[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Niet echt huiswerk maar wel wiskunde/ statistiek dus kan vast ook wel hier.

Op Teletekst (en nu ook op de voorpagina) staat nu een bericht over een moordloze dag in New York, voor het eerst sinds mensheugenis. Dat wil ik nog wel geloven maar er staat ook dat er dit jaar (28 november) "nog maar" 366 moorden zijn gepleegd.

Er van uitgaande dat die 366 moorden willekeurig over het jaar worden gepleegd, hoe groot is de kans dat nu pas een moordloze dag optreedt? Er zijn zo'n 330 dagen geweest dit jaar en zijn die 366 moorden echt zo netjes daarover uitgesmeerd?

Oftewel: wie kan dit uitrekenen?

[ Bericht 10% gewijzigd door yoppybt op 28-11-2012 22:42:55 (Voorpagina erbij) ]

366 moorden in 333 dagen geeft gemiddeld 1,1 moord per dag. De kans dat er 0 moorden zijn op een dag moet dus vrij groot zijn. Het bericht is duidelijk onzin.

Zij X het aantal moorden in een dag. Als je mag aannemen dat de moorden onafhankelijk zijn van elkaar en dat ze met een vaste rate plaatsvinden, dan kan je het modelleren met een Poisson verdeling. De kans dat er k moorden plaatsvinden op een dag is dan



met lambda = 1/1.1.

Dus de kans op 0 moorden is P( X = 0 ) = e^(-1/1.1) = 0.4 = 40%.

De kans op 1 moord = 1.1 * e^(-1/1.1) = 36%
Kans op 2 moorden = 16%
Kans op minstens 3 moorden = 8%

Gemiddeld zijn er dus 0.4*365 = 146 moordvrije dagen per jaar (als je het gemiddelde van 1.1 mag doortrekken). Je hoeft geen statistiek toe te passen om te bedenken dat de kans dat er in tientallen jaren (om "sinds mensheugenis" nog maar bescheiden op te vatten) geen moordvrije dag geweest is nihil is.

[ Bericht 6% gewijzigd door thenxero op 28-11-2012 22:57:37 ]

Goede uitleg thenxero.
Als ik het dan goed begrijp is de kans op 330 moordloze dagen 0.6^330? (=10^-74, redelijk nihil inderdaad )

quote:

Op donderdag 29 november 2012 00:18 schreef Quyxz_ het volgende:
Goede uitleg thenxero.
Als ik het dan goed begrijp is de kans op 330 moordloze dagen 0.6^330? (=10^-74, redelijk nihil inderdaad )

Je bedoelt denk ik dagen dat er juist wel een moord is. Iedere dag heb je 60% kans op minstens één moord. Dus de kans dat op alle 330 dagen iedere dag minstens 1 moord is, is gelijk aan 0.6^330.

Ze beweren dat dit sinds mensheugenis iedere dag een moord heeft plaatsgevonden in NY. Laten we voor "mensheugenis" maar even tien jaar pakken voor het gemak. Dan krijg je



De kans dat ik ergens op aarde een zandkorrel verstop en jij hem in één keer aanwijst zonder voorkennis is miljarden malen groter.

[ Bericht 2% gewijzigd door thenxero op 29-11-2012 01:54:38 ]

Je telt de schrikkeldagen niet mee in je berekening Thenxero

quote:

Op woensdag 28 november 2012 20:50 schreef Amoeba het volgende:
Het wiskundeboek smijt weer eens met bewijzen. In het hoofdstuk 'Toepassing van complexe getallen' krijgen we nu te maken met complexe getallen i.c.m. recursieve formules. Bij het opstellen van een directe formule van een lineaire differentievergelijking van de tweede orde zijn blijkbaar complexe getallen heel nuttig. Goed, prima prima. Zij geven mij de aanpak om bij de formule

u_n=a*u_n-1+b*u_n-2

de substitutie u_n = gⁿ door te voeren, dan te delen door g^n-2 en dan de tweedegraadsvergelijking op te lossen. Wanneer geldt D<0, dan wordt de aanpak gegeven dat:

u_n = (Acos(nφ)+Bsin(nφ))gⁿ met φ het argument van g₁ en g de modulus van g₁, waarbij g₁ een van de oplossingen van de genoemde tweedegraadsvergelijking is. Maar waarom geldt deze aanpak/formule, is mijn vraag.

Kijk eens aan, weer zo'n klassiek onderwerp. Ik heb net enige tijd geleden een artikel van Daniel Bernoulli (uit 1728) over lineaire recursieve rijen bestudeerd waarin onder meer de uitdrukking voor de algemene term van de rij van Fibonacci wordt afgeleid. Die formule is vernoemd naar Jacques Binet (1786-1856), maar de formule én de afleiding ervan waren al veel eerder bekend. Typisch gevalletje Stigler's law dus. De studie van lineaire recurrente rijen was een hot item in de eerste decennia van de 18e eeuw waar diverse wiskundigen zich mee bezig hielden, zoals verschillende leden van de familie Bernoulli, Pierre Rémond de Montmort (1678-1719), Christian Goldbach (1690-1764), en ook de welbekende Abraham de Moivre (1667-1754).

De oplossing van De Moivre werkte met wat we nu voortbrengende functies noemen, en splitsing daarvan in deelbreuken. Zo kan de algemene term van een lineaire recursieve rij worden geschreven als een lineaire combinatie van de algemene termen van een stel convergente meetkundige rijen waarvan de som gegeven is door elk van de lineaire partiële breuken van de voortbrengende functie. Maar deze methode om een gesloten uitdrukking te vinden voor de algemene term van een lineaire recursieve rij is betrekkelijk omslachtig, en is (anders dan thenxero suggereert) ook niet nodig om je vragen te beantwoorden. De methode met de zogeheten karakteristieke vergelijking (zoals voor het eerst gepubliceerd door Daniel Bernoulli, die evenwel spreekt van een aequatio primaria) is een stuk praktischer.

Laten we voor een goed begrip eerst eens kijken naar hét schoolvoorbeeld van een tweede orde lineaire recursieve rij, de rij van Fibonacci (eigenlijk: Leonardo van Pisa, c.1170 - c.1250):

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ...

Deze rij wordt, zoals bekend, gedefinieerd door het volgende recursieve voorschrift:

u₀ = 0, u₁ = 1, u_n = u_n-1 + u_n-2

Om nu een gesloten (niet recursieve) uitdrukking te vinden voor de algemene term u_n kun je beginnen met te bedenken dat op grond van het lineaire recursievoorschrift u_n = u_n-1 + u_n-2 elke lineaire combinatie van rijen die aan dit voorschrift voldoen ook weer aan dit voorschrift zal voldoen. Dus, als {a_n} en {b_n} twee rijen zijn die voldoen dan zal een rij {c_n} met c_n = α∙a_n + β∙b_n en met willekeurige constanten α en β ook voldoen aan het recursievoorschrift.

Goed, maar hoe vinden we nu een gesloten (niet recursieve) uitdrukking voor de termen van (alle) rijen die voldoen aan zo'n recursievoorschrift? Wel, om te beginnen is het duidelijk dat er geen rekenkundige rijen kunnen zijn die hier voldoen, want dan zou u_n - u_n-1 constant moeten zijn, en zou daarmee ook u_n-2 constant moeten zijn (i.e. onafhankelijk van n), en dat kan alleen als alle termen nul zijn. Maar dat is een triviale oplossing van het recursievoorschrift waar we niet naar op zoek zijn.

