Niet van mij Ik doe dit op vrijwillige basis, geen toetsen oidquote:Op donderdag 15 mei 2014 19:42 schreef Super-B het volgende:
[..]
Spannend hoor. Maandag de toets en dan is iedereen in dit topic van ons verlost!
Dat denken ze. Moet je volgend schooljaar is opletten.quote:Op donderdag 15 mei 2014 19:42 schreef Super-B het volgende:
[..]
Spannend hoor. Maandag de toets en dan is iedereen in dit topic van ons verlost!
Ga dan meteen ook wat colleges Nederlands volgen.quote:Op donderdag 15 mei 2014 20:19 schreef nodig het volgende:
[..]
Dat denken ze. Moet je volgend schooljaar is opletten.
Maar zonder gein, les van een docent gaat dan een stuk beter werken dan zelfstudie
Is misschien wel nuttig jaquote:Op donderdag 15 mei 2014 20:25 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ga dan meteen ook wat colleges Nederlands volgen.
Even iets geheel anders, ben jij een beetje bedreven in object geörienteerd programmeren (JAVA)? Concreter, ik heb literatuur nodig waar kort en bondig wordt uitgelegd hoe de structuur van OO programmeren nu in elkaar steekt.quote:Op donderdag 15 mei 2014 20:25 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ga dan meteen ook wat colleges Nederlands volgen.
Ik had je vraag al gezien, en ik heb wat ervaring met OO programmeren, maar dan in Pascal en Borland Delphi, niet met Java, sorry. Ik houd trouwens sowieso niet erg van de syntaxis van C(++) en aanverwante talen, veel te rommelig. Kernighan en Ritchie zijn niet my cup of tea. Wirth wel uiteraard.quote:Op donderdag 15 mei 2014 20:57 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Even iets geheel anders, ben jij een beetje bedreven in object geörienteerd programmeren (JAVA)? Concreter, ik heb literatuur nodig waar kort en bondig wordt uitgelegd hoe de structuur van OO programmeren nu in elkaar steekt.
Allemaal eigenlijk.. Op de opgaven cos, sin, arcsin etc na (geen examenstof).quote:Op donderdag 15 mei 2014 19:57 schreef Riparius het volgende:
[..]
De uitleg op blz. 179 lijkt me volstrekt helder. Echter, wat er allemaal wordt beweerd op blz. 177 van de PDF waar je naar linkt klopt niet. Hier is het nodige mis gegaan met de typografie, en Van de Craats introduceert hier ook nog eens ongebruikelijke termen. Wat hij monotoon stijgend noemt heet gewoonlijk strict monotoon stijgend en wat hij monotoon niet-dalend noemt heet gewoonlijk monotoon stijgend. Ik heb zelf overigens een volledige PDF waarin de typografische missers niet voorkomen. Ik weet niet of dit elders in het boek ook het geval is, maar het toont wel aan dat je niet kunt vertrouwen op de uitgeklede 'gratis' internetversie van het boek. Maar geef even het nummer van de opgave waar je problemen mee hebt.
Kies één opgave uit, dan kan ik die even met je doornemen.quote:Op donderdag 15 mei 2014 21:14 schreef Super-B het volgende:
[..]
Allemaal eigenlijk.. Op de opgaven cos, sin, arcsin etc na (geen examenstof).
Ik snap niet hoe ik het moet doen.
20.42 a & b kies ik.quote:Op donderdag 15 mei 2014 21:23 schreef Riparius het volgende:
[..]
Kies één opgave uit, dan kan ik die even met je doornemen.
Opgave 20.42a.quote:
Shit.. mijn boek is anders dan de internetversie.. Ik bedoelde: 20.39 a... Maar goed even lezen.quote:Op donderdag 15 mei 2014 21:57 schreef Riparius het volgende:
[..]
