t4rt4rus | zondag 11 mei 2014 @ 22:44 | |
Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde. Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld! Opmaak: • met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg). Links: • http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren. • http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search. • http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie. • http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is. • http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc... OP Handig: Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden: www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d | ||
Super-B | zondag 11 mei 2014 @ 22:45 | |
Als iemand bereid is om mij met een vraagstuk te helpen met betrekking tot het differentiëren ofwel het bepalen van de afgeleide, graag! Ik ben een beetje radeloos geworden met dit vraagstuk: ''Bereken met behulp van de quotiëntregel de afgeleide van:'' e^x / (1 + e^x ) De quotiëntregel is als volgt: ( f(x) / g(x) ) ' = f'(x) g(x) - f(x) g' (x) / (g(x))² De noemer is simpel, die moet van (1+e^x) veranderen in: (1+e^x)² De teller daarentegen is mij een raadsel. Zelf denk ik dat de teller het volgende moet worden (aan de hand van de quotiëntregel): e^x * ( 1+e^x) - e^x * ( e^x) Het uitwerken van dit resulteert tot: e^x + e^x² - e^x² Vervolgens wordt de teller dit, na het vereenvoudigen: e^x De uiteindelijke afgeleide (samen met de noemer, die ik eerder behandeld heb) wordt: e^x / (1+e^x)² Zit ik een beetje correct of heb ik de plank compleet misgeslagen? | ||
t4rt4rus | zondag 11 mei 2014 @ 22:47 | |
Ja en als ie hierna ook nog moet integreren... | ||
wiskundenoob | zondag 11 mei 2014 @ 22:50 | |
Of het klopt weet ik niet, maar de teller heeft een standaardafgeleide. | ||
Super-B | zondag 11 mei 2014 @ 22:51 | |
Dat klopt. e^x heeft als standaardafgeleide e^x, dus e^x' = e^x. | ||
Riparius | zondag 11 mei 2014 @ 22:52 | |
Nee, hier gaat het fout. Je kent de rekenregels voor het werken met machten niet. Hint: ap·aq = ap+q | ||
t4rt4rus | zondag 11 mei 2014 @ 22:52 | |
Ja die staat ook in zijn post. Ziet er goed uit. -edit- behalve dat foute die Riparius ziet. Wat je ook had kunnen doe is e^x / (1 + e^x ) = 1 / (e^{-x} + 1) = (e^{-x} + 1)^-1 Neem je daar de afgeleide van dan krijg je -(e^{-x} + 1)^-2 * -e^{-x} = e^{-x} (e^{-x} + 1)^-2 | ||
nodig | zondag 11 mei 2014 @ 22:54 | |
Zit niet in de examenstof http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf | ||
Super-B | zondag 11 mei 2014 @ 22:55 | |
Ook een handige. Dankjewel! Dit was ook zowat de enige vraag waarover ik twijfelde bij de paragraaf differentiëren. Volgende paragraaf is wel klote lijkt mij, maar het is wel het laatste 'onbekende'' onderwerp voor mij: Differentieerbaarheid. | ||
t4rt4rus | zondag 11 mei 2014 @ 22:56 | |
Kijk nog wel even naar de opmerking van Riparius. | ||
Super-B | zondag 11 mei 2014 @ 22:57 | |
Dank voor de attentie. Heb niet gezien wat ik fout deed. Want ik deed het wel goed toch? | ||
Thormodo | zondag 11 mei 2014 @ 22:59 | |
Nee. Kijk nog eens naar Riparius post. | ||
t4rt4rus | zondag 11 mei 2014 @ 22:59 | |
-weg- Mag niet van thormodo | ||
Thormodo | zondag 11 mei 2014 @ 22:59 | |
Waarom geef je hem het antwoord nu gelijk? Als hij a.d.v. de rekenregels zelf moet uitvogelen wat hij fout doet leert hij daar veel meer van. Daarnaast blijft het dan veel beter hangen. | ||
Super-B | zondag 11 mei 2014 @ 23:02 | |
Jeetje... Net gemist. Thormodo | ||
Riparius | zondag 11 mei 2014 @ 23:04 | |
Het is ook een beetje een notatieprobleem, maar als je e^x² schrijft dan betekent dat e-tot-de-macht-x-kwadraat en niet e-tot-de-macht-x-en-dat-weer-in-het-kwadraat. Dat laatste zou je namelijk moeten noteren als (e^x)^2 als je dan toch per se carets wil gebruiken. Maar, mijn advies: gebruik nu gewoon superscript. En geen smoesjes dat je een mobieltje gebruikt of zo, want daarmee gaat het ook. | ||
Super-B | zondag 11 mei 2014 @ 23:05 | |
Ik weet niet hoe ik een superscript moet maken. Ik denk dat het dan e^2x moet zijn. Want ik heb mijzelf in de tuin geleidt door anders te denken. Als ik dat nu zou opschrijven, zouden jullie mij niet kunnen volgen denk ik. | ||
Thormodo | zondag 11 mei 2014 @ 23:08 | |
Je gebruikt zelfs superscript in je posts en als je quote kun je het commando ook zien . Dus e(sup)2x(/sup) , maar dan met blokhaken [ ]. En als je de rekenregels netjes toepast hoef je niet te "denken", maar kun je het gewoon zeker weten . | ||
Super-B | zondag 11 mei 2014 @ 23:11 | |
Ik wil dit topic niet overdonderen met vragen. Echter heb ik nog een vraag, mits jullie bereid zijn deze te beantwoorden: Hoe differentieer ik functies met de e waarde? Zoals e(2x+1) | ||
Riparius | zondag 11 mei 2014 @ 23:11 | |
Superscript kun je op twee manieren krijgen: Eerste manier: Datgene wat je wil superscripten met de muis selecteren (highlighten) en dan in het edit menu de button x² aanklikken. Tweede manier:
| ||
Novermars | zondag 11 mei 2014 @ 23:11 | |
Of je gebruikt gewoon ... Verder kan je voor e-machten ook gebruiken. | ||
Super-B | zondag 11 mei 2014 @ 23:12 | |
Dank! Zie mijn post boven jouw post. Superscript is gelukt. | ||
Thormodo | zondag 11 mei 2014 @ 23:13 | |
Door de kettingregel toe te passen . | ||
Super-B | zondag 11 mei 2014 @ 23:15 | |
Dit hem juist. Ik zou denken om 2x+1 als g(x) te benaderen en e als f(x), echter staat er gewoon e en geen e x . Raak er een beetje verward door. Eerste wat mij te binnen schiet is: 2e2 | ||
Novermars | zondag 11 mei 2014 @ 23:16 | |
Hint: , dan is | ||
Super-B | zondag 11 mei 2014 @ 23:18 | |
ex blijft gewoon hetzelfde als afgeleide. ex * 2x+1 * e2x Dit wordt: ex * 2x+1 * 2ex 2e 3+3x Dit is hartstikke fout denk ik. [ Bericht 2% gewijzigd door Super-B op 11-05-2014 23:24:09 ] | ||
Novermars | zondag 11 mei 2014 @ 23:24 | |
, dan | ||
Super-B | zondag 11 mei 2014 @ 23:26 | |
f(x)' (g(x)) is toch de afgeleide van functie f(x) vermenigvuldigt met de functie g(x)? Ik kom er eerlijk gezegd niet uit. | ||
Novermars | zondag 11 mei 2014 @ 23:29 | |
Heb je enig idee wat een compositie(/samenstelling) van functies is? Zo nee, dan moet je nog helemaal niet bezig houden met de kettingregel. | ||
Super-B | zondag 11 mei 2014 @ 23:31 | |
Kettingregel ging wel goed tot nu toe. De notatie is mij niet geheel duidelijk en het differentiëren met het getal e. Als ik niet wist ik hoe ik de kettingregel moest toepassen, was ik denk ik al tegen de muur aangelopen. | ||
Novermars | zondag 11 mei 2014 @ 23:33 | |
http://nl.wikipedia.org/wiki/Functiecompositie Ken je fundamenten. | ||
Super-B | zondag 11 mei 2014 @ 23:41 | |
Het is gelukt dankjewel. Tenslotte nog één vraag voordat ik ga slapen. De afgeleide van: ln (1 - 2x) Ik deed ln (1-2x) + ln (1-2x) --> afgeleide van de haakjes aan de rechterkant is -2. Dus: ln(1-2x) + ln -2 Daarna: 1 / (1-2x) + (1/x) -2 Dit wordt: 1 / (1-2x) + (-2x) / x Ik doe iets fout, dat weet ik zeker. Uitleg beetje kort door de bocht, excuus daarvoor. | ||
t4rt4rus | zondag 11 mei 2014 @ 23:42 | |
ln is een operator, dus ln (1-2x) is niet ln * (1-2x) maar ln(1-2x). | ||
Super-B | zondag 11 mei 2014 @ 23:44 | |
Bewerkt. Wat doe ik fout? | ||
t4rt4rus | zondag 11 mei 2014 @ 23:47 | |
ln(1-2x) = 2 ln(1-2x) ? = 2 (ln(1-2x) + ln(1-2x)) = 4 ln(1-2x)? yey gratis getallen -edit- Nu mag jij weer de kettingregel toepassen. | ||
thenxero | maandag 12 mei 2014 @ 00:07 | |
Wat een differentieerstress hier opeens. | ||
Riparius | maandag 12 mei 2014 @ 00:49 | |
Dit is een samengestelde functie. Je hebt eigenlijk twee functies f: x → 2x + 1 en g: u → eu waarbij op een variabele x eerst f wordt toegepast en op het resultaat 2x + 1 = u daarvan weer g. Als je je een functie voorstelt als een black box waar je iets in stopt en waar dan ook weer iets uitkomt, dan heb je hier dus twee black boxes f en g, waarbij je de output van de eerste functie f gebruikt als input voor de tweede functie g. Schematisch voorgesteld: x → 2x+1 → e2x+1 of, als we het 'tussenresultaat' 2x + 1 even voorstellen door de letter u en de functiewaarde e2x+1 zoals te doen gebruikelijk door de letter y: x → u → y Een afgeleide is eigenlijk niets anders dan wat in het Engels zo mooi kan worden uitgedrukt met de term rate of change. De afgeleide van een functie in een bepaald punt (i.e. voor een bepaalde waarde van x) vertelt ons hoe snel de functiewaarde op dat punt verandert in verhouding tot een verandering van x. Grafisch is de afgeleide zo niets anders dan de steilheid van de raaklijn aan de grafiek van de functie in dat punt. De steilheid van zo'n raaklijn in een punt op de grafiek van een functie f berekenen we in wezen door naast het punt (x; f(x)) op de grafiek waar het ons om te doen is nog een tweede punt op de grafiek te nemen dat hier heel dicht bij in de buurt ligt, en dan te kijken wat er gebeurt met de steilheid van de snijlijn door deze twee punten als we dat tweede punt langs de grafiek naar het eerste punt toe laten bewegen. Als je die x een klein beetje in waarde verandert, zodat we x+h krijgen, waarin h dus een getal voorstelt (positief óf negatief!) dat heel dicht bij nul ligt, dan heeft het tweede punt op onze grafiek de coördinaten (x+h; f(x+h)). Om nu de steilheid (richtingscoëfficiënt) van de snijlijn door de punten (x; f(x)) en (x+h; f(x+h)) te krijgen, moeten we het hoogteverschil Δy = f(x+h) − f(x) tussen deze twee punten delen door de horizontale afstand Δx = h tussen deze twee punten, zodat we voor de steilheid van onze snijlijn door de punten (x; f(x)) en (x+h ; f(x+h)) dus krijgen Δy/Δx = (f(x+h) − f(x))/h Maar nu zijn we niet geïnteresseerd in de steilheid van de snijlijn door de punten (x; f(x)) en (x+h ; f(x+h)) maar in de steilheid van de raaklijn aan de grafiek in het punt (x; f(x)) en die vinden we door te kijken wat er gebeurt als we dat tweede punt (x+h ; f(x+h)) op onze grafiek steeds dichter naar het eerste punt (x; f(x)) laten gaan, dus als we h steeds dichter naar nul toe laten gaan. We kunnen niet simpelweg h = 0 invullen in de formule voor Δy/Δx, want dan krijgen we 0/0 en dat heeft geen betekenis. Daarom moeten we met het begrip limiet werken. Limiet komt van het Latijnse woord limes (genitief limitis) dat 'grens' betekent. Een limiet is niets anders dan een grenswaarde waar we zo dicht bij in de buurt kunnen komen als we maar willen, als we een variabele (hier: h) maar dicht genoeg bij een bepaalde waarde (hier: nul) laten komen. Voor de afgeleide f'(x) van f(x) en daarmee de steilheid van de raaklijn aan de grafiek van f in een willekeurig punt (x; f(x)) op de grafiek hebben we dan f'(x) = limh→0 (f(x+h) − f(x))/h We kunnen dit ook anders noteren, de limiet van het quotiënt Δy/Δx als we Δx naar nul laten gaan wordt ook voorgesteld door dy/dx, dus dy/dx = limΔx→0 Δy/Δx Maar nu terug naar onze samengestelde functie, die we hierboven schematisch hadden voorgesteld als x → u → y We zijn nu geïnteresseerd in de rate of change van y ten opzichte van x, dus de snelheid waarmee y verandert in verhouding tot een verandering van x bij een gegeven uitgangswaarde van x, want dat is immers de steilheid van de raaklijn aan de grafiek voor een gegeven waarde van x. Welnu, volgens de rekenregels voor breuken heb je Δy/Δx = Δy/Δu · Δu/Δx Maar dit stelt een steilheid voor van een snijlijn door twee punten op de grafiek, dus moeten we weer de limiet nemen voor Δx → 0. Aangezien Δu ook naar nul toe gaat als we Δx naar nul laten gaan geeft dit limΔx→0 Δy/Δx = limΔu→0 Δy/Δu · limΔx→0 Δu/Δx en dus dy/dx = dy/du · du/dx Dit is de kettingregel in de notatie van Leibniz. De kettingregel wordt ook vaak gegeven in een andere notatie, van Lagrange. We hebben hier u = f(x) en y = g(u) zodat y = g(f(x)). Nu is dy/du = g'(u) = g'(f(x)) en du/dx = f'(x) zodat we voor de afgeleide van g(f(x)) naar x dus hebben g'(f(x))·f'(x) In deze vorm is de kettingregel minder 'transparant' en intuïtief dan in de vorm van Leibniz, zodat het aanbeveling verdient om de kettingregel ook in de vorm van Leibniz te onthouden en te leren gebruiken. Nu gaan we de kettingregel toepassen op onze samengestelde functie. We hadden u = 2x + 1 en dat geeft du/dx = 2 en verder hadden we y = eu en dat geeft dy/du = eu en dus vinden we dy/dx = dy/du · du/dx = eu·2 = 2·eu = 2·e2x+1 In de praktijk is het na een beetje oefening heel goed mogelijk - en ook de bedoeling - om de afgeleide van een samengestelde functie direct op te schrijven zonder expliciet met de 'tussenvariabele' u te werken. We hebben hier y = e2x+1 en u = 2x+1 en als je dit invult in de kettingregel dy/dx = dy/du · du/dx dan heb je dus d(e2x+1)/dx = d(e2x+1)/d(2x+1) · d(2x+1)/dx = e2x+1·2 = 2·e2x+1. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 12-05-2014 03:30:06 ] | ||
