SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde.
Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!
Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).
Links:
• http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
• http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
• http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
• http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
• http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...
OP
[ Bericht 0% gewijzigd door GlowMouse op 22-05-2012 21:22:48 ]
Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!
Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).
Links:
• http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
• http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
• http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
• http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
• http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...
OP
[ Bericht 0% gewijzigd door GlowMouse op 22-05-2012 21:22:48 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
dat hoef je niet te vermelden aangezien je ook op het pijltje naast de topictitel kunt klikkenquote:Op dinsdag 22 mei 2012 21:10 schreef Amoeba het volgende:
Vorig topic:
[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Thanks, dat wist ik niet. Nu je er toch bent: Ik wil graag weten hoe je die LaTeX code gebruikt, maar die URL werkt niet meer. Is er een handig tooltje om die 'integralen' en formules op te stellen? (Dus in een GUI vorm?)quote:Op dinsdag 22 mei 2012 21:11 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
dat hoef je niet te vermelden aangezien je ook op het pijltje naast de topictitel kunt klikken
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Je kunt de tex-tag gebruiken. Die werkt niet voor tekst, maar wel voor formules:
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
En hoe zet ik dan die integraal (van a tot b) op?quote:
Je kunt de tex-tag gebruiken. Die werkt niet voor tekst, maar wel voor formules:
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Nou goed, dan gaan we verder met de functie:
Dan krijgen we dus de vergelijking:
Ik had D al uitgerekend, dat was kleiner dan 0. In de spoiler even de toevoeging!
Dan krijgen we dus de vergelijking:
Ik had D al uitgerekend, dat was kleiner dan 0. In de spoiler even de toevoeging!
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Verder:
(substitutie)
Gaan we r uitrekenen:
Dus r is bekend:
Wat moet ik hier nu mee.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
[ Bericht 26% gewijzigd door Amoeba op 22-05-2012 22:15:43 ]Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
quote:
Nou goed, dan gaan we verder met de functie:
Dan krijgen we dus de vergelijking:
Ik had D al uitgerekend, dat was kleiner dan 0. In de spoiler even de toevoeging!SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Verder:
(substitutie)
Gaan we r uitrekenen:
Dus r is bekend:
Wat moet ik hier nu mee.Edit: je vergeet inderdaad met 4 te vermenigvuldigen. Overigens zie je hier gemakkelijk dat x = -2 een oplossing is, dus kun je x3 - 5x - 2 door (x + 2) delen, en dat levert via een staartdeling x2 - 2x - 1 op, zodat de andere twee wortels dus 1 + √2 en 1 - √2 zijn. Controleer maar eens of je dat via de goniometrische methode ook vindt.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
[ Bericht 9% gewijzigd door Riparius op 22-05-2012 22:45:36 ]
Er zat wel een foutje in, had niet met vier vermenigvuldigd.
Ach, dan komt er een arccos antwoord uit.
En het ging me niet om het rekenwerk, maar om die [tex] opmaak.
Maargoed, het is begrepen. Ik had alle 3 exacte antwoorden wel getypt, maar die rot TEX kan niet overweg met dat tekentje, en ik had geen zin meer om het aan te passen.
[ Bericht 32% gewijzigd door Amoeba op 22-05-2012 22:35:17 ]
Ach, dan komt er een arccos antwoord uit.
En het ging me niet om het rekenwerk, maar om die [tex] opmaak.
Maargoed, het is begrepen. Ik had alle 3 exacte antwoorden wel getypt, maar die rot TEX kan niet overweg met dat tekentje, en ik had geen zin meer om het aan te passen.
[ Bericht 32% gewijzigd door Amoeba op 22-05-2012 22:35:17 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik gebruik zelf geen TeX, maar wel Unicode. Veel oude postings op FOK in het wiskunde topic zijn volkomen onleesbaar geworden omdat de server waarop TeX vroeger draaide niet meer werkt. En niemand kan garanderen dat dat niet weer gebeurt.quote:
Er zat wel een foutje in, had niet met vier vermenigvuldigd.
Ach, dan komt er een arccos antwoord uit.
En het ging me niet om het rekenwerk, maar om die [tex] opmaak.
Maargoed, het is begrepen. Ik had alle 3 exacte antwoorden wel getypt, maar die rot TEX kan niet overweg met dat tekentje, en ik had geen zin meer om het aan te passen.
Welk tekentje bedoel je? Met TeX kun je vrijwel alles weergeven.quote:
Er zat wel een foutje in, had niet met vier vermenigvuldigd.
Ach, dan komt er een arccos antwoord uit.
En het ging me niet om het rekenwerk, maar om die [tex] opmaak.
Maargoed, het is begrepen. Ik had alle 3 exacte antwoorden wel getypt, maar die rot TEX kan niet overweg met dat tekentje, en ik had geen zin meer om het aan te passen.
Ik zie nu overigens dat we via de goniometrische oplossing en de oplossing door te factoriseren tot de conclusie kunnen komen dat:
2∙√(5/3)∙cos((1/3)∙arccos((3/5)∙√(3/5))) = 1 + √2
Lijkt me wel een aardige uitdaging om dit via herleiding te bewijzen ...
pi in unicode. πquote:
[..]
Welk tekentje bedoel je? Met TeX kun je vrijwel alles weergeven.
Ik zie nu overigens dat we via de goniometrische oplossing en de oplossing door te factoriseren tot de conclusie kunnen komen dat:
2∙√(5/3)∙cos((1/3)∙arccos((3/5)∙√(3/5))) = 1 + √2
Lijkt me wel een aardige uitdaging om dit via herleiding te bewijzen ...
knip
Waarom precies deel je door (x+2) Als x=-2 komt er een duivelse breuk uit
En ik beheers geen staartdeling. Wel breuken uitdelen..
[ Bericht 5% gewijzigd door Amoeba op 22-05-2012 23:50:48 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Pi is in TeX gewoon \pi:quote:
The biggest argument against democracy is a five minute discussion with the average voter.
Nee hoor.quote:Op dinsdag 22 mei 2012 23:42 schreef Amoeba het volgende:
[..]
pi in unicode. π
knip
Waarom precies deel je door (x+2) Als x=-2 komt er een duivelse breuk uit
Dat blijkt. Heb je tóch nodig, gauw leren dus.quote:En ik beheers geen staartdeling.
Als x = -2 een nulpunt is van een polynoom in x, dan is dat polynoom deelbaar door (x + 2). Je hebt:
x3 - 5x - 2 = (x + 2)(x2 - 2x - 1)
Controleer maar door de haakjes uit te werken. De twee andere wortels zijn dus de wortels van de vierkantsvergelijking x2 - 2x - 1 = 0, zijnde 1 + √2 en 1 - √2.
Ik snapte er nog steeds geen zak van totdat ik de wiskundige regel zag. Helder. Ik heb m'n best gedaan om het te leren, maar met breuken uitdelen lukt het toch ook?quote:
[..]
Nee hoor.
[..]
Dat blijkt. Heb je tóch nodig, gauw leren dus.
Als x = -2 een nulpunt is van een polynoom in x, dan is dat polynoom deelbaar door (x + 2). Je hebt:
x3 - 5x - 2 = (x + 2)(x2 - 2x - 1)
Controleer maar door de haakjes uit te werken. De twee andere wortels zijn dus de wortels van de vierkantsvergelijking x2 - 2x - 1 = 0, zijnde 1 + √2 en 1 - √2.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Kennelijk niet of niet zo goed, anders had je meteen gezien dat het klopte.quote:
[..]
Ik snapte er nog steeds geen zak van totdat ik de wiskundige regel zag. Helder. Ik heb m'n best gedaan om het te leren, maar met breuken uitdelen lukt het toch ook?
..quote:
[..]
Kennelijk niet of niet zo goed, anders had je meteen gezien dat het klopte.
Ik zag niet dat je de functie aan het ombouwen was tot (...) = 0 v (......) = 0
En uiteraard ( x+2)(......) is de originele functie.
Enfin, ik ben er weg van. Wederom loopt over 4 uur de wekker af..
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
@Amoeba: aangezien Riparius al gezegd had dat x = -2 een oplossing is moet dus gelden dat de kubische vgl te schrijven is als een product van de lineaire factor (x+2) en een kwadratische factor (ax2 + bx + c)
Dus kunnen we gelijk met die (x+2) de polynoomstaartdeling uitwerken.
(x+2) | x3 - 5x - 2
....x2...| x3 + 2x2____-
...........|-2x2 -5x -2
..-2x....| -2x2-4x____-
...........|...........-x -2
...-1....|_____-x -2__-
.............................0
Wat dus uiteindelijk x3 - 5x - 2 = (x + 2)(x2 - 2x - 1) oplevert
Dus kunnen we gelijk met die (x+2) de polynoomstaartdeling uitwerken.
(x+2) | x3 - 5x - 2
....x2...| x3 + 2x2____-
...........|-2x2 -5x -2
..-2x....| -2x2-4x____-
...........|...........-x -2
...-1....|_____-x -2__-
.............................0
Wat dus uiteindelijk x3 - 5x - 2 = (x + 2)(x2 - 2x - 1) oplevert
Ik had het al door.quote:
@Amoeba: aangezien Riparius al gezegd had dat x = -2 een oplossing is moet dus gelden dat de kubische vgl te schrijven is als een product van de lineaire factor (x+2) en een kwadratische factor (ax2 + bx + c)
Dus kunnen we gelijk met die (x+2) de polynoomstaartdeling uitwerken.
(x+2) | x3 - 5x - 2
....x2...| x3 + 2x2____-
...........|-2x2 -5x -2
..-2x....| -2x2-4x____-
...........|...........-x -2
...-1....|_____-x -2__-
.............................0
Wat dus uiteindelijk x3 - 5x - 2 = (x + 2)(x2 - 2x - 1) oplevert
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Vraagje hoe heet een curve die sterk lijkt op B.V. http://www.wolframalpha.com/input/?i=1-exp%28-x%29+from+0+to+3? Halve s-curve? Of heeft het geen naam?
In het Duits heet dit een Exponentielle Annäherungskurve, maar in het Nederlands (of in het Engels) is er dacht ik geen specifieke naam voor. Maar ja, in het Duits heeft zo ongeveer alles een naam. Zo is er bijvoorbeeld ook geen goed Engels equivalent voor Drehstreckung, zodat Engelse auteurs dan soms maar de Duitse term gebruiken. In dit laatste geval ligt de Nederlandse vertaling draaistrekking wel voor de hand, maar die term is nooit echt populair geworden.quote:Op donderdag 24 mei 2012 15:31 schreef Dale. het volgende:
Vraagje hoe heet een curve die sterk lijkt op B.V. http://www.wolframalpha.com/input/?i=1-exp%28-x%29+from+0+to+3? Halve s-curve? Of heeft het geen naam?
Oke thanks! Meende te herinneren dat er een woord voor was in het Engelsquote:
[..]
In het Duits heet dit een Exponentielle Annäherungskurve, maar in het Nederlands (of in het Engels) is er dacht ik geen specifieke naam voor. Maar ja, in het Duits heeft zo ongeveer alles een naam. Zo is er bijvoorbeeld ook geen goed Engels equivalent voor Drehstreckung, zodat Engelse auteurs dan soms maar de Duitse term gebruiken. In dit laatste geval ligt de Nederlandse vertaling draaistrekking wel voor de hand, maar die term is nooit echt populair geworden.
Na een beetje googelen vind ik dat biologen en andere toegepaste wetenschappers wel de term asymptotic exponential curve gebruiken. Wiskundig onzinnig natuurlijk want andere exponentiële curves hebben evengoed een horizontale asymptoot, maar misschien is dat wat je zocht?quote:
[..]
Oke thanks! Meende te herinneren dat er een woord voor was in het Engels
Toch maar in het gewone wiskundetopic, want daar past het het best denk ik.
Ik heb dit probleem:
Ik ben al flink bezig geweest met omschrijven, maar ik kom niet uit op de onderste formule voor tau. Ik snap niet waar die pi nou vandaan komt. Iemand die het wel doorheeft?
Ik heb dit probleem:
Ik ben al flink bezig geweest met omschrijven, maar ik kom niet uit op de onderste formule voor tau. Ik snap niet waar die pi nou vandaan komt. Iemand die het wel doorheeft?
gr gr
Lijkt me eenvoudig. Je hebt:quote:
Toch maar in het gewone wiskundetopic, want daar past het het best denk ik.
Ik heb dit probleem:
[ afbeelding ]
Ik ben al flink bezig geweest met omschrijven, maar ik kom niet uit op de onderste formule voor tau. Ik snap niet waar die pi nou vandaan komt. Iemand die het wel doorheeft?
F(x) + k∙x = 0,
dus:
m∙x''(t) + k∙x(t) = 0,
of:
x''(t) = -(k/m)∙x(t)
Dit is een tweede orde lineaire homogene differentiaalvergelijking. Los deze eens op de bekende manier op door te substitueren:
x(t) = eλt
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 26-05-2012 12:30:00 ]
Iemand toevallig van het programa Mathematica en state space models?
Blues ain't nothing but a good man feeling bad...
Dat kan ik doen, maar ik kom dan nog steeds niet uit op die vergelijking voor tau.quote:
[..]
Lijkt me eenvoudig. Je hebt:
F(x) + k∙x = 0,
dus:
m∙x''(t) + k∙x(t) = 0,
of:
x''(t) = -(k/m)∙x(t)
Dit is een tweede orde lineaire homogene differentiaalvergelijking. Los deze eens op de bekende manier op door te substitueren:
x(t) = C∙eλt
En sowieso heb ik dan 4 onbekenden en maar 2 randvoorwaarden.
[ Bericht 4% gewijzigd door Quyxz_ op 25-05-2012 11:07:20 ]
gr gr
k en m worden als bekend beschouwd (je kan ze dus gewoon in je antwoord laten staan). Los eerst de differentiaalvergelijking eens op, zoals Riparius al suggereerde, en bedenk dan nog eens wat voor punt je precies zoekt.quote:
[..]
Dat kan ik doen, maar ik kom dan nog steeds niet uit op die vergelijking voor tau.
En sowieso heb ik dan 4 onbekenden en maar 2 randvoorwaarden.
Ik heb het nu opgelost met een ietwat andere benadering. Geen idee of het geheel correct is, maar ik kom iig wel goed uit. Ik zal zo de berekening plaatsen.quote:Op vrijdag 25 mei 2012 11:31 schreef kutkloon7 het volgende:
[..]
k en m worden als bekend beschouwd (je kan ze dus gewoon in je antwoord laten staan). Los eerst de differentiaalvergelijking eens op, zoals Riparius al suggereerde, en bedenk dan nog eens wat voor punt je precies zoekt.
Edit: Dit is mijn berekening. Wat is er allemaal fout?
[ Bericht 13% gewijzigd door Quyxz_ op 25-05-2012 11:59:31 ]
gr gr
De oplossing die je uiteindelijk voor je differentiaalvergelijking vindt is goed, namelijk:quote:
[..]
Ik heb het nu opgelost met een ietwat andere benadering. Geen idee of het geheel correct is, maar ik kom iig wel goed uit. Ik zal zo de berekening plaatsen.
Edit: Dit is mijn berekening. Wat is er allemaal fout?
[ afbeelding ]
x(t) = cos ωt,
met
ω = √(k/m)
Maar de manier waarop je dat opschrijft is niet correct. Je algemene oplossing is namelijk een lineaire combinatie niet van cos ωt en i∙sin ωt maar van eiωt en e-iωt. Uit
λ2 = -k/m
volgt immers (aangezien m en k positief zijn):
λ = i∙√(k/m) ∨ λ = -i∙√(k/m),
zodat:
x(t) = c1∙ei∙√(k/m)∙t + c2∙e-i∙√(k/m)∙t
de algemene oplossing is van de differentiaalvergelijking. Met behulp van de beginvoorwaarden x(0) = 1 en x'(0) = 0 vind je dan c1 + c2 = 1 en c1 - c2 = 0, zodat c1 = c2 = ½ en we dus krijgen:
x(t) = (ei∙√(k/m)∙t + e-i∙√(k/m)∙t)/2 = cos (√(k/m)∙t)
Hiervoor kunnen we schrijven x(t) = cos ωt met ω = √(k/m) waarbij ω (= 2πf) de cirkelfrequentie wordt genoemd. De periodeduur T (= 1/f) is nu het kleinste positieve getal zodanig dat voor elke t geldt:
x(t + T) = x(t)
Aangezien cos t een periode 2π heeft, heeft x(t) = cos ωt een periode
T = 2π/ω,
immers:
x(t + 2π/ω) = cos(ω(t + 2π/ω)) = cos(ωt + 2π) = cos ωt = x(t)
Verder had je al correct aangegeven dat:
τ = ¼T,
zodat we inderdaad krijgen:
τ = π/2ω
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 25-05-2012 23:07:16 ]
We hebben nu graaftheorie, maar ik vind die bewijsvragen behoorlijk lastig moet ik zeggen..
Zij D = (V, A) een gerichte graaf, en zij R een gesloten gerichte wandeling in
D. Bevat R een gerichte cykel? Zo ja, geef een bewijs. Zo nee, geef een
tegenvoorbeeld.
Een gerichte wandeling in een gerichte graaf van v0 naar vk is een rij v0,e1,v1,..,ek,vk van punten pijlen z.d.d ei een pijl is van vi-1 naar vi. Als de gerichte wandeling gesloten is dan is v0 gelijk aan vk. Dus R is een rij v0,e1,v1,..ek,v0.
Een gerichte cykel in een gerichte graaf is een gesloten gerichte wandeling waarin alle pijlen en alle punten (behalve begin- en eindpunt) verschillend zijn.
Ik denk zelf dat een gesloten gerichte wandeling R in een gerichte graaf D per definitie een gerichte cykel bevat met lengte kleiner dan of gelijk aan de lengte van R.
Alleen hoe bewijs ik zoiets nou perfect?
Zij D = (V, A) een gerichte graaf, en zij R een gesloten gerichte wandeling in
D. Bevat R een gerichte cykel? Zo ja, geef een bewijs. Zo nee, geef een
tegenvoorbeeld.
Een gerichte wandeling in een gerichte graaf van v0 naar vk is een rij v0,e1,v1,..,ek,vk van punten pijlen z.d.d ei een pijl is van vi-1 naar vi. Als de gerichte wandeling gesloten is dan is v0 gelijk aan vk. Dus R is een rij v0,e1,v1,..ek,v0.
