[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op dinsdag 4 december 2012 21:06 schreef kutkloon7 het volgende:

[..]

-edit: wacht even hoor, even wat beter kijken nog-
Als de limiet van de rij > 0 is, is de reeks sowieso niet convergent

De vraag staat er verkeerd, de rij waar het om gaat is a_n(-1)ⁿ. Als je a_n = (-1)ⁿ⁺¹ pakt dan zie je dat jouw antwoord niet klopt.

quote:

Op dinsdag 4 december 2012 20:49 schreef flopsies het volgende:
als je een alternerende reeks hebt zoals { (n+1)(-1)ⁿ } ,

Hier is zo geen chocola van te maken. Je praat over een reeks, maar geeft dan de notatie van een rij, en wat moet ik me bij die notatie voorstellen?

Voor reeksen waarvan de termen alterneren heb je het criterium van Leibniz.

Als je een alternerende rij {a_n} hebt en een N zodanig dat

lim_n→∞ a_n = 0 ∧ ∀_n>N |a_n+1| ≤ |a_n|

dan is de reeks ∑_n=0 ∞ a_n convergent.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 04-12-2012 21:26:01 ]

Sorry, ik haal de termen door elkaar

quote:

Op dinsdag 4 december 2012 21:12 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

De vraag staat er verkeerd, de rij waar het om gaat is a_n(-1)ⁿ. Als je a_n = (-1)ⁿ⁺¹ pakt dan zie je dat jouw antwoord niet klopt.

Hoezo, de reeks ∑_n=0a_n heeft toch geen limiet als n naar oneindig gaat?

Heb mijn post aangepast, nu beter? sorry hiervoor

Klopt nog niet helemaal: je definieert a_n maar doet er vervolgens niks mee...
Ik snap ook niet helemaal wat je bedoelt: wil je nou weten of een specifieke reeks convergent is?

quote:

Op dinsdag 4 december 2012 21:06 schreef kutkloon7 het volgende:

[..]

-edit: wacht even hoor, even wat beter kijken nog-
Als de limiet van de rij > 0 is, is de reeks sowieso niet convergent

I see. Maar wat als de limiet van de rij (a_n) niet bestaat?

quote:

Op dinsdag 4 december 2012 21:28 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

I see. Maar wat als de limiet van de rij (a_n) niet bestaat?

Dan bestaat de limiet van de bijbehorende reeks ook niet? (maar ik had het over het geval dat de limiet wel bestaat)

of dit de enige test is om te kijken of een alternerende reeks convergeert. Als de rij {a_n} niet voldoet
aan de voorwaarden die riparius ook heeft gepost, is de reeks ∑_n=0 ∞ a_n dan sowieso NIET convergent? misschien een domme vraag maar ik wil het even zeker weten

quote:

Op dinsdag 4 december 2012 21:34 schreef flopsies het volgende:
of dit de enige test is om te kijken of een alternerende reeks convergeert. Als de rij {a_n} niet voldoet
aan de voorwaarden die riparius ook heeft gepost, is de reeks ∑_n=0 ∞ a_n dan sowieso NIET convergent? misschien een domme vraag maar ik wil het even zeker weten

Het criterium van Leibniz is voldoende maar niet noodzakelijk voor convergentie van een reeks met alternerende termen. Beschouw bijvoorbeeld de rij {a_n} gedefinieerd door:

a_n = ((-1)ⁿ⁺¹∙|sin n|)/n²

Dan is |a_n| niet monotoon dalend terwijl ∑_n=1 ∞ a_n toch convergeert.

[ Bericht 5% gewijzigd door Riparius op 04-12-2012 22:32:23 ]

Het criterium van Leibniz is wel sluitend voor alternerende, dalende reeksen. Als je alleen naar alternerende, dalende reeksen kijkt voldoet elke convergerende reeks aan het criterium en geen enkele niet-convergerende reeks.

Ik kom er nu net een tegen bij de inleveropgave voor functies en reeksen. We moeten de Fourier-coefficienten van de 2π-periodieke functie die op het interval [-π, π] gelijk is aan x² bepalen.

Die blijkt gelijk te zijn aan (-1)^{k .} 2/k².

