag van half 9 tot half 6 colleges en op donderdag zelfs tot half 7. Als ik het daarmee niet redt (thuis ook nog zelfstudie) is het voor mij een groot genoeg teken dat ik er maar beter mee kan kappen
RU. Ik neem ook de werkcolleges etc. mee he.quote:
[..]
Dat is wel erg veel. Ik doe 2 studies, ik doe nu 6 vakken en ik heb halve dagen college (alleen maandag van 9 tot 5). Waar studeer je als ik vragen mag?
waar B(V, C) de ruimte van begrensde functies f: V -> C is
Cb(V, C) de ruimte van begrensde continue functies f: V -> C is
en C de complexe getallen zijn
(met als norm de sup-norm)
maar Cb(V, C) is volgens mij helemaal geen gesloten verzameling. Bekijk bijvoorbeeld limn-> infinity fn, waar fn(x) = -1 als x < -1/n, 1 als x > 1/n, 0 als x=0
en n*x anders. Deze functie is continue, en de limiet bestaat en is gelijk aan de teken (sgn) functie, die niet continu is (en dus geen element van C(V, C, dit zou wel moeten voor een gesloten verzameling).
Dus is C(V, C) niet gesloten, zou je zeggen.
Ik heb werkelijk waar geen idee welk antwoord ze op deze vraag willen (en in welke vorm te schrijven). Heb de volgende opties al geprobeert:
edit: zijn dus telkens nieuwe opgaves maar gaat om de manier waarop
Iemand nog ideeën?
Daarnaast:
f(x) = 5x + 2
(e) Write the solution of f(x) <_ (smaller or equal) - 8. Type your answer in interval notation.
Wat zal hier dan het antwoord op moeten zijn?
x <_ 6/5
<_ 6/5
en om sure te zijn dit ook maar geprobeert:
x < 6/5
< 6/5
Allen echter onjuist. Wordt een beetje gefrustreerd van dit programma.
Dan lijkt het me dat je het onderste deel netjes moet uitwerken.
(x2+8)2 = x4 + 16x2 + 64
bij de middelste boven.
Bij je tweede vraag gaat er iets mis met je -teken
Tweede vraag was trouwens wel - 8 maar de volgende 4 pakt die ook niet:
x <_ -2
x < -2
<_ -2
< -2
probeer eens (-oneindig, -2] maar dan met een oneindig teken als je dat in kan voeren.
Denk dat het tijd wordt voor een mailtje aan de prof.
Is dit voor Functies & Reeksen?quote:
Een vraagje. Voor een inleveropgave moet ik bewijzen dat Cb(V, C) een gesloten deelverzameling is van B(V, C) als V een deelverzameling is van Rn
waar B(V, C) de ruimte van begrensde functies f: V -> C is
Cb(V, C) de ruimte van begrensde continue functies f: V -> C is
en C de complexe getallen zijn
(met als norm de sup-norm)
maar Cb(V, C) is volgens mij helemaal geen gesloten verzameling. Bekijk bijvoorbeeld limn-> infinity fn, waar fn(x) = -1 als x < -1/n, 1 als x > 1/n, 0 als x=0
en n*x anders. Deze functie is continue, en de limiet bestaat en is gelijk aan de teken (sgn) functie, die niet continu is (en dus geen element van C(V, C, dit zou wel moeten voor een gesloten verzameling).
Dus is C(V, C) niet gesloten, zou je zeggen.
Hier had ik met het naberekenen (in word voor de mooi) al door wat ik waarschijnlijk fout had gedaan.
*en zie nu ook pas 2 decimalen, soit.
Als ik -0.90 invul op de plek van 11.13 klopt die dan?
En deze
Klopt dit zo? is het beter/normaler/mooier als ik gewoon een wortel schrijf ipv ^1/2?
[ Bericht 45% gewijzigd door Amoeba op 23-11-2012 22:39:19 ]
Jepquote:
[..]
Is dit voor Functies & Reeksen?
, ik ben er inmiddels al uit. Heb je het vak ook gevolgd?Ja, het was een van de makkelijkste wiskunde vakken van de tweede jaar. Volgens mij moet je bij die vraag domweg de definities volgen.quote:
[..]
