SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde.
Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!
Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).
Links:
• http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
• http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
• http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
• http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
• http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...
OP
Handig:
Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden:
www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d
Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!
Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).
Links:
• http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
• http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
• http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
• http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
• http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...
OP
Handig:
Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden:
www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d
Als iemand bereid is om mij met een vraagstuk te helpen met betrekking tot het differentiëren ofwel het bepalen van de afgeleide, graag! Ik ben een beetje radeloos geworden met dit vraagstuk:
''Bereken met behulp van de quotiëntregel de afgeleide van:''
e^x / (1 + e^x )
De quotiëntregel is als volgt: ( f(x) / g(x) ) ' = f'(x) g(x) - f(x) g' (x) / (g(x))²
De noemer is simpel, die moet van (1+e^x) veranderen in: (1+e^x)²
De teller daarentegen is mij een raadsel.
Zelf denk ik dat de teller het volgende moet worden (aan de hand van de quotiëntregel):
e^x * ( 1+e^x) - e^x * ( e^x)
Het uitwerken van dit resulteert tot:
e^x + e^x² - e^x²
Vervolgens wordt de teller dit, na het vereenvoudigen:
e^x
De uiteindelijke afgeleide (samen met de noemer, die ik eerder behandeld heb) wordt:
e^x / (1+e^x)²
Zit ik een beetje correct of heb ik de plank compleet misgeslagen?
''Bereken met behulp van de quotiëntregel de afgeleide van:''
e^x / (1 + e^x )
De quotiëntregel is als volgt: ( f(x) / g(x) ) ' = f'(x) g(x) - f(x) g' (x) / (g(x))²
De noemer is simpel, die moet van (1+e^x) veranderen in: (1+e^x)²
De teller daarentegen is mij een raadsel.
Zelf denk ik dat de teller het volgende moet worden (aan de hand van de quotiëntregel):
e^x * ( 1+e^x) - e^x * ( e^x)
Het uitwerken van dit resulteert tot:
e^x + e^x² - e^x²
Vervolgens wordt de teller dit, na het vereenvoudigen:
e^x
De uiteindelijke afgeleide (samen met de noemer, die ik eerder behandeld heb) wordt:
e^x / (1+e^x)²
Zit ik een beetje correct of heb ik de plank compleet misgeslagen?
Ja en als ie hierna ook nog moet integreren...quote:Op zondag 11 mei 2014 22:41 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ik ben benieuwd of iemand hier het vol gaat houden dit heerschap tot op de laatste dag voor zijn toets uitleg te blijven geven. Het moet alle respondenten hier nu toch wel duidelijk zijn dat dit gelijk staat aan water naar de zee dragen.
Of het klopt weet ik niet, maar de teller heeft een standaardafgeleide.quote:
Zit ik een beetje correct of heb ik de plank compleet misgeslagen?
Dat klopt. e^x heeft als standaardafgeleide e^x, dus e^x' = e^x.quote:
[..]
Of het klopt weet ik niet, maar de teller heeft een standaardafgeleide.
Nee, hier gaat het fout. Je kent de rekenregels voor het werken met machten niet. Hint:quote:
e^x * ( 1+e^x) - e^x * ( e^x)
Het uitwerken van dit resulteert tot:
e^x + e^x² - e^x²
ap·aq = ap+q
Ja die staat ook in zijn post.quote:
[..]
Of het klopt weet ik niet, maar de teller heeft een standaardafgeleide.
Ziet er goed uit.quote:
Zit ik een beetje correct of heb ik de plank compleet misgeslagen?
-edit- behalve dat foute die Riparius ziet.
Wat je ook had kunnen doe is
e^x / (1 + e^x ) = 1 / (e^{-x} + 1) = (e^{-x} + 1)^-1
Neem je daar de afgeleide van dan krijg je
-(e^{-x} + 1)^-2 * -e^{-x} = e^{-x} (e^{-x} + 1)^-2
Zit niet in de examenstofquote:
[..]
Ja en als ie hierna ook nog moet integreren...
http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf
Ook een handige. Dankjewel!quote:
[..]
Ja die staat ook in zijn post.
[..]
Ziet er goed uit.
Wat je ook had kunnen doe is
e^x / (1 + e^x ) = 1 / (e^{-x} + 1) = (e^{-x} + 1)^-1
Neem je daar de afgeleide van dan krijg je
-(e^{-x} + 1)^-2 * -e^{-x} = e^{-x} (e^{-x} + 1)^-2
Dit was ook zowat de enige vraag waarover ik twijfelde bij de paragraaf differentiëren.
Volgende paragraaf is wel klote lijkt mij, maar het is wel het laatste 'onbekende'' onderwerp voor mij: Differentieerbaarheid.
Kijk nog wel even naar de opmerking van Riparius.quote:
[..]
Ook een handige. Dankjewel!
Dit was ook zowat de enige vraag waarover ik twijfelde bij de paragraaf differentiëren.
Volgende paragraaf is wel klote lijkt mij, maar het is wel het laatste 'onbekende'' onderwerp voor mij: Differentieerbaarheid.
Dank voor de attentie. Heb niet gezien wat ik fout deed. Want ik deed het wel goed toch?quote:
[..]
Kijk nog wel even naar de opmerking van Riparius.
Nee. Kijk nog eens naar Riparius post.quote:
[..]
Dank voor de attentie. Heb niet gezien wat ik fout deed. Want ik deed het wel goed toch?
-weg- Mag niet van thormodoquote:
[..]
Dank voor de attentie. Heb niet gezien wat ik fout deed. Want ik deed het wel goed toch?
Waarom geef je hem het antwoord nu gelijk? Als hij a.d.v. de rekenregels zelf moet uitvogelen wat hij fout doet leert hij daar veel meer van. Daarnaast blijft het dan veel beter hangen.quote:
Het is ook een beetje een notatieprobleem, maar als je e^x² schrijft dan betekent dat e-tot-de-macht-x-kwadraat en niet e-tot-de-macht-x-en-dat-weer-in-het-kwadraat. Dat laatste zou je namelijk moeten noteren als (e^x)^2 als je dan toch per se carets wil gebruiken. Maar, mijn advies: gebruik nu gewoon superscript. En geen smoesjes dat je een mobieltje gebruikt of zo, want daarmee gaat het ook.quote:
[..]
Dank voor de attentie. Heb niet gezien wat ik fout deed. Want ik deed het wel goed toch?
Ik weet niet hoe ik een superscript moet maken.quote:
[..]
Het is ook een beetje een notatieprobleem, maar als je e^x² schrijft dan betekent dat e-tot-de-macht-x-kwadraat en niet e-tot-de-macht-x-en-dat-weer-in-het kwadraat. Dat laatste zou je namelijk moeten noteren als (e^x)^2 als je dan toch per se carets wil gebruiken. Maar, mijn advies: gebruik nu gewoon superscript. En geen smoesjes dat je een mobieltje gebruikt of zo, want daarmee gaat het ook.
Ik denk dat het dan e^2x moet zijn. Want ik heb mijzelf in de tuin geleidt door anders te denken. Als ik dat nu zou opschrijven, zouden jullie mij niet kunnen volgen denk ik.
Je gebruikt zelfs superscript in je posts en als je quote kun je het commando ook zienquote:
[..]
Ik weet niet hoe ik een superscript moet maken.
Ik denk dat het dan e^2x moet zijn. Want ik heb mijzelf in de tuin geleidt door anders te denken. Als ik dat nu zou opschrijven, zouden jullie mij niet kunnen volgen denk ik.
. Dus e(sup)2x(/sup) , maar dan met blokhaken [ ].En als je de rekenregels netjes toepast hoef je niet te "denken", maar kun je het gewoon zeker weten
.
Ik wil dit topic niet overdonderen met vragen. Echter heb ik nog een vraag, mits jullie bereid zijn deze te beantwoorden:quote:
[..]
Je gebruikt zelfs superscript in je posts en als je quote kun je het commando ook zien
Hoe differentieer ik functies met de e waarde? Zoals
e(2x+1)
Superscript kun je op twee manieren krijgen:quote:
[..]
Ik weet niet hoe ik een superscript moet maken.
Ik denk dat het dan e^2x moet zijn. Want ik heb mijzelf in de tuin geleidt door anders te denken. Als ik dat nu zou opschrijven, zouden jullie mij niet kunnen volgen denk ik.
Eerste manier:
Datgene wat je wil superscripten met de muis selecteren (highlighten) en dan in het edit menu de button x² aanklikken.
Tweede manier:
| 1 | Laat hetgeen je wil superscripten vooraf gaan door [sup] en volgen door [/sup] |
Dank! Zie mijn post boven jouw post. Superscript is gelukt.quote:
[..]
Superscript kun je op twee manieren krijgen:
Eerste manier:
Datgene wat je wil superscripten met de muis selecteren (highlighten) en dan in het edit menu de button x² aanklikken.
Tweede manier:
[ code verwijderd ]
Door de kettingregel toe te passenquote:
[..]
Hoe differentieer ik functies met de e waarde? Zoals
e(2x+1)
.
Dit hem juist. Ik zou denken om 2x+1 als g(x) te benaderen en e als f(x), echter staat er gewoon e en geen e x .quote:
Raak er een beetje verward door.
Eerste wat mij te binnen schiet is:
2e2
Hint:quote:
[..]
Dit hem juist. Ik zou denken om 2x+1 als g(x) te benaderen en e als f(x), echter staat er gewoon e en geen e x .
Raak er een beetje verward door.
ex blijft gewoon hetzelfde als afgeleide.quote:
ex * 2x+1 * e2x
Dit wordt:
ex * 2x+1 * 2ex
2e 3+3x
Dit is hartstikke fout denk ik.
[ Bericht 2% gewijzigd door Super-B op 11-05-2014 23:24:09 ]
f(x)' (g(x)) is toch de afgeleide van functie f(x) vermenigvuldigt met de functie g(x)?quote:
Ik kom er eerlijk gezegd niet uit.
Heb je enig idee wat een compositie(/samenstelling) van functies is? Zo nee, dan moet je nog helemaal niet bezig houden met de kettingregel.
Kettingregel ging wel goed tot nu toe. De notatie is mij niet geheel duidelijk en het differentiëren met het getal e.quote:
Heb je enig idee wat een compositie(/samenstelling) van functies is? Zo nee, dan moet je nog helemaal niet bezig houden met de kettingregel.
Als ik niet wist ik hoe ik de kettingregel moest toepassen, was ik denk ik al tegen de muur aangelopen.
Het is gelukt dankjewel.
Tenslotte nog één vraag voordat ik ga slapen.
De afgeleide van:
ln (1 - 2x)
Ik deed
ln (1-2x) + ln (1-2x) --> afgeleide van de haakjes aan de rechterkant is -2.
Dus:
ln(1-2x) + ln -2
Daarna:
1 / (1-2x) + (1/x) -2
Dit wordt:
1 / (1-2x) + (-2x) / x
Ik doe iets fout, dat weet ik zeker.
Uitleg beetje kort door de bocht, excuus daarvoor.
Tenslotte nog één vraag voordat ik ga slapen.
De afgeleide van:
ln (1 - 2x)
Ik deed
ln (1-2x) + ln (1-2x) --> afgeleide van de haakjes aan de rechterkant is -2.
Dus:
ln(1-2x) + ln -2
Daarna:
1 / (1-2x) + (1/x) -2
Dit wordt:
1 / (1-2x) + (-2x) / x
Ik doe iets fout, dat weet ik zeker.
Uitleg beetje kort door de bocht, excuus daarvoor.
ln is een operator, dus ln (1-2x) is niet ln * (1-2x) maar ln(1-2x).quote:
Het is gelukt dankjewel.
Tenslotte nog één vraag voordat ik ga slapen.
De afgeleide van:
ln (1 - 2x)
Ik deed
ln * (1-2x) + ln (1-2x) --> afgeleide van de haakjes aan de rechterkant is -2.
Bewerkt.quote:
[..]
ln is een operator, dus ln (1-2x) is niet ln * (1-2x) maar ln(1-2x).
Wat doe ik fout?
ln(1-2x) = 2 ln(1-2x) ? = 2 (ln(1-2x) + ln(1-2x)) = 4 ln(1-2x)?quote:ln (1 - 2x)
Ik deed
ln (1-2x) + ln (1-2x)
yey gratis getallen
-edit-
Nu mag jij weer de kettingregel toepassen.
Dit is een samengestelde functie. Je hebt eigenlijk twee functies f: x → 2x + 1 en g: u → eu waarbij op een variabele x eerst f wordt toegepast en op het resultaat 2x + 1 = u daarvan weer g. Als je je een functie voorstelt als een black box waar je iets in stopt en waar dan ook weer iets uitkomt, dan heb je hier dus twee black boxes f en g, waarbij je de output van de eerste functie f gebruikt als input voor de tweede functie g. Schematisch voorgesteld:quote:
[..]
Ik wil dit topic niet overdonderen met vragen. Echter heb ik nog een vraag, mits jullie bereid zijn deze te beantwoorden:
Hoe differentieer ik functies met de e waarde? Zoals
e(2x+1)
x → 2x+1 → e2x+1
of, als we het 'tussenresultaat' 2x + 1 even voorstellen door de letter u en de functiewaarde e2x+1 zoals te doen gebruikelijk door de letter y:
x → u → y
Een afgeleide is eigenlijk niets anders dan wat in het Engels zo mooi kan worden uitgedrukt met de term rate of change. De afgeleide van een functie in een bepaald punt (i.e. voor een bepaalde waarde van x) vertelt ons hoe snel de functiewaarde op dat punt verandert in verhouding tot een verandering van x. Grafisch is de afgeleide zo niets anders dan de steilheid van de raaklijn aan de grafiek van de functie in dat punt.
De steilheid van zo'n raaklijn in een punt op de grafiek van een functie f berekenen we in wezen door naast het punt (x; f(x)) op de grafiek waar het ons om te doen is nog een tweede punt op de grafiek te nemen dat hier heel dicht bij in de buurt ligt, en dan te kijken wat er gebeurt met de steilheid van de snijlijn door deze twee punten als we dat tweede punt langs de grafiek naar het eerste punt toe laten bewegen.
Als je die x een klein beetje in waarde verandert, zodat we x+h krijgen, waarin h dus een getal voorstelt (positief óf negatief!) dat heel dicht bij nul ligt, dan heeft het tweede punt op onze grafiek de coördinaten (x+h; f(x+h)).
Om nu de steilheid (richtingscoëfficiënt) van de snijlijn door de punten (x; f(x)) en (x+h; f(x+h)) te krijgen, moeten we het hoogteverschil
Δy = f(x+h) − f(x)
tussen deze twee punten delen door de horizontale afstand
Δx = h
tussen deze twee punten, zodat we voor de steilheid van onze snijlijn door de punten (x; f(x)) en (x+h ; f(x+h)) dus krijgen
Δy/Δx = (f(x+h) − f(x))/h
Maar nu zijn we niet geïnteresseerd in de steilheid van de snijlijn door de punten (x; f(x)) en (x+h ; f(x+h)) maar in de steilheid van de raaklijn aan de grafiek in het punt (x; f(x)) en die vinden we door te kijken wat er gebeurt als we dat tweede punt (x+h ; f(x+h)) op onze grafiek steeds dichter naar het eerste punt (x; f(x)) laten gaan, dus als we h steeds dichter naar nul toe laten gaan.
We kunnen niet simpelweg h = 0 invullen in de formule voor Δy/Δx, want dan krijgen we 0/0 en dat heeft geen betekenis. Daarom moeten we met het begrip limiet werken. Limiet komt van het Latijnse woord limes (genitief limitis) dat 'grens' betekent. Een limiet is niets anders dan een grenswaarde waar we zo dicht bij in de buurt kunnen komen als we maar willen, als we een variabele (hier: h) maar dicht genoeg bij een bepaalde waarde (hier: nul) laten komen. Voor de afgeleide f'(x) van f(x) en daarmee de steilheid van de raaklijn aan de grafiek van f in een willekeurig punt (x; f(x)) op de grafiek hebben we dan
f'(x) = limh→0 (f(x+h) − f(x))/h
We kunnen dit ook anders noteren, de limiet van het quotiënt Δy/Δx als we Δx naar nul laten gaan wordt ook voorgesteld door dy/dx, dus
dy/dx = limΔx→0 Δy/Δx
Maar nu terug naar onze samengestelde functie, die we hierboven schematisch hadden voorgesteld als
x → u → y
We zijn nu geïnteresseerd in de rate of change van y ten opzichte van x, dus de snelheid waarmee y verandert in verhouding tot een verandering van x bij een gegeven uitgangswaarde van x, want dat is immers de steilheid van de raaklijn aan de grafiek voor een gegeven waarde van x.
Welnu, volgens de rekenregels voor breuken heb je
Δy/Δx = Δy/Δu · Δu/Δx
Maar dit stelt een steilheid voor van een snijlijn door twee punten op de grafiek, dus moeten we weer de limiet nemen voor Δx → 0. Aangezien Δu ook naar nul toe gaat als we Δx naar nul laten gaan geeft dit
limΔx→0 Δy/Δx = limΔu→0 Δy/Δu · limΔx→0 Δu/Δx
en dus
dy/dx = dy/du · du/dx
Dit is de kettingregel in de notatie van Leibniz. De kettingregel wordt ook vaak gegeven in een andere notatie, van Lagrange. We hebben hier u = f(x) en y = g(u) zodat y = g(f(x)). Nu is dy/du = g'(u) = g'(f(x)) en du/dx = f'(x) zodat we voor de afgeleide van g(f(x)) naar x dus hebben
g'(f(x))·f'(x)
In deze vorm is de kettingregel minder 'transparant' en intuïtief dan in de vorm van Leibniz, zodat het aanbeveling verdient om de kettingregel ook in de vorm van Leibniz te onthouden en te leren gebruiken.
Nu gaan we de kettingregel toepassen op onze samengestelde functie. We hadden
u = 2x + 1
en dat geeft
du/dx = 2
en verder hadden we
y = eu
en dat geeft
dy/du = eu
en dus vinden we
dy/dx = dy/du · du/dx = eu·2 = 2·eu = 2·e2x+1
In de praktijk is het na een beetje oefening heel goed mogelijk - en ook de bedoeling - om de afgeleide van een samengestelde functie direct op te schrijven zonder expliciet met de 'tussenvariabele' u te werken. We hebben hier y = e2x+1 en u = 2x+1 en als je dit invult in de kettingregel dy/dx = dy/du · du/dx dan heb je dus
d(e2x+1)/dx = d(e2x+1)/d(2x+1) · d(2x+1)/dx = e2x+1·2 = 2·e2x+1.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 12-05-2014 03:30:06 ]
Dankje! Zeer heldere en duidelijke uitleg. Er zijn echter wat vraagtekens:quote:
[..]
Dit is een samengestelde functie. Je hebt eigenlijk twee functies f: x → 2x + 1 en g: u → eu waarbij op een variabele x eerst f wordt toegepast en op het resultaat 2x + 1 = u daarvan weer g. Als je je een functie voorstelt als een black box waar je iets in stopt en waar dan ook weer iets uitkomt, dan heb je hier dus twee black boxes f en g, waarbij je de output van de eerste functie f gebruikt als input voor de tweede functie g. Schematisch voorgesteld:
x → 2x+1 → e2x+1
of, als we het 'tussenresultaat' 2x + 1 even voorstellen door de letter u en de functiewaarde e2x+1 zoals te doen gebruikelijk door de letter y:
x → u → y
Een afgeleide is eigenlijk niets anders dan wat in het Engels zo mooi kan worden uitgedrukt met de term rate of change. De afgeleide van een functie in een bepaald punt (i.e. voor een bepaalde waarde van x) vertelt ons hoe snel de functiewaarde op dat punt verandert in verhouding tot een verandering van x. Grafisch is de afgeleide zo niets anders dan de steilheid van de raaklijn aan de grafiek van de functie in dat punt.
De steilheid van zo'n raaklijn in een punt op de grafiek van een functie f berekenen we in wezen door naast het punt (x; f(x)) op de grafiek waar het ons om te doen is nog een tweede punt op de grafiek te nemen dat hier heel dicht bij in de buurt ligt, en dan te kijken wat er gebeurt met de steilheid van de snijlijn door deze twee punten als we dat tweede punt langs de grafiek naar het eerste punt toe laten bewegen.
Als je die x een klein beetje in waarde verandert, zodat we x+h krijgen, waarin h dus een getal voorstelt (positief óf negatief!) dat heel dicht bij nul ligt, dan heeft het tweede punt op onze grafiek de coördinaten (x+h; f(x+h)).
Om nu de steilheid (richtingscoëfficiënt) van de snijlijn door de punten (x; f(x)) en (x+h; f(x+h)) te krijgen, moeten we het hoogteverschil
Δy = f(x+h) − f(x)
tussen deze twee punten delen door de horizontale afstand
Δx = h
tussen deze twee punten, zodat we voor de steilheid van onze snijlijn door de punten (x; f(x)) en (x+h ; f(x+h)) dus krijgen
Δy/Δx = (f(x+h) − f(x))/h
Maar nu zijn we niet geïnteresseerd in de steilheid van de snijlijn door de punten (x; f(x)) en (x+h ; f(x+h)) maar in de steilheid van de raaklijn aan de grafiek in het punt (x; f(x)) en die vinden we door te kijken wat er gebeurt als we dat tweede punt (x+h ; f(x+h)) op onze grafiek steeds dichter naar het eerste punt (x; f(x)) laten gaan, dus als we h steeds dichter naar nul toe laten gaan.
We kunnen niet simpelweg h = 0 invullen in de formule voor Δy/Δx, want dan krijgen we 0/0 en dat heeft geen betekenis. Daarom moeten we met het begrip limiet werken. Limiet komt van het Latijnse woord limes (genitief limitis) dat 'grens' betekent. Een limiet is niets anders dan een grenswaarde waar we zo dicht bij in de buurt kunnen komen als we maar willen, als we een variabele (hier: h) maar dicht genoeg bij een bepaalde waarde (hier: nul) laten komen. Voor de afgeleide f'(x) van f(x) en daarmee de steilheid van de raaklijn aan de grafiek van f in een willekeurig punt (x; f(x)) op de grafiek hebben we dan
f'(x) = limh→0 (f(x+h) − f(x))/h
We kunnen dit ook anders noteren, de limiet van het quotiënt Δy/Δx als we Δx naar nul laten gaan wordt ook voorgesteld door dy/dx, dus
dy/dx = limΔx→0 Δy/Δx
Maar nu terug naar onze samengestelde functie, die we hierboven schematisch hadden voorgesteld als
x → u → y
We zijn nu geïnteresseerd in de rate of change van y ten opzichte van x, dus de snelheid waarmee y verandert in verhouding tot een verandering van x bij een gegeven uitgangswaarde van x, want dat is immers de steilheid van de raaklijn aan de grafiek voor een gegeven waarde van x.
Welnu, volgens de rekenregels voor breuken heb je
Δy/Δx = Δy/Δu · Δu/Δx
Maar dit stelt een steilheid voor van een snijlijn door twee punten op de grafiek, dus moeten we weer de limiet nemen voor Δx → 0. Aangezien Δu ook naar nul toe gaat als we Δx naar nul laten gaan geeft dit
limΔx→0 Δy/Δx = limΔu→0 Δy/Δu · limΔx→0 Δu/Δx
en dus
dy/dx = dy/du · du/dx
Dit is de kettingregel in de notatie van Leibniz. De kettingregel wordt ook vaak gegeven in een andere notatie, van Lagrange. We hebben hier u = f(x) en y = g(u) zodat y = g(f(x)). Nu is dy/du = g'(u) = g'(f(x)) en du/dx = f'(x) zodat we voor de afgeleide van g(f(x)) naar x dus hebben
g'(f(x))·f'(x)
In deze vorm is de kettingregel minder 'transparant' en intuïtief dan in de vorm van Leibniz, zodat het aanbeveling verdient om de kettingregel ook in de vorm van Leibniz te onthouden en te leren gebruiken.