Om te bepalen of de bijbehorende Fourierreeks convergent is, moet je kijken of de som van al deze coefficienten convergeert. Ja dus, wat je aan kan tonen met Leibniz' criterium.

(er kunnen nog foutjes inzitten, ik ben er nog mee bezig )

[ Bericht 5% gewijzigd door kutkloon7 op 04-12-2012 23:58:12 ]

quote:

Op dinsdag 4 december 2012 23:53 schreef kutkloon7 het volgende:
Het criterium van Leibniz is wel sluitend voor alternerende, dalende reeksen. Als je alleen naar alternerende, dalende reeksen kijkt voldoet elke convergerende reeks aan het criterium en geen enkele niet-convergerende reeks.

Ja, maar dat is niet in tegenspraak met wat ik hierboven beweer.

quote:

Ik kom er nu net een tegen bij de inleveropgave voor functies en reeksen. We moeten de Fourier-coefficienten van de 2π-periodieke functie die op het interval [-π, π] gelijk is aan x² bepalen.

Die blijkt gelijk te zijn aan (-1)^{k .} 2/k².

Ik dacht dat de algemene term van de gedaante ((-1)^k∙4∙cos kx)/k² is. En dan nog een constante term π²/3 erbij.

quote:

Om te bepalen of de bijbehorende Fourierreeks convergent is, moet je kijken of de som van al deze coefficienten convergeert. Ja dus, wat je aan kan tonen met Leibniz' criterium.

(er kunnen nog foutjes inzitten, ik ben er nog mee bezig )

Inderdaad ... Vul trouwens eens x = 0 in, dan krijg je een alternerende reeks voor π²/12. Daarmee kun je gemakkelijk aantonen dat ∑_k=1^∞ 1/k² = π²/6 (Bazel probleem).

quote:

Op woensdag 5 december 2012 00:14 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, maar dat is niet in tegenspraak met wat ik hierboven beweer.

[..]

Ik dacht dat de algemene term van de gedaante a_k = ((-1)^k∙4∙cos kx)/k² is. En dan nog een constante term π²/3 erbij.

[..]

Inderdaad ... Vul trouwens eens x = 0 in, dan krijg je een alternerende reeks voor π²/12. Daarmee kun je gemakkelijk aantonen dat ∑_k=1^∞ 1/k² = π²/6 (Bazel probleem).

Uhuh, het was een aanvulling, geen verbetering
0 invullen is inderdaad een deel van de opgave.

Hm, ik ga er morgen nog maar even naar kijken denk ik... Volgens mij klopt het wel wat ik nu heb. Hoe kom je aan die algemene term?

In mijn dictaat staat dat de fourier coefficient gelijk is aan

En dat heb ik nagerekend, en dat lijkt te kloppen.
De constante term zou dan geloof ik ²/₃π³ worden.

Ik heb wel complexe coefficienten gebruikt, misschien zit het hem daarin

[ Bericht 2% gewijzigd door kutkloon7 op 05-12-2012 00:35:20 ]

Ja, je had gelijk, ik ben eruit, het kwam inderdaad door die complexe coefficienten. Alleen die constante term heb ik nog wel anders.

quote:

Op woensdag 5 december 2012 00:27 schreef kutkloon7 het volgende:

[..]

Uhuh, het was een aanvulling, geen verbetering
0 invullen is inderdaad een deel van de opgave.

Hm, ik ga er morgen nog maar even naar kijken denk ik... Volgens mij klopt het wel wat ik nu heb. Hoe kom je aan die algemene term?

In mijn dictaat staat dat de fourier coefficient gelijk is aan

En dat heb ik nagerekend, en dat lijkt te kloppen.
De constante term zou dan geloof ik ²/₃π³ worden.

Ik heb wel complexe coefficienten gebruikt, misschien zit het hem daarin

Inderdaad, je moet natuurlijk twee complexe coëfficiënten c_k en c_-k hebben om de reële coëfficiënten a_k = c_k + c_-k van de cosinustermen te krijgen.

quote:

Op woensdag 5 december 2012 00:46 schreef Riparius het volgende:

[..]

