[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Toch maar in het gewone wiskundetopic, want daar past het het best denk ik.

Ik heb dit probleem:



Ik ben al flink bezig geweest met omschrijven, maar ik kom niet uit op de onderste formule voor tau. Ik snap niet waar die pi nou vandaan komt. Iemand die het wel doorheeft?

quote:

Op donderdag 24 mei 2012 23:18 schreef Quyxz_ het volgende:
Toch maar in het gewone wiskundetopic, want daar past het het best denk ik.

Ik heb dit probleem:

[ afbeelding ]

Ik ben al flink bezig geweest met omschrijven, maar ik kom niet uit op de onderste formule voor tau. Ik snap niet waar die pi nou vandaan komt. Iemand die het wel doorheeft?

Lijkt me eenvoudig. Je hebt:

F(x) + k∙x = 0,

dus:

m∙x''(t) + k∙x(t) = 0,

of:

x''(t) = -(k/m)∙x(t)

Dit is een tweede orde lineaire homogene differentiaalvergelijking. Los deze eens op de bekende manier op door te substitueren:

x(t) = e^λt

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 26-05-2012 12:30:00 ]

Iemand toevallig van het programa Mathematica en state space models?

quote:

Op donderdag 24 mei 2012 23:34 schreef Riparius het volgende:

[..]

Lijkt me eenvoudig. Je hebt:

F(x) + k∙x = 0,

dus:

m∙x''(t) + k∙x(t) = 0,

of:

x''(t) = -(k/m)∙x(t)

Dit is een tweede orde lineaire homogene differentiaalvergelijking. Los deze eens op de bekende manier op door te substitueren:

x(t) = C∙e^λt

Dat kan ik doen, maar ik kom dan nog steeds niet uit op die vergelijking voor tau.

En sowieso heb ik dan 4 onbekenden en maar 2 randvoorwaarden.

[ Bericht 4% gewijzigd door Quyxz_ op 25-05-2012 11:07:20 ]

quote:

Op vrijdag 25 mei 2012 11:01 schreef Quyxz_ het volgende:

[..]

Dat kan ik doen, maar ik kom dan nog steeds niet uit op die vergelijking voor tau.

En sowieso heb ik dan 4 onbekenden en maar 2 randvoorwaarden.

k en m worden als bekend beschouwd (je kan ze dus gewoon in je antwoord laten staan). Los eerst de differentiaalvergelijking eens op, zoals Riparius al suggereerde, en bedenk dan nog eens wat voor punt je precies zoekt.

quote:

Op vrijdag 25 mei 2012 11:31 schreef kutkloon7 het volgende:

[..]

k en m worden als bekend beschouwd (je kan ze dus gewoon in je antwoord laten staan). Los eerst de differentiaalvergelijking eens op, zoals Riparius al suggereerde, en bedenk dan nog eens wat voor punt je precies zoekt.

Ik heb het nu opgelost met een ietwat andere benadering. Geen idee of het geheel correct is, maar ik kom iig wel goed uit. Ik zal zo de berekening plaatsen.

Edit: Dit is mijn berekening. Wat is er allemaal fout?



[ Bericht 13% gewijzigd door Quyxz_ op 25-05-2012 11:59:31 ]

quote:

Op vrijdag 25 mei 2012 11:46 schreef Quyxz_ het volgende:

[..]

Ik heb het nu opgelost met een ietwat andere benadering. Geen idee of het geheel correct is, maar ik kom iig wel goed uit. Ik zal zo de berekening plaatsen.

Edit: Dit is mijn berekening. Wat is er allemaal fout?

[ afbeelding ]

De oplossing die je uiteindelijk voor je differentiaalvergelijking vindt is goed, namelijk:

x(t) = cos ωt,

met

ω = √(k/m)

Maar de manier waarop je dat opschrijft is niet correct. Je algemene oplossing is namelijk een lineaire combinatie niet van cos ωt en i∙sin ωt maar van e^iωt en e^-iωt. Uit

λ² = -k/m

volgt immers (aangezien m en k positief zijn):

λ = i∙√(k/m) ∨ λ = -i∙√(k/m),

zodat:

x(t) = c₁∙e^{i∙√(k/m)∙t} + c₂∙e^{-i∙√(k/m)∙t}

de algemene oplossing is van de differentiaalvergelijking. Met behulp van de beginvoorwaarden x(0) = 1 en x'(0) = 0 vind je dan c₁ + c₂ = 1 en c₁ - c₂ = 0, zodat c₁ = c₂ = ½ en we dus krijgen:

x(t) = (e^{i∙√(k/m)∙t} + e^{-i∙√(k/m)∙t})/2 = cos (√(k/m)∙t)

