Fsmxi | woensdag 28 november 2012 @ 21:39 |
Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde. Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld! Opmaak: • met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg). Links: • http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren. • http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search. • http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie. • http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is. • http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc... OP Handig: Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden: www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d | |
yoppybt | woensdag 28 november 2012 @ 22:07 |
Niet echt huiswerk maar wel wiskunde/ statistiek dus kan vast ook wel hier. Op Teletekst (en nu ook op de voorpagina) staat nu een bericht over een moordloze dag in New York, voor het eerst sinds mensheugenis. Dat wil ik nog wel geloven maar er staat ook dat er dit jaar (28 november) "nog maar" 366 moorden zijn gepleegd. Er van uitgaande dat die 366 moorden willekeurig over het jaar worden gepleegd, hoe groot is de kans dat nu pas een moordloze dag optreedt? Er zijn zo'n 330 dagen geweest dit jaar en zijn die 366 moorden echt zo netjes daarover uitgesmeerd? Oftewel: wie kan dit uitrekenen? [ Bericht 10% gewijzigd door yoppybt op 28-11-2012 22:42:55 (Voorpagina erbij) ] | |
thenxero | woensdag 28 november 2012 @ 22:45 |
366 moorden in 333 dagen geeft gemiddeld 1,1 moord per dag. De kans dat er 0 moorden zijn op een dag moet dus vrij groot zijn. Het bericht is duidelijk onzin. Zij X het aantal moorden in een dag. Als je mag aannemen dat de moorden onafhankelijk zijn van elkaar en dat ze met een vaste rate plaatsvinden, dan kan je het modelleren met een Poisson verdeling. De kans dat er k moorden plaatsvinden op een dag is dan met lambda = 1/1.1. Dus de kans op 0 moorden is P( X = 0 ) = e^(-1/1.1) = 0.4 = 40%. De kans op 1 moord = 1.1 * e^(-1/1.1) = 36% Kans op 2 moorden = 16% Kans op minstens 3 moorden = 8% Gemiddeld zijn er dus 0.4*365 = 146 moordvrije dagen per jaar (als je het gemiddelde van 1.1 mag doortrekken). Je hoeft geen statistiek toe te passen om te bedenken dat de kans dat er in tientallen jaren (om "sinds mensheugenis" nog maar bescheiden op te vatten) geen moordvrije dag geweest is nihil is. [ Bericht 6% gewijzigd door thenxero op 28-11-2012 22:57:37 ] | |
Quyxz_ | donderdag 29 november 2012 @ 00:18 |
Goede uitleg thenxero. Als ik het dan goed begrijp is de kans op 330 moordloze dagen 0.6^330? (=10^-74, redelijk nihil inderdaad ) | |
thenxero | donderdag 29 november 2012 @ 01:42 |
Je bedoelt denk ik dagen dat er juist wel een moord is. Iedere dag heb je 60% kans op minstens één moord. Dus de kans dat op alle 330 dagen iedere dag minstens 1 moord is, is gelijk aan 0.6^330. Ze beweren dat dit sinds mensheugenis iedere dag een moord heeft plaatsgevonden in NY. Laten we voor "mensheugenis" maar even tien jaar pakken voor het gemak. Dan krijg je De kans dat ik ergens op aarde een zandkorrel verstop en jij hem in één keer aanwijst zonder voorkennis is miljarden malen groter. [ Bericht 2% gewijzigd door thenxero op 29-11-2012 01:54:38 ] | |
Amoeba | donderdag 29 november 2012 @ 07:01 |
Je telt de schrikkeldagen niet mee in je berekening Thenxero | |
Riparius | donderdag 29 november 2012 @ 07:35 |
Kijk eens aan, weer zo'n klassiek onderwerp. Ik heb net enige tijd geleden een artikel van Daniel Bernoulli (uit 1728) over lineaire recursieve rijen bestudeerd waarin onder meer de uitdrukking voor de algemene term van de rij van Fibonacci wordt afgeleid. Die formule is vernoemd naar Jacques Binet (1786-1856), maar de formule én de afleiding ervan waren al veel eerder bekend. Typisch gevalletje Stigler's law dus. De studie van lineaire recurrente rijen was een hot item in de eerste decennia van de 18e eeuw waar diverse wiskundigen zich mee bezig hielden, zoals verschillende leden van de familie Bernoulli, Pierre Rémond de Montmort (1678-1719), Christian Goldbach (1690-1764), en ook de welbekende Abraham de Moivre (1667-1754). De oplossing van De Moivre werkte met wat we nu voortbrengende functies noemen, en splitsing daarvan in deelbreuken. Zo kan de algemene term van een lineaire recursieve rij worden geschreven als een lineaire combinatie van de algemene termen van een stel convergente meetkundige rijen waarvan de som gegeven is door elk van de lineaire partiële breuken van de voortbrengende functie. Maar deze methode om een gesloten uitdrukking te vinden voor de algemene term van een lineaire recursieve rij is betrekkelijk omslachtig, en is (anders dan thenxero suggereert) ook niet nodig om je vragen te beantwoorden. De methode met de zogeheten karakteristieke vergelijking (zoals voor het eerst gepubliceerd door Daniel Bernoulli, die evenwel spreekt van een aequatio primaria) is een stuk praktischer. Laten we voor een goed begrip eerst eens kijken naar hét schoolvoorbeeld van een tweede orde lineaire recursieve rij, de rij van Fibonacci (eigenlijk: Leonardo van Pisa, c.1170 - c.1250): 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ... Deze rij wordt, zoals bekend, gedefinieerd door het volgende recursieve voorschrift: u0 = 0, u1 = 1, un = un-1 + un-2 Om nu een gesloten (niet recursieve) uitdrukking te vinden voor de algemene term un kun je beginnen met te bedenken dat op grond van het lineaire recursievoorschrift un = un-1 + un-2 elke lineaire combinatie van rijen die aan dit voorschrift voldoen ook weer aan dit voorschrift zal voldoen. Dus, als {an} en {bn} twee rijen zijn die voldoen dan zal een rij {cn} met cn = α∙an + β∙bn en met willekeurige constanten α en β ook voldoen aan het recursievoorschrift. Goed, maar hoe vinden we nu een gesloten (niet recursieve) uitdrukking voor de termen van (alle) rijen die voldoen aan zo'n recursievoorschrift? Wel, om te beginnen is het duidelijk dat er geen rekenkundige rijen kunnen zijn die hier voldoen, want dan zou un - un-1 constant moeten zijn, en zou daarmee ook un-2 constant moeten zijn (i.e. onafhankelijk van n), en dat kan alleen als alle termen nul zijn. Maar dat is een triviale oplossing van het recursievoorschrift waar we niet naar op zoek zijn. De volgende gedachte is om te proberen of er meetkundige rijen zijn die aan het recursievoorschrift voldoen. Laten we zeggen dat de reden van zo'n meetkundige rij λ is, dan moet voor de algemene term un dus gelden: un = u0∙λn Op grond van het recursievoorschrift un = un-1 + un-2 geldt dan: u0∙λn = u0∙λn-1 + u0∙λn-2 Na herleiding van het rechterlid op nul en het buiten haakjes halen van de gemeenschappelijke factor u0∙λn-2 geeft dit: u0∙λn-2∙(λ2 - λ - 1) = 0 Nu kan deze voorwaarde alleen gelden ongeacht de waarde van u0 en ongeacht de waarde van λ als de uitdrukking tussen haakjes nul is, dus: λ2 - λ - 1 = 0 Dit is een vierkantsvergelijking met als oplossingen λ1 = (1 + √5)/2 en λ2 = (1 - √5)/2. Er zijn dus in ieder geval twee lineair onafhankelijke meetkundige rijen {an} en {bn} met reden λ1 resp. λ2 die voldoen aan de recursie un = un-1 + un-2. En aangezien elke lineaire combinatie hiervan ook voldoet hebben we dus in het algemeen: un = α∙((1 + √5)/2)n + β∙((1 - √5)/2)n Maar, hebben we hiermee nu wel alle mogelijke oplossingen voor de recursie un = un-1 + un-2 gevonden? Het antwoord is ja, want een rij die aan dit recursievoorschrift voldoet ligt volledig vast als twee opeenvolgende termen zijn gegeven, en door die in te vullen in bovenstaande uitdrukking voor de algemene term krijgen we twee lineaire vergelijkingen in α en β en daarmee ook de waarden van α en β die voldoen aan een gegeven specifieke rij. Voor de rij van Fibonacci hebben we u0 = 0 en u1 = 1. Invullen hiervan in bovenstaande uitdrukking voor de algemene term levert: α∙1 + β∙1 = 0, α∙((1 + √5)/2) + β∙((1 - √5)/2) = 1 Oplossen van dit stelsel geeft α = 1/√5 en β = -1/√5, zodat we dus als uitdrukking voor de algemene term un van de rij van Fibonacci krijgen: Goed, we zien dat het oplossen van een tweede orde lineaire recursie (met constante en reële coëfficiënten in het recursievoorschrift) leidt tot een vierkantsvergelijking met reële coëfficiënten, en deze kan, zoals bekend, ook twee (toegevoegd) complexe wortels bezitten, namelijk als de discriminant van de vierkantsvergelijking negatief is. Nu begrijp je dus waarom het met deze methode kan gebeuren dat we als algemene term voor een tweede orde lineaire recursieve rij een uitdrukking krijgen waarin complexe getallen voorkomen, en dat terwijl de rij zelf uitsluitend uit reële getallen bestaat. Natuurlijk rijst nu de vraag of het niet toch mogelijk is het gebruik van complexe getallen in de uitdrukking voor de algemene term van een tweede orde lineaire recursieve rij te vermijden, omdat de termen van de rij zelf immers reëel zijn. Welnu, het antwoord op deze vraag luidt bevestigend, maar de manier waarop ligt niet zo voor de hand, en daarmee ben ik aangekomen bij je laatste vraag. Het blijkt mogelijk om de uitdrukking voor de algemene term een tweede orde lineaire recursieve rij met complexe getallen om te schrijven naar een goniometrische vorm. Maar: waarom is dat zo? Wat hebben goniometrische functies te maken met een eenvoudige rij die voldoet aan een lineair tweede orde recursievoorschrift? Een tipje van de sluier wordt al opgelicht als je kijkt naar bepaalde goniometrische identiteiten voor de sinus of cosinus van een veelvoud van een hoek. Om deze af te leiden begin ik even met de volgende formules van Simpson voor de som van twee sinussen of cosinussen die je uiteraard kent: cos θ + cos φ = 2∙cos ½(θ + φ)∙cos ½(θ - φ) sin θ + sin φ = 2∙sin ½(θ + φ)∙cos ½(θ - φ) Deze identiteiten kun je, althans voor 0 < | θ - φ | < π, begrijpen als een eenvoudige consequentie van een stelling uit de elementaire meetkunde, als we ze als volgt herschrijven: ½(cos θ + cos φ) = cos ½(θ - φ)∙cos ½(θ + φ) ½(sin θ + sin φ) = cos ½(θ - φ)∙sin ½(θ + φ) In woorden: het gemiddelde van de cosinussen of sinussen van twee hoeken is gelijk aan de cosinus resp. sinus van het gemiddelde van de hoeken, maar dan wel vermenigvuldigd met een schaalfactor die gelijk is aan de cosinus van het halve verschil tussen de hoeken. Dat dit zo moet zijn is evident omdat een lijn door het middelpunt van een cirkel die een koorde van de cirkel middendoor deelt loodrecht op de koorde staat. Omgekeerd deelt een lijn door het middelpunt van een cirkel die een koorde van de cirkel loodrecht snijdt de koorde middendoor (Euclides, Elementen, boek III, stelling 3). Een equivalente formulering van deze stelling is dat een lijn door het middelpunt van een cirkel die een koorde van de cirkel middendoor deelt de bissectrice is van de middelpuntshoek die wordt omspannen door de koorde en dat omgekeerd de bissectrice van een middelpuntshoek in een cirkel de koorde die de middelpuntshoek omspant middendoor deelt. Hierbij is steeds te veronderstellen dat de koorde niet door het middelpunt van de cirkel gaat en dus zelf geen middellijn is. Kies je (met 0 < | θ - φ | < π) twee punten op de eenheidscirkel met coördinaten A(cos θ ; sin θ) en B(cos φ ; sin φ) dan heeft het midden M van de koorde AB die deze twee punten verbindt uiteraard de coördinaten (½(cos θ + cos φ) ; ½(sin θ + sin φ)). Maar nu ligt M op de bissectrice van ∠AOB, en deze bissectrice snijdt de eenheidscirkel dus in het punt C(cos ½(θ + φ) ; sin ½(θ + φ)). En aangezien OM loodrecht staat op AB is OM : OC = OM : OA = cos ∠MOA = cos ½(θ - φ). Punt M is dus het beeld van punt C bij een meetkundige vermenigvuldiging ten opzichte van de oorsprong met een factor cos ½(θ - φ), zodat de coördinaten van punt M ook gelijk zijn aan (cos ½(θ - φ)∙cos ½(θ + φ) ; cos ½(θ - φ)∙sin ½(θ + φ)), en dus is ½(cos θ + cos φ) = cos ½(θ - φ)∙cos ½(θ + φ) en tevens ½(sin θ + sin φ) = cos ½(θ - φ)∙sin ½(θ + φ). Substitueer je in bovenstaande formules van Simpson θ = nψ en φ = (n-2)ψ, dan krijg je: cos nψ + cos (n-2)ψ = 2∙cos (n-1)ψ∙cos ψ sin nψ + sin (n-2)ψ = 2∙sin (n-1)ψ∙cos ψ En dit kun je ook schrijven als: cos nψ = 2∙cos ψ∙cos (n-1)ψ - cos (n-2)ψ sin nψ = 2∙cos ψ∙sin (n-1)ψ - sin (n-2)ψ Dit zijn recursieve betrekkingen voor de cosinus en sinus van een veelvoud van een hoek. Maar dat niet alleen, je ziet dat dit tweede orde recursieve betrekkingen zijn. Als we een rij hebben gedefinieerd door un = cos nψ óf door un = sin nψ, dan voldoet deze rij op grond van bovenstaande recursieformules dus aan: un = 2∙c∙un-1 - un-2 met c = cos ψ. Oefening: leid nu zelf aan de hand van deze recursieve betrekking gesloten (niet recursieve) uitdrukkingen af voor de algemene term un van deze rijen, zowel voor un = cos nψ als voor un = sin nψ. Nu we zien waarom goniometrische rijen met als termen sinussen of cosinussen van opeenvolgende gehele veelvouden van een hoek altijd voldoen aan een tweede orde lineaire recursieve betrekking wordt het al wat inzichtelijker waarom er überhaupt goniometrische functies opduiken in de gesloten (niet recursieve) uitdrukkingen voor bepaalde rijen die voldoen aan een tweede orde lineaire recursieve betrekking. Twee voor de hand liggende vragen zijn nu: (a) is het altijd mogelijk de uitdrukking voor de algemene term van een reële rij die voldoet aan een tweede orde lineaire recursie om te schrijven naar een goniometrische vorm wanneer de karakteristieke vergelijking twee (toegevoegd) complexe wortels heeft en (b) hoe kunnen we dat dan doen? Het is inderdaad altijd mogelijk om de uitdrukking voor de algemene term un van een reële rij te herleiden tot een goniometrische vorm als de rij voldoet aan een tweede orde lineaire recursieve betrekking en de karakteristieke vergelijking twee (toegevoegd) complexe wortels heeft. Om dit te bewijzen gaan we uit van een reële rij met algemene term un die voldoet aan een tweede orde lineaire recursie en waarbij de karakteristieke vergelijking twee toegevoegd complexe wortels λ1 en λ2 heeft. De algemene oplossing voor de recursie is dan: un = α∙λ1n + β∙λ2n waarbij α en β constanten zijn, die in principe zowel reëel als complex kunnen zijn. Nu weet je dat we complexe getallen ook in polaire vorm kunnen omzetten. Laten we zeggen dat: λ1 = r(cos φ + i∙sinφ) dan is: λ2 = r(cos φ - i∙sinφ) aangezien λ1 en λ2 elkaars geconjugeerde zijn. Nu weet je ook dat: eiφ = cos φ + i∙sin φ e-iφ = cos φ - i∙sin φ zodat we hebben λ1 = r∙eiφ en λ2 = r∙e-iφ en we dus de uitdrukking voor de algemene term van onze rij kunnen schrijven als: un = α∙rn∙einφ + β∙rn∙e-inφ Introduceren we nu twee nieuwe parameters A en B als volgt: A = α + β Β = i(α - β) dan hebben we dus: α = ½(A - iB) β = ½(A + iB) en kunnen we de uitdrukking voor de algemene term van onze rij dus schrijven als: un = ½(A - iB)∙rn∙einφ + ½(A + iB)∙rn∙e-inφ oftewel: un = A∙rn∙½∙(einφ + e-inφ) - B∙rn∙½∙i∙(einφ - e-inφ) En aangezien: cos nφ = (einφ + e-inφ)/2 sin nφ = (einφ - e-inφ)/2i kunnen we de uitdrukking voor voor de algemene term van onze rij dus inderdaad schrijven als: un = rn∙(A∙cos nφ + B∙sin nφ) Maar hiermee zijn we er nog niet, want we hadden opgemerkt dat α en β, en dus ook A en B, in principe complexe grootheden kunnen zijn. Het is wel duidelijk dat als A en B reëel zijn dat dan ook bovenstaande uitdrukking voor un reëel is, maar nu moeten we het omgekeerde laten zien, namelijk dat A en B reëel zijn als de termen van de rij reëel zijn. Maar dit is niet moeilijk aan te tonen. Substitutie van n = 0 en n = 1 geeft: u0 = A, u1 = A∙r∙cos φ + B∙r∙sin φ Welnu, u0 is reëel en dus is A ook reëel en daarmee is A∙r∙cos φ ook reëel. En aangezien u1 reëel is en r∙sin φ reëel is en tevens ongelijk aan nul omdat λ1 ≠ λ2 volgt dat B ook reëel is. Hiermee is dus aangetoond dat de algemene term van elke tweede orde lineaire recursieve rij met reële termen waarvan de karakteristieke vergelijking twee toegevoegd complexe wortels heeft kan worden uitgedrukt in de goniometrische gedaante un = rn∙(A∙cos nφ + B∙sin nφ) zonder gebruik van complexe getallen. QED [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 01-12-2012 15:44:36 ] | |
Amoeba | donderdag 29 november 2012 @ 10:04 |
Ik ga dit straks uitprinten en bestuderen. Betreffende de wet van Stigler, dat stukje stond ook in mijn boek, en ik dacht exact hetzelfde. Hartelijk dank voor je antwoord! Volgend uur weer wiskunde. | |
thenxero | donderdag 29 november 2012 @ 14:50 |
Grappig hoe Riparius overal een bewijs vandaan weet te toveren gebaseerd op goniometrie en meetkunde. Wist niet dat het ook zo kon. Maar je verhaal is wel toegespitst op tweedegraads recurrente betrekkingen. Als je iets wil zeggen over het algemene geval (n-de graads) dan moet je denk ik wel echt met voortbrengende functies gaan werken. Correct? | |
Riparius | donderdag 29 november 2012 @ 16:13 |
