SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Je hebt een cirkel met middelpunt M en straal MR en een cirkel met middelpunt N en straal NS.quote:Op woensdag 14 mei 2014 16:26 schreef Maarten9191 het volgende:
Ik ga volgende week Wiskunde B VWO afleggen, en heb een vraag over het examen van 2013 TV1, vraag 19 (laatste vraag) met betrekking tot meetkundige plaatsen.
Het correctievoorschrift geeft als antwoord dat het punt N 4+2 = 6 cm van punt M vandaan moet liggen. Waarom is dit 6 cm en geen 4 cm?
Alvast weer bedankt voor de input!
Edit: verkeerde examens gelinked, geef me even een momentje om het op te lossen @ 16:27!
De snijpunten van die cirkels zijn brandpunten van parabolen door M en N met richtlijn k. (Staat in de tekst).
Als NM = MR + NS = 2 + 4 = 6 dan raken de cirkels elkaar en is er precies één snijpunt en dus precies één parabool zoals gevraagd wordt.
Je krijgt het antwoord bijna kado als je even naar figuur 2 bij de opgave kijkt. Daar zie je, en wordt ook gezegd, dat men de punten M en N zodanig heeft gekozen dat MN < MR + NS. Aangezien MR en NS de stralen zijn van de cirkels en MN de afstand van hun middelpunten, betekent dit dat de cirkels elkaar snijden (in de twee punten Fen G).quote:
Ik ga volgende week Wiskunde B VWO afleggen, en heb een vraag over het examen van 2013 TV1, vraag 19 (laatste vraag) met betrekking tot meetkundige plaatsen.
Het correctievoorschrift geeft als antwoord dat het punt N 4+2 = 6 cm van punt M vandaan moet liggen. Waarom is dit 6 cm en geen 4 cm?
Alvast weer bedankt voor de input!
Edit: verkeerde examens gelinked, geef me even een momentje om het op te lossen @ 16:27!
Een parabool is de meetkundige plaats (verzameling) van punten met gelijke afstand tot een gegeven punt (focus oftewel brandpunt) en een gegeven lijn (directrix oftewel richtlijn), en aangezien d(M, F) = d(M, k) en d(N, F) = d(N, k) liggen M en N beide op de parabool met focus F en directrix k. Evenzo hebben we d(M, G) = d(M, k) en d(N, G) = d(N, k) zodat M en N ook beide op de parabool liggen met focus G en directrix k.
Maar nu wordt bij de laatste opgave gevraagd het punt N zodanig te bepalen dat er slechts één parabool is met directrix k waarop zowel punt M als punt N ligt. En dat betekent dat de beide cirkels met als midelpunten M resp. N nog maar één punt gemeen mogen hebben en elkaar dus moeten raken. Dat is het geval als de afstand van de middelpunten M en N van de cirkels gelijk is aan de som van hun stralen, zodat we als voorwaarde krijgen
MN = MR + NS
Nu is ook gegeven dat de afstanden MR en NS van de punten M resp. N tot lijn k gelijk zijn aan resp. 2 en 4 cm, zodat dus MN = MR + NS = 2 + 4 = 6 cm moet zijn. Zie je?
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 14-05-2014 17:27:12 ]
Nu is het helemaal duidelijk, bedankt Anoomunos en Riparius.
Ik heb de afgelopen vier maanden vier boeken van getal en ruimte zelf doorgewerkt (mijn methode van toen ik nog op de middelbare school zat). Elk zo nu en dan zat ik met wat dingen wat ik écht niet begreep en er even een kleine opheldering voor nodig had van iemand (zoals dit). Ik waardeer het heel erg dat de tijd wordt genomen om te helpen
. Ik maak iedere dag (sinds maandag) een proefexamen, en ik heb er alle vertrouwen in dat het - mede dankzij Fok! dinsdag helemaal goed gaat komen.
Ik heb de afgelopen vier maanden vier boeken van getal en ruimte zelf doorgewerkt (mijn methode van toen ik nog op de middelbare school zat). Elk zo nu en dan zat ik met wat dingen wat ik écht niet begreep en er even een kleine opheldering voor nodig had van iemand (zoals dit). Ik waardeer het heel erg dat de tijd wordt genomen om te helpen
. Ik maak iedere dag (sinds maandag) een proefexamen, en ik heb er alle vertrouwen in dat het - mede dankzij Fok! dinsdag helemaal goed gaat komen.