Een gerichte cykel in een gerichte graaf is een gesloten gerichte wandeling waarin alle pijlen en alle punten (behalve begin- en eindpunt) verschillend zijn.
Ik denk zelf dat een gesloten gerichte wandeling R in een gerichte graaf D per definitie een gerichte cykel bevat met lengte kleiner dan of gelijk aan de lengte van R.
Alleen hoe bewijs ik zoiets nou perfect?
Ik heb niet zoveel verstand van graaftheorie, maar in de definitie van de gerichte cykel wordt nog extra geëist dat alle tussenliggende punten verschillend zijn.quote:
We hebben nu graaftheorie, maar ik vind die bewijsvragen behoorlijk lastig moet ik zeggen..
Zij D = (V, A) een gerichte graaf, en zij R een gesloten gerichte wandeling in
D. Bevat R een gerichte cykel? Zo ja, geef een bewijs. Zo nee, geef een
tegenvoorbeeld.
Een gerichte wandeling in een gerichte graaf van v0 naar vk is een rij v0,e1,v1,..,ek,vk van punten pijlen z.d.d ei een pijl is van vi-1 naar vi. Als de gerichte wandeling gesloten is dan is v0 gelijk aan vk. Dus R is een rij v0,e1,v1,..ek,v0.
Een gerichte cykel in een gerichte graaf is een gesloten gerichte wandeling waarin alle pijlen en alle punten (behalve begin- en eindpunt) verschillend zijn.
Ik denk zelf dat een gesloten gerichte wandeling R in een gerichte graaf D per definitie een gerichte cykel bevat met lengte kleiner dan of gelijk aan de lengte van R.
Alleen hoe bewijs ik zoiets nou perfect?
Als je bijvoorbeeld de volgende graaf pakt:
(1) <--------> (2) <---------> (3)
Dan is R =[1,2,3,2,1] (met de juiste bijbehorende edges) een gesloten gerichte wandeling. Wordt er met 'R bevat een cykel' bedoeld dat er een deelrij is van R dat een een cykel vormt?
In dit geval is [1,2,1] een cykel bevat in R.
Het volgt in ieder geval niet direct uit de definitie.
[ Bericht 0% gewijzigd door thenxero op 29-05-2012 23:26:09 ]
Nog bedankt hiervoor trouwens.quote:
[..]
De oplossing die je uiteindelijk voor je differentiaalvergelijking vindt is goed, namelijk:
x(t) = cos ωt,
met
ω = √(k/m)
Maar de manier waarop je dat opschrijft is niet correct. Je algemene oplossing is namelijk een lineaire combinatie niet van cos ωt en i∙sin ωt maar van eiωt en e-iωt. Uit
λ2 = -k/m
volgt immers (aangezien m en k positief zijn):
λ = i∙√(k/m) ∨ λ = -i∙√(k/m),
zodat:
x(t) = c1∙ei∙√(k/m)∙t + c2∙e-i∙√(k/m)∙t
de algemene oplossing is van de differentiaalvergelijking. Met behulp van de beginvoorwaarden x(0) = 1 en x'(0) = 0 vind je dan c1 + c2 = 1 en c1 - c2 = 0, zodat c1 = c2 = ½ en we dus krijgen:
x(t) = (ei∙√(k/m)∙t + e-i∙√(k/m)∙t)/2 = cos (√(k/m)∙t)
Hiervoor kunnen we schrijven x(t) = cos ωt met ω = √(k/m) waarbij ω (= 2πf) de cirkelfrequentie wordt genoemd. De periodeduur T (= 1/f) is nu het kleinste positieve getal zodanig dat voor elke t geldt:
x(t + T) = x(t)
Aangezien cos t een periode 2π heeft, heeft x(t) = cos ωt een periode
T = 2π/ω,
immers:
x(t + 2π/ω) = cos(ω(t + 2π/ω)) = cos(ωt + 2π) = cos ωt = x(t)
Verder had je al correct aangegeven dat:
τ = ¼T,
zodat we inderdaad krijgen:
τ = π/2ω
gr gr
Het is ook een gerichte graaf, dus (1)<---->(2) is dan al niet mogelijk, alleen (1)-->(2) of (1)<--(2). Anders zou de stelling inderdaad niet gelden.quote:
[..]
Ik heb niet zoveel verstand van graaftheorie, maar in de definitie van de gerichte cykel wordt nog extra geëist dat alle tussenliggende punten verschillend zijn.
Als je bijvoorbeeld de volgende graaf pakt:
(1) <--------> (2) <---------> (3)
Dan is R =[1,2,3,2,1] (met de juiste bijbehorende edges) een gesloten gerichte wandeling. Wordt er met 'R bevat een cykel' bedoeld dat er een deelrij is van R dat een een cykel vormt?
In dit geval is [1,2,1] een cykel bevat in R.
Het volgt in ieder geval niet direct uit de definitie.
In een gerichte graaf mogen pijlen toch gewoon 2 kanten op getekend worden? 
En waarom geldt de stelling dan niet?
En waarom geldt de stelling dan niet?
Nee, in een gerichte graaf, heeft elke lijn tussen twee punten één richting. Als dat niet geld dan kan je een wandeling maken die heen en terug loopt tussen twee punten, dat is geen cykel.. (kan je met tegenvoorbeeld precies laten zien)quote:
In een gerichte graaf mogen pijlen toch gewoon 2 kanten op getekend worden?
En waarom geldt de stelling dan niet?
Wat ik zelf nu heb:
Zij R een gerichte wandeling v_0,v_1,...,_v_n dan zijn er gehele getallen i,k met i<k zodanig dat v_i=v_k. k is dan het kleinste geheel getal waarvoor dit geldt, dus k is de eerste v_k waarvoor v_i=v_k. Hieruit ontstaat dan de deelgraaf v_i,_v_i+1,...,v_k, dit is een gerichte cykel.
Ja maar je kan toch een lijn van a naar b tekenen en ook van b naar a? Anders hanteer je wel een aparte definitie van gerichte graaf. Je krijgt dan inderdaad wandelingen die geen cykel zijn.quote:
[..]
Nee, in een gerichte graaf, heeft elke lijn tussen twee punten één richting. Als dat niet geld dan kan je een wandeling maken die heen en terug loopt tussen twee punten, dat is geen cykel.. (kan je met tegenvoorbeeld precies laten zien)
Wat ik zelf nu heb:
Zij R een gerichte wandeling v_0,v_1,...,_v_n dan zijn er gehele getallen i,k met i<k zodanig dat v_i=v_k. k is dan het kleinste geheel getal waarvoor dit geldt, dus k is de eerste v_k waarvoor v_i=v_k. Hieruit ontstaat dan de deelgraaf v_i,_v_i+1,...,v_k, dit is een gerichte cykel.
R moet wel gesloten zijn natuurlijk.
Dus of dit correct is hangt volledig af van je definitie van gerichte grafen... controleer dat maar eens in je boek.
Ja klopt, hij moet wel gesloten zijn! Was ik even vergeten te typenquote:
[..]
Ja maar je kan toch een lijn van a naar b tekenen en ook van b naar a? Anders hanteer je wel een aparte definitie van gerichte graaf. Je krijgt dan inderdaad wandelingen die geen cykel zijn.
R moet wel gesloten zijn natuurlijk.
Dus of dit correct is hangt volledig af van je definitie van gerichte grafen... controleer dat maar eens in je boek.
.Volgens mij klopt het wel, mijn syllabus beschrijft de lijnen tussen punten in een gerichte graaf als één richting, die ofwel een inpijl danwel een uitpijl beschrijft.
Van wikipedia:
Dus hier zeggen dat ze een richting aanwijzen van de pijl, dus normaliter zijn (x,y) en (y,x) toegestaan, hier is alleen (x,y) of (y,x), afhankelijk van de richting.quote:An orientation of a simple undirected graph is obtained by assigning a direction to each edge
Waar zie je staan dat je niet (x,y) en (y,x) mag hebben als edges?
Of hoe noem je grafen waar je dan wel twee kanten op kan?
Of hoe noem je grafen waar je dan wel twee kanten op kan?
Grafen waar je wel twee kanten op kan zijn "undirected" ofwel gewone grafen. Directed is een extra eigenschap die je aan de lijnen/edges toevoegt.quote:
Waar zie je staan dat je niet (x,y) en (y,x) mag hebben als edges?
Of hoe noem je grafen waar je dan wel twee kanten op kan?
Als je ionen moet benoemen he, en je hebt bijvoorbeeld Au³+, heet het dan gewoon goud-ion?
En klopt het ook dat Mn²+ het mangaan(II)-ion is?
En klopt het ook dat Mn²+ het mangaan(II)-ion is?
@wicky, dit is wiskunde he? Over de namen van de stoffen: kijk wat Fe is en wat N is. Staat allemaal keurig in de binas
Kaliumsulfide, ijzer(III)nitride en tin(tetra/IV)jodide?quote:
Weet ook iemand wat de naam is van K2S, FeN en SnI4?
[ Bericht 0% gewijzigd door zoem op 30-05-2012 19:51:59 ]
Zat inderdaad verkeerd, sorry!quote:
@wicky, dit is wiskunde he? Over de namen van de stoffen: kijk wat Fe is en wat N is. Staat allemaal keurig in de binas
Bedankt!quote:
[..]
Kaliumsulfide, ijzernitride en tin(tetra/IV)jodide?
Ik heb een vraag over conflictlijnen. Als je twee hoeken hebt die dezelfde kant op staan (dus: < <), is dan de middelloodlijn die op de bissectrice van de buitenste hoek ligt de conflictlijn? (Ik weet niet of het nou goed beschrijf, maar ik denk het wel...)
Ik ben tegen het gebruik van de term conflictlijn (zie ook hier) omdat het een term is waarbij allerlei verschillende meetkundige begrippen op één hoop worden gegooid, wat het inzicht niet ten goede komt en daarmee didactisch helemaal fout is. De term wordt kennelijk ook alleen maar in Nederland gehanteerd (hoe typisch). Maar afgezien daarvan is je vraagstelling onduidelijk. Probeer een plaatje te maken dat je vraagstelling illustreert.quote:
Ik heb een vraag over conflictlijnen. Als je twee hoeken hebt die dezelfde kant op staan (dus: < <), is dan de middelloodlijn die op de bissectrice van de buitenste hoek ligt de conflictlijn? (Ik weet niet of het nou goed beschrijf, maar ik denk het wel...)
En zulke grafen dan?quote:
[..]
Grafen waar je wel twee kanten op kan zijn "undirected" ofwel gewone grafen. Directed is een extra eigenschap die je aan de lijnen/edges toevoegt.
(1) < --- > (2) ---> (3)
In het Engels is er ook een woord voorquote:
[..]
De term wordt kennelijk ook alleen maar in Nederland gehanteerd (hoe typisch).
http://en.wikipedia.org/wiki/Locus_(mathematics)
Nee, locus is de Engelse term voor wat vooral vroeger in het Nederlands een meetkundige plaats werd genoemd. Dat is een begrip uit de klassieke Euclidische meetkunde, in tegenstelling tot het modebegrip conflictlijn. Een ellips of een hyperbool bijvoorbeeld wordt als een meetkundige plaats gedefinieerd, niet als een conflictlijn. Het hele begrip conflictlijn is overbodig en schept alleen maar verwarring.quote:
[..]
In het Engels is er ook een woord voor
http://en.wikipedia.org/wiki/Locus_(mathematics)
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 01-06-2012 22:06:43 ]
In het bericht waar je naar verwees staat dat een parabool wel een conflictlijn is. Waarom kun je hyperbool en ellips dan geen conflictlijn noemen?
Die heb ik nog ziet langskomen eigenlijk, volgens mij is dat niet gedefinieerd (maar durf ik niet met zekerheid te zeggen)?quote:
[..]
En zulke grafen dan?
(1) < --- > (2) ---> (3)
thenxero heeft gelijk, een directed graaf kan best arcs (a,b) en (b,a) hebben.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Omdat een ellips en een hyperbool niet worden gedefinieerd als een verzameling punten met gelijke afstanden tot twee andere punten of puntverzamelingen. Hetzelfde geldt uiteraard voor de cirkel.quote:
In het bericht waar je naar verwees staat dat een parabool wel een conflictlijn is. Waarom kun je hyperbool en ellips dan geen conflictlijn noemen?
Het begrip meetkundige plaats is veel algemener, het gaat daarbij om een verzameling van alle punten in het vlak die aan een bepaalde voorwaarde voldoen, en dat kan van alles zijn. Zo is bij twee gegeven punten A en B de meetkundige plaats van de punten P zodanig dat ∠APB recht is een cirkel met middellijn AB uitgezonderd de punten A en B zelf, maar dit is uiteraard geen conflictlijn.
Hihihi jij volgt het vak numerieke analyse op de TU/equote:
Toch maar in het gewone wiskundetopic, want daar past het het best denk ik.
Ik heb dit probleem:
[ afbeelding ]
Ik ben al flink bezig geweest met omschrijven, maar ik kom niet uit op de onderste formule voor tau. Ik snap niet waar die pi nou vandaan komt. Iemand die het wel doorheeft?
Dit is gecompliceerder dan je denkt. Aangenomen dat de beide hoeken recht zijn en de afstand van elk van de benen van hoek 1 tot de parallelle benen van hoek 2 gelijk is, is je conflictlijn binnen het vierkant dat wordt gevormd door de hoekpunten van beide hoeken en de voetpunten van de loodlijnen van het hoekpunt van hoek 1 op de benen van hoek 2 geen recht lijnstuk maar een paraboolsegment.quote:
[ afbeelding ]
Het gaat om de ruimte tussen 1 en 2.
Ik vermoedde al dat er iets met een parabool gedaan moest worden... Maar ergens lijkt dat heel onlogisch.
Ik heb het nu even uitgetekend en het resultaat is een kromme lijn in het hoekpunt. Als ik het goed begrijp moet zo'n hoek dus behandeld worden als een punt, i.p.v. twee lijnen die elkaar raken?
Ik heb het nu even uitgetekend en het resultaat is een kromme lijn in het hoekpunt. Als ik het goed begrijp moet zo'n hoek dus behandeld worden als een punt, i.p.v. twee lijnen die elkaar raken?
Nee, er is niets onlogisch aan. Zodra je binnen het genoemde vierkant zit, geldt dat de minimale afstand tot hoek 1 altijd gelijk is aan de afstand tot het hoekpunt van hoek 1, immers alle andere punten op de beide benen van hoek 1 liggen dan verder weg. Voor de minimale afstand tot hoek 2 geldt binnen het genoemde vierkant dat je de lengte van de kortste van de twee loodlijnen op elk van de benen van hoek 2 moet nemen als 'de' kortste afstand tot hoek 2.quote:
Ik vermoedde al dat er iets met een parabool gedaan moest worden... Maar ergens lijkt dat heel onlogisch.
Nee. Ik begrijp trouwens niet wat je hiermee precies bedoelt. Je moet de definitie van de conflictlijn hanteren. Maar zoals je zelf ziet leidt dat al gauw tot verwarringen.quote:Ik heb het nu even uitgetekend en het resultaat is een kromme lijn in het hoekpunt. Als ik het goed begrijp moet zo'n hoek dus behandeld worden als een punt, i.p.v. twee lijnen die elkaar raken?
Wel.quote:
[..]
Omdat een ellips en een hyperbool niet worden gedefinieerd als een verzameling punten met gelijke afstanden tot twee andere punten of puntverzamelingen.
Ken je de definities van een een ellips of een hyperbool als meetkundige plaats aan de hand van twee brandpunten F1 en F2 of aan de hand van één brandpunt F en een richtlijn d (directrix) wel?quote:
De verzameling van alle punten met gelijke afstand tot een vast punt en een vaste cirkel heet een ellips als het punt binnen de cirkel ligt en een hyperbool als het punt buiten de cirkel ligt. In die zin zie ik niet waarom ellips en hyperbool geen conflictlijnen zijn en de parabool wel. Ik ken ook de definitie met brandpunten, maar die doet er hier niet toe.quote:
[..]
Ken je de definities van een een ellips of een hyperbool als meetkundige plaats aan de hand van twee brandpunten F1 en F2 of aan de hand van één brandpunt F en een richtlijn d (directrix) wel?
Ja, zo kunnen ellips en hyperbool conflictlijnen zijn, maar zo worden ze niet gedefinieerd.quote:
[..]
De verzameling van alle punten met gelijke afstand tot een vast punt en een vaste cirkel heet een ellips als het punt binnen de cirkel ligt en een hyperbool als het punt buiten de cirkel ligt. In die zin zie ik niet waarom ellips en hyperbool geen conflictlijnen zijn en de parabool wel. Ik ken ook de definitie met brandpunten, maar die doet er hier niet toe.
Ik ken tenminste geen (leer)boeken waarin dit zo wordt gedaan.
Nee, er is niets zwaks aan mijn argumenten. Het lijkt erop alsof jij geen scherp onderscheid wenst te maken tussen definities en stellingen, terwijl dat onderscheid toch wezenlijk is voor de gehele wiskunde.quote:
Zwak argument, linksom of rechtsom is het een conflictlijn.
Een parabool kunnen we definiëren als de meetkundige plaats van punten in een plat vlak die op gelijke afstanden liggen van een lijn in dat vlak en een punt in dat vlak buiten die lijn. En deze definitie kunnen we inderdaad herformuleren in termen van een conflictlijn: een parabool is dan te (her)definiëren als een conflictlijn van een rechte en een punt buiten die rechte.
Maar de meetkundige definities van een ellips of een hyperbool, ongeacht of we deze definiëren aan de hand van twee vaste punten (de brandpunten of foci) of aan de hand van één vast punt (brandpunt of focus) en een rechte (richtlijn of directrix) zijn niet te herformuleren in termen van een conflictlijn gerelateerd aan de twee gegeven punten resp. het gegeven punt en de gegeven lijn. Dit brengt meteen ook de nutteloosheid van het begrip conflictlijn aan het licht: elke conflictlijn is een meetkundige plaats (locus), maar niet elke meetkundige plaats is een conflictlijn. We hebben dus voldoende aan het begrip meetkundige plaats, zoals dat al meer dan twee millennia wordt gebruikt in de euclidische meetkunde. Het begrip conflictlijn wordt sinds een jaar of vijftien gepropageerd door het Freudenthalinstituut, maar daar komen wel meer onzinnige ideeën vandaan t.a.v. de hervorming van het Nederlandse wiskunde-onderwijs. Het is ook een teken aan de wand dat het begrip conflictlijn verder nergens buiten Nederland wordt gebruikt, ook niet in Vlaanderen.