De volgende gedachte is om te proberen of er meetkundige rijen zijn die aan het recursievoorschrift voldoen. Laten we zeggen dat de reden van zo'n meetkundige rij λ is, dan moet voor de algemene term u_n dus gelden:

u_n = u₀∙λⁿ

Op grond van het recursievoorschrift u_n = u_n-1 + u_n-2 geldt dan:

u₀∙λⁿ = u₀∙λ^n-1 + u₀∙λ^n-2

Na herleiding van het rechterlid op nul en het buiten haakjes halen van de gemeenschappelijke factor u₀∙λ^n-2 geeft dit:

u₀∙λ^n-2∙(λ² - λ - 1) = 0

Nu kan deze voorwaarde alleen gelden ongeacht de waarde van u₀ en ongeacht de waarde van λ als de uitdrukking tussen haakjes nul is, dus:

λ² - λ - 1 = 0

Dit is een vierkantsvergelijking met als oplossingen λ₁ = (1 + √5)/2 en λ₂ = (1 - √5)/2. Er zijn dus in ieder geval twee lineair onafhankelijke meetkundige rijen {a_n} en {b_n} met reden λ₁ resp. λ₂ die voldoen aan de recursie u_n = u_n-1 + u_n-2. En aangezien elke lineaire combinatie hiervan ook voldoet hebben we dus in het algemeen:

u_n = α∙((1 + √5)/2)ⁿ + β∙((1 - √5)/2)ⁿ

Maar, hebben we hiermee nu wel alle mogelijke oplossingen voor de recursie u_n = u_n-1 + u_n-2 gevonden? Het antwoord is ja, want een rij die aan dit recursievoorschrift voldoet ligt volledig vast als twee opeenvolgende termen zijn gegeven, en door die in te vullen in bovenstaande uitdrukking voor de algemene term krijgen we twee lineaire vergelijkingen in α en β en daarmee ook de waarden van α en β die voldoen aan een gegeven specifieke rij.

Voor de rij van Fibonacci hebben we u₀ = 0 en u₁ = 1. Invullen hiervan in bovenstaande uitdrukking voor de algemene term levert:

α∙1 + β∙1 = 0, α∙((1 + √5)/2) + β∙((1 - √5)/2) = 1

Oplossen van dit stelsel geeft α = 1/√5 en β = -1/√5, zodat we dus als uitdrukking voor de algemene term u_n van de rij van Fibonacci krijgen:



Goed, we zien dat het oplossen van een tweede orde lineaire recursie (met constante en reële coëfficiënten in het recursievoorschrift) leidt tot een vierkantsvergelijking met reële coëfficiënten, en deze kan, zoals bekend, ook twee (toegevoegd) complexe wortels bezitten, namelijk als de discriminant van de vierkantsvergelijking negatief is. Nu begrijp je dus waarom het met deze methode kan gebeuren dat we als algemene term voor een tweede orde lineaire recursieve rij een uitdrukking krijgen waarin complexe getallen voorkomen, en dat terwijl de rij zelf uitsluitend uit reële getallen bestaat.

Natuurlijk rijst nu de vraag of het niet toch mogelijk is het gebruik van complexe getallen in de uitdrukking voor de algemene term van een tweede orde lineaire recursieve rij te vermijden, omdat de termen van de rij zelf immers reëel zijn. Welnu, het antwoord op deze vraag luidt bevestigend, maar de manier waarop ligt niet zo voor de hand, en daarmee ben ik aangekomen bij je laatste vraag.

Het blijkt mogelijk om de uitdrukking voor de algemene term een tweede orde lineaire recursieve rij met complexe getallen om te schrijven naar een goniometrische vorm. Maar: waarom is dat zo? Wat hebben goniometrische functies te maken met een eenvoudige rij die voldoet aan een lineair tweede orde recursievoorschrift?

Een tipje van de sluier wordt al opgelicht als je kijkt naar bepaalde goniometrische identiteiten voor de sinus of cosinus van een veelvoud van een hoek. Om deze af te leiden begin ik even met de volgende formules van Simpson voor de som van twee sinussen of cosinussen die je uiteraard kent:

cos θ + cos φ = 2∙cos ½(θ + φ)∙cos ½(θ - φ)
sin θ + sin φ = 2∙sin ½(θ + φ)∙cos ½(θ - φ)

Deze identiteiten kun je, althans voor 0 < | θ - φ | < π, begrijpen als een eenvoudige consequentie van een stelling uit de elementaire meetkunde, als we ze als volgt herschrijven:

½(cos θ + cos φ) = cos ½(θ - φ)∙cos ½(θ + φ)
½(sin θ + sin φ) = cos ½(θ - φ)∙sin ½(θ + φ)

In woorden: het gemiddelde van de cosinussen of sinussen van twee hoeken is gelijk aan de cosinus resp. sinus van het gemiddelde van de hoeken, maar dan wel vermenigvuldigd met een schaalfactor die gelijk is aan de cosinus van het halve verschil tussen de hoeken.

Dat dit zo moet zijn is evident omdat een lijn door het middelpunt van een cirkel die een koorde van de cirkel middendoor deelt loodrecht op de koorde staat. Omgekeerd deelt een lijn door het middelpunt van een cirkel die een koorde van de cirkel loodrecht snijdt de koorde middendoor (Euclides, Elementen, boek III, stelling 3). Een equivalente formulering van deze stelling is dat een lijn door het middelpunt van een cirkel die een koorde van de cirkel middendoor deelt de bissectrice is van de middelpuntshoek die wordt omspannen door de koorde en dat omgekeerd de bissectrice van een middelpuntshoek in een cirkel de koorde die de middelpuntshoek omspant middendoor deelt. Hierbij is steeds te veronderstellen dat de koorde niet door het middelpunt van de cirkel gaat en dus zelf geen middellijn is.

Kies je (met 0 < | θ - φ | < π) twee punten op de eenheidscirkel met coördinaten A(cos θ ; sin θ) en B(cos φ ; sin φ) dan heeft het midden M van de koorde AB die deze twee punten verbindt uiteraard de coördinaten (½(cos θ + cos φ) ; ½(sin θ + sin φ)). Maar nu ligt M op de bissectrice van ∠AOB, en deze bissectrice snijdt de eenheidscirkel dus in het punt C(cos ½(θ + φ) ; sin ½(θ + φ)). En aangezien OM loodrecht staat op AB is OM : OC = OM : OA = cos ∠MOA = cos ½(θ - φ). Punt M is dus het beeld van punt C bij een meetkundige vermenigvuldiging ten opzichte van de oorsprong met een factor cos ½(θ - φ), zodat de coördinaten van punt M ook gelijk zijn aan (cos ½(θ - φ)∙cos ½(θ + φ) ; cos ½(θ - φ)∙sin ½(θ + φ)), en dus is ½(cos θ + cos φ) = cos ½(θ - φ)∙cos ½(θ + φ) en tevens ½(sin θ + sin φ) = cos ½(θ - φ)∙sin ½(θ + φ).

Substitueer je in bovenstaande formules van Simpson θ = nψ en φ = (n-2)ψ, dan krijg je:

cos nψ + cos (n-2)ψ = 2∙cos (n-1)ψ∙cos ψ
sin nψ + sin (n-2)ψ = 2∙sin (n-1)ψ∙cos ψ

En dit kun je ook schrijven als:

cos nψ = 2∙cos ψ∙cos (n-1)ψ - cos (n-2)ψ
sin nψ = 2∙cos ψ∙sin (n-1)ψ - sin (n-2)ψ

Dit zijn recursieve betrekkingen voor de cosinus en sinus van een veelvoud van een hoek. Maar dat niet alleen, je ziet dat dit tweede orde recursieve betrekkingen zijn. Als we een rij hebben gedefinieerd door u_n = cos nψ óf door u_n = sin nψ, dan voldoet deze rij op grond van bovenstaande recursieformules dus aan:

u_n = 2∙c∙u_n-1 - u_n-2

met c = cos ψ. Oefening: leid nu zelf aan de hand van deze recursieve betrekking gesloten (niet recursieve) uitdrukkingen af voor de algemene term u_n van deze rijen, zowel voor u_n = cos nψ als voor u_n = sin nψ.

Nu we zien waarom goniometrische rijen met als termen sinussen of cosinussen van opeenvolgende gehele veelvouden van een hoek altijd voldoen aan een tweede orde lineaire recursieve betrekking wordt het al wat inzichtelijker waarom er überhaupt goniometrische functies opduiken in de gesloten (niet recursieve) uitdrukkingen voor bepaalde rijen die voldoen aan een tweede orde lineaire recursieve betrekking.