Inderdaad, je moet natuurlijk twee complexe coëfficiënten c_k en c_-k hebben om de reële coëfficiënten a_k = c_k + c_-k van de cosinustermen te krijgen.

Ja, ik had nog niet helemaal door hoe dat precies werkte, ik werkte gewoon vanuit de uit het dictaat gegeven definities.

quote:

Op woensdag 5 december 2012 00:37 schreef kutkloon7 het volgende:
Ja, je had gelijk, ik ben eruit, het kwam inderdaad door die complexe coefficienten. Alleen die constante term heb ik nog wel anders.

Als je a₀ berekent met de algemene integraal voor a_k, dan moet je hiervan de helft nemen, de eerste term in de reeks geeft men daarom aan met ½a₀. Dan krijg je dus π²/3 voor de constante term.

quote:

Op woensdag 5 december 2012 00:50 schreef Riparius het volgende:

[..]

Als je a₀ berekent met de algemene integraal voor a_k, dan moet je hiervan de helft nemen, de eerste term in de reeks geeft men daarom aan met ½a₀. Dan krijg je dus π²/3 voor de constante term.

Ja, wat ik de hele tijd al doe: de factor 1/2π vergeten, waardoor ik ook op π^3 uitkwam ipv π^2. Dank voor je hulp!

quote:

Op woensdag 5 december 2012 00:56 schreef kutkloon7 het volgende:

[..]

Ja, wat ik de hele tijd al doe: de factor 1/2π vergeten, waardoor ik ook op π^3 uitkwam ipv π^2. Dank voor je hulp!

Je kunt je Fourier reeksen gemakkelijk controleren in WolframAlpha, zowel in goniometrische als in exponentiële vorm.

Substitutie van x = 0 levert dan:

0 = π²/3 + 4∙(-1/1² + 1/2² - 1/3² + ...)

en dus:

∑_k=1^∞ (-1)^k+1∙k^-2 = π²/12

Nu is ook:

ζ(2) = ∑_k=1^∞ k^-2 = ∑_k=1^∞ (-1)^k+1∙k^-2 + 2∙∑_k=1^∞ (2k)^-2 = ∑_k=1^∞ (-1)^k+1∙k^-2 + ½∙∑_k=1^∞ k^-2 = ∑_k=1^∞ (-1)^k+1∙k^-2 + ½∙ζ(2)

en dus:

ζ(2) = 2∙∑_k=1^∞ (-1)^k+1∙k^-2 = 2∙(π²/12) = π²/6

P(2*-(1/10)2a) = 0

Dus P = 0 v. 2*-(1/10)2a = 0; 2a = 0/x = 0 en blijft nul toch? Prof. / Lerares zegt a = 10 maar krijg maar niet door hoe ze daarop komt.

Als je a=10 invult dan krijg je -4P=0, dus P=0...

Je hebt in feite een of andere constante c ongelijk aan nul, en de vgl c*P*a=0. Delen door c geeft P*a=0, dus P=0 of a=0.

Ja tot die conclusie kwam ik dus ook, hoe reflecteert dat zich tot deze vraag waarbij P=0 geen antwoord kan zijn (want wie verkoopt zijn product gratis?)



*Je krijgt dan P(4*-(1/10)2a = 0 volgens mij maar ik geloof dat je dan ook op P=0 of a=0 komt.

Je haalt P en p door elkaar.

Hoe kom je aan die vergelijking ? ( P(4*-(1/10)2a = 0 )

Okay voor duidelijk dan maar even hoofdletter P(rofit) = pi

dpi / da oplossen. = 4p - (1/10)2ap »» p(4 * (-1/10)2a)

Gelijkstellen aan 0 om a te vinden welke ik vervolgens in ga vullen in

dpi / dp zodat je p krijgt. (en dat leidt weer tot pi)

*d = ∂

quote:

Op woensdag 5 december 2012 17:23 schreef Sokz het volgende:
Ja tot die conclusie kwam ik dus ook, hoe reflecteert dat zich tot deze vraag waarbij P=0 geen antwoord kan zijn (want wie verkoopt zijn product gratis?)