Hiervoor kunnen we schrijven x(t) = cos ωt met ω = √(k/m) waarbij ω (= 2πf) de cirkelfrequentie wordt genoemd. De periodeduur T (= 1/f) is nu het kleinste positieve getal zodanig dat voor elke t geldt:

x(t + T) = x(t)

Aangezien cos t een periode 2π heeft, heeft x(t) = cos ωt een periode

T = 2π/ω,

immers:

x(t + 2π/ω) = cos(ω(t + 2π/ω)) = cos(ωt + 2π) = cos ωt = x(t)

Verder had je al correct aangegeven dat:

τ = ¼T,

zodat we inderdaad krijgen:

τ = π/2ω

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 25-05-2012 23:07:16 ]

We hebben nu graaftheorie, maar ik vind die bewijsvragen behoorlijk lastig moet ik zeggen..

Zij D = (V, A) een gerichte graaf, en zij R een gesloten gerichte wandeling in
D. Bevat R een gerichte cykel? Zo ja, geef een bewijs. Zo nee, geef een
tegenvoorbeeld.

Een gerichte wandeling in een gerichte graaf van v0 naar vk is een rij v0,e1,v1,..,ek,vk van punten pijlen z.d.d ei een pijl is van vi-1 naar vi. Als de gerichte wandeling gesloten is dan is v0 gelijk aan vk. Dus R is een rij v0,e1,v1,..ek,v0.

Een gerichte cykel in een gerichte graaf is een gesloten gerichte wandeling waarin alle pijlen en alle punten (behalve begin- en eindpunt) verschillend zijn.

Ik denk zelf dat een gesloten gerichte wandeling R in een gerichte graaf D per definitie een gerichte cykel bevat met lengte kleiner dan of gelijk aan de lengte van R.

Alleen hoe bewijs ik zoiets nou perfect?

quote:

Op dinsdag 29 mei 2012 22:56 schreef Physics het volgende:
We hebben nu graaftheorie, maar ik vind die bewijsvragen behoorlijk lastig moet ik zeggen..

Zij D = (V, A) een gerichte graaf, en zij R een gesloten gerichte wandeling in
D. Bevat R een gerichte cykel? Zo ja, geef een bewijs. Zo nee, geef een
tegenvoorbeeld.

Een gerichte wandeling in een gerichte graaf van v0 naar vk is een rij v0,e1,v1,..,ek,vk van punten pijlen z.d.d ei een pijl is van vi-1 naar vi. Als de gerichte wandeling gesloten is dan is v0 gelijk aan vk. Dus R is een rij v0,e1,v1,..ek,v0.

Een gerichte cykel in een gerichte graaf is een gesloten gerichte wandeling waarin alle pijlen en alle punten (behalve begin- en eindpunt) verschillend zijn.

Ik denk zelf dat een gesloten gerichte wandeling R in een gerichte graaf D per definitie een gerichte cykel bevat met lengte kleiner dan of gelijk aan de lengte van R.

Alleen hoe bewijs ik zoiets nou perfect?

Ik heb niet zoveel verstand van graaftheorie, maar in de definitie van de gerichte cykel wordt nog extra geëist dat alle tussenliggende punten verschillend zijn.

Als je bijvoorbeeld de volgende graaf pakt:

(1) <--------> (2) <---------> (3)

Dan is R =[1,2,3,2,1] (met de juiste bijbehorende edges) een gesloten gerichte wandeling. Wordt er met 'R bevat een cykel' bedoeld dat er een deelrij is van R dat een een cykel vormt?

In dit geval is [1,2,1] een cykel bevat in R.

Het volgt in ieder geval niet direct uit de definitie.

[ Bericht 0% gewijzigd door thenxero op 29-05-2012 23:26:09 ]

quote:

Op vrijdag 25 mei 2012 15:34 schreef Riparius het volgende:

[..]

