SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Het ligt allemaal nog wat subtieler voor het bewijs van de kettingregel. Je moet namelijk bij de eenvoudige afleiding die ik heb gegeven ook nog aannemen dat ∆u ≠ 0 voor ∆x ≠ 0 in een omgeving van het punt waar je de afgeleide bepaalt. Maar ook als dat niet het geval is in een omgeving van x = a terwijl f wel differentieerbaar is in a en g differentieerbaar is in f(a), dan is g(f(x)) toch differentieerbaar in x = a met als afgeleide g'(f(a))·f'(a) maar dan is het eenvoudige bewijs niet meer geldig. Ik heb dergelijke subtiliteiten gezien de 'doelgroep' nu achterwege gelaten, maar ik heb daar eerder wel eens iets over gezegd.quote:Op dinsdag 13 mei 2014 18:16 schreef thenxero het volgende:
[..]
Natuurlijk. Ik zat in mijn hoofd met delta x. Die neem je normaal >0 en dan neem je de limiet naar 0. Maar oke, zelfs delta x mag je negatief nemen. Als delta x maar niet 0 is.
ohjaquote:
bedoel je met integraaltekens deze brackets die ik vergeten ben: [ functie ] ?quote:Op dinsdag 13 mei 2014 18:17 schreef Riparius het volgende:
[..]
Afgezien van de vergeten integraaltekens is het zo correct. Bedenk ook dat ln 9 = 2·ln 3. Je zou het natuurlijk ook anders kunnen doen, bijvoorbeeld door de integrand om te werken naar een e-macht.
Chairman of taskforce against 'omosexuality in Uganda.
Stel dat je de kettingregel hebt, dz/dx=(dz/dy)*(dy/dx), is dat dan z'(y)*y'(x)? Maar hoe kan je z afleiden naar y?quote:
[..]
En dan wil je differentiëren naar de functie u?
Ik heb het niet begrepen.quote:
[..]
Dit is helemaal geen functie. Voor x ≠ a staat hier in feite m = m, en dat is een tautologie.
[..]
OK. Dat is tenminste een duidelijke vraagstelling.
[..]
Hieruit blijkt dat je niet begrijpt wat je aan het doen bent. In een vergelijking van een (niet verticale) rechte lijn in een cartesisch assenstelsel is x een variabele die alle reële waarden aan kan nemen, er is dus niets te berekenen aan x.
[..]
Nee, dit mag je niet zo opschrijven, en je hebt hier ook nog een typo, want je kwadraat is nu plotseling een derde macht geworden. Je misbruikt hier het =-teken, en dat moet je niet doen. Het =-teken geeft aan dat twee uitdrukkingen of grootheden aan elkaar gelijk zijn, maar de afgeleide van 2x2 − 3 naar x is 4x en dat is niet hetzelfde als 2x2 − 3. Gebruik de notatie van Lagrange, dus
f(x) = 2x2 − 3
f'(x) = 4x
Of de notatie van Leibniz, dus
d(2x2 − 3)/dx = 4x
[..]
Nee, dat wordt het niet. De waarde van f(a) is niet 1 voor a = 1 en de richtingscoëfficiënt m van een rechte lijn is een getal, geen variabele. Bovendien heb je hier helemaal geen vergelijking van een rechte lijn, en die wilde je toch opstellen?
[..]
Er klopt niets van.
Je kunt het beste onthouden dat de cartesische vergelijking van een rechte lijn met richtingscoëfficiënt m door het punt (x0; y0) is te schrijven als
y − y0 = m(x − x0)
Het is heel eenvoudig in te zien waarom dit geldt. Immers, kies naast het punt (x0; y0) op de lijn een willekeurig tweede punt (x; y) op deze lijn, dan kun je de richtingscoëfficiënt van de lijn berekenen door het verschil in verticale positie
Δy = y − y0
tussen deze twee punten te delen door het verschil in horizontale positie
Δx = x − x0
tussen deze twee punten. De richtingscoëfficiënt van de (niet verticale) lijn is dan Δy/Δx. Maar nu is gegeven dat de richtingscoëfficiënt van deze lijn m is, en dus hebben we
Δy/Δx = m
en dus
Δy = m·Δx
en dus
y − y0 = m(x − x0)
Omdat we het tweede punt (x; y) op onze lijn willekeurig hadden gekozen, geldt deze betrekking voor elk punt (x; y) dat op de lijn ligt door het punt (x0; y0) met richtingscoëfficiënt m. Omgekeerd geldt deze betrekking niet voor een willekeurig punt (x; y) dat niet op deze lijn ligt omdat dan Δy/Δx ≠ m. Merk nog op dat bovenstaande vergelijking ook geldt voor het punt (x0; y0) zelf, want als we x = x0 en y = y0 invullen in de vergelijking dan komt er 0 = 0 en ook dat klopt. We hebben hier dus inderdaad een cartesische vergelijking van een lijn met richtingscoëfficiënt m door het punt met coördinaten (x0; y0).