Super-B | maandag 12 mei 2014 @ 09:38 | |
Dankje! Zeer heldere en duidelijke uitleg. Er zijn echter wat vraagtekens: Ik had hier ook nog eens naar gekeken: Hier wordt dezelfde methode gebruikt (2:14) , echter wordt dy/du hier afgeleid direct van (p)³ naar 3p², terwijl jij in jouw quote echter alleen een variabele toewijst, dus in dit geval u = 2x + 1 en dan is dat dan eu [ Bericht 0% gewijzigd door Super-B op 12-05-2014 11:40:18 ] | ||
t4rt4rus | maandag 12 mei 2014 @ 11:55 | |
Die kerel in die video doet hetzelfde als Riparius. Alleen heeft Riparius er veel meer informatie voor je bij gegeven. y = e^(2x+1) neem p = 2x+1 dan y = e^p dy/dp = e^p dp/dx = 2 En vervolgens dy/dx = dy/dp dp/dx = e^p 2 = 2 e^(2x+1) Riparius doet precies hetzelfde maar gebruikt dan een u ipv p. [ Bericht 4% gewijzigd door t4rt4rus op 12-05-2014 12:02:01 ] | ||
Super-B | maandag 12 mei 2014 @ 13:48 | |
Ow zo. Ja het is duidelijk. Hoe pas je deze methode toe op de afgeleide van natuurlijke logaritmen? Bijvoorbeeld: ln( 1 - 2x) Ik pas dan de kettinregel toe: 1/x (1-2x) * -2 Doe ik hier iets fouts of..? | ||
yasmine97 | maandag 12 mei 2014 @ 14:02 | |
Weet iemand hoe je de inhoud van een achthoek berekend? elke zijde heeft een lengte van 18 meter en een hoogte van 12 m. Ik denk dat het iets met integralen is waar is heel slecht in ben.. | ||
-J-D- | maandag 12 mei 2014 @ 14:06 | |
Een achthoek heeft geen inhoud. De juiste benaming is een prisma. Ken je de formule en/of aanpak voor het berekenen van de inhoud van een prisma? | ||
thenxero | maandag 12 mei 2014 @ 14:07 | |
Het is -2/(1-2x). f(x) = ln(x) u(x) = 1-2x f(u(x))' = f'(u(x)) u'(x) = -2/(1-2x) | ||
yasmine97 | maandag 12 mei 2014 @ 14:13 | |
Nee het is geen prisma, ik moet de inhoud berekenen van de rotskoepel in Jeruzalem en het onderste deel is een achthoek, misschien zeg ik het verkeerd maar het is geen prisma :p de inhoud van de koepel heb ik ergens op internet al gevonden dus ik moet alleen nog de achthoek en het schuine 'dak' berekenen. | ||
yasmine97 | maandag 12 mei 2014 @ 14:15 | |
oh, misschien heet het toch een prisma. | ||
Super-B | maandag 12 mei 2014 @ 14:23 | |
En deze? ln √(x+1) Ik kom uit op : 1 / (√x+1) * 1/2x-1/2 | ||
t4rt4rus | maandag 12 mei 2014 @ 14:37 | |
Schrijf de stappen eens op, dan weet je waarschijnlijk ook of je het goed gedaan hebt. | ||
Super-B | maandag 12 mei 2014 @ 14:43 | |
De stappen staan in mijn schrift. Ik schrijf alleen hier even het eindantwoord. Ik zal het even overnemen.. even wachten. | ||
Super-B | maandag 12 mei 2014 @ 14:48 | |
Dit is letterlijk hoe ik het in mijn schrift heb opgenomen qua tussenstappen: ln √(x+1) --> functie ln ( x + 1)1/2 ---> herschrijving 1/x * 1/2(x + 1) -1/2 --> afgeleide van ln en afgeleide van (x+1)1/2 1 / √(2x+2) --> herschrijving van de afgeleide | ||
t4rt4rus | maandag 12 mei 2014 @ 15:00 | |
Duidelijkere stappen, schrijf op wat je subtitueert etc... Zoals het vorige voorbeeld
| ||
Super-B | maandag 12 mei 2014 @ 15:06 | |
ln √(x+1) --> functie ln ( x + 1)^1/2 ---> √(x+1) herschrijven tot ( x + 1)^1/2 1/x * 1/2(x + 1)^-1/2 --> afgeleide van ln opschrijven ( ln' = 1/x ), dat vermenigvuldigen met de afgeleide van ( x + 1)^1/2 en dat is 1/2(x + 1)^-1/2 1 / 2√(x+1) --> 1/2(x + 1)^-1/2 kan onder de deelstreep van 1/x vanwege -1/2 en de 1/2 wordt 2, aangezien het onder de deelstreep komt en dit wordt: 1 / 2√(x+1) | ||
-J-D- | maandag 12 mei 2014 @ 15:19 | |
De inhoud heb je al op internet gevonden. Snap je die dan ook? Wat heb je al geprobeerd voor de oppervlakte van de achthoek en het dak? | ||
t4rt4rus | maandag 12 mei 2014 @ 15:21 | |
Ik wil de kettingregel stappen zien. Zoals we met de vorige deden: wat is y? wat is p? wat is de afgeleide van y naar p? wat is de afgeleide van p naar x? Gebruikmakend van de kettingregel wat is dan de afgeleide van y naar x? | ||
Super-B | maandag 12 mei 2014 @ 15:36 | |
y = ln √(x + 1) neem p = √(x+1) dan y = ln p dy/dp = 1 / p dp/dx = 1/2(x+1)^(-1/2) En vervolgens de kettingregel toepassen 1 / p * 1/2(x+1)^(-1/2) = 1 / 2√(x+1) | ||
Shreyas | maandag 12 mei 2014 @ 15:36 | |
Vrij ingewikkeld zoals je het doet. Het kan ook zonder logartime: 1. Functie = √(x+1) 2. Vervang x+1 door p, dan krijg je f = √(p) = p1/2 met p = x+1 3. Nu differentieer je f en krijg je f' = 1/2 p-1/2 = 1 / 2√(p) = en differentieer je p en krijg je p' = 1 4. Terug invullen van wordt dan 1/2√(x+1) * 1 = 1/2√(x+1) | ||
t4rt4rus | maandag 12 mei 2014 @ 15:40 | |
Ok bijna hint: p is niet 1 | ||
Super-B | maandag 12 mei 2014 @ 15:41 | |
Ik heb geen idee... Als het 2 is dan kom ik uit op 4W(x+1) | ||
t4rt4rus | maandag 12 mei 2014 @ 15:43 | |
In je tweede regel staat wat p is... | ||
Super-B | maandag 12 mei 2014 @ 15:44 | |
2√(x+1) | ||
t4rt4rus | maandag 12 mei 2014 @ 15:45 | |
Nee dat staat er niet, beter lezen. | ||
Super-B | maandag 12 mei 2014 @ 15:45 | |
oeps: W(x+1) | ||
t4rt4rus | maandag 12 mei 2014 @ 15:48 | |
Dus wat ben je hier dan aan het doen? Je vergeet het hele 1/p gedeelte. | ||
Super-B | maandag 12 mei 2014 @ 15:50 | |
Blijf ik dan niet met een wortel hangen? W(x+1) * W(x+1) ? | ||
Shreyas | maandag 12 mei 2014 @ 15:53 | |
dy/dp = 1 / √(x+1) dp/dx = 1/2√(x+1) Vermenigvuldig die twee met elkaar (teller x teller en noemer x noemer) en je krijgt 1 / 2 √(x+1)√(x+1). Dan vervalt die wortel dus en krijg je 1 / 2(x+1) = 1 / 2x+2 | ||
Super-B | maandag 12 mei 2014 @ 15:55 | |
Een wortel vervalt alleen als het dezelfde machtswortel is toch? Of moet de functie/getallen binnen de wortel ook hetzelfde zijn zodat het vervalt? | ||
t4rt4rus | maandag 12 mei 2014 @ 15:57 | |
| ||
Shreyas | maandag 12 mei 2014 @ 15:57 | |
√(16) = 4 √(16) x √(16) = 4 x 4 = 16 √(81) = 9 √(81) x √(81) = 9 x 9 = 81 √(25) x √(25) = 25 √(x) √(x) = x √(x+1) √(x+1) = x+1 | ||
t4rt4rus | maandag 12 mei 2014 @ 15:59 | |
Dit is gewoon | ||
Super-B | maandag 12 mei 2014 @ 16:22 | |
Hier gaat het weer fout. ln x^(1/3) y = ln x 1/3 p = x 1/3 dy/dp = 1 / x 1/3 dp/dx = 1/3x -2/3 dy/dx = (1/3)x -2/3 / x 1/3 | ||
nodig | maandag 12 mei 2014 @ 16:29 | |
Plaats die macht eens voor ln zodat je krijgt 1/3 ln x Kijk bij de logaritmische rekenregels waarom dit mag | ||
t4rt4rus | maandag 12 mei 2014 @ 16:32 | |
Damn daar had ik ook helemaal niet aan gedacht. Het vorige probleem is dat nog makkelijker Afgeleide is dan -edit- maar goed hopelijk ken je de ketting regel nu ook veel beter. | ||
Super-B | maandag 12 mei 2014 @ 16:34 | |
Waar gaat die +1 naar toe? Je krijgt sowieso 1 / 2*x maar mag die +1 ook onder de deelstreep komen als +1? Zo ja waarom? | ||
t4rt4rus | maandag 12 mei 2014 @ 16:36 | |
Sorry moesten nog haakjes omheen. | ||
Super-B | maandag 12 mei 2014 @ 16:37 | |
Aha oke.. Als je 1/3 ln x doet, dan weet ik hoe ik hem moet afmaken, althans ik zie direct dat het 1/3x moet worden. Maar hoe met het volgens de methode met dy/dx? Ik krijg namelijk y = 1/3 ln x dy/dp = 1/x dp / dx = 0 (1/3 is een constante) Daar klopt natuurlijk niks van.. | ||
t4rt4rus | maandag 12 mei 2014 @ 16:39 | |
Je hebt daar ook geen functie compositie. Dus daar kan je geen kettingregel toepassen. nouja kan wel maar dat moet je de substitutie u = x gebruik, maar daar schiet je dus niks mee op. of je kan de productregel gebruiken met een constant maar een constant mag je ook gelijk buiten de afleiding halen. | ||
netchip | maandag 12 mei 2014 @ 16:45 | |
Hoi, Ik zou graag willen differentieren en integreren. Ik heb oa de kettingregel, productregel en somregel al zien langskomen. Ik weet ook hoe een afgeleide gedefinieerd is, dat had te maken met de richtingscoefficient op een oneindig klein stukje lijn (limiet -> 0). Is het verstandig dit alleen te leren? Ik zit nu in 3 VWO, en naar mijn weten krijg je dit pas in 4/5 VWO... Thx for the responses alvast! | ||
Super-B | maandag 12 mei 2014 @ 16:54 | |
Ik merk ik vastloop op het einde: y = ln (1-x)1/3 p = (1-x)1/3 dy/dp = 1 / (1-x)1/3 dp/dx = 1/3(1-x)1/3 1 / (3(1-x)1/3 * (1-x)-2/3) | ||
netchip | maandag 12 mei 2014 @ 17:04 | |
Ik ben hier niet helemaal zeker van, maar als je f(x) wilt differentieren met behulp van de kettingregel, dan zou ik zeggen g(x)=ln*x1/3 en dan u(x)=1-x. f'(x)=g'(u(x))*u'(x) g'(x)=1/(x1/3) = -2/3*x-5/3 u'(x)=-1 Ik hoop dat dit klopt, en als het klopt dan helpt het in ieder geval EDIT: de afgeleide van f'(x) moet je nog zelf bedenken (antwoord) | ||
wiskundenoob | maandag 12 mei 2014 @ 17:14 | |
Waarom niet eerst 1/3 wegwerken zoals op vorige pagina? | ||
t4rt4rus | maandag 12 mei 2014 @ 17:20 | |
Dat klopt natuurlijk niet. | ||
Super-B | maandag 12 mei 2014 @ 17:29 | |
Ik heb het al. Thanks. Een compleet andere vraag binnen dit onderwerp: Als ik de functie m(x-a) / (x-a) = m heb, waarbij m de richtingscoëfficiënt van de raaklijn is, ofwel de afgeleide van de functie. Een vergelijking van een niet-verticale raaklijn kan worden geschreven als y = f(a) + m(x-a) Nou wil ik de vergelijking van de raaklijn bepalen aan de grafiek van f(x) in het punt (a, f(a)) in het volgende geval: f(x) = 2x² - 3 waarbij a = 1 Ik dacht er dus aan om gewoon de vergelijking van de raaklijn hierbij te gebruiken en deze als het ware in te vullen f(a) + m(x-a) om zodoende x te berekenen en dan een formule te maken van f(a) + m(x-a). Dus in dit geval -De afgeleide van 2x³ - 3 = 4x Dus f(a) + m(x-a) invullen wordt : 1 + 4x(x-1) Klopt dit of zit ik compleet fout met mijn beredenering? | ||
thenxero | maandag 12 mei 2014 @ 17:39 | |
Wiskunde leren is nooit onverstandig . Wat kan je al? Je zegt dat je die regels voorbij hebt zien komen, maar kan je ze ook toepassen? | ||
t4rt4rus | maandag 12 mei 2014 @ 17:54 | |
Leuk dat je wat van differentieren en integreren wil leren. Let goed op dat je goede notatie gebruikt en dat je duidelijk schrijft wat je aan het doen bent. En probeer het ook te begrijpen, dus niet zomaar een regeltje toepassen. Dan kan je dat best wel lukken in VWO 3. (Riparius vertelt straks wel dat ze dat vroeger ook al veel eerder kregen. ) ln is een operator. Het is het natuurlijk logaritme, logaritme met basis e. , beide notatie worden wel gebruikt. Waarvoor geldt dat ln * x1/3] is dus niet toegestaan. Het moet zijn ln x1/3 of ln(x1/3), dat laatste is wat duidelijker. Verder doe je de substitutie u(x) = 1-x, wat je goed gezien hebt. Maar die moet je dan ook doen in de function f(x), dan krijg je dus f(u) = ln u1/3 Je hoeft hier denk ik niet perse een andere naam aan de functie te geven. Dit klopt inderdaad alleen is de notatie met ' onduidelijk als het gaat om waar je naar afleid. Dus je kan dit beter noteren als df/dx = df/du * du/dx (of beter df(x)/dx = df(u(x))/du(x) * du(x)/dx) Maar dat laatste is veel te veel schrijf werk Deze stap gaat fout. Je doet de substitutie u(x) = 1 - x en dan krijg je f(u) = ln(u1/3). Hier kan je de kettingregel weer toepassen maar het is veel makkelijker om deze regel voor logaritmen te gebruiken Dan krijgen we De afgeleide hiervan nemen is dat heel makkelijk Constanten En dan hoef je inderdaad alleen nog maar df/dx = df/du du/dx te doen. [ Bericht 0% gewijzigd door t4rt4rus op 12-05-2014 18:18:21 ] | ||
wiskundenoob | maandag 12 mei 2014 @ 18:09 | |
Is dit correct? d(ln(1-x)1/3) /dx 1/3* d(ln(1-x)) /dx 1/3* d(ln(1-x))/ d(1-x)* d(1-x)/ dx 1/3* 1/(1-x) *-1 | ||
t4rt4rus | maandag 12 mei 2014 @ 18:19 | |
Dat lijkt te kloppen. | ||
netchip | maandag 12 mei 2014 @ 18:39 | |
Dank je wel! Ik zal binnenkort naar de Leibniz-notatie kijken, want waar staat die 'd' voor? Differentiaal? | ||