De oplossing die je uiteindelijk voor je differentiaalvergelijking vindt is goed, namelijk:

x(t) = cos ωt,

met

ω = √(k/m)

Maar de manier waarop je dat opschrijft is niet correct. Je algemene oplossing is namelijk een lineaire combinatie niet van cos ωt en i∙sin ωt maar van e^iωt en e^-iωt. Uit

λ² = -k/m

volgt immers (aangezien m en k positief zijn):

λ = i∙√(k/m) ∨ λ = -i∙√(k/m),

zodat:

x(t) = c₁∙e^{i∙√(k/m)∙t} + c₂∙e^{-i∙√(k/m)∙t}

de algemene oplossing is van de differentiaalvergelijking. Met behulp van de beginvoorwaarden x(0) = 1 en x'(0) = 0 vind je dan c₁ + c₂ = 1 en c₁ - c₂ = 0, zodat c₁ = c₂ = ½ en we dus krijgen:

x(t) = (e^{i∙√(k/m)∙t} + e^{-i∙√(k/m)∙t})/2 = cos (√(k/m)∙t)

Hiervoor kunnen we schrijven x(t) = cos ωt met ω = √(k/m) waarbij ω (= 2πf) de cirkelfrequentie wordt genoemd. De periodeduur T (= 1/f) is nu het kleinste positieve getal zodanig dat voor elke t geldt:

x(t + T) = x(t)

Aangezien cos t een periode 2π heeft, heeft x(t) = cos ωt een periode

T = 2π/ω,

immers:

x(t + 2π/ω) = cos(ω(t + 2π/ω)) = cos(ωt + 2π) = cos ωt = x(t)

Verder had je al correct aangegeven dat:

τ = ¼T,

zodat we inderdaad krijgen:

τ = π/2ω

Nog bedankt hiervoor trouwens.

quote:

Op dinsdag 29 mei 2012 23:18 schreef thenxero het volgende:

[..]

Ik heb niet zoveel verstand van graaftheorie, maar in de definitie van de gerichte cykel wordt nog extra geëist dat alle tussenliggende punten verschillend zijn.

Als je bijvoorbeeld de volgende graaf pakt:

(1) <--------> (2) <---------> (3)

Dan is R =[1,2,3,2,1] (met de juiste bijbehorende edges) een gesloten gerichte wandeling. Wordt er met 'R bevat een cykel' bedoeld dat er een deelrij is van R dat een een cykel vormt?

In dit geval is [1,2,1] een cykel bevat in R.

Het volgt in ieder geval niet direct uit de definitie.

Het is ook een gerichte graaf, dus (1)<---->(2) is dan al niet mogelijk, alleen (1)-->(2) of (1)<--(2). Anders zou de stelling inderdaad niet gelden.

In een gerichte graaf mogen pijlen toch gewoon 2 kanten op getekend worden?

En waarom geldt de stelling dan niet?

quote:

Op dinsdag 29 mei 2012 23:59 schreef thenxero het volgende:
In een gerichte graaf mogen pijlen toch gewoon 2 kanten op getekend worden?

En waarom geldt de stelling dan niet?

Nee, in een gerichte graaf, heeft elke lijn tussen twee punten één richting. Als dat niet geld dan kan je een wandeling maken die heen en terug loopt tussen twee punten, dat is geen cykel.. (kan je met tegenvoorbeeld precies laten zien)

Wat ik zelf nu heb:

Zij R een gerichte wandeling v_0,v_1,...,_v_n dan zijn er gehele getallen i,k met i<k zodanig dat v_i=v_k. k is dan het kleinste geheel getal waarvoor dit geldt, dus k is de eerste v_k waarvoor v_i=v_k. Hieruit ontstaat dan de deelgraaf v_i,_v_i+1,...,v_k, dit is een gerichte cykel.

quote:

Op woensdag 30 mei 2012 00:23 schreef Physics het volgende:

[..]

Nee, in een gerichte graaf, heeft elke lijn tussen twee punten één richting. Als dat niet geld dan kan je een wandeling maken die heen en terug loopt tussen twee punten, dat is geen cykel.. (kan je met tegenvoorbeeld precies laten zien)

Wat ik zelf nu heb:

Zij R een gerichte wandeling v_0,v_1,...,_v_n dan zijn er gehele getallen i,k met i<k zodanig dat v_i=v_k. k is dan het kleinste geheel getal waarvoor dit geldt, dus k is de eerste v_k waarvoor v_i=v_k. Hieruit ontstaat dan de deelgraaf v_i,_v_i+1,...,v_k, dit is een gerichte cykel.

Ja maar je kan toch een lijn van a naar b tekenen en ook van b naar a? Anders hanteer je wel een aparte definitie van gerichte graaf. Je krijgt dan inderdaad wandelingen die geen cykel zijn.