Differentieren gaat me nu redelijk af, ik weet wanneer ik bepaalde regels moet toepassen, wat een afgeleide is, en hoe met de verschillende notaties (Lagrange, Leibniz) te werken.
Wat raden jullie me nu aan? Beginnen met integreren?
Wat raden jullie me nu aan? Beginnen met integreren?
Kun je bijvoorbeeld ook goniometrische functies en de inversen daarvan al differentiëren? Ik zou als ik jou was eerst eens kijken of je iets lastiger vraagstukken over raaklijnen e.d. nu vlot op kunt lossen, bijvoorbeeld:quote:Op woensdag 14 mei 2014 19:55 schreef netchip het volgende:
Differentieren gaat me nu redelijk af, ik weet wanneer ik bepaalde regels moet toepassen, wat een afgeleide is, en hoe met de verschillende notaties (Lagrange, Leibniz) te werken.
Wat raden jullie me nu aan? Beginnen met integreren?
Gegeven is de functie
De lijn met de vergelijking y = mx raakt de grafiek van f. Bereken de waarde(n) van m waarvoor dit het geval is.
Als je er echt verder mee wil kun je wellicht het beste een goed boek zoeken over differentiaal- en integraalrekening. Misschien is Spivak wat voor je.
f(x) = g(x) * h(x)quote:
[..]
Kun je bijvoorbeeld ook goniometrische functies en de inversen daarvan al differentiëren? Ik zou als ik jou was eerst eens kijken of je iets lastiger vraagstukken over raaklijnen e.d. nu vlot op kunt lossen, bijvoorbeeld:
Gegeven is de functie
De lijn met de vergelijking y = mx raakt de grafiek van f. Bereken de waarde(n) van m waarvoor dit het geval is.
Als je er echt verder mee wil kun je wellicht het beste een goed boek zoeken over differentiaal- en integraalrekening. Misschien is Spivak wat voor je.
g(x) = 4 * ln(x2)-4
h(x) = 1/x
f'(x) = g(x) * h'(x) + g'(x) * h(x)
ln'(x) = 1/x
g'(x) = 4/x2
h(x) = x-1 => h'(x) = -x-2
Dan gaan we nu f'(x) berekenen: (4*ln(x2)-4)/x2 + 4/x3
Note: ik heb nog niet met logaritmes gewerkt
Ontdek de wonderen van logaritmes dan eerstquote:
[..]
f(x) = g(x) * h(x)
g(x) = 4 * ln(x2)-4
h(x) = 1/x
f'(x) = g(x) * h'(x) + g'(x) * h(x)
ln'(x) = 1/x
g'(x) = 4/x2
h(x) = x-1 => h'(x) = -x-2
Dan gaan we nu f'(x) berekenen: (4*ln(x2)-4)/x2 + 4/x3
Note: ik heb nog niet met logaritmes gewerkt
Ik vind logaritmes erg verwarrend, over iets als eln(x) kan ik makkelijk 5 minuten over nadenken...quote:Op woensdag 14 mei 2014 20:52 schreef jordyqwerty het volgende:
[..]
Ontdek de wonderen van logaritmes dan eerst
glog a is de exponent waartoe je g moet verheffen om a te krijgen. Eenvoudig toch?quote:
[..]
Ik vind logaritmes erg verwarrend, over iets als eln(x) kan ik makkelijk 5 minuten over nadenken...
Dus ln x is de exponent waartoe je e moet verheffen om x te krijgen, oftewel eln x = x (voor x > 0).
Hm? ln(x) is eigenlijk ey = x toch?quote:
[..]
glog a is de exponent waartoe je g moet verheffen om a te krijgen. Eenvoudig toch?
Dus ln x is de exponent waartoe je e moet verheffen om x te krijgen, oftewel eln x = x (voor x > 0).
Hoe is ey = x dan mogelijk? Betekent dat x = y?
Nee y = ln xquote:
[..]
Hm? ln(x) is eigenlijk ey = x toch?
Hoe is ey = x dan mogelijk? Betekent dat x = y?
Nee, nu maak je er een potje van. De uitspraakquote:
[..]