Heb je nu de grafiek van een functie f, dus een curve met vergelijking y = f(x), en wil je de vergelijking opstellen van de raaklijn aan een punt (x0; f(x0)) op deze curve, dan is het voldoende om te bedenken dat de waarde van de afgeleide f'(x) voor x = x0 niets anders is dan de steilheid (richtingscoëfficiënt) van de raaklijn aan de curve in het punt (x0; f(x0)) op de curve. We hebben in bovenstaande vergelijking dus y0 = f(x0) en m = f'(x0) en de vergelijking van de raaklijn aan de curve met vergelijking y = f(x) in het punt (x0; f(x0)) op de curve wordt daarmee
y − f(x0) = f'(x0)·(x − x0)
Hebben we nu de functie f(x) = 2x2 − 3 dan is f(1) = −1 en f'(x) = 4x zodat f'(1) = 4. De vergelijking van de raaklijn aan de curve met vergelijking y = 2x2 − 3 in het punt (1; −1) op de curve wordt dus
y − (−1) = 4(x − 1)
en dit is ook te schrijven als
y + 1 = 4x − 4
en dus als
y = 4x − 5
[ afbeelding ]
beetje te ingewikkeld voor een amateur. 
In mijn boek staat er dat m de richtingscoëfficient is van de raaklijn (afgeleide) en dat er dan geldt:
(f(x) - f(a)) / (x - a) = m(x-a) / (x-a) = m
De vergelijking van een raaklijn is y = f(a) + m(x-a)
Bij f(x) = 2x^2 - 3 met a = 1 is het gelukt. De afgeleide hiervan is 4x en de richtingscoëfficient is dus 4.
Als ik a invul in f(x) krijg ik -1 als resultaat en als ik dan alle gegevens dan weer invul in de y = f(a) + m(x-a)
dan krijg ik y = -1 + 4(x-1)
met als resultaat y = -5 + 4x
met f(x) x^5 - 3x^2 + 3 met a = -1 kom ik niet uit, aangezien de afgeleide van f(x) = 5x^4 - 6x. Wat is dan de richtingsco hiervan om het te kunnen oplossen? Ik dacht -6 maar dan kom ik niet uit...
[ Bericht 7% gewijzigd door Super-B op 13-05-2014 18:56:45 ]
Nee, ik bedoel de integraaltekens bij ∫ 32xdx en bij ∫ 9xdx.quote:
[..]
ohja
[..]
Bedoel je met integraaltekens deze brackets die ik vergeten ben: [ functie ] ?
Nog een tip: FOK ondersteunt ook TeX, je hoeft daarvoor geen externe server te gebruiken. Dat maakt quoten met aanpassingen in je TeX een stuk eenvoudiger.
Dit is echt heel eenvoudige wiskunde. Je wordt ook geacht dit soort dingen te kunnen als je de stof hebt bestudeerd die het boek van Van de Craats behandelt. Het was naar ik veronderstel ook gewoon een opgave uit dat boek.quote:Op dinsdag 13 mei 2014 18:47 schreef Super-B het volgende:
[..]
Ik heb het niet begrepen.
Zie edit.quote:
[..]
Dit is echt heel eenvoudige wiskunde. Je wordt ook geacht dit soort dingen te kunnen als je de stof hebt bestudeerd die het boek van Van de Craats behandelt. Het was naar ik veronderstel ook gewoon een opgave uit dat boek.
Probeer gewoon eens wat uit. Stel je hebtquote:
[..]
Stel dat je de kettingregel hebt, dz/dx=(dz/dy)*(dy/dx), is dat dan z'(y)*y'(x)? Maar hoe kan je z afleiden naar y?
y = 3x+2
en
z = ey
zodat
z = e3x+2
Dan is
dy/dx = 3
en
dz/dy = ey
en dus
dz/dx = (dz/dy) · (dy/dx) = ey·3 = 3·ey = 3·e3x+2
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 14-05-2014 15:52:25 ]
ik zie het, thxquote:
[..]
Nee, ik bedoel de integraaltekens bij ∫ 32xdx en bij ∫ 9xdx.
Nog een tip: FOK ondersteunt ook TeX, je hoeft daarvoor geen externe server te gebruiken. Dat maakt quoten met aanpassingen in je TeX een stuk eenvoudiger.
Chairman of taskforce against 'omosexuality in Uganda.
Ik heb je post eens rustig overnieuw gelezen wat betreft de vergelijking van de raaklijn en het is mij nu helder. Dankje voor je heldere uitleg en tijd voor het typen van de betreffende post.quote:
[..]
Probeer gewoon eens wat uit. Stel je hebt
y = 3x+2
en
z = ey
zodat
z = e3x+4
Dan is
dy/dx = 3
en
dz/dy = ey
en dus
dz/dx = (dz/dy) · (dy/dx) = ey·3 = 3·ey = 3·e3x+4
Methode in mijn vorige post is hetzelfde als jouw methode zie ik, echter herkende ik dat niet toen ik het voor het eerst jouw post las.
Zie voor mijn vraag ook mijn vorige post.