Twee voor de hand liggende vragen zijn nu: (a) is het altijd mogelijk de uitdrukking voor de algemene term van een reële rij die voldoet aan een tweede orde lineaire recursie om te schrijven naar een goniometrische vorm wanneer de karakteristieke vergelijking twee (toegevoegd) complexe wortels heeft en (b) hoe kunnen we dat dan doen?

Het is inderdaad altijd mogelijk om de uitdrukking voor de algemene term u_n van een reële rij te herleiden tot een goniometrische vorm als de rij voldoet aan een tweede orde lineaire recursieve betrekking en de karakteristieke vergelijking twee (toegevoegd) complexe wortels heeft. Om dit te bewijzen gaan we uit van een reële rij met algemene term u_n die voldoet aan een tweede orde lineaire recursie en waarbij de karakteristieke vergelijking twee toegevoegd complexe wortels λ₁ en λ₂ heeft. De algemene oplossing voor de recursie is dan:

u_n = α∙λ₁ⁿ + β∙λ₂ⁿ

waarbij α en β constanten zijn, die in principe zowel reëel als complex kunnen zijn. Nu weet je dat we complexe getallen ook in polaire vorm kunnen omzetten. Laten we zeggen dat:

λ₁ = r(cos φ + i∙sinφ)

dan is:

λ₂ = r(cos φ - i∙sinφ)

aangezien λ₁ en λ₂ elkaars geconjugeerde zijn. Nu weet je ook dat:

e^iφ = cos φ + i∙sin φ
e^-iφ = cos φ - i∙sin φ

zodat we hebben λ₁ = r∙e^iφ en λ₂ = r∙e^-iφ en we dus de uitdrukking voor de algemene term van onze rij kunnen schrijven als:

u_n = α∙rⁿ∙e^inφ + β∙rⁿ∙e^-inφ

Introduceren we nu twee nieuwe parameters A en B als volgt:

A = α + β
Β = i(α - β)

dan hebben we dus:

α = ½(A - iB)
β = ½(A + iB)

en kunnen we de uitdrukking voor de algemene term van onze rij dus schrijven als:

u_n = ½(A - iB)∙rⁿ∙e^inφ + ½(A + iB)∙rⁿ∙e^-inφ

oftewel:

u_n = A∙rⁿ∙½∙(e^inφ + e^-inφ) - B∙rⁿ∙½∙i∙(e^inφ - e^-inφ)

En aangezien:

cos nφ = (e^inφ + e^-inφ)/2
sin nφ = (e^inφ - e^-inφ)/2i

kunnen we de uitdrukking voor voor de algemene term van onze rij dus inderdaad schrijven als:

u_n = rⁿ∙(A∙cos nφ + B∙sin nφ)

Maar hiermee zijn we er nog niet, want we hadden opgemerkt dat α en β, en dus ook A en B, in principe complexe grootheden kunnen zijn. Het is wel duidelijk dat als A en B reëel zijn dat dan ook bovenstaande uitdrukking voor u_n reëel is, maar nu moeten we het omgekeerde laten zien, namelijk dat A en B reëel zijn als de termen van de rij reëel zijn. Maar dit is niet moeilijk aan te tonen. Substitutie van n = 0 en n = 1 geeft:

u₀ = A, u₁ = A∙r∙cos φ + B∙r∙sin φ

Welnu, u₀ is reëel en dus is A ook reëel en daarmee is A∙r∙cos φ ook reëel. En aangezien u₁ reëel is en r∙sin φ reëel is en tevens ongelijk aan nul omdat λ₁ ≠ λ₂ volgt dat B ook reëel is.

Hiermee is dus aangetoond dat de algemene term van elke tweede orde lineaire recursieve rij met reële termen waarvan de karakteristieke vergelijking twee toegevoegd complexe wortels heeft kan worden uitgedrukt in de goniometrische gedaante u_n = rⁿ∙(A∙cos nφ + B∙sin nφ) zonder gebruik van complexe getallen.

QED

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 01-12-2012 15:44:36 ]

Ik ga dit straks uitprinten en bestuderen. Betreffende de wet van Stigler, dat stukje stond ook in mijn boek, en ik dacht exact hetzelfde. Hartelijk dank voor je antwoord! Volgend uur weer wiskunde.

Grappig hoe Riparius overal een bewijs vandaan weet te toveren gebaseerd op goniometrie en meetkunde. Wist niet dat het ook zo kon.

Maar je verhaal is wel toegespitst op tweedegraads recurrente betrekkingen. Als je iets wil zeggen over het algemene geval (n-de graads) dan moet je denk ik wel echt met voortbrengende functies gaan werken. Correct?

quote:

Op donderdag 29 november 2012 10:04 schreef Amoeba het volgende:
Ik ga dit straks uitprinten en bestuderen. Betreffende de wet van Stigler, dat stukje stond ook in mijn boek, en ik dacht exact hetzelfde. Hartelijk dank voor je antwoord! Volgend uur weer wiskunde.

Voor iedereen die mijn posts wil uitprinten nog wat tips: je kunt mijn tekst direct copy pasten in Microsoft Word en van daaruit goed leesbaar afdrukken, alle Unicode tekens en ook features zoals sub- en superscript en bold en italic blijven dan gewoon behouden. Als font kun je gewoon Times New Roman gebruiken, maar fraaier is bijvoorbeeld Minion Pro, dat wordt meegeleverd bij de kosteloze Adobe Reader. Aangezien vrijwel iedereen de Adobe Reader heeft, is dit font vrijwel zeker op je systeem aanwezig, maar moet je het alleen nog even toegankelijk maken, zie hier.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 30-11-2012 17:41:55 ]

quote:

Op donderdag 29 november 2012 14:50 schreef thenxero het volgende:
Grappig hoe Riparius overal een bewijs vandaan weet te toveren gebaseerd op goniometrie en meetkunde.

Wat een baas he

Maar verder vroeg ik ook expliciet om het bewijs voor een tweedegraads recursieve vergelijking.

quote:

Op donderdag 29 november 2012 14:50 schreef thenxero het volgende:
Grappig hoe Riparius overal een bewijs vandaan weet te toveren gebaseerd op goniometrie en meetkunde. Wist niet dat het ook zo kon.

De meetkunde gebruik ik hier alleen illustratief, maar ook om diepere verbanden te laten zien waaraan m.i. in het onderwijs veel te weinig aandacht wordt geschonken. Veel formules hebben een heel eenvoudige meetkundige interpretatie. Zo is de formule van Euler meetkundig te interpreteren als een consequentie van het feit dat een raaklijn aan een cirkel loodrecht staat op de straal naar het raakpunt. Evenzo zijn de formules van Simpson te interpreteren als een goniometrisch equivalent van een basale eigenschap van koorden in een cirkel, namelijk dat de middelloodlijn van een koorde samenvalt met de bissectrice van de middelpuntshoek die door de koorde wordt omspannen. En zo zijn er veel meer van dergelijke verbanden.

quote:

Maar je verhaal is wel toegespitst op tweedegraads recurrente betrekkingen. Als je iets wil zeggen over het algemene geval (n-de graads) dan moet je denk ik wel echt met voortbrengende functies gaan werken. Correct?

Nee. Als je een n-de orde lineaire recurrente betrekking hebt, dan levert die een n-de graads karakteristieke vergelijking op. De werkwijze blijft precies hetzelfde als bij tweedegraads recurrente betrekkingen, alleen zijn de betreffende hogeremachts vergelijkingen lastiger of (voor n > 4) in veel gevallen helemaal niet algebraïsch op te lossen. Dat geldt trouwens evenzo bij het werken met voortbrengende functies. De voortbrengende functie van een n-de orde lineaire recurrente rij is een rationale functie waarvan de noemer een polynoom is van graad n, en als je dat in lineaire deelbreuken wil opsplitsen moet je dus evengoed de nulpunten bepalen van een n-de graads polynoom.