Voor iedereen die mijn posts wil uitprinten nog wat tips: je kunt mijn tekst direct copy pasten in Microsoft Word en van daaruit goed leesbaar afdrukken, alle Unicode tekens en ook features zoals sub- en superscript en bold en italic blijven dan gewoon behouden. Als font kun je gewoon Times New Roman gebruiken, maar fraaier is bijvoorbeeld Minion Pro, dat wordt meegeleverd bij de kosteloze Adobe Reader. Aangezien vrijwel iedereen de Adobe Reader heeft, is dit font vrijwel zeker op je systeem aanwezig, maar moet je het alleen nog even toegankelijk maken, zie hier. [ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 30-11-2012 17:41:55 ] | |
Amoeba | donderdag 29 november 2012 @ 16:38 |
Wat een baas he Maar verder vroeg ik ook expliciet om het bewijs voor een tweedegraads recursieve vergelijking. | |
Riparius | donderdag 29 november 2012 @ 16:58 |
De meetkunde gebruik ik hier alleen illustratief, maar ook om diepere verbanden te laten zien waaraan m.i. in het onderwijs veel te weinig aandacht wordt geschonken. Veel formules hebben een heel eenvoudige meetkundige interpretatie. Zo is de formule van Euler meetkundig te interpreteren als een consequentie van het feit dat een raaklijn aan een cirkel loodrecht staat op de straal naar het raakpunt. Evenzo zijn de formules van Simpson te interpreteren als een goniometrisch equivalent van een basale eigenschap van koorden in een cirkel, namelijk dat de middelloodlijn van een koorde samenvalt met de bissectrice van de middelpuntshoek die door de koorde wordt omspannen. En zo zijn er veel meer van dergelijke verbanden. Nee. Als je een n-de orde lineaire recurrente betrekking hebt, dan levert die een n-de graads karakteristieke vergelijking op. De werkwijze blijft precies hetzelfde als bij tweedegraads recurrente betrekkingen, alleen zijn de betreffende hogeremachts vergelijkingen lastiger of (voor n > 4) in veel gevallen helemaal niet algebraïsch op te lossen. Dat geldt trouwens evenzo bij het werken met voortbrengende functies. De voortbrengende functie van een n-de orde lineaire recurrente rij is een rationale functie waarvan de noemer een polynoom is van graad n, en als je dat in lineaire deelbreuken wil opsplitsen moet je dus evengoed de nulpunten bepalen van een n-de graads polynoom. Verder blijft de werkwijze om complexe getallen in de gesloten uitdrukking voor de algemene term van een reële n-de orde recurrente rij te vermijden door het gebruik van goniometrische functies precies hetzelfde: complexe nulpunten van polynomen met reële coëfficiënten treden namelijk altijd op als geconjugeerde paren en voor elk geconjugeerd paar kun je dus dezelfde werkwijze gebruiken als bij reële tweede orde lineaire recurrente rijen waarbij de karakteristieke vergelijking twee toegevoegd complexe wortels heeft. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 29-11-2012 17:05:47 ] | |
synthesix | vrijdag 30 november 2012 @ 15:54 |
Weet iemand of er zoiets is als een binas, maar dan voor (toegepaste) wiskunde? Ik bedoel een boek met formules, notaties en handigheidjes geordend naar onderwerp. Bijvoorbeeld een overzicht van wiskundige symbolen en notatie, afgeleiden/integralen, kansdichtheden, (partiele) somrijen etc. Maar ook zoiets als: a^n + b^n = (a-b)(a^n-1 + ba^n2 + ....+ b^n-1) Ik heb de pagina van Wolfram in de OP wel gevonden maar dat is toch niet helemaal wat ik zoek. Naar mijn idee veelal "fundamentele" eigenschappen/operaties onder de lemma's. Dat zijn nou juist die dingen die ik wel kan onthouden indien ik ze nodig heb. Een goed voorbeeld is de voor- en achterflap van het boek Calculus: a complete course van Pearson education. Achtergrondinformatie: Ik studeer Econometrie. Volgens mij heeft Wolfram meer een achterban in de natuurkunde/wiskunde (toch?), het zou kunnen dat ik de informatie daarom niet echt aansluit op mijn behoefte. | |
thenxero | vrijdag 30 november 2012 @ 16:31 |
Voor zover ik weet bestaat dat niet, maar ik snap ook niet waarvoor het nuttig zou zijn. | |
GoodGawd | vrijdag 30 november 2012 @ 16:52 |
Bij dit soort hogere orde diff vergl. komt het moment van geklungel bij het omschrijven naar (lapda +1)^3 op de 2e alinea, hoe pak je zoiets nu goed aan... | |
Amoeba | vrijdag 30 november 2012 @ 16:57 |
Binomium van Newton. | |
Riparius | vrijdag 30 november 2012 @ 17:12 |
Dit is alvast fout. Je bedoelt: an - bn = (a - b)∙∑k=1n an-kbk-1 De som an + bn heeft een factor (a + b) als n oneven is, bijvoorbeeld: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) Is n even en groter dan 2, dan kun je an + bn wel ontbinden in reële kwadratische factoren met het cirkeltheorema van Cotes, bijvoorbeeld: a4 + b4 = (a2 + √2∙ab + b2)(a2 - √2∙ab + b2) Lastig, want ik weet niet wat je allemaal nodig denkt te hebben. Een klassieker is het handboek van Abramowitz en Stegun. Dit is rechtenvrij en op verschillende plaatsen als PDF te downloaden, zie het Wikipedia artikel over dit boek. Overigens is dit handboek inmiddels vervangen door de NIST Digital Library of Mathematical Functions. | |
synthesix | vrijdag 30 november 2012 @ 19:36 |
@Riparius Oeps, typo. Bedoelde inderdaad Je laatste link helpt me al een eind op weg, thanks! Nu ik er zo over nadenk gaat het eigenlijk met name om dingen die je in een basiscursus calculus leert, en die je later in je studie wel een nodig hebt voor bewijzen oid. Maar dan zo weinig dat je het niet onthoud, en niet zo triviaal dat je het zelf wel kunt bedenken als het nodig hebt. Om wat voorbeelden te geven van dingen die ik de laatste paar maanden nog op moest zoeken en waarvan ik sommige nu alweer vergeten ben:'): - Det[A] berekenen mbv de determinaten van submatrixen, wat was ook al weer het teken van de cofactoren - - Variabelen transformatie van (x,y) naar (u,v) in een dubbele integraal. Gebruik je dan de Jacobiaan van (u,v) in (x,y) of van (x,y) in (u,v)? - cos(x-y) = cosxcosy + sinxsiny Snap je een beetje wat ik bedoel? Ik kan me haast niet voorstellen dat dat ik de enige ben die dat heeft. | |
kutkloon7 | vrijdag 30 november 2012 @ 20:13 |
Klopt, ik google die dingen meestal gewoon. Maar er zijn ook vrij veel van dat soort formules, dus ik weet niet of zo'n lijst echt overzichtelijk zou zijn. Het makkelijkste is om de formules die jij vaak vergeet voor jezelf op te schrijven | |
Riparius | vrijdag 30 november 2012 @ 20:38 |
De Jacobiaan voor de transformatie van (x,y) naar (u,v) is gemakkelijk in symbolische vorm te onthouden: dxdy = ∂(x,y)/∂(u,v) ∙ dudv En voor goniometrische identiteiten kan ik je mijn PDF aanbevelen. Hopelijk vergeet je ze dan nooit meer. Voor wat meer elementaire zaken kan ik je het Vademecum van de wiskunde van Otto Teller aanraden (Prisma pocket nr. 1033). Ik weet niet of dit nog nieuw verkrijgbaar is, maar tweedehands is het vast niet moeilijk te vinden. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 30-11-2012 20:59:25 ] | |
thenxero | zaterdag 1 december 2012 @ 00:06 |
| |
Physics | zaterdag 1 december 2012 @ 00:21 |
Ik heb helaas colleges moeten missen en de documentatie van het vak wat ik nu volg is vrij bagger. Nu wil ik graag wat meer achtergrond van de gegeven onderwerpen in: http://www.2shared.com/do(...)jd__tweede_coll.html. Als iemand goede bronnen heeft hoor ik het graag. * Ito calculus (lemma, diffusie) * Stochastische dynamische optimalisatie * Merton's portfolio problem | |
Mathemaat | zaterdag 1 december 2012 @ 10:17 |
Omdat het een orde drie diff. vergelijking is zonder triviale coëfficiënten (geen nullen), wordt de algemene oplossing opgespannen door een basis van dimensie 3 (dus de algemene oplossing bestaat uit drie termen). In dit geval zijn dat dus die e-machten. Je vult die e-macht in (dit is één van je basiselementen) en vindt daarmee alle mogelijke lambda's. Als n lambda's dezelfde waarde hebben, dan hebben de bijbehorende n basiselementen respectievelijk 1,x,x^2,...,x^(n-1) in de factorisatie van de coëfficiënten zitten. Ben ik begrijpelijk? Hier staat uitgelegd hoe je tot de algemene oplossing komt: http://en.wikipedia.org/w(...)onstant_coefficients Het stomme van diff. vergelijkingen is dat je gewoon de algemene oplossing uit je hoofd moet kennen. [ Bericht 0% gewijzigd door Mathemaat op 02-12-2012 14:20:05 ] | |
GoodGawd | zaterdag 1 december 2012 @ 21:27 |
Dank. [ Bericht 94% gewijzigd door GoodGawd op 01-12-2012 21:55:38 ] | |
Riparius | zondag 2 december 2012 @ 13:58 |
Niet helemaal: als λ0 een wortel is met multipliciteit n van de karakteristieke vergelijking van een lineaire homogene differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten, dan is xn∙exp(λ0∙x) geen oplossing van de differentiaalvergelijking. | |
Mathemaat | zondag 2 december 2012 @ 14:19 |
[ Bericht 100% gewijzigd door Mathemaat op 02-12-2012 14:20:13 ] | |
kutkloon7 | zondag 2 december 2012 @ 14:24 |
Ben ik het helemaal mee eens! Riparius, schrijf je voor je werk ook weleens dingen over wiskunde? Je bent er erg bedreven in moet ik zeggen [ Bericht 0% gewijzigd door kutkloon7 op 02-12-2012 19:59:58 ] | |
thenxero | zondag 2 december 2012 @ 14:26 |
n moet n-1 zijn | |
twaalf | zondag 2 december 2012 @ 18:00 |
- Protter - Shreve & Karatzas | |
kutkloon7 | zondag 2 december 2012 @ 19:58 |
Trouwens, misschien een aanrader voor mensen die geïnteresseerd zijn, maar geen bronnen hebben: http://webmovies.science.uu.nl/ Opgenomen wiskunde colleges van de UU, misschien wat voor jou Amoeba? Omdat je aangaf niet te kunnen wachten om te beginnen met een studie wiskunde (meen ik me te herinneren). (ik ben zelf ook van plan om ze te gaan gebruiken, goed om te leren voor een herkansing, vooruit te leren of als je gewoon je geheugen wil opfrissen) | |
Amoeba | zondag 2 december 2012 @ 20:06 |
Welk vak? Calculus? | |
kutkloon7 | zondag 2 december 2012 @ 21:13 |
Alles wat je interessant vindt. Alles wat in die lijst onder Functies en Reeksen staat zijn eerstejaarsvakken. Calculus en analyse zijn denk ik het boeiendst om te volgen (infi a is een beetje basic misschien). Lineaire algebra B is wel boeiend, maar ik vond de manier waarop het gegeven werd wat te abstract (alleen maar theorie, amper toepassingen). Ik vind alleen uit een boek dingen leren altijd zo droog, een college is een wat makkelijkere manier om dingen te leren (je snapt wat sneller hoe de docenten naar de dingen kijken). Als je de opgenomen colleges en een boek of dictaat (deze staan vaak ook wel op internet) hebt is dit volgens mij een prima manier om het vak een beetje door te krijgen. Voor mij werkt het in ieder geval beter als ik het zo leer in mijn vrije tijd dan dat ik het vak echt volg | |
Quyxz_ | maandag 3 december 2012 @ 13:43 |
Ik heb een vraagje wat betreft Matlab. Ik heb de volgende ODE: Nu wil ik dit simpel oplossen in Matlab met de 'dsolve-functie.' http://www.mathworks.nl/help/symbolic/dsolve.html Ik vul de vergelijking in op deze manier, waar volgens mij niet veel mis mee is: syms k L dsolve('k*D2x=-x*(L-x)' , 'x(0)=0' , 'x(L)=0') Nu geeft hij als antwoord slechts ans=0. Dit is natuurlijk niet de bedoeling. Weet iemand hoe ik een beter antwoord kan krijgen. Heeft het er iets te maken dat ik ook de eigenwaarde moet opgeven? | |
Riparius | maandag 3 december 2012 @ 13:54 |
Als ik je linkje doorlees, dan denk ik dat je D2u moet schrijven, niet D2x, want u is je afhankelijke variabele, niet x: Any character immediately following a differentiation operator is a dependent variable. En dan natuurlijk ook u(0) en u(L) schrijven. Overigens gaan dit soort dingen gemakkelijk in WolframAlpha. | |
Quyxz_ | maandag 3 december 2012 @ 14:01 |
Ah bedankt! Ik heb het nu ook uit Matlab gekregen door even goed naar de afhankelijke en onafhankelijke variabelen te kijken. Blijkbaar gebruikt deze functie t als standaard onafhankelijke variabele, dus ik heb het nu zo ingevuld: dsolve('k*D2x=-t*(L-t)' , 'x(0)=0' , 'x(L)=0') Nu krijg ik hetzelfde antwoord als WA. | |
Riparius | maandag 3 december 2012 @ 14:04 |
Zo kan het ook, maar zoals je het eerst deed had je x zowel als afhankelijke als als onafhankelijke variabele, en dan is het nogal wiedes dat het niet werkt. | |
Amoeba | maandag 3 december 2012 @ 21:13 |
Ik ga er naar kijken. Infi A, wat behandelt dat precies? Beetje beginselen differentiaal/integraalrekening (limieten?) | |
thenxero | maandag 3 december 2012 @ 21:28 |
Gewoon middelbare school stof in feite maar dan hier en daar net wat verder. Heel veel dingen ben je waarschijnlijk al tegen gekomen in wisB of wisD. Differentiëren, integreren, substitutieregel voor integralen, partiëel integreren, simpele limietjes (zonder strikte bewijzen: bewijzen met limieten zitten in Analyse A), Taylorreeks, injectieve/surjectieve/bijectieve functies, gewone differentiaalvergelijkingen, continue functies, ... . Dat is ongeveer wat ik me kan herinneren . | |
Riparius | maandag 3 december 2012 @ 21:41 |
Op de webpagina van de docent staat een linkje naar een dictaat, maar ze zijn zo te zien nu overgestapt op het Engelstalige boek Calculus, A Complete Course van Adams & Essex. Dat is een pil van ruim 1000 bladzijden. Hier verbaas ik me wel een beetje over, want dat boek is meer bedoeld voor opleidingen waarbij wiskunde geen hoofdzaak is maar wel wordt toegepast. | |
kutkloon7 | maandag 3 december 2012 @ 21:48 |
Ja, verder wat over taylorreeksen, en hoe en hoe goed je functie daarmee benadert. Verder wat begin in differentiaalvergelijkingen. Dictaat is hier te vinden. Voor infi B gebruikten we een boek, dat was helaas wat minder overzichtelijk. Edit: O, dit was dus allemaal al gezegd Ik zie nu dat er op de site van hogendijk ook wat extra opgaven (zogenaamde marsopgaven, je kreeg een mars als je ze goed oploste ), die zijn vaak ook interessant. | |
Thezeurminator | dinsdag 4 december 2012 @ 14:59 |
Vrij simpele vraag lijkt mij. Ik weet niet precies waar ik dit moet plaatsen maar probeer het maar op GC. De vraag is: Legoland is gebouw op een schaal van 1:25 Hoe groot is de oppervlakte van een terein op Legoland, dat in werkelijkheid precies 1/16de hectare is. De oppervlakte van legoland is dan ... vierkante meter. Ik zou denken 10000 vierkante meter / 16 / 25 = 25 m2 maar dat klopt niet. Iemand die hier het antwoord wel weet want ik kan zo niet verder. Heb alles ook al gegoogled. Vraag 2 Legoland is gebouwd op een schaal van 1:25 de inhoud van een nagebouwde vloeistoftank is 3,2 liter wat is de inhoud van de ECHTE tank in liters Ik kom hier echt niet uit. En heb van dit deel ook geen antwoorden. | |
Pablo88 | dinsdag 4 december 2012 @ 15:06 |
oppervlakte is in 2 dimensies, inhoud in 3 dimensies. Wil je dus de oppervlakte van een schaalmodel weten, moet je 2 keer delen door de schaal. zowel voor de "x" richting als voor de "y" richting. vb: anders ga je van een vierkant naar een rechthoek waarvan 1 zijde nog steeds even lang is ipv een kleiner vierkant. Voor inhoud zelfs een 3e keer voor de "z" richting. | |
Miraculously | dinsdag 4 december 2012 @ 17:37 |
Op de één of andere manier kom ik niet uit deze vraag.. Ik moet op uitkomen | |
Riparius | dinsdag 4 december 2012 @ 17:56 |
Onderaan de kettingbreuk beginnen: 3 + 1/4 = 12/4 + 1/4 = 13/4. Nu het omgekeerde nemen, dat is 4/13, en hier 2 bij optellen. Dat geeft 2 + 4/13 = 26/13 + 4/13 = 30/13. Weer het omgekeerde nemen, dat is 13/30. Hier tenslotte 1 bij optellen en we krijgen 1 + 13/30 = 30/30 + 13/30 = 43/30. Dit is echt lagere school werk. | |
Miraculously | dinsdag 4 december 2012 @ 18:04 |
Bedankt, maar dit heb ik nooit op de lagere of middelbare school gehad. | |
Mathemaat | dinsdag 4 december 2012 @ 18:06 |
Eigenlijk wel, maar je hebt er nooit stil bij gestaan. Je moet consequent de regenregels, die altijd zo intuïtief leken, gebruiken en die heb je wel geleerd. | |
Miraculously | dinsdag 4 december 2012 @ 18:12 |
Het is ook al even geleden dat ik dit soort dingen uit mijn hoofd gedaan heb, ik heb sinds de middelbare school immers alleen maar een rekenmachine gebruikt.. | |
Mathemaat | dinsdag 4 december 2012 @ 18:15 |
Een rekenmachine kan dit ook niet als je het niet volgens de rekenregels invoert. Het is niet erg dat je het niet kon, dat is niet het punt dat ik wil maken. | |
flopsies | dinsdag 4 december 2012 @ 20:49 |
als je een alternerende rij { an } hebt met an = (n+1)(-1)n , (sommatie van n=0 tot oneindig) (n+1)(-1)n zal convergent zijn als de rij {an} voldoet aan bepaalde voorwaarden anan+1 <0 voor n>een positief getal. |an+1|<=an voor n>een positief getal. lim n->oneindig an = 0 als de rij hier niet aan voldoet, is (sommatie van n=0 tot oneindig) (n+1)(-1)n dan sowieso niet convergent? [ Bericht 4% gewijzigd door flopsies op 04-12-2012 21:24:27 ] | |
kutkloon7 | dinsdag 4 december 2012 @ 21:06 |
-edit: wacht even hoor, even wat beter kijken nog- Als de limiet van de rij > 0 is, is de reeks sowieso niet convergent | |
GlowMouse | dinsdag 4 december 2012 @ 21:12 |
De vraag staat er verkeerd, de rij waar het om gaat is an(-1)n. Als je an = (-1)n+1 pakt dan zie je dat jouw antwoord niet klopt. | |
Riparius | dinsdag 4 december 2012 @ 21:13 |