Kun je even de bladzijde geven en het nummer van de opgave in het boek van Van de Craats? Ik heb het idee dat je hem niet helemaal correct citeert. En die tweede opgave in je edit gaat uiteraard op dezelfde manier. Je berekent eerst f(−1) en f'(−1) en dan is de vergelijking van je raaklijnquote:
y = f(−1) + f'(−1)·(x + 1)
https://googledrive.com/h(...)met%20Antwoorden.pdfquote:
[..]
Kun je even de bladzijde geven en het nummer van de opgave in het boek van Van de Craats? Ik heb het idee dat je hem niet helemaal correct citeert. En die tweede opgave in je edit gaat uiteraard op dezelfde manier. Je berekent eerst f(1) en f'(1) en dan is de vergelijking van je raaklijn
y = f(1) + f'(1)·(x − 1)
Het staat op bladzijde 169. De opgaven staan helaas niet op de internetversie.
f' (-1) ? Het is m en dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn ofwel afgeleide van de functie. Dus waarom zou ik a = -1 moeten invullen in de afgeleide?quote:
[..]
Kun je even de bladzijde geven en het nummer van de opgave in het boek van Van de Craats? Ik heb het idee dat je hem niet helemaal correct citeert. En die tweede opgave in je edit gaat uiteraard op dezelfde manier. Je berekent eerst f(−1) en f'(−1) en dan is de vergelijking van je raaklijn
y = f(−1) + f'(−1)·(x + 1)
Ah, kijk, je had in je citaat helemaal niet duidelijk gemaakt dat het om de limiet ging vanquote:
[..]
https://googledrive.com/h(...)met%20Antwoorden.pdf
Het staat op bladzijde 169. De opgaven staan helaas niet op de internetversie.
(f(x) − f(a))/(x − a)
voor x → a. Dit is uiteraard gewoon de definitie voor de afgeleide f'(a) van de functie f in x = a.
De vergelijking voor de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a; f(a)) zoals Van de Craats die geeft is
y = f(a) + f'(a)·(x − a)
Nu heb je
f(x) = x5 − 3x2 + 3
en dus
f'(x) = 5x4 − 6x
en wil je de vergelijking opstellen van de raaklijn aan de grafiek van deze functie in het punt (−1; f(−1)). Bereken nu eerst f(−1) en f'(−1) en dan wordt je vergelijking dus
y = f(−1) + f'(−1)·(x + 1)
Het vetgedrukte begrijp ik niet, met name het gedeelte waarin jij iets zegt over een punt(?). Daarnaast moet het tweede vetgedrukte (f'(-1)) toch gewoon de richtingscoëfficiënt zijn i.p.v. (f'(-1)) ?quote:
[..]
Ah, kijk, je had in je citaat helemaal niet duidelijk gemaakt dat het om de limiet ging van
(f(x) − f(a))/(x − a)
voor x → a. Dit is uiteraard gewoon de definitie voor de afgeleide f'(a) van de functie f in x = a.
De vergelijking voor de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a; f(a)) zoals Van de Craats die geeft is
y = f(a) + f'(a)·(x − a)
Nu heb je
f(x) = x5 − 3x2 + 3
en dus
f'(x) = 5x4 − 6x
en wil je de vergelijking opstellen van de raaklijn aan de grafiek van deze functie in het punt (−1; f(−1)). Bereken nu eerst f(−1) en f'(−1) en dan wordt je vergelijking dus
y = f(−1) + f'(−1)·(x + 1)
Dat heb ik uitvoerig behandeld in de lange post hierboven. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in het punt (−1; f(−1)) is immers niets anders dan de waarde van de afgeleide in dat punt, en die is f'(−1).quote:
[..]
f' (-1) ? Het is m en dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn ofwel afgeleide van de functie. Dus waarom zou ik a = -1 moeten invullen in de afgeleide?
Raaklijn opstellen: je hebt de functie f(x), bereken f'(x). Neem voor x=-1, bijvoorbeeld. Dan is f'(-1)+b=f(-1). Immers, de afgeleide is de richtingscoefficient van een lijn, b is de start 'hoogte'.quote:
[..]
Het vetgedrukte begrijp ik niet, met name het gedeelte waarin jij iets zegt over een punt(?). Daarnaast moet het tweede vetgedrukte (f'(-1)) toch gewoon de richtingscoëfficiënt zijn i.p.v. (f'(-1)) ?
Maak hem nou niet nog meer in de war, hij moet een vergelijking opstellen van een rechte lijn met een gegeven richtingscoëfficiënt m door een gegeven punt (x0; y0) en die vergelijking isquote:
[..]
Raaklijn opstellen: je hebt de functie f(x), bereken f'(x). Neem voor x=-1, bijvoorbeeld. Dan is f'(-1)+b=f(-1). Immers, de afgeleide is de richtingscoefficient van een lijn, b is de start 'hoogte'.
y − y0 = m(x − x0)
Dit is de klassieke vorm van de vergelijking van een rechte lijn met een gegeven richtingscoëfficiënt door een gegeven punt zoals die vroeger bij de analytische meetkunde werd geleerd. In deze vorm is de vergelijking ook verreweg het eenvoudigst te onthouden.
