[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op woensdag 30 mei 2012 00:46 schreef Physics het volgende:

[..]

Grafen waar je wel twee kanten op kan zijn "undirected" ofwel gewone grafen. Directed is een extra eigenschap die je aan de lijnen/edges toevoegt.

En zulke grafen dan?

(1) < --- > (2) ---> (3)

quote:

Op vrijdag 1 juni 2012 17:14 schreef Riparius het volgende:

[..]

De term wordt kennelijk ook alleen maar in Nederland gehanteerd (hoe typisch).

In het Engels is er ook een woord voor
http://en.wikipedia.org/wiki/Locus_(mathematics)

quote:

Op vrijdag 1 juni 2012 17:55 schreef twaalf het volgende:

[..]

In het Engels is er ook een woord voor
http://en.wikipedia.org/wiki/Locus_(mathematics)

Nee, locus is de Engelse term voor wat vooral vroeger in het Nederlands een meetkundige plaats werd genoemd. Dat is een begrip uit de klassieke Euclidische meetkunde, in tegenstelling tot het modebegrip conflictlijn. Een ellips of een hyperbool bijvoorbeeld wordt als een meetkundige plaats gedefinieerd, niet als een conflictlijn. Het hele begrip conflictlijn is overbodig en schept alleen maar verwarring.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 01-06-2012 22:06:43 ]

In het bericht waar je naar verwees staat dat een parabool wel een conflictlijn is. Waarom kun je hyperbool en ellips dan geen conflictlijn noemen?

quote:

Op vrijdag 1 juni 2012 17:30 schreef thenxero het volgende:

[..]

En zulke grafen dan?

(1) < --- > (2) ---> (3)

Die heb ik nog ziet langskomen eigenlijk, volgens mij is dat niet gedefinieerd (maar durf ik niet met zekerheid te zeggen)?

thenxero heeft gelijk, een directed graaf kan best arcs (a,b) en (b,a) hebben.

Het gaat om de ruimte tussen 1 en 2.

quote:

Op vrijdag 1 juni 2012 18:26 schreef twaalf het volgende:
In het bericht waar je naar verwees staat dat een parabool wel een conflictlijn is. Waarom kun je hyperbool en ellips dan geen conflictlijn noemen?

Omdat een ellips en een hyperbool niet worden gedefinieerd als een verzameling punten met gelijke afstanden tot twee andere punten of puntverzamelingen. Hetzelfde geldt uiteraard voor de cirkel.

Het begrip meetkundige plaats is veel algemener, het gaat daarbij om een verzameling van alle punten in het vlak die aan een bepaalde voorwaarde voldoen, en dat kan van alles zijn. Zo is bij twee gegeven punten A en B de meetkundige plaats van de punten P zodanig dat ∠APB recht is een cirkel met middellijn AB uitgezonderd de punten A en B zelf, maar dit is uiteraard geen conflictlijn.

quote:

Op donderdag 24 mei 2012 23:18 schreef Quyxz_ het volgende:
Toch maar in het gewone wiskundetopic, want daar past het het best denk ik.

Ik heb dit probleem:

[ afbeelding ]

Ik ben al flink bezig geweest met omschrijven, maar ik kom niet uit op de onderste formule voor tau. Ik snap niet waar die pi nou vandaan komt. Iemand die het wel doorheeft?

Hihihi jij volgt het vak numerieke analyse op de TU/e

quote:

Op vrijdag 1 juni 2012 18:31 schreef Aardappel2610 het volgende:
[ afbeelding ]

Het gaat om de ruimte tussen 1 en 2.

Dit is gecompliceerder dan je denkt. Aangenomen dat de beide hoeken recht zijn en de afstand van elk van de benen van hoek 1 tot de parallelle benen van hoek 2 gelijk is, is je conflictlijn binnen het vierkant dat wordt gevormd door de hoekpunten van beide hoeken en de voetpunten van de loodlijnen van het hoekpunt van hoek 1 op de benen van hoek 2 geen recht lijnstuk maar een paraboolsegment.

Ik vermoedde al dat er iets met een parabool gedaan moest worden... Maar ergens lijkt dat heel onlogisch.

Ik heb het nu even uitgetekend en het resultaat is een kromme lijn in het hoekpunt. Als ik het goed begrijp moet zo'n hoek dus behandeld worden als een punt, i.p.v. twee lijnen die elkaar raken?

quote:

Op vrijdag 1 juni 2012 19:07 schreef Aardappel2610 het volgende:
Ik vermoedde al dat er iets met een parabool gedaan moest worden... Maar ergens lijkt dat heel onlogisch.

Nee, er is niets onlogisch aan. Zodra je binnen het genoemde vierkant zit, geldt dat de minimale afstand tot hoek 1 altijd gelijk is aan de afstand tot het hoekpunt van hoek 1, immers alle andere punten op de beide benen van hoek 1 liggen dan verder weg. Voor de minimale afstand tot hoek 2 geldt binnen het genoemde vierkant dat je de lengte van de kortste van de twee loodlijnen op elk van de benen van hoek 2 moet nemen als 'de' kortste afstand tot hoek 2.

quote:

Ik heb het nu even uitgetekend en het resultaat is een kromme lijn in het hoekpunt. Als ik het goed begrijp moet zo'n hoek dus behandeld worden als een punt, i.p.v. twee lijnen die elkaar raken?