Verder blijft de werkwijze om complexe getallen in de gesloten uitdrukking voor de algemene term van een reële n-de orde recurrente rij te vermijden door het gebruik van goniometrische functies precies hetzelfde: complexe nulpunten van polynomen met reële coëfficiënten treden namelijk altijd op als geconjugeerde paren en voor elk geconjugeerd paar kun je dus dezelfde werkwijze gebruiken als bij reële tweede orde lineaire recurrente rijen waarbij de karakteristieke vergelijking twee toegevoegd complexe wortels heeft.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 29-11-2012 17:05:47 ]

Weet iemand of er zoiets is als een binas, maar dan voor (toegepaste) wiskunde? Ik bedoel een boek met formules, notaties en handigheidjes geordend naar onderwerp.

Bijvoorbeeld een overzicht van wiskundige symbolen en notatie, afgeleiden/integralen, kansdichtheden, (partiele) somrijen etc.

Maar ook zoiets als: a^n + b^n = (a-b)(a^n-1 + ba^n2 + ....+ b^n-1)

Ik heb de pagina van Wolfram in de OP wel gevonden maar dat is toch niet helemaal wat ik zoek. Naar mijn idee veelal "fundamentele" eigenschappen/operaties onder de lemma's. Dat zijn nou juist die dingen die ik wel kan onthouden indien ik ze nodig heb. Een goed voorbeeld is de voor- en achterflap van het boek Calculus: a complete course van Pearson education.

Achtergrondinformatie: Ik studeer Econometrie. Volgens mij heeft Wolfram meer een achterban in de natuurkunde/wiskunde (toch?), het zou kunnen dat ik de informatie daarom niet echt aansluit op mijn behoefte.

Voor zover ik weet bestaat dat niet, maar ik snap ook niet waarvoor het nuttig zou zijn.

Bij dit soort hogere orde diff vergl. komt het moment van geklungel bij het omschrijven naar (lapda +1)^3 op de 2e alinea, hoe pak je zoiets nu goed aan...

Binomium van Newton.

quote:

Op vrijdag 30 november 2012 15:54 schreef synthesix het volgende:
Weet iemand of er zoiets is als een binas, maar dan voor (toegepaste) wiskunde? Ik bedoel een boek met formules, notaties en handigheidjes geordend naar onderwerp.

Bijvoorbeeld een overzicht van wiskundige symbolen en notatie, afgeleiden/integralen, kansdichtheden, (partiele) somrijen etc.

Maar ook zoiets als: a^n + b^n = (a-b)(a^n-1 + ba^n2 + ....+ b^n-1)

Dit is alvast fout. Je bedoelt:

aⁿ - bⁿ = (a - b)∙∑_k=1ⁿ a^n-kb^k-1

De som aⁿ + bⁿ heeft een factor (a + b) als n oneven is, bijvoorbeeld:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Is n even en groter dan 2, dan kun je aⁿ + bⁿ wel ontbinden in reële kwadratische factoren met het cirkeltheorema van Cotes, bijvoorbeeld:

a⁴ + b⁴ = (a² + √2∙ab + b²)(a² - √2∙ab + b²)

quote:

Ik heb de pagina van Wolfram in de OP wel gevonden maar dat is toch niet helemaal wat ik zoek. Naar mijn idee veelal "fundamentele" eigenschappen/operaties onder de lemma's. Dat zijn nou juist die dingen die ik wel kan onthouden indien ik ze nodig heb. Een goed voorbeeld is de voor- en achterflap van het boek Calculus: a complete course van Pearson education.

Achtergrondinformatie: Ik studeer Econometrie. Volgens mij heeft Wolfram meer een achterban in de natuurkunde/wiskunde (toch?), het zou kunnen dat ik de informatie daarom niet echt aansluit op mijn behoefte.

Lastig, want ik weet niet wat je allemaal nodig denkt te hebben. Een klassieker is het handboek van Abramowitz en Stegun. Dit is rechtenvrij en op verschillende plaatsen als PDF te downloaden, zie het Wikipedia artikel over dit boek. Overigens is dit handboek inmiddels vervangen door de NIST Digital Library of Mathematical Functions.

@Riparius Oeps, typo. Bedoelde inderdaad

Je laatste link helpt me al een eind op weg, thanks!

Nu ik er zo over nadenk gaat het eigenlijk met name om dingen die je in een basiscursus calculus leert, en die je later in je studie wel een nodig hebt voor bewijzen oid. Maar dan zo weinig dat je het niet onthoud, en niet zo triviaal dat je het zelf wel kunt bedenken als het nodig hebt.

Om wat voorbeelden te geven van dingen die ik de laatste paar maanden nog op moest zoeken en waarvan ik sommige nu alweer vergeten ben:'):
- Det[A] berekenen mbv de determinaten van submatrixen, wat was ook al weer het teken van de cofactoren
-
- Variabelen transformatie van (x,y) naar (u,v) in een dubbele integraal. Gebruik je dan de Jacobiaan van (u,v) in (x,y) of van (x,y) in (u,v)?
- cos(x-y) = cosxcosy + sinxsiny

Snap je een beetje wat ik bedoel? Ik kan me haast niet voorstellen dat dat ik de enige ben die dat heeft.

quote:

Op vrijdag 30 november 2012 19:36 schreef synthesix het volgende:
@Riparius Oeps, typo. Bedoelde inderdaad

Je laatste link helpt me al een eind op weg, thanks!

Nu ik er zo over nadenk gaat het eigenlijk met name om dingen die je in een basiscursus calculus leert, en die je later in je studie wel een nodig hebt voor bewijzen oid. Maar dan zo weinig dat je het niet onthoud, en niet zo triviaal dat je het zelf wel kunt bedenken als het nodig hebt.

Om wat voorbeelden te geven van dingen die ik de laatste paar maanden nog op moest zoeken en waarvan ik sommige nu alweer vergeten ben:'):
- Det[A] berekenen mbv de determinaten van submatrixen, wat was ook al weer het teken van de cofactoren
-
- Variabelen transformatie van (x,y) naar (u,v) in een dubbele integraal. Gebruik je dan de Jacobiaan van (u,v) in (x,y) of van (x,y) in (u,v)?
- cos(x-y) = cosxcosy + sinxsiny

Snap je een beetje wat ik bedoel? Ik kan me haast niet voorstellen dat dat ik de enige ben die dat heeft.

Klopt, ik google die dingen meestal gewoon. Maar er zijn ook vrij veel van dat soort formules, dus ik weet niet of zo'n lijst echt overzichtelijk zou zijn. Het makkelijkste is om de formules die jij vaak vergeet voor jezelf op te schrijven

quote:

Op vrijdag 30 november 2012 19:36 schreef synthesix het volgende:
@Riparius Oeps, typo. Bedoelde inderdaad

Je laatste link helpt me al een eind op weg, thanks!

Nu ik er zo over nadenk gaat het eigenlijk met name om dingen die je in een basiscursus calculus leert, en die je later in je studie wel eens nodig hebt voor bewijzen oid. Maar dan zo weinig dat je het niet onthoudt, en niet zo triviaal dat je het zelf wel kunt bedenken als het nodig hebt.

Om wat voorbeelden te geven van dingen die ik de laatste paar maanden nog op moest zoeken en waarvan ik sommige nu alweer vergeten ben:'):
- Det[A] berekenen mbv de determinaten van submatrixen, wat was ook al weer het teken van de cofactoren
-
- Variabelen transformatie van (x,y) naar (u,v) in een dubbele integraal. Gebruik je dan de Jacobiaan van (u,v) in (x,y) of van (x,y) in (u,v)?
- cos(x-y) = cosxcosy + sinxsiny

Snap je een beetje wat ik bedoel? Ik kan me haast niet voorstellen dat dat ik de enige ben die dat heeft.

De Jacobiaan voor de transformatie van (x,y) naar (u,v) is gemakkelijk in symbolische vorm te onthouden:

dxdy = ∂(x,y)/∂(u,v) ∙ dudv

En voor goniometrische identiteiten kan ik je mijn PDF aanbevelen. Hopelijk vergeet je ze dan nooit meer.