Hm? ln(x) is eigenlijk ey = x toch?
Hoe is ey = x dan mogelijk? Betekent dat x = y?
ln(x) = y
is equivalent met
ey = x
Maar dit is precies wat ik hierboven zeg: y oftewel ln(x) is de exponent waartoe je e moet verheffen om x te krijgen.
Wat ik had geschreven, is wel heel triestquote:
[..]
Nee, nu maak je er een potje van. De uitspraak
ln(x) = y
is equivalent met
ey = x
Maar dit is precies wat ik hierboven zeg: y oftewel ln(x) is de exponent waartoe je e moet verheffen om x te krijgen.
Ik dacht weer eens niet goed na... Is het handig om eerst wat oefeningen te maken en wat bewijzen te doen met logaritmes voordat ik ga proberen formules met logaritmes te differentieren?
De functie f(x) = ln(x) berekent voor ieder getal x het getal ln(x) zodat eln(x) = x. Oftewel, voor x = 2 is de functie ln(2) het getal met eln(2) = 2. Als je dit uitrekent, vind je dat ln(2) = 0,693... . Dus als je e0,693 doet krijg je 2quote:
Op Anders gezegd, je weet dat er een getal y bestaat zodat ey = 2. Om dit getal y te vinden is de functie ln() bedacht. Deze functie zoekt het getal y waarvoor ey = 2. Dit getal wordt dan ln(2) genoemd.
Lijkt me me wel als je denkt dat de afgeleide van ln(x²) naar x gelijk is aan 1/x².quote:
Is het handig om eerst wat oefeningen te maken en wat bewijzen te doen met logaritmes voordat ik ga proberen formules met logaritmes te differentieren?
Wat ik wel weet, is dat je ln(x2) normaal gesproken zou kunnen herschrijven als 2ln(x).quote:
[..]
Lijkt me me wel als je denkt dat de afgeleide van ln(x²) naar x gelijk is aan 1/x².
Correct. Vervolgens productregel toepassen.quote:
[..]
Wat ik wel weet, is dat je ln(x2) normaal gesproken zou kunnen herschrijven als 2ln(x).
Ja, als x > 0, niet als x < 0. Maar als je 2·ln(x) (x > 0) differentieert naar x, krijg je 2/x. Waarom maak je er hierboven dan 1/x² van?quote:
[..]
Wat ik wel weet, is dat je ln(x2) normaal gesproken zou kunnen herschrijven als 2ln(x).
Op woensdag 14 mei 2014 21:53 schreef Riparius het volgende:[..]
Ja, als x > 0, niet als x < 0. Maar als je 2·ln(x) (x > 0) differentieert naar x, krijg je 2/x. Waarom maak je er hierboven dan 1/x² van?
[/quote]
Omdat ik dacht ln'(x) = 1/x. En dan was het voor mij logisch om te denken om gewoon de hele parameter 'x' mee te nemen, dus x2. Maar nu heb ik dus geleerd dat je functies zonodig eerst moet herleiden voordat je ze differentieert.quote:
[..]
Ja, als x > 0, niet als x < 0. Maar als je 2·ln(x) (x > 0) differentieert naar x, krijg je 2/x. Waarom maak je er hierboven dan 1/x² van?
[..]
Omdat ik dacht ln'(x) = 1/x. En dan was het voor mij logisch om te denken om gewoon de hele parameter 'x' mee te nemen, dus x2. Maar nu heb ik dus geleerd dat je functies zonodig eerst moet herleiden voordat je ze differentieert.
[/quote]
Omdat ik dacht ln'(x) = 1/x. En dan was het voor mij logisch om te denken om gewoon de hele parameter 'x' mee te nemen, dus x2. Maar nu heb ik dus geleerd dat je functies zonodig eerst moet herleiden voordat je ze differentieert.
[/quote]
Ook zonder herleiding had je direct moeten zien dat hier de kettingregel van toepassing is:quote:
Omdat ik dacht ln'(x) = 1/x. En dan was het voor mij logisch om te denken om gewoon de hele parameter 'x' mee te nemen, dus x2. Maar nu heb ik dus geleerd dat je functies zonodig eerst moet herleiden voordat je ze differentieert.
d(ln(x2))/dx = d(ln(x2))/d(x2) · d(x2)/dx = x−2·2x = 2·x−1.