Hier is zo geen chocola van te maken. Je praat over een reeks, maar geeft dan de notatie van een rij, en wat moet ik me bij die notatie voorstellen? Voor reeksen waarvan de termen alterneren heb je het criterium van Leibniz. Als je een alternerende rij {an} hebt en een N zodanig dat limn→∞ an = 0 ∧ ∀n>N |an+1| ≤ |an| dan is de reeks ∑n=0 ∞ an convergent. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 04-12-2012 21:26:01 ] | |
flopsies | dinsdag 4 december 2012 @ 21:18 |
Sorry, ik haal de termen door elkaar | |
kutkloon7 | dinsdag 4 december 2012 @ 21:20 |
Hoezo, de reeks ∑n=0an heeft toch geen limiet als n naar oneindig gaat? | |
flopsies | dinsdag 4 december 2012 @ 21:23 |
Heb mijn post aangepast, nu beter? sorry hiervoor | |
kutkloon7 | dinsdag 4 december 2012 @ 21:27 |
Klopt nog niet helemaal: je definieert an maar doet er vervolgens niks mee... Ik snap ook niet helemaal wat je bedoelt: wil je nou weten of een specifieke reeks convergent is? | |
GlowMouse | dinsdag 4 december 2012 @ 21:28 |
I see. Maar wat als de limiet van de rij (an) niet bestaat? | |
kutkloon7 | dinsdag 4 december 2012 @ 21:30 |
Dan bestaat de limiet van de bijbehorende reeks ook niet? (maar ik had het over het geval dat de limiet wel bestaat) | |
flopsies | dinsdag 4 december 2012 @ 21:34 |
of dit de enige test is om te kijken of een alternerende reeks convergeert. Als de rij {an} niet voldoet aan de voorwaarden die riparius ook heeft gepost, is de reeks ∑n=0 ∞ an dan sowieso NIET convergent? misschien een domme vraag maar ik wil het even zeker weten | |
Riparius | dinsdag 4 december 2012 @ 21:45 |
Het criterium van Leibniz is voldoende maar niet noodzakelijk voor convergentie van een reeks met alternerende termen. Beschouw bijvoorbeeld de rij {an} gedefinieerd door: an = ((-1)n+1∙|sin n|)/n2 Dan is |an| niet monotoon dalend terwijl ∑n=1 ∞ an toch convergeert. [ Bericht 5% gewijzigd door Riparius op 04-12-2012 22:32:23 ] | |
kutkloon7 | dinsdag 4 december 2012 @ 23:53 |
Het criterium van Leibniz is wel sluitend voor alternerende, dalende reeksen. Als je alleen naar alternerende, dalende reeksen kijkt voldoet elke convergerende reeks aan het criterium en geen enkele niet-convergerende reeks. Ik kom er nu net een tegen bij de inleveropgave voor functies en reeksen. We moeten de Fourier-coefficienten van de 2π-periodieke functie die op het interval [-π, π] gelijk is aan x2 bepalen. Die blijkt gelijk te zijn aan (-1)k . 2/k2. Om te bepalen of de bijbehorende Fourierreeks convergent is, moet je kijken of de som van al deze coefficienten convergeert. Ja dus, wat je aan kan tonen met Leibniz' criterium. (er kunnen nog foutjes inzitten, ik ben er nog mee bezig ) [ Bericht 5% gewijzigd door kutkloon7 op 04-12-2012 23:58:12 ] | |
Riparius | woensdag 5 december 2012 @ 00:14 |
Ja, maar dat is niet in tegenspraak met wat ik hierboven beweer. Ik dacht dat de algemene term van de gedaante ((-1)k∙4∙cos kx)/k2 is. En dan nog een constante term π2/3 erbij. Inderdaad ... Vul trouwens eens x = 0 in, dan krijg je een alternerende reeks voor π2/12. Daarmee kun je gemakkelijk aantonen dat ∑k=1∞ 1/k2 = π2/6 (Bazel probleem). | |
kutkloon7 | woensdag 5 december 2012 @ 00:27 |
Uhuh, het was een aanvulling, geen verbetering 0 invullen is inderdaad een deel van de opgave. Hm, ik ga er morgen nog maar even naar kijken denk ik... Volgens mij klopt het wel wat ik nu heb. Hoe kom je aan die algemene term? In mijn dictaat staat dat de fourier coefficient gelijk is aan En dat heb ik nagerekend, en dat lijkt te kloppen. De constante term zou dan geloof ik 2/3π3 worden. Ik heb wel complexe coefficienten gebruikt, misschien zit het hem daarin [ Bericht 2% gewijzigd door kutkloon7 op 05-12-2012 00:35:20 ] | |
kutkloon7 | woensdag 5 december 2012 @ 00:37 |
Ja, je had gelijk, ik ben eruit, het kwam inderdaad door die complexe coefficienten. Alleen die constante term heb ik nog wel anders. | |
Riparius | woensdag 5 december 2012 @ 00:46 |
Inderdaad, je moet natuurlijk twee complexe coëfficiënten ck en c-k hebben om de reële coëfficiënten ak = ck + c-k van de cosinustermen te krijgen. | |
kutkloon7 | woensdag 5 december 2012 @ 00:47 |
Ja, ik had nog niet helemaal door hoe dat precies werkte, ik werkte gewoon vanuit de uit het dictaat gegeven definities. | |
Riparius | woensdag 5 december 2012 @ 00:50 |
Als je a0 berekent met de algemene integraal voor ak, dan moet je hiervan de helft nemen, de eerste term in de reeks geeft men daarom aan met ½a0. Dan krijg je dus π2/3 voor de constante term. | |
kutkloon7 | woensdag 5 december 2012 @ 00:56 |
Ja, wat ik de hele tijd al doe: de factor 1/2π vergeten, waardoor ik ook op π^3 uitkwam ipv π^2. Dank voor je hulp! | |
Riparius | woensdag 5 december 2012 @ 03:45 |
Je kunt je Fourier reeksen gemakkelijk controleren in WolframAlpha, zowel in goniometrische als in exponentiële vorm. Substitutie van x = 0 levert dan: 0 = π2/3 + 4∙(-1/12 + 1/22 - 1/32 + ...) en dus: ∑k=1∞ (-1)k+1∙k-2 = π2/12 Nu is ook: ζ(2) = ∑k=1∞ k-2 = ∑k=1∞ (-1)k+1∙k-2 + 2∙∑k=1∞ (2k)-2 = ∑k=1∞ (-1)k+1∙k-2 + ½∙∑k=1∞ k-2 = ∑k=1∞ (-1)k+1∙k-2 + ½∙ζ(2) en dus: ζ(2) = 2∙∑k=1∞ (-1)k+1∙k-2 = 2∙(π2/12) = π2/6 | |
Sokz | woensdag 5 december 2012 @ 17:09 |
P(2*-(1/10)2a) = 0 Dus P = 0 v. 2*-(1/10)2a = 0; 2a = 0/x = 0 en blijft nul toch? Prof. / Lerares zegt a = 10 maar krijg maar niet door hoe ze daarop komt. | |
thenxero | woensdag 5 december 2012 @ 17:19 |
Als je a=10 invult dan krijg je -4P=0, dus P=0... Je hebt in feite een of andere constante c ongelijk aan nul, en de vgl c*P*a=0. Delen door c geeft P*a=0, dus P=0 of a=0. | |
Sokz | woensdag 5 december 2012 @ 17:23 |
Ja tot die conclusie kwam ik dus ook, hoe reflecteert dat zich tot deze vraag waarbij P=0 geen antwoord kan zijn (want wie verkoopt zijn product gratis?) *Je krijgt dan P(4*-(1/10)2a = 0 volgens mij maar ik geloof dat je dan ook op P=0 of a=0 komt. | |
thenxero | woensdag 5 december 2012 @ 17:29 |
Je haalt P en p door elkaar. Hoe kom je aan die vergelijking ? ( P(4*-(1/10)2a = 0 ) | |
Sokz | woensdag 5 december 2012 @ 17:36 |
Okay voor duidelijk dan maar even hoofdletter P(rofit) = pi dpi / da oplossen. = 4p - (1/10)2ap »» p(4 * (-1/10)2a) Gelijkstellen aan 0 om a te vinden welke ik vervolgens in ga vullen in dpi / dp zodat je p krijgt. (en dat leidt weer tot pi) *d = ∂ | |
Riparius | woensdag 5 december 2012 @ 18:16 |
Maak het allemaal niet zo moeilijk. Je hebt: P(a,p) = 4ap + 50p -9p2 - (1/10)∙a2p -120 ∂P/∂a = -(1/5)∙(a - 20)∙p ∂P/∂p = -a2/10 + 4a - 18p + 50 ∂P/∂a = 0 geeft a = 20 of p = 0, maar je hebt P(a,0) = -120, dus dat valt af ook al omdat p = 0 niet realistisch is. Blijft over a = 20 en dan levert de voorwaarde ∂P/∂p = 0 op dat p = 5, en dan is P(20,5) = 105. Dan moet je eigenlijk nog wel netjes aantonen dat dit een lokaal maximum is, maar dat mag je zelf doen. Kijk ook even hier. | |
Sokz | woensdag 5 december 2012 @ 19:47 |
Bedankt! Deze vereenvoudiging zag ik niet zo snel en daar liep het dus klem. | |
JWF | donderdag 6 december 2012 @ 20:12 |
Zij uniform continu. Toon aan dat begrensd is. Kun je dit op een makkelijke manier bewijzen? Medestudenten en ik hadden bedacht dat je kunt aantonen dat en bestaan en zo een continue functie kunt 'construeren': er is dan een stelling in het dictaat die zegt dat die functie (continu op een gesloten interval) begrensd is. We weten echter niet of dit correct is en het is behoorlijk lang en omslachtig. Heeft iemand een beter idee? | |
GlowMouse | donderdag 6 december 2012 @ 20:22 |
Het kan veel simpeler. Pak uit de defintie op http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_continuity een willekeurige epsilon>0, dan komt daar een delta uitrollen. Kijk dan eens naar 1/delta (1/delta is interessant omdat delta minder dan 1/delta keer in het interval (0,1) past). | |
Riparius | donderdag 6 december 2012 @ 21:05 |
Kies ε = 1. Aangezien f uniform continu is op (0,1) bestaat er dan een δ > 0 zodanig dat | f(x) - f(y) | < ε = 1 voor elke x,y ∈ (0,1) met | x - y | < δ. Kies nu een positief geheel getal n0 > 1 zodanig dat 1/n0 < δ (i.e. n0 > 1/δ) en definieer xi = i/n0 voor i ∈ {1,...,n0-1}. Zij verder M een getal zodanig dat max(| f(xi) |, 1 ≤ i ≤ n0-1) < M - 1. Dan bestaat er voor elke x ∈ (0,1) een i ∈ {1,...,n0-1} zodanig dat | x - xi | < δ en dus | f(x) - f(xi) | < 1 zodat | f(x) | = | (f(x) - f(xi)) + f(xi) | ≤ | f(x) - f(xi) | + | f(xi) | < 1 + (M - 1) = M, QED. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 07-12-2012 19:21:37 ] | |
Mathemaat | vrijdag 7 december 2012 @ 12:47 |
[ Bericht 100% gewijzigd door Mathemaat op 07-12-2012 12:57:24 ] | |
GlowMouse | vrijdag 7 december 2012 @ 12:55 |
wat, dat f(x)=1/x begrensd is op (0,1)? | |
Mathemaat | vrijdag 7 december 2012 @ 12:59 |
Sorry, ik hield het door elkaar met het continue uitbreiden van reële functies op compacte domeinen. [ Bericht 0% gewijzigd door Mathemaat op 07-12-2012 13:51:13 ] | |
thenxero | vrijdag 7 december 2012 @ 14:12 |
Dit idee laat ook mooi zien wat uniforme continuiteit betekent: waar je die delta intervalletjes ook plaatst, je hebt altijd een fluctuatie van hoogstens epsilon. | |
Maryn. | vrijdag 7 december 2012 @ 18:21 |
Ok, geen wiskunde dit maar hoe los los ik dit het handigst op uit 't hoofd? Iemand tips? x : -6/8 = -14/35 -45/18 - 18/6 = x | |
JWF | vrijdag 7 december 2012 @ 19:00 |
Dankjewel, heel helder. Ik zou dit zelf niet zomaar bedenken, maar ik heb wel het gevoel nu beter te begrijpen wat uniforme continuïteit inhoudt. | |
Riparius | vrijdag 7 december 2012 @ 19:32 |
Beide leden vermenigvuldigen met -6/8 = -3/4 en je hebt x = -3/4 ∙ -14/35 = 3/4 ∙ 2/7 = 6/28 = 3/14. Breuken vereenvoudigen, x = -45/18 - 18/6 = -5/2 - 6/2 = -11/2. | |
yarnamc | zaterdag 8 december 2012 @ 17:31 |
"een uniform convergente reeks van exponentiële of circulaire functies convergeert, in het aangegeven gebied, naar een continue functie (waarom?)". Dit staat er, in verband met de uniforme convergentie van Fourierreeksen. Iemand die ziet waarom dit zo is? | |
Riparius | zaterdag 8 december 2012 @ 18:10 |
Het klassieke ε/3 trucje. Het bewijs staat vast wel ergens in de een of andere vorm in je leerboek, en anders moet je maar even hier kijken. | |
Mathemaat | zondag 9 december 2012 @ 14:11 |
Stel je hebt een polynoom met p is priem en zodat . Hoeveel oplossingen heeft f=0? | |
Amoeba | zondag 9 december 2012 @ 22:54 |
Komt een lastige. Ik ben bezig met de orthografische cilinderprojectie (van Johann Heinrich Lambert), nu wordt er gesteld dat dit een equivalente projectie is. Maar waaruit volgt dit precies? Stel dat ik de vraag krijg om dit uit te leggen, hoe zou ik dat dan in Godsnaam moeten beantwoorden? Dit is de betreffende kaart. | |
Dale. | maandag 10 december 2012 @ 02:03 |
Al gekeken op http://nl.wikipedia.org/wiki/Orthografische_cilinderprojectie? Het volgt direct uit de formules. | |
Amoeba | maandag 10 december 2012 @ 04:17 |
Ja, maar ik zie even niet hoe. De formules afleiden (peanuts) ook al gedaan. | |
Dale. | maandag 10 december 2012 @ 12:36 |
Uhmmm de eerste alinea?
| |
Amoeba | maandag 10 december 2012 @ 14:26 |
Ik snap wat je hiermee bedoelt. Dit is hoe de projectie tot stand komt. Nu wil ik graag weten waarom de projectie equivalent is, en niet omdat 'dit toevallig zo is', nee, wat is de redenatie hierachter? Komt er nog een (wat eenvoudigere) meetkundige vraag bij. Wanneer men dit document opent: http://mail.vssd.nl/hlf/a028h02oud.pdf Dan wordt op pagina 25 en 26 het bewijs dat een stereografische projectie conform is behandeld. Nu snap ik de hele godganse redenatie, op een puntje na. Bovenaan pagina 26 staat: Angle(WRP) = Angle(WRA) = 90 graden Waaruit volgt dit exact? Waarom is dit zo? | |
Amoeba | maandag 10 december 2012 @ 14:53 |
Angle(WRP) is me inmiddels duidelijk. Mag ik zeggen doordat de snijlijn van het raakvlaak aan P met het grondvlak NA snijdt in R, dat die snijlijn loodrecht op NA staat? | |
thenxero | maandag 10 december 2012 @ 16:28 |
Waar staan die integralen van Riparius die hij een tijdje geleden ergens gepost had? Ik wou ze net gaan oplossen maar kan ze vreemd genoeg niet meer terugvinden. @Amoeba: ik heb geen verstand van projecties, maar je hebt er steeds over dat die orthografische cilinderprojectie equivalent moet zijn. Maar je zegt niet waarmee die dan equivalent moet zijn. | |
Tochjo | maandag 10 december 2012 @ 16:35 |
Hier. | |
Riparius | maandag 10 december 2012 @ 17:29 |
Equivalentie is hier een term voor oppervlaktegetrouwheid. Dat betekent dus dat het product van de schaalfactoren van de kaartprojectie in horizontale en in verticale richting in elk punt op de kaart constant moet zijn. Bij hoekgetrouwheid oftewel conformiteit moet daarentegen de verhouding van de schaalfactoren in verticale en horizontale richting voor elk punt op de kaart gelijk zijn aan één. Bij afbeelding van een bolvormig oppervlak op een plat vlak zijn equivalentie en conformiteit onverenigbaar. | |
Amoeba | maandag 10 december 2012 @ 17:57 |
De methode door te bewijzen (meetkundig) dat de hoek die 2 raaklijnen aan een bol maken equivalent is aan de hoek die de projecties van die lijnen met elkaar maken, is dat ook een sluitend bewijs? Immers, de hoek die 2 krommen maken is gelijk aan de hoek die hun raaklijnen maken. | |
Riparius | maandag 10 december 2012 @ 18:32 |
Bij een conforme projectie zoals de Mercatorprojectie zijn op ieder punt op de kaart de schaalfactoren in horizontale en in verticale richting gelijk. Omdat we willen dat de meridianen als verticale evenwijdige lijnen worden afgebeeld is de schaalfactor voor een punt op noorderbreedte of zuiderbreedte φ in horizontale richting dus 1/cos φ = sec φ maal de schaalfactor voor de evenaar, omdat een breedtecirkel op noorderbreedte of zuiderbreedte φ slechts een omtrek heeft van cos φ maal de omtrek van de evenaar. Maar, vanwege de conformiteitseis moet de dan schaling in verticale richting voor een punt op noorderbreedte of zuiderbreedte φ ook sec φ maal de schaling voor de evenaar bedragen, en dus wordt de oppervlakte voor een punt op noorderbreedte of zuiderbreedte φ dan op de kaart geschaald met een factor sec2φ ten opzichte van de schaling van de oppervlakte op de kaartprojectie bij de evenaar. Dus, om een voorbeeld te geven, op 60 graden noorderbreedte wordt de oppervlakte dan al opgeschaald met een factor sec2(π/3) = 4 ten opzichte van de schaling van een gebiedje op de evenaar. Willen we nu echter een kaartprojectie waarbij de meridianen nog steeds als evenwijdige verticale lijnen worden afgebeeld maar die wel oppervlaktegetrouw is, dan hebben we voor een punt op noorderbreedte of zuiderbreedte φ nog steeds te maken met een horizontale schaling met dezelfde factor 1/cos φ = sec φ ten opzichte van de (horizontale) schaling van de evenaar, maar dan moeten we bij de verticale schaling gaan compenseren door te schalen met een factor cos φ, zodat het product van de horizontale en de verticale schalingen voor elk punt op de kaart, en daarmee dus de oppervlakteschaling constant blijft over de gehele kaart. En als je hebt: dy/dφ = s0∙R∙cos φ waarbij s0 de schaalfactor is waarmee de evenaar wordt afgebeeld, en R de straal is van de aarde, dan volgt door primitiveren dus dat we moeten hebben: y = s0∙R∙sin φ aangezien ook moet gelden y = 0 voor φ = 0. Begrijp je dit? | |
rareziekte | maandag 10 december 2012 @ 19:25 |
Ik heb gevonden bij de ongelijkheid x^2 < 2x+8 voor x > -2 en x < 4. Waarom schrijf je dit als -2 < x < 4 ? Ik snap de logica van die notatie niet. | |
Amoeba | maandag 10 december 2012 @ 19:34 |
Je behandelt nu een pseudo-cilindrische projectie, correct? Met een oorsprong in het middelpunt vd aarde, dus gnomonisch? Ik begrijp wat je bedoelt. Je wilt alle parallellen nog steeds opschalen naar de lengte vd evenaar, dus horizontaal gezien vermenigvuldig je moet sec φ, dus verticaal vermenigvuldig je met cos φ, zodat je de constante behoudt. Inderdaad krijg je dan weer de gegeven aanpak om tot de differentiaalvergelijking te komen, de constante vervalt vanwege je laatste regel. Helder. Ik ben nu echter bezig met directe projecties, zonder niet-geometrische bewerkingen. Snap je mij? Wederom bedankt voor je heldere uitleg. Ik ga hier iets mee doen. | |
Amoeba | maandag 10 december 2012 @ 19:35 |
Scheelt wat schrijfwerk. Er staat precies hetzelfde hoor. | |
Riparius | maandag 10 december 2012 @ 19:36 |