Voor wat meer elementaire zaken kan ik je het Vademecum van de wiskunde van Otto Teller aanraden (Prisma pocket nr. 1033). Ik weet niet of dit nog nieuw verkrijgbaar is, maar tweedehands is het vast niet moeilijk te vinden.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 30-11-2012 20:59:25 ]

quote:

Op vrijdag 30 november 2012 19:36 schreef synthesix het volgende:

-

Ik heb helaas colleges moeten missen en de documentatie van het vak wat ik nu volg is vrij bagger. Nu wil ik graag wat meer achtergrond van de gegeven onderwerpen in: http://www.2shared.com/do(...)jd__tweede_coll.html. Als iemand goede bronnen heeft hoor ik het graag.

* Ito calculus (lemma, diffusie)
* Stochastische dynamische optimalisatie
* Merton's portfolio problem

quote:

Op vrijdag 30 november 2012 16:52 schreef GoodGawd het volgende:
Bij dit soort hogere orde diff vergl. komt het moment van geklungel bij het omschrijven naar (lapda +1)^3 op de 2e alinea, hoe pak je zoiets nu goed aan...

[ afbeelding ]

Omdat het een orde drie diff. vergelijking is zonder triviale coëfficiënten (geen nullen), wordt de algemene oplossing opgespannen door een basis van dimensie 3 (dus de algemene oplossing bestaat uit drie termen). In dit geval zijn dat dus die e-machten. Je vult die e-macht in (dit is één van je basiselementen) en vindt daarmee alle mogelijke lambda's. Als n lambda's dezelfde waarde hebben, dan hebben de bijbehorende n basiselementen respectievelijk 1,x,x^2,...,x^(n-1) in de factorisatie van de coëfficiënten zitten.

Ben ik begrijpelijk?

Hier staat uitgelegd hoe je tot de algemene oplossing komt:
http://en.wikipedia.org/w(...)onstant_coefficients

Het stomme van diff. vergelijkingen is dat je gewoon de algemene oplossing uit je hoofd moet kennen.

[ Bericht 0% gewijzigd door Mathemaat op 02-12-2012 14:20:05 ]

Dank.

[ Bericht 94% gewijzigd door GoodGawd op 01-12-2012 21:55:38 ]

quote:

Op zaterdag 1 december 2012 10:17 schreef Mathemaat het volgende:

Als n lambda's dezelfde waarde hebben, dan hebben de bijbehorende n basiselementen respectievelijk 1,x,x^2,...,x^n in de factorisatie van de coëfficiënten zitten.

Niet helemaal: als λ₀ een wortel is met multipliciteit n van de karakteristieke vergelijking van een lineaire homogene differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten, dan is xⁿ∙exp(λ₀∙x) geen oplossing van de differentiaalvergelijking.

[ Bericht 100% gewijzigd door Mathemaat op 02-12-2012 14:20:13 ]

quote:

Op donderdag 29 november 2012 16:58 schreef Riparius het volgende:

[..]

De meetkunde gebruik ik hier alleen illustratief, maar ook om diepere verbanden te laten zien waaraan m.i. in het onderwijs veel te weinig aandacht wordt geschonken. Veel formules hebben een heel eenvoudige meetkundige interpretatie. Zo is de formule van Euler meetkundig te interpreteren als een consequentie van het feit dat een raaklijn aan een cirkel loodrecht staat op de straal naar het raakpunt. Evenzo zijn de formules van Simpson te interpreteren als een goniometrisch equivalent van een basale eigenschap van koorden in een cirkel, namelijk dat de middelloodlijn van een koorde samenvalt met de bissectrice van de middelpuntshoek die door de koorde wordt omspannen. En zo zijn er veel meer van dergelijke verbanden.
[...]

Ben ik het helemaal mee eens!
Riparius, schrijf je voor je werk ook weleens dingen over wiskunde? Je bent er erg bedreven in moet ik zeggen

[ Bericht 0% gewijzigd door kutkloon7 op 02-12-2012 19:59:58 ]

quote:

Op zondag 2 december 2012 14:19 schreef Mathemaat het volgende:

n moet n-1 zijn

quote:

Op zaterdag 1 december 2012 00:21 schreef Physics het volgende:
Ik heb helaas colleges moeten missen en de documentatie van het vak wat ik nu volg is vrij bagger. Nu wil ik graag wat meer achtergrond van de gegeven onderwerpen in: http://www.2shared.com/do(...)jd__tweede_coll.html. Als iemand goede bronnen heeft hoor ik het graag.

* Ito calculus (lemma, diffusie)
* Stochastische dynamische optimalisatie
* Merton's portfolio problem

- Protter
- Shreve & Karatzas

Trouwens, misschien een aanrader voor mensen die geïnteresseerd zijn, maar geen bronnen hebben:
http://webmovies.science.uu.nl/
Opgenomen wiskunde colleges van de UU, misschien wat voor jou Amoeba? Omdat je aangaf niet te kunnen wachten om te beginnen met een studie wiskunde (meen ik me te herinneren).

(ik ben zelf ook van plan om ze te gaan gebruiken, goed om te leren voor een herkansing, vooruit te leren of als je gewoon je geheugen wil opfrissen)

Welk vak? Calculus?

quote:

Op zondag 2 december 2012 20:06 schreef Amoeba het volgende:
Welk vak? Calculus?

Alles wat je interessant vindt. Alles wat in die lijst onder Functies en Reeksen staat zijn eerstejaarsvakken. Calculus en analyse zijn denk ik het boeiendst om te volgen (infi a is een beetje basic misschien). Lineaire algebra B is wel boeiend, maar ik vond de manier waarop het gegeven werd wat te abstract (alleen maar theorie, amper toepassingen).

Ik vind alleen uit een boek dingen leren altijd zo droog, een college is een wat makkelijkere manier om dingen te leren (je snapt wat sneller hoe de docenten naar de dingen kijken). Als je de opgenomen colleges en een boek of dictaat (deze staan vaak ook wel op internet) hebt is dit volgens mij een prima manier om het vak een beetje door te krijgen.
Voor mij werkt het in ieder geval beter als ik het zo leer in mijn vrije tijd dan dat ik het vak echt volg

Ik heb een vraagje wat betreft Matlab. Ik heb de volgende ODE:



Nu wil ik dit simpel oplossen in Matlab met de 'dsolve-functie.' http://www.mathworks.nl/help/symbolic/dsolve.html

Ik vul de vergelijking in op deze manier, waar volgens mij niet veel mis mee is:

syms k L
dsolve('k*D2x=-x*(L-x)' , 'x(0)=0' , 'x(L)=0')

Nu geeft hij als antwoord slechts ans=0. Dit is natuurlijk niet de bedoeling. Weet iemand hoe ik een beter antwoord kan krijgen. Heeft het er iets te maken dat ik ook de eigenwaarde moet opgeven?

quote:

Op maandag 3 december 2012 13:43 schreef Quyxz_ het volgende:
Ik heb een vraagje wat betreft Matlab. Ik heb de volgende ODE:

[ afbeelding ]

Nu wil ik dit simpel oplossen in Matlab met de 'dsolve-functie.' http://www.mathworks.nl/help/symbolic/dsolve.html

Ik vul de vergelijking in op deze manier, waar volgens mij niet veel mis mee is:

syms k L
dsolve('k*D2x=-x*(L-x)' , 'x(0)=0' , 'x(L)=0')

Nu geeft hij als antwoord slechts ans=0. Dit is natuurlijk niet de bedoeling. Weet iemand hoe ik een beter antwoord kan krijgen. Heeft het er iets te maken dat ik ook de eigenwaarde moet opgeven?

Als ik je linkje doorlees, dan denk ik dat je D2u moet schrijven, niet D2x, want u is je afhankelijke variabele, niet x: Any character immediately following a differentiation operator is a dependent variable. En dan natuurlijk ook u(0) en u(L) schrijven. Overigens gaan dit soort dingen gemakkelijk in WolframAlpha.

quote:

Op maandag 3 december 2012 13:54 schreef Riparius het volgende:

[..]