Nu kun je beweren dat de conflictlijn van een cirkel en een punt binnen die cirkel een ellips is, maar dat is dan geen definitie van een ellips, maar een stelling. En een stelling behoeft een bewijs, zie bijvoorbeeld hier.
Twaalf bedoelt denk ik dat je een ellips kan definiëren als de conflictlijn tussen een punt en een cirkel als het punt in de cirkel ligt. Met die definitie werkte ik ook op de middelbare school.
Staat ook zo in je bestandje:
Staat ook zo in je bestandje:
Ik zie het probleem niet.quote:De conflictlijn E van een punt P en de cirkel K heet een ellips
Ja, ik begrijp dat dat kan, als je twee equivalente definities A en B hebt dan kun je A of B kiezen als 'de' definitie, en de andere definitie tot een stelling maken door de equivalentie te bewijzen. Dick Klingens zit een beetje te schipperen in het PDFje waarnaar ik hierboven link, want hij zegt eerst (p. 6) "De conflictlijn E van het punt P en de cirkel K heet ellips" (mijn cursivering, Riparius), waarmee hij dus een definitie suggereert, maar even later geeft hij dan de bekende definitie van de ellips als meetkundige plaats van de punten waarvan de som van de afstanden tot twee vaste punten constant is. Maar goed, Klingens zit een beetje tussen twee vuren in als docent van de oude stempel en als lid van adviescommissies voor de vernieuwing van het wiskunde-onderwijs en dat verklaart wel waarom hij het zo doet.quote:
Twaalf bedoelt denk ik dat je een ellips kan definiëren als de conflictlijn tussen een punt en een cirkel als het punt in de cirkel ligt. Met die definitie werkte ik ook op de middelbare school.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 03-06-2012 18:08:48 ]
Snelle vraag,
sin (2/3) pi
Omdat mijn rekenmachinetje geen radialen pikt maar graden,
(2/3) * 180 = 120
sin 120 = 0,87
Het boek geeft het antwoord (1/2) * sqrt(3)
Ik zie dat het hetzelfde is, maar hoe komen zij daar?
sin (2/3) pi
Omdat mijn rekenmachinetje geen radialen pikt maar graden,
(2/3) * 180 = 120
sin 120 = 0,87
Het boek geeft het antwoord (1/2) * sqrt(3)
Ik zie dat het hetzelfde is, maar hoe komen zij daar?
"Social order at the expense of liberty is hardly a bargain."
Middelbare school denk ik?
Dat riedeltje moesten wij uit ons hoofd leren. Is makkelijk te onthouden en als je een globaal beeld hebt hoe een (co)sinus eruit ziet al helemaal.
Dat riedeltje moesten wij uit ons hoofd leren. Is makkelijk te onthouden en als je een globaal beeld hebt hoe een (co)sinus eruit ziet al helemaal.
gr gr
En als je het even kwijt bent, kan je altijd een gelijkzijdige driehoek (voor de sinus en cosinus van 60 graden, of π/3 radialen) of een half vierkant dat is afgesneden via de diagonaal (voor de sinus en cosinus van 45 graden of π/2).quote:
Middelbare school denk ik?
[ afbeelding ]
Dat riedeltje moesten wij uit ons hoofd leren. Is makkelijk te onthouden en als je een globaal beeld hebt hoe een (co)sinus eruit ziet al helemaal.
Helaas weet ik niet zo snel een driehoek waarmee je de sinus en cosinus van π/6 kan vinden. Het zou kunnen met de somformule voor de sinus/cosinus, maar dan moet je de somformule onthouden ipv sin(π/6)=1/4, wat me niet echt makkelijker lijkt
[ Bericht 8% gewijzigd door kutkloon7 op 04-06-2012 17:43:19 ]
Je kunt dit eenvoudig meetkundig beredeneren. Teken een gelijkzijdige driehoek ABC, de hoeken van deze driehoek zijn dan elk 60 graden. Teken vanuit (bijvoorbeeld) hoekpunt C een hoogtelijn, het voetpunt D van deze hoogtelijn is dan het midden van zijde AB. Nu is driehoek ACD rechthoekig, en aangezien D het midden is van AB en dus AD = ½∙AB en ook AB = AC hebben we dus:quote:Op maandag 4 juni 2012 17:15 schreef Quir het volgende:
Snelle vraag,
sin (2/3) pi
Omdat mijn rekenmachinetje geen radialen pikt maar graden,
(2/3) * 180 = 120
sin 120 = 0,87
Het boek geeft het antwoord (1/2) * sqrt(3)
Ik zie dat het hetzelfde is, maar hoe komen zij daar?
AD = ½∙AC
En volgens Pythagoras hebben we ook:
AC2 = AD2 + CD2
En dus:
CD2 = AC2 - AD2 = AC2 - (½∙AC)2 = AC2 - ¼∙AC2 = ¾∙AC2
En dus:
CD = √(¾)∙AC = ½√3∙AC
Nu is in een rechthoekige driehoek de sinus van een scherpe hoek de verhouding tussen de overstaande rechthoekszijde en de schuine zijde, dus hebben we:
sin 60° = sin ∠DAC = CD : AC = ½√3∙AC : AC = ½√3
En aangezien supplementaire hoeken dezelfde sinus hebben, hebben we dus ook
sin 120° = sin(180° - 60°) = sin 60° = ½√3
Heel eenvoudig: als je een rechthoekige driehoek hebt met een hoek van 60 graden, dan is de andere scherpe hoek 30 graden. En uiteraard is de cosinus van een hoek de sinus van het complement, daarom heet het ook een cosinus (als afkorting van complementi sinus).quote:
[..]
En als je het even kwijt bent, kan je altijd een gelijkzijdige driehoek (voor de sinus en cosinus van 60 graden, of π/3 radialen) of een half vierkant dat is afgesneden via de diagonaal (voor de sinus en cosinus van 45 graden of π/2).
Helaas weet ik niet zo snel een driehoek waarmee je de sinus en cosinus van π/6 kan vinden.
Ik begrijp dit alles, maar was meer uit naar een effectieve manier om zonder rekenmachine te berekenen. Ik heb pythagoras gebruikt, logischerwijs, maar op een iets andere manier.
cos² [a] + sin² [a] = 1
Eenheidscirkel naar concept
x² + y² = 1
Levert getallen op die moeilijker zijn om mee te rekenen.
cos² [a] + sin² [a] = 1
Eenheidscirkel naar concept
x² + y² = 1
Levert getallen op die moeilijker zijn om mee te rekenen.
Basisboek Wiskunde, dus, in principe, ja.quote:
Middelbare school denk ik?
[ afbeelding ]
Dat riedeltje moesten wij uit ons hoofd leren. Is makkelijk te onthouden en als je een globaal beeld hebt hoe een (co)sinus eruit ziet al helemaal.
"Social order at the expense of liberty is hardly a bargain."
Voor ik het vergeet, dit was wat ik moest hebben, dus.quote:
[..]
Je kunt dit eenvoudig meetkundig beredeneren. Teken een gelijkzijdige driehoek ABC, de hoeken van deze driehoek zijn dan elk 60 graden. Teken vanuit (bijvoorbeeld) hoekpunt C een hoogtelijn, het voetpunt D van deze hoogtelijn is dan het midden van zijde AB. Nu is driehoek ACD rechthoekig, en aangezien D het midden is van AB en dus AD = ½∙AB en ook AB = AC hebben we dus:
AD = ½∙AC
En volgens Pythagoras hebben we ook:
AC2 = AD2 + CD2
En dus:
CD2 = AC2 - AD2 = AC2 - (½∙AC)2 = AC2 - ¼∙AC2 = ¾∙AC2
En dus:
CD = √(¾)∙AC = ½√3∙AC
Nu is in een rechthoekige driehoek de sinus van een scherpe hoek de verhouding tussen de overstaande rechthoekszijde en de schuine zijde, dus hebben we:
sin 60° = sin ∠DAC = CD : AC = ½√3∙AC : AC = ½√3
En aangezien supplementaire hoeken dezelfde sinus hebben, hebben we dus ook
sin 120° = sin(180° - 60°) = sin 60° = ½√3
Dank allen.
"Social order at the expense of liberty is hardly a bargain."
Riparius, nu je er toch bent.
Ik had vandaag wiskunde, zoals een echte baas, en ik was wat mee aan het lezen bij de discussie over conflictlijnen (ellips).
Nu zei mijn wiskundedocent dat een ellips juist de conflictlijn (stelling / definitie doet er in deze vraag even niet toe) is van een cirkel binnen een grotere cirkel. Door middel van een cirkel met straal r1 + r2 te tekenen kreeg je dus een "somcirkel". Aan de hand van deze cirkel was het mogelijk om de ellips te construeren (en te bewijzen, aangezien de afstand van beide brandpunten N en M tot de ellips opgeteld een constante vormen, namelijk de straal van de "somcirkel").
Maar is dan de conflictlijn van een punt binnen een cirkel ook een ellips, en zoja, hoe construeer ik deze?
Ik had vandaag wiskunde, zoals een echte baas, en ik was wat mee aan het lezen bij de discussie over conflictlijnen (ellips).
Nu zei mijn wiskundedocent dat een ellips juist de conflictlijn (stelling / definitie doet er in deze vraag even niet toe) is van een cirkel binnen een grotere cirkel. Door middel van een cirkel met straal r1 + r2 te tekenen kreeg je dus een "somcirkel". Aan de hand van deze cirkel was het mogelijk om de ellips te construeren (en te bewijzen, aangezien de afstand van beide brandpunten N en M tot de ellips opgeteld een constante vormen, namelijk de straal van de "somcirkel").
Maar is dan de conflictlijn van een punt binnen een cirkel ook een ellips, en zoja, hoe construeer ik deze?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Hoe bedoel je moeilijker? Je hebt (½)2 + (½∙√3)2 = 1.quote:Op maandag 4 juni 2012 18:54 schreef Quir het volgende:
Ik begrijp dit alles, maar was meer uit naar een effectieve manier om zonder rekenmachine te berekenen. Ik heb pythagoras gebruikt, logischerwijs, maar op een iets andere manier.
cos² [a] + sin² [a] = 1
Eenheidscirkel naar concept
x² + y² = 1
Levert getallen op die moeilijker zijn om mee te rekenen.
Het wordt pas lastig als je bijvoorbeeld wil afleiden dat sin 18° = ¼(√5 - 1).
Logicaquote:
Natuurlijk, punt is een cirkel met straal 0 immers.
k*t
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Beiden zijn dan nog niet bekend, wat maaktquote:
[..]
Hoe bedoel je moeilijker? Je hebt (½)2 + (½∙√3)2 = 1.
Het wordt pas lastig als je bijvoorbeeld wil afleiden dat sin 18° = ¼(√5 - 1).
cos [a] = √( 1 - (4/9) * pi² )
"Social order at the expense of liberty is hardly a bargain."
Dit wordt allemaal duidelijk als je het PDF bestand van Dick Klingens waarnaar ik hierboven verwijs bestudeert. Hij bespreekt ook de conflictlijn van twee cirkels.quote:
Riparius, nu je er toch bent.
Ik had vandaag wiskunde, zoals een echte baas, en ik was wat mee aan het lezen bij de discussie over conflictlijnen (ellips).
Nu zei mijn wiskundedocent dat een ellips juist de conflictlijn (stelling / definitie doet er in deze vraag even niet toe) is van een cirkel binnen een grotere cirkel. Door middel van een cirkel met straal r1 + r2 te tekenen kreeg je dus een "somcirkel". Aan de hand van deze cirkel was het mogelijk om de ellips te construeren (en te bewijzen, aangezien de afstand van beide brandpunten N en M tot de ellips opgeteld een constante vormen, namelijk de straal van de "somcirkel").
Maar is dan de conflictlijn van een punt binnen een cirkel ook een ellips, en zoja, hoe construeer ik deze?
Overigens, als je toe bent aan een nieuwe uitdaging, dan heb ik nog wel een (algebra)opgave voor je uit de oude doos. Eentje die goede H.B.S. B en Gymnasium β leerlingen uit de hogere klassen ruim een halve eeuw geleden nog konden oplossen.
Misschien moet je een niet-complex voorbeeld bedenken als je dan toch leuk wilt zijn..quote:Op maandag 4 juni 2012 19:12 schreef Quir het volgende:
[..]
Beiden zijn dan nog niet bekend, wat maakt
cos [a] = √( 1 - (4/9) * pi² )
quote:
[..]
Dit wordt allemaal duidelijk als je het PDF bestand van Dick Klingens waarnaar ik hierboven verwijs bestudeert. Hij bespreekt ook de conflictlijn van twee cirkels.
Overigens, als je toe bent aan een nieuwe uitdaging, dan heb ik nog wel een (algebra)opgave voor je uit de oude doos. Eentje die goede H.B.S. B en Gymnasium β leerlingen uit de hogere klassen ruim een halve eeuw geleden nog konden oplossen.
Kom maar op.
Ik was vandaag nog op zoek naar de oude vwo wiskunde B1,2 boeken (Boek 6 boeide me, daarin stonden de betreffende conflictlijnen beschreven.) Maar John zou hem morgen meenemen, als hij het niet vergeet. (John is mijn docent wiskunde B&D)
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik denk dat je een beetje in de war bent ...quote:
[..]
Beiden zijn dan nog niet bekend, wat maakt
cos [a] = √( 1 - (4/9) * pi² )
Nog even over die conflictlijnen: die zijn geïntroduceerd door het Freudenthalinstituut. Op hun website kun je wel wat concept leerstofmodules inzien (link: 1 2). Ik ben er zelf niet enthousiast over, maar dat was denk ik al duidelijk.quote:
[..]
Kom maar op.
Dat klopt. Want dat geeft een negatief getal. Daar kom ik nog op terug.quote:
[..]
Ik denk dat je een beetje in de war bent ...
"Social order at the expense of liberty is hardly a bargain."
Wat heb je dan liever? Dat mensen het kegelsneden gaan noemen en vervolgens nooit weten waar het voor dient?quote:
[..]
Nog even over die conflictlijnen: die zijn geïntroduceerd door het Freudenthalinstituut. Op hun website kun je wel wat concept leerstofmodules inzien (link: 1 2). Ik ben er zelf niet enthousiast over, maar dat was denk ik al duidelijk.
Het is dat ik de methode ken om eenvoudige identiteiten te vinden voor Sin(nx), anders zou het inderdaad een hell of a job zijn.quote:
[..]
Hoe bedoel je moeilijker? Je hebt (½)2 + (½∙√3)2 = 1.
Het wordt pas lastig als je bijvoorbeeld wil afleiden dat sin 18° = ¼(√5 - 1).
Goed. Bedenk dat er destijds nog geen elektronische rekenhulpmiddelen beschikbaar waren. Het is dus mogelijk - en ook de bedoeling - de volgende opgave uitsluitend met gebruikmaking van pen en papier op te lossen. Als je een oplossing post, laat dan ook zien hoe je aan je oplossing bent gekomen. Hier is de opgave:quote:
In een plat vlak met een cartesisch assenstelsel ligt een rechte lijn die door het punt (1;1) gaat. Deze lijn snijdt de positieve x-as en de positieve y-as. De onderlinge afstand van de snijpunten bedraagt 4 eenheden en het snijpunt met de x-as ligt dichter bij de oorsprong dan het snijpunt met de y-as. Bereken de exacte coördinaten van de snijpunten van de lijn met de beide assen.
Het hele woord kegelsnede komt in de conceptmodules van het Freudenthalinstituut niet voor en dat is om te beginnen al een grote misser, zeker omdat ze Apollonius wél noemen. Als leerlingen dan een vervolgopleiding gaan doen en ze lezen in een engels boek de term conic sections, dat zou het dus zo maar kunnen dat ze niet eens begrijpen waar het over gaat. Overigens komt in de Nederlandse versie van Cabri waar de samenstellers nogal mee dwepen dan weer wel het woord kegelsneden voor.quote:
[..]
Wat heb je dan liever? Dat mensen het kegelsneden gaan noemen en vervolgens nooit weten waar het voor dient?
Tuurlijk mag je voor jezelf een tekening maken, is ook aanbevolen. Maar zoals gezegd, gevraagd wordt een exact antwoord.quote:
Begrepen!
Geen passer & geodriehoek/liniaal?
Gewoon een assenstelsel getekend, met een geodriehoek beetje uitgemeten. En nu de voorwaarden en vergelijkingen opstellen, en dan zien waar het schip strandt. Ik heb al een klein ideetje.quote:
[..]
Tuurlijk mag je voor jezelf een tekening maken, is ook aanbevolen. Maar zoals gezegd, gevraagd wordt een exact antwoord.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ach, ik kan 't niet meer terugvinden in m'n kladderschrift. Zal wel hebben lopen spiegelen.quote:Op maandag 4 juni 2012 19:24 schreef Quir het volgende:
[..]
Dat klopt. Want dat geeft een negatief getal. Daar kom ik nog op terug.
Heb er nu in ieder geval bovenstaande wijze in staan.
"Social order at the expense of liberty is hardly a bargain."
Toch niet weer een derde/vierdegraadspolynoom die je mag oplossen?quote:
[..]
Goed. Bedenk dat er destijds nog geen elektronische rekenhulpmiddelen beschikbaar waren. Het is dus mogelijk - en ook de bedoeling - de volgende opgave uitsluitend met gebruikmaking van pen en papier op te lossen. Als je een oplossing post, laat dan ook zien hoe je aan je oplossing bent gekomen. Hier is de opgave:
In een plat vlak met een cartesisch assenstelsel ligt een rechte lijn die door het punt (1;1) gaat. Deze lijn snijdt de positieve x-as en de positieve y-as. De onderlinge afstand van de snijpunten bedraagt 4 eenheden en het snijpunt met de x-as ligt dichter bij de oorsprong dan het snijpunt met de y-as. Bereken de exacte coördinaten van de snijpunten van de lijn met de beide assen.
Het komt neer op het snijpunt bepalen van een cirkel en een hyperbool. Altijd leuk ja..quote:
[..]
Toch niet weer een derde/vierdegraadspolynoom die je mag oplossen?
Ja, je moet het stelselquote:
[..]