Nu gaan we de kettingregel toepassen op onze samengestelde functie. We hadden
u = 2x + 1
en dat geeft
du/dx = 2
en verder hadden we
y = eu
en dat geeft
dy/du = eu
en dus vinden we
dy/dx = dy/du · du/dx = eu·2 = 2·eu = 2·e2x+1
In de praktijk is het na een beetje oefening heel goed mogelijk - en ook de bedoeling - om de afgeleide van een samengestelde functie direct op te schrijven zonder expliciet met de 'tussenvariabele' u te werken. We hebben hier y = e2x+1 en u = 2x+1 en als je dit invult in de kettingregel dy/dx = dy/du · du/dx dan heb je dus
d(e2x+1)/dx = d(e2x+1)/d(2x+1) · d(2x+1)/dx = e2x+1·2 = 2·e2x+1.
Ik had hier ook nog eens naar gekeken:
Hier wordt dezelfde methode gebruikt (2:14) , echter wordt dy/du hier afgeleid direct van (p)³ naar 3p², terwijl jij in jouw quote echter alleen een variabele toewijst, dus in dit geval u = 2x + 1 en dan is dat dan eu
[ Bericht 0% gewijzigd door Super-B op 12-05-2014 11:40:18 ]
Die kerel in die video doet hetzelfde als Riparius.quote:
[..]
Dankje! Zeer heldere en duidelijke uitleg. Er zijn echter wat vraagtekens:
Ik had hier ook nog eens naar gekeken:
Hier wordt dezelfde methode gebruikt (2:14) , echter wordt dy/du hier afgeleid direct van (p)³ naar 3p², terwijl jij in jouw quote echter alleen een variabele toewijst, dus in dit geval u = 2x + 1 en dan is dat dan eu
Alleen heeft Riparius er veel meer informatie voor je bij gegeven.
y = e^(2x+1)
neem p = 2x+1
dan y = e^p
dy/dp = e^p
dp/dx = 2
En vervolgens
dy/dx = dy/dp dp/dx = e^p 2 = 2 e^(2x+1)
Riparius doet precies hetzelfde maar gebruikt dan een u ipv p.
[ Bericht 4% gewijzigd door t4rt4rus op 12-05-2014 12:02:01 ]
Ow zo. Ja het is duidelijk.quote:Op maandag 12 mei 2014 11:55 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
Die kerel in die video doet hetzelfde als Riparius.
Alleen heeft Riparius er veel meer informatie voor je bij gegeven.
y = e^(2x+1)
neem p = 2x+1
dan y = e^p
dy/dp = e^p
dp/dx = 2
En vervolgens
dy/dx = dy/dp dp/dx = e^p 2 = 2 e^(2x+1)
Riparius doet precies hetzelfde maar gebruikt dan een u ipv p.
Hoe pas je deze methode toe op de afgeleide van natuurlijke logaritmen?
Bijvoorbeeld: ln( 1 - 2x)
Ik pas dan de kettinregel toe:
1/x (1-2x) * -2
Doe ik hier iets fouts of..?
Weet iemand hoe je de inhoud van een achthoek berekend? elke zijde heeft een lengte van 18 meter en een hoogte van 12 m. Ik denk dat het iets met integralen is waar is heel slecht in ben..
Een achthoek heeft geen inhoud. De juiste benaming is een prisma.quote:
Weet iemand hoe je de inhoud van een achthoek berekend? elke zijde heeft een lengte van 18 meter en een hoogte van 12 m. Ik denk dat het iets met integralen is waar is heel slecht in ben..
Ken je de formule en/of aanpak voor het berekenen van de inhoud van een prisma?
I asked God for a bike, but I know God doesn't work that way.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
Het is -2/(1-2x).quote:
[..]
Ow zo. Ja het is duidelijk.
Hoe pas je deze methode toe op de afgeleide van natuurlijke logaritmen?
Bijvoorbeeld: ln( 1 - 2x)
Ik pas dan de kettinregel toe:
1/x (1-2x) * -2
Doe ik hier iets fouts of..?
f(x) = ln(x)
u(x) = 1-2x
f(u(x))' = f'(u(x)) u'(x) = -2/(1-2x)
Nee het is geen prisma, ik moet de inhoud berekenen van de rotskoepel in Jeruzalem en het onderste deel is een achthoek, misschien zeg ik het verkeerd maar het is geen prisma :p de inhoud van de koepel heb ik ergens op internet al gevonden dus ik moet alleen nog de achthoek en het schuine 'dak' berekenen.quote:
[..]
Een achthoek heeft geen inhoud. De juiste benaming is een prisma.
Ken je de formule en/of aanpak voor het berekenen van de inhoud van een prisma?
En deze?quote:
[..]
Het is -2/(1-2x).
f(x) = ln(x)
u(x) = 1-2x
f(u(x))' = f'(u(x)) u'(x) = -2/(1-2x)
ln √(x+1)
Ik kom uit op :
1 / (√x+1) * 1/2x-1/2
Schrijf de stappen eens op, dan weet je waarschijnlijk ook of je het goed gedaan hebt.quote:
[..]
En deze?
ln √(x+1)
Ik kom uit op :
1 / (√x+1) * 1/2x-1/2
De stappen staan in mijn schrift. Ik schrijf alleen hier even het eindantwoord. Ik zal het even overnemen.. even wachten.quote:
[..]
Schrijf de stappen eens op, dan weet je waarschijnlijk ook of je het goed gedaan hebt.
Dit is letterlijk hoe ik het in mijn schrift heb opgenomen qua tussenstappen:quote:
[..]
Schrijf de stappen eens op, dan weet je waarschijnlijk ook of je het goed gedaan hebt.
ln √(x+1) --> functie
ln ( x + 1)1/2 ---> herschrijving
1/x * 1/2(x + 1) -1/2 --> afgeleide van ln en afgeleide van (x+1)1/2
1 / √(2x+2) --> herschrijving van de afgeleide
Duidelijkere stappen, schrijf op wat je subtitueert etc...quote:
[..]
Dit is letterlijk hoe ik het in mijn schrift heb opgenomen qua tussenstappen:
ln √(x+1) --> functie
ln ( x + 1)1/2 ---> herschrijving
1/x * 1/2(x + 1) -1/2 --> afgeleide van ln en afgeleide van (x+1)1/2
1 / √(2x+2) --> herschrijving van de afgeleide
Zoals het vorige voorbeeld
quote:y = e^(2x+1)
neem p = 2x+1
dan y = e^p
dy/dp = e^p
dp/dx = 2
En vervolgens de kettingregel toepassen
dy/dx = dy/dp dp/dx = e^p 2 = 2 e^(2x+1)
ln √(x+1) --> functiequote:
[..]
Duidelijkere stappen, schrijf op wat je subtitueert etc...
Zoals het vorige voorbeeld
[..]
ln ( x + 1)^1/2 ---> √(x+1) herschrijven tot ( x + 1)^1/2
1/x * 1/2(x + 1)^-1/2 --> afgeleide van ln opschrijven ( ln' = 1/x ), dat vermenigvuldigen met de afgeleide van ( x + 1)^1/2 en dat is 1/2(x + 1)^-1/2
1 / 2√(x+1) --> 1/2(x + 1)^-1/2 kan onder de deelstreep van 1/x vanwege -1/2 en de 1/2 wordt 2, aangezien het onder de deelstreep komt en dit wordt: 1 / 2√(x+1)
De inhoud heb je al op internet gevonden. Snap je die dan ook?quote:
[..]
Nee het is geen prisma, ik moet de inhoud berekenen van de rotskoepel in Jeruzalem en het onderste deel is een achthoek, misschien zeg ik het verkeerd maar het is geen prisma :p de inhoud van de koepel heb ik ergens op internet al gevonden dus ik moet alleen nog de achthoek en het schuine 'dak' berekenen.
Wat heb je al geprobeerd voor de oppervlakte van de achthoek en het dak?
I asked God for a bike, but I know God doesn't work that way.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
Ik wil de kettingregel stappen zien.quote:
[..]
ln √(x+1) --> functie
ln ( x + 1)^1/2 ---> √(x+1) herschrijven tot ( x + 1)^1/2
1/x * 1/2(x + 1)^-1/2 --> afgeleide van ln opschrijven ( ln' = 1/x ), dat vermenigvuldigen met de afgeleide van ( x + 1)^1/2 en dat is 1/2(x + 1)^-1/2
1 / 2√(x+1) --> 1/2(x + 1)^-1/2 kan onder de deelstreep van 1/x vanwege -1/2 en de 1/2 wordt 2, aangezien het onder de deelstreep komt en dit wordt: 1 / 2√(x+1)
Zoals we met de vorige deden:
wat is y?
wat is p?
wat is de afgeleide van y naar p?
wat is de afgeleide van p naar x?
Gebruikmakend van de kettingregel wat is dan de afgeleide van y naar x?
y = ln √(x + 1)quote:
[..]
Duidelijkere stappen, schrijf op wat je subtitueert etc...
Zoals het vorige voorbeeld
[..]
neem p = √(x+1)
dan y = ln p
dy/dp = 1 / p
dp/dx = 1/2(x+1)^(-1/2)
En vervolgens de kettingregel toepassen
1 / p * 1/2(x+1)^(-1/2) = 1 / 2√(x+1)
Vrij ingewikkeld zoals je het doet. Het kan ook zonder logartime:quote:
[..]
ln √(x+1) --> functie
ln ( x + 1)^1/2 ---> √(x+1) herschrijven tot ( x + 1)^1/2
1/x * 1/2(x + 1)^-1/2 --> afgeleide van ln opschrijven ( ln' = 1/x ), dat vermenigvuldigen met de afgeleide van ( x + 1)^1/2 en dat is 1/2(x + 1)^-1/2
1 / 2√(x+1) --> 1/2(x + 1)^-1/2 kan onder de deelstreep van 1/x vanwege -1/2 en de 1/2 wordt 2, aangezien het onder de deelstreep komt en dit wordt: 1 / 2√(x+1)
1. Functie = √(x+1)
2. Vervang x+1 door p, dan krijg je f = √(p) = p1/2 met p = x+1
3. Nu differentieer je f en krijg je f' = 1/2 p-1/2 = 1 / 2√(p) = en differentieer je p en krijg je p' = 1
4. Terug invullen van wordt dan 1/2√(x+1) * 1 = 1/2√(x+1)
Op vrijdag 15 januari 2016 23:58 schreef Ajacied422 het volgende:
Feitelijk heeft Shreyas gewoon gelijk.
Feitelijk heeft Shreyas gewoon gelijk.
In je tweede regel staat wat p is...quote:
[..]
Ik heb geen idee... Als het 2 is dan kom ik uit op 4W(x+1)
Dus wat ben je hier dan aan het doen?quote:
Je vergeet het hele 1/p gedeelte.quote:1 / p * 1/2(x+1)^(-1/2) = 1 / 2√(x+1)
Blijf ik dan niet met een wortel hangen?quote:
[..]
Dus wat ben je hier dan aan het doen?
[..]
Je vergeet het hele 1/p gedeelte.
W(x+1) * W(x+1) ?
dy/dp = 1 / √(x+1)
dp/dx = 1/2√(x+1)
Vermenigvuldig die twee met elkaar (teller x teller en noemer x noemer) en je krijgt 1 / 2 √(x+1)√(x+1). Dan vervalt die wortel dus en krijg je 1 / 2(x+1) = 1 / 2x+2
dp/dx = 1/2√(x+1)
Vermenigvuldig die twee met elkaar (teller x teller en noemer x noemer) en je krijgt 1 / 2 √(x+1)√(x+1). Dan vervalt die wortel dus en krijg je 1 / 2(x+1) = 1 / 2x+2
Op vrijdag 15 januari 2016 23:58 schreef Ajacied422 het volgende:
Feitelijk heeft Shreyas gewoon gelijk.
Feitelijk heeft Shreyas gewoon gelijk.
Een wortel vervalt alleen als het dezelfde machtswortel is toch? Of moet de functie/getallen binnen de wortel ook hetzelfde zijn zodat het vervalt?quote:
dy/dp = 1 / √(x+1)
dp/dx = 1/2√(x+1)
Vermenigvuldig die twee met elkaar (teller x teller en noemer x noemer) en je krijgt 1 / 2 √(x+1)√(x+1). Dan vervalt die wortel dus en krijg je 1 / 2(x+1) = 1 / 2x+2
quote:
[..]
Een wortel vervalt alleen als het dezelfde machtswortel is toch? Of moet de functie/getallen binnen de wortel ook hetzelfde zijn zodat het vervalt?
√(16) = 4quote:
[..]
Een wortel vervalt alleen als het dezelfde machtswortel is toch? Of moet de functie/getallen binnen de wortel ook hetzelfde zijn zodat het vervalt?
√(16) x √(16) = 4 x 4 = 16
√(81) = 9
√(81) x √(81) = 9 x 9 = 81
√(25) x √(25) = 25
√(x) √(x) = x
√(x+1) √(x+1) = x+1
Op vrijdag 15 januari 2016 23:58 schreef Ajacied422 het volgende:
Feitelijk heeft Shreyas gewoon gelijk.
Feitelijk heeft Shreyas gewoon gelijk.
Hier gaat het weer fout.quote:
[..]
Duidelijkere stappen, schrijf op wat je subtitueert etc...
Zoals het vorige voorbeeld
[..]
ln x^(1/3)
y = ln x 1/3
p = x 1/3
dy/dp = 1 / x 1/3
dp/dx = 1/3x -2/3
dy/dx = (1/3)x -2/3 / x 1/3
Plaats die macht eens voor lnquote:
[..]
Hier gaat het weer fout.
ln x^(1/3)
y = ln x 1/3
p = x 1/3
dy/dp = 1 / x 1/3
dp/dx = 1/3x -2/3
dy/dx = (1/3)x -2/3 / x 1/3
zodat je krijgt
1/3 ln x
Kijk bij de logaritmische rekenregels waarom dit mag
Damn daar had ik ook helemaal niet aan gedacht.quote:
Het vorige probleem is dat nog makkelijker
Afgeleide is dan
-edit- maar goed hopelijk ken je de ketting regel nu ook veel beter.
Waar gaat die +1 naar toe?quote:
[..]
Damn daar had ik ook helemaal niet aan gedacht.
Het vorige probleem is dat nog makkelijker
Afgeleide is dan
Je krijgt sowieso
1 / 2*x maar mag die +1 ook onder de deelstreep komen als +1? Zo ja waarom?
Sorry moesten nog haakjes omheen.quote:
[..]
Waar gaat die +1 naar toe?
Je krijgt sowieso
1 / 2*x maar mag die +1 ook onder de deelstreep komen als +1? Zo ja waarom?
Aha oke..quote:
Als je
1/3 ln x doet, dan weet ik hoe ik hem moet afmaken, althans ik zie direct dat het 1/3x moet worden.
Maar hoe met het volgens de methode met dy/dx?
Ik krijg namelijk
y = 1/3 ln x
dy/dp = 1/x
dp / dx = 0 (1/3 is een constante)
Daar klopt natuurlijk niks van..
Je hebt daar ook geen functie compositie.quote:
[..]
Aha oke..
Als je
1/3 ln x doet, dan weet ik hoe ik hem moet afmaken, althans ik zie direct dat het 1/3x moet worden.
Maar hoe met het volgens de methode met dy/dx?
Ik krijg namelijk
y = 1/3 ln x
dy/dp = 1/x
dp / dx = 0 (1/3 is een constante)
Daar klopt natuurlijk niks van..
Dus daar kan je geen kettingregel toepassen.
nouja kan wel maar dat moet je de substitutie u = x gebruik, maar daar schiet je dus niks mee op.
of je kan de productregel gebruiken met een constant maar een constant mag je ook gelijk buiten de afleiding halen.
Hoi,
Ik zou graag willen differentieren en integreren. Ik heb oa de kettingregel, productregel en somregel al zien langskomen. Ik weet ook hoe een afgeleide gedefinieerd is, dat had te maken met de richtingscoefficient op een oneindig klein stukje lijn (limiet -> 0). 
Is het verstandig dit alleen te leren? Ik zit nu in 3 VWO, en naar mijn weten krijg je dit pas in 4/5 VWO...
Thx for the responses alvast!
Ik zou graag willen differentieren en integreren.
Ik heb oa de kettingregel, productregel en somregel al zien langskomen. Ik weet ook hoe een afgeleide gedefinieerd is, dat had te maken met de richtingscoefficient op een oneindig klein stukje lijn (limiet -> 0). Is het verstandig dit alleen te leren? Ik zit nu in 3 VWO, en naar mijn weten krijg je dit pas in 4/5 VWO...
Thx for the responses alvast!
Ik merk ik vastloop op het einde:
y = ln (1-x)1/3
p = (1-x)1/3
dy/dp = 1 / (1-x)1/3
dp/dx = 1/3(1-x)1/3
1 / (3(1-x)1/3 * (1-x)-2/3)
y = ln (1-x)1/3
p = (1-x)1/3
dy/dp = 1 / (1-x)1/3
dp/dx = 1/3(1-x)1/3
1 / (3(1-x)1/3 * (1-x)-2/3)
Ik ben hier niet helemaal zeker van, maar als je f(x) wilt differentieren met behulp van de kettingregel, dan zou ik zeggen g(x)=ln*x1/3 en dan u(x)=1-x.quote:
Ik merk ik vastloop op het einde:
y = ln (1-x)1/3
p = (1-x)1/3
dy/dp = 1 / (1-x)1/3
dp/dx = 1/3(1-x)1/3
1 / (3(1-x)1/3 * (1-x)-2/3)
f'(x)=g'(u(x))*u'(x)
g'(x)=1/(x1/3) = -2/3*x-5/3
u'(x)=-1
Ik hoop dat dit klopt, en als het klopt dan helpt het in ieder geval
EDIT: de afgeleide van f'(x) moet je nog zelf bedenken (antwoord)
Waarom niet eerst 1/3 wegwerken zoals op vorige pagina?quote:
Ik merk ik vastloop op het einde:
y = ln (1-x)1/3
p = (1-x)1/3
dy/dp = 1 / (1-x)1/3
dp/dx = 1/3(1-x)1/3
1 / (3(1-x)1/3 * (1-x)-2/3)
Ik heb het al. Thanks.quote:
Een compleet andere vraag binnen dit onderwerp:
Als ik de functie
m(x-a) / (x-a) = m heb, waarbij m de richtingscoëfficiënt van de raaklijn is, ofwel de afgeleide van de functie.
Een vergelijking van een niet-verticale raaklijn kan worden geschreven als y = f(a) + m(x-a)
Nou wil ik de vergelijking van de raaklijn bepalen aan de grafiek van f(x) in het punt (a, f(a)) in het volgende geval:
f(x) = 2x² - 3 waarbij a = 1
Ik dacht er dus aan om gewoon de vergelijking van de raaklijn hierbij te gebruiken en deze als het ware in te vullen f(a) + m(x-a) om zodoende x te berekenen en dan een formule te maken van f(a) + m(x-a).
Dus in dit geval
-De afgeleide van 2x³ - 3 = 4x
Dus f(a) + m(x-a) invullen wordt : 1 + 4x(x-1)
Klopt dit of zit ik compleet fout met mijn beredenering?
Wiskunde leren is nooit onverstandigquote:Op maandag 12 mei 2014 16:45 schreef netchip het volgende:
Hoi,
Ik zou graag willen differentieren en integreren.
Is het verstandig dit alleen te leren? Ik zit nu in 3 VWO, en naar mijn weten krijg je dit pas in 4/5 VWO...
Thx for the responses alvast!
. Wat kan je al? Je zegt dat je die regels voorbij hebt zien komen, maar kan je ze ook toepassen?
Leuk dat je wat van differentieren en integreren wil leren.
Let goed op dat je goede notatie gebruikt en dat je duidelijk schrijft wat je aan het doen bent.
En probeer het ook te begrijpen, dus niet zomaar een regeltje toepassen.
Dan kan je dat best wel lukken in VWO 3.
(Riparius vertelt straks wel dat ze dat vroeger ook al veel eerder kregen. )
, beide notatie worden wel gebruikt.
Waarvoor geldt dat
ln * x1/3] is dus niet toegestaan.
Het moet zijn ln x1/3 of ln(x1/3), dat laatste is wat duidelijker.
Verder doe je de substitutie u(x) = 1-x, wat je goed gezien hebt.
Maar die moet je dan ook doen in de function f(x), dan krijg je dus
f(u) = ln u1/3
Je hoeft hier denk ik niet perse een andere naam aan de functie te geven.
Dus je kan dit beter noteren als df/dx = df/du * du/dx
(of beter df(x)/dx = df(u(x))/du(x) * du(x)/dx)
Maar dat laatste is veel te veel schrijf werk
Je doet de substitutie u(x) = 1 - x en dan krijg je f(u) = ln(u1/3).
Hier kan je de kettingregel weer toepassen maar het is veel makkelijker om deze regel voor logaritmen te gebruiken
Dan krijgen we
De afgeleide hiervan nemen is dat heel makkelijk
Constanten
[ Bericht 0% gewijzigd door t4rt4rus op 12-05-2014 18:18:21 ]
Let goed op dat je goede notatie gebruikt en dat je duidelijk schrijft wat je aan het doen bent.
En probeer het ook te begrijpen, dus niet zomaar een regeltje toepassen.
Dan kan je dat best wel lukken in VWO 3.
(Riparius vertelt straks wel dat ze dat vroeger ook al veel eerder kregen.
)ln is een operator. Het is het natuurlijk logaritme, logaritme met basis e.quote:
[..]
Ik ben hier niet helemaal zeker van, maar als je f(x) wilt differentieren met behulp van de kettingregel, dan zou ik zeggen g(x)=ln*x1/3 en dan u(x)=1-x.
Waarvoor geldt dat
ln * x1/3] is dus niet toegestaan.
Het moet zijn ln x1/3 of ln(x1/3), dat laatste is wat duidelijker.
Verder doe je de substitutie u(x) = 1-x, wat je goed gezien hebt.
Maar die moet je dan ook doen in de function f(x), dan krijg je dus
f(u) = ln u1/3
Je hoeft hier denk ik niet perse een andere naam aan de functie te geven.
Dit klopt inderdaad alleen is de notatie met ' onduidelijk als het gaat om waar je naar afleid.quote:f'(x)=g'(u(x))*u'(x)
Dus je kan dit beter noteren als df/dx = df/du * du/dx
(of beter df(x)/dx = df(u(x))/du(x) * du(x)/dx)
Maar dat laatste is veel te veel schrijf werk
Deze stap gaat fout.quote:g'(x)=1/(x1/3) = -2/3*x-5/3
Je doet de substitutie u(x) = 1 - x en dan krijg je f(u) = ln(u1/3).
Hier kan je de kettingregel weer toepassen maar het is veel makkelijker om deze regel voor logaritmen te gebruiken
Dan krijgen we
De afgeleide hiervan nemen is dat heel makkelijk
Constanten
En dan hoef je inderdaad alleen nog maar df/dx = df/du du/dx te doen.quote:u'(x)=-1
Ik hoop dat dit klopt, en als het klopt dan helpt het in ieder geval
EDIT: de afgeleide van f'(x) moet je nog zelf bedenken (antwoord)
[ Bericht 0% gewijzigd door t4rt4rus op 12-05-2014 18:18:21 ]
Is dit correct?quote:
En dan hoef je inderdaad alleen nog maar df/dx = df/du du/dx te doen.
d(ln(1-x)1/3) /dx
1/3* d(ln(1-x)) /dx
1/3* d(ln(1-x))/ d(1-x)* d(1-x)/ dx
1/3* 1/(1-x) *-1
Dat lijkt te kloppen.quote:
[..]