R moet wel gesloten zijn natuurlijk.

Dus of dit correct is hangt volledig af van je definitie van gerichte grafen... controleer dat maar eens in je boek.

quote:

Op woensdag 30 mei 2012 00:33 schreef thenxero het volgende:

[..]

Ja maar je kan toch een lijn van a naar b tekenen en ook van b naar a? Anders hanteer je wel een aparte definitie van gerichte graaf. Je krijgt dan inderdaad wandelingen die geen cykel zijn.

R moet wel gesloten zijn natuurlijk.

Dus of dit correct is hangt volledig af van je definitie van gerichte grafen... controleer dat maar eens in je boek.

Ja klopt, hij moet wel gesloten zijn! Was ik even vergeten te typen .

Volgens mij klopt het wel, mijn syllabus beschrijft de lijnen tussen punten in een gerichte graaf als één richting, die ofwel een inpijl danwel een uitpijl beschrijft.

Van wikipedia:

quote:

An orientation of a simple undirected graph is obtained by assigning a direction to each edge

Dus hier zeggen dat ze een richting aanwijzen van de pijl, dus normaliter zijn (x,y) en (y,x) toegestaan, hier is alleen (x,y) of (y,x), afhankelijk van de richting.

Waar zie je staan dat je niet (x,y) en (y,x) mag hebben als edges?

Of hoe noem je grafen waar je dan wel twee kanten op kan?

quote:

Op woensdag 30 mei 2012 00:43 schreef thenxero het volgende:
Waar zie je staan dat je niet (x,y) en (y,x) mag hebben als edges?

Of hoe noem je grafen waar je dan wel twee kanten op kan?

Grafen waar je wel twee kanten op kan zijn "undirected" ofwel gewone grafen. Directed is een extra eigenschap die je aan de lijnen/edges toevoegt.

Als je ionen moet benoemen he, en je hebt bijvoorbeeld Au³+, heet het dan gewoon goud-ion?
En klopt het ook dat Mn²+ het mangaan(II)-ion is?

Weet ook iemand wat de naam is van K2S, FeN en SnI4?

@wicky, dit is wiskunde he? Over de namen van de stoffen: kijk wat Fe is en wat N is. Staat allemaal keurig in de binas

quote:

Op woensdag 30 mei 2012 18:25 schreef Wicky15 het volgende:
Weet ook iemand wat de naam is van K2S, FeN en SnI4?

Kaliumsulfide, ijzer(III)nitride en tin(tetra/IV)jodide?

[ Bericht 0% gewijzigd door zoem op 30-05-2012 19:51:59 ]

-

[ Bericht 100% gewijzigd door Pobberd op 30-05-2012 19:39:56 ]

quote:

Op woensdag 30 mei 2012 18:54 schreef Don_Vanelli het volgende:
@wicky, dit is wiskunde he? Over de namen van de stoffen: kijk wat Fe is en wat N is. Staat allemaal keurig in de binas

Zat inderdaad verkeerd, sorry!

quote:

Op woensdag 30 mei 2012 19:13 schreef zoem het volgende:

[..]

Kaliumsulfide, ijzernitride en tin(tetra/IV)jodide?

Bedankt!

Ik heb een vraag over conflictlijnen. Als je twee hoeken hebt die dezelfde kant op staan (dus: < <), is dan de middelloodlijn die op de bissectrice van de buitenste hoek ligt de conflictlijn? (Ik weet niet of het nou goed beschrijf, maar ik denk het wel...)

quote:

Op vrijdag 1 juni 2012 16:40 schreef Aardappel2610 het volgende:
Ik heb een vraag over conflictlijnen. Als je twee hoeken hebt die dezelfde kant op staan (dus: < <), is dan de middelloodlijn die op de bissectrice van de buitenste hoek ligt de conflictlijn? (Ik weet niet of het nou goed beschrijf, maar ik denk het wel...)

Ik ben tegen het gebruik van de term conflictlijn (zie ook hier) omdat het een term is waarbij allerlei verschillende meetkundige begrippen op één hoop worden gegooid, wat het inzicht niet ten goede komt en daarmee didactisch helemaal fout is. De term wordt kennelijk ook alleen maar in Nederland gehanteerd (hoe typisch). Maar afgezien daarvan is je vraagstelling onduidelijk. Probeer een plaatje te maken dat je vraagstelling illustreert.