[ afbeelding ]

Maak het allemaal niet zo moeilijk. Je hebt:

P(a,p) = 4ap + 50p -9p² - (1/10)∙a²p -120

∂P/∂a = -(1/5)∙(a - 20)∙p

∂P/∂p = -a²/10 + 4a - 18p + 50

∂P/∂a = 0 geeft a = 20 of p = 0, maar je hebt P(a,0) = -120, dus dat valt af ook al omdat p = 0 niet realistisch is. Blijft over a = 20 en dan levert de voorwaarde ∂P/∂p = 0 op dat p = 5, en dan is P(20,5) = 105. Dan moet je eigenlijk nog wel netjes aantonen dat dit een lokaal maximum is, maar dat mag je zelf doen. Kijk ook even hier.

quote:

Op woensdag 5 december 2012 18:16 schreef Riparius het volgende:
∂P/∂a = -(1/5)∙(a - 20)∙p

Bedankt! Deze vereenvoudiging zag ik niet zo snel en daar liep het dus klem.

Zij uniform continu. Toon aan dat begrensd is.
Kun je dit op een makkelijke manier bewijzen? Medestudenten en ik hadden bedacht dat je kunt aantonen dat en bestaan en zo een continue functie kunt 'construeren': er is dan een stelling in het dictaat die zegt dat die functie (continu op een gesloten interval) begrensd is. We weten echter niet of dit correct is en het is behoorlijk lang en omslachtig. Heeft iemand een beter idee?

Het kan veel simpeler. Pak uit de defintie op http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_continuity een willekeurige epsilon>0, dan komt daar een delta uitrollen. Kijk dan eens naar 1/delta (1/delta is interessant omdat delta minder dan 1/delta keer in het interval (0,1) past).

quote:

Op donderdag 6 december 2012 20:12 schreef JWF het volgende:
Zij uniform continu. Toon aan dat begrensd is.
Kun je dit op een makkelijke manier bewijzen? Medestudenten en ik hadden bedacht dat je kunt aantonen dat en bestaan en zo een continue functie kunt 'construeren': er is dan een stelling in het dictaat die zegt dat die functie (continu op een gesloten interval) begrensd is. We weten echter niet of dit correct is en het is behoorlijk lang en omslachtig. Heeft iemand een beter idee?

Kies ε = 1. Aangezien f uniform continu is op (0,1) bestaat er dan een δ > 0 zodanig dat | f(x) - f(y) | < ε = 1 voor elke x,y ∈ (0,1) met | x - y | < δ. Kies nu een positief geheel getal n₀ > 1 zodanig dat 1/n₀ < δ (i.e. n₀ > 1/δ) en definieer x_i = i/n₀ voor i ∈ {1,...,n₀-1}. Zij verder M een getal zodanig dat max(| f(x_i) |, 1 ≤ i ≤ n₀-1) < M - 1. Dan bestaat er voor elke x ∈ (0,1) een i ∈ {1,...,n₀-1} zodanig dat | x - x_i | < δ en dus | f(x) - f(x_i) | < 1 zodat | f(x) | = | (f(x) - f(x_i)) + f(x_i) | ≤ | f(x) - f(x_i) | + | f(x_i) | < 1 + (M - 1) = M, QED.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 07-12-2012 19:21:37 ]

[ Bericht 100% gewijzigd door Mathemaat op 07-12-2012 12:57:24 ]

quote:

Op vrijdag 7 december 2012 12:47 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Ja, wat je zegt klopt. Je kunt het ook bewijzen voor continue functies.

wat, dat f(x)=1/x begrensd is op (0,1)?

quote:

Op vrijdag 7 december 2012 12:55 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

wat, dat f(x)=1/x begrensd is op (0,1)?

Sorry, ik hield het door elkaar met het continue uitbreiden van reële functies op compacte domeinen.

[ Bericht 0% gewijzigd door Mathemaat op 07-12-2012 13:51:13 ]

quote:

Op donderdag 6 december 2012 21:05 schreef Riparius het volgende:

[..]

