SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Het ligt allemaal nog wat subtieler voor het bewijs van de kettingregel. Je moet namelijk bij de eenvoudige afleiding die ik heb gegeven ook nog aannemen dat ∆u ≠ 0 voor ∆x ≠ 0 in een omgeving van het punt waar je de afgeleide bepaalt. Maar ook als dat niet het geval is in een omgeving van x = a terwijl f wel differentieerbaar is in a en g differentieerbaar is in f(a), dan is g(f(x)) toch differentieerbaar in x = a met als afgeleide g'(f(a))·f'(a) maar dan is het eenvoudige bewijs niet meer geldig. Ik heb dergelijke subtiliteiten gezien de 'doelgroep' nu achterwege gelaten, maar ik heb daar eerder wel eens iets over gezegd.quote:Op dinsdag 13 mei 2014 18:16 schreef thenxero het volgende:
[..]
Natuurlijk. Ik zat in mijn hoofd met delta x. Die neem je normaal >0 en dan neem je de limiet naar 0. Maar oke, zelfs delta x mag je negatief nemen. Als delta x maar niet 0 is.
ohjaquote:
bedoel je met integraaltekens deze brackets die ik vergeten ben: [ functie ] ?quote:Op dinsdag 13 mei 2014 18:17 schreef Riparius het volgende:
[..]
Afgezien van de vergeten integraaltekens is het zo correct. Bedenk ook dat ln 9 = 2·ln 3. Je zou het natuurlijk ook anders kunnen doen, bijvoorbeeld door de integrand om te werken naar een e-macht.
Chairman of taskforce against 'omosexuality in Uganda.
Stel dat je de kettingregel hebt, dz/dx=(dz/dy)*(dy/dx), is dat dan z'(y)*y'(x)? Maar hoe kan je z afleiden naar y?quote:
[..]
En dan wil je differentiëren naar de functie u?
Ik heb het niet begrepen.quote:
[..]
Dit is helemaal geen functie. Voor x ≠ a staat hier in feite m = m, en dat is een tautologie.
[..]
OK. Dat is tenminste een duidelijke vraagstelling.
[..]
Hieruit blijkt dat je niet begrijpt wat je aan het doen bent. In een vergelijking van een (niet verticale) rechte lijn in een cartesisch assenstelsel is x een variabele die alle reële waarden aan kan nemen, er is dus niets te berekenen aan x.
[..]
Nee, dit mag je niet zo opschrijven, en je hebt hier ook nog een typo, want je kwadraat is nu plotseling een derde macht geworden. Je misbruikt hier het =-teken, en dat moet je niet doen. Het =-teken geeft aan dat twee uitdrukkingen of grootheden aan elkaar gelijk zijn, maar de afgeleide van 2x2 − 3 naar x is 4x en dat is niet hetzelfde als 2x2 − 3. Gebruik de notatie van Lagrange, dus
f(x) = 2x2 − 3
f'(x) = 4x
Of de notatie van Leibniz, dus
d(2x2 − 3)/dx = 4x
[..]
Nee, dat wordt het niet. De waarde van f(a) is niet 1 voor a = 1 en de richtingscoëfficiënt m van een rechte lijn is een getal, geen variabele. Bovendien heb je hier helemaal geen vergelijking van een rechte lijn, en die wilde je toch opstellen?
[..]
Er klopt niets van.
Je kunt het beste onthouden dat de cartesische vergelijking van een rechte lijn met richtingscoëfficiënt m door het punt (x0; y0) is te schrijven als
y − y0 = m(x − x0)
Het is heel eenvoudig in te zien waarom dit geldt. Immers, kies naast het punt (x0; y0) op de lijn een willekeurig tweede punt (x; y) op deze lijn, dan kun je de richtingscoëfficiënt van de lijn berekenen door het verschil in verticale positie
Δy = y − y0
tussen deze twee punten te delen door het verschil in horizontale positie
Δx = x − x0
tussen deze twee punten. De richtingscoëfficiënt van de (niet verticale) lijn is dan Δy/Δx. Maar nu is gegeven dat de richtingscoëfficiënt van deze lijn m is, en dus hebben we
Δy/Δx = m
en dus
Δy = m·Δx
en dus
y − y0 = m(x − x0)
Omdat we het tweede punt (x; y) op onze lijn willekeurig hadden gekozen, geldt deze betrekking voor elk punt (x; y) dat op de lijn ligt door het punt (x0; y0) met richtingscoëfficiënt m. Omgekeerd geldt deze betrekking niet voor een willekeurig punt (x; y) dat niet op deze lijn ligt omdat dan Δy/Δx ≠ m. Merk nog op dat bovenstaande vergelijking ook geldt voor het punt (x0; y0) zelf, want als we x = x0 en y = y0 invullen in de vergelijking dan komt er 0 = 0 en ook dat klopt. We hebben hier dus inderdaad een cartesische vergelijking van een lijn met richtingscoëfficiënt m door het punt met coördinaten (x0; y0).