RustCohle | maandag 12 mei 2014 @ 18:41 | |
Wat is de tiende afgeleide van x^11? Mijn antwoord is (11*10*9*8*7*6*5*4*3*2)x In het antwoordenmodel staat er 11!x. Maar die 11! staat voor 11 faculteit en dat gaat door t/m *1, echter gaat het bij het tien keer afleiden van x^11 door tot *2 en niet tot *1 (zoals dat het geval is bij faculteit). | ||
Anoonumos | maandag 12 mei 2014 @ 18:58 | |
Maar iets vermenigvuldigen met 1 verandert toch niets. | ||
RustCohle | maandag 12 mei 2014 @ 18:59 | |
Weet ik, maar theoretisch gezien vind ik dat het geen 11! is | ||
t4rt4rus | maandag 12 mei 2014 @ 19:03 | |
theoretisch is het precies hetzelfde. Maar goed laat jij maar 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2 staan. | ||
RustCohle | maandag 12 mei 2014 @ 19:05 | |
Nou als ik dat doe is het geheid fout op de toets. | ||
t4rt4rus | maandag 12 mei 2014 @ 19:10 | |
De helling tussen twee punten is te berekenen met , de verandering in y delen door de verandering in x. Met de afgeleide neem je het limiet , maar ook gaan dan naar 0. Met de verandering van naar bedoelen ze dan een zeer kleine verandering in u. | ||
RustCohle | maandag 12 mei 2014 @ 19:19 | |
laat maar!! | ||
RustCohle | maandag 12 mei 2014 @ 19:23 | |
Hoe kun je de intervallen berekenen waarop een functie monotoon stijgend of dalend is? | ||
Diacetylmorfine | maandag 12 mei 2014 @ 19:25 | |
Dat zou je inmiddels toch wel moeten weten, bedenk eens wat je recentelijk geleerd hebt en hoe je dat toe zou kunnen passen. | ||
RustCohle | maandag 12 mei 2014 @ 19:26 | |
Stijgend met een positieve ax en dalend met een negatieve ax. Verder weet ik dat een negatieve tweedegraadsverband een bergparabool is en een positieve tweedegraadsverband een dalparabool is. | ||
t4rt4rus | maandag 12 mei 2014 @ 19:29 | |
Wat is een ax? | ||
RustCohle | maandag 12 mei 2014 @ 19:31 | |
De twee letters van een functie.. ax + b of ax² + bx + c | ||
t4rt4rus | maandag 12 mei 2014 @ 19:32 | |
Waar is de ax van ? -edit- Shit die is natuurlijk 1x Maar goed die van ook en die is niet monotoon stijgend. RustCohle snapt hier natuurlijk geen kloten van | ||
Diacetylmorfine | maandag 12 mei 2014 @ 19:48 | |
Je beperkt je nu tot een klasse functies. Je weet wat de afgeleide is, hoe zou je de gevraagde informatie kunnen winnen uit de afgeleide? | ||
wiskundenoob | maandag 12 mei 2014 @ 19:52 | |
Ik heb een vraag over die notatie bijvoorbeeld: d(ln(1-x))/ d(1-x)* d(1-x)/ dx Bij het eerste gedeelte, d(ln(1-x))/ d(1-x), staat er in de noemer d(1-x), maar je differentieert gewoon zoals gewoonlijk met de gebruikelijke regels(?). Geeft d(ln(1-x))/ d(1-x) dus alleen aan welke deel je van de functie differentieert? En moet je d(ln(1-x))/ d(1-x) interpreteren als een ratio van d(1-x)/ dx? | ||
t4rt4rus | maandag 12 mei 2014 @ 19:56 | |
Je slaat dus alleen de stap over om 1 - x te substitueren door u. Nee gewoon als de afgeleide van de functie ln u. | ||
RustCohle | maandag 12 mei 2014 @ 20:09 | |
Ik heb werkelijk geen benul hoe... wel hoe ik de afgeleide moet bepalen. | ||
jordyqwerty | maandag 12 mei 2014 @ 20:18 | |
Wat is een afgeleide uberhaupt? Ken je je mooie formule voor de xtop van een kwadratische vergelijking nog? Zo niet: x = -b/(2a) Differentieer nu eens de kwadratische vergelijking ax^2 + bx + c, stel deze vervolgens gelijk aan nul en los op voor x. Begint er dan iets te dagen? | ||
netchip | maandag 12 mei 2014 @ 20:18 | |
Even een vraagje, noem je dit differentieren van ln(1-x) naar (1-x)? Hoe moet ik me dit grafisch gezien voorstellen? | ||
RustCohle | maandag 12 mei 2014 @ 20:37 | |
Een beetje maar ik bereken dan de top (minimum of maximum) en dan differentieer ik het (waarom eigenlijk?) En dan bereken ik bij welke x er een nulpunt is met de y-as? Verder geen idee echt. Sorry | ||
jordyqwerty | maandag 12 mei 2014 @ 20:50 | |
Nee, je differentieert eerst. f(x) = ax^2 + bx + c f'(x) = 2ax + b De afgeleide is de richtingscoefficient van de functie voor een waarde x. Wat we nu doen is een vergelijking opstellen om te 'zoeken' naar punten waar de richtingscoefficient gelijk is aan nul. Want, als de richtingscoefficient nul is, hebben we te maken met een extreem punt. Snap je dat? f'(x) = 0 2ax + b = 0 2ax = -b x = -b/(2a) | ||
wiskundenoob | maandag 12 mei 2014 @ 20:51 | |
Dit geldt toch alleen voor een kwadratische vergelijking? | ||
netchip | maandag 12 mei 2014 @ 20:52 | |
Weet het niet zeker, maar denk het niet. Want a = 0, betekent dat je een constante lijn hebt, lijn daalt/stijgt niet. | ||
wiskundenoob | maandag 12 mei 2014 @ 20:54 | |
Als a = 0 dan heb je geen kwadratische vergelijking. | ||
jordyqwerty | maandag 12 mei 2014 @ 20:57 | |
Nee | ||
wiskundenoob | maandag 12 mei 2014 @ 20:58 | |
Je kan toch meerdere punten in een grafiek hebben waar de afgeleide 0 is? | ||
Novermars | maandag 12 mei 2014 @ 21:00 | |
Klopt! De functie heeft er oneindig veel! | ||
jordyqwerty | maandag 12 mei 2014 @ 21:00 | |
Klopt, maar je kan toch ook meerdere extreme punten hebben? Je hebt ook nog eens een verschil tussen globale extrema en lokale extrema. | ||
netchip | maandag 12 mei 2014 @ 21:01 | |
Dat is wat ik bedoelde met a = 0, alleen verkeerd neergezet... | ||
netchip | maandag 12 mei 2014 @ 21:06 | |
Als ik f(x)=x2(3x-4) wil differentieren, moet ik dan gebruik maken van de product regel? Dus schrijven f(x)=a(x)*b(x) en daar de afgeleide van: f'(x)=a'(x)*b(x)+a(x)*b'(x)? Ik weet dat de Leibniz notatie duidelijker is, maar daar ben ik nog niet helemaal uitgekomen. a(x)=x2 dus a'(x)=2x b(x)=3x-4 dus b'(x)=3 f'(x)=2x(3x-4)+x2*3 maakt dan f'(x)=9x2-8x Klopt dit? | ||
wiskundenoob | maandag 12 mei 2014 @ 21:06 | |
OK, dan is het begripsverwarring aan mijn kant. Ik dacht dat een extreme punt ofwel hoogste ofwel laagste punt in de grafiek is. | ||
jordyqwerty | maandag 12 mei 2014 @ 21:08 | |
Ja, goedzo! Voor dit soort sommetjes maakt de notatie an sich niet veel uit. Als je bijvoorbeeld een functie met meerdere variabelen gaat differentieren, of de kettingregel gaat gebruiken kun je wel beter de Leibniz notatie aanhouden. | ||
jordyqwerty | maandag 12 mei 2014 @ 21:10 | |
Dat kan inderdaad verwarrend zijn, vandaar dat ik al meldde dat er onderscheid wordt gemaakt tussen lokale en globale extrema | ||
Anoonumos | maandag 12 mei 2014 @ 21:10 | |
Of je schrijft f(x)=x2(3x-4) = 3x3 -4x2. Dan geen productregel nodig. | ||
netchip | maandag 12 mei 2014 @ 21:13 | |
Dat had inderdaad ook gekund, ik wilde alleen even kijken of dat ik de productregel begreep | ||
netchip | maandag 12 mei 2014 @ 21:54 | |
Ik snap de Leibniz notatie eigenlijk nog niet helemaal... Want als je dy/dx hebt, zeg je dan dat je y differentieert naar x? En hoe moet ik dat voor me zien? Het principe dat de afgeleide de stijlheid/richtingscoefficient op een bepaald stukje van een grafiek aangeeft, snap ik. | ||
Novermars | maandag 12 mei 2014 @ 22:00 | |
en moet je zien als oneindig kleine differentialen. Beetje lastig om dit uit te leggen, aangezien je vrij snel moeilijke wiskunde nodig hebt om precies uit te leggen wat en zijn. | ||
yasmine97 | maandag 12 mei 2014 @ 22:05 | |
Ik snap het een beetje, maar ik wist de formule niet, het is namelijk geen halve cirkel maar een halve sferoïde. De formule is 1/6 pi l.b.h en dan x 0,5. Formule voor de inhoud van een octagonale prisma heb ik ook nooit gehad, is het misschien de hoogte keer de omtrek? Ik heb echt geen idee... ook geen idee hoe ik de inhoud van het schuine dak ga berekenen.. | ||
t4rt4rus | maandag 12 mei 2014 @ 22:12 | |
| ||
netchip | maandag 12 mei 2014 @ 22:13 | |
Hm, ziet er moeilijk uit... Ik ga hier nog even goed naar kijken (gevonden op wikipedia) beschrijft de kettingregel, moet ik dit lezen als: de afgeleide van z naar x is gelijk aan de afgeleide van z naar y maal de afgeleide van y naar x? En, misschien nog wel belangrijker, hoe doe ik dit? | ||
netchip | maandag 12 mei 2014 @ 22:14 | |
Die had ik gezien, bedankt daar voor ^^ Vergeten te antwoorden, sorry. Ik snap eigenlijk niet hoe ik er mee moet werken, wat dy/dx inhoudt 'weet' ik doordat het vaak gebruikt wordt, maar du/dx zegt me bijvoorbeeld helemaal niets. | ||
t4rt4rus | maandag 12 mei 2014 @ 22:16 | |
dy/dx is niets anders dan de afgeleide van de functie y naar x. dy/dx is niets anders dan de afgeleide van de functie u naar x. | ||
netchip | maandag 12 mei 2014 @ 22:17 | |
functie u naar x noteer je als u(x)? Dat gedeelte 'naar' is onduidelijk voor mij. Dit kan misschien dom overkomen, maar ik begrijp liever iets correct dan dat ik denk het te begrijpen. | ||
Riparius | maandag 12 mei 2014 @ 22:24 | |
Lees mijn uitleg (met een eenvoudig voorbeeld) nog eens goed door, dan begrijp je het vast wel. Er zijn verschillende notaties die je tegen kunt komen voor afgeleiden (Newton, Leibniz, Euler, Lagrange) en een overzichtje daarvan vind je in dit Wikipedia artikel. | ||
netchip | maandag 12 mei 2014 @ 22:46 | |
"Δy/Δx = Δy/Δu · Δu/Δx" ik ben hier het spoor verloren, hoe kom je op deze formule? | ||
Riparius | maandag 12 mei 2014 @ 22:57 | |
Hier gebruik je het voorzetsel naar niet correct. Als u en x grootheden (variabelen zijn), dan geeft de haakjesnotatie u(x) aan dat u een functie is van x, oftewel dat u afhangt van x. Eenvoudig voorbeeld: u = x2 + 2x Hier hangt de waarde van u af van de waarde die we voor x kiezen (invullen). We zeggen dan ook wel dat u hier de afhankelijke variabele is en x de onafhankelijke variabele. En we zeggen dan ook dat u een functie is van x. Ook als we het verband tussen u en x niet expliciet geven, dan kunnen we met de haakjesnotatie u(x) toch laten zien dat u afhangt van x (maar niet hoe) en dus dat u een functie is van x. We kunnen deze notaties ook combineren als we de manier waarop u hier afhangt van x wel expliciet willen maken, dus in dit voorbeeld u(x) = x2 + 2x Maar let op, nu wordt het een beetje verwarrend. We kunnen functies ook aanduiden met een naam in plaats van met een afhankelijke variabele en een onafhankelijke variabele. Zo kunnen we bijvoorbeeld zeggen dat we een (reële) functie f: R → R hebben met als functievoorschrift f(x) = x2 + 2x We kunnen (en mogen) nu niet zeggen dat f hier een afhankelijke variabele is, want f is immers een naam, meer niet. Als we een grafiek gaan tekenen van deze functie in een cartesisch assenstelsel met een x-as en een y-as, dan krijgen we uiteraard de grafiek van y = x2 + 2x zodat we kunnen zeggen dat y hier de afhankelijke variabele is (en x de onafhankelijke variabele). Je ziet dus dat de notaties u(x) en f(x) toch verschillend zijn: in u(x) was u de afhankelijke variabele, maar in f(x) is f de naam van de functie. In de praktijk worden deze twee nogal eens door elkaar gehaald (en door elkaar gebruikt) maar dat is conceptueel dus onjuist. Iets begrijpen is altijd een proces van vallen en opstaan en van voortschrijdend inzicht. Het is ook nooit echt 'af' want je kunt dingen die al begrijpt ook altijd weer in een ander licht gaan zien of als deel van een groter geheel. | ||
netchip | maandag 12 mei 2014 @ 23:01 | |
Ah, dus dy/dx betekent eigenlijk dat je de afgeleide van y(x) berekent? En dat du/dx de afgeleide van u(x) is? Dit gaat alleen niet op als een functie een naam heeft, right? Ik vind het goed geweest, ik ga slapen. Ik check dit topic morgen wel weer Iedereen bedankt voor zijn hulp! | ||
Riparius | maandag 12 mei 2014 @ 23:06 | |
Elementaire rekenregels voor breuken. Werk het uit van rechts naar links, dan heb je Maar nu zie je dat de breuk in het rechterlid een factor Δu heeft in zowel de teller als de noemer. We kunnen deze breuk dus vereenvoudigen door zowel de teller als de noemer door Δu te delen. En wat krijg je dan? | ||
Riparius | dinsdag 13 mei 2014 @ 02:26 | |