Opgave 20.42a.
f(x) = xex
Afgeleide bepalen (met behulp van de productregel) geeft
f'(x) = 1·ex + x·ex = (x+1)·ex
Nu de nulpunten bepalen van de afgeleide f'(x). Hiervoor moet je je realiseren dat een e-macht nooit nul kan zijn. De afgeleide kan dus alleen nul zijn als de andere factor (x+1) nul is, en dat is het geval als
x = −1
Nu willen we weten of de functie f bij x = −1 een lokaal minimum of een lokaal maximum aanneemt, of wellicht geen van beide. Daarvoor kun je de tweede afgeleide bepalen en dan kijken naar het teken van f''(−1), maar hier is het ook eenvoudig te zien aan f'(x) = (x+1)·ex. De e-macht is immers altijd positief (voor elke reële x), zodat we zien dat f'(x) wisselt van negatief naar positief bij x = −1. En dat betekent dat de functie f een lokaal minimum moet hebben bij x = − 1. De waarde van dit locale minimum is f(−1) = −e−1.
[ afbeelding ]
Hier zie je een grafiekje van zowel f (in rood) als de afgeleide f' (in blauw). Je ziet hier heel mooi dat de curve van f' de x-as snijdt in het punt (−1; 0) en dat f bij x = − 1 inderdaad een minimum aanneemt. We weten (en zien ook in de grafiek) dat het lokale minimum tevens een globaal minimum is, want de functiewaarde f(x) daalt immers voor elke x < −1 en stijgt voor elke x > −1. Je ziet hier trouwens ook dat zowel de grafiek van f als de grafiek van f' een horizontale asymptoot y = 0 heeft. Dat komt, eenvoudig gezegd, omdat ex als we x steeds negatiever laten worden veel sneller naar nul toe gaat dan de absolute waarden van x en (x + 1) toe nemen, zodat de producten van ex met x en (x+1), en daarmee f(x) en f'(x), naar nul toe gaan voor x → − ∞.
Nu zelf maar even opgave 20.42b proberen.
Geef even aan welke functies bij opgave 20.39a en 20.39b worden gegeven. In beide versies van het boek die ik (als PDF) tot mijn beschikking heb is dat x3 − x resp. x4 − 2x2.quote:Op donderdag 15 mei 2014 22:03 schreef Super-B het volgende:
[..]
Shit.. mijn boek is anders dan de internetversie.. Ik bedoelde: 20.39 a... Maar goed even lezen.
EDIT: 20.39 c is mij gelukt... te maken, blijf toch hangen bij 20.39 a en b, ondanks dat ik jouw methodiek geheel snap!
Dankjewel voor je heldere uitleg de afgelopen dagen en weken. Ik heb veel gehad aan je uitleg aan mij, Nodig & Rustcohle.
De methode snap ik. Bij x³-x kom ik uit op √1/3 en -√1/3, maar ik snap niet hoe je het kan schrijven tot 1/3√3 en -1/3√3.quote:Op donderdag 15 mei 2014 22:20 schreef Riparius het volgende:
[..]
Geef even aan welke functies bij opgave 20.39a en 20.39b worden gegeven. In beide versies van het boek die ik (als PDF) tot mijn beschikking heb is dat x3 − x resp. x4 − 2x2.
Herleiding van uitdrukkingen met wortels: hiervoor bestaan rekenregels, die Van de Craats ook behandelt in hoofdstuk 3 Machten en wortels. De rekenregels voor wortels zijn nauw verwant met de rekenregels voor machten, omdat je elke wortel immers ook kunt schrijven als een macht met een gebroken (niet gehele) exponent. Verder spelen de rekenregels voor het werken met breuken een rol bij het herleiden van uitdrukkingen met wortels. De waarde van een breuk verandert bijvoorbeeld niet als je teller en noemer met hetzelfde getal (ongelijk nul) vermenigvuldigt, of door hetzelfde getal (ongelijk nul) deelt. Je hebtquote:Op donderdag 15 mei 2014 22:26 schreef Super-B het volgende:
[..]
De methode snap ik. Bij x³-x kom ik uit op √1/3 en -√1/3, maar ik snap niet hoe je het kan schrijven tot 1/3√3 en -1/3√3.