Is dit correct?
d(ln(1-x)1/3) /dx
1/3* d(ln(1-x)) /dx
1/3* d(ln(1-x))/ d(1-x)* d(1-x)/ dx
1/3* 1/(1-x) *-1
Dank je wel!quote:
Leuk dat je wat van differentieren en integreren wil leren.
Let goed op dat je goede notatie gebruikt en dat je duidelijk schrijft wat je aan het doen bent.
En probeer het ook te begrijpen, dus niet zomaar een regeltje toepassen.
Dan kan je dat best wel lukken in VWO 3.
(Riparius vertelt straks wel dat ze dat vroeger ook al veel eerder kregen.
[..]
ln is een operator. Het is het natuurlijk logaritme, logaritme met basis e.
Waarvoor geldt dat
[ afbeelding ]
ln * x1/3] is dus niet toegestaan.
Het moet zijn ln x1/3 of ln(x1/3), dat laatste is wat duidelijker.
Verder doe je de substitutie u(x) = 1-x, wat je goed gezien hebt.
Maar die moet je dan ook doen in de function f(x), dan krijg je dus
f(u) = ln u1/3
Je hoeft hier denk ik niet perse een andere naam aan de functie te geven.
[..]
Dit klopt inderdaad alleen is de notatie met ' onduidelijk als het gaat om waar je naar afleid.
Dus je kan dit beter noteren als df/dx = df/du * du/dx
(of beter df(x)/dx = df(u(x))/du(x) * du(x)/dx)
Maar dat laatste is veel te veel schrijf werk
[..]
Deze stap gaat fout.
Je doet de substitutie u(x) = 1 - x en dan krijg je f(u) = ln(u1/3).
Hier kan je de kettingregel weer toepassen maar het is veel makkelijker om deze regel voor logaritmen te gebruiken
Dan krijgen we
De afgeleide hiervan nemen is dat heel makkelijk
Constanten
[..]
En dan hoef je inderdaad alleen nog maar df/dx = df/du du/dx te doen.
Ik zal binnenkort naar de Leibniz-notatie kijken, want waar staat die 'd' voor? Differentiaal?
Wat is de tiende afgeleide van x^11? Mijn antwoord is (11*10*9*8*7*6*5*4*3*2)x
In het antwoordenmodel staat er 11!x.
Maar die 11! staat voor 11 faculteit en dat gaat door t/m *1, echter gaat het bij het tien keer afleiden van x^11 door tot *2 en niet tot *1 (zoals dat het geval is bij faculteit).
In het antwoordenmodel staat er 11!x.
Maar die 11! staat voor 11 faculteit en dat gaat door t/m *1, echter gaat het bij het tien keer afleiden van x^11 door tot *2 en niet tot *1 (zoals dat het geval is bij faculteit).
Maar iets vermenigvuldigen met 1 verandert toch niets.quote:
Wat is de tiende afgeleide van x^11? Mijn antwoord is (11*10*9*8*7*6*5*4*3*2)x
In het antwoordenmodel staat er 11!x.
Maar die 11! staat voor 11 faculteit en dat gaat door t/m *1, echter gaat het bij het tien keer afleiden van x^11 door tot *2 en niet tot *1 (zoals dat het geval is bij faculteit).
Weet ik, maar theoretisch gezien vind ik dat het geen 11! isquote:
[..]
Maar iets vermenigvuldigen met 1 verandert toch niets.
theoretisch is het precies hetzelfde.quote:
[..]
Weet ik, maar theoretisch gezien vind ik dat het geen 11! is
Maar goed laat jij maar 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2 staan.
Nou als ik dat doe is het geheid fout op de toets.quote:
[..]
theoretisch is het precies hetzelfde.
Maar goed laat jij maar 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2 staan.
De helling tussen twee punten is te berekenen metquote:
[..]
Dank je wel!
de verandering in y delen door de verandering in x.
Met de afgeleide neem je het limiet
Met de verandering van
Dat zou je inmiddels toch wel moeten weten, bedenk eens wat je recentelijk geleerd hebt en hoe je dat toe zou kunnen passen.quote:
Hoe kun je de intervallen bereken waarop een functie monotoon stijgend of dalend is?
Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caparet
Stijgend met een positieve ax en dalend met een negatieve ax.quote:Op maandag 12 mei 2014 19:25 schreef Diacetylmorfine het volgende:
[..]
Dat zou je inmiddels toch wel moeten weten, bedenk eens wat je recentelijk geleerd hebt en hoe je dat toe zou kunnen passen.
Verder weet ik dat een negatieve tweedegraadsverband een bergparabool is en een positieve tweedegraadsverband een dalparabool is.
Wat is een ax?quote:
[..]
Stijgend met een positieve ax en dalend met een negatieve ax.
Verder weet ik dat een negatieve tweedegraadsverband een bergparabool is en een positieve tweedegraadsverband een dalparabool is.
Waar is de ax vanquote:
[..]
De twee letters van een functie.. ax + b of ax² + bx + c
-edit-
Shit die is natuurlijk 1x
Maar goed die van
RustCohle snapt hier natuurlijk geen kloten van
Je beperkt je nu tot een klasse functies. Je weet wat de afgeleide is, hoe zou je de gevraagde informatie kunnen winnen uit de afgeleide?quote:
[..]
De twee letters van een functie.. ax + b of ax² + bx + c
Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caparet
Ik heb een vraag over die notatiequote:
bijvoorbeeld:
d(ln(1-x))/ d(1-x)* d(1-x)/ dx
Bij het eerste gedeelte, d(ln(1-x))/ d(1-x), staat er in de noemer d(1-x), maar je differentieert gewoon zoals gewoonlijk met de gebruikelijke regels(?). Geeft d(ln(1-x))/ d(1-x) dus alleen aan welke deel je van de functie differentieert? En moet je d(ln(1-x))/ d(1-x) interpreteren als een ratio van d(1-x)/ dx?
quote:
[..]
Ik heb een vraag over die notatie
bijvoorbeeld:
d(ln(1-x))/ d(1-x)* d(1-x)/ dx
Bij het eerste gedeelte, d(ln(1-x))/ d(1-x), staat er in de noemer d(1-x), maar je differentieert gewoon zoals gewoonlijk met de gebruikelijke regels(?). d(ln(1-x))/ d(1-x) geeft dus alleen aan welke deel je van de functie differentieert?
Je slaat dus alleen de stap over om 1 - x te substitueren door u.
Nee gewoon als de afgeleide van de functie ln u.quote:En moet je d(ln(1-x))/ d(1-x) interpreteren als een ratio van d(1-x)/ dx?
Ik heb werkelijk geen benul hoe... wel hoe ik de afgeleide moet bepalen.quote:
[..]
Je beperkt je nu tot een klasse functies. Je weet wat de afgeleide is, hoe zou je de gevraagde informatie kunnen winnen uit de afgeleide?
Wat is een afgeleide uberhaupt?quote:
[..]
Ik heb werkelijk geen benul hoe... wel hoe ik de afgeleide moet bepalen.
Ken je je mooie formule voor de xtop van een kwadratische vergelijking nog?
Zo niet: x = -b/(2a)
Differentieer nu eens de kwadratische vergelijking ax^2 + bx + c, stel deze vervolgens gelijk aan nul en los op voor x. Begint er dan iets te dagen?
Even een vraagje, noem je dit differentieren van ln(1-x) naar (1-x)? Hoe moet ik me dit grafisch gezien voorstellen?quote:
[..]
Je slaat dus alleen de stap over om 1 - x te substitueren door u.
[..]
Nee gewoon als de afgeleide van de functie ln u.
Een beetje maar ik bereken dan de top (minimum of maximum) en dan differentieer ik het (waarom eigenlijk?) En dan bereken ik bij welke x er een nulpunt is met de y-as?quote:
[..]
Wat is een afgeleide uberhaupt?
Ken je je mooie formule voor de xtop van een kwadratische vergelijking nog?
Zo niet: x = -b/(2a)
Differentieer nu eens de kwadratische vergelijking ax^2 + bx + c, stel deze vervolgens gelijk aan nul en los op voor x. Begint er dan iets te dagen?
Verder geen idee echt. Sorry
Nee, je differentieert eerst.quote:
[..]
Een beetje maar ik bereken dan de top (minimum of maximum) en dan differentieer ik het (waarom eigenlijk?) En dan bereken ik bij welke x er een nulpunt is met de y-as?
Verder geen idee echt. Sorry
f(x) = ax^2 + bx + c
f'(x) = 2ax + b
De afgeleide is de richtingscoefficient van de functie voor een waarde x.
Wat we nu doen is een vergelijking opstellen om te 'zoeken' naar punten waar de richtingscoefficient gelijk is aan nul. Want, als de richtingscoefficient nul is, hebben we te maken met een extreem punt. Snap je dat?
f'(x) = 0
2ax + b = 0
2ax = -b
x = -b/(2a)
Dit geldt toch alleen voor een kwadratische vergelijking?quote:
Want, als de richtingscoefficient nul is, hebben we te maken met een extreem punt.
Weet het niet zeker, maar denk het niet. Want a = 0, betekent dat je een constante lijn hebt, lijn daalt/stijgt niet.quote:
[..]
Dit geldt toch alleen voor een kwadratische vergelijking?
Als a = 0 dan heb je geen kwadratische vergelijking.quote:
[..]
Weet het niet zeker, maar denk het niet. Want a = 0, betekent dat je een constante lijn hebt, lijn daalt/stijgt niet.
Neequote:
[..]
Dit geldt toch alleen voor een kwadratische vergelijking?
Klopt! De functiequote:
[..]
Je kan toch meerdere punten in een grafiek hebben waar de afgeleide 0 is?
Klopt, maar je kan toch ook meerdere extreme punten hebben?quote:
[..]
Je kan toch meerdere punten in een grafiek hebben waar de afgeleide 0 is?
Je hebt ook nog eens een verschil tussen globale extrema en lokale extrema.
Dat is wat ik bedoelde met a = 0, alleen verkeerd neergezet...quote:
[..]
Je kan toch meerdere punten in een grafiek hebben waar de afgeleide 0 is?
Als ik f(x)=x2(3x-4) wil differentieren, moet ik dan gebruik maken van de product regel? Dus schrijven f(x)=a(x)*b(x) en daar de afgeleide van: f'(x)=a'(x)*b(x)+a(x)*b'(x)?
Ik weet dat de Leibniz notatie duidelijker is, maar daar ben ik nog niet helemaal uitgekomen.
a(x)=x2 dus a'(x)=2x
b(x)=3x-4 dus b'(x)=3
f'(x)=2x(3x-4)+x2*3 maakt dan f'(x)=9x2-8x
Klopt dit?
Ik weet dat de Leibniz notatie duidelijker is, maar daar ben ik nog niet helemaal uitgekomen.
a(x)=x2 dus a'(x)=2x
b(x)=3x-4 dus b'(x)=3
f'(x)=2x(3x-4)+x2*3 maakt dan f'(x)=9x2-8x
Klopt dit?
OK, dan is het begripsverwarring aan mijn kant. Ik dacht dat een extreme punt ofwel hoogste ofwel laagste punt in de grafiek is.quote:
[..]
Klopt, maar je kan toch ook meerdere extreme punten hebben?
Je hebt ook nog eens een verschil tussen globale extrema en lokale extrema.
Ja, goedzo!quote:
Als ik f(x)=x2(3x-4) wil differentieren, moet ik dan gebruik maken van de product regel? Dus schrijven f(x)=a(x)*b(x) en daar de afgeleide van: f'(x)=a'(x)*b(x)+a(x)*b'(x)?
Ik weet dat de Leibniz notatie duidelijker is, maar daar ben ik nog niet helemaal uitgekomen.
a(x)=x2 dus a'(x)=2x
b(x)=3x-4 dus b'(x)=3
f'(x)=2x(3x-4)+x2*3 maakt dan f'(x)=9x2-8x
Klopt dit?
Voor dit soort sommetjes maakt de notatie an sich niet veel uit. Als je bijvoorbeeld een functie met meerdere variabelen gaat differentieren, of de kettingregel gaat gebruiken kun je wel beter de Leibniz notatie aanhouden.
Dat kan inderdaad verwarrend zijn, vandaar dat ik al meldde dat er onderscheid wordt gemaakt tussen lokale en globale extremaquote:
[..]
OK, dan is het begripsverwarring aan mijn kant. Ik dacht dat een extreme punt ofwel hoogste ofwel laagste punt in de grafiek is.
Of je schrijft f(x)=x2(3x-4) = 3x3 -4x2.quote:
Als ik f(x)=x2(3x-4) wil differentieren, moet ik dan gebruik maken van de product regel? Dus schrijven f(x)=a(x)*b(x) en daar de afgeleide van: f'(x)=a'(x)*b(x)+a(x)*b'(x)?
Ik weet dat de Leibniz notatie duidelijker is, maar daar ben ik nog niet helemaal uitgekomen.
a(x)=x2 dus a'(x)=2x
b(x)=3x-4 dus b'(x)=3
f'(x)=2x(3x-4)+x2*3 maakt dan f'(x)=9x2-8x
Klopt dit?
Dan geen productregel nodig.
Dat had inderdaad ook gekund, ik wilde alleen even kijken of dat ik de productregel begreepquote:
[..]
Of je schrijft f(x)=x2(3x-4) = 3x3 -4x2.
Dan geen productregel nodig.
Ik snap de Leibniz notatie eigenlijk nog niet helemaal... Want als je dy/dx hebt, zeg je dan dat je y differentieert naar x? En hoe moet ik dat voor me zien? Het principe dat de afgeleide de stijlheid/richtingscoefficient op een bepaald stukje van een grafiek aangeeft, snap ik.
quote:
Ik snap de Leibniz notatie eigenlijk nog niet helemaal... Want als je dy/dx hebt, zeg je dan dat je y differentieert naar x? En hoe moet ik dat voor me zien? Het principe dat de afgeleide de stijlheid/richtingscoefficient op een bepaald stukje van een grafiek aangeeft, snap ik.
Ik snap het een beetje, maar ik wist de formule niet, het is namelijk geen halve cirkel maar een halve sferoïde. De formule is 1/6 pi l.b.h en dan x 0,5. Formule voor de inhoud van een octagonale prisma heb ik ook nooit gehad, is het misschien de hoogte keer de omtrek? Ik heb echt geen idee... ook geen idee hoe ik de inhoud van het schuine dak ga berekenen..quote:
[..]
De inhoud heb je al op internet gevonden. Snap je die dan ook?
Wat heb je al geprobeerd voor de oppervlakte van de achthoek en het dak?
quote:
Ik snap de Leibniz notatie eigenlijk nog niet helemaal... Want als je dy/dx hebt, zeg je dan dat je y differentieert naar x? En hoe moet ik dat voor me zien? Het principe dat de afgeleide de stijlheid/richtingscoefficient op een bepaald stukje van een grafiek aangeeft, snap ik.
quote:
[..]
De helling tussen twee punten is te berekenen met,
de verandering in y delen door de verandering in x.
Met de afgeleide neem je het limiet, maar ook
gaan dan naar 0.
Met de verandering vannaar
bedoelen ze dan een zeer kleine verandering in u.
Hm, ziet er moeilijk uit... Ik ga hier nog even goed naar kijkenquote:
[..]en
moet je zien als oneindig kleine differentialen. Beetje lastig om dit uit te leggen, aangezien je vrij snel moeilijke wiskunde nodig hebt om precies uit te leggen wat
Die had ik gezien, bedankt daar voor ^^ Vergeten te antwoorden, sorry.quote:
Ik snap eigenlijk niet hoe ik er mee moet werken, wat dy/dx inhoudt 'weet' ik doordat het vaak gebruikt wordt, maar du/dx zegt me bijvoorbeeld helemaal niets.
dy/dx is niets anders dan de afgeleide van de functie y naar x.quote:
[..]
Die had ik gezien, bedankt daar voor ^^ Vergeten te antwoorden, sorry.
Ik snap eigenlijk niet hoe ik er mee moet werken, wat dy/dx inhoudt 'weet' ik doordat het vaak gebruikt wordt, maar du/dx zegt me bijvoorbeeld helemaal niets.
dy/dx is niets anders dan de afgeleide van de functie u naar x.
functie u naar x noteer je als u(x)? Dat gedeelte 'naar' is onduidelijk voor mij.quote:
[..]
dy/dx is niets anders dan de afgeleide van de functie y naar x.
dy/dx is niets anders dan de afgeleide van de functie u naar x.
Dit kan misschien dom overkomen, maar ik begrijp liever iets correct dan dat ik denk het te begrijpen.
Lees mijn uitleg (met een eenvoudig voorbeeld) nog eens goed door, dan begrijp je het vast wel.quote:
[..]
Ik snap eigenlijk niet hoe ik er mee moet werken, wat dy/dx inhoudt 'weet' ik doordat het vaak gebruikt wordt, maar du/dx zegt me bijvoorbeeld helemaal niets.
Er zijn verschillende notaties die je tegen kunt komen voor afgeleiden (Newton, Leibniz, Euler, Lagrange) en een overzichtje daarvan vind je in dit Wikipedia artikel.
"Δy/Δx = Δy/Δu · Δu/Δx" ik ben hier het spoor verloren, hoe kom je op deze formule?quote:
[..]
Lees mijn uitleg (met een eenvoudig voorbeeld) nog eens goed door, dan begrijp je het vast wel.
Er zijn verschillende notaties die je tegen kunt komen voor afgeleiden (Newton, Leibniz, Euler, Lagrange) en een overzichtje daarvan vind je in dit Wikipedia artikel.
Hier gebruik je het voorzetsel naar niet correct. Als u en x grootheden (variabelen zijn), dan geeft de haakjesnotatie u(x) aan dat u een functie is van x, oftewel dat u afhangt van x. Eenvoudig voorbeeld:quote:
[..]
functie u naar x noteer je als u(x)? Dat gedeelte 'naar' is onduidelijk voor mij.
u = x2 + 2x
Hier hangt de waarde van u af van de waarde die we voor x kiezen (invullen). We zeggen dan ook wel dat u hier de afhankelijke variabele is en x de onafhankelijke variabele. En we zeggen dan ook dat u een functie is van x. Ook als we het verband tussen u en x niet expliciet geven, dan kunnen we met de haakjesnotatie u(x) toch laten zien dat u afhangt van x (maar niet hoe) en dus dat u een functie is van x. We kunnen deze notaties ook combineren als we de manier waarop u hier afhangt van x wel expliciet willen maken, dus in dit voorbeeld
u(x) = x2 + 2x
Maar let op, nu wordt het een beetje verwarrend. We kunnen functies ook aanduiden met een naam in plaats van met een afhankelijke variabele en een onafhankelijke variabele. Zo kunnen we bijvoorbeeld zeggen dat we een (reële) functie f: R → R hebben met als functievoorschrift
f(x) = x2 + 2x
We kunnen (en mogen) nu niet zeggen dat f hier een afhankelijke variabele is, want f is immers een naam, meer niet. Als we een grafiek gaan tekenen van deze functie in een cartesisch assenstelsel met een x-as en een y-as, dan krijgen we uiteraard de grafiek van
y = x2 + 2x
zodat we kunnen zeggen dat y hier de afhankelijke variabele is (en x de onafhankelijke variabele). Je ziet dus dat de notaties u(x) en f(x) toch verschillend zijn: in u(x) was u de afhankelijke variabele, maar in f(x) is f de naam van de functie. In de praktijk worden deze twee nogal eens door elkaar gehaald (en door elkaar gebruikt) maar dat is conceptueel dus onjuist.
Iets begrijpen is altijd een proces van vallen en opstaan en van voortschrijdend inzicht. Het is ook nooit echt 'af' want je kunt dingen die al begrijpt ook altijd weer in een ander licht gaan zien of als deel van een groter geheel.quote:Dit kan misschien dom overkomen, maar ik begrijp liever iets correct dan dat ik denk het te begrijpen.
Ah, dus dy/dx betekent eigenlijk dat je de afgeleide van y(x) berekent? En dat du/dx de afgeleide van u(x) is? Dit gaat alleen niet op als een functie een naam heeft, right?quote:
[..]
Hier gebruik je het voorzetsel naar niet correct. Als u en x grootheden (variabelen zijn), dan geeft de haakjesnotatie u(x) aan dat u een functie is van x, oftewel dat u afhangt van x. Eenvoudig voorbeeld:
u = x2 + 2x
Hier hangt de waarde van u af van de waarde die we voor x kiezen (invullen). We zeggen dan ook wel dat u hier de afhankelijke variabele is en x de onafhankelijke variabele. En we zeggen dan ook dat u een functie is van x. Ook als we het verband tussen u en x niet expliciet geven, dan kunnen we met de haakjesnotatie u(x) toch laten zien dat u afhangt van x (maar niet hoe) en dus dat u een functie is van x. We kunnen deze notaties ook combineren als we de manier waarop u hier afhangt van x wel expliciet willen maken, dus in dit voorbeeld
u(x) = x2 + 2x
Maar let op, nu wordt het een beetje verwarrend. We kunnen functies ook aanduiden met een naam in plaats van met een afhankelijke variabele en een onafhankelijke variabele. Zo kunnen we bijvoorbeeld zeggen dat we een (reële) functie f: R → R hebben met als functievoorschrift
f(x) = x2 + 2x
We kunnen (en mogen) nu niet zeggen dat f hier een afhankelijke variabele is, want f is immers een naam, meer niet. Als we een grafiek gaan tekenen van deze functie in een cartesisch assenstelsel met een x-as en een y-as, dan krijgen we uiteraard de grafiek van
y = x2 + 2x
zodat we kunnen zeggen dat y hier de afhankelijke variabele is (en x de onafhankelijke variabele). Je ziet dus dat de notaties u(x) en f(x) toch verschillend zijn: in u(x) was u de afhankelijke variabele, maar in f(x) is f de naam van de functie. In de praktijk worden deze twee nogal eens door elkaar gehaald (en door elkaar gebruikt) maar dat is conceptueel dus onjuist.
[..]
Iets begrijpen is altijd een proces van vallen en opstaan en van voortschrijdend inzicht. Het is ook nooit echt 'af' want je kunt dingen die al begrijpt ook altijd weer in een ander licht gaan zien of als deel van een groter geheel.
Ik vind het goed geweest, ik ga slapen. Ik check dit topic morgen wel weer
Iedereen bedankt voor zijn hulp!
Elementaire rekenregels voor breuken. Werk het uit van rechts naar links, dan heb jequote:
[..]
"Δy/Δx = Δy/Δu · Δu/Δx" ik ben hier het spoor verloren, hoe kom je op deze formule?
Maar nu zie je dat de breuk in het rechterlid een factor Δu heeft in zowel de teller als de noemer. We kunnen deze breuk dus vereenvoudigen door zowel de teller als de noemer door Δu te delen. En wat krijg je dan?
Dit is helemaal geen functie. Voor x ≠ a staat hier in feite m = m, en dat is een tautologie.quote:
[..]
Een compleet andere vraag binnen dit onderwerp:
Als ik de functie
m(x-a) / (x-a) = m heb, waarbij m de richtingscoëfficiënt van de raaklijn is, ofwel de afgeleide van de functie.