Dit is helemaal geen functie. Voor x ≠ a staat hier in feite m = m, en dat is een tautologie. OK. Dat is tenminste een duidelijke vraagstelling. Hieruit blijkt dat je niet begrijpt wat je aan het doen bent. In een vergelijking van een (niet verticale) rechte lijn in een cartesisch assenstelsel is x een variabele die alle reële waarden aan kan nemen, er is dus niets te berekenen aan x. Nee, dit mag je niet zo opschrijven, en je hebt hier ook nog een typo, want je kwadraat is nu plotseling een derde macht geworden. Je misbruikt hier het =-teken, en dat moet je niet doen. Het =-teken geeft aan dat twee uitdrukkingen of grootheden aan elkaar gelijk zijn, maar de afgeleide van 2x2 − 3 naar x is 4x en dat is niet hetzelfde als 2x2 − 3. Gebruik de notatie van Lagrange, dus f(x) = 2x2 − 3 f'(x) = 4x Of de notatie van Leibniz, dus d(2x2 − 3)/dx = 4x Nee, dat wordt het niet. De waarde van f(a) is niet 1 voor a = 1 en de richtingscoëfficiënt m van een rechte lijn is een getal, geen variabele. Bovendien heb je hier helemaal geen vergelijking van een rechte lijn, en die wilde je toch opstellen? Er klopt niets van. Je kunt het beste onthouden dat de cartesische vergelijking van een rechte lijn met richtingscoëfficiënt m door het punt (x0; y0) is te schrijven als y − y0 = m(x − x0) Het is heel eenvoudig in te zien waarom dit geldt. Immers, kies naast het punt (x0; y0) op de lijn een willekeurig tweede punt (x; y) op deze lijn, dan kun je de richtingscoëfficiënt van de lijn berekenen door het verschil in verticale positie Δy = y − y0 tussen deze twee punten te delen door het verschil in horizontale positie Δx = x − x0 tussen deze twee punten. De richtingscoëfficiënt van de (niet verticale) lijn is dan Δy/Δx. Maar nu is gegeven dat de richtingscoëfficiënt van deze lijn m is, en dus hebben we Δy/Δx = m en dus Δy = m·Δx en dus y − y0 = m(x − x0) Omdat we het tweede punt (x; y) op onze lijn willekeurig hadden gekozen, geldt deze betrekking voor elk punt (x; y) dat op de lijn ligt door het punt (x0; y0) met richtingscoëfficiënt m. Omgekeerd geldt deze betrekking niet voor een willekeurig punt (x; y) dat niet op deze lijn ligt omdat dan Δy/Δx ≠ m. Merk nog op dat bovenstaande vergelijking ook geldt voor het punt (x0; y0) zelf, want als we x = x0 en y = y0 invullen in de vergelijking dan komt er 0 = 0 en ook dat klopt. We hebben hier dus inderdaad een cartesische vergelijking van een lijn met richtingscoëfficiënt m door het punt met coördinaten (x0; y0). Heb je nu de grafiek van een functie f, dus een curve met vergelijking y = f(x), en wil je de vergelijking opstellen van de raaklijn aan een punt (x0; f(x0)) op deze curve, dan is het voldoende om te bedenken dat de waarde van de afgeleide f'(x) voor x = x0 niets anders is dan de steilheid (richtingscoëfficiënt) van de raaklijn aan de curve in het punt (x0; f(x0)) op de curve. We hebben in bovenstaande vergelijking dus y0 = f(x0) en m = f'(x0) en de vergelijking van de raaklijn aan de curve met vergelijking y = f(x) in het punt (x0; f(x0)) op de curve wordt daarmee y − f(x0) = f'(x0)·(x − x0) Hebben we nu de functie f(x) = 2x2 − 3 dan is f(1) = −1 en f'(x) = 4x zodat f'(1) = 4. De vergelijking van de raaklijn aan de curve met vergelijking y = 2x2 − 3 in het punt (1; −1) op de curve wordt dus y − (−1) = 4(x − 1) en dit is ook te schrijven als y + 1 = 4x − 4 en dus als y = 4x − 5 [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 13-05-2014 07:23:14 ] | ||
yasmine97 | dinsdag 13 mei 2014 @ 15:36 | |
Weet iemand de formule om de oppervlakte van een octagonaal prisma uit te rekenen? Ik moet de inhoud berekenen en daarvoor moet je het oppvervlakte x de hoogte doen, maar ik heb geen idee hoe ik de oppervlakte moet berekenen. Hulp zou ik erg waarderen! | ||
Novermars | dinsdag 13 mei 2014 @ 16:09 | |
http://nl.wikipedia.org/wiki/Veelhoek#Oppervlakte | ||
netchip | dinsdag 13 mei 2014 @ 16:42 | |
Delta u houdt toch de verandering van u in? Wat is dan de verandering in u? | ||
thenxero | dinsdag 13 mei 2014 @ 16:45 | |
Ja. Een getal >0. | ||
netchip | dinsdag 13 mei 2014 @ 17:24 | |
Maar als ik f(u(x)) heb, waar is de verandering dan? Pas als je een andere x neemt, verandert u toch? @Riparius, is x hier een onafhankelijke variabele en f(x) en u(x) afhankelijke variabelen? | ||
Martin-Ssempa | dinsdag 13 mei 2014 @ 17:54 | |
Zou het nu wel kloppen? Ik hoop dat dit wel netjes is wiskundig gezien: Ik wou 32x primitiveren: | ||
thenxero | dinsdag 13 mei 2014 @ 18:03 | |
Pas als je gaat differentiëren komt er verandering in. Ja, x is een onafhankelijke variabele. u(x) fungeert als variabele in de functie f, maar hangt af van x, dus u(x) kan je een afhankelijke variabele noemen. f(x) zou ik geen afhankelijke variabele noemen in deze context, maar gewoon een functie. | ||
Riparius | dinsdag 13 mei 2014 @ 18:12 | |
Δx, Δu en Δy kunnen ook negatief zijn ... | ||
netchip | dinsdag 13 mei 2014 @ 18:12 | |
Oh, omdat je een limiet naar 0 voor delta x hebt, verandert u ook, want u hangt van x af... Het begint een beetje te dagen nu De Leibniz notatie blijft een beetje onduidelijk, maar ik denk dat ik weet hoe die notatie werkt... Is de notatie du/dx hetzelfde als u'(x)? | ||
t4rt4rus | dinsdag 13 mei 2014 @ 18:15 | |
+c | ||
thenxero | dinsdag 13 mei 2014 @ 18:16 | |
Natuurlijk . Ik zat in mijn hoofd met delta x. Die neem je normaal >0 en dan neem je de limiet naar 0. Maar oke, zelfs delta x mag je negatief nemen. Als delta x maar niet 0 is. Jep. | ||
netchip | dinsdag 13 mei 2014 @ 18:17 | |
Is de notatie dy/du dan hetzelfde als y'(u(x))? | ||
thenxero | dinsdag 13 mei 2014 @ 18:17 | |
Nee, dy/du = y'(u). Soms wordt y'(u(x)) bijvoorbeeld genoteerd als , maar het wordt er niet fraaier op. [ Bericht 11% gewijzigd door thenxero op 13-05-2014 18:22:45 ] | ||
Riparius | dinsdag 13 mei 2014 @ 18:17 | |
Afgezien van de vergeten integraaltekens is het zo correct. Bedenk ook dat ln 9 = 2·ln 3. Je zou het natuurlijk ook anders kunnen doen, bijvoorbeeld door de integrand om te werken naar een e-macht. | ||
netchip | dinsdag 13 mei 2014 @ 18:18 | |
Maar stel dat u een functie is? | ||
thenxero | dinsdag 13 mei 2014 @ 18:23 | |
En dan wil je differentiëren naar de functie u? | ||
Riparius | dinsdag 13 mei 2014 @ 18:38 | |
Het ligt allemaal nog wat subtieler voor het bewijs van de kettingregel. Je moet namelijk bij de eenvoudige afleiding die ik heb gegeven ook nog aannemen dat ∆u ≠ 0 voor ∆x ≠ 0 in een omgeving van het punt waar je de afgeleide bepaalt. Maar ook als dat niet het geval is in een omgeving van x = a terwijl f wel differentieerbaar is in a en g differentieerbaar is in f(a), dan is g(f(x)) toch differentieerbaar in x = a met als afgeleide g'(f(a))·f'(a) maar dan is het eenvoudige bewijs niet meer geldig. Ik heb dergelijke subtiliteiten gezien de 'doelgroep' nu achterwege gelaten, maar ik heb daar eerder wel eens iets over gezegd. | ||
Martin-Ssempa | dinsdag 13 mei 2014 @ 18:39 | |
ohja bedoel je met integraaltekens deze brackets die ik vergeten ben: [ functie ] ? | ||
netchip | dinsdag 13 mei 2014 @ 18:43 | |
Stel dat je de kettingregel hebt, dz/dx=(dz/dy)*(dy/dx), is dat dan z'(y)*y'(x)? Maar hoe kan je z afleiden naar y? | ||
Super-B | dinsdag 13 mei 2014 @ 18:47 | |
Ik heb het niet begrepen. beetje te ingewikkeld voor een amateur. In mijn boek staat er dat m de richtingscoëfficient is van de raaklijn (afgeleide) en dat er dan geldt: (f(x) - f(a)) / (x - a) = m(x-a) / (x-a) = m De vergelijking van een raaklijn is y = f(a) + m(x-a) Bij f(x) = 2x^2 - 3 met a = 1 is het gelukt. De afgeleide hiervan is 4x en de richtingscoëfficient is dus 4. Als ik a invul in f(x) krijg ik -1 als resultaat en als ik dan alle gegevens dan weer invul in de y = f(a) + m(x-a) dan krijg ik y = -1 + 4(x-1) met als resultaat y = -5 + 4x met f(x) x^5 - 3x^2 + 3 met a = -1 kom ik niet uit, aangezien de afgeleide van f(x) = 5x^4 - 6x. Wat is dan de richtingsco hiervan om het te kunnen oplossen? Ik dacht -6 maar dan kom ik niet uit... [ Bericht 7% gewijzigd door Super-B op 13-05-2014 18:56:45 ] | ||
Riparius | dinsdag 13 mei 2014 @ 18:48 | |
Nee, ik bedoel de integraaltekens bij ∫ 32xdx en bij ∫ 9xdx. Nog een tip: FOK ondersteunt ook TeX, je hoeft daarvoor geen externe server te gebruiken. Dat maakt quoten met aanpassingen in je TeX een stuk eenvoudiger. | ||
Riparius | dinsdag 13 mei 2014 @ 18:53 | |
Dit is echt heel eenvoudige wiskunde. Je wordt ook geacht dit soort dingen te kunnen als je de stof hebt bestudeerd die het boek van Van de Craats behandelt. Het was naar ik veronderstel ook gewoon een opgave uit dat boek. | ||
Super-B | dinsdag 13 mei 2014 @ 18:56 | |
Zie edit. | ||
Riparius | dinsdag 13 mei 2014 @ 18:59 | |
Probeer gewoon eens wat uit. Stel je hebt y = 3x+2 en z = ey zodat z = e3x+2 Dan is dy/dx = 3 en dz/dy = ey en dus dz/dx = (dz/dy) · (dy/dx) = ey·3 = 3·ey = 3·e3x+2 [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 14-05-2014 15:52:25 ] | ||
Martin-Ssempa | dinsdag 13 mei 2014 @ 19:06 | |
ik zie het, thx | ||
Super-B | dinsdag 13 mei 2014 @ 19:06 | |
Ik heb je post eens rustig overnieuw gelezen wat betreft de vergelijking van de raaklijn en het is mij nu helder. Dankje voor je heldere uitleg en tijd voor het typen van de betreffende post. Methode in mijn vorige post is hetzelfde als jouw methode zie ik, echter herkende ik dat niet toen ik het voor het eerst jouw post las. Zie voor mijn vraag ook mijn vorige post. | ||
Riparius | dinsdag 13 mei 2014 @ 19:07 | |
Kun je even de bladzijde geven en het nummer van de opgave in het boek van Van de Craats? Ik heb het idee dat je hem niet helemaal correct citeert. En die tweede opgave in je edit gaat uiteraard op dezelfde manier. Je berekent eerst f(−1) en f'(−1) en dan is de vergelijking van je raaklijn y = f(−1) + f'(−1)·(x + 1) | ||
Super-B | dinsdag 13 mei 2014 @ 19:11 | |
https://googledrive.com/h(...)met%20Antwoorden.pdf Het staat op bladzijde 169. De opgaven staan helaas niet op de internetversie. | ||
Super-B | dinsdag 13 mei 2014 @ 19:14 | |
f' (-1) ? Het is m en dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn ofwel afgeleide van de functie. Dus waarom zou ik a = -1 moeten invullen in de afgeleide? | ||
Riparius | dinsdag 13 mei 2014 @ 19:23 | |
Ah, kijk, je had in je citaat helemaal niet duidelijk gemaakt dat het om de limiet ging van (f(x) − f(a))/(x − a) voor x → a. Dit is uiteraard gewoon de definitie voor de afgeleide f'(a) van de functie f in x = a. De vergelijking voor de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a; f(a)) zoals Van de Craats die geeft is y = f(a) + f'(a)·(x − a) Nu heb je f(x) = x5 − 3x2 + 3 en dus f'(x) = 5x4 − 6x en wil je de vergelijking opstellen van de raaklijn aan de grafiek van deze functie in het punt (−1; f(−1)). Bereken nu eerst f(−1) en f'(−1) en dan wordt je vergelijking dus y = f(−1) + f'(−1)·(x + 1) | ||
Super-B | dinsdag 13 mei 2014 @ 19:25 | |
Het vetgedrukte begrijp ik niet, met name het gedeelte waarin jij iets zegt over een punt(?). Daarnaast moet het tweede vetgedrukte (f'(-1)) toch gewoon de richtingscoëfficiënt zijn i.p.v. (f'(-1)) ? | ||
Riparius | dinsdag 13 mei 2014 @ 19:26 | |
Dat heb ik uitvoerig behandeld in de lange post hierboven. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in het punt (−1; f(−1)) is immers niets anders dan de waarde van de afgeleide in dat punt, en die is f'(−1). | ||
netchip | dinsdag 13 mei 2014 @ 19:29 | |
Raaklijn opstellen: je hebt de functie f(x), bereken f'(x). Neem voor x=-1, bijvoorbeeld. Dan is f'(-1)+b=f(-1). Immers, de afgeleide is de richtingscoefficient van een lijn, b is de start 'hoogte'. | ||
Riparius | dinsdag 13 mei 2014 @ 19:37 | |
Maak hem nou niet nog meer in de war, hij moet een vergelijking opstellen van een rechte lijn met een gegeven richtingscoëfficiënt m door een gegeven punt (x0; y0) en die vergelijking is y − y0 = m(x − x0) Dit is de klassieke vorm van de vergelijking van een rechte lijn met een gegeven richtingscoëfficiënt door een gegeven punt zoals die vroeger bij de analytische meetkunde werd geleerd. In deze vorm is de vergelijking ook verreweg het eenvoudigst te onthouden. | ||
Super-B | dinsdag 13 mei 2014 @ 19:40 | |
Ja die heb ik ook twee tot driemaal gelezen. Maar daar wordt de richtingscoëfficiënt genomen van 4x, wat dus 4 is en bij het laatste voorbeeld uit mijn post f'(-1), wat dus betekent dat die -1 een vervangende waarde is voor de x term.. echter is de richtingscoëfficiënt het getal voor de x. Dat is het enige wat mij onduidelijk is. | ||
Super-B | dinsdag 13 mei 2014 @ 19:42 | |