Ja, dat is een sluitend bewijs voor conformiteit. Inderdaad is de hoek die twee snijdende krommen met elkaar maken niets anders dan de hoek tussen de raaklijnen aan de krommen in het snijpunt. Merk op dat een loxodroom op het boloppervlak zo een logaritmische oftewel een equiangulaire spiraal oplevert in het projectievlak bij een stereografische projectie. Als je een analytische functie w = f(z) hebt en een (gladde) kromme z = γ(t) in het complexe vlak dan wordt de richting van de raaklijn aan de kromme in een punt z0 = γ(t0) bepaald door het argument van dz/dt voor t = t0, dus het argument van γ'(t0). En de richting van de raaklijn aan de afbeelding w = f(γ(t)) van de kromme in het w-vlak wordt dan evenzo bepaald door het argument van dw/dt voor t = t0 oftewel het argument van f'(z0)∙γ'(t0) aangezien dw/dt = dw/dz ∙ dz/dt (kettingregel). En aangezien vermenigvuldiging met f'(z0) ≠ 0 een draaistrekking inhoudt (i.e. een schaling met een factor | f'(z0) | en tevens een rotatie equivalent met het argument van f'(z0)) zie je dat een analytische functie w = f(z) een (lokaal) conforme afbeelding geeft van (een deel van) het z-vlak op (een deel van) het w-vlak mits f'(z) ≠ 0. Als twee krommen elkaar onder een bepaalde hoek snijden in een punt z0 dan snijden hun afbeeldingen in het w-vlak elkaar in het punt w0 = f(z0) onder dezelfde hoek aangezien de rotatie van elk van de raaklijnen gelijk is aan het argument van f'(z0) ≠ 0 zodat hun onderlinge hoek gelijk blijft. Een mooi voorbeeld is de functie f(z) = ez die horizontale rechte lijnen (evenwijdig aan de reële as) afbeeldt als lijnen door de oorsprong in het w-vlak, terwijl verticale rechte lijnen (evenwijdig aan de imaginaire as) worden afgebeeld als cirkels rond de oorsprong. Je ziet dus dat de afbeeldingen van een horizontale en een verticale rechte lijn elkaar inderdaad weer loodrecht snijden, aangezien een rechte lijn door het middelpunt van een cirkel de cirkel loodrecht snijdt. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 10-12-2012 21:09:18 ] | |
Mathemaat | maandag 10 december 2012 @ 19:40 |
x voldoet tegelijk aan allebei die eisen en ligt tussen die twee waarden, dat is wat de logica achter die notatie is. Als je het beter wil snappen: teken de x-as als een staaf en kleur de gebieden, waar x is volgens de eisen, in. Het gebied dat je dubbel inkleurt is dan -2 < x < 4. | |
rareziekte | maandag 10 december 2012 @ 19:54 |
Waarom niet -2 > x < 4 ? | |
M.rak | maandag 10 december 2012 @ 19:58 |
Je moet -2 < x < 4 lezen als "-2 < x (-2 is kleiner dan x, dus x is groter dan -2) en x < 4 (x is kleiner dan 4)". Voeg die twee samen en je hebt "x tussen -2 en 4". In jouw notatie staat er "-2 > x (dus -2 groter dan x, x kleiner dan -2) en x < 4". Het tweede statement is dan overbodig. | |
rareziekte | maandag 10 december 2012 @ 19:59 |
Oke, thx | |
Mathemaat | maandag 10 december 2012 @ 20:03 |
Ah, ik snap je probleem > is een teken dat betekent: is groter dan. Dus 4 > 3 houdt in: 4 is groter dan. x > -2 houdt in: x is groter dan -2. < is een teken dat betekent: is kleiner dan. Dus 2 < 3 houdt in: 2 is kleiner dan 3. x < 4 houdt in: x is kleiner dan 4. -2<x<4 houdt in: x is groter dan -2 en x is kleiner dan 4. Equivalent geformuleerd: x is groter dan -2 en kleiner dan 4. | |
Amoeba | maandag 10 december 2012 @ 20:24 |
Dankjewel. Nu komt betreffende dit onderdeel mijn laatste vraag. Deze afbeelding: Heeft dus een paar eigenschappen. De lijnen m en l zijn raaklijnen aan de bol in P. Nu vormt de lijn WV een lijn in het grondvlak (tevens projectievlak en raakvlak aan de as), is punt A de projectie van P (stereografisch (cilindrisch)), en is ON de as van de bol. Goed, nu is mijn vraag: Je ziet bij R een hoekje staan van 90 graden, waarom is dit zo? Ofwel, waarom snijdt WV NA loodrecht. Dat is het enige stukje wat ik niet volg aan de bewijsvoering. Doordat WV in het raakvlak ligt, en R in de driehoek NPA ligt? *gezien PN feitelijk loodrecht op l en m moet staan, want N ligt op de as van de bol. | |
Riparius | maandag 10 december 2012 @ 20:29 |
Ik begrijp niet precies wat je met deze term bedoelt, ik reageerde op jouw eerdere vraag hierboven waar je naar het Wikipedia artikel over de orthografische oftewel oppervlaktegetrouwe cilinderprojectie van Lambert verwijst. Je hebt natuurlijk ook nog de equidistante cilinderprojectie, maar die is weer niet oppervlaktegetrouw. Uiteindelijk zijn alle kaartprojecties ook zuiver meetkundig te beschrijven. | |
Riparius | maandag 10 december 2012 @ 21:01 |
Het raakvlak aan punt P van de bol staat loodrecht op straal MP en het raakvlak aan punt N van de bol (i.e. het projectievlak) staat loodrecht op straal MN. Dus staan zowel zowel het raakvlak aan punt P als het projectievlak loodrecht op het vlak bepaald door de punten M, N en P. En aangezien WR in het projectievlak ligt en RA in het vlak bepaald door de punten M,N,P is dus WR ⟂ RA. | |
Amoeba | maandag 10 december 2012 @ 21:53 |
Pseudo-cilindrisch betekent een niet directe projectie. Dus een Mercatorprojectie, maar geen stereografische cilindrische projectie (van Braun), maar met een schaalafhankelijke correctie. Gnomonisch, als je die bedoelt, is dat de oorsprong van de projectie in het midden van de figuur ligt. Dus punt M in mijn figuur, maar gezien de projectie stereografisch is is dus het projectiepunt O. Eenvoudig eigenlijk. Dank. Kan ik morgen weer aan de gang. | |
Riparius | maandag 10 december 2012 @ 22:02 |
O zo. Ik ben geen cartograaf, maar ik heb inmiddels het Wikipedia artikel gelezen en ik zie wat je bedoelde. Ben je al klaar met de complexe getallen omdat je je nu weer in de cartografie stort? | |
Amoeba | maandag 10 december 2012 @ 22:16 |
Jazeker, hoofdstuk afgerond met een 9,6 voor het proefwerk. Ik doe mijn profielwerkstuk over de cilindrische projecties, vandaar dat ik het weer opgepakt heb. Wiskunde D houdt nu een hoofdstukje Kansen en Beslissingen in. Hypothesetoetsen en zulk soort zooi. Altijd beter dan Duits, enfin. En je gaf een flink stuk complexe getallen net.. Het enige wat ik begreep was de projecties van reëele delen en imaginaire delen bij ez. Spijtig. | |
Riparius | maandag 10 december 2012 @ 22:41 |
Denk ik toch anders over. Een goede leesvaardigheid Duits is heel nuttig als je verder wil met wiskunde. Er zijn massa's Duitse boeken, artikelen, dictaten e.d. te vinden over bijna elk denkbaar onderwerp, en daar zitten kwalitatief uitstekende teksten bij. Vreemd, ik dacht dat ik het toch duidelijk had uitgelegd. Een analytische (of : holomorfe) functie geeft een (lokaal) conforme afbeelding. Lees anders nog eens in het boekje van Maor na (hier) hoe hij de Mercatorprojectie in verband brengt met de complexe logaritme. [ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 10-12-2012 22:58:11 ] | |
thenxero | maandag 10 december 2012 @ 22:53 |
Bijna alle wetenschap gaat toch in het Engels? Volgens mij zijn er wel veel oude werken die alleen in het Duits te lezen zijn, dus voor jou is Duitse kennis onmisbaar. Maar als je moderne onderwerpen bestudeert heb je voor zover ik weet geen Duitse taal nodig. Maar ik ben het er wel mee eens dat je Duits (en basisstatistiek) niet moet afdoen als zooi | |
GlowMouse | maandag 10 december 2012 @ 23:02 |
Ik kom ook voor moderne onderwerpen nog wel Duits tegen, twee artikels in de afgelopen paar jaar. | |
thenxero | maandag 10 december 2012 @ 23:04 |
Oh grappig. Gingen die artikelen over statistiek/econometrie ? | |
Riparius | maandag 10 december 2012 @ 23:15 |
Tja, wat heet nodig? Kijk, ik bestudeer onderwerpen het liefst vanuit verschillende perspectieven en vanuit verschillende achtergronden, en er is echt ook heel veel moderne literatuur in het Duits. Dus waarom zou ik mezelf het gebruik van bronnen ontzeggen in andere talen dan het Engels of het Nederlands? In het Duitse universitaire wiskunde onderwijs zul je ook niet zo snel Engelstalige boeken zien, ook niet voor wat meer gevorderde onderwerpen. In Nederland gebeurt dat wel in toenemende mate, en dat vind ik geen goede ontwikkeling. Ik heb ook regelmatig het idee hier op FOK dat mensen een stukje wiskundige uitleg mede niet goed begrijpen omdat ze het Engels niet goed begrijpen, ook al denken ze prima Engels te kunnen lezen. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 12-12-2012 17:46:47 ] | |
GlowMouse | maandag 10 december 2012 @ 23:17 |
over wiskundige optimalisering | |
thenxero | maandag 10 december 2012 @ 23:19 |
Ik vind het juist wel goed dat er veel Engelse literatuur wordt gebruikt. De wetenschap is voornamelijk in het Engels, dus dan hoef je ook geen switch te maken als je Engelse wetenschappelijke artikelen gaat lezen. Ik heb eerder dat ik een Nederlandse uitleg niet begrijp, omdat ik vaker de Engelse dan de Nederlandse term ken . | |
Riparius | maandag 10 december 2012 @ 23:44 |
Ja, ik begrijp je punt en ik zie ook wel de voordelen van het gebruik van Engelstalige leerboeken (sommige mensen hebben het over tekstboeken, maar dat is dan weer een anglicisme), maar er zijn ook nadelen. Het is me op de site van Hogendijk bijvoorbeeld opgevallen dat, hij, nu hij (van hogerhand?) wordt gedwongen te werken met het Engelstalige boek van Adams & Essex meteen al één van de eerste colleges uitluidt met een causerie over Nederlandse woorden in de wiskunde, en deze besluit met: Houd het Nederlands in ere! Ik zie daar een stil protest in. De hele discussie over de voor- en nadelen van het gebruik van een internationale taal is trouwens niet nieuw: in vroeger eeuwen vond het onderwijs aan de universiteiten, ook in Nederland, plaats in het Latijn en werden wetenschappelijke artikelen en boeken ook in het Latijn geschreven. Dat is eeuwenlang zo geweest, tot het Latijn plaats maakte voor de landstalen. In Frankrijk gebeurde dat al vrij vroeg, maar in bijvoorbeeld Duitsland was het zelfs tot in het midden van de 19e eeuw niet ongebruikelijk om in het Latijn te publiceren. Ik heb een beetje het idee dat we die hele discussie over de voor- en nadelen van het gebruik van een internationale taal nu dunnetjes over doen en dat men al lang is vergeten waarom het Latijn ooit af is geschaft als internationale wetenschapstaal. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 11-12-2012 00:01:34 ] | |
Dale. | dinsdag 11 december 2012 @ 00:21 |
Allemaal Esperanto leren Ik denk dat we daar niet te moeilijk over moeten denken. Er werd eenvoudig weg steeds minder les gegeven in het Latijn omdat studenten, wellicht te lui waren of doordat de universiteit steeds toegangelijker werd voor mensen die geen Latijn spraken en dat professor zich aanpaste aan de studenten die geen Latijn konden. [ Bericht 31% gewijzigd door Dale. op 11-12-2012 00:45:19 ] | |
thenxero | dinsdag 11 december 2012 @ 00:35 |
Ik zie nergens "Houd het Nederlands in ere!" staan. Lattijn ? | |
Dale. | dinsdag 11 december 2012 @ 00:45 |
Oeps | |
Riparius | dinsdag 11 december 2012 @ 00:56 |
Hier, laatste pagina. | |
Amoeba | dinsdag 11 december 2012 @ 04:19 |
Mijn excuses, het is niet dat je uitleg onduidelijk is, het schort mij aan basiskennis over complexe functies en eigenschappen van zijn afgeleide. Ik zal het doornemen. Niet meer echt motivatie voor Duits. Basisstatistiek gaat dan nog wel.. | |
Amoeba | dinsdag 11 december 2012 @ 20:43 |
Met uw permissie heb ik dit rechtstreeks in mijn werkstuk gezet, in plaats van te parafraseren. Alhoewel dat eigenlijk niet helemaal mag is dit wel de kortste manier, en ik moet een beetje op de lengte gaan letten. | |
Riparius | dinsdag 11 december 2012 @ 20:57 |
Lijkt me prima, het is geen originele gedachte maar gewoon heel eenvoudige stereometrie hoor: als eene lijn loodrecht staat op een vlak, dan zal elk vlak, dat door die lijn gaat, loodrecht op dat vlak staan. (link). Maar ja, wie leert er nog stereometrie? | |
kutkloon7 | dinsdag 11 december 2012 @ 20:58 |
Daar gaan ook enkele colleges van Functies en Reeksen over. Als je eens een uurtje over hebt zou je kunnen kijken of je er wat van volgt (over het algemeen zijn hoorcolleges goed te volgen, zelfs als je niet echt alle voorkennis hebt) bij de webcolleges Functies en Reeksen. Het 9e college gaat over complexe differentieerbaarheid. | |
Amoeba | dinsdag 11 december 2012 @ 21:02 |
Even doorlezen. Dat was wel mijn enige gedachte erbij, mag je zeggen dat ieder vlak dat door diameter ON gaat loodrecht op WR staat? En dan bedoel ik niet 'verticaal loodrecht', maar juist horizontaal, ofwel de rechte hoek in het projectievlak. Ik denk dat je een fout maakt. De hoek van 90 graden volgt niet uit dat WR in het projectievlak ligt, maar juist in het raakvlak r, want dat staat loodrecht op straal MR welk in vlak MNP ligt, en in dat vlak is RA dus ook vertegenwoordigd. Klopt dit? [ Bericht 1% gewijzigd door Amoeba op 11-12-2012 21:19:21 ] | |
Amoeba | dinsdag 11 december 2012 @ 21:06 |
niks te zien hier [ Bericht 48% gewijzigd door Amoeba op 11-12-2012 21:15:01 ] | |
Amoeba | dinsdag 11 december 2012 @ 21:14 |
. [ Bericht 50% gewijzigd door Amoeba op 11-12-2012 21:15:07 ] | |
Riparius | dinsdag 11 december 2012 @ 21:17 |
Nee, dat mag je niet zeggen want het klopt niet. Elk vlak door ON staat loodrecht op het projectievlak en WR ligt in het projectievlak, dat wel. Dit is onduidelijk, ik begrijp niet wat je hier bedoelt. | |
Amoeba | dinsdag 11 december 2012 @ 21:22 |
Ik denk dat er iets niet klopt aan je uitleg, zoals ik al stelde in mijn vorige post. Zoals jij het stelde leek dit wel zo.. | |
Riparius | dinsdag 11 december 2012 @ 22:09 |
Je hoeft alleen te constateren dat de lijnstukken WR en RA in twee verschillende vlakken liggen die loodrecht op elkaar staan om te kunnen concluderen dat ∠WRA = 90°. Lijnstuk WR ligt zowel in het projectievlak als in het raakvlak aan de bol in punt P, maar het projectievlak en dit raakvlak staan beide loodrecht op het vlak bepaald door de punten MNP waarin lijnstuk RA ligt. | |
Amoeba | dinsdag 11 december 2012 @ 22:29 |
Inderdaad, dankjewel. | |
Amoeba | dinsdag 11 december 2012 @ 22:50 |
Zie een examinator maar eens in 20 minuten uit te leggen hoe zo'n projectie in elkaar steekt. Dit is dus het nadeel van staatsexamen, je moet circa 80 uur in een profielwerkstuk geven, en daar naderhand een presentatie over geven. Hoe moet ik zo'n presentatie vorm geven? Een projectie behandelen? In het kort allemaal? Ik wil al enkel cilindrische projecties gaan doen, dus misschien een vergelijking opzetten. En het mooie is, ze krijgen die ochtend een stapel met profielwerkstukken, dus waarschijnlijk hebben ze 10 minuten tijd om het door te nemen. Al dat werk voor een half uurtje beoordeling. | |
kutkloon7 | dinsdag 11 december 2012 @ 23:07 |
Dat is een beetje het nadeel van je met dingen bezighouden die wat ingewikkelder zijn dan het gemiddelde. Ik had op het vwo ook een profielwerkstuk waar ik echt een hele zooi werk in had zitten (het ging over muziek, en ik had me vooral gefocust op digitale muziek en signaalverwerking, digitale effecten en dat soort dingen, vond ik destijds heel leuk). Dat werkstuk bevatte ook redelijk wat wiskunde (ik heb er geloof ik ook behoorlijk wat Fouriertheorie in gestopt, wat wel nuttig is bij het begrijpen van geluid). Dat werkstuk ging ook richting de 100 pagina's. Kreeg ik van mijn beoordeler (een biologie-docent die geloof ik niet echt van wiskunde hield) doodleuk te horen dat hij het te ingewikkeld vond, en had hij me een 6 gegeven. Ik was dan ook vrij pissig toen een jongen die zijn profielwerkstuk letterlijk in één avond had geschreven (16 pagina's, veel plaatjes en witte bladzijden), flink hoger had dan ik (hij had geloof ik een 7 of 8, in ieder geval een 7 of hoger). Daarna heb ik het er nog met mijn beoordeler over gehad, en nadat hij overlegd heeft met een natuurkundedocent heb ik toch een 7 gekregen. | |
Amoeba | dinsdag 11 december 2012 @ 23:13 |
Mijn eigen docenten mogen me niet eens beoordelen. Ik moet mijn profielwerkstuk opsturen naar DUO/IB, begin mei ofzo. Er wordt iemand aangewezen om mij te examineren betreffende het profielwerkstuk. Als hij hier aankomt op school, een docent van een andere school, nooit die van mijzelf, krijgt hij de profielwerkstukken van de leerlingen die hij moet examineren. Nou goed, hele dag examineren en tussendoor de werkstukken doornemen. Je ziet 'm al hangen hé.? Dat krijg ik trouwens ook altijd te horen. Wat ik doe is te ingewikkeld, hij begrijpt het niet en blijft dan ook uitstellen. Volgende week dinsdag heb ik vastgepind, dan stuur ik hem een verzameling documentatie die hij door mag nemen. [ Bericht 5% gewijzigd door Amoeba op 11-12-2012 23:21:16 ] | |
Metapod | woensdag 12 december 2012 @ 12:32 |
Kan iemand mij stock en cash dividend uitleggen. Heb morgen SE, maar ben het weer vergeten. Je moet de cash en stock dividend percentages bij elkaar optellen, en dan dit getal van het geplaatst AK. Maar verder weer ik het niet.. Cash was belasting en Stock niet. Ik mis 1 of 2 stapjes, als iemand me die even zou kunnen uitleggen.. Bedankt! | |
GlowMouse | woensdag 12 december 2012 @ 12:50 |
hoe heet dit topic? | |
Amoeba | woensdag 12 december 2012 @ 13:38 |
Riparius, bij de Mercatorprojectie worden de cartesische coördinaten gegeven door Als ik x/y neem, volgt daar dan direct uit dat de projectie conform is? Aangezien de secans toch ook een schaalfactor in verticale richting is? Of maak ik hier een (fundamentele) denkfout? [ Bericht 2% gewijzigd door Amoeba op 12-12-2012 14:14:42 ] | |
yarnamc | woensdag 12 december 2012 @ 14:50 |