Als ik je linkje doorlees, dan denk ik dat je D2u moet schrijven, niet D2x, want u is je afhankelijke variabele, niet x: Any character immediately following a differentiation operator is a dependent variable. En dan natuurlijk ook u(0) en u(L) schrijven. Overigens gaan dit soort dingen gemakkelijk in WolframAlpha.

Ah bedankt!

Ik heb het nu ook uit Matlab gekregen door even goed naar de afhankelijke en onafhankelijke variabelen te kijken. Blijkbaar gebruikt deze functie t als standaard onafhankelijke variabele, dus ik heb het nu zo ingevuld:

dsolve('k*D2x=-t*(L-t)' , 'x(0)=0' , 'x(L)=0')

Nu krijg ik hetzelfde antwoord als WA.

quote:

Op maandag 3 december 2012 14:01 schreef Quyxz_ het volgende:

[..]

Ah bedankt!

Ik heb het nu ook uit Matlab gekregen door even goed naar de afhankelijke en onafhankelijke variabelen te kijken. Blijkbaar gebruikt deze functie t als standaard onafhankelijke variabele, dus ik heb het nu zo ingevuld:

dsolve('k*D2x=-t*(L-t)' , 'x(0)=0' , 'x(L)=0')

Nu krijg ik hetzelfde antwoord als WA.

Zo kan het ook, maar zoals je het eerst deed had je x zowel als afhankelijke als als onafhankelijke variabele, en dan is het nogal wiedes dat het niet werkt.

quote:

Op zondag 2 december 2012 21:13 schreef kutkloon7 het volgende:

[..]

Alles wat je interessant vindt. Alles wat in die lijst onder Functies en Reeksen staat zijn eerstejaarsvakken. Calculus en analyse zijn denk ik het boeiendst om te volgen (infi a is een beetje basic misschien). Lineaire algebra B is wel boeiend, maar ik vond de manier waarop het gegeven werd wat te abstract (alleen maar theorie, amper toepassingen).

Ik vind alleen uit een boek dingen leren altijd zo droog, een college is een wat makkelijkere manier om dingen te leren (je snapt wat sneller hoe de docenten naar de dingen kijken). Als je de opgenomen colleges en een boek of dictaat (deze staan vaak ook wel op internet) hebt is dit volgens mij een prima manier om het vak een beetje door te krijgen.
Voor mij werkt het in ieder geval beter als ik het zo leer in mijn vrije tijd dan dat ik het vak echt volg

Ik ga er naar kijken.

Infi A, wat behandelt dat precies? Beetje beginselen differentiaal/integraalrekening (limieten?)

quote:

Op maandag 3 december 2012 21:13 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik ga er naar kijken.

Infi A, wat behandelt dat precies? Beetje beginselen differentiaal/integraalrekening (limieten?)

Gewoon middelbare school stof in feite maar dan hier en daar net wat verder. Heel veel dingen ben je waarschijnlijk al tegen gekomen in wisB of wisD. Differentiëren, integreren, substitutieregel voor integralen, partiëel integreren, simpele limietjes (zonder strikte bewijzen: bewijzen met limieten zitten in Analyse A), Taylorreeks, injectieve/surjectieve/bijectieve functies, gewone differentiaalvergelijkingen, continue functies, ... . Dat is ongeveer wat ik me kan herinneren .

quote:

Op maandag 3 december 2012 21:13 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik ga er naar kijken.

Infi A, wat behandelt dat precies? Beetje beginselen differentiaal/integraalrekening (limieten?)

Op de webpagina van de docent staat een linkje naar een dictaat, maar ze zijn zo te zien nu overgestapt op het Engelstalige boek Calculus, A Complete Course van Adams & Essex. Dat is een pil van ruim 1000 bladzijden. Hier verbaas ik me wel een beetje over, want dat boek is meer bedoeld voor opleidingen waarbij wiskunde geen hoofdzaak is maar wel wordt toegepast.

quote:

Op maandag 3 december 2012 21:13 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik ga er naar kijken.

Infi A, wat behandelt dat precies? Beetje beginselen differentiaal/integraalrekening (limieten?)

Ja, verder wat over taylorreeksen, en hoe en hoe goed je functie daarmee benadert. Verder wat begin in differentiaalvergelijkingen. Dictaat is hier te vinden. Voor infi B gebruikten we een boek, dat was helaas wat minder overzichtelijk.

Edit: O, dit was dus allemaal al gezegd
Ik zie nu dat er op de site van hogendijk ook wat extra opgaven (zogenaamde marsopgaven, je kreeg een mars als je ze goed oploste ), die zijn vaak ook interessant.

Vrij simpele vraag lijkt mij.

Ik weet niet precies waar ik dit moet plaatsen maar probeer het maar op GC.

De vraag is:

Legoland is gebouw op een schaal van 1:25

Hoe groot is de oppervlakte van een terein op Legoland, dat in werkelijkheid precies 1/16de hectare is.

De oppervlakte van legoland is dan ... vierkante meter.

Ik zou denken 10000 vierkante meter / 16 / 25 = 25 m2 maar dat klopt niet.
Iemand die hier het antwoord wel weet want ik kan zo niet verder. Heb alles ook al gegoogled.

Vraag 2

Legoland is gebouwd op een schaal van 1:25

de inhoud van een nagebouwde vloeistoftank is 3,2 liter
wat is de inhoud van de ECHTE tank in liters

Ik kom hier echt niet uit. En heb van dit deel ook geen antwoorden.

oppervlakte is in 2 dimensies, inhoud in 3 dimensies.

Wil je dus de oppervlakte van een schaalmodel weten, moet je 2 keer delen door de schaal. zowel voor de "x" richting als voor de "y" richting.
vb: anders ga je van een vierkant naar een rechthoek waarvan 1 zijde nog steeds even lang is ipv een kleiner vierkant.

Voor inhoud zelfs een 3e keer voor de "z" richting.

Op de één of andere manier kom ik niet uit deze vraag..


Ik moet op uitkomen

quote:

Op dinsdag 4 december 2012 17:37 schreef Miraculously het volgende:
Op de één of andere manier kom ik niet uit deze vraag..
[ afbeelding ]

Ik moet op [ afbeelding ] uitkomen

Onderaan de kettingbreuk beginnen: 3 + 1/4 = 12/4 + 1/4 = 13/4. Nu het omgekeerde nemen, dat is 4/13, en hier 2 bij optellen. Dat geeft 2 + 4/13 = 26/13 + 4/13 = 30/13. Weer het omgekeerde nemen, dat is 13/30. Hier tenslotte 1 bij optellen en we krijgen 1 + 13/30 = 30/30 + 13/30 = 43/30. Dit is echt lagere school werk.

quote:

Op dinsdag 4 december 2012 17:56 schreef Riparius het volgende:

[..]

Onderaan de kettingbreuk beginnen: 3 + 1/4 = 12/4 + 1/4 = 13/4. Nu het omgekeerde nemen, dat is 4/13, en hier 2 bij optellen. Dat geeft 2 + 4/13 = 26/13 + 4/13 = 30/13. Weer het omgekeerde nemen, dat is 13/30. Hier tenslotte 1 bij optellen en we krijgen 1 + 13/30 = 30/30 + 13/30 = 43/30. Dit is echt lagere school werk.

Bedankt, maar dit heb ik nooit op de lagere of middelbare school gehad.

quote:

Op dinsdag 4 december 2012 18:04 schreef Miraculously het volgende:

[..]

Bedankt, maar dit heb ik nooit op de lagere of middelbare school gehad.

Eigenlijk wel, maar je hebt er nooit stil bij gestaan. Je moet consequent de regenregels, die altijd zo intuïtief leken, gebruiken en die heb je wel geleerd.

quote:

Op dinsdag 4 december 2012 18:06 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Eigenlijk wel, maar je hebt er nooit stil bij gestaan. Je moet consequent de regenregels, die altijd zo intuïtief leken, gebruiken en die heb je wel geleerd.