OK. Dat is tenminste een duidelijke vraagstelling.quote:Een vergelijking van een niet-verticale raaklijn kan worden geschreven als y = f(a) + m(x-a)
Nou wil ik de vergelijking van de raaklijn bepalen aan de grafiek van f(x) in het punt (a, f(a)) in het volgende geval:
f(x) = 2x² - 3 waarbij a = 1
Hieruit blijkt dat je niet begrijpt wat je aan het doen bent. In een vergelijking van een (niet verticale) rechte lijn in een cartesisch assenstelsel is x een variabele die alle reële waarden aan kan nemen, er is dus niets te berekenen aan x.quote:Ik dacht er dus aan om gewoon de vergelijking van de raaklijn hierbij te gebruiken en deze als het ware in te vullen f(a) + m(x-a) om zodoende x te berekenen en dan een formule te maken van f(a) + m(x-a).
Nee, dit mag je niet zo opschrijven, en je hebt hier ook nog een typo, want je kwadraat is nu plotseling een derde macht geworden. Je misbruikt hier het =-teken, en dat moet je niet doen. Het =-teken geeft aan dat twee uitdrukkingen of grootheden aan elkaar gelijk zijn, maar de afgeleide van 2x2 − 3 naar x is 4x en dat is niet hetzelfde als 2x2 − 3. Gebruik de notatie van Lagrange, dusquote:Dus in dit geval
-De afgeleide van 2x² - 3 = 4x
f(x) = 2x2 − 3
f'(x) = 4x
Of de notatie van Leibniz, dus
d(2x2 − 3)/dx = 4x
Nee, dat wordt het niet. De waarde van f(a) is niet 1 voor a = 1 en de richtingscoëfficiënt m van een rechte lijn is een getal, geen variabele. Bovendien heb je hier helemaal geen vergelijking van een rechte lijn, en die wilde je toch opstellen?quote:Dus f(a) + m(x-a) invullen wordt : 1 + 4x(x-1)
Er klopt niets van.quote:Klopt dit of zit ik compleet fout met mijn beredenering?
Je kunt het beste onthouden dat de cartesische vergelijking van een rechte lijn met richtingscoëfficiënt m door het punt (x0; y0) is te schrijven als
y − y0 = m(x − x0)
Het is heel eenvoudig in te zien waarom dit geldt. Immers, kies naast het punt (x0; y0) op de lijn een willekeurig tweede punt (x; y) op deze lijn, dan kun je de richtingscoëfficiënt van de lijn berekenen door het verschil in verticale positie
Δy = y − y0
tussen deze twee punten te delen door het verschil in horizontale positie
Δx = x − x0
tussen deze twee punten. De richtingscoëfficiënt van de (niet verticale) lijn is dan Δy/Δx. Maar nu is gegeven dat de richtingscoëfficiënt van deze lijn m is, en dus hebben we
Δy/Δx = m
en dus
Δy = m·Δx
en dus
y − y0 = m(x − x0)
Omdat we het tweede punt (x; y) op onze lijn willekeurig hadden gekozen, geldt deze betrekking voor elk punt (x; y) dat op de lijn ligt door het punt (x0; y0) met richtingscoëfficiënt m. Omgekeerd geldt deze betrekking niet voor een willekeurig punt (x; y) dat niet op deze lijn ligt omdat dan Δy/Δx ≠ m. Merk nog op dat bovenstaande vergelijking ook geldt voor het punt (x0; y0) zelf, want als we x = x0 en y = y0 invullen in de vergelijking dan komt er 0 = 0 en ook dat klopt. We hebben hier dus inderdaad een cartesische vergelijking van een lijn met richtingscoëfficiënt m door het punt met coördinaten (x0; y0).
Heb je nu de grafiek van een functie f, dus een curve met vergelijking y = f(x), en wil je de vergelijking opstellen van de raaklijn aan een punt (x0; f(x0)) op deze curve, dan is het voldoende om te bedenken dat de waarde van de afgeleide f'(x) voor x = x0 niets anders is dan de steilheid (richtingscoëfficiënt) van de raaklijn aan de curve in het punt (x0; f(x0)) op de curve. We hebben in bovenstaande vergelijking dus y0 = f(x0) en m = f'(x0) en de vergelijking van de raaklijn aan de curve met vergelijking y = f(x) in het punt (x0; f(x0)) op de curve wordt daarmee
y − f(x0) = f'(x0)·(x − x0)
Hebben we nu de functie f(x) = 2x2 − 3 dan is f(1) = −1 en f'(x) = 4x zodat f'(1) = 4. De vergelijking van de raaklijn aan de curve met vergelijking y = 2x2 − 3 in het punt (1; −1) op de curve wordt dus
y − (−1) = 4(x − 1)
en dit is ook te schrijven als
y + 1 = 4x − 4
en dus als
y = 4x − 5
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 13-05-2014 07:23:14 ]
Weet iemand de formule om de oppervlakte van een octagonaal prisma uit te rekenen? Ik moet de inhoud berekenen en daarvoor moet je het oppvervlakte x de hoogte doen, maar ik heb geen idee hoe ik de oppervlakte moet berekenen. Hulp zou ik erg waarderen!
http://nl.wikipedia.org/wiki/Veelhoek#Oppervlaktequote:
Weet iemand de formule om de oppervlakte van een octagonaal prisma uit te rekenen? Ik moet de inhoud berekenen en daarvoor moet je het oppvervlakte x de hoogte doen, maar ik heb geen idee hoe ik de oppervlakte moet berekenen. Hulp zou ik erg waarderen!
Delta u houdt toch de verandering van u in? Wat is dan de verandering in u?quote:
[..]
Elementaire rekenregels voor breuken. Werk het uit van rechts naar links, dan heb je
Maar nu zie je dat de breuk in het rechterlid een factor Δu heeft in zowel de teller als de noemer. We kunnen deze breuk dus vereenvoudigen door zowel de teller als de noemer door Δu te delen. En wat krijg je dan?
Ja. Een getal >0.quote:
[..]
Delta u houdt toch de verandering van u in? Wat is dan de verandering in u?
Maar als ik f(u(x)) heb, waar is de verandering dan?quote:
Pas als je een andere x neemt, verandert u toch?
@Riparius, is x hier een onafhankelijke variabele en f(x) en u(x) afhankelijke variabelen?
Zou het nu wel kloppen? Ik hoop dat dit wel netjes is wiskundig gezien:quote:
[..]
Wat je hier doet is niet netjes en zou ik dan ook fout rekenen, hoewel de uitkomst correct is. Maar het gaat evengoed om het hanteren van de juiste methode. Je maakt hier een denkfout. Je krijgt bij differentiëren van je primitieve op grond van de kettingregel een extra factor 2 die je niet wil hebben, en die compenseer je door te delen door d(2x)/dx = 2. Dat gaat hier goed omdat deze afgeleide een constante is, maar in het algemeen werkt deze aanpak niet: als F een primitieve is van f dan is F(g(x))/g'(x) in het algemeen geen primitieve van f(g(x)), maar jij lijkt te denken dat dat wel zo is. Dat verraadt dat je het inderdaad nog niet begrijpt.
Ik wou 32x primitiveren:
Chairman of taskforce against 'omosexuality in Uganda.
Pas als je gaat differentiëren komt er verandering in.quote:
[..]
Maar als ik f(u(x)) heb, waar is de verandering dan?
Pas als je een andere x neemt, verandert u toch?
@Riparius, is x hier een onafhankelijke variabele en f(x) en u(x) afhankelijke variabelen?
Ja, x is een onafhankelijke variabele. u(x) fungeert als variabele in de functie f, maar hangt af van x, dus u(x) kan je een afhankelijke variabele noemen. f(x) zou ik geen afhankelijke variabele noemen in deze context, maar gewoon een functie.
Oh, omdat je een limiet naar 0 voor delta x hebt, verandert u ook, want u hangt van x af... Het begint een beetje te dagen nuquote:
[..]
Pas als je gaat differentiëren komt er verandering in.
Ja, x is een onafhankelijke variabele. u(x) fungeert als variabele in de functie f, maar hangt af van x, dus u(x) kan je een afhankelijke variabele noemen. f(x) zou ik geen afhankelijke variabele noemen in deze context, maar gewoon een functie.
De Leibniz notatie blijft een beetje onduidelijk, maar ik denk dat ik weet hoe die notatie werkt...
Is de notatie du/dx hetzelfde als u'(x)?
+cquote:
[..]
Zou het nu wel kloppen? Ik hoop dat dit wel netjes is wiskundig gezien:
Ik wou 32x primitiveren:
[ afbeelding ]
Natuurlijkquote:
[..]
Δx, Δu en Δy kunnen ook negatief zijn ...
. Ik zat in mijn hoofd met delta x. Die neem je normaal >0 en dan neem je de limiet naar 0. Maar oke, zelfs delta x mag je negatief nemen. Als delta x maar niet 0 is. Jep.quote:
[..]
Oh, omdat je een limiet naar 0 voor delta x hebt, verandert u ook, want u hangt van x af... Het begint een beetje te dagen nu
De Leibniz notatie blijft een beetje onduidelijk, maar ik denk dat ik weet hoe die notatie werkt...
Is de notatie du/dx hetzelfde als u'(x)?
Is de notatie dy/du dan hetzelfde als y'(u(x))?quote:Op dinsdag 13 mei 2014 18:16 schreef thenxero het volgende:
[..]
Natuurlijk
[..]
Jep.
Nee, dy/du = y'(u).quote:Op dinsdag 13 mei 2014 18:17 schreef netchip het volgende:
[..]
Is de notatie dy/du dan hetzelfde als y'(u(x))?
Soms wordt y'(u(x)) bijvoorbeeld genoteerd als
maar het wordt er niet fraaier op.
[ Bericht 11% gewijzigd door thenxero op 13-05-2014 18:22:45 ]
Afgezien van de vergeten integraaltekens is het zo correct. Bedenk ook dat ln 9 = 2·ln 3. Je zou het natuurlijk ook anders kunnen doen, bijvoorbeeld door de integrand om te werken naar een e-macht.quote:
[..]
Zou het nu wel kloppen? Ik hoop dat dit wel netjes is wiskundig gezien:
Ik wou 32x primitiveren:
Het ligt allemaal nog wat subtieler voor het bewijs van de kettingregel. Je moet namelijk bij de eenvoudige afleiding die ik heb gegeven ook nog aannemen dat ∆u ≠ 0 voor ∆x ≠ 0 in een omgeving van het punt waar je de afgeleide bepaalt. Maar ook als dat niet het geval is in een omgeving van x = a terwijl f wel differentieerbaar is in a en g differentieerbaar is in f(a), dan is g(f(x)) toch differentieerbaar in x = a met als afgeleide g'(f(a))·f'(a) maar dan is het eenvoudige bewijs niet meer geldig. Ik heb dergelijke subtiliteiten gezien de 'doelgroep' nu achterwege gelaten, maar ik heb daar eerder wel eens iets over gezegd.quote:
[..]
Natuurlijk
ohjaquote:
bedoel je met integraaltekens deze brackets die ik vergeten ben: [ functie ] ?quote:
[..]
Afgezien van de vergeten integraaltekens is het zo correct. Bedenk ook dat ln 9 = 2·ln 3. Je zou het natuurlijk ook anders kunnen doen, bijvoorbeeld door de integrand om te werken naar een e-macht.
Chairman of taskforce against 'omosexuality in Uganda.
Stel dat je de kettingregel hebt, dz/dx=(dz/dy)*(dy/dx), is dat dan z'(y)*y'(x)? Maar hoe kan je z afleiden naar y?quote:
[..]
En dan wil je differentiëren naar de functie u?
Ik heb het niet begrepen.quote:
[..]
Dit is helemaal geen functie. Voor x ≠ a staat hier in feite m = m, en dat is een tautologie.
[..]
OK. Dat is tenminste een duidelijke vraagstelling.
[..]
Hieruit blijkt dat je niet begrijpt wat je aan het doen bent. In een vergelijking van een (niet verticale) rechte lijn in een cartesisch assenstelsel is x een variabele die alle reële waarden aan kan nemen, er is dus niets te berekenen aan x.
[..]
Nee, dit mag je niet zo opschrijven, en je hebt hier ook nog een typo, want je kwadraat is nu plotseling een derde macht geworden. Je misbruikt hier het =-teken, en dat moet je niet doen. Het =-teken geeft aan dat twee uitdrukkingen of grootheden aan elkaar gelijk zijn, maar de afgeleide van 2x2 − 3 naar x is 4x en dat is niet hetzelfde als 2x2 − 3. Gebruik de notatie van Lagrange, dus
f(x) = 2x2 − 3
f'(x) = 4x
Of de notatie van Leibniz, dus
d(2x2 − 3)/dx = 4x
[..]
Nee, dat wordt het niet. De waarde van f(a) is niet 1 voor a = 1 en de richtingscoëfficiënt m van een rechte lijn is een getal, geen variabele. Bovendien heb je hier helemaal geen vergelijking van een rechte lijn, en die wilde je toch opstellen?
[..]
Er klopt niets van.
Je kunt het beste onthouden dat de cartesische vergelijking van een rechte lijn met richtingscoëfficiënt m door het punt (x0; y0) is te schrijven als
y − y0 = m(x − x0)
Het is heel eenvoudig in te zien waarom dit geldt. Immers, kies naast het punt (x0; y0) op de lijn een willekeurig tweede punt (x; y) op deze lijn, dan kun je de richtingscoëfficiënt van de lijn berekenen door het verschil in verticale positie
Δy = y − y0
tussen deze twee punten te delen door het verschil in horizontale positie
Δx = x − x0
tussen deze twee punten. De richtingscoëfficiënt van de (niet verticale) lijn is dan Δy/Δx. Maar nu is gegeven dat de richtingscoëfficiënt van deze lijn m is, en dus hebben we
Δy/Δx = m
en dus
Δy = m·Δx
en dus
y − y0 = m(x − x0)
Omdat we het tweede punt (x; y) op onze lijn willekeurig hadden gekozen, geldt deze betrekking voor elk punt (x; y) dat op de lijn ligt door het punt (x0; y0) met richtingscoëfficiënt m. Omgekeerd geldt deze betrekking niet voor een willekeurig punt (x; y) dat niet op deze lijn ligt omdat dan Δy/Δx ≠ m. Merk nog op dat bovenstaande vergelijking ook geldt voor het punt (x0; y0) zelf, want als we x = x0 en y = y0 invullen in de vergelijking dan komt er 0 = 0 en ook dat klopt. We hebben hier dus inderdaad een cartesische vergelijking van een lijn met richtingscoëfficiënt m door het punt met coördinaten (x0; y0).
Heb je nu de grafiek van een functie f, dus een curve met vergelijking y = f(x), en wil je de vergelijking opstellen van de raaklijn aan een punt (x0; f(x0)) op deze curve, dan is het voldoende om te bedenken dat de waarde van de afgeleide f'(x) voor x = x0 niets anders is dan de steilheid (richtingscoëfficiënt) van de raaklijn aan de curve in het punt (x0; f(x0)) op de curve. We hebben in bovenstaande vergelijking dus y0 = f(x0) en m = f'(x0) en de vergelijking van de raaklijn aan de curve met vergelijking y = f(x) in het punt (x0; f(x0)) op de curve wordt daarmee
y − f(x0) = f'(x0)·(x − x0)
Hebben we nu de functie f(x) = 2x2 − 3 dan is f(1) = −1 en f'(x) = 4x zodat f'(1) = 4. De vergelijking van de raaklijn aan de curve met vergelijking y = 2x2 − 3 in het punt (1; −1) op de curve wordt dus
y − (−1) = 4(x − 1)
en dit is ook te schrijven als
y + 1 = 4x − 4
en dus als
y = 4x − 5
[ afbeelding ]
beetje te ingewikkeld voor een amateur. In mijn boek staat er dat m de richtingscoëfficient is van de raaklijn (afgeleide) en dat er dan geldt:
(f(x) - f(a)) / (x - a) = m(x-a) / (x-a) = m
De vergelijking van een raaklijn is y = f(a) + m(x-a)
Bij f(x) = 2x^2 - 3 met a = 1 is het gelukt. De afgeleide hiervan is 4x en de richtingscoëfficient is dus 4.
Als ik a invul in f(x) krijg ik -1 als resultaat en als ik dan alle gegevens dan weer invul in de y = f(a) + m(x-a)
dan krijg ik y = -1 + 4(x-1)
met als resultaat y = -5 + 4x
met f(x) x^5 - 3x^2 + 3 met a = -1 kom ik niet uit, aangezien de afgeleide van f(x) = 5x^4 - 6x. Wat is dan de richtingsco hiervan om het te kunnen oplossen? Ik dacht -6 maar dan kom ik niet uit...
[ Bericht 7% gewijzigd door Super-B op 13-05-2014 18:56:45 ]
Nee, ik bedoel de integraaltekens bij ∫ 32xdx en bij ∫ 9xdx.quote:
[..]
ohja
[..]
Bedoel je met integraaltekens deze brackets die ik vergeten ben: [ functie ] ?
Nog een tip: FOK ondersteunt ook TeX, je hoeft daarvoor geen externe server te gebruiken. Dat maakt quoten met aanpassingen in je TeX een stuk eenvoudiger.
Dit is echt heel eenvoudige wiskunde. Je wordt ook geacht dit soort dingen te kunnen als je de stof hebt bestudeerd die het boek van Van de Craats behandelt. Het was naar ik veronderstel ook gewoon een opgave uit dat boek.quote:
[..]
Ik heb het niet begrepen.
Zie edit.quote:
[..]
Dit is echt heel eenvoudige wiskunde. Je wordt ook geacht dit soort dingen te kunnen als je de stof hebt bestudeerd die het boek van Van de Craats behandelt. Het was naar ik veronderstel ook gewoon een opgave uit dat boek.
Probeer gewoon eens wat uit. Stel je hebtquote:
[..]
Stel dat je de kettingregel hebt, dz/dx=(dz/dy)*(dy/dx), is dat dan z'(y)*y'(x)? Maar hoe kan je z afleiden naar y?
y = 3x+2
en
z = ey
zodat
z = e3x+2
Dan is
dy/dx = 3
en
dz/dy = ey
en dus
dz/dx = (dz/dy) · (dy/dx) = ey·3 = 3·ey = 3·e3x+2
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 14-05-2014 15:52:25 ]
ik zie het, thxquote:
[..]
Nee, ik bedoel de integraaltekens bij ∫ 32xdx en bij ∫ 9xdx.
Nog een tip: FOK ondersteunt ook TeX, je hoeft daarvoor geen externe server te gebruiken. Dat maakt quoten met aanpassingen in je TeX een stuk eenvoudiger.
Chairman of taskforce against 'omosexuality in Uganda.
Ik heb je post eens rustig overnieuw gelezen wat betreft de vergelijking van de raaklijn en het is mij nu helder. Dankje voor je heldere uitleg en tijd voor het typen van de betreffende post.quote:
[..]
Probeer gewoon eens wat uit. Stel je hebt
y = 3x+2
en
z = ey
zodat
z = e3x+4
Dan is
dy/dx = 3
en
dz/dy = ey
en dus
dz/dx = (dz/dy) · (dy/dx) = ey·3 = 3·ey = 3·e3x+4
Methode in mijn vorige post is hetzelfde als jouw methode zie ik, echter herkende ik dat niet toen ik het voor het eerst jouw post las.
Zie voor mijn vraag ook mijn vorige post.
Kun je even de bladzijde geven en het nummer van de opgave in het boek van Van de Craats? Ik heb het idee dat je hem niet helemaal correct citeert. En die tweede opgave in je edit gaat uiteraard op dezelfde manier. Je berekent eerst f(−1) en f'(−1) en dan is de vergelijking van je raaklijnquote:
y = f(−1) + f'(−1)·(x + 1)
https://googledrive.com/h(...)met%20Antwoorden.pdfquote:
[..]
Kun je even de bladzijde geven en het nummer van de opgave in het boek van Van de Craats? Ik heb het idee dat je hem niet helemaal correct citeert. En die tweede opgave in je edit gaat uiteraard op dezelfde manier. Je berekent eerst f(1) en f'(1) en dan is de vergelijking van je raaklijn
y = f(1) + f'(1)·(x − 1)
Het staat op bladzijde 169. De opgaven staan helaas niet op de internetversie.
f' (-1) ? Het is m en dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn ofwel afgeleide van de functie. Dus waarom zou ik a = -1 moeten invullen in de afgeleide?quote:
[..]
Kun je even de bladzijde geven en het nummer van de opgave in het boek van Van de Craats? Ik heb het idee dat je hem niet helemaal correct citeert. En die tweede opgave in je edit gaat uiteraard op dezelfde manier. Je berekent eerst f(−1) en f'(−1) en dan is de vergelijking van je raaklijn
y = f(−1) + f'(−1)·(x + 1)
Ah, kijk, je had in je citaat helemaal niet duidelijk gemaakt dat het om de limiet ging vanquote:
[..]
https://googledrive.com/h(...)met%20Antwoorden.pdf
Het staat op bladzijde 169. De opgaven staan helaas niet op de internetversie.
(f(x) − f(a))/(x − a)
voor x → a. Dit is uiteraard gewoon de definitie voor de afgeleide f'(a) van de functie f in x = a.
De vergelijking voor de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a; f(a)) zoals Van de Craats die geeft is
y = f(a) + f'(a)·(x − a)
Nu heb je
f(x) = x5 − 3x2 + 3
en dus
f'(x) = 5x4 − 6x
en wil je de vergelijking opstellen van de raaklijn aan de grafiek van deze functie in het punt (−1; f(−1)). Bereken nu eerst f(−1) en f'(−1) en dan wordt je vergelijking dus
y = f(−1) + f'(−1)·(x + 1)
Het vetgedrukte begrijp ik niet, met name het gedeelte waarin jij iets zegt over een punt(?). Daarnaast moet het tweede vetgedrukte (f'(-1)) toch gewoon de richtingscoëfficiënt zijn i.p.v. (f'(-1)) ?quote:
[..]
Ah, kijk, je had in je citaat helemaal niet duidelijk gemaakt dat het om de limiet ging van
(f(x) − f(a))/(x − a)
voor x → a. Dit is uiteraard gewoon de definitie voor de afgeleide f'(a) van de functie f in x = a.
De vergelijking voor de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a; f(a)) zoals Van de Craats die geeft is
y = f(a) + f'(a)·(x − a)
Nu heb je
f(x) = x5 − 3x2 + 3
en dus
f'(x) = 5x4 − 6x
en wil je de vergelijking opstellen van de raaklijn aan de grafiek van deze functie in het punt (−1; f(−1)). Bereken nu eerst f(−1) en f'(−1) en dan wordt je vergelijking dus
y = f(−1) + f'(−1)·(x + 1)
Dat heb ik uitvoerig behandeld in de lange post hierboven. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in het punt (−1; f(−1)) is immers niets anders dan de waarde van de afgeleide in dat punt, en die is f'(−1).quote:
[..]
f' (-1) ? Het is m en dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn ofwel afgeleide van de functie. Dus waarom zou ik a = -1 moeten invullen in de afgeleide?
Raaklijn opstellen: je hebt de functie f(x), bereken f'(x). Neem voor x=-1, bijvoorbeeld. Dan is f'(-1)+b=f(-1). Immers, de afgeleide is de richtingscoefficient van een lijn, b is de start 'hoogte'.quote:
[..]
Het vetgedrukte begrijp ik niet, met name het gedeelte waarin jij iets zegt over een punt(?). Daarnaast moet het tweede vetgedrukte (f'(-1)) toch gewoon de richtingscoëfficiënt zijn i.p.v. (f'(-1)) ?
Maak hem nou niet nog meer in de war, hij moet een vergelijking opstellen van een rechte lijn met een gegeven richtingscoëfficiënt m door een gegeven punt (x0; y0) en die vergelijking isquote:
[..]