Jep
Makkelijkste? Zeker in een jaar dat van de Ban het gaf?quote:
[..]
Ja, het was een van de makkelijkste wiskunde vakken van de tweede jaar. Volgens mij moet je bij die vraag domweg de definities volgen.
Ik vond het dictaat trouwens echt verschrikkelijk. Ik vond alle analyse vakken leuk behalve die.
Ja, maar bij van den Ban leer je ook wat. Geeft iemand anders het dit jaar?quote:
[..]
Makkelijkste? Zeker in een jaar dat van de Ban het gaf?
Van den Ban deed ook zijn eigen aantekeningen erbij en zijn colleges zijn altijd goed opgebouwd.
Klopt, bij hem zou het vak misschien wel oke kunnen zijn. Weet niet wie het dit jaar geeft.quote:
[..]
Ja, maar bij van den Ban leer je ook wat. Geeft iemand anders het dit jaar?
Van den Ban deed ook zijn eigen aantekeningen erbij en zijn colleges zijn altijd goed opgebouwd.
Ik kan me vaag herinneren dat ik op het F&R tentamen een functie moest bedenken die niet C2 was en wel C1 waardoor d/dx d/dy f(x,y) ongelijk was aan d/dy d/dx f(x,y). Dat is gewoon niet leuk
.Altijd mooi, dat soort tegenvoorbeelden.quote:
[..]
Klopt, bij hem zou het vak misschien wel oke kunnen zijn. Weet niet wie het dit jaar geeft.
Ik kan me vaag herinneren dat ik op het F&R tentamen een functie moest bedenken die niet C2 was en wel C1 waardoor d/dx d/dy f(x,y) ongelijk was aan d/dy d/dx f(x,y). Dat is gewoon niet leuk
Behalve op een tentamenquote:Op zaterdag 24 november 2012 00:19 schreef thabit het volgende:
[..]
Altijd mooi, dat soort tegenvoorbeelden.
Dat is inderdaad geen makkelijke vraag, als je niet weet welke functie je zoekt.quote:
[..]
Klopt, bij hem zou het vak misschien wel oke kunnen zijn. Weet niet wie het dit jaar geeft.
Ik kan me vaag herinneren dat ik op het F&R tentamen een functie moest bedenken die niet C2 was en wel C1 waardoor d/dx d/dy f(x,y) ongelijk was aan d/dy d/dx f(x,y). Dat is gewoon niet leuk
Souvignier zei zelf ook (in andere woorden) dat dit het meest klote is van deze periode, ik zou het nog even proberen.quote:
Er mogen best wat moeilijkere vragen tussen zitten. Iemand die de stof niet volledig beheerst, moet geen 10 kunnen halen.quote:
Ja, ik heb hem inmiddels, ik haalde even uniforme convergentie en normale convergentie door elkaarquote:
[..]
Ja, het was een van de makkelijkste wiskunde vakken van de tweede jaar. Volgens mij moet je bij die vraag domweg de definities volgen.
Die man geeft goed college ja!quote:
[..]
Makkelijkste? Zeker in een jaar dat van de Ban het gaf?
Ik vond het dictaat trouwens echt verschrikkelijk. Ik vond alle analyse vakken leuk behalve die.
En je moet de leeswijzer ook gebruiken, dan is het wel te volgen:)
x|x| lijkt me het eenvoudigste voorbeeld? Ik geloof dat ik die wel eens gezien heb als een voorbeeld (ik kan me echter niet herinneren waar, of bij analyse, of bij iets wat niet van de studie is). Dan is de afgeleide 2|x| en |x| heeft geen continue afgeleide.quote:
[..]
Dat is inderdaad geen makkelijke vraag, als je niet weet welke functie je zoekt.
Ben ik het mee eens, maar ik denk dat het bij deze vraag het er meer een beetje vanaf hangt of je die functie al een keer als voorbeeld gebruikt hebt zien worden. Het is natuurlijk weer heel wat anders als een dergelijk voorbeeld in het college of in het dictaat is behandeld.quote:
[..]