Heb je nu de grafiek van een functie f, dus een curve met vergelijking y = f(x), en wil je de vergelijking opstellen van de raaklijn aan een punt (x0; f(x0)) op deze curve, dan is het voldoende om te bedenken dat de waarde van de afgeleide f'(x) voor x = x0 niets anders is dan de steilheid (richtingscoëfficiënt) van de raaklijn aan de curve in het punt (x0; f(x0)) op de curve. We hebben in bovenstaande vergelijking dus y0 = f(x0) en m = f'(x0) en de vergelijking van de raaklijn aan de curve met vergelijking y = f(x) in het punt (x0; f(x0)) op de curve wordt daarmee
y − f(x0) = f'(x0)·(x − x0)
Hebben we nu de functie f(x) = 2x2 − 3 dan is f(1) = −1 en f'(x) = 4x zodat f'(1) = 4. De vergelijking van de raaklijn aan de curve met vergelijking y = 2x2 − 3 in het punt (1; −1) op de curve wordt dus
y − (−1) = 4(x − 1)
en dit is ook te schrijven als
y + 1 = 4x − 4
en dus als
y = 4x − 5
[ afbeelding ]
beetje te ingewikkeld voor een amateur. 
In mijn boek staat er dat m de richtingscoëfficient is van de raaklijn (afgeleide) en dat er dan geldt:
(f(x) - f(a)) / (x - a) = m(x-a) / (x-a) = m
De vergelijking van een raaklijn is y = f(a) + m(x-a)
Bij f(x) = 2x^2 - 3 met a = 1 is het gelukt. De afgeleide hiervan is 4x en de richtingscoëfficient is dus 4.
Als ik a invul in f(x) krijg ik -1 als resultaat en als ik dan alle gegevens dan weer invul in de y = f(a) + m(x-a)
dan krijg ik y = -1 + 4(x-1)
met als resultaat y = -5 + 4x
met f(x) x^5 - 3x^2 + 3 met a = -1 kom ik niet uit, aangezien de afgeleide van f(x) = 5x^4 - 6x. Wat is dan de richtingsco hiervan om het te kunnen oplossen? Ik dacht -6 maar dan kom ik niet uit...
[ Bericht 7% gewijzigd door Super-B op 13-05-2014 18:56:45 ]
Nee, ik bedoel de integraaltekens bij ∫ 32xdx en bij ∫ 9xdx.quote:
[..]
ohja
[..]
Bedoel je met integraaltekens deze brackets die ik vergeten ben: [ functie ] ?
Nog een tip: FOK ondersteunt ook TeX, je hoeft daarvoor geen externe server te gebruiken. Dat maakt quoten met aanpassingen in je TeX een stuk eenvoudiger.
Dit is echt heel eenvoudige wiskunde. Je wordt ook geacht dit soort dingen te kunnen als je de stof hebt bestudeerd die het boek van Van de Craats behandelt. Het was naar ik veronderstel ook gewoon een opgave uit dat boek.quote:Op dinsdag 13 mei 2014 18:47 schreef Super-B het volgende:
[..]
Ik heb het niet begrepen.
Zie edit.quote:
[..]
Dit is echt heel eenvoudige wiskunde. Je wordt ook geacht dit soort dingen te kunnen als je de stof hebt bestudeerd die het boek van Van de Craats behandelt. Het was naar ik veronderstel ook gewoon een opgave uit dat boek.
Probeer gewoon eens wat uit. Stel je hebtquote:
[..]
Stel dat je de kettingregel hebt, dz/dx=(dz/dy)*(dy/dx), is dat dan z'(y)*y'(x)? Maar hoe kan je z afleiden naar y?
y = 3x+2
en
z = ey
zodat
z = e3x+2
Dan is
dy/dx = 3
en
dz/dy = ey
en dus
dz/dx = (dz/dy) · (dy/dx) = ey·3 = 3·ey = 3·e3x+2
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 14-05-2014 15:52:25 ]
ik zie het, thxquote:
[..]
Nee, ik bedoel de integraaltekens bij ∫ 32xdx en bij ∫ 9xdx.
Nog een tip: FOK ondersteunt ook TeX, je hoeft daarvoor geen externe server te gebruiken. Dat maakt quoten met aanpassingen in je TeX een stuk eenvoudiger.
Chairman of taskforce against 'omosexuality in Uganda.
Ik heb je post eens rustig overnieuw gelezen wat betreft de vergelijking van de raaklijn en het is mij nu helder. Dankje voor je heldere uitleg en tijd voor het typen van de betreffende post.quote:
[..]