Raaklijn opstellen: je hebt de functie f(x), bereken f'(x). Neem voor x=-1, bijvoorbeeld. Dan is f'(-1)+b=f(-1). Immers, de afgeleide is de richtingscoefficient van een lijn, b is de start 'hoogte'.
y − y0 = m(x − x0)
Dit is de klassieke vorm van de vergelijking van een rechte lijn met een gegeven richtingscoëfficiënt door een gegeven punt zoals die vroeger bij de analytische meetkunde werd geleerd. In deze vorm is de vergelijking ook verreweg het eenvoudigst te onthouden.
Ja die heb ik ook twee tot driemaal gelezen. Maar daar wordt de richtingscoëfficiënt genomen van 4x, wat dus 4 is en bij het laatste voorbeeld uit mijn post f'(-1), wat dus betekent dat die -1 een vervangende waarde is voor de x term.. echter is de richtingscoëfficiënt het getal voor de x.quote:
[..]
Dat heb ik uitvoerig behandeld in de lange post hierboven. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in het punt (−1; f(−1)) is immers niets anders dan de waarde van de afgeleide in dat punt, en die is f'(−1).
Dat is het enige wat mij onduidelijk is.
Na het lezen van Netchip raakte ik al bijna in de war, maar ik heb het direct vergeten wat hij schreef om verwarring te voorkomen.quote:
[..]
Maak hem nou niet nog meer in de war, hij moet een vergelijking opstellen van een rechte lijn met een gegeven richtingscoëfficiënt m door een gegeven punt (x0; y0) en die vergelijking is
y − y0 = m(x − x0)
Dit is de klassieke vorm van de vergelijking van een rechte lijn met een gegeven richtingscoëfficiënt door een gegeven punt zoals die vroeger bij de analytische meetkunde werd geleerd. In deze vorm is de vergelijking ook verreweg het eenvoudigst te onthouden.
Toch bedankt Netchip voor je uitleg!
Meh, never mind.quote:
[..]
Na het lezen van Netchip raakte ik al bijna in de war, maar ik heb het direct vergeten wat hij schreef om verwarring te voorkomen.
Toch bedankt Netchip voor je uitleg!
Ik denk dat je nog veel meer onduidelijk is. Laten we eens even terugkeren naar je eerste voorbeeld. Daar hadden we de functiequote:
[..]
Ja die heb ik ook twee tot driemaal gelezen. Maar daar wordt de richtingscoëfficiënt genomen van 4x, wat dus 4 is en bij het laatste voorbeeld uit mijn post f'(-1), wat dus betekent dat die -1 een vervangende waarde is voor de x term.. echter is de richtingscoëfficiënt het getal voor de x.
Dat is het enige wat mij onduidelijk is.
f(x) = 2x2 − 3
en de afgeleide functie van deze functie is
f'(x) = 4x
Maar: wat zegt die afgeleide functie f'(x) nu precies over de oorspronkelijke functie f(x), kun je dat eens onder woorden brengen? En kun je dan met name ook aangeven wat die afgeleide functie nu meetkundig eigenlijk betekent?
De afgeleide functie wilt zeggen in hoeverre de grafiek steil is op een bepaald punt.quote:
[..]
Ik denk dat je nog veel meer onduidelijk is. Laten we eens even terugkeren naar je eerste voorbeeld. Daar hadden we de functie
f(x) = 2x2 − 3
en de afgeleide functie van deze functie is
f'(x) = 4x
Maar: wat zegt die afgeleide functie f'(x) nu precies over de oorspronkelijke functie f(x), kun je dat eens onder woorden brengen? En kun je dan met name ook aangeven wat die afgeleide functie nu meetkundig eigenlijk betekent?
Daar komt het inderdaad wel op neer. De afgeleide functie geeft de steilheid van de grafiek van de oorspronkelijke functie voor elke waarde van x. Maar zie je nu ook in dat als je de richtingscoëfficiënt van een raaklijn in bijvoorbeeld het punt (−1; f(−1)) op de grafiek van de oorspronkelijke functie wil bepalen, dat je dan de waarde van f'(x) voor x = −1 oftewel f'(−1) moet berekenen?quote:
[..]
De afgeleide functie wil zeggen in hoeverre de grafiek steil is op een bepaald punt.
Waarom komt mijn antwoordenboekje bij u= 3sin ((2pi/33.33)t) op 3 sin(0,06pi*t) terwijl 2pi/33.33 volgens mijn rekenmachine 0,19 is?
Je moet de pi laten staan, dus alleen 2/33.33 doenquote:
Waarom komt mijn antwoordenboekje bij u= 3sin ((2pi/33.33)t) op 3 sin(0,06pi*t) terwijl 2pi/33.33 volgens mijn rekenmachine 0,19 is?
Dat niet alleen, 33,33 is niet hetzelfde als 100/3.quote:
[..]
Je moet de pi laten staan, dus alleen 2/33.33 doen
Waar ik jn de war raak is dat als ik x = -1 invul ik dan een y waarde uitkrijg (althans dat is bij standaard functies). En bij functies als ax + b dan is a de richtingsco en wat x of y dan wordt het variabele a blijft de richtingsco (net als die 4x waarvan de richtingsco 4 is). Hierdoor raak ik in de war qua gedachte.quote:
[..]
Daar komt het inderdaad wel op neer. De afgeleide functie geeft de steilheid van de grafiek van de oorspronkelijke functie voor elke waarde van x. Maar zie je nu ook in dat als je de richtingscoëfficiënt van een raaklijn in bijvoorbeeld het punt (−1; f(−1)) op de grafiek van de oorspronkelijke functie wil bepalen, dat je dan de waarde van f'(x) voor x = −1 oftewel f'(−1) moet berekenen?
Als je een functie f hebt, dan is de grafiek van die functie een curve met als vergelijking y = f(x). Dat geldt net zo goed voor een afgeleide functie f', maar je werkt niet met de grafiek van f' als je een raaklijn aan de grafiek van f wil bepalen. De afgeleide functie f' heeft echter wel degelijk een waarde voor elke waarde van de variabele x waarvoor deze is gedefinieerd. Maar deze waarde moet je natuurlijk niet gaan aangeven met y als je diezelfde letter y al gebruikt voor f(x). En als je bezig bent met het opstellen van een vergelijking van een raaklijn, dan stellen x en y in die vergelijking de x resp. y coördinaat voor van een punt op die raaklijn en niet de coördinaten van een punt op de grafiek van de functie.quote:
[..]
Waar ik jn de war raak is dat als ik x = -1 invul ik dan een y waarde uitkrijg (althans dat is bij standaard functies). En bij functies als ax + b dan is a de richtingsco en wat x of y dan wordt het variabele a blijft de richtingsco (net als die 4x waarvan de richtingsco 4 is). Hierdoor raak ik in de war qua gedachte.
Als je nu gewoon f(−1) schrijft voor de waarde van f(x) voor x = −1 en f'(−1) voor de waarde van f'(x) voor x = −1, dan kun je toch niet in de war raken?
Blijkbaar wel. Misschien omdat ik op dit moment enorm moe ben. Het zit hem dat ik steeds gewend ben om een "a" te zoeken in de functie, aangezien ik gewend ben dat de richtingsco altijd een "a " variabele is.quote:
[..]
Als je een functie f hebt, dan is de grafiek van die functie een curve met als vergelijking y = f(x). Dat geldt net zo goed voor een afgeleide functie f', maar je werkt niet met de grafiek van f' als je een raaklijn aan de grafiek van f wil bepalen. De afgeleide functie f' heeft echter wel degelijk een waarde voor elke waarde van de variabele x waarvoor deze is gedefinieerd. Maar deze waarde moet je natuurlijk niet gaan aangeven met y als je diezelfde letter y al gebruikt voor f(x). En als je bezig bent met het opstellen van een vergelijking van een raaklijn, dan stellen x en y in die vergelijking de x resp. y coördinaat voor van een punt op die raaklijn en niet de coördinaten van een punt op de grafiek van de functie.
Als je nu gewoon f(−1) schrijft voor de waarde van f(x) voor x = −1 en f'(−1) voor de waarde van f'(x) voor x = −1, dan kun je toch niet in de war raken?
F(-1) is toch dat de functie uiteindelijk -1 moet opleveren of is dat dat de x waarde -1 wordt?
f(−1) is de waarde van f(x) voor x = −1.quote:
[..]
Blijkbaar wel. Misschien omdat ik op dit moment enorm moe ben. Het zit hem dat ik steeds gewend ben om een "a" te zoeken in de functie, aangezien ik gewend ben dat de richtingsco altijd een "a " variabele is.
F(-1) is toch dat de functie uiteindelijk -1 moet opleveren of is dat dat de x waarde -1 wordt?
Voorbeeld:
f(x) = x5 − 3x2 + 3
Invullen van x = −1 geeft nu
f(−1) = (−1)5 − 3·(−1)2 + 3 = −1 − 3 + 3 = −1
De afgeleide functie van deze functie is
f'(x) = 5x4 − 6x
En weer x = − 1 invullen geeft nu
f'(−1) = 5·(−1)4 − 6·(−1) = 5 + 6 = 11
De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (−1; f(−1)) is nu
y = f(−1) + f'(−1)·(x − (−1))
Nu nog f(−1) = −1 en f'(−1) = 11 invullen en we krijgen
y = −1 + 11(x + 1)
oftewel
y = 11x + 10
Zie je hoe eenvoudig dit is?
Jep.. methode is mij helemaal helder. Dank daarvoor.quote:
[..]
f(−1) is de waarde van f(x) voor x = −1.
Voorbeeld:
f(x) = x5 − 3x2 + 3
Invullen van x = −1 geeft nu
f(−1) = (−1)5 − 3·(−1)2 + 3 = −1 − 3 + 3 = −1
De afgeleide functie van deze functie is
f'(x) = 5x4 − 6x
En weer x = − 1 invullen geeft nu
f'(−1) = 5·(−1)4 − 6·(−1) = 5 + 6 = 11
De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (−1; f(−1)) is nu
y = f(−1) + f'(−1)·(x − (−1))
Nu nog f(−1) = −1 en f'(−1) = 11 invullen en we krijgen
y = −1 + 11(x + 1)
oftewel
y = 11x + 10
Zie je hoe eenvoudig dit is?
ik wil alleen de gedachte ervan compleet begrijpen. Want ik zelf zou in eerste instantie denken om die -6 te pakken (richtingsco). Want m is toch de richtingsco van de raaklijn.. vandaar.
Welke −6 bedoel je precies?quote:
[..]
Jep.. methode is mij helemaal helder. Dank daarvoor.
Van f'(x) = 5x4 − 6x
En dan is die -6 dan de richtingsco vd raaklijn en dus m bij:
Y = f(a) + m(x-a)
En dan is die -6 dan de richtingsco vd raaklijn en dus m bij:
Y = f(a) + m(x-a)
quote:
Nee, nu ben je heel raar bezig. Ik heb je hierboven gevraagd wat de betekenis van de afgeleide functie was en toen zei je min of meer correct dat de afgeleide functie de steilheid geeft van de grafiek van de oorspronkelijke functie voor elke waarde van x. Als we dus de steilheid in het punt (−1; −1) op de grafiek van f willen berekenen, dan moeten we f'(−1) berekenen. En je zag net dat f'(−1) = 11, en niet −6.quote:
Van f'(x) = 5x4 − 6x
En dan is die -6 dan de richtingsco vd raaklijn en dus m bij:
Y = f(a) + m(x-a)
[..]
De rode curve geeft de grafiek van de functie f en de blauwe lijn is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (−1; −1) dat ik hier met een zwarte stip heb aangegeven. Je ziet dat de grafiek van de functie in dit punt steil omhoog verloopt, en zeker niet omlaag. Als je goed kijkt zie je dat de raaklijn ook door het punt (0; 10) gaat, de richtingscoëfficiënt van de raaklijn, en dus ook de steilheid van de curve in het punt (−1; −1), is dus inderdaad 11.
[ Bericht 6% gewijzigd door Riparius op 13-05-2014 21:32:25 ]
Aha het wordt nu steeds duidelijker. Hoe zie je direct aan de grafiek dat de steilheid van de curve 11 is? De punten zie ik inderdaad.quote:
[..]
Nee, nu ben je heel raar bezig. Ik heb je hierboven gevraagd wat de betekenis van de afgeleide functie was en toen zei je min of meer correct dat de afgeleide functie de steilheid geeft van de grafiek van de oorspronkelijke functie voor elke waarde van x. Als we dus de steilheid in het punt (−1; −1) op de grafiek van f willen berekenen, dan moeten we f'(−1) berekenen. En je zag net dat f'(−1) = 11, en niet −6.
[ afbeelding ]
De rode curve geeft de grafiek van de functie f en de blauwe lijn is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (−1; −1) dat ik hier met een zwarte stip heb aangegeven. Je ziet dat de grafiek van de functie in dit punt steil omhoog verloopt, en zeker niet omlaag. Als je goed kijkt zie je dat de raaklijn ook door het punt (0; 10) gaat, de richtingscoëfficiënt van de raaklijn, en dus ook de steilheid van de curve in het punt (−1; −1), is dus inderdaad 11.
Nee maar ik raakte in de war van het boek grotendeels waarin stond "m is de richtingsco van de raaklijn" waardoor ik dus met die a raar begon te denken.
Zoals jij zegt moet ik gewoon kijken naar de steilhekd van de grafiek en dat is dan dat punt met het limiet -> 0 en dan heb je als het ware de richtingsco van de afgeleide.
Ik zit je posts nu even opnieuw stap voor stap door te nemen en bij de afgeleide moet ik het punt gewoon invullen om zodoende achter de steilheid/richtingsco van de raaklijn te komen.
Dat is dus op een andere manier dan de richtingsco te berekenen van een standaardfunctie als x^2 + 2x + 5
[ Bericht 7% gewijzigd door Super-B op 13-05-2014 22:14:16 ]
Wel, het raakpunt (zwarte stip) heeft de coördinaten (−1; −1) en de blauwe raaklijn gaat ook door het punt (0; 10). Dus, als we nu langs de blauwe raaklijn van het punt (−1; −1) naar het punt (0; 10) gaan, dan gaan we één eenheid naar rechts maar 11 eenheden omhoog. De steilheid oftewel de richtingscoëfficiënt van de blauwe rechte lijn is de verhouding van de verticale afstand tussen deze twee punten tot de horizontale afstand tussen deze twee punten, en die is 11 : 1 = 11.quote:
[..]
Aha het wordt nu steeds duidelijker. Hoe zie je direct aan de grafiek dat de steilheid van de curve 11 is? De punten zie ik inderdaad.
Vergelijk dit maar met een hellingspercentage van een weg in het buitenland. Als daar een bordje langs de weg staat dat aangeeft dat de helling 10% bedraagt, dan betekent dat, wanneer je de weg van opzij bekijkt, dat de weg 1 meter omhoog gaat voor elke 10 meter horizontale verplaatsing, en bijvoorbeeld 10 meter omhoog voor elke 100 meter horizontale verplaatsing. De richtingscoëfficiënt van die weg is dan 1 : 10 = 0,1 en dat geeft men dan aan als een percentage, dus 10%.
Je moet je niet teveel vastbijten in die letters, die kunnen namelijk in verschillende conteksten heel verschillende betekenissen hebben. Het is wel gebruikelijk om de richtingscoëfficiënt van een rechte lijn aan te geven met de letter m, en als je een lineaire functie f(x) = ax + b hebt, dan is de grafiek daarvan een rechte lijn met richtingscoëfficiënt a. Maar dat heeft niets te maken met de a in de vergelijking y = f(a) + f'(a)·(x − a) die Van de Craats geeft voor de raaklijn aan de grafiek van de functie f in het punt (a; f(a)). Hier stelt de a gewoon een vast getal voor, namelijk de x-coördinaat van het raakpunt.quote:Nee maar ik raakte in de war van het boek grotendeels waarin stond "m is de richtingsco van de raaklijn" waardoor ik dus met die a raar begon te denken.
Niet de richtingscoëfficiënt van de afgeleide, de waarde van de afgeleide functie f'(x) voor een gegeven x is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de oorspronkelijke functie voor die gegeven x, en daarmee dus ook de steilheid van de grafiek van de functie voor die waarde van x.quote:Zoals jij zegt moet ik gewoon kijken naar de steilheid van de grafiek en dat is dan dat punt met het limiet -> 0 en dan heb je als het ware de richtingsco van de afgeleide.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 13-05-2014 22:38:46 ]
Stel dat je hebt y=2x2 dan is dy/dx=4x. Is de richtingscoefficient van de grafiek op x=4 dan ook 16? En op x=2, richtingscoefficient=8?
Jazeker, zo werkt het.quote:
Stel dat je hebt y=2x2 dan is dy/dx=4x. Is de richtingscoefficient van de grafiek op x=4 dan ook 16? En op x=2, richtingscoefficient=8?
Ik denk dat ik de Leibniz notatie en de essentie van differentieren begin te snapenquote:
Morgen maar wat oefeningen maken On a side note, heeft iemand enig idee waarom wiskunde op de middelbare school een impopulair vak is? Niemand doet er wat voor, en als jij er wel wat voor doet/het leuk vindt, word je scheef aangekeken
Je bent een topperd. Ik snap het helemaal. Dankje!quote:
[..]
Wel, het raakpunt (zwarte stip) heeft de coördinaten (−1; −1) en de blauwe raaklijn gaat ook door het punt (0; 10). Dus, als we nu langs de blauwe raaklijn van het punt (−1; −1) naar het punt (0; 10) gaan, dan gaan we één eenheid naar rechts maar 11 eenheden omhoog. De steilheid oftewel de richtingscoëfficiënt van de blauwe rechte lijn is de verhouding van de verticale afstand tussen deze twee punten tot de horizontale afstand tussen deze twee punten, en die is 11 : 1 = 11.
Vergelijk dit maar met een hellingspercentage van een weg in het buitenland. Als daar een bordje langs de weg staat dat aangeeft dat de helling 10% bedraagt, dan betekent dat, wanneer je de weg van opzij bekijkt, dat de weg 1 meter omhoog gaat voor elke 10 meter horizontale verplaatsing, en bijvoorbeeld 10 meter omhoog voor elke 100 meter horizontale verplaatsing. De richtingscoëfficiënt van die weg is dan 1 : 10 = 0,1 en dat geeft men dan aan als een percentage, dus 10%.
[..]
Je moet je niet teveel vastbijten in die letters, die kunnen namelijk in verschillende conteksten heel verschillende betekenissen hebben. Het is wel gebruikelijk om de richtingscoëfficiënt van een rechte lijn aan te geven met de letter m, en als je een lineaire functie f(x) = ax + b hebt, dan is de grafiek daarvan een rechte lijn met richtingscoëfficiënt a. Maar dat heeft niets te maken met de a in de vergelijking y = f(a) + f'(a)·(x − a) die Van de Craats geeft voor de raaklijn aan de grafiek van de functie f in het punt (a; f(a)). Hier stelt de a gewoon een vast getal voor, namelijk de x-coördinaat van het raakpunt.
[..]
Niet de richtingscoëfficiënt van de afgeleide, de waarde van de afgeleide functie f'(x) voor een gegeven x is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de oorspronkelijke functie voor die gegeven x, en daarmee dus ook de steilheid van de grafiek van de functie voor die waarde van x.
Er zijn nog een aantal bladzijden die ik moet leren en dan hoef ik alleen nog alles te herhalen en dan ben ik wel klaargestomd voor de toets voor maandag.
Waarom heb je hier trouwens op het eind e3x+4? Moet dat geen +2 zijn?quote:
[..]
Probeer gewoon eens wat uit. Stel je hebt
y = 3x+2
en
z = ey
zodat
z = e3x+4
Dan is
dy/dx = 3
en
dz/dy = ey
en dus
dz/dx = (dz/dy) · (dy/dx) = ey·3 = 3·ey = 3·e3x+4
Inderdaad, you got me. Ik zie dat ik daarboven ook al z = e3x+4 schrijf, dat moet uiteraard z = e3x+2 zijn omdat ik (zomaar uit de losse pols) was begonnen met y = 3x + 2. Ik zal het even corrigeren in mijn post. Maar goed, ik hoop dat het principe (en de notatie van Leibniz van de afgeleide als een differentiaalquotiënt) je nu wel wat duidelijker zijn geworden.quote:
[..]
Waarom heb je hier trouwens op het eind e3x+4? Moet dat geen +2 zijn?
Dat is het zekerquote:
[..]
Inderdaad, you got me. Ik zie dat ik daarboven ook al z = e3x+4 schrijf, dat moet uiteraard z = e3x+2 zijn omdat ik (zomaar uit de losse pols) was begonnen met y = 3x + 2. Ik zal het even corrigeren in mijn post. Maar goed, ik hoop dat het principe (en de notatie van Leibniz van de afgeleide als een differentiaalquotiënt) je nu wel wat duidelijker zijn geworden.
Even Googlen naar oefeningen, en dan kijken of ik het helemaal begrijp Ik merk wel dat ik vaak probeer om bijvoorbeeld een notatie dy/du in te beelden op een Cartesisch assenstelsel, wat ik waarschijnlijk beter niet kan doen.
Je kunt de kettingregel wel visualiseren als je drie horizontale getallenlijnen boven elkaar plaatst, van beneden naar boven een x-lijn, een u-lijn en een y-lijn. Dan kun je de eerste functie f: x → u opvatten als een afbeelding van (een deel van) de x-lijn op (een deel van) de u-lijn en de tweede functie g: u → y als een afbeelding van (een deel van) de u-lijn op (een deel van) de y-lijn. Samen vormen deze dan een afbeelding van (een deel van) de x-lijn op (een deel van) de y-lijn. De afgeleiden du/dx en dy/du in een gegeven punt zijn dan een locale schaalfactor voor de afbeeldingen f en g, en het product dy/du · du/dx is dan niets anders dan de locale schaalfactor dy/dx van de samengestelde afbeelding van een deel van de x-lijn op (een deel van de) y-lijn in dat punt. Zie je?quote:
[..]
Dat is het zeker
Stel ik heb, h(x) = (x2-11x+28)(√x), dan kan je dat herschrijven als h(x) = a(x) * b(x), toch?quote:
[..]
Inderdaad, you got me. Ik zie dat ik daarboven ook al z = e3x+4 schrijf, dat moet uiteraard z = e3x+2 zijn omdat ik (zomaar uit de losse pols) was begonnen met y = 3x + 2. Ik zal het even corrigeren in mijn post. Maar goed, ik hoop dat het principe (en de notatie van Leibniz van de afgeleide als een differentiaalquotiënt) je nu wel wat duidelijker zijn geworden.
da/dx = 2x-11
db/dx = 0.5x-0.5
dh/dx = b(x)*da/dx + a(x)*db/dx toch?
[ Bericht 0% gewijzigd door netchip op 14-05-2014 16:14:26 (functies vergeten) ]
Ja. Dat is de productregel. Maar ik zou de haakjesnotatie (Lagrange) en de differentiaalnotatie (Leibniz) hier niet gaan mengen. En omdat een (eerste) functie vaak met de letter f wordt aangegeven, is het wel gebruikelijk om een tweede functie dan met de letter g aan te geven (en een eventuele derde met de letter h). Dan kun je dus schrijvenquote:
[..]
Stel ik heb, h(x) = (x2-11x+28)(√x), dan kan je dat herschrijven als h(x) = a(x) * b(x), toch?
da/dx = 2x-11
db/dx = 0.5x-0.5
dh/dx = b(x)*da/dx + a(x)*db/dx toch?
h(x) = f(x)·g(x)
h'(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
of, compacter en symbolisch
(fg)' = f'g + fg'
Verder liever geen decimale breuken gebruiken hier, dus ½x−½ schrijven.
Ik ga volgende week Wiskunde B VWO afleggen, en heb een vraag over het examen van 2013 TV1, vraag 19 (laatste vraag) met betrekking tot meetkundige plaatsen.