Nee. Ik begrijp trouwens niet wat je hiermee precies bedoelt. Je moet de definitie van de conflictlijn hanteren. Maar zoals je zelf ziet leidt dat al gauw tot verwarringen.

quote:

Op vrijdag 1 juni 2012 18:37 schreef Riparius het volgende:

[..]

Omdat een ellips en een hyperbool niet worden gedefinieerd als een verzameling punten met gelijke afstanden tot twee andere punten of puntverzamelingen.

Wel.

quote:

Op vrijdag 1 juni 2012 20:14 schreef twaalf het volgende:

[..]

Wel.

Ken je de definities van een een ellips of een hyperbool als meetkundige plaats aan de hand van twee brandpunten F₁ en F₂ of aan de hand van één brandpunt F en een richtlijn d (directrix) wel?

quote:

Op vrijdag 1 juni 2012 20:26 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ken je de definities van een een ellips of een hyperbool als meetkundige plaats aan de hand van twee brandpunten F₁ en F₂ of aan de hand van één brandpunt F en een richtlijn d (directrix) wel?

De verzameling van alle punten met gelijke afstand tot een vast punt en een vaste cirkel heet een ellips als het punt binnen de cirkel ligt en een hyperbool als het punt buiten de cirkel ligt. In die zin zie ik niet waarom ellips en hyperbool geen conflictlijnen zijn en de parabool wel. Ik ken ook de definitie met brandpunten, maar die doet er hier niet toe.

quote:

Op vrijdag 1 juni 2012 20:32 schreef twaalf het volgende:

[..]

De verzameling van alle punten met gelijke afstand tot een vast punt en een vaste cirkel heet een ellips als het punt binnen de cirkel ligt en een hyperbool als het punt buiten de cirkel ligt. In die zin zie ik niet waarom ellips en hyperbool geen conflictlijnen zijn en de parabool wel. Ik ken ook de definitie met brandpunten, maar die doet er hier niet toe.

Ja, zo kunnen ellips en hyperbool conflictlijnen zijn, maar zo worden ze niet gedefinieerd.
Ik ken tenminste geen (leer)boeken waarin dit zo wordt gedaan.

Zwak argument, linksom of rechtsom is het een conflictlijn.

quote:

Op vrijdag 1 juni 2012 22:24 schreef twaalf het volgende:
Zwak argument, linksom of rechtsom is het een conflictlijn.

Nee, er is niets zwaks aan mijn argumenten. Het lijkt erop alsof jij geen scherp onderscheid wenst te maken tussen definities en stellingen, terwijl dat onderscheid toch wezenlijk is voor de gehele wiskunde.

Een parabool kunnen we definiëren als de meetkundige plaats van punten in een plat vlak die op gelijke afstanden liggen van een lijn in dat vlak en een punt in dat vlak buiten die lijn. En deze definitie kunnen we inderdaad herformuleren in termen van een conflictlijn: een parabool is dan te (her)definiëren als een conflictlijn van een rechte en een punt buiten die rechte.

Maar de meetkundige definities van een ellips of een hyperbool, ongeacht of we deze definiëren aan de hand van twee vaste punten (de brandpunten of foci) of aan de hand van één vast punt (brandpunt of focus) en een rechte (richtlijn of directrix) zijn niet te herformuleren in termen van een conflictlijn gerelateerd aan de twee gegeven punten resp. het gegeven punt en de gegeven lijn. Dit brengt meteen ook de nutteloosheid van het begrip conflictlijn aan het licht: elke conflictlijn is een meetkundige plaats (locus), maar niet elke meetkundige plaats is een conflictlijn. We hebben dus voldoende aan het begrip meetkundige plaats, zoals dat al meer dan twee millennia wordt gebruikt in de euclidische meetkunde. Het begrip conflictlijn wordt sinds een jaar of vijftien gepropageerd door het Freudenthalinstituut, maar daar komen wel meer onzinnige ideeën vandaan t.a.v. de hervorming van het Nederlandse wiskunde-onderwijs. Het is ook een teken aan de wand dat het begrip conflictlijn verder nergens buiten Nederland wordt gebruikt, ook niet in Vlaanderen.

Nu kun je beweren dat de conflictlijn van een cirkel en een punt binnen die cirkel een ellips is, maar dat is dan geen definitie van een ellips, maar een stelling. En een stelling behoeft een bewijs, zie bijvoorbeeld hier.

Twaalf bedoelt denk ik dat je een ellips kan definiëren als de conflictlijn tussen een punt en een cirkel als het punt in de cirkel ligt. Met die definitie werkte ik ook op de middelbare school.