Dat is natuurlijk niet waar. Je moet niet elke curve die een beetje op een parabool lijkt een parabool noemen. Dit is geen kwadratische functie maar een vierdemachts polynoomfunctie en de grafiek kan dan ook geen parabool zijn.quote:Bij x^4 - 2x² maar bij de tekening zie ik de globale minima en het lokale maximum niet... Het is een dalparabool in mijn tekening.
Nee, je kunt toch méér dan één punt hebben in een grafiek met dezelfde laagste functiewaarde?quote:Wanneer is er overigens sprake van een globaal minimum en wanneer van een lokaal minimum? Ik dacht dat er alleen maar 1 globaal minimum in een grafiek mogelijk was (het laagste punt in een grafiek).
Ja, maar wat nu wanneer dat zelfde laagste punt voor twee verschillende waarden van x wordt bereikt? Dan heb je toch twee laagste punten?quote:Voor zover ik weet:
lokaal minimum: één van de laagste punten
globaal minimum: allerlaagste punt in de grafiek
Heb je de grafiek met pen en papier geschetst of door een computerprogramma laten tekenen?quote:Waar ik echt moeite mee heb is:
20.41 a & b en 20.42 e qua opgaven.
Met 20.39 a is het probleem de schrijfwijze, zoals eerder gezegd, en bij 20.39 b is het probleem dat de grafiek niet overeenkomt met het antwoord (althans bij mij..). Het antwoord heb ik overigens wel goed.
Hoe zou je hier de afgeleide ookal weer bepalen met de dy/dx methode?quote:Op donderdag 15 mei 2014 21:57 schreef Riparius het volgende:
[..]
Opgave 20.42a.
f(x) = xex
Afgeleide bepalen (met behulp van de productregel) geeft
f'(x) = 1·ex + x·ex = (x+1)·ex
Nu de nulpunten bepalen van de afgeleide f'(x). Hiervoor moet je je realiseren dat een e-macht nooit nul kan zijn. De afgeleide kan dus alleen nul zijn als de andere factor (x+1) nul is, en dat is het geval als
x = −1
Nu willen we weten of de functie f bij x = −1 een lokaal minimum of een lokaal maximum aanneemt, of wellicht geen van beide. Daarvoor kun je de tweede afgeleide bepalen en dan kijken naar het teken van f''(−1), maar hier is het ook eenvoudig te zien aan f'(x) = (x+1)·ex. De e-macht is immers altijd positief (voor elke reële x), zodat we zien dat f'(x) wisselt van negatief naar positief bij x = −1. En dat betekent dat de functie f een lokaal minimum moet hebben bij x = − 1. De waarde van dit locale minimum is f(−1) = −e−1.
[ afbeelding ]
Hier zie je een grafiekje van zowel f (in rood) als de afgeleide f' (in blauw). Je ziet hier heel mooi dat de curve van f' de x-as snijdt in het punt (−1; 0) en dat f bij x = − 1 inderdaad een minimum aanneemt. We weten (en zien ook in de grafiek) dat het lokale minimum tevens een globaal minimum is, want de functiewaarde f(x) daalt immers voor elke x < −1 en stijgt voor elke x > −1. Je ziet hier trouwens ook dat zowel de grafiek van f als de grafiek van f' een horizontale asymptoot y = 0 heeft. Dat komt, eenvoudig gezegd, omdat ex als we x steeds negatiever laten worden veel sneller naar nul toe gaat dan de absolute waarden van x en (x + 1) toe nemen, zodat de producten van ex met x en (x+1), en daarmee f(x) en f'(x), naar nul toe gaan voor x → − ∞.
Nu zelf maar even opgave 20.42b proberen.
Hoe bedoel je? In de notatie van Leibniz kun je schrijvenquote:Op donderdag 15 mei 2014 23:10 schreef Super-B het volgende:
[..]
Hoe zou je hier de afgeleide ookal weer bepalen met de dy/dx methode?
Jep.. zou je het kunnen simplificeren?quote:Op donderdag 15 mei 2014 23:17 schreef Riparius het volgende:
[..]
Hoe bedoel je? In de notatie van Leibniz kun je schrijven
d(x·ex)/dx = (dx/dx)·ex + x·d(ex)/dx = 1·ex + x·ex = (x+1)·ex
Bedoel je dit?