Aha dank je wel! Ik heb nog een vraagje: als ik een functie v(x,t) met x in ]0,L[ en t in ]0,+oneindig[ heb, die ik kan schrijven als: (1/2)*(f(x+at)+f(x-at)) met a een constante, die niet 0 is. En ik weet bovendien dat in het gegeven gebied v(x,t) continu is, mag ik dan concluderen dat f continu is in heel R? Volgens de cursus kan dit, maar ik zie niet direct in waarom. | |
Riparius | woensdag 12 december 2012 @ 17:07 |
Je maakt een fundamentele denkfout. Laten we zeggen dat we een punt op aarde hebben met geografische coördinaten (λ;φ) waarbij λ in radialen wordt uitgedrukt (positief voor oosterlengte, negatief voor westerlengte) en dat φ eveneens in radialen wordt uitgedrukt (positief voor noorderbreedte en negatief voor zuiderbreedte). Laten we verder zeggen dat dit punt met geografische coördinaten (λ;φ) op de Mercatorprojectie wordt afgebeeld als het punt met (cartesische) coördinaten (x;y). En laten we de horizontale en de verticale schaalfactoren voor het punt met geografische coördinaten (λ;φ) op onze kaart aangeven met resp. sh(λ;φ) en sv(λ;φ). Voor een conforme (hoekgetrouwe) afbeelding moet dan gelden sh(λ;φ) = sv(λ;φ) voor elk punt (λ;φ). Om dit aan te tonen berekenen we nu sh(λ;φ) en sv(λ;φ) zoals die volgen uit bovenstaande formules. Eerst de horizontale schaalfactor voor het punt met geografische coördinaten (λ;φ). Verplaatsen we ons op aarde in oost-west richting van een punt met coördinaten (λ;φ) naar een punt met coördinaten (λ+Δλ;φ), waarbij je moet bedenken dat Δλ zowel positief kan zijn (verplaatsing in oostelijke richting) als negatief (verplaatsing in westelijke richting), dan leggen we op aarde een afstand af die, afgezien van het teken, R∙cosφ∙Δλ bedraagt. Laten we de (geörienteerde) afstand langs de breedtecirkel tot de nulmeridiaan a noemen, dan kunnen we de afgelegde afstand aangeven met Δa = R∙cosφ∙Δλ, waarbij Δa weer zowel positief kan zijn (verplaatsing in oostelijke richting) als negatief (verplaatsing in westelijke richting). Als nu op de kaart het punt (λ+Δλ;φ) wordt afgebeeld op het punt met cartesische coördinaten (x+Δx;y), dan bedraagt de horizontale schaalfactor voor het punt (λ;φ) dus: sh(λ;φ) = Δx/Δa = Δx/(R∙cosφ∙Δλ) = (1/(R∙cosφ))∙(Δx/Δλ) = (1/(R∙cosφ))∙s0∙R = s0∙sec φ Nu de verticale schaalfactor voor het punt met geografische coördinaten (λ;φ). Verplaatsen we ons in noord-zuid richting naar een punt op aarde met geografische coördinaten (λ;φ+Δφ) waarbij Δφ weer zowel positief kan zijn (verplaatsing in noordelijke richting) als negatief (verplaatsing in zuidelijke richting), en noemen we de wijziging in de (geörienteerde) afstand a tot de evenaar Δa, dan is Δa = R∙Δφ. Als nu op de kaart het punt met geografische coördinaten (λ;φ+Δφ) wordt afgebeeld op een punt met cartesische coördinaten (x;y+Δy), dan bedraagt de verticale schaalfactor over deze afstand Δy/Δa = Δy/(R∙Δφ) = (1/R)∙Δy/Δφ, alleen is dit een gemiddelde schaalfactor voor de afbeelding op de kaart van het traject van (λ;φ) naar (λ;φ+Δφ), omdat Δy/Δφ geen constante is maar afhangt van φ. Om de verticale schaalfactor in het punt (λ;φ) op de kaart te bepalen moeten we de limiet nemen van de trajectschaling Δy/Δa voor Δφ → 0, dus dy/da = (1/R)∙dy/dφ. Voor de verticale schaalfactor op de kaart in het punt met geografische coördinaten (λ;φ) krijgen we dus: sv(λ;φ) = (1/R)∙dy/dφ = (1/R)∙s0∙R∙sec φ = s0∙sec φ Zoals je ziet hebben we dus sh(λ;φ) = sv(λ;φ), QED. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 13-12-2012 20:39:53 ] | |
Amoeba | woensdag 12 december 2012 @ 18:44 |
Je redenering kan ik volgen. Alleen het vetgedrukte, ik zie je dat wel vaker zeggen, wat bedoel je daar precies mee? | |
Quyxz_ | woensdag 12 december 2012 @ 18:46 |
Je weet niet of het + of - is. De richting is dus onbekend (zoals Riparius daarvoor uitlegt), maar de afstand niet. | |
Amoeba | woensdag 12 december 2012 @ 18:51 |
Oh zo, moet je dit vermelden? | |
Riparius | woensdag 12 december 2012 @ 20:09 |
Ja, want afstanden zijn niet negatief, terwijl Δa wel negatief kan zijn. Echter is Δa alleen negatief als Δλ resp. Δφ negatief is, en dan zijn ook Δx resp. Δy negatief, zodat de schaalfactoren Δx/Δa en Δy/Δa dus altijd positief zijn. | |
MoriniStylr | donderdag 13 december 2012 @ 00:15 |
Ik kom bij een vraagstuk niet uit. Het gaat over een vector F projecteren op v: vector v = 3i + 4j vector F = 4i + j a) Vind de component van F parallel aan v b) Vind de component van F loodrecht aan v c) Vind de arbeid W gedaan door kracht F door de verplaatsing van v antwoorden zijn: a) 1.92i + 2.56j b) 2.08i - 1.56j c) W= 16 Met de formule van F= Fparallel + Fperpendicular klopt a en b iniedergeval wel. Zou iemand me kunnen laten zien hoe je deze sommen maakt? Bvd | |
Dale. | donderdag 13 december 2012 @ 00:29 |
Vraagje... Is er een methode waarmee ik kan bepalen hoeveel invloed het veranderen van iedere parameter heeft op een functie? Bijvoorbeeld; y = f(x) = 1/a*(b*c*d*x^2 + e*f*g)*x + h Ik weet bijvoorbeeld dat a ergens tussen 0.7 en 0.85 ligt. Dit weet ik voor iedere parameter. Nu wil ik zeg maar kunnen afleiden hoeveel invloed iedere parameter heeft op het eind antwoord. Zorgt a verandering van a bijvoorbeeld dat het antwoord omhoog schiet of juist maar een klein beetje omhoog schiet. | |
kutkloon7 | donderdag 13 december 2012 @ 00:42 |
Een partiële afgeleide komt denk ik nog het dichtst in de buurt van wat jij bedoelt (hoewel er omstandigheden te bedenken zijn waarin de partiële afgeleide groot en de invloed op de functie slechts klein). Of had je daar al over nagedacht? Anders zou je kunnen kijken naar het bereik van de functie als je a varieert en de anderen variabelen vast laat, maar dat is een stuk ingewikkelder. Misschien zijn er nog andere methoden, dit is wat ik zo even snel kan bedenken. | |
thenxero | donderdag 13 december 2012 @ 01:18 |
Maak eens een plaatje met de vectoren. Gebruik dat voor het inproduct tussen twee vectoren a en b geldt: waarbij alfa de hoek tussen a en b is. Voor c gebruik je dat de arbeid gegeven wordt door het inproduct tussen kracht en snelheid. | |
Riparius | donderdag 13 december 2012 @ 02:28 |
Bepaal eerst een vector w die loodrecht staat op v. Aangezien (3;4) het eindpunt is van vector v en een punt (a;b) bij rotatie om de oorsprong over een rechte hoek tegen de klok in overgaat in het punt met coördinaten (b;-a) hebben we dan w = 4i - 3j. Nu willen we vector F schrijven als een lineaire combinatie van v en w, dus: F = λ∙v + μ∙w Dit geeft: 4i + j = λ∙(3i + 4j) + μ∙(4i - 3j) Uitwerken geeft nu: 4i + j = (3λ + 4μ)i + (4λ - 3μ)j En dus moet gelden: 3λ + 4μ = 4 4λ - 3μ = 1 Oplossen van dit lineaire stelsel geeft λ = 16/25 en μ = 13/25. De component van F parallel aan v is dus: λ∙v = 16/25 ∙ (3i + 4j) = 48/25 ∙ i + 64/25 ∙ j En de component van F loodrecht op v (en parallel aan w) is dus: μ∙w = 13/25 ∙ (4i - 3j) = 52/25 ∙ i - 39/25 ∙ j Om nu de arbeid W gedaan door kracht F bij een verplaatsing langs v te berekenen kun je natuurlijk de lengte van de component van F langs v vermenigvuldigen met de lengte van v en dan vind je W = 5∙√((48/25)2 + (64/25)2) = 5 ∙ 16/5 = 16. Maar het is veel eenvoudiger om het inproduct te nemen van F en v, dan hebben we direct: W = F∙v = (4i + j)∙(3i + 4j) = 4∙3 + 1∙4 = 16 [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 13-12-2012 02:33:20 ] | |
MoriniStylr | donderdag 13 december 2012 @ 14:25 |
Ok, ik snap het nu al wat beter, bedankt. | |
Dale. | vrijdag 14 december 2012 @ 12:21 |
Ja had al aan partiële afgeleide gedacht. maar nog niet verder naar gekeken vanwege de reden die je zelf al opnoemt. Probleem is dat ik een dataset heb. Hier moet een theoretische functie op gefit worden. Ik weet van alle variabelen wat deze ongeveer, minimum waarde en maximum waarde, zijn. Echter met de huidige bounderies op m'n variabelen krijg ik hem niet gefit. Nu wil ik zeg maar soort van berekenen hoe groot de kans is dat de waarde van een bepaalde variabele fout is. Een aantal kan ik vrijwel meteen wegstrepen maar 4 variabelen niet. | |
Friskist | vrijdag 14 december 2012 @ 15:03 |
Ik zit al even met de volgende som, snap niet helemaal wat de weg er naartoe is: Een beweging van een element is als volgt: Nu moet de snelheid mbv de spatial/eulerian description berekend worden. De eerste component komt uit op: Echter snap ik niet hoe je hier systematisch precies op komt. | |
dramatic | zondag 16 december 2012 @ 15:25 |
Kan iemand uitleggen waarom een rotatie matrix is zoals hij is: http://nl.wikipedia.org/wiki/Rotatiematrix Ik ben bezig aan een 3d engine maar nu ik bij rotaties uitkom vraag ik me af waarom dit werkt.. al googlend kom ik op filmpjes van mensen die het voordoen, maar niet die het uitleggen.. iemand? | |
Mathemaat | zondag 16 december 2012 @ 16:13 |
Ik zal dit simpel uitleggen Probeer zelf een simpele vector (x,y) linksom te roteren met een 2 keer 2 matrix, zodat de vector zijn lengte behoudt. Je kunt ook dan vervolgens vectoren als (x,y,z) roteren door drie keer één as niet te roteren (drie rotaties), dus met die rotatie matrices in jouw link voor in de drie dimensies. | |
dramatic | zondag 16 december 2012 @ 16:14 |
Bedankt, dat had ik door De vraag is dat ook meer hoe ze op die gonio komen. | |
GlowMouse | zondag 16 december 2012 @ 16:23 |
Kijk eens op welke punten [1 0 0], [0 1 0] en [0 0 1] terecht moeten komen. | |
bezemsteeltaart | zondag 16 december 2012 @ 16:26 |
pff voel me best dom maar ga het toch vragen: Ik heb de partieel afgeleiden van L en K nodig van : /niet zozeer nodig, ik heb ze wel, maar de stappen hoe ze er aan komen is mij nogal vaag | |
Mathemaat | zondag 16 december 2012 @ 16:28 |
Oké, je snapt dan hoe je van 2 dimensies naar 3 dimensies gaat. Dus het is genoeg om alleen 2 dimensies te behandelen. Je wil vectoren roteren en omdat je wil dat de vectoren niet van lengte veranderen, roteer je ze over de éénheidscirkel. Dus teken een goniometrische cirkel zoals op de middelbare school, http://commons.wikimedia.(...)e-cirkel-sin-cos.png. Beschouw twee verschillende hoeken en druk de bijbehorende x en y component uit in zijn hoek met de sinus en cosinus. Bekijk vervolgens hoe je van de ene x naar de andere x gaat. Doe hetzelfde voor de y. | |
Riparius | zondag 16 december 2012 @ 16:39 |
Herschrijf je uitdrukking eens als 2∙K1/2∙L3/2 Nu zie je toch wel hoe je ∂(2∙K1/2∙L3/2)/∂K en ∂(2∙K1/2∙L3/2)/∂L bepaalt? | |
dramatic | zondag 16 december 2012 @ 16:43 |
Ik ben niet heel handig met die sinussen Als ik iets roteer over de eenheidscirkel dan krijg je uiteraard x=cos(a) en y=sin(a). dit geldt voor vector: [1,0] als in [x,y] nu lijkt het mij logisch dat een zelfde draaiing er voor zorgt dat de vector [0,1] dan hetzelfde krijgt maar 90 graden verder terecht komt, wat neerkomt op de afgeleides van cos en sin. Nogmaals, ik faal hier nogal mee, denk ik enigsinds in de juiste richting? | |
Oneironaut | zondag 16 december 2012 @ 16:48 |
Waarom is de verwachtingswaarde van een gekwadrateerd wiener proces gelijk aan t? | |
bezemsteeltaart | zondag 16 december 2012 @ 16:53 |
oohhh easy money, zo, bedankt. Die notatiewijze van mij is ook nooit zo denderend trouwens (van ipv naar etc) | |
dramatic | zondag 16 december 2012 @ 16:59 |
Hm nee daar klopte waarschijnlijk niet veel van. Het probleem is een beetje dat ik als eerstejaars een tweedejaarsvak als keuze heb gekozen, terwijl je voor dit vak eigenlijk lineaire algebra nodig had als voorkennis.. | |
Mathemaat | zondag 16 december 2012 @ 17:40 |
Ik ben zelf aan het blunderen. Je roteert gewoon over een cirkel en niet per se over de éénheidscirkel. Je leert dit niet bij de vak lineaire algebra. De opgave dat ik je gaf, ziet er niet echt prettig uit (nu ik het zelf probeer). Sorry, ik heb zelf niet echt veel tijd om je te helpen. Je moet daarom op Riparius wachten, die wil je vast wel helpen. | |
GlowMouse | zondag 16 december 2012 @ 17:42 |
Precies dat ja. Vervolgens kun je een vector [a; b] schrijven als a*[1; 0] + b*[0; 1], en dan moet je kijken wat er gebeurt als je dit met de rotatiematrix vermenigvuldigt. | |
Riparius | zondag 16 december 2012 @ 18:09 |
Het heeft uiteindelijk te maken met de definities van de cosinus en de sinus aan de hand van de eenheidscirkel. Je kunt ook heel fraai met vectoren werken om in te zien hoe de coördinaten (x;y) van een punt P zijn gerelateerd aan de coördinaten (x';y') van het beeld P' van P bij een rotatie om de oorsprong over een hoek θ. Je weet dat de vectoren ex en ey met lengte één langs de positieve x-as resp. langs de positieve y-as een (orthonormale) basis vormen voor de cartesische coördinaten. Hebben we nu de vector p = OP met als eindpunt P(x;y), dan geldt dus: (1) p = x∙ex + y∙ey Laten we zeggen dat de basis {ex,ey} bij een rotatie om de oorsprong over een hoek θ overgaat in {ex',ey'} en dat vector p daarbij overgaat in vector p'. Dan geldt dus: (2) p' = x∙ex' + y∙ey' Als we nu de beeldvectoren ex' en ey' uit kunnen drukken in ex en ey, dan kunnen we die uitdrukkingen invullen in (2) en zo dus de coördinaten van het eindpunt van vector p' oftewel de coördinaten (x';y') van het beeldpunt P' uitdrukken in de coördinaten (x;y) van punt P. Welnu, het eindpunt (1;0) van vector ex gaat bij rotatie om de oorsprong over een hoek θ per definitie over in een punt met coördinaten (cos θ ; sin θ). Dat is een rechtstreekse consequentie van de definitie van de cosinus en de sinus aan de hand van de eenheidscirkel. Dus hebben we: (3) ex' = cos θ ∙ ex + sin θ ∙ ey Het is iets lastiger te zien hoe je ey' uit kunt drukken in ex en ey, maar bekijk dit eens als volgt. Als we de basis {ex,ey} roteren over een rechte hoek tegen de klok in, dan gaat vector ex over in vector ey en gaat vector ey over in vector -ex. Kiezen we nu even {ey,-ex} als basis, dan heeft het eindpunt van vector ey in deze basis de coördinaten (1;0), zodat het beeld van ey bij rotatie om de oorsprong over een hoek θ dus een vector ey' geeft waarvan de coördinaten van het eindpunt in deze basis weer per definitie gelijk zijn aan (cos θ ; sin θ), zodat dus geldt: ey' = cos θ ∙ ey + sin θ ∙ (-ex) En omdat sin θ ∙ (-ex) = -sin θ ∙ ex hebben we dus: (4) ey' = cos θ ∙ ey - sin θ ∙ ex Door nu (3) en (4) te substitueren in (2) krijgen we dus: (5) p' = x∙(cos θ ∙ ex + sin θ ∙ ey) + y∙(cos θ ∙ ey - sin θ ∙ ex) En door (5) uit te werken en de termen met ex en ey weer te hergroeperen krijgen we dan: (6) p' = (x∙cos θ - y∙sin θ)∙ex + (x∙sin θ + y∙cos θ)∙ey En aangezien voor de coördinaten (x';y') van het eindpunt P' van vector OP' = p' geldt p' = x'∙ex + y'∙ey hebben we dus: (7a) x' = x∙cos θ - y∙sin θ (7b) y' = x∙sin θ + y∙cos θ Het is uiteraard ook mogelijk om omgekeerd de coördinaten (x;y) van het origineel P uit te drukken in de coördinaten (x';y') van het beeld P' en dat zou je kunnen doen door x en y op te lossen uit (7a) en (7b). Maar je kunt ook bedenken dat punt P'(x';y') weer overgaat in punt P(x;y) bij een rotatie om de oorsprong over een hoek -θ, zodat we door verwisseling van (x;y) en (x';y') en met gebruik van de identiteiten cos(-θ) = cos θ en sin(-θ) = -sin θ uit (7a) en (7b) direct kunnen afleiden dat ook geldt: (8a) x = x'∙cos θ + y'∙sin θ (8b) y = -x'∙sin θ + y'∙cos θ Je opmerking dat differentiatie van de cosinus en de sinus functies beantwoordt aan een rotatie over een rechte hoek tegen de klok in is overigens juist, zie ook hier. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 18-12-2012 18:25:31 ] | |
dramatic | zondag 16 december 2012 @ 20:01 |
Erg veel dank voor deze uitvoerige uitleg! | |
twaalf | zondag 16 december 2012 @ 21:42 |
E(X^2)=E(X)^2+V(X), en E(X)=0 en V(X)=t. | |
Quyxz_ | maandag 17 december 2012 @ 14:24 |
Soort van vervolgvraag hierop. Ik probeer nu deze op te lossen: http://www.wolframalpha.c(...)+0%2C+u%28L%29+%3D+0 Echter krijg ik weer de 0-oplossing. Slechts als ik 1 van de 2 randvoorwaarden toevoeg krijg ik een oplossing van de vorm waar ik naar op zoek ben, maar uiteraard wel verschillende oplossingen. Wat doe ik nu weer fout? | |
Oneironaut | maandag 17 december 2012 @ 15:28 |
Akkoord. Had ik. Waarom V(X)=t? | |
thenxero | maandag 17 december 2012 @ 16:09 |
Wat gebruik je als definitie van je Wiener proces? Ik ken de definitie dat W een Wiener proces is als (onder andere) W(t) - W(s) normaal verdeeld is met gemiddelde 0 en variantie t-s. | |
Riparius | maandag 17 december 2012 @ 16:15 |
Je doet deze keer niets fout, maar het is hier zo dat je randvoorwaarden u(0) = 0 en u(L) = 0 maken dat u(x) = 0 inderdaad de (enige) oplossing is van je DV. Je kunt dit gemakkelijk inzien door als randvoorwaarden u(0) = 0 en u(L) = c te nemen (klik), dan zie je dat u(x) een functie is met een constante factor c, zodat de functie dus identiek gelijk wordt aan nul voor c = 0. Wellicht heb je dus je randvoorwaarden niet goed overgenomen van de oorspronkelijke opgave. | |
gaussie | maandag 17 december 2012 @ 18:04 |
Ik heb een vraag over galois theory. Stel we hebben de volgende situatie.Stel L is een splitting field voor een polynoom f over K. Verder geldt dat E een subfield is van L dat tevens K bevat. Laat phi een K-monomorphism zijn van E into L. Waarom is L ook een splitting field voor f over E en phi(E)? | |