Ja die heb ik ook twee tot driemaal gelezen. Maar daar wordt de richtingscoëfficiënt genomen van 4x, wat dus 4 is en bij het laatste voorbeeld uit mijn post f'(-1), wat dus betekent dat die -1 een vervangende waarde is voor de x term.. echter is de richtingscoëfficiënt het getal voor de x.quote:
[..]
Dat heb ik uitvoerig behandeld in de lange post hierboven. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in het punt (−1; f(−1)) is immers niets anders dan de waarde van de afgeleide in dat punt, en die is f'(−1).
Dat is het enige wat mij onduidelijk is.
Na het lezen van Netchip raakte ik al bijna in de war, maar ik heb het direct vergeten wat hij schreef om verwarring te voorkomen.quote:
[..]
Maak hem nou niet nog meer in de war, hij moet een vergelijking opstellen van een rechte lijn met een gegeven richtingscoëfficiënt m door een gegeven punt (x0; y0) en die vergelijking is
y − y0 = m(x − x0)
Dit is de klassieke vorm van de vergelijking van een rechte lijn met een gegeven richtingscoëfficiënt door een gegeven punt zoals die vroeger bij de analytische meetkunde werd geleerd. In deze vorm is de vergelijking ook verreweg het eenvoudigst te onthouden.
Toch bedankt Netchip voor je uitleg!
Meh, never mind.quote:
[..]
Na het lezen van Netchip raakte ik al bijna in de war, maar ik heb het direct vergeten wat hij schreef om verwarring te voorkomen.
Toch bedankt Netchip voor je uitleg!
Ik denk dat je nog veel meer onduidelijk is. Laten we eens even terugkeren naar je eerste voorbeeld. Daar hadden we de functiequote:
[..]
Ja die heb ik ook twee tot driemaal gelezen. Maar daar wordt de richtingscoëfficiënt genomen van 4x, wat dus 4 is en bij het laatste voorbeeld uit mijn post f'(-1), wat dus betekent dat die -1 een vervangende waarde is voor de x term.. echter is de richtingscoëfficiënt het getal voor de x.
Dat is het enige wat mij onduidelijk is.
f(x) = 2x2 − 3
en de afgeleide functie van deze functie is
f'(x) = 4x
Maar: wat zegt die afgeleide functie f'(x) nu precies over de oorspronkelijke functie f(x), kun je dat eens onder woorden brengen? En kun je dan met name ook aangeven wat die afgeleide functie nu meetkundig eigenlijk betekent?
De afgeleide functie wilt zeggen in hoeverre de grafiek steil is op een bepaald punt.quote:
[..]
Ik denk dat je nog veel meer onduidelijk is. Laten we eens even terugkeren naar je eerste voorbeeld. Daar hadden we de functie
f(x) = 2x2 − 3
en de afgeleide functie van deze functie is
f'(x) = 4x
Maar: wat zegt die afgeleide functie f'(x) nu precies over de oorspronkelijke functie f(x), kun je dat eens onder woorden brengen? En kun je dan met name ook aangeven wat die afgeleide functie nu meetkundig eigenlijk betekent?
Daar komt het inderdaad wel op neer. De afgeleide functie geeft de steilheid van de grafiek van de oorspronkelijke functie voor elke waarde van x. Maar zie je nu ook in dat als je de richtingscoëfficiënt van een raaklijn in bijvoorbeeld het punt (−1; f(−1)) op de grafiek van de oorspronkelijke functie wil bepalen, dat je dan de waarde van f'(x) voor x = −1 oftewel f'(−1) moet berekenen?quote:
[..]
De afgeleide functie wil zeggen in hoeverre de grafiek steil is op een bepaald punt.
Waarom komt mijn antwoordenboekje bij u= 3sin ((2pi/33.33)t) op 3 sin(0,06pi*t) terwijl 2pi/33.33 volgens mijn rekenmachine 0,19 is?
Je moet de pi laten staan, dus alleen 2/33.33 doenquote:
Waarom komt mijn antwoordenboekje bij u= 3sin ((2pi/33.33)t) op 3 sin(0,06pi*t) terwijl 2pi/33.33 volgens mijn rekenmachine 0,19 is?
Dat niet alleen, 33,33 is niet hetzelfde als 100/3.quote:
[..]
Je moet de pi laten staan, dus alleen 2/33.33 doen
Waar ik jn de war raak is dat als ik x = -1 invul ik dan een y waarde uitkrijg (althans dat is bij standaard functies). En bij functies als ax + b dan is a de richtingsco en wat x of y dan wordt het variabele a blijft de richtingsco (net als die 4x waarvan de richtingsco 4 is). Hierdoor raak ik in de war qua gedachte.quote:
[..]