Het komt neer op het snijpunt bepalen van een cirkel en een hyperbool. Altijd leuk ja..
a^2+b^2 = 16
a=b/(b-1)
oplossen. (en als ik dat omschrijf krijg ik een vierdegraadsvergelijking
)[ Bericht 12% gewijzigd door thenxero op 04-06-2012 20:27:09 ]
Hah, ik had het even snel uit mijn hoofd opschreven, stom dat ik het niet zag.quote:
[..]
Heel eenvoudig: als je een rechthoekige driehoek hebt met een hoek van 60 graden, dan is de andere scherpe hoek 30 graden. En uiteraard is de cosinus van een hoek de sinus van het complement, daarom heet het ook een cosinus (als afkorting van complementi sinus).
Hoe kom je bij die a=b/(b-1)? Ik weet niets over hyperbolen verder.quote:
[..]
Ja, je moet het stelsel
a^2+b^2 = 16
a=b/(b-1)
oplossen.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik noem de gezochte x-coördinaat a, en de gezochte y-coördinaat b. Dan geldt dat ab/2 de oppervlakte is van de driehoek ingesloten door de x en y as en de gezochte lijn. Maar de oppervlakte is ook op een andere manier uit te drukken, namelijk: (a-1)(b-1)/2 + 1.quote:
[..]
Hoe kom je bij die a=b/(b-1)? Ik weet niets over hyperbolen verder.
Dus (a-1)(b-1)/2 + 1 = ab/2. En dan oplossen voor a geeft a=b/(b-1).
En die vierdegraadsvergelijking krijg ik ook.
-b^4 +2b^3 +14b^2 -32b + 16 = 0
-b^4 +2b^3 +14b^2 -32b + 16 = 0
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Kun je dit toelichten?quote:
[..]
Ik noem de gezochte x-coördinaat a, en de gezochte y-coördinaat b. Dan geldt dat ab/2 de oppervlakte is van de driehoek ingesloten door de x en y as en de gezochte lijn. Maar de oppervlakte is ook op een andere manier uit te drukken, namelijk: (a-1)(b-1)/2 + 1.
Dus (a-1)(b-1)/2 + 1 = ab/2. En dan oplossen voor a geeft a=b/(b-1).
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
i
[ Bericht 99% gewijzigd door Amoeba op 04-06-2012 20:33:14 ]
[ Bericht 99% gewijzigd door Amoeba op 04-06-2012 20:33:14 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Dat is inderdaad het idee, maar mijn algebra klopt niet.quote:
Gewoon de driehoek splitsen in een vierkant en twee kleine driehoeken.
Krijg je die onzin a = ab-b
a = b(a-1)
a/(a-1) = b
zo kan het ook?
a = b(a-1)
a/(a-1) = b
zo kan het ook?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
En dit geeftquote:
(a+b)/2 = ab/2
a+b = ab
b/a=b
Crap, ik kan niet meer helder denken
Dit gaat iig nergens heen.
26"
Fading slowly.
Fading slowly.
Je laatste regel klopt niet.quote:
[..]
En dit geeft
(a+b)/2 = ab/2
a+b = ab
b/a=b
Crap, ik kan niet meer helder denken
Dit gaat iig nergens heen.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik denk dat je zoiets moet doen.
a + b = ab
kwadrateren geeft
a² + b² + 2ab = a²b²
We weten
a²+b²=16
dus
16 + 2ab = a²b²
Substitueer ab=x. Dan krijgen we een kwadratische vergelijking in x:
x² - 2x - 16 = 0.
Met de ABC-formule kunnen we dan x oplossen. We weten dan dus de waarde van ab, want ab=x en x is bekend. Dus a=x/b. Maar omdat ook a+b=x, hebben we ook a=x-b. Dus x-b = x/b. Dus bx - b² = x. Dus dan hebben we een kwadratische vergelijking in b. Die kan je ook weer oplossen. Dan heb je dus b, en dan kan je ook a berekenen.
(De details laat ik over aan amoeba
)
a + b = ab
kwadrateren geeft
a² + b² + 2ab = a²b²
We weten
a²+b²=16
dus
16 + 2ab = a²b²
Substitueer ab=x. Dan krijgen we een kwadratische vergelijking in x:
x² - 2x - 16 = 0.
Met de ABC-formule kunnen we dan x oplossen. We weten dan dus de waarde van ab, want ab=x en x is bekend. Dus a=x/b. Maar omdat ook a+b=x, hebben we ook a=x-b. Dus x-b = x/b. Dus bx - b² = x. Dus dan hebben we een kwadratische vergelijking in b. Die kan je ook weer oplossen. Dan heb je dus b, en dan kan je ook a berekenen.
(De details laat ik over aan amoeba
)
Die hebben we dus nu:quote:
Het lijkt me dat het maken van de juiste vierdegraadsvergelijking niet het grootste probleem is.
a2 + b2 = 16
-a4 + 2a3 + 14a2 -32a + 16 = 0.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik heb morgen een proefwerk. Alleen ik snap niks van de discriminant.
Ik heb een som waar ik maar niet uit kan komen :S
f (x) = 2x² -4x & g(x) = x + 10.
En dan moet je ook nog afleiden of die de lijn snijdt, raakt of geen gemeenschappelijk punt heeft.
Wie o wie kan me helpen?
Alvast bedankt
Ik heb een som waar ik maar niet uit kan komen :S
f (x) = 2x² -4x & g(x) = x + 10.
En dan moet je ook nog afleiden of die de lijn snijdt, raakt of geen gemeenschappelijk punt heeft.
Wie o wie kan me helpen?
Alvast bedankt
Stel f(x) = g(x) en los op voor x met behulp van de abc-formule.quote:
Ik heb morgen een proefwerk. Alleen ik snap niks van de discriminant.
Ik heb een som waar ik maar niet uit kan komen :S
f (x) = 2x² -4x & g(x) = x + 10.
En dan moet je ook nog afleiden of die de lijn snijdt, raakt of geen gemeenschappelijk punt heeft.
Wie o wie kan me helpen?
Alvast bedankt
De discriminant is inderdaad 105. Laat maar zien hoe jij het berekent.quote:
thenxero.
ik heb het uitgerekend en kom op 55 uit maar in het antwoordenboekje staat 105.
Een lijn snijdt wanneer geldt:
f(x) = g(x) & f'(x)*g'(x) = -1
Een lijn raakt wanneer:
f(x) = g(x) & f'(x) = g'(x)
f(x) = g(x) & f'(x)*g'(x) = -1
Een lijn raakt wanneer:
f(x) = g(x) & f'(x) = g'(x)
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
(-5)^2 = 25
-5^2 = -25
-5 = -1 * -5 ( kwadrateren gaat voor! Daarom haakjes in je GR)
-5^2 = -25
-5 = -1 * -5 ( kwadrateren gaat voor! Daarom haakjes in je GR)
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Sorry. b = (-1-√17 +/- √(14-2√17))/2quote:
Amoeba, heb je b al berekend van het Riparius probleem?
ofzo?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Over die lijn door (1,1):
noem de hoek tussen de lijn en de x-as θ, noem x=cosθ en y=sinθ, dan moet
,
dus
,
dus
,
dus
,
dus
,
substitutie z=1/(xy),
,
geeft een oplossing p voor z en dus ook voor xy.
Vervolgens x=1/(yp) substitueren in
,
geeft
,
dus
,
substitutie z=y^2,
,
geeft een oplossing q voor y,
vervolgens met Pythagoras het antwoord berekenen.
noem de hoek tussen de lijn en de x-as θ, noem x=cosθ en y=sinθ, dan moet
dus
dus
dus
dus
substitutie z=1/(xy),
geeft een oplossing p voor z en dus ook voor xy.
Vervolgens x=1/(yp) substitueren in
geeft
dus
substitutie z=y^2,
geeft een oplossing q voor y,
vervolgens met Pythagoras het antwoord berekenen.
b = (1+√17 +/- √(14-2√17))/2 krijg ik.quote:
[..]
Sorry. b = (-1-√17 +/- √(14-2√17))/2
ofzo?
Volgens mij hebben we dan
b = (1+√17 + √(14-2√17))/2
a = (1+√17 - √(14-2√17))/2
(want het probleem is symmetrisch in a en b en het was gegeven dat a<b)
-bx, mijn excuses. Je hebt gelijk.quote:
[..]
b = (1+√17 +/- √(14-2√17))/2 krijg ik.
Volgens mij hebben we dan
b = (1+√17 + √(14-2√17))/2
a = (1+√17 - √(14-2√17))/2
(want het probleem is symmetrisch in a en b en het was gegeven dat a<b)
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Numeriek lijkt het ook allemaal te kloppen zo in wolfram alpha. Volgens mij is dit hem dus. Leuk probleempje.quote:
Waar ellipsen een mens wel niet toe brengen.quote:
[..]
Numeriek lijkt het ook allemaal te kloppen zo in wolfram alpha. Volgens mij is dit hem dus. Leuk probleempje.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Haha. Nu is het eigenlijk mijn beurt om eens een leuk probleempje te posten.quote:
[..]
Waar ellipsen een mens wel niet toe brengen.
Ik kwam laatst nog wat leuks tegen voor hier, maar nu weet ik het niet meer
En dat is volkomen correct, waarbij dus A(a;0) het snijpunt is met de x-as en B(0;b) het snijpunt met de y-as.quote:
[..]
b = (1+√17 +/- √(14-2√17))/2 krijg ik.
Volgens mij hebben we dan
b = (1+√17 + √(14-2√17))/2
a = (1+√17 - √(14-2√17))/2
(want het probleem is symmetrisch in a en b en het was gegeven dat a<b)
Prima gedaan, de clou is natuurlijk om niet te verzanden in een vierdegraadsvergelijking die je niet gemakkelijk op kunt lossen.
Ik zag jou er nog wel voor aan om een opgave te geven waarbij je een vierdegraadsvergelijking moet oplossen, gezien je vorige opgavequote:
[..]
En dat is volkomen correct, waarbij dus A(a;0) het snijpunt is met de x-as en B(0;b) het snijpunt met de y-as.
Prima gedaan, de clou is natuurlijk om niet te verzanden in een vierdegraadsvergelijking die je niet gemakkelijk op kunt lossen.
.
Noem je dit wel gemakkelijk dan.quote:
[..]
En dat is volkomen correct, waarbij dus A(a;0) het snijpunt is met de x-as en B(0;b) het snijpunt met de y-as.
Prima gedaan, de clou is natuurlijk om niet te verzanden in een vierdegraadsvergelijking die je niet gemakkelijk op kunt lossen.
Ik wed dat 90% van alle havo leerlingen hier de steek zouden laten vallen zodra je NOG een keer met de ABC formule aan de haal moet wanneer er al zo'n harde vergelijking x = 1+√17 staat.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Die vorige opgave was bijzonder pittig inderdaad. Kopbrekens, tot middenin de nacht.quote:
[..]
Ik zag jou er nog wel voor aan om een opgave te geven waarbij je een vierdegraadsvergelijking moet oplossen, gezien je vorige opgave
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Vanuit het perspectief van een wiskundige is dit natuurlijk de meest elementaire wiskunde die er bestaat.quote:
[..]
Noem je dit wel gemakkelijk dan.
Ik wed dat 90% van alle havo leerlingen hier de steek zouden laten vallen zodra je NOG een keer met de ABC formule aan de haal moet wanneer er al zo'n harde vergelijking x = 1+√17 staat.
Geweldig.quote:
[..]
Vanuit het perspectief van een wiskundige is dit natuurlijk de meest elementaire wiskunde die er bestaat.
Ik heb trouwens geen rekenmachine in m'n hand gehad. Toen jij zei of ik b al had opgelost had ik slechts de discriminant op papier staan, stom dat ik er blind vanuit ging dat er huppeldepup + bx + pupdehuppel zou staan
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Amoeba en andere liefhebbers, aanschouw het volgende probleem.
Bepaal het aantal getallen tussen de 1000 en de 9999, zodat alle vier cijfers verschillen en ongelijk aan nul zijn.
Bepaal het aantal getallen tussen de 1000 en de 9999, zodat alle vier cijfers verschillen en ongelijk aan nul zijn.
Dit riekt naar een vorm van statistiek/kansrekening (Aldus behandeld in wiskunde D) ofzo.quote:
Amoeba en andere liefhebbers, aanschouw het volgende probleem.
Bepaal het aantal getallen tussen de 1000 en de 9999, zodat alle vier cijfers verschillen en ongelijk aan nul zijn.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Het heeft niks met kansrekening te maken, het is elementaire combinatoriek. Veel middelbare scholieren halen dat door elkaarquote:
[..]
Dit riekt naar een vorm van kansrekening ofzo.
.Maar je hebt geen voorkennis nodig om dit te kunnen oplossen. De oplossing is erg eenvoudig (als je erop komt).
Eerste getal is 8
Tweede 7
derde 6
vierde 4
8*7*6*5
En dan nog een nCr ertussen ofzoiets. Goor hoofdstuk
Tweede 7
derde 6
vierde 4
8*7*6*5
En dan nog een nCr ertussen ofzoiets. Goor hoofdstuk
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Sorry, ik zie dat ik vergeten ben te noemen dat het om oneven getallen gaat. Oeps.... dus:
quote:Bepaal het aantal oneven getallen tussen de 1000 en de 9999, zodat alle vier cijfers verschillen en ongelijk aan nul zijn.
Eerste getal heeft negen mogelijkheden toch? Dan kom je op 9*8*7*6=3024 getallen. Maar dan moet je nog ergens iets doen om te corrigeren voor dubbeltellen volgens mij...quote:
Eerste getal is 8
Tweede 7
derde 6
vierde 4
8*7*6*5
En dan nog een nCr ertussen ofzoiets. Goor hoofdstuk
The biggest argument against democracy is a five minute discussion with the average voter.
Ohja, de 1 verwarde me. 9*8*7*5 (laatste getal moet dus oneven zijn)quote:
[..]
Eerste getal heeft negen mogelijkheden toch? Dan kom je op 9*8*7*6=3024 getallen. Maar dan moet je nog ergens iets doen om te corrigeren voor dubbeltellen volgens mij...
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Fout.quote:
[..]
Ohja, de 1 verwarde me. 9*8*7*5 (laatste getal moet dus oneven zijn)
Ik tel de 9 en de 7 erbij, nu raak ik in de war.quote:
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Misschien is het wel aardig om iets over de achtergronden van het vraagstuk te vertellen, want er zijn natuurlijk meerdere manieren om het op te lossen.quote:
[..]
Noem je dit wel gemakkelijk dan.
Ik wed dat 90% van alle havo leerlingen hier de steek zouden laten vallen zodra je NOG een keer met de ABC formule aan de haal moet wanneer er al zo'n harde vergelijking x = 1+√17 staat.
Als je een tekening maakt, dan zie je vrij gemakkelijk dat er in totaal vier lijnen zijn die door het punt (1;1) gaan en de beide assen snijden zodanig dat de afstand van de snijpunten 4 bedraagt. En je kunt dat ook zien aan het stelsel
a2 + b2 = 16, a + b = ab,
want eliminatie van a of b levert dan een vierdegraadsvergelijking op. Maar omdat de vier mogelijke lijnen twee aan twee spiegelsymmetrisch liggen t.o.v. de lijn y = x, geldt dus voor elk gespiegeld lijnenpaar dat het product van de richtingscoëfficiënten gelijk is aan 1. En dat betekent dat we een wederkerige vergelijking van de vierde graad krijgen als we de richtingscoëfficiënt m van de lijn door (1;1) als variabele nemen. Nu hebben wederkerige vergelijkingen van even graad de prettige eigenschap dat je die door een substitutie (hier: m + 1/m = z) eenvoudig kunt herleiden tot een vergelijking waarvan de graad nog maar de helft van de oorspronkelijke bedraagt. En zo krijg je dan inderdaad ook een vierkantsvergelijking, waarvan de twee oplossingen aanleiding geven tot twee nieuwe vierkantsvergelijkingen. Heel vroeger stonden wederkerige vergelijkingen op het programma van het hoger middelbaar onderwijs, maar daaruit zijn ze ergens in de jaren '50 van de vorige eeuw verdwenen. Een beetje googelen leert dat ze wel in Vlaanderen kennelijk hier en daar nog op het programma staan.
Varianten van dit probleem staan ook bekend als het zogeheten ladderprobleem, zie bijvoorbeeld hier (waar de auteur duidelijk de theorie van de wederkerige vergelijkingen niet kent) en hier.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 04-06-2012 22:27:44 ]
Ik zit me af te vragen of het niet gewoon 9*8*7*6*(5/9)is, maar dit lijkt me té makkelijk..quote:
26"
Fading slowly.
Fading slowly.
Daar staat dus eigenlijk 8*7*6*5. Dat is het goede antwoord. Probeer het maar eens te beredeneren.quote:
[..]
Ik zit me af te vragen of het niet gewoon 9*8*7*6*(5/9)is, maar dit lijkt me té makkelijk..
Als je eruit bent kunnen we het een stapje moeilijker maken:
Bepaal het aantal oneven getallen tussen de 1000 en 9999 zodat alle vier cijfers verschillen (en wel de waarde 0 aan mogen nemen).
Succes
Deze meneer in artikel 2 stelt dat elke 'haast symmetrische vergelijking' (bij wijze van de rangschikking van coëfficiënten) met behulp van een substitutie valt te reduceren tot een kwadratische aangelegenheid. Hoe kom ik erachter (of beredeneer) wat deze substitutie is? Of is dit altijd x + 1/x?quote:
[..]
knip
Varianten van dit probleem staan ook bekend als het zogeheten ladderprobleem, zie bijvoorbeeld hier (waar de auteur duidelijk de theorie van de wederkerige vergelijkingen niet kent) en hier.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Oh jaquote:
[..]
Daar staat dus eigenlijk 8*7*6*5. Dat is het goede antwoord. Probeer het maar eens te beredeneren.
Als je eruit bent kunnen we het een stapje moeilijker maken:
Bepaal het aantal oneven getallen tussen de 1000 en 9999 zodat alle vier cijfers verschillen (en wel de waarde 0 aan mogen nemen).
Succes
Nouja, als je het criterium van oneven weglaat, zijn er dus 9*8*7*6 verschillende getallen. Je hebt, als je 0 niet mee laat tellen, 4 verschillende even getallen van de 9, en 5 oneven. Dus vermenigvuldig ik met de 'kans' (slechte woordkeus, kom even niet op het juiste woord) op een oneven getal, dit geeft 9*8*7*6*(5/9), wat hetzelfde is als 8*7*6*5.