Niet correct. Voor x < 0 heb je ln(x2) = 2·ln(−x). En de productregel gebruik je toch niet bij een constante factor? (Ja, het kán wel).quote:
[..]
Correct. Vervolgens productregel toepassen.
Dan zou ik zeggen dz/dx = dz/dy * dy/dx
z = y4
y = 5x2-8x
dz/dy = 4y3
dy/dx = 10x-8
Hoe nu verder? dz/dy = 4(5x2-8x)3 * 10x-8 ?
dz/dx = dz/dy · dy/dx = 4y3·(10x − 8) = 4·(5x2 − 8x)3·(10x − 8).quote:
Dan zou ik zeggen dz/dx = dz/dy * dy/dx
z = y4
y = 5x2-8x
dz/dy = 4y3
dy/dx = 10x-8
Hoe nu verder? dz/dy = 4(5x2-8x)3 * 10x-8 ?
Nu kun je de haakjes nog uitwerken. Begin dan met (5x2 − 8x)3. Daarvoor kun je gebruik maken van
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Ook is het handig om eerst even te bedenken dat je hebt
(5x2 − 8x)3 = x3·(5x − 8)3
Je had natuurlijk ook eerst de haakjes in het functievoorschrift weg kunnen werken door gebruik te maken van
(a − b)4 = a4 − 4a3b + 6a2b2 − 4ab3 + b4
[ Bericht 5% gewijzigd door Riparius op 14-05-2014 23:28:10 ]
Hallo, ik heb weer een vraag.
''Geef bij de volgende twee functies de eventuele nulpunten van de afgeleide en de intervallen waarop de functie monotoon stijgend of dalend is''
x4 - 4x³ + 4
en
x³ + 1
Ze bedoelen neem ik aan of de afgeleide functie monotoon stijgend of dalend is? Daarnaast vraag ik mij af waarom de nulpunten nodig zijn om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen, want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
[ Bericht 3% gewijzigd door Super-B op 15-05-2014 15:20:56 ]
''Geef bij de volgende twee functies de eventuele nulpunten van de afgeleide en de intervallen waarop de functie monotoon stijgend of dalend is''
x4 - 4x³ + 4
en
x³ + 1
Ze bedoelen neem ik aan of de afgeleide functie monotoon stijgend of dalend is? Daarnaast vraag ik mij af waarom de nulpunten nodig zijn om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen, want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
[ Bericht 3% gewijzigd door Super-B op 15-05-2014 15:20:56 ]
quote:
Hallo, ik heb weer een vraag.
''Geef bij de volgende twee functies de eventuele nulpunten van de afgeleide en de intervallen waarop de functie monotoon stijgend of dalend is''
x4 - 4x³ + 4
en
x³ + 1
Ze bedoelen neem ik aan of de afgeleide functie monotoon stijgend of dalend is? Daarnaast vraag ik mij af waarom de nulpunten nodig zijn om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen, want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
En waarom zijn de nulpunten van een afgeleide nodig om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen?Want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.quote:
waarom de nulpunten nodig zijn om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen, want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
Wanneer de grafiek op een punt gaat dalen of stijgen dan is de richtingcoëfficiënt in dat punt 0.quote:
[..]
En waarom zijn de nulpunten van een afgeleide nodig om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen?Want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
Lukt het weer moet alleen maar dikgedrukt te maken?quote:
[..]
En waarom zijn de nulpunten van een afgeleide nodig om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen?Want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
Je hebt het eerste over nulpunten van de afgeleiden en daarna over nulpunten van de functie.
Ow zo. Dankje.quote:
[..]
Wanneer de grafiek op een punt gaat dalen of stijgen dan is de richtingcoëfficiënt in dat punt 0.
Klein vraagje..
Hoe kun je x van de afgeleide berekenen bij (x² - 1) / (x² +1) ?
Ik heb als afgeleide:
4x / (x²+1)²
Maar verder oplossen lukt me niet.
Als we het hier toch over hebben, wat is het belang van een tweede afgeleide? Ik snap de eerste afgeleide en dat je daaruit af kan lezen waar de functie een daling of stijging inzet.quote:
[..]
Wanneer de grafiek op een punt gaat dalen of stijgen dan is de richtingcoëfficiënt in dat punt 0.