Na het lezen van Netchip raakte ik al bijna in de war, maar ik heb het direct vergeten wat hij schreef om verwarring te voorkomen. Toch bedankt Netchip voor je uitleg! | ||
netchip | dinsdag 13 mei 2014 @ 19:46 | |
Meh, never mind. | ||
Riparius | dinsdag 13 mei 2014 @ 19:54 | |
Ik denk dat je nog veel meer onduidelijk is. Laten we eens even terugkeren naar je eerste voorbeeld. Daar hadden we de functie f(x) = 2x2 − 3 en de afgeleide functie van deze functie is f'(x) = 4x Maar: wat zegt die afgeleide functie f'(x) nu precies over de oorspronkelijke functie f(x), kun je dat eens onder woorden brengen? En kun je dan met name ook aangeven wat die afgeleide functie nu meetkundig eigenlijk betekent? | ||
Super-B | dinsdag 13 mei 2014 @ 20:05 | |
De afgeleide functie wilt zeggen in hoeverre de grafiek steil is op een bepaald punt. | ||
Riparius | dinsdag 13 mei 2014 @ 20:15 | |
Daar komt het inderdaad wel op neer. De afgeleide functie geeft de steilheid van de grafiek van de oorspronkelijke functie voor elke waarde van x. Maar zie je nu ook in dat als je de richtingscoëfficiënt van een raaklijn in bijvoorbeeld het punt (−1; f(−1)) op de grafiek van de oorspronkelijke functie wil bepalen, dat je dan de waarde van f'(x) voor x = −1 oftewel f'(−1) moet berekenen? | ||
Goldenrush | dinsdag 13 mei 2014 @ 20:24 | |
Waarom komt mijn antwoordenboekje bij u= 3sin ((2pi/33.33)t) op 3 sin(0,06pi*t) terwijl 2pi/33.33 volgens mijn rekenmachine 0,19 is? | ||
Alrac4 | dinsdag 13 mei 2014 @ 20:25 | |
Je moet de pi laten staan, dus alleen 2/33.33 doen | ||
Goldenrush | dinsdag 13 mei 2014 @ 20:26 | |
Ah natuurlijk. Dank je. | ||
Riparius | dinsdag 13 mei 2014 @ 20:29 | |
Dat niet alleen, 33,33 is niet hetzelfde als 100/3. | ||
Super-B | dinsdag 13 mei 2014 @ 20:30 | |
Waar ik jn de war raak is dat als ik x = -1 invul ik dan een y waarde uitkrijg (althans dat is bij standaard functies). En bij functies als ax + b dan is a de richtingsco en wat x of y dan wordt het variabele a blijft de richtingsco (net als die 4x waarvan de richtingsco 4 is). Hierdoor raak ik in de war qua gedachte. | ||
Riparius | dinsdag 13 mei 2014 @ 20:43 | |
Als je een functie f hebt, dan is de grafiek van die functie een curve met als vergelijking y = f(x). Dat geldt net zo goed voor een afgeleide functie f', maar je werkt niet met de grafiek van f' als je een raaklijn aan de grafiek van f wil bepalen. De afgeleide functie f' heeft echter wel degelijk een waarde voor elke waarde van de variabele x waarvoor deze is gedefinieerd. Maar deze waarde moet je natuurlijk niet gaan aangeven met y als je diezelfde letter y al gebruikt voor f(x). En als je bezig bent met het opstellen van een vergelijking van een raaklijn, dan stellen x en y in die vergelijking de x resp. y coördinaat voor van een punt op die raaklijn en niet de coördinaten van een punt op de grafiek van de functie. Als je nu gewoon f(−1) schrijft voor de waarde van f(x) voor x = −1 en f'(−1) voor de waarde van f'(x) voor x = −1, dan kun je toch niet in de war raken? | ||
Super-B | dinsdag 13 mei 2014 @ 20:47 | |
Blijkbaar wel. Misschien omdat ik op dit moment enorm moe ben. Het zit hem dat ik steeds gewend ben om een "a" te zoeken in de functie, aangezien ik gewend ben dat de richtingsco altijd een "a " variabele is. F(-1) is toch dat de functie uiteindelijk -1 moet opleveren of is dat dat de x waarde -1 wordt? | ||
Riparius | dinsdag 13 mei 2014 @ 21:02 | |
f(−1) is de waarde van f(x) voor x = −1. Voorbeeld: f(x) = x5 − 3x2 + 3 Invullen van x = −1 geeft nu f(−1) = (−1)5 − 3·(−1)2 + 3 = −1 − 3 + 3 = −1 De afgeleide functie van deze functie is f'(x) = 5x4 − 6x En weer x = − 1 invullen geeft nu f'(−1) = 5·(−1)4 − 6·(−1) = 5 + 6 = 11 De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (−1; f(−1)) is nu y = f(−1) + f'(−1)·(x − (−1)) Nu nog f(−1) = −1 en f'(−1) = 11 invullen en we krijgen y = −1 + 11(x + 1) oftewel y = 11x + 10 Zie je hoe eenvoudig dit is? | ||
Super-B | dinsdag 13 mei 2014 @ 21:05 | |
Jep.. methode is mij helemaal helder. Dank daarvoor. ik wil alleen de gedachte ervan compleet begrijpen. Want ik zelf zou in eerste instantie denken om die -6 te pakken (richtingsco). Want m is toch de richtingsco van de raaklijn.. vandaar. | ||
Riparius | dinsdag 13 mei 2014 @ 21:09 | |
Welke −6 bedoel je precies? | ||
Super-B | dinsdag 13 mei 2014 @ 21:15 | |
Van f'(x) = 5x4 − 6x En dan is die -6 dan de richtingsco vd raaklijn en dus m bij: Y = f(a) + m(x-a)
| ||
Riparius | dinsdag 13 mei 2014 @ 21:23 | |
Nee, nu ben je heel raar bezig. Ik heb je hierboven gevraagd wat de betekenis van de afgeleide functie was en toen zei je min of meer correct dat de afgeleide functie de steilheid geeft van de grafiek van de oorspronkelijke functie voor elke waarde van x. Als we dus de steilheid in het punt (−1; −1) op de grafiek van f willen berekenen, dan moeten we f'(−1) berekenen. En je zag net dat f'(−1) = 11, en niet −6. De rode curve geeft de grafiek van de functie f en de blauwe lijn is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (−1; −1) dat ik hier met een zwarte stip heb aangegeven. Je ziet dat de grafiek van de functie in dit punt steil omhoog verloopt, en zeker niet omlaag. Als je goed kijkt zie je dat de raaklijn ook door het punt (0; 10) gaat, de richtingscoëfficiënt van de raaklijn, en dus ook de steilheid van de curve in het punt (−1; −1), is dus inderdaad 11. [ Bericht 6% gewijzigd door Riparius op 13-05-2014 21:32:25 ] | ||
Super-B | dinsdag 13 mei 2014 @ 22:06 | |
Aha het wordt nu steeds duidelijker. Hoe zie je direct aan de grafiek dat de steilheid van de curve 11 is? De punten zie ik inderdaad. Nee maar ik raakte in de war van het boek grotendeels waarin stond "m is de richtingsco van de raaklijn" waardoor ik dus met die a raar begon te denken. Zoals jij zegt moet ik gewoon kijken naar de steilhekd van de grafiek en dat is dan dat punt met het limiet -> 0 en dan heb je als het ware de richtingsco van de afgeleide. Ik zit je posts nu even opnieuw stap voor stap door te nemen en bij de afgeleide moet ik het punt gewoon invullen om zodoende achter de steilheid/richtingsco van de raaklijn te komen. Dat is dus op een andere manier dan de richtingsco te berekenen van een standaardfunctie als x^2 + 2x + 5 [ Bericht 7% gewijzigd door Super-B op 13-05-2014 22:14:16 ] | ||
Riparius | dinsdag 13 mei 2014 @ 22:30 | |
Wel, het raakpunt (zwarte stip) heeft de coördinaten (−1; −1) en de blauwe raaklijn gaat ook door het punt (0; 10). Dus, als we nu langs de blauwe raaklijn van het punt (−1; −1) naar het punt (0; 10) gaan, dan gaan we één eenheid naar rechts maar 11 eenheden omhoog. De steilheid oftewel de richtingscoëfficiënt van de blauwe rechte lijn is de verhouding van de verticale afstand tussen deze twee punten tot de horizontale afstand tussen deze twee punten, en die is 11 : 1 = 11. Vergelijk dit maar met een hellingspercentage van een weg in het buitenland. Als daar een bordje langs de weg staat dat aangeeft dat de helling 10% bedraagt, dan betekent dat, wanneer je de weg van opzij bekijkt, dat de weg 1 meter omhoog gaat voor elke 10 meter horizontale verplaatsing, en bijvoorbeeld 10 meter omhoog voor elke 100 meter horizontale verplaatsing. De richtingscoëfficiënt van die weg is dan 1 : 10 = 0,1 en dat geeft men dan aan als een percentage, dus 10%. Je moet je niet teveel vastbijten in die letters, die kunnen namelijk in verschillende conteksten heel verschillende betekenissen hebben. Het is wel gebruikelijk om de richtingscoëfficiënt van een rechte lijn aan te geven met de letter m, en als je een lineaire functie f(x) = ax + b hebt, dan is de grafiek daarvan een rechte lijn met richtingscoëfficiënt a. Maar dat heeft niets te maken met de a in de vergelijking y = f(a) + f'(a)·(x − a) die Van de Craats geeft voor de raaklijn aan de grafiek van de functie f in het punt (a; f(a)). Hier stelt de a gewoon een vast getal voor, namelijk de x-coördinaat van het raakpunt. Niet de richtingscoëfficiënt van de afgeleide, de waarde van de afgeleide functie f'(x) voor een gegeven x is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de oorspronkelijke functie voor die gegeven x, en daarmee dus ook de steilheid van de grafiek van de functie voor die waarde van x. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 13-05-2014 22:38:46 ] | ||
netchip | dinsdag 13 mei 2014 @ 22:37 | |
Stel dat je hebt y=2x2 dan is dy/dx=4x. Is de richtingscoefficient van de grafiek op x=4 dan ook 16? En op x=2, richtingscoefficient=8? | ||
Riparius | dinsdag 13 mei 2014 @ 22:39 | |
Jazeker, zo werkt het. | ||
netchip | dinsdag 13 mei 2014 @ 22:43 | |
Ik denk dat ik de Leibniz notatie en de essentie van differentieren begin te snapen Morgen maar wat oefeningen maken On a side note, heeft iemand enig idee waarom wiskunde op de middelbare school een impopulair vak is? Niemand doet er wat voor, en als jij er wel wat voor doet/het leuk vindt, word je scheef aangekeken | ||
Super-B | dinsdag 13 mei 2014 @ 23:10 | |
Je bent een topperd. Ik snap het helemaal. Dankje! Er zijn nog een aantal bladzijden die ik moet leren en dan hoef ik alleen nog alles te herhalen en dan ben ik wel klaargestomd voor de toets voor maandag. | ||
netchip | woensdag 14 mei 2014 @ 15:46 | |
Waarom heb je hier trouwens op het eind e3x+4? Moet dat geen +2 zijn? | ||
Riparius | woensdag 14 mei 2014 @ 15:51 | |
Inderdaad, you got me. Ik zie dat ik daarboven ook al z = e3x+4 schrijf, dat moet uiteraard z = e3x+2 zijn omdat ik (zomaar uit de losse pols) was begonnen met y = 3x + 2. Ik zal het even corrigeren in mijn post. Maar goed, ik hoop dat het principe (en de notatie van Leibniz van de afgeleide als een differentiaalquotiënt) je nu wel wat duidelijker zijn geworden. | ||
netchip | woensdag 14 mei 2014 @ 15:58 | |
Dat is het zeker Even Googlen naar oefeningen, en dan kijken of ik het helemaal begrijp Ik merk wel dat ik vaak probeer om bijvoorbeeld een notatie dy/du in te beelden op een Cartesisch assenstelsel, wat ik waarschijnlijk beter niet kan doen. | ||
Riparius | woensdag 14 mei 2014 @ 16:12 | |
Je kunt de kettingregel wel visualiseren als je drie horizontale getallenlijnen boven elkaar plaatst, van beneden naar boven een x-lijn, een u-lijn en een y-lijn. Dan kun je de eerste functie f: x → u opvatten als een afbeelding van (een deel van) de x-lijn op (een deel van) de u-lijn en de tweede functie g: u → y als een afbeelding van (een deel van) de u-lijn op (een deel van) de y-lijn. Samen vormen deze dan een afbeelding van (een deel van) de x-lijn op (een deel van) de y-lijn. De afgeleiden du/dx en dy/du in een gegeven punt zijn dan een locale schaalfactor voor de afbeeldingen f en g, en het product dy/du · du/dx is dan niets anders dan de locale schaalfactor dy/dx van de samengestelde afbeelding van een deel van de x-lijn op (een deel van de) y-lijn in dat punt. Zie je? | ||
netchip | woensdag 14 mei 2014 @ 16:12 | |
Stel ik heb, h(x) = (x2-11x+28)(√x), dan kan je dat herschrijven als h(x) = a(x) * b(x), toch? da/dx = 2x-11 db/dx = 0.5x-0.5 dh/dx = b(x)*da/dx + a(x)*db/dx toch? [ Bericht 0% gewijzigd door netchip op 14-05-2014 16:14:26 (functies vergeten) ] | ||
Riparius | woensdag 14 mei 2014 @ 16:25 | |
Ja. Dat is de productregel. Maar ik zou de haakjesnotatie (Lagrange) en de differentiaalnotatie (Leibniz) hier niet gaan mengen. En omdat een (eerste) functie vaak met de letter f wordt aangegeven, is het wel gebruikelijk om een tweede functie dan met de letter g aan te geven (en een eventuele derde met de letter h). Dan kun je dus schrijven h(x) = f(x)·g(x) h'(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x) of, compacter en symbolisch (fg)' = f'g + fg' Verder liever geen decimale breuken gebruiken hier, dus ½x−½ schrijven. | ||
Maarten9191 | woensdag 14 mei 2014 @ 16:26 | |
Ik ga volgende week Wiskunde B VWO afleggen, en heb een vraag over het examen van 2013 TV1, vraag 19 (laatste vraag) met betrekking tot meetkundige plaatsen. Het correctievoorschrift geeft als antwoord dat het punt N 4+2 = 6 cm van punt M vandaan moet liggen. Waarom is dit 6 cm en geen 4 cm? Alvast weer bedankt voor de input! Edit: verkeerde examens gelinked, geef me even een momentje om het op te lossen @ 16:27! [ Bericht 6% gewijzigd door Maarten9191 op 14-05-2014 16:29:09 (Goede examens zijn gelinked) ] | ||