Het correctievoorschrift geeft als antwoord dat het punt N 4+2 = 6 cm van punt M vandaan moet liggen. Waarom is dit 6 cm en geen 4 cm?
Alvast weer bedankt voor de input!
Edit: verkeerde examens gelinked, geef me even een momentje om het op te lossen @ 16:27!
[ Bericht 6% gewijzigd door Maarten9191 op 14-05-2014 16:29:09 (Goede examens zijn gelinked) ]
Het correctievoorschrift geeft als antwoord dat het punt N 4+2 = 6 cm van punt M vandaan moet liggen. Waarom is dit 6 cm en geen 4 cm?
Alvast weer bedankt voor de input!
Edit: verkeerde examens gelinked, geef me even een momentje om het op te lossen @ 16:27!
[ Bericht 6% gewijzigd door Maarten9191 op 14-05-2014 16:29:09 (Goede examens zijn gelinked) ]
Je hebt een cirkel met middelpunt M en straal MR en een cirkel met middelpunt N en straal NS.quote:
Ik ga volgende week Wiskunde B VWO afleggen, en heb een vraag over het examen van 2013 TV1, vraag 19 (laatste vraag) met betrekking tot meetkundige plaatsen.
Het correctievoorschrift geeft als antwoord dat het punt N 4+2 = 6 cm van punt M vandaan moet liggen. Waarom is dit 6 cm en geen 4 cm?
Alvast weer bedankt voor de input!
Edit: verkeerde examens gelinked, geef me even een momentje om het op te lossen @ 16:27!
De snijpunten van die cirkels zijn brandpunten van parabolen door M en N met richtlijn k. (Staat in de tekst).
Als NM = MR + NS = 2 + 4 = 6 dan raken de cirkels elkaar en is er precies één snijpunt en dus precies één parabool zoals gevraagd wordt.
Je krijgt het antwoord bijna kado als je even naar figuur 2 bij de opgave kijkt. Daar zie je, en wordt ook gezegd, dat men de punten M en N zodanig heeft gekozen dat MN < MR + NS. Aangezien MR en NS de stralen zijn van de cirkels en MN de afstand van hun middelpunten, betekent dit dat de cirkels elkaar snijden (in de twee punten Fen G).quote:
Ik ga volgende week Wiskunde B VWO afleggen, en heb een vraag over het examen van 2013 TV1, vraag 19 (laatste vraag) met betrekking tot meetkundige plaatsen.
Het correctievoorschrift geeft als antwoord dat het punt N 4+2 = 6 cm van punt M vandaan moet liggen. Waarom is dit 6 cm en geen 4 cm?
Alvast weer bedankt voor de input!
Edit: verkeerde examens gelinked, geef me even een momentje om het op te lossen @ 16:27!
Een parabool is de meetkundige plaats (verzameling) van punten met gelijke afstand tot een gegeven punt (focus oftewel brandpunt) en een gegeven lijn (directrix oftewel richtlijn), en aangezien d(M, F) = d(M, k) en d(N, F) = d(N, k) liggen M en N beide op de parabool met focus F en directrix k. Evenzo hebben we d(M, G) = d(M, k) en d(N, G) = d(N, k) zodat M en N ook beide op de parabool liggen met focus G en directrix k.
Maar nu wordt bij de laatste opgave gevraagd het punt N zodanig te bepalen dat er slechts één parabool is met directrix k waarop zowel punt M als punt N ligt. En dat betekent dat de beide cirkels met als midelpunten M resp. N nog maar één punt gemeen mogen hebben en elkaar dus moeten raken. Dat is het geval als de afstand van de middelpunten M en N van de cirkels gelijk is aan de som van hun stralen, zodat we als voorwaarde krijgen
MN = MR + NS
Nu is ook gegeven dat de afstanden MR en NS van de punten M resp. N tot lijn k gelijk zijn aan resp. 2 en 4 cm, zodat dus MN = MR + NS = 2 + 4 = 6 cm moet zijn. Zie je?
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 14-05-2014 17:27:12 ]
Nu is het helemaal duidelijk, bedankt Anoomunos en Riparius.
Ik heb de afgelopen vier maanden vier boeken van getal en ruimte zelf doorgewerkt (mijn methode van toen ik nog op de middelbare school zat). Elk zo nu en dan zat ik met wat dingen wat ik écht niet begreep en er even een kleine opheldering voor nodig had van iemand (zoals dit). Ik waardeer het heel erg dat de tijd wordt genomen om te helpen. Ik maak iedere dag (sinds maandag) een proefexamen, en ik heb er alle vertrouwen in dat het - mede dankzij Fok! dinsdag helemaal goed gaat komen.
Ik heb de afgelopen vier maanden vier boeken van getal en ruimte zelf doorgewerkt (mijn methode van toen ik nog op de middelbare school zat). Elk zo nu en dan zat ik met wat dingen wat ik écht niet begreep en er even een kleine opheldering voor nodig had van iemand (zoals dit). Ik waardeer het heel erg dat de tijd wordt genomen om te helpen
. Ik maak iedere dag (sinds maandag) een proefexamen, en ik heb er alle vertrouwen in dat het - mede dankzij Fok! dinsdag helemaal goed gaat komen.
Differentieren gaat me nu redelijk af, ik weet wanneer ik bepaalde regels moet toepassen, wat een afgeleide is, en hoe met de verschillende notaties (Lagrange, Leibniz) te werken.
Wat raden jullie me nu aan? Beginnen met integreren?
Wat raden jullie me nu aan? Beginnen met integreren?
Kun je bijvoorbeeld ook goniometrische functies en de inversen daarvan al differentiëren? Ik zou als ik jou was eerst eens kijken of je iets lastiger vraagstukken over raaklijnen e.d. nu vlot op kunt lossen, bijvoorbeeld:quote:
Differentieren gaat me nu redelijk af, ik weet wanneer ik bepaalde regels moet toepassen, wat een afgeleide is, en hoe met de verschillende notaties (Lagrange, Leibniz) te werken.
Wat raden jullie me nu aan? Beginnen met integreren?
Gegeven is de functie
De lijn met de vergelijking y = mx raakt de grafiek van f. Bereken de waarde(n) van m waarvoor dit het geval is.
Als je er echt verder mee wil kun je wellicht het beste een goed boek zoeken over differentiaal- en integraalrekening. Misschien is Spivak wat voor je.
f(x) = g(x) * h(x)quote:
[..]
Kun je bijvoorbeeld ook goniometrische functies en de inversen daarvan al differentiëren? Ik zou als ik jou was eerst eens kijken of je iets lastiger vraagstukken over raaklijnen e.d. nu vlot op kunt lossen, bijvoorbeeld:
Gegeven is de functie
De lijn met de vergelijking y = mx raakt de grafiek van f. Bereken de waarde(n) van m waarvoor dit het geval is.
Als je er echt verder mee wil kun je wellicht het beste een goed boek zoeken over differentiaal- en integraalrekening. Misschien is Spivak wat voor je.
g(x) = 4 * ln(x2)-4
h(x) = 1/x
f'(x) = g(x) * h'(x) + g'(x) * h(x)
ln'(x) = 1/x
g'(x) = 4/x2
h(x) = x-1 => h'(x) = -x-2
Dan gaan we nu f'(x) berekenen: (4*ln(x2)-4)/x2 + 4/x3
Note: ik heb nog niet met logaritmes gewerkt
Ontdek de wonderen van logaritmes dan eerstquote:
[..]
f(x) = g(x) * h(x)
g(x) = 4 * ln(x2)-4
h(x) = 1/x
f'(x) = g(x) * h'(x) + g'(x) * h(x)
ln'(x) = 1/x
g'(x) = 4/x2
h(x) = x-1 => h'(x) = -x-2
Dan gaan we nu f'(x) berekenen: (4*ln(x2)-4)/x2 + 4/x3
Note: ik heb nog niet met logaritmes gewerkt
Ik vind logaritmes erg verwarrend, over iets als eln(x) kan ik makkelijk 5 minuten over nadenken...quote:Op woensdag 14 mei 2014 20:52 schreef jordyqwerty het volgende:
[..]
Ontdek de wonderen van logaritmes dan eerst
glog a is de exponent waartoe je g moet verheffen om a te krijgen. Eenvoudig toch?quote:
[..]
Ik vind logaritmes erg verwarrend, over iets als eln(x) kan ik makkelijk 5 minuten over nadenken...
Dus ln x is de exponent waartoe je e moet verheffen om x te krijgen, oftewel eln x = x (voor x > 0).
Hm? ln(x) is eigenlijk ey = x toch?quote:
[..]
glog a is de exponent waartoe je g moet verheffen om a te krijgen. Eenvoudig toch?
Dus ln x is de exponent waartoe je e moet verheffen om x te krijgen, oftewel eln x = x (voor x > 0).
Hoe is ey = x dan mogelijk? Betekent dat x = y?
Nee y = ln xquote:
[..]
Hm? ln(x) is eigenlijk ey = x toch?
Hoe is ey = x dan mogelijk? Betekent dat x = y?
Nee, nu maak je er een potje van. De uitspraakquote:
[..]
Hm? ln(x) is eigenlijk ey = x toch?
Hoe is ey = x dan mogelijk? Betekent dat x = y?
ln(x) = y
is equivalent met
ey = x
Maar dit is precies wat ik hierboven zeg: y oftewel ln(x) is de exponent waartoe je e moet verheffen om x te krijgen.
Wat ik had geschreven, is wel heel triestquote:
[..]
Nee, nu maak je er een potje van. De uitspraak
ln(x) = y
is equivalent met
ey = x
Maar dit is precies wat ik hierboven zeg: y oftewel ln(x) is de exponent waartoe je e moet verheffen om x te krijgen.
Ik dacht weer eens niet goed na... Is het handig om eerst wat oefeningen te maken en wat bewijzen te doen met logaritmes voordat ik ga proberen formules met logaritmes te differentieren?
De functie f(x) = ln(x) berekent voor ieder getal x het getal ln(x) zodat eln(x) = x. Oftewel, voor x = 2 is de functie ln(2) het getal met eln(2) = 2. Als je dit uitrekent, vind je dat ln(2) = 0,693... . Dus als je e0,693 doet krijg je 2quote:
Anders gezegd, je weet dat er een getal y bestaat zodat ey = 2. Om dit getal y te vinden is de functie ln() bedacht. Deze functie zoekt het getal y waarvoor ey = 2. Dit getal wordt dan ln(2) genoemd.
Lijkt me me wel als je denkt dat de afgeleide van ln(x²) naar x gelijk is aan 1/x².quote:
Is het handig om eerst wat oefeningen te maken en wat bewijzen te doen met logaritmes voordat ik ga proberen formules met logaritmes te differentieren?
Wat ik wel weet, is dat je ln(x2) normaal gesproken zou kunnen herschrijven als 2ln(x).quote:
[..]
Lijkt me me wel als je denkt dat de afgeleide van ln(x²) naar x gelijk is aan 1/x².
Correct. Vervolgens productregel toepassen.quote:
[..]
Wat ik wel weet, is dat je ln(x2) normaal gesproken zou kunnen herschrijven als 2ln(x).
Ja, als x > 0, niet als x < 0. Maar als je 2·ln(x) (x > 0) differentieert naar x, krijg je 2/x. Waarom maak je er hierboven dan 1/x² van?quote:
[..]
Wat ik wel weet, is dat je ln(x2) normaal gesproken zou kunnen herschrijven als 2ln(x).
Op woensdag 14 mei 2014 21:53 schreef Riparius het volgende:[..]
Ja, als x > 0, niet als x < 0. Maar als je 2·ln(x) (x > 0) differentieert naar x, krijg je 2/x. Waarom maak je er hierboven dan 1/x² van?
[/quote]
Omdat ik dacht ln'(x) = 1/x. En dan was het voor mij logisch om te denken om gewoon de hele parameter 'x' mee te nemen, dus x2. Maar nu heb ik dus geleerd dat je functies zonodig eerst moet herleiden voordat je ze differentieert.quote:
[..]
Ja, als x > 0, niet als x < 0. Maar als je 2·ln(x) (x > 0) differentieert naar x, krijg je 2/x. Waarom maak je er hierboven dan 1/x² van?
[..]
Omdat ik dacht ln'(x) = 1/x. En dan was het voor mij logisch om te denken om gewoon de hele parameter 'x' mee te nemen, dus x2. Maar nu heb ik dus geleerd dat je functies zonodig eerst moet herleiden voordat je ze differentieert.
[/quote]
Omdat ik dacht ln'(x) = 1/x. En dan was het voor mij logisch om te denken om gewoon de hele parameter 'x' mee te nemen, dus x2. Maar nu heb ik dus geleerd dat je functies zonodig eerst moet herleiden voordat je ze differentieert.
[/quote]
Ook zonder herleiding had je direct moeten zien dat hier de kettingregel van toepassing is:quote:
Omdat ik dacht ln'(x) = 1/x. En dan was het voor mij logisch om te denken om gewoon de hele parameter 'x' mee te nemen, dus x2. Maar nu heb ik dus geleerd dat je functies zonodig eerst moet herleiden voordat je ze differentieert.
d(ln(x2))/dx = d(ln(x2))/d(x2) · d(x2)/dx = x−2·2x = 2·x−1.
Niet correct. Voor x < 0 heb je ln(x2) = 2·ln(−x). En de productregel gebruik je toch niet bij een constante factor? (Ja, het kán wel).quote:
[..]
Correct. Vervolgens productregel toepassen.
Dan zou ik zeggen dz/dx = dz/dy * dy/dx
z = y4
y = 5x2-8x
dz/dy = 4y3
dy/dx = 10x-8
Hoe nu verder? dz/dy = 4(5x2-8x)3 * 10x-8 ?
dz/dx = dz/dy · dy/dx = 4y3·(10x − 8) = 4·(5x2 − 8x)3·(10x − 8).quote:
Dan zou ik zeggen dz/dx = dz/dy * dy/dx
z = y4
y = 5x2-8x
dz/dy = 4y3
dy/dx = 10x-8
Hoe nu verder? dz/dy = 4(5x2-8x)3 * 10x-8 ?
Nu kun je de haakjes nog uitwerken. Begin dan met (5x2 − 8x)3. Daarvoor kun je gebruik maken van
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Ook is het handig om eerst even te bedenken dat je hebt
(5x2 − 8x)3 = x3·(5x − 8)3
Je had natuurlijk ook eerst de haakjes in het functievoorschrift weg kunnen werken door gebruik te maken van
(a − b)4 = a4 − 4a3b + 6a2b2 − 4ab3 + b4
[ Bericht 5% gewijzigd door Riparius op 14-05-2014 23:28:10 ]
Hallo, ik heb weer een vraag.
''Geef bij de volgende twee functies de eventuele nulpunten van de afgeleide en de intervallen waarop de functie monotoon stijgend of dalend is''
x4 - 4x³ + 4
en
x³ + 1
Ze bedoelen neem ik aan of de afgeleide functie monotoon stijgend of dalend is? Daarnaast vraag ik mij af waarom de nulpunten nodig zijn om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen, want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
[ Bericht 3% gewijzigd door Super-B op 15-05-2014 15:20:56 ]
''Geef bij de volgende twee functies de eventuele nulpunten van de afgeleide en de intervallen waarop de functie monotoon stijgend of dalend is''
x4 - 4x³ + 4
en
x³ + 1
Ze bedoelen neem ik aan of de afgeleide functie monotoon stijgend of dalend is? Daarnaast vraag ik mij af waarom de nulpunten nodig zijn om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen, want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
[ Bericht 3% gewijzigd door Super-B op 15-05-2014 15:20:56 ]
quote:
Hallo, ik heb weer een vraag.
''Geef bij de volgende twee functies de eventuele nulpunten van de afgeleide en de intervallen waarop de functie monotoon stijgend of dalend is''
x4 - 4x³ + 4
en
x³ + 1
Ze bedoelen neem ik aan of de afgeleide functie monotoon stijgend of dalend is? Daarnaast vraag ik mij af waarom de nulpunten nodig zijn om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen, want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
En waarom zijn de nulpunten van een afgeleide nodig om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen?Want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.quote:
waarom de nulpunten nodig zijn om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen, want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
Wanneer de grafiek op een punt gaat dalen of stijgen dan is de richtingcoëfficiënt in dat punt 0.quote:
[..]
En waarom zijn de nulpunten van een afgeleide nodig om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen?Want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
Lukt het weer moet alleen maar dikgedrukt te maken?quote:
[..]
En waarom zijn de nulpunten van een afgeleide nodig om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen?Want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
Je hebt het eerste over nulpunten van de afgeleiden en daarna over nulpunten van de functie.
Ow zo. Dankje.quote:
[..]
Wanneer de grafiek op een punt gaat dalen of stijgen dan is de richtingcoëfficiënt in dat punt 0.
Klein vraagje..
Hoe kun je x van de afgeleide berekenen bij (x² - 1) / (x² +1) ?
Ik heb als afgeleide:
4x / (x²+1)²
Maar verder oplossen lukt me niet.
Als we het hier toch over hebben, wat is het belang van een tweede afgeleide? Ik snap de eerste afgeleide en dat je daaruit af kan lezen waar de functie een daling of stijging inzet.quote:
[..]
Wanneer de grafiek op een punt gaat dalen of stijgen dan is de richtingcoëfficiënt in dat punt 0.
Volgens mij zegt die tweede afgeleide dan weer iets over het eerste afgeleide. Dan moet je die eerste afgeleide weer als een losstaand functie zien. Maar dat is mijn input.quote:
[..]
Als we het hier toch over hebben, wat is het belang van een tweede afgeleide? Ik snap de eerste afgeleide en dat je daaruit af kan lezen waar de functie een daling of stijging inzet.
hetzelfde geldt overigens voorquote:
[..]
Ow zo. Dankje.
Klein vraagje..
Hoe kun je x van de afgeleide berekenen bij (x² - 1) / (x² +1) ?
Ik heb als afgeleide:
4x / (x²+1)²
Maar verder oplossen lukt me niet.
(x² + 1) / (x + 1) met als afgeleide (x² + 2x - 1) / (x+1)²
huh?quote:
[..]
Wanneer de grafiek op een punt gaat dalen of stijgen dan is de richtingcoëfficiënt in dat punt 0.
Op een punt waar de functie daalt noch stijgt is de afgeleide 0.
Dit geldt overal voor constante functies en op lokale maxima en minima van andere functies.
Tussen de nulpunten daalt of stijgt de functie. Dus als je de punten hebt kan jij ook per domein aangeven waar hij stijgt of daalt.
Wat bedoel je met x berekenen?quote:
[..]
Ow zo. Dankje.
Klein vraagje..
Hoe kun je x van de afgeleide berekenen bij (x² - 1) / (x² +1) ?
Ik heb als afgeleide:
4x / (x²+1)²
Maar verder oplossen lukt me niet.
Dat kan alleen als je een vergelijking hebt en dat heb je daar niet.
De tweede afgeleide vertelt hoe of de eerste afgeleide toeneemt of afneemt.quote:
[..]
Volgens mij zegt die tweede afgeleide dan weer iets over het eerste afgeleide. Dan moet je die eerste afgeleide weer als een losstaand functie zien. Maar dat is mijn input.
De nulpunten van de tweede afgeleide geven je de lokale maxima en minima van de eerste afgeleide.
Deze punten zijn buigpunten. Op een buigpunt verandert een curve van kromming.
Ik moet de eventuele nulpunten van de afgeleide berekenen en de intervallen geven waarop de functie monotoon stijgend of dalend is.quote:
[..]
huh?
Op een punt waar de functie daalt noch stijgt is de afgeleide 0.
Dit geldt overal voor constante functies en op lokale maxima en minima van andere functies.
Tussen de nulpunten daalt of stijgt de functie. Dus als je de punten hebt kan jij ook per domein aangeven waar hij stijgt of daalt.
[..]
Wat bedoel je met x berekenen?
Dat kan alleen als je een vergelijking hebt en dat heb je daar niet.
[..]
De tweede afgeleide vertelt hoe of de eerste afgeleide toeneemt of afneemt.
De nulpunten van de tweede afgeleide geven je de lokale maxima en minima van de eerste afgeleide.
Deze punten zijn buigpunten. Op een buigpunt verandert een curve van kromming.
[ afbeelding ]
Nou dat kan je nu dan toch?quote:
[..]
Ik moet de eventuele nulpunten van de afgeleide berekenen en de intervallen geven waarop de functie monotoon stijgend of dalend is.
De functie:
(x² - 1) / (x² +1) ?
en de functie:
(x² + 1) / (x + 1) met als afgeleide (x² + 2x - 1) / (x+1)²
Daarnaast bij x^4 - 4x³ + 4 met als afgeleide x² - 3x weet ik niet waarom er sprake is van een monotone daling bij x = 0? Ik weet wel dat x < 3 voor een monotone daling zorgt en x > 3 zorgt voor een monotone stijging.
(x² - 1) / (x² +1) ?
en de functie:
(x² + 1) / (x + 1) met als afgeleide (x² + 2x - 1) / (x+1)²
Daarnaast bij x^4 - 4x³ + 4 met als afgeleide x² - 3x weet ik niet waarom er sprake is van een monotone daling bij x = 0? Ik weet wel dat x < 3 voor een monotone daling zorgt en x > 3 zorgt voor een monotone stijging.
Vereenvoudig die functies eens.quote:
De functie:
(x² - 1) / (x² +1) ?
en de functie:
(x² + 1) / (x + 1) met als afgeleide (x² + 2x - 1) / (x+1)²
Daarnaast bij x^4 - 4x³ + 4 met als afgeleide x² - 3x weet ik niet waarom er sprake is van een monotone daling bij x = 0? Ik weet wel dat x < 3 voor een monotone daling zorgt en x > 3 zorgt voor een monotone stijging.
Daarna lees mijn andere post nog eens.
Als het betreft om die x =0 dan heb ik je post niet begrepen.quote:
[..]
Vereenvoudig die functies eens.
Daarna lees mijn andere post nog eens.
quote:
[..]
Als het betreft om die x =0 dan heb ik je post niet begrepen.
Dus bepaal de nulpunten van de afgeleide en kijk dan naar de afgeleide tussen die punten.quote:Tussen de nulpunten daalt of stijgt de functie. Dus als je de punten hebt kan jij ook per domein aangeven waar hij stijgt of daalt.
Oke dank. Ik zal ernaar kijken..quote:
[..]
[..]
Dus bepaal de nulpunten van de afgeleide en kijk dan naar de afgeleide tussen die punten.
Deze functie:
x^4 - 2x²
Heeft als globaal minimum x = -1, x = 0 als lokaal maximum en x =1 als globaal minimum.
Ik heb de grafiek getekend en het is een dalparabool. x = 1 is inderdaad een globaal minimum, de rest kan ik niet zien..in mijn getekende grafiek.
Ik snap sowieso niet hoe er twee globale minima's kunnen zijn..
En hoe kun je deze sowieso berekenen?
Een goed uitleg stel ik zeer op prijs, aangezien het boek weer te kort en krom is qua uitleg.
[ Bericht 5% gewijzigd door Super-B op 15-05-2014 19:13:20 ]
Omdat ze beide dezelfde waarde hebben.quote:
Ik snap sowieso niet hoe er twee globale minima's kunnen zijn..
Door ook de waarde van de tweede afgeleide te bepalen in een punt waar de eerste afgeleide nul is, kun je meestal (dus niet altijd) vaststellen of je oorspronkelijke functie in dat punt een lokaal minimum of nu juist een lokaal maximum aanneemt.quote:
[..]