Daar komt het inderdaad wel op neer. De afgeleide functie geeft de steilheid van de grafiek van de oorspronkelijke functie voor elke waarde van x. Maar zie je nu ook in dat als je de richtingscoëfficiënt van een raaklijn in bijvoorbeeld het punt (−1; f(−1)) op de grafiek van de oorspronkelijke functie wil bepalen, dat je dan de waarde van f'(x) voor x = −1 oftewel f'(−1) moet berekenen?
Als je een functie f hebt, dan is de grafiek van die functie een curve met als vergelijking y = f(x). Dat geldt net zo goed voor een afgeleide functie f', maar je werkt niet met de grafiek van f' als je een raaklijn aan de grafiek van f wil bepalen. De afgeleide functie f' heeft echter wel degelijk een waarde voor elke waarde van de variabele x waarvoor deze is gedefinieerd. Maar deze waarde moet je natuurlijk niet gaan aangeven met y als je diezelfde letter y al gebruikt voor f(x). En als je bezig bent met het opstellen van een vergelijking van een raaklijn, dan stellen x en y in die vergelijking de x resp. y coördinaat voor van een punt op die raaklijn en niet de coördinaten van een punt op de grafiek van de functie.quote:
[..]
Waar ik jn de war raak is dat als ik x = -1 invul ik dan een y waarde uitkrijg (althans dat is bij standaard functies). En bij functies als ax + b dan is a de richtingsco en wat x of y dan wordt het variabele a blijft de richtingsco (net als die 4x waarvan de richtingsco 4 is). Hierdoor raak ik in de war qua gedachte.
Als je nu gewoon f(−1) schrijft voor de waarde van f(x) voor x = −1 en f'(−1) voor de waarde van f'(x) voor x = −1, dan kun je toch niet in de war raken?
Blijkbaar wel. Misschien omdat ik op dit moment enorm moe ben. Het zit hem dat ik steeds gewend ben om een "a" te zoeken in de functie, aangezien ik gewend ben dat de richtingsco altijd een "a " variabele is.quote:
[..]
Als je een functie f hebt, dan is de grafiek van die functie een curve met als vergelijking y = f(x). Dat geldt net zo goed voor een afgeleide functie f', maar je werkt niet met de grafiek van f' als je een raaklijn aan de grafiek van f wil bepalen. De afgeleide functie f' heeft echter wel degelijk een waarde voor elke waarde van de variabele x waarvoor deze is gedefinieerd. Maar deze waarde moet je natuurlijk niet gaan aangeven met y als je diezelfde letter y al gebruikt voor f(x). En als je bezig bent met het opstellen van een vergelijking van een raaklijn, dan stellen x en y in die vergelijking de x resp. y coördinaat voor van een punt op die raaklijn en niet de coördinaten van een punt op de grafiek van de functie.
Als je nu gewoon f(−1) schrijft voor de waarde van f(x) voor x = −1 en f'(−1) voor de waarde van f'(x) voor x = −1, dan kun je toch niet in de war raken?
F(-1) is toch dat de functie uiteindelijk -1 moet opleveren of is dat dat de x waarde -1 wordt?
f(−1) is de waarde van f(x) voor x = −1.quote:
[..]
Blijkbaar wel. Misschien omdat ik op dit moment enorm moe ben. Het zit hem dat ik steeds gewend ben om een "a" te zoeken in de functie, aangezien ik gewend ben dat de richtingsco altijd een "a " variabele is.
F(-1) is toch dat de functie uiteindelijk -1 moet opleveren of is dat dat de x waarde -1 wordt?
Voorbeeld:
f(x) = x5 − 3x2 + 3
Invullen van x = −1 geeft nu
f(−1) = (−1)5 − 3·(−1)2 + 3 = −1 − 3 + 3 = −1
De afgeleide functie van deze functie is
f'(x) = 5x4 − 6x
En weer x = − 1 invullen geeft nu
f'(−1) = 5·(−1)4 − 6·(−1) = 5 + 6 = 11
De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (−1; f(−1)) is nu
y = f(−1) + f'(−1)·(x − (−1))
Nu nog f(−1) = −1 en f'(−1) = 11 invullen en we krijgen
y = −1 + 11(x + 1)
oftewel
y = 11x + 10
Zie je hoe eenvoudig dit is?
Jep.. methode is mij helemaal helder. Dank daarvoor.quote:
[..]
f(−1) is de waarde van f(x) voor x = −1.
Voorbeeld:
f(x) = x5 − 3x2 + 3
Invullen van x = −1 geeft nu
f(−1) = (−1)5 − 3·(−1)2 + 3 = −1 − 3 + 3 = −1
De afgeleide functie van deze functie is
f'(x) = 5x4 − 6x
En weer x = − 1 invullen geeft nu
f'(−1) = 5·(−1)4 − 6·(−1) = 5 + 6 = 11
De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (−1; f(−1)) is nu
y = f(−1) + f'(−1)·(x − (−1))
Nu nog f(−1) = −1 en f'(−1) = 11 invullen en we krijgen
y = −1 + 11(x + 1)
oftewel
y = 11x + 10
Zie je hoe eenvoudig dit is?
ik wil alleen de gedachte ervan compleet begrijpen. Want ik zelf zou in eerste instantie denken om die -6 te pakken (richtingsco). Want m is toch de richtingsco van de raaklijn.. vandaar.