Anoonumos | woensdag 14 mei 2014 @ 16:40 | |
Je hebt een cirkel met middelpunt M en straal MR en een cirkel met middelpunt N en straal NS. De snijpunten van die cirkels zijn brandpunten van parabolen door M en N met richtlijn k. (Staat in de tekst). Als NM = MR + NS = 2 + 4 = 6 dan raken de cirkels elkaar en is er precies één snijpunt en dus precies één parabool zoals gevraagd wordt. | ||
Riparius | woensdag 14 mei 2014 @ 17:09 | |
Je krijgt het antwoord bijna kado als je even naar figuur 2 bij de opgave kijkt. Daar zie je, en wordt ook gezegd, dat men de punten M en N zodanig heeft gekozen dat MN < MR + NS. Aangezien MR en NS de stralen zijn van de cirkels en MN de afstand van hun middelpunten, betekent dit dat de cirkels elkaar snijden (in de twee punten Fen G). Een parabool is de meetkundige plaats (verzameling) van punten met gelijke afstand tot een gegeven punt (focus oftewel brandpunt) en een gegeven lijn (directrix oftewel richtlijn), en aangezien d(M, F) = d(M, k) en d(N, F) = d(N, k) liggen M en N beide op de parabool met focus F en directrix k. Evenzo hebben we d(M, G) = d(M, k) en d(N, G) = d(N, k) zodat M en N ook beide op de parabool liggen met focus G en directrix k. Maar nu wordt bij de laatste opgave gevraagd het punt N zodanig te bepalen dat er slechts één parabool is met directrix k waarop zowel punt M als punt N ligt. En dat betekent dat de beide cirkels met als midelpunten M resp. N nog maar één punt gemeen mogen hebben en elkaar dus moeten raken. Dat is het geval als de afstand van de middelpunten M en N van de cirkels gelijk is aan de som van hun stralen, zodat we als voorwaarde krijgen MN = MR + NS Nu is ook gegeven dat de afstanden MR en NS van de punten M resp. N tot lijn k gelijk zijn aan resp. 2 en 4 cm, zodat dus MN = MR + NS = 2 + 4 = 6 cm moet zijn. Zie je? [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 14-05-2014 17:27:12 ] | ||
Maarten9191 | woensdag 14 mei 2014 @ 19:09 | |
Nu is het helemaal duidelijk, bedankt Anoomunos en Riparius. Ik heb de afgelopen vier maanden vier boeken van getal en ruimte zelf doorgewerkt (mijn methode van toen ik nog op de middelbare school zat). Elk zo nu en dan zat ik met wat dingen wat ik écht niet begreep en er even een kleine opheldering voor nodig had van iemand (zoals dit). Ik waardeer het heel erg dat de tijd wordt genomen om te helpen . Ik maak iedere dag (sinds maandag) een proefexamen, en ik heb er alle vertrouwen in dat het - mede dankzij Fok! dinsdag helemaal goed gaat komen. | ||
netchip | woensdag 14 mei 2014 @ 19:55 | |
Differentieren gaat me nu redelijk af, ik weet wanneer ik bepaalde regels moet toepassen, wat een afgeleide is, en hoe met de verschillende notaties (Lagrange, Leibniz) te werken. Wat raden jullie me nu aan? Beginnen met integreren? | ||
Riparius | woensdag 14 mei 2014 @ 20:28 | |
Kun je bijvoorbeeld ook goniometrische functies en de inversen daarvan al differentiëren? Ik zou als ik jou was eerst eens kijken of je iets lastiger vraagstukken over raaklijnen e.d. nu vlot op kunt lossen, bijvoorbeeld: Gegeven is de functie De lijn met de vergelijking y = mx raakt de grafiek van f. Bereken de waarde(n) van m waarvoor dit het geval is. Als je er echt verder mee wil kun je wellicht het beste een goed boek zoeken over differentiaal- en integraalrekening. Misschien is Spivak wat voor je. | ||
netchip | woensdag 14 mei 2014 @ 20:37 | |
f(x) = g(x) * h(x) g(x) = 4 * ln(x2)-4 h(x) = 1/x f'(x) = g(x) * h'(x) + g'(x) * h(x) ln'(x) = 1/x g'(x) = 4/x2 h(x) = x-1 => h'(x) = -x-2 Dan gaan we nu f'(x) berekenen: (4*ln(x2)-4)/x2 + 4/x3 Note: ik heb nog niet met logaritmes gewerkt | ||
jordyqwerty | woensdag 14 mei 2014 @ 20:52 | |
Ontdek de wonderen van logaritmes dan eerst | ||
netchip | woensdag 14 mei 2014 @ 21:01 | |
Ik vind logaritmes erg verwarrend, over iets als eln(x) kan ik makkelijk 5 minuten over nadenken... | ||
Riparius | woensdag 14 mei 2014 @ 21:13 | |
glog a is de exponent waartoe je g moet verheffen om a te krijgen. Eenvoudig toch? Dus ln x is de exponent waartoe je e moet verheffen om x te krijgen, oftewel eln x = x (voor x > 0). | ||
netchip | woensdag 14 mei 2014 @ 21:15 | |
Hm? ln(x) is eigenlijk ey = x toch? Hoe is ey = x dan mogelijk? Betekent dat x = y? | ||
t4rt4rus | woensdag 14 mei 2014 @ 21:23 | |
Nee y = ln x | ||
Riparius | woensdag 14 mei 2014 @ 21:27 | |
Nee, nu maak je er een potje van. De uitspraak ln(x) = y is equivalent met ey = x Maar dit is precies wat ik hierboven zeg: y oftewel ln(x) is de exponent waartoe je e moet verheffen om x te krijgen. | ||
netchip | woensdag 14 mei 2014 @ 21:30 | |
Wat ik had geschreven, is wel heel triest Ik dacht weer eens niet goed na... Is het handig om eerst wat oefeningen te maken en wat bewijzen te doen met logaritmes voordat ik ga proberen formules met logaritmes te differentieren? | ||
Alrac4 | woensdag 14 mei 2014 @ 21:32 | |
De functie f(x) = ln(x) berekent voor ieder getal x het getal ln(x) zodat eln(x) = x. Oftewel, voor x = 2 is de functie ln(2) het getal met eln(2) = 2. Als je dit uitrekent, vind je dat ln(2) = 0,693... . Dus als je e0,693 doet krijg je 2 Anders gezegd, je weet dat er een getal y bestaat zodat ey = 2. Om dit getal y te vinden is de functie ln() bedacht. Deze functie zoekt het getal y waarvoor ey = 2. Dit getal wordt dan ln(2) genoemd. | ||
Riparius | woensdag 14 mei 2014 @ 21:46 | |
Lijkt me me wel als je denkt dat de afgeleide van ln(x²) naar x gelijk is aan 1/x². | ||
netchip | woensdag 14 mei 2014 @ 21:51 | |
Wat ik wel weet, is dat je ln(x2) normaal gesproken zou kunnen herschrijven als 2ln(x). | ||
nodig | woensdag 14 mei 2014 @ 21:52 | |
Correct. Vervolgens productregel toepassen. | ||
Riparius | woensdag 14 mei 2014 @ 21:53 | |
Ja, als x > 0, niet als x < 0. Maar als je 2·ln(x) (x > 0) differentieert naar x, krijg je 2/x. Waarom maak je er hierboven dan 1/x² van? | ||
netchip | woensdag 14 mei 2014 @ 21:57 | |
Op woensdag 14 mei 2014 21:53 schreef Riparius het volgende: [..] Ja, als x > 0, niet als x < 0. Maar als je 2·ln(x) (x > 0) differentieert naar x, krijg je 2/x. Waarom maak je er hierboven dan 1/x² van? [/quote] Omdat ik dacht ln'(x) = 1/x. En dan was het voor mij logisch om te denken om gewoon de hele parameter 'x' mee te nemen, dus x2. Maar nu heb ik dus geleerd dat je functies zonodig eerst moet herleiden voordat je ze differentieert. | ||
netchip | woensdag 14 mei 2014 @ 21:57 | |
[..] Omdat ik dacht ln'(x) = 1/x. En dan was het voor mij logisch om te denken om gewoon de hele parameter 'x' mee te nemen, dus x2. Maar nu heb ik dus geleerd dat je functies zonodig eerst moet herleiden voordat je ze differentieert. [/quote] | ||
Borizzz | woensdag 14 mei 2014 @ 21:59 | |
Gebruik de kettingregel! | ||
Riparius | woensdag 14 mei 2014 @ 22:02 | |
Ook zonder herleiding had je direct moeten zien dat hier de kettingregel van toepassing is: d(ln(x2))/dx = d(ln(x2))/d(x2) · d(x2)/dx = x−2·2x = 2·x−1. | ||
Riparius | woensdag 14 mei 2014 @ 22:06 | |
Niet correct. Voor x < 0 heb je ln(x2) = 2·ln(−x). En de productregel gebruik je toch niet bij een constante factor? (Ja, het kán wel). | ||
netchip | woensdag 14 mei 2014 @ 23:00 | |
Dan zou ik zeggen dz/dx = dz/dy * dy/dx z = y4 y = 5x2-8x dz/dy = 4y3 dy/dx = 10x-8 Hoe nu verder? dz/dy = 4(5x2-8x)3 * 10x-8 ? | ||
Riparius | woensdag 14 mei 2014 @ 23:22 | |
dz/dx = dz/dy · dy/dx = 4y3·(10x − 8) = 4·(5x2 − 8x)3·(10x − 8). Nu kun je de haakjes nog uitwerken. Begin dan met (5x2 − 8x)3. Daarvoor kun je gebruik maken van (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 Ook is het handig om eerst even te bedenken dat je hebt (5x2 − 8x)3 = x3·(5x − 8)3 Je had natuurlijk ook eerst de haakjes in het functievoorschrift weg kunnen werken door gebruik te maken van (a − b)4 = a4 − 4a3b + 6a2b2 − 4ab3 + b4 [ Bericht 5% gewijzigd door Riparius op 14-05-2014 23:28:10 ] | ||
Super-B | donderdag 15 mei 2014 @ 14:45 | |
Hallo, ik heb weer een vraag. ''Geef bij de volgende twee functies de eventuele nulpunten van de afgeleide en de intervallen waarop de functie monotoon stijgend of dalend is'' x4 - 4x³ + 4 en x³ + 1 Ze bedoelen neem ik aan of de afgeleide functie monotoon stijgend of dalend is? Daarnaast vraag ik mij af waarom de nulpunten nodig zijn om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen, want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk. [ Bericht 3% gewijzigd door Super-B op 15-05-2014 15:20:56 ] | ||
t4rt4rus | donderdag 15 mei 2014 @ 15:27 | |
| ||
Super-B | donderdag 15 mei 2014 @ 15:28 | |
En waarom zijn de nulpunten van een afgeleide nodig om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen?Want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk. | ||
wiskundenoob | donderdag 15 mei 2014 @ 15:30 | |
Wanneer de grafiek op een punt gaat dalen of stijgen dan is de richtingcoëfficiënt in dat punt 0. | ||
t4rt4rus | donderdag 15 mei 2014 @ 15:30 | |
Lukt het weer moet alleen maar dikgedrukt te maken? Je hebt het eerste over nulpunten van de afgeleiden en daarna over nulpunten van de functie. | ||
Super-B | donderdag 15 mei 2014 @ 15:33 | |
Ow zo. Dankje. Klein vraagje.. Hoe kun je x van de afgeleide berekenen bij (x² - 1) / (x² +1) ? Ik heb als afgeleide: 4x / (x²+1)² Maar verder oplossen lukt me niet. | ||
nodig | donderdag 15 mei 2014 @ 15:40 | |
Als we het hier toch over hebben, wat is het belang van een tweede afgeleide? Ik snap de eerste afgeleide en dat je daaruit af kan lezen waar de functie een daling of stijging inzet. | ||
Super-B | donderdag 15 mei 2014 @ 15:42 | |
Volgens mij zegt die tweede afgeleide dan weer iets over het eerste afgeleide. Dan moet je die eerste afgeleide weer als een losstaand functie zien. Maar dat is mijn input. | ||
Super-B | donderdag 15 mei 2014 @ 16:21 | |
hetzelfde geldt overigens voor (x² + 1) / (x + 1) met als afgeleide (x² + 2x - 1) / (x+1)² | ||
t4rt4rus | donderdag 15 mei 2014 @ 17:42 | |
huh? Op een punt waar de functie daalt noch stijgt is de afgeleide 0. Dit geldt overal voor constante functies en op lokale maxima en minima van andere functies. Tussen de nulpunten daalt of stijgt de functie. Dus als je de punten hebt kan jij ook per domein aangeven waar hij stijgt of daalt. Wat bedoel je met x berekenen? Dat kan alleen als je een vergelijking hebt en dat heb je daar niet. De tweede afgeleide vertelt hoe of de eerste afgeleide toeneemt of afneemt. De nulpunten van de tweede afgeleide geven je de lokale maxima en minima van de eerste afgeleide. Deze punten zijn buigpunten. Op een buigpunt verandert een curve van kromming. | ||
Super-B | donderdag 15 mei 2014 @ 17:47 | |
Ik moet de eventuele nulpunten van de afgeleide berekenen en de intervallen geven waarop de functie monotoon stijgend of dalend is. | ||
t4rt4rus | donderdag 15 mei 2014 @ 17:51 | |
Nou dat kan je nu dan toch? | ||
Super-B | donderdag 15 mei 2014 @ 17:52 | |
Ik loop dus vast... | ||
Super-B | donderdag 15 mei 2014 @ 17:53 | |
De functie: (x² - 1) / (x² +1) ? en de functie: (x² + 1) / (x + 1) met als afgeleide (x² + 2x - 1) / (x+1)² Daarnaast bij x^4 - 4x³ + 4 met als afgeleide x² - 3x weet ik niet waarom er sprake is van een monotone daling bij x = 0? Ik weet wel dat x < 3 voor een monotone daling zorgt en x > 3 zorgt voor een monotone stijging. | ||
t4rt4rus | donderdag 15 mei 2014 @ 18:06 | |
Vereenvoudig die functies eens. Daarna lees mijn andere post nog eens. | ||
Super-B | donderdag 15 mei 2014 @ 18:08 | |
Als het betreft om die x =0 dan heb ik je post niet begrepen. | ||
t4rt4rus | donderdag 15 mei 2014 @ 18:17 | |
Dus bepaal de nulpunten van de afgeleide en kijk dan naar de afgeleide tussen die punten. | ||
Super-B | donderdag 15 mei 2014 @ 19:00 | |
Oke dank. Ik zal ernaar kijken.. Deze functie: x^4 - 2x² Heeft als globaal minimum x = -1, x = 0 als lokaal maximum en x =1 als globaal minimum. Ik heb de grafiek getekend en het is een dalparabool. x = 1 is inderdaad een globaal minimum, de rest kan ik niet zien..in mijn getekende grafiek. Ik snap sowieso niet hoe er twee globale minima's kunnen zijn.. En hoe kun je deze sowieso berekenen? Een goed uitleg stel ik zeer op prijs, aangezien het boek weer te kort en krom is qua uitleg. [ Bericht 5% gewijzigd door Super-B op 15-05-2014 19:13:20 ] | ||