Mathemaat | maandag 17 december 2012 @ 18:51 |
L is ook een splitting field van f over E, omdat je E nog met de resterende nulpunten van f uitbreidt tot L. Hetzelfde geldt volgens mij ook voor phi(E). | |
gaussie | maandag 17 december 2012 @ 19:07 |
Je uitleg volg ik niet helemaal. Zou je dit kunnen verduidelijken met een voorbeeld? Speelt de monomorphism nog een rol? | |
Mathemaat | maandag 17 december 2012 @ 20:17 |
Bekijk f=(x^2+1)(x^2-2) met coëfficiënten in . De splittingfield is dan . De subfields, zodat bevat is, is dan , en . Nu is het makkelijk inzien dat de splittingfield van , en is. Een K-monomorfisme stuurt alle elementen uit K naar K en de uitbreidingselementen worden injectief naar de uitbreidingselementen gestuurd. Dus phi(E) is dan gewoon E en phi(E_1) is dan of E of E_1 of E_2 of , als ik de definitie van een K-monomorfisme goed begrepen heb. [ Bericht 2% gewijzigd door Mathemaat op 18-12-2012 16:18:06 ] | |
Beverwijker | maandag 17 december 2012 @ 23:24 |
Kan iemand mij eens vertellen hoe je een vergelijking moet maken bij een formule ? | |
thenxero | dinsdag 18 december 2012 @ 00:02 |
Wat voor vergelijking wil je maken met wat voor formule? | |
Riparius | dinsdag 18 december 2012 @ 00:04 |
Nee, dat kan niemand je vertellen als je niet wat meer bijzonderheden geeft, of een uitgewerkt voorbeeld van wat je bedoelt. | |
Beverwijker | dinsdag 18 december 2012 @ 19:35 |
Sorry hier de opgave \ [ Bericht 1% gewijzigd door Beverwijker op 18-12-2012 19:37:15 (verkeerde afbeelding) ] | |
thenxero | dinsdag 18 december 2012 @ 19:39 |
prijs = 12.75 + 8.95*t prijs = 120.15 Kan je dit samenvatten in één vergelijking/formule (is hetzelfde)? | |
Platina | dinsdag 18 december 2012 @ 20:01 |
[quote] Op dinsdag 18 december 2012 19:39 schreef thenxero het volgende: [..] edit: de verkeerde gequote zie ik nu | |
Riparius | dinsdag 18 december 2012 @ 20:11 |
Noem de huurprijs in euro's uitgedrukt H en de tijdsduur uitgedrukt in dagen T, dan heb je dus: (1) H = 12,75 + 8,95∙T Nu is ook gegeven dat: (2) H = 120,15 Uit (1) en (2) volgt dus: (3) 12,75 + 8,95∙T = 120,15 Een lineaire vergelijking als deze oplossen met 'inklemmen' is flauwekul, dus daar doe ik niet aan. Als je van beide leden van (3) 12,75 aftrekt krijg je: (4) 8,95∙T = 107,4 En beide leden van (4) delen door 8,95 geeft dan: (5) T = 12 | |
thenxero | dinsdag 18 december 2012 @ 21:54 |
Misschien beter als je niet direct alles voordoet. | |
Borizzz | dinsdag 18 december 2012 @ 21:57 |
Inklemmen is inderdaad je reinste onzin; echter op vmbo behoort dit tot de reguliere stof. Dus er mogen m.i. best vragen over gesteld worden hier. Dit topic is er voor wiskunde vragen en niet alleen voor alleen voor de slimste FOK!kers. | |
twaalf | dinsdag 18 december 2012 @ 21:59 |
En wat mag inklemmen dan wel zijn? | |
GlowMouse | dinsdag 18 december 2012 @ 21:59 |
http://en.wikipedia.org/wiki/Bisection_method | |
Borizzz | dinsdag 18 december 2012 @ 22:00 |
http://www.wisfaq.nl/show3archive.asp?id=37167&j=2005 | |
Beverwijker | dinsdag 18 december 2012 @ 22:10 |
Trouwens , Van mijn leraar hoeven wij niet in te klemmen hij heeft ons een trucje gegeven hoe je het ook kan doen . Als we soms les hebben van een andere leraar dan moeten we het wel gebruiken dus het is wel altijd handig om te weten. | |
twaalf | dinsdag 18 december 2012 @ 22:14 |
Zo nu en dan is dat wel geinig om te zien in dit topic... staat er in de vraag 'los op met inklemmen' --> nee dat is flauwekul, zo gaan we het doen. Staat er in de vraag één klein detail verkeerd opgeschreven --> nee de vraag klopt niet en ik los hem ook niet op voor je. | |
Riparius | dinsdag 18 december 2012 @ 22:19 |
Tja, je zult ongetwijfeld hebben gemerkt dat ik nogal eens compete uitwerkingen of afleidingen post, en dat doe ik niet zonder reden, ik hoop namelijk dat de vragenstellers, maar mogelijk ook andere meelezers die het nodig hebben, daar iets van opsteken. Een helder uitgewerkt vraagstuk kan dienen als model om te imiteren en zo soortgelijke vraagstukken zelf te leren oplossen. In oudere schoolboeken zie je dan ook dat alle stof compleet wordt uitgelegd en dat werkt het beste. Maar omdat dat in de huidige schoolboeken niet niet meer gebeurt en er kennelijk ook geen les meer wordt gegeven krijg je mensen die het zelfs aan de meest basale vaardigheden ontbreekt en die ook niet in staat zijn om een uitwerking helder en correct op te schrijven, en dat is niet goed. | |
GlowMouse | dinsdag 18 december 2012 @ 22:22 |
Heb je er wel eens over gedacht om een wiki te beginnen, en die te vullen met voorbeelden aan de hand van de antwoorden die je hier geeft? Dat je die wiki uitbreidt elke keer als er hier een vraag gesteld wordt? | |
twaalf | dinsdag 18 december 2012 @ 22:27 |
De doelgroep heeft waarschijnlijk toch geen zin om te zoeken. Als ze dat wel hadden, hadden ze al duizenden van dat soort wiki's gevonden. | |
Riparius | dinsdag 18 december 2012 @ 22:31 |
Ja, maar daar gaat nog een hoop werk in zitten, net als in het (niet gerealiseerde) idee van Bram om lijsten te maken met linkjes naar vrij beschikbaar studiemateriaal per gebied van de wiskunde. Hij wilde daar een topic(reeks) van maken, maar ik heb toen gezegd dat een Wiki (binnen FOK) beter zou zijn omdat die zich beter leent om voortdurend te actualiseren en om het materiaal te ordenen, vooral als dat wat omvangrijker wordt. Maar ook daar gaat erg veel tijd in zitten. Mensen die oude posts van mij willen vinden moeten maar de zoekfunctie van FOK gebruiken, of anders Google, met de toevoeging site:.fok.nl achter de zoekopdracht. | |
thenxero | dinsdag 18 december 2012 @ 22:33 |
Klopt ja (maar ook wel begrijpelijk soms) Ik ben het er inderdaad mee eens dat de huidige schoolboeken gebrekkig zijn qua voorbeelden. Toch werkt het didactisch denk ik beter als je het eerst aan de leerling over laat om te laten zien wat hij wel en niet snapt aan de vraag. Dan geef je een hint. En als het een rommeltje wordt dan geef je eventueel een complete uitwerking. Op die manier is het wat interactiever, en gaat de oplossing denk ik ook wat minder snel over het hoofd van de leerling heen. | |
Riparius | dinsdag 18 december 2012 @ 22:55 |
Dat doe ik ook wel, als ik er zin in heb en er tijd voor heb, maar dan zie je - helaas - toch vrij vaak dat je echt iedere stap er uit moet trekken en dan heb je al snel een half dozijn posts over iets wat in pakweg vijf regeltjes is op te schrijven. En dan heb je soms ook nog mensen die het spelletje gewoon niet mee willen spelen, maar die alleen een kant en klare oplossing van 'de som' willen hebben (ook al begrijpen ze die misschien niet eens) en die grof worden als ze merken dat ik ze zelf de oplossing wil laten vinden (ja, ik heb voorbeelden daarvan hier op FOK). Nu, ik zit er niet op te wachten om me te laten schofferen, dus dat is al een voldoende reden voor mij om niet te snel te beginnen met het geven van een hint als ik de indruk heb dat dat toch paarlen voor de zwijnen is. | |
Borizzz | dinsdag 18 december 2012 @ 23:02 |
Ik denk dat menigeen (en ikzelf ook toen ik nog in de opleiding zat) jouw hulp erg waardeert. Ik ben er destijds stukken verder meegekomen in de complexe functietheorie, projectieve meetkunde en grafentheorie. | |
thenxero | dinsdag 18 december 2012 @ 23:03 |
Dat staat ook buiten kijf. | |
Borizzz | dinsdag 18 december 2012 @ 23:09 |
Maar dat mag ook wel eens gezegd worden als ik lees dat er ook users zijn die hier totaal verkeerd mee om gaan. | |
Riparius | dinsdag 18 december 2012 @ 23:14 |
Zeker, maar jij deed een wiskunde opleiding en was dus, naar ik aanneem, ook goed gemotiveerd. Ik doelde meer op mensen die niets met wiskunde hebben maar gewoon willen dat iemand anders even hun huiswerk maakt of die 's avonds laat (en bij voorkeur 's zondags) aan komen zetten met een opgave die de volgende ochtend ingeleverd moet worden of die de volgende ochtend een proefwerk hebben waar ze nog niets aan gedaan hebben. Meestal - maar niet altijd - is wel goed in te schatten of het zin heeft tijd in iemand te steken in de vorm van een uitgebreide uitleg of een dialoog over een vraagstuk. | |
gaussie | dinsdag 18 december 2012 @ 23:25 |
Ik zie het nu. Ik had moeten inzien dat de coefficieinten van f niet veranderen. Aangezien K een deelverzameling van E is, geldt automatisch dat f een polynoom over E is. | |
flopsies | woensdag 19 december 2012 @ 00:05 |
Kan iemand mij uitleggen waarom de matrixvergelijking Ax=0 meerdere oplossingen heeft behalve x=0 als A niet reduceerbaar is tot de identiteitsmatrix? In het boek staat dus dat er een niet triviale oplossing is als A niet reduceerbaar is tot I. zijn er niet oneindig veel oplossingen? want als je A rij-reduceert en hij is niet reduceerbaar tot I, heb je toch meer variabelen dan vergelijkingen? (A is een n x n matrix ) [ Bericht 3% gewijzigd door flopsies op 19-12-2012 00:22:15 ] | |
twaalf | woensdag 19 december 2012 @ 00:33 |
Ja, er zijn dan oneindig veel oplossingen. Want als x een niet-triviale oplossing is, is cx ook een oplossing voor elke c. | |
flopsies | woensdag 19 december 2012 @ 00:42 |
Oké, dankje | |
Amoeba | woensdag 19 december 2012 @ 07:08 |
Is dat niet jammer, om maar telkens voorgekauwde oplossingen te geven aan iedereen omdat sommige het verknald hebben bij je? Je zou, wanneer ze kwaad worden, ook gewoon kunnen negeren. Je hoeft ze uiteraard niet te helpen. | |
thenxero | woensdag 19 december 2012 @ 12:24 |
Eens | |
Riparius | woensdag 19 december 2012 @ 17:35 |
Het punt is dat ik antwoorden niet alleen post voor de vragenstellers maar dat ik hoop of verwacht dat anderen daar ook wat aan hebben. Deze topicreeks heeft in verhouding tot het aantal (verschillende) posters vrij veel views, zodat je moet aannemen dat er ook veel passieve meelezers zijn die deze topicreeks kennelijk de moeite waard vinden. En daarnaast is het zo dat het meestal minder tijd kost om direct een oplossing in een paar regels netjes op te schrijven dan om alleen een hint te geven en vervolgens te gaan zitten afwachten wat de vragensteller daar mee doet en daar dan weer op te moeten reageren. Ik maak in principe in eerste instantie verder geen onderscheid tussen gekende onsympathieke en sympathieke posters, alleen de vraag is bepalend. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 19-12-2012 23:10:38 ] | |
HenkXL | woensdag 19 december 2012 @ 17:51 |
Ik heb een vraag die wellicht zeer makkelijk is voor veel mensen. Maar ik weet het dus niet zeker en aangezien ik al jaren van de middelbare school ben is het nogal weggezakt Stel je hebt 12 wedstrijden waarbij de uitkomst alleen winst en verlies kan zijn ( dus niet gelijk ). Hoeveel verschillende combinaties zijn er dan mogelijk? Kan je dan de NcR formule ( 12C2 ) gebruiken wat dus 66 combinaties betekent? Of moet het op een andere manier? Alvast bedankt iig. | |
Mathemaat | woensdag 19 december 2012 @ 18:00 |
Stel je had maar 2 of 3 wedstrijden. Hoeveel zou het er dan zijn? | |
Riparius | woensdag 19 december 2012 @ 18:04 |
Je vraag is te onduidelijk om te kunnen beantwoorden. Als je een soort totoformulier hebt, maar dan eentje met 12 wedstrijden en slechts twee kolommen, dan zijn er 212 = 4096 mogelijkheden voor de uitkomst van de 12 wedstrijden. | |
Amoeba | woensdag 19 december 2012 @ 18:05 |
Inderdaad is een beetje de vraag of TS over 12 identieke of unieke wedstrijden spreekt. | |
HenkXL | woensdag 19 december 2012 @ 18:09 |
Dank voor de reacties. Ik doelde op 12 unieke wedstrijden met 2 uitkomst mogelijkheden. Dan zou ik de ''formule'' van Riparius moeten gebruiken, wat dus resulteert in 4096 mogelijkheden. Dat klinkt eigenlijk ook wel wat logischer. | |
Amoeba | woensdag 19 december 2012 @ 18:10 |
Inderdaad. Snap je ook waarom dit zo is? | |
flopsies | woensdag 19 december 2012 @ 18:30 |
Dankje hiervoor :-) Ik post niet zo heel vaak maar ik sla al jouw (uitgebreide) antwoorden (op vragen van anderen) op! | |
Riparius | woensdag 19 december 2012 @ 18:36 |
Dank voor je reactie. Lees ook even mijn tip om posts optimaal leesbaar op te slaan en af te drukken. | |
Amoeba | woensdag 19 december 2012 @ 19:10 |
Bij ons op school hebben ze echt zo'n versie van Word waarbij al die dingen niet werken. Het symbool voor een hoek wordt in een apart lettertype weergegeven, anders is het een vierkantje. Het leuke is dan dat 84pts dan overeenkomt met 12pts in Times New Roman. Om even ruwweg aan te geven dat je lay-out dan wel verknald is. Mijn docent vroeg adhv mijn concept PWS iets over 3 termen welke ik gebruikte, oblate en prolate sferoïden en sfeer als (wiskundig) synoniem voor het oppervlak van een bol. Dit is toch allemaal correct? Oblaat en prolaat geeft de vorm van de sferoïde aan, in een gefixeerd xyz-stelsel. | |
Riparius | woensdag 19 december 2012 @ 19:27 |
Je hebt toch zelf wel een computer met Microsoft Word (of anders Open Office, dat werkt ook)? Het teken ∠ (U+2220 ANGLE) zit inderdaad niet in Times New Roman of in Minion Pro, maar bijvoorbeeld wel in het (kosteloze) Linux Libertine dat kwalitatief ook heel goed is. Mixen van fonts is ook geen probleem, als je eerst alles in Linux Libertine zet en daarna alles weer terug in Minion Pro, dan blijven de tekens zoals ∠ die ontbreken in Minion Pro gewoon in Linux Libertine staan. Dat zijn inderdaad allemaal courante termen, maar ik weet natuurlijk niet of je ze in je tekst ook correct gebruikt. | |
Amoeba | woensdag 19 december 2012 @ 20:30 |
Ik ben in het bezit van een computer ja, ik heb 't ding zelf in elkaar gestoken voor 3500 euro, ongeveer. 3 Samsung 2450BX op 2x de GTX580, om even een greep in de specificaties te doen. Ik geloof wel dat ik ze correct gebruik. Ik spreek over de projectie van een sfeer op een (tweedimensionaal) vlak. | |
Riparius | woensdag 19 december 2012 @ 21:13 |
De specs zeggen natuurlijk niets over de mogelijkheid om met Unicode te werken, dat is bij Windows al standaard vanaf XP geïntroduceerd eind 2001, en Linux is ook al heel lang op Unicode gebaseerd. Alleen duurt het kennelijk vele jaren voordat dat soort dingen een beetje doordringen tot sommige mensen. Anno 2012 zijn er nog hele volksstammen die blijven pielen met MS-DOS codes uit de jaren '80 van de vorige eeuw. Dat lijkt me correct, hoewel sfeer dacht ik in het Nederlands niet zo'n gebruikelijk woord is. In een document waarnaar je eerder linkte wordt gesproken van de projectie van een bol of de aardbol of het aardoppervlak op een plat vlak, het woord sfeer komt in dat hele document niet voor. | |
Amoeba | woensdag 19 december 2012 @ 21:29 |
Dit was ook zijn (principiële) bezwaar; het is geen gebruikelijk woord. Echter vond hij zinnen zoals "Echter is er genoeg materie in de diversiteit der cilindrische projecties om een vullend werkstuk te creëeren." onzinnig, te moeilijk en vooral niet doen. Even een opsomming van mijn zinnen waarin ik 'sfeer' gebruik: Ik wil echter maar een klein deel van dit onderwerp behandelen, namelijk de projecties van een sfeer op een tweedimensionaal vlak. Nu behandel ik enkel de situaties waarvoor geldt dat het te projecteren oppervlak een sfeer betreft. Beetje dubbelop, maar dit is beperking 1. De cilindrische projectie beschrijft een methode om de sfeer af te beelden op een plat vlak met behulp van de cilinder. Deze projecties zijn geen directe projecties van de sfeer op een mantel om de bol. Op de kaart worden ook de grootcirkels, op een sfeer aangeduid met meridianen, als rechte lijnen weergegeven. (Deze zin ga ik wijzigen in het aardoppervlak, immers meridianen komen niet per definitie voor op een sfeer maar juist op het aardoppervlak oid..) Stel dat we een willekeurig punt op de sfeer nemen, Ik zou je natuurlijk een keer het document kunnen sturen, dat je het een keer doorleest wanneer je zin hebt. Ik moet eerst nog legio wijzingen en addities doorvoeren, dus nu nog niet. Ik stelde je hulp met de Mercatorprojectie zeer op prijs, dus misschien dat je nogmaals wat tijd voor me vrij kunt maken? | |
Riparius | woensdag 19 december 2012 @ 21:48 |
Ja, dat is ook mijn bezwaar. Je kunt je het beste houden aan de gebruikelijke terminologie in serieuze (wetenschappelijke) publicaties in het Nederlands over jouw specifieke onderwerp. Ik heb zelf de indruk dat het woord sfeer in het Nederlands vooral in een strict wiskundige contekst wordt gebruikt, zoals in het begrip Riemann-sfeer. Deze zin loopt niet lekker, is niet echt goed Nederlands, en klinkt ook wat te hoogdravend. Maak er iets van als de literatuur over de verschillende cilinderprojecties biedt voldoende materiaal voor een uitgebreid werkstuk. Ik wil je werkstuk t.z.t. best doornemen, maar dat kan dan pas ruim na de feestdagen. | |
Amoeba | woensdag 19 december 2012 @ 22:05 |