Probeer gewoon eens wat uit. Stel je hebt
y = 3x+2
en
z = ey
zodat
z = e3x+4
Dan is
dy/dx = 3
en
dz/dy = ey
en dus
dz/dx = (dz/dy) · (dy/dx) = ey·3 = 3·ey = 3·e3x+4
Methode in mijn vorige post is hetzelfde als jouw methode zie ik, echter herkende ik dat niet toen ik het voor het eerst jouw post las.
Zie voor mijn vraag ook mijn vorige post.
Kun je even de bladzijde geven en het nummer van de opgave in het boek van Van de Craats? Ik heb het idee dat je hem niet helemaal correct citeert. En die tweede opgave in je edit gaat uiteraard op dezelfde manier. Je berekent eerst f(−1) en f'(−1) en dan is de vergelijking van je raaklijnquote:
y = f(−1) + f'(−1)·(x + 1)
https://googledrive.com/h(...)met%20Antwoorden.pdfquote:
[..]
Kun je even de bladzijde geven en het nummer van de opgave in het boek van Van de Craats? Ik heb het idee dat je hem niet helemaal correct citeert. En die tweede opgave in je edit gaat uiteraard op dezelfde manier. Je berekent eerst f(1) en f'(1) en dan is de vergelijking van je raaklijn
y = f(1) + f'(1)·(x − 1)
Het staat op bladzijde 169. De opgaven staan helaas niet op de internetversie.
f' (-1) ? Het is m en dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn ofwel afgeleide van de functie. Dus waarom zou ik a = -1 moeten invullen in de afgeleide?quote:
[..]
Kun je even de bladzijde geven en het nummer van de opgave in het boek van Van de Craats? Ik heb het idee dat je hem niet helemaal correct citeert. En die tweede opgave in je edit gaat uiteraard op dezelfde manier. Je berekent eerst f(−1) en f'(−1) en dan is de vergelijking van je raaklijn
y = f(−1) + f'(−1)·(x + 1)
Ah, kijk, je had in je citaat helemaal niet duidelijk gemaakt dat het om de limiet ging vanquote:
[..]
https://googledrive.com/h(...)met%20Antwoorden.pdf
Het staat op bladzijde 169. De opgaven staan helaas niet op de internetversie.
(f(x) − f(a))/(x − a)
voor x → a. Dit is uiteraard gewoon de definitie voor de afgeleide f'(a) van de functie f in x = a.
De vergelijking voor de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a; f(a)) zoals Van de Craats die geeft is
y = f(a) + f'(a)·(x − a)
Nu heb je
f(x) = x5 − 3x2 + 3
en dus
f'(x) = 5x4 − 6x
en wil je de vergelijking opstellen van de raaklijn aan de grafiek van deze functie in het punt (−1; f(−1)). Bereken nu eerst f(−1) en f'(−1) en dan wordt je vergelijking dus
y = f(−1) + f'(−1)·(x + 1)
Het vetgedrukte begrijp ik niet, met name het gedeelte waarin jij iets zegt over een punt(?). Daarnaast moet het tweede vetgedrukte (f'(-1)) toch gewoon de richtingscoëfficiënt zijn i.p.v. (f'(-1)) ?quote:
[..]
Ah, kijk, je had in je citaat helemaal niet duidelijk gemaakt dat het om de limiet ging van
(f(x) − f(a))/(x − a)
voor x → a. Dit is uiteraard gewoon de definitie voor de afgeleide f'(a) van de functie f in x = a.
De vergelijking voor de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a; f(a)) zoals Van de Craats die geeft is
y = f(a) + f'(a)·(x − a)
Nu heb je
f(x) = x5 − 3x2 + 3
en dus
f'(x) = 5x4 − 6x
en wil je de vergelijking opstellen van de raaklijn aan de grafiek van deze functie in het punt (−1; f(−1)). Bereken nu eerst f(−1) en f'(−1) en dan wordt je vergelijking dus
y = f(−1) + f'(−1)·(x + 1)
Dat heb ik uitvoerig behandeld in de lange post hierboven. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in het punt (−1; f(−1)) is immers niets anders dan de waarde van de afgeleide in dat punt, en die is f'(−1).quote:
[..]
f' (-1) ? Het is m en dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn ofwel afgeleide van de functie. Dus waarom zou ik a = -1 moeten invullen in de afgeleide?
Raaklijn opstellen: je hebt de functie f(x), bereken f'(x). Neem voor x=-1, bijvoorbeeld. Dan is f'(-1)+b=f(-1). Immers, de afgeleide is de richtingscoefficient van een lijn, b is de start 'hoogte'.quote:
[..]