Welke −6 bedoel je precies?quote:
[..]
Jep.. methode is mij helemaal helder. Dank daarvoor.
Van f'(x) = 5x4 − 6x
En dan is die -6 dan de richtingsco vd raaklijn en dus m bij:
Y = f(a) + m(x-a)
En dan is die -6 dan de richtingsco vd raaklijn en dus m bij:
Y = f(a) + m(x-a)
quote:
Nee, nu ben je heel raar bezig. Ik heb je hierboven gevraagd wat de betekenis van de afgeleide functie was en toen zei je min of meer correct dat de afgeleide functie de steilheid geeft van de grafiek van de oorspronkelijke functie voor elke waarde van x. Als we dus de steilheid in het punt (−1; −1) op de grafiek van f willen berekenen, dan moeten we f'(−1) berekenen. En je zag net dat f'(−1) = 11, en niet −6.quote:
Van f'(x) = 5x4 − 6x
En dan is die -6 dan de richtingsco vd raaklijn en dus m bij:
Y = f(a) + m(x-a)
[..]
De rode curve geeft de grafiek van de functie f en de blauwe lijn is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (−1; −1) dat ik hier met een zwarte stip heb aangegeven. Je ziet dat de grafiek van de functie in dit punt steil omhoog verloopt, en zeker niet omlaag. Als je goed kijkt zie je dat de raaklijn ook door het punt (0; 10) gaat, de richtingscoëfficiënt van de raaklijn, en dus ook de steilheid van de curve in het punt (−1; −1), is dus inderdaad 11.
[ Bericht 6% gewijzigd door Riparius op 13-05-2014 21:32:25 ]
Aha het wordt nu steeds duidelijker. Hoe zie je direct aan de grafiek dat de steilheid van de curve 11 is? De punten zie ik inderdaad.quote:
[..]
Nee, nu ben je heel raar bezig. Ik heb je hierboven gevraagd wat de betekenis van de afgeleide functie was en toen zei je min of meer correct dat de afgeleide functie de steilheid geeft van de grafiek van de oorspronkelijke functie voor elke waarde van x. Als we dus de steilheid in het punt (−1; −1) op de grafiek van f willen berekenen, dan moeten we f'(−1) berekenen. En je zag net dat f'(−1) = 11, en niet −6.
[ afbeelding ]
De rode curve geeft de grafiek van de functie f en de blauwe lijn is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (−1; −1) dat ik hier met een zwarte stip heb aangegeven. Je ziet dat de grafiek van de functie in dit punt steil omhoog verloopt, en zeker niet omlaag. Als je goed kijkt zie je dat de raaklijn ook door het punt (0; 10) gaat, de richtingscoëfficiënt van de raaklijn, en dus ook de steilheid van de curve in het punt (−1; −1), is dus inderdaad 11.
Nee maar ik raakte in de war van het boek grotendeels waarin stond "m is de richtingsco van de raaklijn" waardoor ik dus met die a raar begon te denken.
Zoals jij zegt moet ik gewoon kijken naar de steilhekd van de grafiek en dat is dan dat punt met het limiet -> 0 en dan heb je als het ware de richtingsco van de afgeleide.
Ik zit je posts nu even opnieuw stap voor stap door te nemen en bij de afgeleide moet ik het punt gewoon invullen om zodoende achter de steilheid/richtingsco van de raaklijn te komen.
Dat is dus op een andere manier dan de richtingsco te berekenen van een standaardfunctie als x^2 + 2x + 5
[ Bericht 7% gewijzigd door Super-B op 13-05-2014 22:14:16 ]
Wel, het raakpunt (zwarte stip) heeft de coördinaten (−1; −1) en de blauwe raaklijn gaat ook door het punt (0; 10). Dus, als we nu langs de blauwe raaklijn van het punt (−1; −1) naar het punt (0; 10) gaan, dan gaan we één eenheid naar rechts maar 11 eenheden omhoog. De steilheid oftewel de richtingscoëfficiënt van de blauwe rechte lijn is de verhouding van de verticale afstand tussen deze twee punten tot de horizontale afstand tussen deze twee punten, en die is 11 : 1 = 11.quote:
[..]
Aha het wordt nu steeds duidelijker. Hoe zie je direct aan de grafiek dat de steilheid van de curve 11 is? De punten zie ik inderdaad.
Vergelijk dit maar met een hellingspercentage van een weg in het buitenland. Als daar een bordje langs de weg staat dat aangeeft dat de helling 10% bedraagt, dan betekent dat, wanneer je de weg van opzij bekijkt, dat de weg 1 meter omhoog gaat voor elke 10 meter horizontale verplaatsing, en bijvoorbeeld 10 meter omhoog voor elke 100 meter horizontale verplaatsing. De richtingscoëfficiënt van die weg is dan 1 : 10 = 0,1 en dat geeft men dan aan als een percentage, dus 10%.