Ik geloof niet dat dit de volledige/juiste redenatie is, maar ik ga me nog even buigen over het volgende probleem
26"
Fading slowly.
Fading slowly.
Dat is inderdaad een standaard substitutie. Het is ook vrij gemakkelijk in te zien waarom dat zo is. Bij een wederkerige vergelijking van even graad kun je de wortels verdelen in paren α, 1/α, β, 1/β enz. waarvan het product steeds één is. Hebben we een wederkerig polynoom P(x) van even graad waarvan α en 1/α twee nulpunten zijn, dan bevat P(x) dus een factorquote:
[..]
Deze meneer in artikel 2 stelt dat elke 'haast symmetrische vergelijking' (bij wijze van de rangschikking van coëfficiënten) met behulp van een substitutie valt te reduceren tot een kwadratische aangelegenheid. Hoe kom ik erachter (of beredeneer) wat deze substitutie is? Of is dit altijd x + 1/x?
(x - α)(x - 1/α) = (x2 - (α + 1/α)x + 1) = x∙((x + 1/x) - (α + 1/α))
Is dus P(x) een wederkerig polynoom van de graad n = 2k, dan heb je zo:
P(x) = xk∙Q(z) met z = x + 1/x,
waarbij Q(z) een polynoom is van de graad k, dus de helft van de graad n van P(x). En aangezien x = 0 geen wortel is van P(x) = 0 kun je dan alle wortels van P(x) = 0 vinden door Q(z) = 0 op te lossen en voor elk nulpunt z van Q(z) de vergelijking x + 1/x = z oftewel x2 - zx + 1 = 0 weer op te lossen naar x.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 04-06-2012 22:38:44 ]
Ik snap dat dat je idee was. Maar die redenering is niet echt waterdicht. Het is makkelijker om direct te beredeneren dat er 8*7*6*5 uitkomt.quote:
[..]
Oh ja
Nouja, als je het criterium van oneven weglaat, zijn er dus 9*8*7*6 verschillende getallen. Je hebt, als je 0 niet mee laat tellen, 4 verschillende even getallen van de 9, en 5 oneven. Dus vermenigvuldig ik met de 'kans' (slechte woordkeus, kom even niet op het juiste woord) op een oneven getal, dit geeft 9*8*7*6*(5/9), wat hetzelfde is als 8*7*6*5.
Ik geloof niet dat dit de volledige/juiste redenatie is, maar ik ga me nog even buigen over het volgende probleem
9*9*8*7/2 zeg ik zo even als eerste gedachte.quote:
[..]
Daar staat dus eigenlijk 8*7*6*5. Dat is het goede antwoord. Probeer het maar eens te beredeneren.
Als je eruit bent kunnen we het een stapje moeilijker maken:
Bepaal het aantal oneven getallen tussen de 1000 en 9999 zodat alle vier cijfers verschillen (en wel de waarde 0 aan mogen nemen).
Succes
Hier denk ik morgen nog even over na, zal morgenavond weer een keer postenquote:
[..]
Ik snap dat dat je idee was. Maar die redenering is niet echt waterdicht. Het is makkelijker om direct te beredeneren dat er 8*7*6*5 uitkomt.
26"
Fading slowly.
Fading slowly.
Na 2x lezen heb ik het begrepen. Tijd om te gaan slapen.quote:
[..]
Dat is inderdaad een standaard substitutie. Het is ook vrij gemakkelijk in te zien waarom dat zo is. Bij een wederkerige vergelijking van even graad kun je de wortels verdelen in paren α, 1/α, β, 1/β enz. waarvan het product steeds één is. Hebben we een wederkerig polynoom P(x) van even graad waarvan α en 1/α twee nulpunten zijn, dan bevat P(x) dus een factor
(x - α)(x - 1/α) = (x2 - (α + 1/α)x + 1) = x∙((x + 1/x) - (α + 1/α))
Is dus P(x) een wederkerig polynoom van de graad n = 2k, dan heb je zo:
P(x) = xk∙Q(z) met z = x + 1/x,
waarbij Q(z) een polynoom is van de graad k, dus de helft van de graad n van P(x). En aangezien x = 0 geen wortel is van P(x) = 0 kun je dan alle wortels van P(x) = 0 vinden door Q(z) = 0 op te lossen en voor elk nulpunt z van Q(z) de vergelijking x + 1/x = z oftewel x2 - zx + 1 = 0 weer op te lossen naar x.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Hoezo is die beredenering eigenlijk niet waterdicht? Je hebt, zonder de oneven restrictie, 9*8*7*6 keuzes gezien de andere restricties. Vervolgens selecteer je de oneven getallen er uit door alleen getallen met als laatste cijfer 1,3,5,7 of 9 mee te tellen, ofwel 5/9 van de mogelijke getallen die voldeden aan de eerdere restrictie (0 was geen keuze gezien de eerste restrictie).quote:
[..]
Ik snap dat dat je idee was. Maar die redenering is niet echt waterdicht. Het is makkelijker om direct te beredeneren dat er 8*7*6*5 uitkomt.
Je redenering klopt niet, want als bijvoorbeeld de eerste drie cijfers alle drie oneven zijn, dan zijn er nog maar 2 mogelijkheden voor het laatste cijfer, en niet vijf zoals jij veronderstelt.quote:
[..]
Hoezo is die beredenering eigenlijk niet waterdicht? Je hebt, zonder de oneven restrictie, 9*8*7*6 keuzes gezien de andere restricties. Vervolgens selecteer je de oneven getallen er uit door alleen getallen met als laatste cijfer 1,3,5,7 of 9 mee te tellen, ofwel 5/9 van de mogelijke getallen die voldeden aan de eerdere restrictie (0 was geen keuze gezien de eerste restrictie).
Ik heb een vraag over analyse/lagrange multipliers.
Bepaal de maximale afstand van een punt in de doorsnede van
met het vlak y = 3 tot het punt (0, 0, 2).
Mijn poging:
Afstand is maximaal als
maximaal is.
S geeft als constraint:
En het vlak y=3 geeft :
Nu kritieke punten van de Lagrange multiplier L bepalen.
Dan moet gelden (partiele afgeleides):
1)
2)
3)
4)
5)
Dus y = 3.
Uit 1) volgt x = 0 of
Als x = 0 kom ik keurig uit. ( (0,3,-1) geeft f = 18)
Als, dan krijg ik uit 3) een derdegraadsvergelijking voor z. Is dit niet te omzeilen? Ik heb vanalles geprobeerd met regels 3 en 4, en met f kleiner praten dan 18, maar ik zie het niet. Iemand een idee?
Bepaal de maximale afstand van een punt in de doorsnede van
Mijn poging:
Afstand is maximaal als
S geeft als constraint:
En het vlak y=3 geeft :
Nu kritieke punten van de Lagrange multiplier L bepalen.
Dan moet gelden (partiele afgeleides):
1)
2)
3)
4)
5)
Dus y = 3.
Uit 1) volgt x = 0 of
Als x = 0 kom ik keurig uit. ( (0,3,-1) geeft f = 18)
Als
Om te beginnen: ∂L/∂y = 2y + 2λy + μquote:
Ik heb een vraag over analyse/lagrange multipliers.
Bepaal de maximale afstand van een punt in de doorsnede van
Mijn poging:
Afstand is maximaal als
S geeft als constraint:
En het vlak y=3 geeft :
Nu kritieke punten van de Lagrange multiplier L bepalen.
Dan moet gelden (partiele afgeleides):
1)
2)
3)
4)
5)
Dus y = 3.
Uit 1) volgt x = 0 of
Als x = 0 kom ik keurig uit. ( (0,3,-1) geeft f = 18)
Als
De oplossing van je vergelijking is echt heel eenvoudig, je ziet nl. over het hoofd dat z2 - 4 = (z - 2)(z + 2) en dat je dus een factor (z - 2) buiten haakjes kunt halen. Voor λ = -1 hebben we:
2(z - 2) + 4z(z2 - 4) = 0
en dus:
(z - 2)(2 + 4z(z + 2)) = 0
en dus:
(z - 2)(4z2 + 8z + 2) = 0
Nu is de oplossing uiteraard eenvoudig, de wortels zijn:
z = 2 ∨z = -1 + ½√2 ∨z = -1 - ½√2
Dit komt verder niet mooi uit, het gezochte maximum van je f(x,y,z) wordt bereikt voor x = ½√(-3 + 20√2), y = 3, z = -1 + ½√2, en dit maximum bedraagt dan 71/4 + 2√2, maar dat mag je zelf even narekenen.
Bedankt Riparius. Dat zag ik inderdaad over het hoofd. Het is nu gelukt en ik krijg dezelfde waarde.
Dat kan niet, of je moet zoveel van de Lamber W-functie houden dat je die wilt gebruiken.quote:
Even een kort vraagje. Hoe los ik deze formule algebraïsch op: 8x - 2e^x = 0
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Oké. Dus het is niet algebraïsch op te lossen? Ik dacht even dat ik gek werd.quote:
[..]
Dat kan niet, of je moet zoveel van de Lamber W-functie houden dat je die wilt gebruiken.
Stop hem even in WolframAlpha in plaats van het hier te vragen, dan heb je meteen antwoord op je vraag (maar niet het soort antwoord dat je verwachtte). En: 'kort vraagje' suggereert dat je een 'kort antwoord' denkt te krijgen, maar zo werkt dat toch niet. Goldbach had in 1742 ook een 'kort vraagje' aan Euler, maar anno 2012 weten we het antwoord nog niet.quote:
Even een kort vraagje. Hoe los ik deze formule algebraïsch op: 8x - 2e^x = 0
Ieder getal groter dan 4 is de som van 2 priemgetallen?quote:
[..]
Stop hem even in WolframAlpha in plaats van het hier te vragen, dan heb je meteen antwoord op je vraag (maar niet het soort antwoord dat je verwachtte). En: 'kort vraagje' suggereert dat je een 'kort antwoord' denkt te krijgen, maar zo werkt dat toch niet. Goldbach had in 1742 ook een 'kort vraagje' aan Euler, maar anno 2012 weten we het antwoord nog niet.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Nog altijd onopgelostquote:Bepaal het aantal oneven getallen tussen de 1000 en 9999 zodat alle vier cijfers verschillen
Hoi,
Kan iemand me de berekening en antwoord geven van:
(3-2p^2)(p^2-4)=
Alvast bedankt voor uw antwoord.
Groet,
superky
Kan iemand me de berekening en antwoord geven van:
(3-2p^2)(p^2-4)=
Alvast bedankt voor uw antwoord
.Groet,
superky
Ja ik heb ook dit gedaan maar het lukt me nog niet.quote:
Je moet (a+b)(c+d) = ac + ad + bc +bd gebruiken.
Dit heb ik als antwoord, maar het is niet het goede antwoord:
(3-2p^2)(p^2-4)= 3p^2-12-2p^4-8p
En zo had ik het aangepakt:
3*p^2=3p^2
3*-4=-12
-2p^2*p^2=-2p^4
-2p*-4= -8p
Bij die laatste reken je het verkeerde uit. (en dan nog: min keer min = plus)quote:
[..]
Ja ik heb ook dit gedaan maar het lukt me nog niet.
Dit heb ik als antwoord, maar het is niet het goede antwoord:
(3-2p^2)(p^2-4)= 3p^2-12-2p^4-8p
En zo had ik het aangepakt:
3*p^2=3p^2
3*-4=-12
-2p^2*p^2=-2p^4
-2p*-4= -8p
Gebruik superscript, dan is het wat leesbaarder:quote:
[..]
oh ja sorry vergat nog iets bij te melden:
Werk uit:
(3-2p^2)(p^2-4)=
(3 - 2p2)(p2 - 4) = 3p2 - 12 - 2p4 + 8p2 = -2p4 + 11p2 - 12
Kies 1 uit 5 voor de laatste, dan 1 uit 8 voor de eerste, 1 uit 8 voor de tweede en 1 uit 7 voor de derde.quote:
5*8*8*7
Stond een mooi goed verhaal over in het boek 'Getallen' van Frans Keune (goed geschreven trouwens), over inclusie-exclusie. Ik heb het niet helemaal gelezen, maar het lijkt een methode die je hier goed kan gebruiken.quote:
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Riparius, ik moet bekennen dat ik de goniometrische methode van Viète om derdemachtsvergelijkingen op te lossen nog niet helemaal snap.
De vergelijking x3-5x=2 kan ik oplossen als ik probeer en dan een staartdeling doe door (x+2) (maar dit is natuurlijk lang niet altijd te gebruiken), met de goniometrische substitutie krijg ik wel:
Wat volgens Wolfram Alpha wel een geldige oplossing is (want gelijk aan x=1+√2), maar ik zou niet weten hoe je dit moet uitwerken. Je zei zelf al dacht ik dat het een goede oefening zou zijn om dit te herleiden, maar ik zou eerlijk gezegd niet weten waar ik moet beginnen.
Helemaal correct. De grap is dat je met het vierde cijfer moet beginnen, en daarna de eerste, anders loopt het in de soep. Het kan anders ook wel, maar dan zul je gevallen moeten onderscheiden.quote:
[..]
Kies 1 uit 5 voor de laatste, dan 1 uit 8 voor de eerste, 1 uit 8 voor de tweede en 1 uit 7 voor de derde.
5*8*8*7
Dit vond ik wel een leuk voorbeeldje van een som met een makkelijke oplossing, terwijl het in de eerste instantie veel werk lijkt.
quote:
[..]
Stond een mooi goed verhaal over in het boek 'Getallen' van Frans Keune (goed geschreven trouwens), over inclusie-exclusie. Ik heb het niet helemaal gelezen, maar het lijkt een methode die je hier goed kan gebruiken.Ook een leuke oplossingSPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
quote:
[..]
Stond een mooi goed verhaal over in het boek 'Getallen' van Frans Keune (goed geschreven trouwens), over inclusie-exclusie. Ik heb het niet helemaal gelezen, maar het lijkt een methode die je hier goed kan gebruiken.Snap je nu het principe van de goniometrische substitutie niet, of enkel het herleiden van die oplossing?SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Riparius, ik moet bekennen dat ik de goniometrische methode van Viète om derdemachtsvergelijkingen op te lossen nog niet helemaal snap.
De vergelijking x3-5x=2 kan ik oplossen als ik probeer en dan een staartdeling doe door (x+2) (maar dit is natuurlijk lang niet altijd te gebruiken), met de goniometrische substitutie krijg ik wel:
Wat volgens Wolfram Alpha wel een geldige oplossing is (want gelijk aan x=1+√2), maar ik zou niet weten hoe je dit moet uitwerken. Je zei zelf al dacht ik dat het een goede oefening zou zijn om dit te herleiden, maar ik zou eerlijk gezegd niet weten waar ik moet beginnen.Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
*Iets* minder elegant wel, en ook gevoeliger voor fouten. Ik zag inderdaad de elegantere manier pas in na Physics' post. Ik had net dat stuk over inclusie-exclusie doorgebladerd, waar dit me aan deed denken, dus kwam ik al snel op deze manier.quote:
Enkel het herleiden van de oplossing (hoewel ik de methode op zich ook wel lastig vind, maar ik snap het principe nu wel).quote:
[..]
Snap je nu het principe van de goniometrische substitutie niet, of enkel het herleiden van die oplossing?
Ik denk dat Riparius er ook op doelde dat dit een vervloekt lastige opgave is om uit te werken, vandaar dat hij over een "goede oefening" sprak.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Daar lijkt het inderdaad op ja. Ik vraag me sowieso af hoe je zou moeten beginnen, want ik zie geen enkele mogelijkheid. Het zou toch moeten kunnen, anders zou je aan de hele methode niet zo veel hebben, lijkt me. Behalve dan misschien mooie goniometrische formules aantonen, door de derdegraads vergelijking op twee manier op te lossen (deze en de formule van Cardano).quote:
Ik denk dat Riparius er ook op doelde dat dit een vervloekt lastige opgave is om uit te werken, vandaar dat hij over een "goede oefening" sprak.
Ik snap de tegenstelling in je zin niet helemaal. Welke methode is dan zinloos? We hebben de formule van Cardano in deze kwestie toch niet gebruikt, enkel de goniometrische substitutie van Viète en een stukje puzzelwiskunde/algebra, dit gaf de oplossing x = 1 + √2.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Dan heb ik iets gemist, ik snap niet hoe je bij de oplossing x = 1 + √2 komt zonder de oplossing x=-2. Even teruglezen dan.quote:
Ik snap de tegenstelling in je zin niet helemaal. Welke methode is dan zinloos? We hebben de formule van Cardano in deze kwestie toch niet gebruikt, enkel de goniometrische substitutie van Viète en een stukje puzzelwiskunde/algebra, dit gaf de oplossing x = 1 + √2.
Je hebt gelijk. De formule werd inderdaad opgesteld aan de hand van de oplossing van x = -2. De kwadratische functie gaf toen als oplossingen:
x = 1 + √2
x = 1 - √2
Maar Cardano kon mooi thuisblijven, toch?
Riparius kwam namelijk aanzetten met de oplossing x = -2, aangezien dat vrij eenvoudig te zien was.
x = 1 + √2
x = 1 - √2
Maar Cardano kon mooi thuisblijven, toch?
Riparius kwam namelijk aanzetten met de oplossing x = -2, aangezien dat vrij eenvoudig te zien was.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Dat is waar ja, ik had alleen iets meer van die methode verwacht. Ik had ergens gelezen dat het een alternatief was voor Cardano's formule in het geval van de casus irreducibilis. Maar ik zie niet zo goed in wat men in de 16e eeuw had aan een antwoord alsquote:
Je hebt gelijk. De formule werd inderdaad opgesteld aan de hand van de oplossing van x = -2. De kwadratische functie gaf toen als oplossingen:
x = 1 + √2
x = 1 - √2
Maar Cardano kon mooi thuisblijven, toch?
Riparius kwam namelijk aanzetten met de oplossing x = -2, aangezien dat vrij eenvoudig te zien was.
Dus vandaar
. Overigens dacht ik eerst dat die casus irreducibilis helemaal niet op te lossen was, maar dat kan dus alleen met imaginaire getallen als ik het goed begrijp.
Als de gereduceerde kubische vergelijking (met reële coëfficiënten) drie (verschillende) reële oplossingen heeft, dan zijn deze algebraïsch alleen uit te drukken in de coëfficiënten met derdemachtswortels uit complexe getallen, die je in het algemeen niet kunt herleiden. Een beroemd voorbeeld (besproken in de 16e eeuw door Bombelli) is de vergelijkingquote:
[..]