t4rt4rus | donderdag 15 mei 2014 @ 19:09 | |
Omdat ze beide dezelfde waarde hebben. | ||
Riparius | donderdag 15 mei 2014 @ 19:22 | |
Door ook de waarde van de tweede afgeleide te bepalen in een punt waar de eerste afgeleide nul is, kun je meestal (dus niet altijd) vaststellen of je oorspronkelijke functie in dat punt een lokaal minimum of nu juist een lokaal maximum aanneemt. f'(x0) = 0 ∧ f''(x0) > 0 : f heeft een lokaal minimum bij x = x0 f'(x0) = 0 ∧ f''(x0) < 0 : f heeft een lokaal maximum bij x = x0 Je kunt gemakkelijk inzien waarom dit geldt. Als f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) > 0 dan betekent dit dat f'(x) stijgt in een intervalletje (omgeving) rond x = x0. En aangezien f'(x0) = 0 betekent dit dat f'(x) bij x = x0 wisselt van negatief naar positief. Maar dat betekent weer dat de grafiek van f net links van x = x0 nog daalt om vervolgens vanaf x = x0 weer te gaan stijgen. En dus heeft de functie f een lokaal minimum bij x = x0. Op dezelfde manier kun je beredeneren dat f een lokaal maximum heeft bij x = x0 als Als f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) < 0. Maar wat nu als f'(x0) en f''(x0) beide nul zijn? Wel, dan kun je nog geen uitspraken doen en zul je de functie verder moeten onderzoeken. Het kan zijn dat de grafiek van f dan een buigpunt heeft bij x = x0 met een horizontale buigraaklijn, maar dat hoeft niet. Het blijft ook mogelijk dat f dan een lokaal minimum óf een lokaal maximum heeft bij x = x0. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 15-05-2014 23:01:51 ] | ||
Riparius | donderdag 15 mei 2014 @ 19:29 | |
Let op je terminologie en je taalgebruik. De grafiek van je functie is zeker geen parabool, want dit is geen kwadratische functie. En maxima is het meervoud van maximum, daar mag je dus geen 's aan toevoegen. Geef eens het nummer van de opgave in het boek van Van de Craats, dan kan ik eens kijken wat de begeleidende uitleg inhoudt en wat de bedoeling is van de opgave. | ||
Super-B | donderdag 15 mei 2014 @ 19:32 | |
https://googledrive.com/h(...)met%20Antwoorden.pdf blz 179 voor de theorie en blz 180 voor de opgaven. | ||
nodig | donderdag 15 mei 2014 @ 19:37 | |
Thanks voor de goede, uitgebreide uitleg Ik begin het al een beetje te begrijpen. Hetzelfde effect bereik je toch door f'(x) = 0 te bepalen en vervolgens de daar uitgekomen x waarde in te vullen in de oorspronkelijke f(x) en een waarde iets links van die x waarde en een waarde iets rechts van die x waarde door te kijken of hij een minimum of een maximum aanneemt. Voor de mede-wiskundekanditaten kan dit trouwens ook nog nuttig zijn: Differentiëren begint best interessant te worden | ||
Super-B | donderdag 15 mei 2014 @ 19:42 | |
Spannend hoor. Maandag de toets en dan is iedereen in dit topic van ons verlost! | ||
Riparius | donderdag 15 mei 2014 @ 19:57 | |
De uitleg op blz. 179 lijkt me volstrekt helder. Echter, wat er allemaal wordt beweerd op blz. 177 van de PDF waar je naar linkt klopt niet. Hier is het nodige mis gegaan met de typografie, en Van de Craats introduceert hier ook nog eens ongebruikelijke termen. Wat hij monotoon stijgend noemt heet gewoonlijk strict monotoon stijgend en wat hij monotoon niet-dalend noemt heet gewoonlijk monotoon stijgend. Ik heb zelf overigens een volledige PDF waarin de typografische missers niet voorkomen. Ik weet niet of dit elders in het boek ook het geval is, maar het toont wel aan dat je niet kunt vertrouwen op de uitgeklede 'gratis' internetversie van het boek. Maar geef even het nummer van de opgave waar je problemen mee hebt. | ||
netchip | donderdag 15 mei 2014 @ 20:00 | |
Niet van mij Ik doe dit op vrijwillige basis, geen toetsen oid | ||
nodig | donderdag 15 mei 2014 @ 20:19 | |
Dat denken ze. Moet je volgend schooljaar is opletten. Maar zonder gein, les van een docent gaat dan een stuk beter werken dan zelfstudie | ||
Riparius | donderdag 15 mei 2014 @ 20:25 | |
Ga dan meteen ook wat colleges Nederlands volgen. | ||
nodig | donderdag 15 mei 2014 @ 20:57 | |
Is misschien wel nuttig ja | ||
Amoeba | donderdag 15 mei 2014 @ 20:57 | |
Even iets geheel anders, ben jij een beetje bedreven in object geörienteerd programmeren (JAVA)? Concreter, ik heb literatuur nodig waar kort en bondig wordt uitgelegd hoe de structuur van OO programmeren nu in elkaar steekt. | ||
Riparius | donderdag 15 mei 2014 @ 21:11 | |
Ik had je vraag al gezien, en ik heb wat ervaring met OO programmeren, maar dan in Pascal en Borland Delphi, niet met Java, sorry. Ik houd trouwens sowieso niet erg van de syntaxis van C(++) en aanverwante talen, veel te rommelig. Kernighan en Ritchie zijn niet my cup of tea. Wirth wel uiteraard. | ||
Super-B | donderdag 15 mei 2014 @ 21:14 | |
Allemaal eigenlijk.. Op de opgaven cos, sin, arcsin etc na (geen examenstof). Ik snap niet hoe ik het moet doen. | ||
Riparius | donderdag 15 mei 2014 @ 21:23 | |
Kies één opgave uit, dan kan ik die even met je doornemen. | ||
Super-B | donderdag 15 mei 2014 @ 21:24 | |
20.42 a & b kies ik. | ||
Riparius | donderdag 15 mei 2014 @ 21:57 | |
Opgave 20.42a. f(x) = xex Afgeleide bepalen (met behulp van de productregel) geeft f'(x) = 1·ex + x·ex = (x+1)·ex Nu de nulpunten bepalen van de afgeleide f'(x). Hiervoor moet je je realiseren dat een e-macht nooit nul kan zijn. De afgeleide kan dus alleen nul zijn als de andere factor (x+1) nul is, en dat is het geval als x = −1 Nu willen we weten of de functie f bij x = −1 een lokaal minimum of een lokaal maximum aanneemt, of wellicht geen van beide. Daarvoor kun je de tweede afgeleide bepalen en dan kijken naar het teken van f''(−1), maar hier is het ook eenvoudig te zien aan f'(x) = (x+1)·ex. De e-macht is immers altijd positief (voor elke reële x), zodat we zien dat f'(x) wisselt van negatief naar positief bij x = −1. En dat betekent dat de functie f een lokaal minimum moet hebben bij x = − 1. De waarde van dit locale minimum is f(−1) = −e−1. Hier zie je een grafiekje van zowel f (in rood) als de afgeleide f' (in blauw). Je ziet hier heel mooi dat de curve van f' de x-as snijdt in het punt (−1; 0) en dat f bij x = − 1 inderdaad een minimum aanneemt. We weten (en zien ook in de grafiek) dat het lokale minimum tevens een globaal minimum is, want de functiewaarde f(x) daalt immers voor elke x < −1 en stijgt voor elke x > −1. Je ziet hier trouwens ook dat zowel de grafiek van f als de grafiek van f' een horizontale asymptoot y = 0 heeft. Dat komt, eenvoudig gezegd, omdat ex als we x steeds negatiever laten worden veel sneller naar nul toe gaat dan de absolute waarden van x en (x + 1) toe nemen, zodat de producten van ex met x en (x+1), en daarmee f(x) en f'(x), naar nul toe gaan voor x → − ∞. Nu zelf maar even opgave 20.42b proberen. | ||
Super-B | donderdag 15 mei 2014 @ 22:03 | |
Shit.. mijn boek is anders dan de internetversie.. Ik bedoelde: 20.39 a... Maar goed even lezen. EDIT: 20.39 c is mij gelukt... te maken, blijf toch hangen bij 20.39 a en b, ondanks dat ik jouw methodiek geheel snap! Dankjewel voor je heldere uitleg de afgelopen dagen en weken. Ik heb veel gehad aan je uitleg aan mij, Nodig & Rustcohle. | ||
Riparius | donderdag 15 mei 2014 @ 22:20 | |
Geef even aan welke functies bij opgave 20.39a en 20.39b worden gegeven. In beide versies van het boek die ik (als PDF) tot mijn beschikking heb is dat x3 − x resp. x4 − 2x2. | ||
Super-B | donderdag 15 mei 2014 @ 22:26 | |
De methode snap ik. Bij x³-x kom ik uit op √1/3 en -√1/3, maar ik snap niet hoe je het kan schrijven tot 1/3√3 en -1/3√3. Bij x^4 - 2x² maar bij de tekening zie ik de globale minima's en het lokale maximum niet... Het is een dalparabool in mijn tekening. Wanneer is er overigens sprake van een globale minimum en wanneer van een lokale minimum? Ik dacht dat er alleen maar 1 globale minimum in een grafiek mogelijk was (het laagste punt in een grafiek). Voor zover ik weet: lokaal minimum: één van de laagste punten globaal minimum: allerlaagste punt in de grafiek Waar ik echt moeite mee heb is: 20.41 a & b en 20.42 e qua opgaven. Met 20.39 a is het probleem de schrijfwijze, zoals eerder gezegd, en bij 20.39 b is het probleem dat de grafiek niet overeenkomt met het antwoord (althans bij mij..). Het antwoord heb ik overigens wel goed. | ||
Riparius | donderdag 15 mei 2014 @ 22:51 | |
Herleiding van uitdrukkingen met wortels: hiervoor bestaan rekenregels, die Van de Craats ook behandelt in hoofdstuk 3 Machten en wortels. De rekenregels voor wortels zijn nauw verwant met de rekenregels voor machten, omdat je elke wortel immers ook kunt schrijven als een macht met een gebroken (niet gehele) exponent. Verder spelen de rekenregels voor het werken met breuken een rol bij het herleiden van uitdrukkingen met wortels. De waarde van een breuk verandert bijvoorbeeld niet als je teller en noemer met hetzelfde getal (ongelijk nul) vermenigvuldigt, of door hetzelfde getal (ongelijk nul) deelt. Je hebt Dat is natuurlijk niet waar. Je moet niet elke curve die een beetje op een parabool lijkt een parabool noemen. Dit is geen kwadratische functie maar een vierdemachts polynoomfunctie en de grafiek kan dan ook geen parabool zijn. Nee, je kunt toch méér dan één punt hebben in een grafiek met dezelfde laagste functiewaarde? Ja, maar wat nu wanneer dat zelfde laagste punt voor twee verschillende waarden van x wordt bereikt? Dan heb je toch twee laagste punten? Heb je de grafiek met pen en papier geschetst of door een computerprogramma laten tekenen? | ||
Super-B | donderdag 15 mei 2014 @ 23:10 | |
Hoe zou je hier de afgeleide ookal weer bepalen met de dy/dx methode? | ||
Riparius | donderdag 15 mei 2014 @ 23:17 | |
Hoe bedoel je? In de notatie van Leibniz kun je schrijven d(x·ex)/dx = (dx/dx)·ex + x·d(ex)/dx = 1·ex + x·ex = (x+1)·ex Bedoel je dit? | ||
Super-B | donderdag 15 mei 2014 @ 23:52 | |
Jep.. zou je het kunnen simplificeren? Het was iets met dy/dp en dx/dp. Die laatste 2 vermenigvuldigen leverde dan weer dy/dx op. Waar je een deel gelijk stelde aan een ander variabele ofzo..? | ||
Super-B | donderdag 15 mei 2014 @ 23:55 | |
Heb het met pen en papier geschetst.. Ik ga het eens op Wolfram Alpha proberen. | ||
Novermars | vrijdag 16 mei 2014 @ 00:42 | |
Dat is de kettingregel. | ||
Riparius | vrijdag 16 mei 2014 @ 00:49 | |
Nu denk je aan de kettingregel in de notatie van Leibniz, maar voor het differentiëren van een product als xex gebruik je de productregel, en niet de kettingregel. Productregel in de notatie van Leibniz: d(f(x)·g(x))/dx = (d(f(x))/dx)·g(x) + f(x)·(d(g(x))/dx) Stellen we hier u = f(x) en v = g(x), dan wordt dit: d(uv)/dx = (du/dx)·v + u·(dv/dx) Productregel in de notatie van Lagrange: h(x) = f(x)·g(x) ⇒ h'(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x) Of, symbolisch en compacter opgeschreven: (fg)' = f'g + fg' Kettingregel in de notatie van Leibniz: d(g(f(x))/dx = d(g(f(x))/d(f(x)) · d(f(x))/dx Stellen we hier u = f(x) en y = g(u), dan is y = g(f(x)) en hebben we dus dy/dx = dy/du · du/dx Kettingregel in de notatie van Lagrange: h(x) = g(f(x)) ⇒ h'(x) = g'(f(x))·f'(x) Of, symbolisch en compacter opgeschreven: (g∘f)' = (g'∘f)·f' Het rondje ∘ duidt hier compositie aan en wordt uitgesproken als na, zodat je g∘f dus uitspreekt als g na f. Het lijkt wat onnatuurlijk om een samenstelling van twee functies f en g waarbij f eerst komt zo aan te geven omdat ons schrift van links naar rechts loopt, maar het grote voordeel is dat de volgorde van de letters f en g zo hetzelfde is als bij de haakjesnotatie g(f(x)) voor de samenstelling van twee functies f en g. Zie je nu de verschillen tussen de productregel en de kettingregel en de verschillen en de overeenkomsten tussen de verschillende notaties? [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 16-05-2014 10:58:53 ] | ||
Novermars | vrijdag 16 mei 2014 @ 02:15 | |