Volgens deze URL: http://nl.wikipedia.org/wiki/Sfeer_(wiskunde) is aanname nog niet eens zo slecht. Je spreekt van een strikt wiskundige definitie, op zich wel een aardigheidje dat mijn werkstuk ook over een wiskundig onderwerp gaat. Nu even zonder satire, raad je het me aan om het te vervangen door boloppervlak, of iets in die trend? Of is het correct genoeg om te laten staan, afgezien van het dagelijkse gebruik? Ik maak een aantekening. Ik houd van hoogdravende zinnen, maar ik zie zo even niet in wat er precies (taalkundig) niet goed aan is. Kun je dit nader toelichten? Inderdaad, na de feestdagen pas. Het doel is om mijn werkstuk medio februari af te hebben, met mijn begeleidend docent heb ik afgesproken dat ik eind januari een conceptversie inlever, en ik loop ruim op schema. Onze laatste ontmoeting was dinsdag jongstleden, met de toen doorgenomen stof vond hij dat ik me op 80% bevond met voldoende vwo-diepgang. Echter sprak hij ook over iets 'persoonlijks', vooral bij de stereografische projectie. Is het mogelijk dat ik de GPS coördinaten van (bijvoorbeeld) Eindhoven (E), Amsterdam(A) en Venlo (V) opzoek, uit deze coördinaten de hoek AEV afleidt, en dit bijvoorbeeld met een (Mercator)kaart van Nederland bevestig? Ofwel, de hoek die deze 3 plaatsen met elkaar maken op het aardoppervlak is dus gelijk aan de hoek die loxodromen met elkaar maken, als ik het goed begrepen heb. Maar hoe haal ik deze hoek eruit? Zo'n 'toepassing' moest ik gebruiken voor mijn presentatie/werkstuk om te laten zien dat mijn werkstuk authentiek is. [ Bericht 0% gewijzigd door Amoeba op 19-12-2012 22:22:21 ] | |
Riparius | woensdag 19 december 2012 @ 23:02 |
Op grond van het artikel waarnaar je linkte en artikelen in de Nederlandse Wikipedia had ik de indruk dat het woord sfeer niet zo gebruikelijk is in Nederlandstalige publicaties over cartografie. Dat het een courante wiskundige term is weet ik ook wel, maar zoals gezegd kun je het beste aansluiting zoeken bij wat in de literatuur over jouw specifieke onderwerp gebruikelijk is, en dat zul je toch echt zelf na moeten gaan, ik ken de literatuur over cilindrische kaartprojecties niet. - materie in de diversiteit kun je zo niet laten staan, dat zou diversiteit in de materie moeten zijn, maar dan nog is het gebruik van het woord materie hier niet correct. Het woord materie wordt gebruikt in de fysica, en ook wel om het geheel aan te duiden van een bepaald onderwerp, zoals in: dit is een moeilijke materie. Materie duidt een niet-telbare kwantiteit aan, bij discrete (telbare) kwantiteiten gebruik je het woord materiaal. Je kunt bijvoorbeeld niet zeggen het NIOD heeft veel materie over de Tweede Wereldoorlog, dat moet zijn veel materiaal (of: veel documentatie). - der klinkt hier wat archaïsch hoewel het niet fout is. Naamvallen van lidwoorden zijn wel courant in gezegdes en staande uitdrukkingen, en uiteraard in citaten van oudere teksten of titels van geraadpleegde oudere publicaties. - een vullend werkstuk kun je zo niet laten staan, het gebruik van een actief deelwoord is hier in ieder geval fout. Het werkstuk zelf vult niets, jij stelt een werkstuk met een rijke inhoud in het vooruitzicht. Een goed gevuld werkstuk kan echter ook niet, dat klinkt als een blik rijk gevulde erwtensoep of iets anders uit een folder van de plaatselijke supermarkt. - creëeren moet creëren zijn. Dat lijkt me niet moeilijk, geografische coördinaten van plaatsen op aarde zijn gemakkelijk op te zoeken via Google Maps. Daar mag je de komende tijd eens over gaan nadenken. Hiervoor heb je boldriehoeksmeting nodig. Op de site van het Nederlands schoolmuseum zijn voldoende boekjes te vinden over boldriehoeksmeting uit de tijd dat dat nog een schoolvak was. Ah zo, en daarom vraag je mij even om het op te lossen? [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 19-12-2012 23:21:39 ] | |
twaalf | woensdag 19 december 2012 @ 23:17 |
Dit is geen hoogdravende zin hoor. Een zin is niet hoogdravend als de zin niet prettig leest. Schrijf je je werkstuk om gelezen te worden of niet? | |
Amoeba | woensdag 19 december 2012 @ 23:37 |
Boldriehoeksmeting, staat genoteerd. Neen, niet direct oplossen, ik vroeg me af of dit mogelijk was. Prima opgelost zo En er rijst direct een vraag op. Bij sferische trigonometrie worden lijnstukken vervangen door geodeten. Maar op mijn kaart zijn juist de loxodromen rechte lijnen, als ik dan de hoek op de kaart opmeet, moet die dan niet equivalent zijn aan de hoek de de loxodromen maken op de sfeer? Bij de bolmeetkunde gaat men juist met orthodromen werken, zo zegt het Wikipedia artikel. Er staat slechts 1 vraag [ Bericht 53% gewijzigd door Amoeba op 19-12-2012 23:48:09 ] | |
Riparius | donderdag 20 december 2012 @ 01:10 |
Ah, op deze manier. Je had het over de hoek Amsterdam - Eindhoven - Venlo op het aardoppervlak, en dan denk ik toch automatisch aan een boldriehoek. Maar de zijden hiervan zijn inderdaad geen loxodromen. Als je ∠AEV op je kaartprojectie wil berekenen, dan bereken je eerst de cartesische coördinaten A(x1;y1), E(x2;y2) en V(x3;y3) van de drie punten op je kaart en dan kun je ∠AEV op de kaart berekenen. Bij een Mercatorprojectie is dit dan inderdaad de hoek tussen de loxodromen EA en EV. | |
Amoeba | donderdag 20 december 2012 @ 12:14 |
Ik vroeg me af of het niet mogelijk was om dit andersom te doen, dus eerst de hoek die de loxodromen op het aardoppervlak met elkaar maken te berekenen met behulp van de bol, en dan een aha-momentje genereren door even heel intelligent met een Mercatorkaart aan te tonen dat dit juist is. Dat is wat mijn docent vroeg, althans. Het is natuurlijk ook gewoon 'goed' om eerst de Mercatorkaart hiervoor te gebruiken, en dan alsnog op basis van de bewezen conformiteit te stellen dat dit dan de hoek tussen loxodromen AE en EV moet zijn. Maar dan mis ik dat ziehiertada momentje waarmee ik in een klap de authenticiteit en de garantie op een goed cijfer veilig stel. Met authenticiteit bedoel ik natuurlijk dat ik het niet doodleuk van internet gekopieerd heb, maar er zelf ook moeite in gestoken heb en dergelijke. En beter gezegd, dat ik het bovenal begrepen heb. Ik ga deze (na)middag beginnen aan het corrigeren van het werkstuk, heb nog flink wat kanttekeningen gekregen met kleine verbeterpuntjes, veelal taalkundig en wat gevraagde explicitering. | |
Amoeba | donderdag 20 december 2012 @ 12:54 |
thanks modje, maar gare layout van fok na edits ofzo [ Bericht 91% gewijzigd door Amoeba op 20-12-2012 13:34:50 ] | |
Amoeba | donderdag 20 december 2012 @ 13:34 |
En ik zat even na te denken over het bewijs van de equivalentie van de orthografische cilinderprojectie van Lambert. Aangenomen dat voor een punt (λ;φ) geldt dat de cartesische coördinaten (x;y) luiden: x = Rλ y = Rsin(φ) Als ik dan uitga van 'jouw methode' om aan te tonen dat het product van de schaalfactoren constant moet zijn om de equivalentie te bewijzen dan kom ik ongeveer op dit uit. sh(λ;φ) = Δx/Δa waarbij a de beweging over de bol is Δx = RΔλ Δa = Rcos(φ)*Δλ Hierbij neem ik in acht dat de lengte v/d parallelcirkel gelijk is aan: Rcosφ, waarbij φ de breedtegraad is. ofwel sh(λ;φ) = Δx/Δa = (RΔλ)/(Rcos(φ)*Δλ) = 1/cosφ = secφ Nu sv(λ;φ) = Δy/Δa, waarbij a wederom de beweging over de aardbol is, deze keer in verticale richting. Δa = RΔλ Alleen Δy vind ik moeilijk af te leiden. Ik kom wel op iets gaars uit dat: Δy = R(tan(φ+Δφ) - tan(φ)) Of is dit dan weer niet algebraïsch te bewijzen, maar juist meetkundig? Ik las ergens iets dat het eenvoudig was om aan te tonen dat een smalle ring tussen 2 parallellen dezelfde oppervlakte op de kaart heeft als op de bol. Maar dit klopt toch niet, aangezien deze ring toch veel groter wordt, en niet smaller? | |
Riparius | donderdag 20 december 2012 @ 21:04 |
Wat je hier doet klopt niet. Voor de orthografische cilinderprojectie van Lambert hebben we: x = s0∙R∙λ y = s0∙R∙sin φ De afbeelding in horizontale richting is hierbij hetzelfde als bij de Mercatorprojectie, en de formule voor de afbeelding in verticale richting had ik hier al afgeleid. Voor de horizontale schaling sh(λ;φ) van een punt met geografische coördinaten (λ;φ) had ik verder hier al afgeleid dat we hebben: sh(λ;φ) = s0∙sec φ Nu de verticale schaalfactor sv(λ;φ) voor het punt met geografische coördinaten (λ;φ) bij de orthografische cilinderprojectie van Lambert. Voor de (georiënteerde) afstand a tot de evenaar gemeten langs een meridiaan hebben we a = R∙φ en dus da/dφ = R en dus dφ/da = 1/R. De verticale schaalfactor wordt dus: sv(λ;φ) = dy/da = dy/dφ ∙ dφ/da = s0∙R∙cos φ ∙ (1/R) = s0∙cos φ En voor het product van de horizontale en verticale schaalfactoren voor het punt met geografische coördinaten (λ;φ) hebben we dus: sh(λ;φ)∙sv(λ;φ) = s0∙sec φ ∙ s0∙cos φ = s02 Het product van de horizontale en verticale schaalfactoren is dus onafhankelijk van λ en φ en daarmee een constante, zodat er sprake is van een equivalente oftewel oppervlaktegetrouwe projectie, QED. Uiteraard kunnen we hetzelfde ook meetkundig bewijzen, en het aardige is dat dat al heel lang geleden is gedaan door Archimedes. Hij bewees namelijk dat de oppervlakte van een bolsegment gelijk is aan de oppervlakte van de projectie van dat bolsegment (of: bolschijf) op een omgeschreven cilinder van de bol als de as van de omgeschreven cilinder loodrecht op de snijvlakken van het bolsegment staat. Een consequentie hiervan is dat de oppervlakte van de gehele bol dus ook gelijk is aan de manteloppervlakte van de omgeschreven cilinder. Heb je een bol met straal r, dan heeft de mantel van de omgeschreven cilinder een omtrek 2πr en een hoogte 2r, zodat de oppervlakte van de bol dus gelijk is aan 2πr∙2r = 4πr2. Je idee dat de oppervlakte van een gebied op aarde tussen twee parallellen niet gelijk zou zijn aan de projectie daarvan op een omgeschreven cilinder met de as loodrecht op de vlakken van de parallellen klopt gewoon niet. Denk daar maar eens over na. | |
Riparius | donderdag 20 december 2012 @ 21:13 |
Dit is veel minder eenvoudig dan je denkt, en omdat je al de mist ingaat met het berekenen van wat eenvoudige schaalfactoren denk ik dat je hier beter niet aan kunt beginnen. Ik heb wel een artikeltje voor je waar je eens naar zou kunnen kijken, maar de site van de MAA ligt momenteel plat, dus ik kan het artikel nu ook niet tevoorschijn toveren. Ik begrijp het, maar je krijgt niets voor niets. Als je dingen van mij overneemt kopieer je ook van internet. Had je daar al eens bij stilgestaan?
| |
Borizzz | donderdag 20 december 2012 @ 21:31 |
Riparius; had jij een (hele) tijd terug een mooie post met een bewijs van 1+1 gelijk is aan 2? Daar staat me iets van bij namelijk. Oh, en bestaan er eigenlijk wel wiskunde vragen waar je geen antwoord op hebt? Zijn er gebieden in de wiskunde waar je minder affiniteit mee hebt? | |
Riparius | donderdag 20 december 2012 @ 21:39 |
Dat was van Iblis. En nee, ik ben niet Iblis. Reken maar dat er vragen zijn waar ik geen antwoord op kan geven. Ik vind zelf dat ik maar betrekkelijk weinig wiskunde ken. En dat kan ook niet anders, want ik heb in een dictaat eens gelezen dat er veel meer wiskunde is dan in een mensenhoofd past. Vond ik wel een mooie gedachte. | |
Borizzz | donderdag 20 december 2012 @ 21:43 |
Oh was dat Iblis. Jammer dat hij er niet meer is. Ook aan hem heb ik destijds veel gehad. Inderdaad een zeer mooie gedachte. Maar ook filosofisch van aard. Je bent nooit uitgeleerd in de wiskunde; er valt altijd weer iets nieuws te ontdekken. Schitterend toch? | |
Amoeba | donderdag 20 december 2012 @ 22:02 |
Ik bedoelde klakkeloos 1 op 1. Ik denk niet dat er van een vwo'er verwacht mag worden dat hij iets nieuws uitvindt, daar moet een promovendus zich maar mee bezighouden. Excuses, post gemist. Stel dat ik de 2 bovenste parallellen nabij de noordpool zou nemen, en de ring zou projecteren. Dan krijg je toch een omtrek (zie de rek op de orthografische projectie in horizontale richting) van 2piR? Dit terwijl de lengte van de parallel toch veel kleiner is, vanwege zijn geografische breedte. Daarom komt mij dit enigszins 'raar' voor. En ik was al op de helft... En zo eenvoudig vind ik de afleiding van de verticale schaalfactor niet. Dit doet vrij weinig af aan een juist of onjuist antwoord Bram, sorry. Sterker nog, ik zou een 1/cos(x) = sec(x) zien als een vereenvoudiging, dus 'verplicht'. We laten x/x^2 toch ook niet staan wanneer we ook 1/x kunnen schrijven? [ Bericht 7% gewijzigd door Amoeba op 20-12-2012 22:28:27 ] | |
Bram_van_Loon | donderdag 20 december 2012 @ 22:04 |
Van ... = 1/cos(x) = sec(x) zou ik gewoon ... = 1/cos(x) of ... = sec(x) maken. | |
Amoeba | donderdag 20 december 2012 @ 22:07 |
| |
thenxero | donderdag 20 december 2012 @ 22:54 |
Ik ben ook wel benieuwd naar het bewijs van 1+1=2. Was dat wellicht met surreële getallen? Daarmee kan je dat soort "stellingen" wel bewijzen. edit: oh ik zie nu dat ie hierboven al staat [ Bericht 34% gewijzigd door thenxero op 20-12-2012 23:27:44 ] | |
Riparius | donderdag 20 december 2012 @ 23:37 |
Dat moet je nooit zeggen. Don't sell yourself short. Ik moest toen ik dit las meteen denken aan de ontdekking van de toen 10-jarige Penny Drastik. Tot voor kort werd gedacht dat de minimale zijde van een vierkant dat je kunt verdelen in 5 rechthoekige driehoeken waarvan de zijden pythagoreïsche tripletten vormen een lengte 9000 moest hebben, maar Penny dacht daar toch anders over en kwam op de proppen met maar liefst 12 kleinere vierkanten die zich zo laten verdelen. Ze denkt ook dat het kleinste zo te verdelen vierkant een zijde 1248 moet hebben, en tot nu toe heeft niemand haar bevindingen kunnen weerleggen. Hier kun je er meer over lezen. Ook goed leesvoer voor achterlijke FOKkers die anno 2012 nog beweren dat wiskunde niets is voor meisjes. Je vergeet te bedenken dat het aardoppervlak niet parallel loopt aan de cilinder waarop je projecteert. Naarmate je dichter bij de polen komt, correspondeert met een vaste afstand in verticale richting op de projectie een steeds grotere afstand in verticale richting (langs een meridiaan) op het aardoppervlak. Probeer maar eens met behulp van integraalrekening af te leiden dat de oppervlakte van een bolsegment inderdaad gelijk is aan de oppervlakte van de projectie van dat segment op een omgeschreven cilinder waarvan de as loodrecht staat op de snijvlakken van het bolsegment. Aanwijzing: heb je de grafiek van een functie y = f(x) met f(x) ≥ 0 op een interval [a,b], dan is de manteloppervlakte van het omwentelingslichaam verkregen door de grafiek van f op het interval [a,b] rond de x-as te wentelen gelijk aan: 2π∙∫ab f(x)∙√(1 + (f'(x))2)dx Kies een r > 0 en f(x) = √(r2 - x2) op [-r,r]. De grafiek van deze functie is uiteraard een halve cirkel met middelpunt in de oorsprong en straal r, zodat je bij wenteling om de x-as een bol krijgt met straal r. Je kunt nu integreren over een interval [p, p+h] met -r ≤ p < p+h ≤ r en dan zul je zien dat de oppervlakte van een bolsegment met hoogte h gelijk is aan 2πrh, en dus onafhankelijk van p en daarmee onafhankelijk van de positie van het segment in de bol. De secans en cosecans worden tegenwoordig op het vasteland van Europa vrijwel niet meer gebruikt. In de VS (en in mindere mate in het Verenigd Koninkrijk) wel, en daar is een heel banale reden voor: meestal schrijft men daar sin-1x en cos-1x voor resp. arcsin x en arccos x, zodat de multiplicatieve inversen van sin x en cos x dus niet zo kunnen worden genoteerd en men daarom maar csc x en sec x handhaaft. Om dezelfde reden is de cotangens nog altijd 'populair' in de VS omdat men tan-1x schrijft voor arctan x. Uiteraard zou men er beter aan doen de misleidende notaties voor de inversen van de goniometrische functies (in 1813 geïntroduceerd door de Britse wiskundige en astronoom J.F.W. Herschel, 1792-1871) eindelijk eens af te schaffen. [ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 21-12-2012 03:56:26 ] | |
Beverwijker | vrijdag 21 december 2012 @ 12:34 |
Bedankt nog voor de uitleg van de vergelijkingen ik heb er een 10 voor gehaalt!! | |
thenxero | vrijdag 21 december 2012 @ 12:52 |
De geïnteresseerden in 1+1=2 kan ik aanraden om eens dit artikel te lezen. Het enige wat je nodig hebt is verzamelingen en een gezonde dosis logica. Daarmee worden getallen geconstrueerd waaruit allerlei basale eigenschappen zijn af te leiden. Ik vond het erg leuk om te lezen . | |
Bram_van_Loon | vrijdag 21 december 2012 @ 13:16 |
Helaas denken ook veel meisjes dat nog. | |
Amoeba | vrijdag 21 december 2012 @ 13:23 |
Ik denk dat dit komt door de manier waarop wiskunde aan hen gepresenteerd wordt op het middelbaar onderwijs. Rijtjes sommen maken die uiteindelijk tot niets leiden. Als die Riparius zijn definitie van waardeloze wiskunde-educatie is, dan geef ik hem gelijk. Zeker in de eerste 4 jaar kom je binnen het vak wiskunde niets tegen dat je inspireert om verder te gaan. En daarnaast zal de diepgang ook wel missen, alhoewel je dat wel toe kunt schrijven aan het bovenstaande en iets van onwil. Riparius, ik ga je post nog een keer doornemen, vandaag weinig tijd. Knap wat Penny heeft gepresteerd, je hebt gelijk over mijn uitspraak. | |