Volgens mij zegt die tweede afgeleide dan weer iets over het eerste afgeleide. Dan moet je die eerste afgeleide weer als een losstaand functie zien. Maar dat is mijn input.quote:
[..]
Als we het hier toch over hebben, wat is het belang van een tweede afgeleide? Ik snap de eerste afgeleide en dat je daaruit af kan lezen waar de functie een daling of stijging inzet.
hetzelfde geldt overigens voorquote:
[..]
Ow zo. Dankje.
Klein vraagje..
Hoe kun je x van de afgeleide berekenen bij (x² - 1) / (x² +1) ?
Ik heb als afgeleide:
4x / (x²+1)²
Maar verder oplossen lukt me niet.
(x² + 1) / (x + 1) met als afgeleide (x² + 2x - 1) / (x+1)²
huh?quote:
[..]
Wanneer de grafiek op een punt gaat dalen of stijgen dan is de richtingcoëfficiënt in dat punt 0.
Op een punt waar de functie daalt noch stijgt is de afgeleide 0.
Dit geldt overal voor constante functies en op lokale maxima en minima van andere functies.
Tussen de nulpunten daalt of stijgt de functie. Dus als je de punten hebt kan jij ook per domein aangeven waar hij stijgt of daalt.
Wat bedoel je met x berekenen?quote:
[..]
Ow zo. Dankje.
Klein vraagje..
Hoe kun je x van de afgeleide berekenen bij (x² - 1) / (x² +1) ?
Ik heb als afgeleide:
4x / (x²+1)²
Maar verder oplossen lukt me niet.
Dat kan alleen als je een vergelijking hebt en dat heb je daar niet.
De tweede afgeleide vertelt hoe of de eerste afgeleide toeneemt of afneemt.quote:
[..]
Volgens mij zegt die tweede afgeleide dan weer iets over het eerste afgeleide. Dan moet je die eerste afgeleide weer als een losstaand functie zien. Maar dat is mijn input.
De nulpunten van de tweede afgeleide geven je de lokale maxima en minima van de eerste afgeleide.
Deze punten zijn buigpunten. Op een buigpunt verandert een curve van kromming.
Ik moet de eventuele nulpunten van de afgeleide berekenen en de intervallen geven waarop de functie monotoon stijgend of dalend is.quote:
[..]
huh?
Op een punt waar de functie daalt noch stijgt is de afgeleide 0.
Dit geldt overal voor constante functies en op lokale maxima en minima van andere functies.
Tussen de nulpunten daalt of stijgt de functie. Dus als je de punten hebt kan jij ook per domein aangeven waar hij stijgt of daalt.
[..]
Wat bedoel je met x berekenen?
Dat kan alleen als je een vergelijking hebt en dat heb je daar niet.
[..]
De tweede afgeleide vertelt hoe of de eerste afgeleide toeneemt of afneemt.
De nulpunten van de tweede afgeleide geven je de lokale maxima en minima van de eerste afgeleide.
Deze punten zijn buigpunten. Op een buigpunt verandert een curve van kromming.
[ afbeelding ]
Nou dat kan je nu dan toch?quote:
[..]
Ik moet de eventuele nulpunten van de afgeleide berekenen en de intervallen geven waarop de functie monotoon stijgend of dalend is.
De functie:
(x² - 1) / (x² +1) ?
en de functie:
(x² + 1) / (x + 1) met als afgeleide (x² + 2x - 1) / (x+1)²
Daarnaast bij x^4 - 4x³ + 4 met als afgeleide x² - 3x weet ik niet waarom er sprake is van een monotone daling bij x = 0? Ik weet wel dat x < 3 voor een monotone daling zorgt en x > 3 zorgt voor een monotone stijging.
(x² - 1) / (x² +1) ?
en de functie:
(x² + 1) / (x + 1) met als afgeleide (x² + 2x - 1) / (x+1)²
Daarnaast bij x^4 - 4x³ + 4 met als afgeleide x² - 3x weet ik niet waarom er sprake is van een monotone daling bij x = 0? Ik weet wel dat x < 3 voor een monotone daling zorgt en x > 3 zorgt voor een monotone stijging.