Als we het hier toch over hebben, wat is het belang van een tweede afgeleide? Ik snap de eerste afgeleide en dat je daaruit af kan lezen waar de functie een daling of stijging inzet.
f'(x0) = 0 ∧ f''(x0) > 0 : f heeft een lokaal minimum bij x = x0
f'(x0) = 0 ∧ f''(x0) < 0 : f heeft een lokaal maximum bij x = x0
Je kunt gemakkelijk inzien waarom dit geldt. Als f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) > 0 dan betekent dit dat f'(x) stijgt in een intervalletje (omgeving) rond x = x0. En aangezien f'(x0) = 0 betekent dit dat f'(x) bij x = x0 wisselt van negatief naar positief. Maar dat betekent weer dat de grafiek van f net links van x = x0 nog daalt om vervolgens vanaf x = x0 weer te gaan stijgen. En dus heeft de functie f een lokaal minimum bij x = x0. Op dezelfde manier kun je beredeneren dat f een lokaal maximum heeft bij x = x0 als Als f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) < 0.
Maar wat nu als f'(x0) en f''(x0) beide nul zijn? Wel, dan kun je nog geen uitspraken doen en zul je de functie verder moeten onderzoeken. Het kan zijn dat de grafiek van f dan een buigpunt heeft bij x = x0 met een horizontale buigraaklijn, maar dat hoeft niet. Het blijft ook mogelijk dat f dan een lokaal minimum óf een lokaal maximum heeft bij x = x0.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 15-05-2014 23:01:51 ]
Let op je terminologie en je taalgebruik. De grafiek van je functie is zeker geen parabool, want dit is geen kwadratische functie. En maxima is het meervoud van maximum, daar mag je dus geen 's aan toevoegen.quote:
Een goed uitleg stel ik zeer op prijs, aangezien het boek weer te kort en krom is qua uitleg.
Geef eens het nummer van de opgave in het boek van Van de Craats, dan kan ik eens kijken wat de begeleidende uitleg inhoudt en wat de bedoeling is van de opgave.
https://googledrive.com/h(...)met%20Antwoorden.pdfquote:
[..]
Let op je terminologie en je taalgebruik. De grafiek van je functie is zeker geen parabool, want dit is geen kwadratische functie. En maxima is het meervoud van maximum, daar mag je dus geen 's aan toevoegen.
Geef eens het nummer van de opgave in het boek van Van de Craats, dan kan ik eens kijken wat de begeleidende uitleg inhoudt en wat de bedoeling is van de opgave.
blz 179 voor de theorie en blz 180 voor de opgaven.
Thanks voor de goede, uitgebreide uitlegquote:
[..]
Door ook de waarde van de tweede afgeleide te bepalen in een punt waar de eerste afgeleide nul is, kun je meestal (dus niet altijd) vaststellen of je oorspronkelijke functie in dat punt een lokaal minimum of nu juist een lokaal maximum aanneemt.
f'(x0) = 0 ∧ f''(x0) > 0 : f heeft een lokaal minimum bij x = x0
f'(x0) = 0 ∧ f''(x0) < 0 : f heeft een lokaal maximum bij x = x0
Je kunt gemakkelijk inzien waarom dit geldt. Als f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) > 0 dan betekent dit dat f'(x) stijgt in een intervalletje (omgeving) rond x = x0. En aangezien f'(x0) = 0 betekent dit dat f'(x) bij x = x0 wisselt van negatief naar positief. Maar dat betekent weer dat de grafiek van f net links van x = x0 nog daalt om vervolgens vanaf x = x0 weer te gaan stijgen. En dus heeft de functie f een lokaal minimum bij x = x0. Op dezelfde manier kun je beredeneren dat f en lokaal maximum heeft bij x = x0 als Als f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) < 0.
Maar wat nu als f'(x0) en f''(x0) beide nul zijn? Wel, dan kun je nog geen uitspraken doen en zul je de functie verder moeten onderzoeken. Het kan zijn dat de grafiek van f dan een buigpunt heeft bij x = x0 met een horizontale buigraaklijn, maar dat hoeft niet. Het blijft ook mogelijk dat f dan een lokaal minimum óf een lokaal maximum heeft bij x = x0.
Ik begin het al een beetje te begrijpen. Hetzelfde effect bereik je toch door f'(x) = 0 te bepalen en vervolgens de daar uitgekomen x waarde in te vullen in de oorspronkelijke f(x) en een waarde iets links van die x waarde en een waarde iets rechts van die x waarde door te kijken of hij een minimum of een maximum aanneemt.
Voor de mede-wiskundekanditaten kan dit trouwens ook nog nuttig zijn:
Differentiëren begint best interessant te worden
Spannend hoor. Maandag de toets en dan is iedereen in dit topic van ons verlost!quote:
[..]
Thanks voor de goede, uitgebreide uitleg
Ik begin het al een beetje te begrijpen. Hetzelfde effect bereik je toch door f'(x) = 0 te bepalen en vervolgens de daar uitgekomen x waarde in te vullen in de oorspronkelijke f(x) en een waarde iets links van die x waarde en een waarde iets rechts van die x waarde door te kijken of hij een minimum of een maximum aanneemt.
Voor de mede-wiskundekanditaten kan dit trouwens ook nog nuttig zijn:
Differentiëren begint best interessant te worden
De uitleg op blz. 179 lijkt me volstrekt helder. Echter, wat er allemaal wordt beweerd op blz. 177 van de PDF waar je naar linkt klopt niet. Hier is het nodige mis gegaan met de typografie, en Van de Craats introduceert hier ook nog eens ongebruikelijke termen. Wat hij monotoon stijgend noemt heet gewoonlijk strict monotoon stijgend en wat hij monotoon niet-dalend noemt heet gewoonlijk monotoon stijgend. Ik heb zelf overigens een volledige PDF waarin de typografische missers niet voorkomen. Ik weet niet of dit elders in het boek ook het geval is, maar het toont wel aan dat je niet kunt vertrouwen op de uitgeklede 'gratis' internetversie van het boek. Maar geef even het nummer van de opgave waar je problemen mee hebt.quote:
[..]
https://googledrive.com/h(...)met%20Antwoorden.pdf
blz 179 voor de theorie en blz 180 voor de opgaven.
Niet van mijquote:
[..]
Spannend hoor. Maandag de toets en dan is iedereen in dit topic van ons verlost!
Ik doe dit op vrijwillige basis, geen toetsen oid
Dat denken ze. Moet je volgend schooljaar is opletten.quote:
[..]
Spannend hoor. Maandag de toets en dan is iedereen in dit topic van ons verlost!
Maar zonder gein, les van een docent gaat dan een stuk beter werken dan zelfstudie
Ga dan meteen ook wat colleges Nederlands volgen.quote:
[..]
Dat denken ze. Moet je volgend schooljaar is opletten.
Maar zonder gein, les van een docent gaat dan een stuk beter werken dan zelfstudie
Is misschien wel nuttig jaquote:
[..]
Ga dan meteen ook wat colleges Nederlands volgen.
Even iets geheel anders, ben jij een beetje bedreven in object geörienteerd programmeren (JAVA)? Concreter, ik heb literatuur nodig waar kort en bondig wordt uitgelegd hoe de structuur van OO programmeren nu in elkaar steekt.quote:
[..]
Ga dan meteen ook wat colleges Nederlands volgen.
Ik had je vraag al gezien, en ik heb wat ervaring met OO programmeren, maar dan in Pascal en Borland Delphi, niet met Java, sorry. Ik houd trouwens sowieso niet erg van de syntaxis van C(++) en aanverwante talen, veel te rommelig. Kernighan en Ritchie zijn niet my cup of tea. Wirth wel uiteraard.quote:Op donderdag 15 mei 2014 20:57 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Even iets geheel anders, ben jij een beetje bedreven in object geörienteerd programmeren (JAVA)? Concreter, ik heb literatuur nodig waar kort en bondig wordt uitgelegd hoe de structuur van OO programmeren nu in elkaar steekt.
Allemaal eigenlijk.. Op de opgaven cos, sin, arcsin etc na (geen examenstof).quote:
[..]
De uitleg op blz. 179 lijkt me volstrekt helder. Echter, wat er allemaal wordt beweerd op blz. 177 van de PDF waar je naar linkt klopt niet. Hier is het nodige mis gegaan met de typografie, en Van de Craats introduceert hier ook nog eens ongebruikelijke termen. Wat hij monotoon stijgend noemt heet gewoonlijk strict monotoon stijgend en wat hij monotoon niet-dalend noemt heet gewoonlijk monotoon stijgend. Ik heb zelf overigens een volledige PDF waarin de typografische missers niet voorkomen. Ik weet niet of dit elders in het boek ook het geval is, maar het toont wel aan dat je niet kunt vertrouwen op de uitgeklede 'gratis' internetversie van het boek. Maar geef even het nummer van de opgave waar je problemen mee hebt.
Ik snap niet hoe ik het moet doen.
Kies één opgave uit, dan kan ik die even met je doornemen.quote:
[..]
Allemaal eigenlijk.. Op de opgaven cos, sin, arcsin etc na (geen examenstof).
Ik snap niet hoe ik het moet doen.
20.42 a & b kies ik.quote:
[..]
Kies één opgave uit, dan kan ik die even met je doornemen.
Opgave 20.42a.quote:
f(x) = xex
Afgeleide bepalen (met behulp van de productregel) geeft
f'(x) = 1·ex + x·ex = (x+1)·ex
Nu de nulpunten bepalen van de afgeleide f'(x). Hiervoor moet je je realiseren dat een e-macht nooit nul kan zijn. De afgeleide kan dus alleen nul zijn als de andere factor (x+1) nul is, en dat is het geval als
x = −1
Nu willen we weten of de functie f bij x = −1 een lokaal minimum of een lokaal maximum aanneemt, of wellicht geen van beide. Daarvoor kun je de tweede afgeleide bepalen en dan kijken naar het teken van f''(−1), maar hier is het ook eenvoudig te zien aan f'(x) = (x+1)·ex. De e-macht is immers altijd positief (voor elke reële x), zodat we zien dat f'(x) wisselt van negatief naar positief bij x = −1. En dat betekent dat de functie f een lokaal minimum moet hebben bij x = − 1. De waarde van dit locale minimum is f(−1) = −e−1.
Hier zie je een grafiekje van zowel f (in rood) als de afgeleide f' (in blauw). Je ziet hier heel mooi dat de curve van f' de x-as snijdt in het punt (−1; 0) en dat f bij x = − 1 inderdaad een minimum aanneemt. We weten (en zien ook in de grafiek) dat het lokale minimum tevens een globaal minimum is, want de functiewaarde f(x) daalt immers voor elke x < −1 en stijgt voor elke x > −1. Je ziet hier trouwens ook dat zowel de grafiek van f als de grafiek van f' een horizontale asymptoot y = 0 heeft. Dat komt, eenvoudig gezegd, omdat ex als we x steeds negatiever laten worden veel sneller naar nul toe gaat dan de absolute waarden van x en (x + 1) toe nemen, zodat de producten van ex met x en (x+1), en daarmee f(x) en f'(x), naar nul toe gaan voor x → − ∞.
Nu zelf maar even opgave 20.42b proberen.
Shit.. mijn boek is anders dan de internetversie.. Ik bedoelde: 20.39 a... Maar goed even lezen.quote:
[..]
Opgave 20.42a.
f(x) = xex
Afgeleide bepalen (met behulp van de productregel) geeft
f'(x) = 1·ex + x·ex = (x+1)·ex
Nu de nulpunten bepalen van de afgeleide f'(x). Hiervoor moet je je realiseren dat een e-macht nooit nul kan zijn. De afgeleide kan dus alleen nul zijn als de andere factor (x+1) nul is, en dat is het geval als
x = −1
Nu willen we weten of de functie f bij x = −1 een lokaal minimum of een lokaal maximum aanneemt, of wellicht geen van beide. Daarvoor kun je de tweede afgeleide bepalen en dan kijken naar het teken van f''(−1), maar hier is het ook eenvoudig te zien aan f'(x) = (x+1)·ex. De e-macht is immers altijd positief (voor elke reële x), zodat we zien dat f'(x) wisselt van negatief naar positief bij x = −1. En dat betekent dat de functie f een lokaal minimum moet hebben bij x = − 1. De waarde van dit locale minimum is f(−1) = −e−1.
[ afbeelding ]
Hier zie je een grafiekje van zowel f (in rood) als de afgeleide f' (in blauw). Je ziet hier heel mooi dat de curve van f' de x-as snijdt in het punt (−1; 0) en dat f bij x = − 1 inderdaad een minimum aanneemt. We weten (en zien ook in de grafiek) dat het lokale minimum tevens een globaal minimum is, want de functiewaarde f(x) daalt immers voor elke x < −1 en stijgt voor elke x > −1. Je ziet hier trouwens ook dat zowel de grafiek van f als de grafiek van f' een horizontale asymptoot y = 0 heeft. Dat komt, eenvoudig gezegd, omdat ex als we x steeds negatiever laten worden veel sneller naar nul toe gaat dan de absolute waarden van x en (x + 1) toe nemen, zodat de producten van ex met x en (x+1), en daarmee f(x) en f'(x), naar nul toe gaan voor x → − ∞.
Nu zelf maar even opgave 20.42b proberen.
EDIT: 20.39 c is mij gelukt... te maken, blijf toch hangen bij 20.39 a en b, ondanks dat ik jouw methodiek geheel snap!
Dankjewel voor je heldere uitleg de afgelopen dagen en weken. Ik heb veel gehad aan je uitleg aan mij, Nodig & Rustcohle.
Geef even aan welke functies bij opgave 20.39a en 20.39b worden gegeven. In beide versies van het boek die ik (als PDF) tot mijn beschikking heb is dat x3 − x resp. x4 − 2x2.quote:
[..]
Shit.. mijn boek is anders dan de internetversie.. Ik bedoelde: 20.39 a... Maar goed even lezen.
EDIT: 20.39 c is mij gelukt... te maken, blijf toch hangen bij 20.39 a en b, ondanks dat ik jouw methodiek geheel snap!
Dankjewel voor je heldere uitleg de afgelopen dagen en weken. Ik heb veel gehad aan je uitleg aan mij, Nodig & Rustcohle.
De methode snap ik. Bij x³-x kom ik uit op √1/3 en -√1/3, maar ik snap niet hoe je het kan schrijven tot 1/3√3 en -1/3√3.quote:
[..]
Geef even aan welke functies bij opgave 20.39a en 20.39b worden gegeven. In beide versies van het boek die ik (als PDF) tot mijn beschikking heb is dat x3 − x resp. x4 − 2x2.
Bij x^4 - 2x² maar bij de tekening zie ik de globale minima's en het lokale maximum niet... Het is een dalparabool in mijn tekening. Wanneer is er overigens sprake van een globale minimum en wanneer van een lokale minimum? Ik dacht dat er alleen maar 1 globale minimum in een grafiek mogelijk was (het laagste punt in een grafiek).
Voor zover ik weet:
lokaal minimum: één van de laagste punten
globaal minimum: allerlaagste punt in de grafiek
Waar ik echt moeite mee heb is:
20.41 a & b en 20.42 e qua opgaven.
Met 20.39 a is het probleem de schrijfwijze, zoals eerder gezegd, en bij 20.39 b is het probleem dat de grafiek niet overeenkomt met het antwoord (althans bij mij..). Het antwoord heb ik overigens wel goed.
Herleiding van uitdrukkingen met wortels: hiervoor bestaan rekenregels, die Van de Craats ook behandelt in hoofdstuk 3 Machten en wortels. De rekenregels voor wortels zijn nauw verwant met de rekenregels voor machten, omdat je elke wortel immers ook kunt schrijven als een macht met een gebroken (niet gehele) exponent. Verder spelen de rekenregels voor het werken met breuken een rol bij het herleiden van uitdrukkingen met wortels. De waarde van een breuk verandert bijvoorbeeld niet als je teller en noemer met hetzelfde getal (ongelijk nul) vermenigvuldigt, of door hetzelfde getal (ongelijk nul) deelt. Je hebtquote:
[..]
De methode snap ik. Bij x³-x kom ik uit op √1/3 en -√1/3, maar ik snap niet hoe je het kan schrijven tot 1/3√3 en -1/3√3.
Dat is natuurlijk niet waar. Je moet niet elke curve die een beetje op een parabool lijkt een parabool noemen. Dit is geen kwadratische functie maar een vierdemachts polynoomfunctie en de grafiek kan dan ook geen parabool zijn.quote:Bij x^4 - 2x² maar bij de tekening zie ik de globale minima en het lokale maximum niet... Het is een dalparabool in mijn tekening.
Nee, je kunt toch méér dan één punt hebben in een grafiek met dezelfde laagste functiewaarde?quote:Wanneer is er overigens sprake van een globaal minimum en wanneer van een lokaal minimum? Ik dacht dat er alleen maar 1 globaal minimum in een grafiek mogelijk was (het laagste punt in een grafiek).
Ja, maar wat nu wanneer dat zelfde laagste punt voor twee verschillende waarden van x wordt bereikt? Dan heb je toch twee laagste punten?quote:Voor zover ik weet:
lokaal minimum: één van de laagste punten
globaal minimum: allerlaagste punt in de grafiek
Heb je de grafiek met pen en papier geschetst of door een computerprogramma laten tekenen?quote:Waar ik echt moeite mee heb is:
20.41 a & b en 20.42 e qua opgaven.
Met 20.39 a is het probleem de schrijfwijze, zoals eerder gezegd, en bij 20.39 b is het probleem dat de grafiek niet overeenkomt met het antwoord (althans bij mij..). Het antwoord heb ik overigens wel goed.
Hoe zou je hier de afgeleide ookal weer bepalen met de dy/dx methode?quote:
[..]
Opgave 20.42a.
f(x) = xex
Afgeleide bepalen (met behulp van de productregel) geeft
f'(x) = 1·ex + x·ex = (x+1)·ex
Nu de nulpunten bepalen van de afgeleide f'(x). Hiervoor moet je je realiseren dat een e-macht nooit nul kan zijn. De afgeleide kan dus alleen nul zijn als de andere factor (x+1) nul is, en dat is het geval als
x = −1
Nu willen we weten of de functie f bij x = −1 een lokaal minimum of een lokaal maximum aanneemt, of wellicht geen van beide. Daarvoor kun je de tweede afgeleide bepalen en dan kijken naar het teken van f''(−1), maar hier is het ook eenvoudig te zien aan f'(x) = (x+1)·ex. De e-macht is immers altijd positief (voor elke reële x), zodat we zien dat f'(x) wisselt van negatief naar positief bij x = −1. En dat betekent dat de functie f een lokaal minimum moet hebben bij x = − 1. De waarde van dit locale minimum is f(−1) = −e−1.
[ afbeelding ]
Hier zie je een grafiekje van zowel f (in rood) als de afgeleide f' (in blauw). Je ziet hier heel mooi dat de curve van f' de x-as snijdt in het punt (−1; 0) en dat f bij x = − 1 inderdaad een minimum aanneemt. We weten (en zien ook in de grafiek) dat het lokale minimum tevens een globaal minimum is, want de functiewaarde f(x) daalt immers voor elke x < −1 en stijgt voor elke x > −1. Je ziet hier trouwens ook dat zowel de grafiek van f als de grafiek van f' een horizontale asymptoot y = 0 heeft. Dat komt, eenvoudig gezegd, omdat ex als we x steeds negatiever laten worden veel sneller naar nul toe gaat dan de absolute waarden van x en (x + 1) toe nemen, zodat de producten van ex met x en (x+1), en daarmee f(x) en f'(x), naar nul toe gaan voor x → − ∞.
Nu zelf maar even opgave 20.42b proberen.
Hoe bedoel je? In de notatie van Leibniz kun je schrijvenquote:
[..]
Hoe zou je hier de afgeleide ookal weer bepalen met de dy/dx methode?
d(x·ex)/dx = (dx/dx)·ex + x·d(ex)/dx = 1·ex + x·ex = (x+1)·ex
Bedoel je dit?
Jep.. zou je het kunnen simplificeren?quote:
[..]
Hoe bedoel je? In de notatie van Leibniz kun je schrijven
d(x·ex)/dx = (dx/dx)·ex + x·d(ex)/dx = 1·ex + x·ex = (x+1)·ex
Bedoel je dit?
Het was iets met dy/dp en dx/dp. Die laatste 2 vermenigvuldigen leverde dan weer dy/dx op.
Waar je een deel gelijk stelde aan een ander variabele ofzo..?
Heb het met pen en papier geschetst.. Ik ga het eens op Wolfram Alpha proberen.quote:
[..]
Herleiding van uitdrukkingen met wortels: hiervoor bestaan rekenregels, die Van de Craats ook behandelt in hoofdstuk 3 Machten en wortels. De rekenregels voor wortels zijn nauw verwant met de rekenregels voor machten, omdat je elke wortel immers ook kunt schrijven als een macht met een gebroken (niet gehele) exponent. Verder spelen de rekenregels voor het werken met breuken een rol bij het herleiden van uitdrukkingen met wortels. De waarde van een breuk verandert bijvoorbeeld niet als je teller en noemer met hetzelfde getal (ongelijk nul) vermenigvuldigt, of door hetzelfde getal (ongelijk nul) deelt. Je hebt
[..]
Dat is natuurlijk niet waar. Je moet niet elke curve die een beetje op een parabool lijkt een parabool noemen. Dit is geen kwadratische functie maar een vierdemachts polynoomfunctie en de grafiek kan dan ook geen parabool zijn.
[..]
Nee, je kunt toch méér dan één punt hebben in een grafiek met dezelfde laagste functiewaarde?
[..]
Ja, maar wat nu wanneer dat zelfde laagste punt voor twee verschillende waarden van x wordt bereikt? Dan heb je toch twee laagste punten?
[..]
Heb je de grafiek met pen en papier geschetst of door een computerprogramma laten tekenen?
Dat is de kettingregel.quote:
[..]
Jep.. zou je het kunnen simplificeren?
Het was iets met dy/dp en dx/dp. Die laatste 2 vermenigvuldigen leverde dan weer dy/dx op.
Waar je een deel gelijk stelde aan een ander variabele ofzo..?
Nu denk je aan de kettingregel in de notatie van Leibniz, maar voor het differentiëren van een product als xex gebruik je de productregel, en niet de kettingregel.quote:
[..]
Jep.. zou je het kunnen simplificeren?
Het was iets met dy/dp en dp/dx. Die laatste 2 vermenigvuldigen leverde dan weer dy/dx op.
Waar je een deel gelijk stelde aan een ander variabele ofzo..?
Productregel in de notatie van Leibniz:
d(f(x)·g(x))/dx = (d(f(x))/dx)·g(x) + f(x)·(d(g(x))/dx)
Stellen we hier u = f(x) en v = g(x), dan wordt dit:
d(uv)/dx = (du/dx)·v + u·(dv/dx)
Productregel in de notatie van Lagrange:
h(x) = f(x)·g(x) ⇒ h'(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
Of, symbolisch en compacter opgeschreven:
(fg)' = f'g + fg'
Kettingregel in de notatie van Leibniz:
d(g(f(x))/dx = d(g(f(x))/d(f(x)) · d(f(x))/dx
Stellen we hier u = f(x) en y = g(u), dan is y = g(f(x)) en hebben we dus
dy/dx = dy/du · du/dx
Kettingregel in de notatie van Lagrange:
h(x) = g(f(x)) ⇒ h'(x) = g'(f(x))·f'(x)
Of, symbolisch en compacter opgeschreven:
(g∘f)' = (g'∘f)·f'
Het rondje ∘ duidt hier compositie aan en wordt uitgesproken als na, zodat je g∘f dus uitspreekt als g na f. Het lijkt wat onnatuurlijk om een samenstelling van twee functies f en g waarbij f eerst komt zo aan te geven omdat ons schrift van links naar rechts loopt, maar het grote voordeel is dat de volgorde van de letters f en g zo hetzelfde is als bij de haakjesnotatie g(f(x)) voor de samenstelling van twee functies f en g.
