[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op donderdag 8 november 2012 19:44 schreef Riparius het volgende:

[..]

Niet helemaal. Ik had hier afgeleid dat je hebt

dy/dφ = s₀∙R∙sec φ

waarbij s₀ de schaalfactor is waarmee de evenaar wordt afgebeeld, R de straal van de aarde en φ de breedtegraad. Dan krijg je dus bij benadering

Δy = s₀∙R∙sec φ∙Δφ

ik denk dat ik maat mijn eigen manier houd
ik zie alleen maar tekens die ik nog nooit heb gezien
doe geen universiteit fso

quote:

Op donderdag 8 november 2012 19:57 schreef zuurtjuuh het volgende:

[..]

ik denk dat ik maar mijn eigen manier houd
ik zie alleen maar tekens die ik nog nooit heb gezien
doe geen universiteit of zo.

Waarom reageer je op een post die duidelijk niet voor jou is bedoeld als je niks inhoudelijks hebt te melden?

Je hebt gelijk
Had ik niet zo snel gezien
DOM!

Hij is niet zo lastig jongens, houd die hersens bezig.

Haha komt uit een ander topic, maar hij klopt niet.

quote:

Op donderdag 8 november 2012 20:55 schreef thenxero het volgende:
Haha komt uit een ander topic, maar hij klopt niet.

Nergens staat aan welke eisen de uitkomst moet voldoen. Ik vind dat het een heel mooi antwoord is. Vooral voor de kortzichtigen die verder gaan zoeken omdat ze niet zeker zijn van hun eigen beredenering.

quote:

Op donderdag 8 november 2012 20:56 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Nergens staat aan welke eisen de uitkomst moet voldoen. Ik vind dat het een heel mooi antwoord is. Vooral voor de kortzichtigen die verder gaan zoeken omdat ze niet zeker zijn van hun eigen beredenering.

Er staat dat er 100 aliens meededen, dan mag je toch verwachten dat er hoogstens 100 een rare eigenschap hebben?

quote:

Op donderdag 8 november 2012 20:59 schreef thenxero het volgende:

[..]

Er staat dat er 100 aliens meededen, dan mag je toch verwachten dat er hoogstens 100 een rare eigenschap hebben?

Dat zou je inderdaad verwachten. Maar gelukkig is het een wiskundig probleem, waardoor het antwoord niet positief hoeft te zijn. Komop, de vraag is eenvoudig aan te passen. Als er 133 aliens meededen zou het wel kloppen, maar 100 komt echt zo mooi uit. Je ziet de humor van de vraag toch ook wel?

quote:

Op donderdag 8 november 2012 21:08 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Dat zou je inderdaad verwachten. Maar gelukkig is het een wiskundig probleem, waardoor het antwoord niet positief hoeft te zijn. Komop, de vraag is eenvoudig aan te passen. Als er 133 aliens meededen zou het wel kloppen, maar 100 komt echt zo mooi uit. Je ziet de humor van de vraag toch ook wel?

Oh is dat humor. Ik dacht dat het een falende leraar was.

quote:

Op dinsdag 6 november 2012 19:56 schreef Anoonumos het volgende:
Ik zoek een onderwerp voor een wiskundige voordracht. Wat vinden jullie leuke onderwerpen/bewijzen die je in ongeveer 20 minuten kan behandelen. en die ook interessant zijn voor mij om te bestuderen?
Het publiek (en ikzelf) bestaat uit tweedejaars wiskunde studenten.

Bedankt voor de tips. Ik ga ze dit weekend bestuderen.

quote:

Op dinsdag 6 november 2012 10:16 schreef dynamiet het volgende:
Ik heb een gesloten vat met vloeistof en lucht er in. De temperatuur in het vat loopt op en daardoor zet de vloeistof uit. Kloppen aannames en berekeningen?:

[ afbeelding ]

De aannames lijken te kloppen, behalve dat ik de vloeistof wetten niet ken. Dus ik ga ervan uit dat het antwoord klopt.

Hoe toon ik aan dat de functie van R naar R, gegeven door f(x) = e^{-(1/x^2)} voor x =/ 0 en f(x) = 0 voor x=0, n keer differentieerbaar is voor alle n in {0, 1, 2, ... , n}? Ik weet eigenlijk niet eens waar ik moet beginnen. Volledige inductie lijkt op niets uit te draaien, omdat ik niets kan zeggen over de n-de afgeleide.

quote:

Op zondag 11 november 2012 02:39 schreef JWF het volgende:
Hoe toon ik aan dat de functie van R naar R, gegeven door f(x) = e^{-(1/x^2)} voor x =/ 0 en f(x) = 0 voor x=0, n keer differentieerbaar is voor alle n in {0, 1, 2, ... , n}? Ik weet eigenlijk niet eens waar ik moet beginnen. Volledige inductie lijkt op niets uit te draaien, omdat ik niets kan zeggen over de n-de afgeleide.

Toch kun je hier volledige inductie gebruiken. En uiteraard kun je wél wat over de afgeleiden zeggen als je de eerste paar afgeleiden gewoon even bepaalt.