Vereenvoudig die functies eens.quote:
De functie:
(x² - 1) / (x² +1) ?
en de functie:
(x² + 1) / (x + 1) met als afgeleide (x² + 2x - 1) / (x+1)²
Daarnaast bij x^4 - 4x³ + 4 met als afgeleide x² - 3x weet ik niet waarom er sprake is van een monotone daling bij x = 0? Ik weet wel dat x < 3 voor een monotone daling zorgt en x > 3 zorgt voor een monotone stijging.
Daarna lees mijn andere post nog eens.
Als het betreft om die x =0 dan heb ik je post niet begrepen.quote:
[..]
Vereenvoudig die functies eens.
Daarna lees mijn andere post nog eens.
quote:
[..]
Als het betreft om die x =0 dan heb ik je post niet begrepen.
Dus bepaal de nulpunten van de afgeleide en kijk dan naar de afgeleide tussen die punten.quote:Tussen de nulpunten daalt of stijgt de functie. Dus als je de punten hebt kan jij ook per domein aangeven waar hij stijgt of daalt.
Oke dank. Ik zal ernaar kijken..quote:
[..]
[..]
Dus bepaal de nulpunten van de afgeleide en kijk dan naar de afgeleide tussen die punten.
Deze functie:
x^4 - 2x²
Heeft als globaal minimum x = -1, x = 0 als lokaal maximum en x =1 als globaal minimum.
Ik heb de grafiek getekend en het is een dalparabool. x = 1 is inderdaad een globaal minimum, de rest kan ik niet zien..in mijn getekende grafiek.
Ik snap sowieso niet hoe er twee globale minima's kunnen zijn..
En hoe kun je deze sowieso berekenen?
Een goed uitleg stel ik zeer op prijs, aangezien het boek weer te kort en krom is qua uitleg.
[ Bericht 5% gewijzigd door Super-B op 15-05-2014 19:13:20 ]
Omdat ze beide dezelfde waarde hebben.quote:
Ik snap sowieso niet hoe er twee globale minima's kunnen zijn..
Door ook de waarde van de tweede afgeleide te bepalen in een punt waar de eerste afgeleide nul is, kun je meestal (dus niet altijd) vaststellen of je oorspronkelijke functie in dat punt een lokaal minimum of nu juist een lokaal maximum aanneemt.quote:
[..]
Als we het hier toch over hebben, wat is het belang van een tweede afgeleide? Ik snap de eerste afgeleide en dat je daaruit af kan lezen waar de functie een daling of stijging inzet.
f'(x0) = 0 ∧ f''(x0) > 0 : f heeft een lokaal minimum bij x = x0
f'(x0) = 0 ∧ f''(x0) < 0 : f heeft een lokaal maximum bij x = x0
Je kunt gemakkelijk inzien waarom dit geldt. Als f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) > 0 dan betekent dit dat f'(x) stijgt in een intervalletje (omgeving) rond x = x0. En aangezien f'(x0) = 0 betekent dit dat f'(x) bij x = x0 wisselt van negatief naar positief. Maar dat betekent weer dat de grafiek van f net links van x = x0 nog daalt om vervolgens vanaf x = x0 weer te gaan stijgen. En dus heeft de functie f een lokaal minimum bij x = x0. Op dezelfde manier kun je beredeneren dat f een lokaal maximum heeft bij x = x0 als Als f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) < 0.
Maar wat nu als f'(x0) en f''(x0) beide nul zijn? Wel, dan kun je nog geen uitspraken doen en zul je de functie verder moeten onderzoeken. Het kan zijn dat de grafiek van f dan een buigpunt heeft bij x = x0 met een horizontale buigraaklijn, maar dat hoeft niet. Het blijft ook mogelijk dat f dan een lokaal minimum óf een lokaal maximum heeft bij x = x0.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 15-05-2014 23:01:51 ]
Let op je terminologie en je taalgebruik. De grafiek van je functie is zeker geen parabool, want dit is geen kwadratische functie. En maxima is het meervoud van maximum, daar mag je dus geen 's aan toevoegen.quote:
Een goed uitleg stel ik zeer op prijs, aangezien het boek weer te kort en krom is qua uitleg.
Geef eens het nummer van de opgave in het boek van Van de Craats, dan kan ik eens kijken wat de begeleidende uitleg inhoudt en wat de bedoeling is van de opgave.
https://googledrive.com/h(...)met%20Antwoorden.pdfquote:
[..]