Physics | vrijdag 21 december 2012 @ 13:53 |
Misschien hier iemand die hier uit komt? Laat zien via het minimalisatie probleem dat een eigenwaarde voor A bestaat. (A een symmetrische n-bij-n matrix , x een kolomvector) | |
GlowMouse | vrijdag 21 december 2012 @ 13:58 |
ik snap je tex-code niet; wat is de doelfunctie, wat zijn de constraints, wat is het domein voor x, en wat is de optimale oplossing? [ Bericht 36% gewijzigd door GlowMouse op 21-12-2012 14:08:12 ] | |
kutkloon7 | vrijdag 21 december 2012 @ 17:14 |
Mooie anekdote Hoewel ik het idee heb dat sommige van de voorbeelden waar stellingen mee ontkracht worden meer een kwestie van geluk zijn (het geluk dat je bij toeval op zo'n voorbeeld stuit). (Hoewel hier dan weer minder van toepassing lijkt omdat dat meisje gelijk 12 tegenvoorbeelden heeft gevonden) [ Bericht 3% gewijzigd door kutkloon7 op 21-12-2012 17:23:16 ] | |
thenxero | vrijdag 21 december 2012 @ 17:29 |
Het gebeurt wel vaker SES / Geniale student lost wiskundig probleem op | |
kutkloon7 | vrijdag 21 december 2012 @ 17:38 |
Uhuh, bij dat soort problemen is het volgens mij vaak ook een beetje dat bijna niemand er meer serieus naar kijkt omdat het van te voren al onwaarschijnlijk lijkt dat je er verder mee komt. Maar ik bedoelde eigenlijk specifiek tegenvoorbeelden, en dan met name in de geometrie (maar in de getaltheorie bijvoorbeeld, speelt volgens mij precies hetzelfde). | |
Riparius | vrijdag 21 december 2012 @ 18:07 |
Jammer genoeg word ik van dat hele topic niet veel wijzer, en ik zie ook geen serieuze bronnen. Wat ik ervan begrijp is dat hij een differentiaalvergelijking exact heeft weten op te lossen die tot dan toe alleen numeriek kon worden opgelost. Ik zou zijn werk wel eens willen zien. | |
MouzurX | vrijdag 21 december 2012 @ 18:30 |
Ik moet de kritieke punten vinden van deze formule: f(x,y) = x^3+y*x^2-y^2-4*y De x afgeleide is: 3*x^2 + 2*x*y Deze is 0 bij (0,y) (-2,-6) en (2,-6) De y afgeleide is: x^2-2*y-4 Deze is 0 bij (-2,0) (2,0) (4,6) en (-4,6) Dit levert echter geen kritieke punten op dus ik moet haast wel iets verkeerd doen bij de afgeleides. Wie ziet de fout? | |
Riparius | vrijdag 21 december 2012 @ 18:43 |
Los eerst je stelsel fx(x,y) = 0, fy(x,y) = 0 eens fatsoenlijk op. Dan vind je (-4;6), (0;-2) en (1;-3/2). | |
MouzurX | vrijdag 21 december 2012 @ 18:46 |
Ah dus dan is (0,-2) een kritiek punt. | |
Physics | vrijdag 21 december 2012 @ 18:50 |
Ik moet het uit mijn hoofd doen, het was een tentamenvraag. De doelfunctie is |Ax|. Die moet geminimaliseerd worden onder de restrictie |x| = 1. Domein was niks bijzonders mee geloof ik, gewoon x element van (reëele getallen dimensie n). Optimale oplossing niet gegeven. | |
Riparius | vrijdag 21 december 2012 @ 18:57 |
Zou je een duidelijk voorbeeld kunnen geven van een onjuist gebleken hypothese in de wiskunde waarbij de ontkrachting naar jouw idee puur een kwestie van 'geluk' of 'toeval' was? Een stelling kan overigens niet ontkracht worden als het bewijs deugdelijk is. | |
thenxero | vrijdag 21 december 2012 @ 19:25 |
Ik kon helaas ook geen goede bron vinden van wat hij nou precies gedaan had. | |
thenxero | vrijdag 21 december 2012 @ 19:32 |
Iedere matrix A heeft een complexe eigenwaarde. Dus ik denk dat er nog iets mist. | |
GlowMouse | vrijdag 21 december 2012 @ 19:53 |
Wat zeggen de kkt condities? | |
kutkloon7 | vrijdag 21 december 2012 @ 20:42 |
Nee, dat klopt uiteraard Ik zal zo eens kijken of ik mijn getaltheorieboek of dictaat een goed voorbeeld kan vinden, ik heb helaas niet zo'n uitstekend geheugen als jij voor dat soort dingen . | |
yarnamc | vrijdag 21 december 2012 @ 22:13 |
Ik vraag me het volgende af (in verband met asymptotische stabiliteit van een systeem): als met x(n) een Nx1 matrix, A een NxN matrix en x(0) een Nx1 matrix (x is afhankelijk van de variabele n). A is diagonaliseerbaar, dus ik kan schrijven met T de matrix met in de kolommen de eigenvectoren van A, en de eigenwaardematrix. Dus . Nu is gevraagd aan te tonen dat voor de limiet van n -> ∞ zal gelden dat x(n) -> 0 (de nulmatrix), als en slechts als de norm van alle eigenwaarden van A (dus alle diagonaalelementen van ) kleiner is dan één. Het is simpel om te bewijzen dat als de norm van de eigenwaarden kleiner is dan één, dat dan x(n) -> 0, maar in de omgekeerde richting zie ik het niet direct. Ik vermoed dat het echter niet zo moeilijk zal zijn. [ Bericht 9% gewijzigd door yarnamc op 21-12-2012 23:16:19 ] | |
GlowMouse | vrijdag 21 december 2012 @ 23:36 |
Probeer een bewijs uit het ongerijmde waarbij je voor x een eigenvector pakt. | |
flopsies | zaterdag 22 december 2012 @ 00:16 |
http://tu-dresden.de/die_(...)eien/CommentsRay.pdf Hierin staat wat hij heeft gedaan (met commentaar van een aantal professoren) | |
thenxero | zaterdag 22 december 2012 @ 00:39 |
In de laatste paragraaf staat dat hij eigenlijk niks nieuws heeft ontdekt, en zeker geen open probleem van Newton heeft opgelost. Zo zie je maar weer hoe de media werkt (en dat er geen wiskundigen werken). | |
GlowMouse | zaterdag 22 december 2012 @ 02:14 |
Is A toevallig symmetrisch? | |
yarnamc | zaterdag 22 december 2012 @ 10:48 |
Aha dank je wel! Zo moet je het inderdaad doen, voor een eigenvector kom je dan uit dat zijn corresponderende eigenwaarde een modulus kleiner dan 1 heeft, en zo ga je ze allemaal af. (ik merk nu op dat ik een klein beetje onnauwkeurig was in de formulering, de limiet moet gelden voor alle x(0)) | |
Physics | zaterdag 22 december 2012 @ 11:38 |
Ja | |
GlowMouse | zaterdag 22 december 2012 @ 12:44 |
Het kan sneller: neem aan dat er een eigenvector is met modulus >= 1. Ik denk dat je het antwoord in het Rayleigh quotient moet zoeken. Minimaliseren van ||Ax|| is hetzelfde als minimaliseren van het kwadraat ervan gedeeld door een constante: xTATAx / xTx. Dit is altijd groter dan de kleinste eigenwaarde van ATA, met gelijkheid desda x een eigenvector is horend bij de kleinste eigenwaarde. | |
Mascini | zondag 23 december 2012 @ 20:01 |
Ik doe mijn profielwerkstuk over de chaostheorie en ben nu bezig met research doen naar de Lorenz Attractor. Ik stuitte op deze differentievergelijkingen: Hoe zijn deze te schrijven als differentie vergelijkingen zoals die op de middelbare school worden geschreven? Dus bijvoorbeeld g(n)=3g(n-1) + 2 . Klopt dit: x(n) = sigma * (y(n-1) - x(n-1)) y(n) = x(n-1) * (rho - x(n-1)) - y(n-1) z(n) = x(n-1) * y(n-1) - beta * x(n-1) Of mag dat niet zomaar tot die vorm herleid worden? Ben een beetje in de war omdat ik een differentievergelijking nog nooit zo geschreven heb zien maar het antwoord zal wel heel logisch zijn... | |
Riparius | zondag 23 december 2012 @ 20:10 |
Dit zijn differentiaalvergelijkingen, geen differentievergelijkingen. | |
yarnamc | zondag 23 december 2012 @ 20:11 |
Ik heb nog een vraagje: beschouw de differentievergelijking: (de D staat voor de Delay operator: D(x(n)) = x(n-1), de n-de macht van D is de samenstelling van n delay operators). Nu is er gegeven dateen meervoudige oplossing is van , stel bijvoorbeeld met multipliciteit m. Nu wordt er beweerd (vrij analoog als bij de homogene differentiaalvergelijking) dat voor i = 0,1,...,m-1 oplossingen zijn van de differentievergelijking. Er wordt gevraagd dit te controleren via substitutie, maar dit lukt me niet direct :s. Ik hoop dat iemand me kan helpen met het bovenstaande, misschien kan iemand ook dit oplossen (hoewel het moeilijk is om de volledige context te geven) : er wordt dan ook nog gesteld dat dit te controleren valt door te berekenen, met J de Jordan-blok corresponderend met de meervoudige oplossing . Je moet hierbij weten dat de differentievergelijking een systeem voorstelt, en dat lambda een meervoudige eigenwaarde is van de matrix A uit de ABCD-voorstelling (hiervan komt die veeltermvergelijking), omdat we het systeem bekijken vanuit het toestandsmodel. Misschien komt dit voor iemand bekend voor en begrijpt hij wat ik met deze laatste paragraaf bedoel, anders zal ik al blij zijn als de eerste paragraaf opgelost wordt (een hint wat ik moet doen na de substitutie om van die vervelende (n-...)^i af te geraken zou heel handig zijn) . [ Bericht 15% gewijzigd door yarnamc op 23-12-2012 20:58:32 ] | |
Mascini | zondag 23 december 2012 @ 20:30 |
Aha ... ik had 'differential equations' te gauw vertaald naar differentievergelijkingen. Dat wordt nog even researchen! | |
Riparius | zondag 23 december 2012 @ 20:45 |
Je hebt in feite een rij {xn} die aan een N-de orde (hoofdletter!) homogene lineaire recursie met constante coëfficiënten moet voldoen. Substitutie van xn = zn levert dan een karakteristieke vergelijking P(z) = 0 op, waarbij P(z) een polynoom is in z van graad N (hoofdletter!). Is nu z = λ een (enkelvoudige) wortel van P(z) = 0, dan voldoet zoals bekend xn = λn aan de recursie. Is echter z = λ een meervoudige wortel van P(z) = 0 met multipliciteit m, dan kun je gebruik maken van het feit dat dan niet alleen P(λ) = 0 maar ook P(i)(λ) = 0 voor i = 1..(m-1) terwijl P(m)(λ) ≠ 0 (bewijs dit). Door te beginnen met ∑j=0N ajzN+k-j = zk∙P(z), k ∈ N0 en telkens beide leden te differentiëren naar z en daarna weer te vermenigvuldigen met z kun je gemakkelijk zien dat ∑j=0N aj(N+k-j)iλN+k-j = 0 voor k ∈ N0, i = 1..(m-1) zodat xn = ni∙λn met i = 1..(m-1) ook voldoet aan de recursie. [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 25-12-2012 17:55:37 ] | |
Mascini | zondag 23 december 2012 @ 21:23 |
Weet iemand hier hoe je 'topological mixing' in het nederlands zegt? Heb het over dit: http://en.wikipedia.org/w(...)g#Topological_mixing en dan met name op de manier waarop het hier wordt uitgelegd, onder het subkopje 'Topological mixing': http://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory Dus dat een gegeven regio in faseruimte na een bepaalde tijd altijd zal overlappen met een andere gegeven regio. Is daar een nederlandse term voor? | |
Mathemaat | zondag 23 december 2012 @ 21:49 |
In die vergelijkingen zijn x,y en z functies van t. rho, beta en sigma zijn parameters. Is dit onderwerp niet te ambitieus voor een middelbare schoolleerling? | |
Riparius | maandag 24 december 2012 @ 12:54 |
Kijk maar eens even hier (eenvoudig) en ook hier (uitgebreider, met historische achtergronden), dan moet het je wel duidelijk worden. | |
yarnamc | maandag 24 december 2012 @ 16:46 |
Dat is knap gevonden! Dank je wel | |
kutkloon7 | woensdag 26 december 2012 @ 21:21 |
Ik heb een vraag over het volgende lemma uit mijn leeswijzer functies en reeksen: Neem n = p = 1 (en ik gebruikt y ipv dzeta xi, dat is wat makkelijker). Neem f(x) = x3. Dan is f totaal differentieerbaar (dit kan ik aantonen met de definitie, maar dat laat ik nu even achterwege). Verder L(x) = Df (x) = 3x2. (dit staat in de laatste zin van het lemma, Df (x) is gewoon de afgeleide van f). Dan komt de formule uit het lemma neer op: x3 - y3 = 3x2(x-y) Wat natuurlijk niet klopt. Doe ik iets verkeerd (klopt er een van mijn aannames niet?) of staat er iets verkeerd in het lemma? [ Bericht 0% gewijzigd door kutkloon7 op 26-12-2012 21:55:23 ] | |
GlowMouse | woensdag 26 december 2012 @ 21:37 |
Wat is Lin(Rn,Rp)? | |
kutkloon7 | woensdag 26 december 2012 @ 21:50 |
De verzameling lineaire afbeeldingen van Rn naar Rp. Dus ook wel de verzameling n bij p matrices met componenten uit R. | |
kutkloon7 | woensdag 26 december 2012 @ 21:54 |
Volgens mij moet de gelijkheid die in het lemma staat alleen gelden als x ξ nadert. | |
Mathemaat | woensdag 26 december 2012 @ 23:07 |
Wat je verkeerd doet, is aannemen dat L over zijn hele domein gelijk is aan Df. De stelling zegt dat er een punt is, zodat L en Df in dat punt gelijk aan elkaar zijn. Er staat niets verkeerds in die stelling. | |
GlowMouse | woensdag 26 december 2012 @ 23:38 |
Mathemaat heeft gelijk. x3 - y3 = L(x)(x-y) voor elke x in X. Dan geldt dus L(x) = x2 + xy + y2 Dus geldt L(y) = 3y2 | |
thenxero | donderdag 27 december 2012 @ 01:38 |
L(x) kan je opvatting als de helling tussen de punten f(x) en f(ksi) (makkelijkst om gewoon even in 1 dimensie te denken). De stelling zegt dus eigenlijk dat een functie differentieerbaar is in een punt desda de helling continu is in dat punt. Zo kan je het makkelijk begrijpen en onthouden. | |
kutkloon7 | donderdag 27 december 2012 @ 04:18 |
Ik maakte inderdaad een denkfout, dank! Ik had om een of andere reden inderdaad niet goed door dat ze xi in het hele verhaal vast kiezen, it all makes sense now Ook dank Glowmouse en thenxzero, voor de extra uitleg. | |
BeyondTheGreen | donderdag 27 december 2012 @ 12:22 |
Hallo, ik heb wiskunde A en krijg de abc-formule niet. Toch heb ik die nodig voor scheikunde. Ik moet bijv. dit oplossen: Dit is dus de abc formule: Kan iemand uitleggen hoe dit werkt in mijn situatie? (stap voor stap graag, ik heb alleen wiskunde A). | |
Rickerd | donderdag 27 december 2012 @ 13:28 |
Probeer eerst de op te lossen vergelijking in de vorm van de abc-formule te zetten. Het omschrijven van die vergelijking zou je met wiskunde A moeten kunnen. | |
BeyondTheGreen | donderdag 27 december 2012 @ 13:42 |
Zo? x^2 - 6,1*10^-10 * (0,01-x) = 0 Daarna haakjes wegwerken zodat: 1*x^2 + 6,1*10^-10*x + (-6.1*10^-12) met a = 1 b = 6,1*10^-10 c= -6,1*10^-12 Oké, ik ga het even uitproberen om hem nu in die wortelvariant te zetten. E: Waarschijnlijk doe ik iets fout. Ik krijg 1,26*10^-5, het antw. moet 2,5&10^-6 zijn. E2: Het werkt wel, oké klaar, duidelijk. Bedankt. [ Bericht 13% gewijzigd door BeyondTheGreen op 27-12-2012 13:50:18 ] | |
Amoeba | donderdag 27 december 2012 @ 15:53 |
De ABC-formule is de manier om de 2 (complexe) nulpunten (ofwel f(x) = 0) van een tweedegraads polynoom exact te berekenen. Wanneer geldt: D > 0 : 2 reëele oplossingen D=0 : 1 reëele oplossing, ofwel de top valt samen met de x-as D<0 : 2 complexe oplossingen. Bijvoorbeeld wanneer D = -9, dan geldt √D = √(-9) = √(i2)*√9 = i√9 i = √(-1) D = b2 -4ac Het is misschien wel nuttig om dit bewijs even te onderzoeken, maar ik neem aan dat je dit wel ergens op kunt snorren. Geven ze dit tegenwoordig niet meer bij wisA? nl.m.wikipedia.org/wiki/Wortelformule Hier een afleiding van de formule. | |
Amoeba | donderdag 27 december 2012 @ 18:32 |
Ik neem het door. Mijn excuses voor 'n laatste reactie. Loopt niet helemaal lekker thuis, knalt zover uit de pan dat het tot een scheiding van m'n ouders loopt en ik word daar flink in betrokken. Maar dat terzijde. In de eerste post geeft hij aan dat je zelf even de gelijkvormigheid mag bewijzen. Ik heb het geheel correct wanneer ik stel dat aangezien AB een raaklijn in A is, de totale hoek A 90 graden is, en uit de driehoekensom dan volgt dat hoek BAC = hoek DCM en hoek BCA = hoek CDM = 90 graden? Dus de driehoeken zijn gelijkvormig (hh). Dit weekend meer. Ik moet De vadsige koningen lezen, van Hugo Raes. Wat een grafboek is dat. Nederlandse literatuur (Met uitzonderingen uiteraard, Lijmen het Been en De Engelenmaker ) [ Bericht 16% gewijzigd door Amoeba op 27-12-2012 18:43:38 ] | |
Bram_van_Loon | donderdag 27 december 2012 @ 19:28 |
Deze notatie is prima tenzij er meer dan 1 onafhankelijke variabele in de vergelijking staat in welk geval je het als een partiële afgeleide moet weergeven met een teken wat lijkt op een a. | |
Bram_van_Loon | donderdag 27 december 2012 @ 19:37 |
Als je de wortelformule gebruikt, bekijk dan ook even hoe die formule is afgeleid zodat je begrijpt wat je doet! http://nl.wikipedia.org/wiki/Wortelformule http://nl.wikipedia.org/wiki/Kwadraatsplitsen Het is een simpele uitleg waarvoor je weinig basis nodig hebt, als je weet hoe je een eerstegraadsvergelijking kan oplossen dan zou je deze uitleg ook moeten kunnen volgen. Kijk ook even naar de Engelstalige versie als je moeite hebt met iets te volgen. | |
BeyondTheGreen | vrijdag 28 december 2012 @ 00:07 |
Ik ben iemand die graag begrijpt wat ik doe, maar ik heb geen wiskunde B, doe drie VWO schooljaar in 1, en heb een tentamenweek na de kerstvakantie dus mijn prioriteit ligt daar niet. Toch bedankt, misschien kijk ik er nog eens naar. | |
Amoeba | vrijdag 28 december 2012 @ 00:18 |
Misschien een beetje opportunistisch om 3 schooljaren in een jaar af te willen ronden wanneer je het toepassen van de ABC-formule al niet volgt. | |
thenxero | vrijdag 28 december 2012 @ 00:25 |
Blame the system. | |
Bram_van_Loon | vrijdag 28 december 2012 @ 01:45 |
Vroeger leerde je in 1-MAVO of 2-MAVO de wortelformule te gebruiken. Dit is uiteraard geen verwijt naar hem toe maar het doet de wenkbrauwen fronsen. In een kwartier tijd heb je het wel gelezen en begrepen als het goed is, het lijkt mij zinvol besteedde tijd. | |
thenxero | vrijdag 28 december 2012 @ 01:49 |
Ik kan het je nog sterker vertellen. Tot mijn spijt heb ik nooit op het VWO het bewijs gezien van de wortelformule. (Ja ok, ik had het wel gezien, maar alleen omdat ik er zelf op internet naar gezocht had, het kwam niet voor in het lesprogramma) |