Je moet je niet teveel vastbijten in die letters, die kunnen namelijk in verschillende conteksten heel verschillende betekenissen hebben. Het is wel gebruikelijk om de richtingscoëfficiënt van een rechte lijn aan te geven met de letter m, en als je een lineaire functie f(x) = ax + b hebt, dan is de grafiek daarvan een rechte lijn met richtingscoëfficiënt a. Maar dat heeft niets te maken met de a in de vergelijking y = f(a) + f'(a)·(x − a) die Van de Craats geeft voor de raaklijn aan de grafiek van de functie f in het punt (a; f(a)). Hier stelt de a gewoon een vast getal voor, namelijk de x-coördinaat van het raakpunt.quote:Nee maar ik raakte in de war van het boek grotendeels waarin stond "m is de richtingsco van de raaklijn" waardoor ik dus met die a raar begon te denken.
Niet de richtingscoëfficiënt van de afgeleide, de waarde van de afgeleide functie f'(x) voor een gegeven x is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de oorspronkelijke functie voor die gegeven x, en daarmee dus ook de steilheid van de grafiek van de functie voor die waarde van x.quote:Zoals jij zegt moet ik gewoon kijken naar de steilheid van de grafiek en dat is dan dat punt met het limiet -> 0 en dan heb je als het ware de richtingsco van de afgeleide.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 13-05-2014 22:38:46 ]
Stel dat je hebt y=2x2 dan is dy/dx=4x. Is de richtingscoefficient van de grafiek op x=4 dan ook 16? En op x=2, richtingscoefficient=8?
Jazeker, zo werkt het.quote:
Stel dat je hebt y=2x2 dan is dy/dx=4x. Is de richtingscoefficient van de grafiek op x=4 dan ook 16? En op x=2, richtingscoefficient=8?
Ik denk dat ik de Leibniz notatie en de essentie van differentieren begin te snapenquote:
Morgen maar wat oefeningen maken On a side note, heeft iemand enig idee waarom wiskunde op de middelbare school een impopulair vak is? Niemand doet er wat voor, en als jij er wel wat voor doet/het leuk vindt, word je scheef aangekeken
Je bent een topperd. Ik snap het helemaal. Dankje!quote:
[..]
Wel, het raakpunt (zwarte stip) heeft de coördinaten (−1; −1) en de blauwe raaklijn gaat ook door het punt (0; 10). Dus, als we nu langs de blauwe raaklijn van het punt (−1; −1) naar het punt (0; 10) gaan, dan gaan we één eenheid naar rechts maar 11 eenheden omhoog. De steilheid oftewel de richtingscoëfficiënt van de blauwe rechte lijn is de verhouding van de verticale afstand tussen deze twee punten tot de horizontale afstand tussen deze twee punten, en die is 11 : 1 = 11.
Vergelijk dit maar met een hellingspercentage van een weg in het buitenland. Als daar een bordje langs de weg staat dat aangeeft dat de helling 10% bedraagt, dan betekent dat, wanneer je de weg van opzij bekijkt, dat de weg 1 meter omhoog gaat voor elke 10 meter horizontale verplaatsing, en bijvoorbeeld 10 meter omhoog voor elke 100 meter horizontale verplaatsing. De richtingscoëfficiënt van die weg is dan 1 : 10 = 0,1 en dat geeft men dan aan als een percentage, dus 10%.
[..]
Je moet je niet teveel vastbijten in die letters, die kunnen namelijk in verschillende conteksten heel verschillende betekenissen hebben. Het is wel gebruikelijk om de richtingscoëfficiënt van een rechte lijn aan te geven met de letter m, en als je een lineaire functie f(x) = ax + b hebt, dan is de grafiek daarvan een rechte lijn met richtingscoëfficiënt a. Maar dat heeft niets te maken met de a in de vergelijking y = f(a) + f'(a)·(x − a) die Van de Craats geeft voor de raaklijn aan de grafiek van de functie f in het punt (a; f(a)). Hier stelt de a gewoon een vast getal voor, namelijk de x-coördinaat van het raakpunt.
[..]
Niet de richtingscoëfficiënt van de afgeleide, de waarde van de afgeleide functie f'(x) voor een gegeven x is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de oorspronkelijke functie voor die gegeven x, en daarmee dus ook de steilheid van de grafiek van de functie voor die waarde van x.
Er zijn nog een aantal bladzijden die ik moet leren en dan hoef ik alleen nog alles te herhalen en dan ben ik wel klaargestomd voor de toets voor maandag.
Waarom heb je hier trouwens op het eind e3x+4? Moet dat geen +2 zijn?quote:
[..]