Nog meer over notatie: is een functie, is een functie geëvalueerd op het punt , oftewel een getal. Je kan dus nooit spreken over de functie . | ||
Riparius | vrijdag 16 mei 2014 @ 05:52 | |
Toch gebeurt dat veel, en niet alleen in schoolboeken. Ook Van de Craats heeft het voortdurend over een functie f(x) of over de functie f(x) = x2 als hij een reële functie f van een reële variabele bedoelt resp. een functie f: R → R gedefinieerd door x ↦ x2 oftewel door het functievoorschrift f(x) = x2. Maar het is nogal omslachtig om dat steeds zo op te schrijven en dat verklaart waarom veel auteurs het kortweg hebben over een functie f(x) of de functie f(x) = x2. En dat is ook niet echt bezwaarlijk mits maar duidelijk is - en ook expliciet wordt gemaakt - wat er precies mee wordt bedoeld. Bij een definitie van een functie hoort trouwens ook altijd een specificatie van een domein en een codomein, maar ook dat wordt vaak niet vermeld. De stilzwijgende afspraak bij reële functies van reële variabelen in schoolboeken is dan gewoonlijk dat - tenzij anders vermeld - het domein bestaat uit de grootst mogelijke deelverzameling van R waarvoor het gegeven functievoorschrift betekenis heeft binnen R, en dat R het codomein is. Aangezien de laatste letters van het alfabet (in ieder geval x, y, z maar vaak ook t, u, v, w) doorgaans variabele of onbekende grootheden aanduiden, kun je de opvatting verdedigen dat de notatie f(x) voor het beeld van x ∈ D bij een functie f: D → R met D ⊂ R ook een variabele grootheid voorstelt, en dus geen vast getal. De letters a, b, c, d maar ook p, q, r, s worden daarentegen gewoonlijk gebruikt om constante of bekende grootheden aan te duiden, en dus kun je dan inderdaad gegeven een reële functie f van een reële variabele de notatie f(a) alleen opvatten als een getal, namelijk de waarde van f(x) voor x = a, oftewel het beeld van a, vooropgesteld dat a ∈ Df. Je ziet dan (terecht) ook nooit dat Van de Craats het heeft over een functie f(a), maar wel dat hij bijvoorbeeld de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van een (differentieerbare) functie f in het punt (a; f(a)) geeft als y = f(a) + f'(a)·(x − a) en hier stellen f(a) en f'(a) uiteraard constante resp. bekende reële grootheden voor. Maar wat Van de Craats ook doet, en wat is af te keuren, ook in schoolboeken, is dat hij het in opgaven heeft over een functie x2 en dat moet je niet doen, een uitdrukking is iets anders dan een functie. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 16-05-2014 09:32:23 ] | ||
Riparius | vrijdag 16 mei 2014 @ 07:27 | |
Hier heb je een grafiek van de functie f(x) = x4 − 2x2 (in rood) alsmede van de afgeleide functie f'(x) = 4x3 − 4x (in blauw). Je ziet dat de grafiek van f geen parabool is en dat f voor twee verschillende waarden van x een globaal minimum bereikt, en dat de functie ook nog een locaal maximum heeft, maar geen globaal maximum. Kijk je naar de grafiek van de afgeleide functie f', dan zie dat de afgeleide functie drie nulpunten heeft, namelijk −1, 0 en 1. Bij x = −1 passeert de grafiek van f' de x-as en de steilheid van de grafiek van f' in dit punt oftewel f''(−1) is positief. Ga dit na door de tweede afgeleide te bepalen en f''(−1) te berekenen. Aangezien f'(x) bij x = −1 wisselt van negatief naar positief, gaat de grafiek van f hier over van dalend naar stijgend. Dat betekent dus dat f bij x = −1 in ieder geval een lokaal minimum heeft. De waarde van dit lokale minimum is f(−1) = −1. Kijken we nu naar het nulpunt x = 0 van de afgeleide functie f', dan zien we dat f'(x) bij x = 0 wisselt van positief naar negatief. De steilheid van de grafiek van f' in dit punt oftewel f''(0) is negatief. Ga dit weer na door f''(0) te berekenen. Aangezien f'(x) bij x = 0 wisselt van positief naar negatief, gaat de grafiek van f hier over van stijgend naar dalend. Dat betekent dus dat f bij x = 0 in ieder geval een lokaal maximum heeft en de waarde van dit lokale maximum is f(0) = 0. In het nulpunt x = 1 van de afgeleide functie, tenslotte, gaat f'(x) weer over van negatief naar positief en de grafiek van f gaat hier dus weer over van dalend naar stijgend, zodat f bij x = 1 in ieder geval een lokaal minimum heeft met de waarde f(1) = −1. Uit de grafiek zal je duidelijk zijn dat de twee lokale minima van de functie f bij x = −1 en bij x = 1 tegelijk ook het globale minimum zijn van deze functie. De waarde van dit globale minimum is f(−1) = f(1) = −1. Een functie kan slechts één globaal minimum hebben, maar je ziet dat het prima mogelijk is dat dit globale minimum bij meer dan één waarde van x wordt bereikt. De functie f heeft echter geen globaal maximum, dus f heeft inderdaad alleen een lokaal maximum bij x = 0. De functie f heeft drie nulpunten, namelijk x = −√2, x = 0 en x = √2. Je ziet hier dus ook dat een functie bij eenzelfde waarde van x, hier x = 0, zowel een nulpunt kan hebben als een extreme waarde kan bereiken. | ||
Super-B | vrijdag 16 mei 2014 @ 12:57 | |
Wat is het verschil tussen een globale minimum en een lokale minimum en je kunt toch twee globale minimums hebben, mits dezelfde waarde toch? Dus bijv -1 en 1? Maar die - telt dan niet? Want ik zou zeggen dat zowel -1 en 1 verschillen van elkaar als waarde,als je de - meetelt. Is het tenslotte handig om op de toets de grafiek te tekenen? Want ik kan het niet direct zien.. of het een minimum, maximum etc is. | ||
Amoeba | vrijdag 16 mei 2014 @ 13:24 | |
Ja dat is handig. Ten tweede is het meervoud van minimum minima. Een globaal minimum is het laagste punt van de functie. -1 < 1, dus is f(x) = 1 geen globaal minimum. Je kunt zeggen dat een functie een lokaal minimum aanneemt als de functie van dalend naar stijgend gaat (dus tekenwisseling van de afgeleide), dit lokale minimum is globaal minimum dan en slechts dan als dit ook het laagste punt is van de functie voor alle waarden waarvoor de functie gedefinieerd is. Overigens is zijn 1 en -1 alleen in absolute waarde gelijk aan elkaar, dus |1| = 1 = |-1|. -1 en 1 zijn verder geen gelijke waardes. | ||
Super-B | vrijdag 16 mei 2014 @ 13:46 | |
dat dacht ik dus ook, maar in mijn boek staat dat zowel -1 als 1 globale minimums zijn... daarnaast heb ik de functie: X^4 -x^2 - 2x + 1 waar ik de stationare punten en buigpunten moet bepalen. Als ik hiervan de afgeleide bereken en dan de afgeleide oplos voor f(x) ' = 0 dan krijg ik als oplossingen x = 1 en x= -0,5. Dan ik had dan dat 1 zowel een buigpunt als een stationaire punt was.. omdat het op dat punt de raaklijn constant is, maar vervolgens een "buigt" als het ware en -0,5?!? Geen idee.. het antwoord is echter..: x = 1 (stationaire punt)en x = 1/6 W6 en x= -1/6 W6 zijn de buigpunten.. geen idee hoe ze daarop komen.. Ik dacht dat stationaire punten en buigpunten hetzelfde waren? | ||
Anoonumos | vrijdag 16 mei 2014 @ 14:01 | |
In x = 1 en in x = -1 heeft de functie een globaal minimum. Je haalt nu de plaats x van het minimum en de functiewaarde f(x) van het minimum door elkaar. x = 1 klopt maar x = -0.5 klopt niet. f ' (x) = 4x3 - 2x -2 = 2(x-1)(2x2 +2x +1) = 0 2x2 +2x +1 heeft negatieve discriminant en dus geen nulpunt. Dus x = 1 is het enige nulpunt. Nee niet hetzelfde. | ||
Super-B | vrijdag 16 mei 2014 @ 14:08 | |
Ik heb het met de abc formule opgelost.. wel vaag dat er dan gewoon een antwoord uitkwam... en dus -0,5. | ||
Anoonumos | vrijdag 16 mei 2014 @ 14:09 | |
De eerste term is 4x^3 en niet 4x^2 dus je kan geen abc formule toepassen. | ||
Super-B | vrijdag 16 mei 2014 @ 14:15 | |
Hoe los ik het dan op..? | ||
Super-B | vrijdag 16 mei 2014 @ 14:26 | |
Ben er al uit met het oplossen! | ||
Anoonumos | vrijdag 16 mei 2014 @ 14:30 | |
Lees zelf nog even de definities van stationaire punten en buigpunten in je boek en kijk of je het snapt. | ||
Super-B | vrijdag 16 mei 2014 @ 14:58 | |
Ja dat begrijp ik. Echter is het toch zo dat bij een buigpunt (dus het punt waar de grafiek gaat buigen) net als het stationaire punt een horizontale afgeleide heeft...? Ik weet niet hoe ik de buigpunten moet berekenen.. want zover ik weet waren dat gewoon de afgeleide oplossen = 0 en dan kijken wat x was.. | ||
Anoonumos | vrijdag 16 mei 2014 @ 15:07 | |
Buigpunten zijn de extreme waarden van de afgeleide functie. Dus je moet naar de tweede afgeleide van je oorspronkelijke functie kijken. | ||
Super-B | vrijdag 16 mei 2014 @ 15:55 | |
Ohww... De eerste afgeleide zegt wat over het stationaire punt van de functie f(x) en de tweede afgeleide zegt iets over de buigpunten van f(x)? | ||
t4rt4rus | vrijdag 16 mei 2014 @ 16:37 | |
Volgens mij heb ik een paar dagen terug nog een plaatje, met een buigpunt aangegeven, geplaatst... Nee de afgeleide is daar niet 0 maar de tweede afgeleide is daar 0. | ||
Super-B | vrijdag 16 mei 2014 @ 18:58 | |
Ow oke. Wat wordt er bedoeld met het ''wisselen van de teken'' bij het berekenen van de buigpunten? | ||
t4rt4rus | vrijdag 16 mei 2014 @ 19:02 | |
Van teken wisselen is van positief naar negatief gaan of andersom. -edit- als een continue functie van teken veranderd heb je daar ook een nulpunt. [ Bericht 4% gewijzigd door t4rt4rus op 16-05-2014 19:40:20 ] | ||
Riparius | vrijdag 16 mei 2014 @ 19:11 | |
Ik denk dat je wat voorzichtiger en preciezer moet zijn met je formulering. Super-B blijkt een meester in het verdraaien en misinterpreteren van de woorden van iedereen die probeert hem het licht te laten zien. De grafiek van f(x) = x4 heeft geen buigpunt bij x = 0, terwijl toch f''(0) = 0. De voorwaarde f''(x0) = 0 is dus niet voldoende voor een buigpunt bij x = x0. Een voldoende (maar niet noodzakelijke) voorwaarde voor het optreden van een buigpunt bij x = x0 is f''(x0) = 0 en tevens f'''(x0) ≠ 0, evenals f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) ≠ 0 een voldoende (maar niet noodzakelijke) voorwaarde is voor het optreden van een extremum bij x = x0. | ||
Anoonumos | vrijdag 16 mei 2014 @ 19:21 | |
Ik twijfelde erover om dat op te merken maar omdat dat ook het geval is met het bepalen van de extreme waarden van een functie dacht ik dat hij dat wel moest weten. Maar dat is je op glad ijs begeven inderdaad dus goed dat je het nog duidelijk opmerkt. | ||
Super-B | vrijdag 16 mei 2014 @ 19:22 | |
Dankje! Ik ga zo direct je post lezen. Ik ben even de oefentoets maken, kijken hoe ik er nu voor sta. | ||
Amoeba | vrijdag 16 mei 2014 @ 19:25 | |
Dit is niet helemaal waar. Een functie kan ook van teken wisselen zonder een nulpunt te bereiken. Wat vind je hiervan? f(x) = 1 als x > 0 f(x) = -1 anders Daarnaast hoeft een functie niet van teken te veranderen op een nulpunt. f(x) = x*x is daar een mooi voorbeeld van. | ||
t4rt4rus | vrijdag 16 mei 2014 @ 19:40 | |
Bedankt, ik haal even wat door elkaar Een continue functie die van teken veranderd heeft daar een nulpunt. | ||
Super-B | vrijdag 16 mei 2014 @ 19:54 | |
https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E%28-x%C2%B2%2B2x%29 Ik kom echt niet op zo'n grafiek? Als ik in mijn rekenmachine x = 1 invoer krijg ik: e^-(1)² + 2 * 1 = 2,37.. Dat is minder dan de grafiek in Wolfram Alpha zegt... En hoe kun je de functie op de reken manier berekenen zoals in het antwoordenmodel: http://www.eur.nl/fileadm(...)antw_versie_2014.pdf Opgave 3 a | ||
Anoonumos | vrijdag 16 mei 2014 @ 20:03 | |
Door je haakjes goed te zetten: e^(-(1)² + 2 * 1 ) = e^1 = e Maar het gaat erom dat de term (-2x + 2) dan gelijk is aan 0. Verder zijn e-machten altijd positief. | ||
Super-B | vrijdag 16 mei 2014 @ 20:03 | |
Hoe los je daarnaast vergelijkingen op met ln? | ||
Amoeba | vrijdag 16 mei 2014 @ 20:04 | |
Je bent veels te laat begonnen. | ||
nodig | vrijdag 16 mei 2014 @ 20:10 | |
Het supportteam arriveert ook. Check rekenregels voor logaritmen | ||
Super-B | vrijdag 16 mei 2014 @ 20:14 | |
Jep.. ik heb teveel geconcentreerd op afgeleide ipv oplossen ervan.. even kijken.. | ||
Super-B | vrijdag 16 mei 2014 @ 20:20 | |
Toch een lastige hoor.. ln(x^4 - 24x²) - ln(x²) = 0 Ik doe dan e log (x^4 - 24x²) - e log x² = 0 en dan loop ik weer vast... | ||
Amoeba | vrijdag 16 mei 2014 @ 20:23 | |
log(a) - log(b) = log(a/b) Maar als je dit ziet snap je dat niet. Bewijs dat dus eens. Verder schrijf niet e log voor ln. |