Er mogen best wat moeilijkere vragen tussen zitten. Iemand die de stof niet volledig beheerst, moet geen 10 kunnen halen.
Leeswijzer? Ik heb het gevolgd toen Henriques het gaf. Gewoon alles lezen toch ?quote:
[..]
Ja, ik heb hem inmiddels, ik haalde even uniforme convergentie en normale convergentie door elkaar
[..]
Die man geeft goed college ja!
En je moet de leeswijzer ook gebruiken, dan is het wel te volgen:)
Maar dan ben je er nog niet hequote:
[..]
x|x| lijkt me het eenvoudigste voorbeeld? Ik geloof dat ik die wel eens gezien heb als een voorbeeld (ik kan me echter niet herinneren waar, of bij analyse, of bij iets wat niet van de studie is). Dan is de afgeleide 2|x| en |x| heeft geen continue afgeleide.
Nee. Ik moet ook eerlijk bekennen dat ik niet zou weten hoe je verder moet gaan. Zou ik moeten weten, maar ik loop een beetje achter met F&Rquote:
.Heb je alvast een leuke oefenopgavequote:
[..]
Nee. Ik moet ook eerlijk bekennen dat ik niet zou weten hoe je verder moet gaan. Zou ik moeten weten, maar ik loop een beetje achter met F&R
Zo maar even bekijken met het dictaat of de leeswijzer erbij, wat oefening kan inderdaad geen kwaad (ik had maar net een 6 voor het eerste deeltentamen).quote:
[..]
Heb je alvast een leuke oefenopgave
OMG Henriquesquote:
[..]
Leeswijzer? Ik heb het gevolgd toen Henriques het gaf. Gewoon alles lezen toch ?
Hij geeft nu groepen, dat doet ie wel goed op zich. Maar dat is ook redelijk makkelijk.quote:
Standaard onbepaalde integraal regels:
Als je 1 / x = x ^-1 voor beide sitauties de regel gaat toepassen is het niet hetzelfde. Ik ben gekke henkie, geef het bewijs.
Die onderste regel geldt simpelweg niet voor a = -1. Je ziet ook al dat er niks zinnigs uit kán komen omdat je dan deelt door 0.quote:
Hallo mijn brein gaat weer allemaal onzinnige dingen verzinnen:
Standaard onbepaalde integraal regels:
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
Als je 1 / x = x ^-1 voor beide sitauties de regel gaat toepassen is het niet hetzelfde. Ik ben gekke henkie, geef het bewijs.
Zoals thenxero al opmerkt zijn deze regels niet strijdig met elkaar omdat delen door nul geen betekenis heeft en de tweede regel dus niet geldt voor a = -1.quote:
Hallo mijn brein gaat weer allemaal onzinnige dingen verzinnen:
Standaard onbepaalde integraal regels:
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
Als je 1 / x = x ^-1 voor beide situaties de regel gaat toepassen is het niet hetzelfde. Ik ben gekke henkie, geef het bewijs.
Maar je kunt de regels natuurlijk wel met elkaar in verband proberen te brengen. We kunnen x-1 niet primitiveren door de exponent met één op te hogen, maar stel nu eens dat we heel dicht bij die -1 gaan zitten door x-1+h te nemen, waarbij h heel dicht bij nul ligt, dan kunnen we de algemene regel wél gebruiken en krijg je (met a > 0) bijvoorbeeld:
∫1a x-1+hdx = [xh/h]1a = (ah - 1)/h
Naarmate je h tot nul laat naderen moet je dan steeds dichter in de buurt komen van:
∫1a x-1dx = [ln x]1a = ln a
En dus kun je concluderen dat je hebt:
limh→0 (ah - 1)/h = ln a
In het speciale geval a = e heb je ln e = 1 en dus ook:
limh→0 (eh - 1)/h = 1
Vraagje m.b.t. Binomiaalcoëfficiënt (dus zonder terugleggen):
"Ik heb 9 knikkers in 9 verschillende kleuren.
Ik pak 4 knikkers, hoeveel verschillende combinaties zijn er mogelijk ?"