Probeer gewoon eens wat uit. Stel je hebt
y = 3x+2
en
z = ey
zodat
z = e3x+4
Dan is
dy/dx = 3
en
dz/dy = ey
en dus
dz/dx = (dz/dy) · (dy/dx) = ey·3 = 3·ey = 3·e3x+4
Inderdaad, you got me. Ik zie dat ik daarboven ook al z = e3x+4 schrijf, dat moet uiteraard z = e3x+2 zijn omdat ik (zomaar uit de losse pols) was begonnen met y = 3x + 2. Ik zal het even corrigeren in mijn post. Maar goed, ik hoop dat het principe (en de notatie van Leibniz van de afgeleide als een differentiaalquotiënt) je nu wel wat duidelijker zijn geworden.quote:
[..]
Waarom heb je hier trouwens op het eind e3x+4? Moet dat geen +2 zijn?
Dat is het zekerquote:
[..]
Inderdaad, you got me. Ik zie dat ik daarboven ook al z = e3x+4 schrijf, dat moet uiteraard z = e3x+2 zijn omdat ik (zomaar uit de losse pols) was begonnen met y = 3x + 2. Ik zal het even corrigeren in mijn post. Maar goed, ik hoop dat het principe (en de notatie van Leibniz van de afgeleide als een differentiaalquotiënt) je nu wel wat duidelijker zijn geworden.
Even Googlen naar oefeningen, en dan kijken of ik het helemaal begrijp Ik merk wel dat ik vaak probeer om bijvoorbeeld een notatie dy/du in te beelden op een Cartesisch assenstelsel, wat ik waarschijnlijk beter niet kan doen.
Je kunt de kettingregel wel visualiseren als je drie horizontale getallenlijnen boven elkaar plaatst, van beneden naar boven een x-lijn, een u-lijn en een y-lijn. Dan kun je de eerste functie f: x → u opvatten als een afbeelding van (een deel van) de x-lijn op (een deel van) de u-lijn en de tweede functie g: u → y als een afbeelding van (een deel van) de u-lijn op (een deel van) de y-lijn. Samen vormen deze dan een afbeelding van (een deel van) de x-lijn op (een deel van) de y-lijn. De afgeleiden du/dx en dy/du in een gegeven punt zijn dan een locale schaalfactor voor de afbeeldingen f en g, en het product dy/du · du/dx is dan niets anders dan de locale schaalfactor dy/dx van de samengestelde afbeelding van een deel van de x-lijn op (een deel van de) y-lijn in dat punt. Zie je?quote:
[..]
Dat is het zeker
Stel ik heb, h(x) = (x2-11x+28)(√x), dan kan je dat herschrijven als h(x) = a(x) * b(x), toch?quote:
[..]
Inderdaad, you got me. Ik zie dat ik daarboven ook al z = e3x+4 schrijf, dat moet uiteraard z = e3x+2 zijn omdat ik (zomaar uit de losse pols) was begonnen met y = 3x + 2. Ik zal het even corrigeren in mijn post. Maar goed, ik hoop dat het principe (en de notatie van Leibniz van de afgeleide als een differentiaalquotiënt) je nu wel wat duidelijker zijn geworden.
da/dx = 2x-11
db/dx = 0.5x-0.5
dh/dx = b(x)*da/dx + a(x)*db/dx toch?
[ Bericht 0% gewijzigd door netchip op 14-05-2014 16:14:26 (functies vergeten) ]
Ja. Dat is de productregel. Maar ik zou de haakjesnotatie (Lagrange) en de differentiaalnotatie (Leibniz) hier niet gaan mengen. En omdat een (eerste) functie vaak met de letter f wordt aangegeven, is het wel gebruikelijk om een tweede functie dan met de letter g aan te geven (en een eventuele derde met de letter h). Dan kun je dus schrijvenquote:
[..]
Stel ik heb, h(x) = (x2-11x+28)(√x), dan kan je dat herschrijven als h(x) = a(x) * b(x), toch?
da/dx = 2x-11
db/dx = 0.5x-0.5
dh/dx = b(x)*da/dx + a(x)*db/dx toch?
h(x) = f(x)·g(x)
h'(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
of, compacter en symbolisch
(fg)' = f'g + fg'
Verder liever geen decimale breuken gebruiken hier, dus ½x−½ schrijven.
Ik ga volgende week Wiskunde B VWO afleggen, en heb een vraag over het examen van 2013 TV1, vraag 19 (laatste vraag) met betrekking tot meetkundige plaatsen.
Het correctievoorschrift geeft als antwoord dat het punt N 4+2 = 6 cm van punt M vandaan moet liggen. Waarom is dit 6 cm en geen 4 cm?
Alvast weer bedankt voor de input!
Edit: verkeerde examens gelinked, geef me even een momentje om het op te lossen @ 16:27!
[ Bericht 6% gewijzigd door Maarten9191 op 14-05-2014 16:29:09 (Goede examens zijn gelinked) ]
Het correctievoorschrift geeft als antwoord dat het punt N 4+2 = 6 cm van punt M vandaan moet liggen. Waarom is dit 6 cm en geen 4 cm?
Alvast weer bedankt voor de input!
Edit: verkeerde examens gelinked, geef me even een momentje om het op te lossen @ 16:27!
[ Bericht 6% gewijzigd door Maarten9191 op 14-05-2014 16:29:09 (Goede examens zijn gelinked) ]