Staat ook zo in je bestandje:

quote:

De conflictlijn E van een punt P en de cirkel K heet een ellips

Ik zie het probleem niet.

quote:

Op zondag 3 juni 2012 17:26 schreef thenxero het volgende:
Twaalf bedoelt denk ik dat je een ellips kan definiëren als de conflictlijn tussen een punt en een cirkel als het punt in de cirkel ligt. Met die definitie werkte ik ook op de middelbare school.

Ja, ik begrijp dat dat kan, als je twee equivalente definities A en B hebt dan kun je A of B kiezen als 'de' definitie, en de andere definitie tot een stelling maken door de equivalentie te bewijzen. Dick Klingens zit een beetje te schipperen in het PDFje waarnaar ik hierboven link, want hij zegt eerst (p. 6) "De conflictlijn E van het punt P en de cirkel K heet ellips" (mijn cursivering, Riparius), waarmee hij dus een definitie suggereert, maar even later geeft hij dan de bekende definitie van de ellips als meetkundige plaats van de punten waarvan de som van de afstanden tot twee vaste punten constant is. Maar goed, Klingens zit een beetje tussen twee vuren in als docent van de oude stempel en als lid van adviescommissies voor de vernieuwing van het wiskunde-onderwijs en dat verklaart wel waarom hij het zo doet.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 03-06-2012 18:08:48 ]

Snelle vraag,
sin (2/3) pi

Omdat mijn rekenmachinetje geen radialen pikt maar graden,
(2/3) * 180 = 120
sin 120 = 0,87

Het boek geeft het antwoord (1/2) * sqrt(3)
Ik zie dat het hetzelfde is, maar hoe komen zij daar?

Middelbare school denk ik?



Dat riedeltje moesten wij uit ons hoofd leren. Is makkelijk te onthouden en als je een globaal beeld hebt hoe een (co)sinus eruit ziet al helemaal.

quote:

Op maandag 4 juni 2012 17:20 schreef Quyxz_ het volgende:
Middelbare school denk ik?

[ afbeelding ]

Dat riedeltje moesten wij uit ons hoofd leren. Is makkelijk te onthouden en als je een globaal beeld hebt hoe een (co)sinus eruit ziet al helemaal.

En als je het even kwijt bent, kan je altijd een gelijkzijdige driehoek (voor de sinus en cosinus van 60 graden, of ^π/₃ radialen) of een half vierkant dat is afgesneden via de diagonaal (voor de sinus en cosinus van 45 graden of ^π/₂).
Helaas weet ik niet zo snel een driehoek waarmee je de sinus en cosinus van ^π/₆ kan vinden. Het zou kunnen met de somformule voor de sinus/cosinus, maar dan moet je de somformule onthouden ipv sin(^π/₆)=¹/₄, wat me niet echt makkelijker lijkt

[ Bericht 8% gewijzigd door kutkloon7 op 04-06-2012 17:43:19 ]

quote:

Op maandag 4 juni 2012 17:15 schreef Quir het volgende:
Snelle vraag,
sin (2/3) pi

Omdat mijn rekenmachinetje geen radialen pikt maar graden,
(2/3) * 180 = 120
sin 120 = 0,87

Het boek geeft het antwoord (1/2) * sqrt(3)
Ik zie dat het hetzelfde is, maar hoe komen zij daar?

Je kunt dit eenvoudig meetkundig beredeneren. Teken een gelijkzijdige driehoek ABC, de hoeken van deze driehoek zijn dan elk 60 graden. Teken vanuit (bijvoorbeeld) hoekpunt C een hoogtelijn, het voetpunt D van deze hoogtelijn is dan het midden van zijde AB. Nu is driehoek ACD rechthoekig, en aangezien D het midden is van AB en dus AD = ½∙AB en ook AB = AC hebben we dus:

AD = ½∙AC

En volgens Pythagoras hebben we ook:

AC² = AD² + CD²

En dus:

CD² = AC² - AD² = AC² - (½∙AC)² = AC² - ¼∙AC² = ¾∙AC²

En dus:

CD = √(¾)∙AC = ½√3∙AC

Nu is in een rechthoekige driehoek de sinus van een scherpe hoek de verhouding tussen de overstaande rechthoekszijde en de schuine zijde, dus hebben we:

sin 60° = sin ∠DAC = CD : AC = ½√3∙AC : AC = ½√3

En aangezien supplementaire hoeken dezelfde sinus hebben, hebben we dus ook

sin 120° = sin(180° - 60°) = sin 60° = ½√3

quote:

Op maandag 4 juni 2012 17:34 schreef kutkloon7 het volgende:

[..]

En als je het even kwijt bent, kan je altijd een gelijkzijdige driehoek (voor de sinus en cosinus van 60 graden, of ^π/₃ radialen) of een half vierkant dat is afgesneden via de diagonaal (voor de sinus en cosinus van 45 graden of ^π/₂).
Helaas weet ik niet zo snel een driehoek waarmee je de sinus en cosinus van ^π/₆ kan vinden.

Heel eenvoudig: als je een rechthoekige driehoek hebt met een hoek van 60 graden, dan is de andere scherpe hoek 30 graden. En uiteraard is de cosinus van een hoek de sinus van het complement, daarom heet het ook een cosinus (als afkorting van complementi sinus).