Let op je terminologie en je taalgebruik. De grafiek van je functie is zeker geen parabool, want dit is geen kwadratische functie. En maxima is het meervoud van maximum, daar mag je dus geen 's aan toevoegen.
Geef eens het nummer van de opgave in het boek van Van de Craats, dan kan ik eens kijken wat de begeleidende uitleg inhoudt en wat de bedoeling is van de opgave.
blz 179 voor de theorie en blz 180 voor de opgaven.
Thanks voor de goede, uitgebreide uitlegquote:
[..]
Door ook de waarde van de tweede afgeleide te bepalen in een punt waar de eerste afgeleide nul is, kun je meestal (dus niet altijd) vaststellen of je oorspronkelijke functie in dat punt een lokaal minimum of nu juist een lokaal maximum aanneemt.
f'(x0) = 0 ∧ f''(x0) > 0 : f heeft een lokaal minimum bij x = x0
f'(x0) = 0 ∧ f''(x0) < 0 : f heeft een lokaal maximum bij x = x0
Je kunt gemakkelijk inzien waarom dit geldt. Als f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) > 0 dan betekent dit dat f'(x) stijgt in een intervalletje (omgeving) rond x = x0. En aangezien f'(x0) = 0 betekent dit dat f'(x) bij x = x0 wisselt van negatief naar positief. Maar dat betekent weer dat de grafiek van f net links van x = x0 nog daalt om vervolgens vanaf x = x0 weer te gaan stijgen. En dus heeft de functie f een lokaal minimum bij x = x0. Op dezelfde manier kun je beredeneren dat f en lokaal maximum heeft bij x = x0 als Als f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) < 0.
Maar wat nu als f'(x0) en f''(x0) beide nul zijn? Wel, dan kun je nog geen uitspraken doen en zul je de functie verder moeten onderzoeken. Het kan zijn dat de grafiek van f dan een buigpunt heeft bij x = x0 met een horizontale buigraaklijn, maar dat hoeft niet. Het blijft ook mogelijk dat f dan een lokaal minimum óf een lokaal maximum heeft bij x = x0.
Ik begin het al een beetje te begrijpen. Hetzelfde effect bereik je toch door f'(x) = 0 te bepalen en vervolgens de daar uitgekomen x waarde in te vullen in de oorspronkelijke f(x) en een waarde iets links van die x waarde en een waarde iets rechts van die x waarde door te kijken of hij een minimum of een maximum aanneemt.
Voor de mede-wiskundekanditaten kan dit trouwens ook nog nuttig zijn:
Differentiëren begint best interessant te worden
Spannend hoor. Maandag de toets en dan is iedereen in dit topic van ons verlost!quote:
[..]
Thanks voor de goede, uitgebreide uitleg
Ik begin het al een beetje te begrijpen. Hetzelfde effect bereik je toch door f'(x) = 0 te bepalen en vervolgens de daar uitgekomen x waarde in te vullen in de oorspronkelijke f(x) en een waarde iets links van die x waarde en een waarde iets rechts van die x waarde door te kijken of hij een minimum of een maximum aanneemt.
Voor de mede-wiskundekanditaten kan dit trouwens ook nog nuttig zijn:
Differentiëren begint best interessant te worden
De uitleg op blz. 179 lijkt me volstrekt helder. Echter, wat er allemaal wordt beweerd op blz. 177 van de PDF waar je naar linkt klopt niet. Hier is het nodige mis gegaan met de typografie, en Van de Craats introduceert hier ook nog eens ongebruikelijke termen. Wat hij monotoon stijgend noemt heet gewoonlijk strict monotoon stijgend en wat hij monotoon niet-dalend noemt heet gewoonlijk monotoon stijgend. Ik heb zelf overigens een volledige PDF waarin de typografische missers niet voorkomen. Ik weet niet of dit elders in het boek ook het geval is, maar het toont wel aan dat je niet kunt vertrouwen op de uitgeklede 'gratis' internetversie van het boek. Maar geef even het nummer van de opgave waar je problemen mee hebt.quote:
[..]
https://googledrive.com/h(...)met%20Antwoorden.pdf
blz 179 voor de theorie en blz 180 voor de opgaven.