Heb het met pen en papier geschetst.. Ik ga het eens op Wolfram Alpha proberen.quote:Op donderdag 15 mei 2014 22:51 schreef Riparius het volgende:
[..]
Herleiding van uitdrukkingen met wortels: hiervoor bestaan rekenregels, die Van de Craats ook behandelt in hoofdstuk 3 Machten en wortels. De rekenregels voor wortels zijn nauw verwant met de rekenregels voor machten, omdat je elke wortel immers ook kunt schrijven als een macht met een gebroken (niet gehele) exponent. Verder spelen de rekenregels voor het werken met breuken een rol bij het herleiden van uitdrukkingen met wortels. De waarde van een breuk verandert bijvoorbeeld niet als je teller en noemer met hetzelfde getal (ongelijk nul) vermenigvuldigt, of door hetzelfde getal (ongelijk nul) deelt. Je hebt
[..]
Dat is natuurlijk niet waar. Je moet niet elke curve die een beetje op een parabool lijkt een parabool noemen. Dit is geen kwadratische functie maar een vierdemachts polynoomfunctie en de grafiek kan dan ook geen parabool zijn.
[..]
Nee, je kunt toch méér dan één punt hebben in een grafiek met dezelfde laagste functiewaarde?
[..]
Ja, maar wat nu wanneer dat zelfde laagste punt voor twee verschillende waarden van x wordt bereikt? Dan heb je toch twee laagste punten?
[..]
Heb je de grafiek met pen en papier geschetst of door een computerprogramma laten tekenen?
Dat is de kettingregel.quote:Op donderdag 15 mei 2014 23:52 schreef Super-B het volgende:
[..]
Jep.. zou je het kunnen simplificeren?
Het was iets met dy/dp en dx/dp. Die laatste 2 vermenigvuldigen leverde dan weer dy/dx op.
Waar je een deel gelijk stelde aan een ander variabele ofzo..?
Nu denk je aan de kettingregel in de notatie van Leibniz, maar voor het differentiëren van een product als xex gebruik je de productregel, en niet de kettingregel.quote:Op donderdag 15 mei 2014 23:52 schreef Super-B het volgende:
[..]
Jep.. zou je het kunnen simplificeren?
Het was iets met dy/dp en dp/dx. Die laatste 2 vermenigvuldigen leverde dan weer dy/dx op.
Waar je een deel gelijk stelde aan een ander variabele ofzo..?
Toch gebeurt dat veel, en niet alleen in schoolboeken. Ook Van de Craats heeft het voortdurend over een functie f(x) of over de functie f(x) = x2 als hij een reële functie f van een reële variabele bedoelt resp. een functie f: R → R gedefinieerd door x ↦ x2 oftewel door het functievoorschrift f(x) = x2. Maar het is nogal omslachtig om dat steeds zo op te schrijven en dat verklaart waarom veel auteurs het kortweg hebben over een functie f(x) of de functie f(x) = x2. En dat is ook niet echt bezwaarlijk mits maar duidelijk is - en ook expliciet wordt gemaakt - wat er precies mee wordt bedoeld.quote:Op vrijdag 16 mei 2014 02:15 schreef Novermars het volgende:
Nog meer over notatie: is een functie, is een functie geëvalueerd op het punt , oftewel een getal. Je kan dus nooit spreken over de functie .
Hier heb je een grafiek van de functie f(x) = x4 − 2x2 (in rood) alsmede van de afgeleide functie f'(x) = 4x3 − 4x (in blauw).quote:Op donderdag 15 mei 2014 22:26 schreef Super-B het volgende:
[..]
Bij x^4 - 2x², maar bij de tekening zie ik de globale minima en het lokale maximum niet ... Het is een dalparabool in mijn tekening. Wanneer is er overigens sprake van een globaal minimum en wanneer van een lokaal minimum? Ik dacht dat er alleen maar één globaal minimum in een grafiek mogelijk was (het laagste punt in een grafiek).