Zie je nu de verschillen tussen de productregel en de kettingregel en de verschillen en de overeenkomsten tussen de verschillende notaties?
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 16-05-2014 10:58:53 ]
Nog meer over notatie: 
is een functie, 
is een functie geëvalueerd op het punt 
, oftewel een getal. Je kan dus nooit spreken over de functie .
Toch gebeurt dat veel, en niet alleen in schoolboeken. Ook Van de Craats heeft het voortdurend over een functie f(x) of over de functie f(x) = x2 als hij een reële functie f van een reële variabele bedoelt resp. een functie f: R → R gedefinieerd door x ↦ x2 oftewel door het functievoorschrift f(x) = x2. Maar het is nogal omslachtig om dat steeds zo op te schrijven en dat verklaart waarom veel auteurs het kortweg hebben over een functie f(x) of de functie f(x) = x2. En dat is ook niet echt bezwaarlijk mits maar duidelijk is - en ook expliciet wordt gemaakt - wat er precies mee wordt bedoeld.quote:
Nog meer over notatie:
Bij een definitie van een functie hoort trouwens ook altijd een specificatie van een domein en een codomein, maar ook dat wordt vaak niet vermeld. De stilzwijgende afspraak bij reële functies van reële variabelen in schoolboeken is dan gewoonlijk dat - tenzij anders vermeld - het domein bestaat uit de grootst mogelijke deelverzameling van R waarvoor het gegeven functievoorschrift betekenis heeft binnen R, en dat R het codomein is.
Aangezien de laatste letters van het alfabet (in ieder geval x, y, z maar vaak ook t, u, v, w) doorgaans variabele of onbekende grootheden aanduiden, kun je de opvatting verdedigen dat de notatie f(x) voor het beeld van x ∈ D bij een functie f: D → R met D ⊂ R ook een variabele grootheid voorstelt, en dus geen vast getal. De letters a, b, c, d maar ook p, q, r, s worden daarentegen gewoonlijk gebruikt om constante of bekende grootheden aan te duiden, en dus kun je dan inderdaad gegeven een reële functie f van een reële variabele de notatie f(a) alleen opvatten als een getal, namelijk de waarde van f(x) voor x = a, oftewel het beeld van a, vooropgesteld dat a ∈ Df. Je ziet dan (terecht) ook nooit dat Van de Craats het heeft over een functie f(a), maar wel dat hij bijvoorbeeld de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van een (differentieerbare) functie f in het punt (a; f(a)) geeft als y = f(a) + f'(a)·(x − a) en hier stellen f(a) en f'(a) uiteraard constante resp. bekende reële grootheden voor.
Maar wat Van de Craats ook doet, en wat is af te keuren, ook in schoolboeken, is dat hij het in opgaven heeft over een functie x2 en dat moet je niet doen, een uitdrukking is iets anders dan een functie.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 16-05-2014 09:32:23 ]
Hier heb je een grafiek van de functie f(x) = x4 − 2x2 (in rood) alsmede van de afgeleide functie f'(x) = 4x3 − 4x (in blauw).quote:
[..]
Bij x^4 - 2x², maar bij de tekening zie ik de globale minima en het lokale maximum niet ... Het is een dalparabool in mijn tekening. Wanneer is er overigens sprake van een globaal minimum en wanneer van een lokaal minimum? Ik dacht dat er alleen maar één globaal minimum in een grafiek mogelijk was (het laagste punt in een grafiek).
[snip]
Met 20.39 a is het probleem de schrijfwijze, zoals eerder gezegd, en bij 20.39 b is het probleem dat de grafiek niet overeenkomt met het antwoord (althans bij mij..). Het antwoord heb ik overigens wel goed.
Je ziet dat de grafiek van f geen parabool is en dat f voor twee verschillende waarden van x een globaal minimum bereikt, en dat de functie ook nog een locaal maximum heeft, maar geen globaal maximum.
Kijk je naar de grafiek van de afgeleide functie f', dan zie dat de afgeleide functie drie nulpunten heeft, namelijk −1, 0 en 1. Bij x = −1 passeert de grafiek van f' de x-as en de steilheid van de grafiek van f' in dit punt oftewel f''(−1) is positief. Ga dit na door de tweede afgeleide te bepalen en f''(−1) te berekenen. Aangezien f'(x) bij x = −1 wisselt van negatief naar positief, gaat de grafiek van f hier over van dalend naar stijgend. Dat betekent dus dat f bij x = −1 in ieder geval een lokaal minimum heeft. De waarde van dit lokale minimum is f(−1) = −1.
Kijken we nu naar het nulpunt x = 0 van de afgeleide functie f', dan zien we dat f'(x) bij x = 0 wisselt van positief naar negatief. De steilheid van de grafiek van f' in dit punt oftewel f''(0) is negatief. Ga dit weer na door f''(0) te berekenen. Aangezien f'(x) bij x = 0 wisselt van positief naar negatief, gaat de grafiek van f hier over van stijgend naar dalend. Dat betekent dus dat f bij x = 0 in ieder geval een lokaal maximum heeft en de waarde van dit lokale maximum is f(0) = 0.
In het nulpunt x = 1 van de afgeleide functie, tenslotte, gaat f'(x) weer over van negatief naar positief en de grafiek van f gaat hier dus weer over van dalend naar stijgend, zodat f bij x = 1 in ieder geval een lokaal minimum heeft met de waarde f(1) = −1.
Uit de grafiek zal je duidelijk zijn dat de twee lokale minima van de functie f bij x = −1 en bij x = 1 tegelijk ook het globale minimum zijn van deze functie. De waarde van dit globale minimum is f(−1) = f(1) = −1. Een functie kan slechts één globaal minimum hebben, maar je ziet dat het prima mogelijk is dat dit globale minimum bij meer dan één waarde van x wordt bereikt. De functie f heeft echter geen globaal maximum, dus f heeft inderdaad alleen een lokaal maximum bij x = 0.
De functie f heeft drie nulpunten, namelijk x = −√2, x = 0 en x = √2. Je ziet hier dus ook dat een functie bij eenzelfde waarde van x, hier x = 0, zowel een nulpunt kan hebben als een extreme waarde kan bereiken.
Wat is het verschil tussen een globale minimum en een lokale minimum en je kunt toch twee globale minimums hebben, mits dezelfde waarde toch? Dus bijv -1 en 1? Maar die - telt dan niet? Want ik zou zeggen dat zowel -1 en 1 verschillen van elkaar als waarde,als je de - meetelt.quote:
[..]
Hier heb je een grafiek van de functie f(x) = x4 − 2x2 (in rood) alsmede van de afgeleide functie f'(x) = 4x3 − 4x (in blauw).
[ afbeelding ]
Je ziet dat de grafiek van f geen parabool is en dat f voor twee verschillende waarden van x een globaal minimum bereikt, en dat de functie ook nog een locaal maximum heeft, maar geen globaal maximum.
Kijk je naar de grafiek van de afgeleide functie f', dan zie dat de afgeleide functie drie nulpunten heeft, namelijk −1, 0 en 1. Bij x = −1 passeert de grafiek van f' de x-as en de steilheid van de grafiek van f' in dit punt oftewel f''(−1) is positief. Ga dit na door de tweede afgeleide te bepalen en f''(−1) te berekenen. Aangezien f'(x) bij x = −1 wisselt van negatief naar positief, gaat de grafiek van f hier over van dalend naar stijgend. Dat betekent dus dat f bij x = −1 in ieder geval een lokaal minimum heeft. De waarde van dit lokale minimum is f(−1) = −1.
Kijken we nu naar het nulpunt x = 0 van de afgeleide functie f', dan zien we dat f'(x) bij x = 0 wisselt van positief naar negatief. De steilheid van de grafiek van f' in dit punt oftewel f''(0) is negatief. Ga dit weer na door f''(0) te berekenen. Aangezien f'(x) bij x = 0 wisselt van positief naar negatief, gaat de grafiek van f hier over van stijgend naar dalend. Dat betekent dus dat f bij x = 0 in ieder geval een lokaal maximum heeft en de waarde van dit lokale maximum is f(0) = 0.
In het nulpunt x = 1 van de afgeleide functie, tenslotte, gaat f'(x) weer over van negatief naar positief en de grafiek van f gaat hier dus weer over van dalend naar stijgend, zodat f bij x = 1 in ieder geval een lokaal minimum heeft met de waarde f(1) = −1.
Uit de grafiek zal je duidelijk zijn dat de twee lokale minima van de functie f bij x = −1 en bij x = 1 tegelijk ook het globale minimum zijn van deze functie. De waarde van dit globale minimum is f(−1) = f(1) = −1. Een functie kan slechts één globaal minimum hebben, maar je ziet dat het prima mogelijk is dat dit globale minimum bij meer dan één waarde van x wordt bereikt. De functie f heeft echter geen globaal maximum, dus f heeft inderdaad alleen een lokaal maximum bij x = 0.
De functie f heeft drie nulpunten, namelijk x = −√2, x = 0 en x = √2. Je ziet hier dus ook dat een functie bij eenzelfde waarde van x, hier x = 0, zowel een nulpunt kan hebben als een extreme waarde kan bereiken.
Is het tenslotte handig om op de toets de grafiek te tekenen? Want ik kan het niet direct zien.. of het een minimum, maximum etc is.
Ja dat is handig. Ten tweede is het meervoud van minimum minima.quote:
[..]
Wat is het verschil tussen een globale minimum en een lokale minimum en je kunt toch twee globale minimums hebben, mits dezelfde waarde toch? Dus bijv -1 en 1? Maar die - telt dan niet? Want ik zou zeggen dat zowel -1 en 1 verschillen van elkaar als waarde,als je de - meetelt.
Is het tenslotte handig om op de toets de grafiek te tekenen? Want ik kan het niet direct zien.. of het een minimum, maximum etc is.
Een globaal minimum is het laagste punt van de functie. -1 < 1, dus is f(x) = 1 geen globaal minimum. Je kunt zeggen dat een functie een lokaal minimum aanneemt als de functie van dalend naar stijgend gaat (dus tekenwisseling van de afgeleide), dit lokale minimum is globaal minimum dan en slechts dan als dit ook het laagste punt is van de functie voor alle waarden waarvoor de functie gedefinieerd is.
Overigens is zijn 1 en -1 alleen in absolute waarde gelijk aan elkaar, dus |1| = 1 = |-1|. -1 en 1 zijn verder geen gelijke waardes.
[ Bericht 5% gewijzigd door #ANONIEM op 16-05-2014 13:25:14 ]
dat dacht ik dus ook, maar in mijn boek staat dat zowel -1 als 1 globale minimums zijn...quote:
[..]
Ja dat is handig. Ten tweede is het meervoud van minimum minima.
Een globaal minimum is het laagste punt van de functie. -1 < 1, dus is f(x) = 1 geen globaal minimum. Je kunt zeggen dat een functie een lokaal minimum aanneemt als de functie van dalend naar stijgend gaat (dus tekenwisseling van de afgeleide), dit lokale minimum is globaal minimum dan en slechts dan als dit ook het laagste punt is van de functie voor alle waarden waarvoor de functie gedefinieerd is.
Overigens is zijn 1 en -1 alleen in absolute waarde gelijk aan elkaar, dus |1| = 1 = |-1|. -1 en 1 zijn verder geen gelijke waardes.
daarnaast heb ik de functie:
X^4 -x^2 - 2x + 1
waar ik de stationare punten en buigpunten moet bepalen.
Als ik hiervan de afgeleide bereken en dan de afgeleide oplos voor f(x) ' = 0 dan krijg ik als oplossingen x = 1 en x= -0,5.
Dan ik had dan dat 1 zowel een buigpunt als een stationaire punt was.. omdat het op dat punt de raaklijn constant is, maar vervolgens een "buigt" als het ware en -0,5?!? Geen idee..
het antwoord is echter..: x = 1 (stationaire punt)en x = 1/6 W6 en x= -1/6 W6 zijn de buigpunten.. geen idee hoe ze daarop komen..
Ik dacht dat stationaire punten en buigpunten hetzelfde waren?
In x = 1 en in x = -1 heeft de functie een globaal minimum.quote:
[..]
dat dacht ik dus ook, maar in mijn boek staat dat zowel -1 als 1 globale minimums zijn...
Je haalt nu de plaats x van het minimum en de functiewaarde f(x) van het minimum door elkaar.
x = 1 klopt maar x = -0.5 klopt niet.quote:
[..]
X^4 -x^2 - 2x + 1
waar ik de stationare punten en buigpunten moet bepalen.
Als ik hiervan de afgeleide bereken en dan de afgeleide oplos voor f(x) ' = 0 dan krijg ik als oplossingen x = 1 en x= -0,5.
f ' (x) = 4x3 - 2x -2 = 2(x-1)(2x2 +2x +1) = 0
2x2 +2x +1 heeft negatieve discriminant en dus geen nulpunt.
Dus x = 1 is het enige nulpunt.
Nee niet hetzelfde.quote:
[..]
het antwoord is echter..: x = 1 (stationaire punt)en x = 1/6 W6 en x= -1/6 W6 zijn de buigpunten.. geen idee hoe ze daarop komen..
Ik dacht dat stationaire punten en buigpunten hetzelfde waren?
Ik heb het met de abc formule opgelost.. wel vaag dat er dan gewoon een antwoord uitkwam... en dus -0,5.quote:
[..]
In x = 1 en in x = -1 heeft de functie een globaal minimum.
Je haalt nu de plaats x van het minimum en de functiewaarde f(x) van het minimum door elkaar.
[..]
x = 1 klopt maar x = -0.5 klopt niet.
f ' (x) = 4x3 - 2x -2 = 2(x-1)(2x2 +2x +1) = 0
2x2 +2x +1 heeft negatieve discriminant en dus geen nulpunt.
Dus x = 1 is het enige nulpunt.
[..]
Nee niet hetzelfde.
De eerste term is 4x^3 en niet 4x^2 dus je kan geen abc formule toepassen.quote:
[..]
Ik heb het met de abc formule opgelost.. wel vaag dat er dan gewoon een antwoord uitkwam... en dus -0,5.
Hoe los ik het dan op..?quote:
[..]
De eerste term is 4x^3 en niet 4x^2 dus je kan geen abc formule toepassen.
Ben er al uit met het oplossen!quote:
[..]
De eerste term is 4x^3 en niet 4x^2 dus je kan geen abc formule toepassen.
Lees zelf nog even de definities van stationaire punten en buigpunten in je boek en kijk of je het snapt.quote:
Ja dat begrijp ik. Echter is het toch zo dat bij een buigpunt (dus het punt waar de grafiek gaat buigen) net als het stationaire punt een horizontale afgeleide heeft...?quote:
[..]
Lees zelf nog even de definities van stationaire punten en buigpunten in je boek en kijk of je het snapt.
Ik weet niet hoe ik de buigpunten moet berekenen.. want zover ik weet waren dat gewoon de afgeleide oplossen = 0 en dan kijken wat x was..
Buigpunten zijn de extreme waarden van de afgeleide functie.quote:
[..]
Ja dat begrijp ik. Echter is het toch zo dat bij een buigpunt (dus het punt waar de grafiek gaat buigen) net als het stationaire punt een horizontale afgeleide heeft...?
Ik weet niet hoe ik de buigpunten moet berekenen.. want zover ik weet waren dat gewoon de afgeleide oplossen = 0 en dan kijken wat x was..
Dus je moet naar de tweede afgeleide van je oorspronkelijke functie kijken.
Ohww... De eerste afgeleide zegt wat over het stationaire punt van de functie f(x) en de tweede afgeleide zegt iets over de buigpunten van f(x)?quote:
[..]
Buigpunten zijn de extreme waarden van de afgeleide functie.
Dus je moet naar de tweede afgeleide van je oorspronkelijke functie kijken.
Volgens mij heb ik een paar dagen terug nog een plaatje, met een buigpunt aangegeven, geplaatst...quote:
[..]
Ja dat begrijp ik. Echter is het toch zo dat bij een buigpunt (dus het punt waar de grafiek gaat buigen) net als het stationaire punt een horizontale afgeleide heeft...?
Ik weet niet hoe ik de buigpunten moet berekenen.. want zover ik weet waren dat gewoon de afgeleide oplossen = 0 en dan kijken wat x was..
Nee de afgeleide is daar niet 0 maar de tweede afgeleide is daar 0.
Ow oke.quote:
[..]
Volgens mij heb ik een paar dagen terug nog een plaatje, met een buigpunt aangegeven, geplaatst...
Nee de afgeleide is daar niet 0 maar de tweede afgeleide is daar 0.
Wat wordt er bedoeld met het ''wisselen van de teken'' bij het berekenen van de buigpunten?
Van teken wisselen is van positief naar negatief gaan of andersom.quote:
[..]
Ow oke.
Wat wordt er bedoeld met het ''wisselen van de teken'' bij het berekenen van de buigpunten?
-edit- als een continue functie van teken veranderd heb je daar ook een nulpunt.
[ Bericht 4% gewijzigd door t4rt4rus op 16-05-2014 19:40:20 ]
Ik denk dat je wat voorzichtiger en preciezer moet zijn met je formulering. Super-B blijkt een meester in het verdraaien en misinterpreteren van de woorden van iedereen die probeert hem het licht te laten zien.quote:
[..]
Buigpunten zijn de extreme waarden van de afgeleide functie.
Dus je moet naar de tweede afgeleide van je oorspronkelijke functie kijken.
De grafiek van f(x) = x4 heeft geen buigpunt bij x = 0, terwijl toch f''(0) = 0. De voorwaarde f''(x0) = 0 is dus niet voldoende voor een buigpunt bij x = x0. Een voldoende (maar niet noodzakelijke) voorwaarde voor het optreden van een buigpunt bij x = x0 is f''(x0) = 0 en tevens f'''(x0) ≠ 0, evenals f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) ≠ 0 een voldoende (maar niet noodzakelijke) voorwaarde is voor het optreden van een extremum bij x = x0.
Ik twijfelde erover om dat op te merken maar omdat dat ook het geval is met het bepalen van de extreme waarden van een functie dacht ik dat hij dat wel moest weten.quote:
[..]
Ik denk dat je wat voorzichtiger en preciezer moet zijn met je formulering. Super-B blijkt een meester in het verdraaien en misinterpreteren van de woorden van iedereen die probeert hem het licht te laten zien.
De grafiek van f(x) = x4 heeft geen buigpunt bij x = 0, terwijl toch f''(0) = 0. De voorwaarde f''(x0) = 0 is dus niet voldoende voor een buigpunt bij x = x0. Een voldoende (maar niet noodzakelijke) voorwaarde voor het optreden van een buigpunt bij x = x0 is f''(x0) = 0 en tevens f'''(x0) ≠ 0, evenals f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) ≠ 0 een voldoende (maar niet noodzakelijke) voorwaarde is voor het optreden van een extremum bij x = x0.
Maar dat is je op glad ijs begeven inderdaad dus goed dat je het nog duidelijk opmerkt.
Dankje! Ik ga zo direct je post lezen.quote:
[..]
Ik denk dat je wat voorzichtiger en preciezer moet zijn met je formulering. Super-B blijkt een meester in het verdraaien en misinterpreteren van de woorden van iedereen die probeert hem het licht te laten zien.
De grafiek van f(x) = x4 heeft geen buigpunt bij x = 0, terwijl toch f''(0) = 0. De voorwaarde f''(x0) = 0 is dus niet voldoende voor een buigpunt bij x = x0. Een voldoende (maar niet noodzakelijke) voorwaarde voor het optreden van een buigpunt bij x = x0 is f''(x0) = 0 en tevens f'''(x0) ≠ 0, evenals f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) ≠ 0 een voldoende (maar niet noodzakelijke) voorwaarde is voor het optreden van een extremum bij x = x0.
Ik ben even de oefentoets maken, kijken hoe ik er nu voor sta.
Dit is niet helemaal waar. Een functie kan ook van teken wisselen zonder een nulpunt te bereiken.quote:
[..]
Van teken wisselen is van positief naar negatief gaan of andersom.
En functies veranderen van teken op een nulpunt.
Wat vind je hiervan?
f(x) = 1 als x > 0
f(x) = -1 anders
Daarnaast hoeft een functie niet van teken te veranderen op een nulpunt. f(x) = x*x is daar een mooi voorbeeld van.
[ Bericht 13% gewijzigd door #ANONIEM op 16-05-2014 19:26:46 ]
Bedankt, ik haal even wat door elkaarquote:
[..]
Dit is niet helemaal waar. Een functie kan ook van teken wisselen zonder een nulpunt te bereiken.
Wat vind je hiervan?
f(x) = 1 als x > 0
f(x) = -1 anders
Daarnaast hoeft een functie niet van teken te veranderen op een nulpunt. f(x) = x*x is daar een mooi voorbeeld van.
Een continue functie die van teken veranderd heeft daar een nulpunt.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E%28-x%C2%B2%2B2x%29
Ik kom echt niet op zo'n grafiek?
Als ik in mijn rekenmachine x = 1 invoer krijg ik:
e^-(1)² + 2 * 1 = 2,37.. Dat is minder dan de grafiek in Wolfram Alpha zegt...
En hoe kun je de functie op de reken manier berekenen zoals in het antwoordenmodel:
http://www.eur.nl/fileadm(...)antw_versie_2014.pdf
Opgave 3 a
Ik kom echt niet op zo'n grafiek?
Als ik in mijn rekenmachine x = 1 invoer krijg ik:
e^-(1)² + 2 * 1 = 2,37.. Dat is minder dan de grafiek in Wolfram Alpha zegt...
En hoe kun je de functie op de reken manier berekenen zoals in het antwoordenmodel:
http://www.eur.nl/fileadm(...)antw_versie_2014.pdf
Opgave 3 a
Door je haakjes goed te zetten: e^(-(1)² + 2 * 1 ) = e^1 = equote:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E%28-x%C2%B2%2B2x%29
Ik kom echt niet op zo'n grafiek?
Als ik in mijn rekenmachine x = 1 invoer krijg ik:
e^-(1)² + 2 * 1 = 2,37.. Dat is minder dan de grafiek in Wolfram Alpha zegt...
En hoe kun je de functie op de reken manier berekenen zoals in het antwoordenmodel:
http://www.eur.nl/fileadm(...)antw_versie_2014.pdf
Opgave 3 a
Maar het gaat erom dat de term (-2x + 2) dan gelijk is aan 0.
Verder zijn e-machten altijd positief.
Je bent veels te laat begonnen.quote:
Hoe los je daarnaast vergelijkingen op met ln?
Het supportteam arriveert ook.quote:
Op Check rekenregels voor logaritmenquote:
Hoe los je daarnaast vergelijkingen op met ln?
Jep.. ik heb teveel geconcentreerd op afgeleide ipv oplossen ervan.. even kijken..quote:
[..]
Het supportteam arriveert ook.
[..]
Check rekenregels voor logaritmen
quote:
Toch een lastige hoor..quote:
[..]
Het supportteam arriveert ook.
[..]
Check rekenregels voor logaritmen
ln(x^4 - 24x²) - ln(x²) = 0
Ik doe dan
e log (x^4 - 24x²) - e log x² = 0
en dan loop ik weer vast...
log(a) - log(b) = log(a/b)quote:
[..]
[..]
Toch een lastige hoor..
ln(x^4 - 24x²) - ln(x²) = 0
Ik doe dan
e log (x^4 - 24x²) - e log x² = 0
en dan loop ik weer vast...
Maar als je dit ziet snap je dat niet. Bewijs dat dus eens.
Verder schrijf niet e log voor ln.