Mijn uitwerking is:
9 boven 4 oftewel 9! gedeeld door 4!. Dat maakt 3024 gedeeld door 24 = 126 combinaties mogelijk.
Klopt deze uitwerking ?
Bedankt alvast
Oké, bedankt voor je antwoord!quote:
9 boven 4 klopt, de uitwerking niet. Het moet zijn 9!/(4!5!).
Ik snap trouwens dat je dit vervolgens weer op kan zoeken in het driehoek van Pascal, maar welk toegevoegde waarde heeft dit ?Tenminste, dat schat ik. In de praktijk gebruik ik gewoon altijd de definitie met faculteiten, dat werkt prima
Vroeger had je geen rekenmachines en vervulde de driehoek van Pascal wel een functie als een soort tabel, net zoals je logaritmentafels en goniometrische tafels had. Overigens kun je C(9,4) = (9∙8∙7∙6)/(1∙2∙3∙4) = 9∙7∙2 = 126 gemakkelijk uit het blote hoofd uitrekenen.quote:
[..]
Oké, bedankt voor je antwoord!
un=a*un-1+b*un-2
de substitutie un = gn door te voeren, dan te delen door gn-2 en dan de tweedegraadsvergelijking op te lossen. Wanneer geldt D<0, dan wordt de aanpak gegeven dat:
un = (Acos(φn)+Bsin(φn))gn met φ het argument van g1 en g de modulus van g1, waarbij g1 een van de oplossingen van de genoemde tweedegraadsvergelijking is. Maar waarom geldt deze aanpak/formule, is mijn vraag.
De discriminant van die tweedegraadsvergelijking.quote:
Dit kan je bewijzen met voortbrengende functies (generating functions). Het is wel een vrij lang en technisch bewijs meen ik te herinneren als je het algemeen wil doen. Maar misschien is het wel leerzaam om eens te proberen zo'n recursieve vergelijking op te lossen met voortbrengende functies. Je zal dan wel moeten leren breuksplitsen, en je moet wat machtreeksen kennen.quote:
Het wiskundeboek smijt weer eens met bewijzen. In het hoofdstuk 'Toepassing van complexe getallen' krijgen we nu te maken met complexe getallen i.c.m. recursieve formules. Bij het opstellen van een directe formule van een lineaire differentievergelijking van de tweede orde zijn blijkbaar complexe getallen heel nuttig. Goed, prima prima. Zij geven mij de aanpak om bij de formule
un=a*un-1+b*un-2
de substitutie un = gn door te voeren, dan te delen door gn-2 en dan de tweedegraadsvergelijking op te lossen. Wanneer geldt D<0, dan wordt de aanpak gegeven dat:
un = (Acos(φn)+Bsin(φn))gn met φ het argument van g1 en g de modulus van g1, waarbij g1 een van de oplossingen van de genoemde tweedegraadsvergelijking is. Maar waarom geldt deze aanpak/formule, is mijn vraag.
Google maar eens op generating functions in combinatie met difference equations.
u0 = 1 u1 = 3
un = 4un-1 - 4 un-2
,dat snap ik dus niet echt? Of mis ik daar iets echt enorm obvious?
Volgens het plaatje is dat de definitie (... is defined by:)quote:
Welke definitie heb je van de determinant?
. Wel een vreemde definitie overigens.Met voortbrengengende functies? Met wat googlewerk vind je vast wel een algemeen bewijs.quote:
Correct, ze gaven in de uitleg slechts een voorbeeld dat gold voor
u0 = 1 u1 = 3
un = 4un-1 - 4 un-2
The determinant of an n x n matrix A, denoted det(A), is a scalar associated with the matrix A that is defined inductively asquote:
Welke definitie heb je van de determinant?
det(A)=
{a1,1 if n=1
{a1,1A1,1+a1,2A1,2+.....+a1,nA1,n if n>1
where
A1,j = (-1)i+j det(M1,j) j = 1, ...., n
Are the cofactors associated with the entries in the first row of A.
(Linear Algebra with applications, 8th edition Steven J. Leon)