[snip]
Met 20.39 a is het probleem de schrijfwijze, zoals eerder gezegd, en bij 20.39 b is het probleem dat de grafiek niet overeenkomt met het antwoord (althans bij mij..). Het antwoord heb ik overigens wel goed.
Wat is het verschil tussen een globale minimum en een lokale minimum en je kunt toch twee globale minimums hebben, mits dezelfde waarde toch? Dus bijv -1 en 1? Maar die - telt dan niet? Want ik zou zeggen dat zowel -1 en 1 verschillen van elkaar als waarde,als je de - meetelt.quote:Op vrijdag 16 mei 2014 07:27 schreef Riparius het volgende:
[..]
Hier heb je een grafiek van de functie f(x) = x4 − 2x2 (in rood) alsmede van de afgeleide functie f'(x) = 4x3 − 4x (in blauw).
[ afbeelding ]
Je ziet dat de grafiek van f geen parabool is en dat f voor twee verschillende waarden van x een globaal minimum bereikt, en dat de functie ook nog een locaal maximum heeft, maar geen globaal maximum.
Kijk je naar de grafiek van de afgeleide functie f', dan zie dat de afgeleide functie drie nulpunten heeft, namelijk −1, 0 en 1. Bij x = −1 passeert de grafiek van f' de x-as en de steilheid van de grafiek van f' in dit punt oftewel f''(−1) is positief. Ga dit na door de tweede afgeleide te bepalen en f''(−1) te berekenen. Aangezien f'(x) bij x = −1 wisselt van negatief naar positief, gaat de grafiek van f hier over van dalend naar stijgend. Dat betekent dus dat f bij x = −1 in ieder geval een lokaal minimum heeft. De waarde van dit lokale minimum is f(−1) = −1.
Kijken we nu naar het nulpunt x = 0 van de afgeleide functie f', dan zien we dat f'(x) bij x = 0 wisselt van positief naar negatief. De steilheid van de grafiek van f' in dit punt oftewel f''(0) is negatief. Ga dit weer na door f''(0) te berekenen. Aangezien f'(x) bij x = 0 wisselt van positief naar negatief, gaat de grafiek van f hier over van stijgend naar dalend. Dat betekent dus dat f bij x = 0 in ieder geval een lokaal maximum heeft en de waarde van dit lokale maximum is f(0) = 0.
In het nulpunt x = 1 van de afgeleide functie, tenslotte, gaat f'(x) weer over van negatief naar positief en de grafiek van f gaat hier dus weer over van dalend naar stijgend, zodat f bij x = 1 in ieder geval een lokaal minimum heeft met de waarde f(1) = −1.
Uit de grafiek zal je duidelijk zijn dat de twee lokale minima van de functie f bij x = −1 en bij x = 1 tegelijk ook het globale minimum zijn van deze functie. De waarde van dit globale minimum is f(−1) = f(1) = −1. Een functie kan slechts één globaal minimum hebben, maar je ziet dat het prima mogelijk is dat dit globale minimum bij meer dan één waarde van x wordt bereikt. De functie f heeft echter geen globaal maximum, dus f heeft inderdaad alleen een lokaal maximum bij x = 0.
De functie f heeft drie nulpunten, namelijk x = −√2, x = 0 en x = √2. Je ziet hier dus ook dat een functie bij eenzelfde waarde van x, hier x = 0, zowel een nulpunt kan hebben als een extreme waarde kan bereiken.
Ja dat is handig. Ten tweede is het meervoud van minimum minima.quote:Op vrijdag 16 mei 2014 12:57 schreef Super-B het volgende:
[..]
Wat is het verschil tussen een globale minimum en een lokale minimum en je kunt toch twee globale minimums hebben, mits dezelfde waarde toch? Dus bijv -1 en 1? Maar die - telt dan niet? Want ik zou zeggen dat zowel -1 en 1 verschillen van elkaar als waarde,als je de - meetelt.
Is het tenslotte handig om op de toets de grafiek te tekenen? Want ik kan het niet direct zien.. of het een minimum, maximum etc is.
Forum Opties | |
---|---|
Forumhop: | |
Hop naar: |