Kies ε = 1. Aangezien f uniform continu is op (0,1) bestaat er dan een δ > 0 zodanig dat | f(x) - f(y) | < ε = 1 voor elke x,y ∈ (0,1) met | x - y | < δ. Kies nu een positief geheel getal n₀ > 1 zodanig dat 1/n₀ < δ (i.e. n₀ > 1/δ) en definieer x_i = i/n₀ voor i ∈ {1,...,n₀-1}. Zij verder M een getal zodanig dat max(|(f(x_i)|, 1 ≤ i ≤ n₀-1) < M - 1. Dan bestaat er voor elke x ∈ (0,1) een i ∈ {1,...,n₀-1} zodanig dat | x - x_i | < δ en dus | f(x) - f(x_i) | < 1 zodat | f(x) | = | (f(x) - f(x_i)) + f(x_i) | ≤ | f(x) - f(x_i) | + | f(x_i) | < 1 + (M - 1) = M, QED.

quote:

Op donderdag 6 december 2012 20:22 schreef GlowMouse het volgende:
Het kan veel simpeler. Pak uit de defintie op http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_continuity een willekeurige epsilon>0, dan komt daar een delta uitrollen. Kijk dan eens naar 1/delta (1/delta is interessant omdat delta minder dan 1/delta keer in het interval (0,1) past).

Dit idee laat ook mooi zien wat uniforme continuiteit betekent: waar je die delta intervalletjes ook plaatst, je hebt altijd een fluctuatie van hoogstens epsilon.

Ok, geen wiskunde dit maar hoe los los ik dit het handigst op uit 't hoofd? Iemand tips?

x : -6/8 = -14/35

-45/18 - 18/6 = x

quote:

Op donderdag 6 december 2012 21:05 schreef Riparius het volgende:
Kies ε = 1. Aangezien f uniform continu is op (0,1) bestaat er dan een δ > 0 zodanig dat | f(x) - f(y) | < ε = 1 voor elke x,y ∈ (0,1) met | x - y | < δ. Kies nu een positief geheel getal n0 > 1 zodanig dat 1/n0 < δ (i.e. n0 > 1/δ) en definieer xi = i/n0 voor i ∈ {1,...,n0-1}. Zij verder M een getal zodanig dat max(|(f(xi)|, 1 ≤ i ≤ n0-1) < M - 1. Dan bestaat er voor elke x ∈ (0,1) een i ∈ {1,...,n0-1} zodanig dat | x - xi | < δ en dus | f(x) - f(xi) | < 1 zodat | f(x) | = | (f(x) - f(xi)) + f(xi) | ≤ | f(x) - f(xi) | + | f(xi) | < 1 + (M - 1) = M, QED.

Dankjewel, heel helder. Ik zou dit zelf niet zomaar bedenken, maar ik heb wel het gevoel nu beter te begrijpen wat uniforme continuïteit inhoudt.

quote:

Op vrijdag 7 december 2012 18:21 schreef Maryn. het volgende:
Ok, geen wiskunde dit maar hoe los los ik dit het handigst op uit 't hoofd? Iemand tips?

x : -6/8 = -14/35

Beide leden vermenigvuldigen met -6/8 = -3/4 en je hebt x = -3/4 ∙ -14/35 = 3/4 ∙ 2/7 = 6/28 = 3/14.

quote:

-45/18 - 18/6 = x

Breuken vereenvoudigen, x = -45/18 - 18/6 = -5/2 - 6/2 = -11/2.

"een uniform convergente reeks van exponentiële of circulaire functies convergeert, in het aangegeven gebied, naar een continue functie (waarom?)". Dit staat er, in verband met de uniforme convergentie van Fourierreeksen.

Iemand die ziet waarom dit zo is?

quote:

Op zaterdag 8 december 2012 17:31 schreef yarnamc het volgende:
"een uniform convergente reeks van exponentiële of circulaire functies convergeert, in het aangegeven gebied, naar een continue functie (waarom?)". Dit staat er, in verband met de uniforme convergentie van Fourierreeksen.

Iemand die ziet waarom dit zo is?

Het klassieke ε/3 trucje. Het bewijs staat vast wel ergens in de een of andere vorm in je leerboek, en anders moet je maar even hier kijken.

Stel je hebt een polynoom met p is priem en zodat . Hoeveel oplossingen heeft f=0?

Al gekeken op http://nl.wikipedia.org/wiki/Orthografische_cilinderprojectie?

Het volgt direct uit de formules.