Dat is waar ja, ik had alleen iets meer van die methode verwacht. Ik had ergens gelezen dat het een alternatief was voor Cardano's formule in het geval van de casus irreducibilis.
x3 = 15x + 4,
waar de 'formule van Cardano' als oplossing geeft
x = 3√(2 + √-121) + 3√(2 - √-121),
terwijl gemakkelijk is te zien dat x = 4 een oplossing is (want 43 = 64 = 60 + 4). Bombelli redeneerde nu (naar analogie van geneste vierkantswortels) dat als 3√(2 + √-121) = a + √-b (met a,b > 0) dat dan 3√(2 - √-121) wel a - √-b zou zijn. En aangezien je dan hebt:
x = (a + √-b) + (a - √-b) = 2a,
terwijl x = 4, begrijpen we dat dan a = 2 moet zijn. Nu moet verder (2 + √-b)3 = (8 - 6b) + (12 - b)√-b gelijk zijn aan 2 + √-121, en dus is het niet moeilijk te zien dat b = 1 moet zijn, want je zou ook √-121 = √121∙√-1 = 11∙√-1 moeten hebben. Zo vond Bombelli dat
3√(2 + 11√-1) = 2 + √-1 en 3√(2 - 11√-1) = 2 - √-1
en dus
3√(2 + 11√-1) + 3√(2 - 11√-1) = 4
Bombelli concludeerde nu dat de formule van Cardano dus kennelijk toch klopte zelfs als deze formule wortels uit negatieve getallen gaf terwijl de oplossing toch gewoon een positief getal was (in negatieve oplossingen was men destijds nog niet echt geïnteresseerd). Hij wist wel niet wat hij hier verder mee moest, maar hij had een belangrijke ontdekking gedaan, hij had ontdekt dat je toch kon rekenen met die 'onmogelijke' wortels uit negatieve getallen.
Maar in de praktijk schoot je hier niet veel mee op, want hier konden we a en b bepalen omdat we al wisten dat de oplossing x = 4 was en dus a = 2 moest zijn. Maar als je de oplossing(en) niet weet, en je gaat dan proberen algebraïsch a en b te bepalen, dan kom je uit op (jawel) een kubische vergelijking die equivalent is met je oorspronkelijke vergelijking, en dus ben je dan weer terug bij af. Daarom ging men dit casus irreducibilis noemen. Pas enkele decennia later vond Viète (die studie had gemaakt van de formules voor de sinus en cosinus van een veelvoud van een hoek) de goniometrische oplossingsmethode voor het geval de gereduceerde kubische vergelijking uitsluitend reële wortels heeft.
Heel eenvoudig: men maakte gebruik van goniometrische tafels om zo benaderde oplossingen te verkrijgen. Als je cos 3φ had uitgerekend, dan kon je in een goniometrische tafel opzoeken welke hoek 3φ daarbij hoorde (uitgedrukt in graden, minuten en seconden), en door die hoek door drie te delen en dan in de tafels weer terug te zoeken wat cos φ, cos(φ + 120°) en cos(φ + 240°) waren had je (na vermenigvuldiging met r) de drie wortels.quote:Maar ik zie niet zo goed in wat men in de 16e eeuw had aan een antwoord als
Dus vandaar
Er zijn inderdaad geen algebraïsche uitdrukkingen voor de wortels van z3 + pz + q = 0 in termen van de coëfficiënten zonder complexe getallen voor p,q ∈R indien (p/3)3 + (q/2)2 < 0 terwijl de wortels zelf dan toch allemaal reëel zijn. Een eeuw na Viète maakte Abraham de Moivre uitvoerig studie van deze kwestie en ontdekte hij het verband tussen het trekken van n-de machtswortels uit complexe getallen en het delen van een hoek in n gelijke delen. In een wat andere vorm kennen we dit resultaat nu als de formule van De Moivrequote:Overigens dacht ik eerst dat die casus irreducibilis helemaal niet op te lossen was, maar dat kan dus alleen met imaginaire getallen als ik het goed begrijp.
(cos φ + i∙sin φ)n = cos nφ + i∙sin nφ,
maar De Moivre zelf heeft 'zijn' formule nooit zo opgeschreven, in deze 'moderne' vorm is de formule voor het eerst afgeleid en gepubliceerd door Euler.
In de 17e en zelfs de gehele 18e eeuw had men nog niet de bekende meetkundige voorstelling van complexe getallen en dus realiseerde men zich ook niet dat vermenigvuldiging met een complex getal met modulus 1 meetkundig overeenkomt met een rotatie, wat het resultaat van De Moivre direct inzichtelijk maakt. Pas rond het einde van de 18e eeuw kwamen Caspar Wessel en enkele jaren later Jean-Robert Argand onafhankelijk van elkaar met de bekende meetkundige voorstelling van een complex getal a + bi als een punt met coördinaten (a;b) in een plat vlak met een cartesisch assenstelsel en de bijbehorende meetkundige interpretaties van onder meer optelling en vermenigvuldiging van complexe getallen. Opvallend is dat geen van beiden professionele wiskundigen waren: Wessel was een tamelijk onbekende Deense landmeter en Argand een nog veel onbekendere Parijse boekverkoper. Er werd nauwelijks nota genomen van hun publicaties: het artikel van Wessel (in het Deens) werd snel vergeten en pas een eeuw later herontdekt, en het in eigen beheer uitgegeven boekje van Argand baarde ook nauwelijks opzien, maar raakte in ieder geval in Frankrijk niet in vergetelheid, zodat men ook nu nog wel van een Argand diagram spreekt. Weer enkele decennia later publiceerde Gauß in kort bestek nog eens hetzelfde idee. Maar nu nam de wiskundige wereld er wel nota van en werd het idee gemeengoed en raakten complexe getallen (overigens een benaming van Gauß) eindelijk volkomen geaccepteerd. In het Duitse taalgebied spreekt men daarom nog wel van gaußsche Zahlenebene, maar eigenlijk zou Wessel diagram terechter zijn. Maar ja, dat is natuurlijk Stigler's law.
Tja, dat is een echte breinbreker:quote:
Riparius, ik moet bekennen dat ik de goniometrische methode van Viète om derdemachtsvergelijkingen op te lossen nog niet helemaal snap.
De vergelijking x3-5x=2 kan ik oplossen als ik probeer en dan een staartdeling doe door (x+2) (maar dit is natuurlijk lang niet altijd te gebruiken), met de goniometrische substitutie krijg ik wel:
Wat volgens Wolfram Alpha wel een geldige oplossing is (want gelijk aan x=1+√2), maar ik zou niet weten hoe je dit moet uitwerken. Je zei zelf al dacht ik dat het een goede oefening zou zijn om dit te herleiden, maar ik zou eerlijk gezegd niet weten waar ik moet beginnen.
2∙√(5/3)∙cos((1/3)∙arccos((3/5)∙√(3/5))) = 1 + √2
Je zou gebruik kunnen maken van:
arccos x = -i∙ln(x + i∙√(1 - x2))
waarbij je dan met x op [-1,1] voor de complexe logaritme de hoofdwaarde met argument op [0,π] moet nemen, en dan uiteraard ook gebruik maken van
cos x = (eix + e-ix)/2,
maar dat is misschien niet wat je zoekt. Ik zie echter zo gauw niet hoe je dit zonder complexe getallen kunt herleiden. Le plus court chemin entre deux vérités dans le domaine réel passe par le domaine complexe (Jacques Hadamard).
En je schrijft ook heel die geschiedenis uit je hoofd op?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ja. Ik ben geïnteresseerd in de geschiedenis van de wiskunde, en daarom lees ik er ook veel over en bestudeer ik originele bronnen. Alleen een citaat of een jaartal kijk ik soms wel even na, maar dat gaat uiteraard gemakkelijk als je toch al achter een computer zit.quote:
En je schrijft ook heel die geschiedenis uit je hoofd op?
Ik zat vandaag te kijken om dat boek Beknopte Hoogere Algebra van Frederik Schuh op de kop te tikken, jaartal 1926, zoals je ongetwijfeld weet. Weet jij misschien waar? Misschien een slechte ontwikkeling, maar ik 'verwaarloos' m'n andere schoolvakken ten behoeve van de wiskunde.quote:
[..]
Ja. Ik ben geïnteresseerd in de geschiedenis van de wiskunde, en daarom lees ik er ook veel over en bestudeer ik originele bronnen. Alleen een citaat of een jaartal kijk ik soms wel even na, maar dat gaat uiteraard gemakkelijk als je toch al achter een computer zit.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik heb even voor je gezocht en ik zie momenteel hier een exemplaar staan.quote:
[..]
Ik zat vandaag te kijken om dat boek Beknopte Hoogere Algebra van Frederik Schuh op de kop te tikken, jaartal 1926, zoals je ongetwijfeld weet. Weet jij misschien waar?
Maar online is uiteraard ook (gratis) van alles te vinden als je in een bepaald onderwerp geïnteresseerd bent. Een aardig boekje over goniometrie met een historische inslag is bijvoorbeeld Trigonometric Delights van Eli Maor. Krijg je een hoop dingen te zien die ze je op school nooit verteld hebben maar misschien wel hadden moeten vertellen. Natuurlijk ook met hoofdstukken over François Viète en Abraham de Moivre.
Veel grote wiskundigen zijn zo begonnen ...quote:Misschien een slechte ontwikkeling, maar ik 'verwaarloos' m'n andere schoolvakken ten behoeve van de wiskunde.
Er zijn veel meer pareltjes te vinden op het internet waar geen copyright meer op zit. Engelstalige boeken van rond 1900 zijn zeer gemakkelijk te lezen.
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
In het verleden behaalde prestaties bieden geen garantie voor de toekomst. Ik baal er nu al van dat ik volgend jaar nog niet op de TU/e kan beginnen aan Technische Wiskunde.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Muhahah, * Unsub begint in september met TWquote:
In het verleden behaalde prestaties bieden geen garantie voor de toekomst. Ik baal er nu al van dat ik volgend jaar nog niet op de TU/e kan beginnen aan Technische Wiskunde.
26"
Fading slowly.
Fading slowly.
Nu aan het lezen, leuk boekjequote:
[..]
Ik heb even voor je gezocht en ik zie momenteel hier een exemplaar staan.
Maar online is uiteraard ook (gratis) van alles te vinden als je in een bepaald onderwerp geïnteresseerd bent. Een aardig boekje over goniometrie met een historische inslag is bijvoorbeeld [b]Trigonometric Delights[/b] van Eli Maor. Krijg je een hoop dingen te zien die ze je op school nooit verteld hebben maar misschien wel hadden moeten vertellen. Natuurlijk ook met hoofdstukken over François Viète en Abraham de Moivre.
26"
Fading slowly.
Fading slowly.
Dat boekje even op m'n telefoon pleuren, leest fijn in de trein enzulks. Tevens heb ik als eerste titel dus F. Schuh, Beknopte Hoogere Algebra aangeschaft. Nog meer aanraders?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Tja wat zoek je precies?quote:
Dat boekje even op m'n telefoon pleuren, leest fijn in de trein enzulks. Tevens heb ik als eerste titel dus F. Schuh, Beknopte Hoogere Algebra aangeschaft. Nog meer aanraders?
Niets houdt je tegen om alvast te beginnen met wiskunde. Je kan via torrents mooie verzamelingen wiskundeboeken downloaden. De wiskundigen en wiskundestudenten willen vast wel wat adviezen geven met welke vakgebieden en boeken te beginnen. Ik zou beginnen met calculus (inclusief vectorcalculus), dat is sowieso zeer nuttig.quote:In het verleden behaalde prestaties bieden geen garantie voor de toekomst. Ik baal er nu al van dat ik volgend jaar nog niet op de TU/e kan beginnen aan Technische Wiskunde.
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
Wiskunde boeit me mateloos. Ik was vandaag aan het lezen over het vermoeden van Dejean. (Een casus van Wiskunde B) Inmiddels is dit vermoeden wel bewezen.quote:
Zoiets als Trigonometric Delights. Kan het me niet veroorloven in een week een boekenkast proberen te vullen.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik ben van plan volgend jaar te gaan préstuderen. Dit houdt in dat ik een vak ga volgen en daar tentamen in doe. Maargoed, de bachelor wordt overhoop gegooid, dat is wel zeker. Vorig jaar kwam hier een invaldocent omdat mijn wiskunde D docent heel veel ziek was. Die man heeft me toch wel echt gestimuleerd om vooral geen scheikunde te gaan studeren, maar toch wiskunde. Ik heb hem dat ladderprobleem ook voorgelegd, een beetje jammer wel dat hij het opgaf bij de vierdegraadsfunctie.quote:
[..]
Niets houdt je tegen om alvast te beginnen met wiskunde. Je kan via torrents mooie verzamelingen wiskundeboeken downloaden. De wiskundigen en wiskundestudenten willen vast wel wat adviezen geven met welke vakgebieden en boeken te beginnen. Ik zou beginnen met calculus (inclusief vectorcalculus), dat is sowieso zeer nuttig.
En welke werken heb ik voor calculus nodig?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik had in VWO 6 eigenlijk alle calculus al gedaan via Youtube en dingen bij elkaar zoeken op internet. Khan Acedemy op Youtube heeft wel wat goede filmpjes over eerstejaars calculus, differentiaalvergelijkingen, lineaire algebra (alhoewel hij naar mijn smaak af en toe wat traag was). Ik weet niet echt een goed calculus boek, wij werkten met een dictaat. Gewoon gratis te bekijken, niks mis mee (alleen het stuk over differentiaalvergelijkingen ben ik niet echt enthousiast over). Er staan ook zat oefeningen bij.
Vector calculus is trouwens niet zó belangrijk, behalve als je gaat kijken naar technische/natuurkundige toepassingen... dan kom je het wel weer vaak tegen. Maar ik zou maar eens met dat dictaat beginnen.
Vector calculus is trouwens niet zó belangrijk, behalve als je gaat kijken naar technische/natuurkundige toepassingen... dan kom je het wel weer vaak tegen. Maar ik zou maar eens met dat dictaat beginnen.
Diezelfde Eli Maor heeft nog meer lezenswaardige boeken geschreven, een beetje in dezelfde stijl:quote:
[..]
Wiskunde boeit me mateloos. Ik was vandaag aan het lezen over het vermoeden van Dejean. (Een casus van Wiskunde B) Inmiddels is dit vermoeden wel bewezen.
Zoiets als Trigonometric Delights. Kan het me niet veroorloven in een week een boekenkast proberen te vullen.
e: the story of a number
The Pythagorean theorem: A 4,000-year history
To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite
Ook de volgende boeken van John Stillwell kan ik aanbevelen:
Mathematics and its History (3rd edition)
The Four Pillars of Geometry
Yearning For the Impossible - The Surprising Truths of Mathematics
Verder nog (algemeen):
Victor Katz - A History of Mathematics. An Introduction (2nd edition)
Carl Boyer & Uta Merzbach - A History of Mathematics (2nd edition)
David Burton - The History of Mathematics: An introduction (7th edition)
Hartelijk dank! Ik ga eens kijken wat ik kan vinden. Heb je nog een leuke opgave waar ik me morgen over kan buigen?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik heb de komende dagen even geen gelegenheid om iets te bedenken of uit te zoeken, maar bekijk dit oude vraagstuk eens. Noot: de poster bedoelde een gelijkzijdige driehoek en een snelheid van twee eenheden per seconde. Niet meteen naar de oplossing(en) kijken, eerst zelf proberen natuurlijk.quote:
Hartelijk dank! Ik ga eens kijken wat ik kan vinden. Heb je nog een leuke opgave waar ik me morgen over kan buigen?
Eerste ingeving was zoiets:
Ik dacht dat de hoekpunten elkaar zouden raken in het middelpunt na het afleggen van een kwartcirkel. De straal van die cirkel is 5/3 * √3. Een kwartcirkel is dan 5/6π√3, 2 eenheden per seconde, dus 5/12π√3.
Ik denk alleen dat die aanname van een kwartcirkel niet klopt.
[ Bericht 1% gewijzigd door Amoeba op 08-06-2012 11:56:47 ]
Ik dacht dat de hoekpunten elkaar zouden raken in het middelpunt na het afleggen van een kwartcirkel. De straal van die cirkel is 5/3 * √3. Een kwartcirkel is dan 5/6π√3, 2 eenheden per seconde, dus 5/12π√3.
Ik denk alleen dat die aanname van een kwartcirkel niet klopt.
[ Bericht 1% gewijzigd door Amoeba op 08-06-2012 11:56:47 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Dat dictaat heb ik inderdaad ook alles uit geleerd, bevalt prima. Hoewel boeken vaak meer diepgang hebben, maar dat is al snel too much als je alleen maar gewone calculus wil leren.quote:
Ik had in VWO 6 eigenlijk alle calculus al gedaan via Youtube en dingen bij elkaar zoeken op internet. Khan Acedemy op Youtube heeft wel wat goede filmpjes over eerstejaars calculus, differentiaalvergelijkingen, lineaire algebra (alhoewel hij naar mijn smaak af en toe wat traag was). Ik weet niet echt een goed calculus boek, wij werkten met een dictaat. Gewoon gratis te bekijken, niks mis mee (alleen het stuk over differentiaalvergelijkingen ben ik niet echt enthousiast over). Er staan ook zat oefeningen bij.
Vector calculus is trouwens niet zó belangrijk, behalve als je gaat kijken naar technische/natuurkundige toepassingen... dan kom je het wel weer vaak tegen. Maar ik zou maar eens met dat dictaat beginnen.
Ik heb trouwens nog een leuke theorie/bewijs'opgave', die iemand een tijd geleden op http://boards.4chan.org/sci/ had gepost (geen flauw idee wanneer precies). Ik weet niet precies meer hoe het toen geformuleerd was, maar de theorie was, dat je in elke (eindige ongerichte) graaf een verzameling V kan kiezen, zo dat voor elke knoop k de kardinaliteit van de intersectie tussen de verzameling met alle buren van v en v zelf erin oneven is.
Oftewel, voor elke (eindige ongerichte) graaf G bestaat een verzameling V, zodat elke knoop in V een even aantal buren in V heeft, en elke knoop die niet in V zit een oneven aantal buren in V heeft.