Het is ook al even geleden dat ik dit soort dingen uit mijn hoofd gedaan heb, ik heb sinds de middelbare school immers alleen maar een rekenmachine gebruikt..

quote:

Op dinsdag 4 december 2012 18:12 schreef Miraculously het volgende:

[..]

Het is ook al even geleden dat ik dit soort dingen uit mijn hoofd gedaan heb, ik heb sinds de middelbare school immers alleen maar een rekenmachine gebruikt..

Een rekenmachine kan dit ook niet als je het niet volgens de rekenregels invoert. Het is niet erg dat je het niet kon, dat is niet het punt dat ik wil maken.

als je een alternerende rij { a_n } hebt met a_n = (n+1)(-1)ⁿ ,

(sommatie van n=0 tot oneindig) (n+1)(-1)ⁿ zal convergent zijn als de rij {a_n} voldoet aan bepaalde voorwaarden

a_na_n+1 <0 voor n>een positief getal.
|a_n+1|<=a_n voor n>een positief getal.
lim n->oneindig a_n = 0

als de rij hier niet aan voldoet, is (sommatie van n=0 tot oneindig) (n+1)(-1)ⁿ dan sowieso niet convergent?

[ Bericht 4% gewijzigd door flopsies op 04-12-2012 21:24:27 ]

quote:

Op dinsdag 4 december 2012 20:49 schreef flopsies het volgende:
als je een alternerende reeks hebt zoals { (n+1)(-1)ⁿ } ,

(sommatie van n=0 tot oneindig) (n+1)(-1)ⁿ (en andere alternerende reeksen) zal convergent zijn als de reeks voldoet aan bepaalde voorwaarden

a_na_n+1 <0 voor n>een positief getal.
|a_n+1|<=a_n voor n>een positief getal.
lim n->oneindig a_n = 0

als de reeks hier niet aan voldoet, is (sommatie van n=0 tot oneindig) (n+1)(-1)ⁿ dan sowieso niet convergent?

-edit: wacht even hoor, even wat beter kijken nog-
Als de limiet van de rij > 0 is, is de reeks sowieso niet convergent

quote:

Op dinsdag 4 december 2012 21:06 schreef kutkloon7 het volgende:

[..]

-edit: wacht even hoor, even wat beter kijken nog-
Als de limiet van de rij > 0 is, is de reeks sowieso niet convergent

De vraag staat er verkeerd, de rij waar het om gaat is a_n(-1)ⁿ. Als je a_n = (-1)ⁿ⁺¹ pakt dan zie je dat jouw antwoord niet klopt.

quote:

Op dinsdag 4 december 2012 20:49 schreef flopsies het volgende:
als je een alternerende reeks hebt zoals { (n+1)(-1)ⁿ } ,

Hier is zo geen chocola van te maken. Je praat over een reeks, maar geeft dan de notatie van een rij, en wat moet ik me bij die notatie voorstellen?

Voor reeksen waarvan de termen alterneren heb je het criterium van Leibniz.

Als je een alternerende rij {a_n} hebt en een N zodanig dat

lim_n→∞ a_n = 0 ∧ ∀_n>N |a_n+1| ≤ |a_n|

dan is de reeks ∑_n=0 ∞ a_n convergent.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 04-12-2012 21:26:01 ]

Sorry, ik haal de termen door elkaar

quote:

Op dinsdag 4 december 2012 21:12 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

De vraag staat er verkeerd, de rij waar het om gaat is a_n(-1)ⁿ. Als je a_n = (-1)ⁿ⁺¹ pakt dan zie je dat jouw antwoord niet klopt.

Hoezo, de reeks ∑_n=0a_n heeft toch geen limiet als n naar oneindig gaat?

Heb mijn post aangepast, nu beter? sorry hiervoor

Klopt nog niet helemaal: je definieert a_n maar doet er vervolgens niks mee...
Ik snap ook niet helemaal wat je bedoelt: wil je nou weten of een specifieke reeks convergent is?

quote:

Op dinsdag 4 december 2012 21:06 schreef kutkloon7 het volgende:

[..]

-edit: wacht even hoor, even wat beter kijken nog-
Als de limiet van de rij > 0 is, is de reeks sowieso niet convergent

I see. Maar wat als de limiet van de rij (a_n) niet bestaat?

quote:

Op dinsdag 4 december 2012 21:28 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

I see. Maar wat als de limiet van de rij (a_n) niet bestaat?

Dan bestaat de limiet van de bijbehorende reeks ook niet? (maar ik had het over het geval dat de limiet wel bestaat)

of dit de enige test is om te kijken of een alternerende reeks convergeert. Als de rij {a_n} niet voldoet
aan de voorwaarden die riparius ook heeft gepost, is de reeks ∑_n=0 ∞ a_n dan sowieso NIET convergent? misschien een domme vraag maar ik wil het even zeker weten

quote:

Op dinsdag 4 december 2012 21:34 schreef flopsies het volgende:
of dit de enige test is om te kijken of een alternerende reeks convergeert. Als de rij {a_n} niet voldoet
aan de voorwaarden die riparius ook heeft gepost, is de reeks ∑_n=0 ∞ a_n dan sowieso NIET convergent? misschien een domme vraag maar ik wil het even zeker weten

Het criterium van Leibniz is voldoende maar niet noodzakelijk voor convergentie van een reeks met alternerende termen. Beschouw bijvoorbeeld de rij {a_n} gedefinieerd door:

a_n = ((-1)ⁿ⁺¹∙|sin n|)/n²

Dan is |a_n| niet monotoon dalend terwijl ∑_n=1 ∞ a_n toch convergeert.

[ Bericht 5% gewijzigd door Riparius op 04-12-2012 22:32:23 ]

Het criterium van Leibniz is wel sluitend voor alternerende, dalende reeksen. Als je alleen naar alternerende, dalende reeksen kijkt voldoet elke convergerende reeks aan het criterium en geen enkele niet-convergerende reeks.

Ik kom er nu net een tegen bij de inleveropgave voor functies en reeksen. We moeten de Fourier-coefficienten van de 2π-periodieke functie die op het interval [-π, π] gelijk is aan x² bepalen.

Die blijkt gelijk te zijn aan (-1)^{k .} 2/k².

Om te bepalen of de bijbehorende Fourierreeks convergent is, moet je kijken of de som van al deze coefficienten convergeert. Ja dus, wat je aan kan tonen met Leibniz' criterium.

(er kunnen nog foutjes inzitten, ik ben er nog mee bezig )

[ Bericht 5% gewijzigd door kutkloon7 op 04-12-2012 23:58:12 ]

quote:

Op dinsdag 4 december 2012 23:53 schreef kutkloon7 het volgende:
Het criterium van Leibniz is wel sluitend voor alternerende, dalende reeksen. Als je alleen naar alternerende, dalende reeksen kijkt voldoet elke convergerende reeks aan het criterium en geen enkele niet-convergerende reeks.

Ja, maar dat is niet in tegenspraak met wat ik hierboven beweer.

quote:

Ik kom er nu net een tegen bij de inleveropgave voor functies en reeksen. We moeten de Fourier-coefficienten van de 2π-periodieke functie die op het interval [-π, π] gelijk is aan x² bepalen.

Die blijkt gelijk te zijn aan (-1)^{k .} 2/k².

Ik dacht dat de algemene term van de gedaante ((-1)^k∙4∙cos kx)/k² is. En dan nog een constante term π²/3 erbij.

quote:

Om te bepalen of de bijbehorende Fourierreeks convergent is, moet je kijken of de som van al deze coefficienten convergeert. Ja dus, wat je aan kan tonen met Leibniz' criterium.

(er kunnen nog foutjes inzitten, ik ben er nog mee bezig )

Inderdaad ... Vul trouwens eens x = 0 in, dan krijg je een alternerende reeks voor π²/12. Daarmee kun je gemakkelijk aantonen dat ∑_k=1^∞ 1/k² = π²/6 (Bazel probleem).

quote:

Op woensdag 5 december 2012 00:14 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, maar dat is niet in tegenspraak met wat ik hierboven beweer.

[..]