Uhmmm de eerste alinea?

quote:

Die ontstaat door de aardbol af te beelden op een cilinder vanuit een punt op de omwentelingsas van de bol, zodanig dat de projectielijn loodrecht op de as staat.

Waar staan die integralen van Riparius die hij een tijdje geleden ergens gepost had? Ik wou ze net gaan oplossen maar kan ze vreemd genoeg niet meer terugvinden.

@Amoeba: ik heb geen verstand van projecties, maar je hebt er steeds over dat die orthografische cilinderprojectie equivalent moet zijn. Maar je zegt niet waarmee die dan equivalent moet zijn.

quote:

Op maandag 10 december 2012 16:28 schreef thenxero het volgende:
Waar staan die integralen van Riparius die hij een tijdje geleden ergens gepost had?

Hier.

quote:

Op maandag 10 december 2012 16:28 schreef thenxero het volgende:

@Amoeba: ik heb geen verstand van projecties, maar je hebt er steeds over dat die orthografische cilinderprojectie equivalent moet zijn. Maar je zegt niet waarmee die dan equivalent moet zijn.

Equivalentie is hier een term voor oppervlaktegetrouwheid. Dat betekent dus dat het product van de schaalfactoren van de kaartprojectie in horizontale en in verticale richting in elk punt op de kaart constant moet zijn. Bij hoekgetrouwheid oftewel conformiteit moet daarentegen de verhouding van de schaalfactoren in verticale en horizontale richting voor elk punt op de kaart gelijk zijn aan één. Bij afbeelding van een bolvormig oppervlak op een plat vlak zijn equivalentie en conformiteit onverenigbaar.

quote:

Op maandag 10 december 2012 14:26 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik snap wat je hiermee bedoelt. Dit is hoe de projectie tot stand komt. Nu wil ik graag weten waarom de projectie equivalent is, en niet omdat 'dit toevallig zo is', nee, wat is de redenatie hierachter?

Bij een conforme projectie zoals de Mercatorprojectie zijn op ieder punt op de kaart de schaalfactoren in horizontale en in verticale richting gelijk. Omdat we willen dat de meridianen als verticale evenwijdige lijnen worden afgebeeld is de schaalfactor voor een punt op noorderbreedte of zuiderbreedte φ in horizontale richting dus 1/cos φ = sec φ maal de schaalfactor voor de evenaar, omdat een breedtecirkel op noorderbreedte of zuiderbreedte φ slechts een omtrek heeft van cos φ maal de omtrek van de evenaar.

Maar, vanwege de conformiteitseis moet de dan schaling in verticale richting voor een punt op noorderbreedte of zuiderbreedte φ ook sec φ maal de schaling voor de evenaar bedragen, en dus wordt de oppervlakte voor een punt op noorderbreedte of zuiderbreedte φ dan op de kaart geschaald met een factor sec²φ ten opzichte van de schaling van de oppervlakte op de kaartprojectie bij de evenaar.

Dus, om een voorbeeld te geven, op 60 graden noorderbreedte wordt de oppervlakte dan al opgeschaald met een factor sec²(π/3) = 4 ten opzichte van de schaling van een gebiedje op de evenaar.

Willen we nu echter een kaartprojectie waarbij de meridianen nog steeds als evenwijdige verticale lijnen worden afgebeeld maar die wel oppervlaktegetrouw is, dan hebben we voor een punt op noorderbreedte of zuiderbreedte φ nog steeds te maken met een horizontale schaling met dezelfde factor 1/cos φ = sec φ ten opzichte van de (horizontale) schaling van de evenaar, maar dan moeten we bij de verticale schaling gaan compenseren door te schalen met een factor cos φ, zodat het product van de horizontale en de verticale schalingen voor elk punt op de kaart, en daarmee dus de oppervlakteschaling constant blijft over de gehele kaart. En als je hebt:

dy/dφ = s₀∙R∙cos φ

waarbij s₀ de schaalfactor is waarmee de evenaar wordt afgebeeld, en R de straal is van de aarde, dan volgt door primitiveren dus dat we moeten hebben:

y = s₀∙R∙sin φ

aangezien ook moet gelden y = 0 voor φ = 0. Begrijp je dit?