Je kan het ook uitleggen op een wat visuelere manier. Stel dat je een graaf hebt waarin in het begin alle knopen ongekleurd (of wit) zijn, en telkens een knoop kiest. Verander nu de kleur van elke knoop die verbonden is met deze knoop van gekleurd naar ongekleurd en andersom. Het is nu voor elke graaf mogelijk om met een volledig gekleurde graaf te eindigen. Een visueel voorbeeld:
De oranje knoop is die, die het laatst is gekozen (om in de verzameling V te komen). In dit voorbeeld bestaat V dus uit de bovenste drie knopen (die in het 'dakje' van het 'huisje'). Er kunnen soms meerdere mogelijkheden voor V zijn (bijvoorbeeld in het simpele geval van een graaf die bestaat uit twee verbonden knopen), de theorie zegt dat er ten minste één mogelijkheid is om zo'n verzameling V te kiezen.
Ik geloof dat ik er een bewijs voor heb (zonet even snel afgemaakt, dus het zou goed kunnen dat er een fout inzit), maar het was niet makkelijk. (hoewel het uiteindelijke bewijs wat ik nu heb wel meevalt, het is meer iets waar ik bij toeval op kwam). Ik dacht, misschien lijkt iemand het leuk om het te proberen te bewijzen (of een tegenvoorbeeld te geven, wat dus zou betekenen dat mijn bewijs niet klopt).
Dat is inderdaad wel een leuke opgave. Ik vond 'm niet heel makkelijk.quote:
[..]
Dat dictaat heb ik inderdaad ook alles uit geleerd, bevalt prima. Hoewel boeken vaak meer diepgang hebben, maar dat is al snel too much als je alleen maar gewone calculus wil leren.
Ik heb trouwens nog een leuke theorie/bewijs'opgave', die iemand een tijd geleden op http://boards.4chan.org/sci/ had gepost (geen flauw idee wanneer precies). Ik weet niet precies meer hoe het toen geformuleerd was, maar de theorie was, dat je in elke (eindige ongerichte) graaf een verzameling V kan kiezen, zo dat voor elke knoop k de kardinaliteit van de intersectie tussen de verzameling met alle buren van v en v zelf erin oneven is.
Oftewel, voor elke (eindige ongerichte) graaf G bestaat een verzameling V, zodat elke knoop in V een even aantal buren in V heeft, en elke knoop die niet in V zit een oneven aantal buren in V heeft.
Je kan het ook uitleggen op een wat visuelere manier. Stel dat je een graaf hebt waarin in het begin alle knopen ongekleurd (of wit) zijn, en telkens een knoop kiest. Verander nu de kleur van elke knoop die verbonden is met deze knoop van gekleurd naar ongekleurd en andersom. Het is nu voor elke graaf mogelijk om met een volledig gekleurde graaf te eindigen. Een visueel voorbeeld:
[ afbeelding ]
De oranje knoop is die, die het laatst is gekozen (om in de verzameling V te komen). In dit voorbeeld bestaat V dus uit de bovenste drie knopen (die in het 'dakje' van het 'huisje'). Er kunnen soms meerdere mogelijkheden voor V zijn (bijvoorbeeld in het simpele geval van een graaf die bestaat uit twee verbonden knopen), de theorie zegt dat er ten minste één mogelijkheid is om zo'n verzameling V te kiezen.
Ik geloof dat ik er een bewijs voor heb (zonet even snel afgemaakt, dus het zou goed kunnen dat er een fout inzit), maar het was niet makkelijk. (hoewel het uiteindelijke bewijs wat ik nu heb wel meevalt, het is meer iets waar ik bij toeval op kwam). Ik dacht, misschien lijkt iemand het leuk om het te proberen te bewijzen (of een tegenvoorbeeld te geven, wat dus zou betekenen dat mijn bewijs niet klopt).
Klinkt wel als een leuke opgave.... ik zal er eens naar gaan kijken.
Deze zin klopt niet helemaal trouwens:
[ Bericht 75% gewijzigd door thenxero op 08-06-2012 17:52:03 ]
Deze zin klopt niet helemaal trouwens:
Maar ik zal je herformulering gebruiken, die is wel duidelijk.quote:maar de theorie was, dat je in elke (eindige ongerichte) graaf een verzameling V kan kiezen, zo dat voor elke knoop k de kardinaliteit van de intersectie tussen de verzameling met alle buren van v en v zelf erin oneven is.
[ Bericht 75% gewijzigd door thenxero op 08-06-2012 17:52:03 ]
In mijn ervaring hebben boeken over basiswiskunde niet meer diepgang, maar veel meer langdradige toepassingen, die niet zoveel meer met de wiskunde zelf te maken hebben.quote:
[..]
Dat dictaat heb ik inderdaad ook alles uit geleerd, bevalt prima. Hoewel boeken vaak meer diepgang hebben, maar dat is al snel too much als je alleen maar gewone calculus wil leren.
In een dictaat is het meer zo van: stap 1: dit moet je weten... stap 2: doe het. Zonder de onzin tussendoor
.
Voor Calculus gebruik ik Calculus van Michael Spivak, maar de vragen in dit boek zijn echt heel moeilijk vind ik zelf
Chemie, fysica, biologie en wiskunde zijn geheel verschillende disciplines. Je komt er pas achter wat bij je past door het te proberen. Download/koop/leen wat goede basishandboeken voor deze vakgebieden en je ervaart vanzelf wat bij je past.quote:Die man heeft me toch wel echt gestimuleerd om vooral geen scheikunde te gaan studeren, maar toch wiskunde.
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
Ik snap hier dus niets van:
Nou staat er nog bij dat de straal te zien is als een hoogtelijn van een rechthoekige driehoek, maar daarmee kom ik er ook niet uit. Het uiteindelijke antwoord is 3 3/4, maar zelfs daar kan ik niks van maken.quote:Van een gelijkbenige driehoek STV is basis ST = 6. De hoogtelijn uit V heeft lengte 4. Een cirkel heeft zijn middelpunt op de basis en raakt aan de benen. Bereken de straal van die cirkel.
Ik heb ff een plaatje voor je gemaakt.
Je weet ST en VW.
Je weet dus SW =0.5ST.
Daarmee kan je SV uitrekenen met pythagoras.
Dan heb je 2 rechthoekige driehoeken. (UVW en SUW)
Dan heb je de volgende 2 vergelijkingen:
x²+UV²=VW²
x²+(SV-UV)²=WS²
Je enige onbekenden hierin zijn x en UV, dus met wat omschrijven kan je het oplossen.
Je weet ST en VW.
Je weet dus SW =0.5ST.
Daarmee kan je SV uitrekenen met pythagoras.
Dan heb je 2 rechthoekige driehoeken. (UVW en SUW)
Dan heb je de volgende 2 vergelijkingen:
x²+UV²=VW²
x²+(SV-UV)²=WS²
Je enige onbekenden hierin zijn x en UV, dus met wat omschrijven kan je het oplossen.
gr gr
Dat maakt niet uit, want je moet het antwoord beredeneren, niet uit het plaatje aflezen.quote:
Maar is de hoogtelijn in dat voorbeeld niet veel langer?
Tip: maak gebruik van gelijkvormige driehoeken.
Per ongeluk verkeerd om gelezen, maar dat maakt voor de berekening geen bal uit.quote:
Maar is de hoogtelijn in dat voorbeeld niet veel langer?
gr gr
Ik denk dat je antwoord niet klopt.quote:
Ik snap hier dus niets van:
[..]
Nou staat er nog bij dat de straal te zien is als een hoogtelijn van een rechthoekige driehoek, maar daarmee kom ik er ook niet uit. Het uiteindelijke antwoord is 3 3/4, maar zelfs daar kan ik niks van maken.
Dat antwoord kom uit mijn boek, dus ik weet niet of het klopt. Vind het nogal onwaarschijnlijk, want ik krijg het niet voor elkaar om het antwoord terug te redenen.quote:
Dit is echt heel elementair hoor.quote:
[..]
Dat antwoord komt uit mijn boek, dus ik weet niet of het klopt. Vind het nogal onwaarschijnlijk, want ik krijg het niet voor elkaar om het antwoord terug te redeneren.
Je hebt (ik ga even uit van de aanduidingen in bovenstaand plaatje):
VW = 4 en SW = ½∙ST = 3
Dus:
SV = 5 (Pythagoras).
Nu is verder driehoek VWS gelijkvormig met driehoek WUS (kenmerk hh), dus:
WU : SW = VW : SV
x : 3 = 4 : 5
x = 12/5
Dat is alles.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 09-06-2012 01:11:06 ]
Ah, die gelijkvormigheidstruc heb ik ook 5 jaar niet meer gebruikt.
Ik los liever gewoon wat kwadratische vergelijkingen op.
Maar jouw methode is inderdaad makkelijker.
Ik los liever gewoon wat kwadratische vergelijkingen op.
Maar jouw methode is inderdaad makkelijker.
gr gr
Briljant. Ironisch genoeg was ik al op het antwoord 2,4 gekomen door het uit te tekenen, maar omdat het boek een ander antwoord gaf wist ik het even niet meer. Maar deze uitleg verklaard waarom het antwoord 2,4 is en niet het voorgenoemde antwoord.quote:
[ Bericht 0% gewijzigd door Aardappel2610 op 09-06-2012 01:48:31 ]
Weet je wel hoe je een breuk in een decimaal getal omzet? 12/5 = 24/10 = 2,4.quote:
[..]
Briljant. Ironisch genoeg was ik al op het antwoord 4,2 gekomen door het uit te tekenen, maar omdat het boek een ander antwoord gaf wist ik het even niet meer. Maar deze uitleg verklaard waarom het antwoord 4,2 is en niet het voorgenoemde antwoord.
Het is laat... Mijn fout...quote:
[..]
Weet je wel hoe je een breuk in een decimaal getal omzet? 12/5 = 24/10 = 2,4.
We zijn niet allemaal zo slim als jij.quote:
[..]
Weet je wel hoe je een breuk in een decimaal getal omzet? 12/5 = 24/10 = 2,4.
Maar over dat oude vraagstuk, de aanname dat A,B en C allen een baan afleggen naar M is onjuist? (kwartcirkel)
[ Bericht 0% gewijzigd door Amoeba op 09-06-2012 06:29:56 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Intypen op je gr toch?quote:
[..]
Weet je wel hoe je een breuk in een decimaal getal omzet? 12/5 = 24/10 = 2,4.
Het is je gelukt?quote:
[..]
Dat is inderdaad wel een leuke opgave. Ik vond 'm niet heel makkelijk.
Ik ben er nog niet uit of mijn bewijs klopt, ik had snel een idee, maar ik had gister geen tijd en moet er nu nog naar kijken.
Ja, maar 't is best pittig.quote:Op zaterdag 9 juni 2012 16:47 schreef kutkloon7 het volgende:
[..]
Het is je gelukt?
Ik ben er nog niet uit of mijn bewijs klopt, ik had snel een idee, maar ik had gister geen tijd en moet er nu nog naar kijken.
Hoi,
Graag wil ik een vraagje stellen: hoe bereken je 9(x10)^2? De opdracht is: werk van de volgende vorm alle haakjes weg en vereenvoudig. Het antwoord is: 9x^2-180x+900
Ik had het eerst uitgeschreven dus 9(x10)^2= 9(x*10)(x*10)= 9x^2+10x+10x+100=
9x^2+20x+100
Mijn antwoord is dus mijn berekening is fout. Kan iemand me vertellen hoe ik dat aanpak?
Alvast bedankt
Groet,
superky
Graag wil ik een vraagje stellen: hoe bereken je 9(x10)^2? De opdracht is: werk van de volgende vorm alle haakjes weg en vereenvoudig. Het antwoord is: 9x^2-180x+900
Ik had het eerst uitgeschreven dus 9(x10)^2= 9(x*10)(x*10)= 9x^2+10x+10x+100=
9x^2+20x+100
Mijn antwoord is dus mijn berekening is fout. Kan iemand me vertellen hoe ik dat aanpak?
Alvast bedankt
Groet,
superky
Ik zit (dit maal) met de volgende vraag:
Als ik buiten een cirkel een willekeurig punt P kies en vervolgens vanuit punt P twee lijnen langs de cirkel laat lopen, zijn de zijden van die driehoek per definitie gelijk?
Als ik buiten een cirkel een willekeurig punt P kies en vervolgens vanuit punt P twee lijnen langs de cirkel laat lopen, zijn de zijden van die driehoek per definitie gelijk?
Bedoel je niet toevallig 9(x+10)^2 ?quote:
Graag wil ik een vraagje stellen: hoe bereken je 9(x10)^2?
Ja, de twee raaklijnen aan een cirkel vanuit een punt buiten de cirkel zijn even lang, maar dat is niet per definitie. Zoiets moet je netjes bewijzen. Kijk ook eens naar lijnen vanuit P die je cirkel snijden in twee punten A en B. Je zou dan kunnen proberen te bewijzen dat het product PA∙PB constant is.quote:
Ik zit (dit maal) met de volgende vraag:
Als ik buiten een cirkel een willekeurig punt P kies en vervolgens vanuit punt P twee lijnen langs de cirkel laat lopen, zijn de zijden van die driehoek per definitie gelijk?
(a+b)2 = a2 +2ab + b2quote:
[..]
Bedoel je niet toevallig 9(x+10)^2 ?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
ja als er geen min(-) staat is het sowieso positief toch?quote:
[..]
Bedoel je niet toevallig 9(x+10)^2 ?
Ik heb gewoon het antwoord teruggeleid naar de basis. Maar dat denk ik wel.quote:
[..]
ja als er geen min(-) staat is het sowieso positief toch?
x10 ≠ x + 10quote:
[..]
ja als er geen min(-) staat is het sowieso positief toch?
Het eerste is een vermenigvuldiging, het tweede een som.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
ok het is x10 en geen x+10.quote:
[..]
x10 ≠ x + 10
Het eerste is een vermenigvuldiging, het tweede een som.
Is PA dan per definitie gelijk aan PB?quote:
[..]
Ja, de twee raaklijnen aan een cirkel vanuit een punt buiten de cirkel zijn even lang, maar dat is niet per definitie. Zoiets moet je netjes bewijzen. Kijk ook eens naar lijnen vanuit P die je cirkel snijden in twee punten A en B. Je zou dan kunnen proberen te bewijzen dat het product PA∙PB constant is.
Een (logische) redenering dat beide raakpunten even ver van een punt P ligt is veel makkelijker. Als je dan zegt dat PC de kortste afstand naar de cirkel is, dan is het toch ook logisch dat beide raakpunten even ver van C liggen, en dus ook van P?
[ Bericht 1% gewijzigd door Amoeba op 09-06-2012 18:04:42 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
9(10x)^2 = 900x^2. Je maakt een fout.quote:
Bij 9(x+10)^2 kom je wel op het gevraagde uit.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Nee, je begrijpt er niet veel van. Verdiep je eerst maar eens in het begrip macht van een punt ten opzichte van een cirkel.quote:
[..]
Is PA dan per definitie gelijk aan PB? Enkel wanneer die constante waarde 1 is, uiteraard.
Een (logische) redenering dat beide raakpunten even ver van een punt P ligt is veel makkelijker. Als je dan zegt dat PC de korste afstand naar de cirkel is, dan is het toch ook logisch dat beide raakpunten even ver van C liggen, en dus ook van P?
Ik heb een foute toevoeging reeds gecorrigeerd...quote:
[..]
Nee, je begrijpt er niet veel van. Verdiep je eerst maar eens in het begrip macht van een punt ten opzichte van een cirkel.
Ik weet dat mijn 'bewijs' misschien niet wiskundig is, maar logica zit er wel achter.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik heb nog even zitten denken over hoe ik dat kan bewijzen. Ik heb het uitgetekend en m.b.v. congruentie driehoeken kan ik bewijzen dat de zijden even lang zijn. Echter vraag ik me af ik dit de juiste bewijsvoering is.
Bewijs is bewijs.quote:
Ik heb nog even zitten denken over hoe ik dat kan bewijzen. Ik heb het uitgetekend en m.b.v. congruentie driehoeken kan ik bewijzen dat de zijden even lang zijn. Echter vraag ik me af ik dit de juiste bewijsvoering is.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Laten we zeggen dat M het middelpunt is van je cirkel en A en B de beide raakpunten van de twee raaklijnen aan de cirkel vanuit het punt P buiten je cirkel. Je kunt dan gebruik maken van de stelling dat een raaklijn aan een cirkel loodrecht staat op de straal naar het raakpunt, zodat ∠PAM = ∠PBM = 90°. En aangezien ook AM = BM zijn de driehoeken PAM en PBM congruent volgens kenmerk ZZR, waaruit dus volgt PA = PB, QED.quote:
Ik heb nog even zitten denken over hoe ik dat kan bewijzen. Ik heb het uitgetekend en m.b.v. congruentie driehoeken kan ik bewijzen dat de zijden even lang zijn. Echter vraag ik me af ik dit de juiste bewijsvoering is.
Het kwadraat van PA is overigens de macht van punt P t.o.v. je cirkel. Voor elke rechte lijn vanuit P die de cirkel snijdt in twee punten Q en R geldt ook PQ∙PR = PA2 = PB2.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 09-06-2012 19:02:18 ]
quote:
[..]Het zal toch duidelijk zijn dat op basis van symmetrie PA even lang is als PB?SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
Omdat de boog AC even lang is als de boog BC.Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Definieer eerst wat je met C bedoelt. Is dit het snijpunt van lijnstuk PM met de cirkel? En zeggen dat iets 'duidelijk' is op grond van symmetrie is geen bewijs.quote:
[..]
Het zal toch duidelijk zijn dat op basis van symmetrie PA even lang is als PB?
Omdat de boog AC even lang is als de boog BC.
Dat heb ik in mijn vorige post gedaan, maar ik weet dat het geen bewijs is. Dat veronderstelde ik ook nooit. Als ik het moest bewijzen had ik namelijk ook de bewijsvoering aan de hand van congruentie gebruikt.quote:
[..]
Definieer eerst wat je met C bedoelt. Is dit het snijpunt van lijnstuk PM met de cirkel? En zeggen dat iets 'duidelijk' is op grond van symmetrie is geen bewijs.
En inderdaad, C is inderdaad het snijpunt van PM met de cirkellijn, op de kortste boog AB.
En kun je hier ook nog iets over zeggen:
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
[ Bericht 12% gewijzigd door Amoeba op 09-06-2012 20:24:19 ]Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
quote:
[..]