Je hebt voor x ≠ 0:

(1) f'(x) = e^-1/x²∙2x^-3

(2) f''(x) = e^-1/x²∙(4x^-6 - 6x^-4)

(3) f'''(x) = e^-1/x²∙(8x^-9 - 36x^-7 + 24x^-5)

Je wil toch niet zeggen dat je nog steeds niets ziet? Het exacte patroon is niet zo van belang maar we zien in ieder geval dat we voor x ≠ 0 kennelijk hebben:

(4) f⁽ⁿ⁾(x) = e^-1/x²∙∑_i=1³ⁿ a_i∙x^-i

waarbij a_i voor i = 1..3n bepaalde (reële) coëfficienten zijn, waarover we ons verder niet druk maken. Je moet uiteraard (4) wel echt bewijzen met volledige inductie. Dat doe je door na te gaan dat (4) juist is voor n = 1 (dat volgt direct uit (1)), en door te laten zien dat (4) juist is voor n = k + 1 áls (4) juist is voor een zekere n = k (dat volgt door (4) met n = k te differentiëren naar x).

Goed, maar nu wordt gevraagd aan te tonen dat f(x) oneindig vaak differentieerbaar is voor x = 0. Ook hiervoor maak je weer gebruik van volledige inductie. We kijken eerst eens naar de eerste afgeleide f'(x) voor x = 0. Volgens de definitie van de afgeleide hebben we:

(5) f'(0) = lim_h→0 (f(h) - f(0))/h = lim_h→0 e^-1/h²∙h^-1 = 0

Inderdaad is f(x) differentieerbaar in x = 0 en hebben we f'(0) = 0.

In het algemeen geldt:

(6) lim_h→0 e^-1/h²∙h^-n = 0 voor elke n ∈ N

Uiteraard moet je (6) ook bewijzen. Bedenk zelf eens hoe je dat aanpakt (nee, hier geen volledige inductie gebruiken). Heb je (6) bewezen, dan is het met behulp van (4) en (6) niet moeilijk meer om te laten zien dat:

(7) f⁽ⁿ⁾(0) = 0 voor elke n ∈ N

Hier gebruik je weer volledige inductie. Uit (5) volgt direct dat (7) juist is voor n = 1, dus nu moet je alleen nog aantonen dat (7) juist is voor n = k + 1 áls (7) juist is voor een zekere n = k (hetgeen dus impliceert dat de eerste tot en met de k-de afgeleiden van f(x) bestaan in het punt x = 0). Dat is alles.

quote:

Op zondag 11 november 2012 10:53 schreef GlowMouse het volgende:
Op http://arxiv.org/pdf/1110.1556v2.pdf staan nog wat leuke probleempjes.

Die zien er stuk voor stuk lastig uit. Arme joden

Bestaat er een stelling dat een matrix M positive semidefinite is d.e.s.d.a. voor iedere eigenvector v van M geldt dat
?

Ik vrees eigenlijk van niet, maar het zou wel goed van pas komen.

quote:

Op zondag 11 november 2012 13:53 schreef GlowMouse het volgende:
Je moet nog hebben dat M symmetrisch is. De stelling is eenvoudig te bewijzen.

Laat x is een willekeurige eigenvector zijn. Dan voor een eigenwaarde lambda. Dus

voor alle eigenvectoren x. Dus lambda ≥ 0 voor alle eigenwaardes lambda. Een symmetrische matrix is psd d.e.s.d.a. alle eigenwaarden ≥ 0 zijn.

QED.

quote:

Op zondag 11 november 2012 14:32 schreef GlowMouse het volgende:
Je moet de andere kant nog op bewijzen, maar die is simpel. En 'is' hoort niet in je eerste zin, sommigen laten 'zijn' ook weg.

Ja dat is triviaal . Mijn zin was eerst stel x is.... Vervolgens ben ik vergeten die is weg te laten. En het woordje zijn weglaten lijkt me grammaticaal niet correct, dat is gewoon luiheid.

Hey iedereen,

Kan iemand mij helpen met het oplossen van een som? Het gaat hier om
de rekenen met letters, maar ik kom er helaas niet uit.

(8-5)(7a-3) +7a +3

T zal heel fijn zijn als iemand hiermee kan helpen.

quote:

Op zondag 11 november 2012 15:38 schreef christiado het volgende:
Hey iedereen,

Kan iemand mij helpen met het oplossen van een som? Het gaat hier om
de rekenen met letters, maar ik kom er helaas niet uit.

(8-5)(7a-3) +7a +3

T zal heel fijn zijn als iemand hiermee kan helpen.

Ik kom uit op onderstaande (haakjes weghalen en naar de andere kant verplaatsen):
28a = 6

quote:

Op zondag 11 november 2012 16:06 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

hoe doe je dat? en welke andere kant?

(8-5)(7a-3) +7a +3

8*7a+8*-3+-5*7a+-5*-3+7a+3
56a-24-35a+15+7a+3
28a-6

Daarbij aangenomen dat de uitkomst van de som 0 was geeft dan 28a = 6

quote:

Op zondag 11 november 2012 15:38 schreef christiado het volgende:
Hey iedereen,

Kan iemand mij helpen met het oplossen van een som? Het gaat hier om
de rekenen met letters, maar ik kom er helaas niet uit.

(8-5)(7a-3) +7a +3

T zal heel fijn zijn als iemand hiermee kan helpen.

Strikt genomen is je opgave niet op te lossen, omdat het geen vergelijking is. Waaraan moet dit gelijk zijn?