Het vetgedrukte begrijp ik niet, met name het gedeelte waarin jij iets zegt over een punt(?). Daarnaast moet het tweede vetgedrukte (f'(-1)) toch gewoon de richtingscoëfficiënt zijn i.p.v. (f'(-1)) ?
Maak hem nou niet nog meer in de war, hij moet een vergelijking opstellen van een rechte lijn met een gegeven richtingscoëfficiënt m door een gegeven punt (x0; y0) en die vergelijking isquote:
[..]
Raaklijn opstellen: je hebt de functie f(x), bereken f'(x). Neem voor x=-1, bijvoorbeeld. Dan is f'(-1)+b=f(-1). Immers, de afgeleide is de richtingscoefficient van een lijn, b is de start 'hoogte'.
y − y0 = m(x − x0)
Dit is de klassieke vorm van de vergelijking van een rechte lijn met een gegeven richtingscoëfficiënt door een gegeven punt zoals die vroeger bij de analytische meetkunde werd geleerd. In deze vorm is de vergelijking ook verreweg het eenvoudigst te onthouden.
Ja die heb ik ook twee tot driemaal gelezen. Maar daar wordt de richtingscoëfficiënt genomen van 4x, wat dus 4 is en bij het laatste voorbeeld uit mijn post f'(-1), wat dus betekent dat die -1 een vervangende waarde is voor de x term.. echter is de richtingscoëfficiënt het getal voor de x.quote:
[..]
Dat heb ik uitvoerig behandeld in de lange post hierboven. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in het punt (−1; f(−1)) is immers niets anders dan de waarde van de afgeleide in dat punt, en die is f'(−1).
Dat is het enige wat mij onduidelijk is.
Na het lezen van Netchip raakte ik al bijna in de war, maar ik heb het direct vergeten wat hij schreef om verwarring te voorkomen.quote:
[..]
Maak hem nou niet nog meer in de war, hij moet een vergelijking opstellen van een rechte lijn met een gegeven richtingscoëfficiënt m door een gegeven punt (x0; y0) en die vergelijking is
y − y0 = m(x − x0)
Dit is de klassieke vorm van de vergelijking van een rechte lijn met een gegeven richtingscoëfficiënt door een gegeven punt zoals die vroeger bij de analytische meetkunde werd geleerd. In deze vorm is de vergelijking ook verreweg het eenvoudigst te onthouden.
Toch bedankt Netchip voor je uitleg!
Meh, never mind.quote:
[..]
Na het lezen van Netchip raakte ik al bijna in de war, maar ik heb het direct vergeten wat hij schreef om verwarring te voorkomen.
Toch bedankt Netchip voor je uitleg!
Ik denk dat je nog veel meer onduidelijk is. Laten we eens even terugkeren naar je eerste voorbeeld. Daar hadden we de functiequote:
[..]
Ja die heb ik ook twee tot driemaal gelezen. Maar daar wordt de richtingscoëfficiënt genomen van 4x, wat dus 4 is en bij het laatste voorbeeld uit mijn post f'(-1), wat dus betekent dat die -1 een vervangende waarde is voor de x term.. echter is de richtingscoëfficiënt het getal voor de x.
Dat is het enige wat mij onduidelijk is.
f(x) = 2x2 − 3
en de afgeleide functie van deze functie is
f'(x) = 4x
Maar: wat zegt die afgeleide functie f'(x) nu precies over de oorspronkelijke functie f(x), kun je dat eens onder woorden brengen? En kun je dan met name ook aangeven wat die afgeleide functie nu meetkundig eigenlijk betekent?
De afgeleide functie wilt zeggen in hoeverre de grafiek steil is op een bepaald punt.quote:
[..]
Ik denk dat je nog veel meer onduidelijk is. Laten we eens even terugkeren naar je eerste voorbeeld. Daar hadden we de functie
f(x) = 2x2 − 3
en de afgeleide functie van deze functie is
f'(x) = 4x
Maar: wat zegt die afgeleide functie f'(x) nu precies over de oorspronkelijke functie f(x), kun je dat eens onder woorden brengen? En kun je dan met name ook aangeven wat die afgeleide functie nu meetkundig eigenlijk betekent?
Daar komt het inderdaad wel op neer. De afgeleide functie geeft de steilheid van de grafiek van de oorspronkelijke functie voor elke waarde van x. Maar zie je nu ook in dat als je de richtingscoëfficiënt van een raaklijn in bijvoorbeeld het punt (−1; f(−1)) op de grafiek van de oorspronkelijke functie wil bepalen, dat je dan de waarde van f'(x) voor x = −1 oftewel f'(−1) moet berekenen?quote:
[..]
De afgeleide functie wil zeggen in hoeverre de grafiek steil is op een bepaald punt.