En kun je hier ook nog iets over zeggen:Je aanname klopt niet omdat de baan die elk van de hoekpunten aflegt geen cirkelboog is.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
Ik gebruikte de term baan in mijn post daarna ook al, besefte me dat dit fout was. Kun je me een kleine aanwijzing geven hoe ik erachter kan komen wat deze baan wel is?quote:
[..]
Je aanname klopt niet omdat de baan die elk van de de hoekpunten aflegt geen cirkelboog is.
Ik zie nu dat die formulering ook fout was, ik bedoelde uiteraard dat die baan geen kwartcirkel was.SPOILER: quoteOm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
[ Bericht 1% gewijzigd door Amoeba op 09-06-2012 20:44:47 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Probeer eens een differentiaalvergelijking op te stellen voor de afgelegde baan.quote:
[..]
Ik gebruikte de term baan in mijn post daarna ook al, besefte me dat dit fout was. Kun je me een kleine aanwijzing geven hoe ik erachter kan komen wat deze baan wel is?
Op dat idee kwamen Arthur (een jongen die theoretische natuurkunde wil gaan studeren) en ik na het tekenen van de driehoek in een cartesisch assenstelsel ook, waarbij het zwaartepunt in de oorsprong van dit assenstelsel geplaatst. Aan het einde van de natuurkunde les wisten we nog niet hoe we hem op moesten stellen.quote:
[..]
Probeer eens een differentiaalvergelijking op te stellen voor de afgelegde baan.
Even wat bronnen raadplegen.
[ Bericht 7% gewijzigd door Amoeba op 09-06-2012 21:14:00 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Gebruik poolcoördinaten (of werk in het complexe vlak en bedenk dat je complexe getallen in polaire vorm kunt weergeven).quote:
[..]
Op dat idee kwamen Arthur (een jongen die theoretische natuurkunde wil gaan studeren) en ik na het tekenen van de driehoek in een cartesisch assenstelsel ook, waarbij het zwaartepunt in de oorsprong van dit assenstelsel geplaatst. Aan het einde van de natuurkunde les wisten we nog niet hoe we hem op moesten stellen.
Nooit gehad. Ter informatie, ik heb slechts wiskunde B afgerond, wiskunde D ben ik op de helft. Een hoofdstuk over complexe getallen gehad..quote:
[..]
Gebruik poolcoördinaten (of werk in het complexe vlak en bedenk dat je complexe getallen in polaire vorm kunt weergeven).
Ik ga wel even inlezen over poolcoördinaten, is er geen alternatieve manier?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ah, poolcoördinaten zijn niet zo moeilijk.
Maargoed, ik had alle hoekpunten ook al in cartesische coördinaten uitgedrukt.
Maargoed, ik had alle hoekpunten ook al in cartesische coördinaten uitgedrukt.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Jawel, maar ik ga nu niet meer hints geven. Het is veel leerzamer en leuker om zelfstandig een oplossing uit te werken.quote:
[..]
Nooit gehad. Ter informatie, ik heb slechts wiskunde B afgerond, wiskunde D ben ik op de helft. Een hoofdstuk over complexe getallen gehad..
Ik ga wel even inlezen over poolcoördinaten, is er geen alternatieve manier?
Uiteraard. Ik heb nu A, B en C in poolcoördinaten.
r = 5/3 * √3
A( 5/3 * √3, 0)
B( 5/3 * √3, 1 1/3π)
C( 5/3 * √3, 2/3π)
Vanuit de poolas gezien, uiteraard.
Nu maar eens uit gaan zoeken wat ik hiermee kan..
[ Bericht 3% gewijzigd door Amoeba op 09-06-2012 21:47:19 ]
r = 5/3 * √3
A( 5/3 * √3, 0)
B( 5/3 * √3, 1 1/3π)
C( 5/3 * √3, 2/3π)
Vanuit de poolas gezien, uiteraard.
Nu maar eens uit gaan zoeken wat ik hiermee kan..
[ Bericht 3% gewijzigd door Amoeba op 09-06-2012 21:47:19 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Jazeker.. Zit allemaal in wisD, in plaats daarvan is er een onzinnig hoofdstuk algebraïsche vaardigheden. Buiten wat logaritmen en standaard rekenregels kwam daar niks in voor, een na laatste hoofdstuk. Proefwerk over gedaan zonder het te maken: 8,9. Dieptreurigquote:
Zijn poolcoördinaten ook al uit het wis B programma geschrapt?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
r = √ x^2 + y ^2
r = f(ø)
x = r cosø
y = r sinø
En dan kom ik weer uit op een vergelijking met 2 onbekenden ( wat ook logisch is, aangezien ø en r veranderen in de tijd).
r = f(ø)
x = r cosø
y = r sinø
En dan kom ik weer uit op een vergelijking met 2 onbekenden ( wat ook logisch is, aangezien ø en r veranderen in de tijd).
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Je hebt het nu over B1,2? Dat is in feite gewoon wiskunde B&D. Ik weet niet of er vroeger dan ook zwaartepunten van functies inzat?quote:
En statistiek hebben ze nu ook al uit wiskunde B gegooid... wordt wel karig zo.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ja, heb het over b1,2... maar b2 was volgens mij alleen maar saaie meetkunde en wat simpele limieten. Zwaartepunten van functies zat bij b1. Alhoewel ik nooit helemaal begrepen heb waarom je
moest berekenen om het zwaartepunt te krijgen... gewoon maar doen
moest berekenen om het zwaartepunt te krijgen... gewoon maar doen
Als CM het zwaartepunt is, dan geldt
ofwel
Wat zegt dat het moment in het zwaartepunt aangrijpt.
ofwel
Wat zegt dat het moment in het zwaartepunt aangrijpt.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Had wat met momenten te maken. M'n docent legde het me ooit uit, en nu weet ik het al niet meer. Zonde wel. (natuurkunde)quote:
Als CM het zwaartepunt is, dan geldt
ofwel
Wat zegt dat het moment in het zwaartepunt aangrijpt.
Verder:
Goed, ik begrijp dat ø afhankelijk is van r, dus arctangens(y/x)
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Kan je die laatste zin toelichten?quote:
Als CM het zwaartepunt is, dan geldt
ofwel
Wat zegt dat het moment in het zwaartepunt aangrijpt.
Pak de oorsprong als draaipunt, vermenigvuldig links en rechts met Fz, links staat het moment r*F van het object als geheel, rechts staat de integraal over r*F van het object in 'stukjes met dikte dx'.quote:
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Ik denk de oppervlakte onder de functie f(x)quote:
Wat vermenigvuldig je links en rechts en wat zijn Fz en F?
Ik denk dat GlowMouse wat te veel gezopen heeft, ik snap ook niet waar hij ineens Fz en r vandaan tovert.
Zoals ik heb geleerd:
xz = ∫xf(x)dx / ∫f(x)
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Maargoed, verder met mijn dilemma.
θ = arctangens(y/x)
r = √ (x2 + y2)
x = r cosθ
y = r sinθ
Als ik x en y substitueer in de bovenstaande formule voor r kom ik zoals verwacht op Pythagoras zijn stelling uit. Dat gaat dus ook niet werken.
Ik wil van de formule gebruikmaken voor de booglengte van een functie. Daarvoor wil ik een functie r(θ) opstellen, en ik weet niet hoe ik dat moet doen. Ik snap wel dat θ afhankelijk is van r.
s = θ1∫θ2 r2 + (dr/dθ)2 dθ
Met θ1 = 1 + 1/3 pi en 2 = 0 (Omdat M(0,0) (Zowel in poolcoördinaten en cartesiaanse coördinaten. )
Nu dus uitzoeken hoe ik een functie r(θ) opstel.
Maak ik hier een fout in?
[ Bericht 0% gewijzigd door Amoeba op 09-06-2012 23:36:00 ]
θ = arctangens(y/x)
r = √ (x2 + y2)
x = r cosθ
y = r sinθ
Als ik x en y substitueer in de bovenstaande formule voor r kom ik zoals verwacht op Pythagoras zijn stelling uit. Dat gaat dus ook niet werken.
Ik wil van de formule gebruikmaken voor de booglengte van een functie. Daarvoor wil ik een functie r(θ) opstellen, en ik weet niet hoe ik dat moet doen. Ik snap wel dat θ afhankelijk is van r.
s = θ1∫θ2 r2 + (dr/dθ)2 dθ
Met θ1 = 1 + 1/3 pi en 2 = 0 (Omdat M(0,0) (Zowel in poolcoördinaten en cartesiaanse coördinaten. )
Nu dus uitzoeken hoe ik een functie r(θ) opstel.
Maak ik hier een fout in?
[ Bericht 0% gewijzigd door Amoeba op 09-06-2012 23:36:00 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik snap het wel denk ik.
x is de afstand tot de oorsprong (de arm: r)
f(x) dx is evenredig met de "zwaartekracht" op het oppervlakte van een reepje
Dus f(x) * x * dx is het moment van een reepje. Dus ∫ x f(x) dx is het totale moment.
∫ f(x) dx kan je interpreteren als de totale massa.
Het moment is massa * arm. Dus (moment) / (massa) = arm. Dus:
∫ x f(x) dx / ∫ f(x) dx = xz.
.
x is de afstand tot de oorsprong (de arm: r)
f(x) dx is evenredig met de "zwaartekracht" op het oppervlakte van een reepje
Dus f(x) * x * dx is het moment van een reepje. Dus ∫ x f(x) dx is het totale moment.
∫ f(x) dx kan je interpreteren als de totale massa.
Het moment is massa * arm. Dus (moment) / (massa) = arm. Dus:
∫ x f(x) dx / ∫ f(x) dx = xz.
Ik heb je dit woord wel vaker zien misbruikenquote:
.
wat lees ik¿quote:
[..]
Ik heb je dit woord wel vaker zien misbruiken
Oké oké, probleemstelling dan. Ik snap je argument.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Je begrijpt inmiddels dat het eigenlijk een rectificatieprobleem is: als je de totale baanlengte van punt A vanaf de uitgangspositie zou kunnen berekenen, dan weet je ook hoe lang het duurt voordat A het centrum O bereikt, omdat de baansnelheid immers constant is (2 eenheden per seconde). Maar de formule die je geeft voor de lengte van een curve in poolcoördinaten klopt niet. En je gedachte dat θ = 0 als A in O ligt klopt natuurlijk ook niet, dan is r = 0. Je kunt het probleem om een vergelijking van de baan in poolcoördinaten op te stellen trouwens vermijden door alleen te kijken naar r als functie van de tijd t.quote:
Maargoed, verder met mijn dilemma.
Ik wil van de formule gebruikmaken voor de booglengte van een functie. Daarvoor wil ik een functie r(θ) opstellen, en ik weet niet hoe ik dat moet doen. Ik snap wel dat θ afhankelijk is van r.
s = θ1∫Q2 r2 + (dr/dθ)2 dθ
Met θ1 = 1 + 1/3 pi en Q2 = 0 (Omdat M(0,0) (Zowel in poolcoördinaten en cartesiaanse coördinaten. )
Nu dus uitzoeken hoe ik een functie r(θ) opstel.
Maak ik hier een fout in?
De hoek θ dan niet? Wat is dan de poolcoördinaat van het middelpunt van het stelsel?quote:
[..]
Je begrijpt inmiddels dat het eigenlijk een rectificatieprobleem is: als je de totale baanlengte van punt A vanaf de uitgangspositie zou kunnen berekenen, dan weet je ook hoe lang het duurt voordat A het centrum O bereikt, omdat de baansnelheid immers constant is (2 eenheden per seconde). Maar de formule die je geeft voor de lengte van een curve in poolcoördinaten klopt niet. En je gedachte dat θ = 0 als A in O ligt klopt natuurlijk ook niet, dan is r = 0. Je kunt het probleem om een vergelijking van de baan in poolcoördinaten op te stellen trouwens vermijden door alleen te kijken naar r als functie van de tijd t.
Maar uiteraard, het was al vanaf het begin mijn eerste ingeving om die baanlengte uit te zoeken. Inmiddels is me wel duidelijk dat deze baan geen cirkel is, volgende ingeving is een soort van spiraal. Maar daar maak ik me niet zo druk om.
Je stelt dat ik een fuctie r(t) uit kan drukken zonder gebruik te maken van θ, ik zie even niet in hoe. Zit ik al 2 uur te kijken om r(θ) te achterhalen, moet het toch anders.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
In feite is θ onbepaald in de oorsprong, je kunt alleen zeggen dat dan geldt r = 0.quote:
[..]
De hoek θ dan niet? Wat is dan de poolcoördinaat van het middelpunt van het stelsel?
Het is inderdaad een bepaald type spiraal.quote:Maar uiteraard, het was al vanaf het begin mijn eerste ingeving om die baanlengte uit te zoeken. Inmiddels is me wel duidelijk dat deze baan geen cirkel is, volgende ingeving is een soort van spiraal. Maar daar maak ik me niet zo druk om.
Er zijn allerlei mogelijkheden om het vraagstuk aan te pakken, en het afleiden van een voorstelling in poolcoördinaten r = r(θ) van de baan die punt A beschrijft is zeker een mogelijkheid, net zo goed als het opstellen van een complexe functie z(t) van een reële variabele t als parametervoorstelling van de baan. Maar je kunt het ook elementair oplossen (zonder differentiaal- en integraalrekening) als je de snelheidsvector v ontbindt in een radiale component vr en een transversale component vθ. Lees dit maar even door om te zien wat deze begrippen inhouden.quote:Je stelt dat ik een functie r(t) uit kan drukken zonder gebruik te maken van θ, ik zie even niet in hoe. Zit ik al 2 uur te kijken om r(θ) te achterhalen, moet het toch anders.
Die pagina was trouwens al een paar keer voorgekomen in de zoekresultaten van Google. Ik ga eens lezen!
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
de vergelijking waar het over ging, je krijgt dan:quote:
Wat vermenigvuldig je links en rechts en wat zijn Fz en F?
F*r is de bekende formule voor het moment
je kent toch natuurkundequote:
[..]
Ik denk dat GlowMouse wat te veel gezopen heeft, ik snap ook niet waar hij ineens Fz en r vandaan tovert.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Oh zo, Newton * arm.quote:
[..]
de vergelijking waar het over ging, je krijgt dan:
F*r is de bekende formule voor het moment
[..]
je kent toch natuurkunde
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Zal afnemen
Is verschillende per punt, dunkt me.
En wat staat hier exact? Ik snap niet wat ur betekent.
[ Bericht 12% gewijzigd door Amoeba op 10-06-2012 00:41:42 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Nee.quote:
Op Nee, alweer mis.quote:
Dat blijkt duidelijk uit het vervolg van de tekst, ur is een genormaliseerde plaatsvector, dus ur = r/|r|. Maar dit heb je helemaal niet nodig.quote:
Keer nu eens terug naar het oorspronkelijke probleem. Je weet dat de magnitude van de snelheidsvector v constant is (onafhankelijk van de tijd), want gegeven is dat |v| = 2. Je weet ook dat punt A steeds in de richting van punt B beweegt, en dat ∠OAB = 30°. Bedenk nu eerst wat je kunt zeggen over de magnitudes van de radiale en de transversale componenten van de snelheidsvector.
Ja klopt, ik had al voor mezelf bedacht dat de driehoek gelijkzijdig zou blijven, en dat de hoeken dus immer gelijk aan 60 graden zouden zijn. Daarmee wist ik dus ook dat die hoek van 30 graden erin bleef zitten.quote:
Keer nu eens terug naar het oorspronkelijke probleem. Je weet dat de magnitude van de snelheidsvector v constant is (onafhankelijk van de tijd), want gegeven is dat |v| = 2. Je weet ook dat punt A steeds in de richting van punt B beweegt, en dat ∠OAB = 30°. Bedenk nu eerst wat je kunt zeggen over de magnitudes van de radiale en de transversale componenten van de snelheidsvector.
Kun je me eerst duidelijk uitleggen wat een radiale en transversale component is? Het zal inmiddels wel duidelijk zijn dat mijn eerste 'ideeën' over deze nieuwe begrippen totaal verkeerd waren.
Ik snap dat er een zekere samenhang is tussen de afname van r en de verandering van de hoek θ. Volgens mij doen de vectoren deze samenhang duidelijk maken, of sla ik hier (wederom) de plank mis?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Nee, volgens mij helpt dat bij deze opgave helemaal niets.quote:
[..]
Indrukwekkend! Heb je de verbindingsmatrix van de grafen gebruikt?
Vergeet even die hoek waarover punt A om het centrum O is geroteerd op een tijdstip t > 0. Maak een tekening van een gelijkzijdige driehoek ABC met centrum O. Deze tekening kun je beschouwen als een momentopname van de positie van de punten A,B,C op een gegeven tijdstip. Nu weet je dat A in de richting van B beweegt, dus de snelheidsvector v (met aangrijppunt A) ligt langs AB. Teken ook deze vector. De lengte van v in je tekening is niet belangrijk, maar omwille van de overzichtelijkheid van je tekening kun je het best de lengte van v in je tekening kleiner nemen dan de helft van de lengte van AB. Nu ontbind je deze vector in twee onderling loodrechte componenten. De radiale component vr ligt langs de radius OA en de transversale component vθ staat daar loodrecht op. Bereken nu (exact) de lengtes van vr en vθ. Dit kun je doen omdat de lengte |v| = 2 van de snelheidvector v bekend is. De lengte |vr| van de radiale component vr vertelt je nu hoe snel de afstand van punt A tot het centrum O afneemt. En aangezien je al uit had gerekend dat OA = (5/3)∙√3 op tijdstip t = 0 kun je dan ook uitrekenen op welk tijdstip zou moeten gelden dat OA = 0.quote:
[..]
Ja klopt, ik had al voor mezelf bedacht dat de driehoek gelijkzijdig zou blijven, en dat de hoeken dus immer gelijk aan 60 graden zouden zijn. Daarmee wist ik dus ook dat die hoek van 30 graden erin bleef zitten.
Kun je me eerst duidelijk uitleggen wat een radiale en transversale component is? Het zal inmiddels wel duidelijk zijn dat mijn eerste 'ideeën' over deze nieuwe begrippen totaal verkeerd waren.
Ik snap dat er een zekere samenhang is tussen de afname van r en de verandering van de hoek θ. Volgens mij doen de vectoren deze samenhang duidelijk maken, of sla ik hier (wederom) de plank mis?
| Forum Opties | |
|---|---|
| Forumhop: | |
| Hop naar: | |