Ik dacht dat de algemene term van de gedaante a_k = ((-1)^k∙4∙cos kx)/k² is. En dan nog een constante term π²/3 erbij.

[..]

Inderdaad ... Vul trouwens eens x = 0 in, dan krijg je een alternerende reeks voor π²/12. Daarmee kun je gemakkelijk aantonen dat ∑_k=1^∞ 1/k² = π²/6 (Bazel probleem).

Uhuh, het was een aanvulling, geen verbetering
0 invullen is inderdaad een deel van de opgave.

Hm, ik ga er morgen nog maar even naar kijken denk ik... Volgens mij klopt het wel wat ik nu heb. Hoe kom je aan die algemene term?

In mijn dictaat staat dat de fourier coefficient gelijk is aan

En dat heb ik nagerekend, en dat lijkt te kloppen.
De constante term zou dan geloof ik ²/₃π³ worden.

Ik heb wel complexe coefficienten gebruikt, misschien zit het hem daarin

[ Bericht 2% gewijzigd door kutkloon7 op 05-12-2012 00:35:20 ]

Ja, je had gelijk, ik ben eruit, het kwam inderdaad door die complexe coefficienten. Alleen die constante term heb ik nog wel anders.

quote:

Op woensdag 5 december 2012 00:27 schreef kutkloon7 het volgende:

[..]

Uhuh, het was een aanvulling, geen verbetering
0 invullen is inderdaad een deel van de opgave.

Hm, ik ga er morgen nog maar even naar kijken denk ik... Volgens mij klopt het wel wat ik nu heb. Hoe kom je aan die algemene term?

In mijn dictaat staat dat de fourier coefficient gelijk is aan

En dat heb ik nagerekend, en dat lijkt te kloppen.
De constante term zou dan geloof ik ²/₃π³ worden.

Ik heb wel complexe coefficienten gebruikt, misschien zit het hem daarin

Inderdaad, je moet natuurlijk twee complexe coëfficiënten c_k en c_-k hebben om de reële coëfficiënten a_k = c_k + c_-k van de cosinustermen te krijgen.

quote:

Op woensdag 5 december 2012 00:46 schreef Riparius het volgende:

[..]

Inderdaad, je moet natuurlijk twee complexe coëfficiënten c_k en c_-k hebben om de reële coëfficiënten a_k = c_k + c_-k van de cosinustermen te krijgen.

Ja, ik had nog niet helemaal door hoe dat precies werkte, ik werkte gewoon vanuit de uit het dictaat gegeven definities.

quote:

Op woensdag 5 december 2012 00:37 schreef kutkloon7 het volgende:
Ja, je had gelijk, ik ben eruit, het kwam inderdaad door die complexe coefficienten. Alleen die constante term heb ik nog wel anders.

Als je a₀ berekent met de algemene integraal voor a_k, dan moet je hiervan de helft nemen, de eerste term in de reeks geeft men daarom aan met ½a₀. Dan krijg je dus π²/3 voor de constante term.

quote:

Op woensdag 5 december 2012 00:50 schreef Riparius het volgende:

[..]

Als je a₀ berekent met de algemene integraal voor a_k, dan moet je hiervan de helft nemen, de eerste term in de reeks geeft men daarom aan met ½a₀. Dan krijg je dus π²/3 voor de constante term.

Ja, wat ik de hele tijd al doe: de factor 1/2π vergeten, waardoor ik ook op π^3 uitkwam ipv π^2. Dank voor je hulp!

quote:

Op woensdag 5 december 2012 00:56 schreef kutkloon7 het volgende:

[..]

Ja, wat ik de hele tijd al doe: de factor 1/2π vergeten, waardoor ik ook op π^3 uitkwam ipv π^2. Dank voor je hulp!

Je kunt je Fourier reeksen gemakkelijk controleren in WolframAlpha, zowel in goniometrische als in exponentiële vorm.

Substitutie van x = 0 levert dan:

0 = π²/3 + 4∙(-1/1² + 1/2² - 1/3² + ...)

en dus:

∑_k=1^∞ (-1)^k+1∙k^-2 = π²/12

Nu is ook:

ζ(2) = ∑_k=1^∞ k^-2 = ∑_k=1^∞ (-1)^k+1∙k^-2 + 2∙∑_k=1^∞ (2k)^-2 = ∑_k=1^∞ (-1)^k+1∙k^-2 + ½∙∑_k=1^∞ k^-2 = ∑_k=1^∞ (-1)^k+1∙k^-2 + ½∙ζ(2)

en dus:

ζ(2) = 2∙∑_k=1^∞ (-1)^k+1∙k^-2 = 2∙(π²/12) = π²/6

P(2*-(1/10)2a) = 0

Dus P = 0 v. 2*-(1/10)2a = 0; 2a = 0/x = 0 en blijft nul toch? Prof. / Lerares zegt a = 10 maar krijg maar niet door hoe ze daarop komt.

Als je a=10 invult dan krijg je -4P=0, dus P=0...

Je hebt in feite een of andere constante c ongelijk aan nul, en de vgl c*P*a=0. Delen door c geeft P*a=0, dus P=0 of a=0.

Ja tot die conclusie kwam ik dus ook, hoe reflecteert dat zich tot deze vraag waarbij P=0 geen antwoord kan zijn (want wie verkoopt zijn product gratis?)



*Je krijgt dan P(4*-(1/10)2a = 0 volgens mij maar ik geloof dat je dan ook op P=0 of a=0 komt.

Je haalt P en p door elkaar.

Hoe kom je aan die vergelijking ? ( P(4*-(1/10)2a = 0 )

Okay voor duidelijk dan maar even hoofdletter P(rofit) = pi

dpi / da oplossen. = 4p - (1/10)2ap »» p(4 * (-1/10)2a)

Gelijkstellen aan 0 om a te vinden welke ik vervolgens in ga vullen in

dpi / dp zodat je p krijgt. (en dat leidt weer tot pi)

*d = ∂

quote:

Op woensdag 5 december 2012 17:23 schreef Sokz het volgende:
Ja tot die conclusie kwam ik dus ook, hoe reflecteert dat zich tot deze vraag waarbij P=0 geen antwoord kan zijn (want wie verkoopt zijn product gratis?)

[ afbeelding ]

Maak het allemaal niet zo moeilijk. Je hebt:

P(a,p) = 4ap + 50p -9p² - (1/10)∙a²p -120

∂P/∂a = -(1/5)∙(a - 20)∙p

∂P/∂p = -a²/10 + 4a - 18p + 50

∂P/∂a = 0 geeft a = 20 of p = 0, maar je hebt P(a,0) = -120, dus dat valt af ook al omdat p = 0 niet realistisch is. Blijft over a = 20 en dan levert de voorwaarde ∂P/∂p = 0 op dat p = 5, en dan is P(20,5) = 105. Dan moet je eigenlijk nog wel netjes aantonen dat dit een lokaal maximum is, maar dat mag je zelf doen. Kijk ook even hier.

quote:

Op woensdag 5 december 2012 18:16 schreef Riparius het volgende:
∂P/∂a = -(1/5)∙(a - 20)∙p

Bedankt! Deze vereenvoudiging zag ik niet zo snel en daar liep het dus klem.

Zij uniform continu. Toon aan dat begrensd is.
Kun je dit op een makkelijke manier bewijzen? Medestudenten en ik hadden bedacht dat je kunt aantonen dat en bestaan en zo een continue functie kunt 'construeren': er is dan een stelling in het dictaat die zegt dat die functie (continu op een gesloten interval) begrensd is. We weten echter niet of dit correct is en het is behoorlijk lang en omslachtig. Heeft iemand een beter idee?

Het kan veel simpeler. Pak uit de defintie op http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_continuity een willekeurige epsilon>0, dan komt daar een delta uitrollen. Kijk dan eens naar 1/delta (1/delta is interessant omdat delta minder dan 1/delta keer in het interval (0,1) past).

quote:

Op donderdag 6 december 2012 20:12 schreef JWF het volgende:
Zij uniform continu. Toon aan dat begrensd is.
Kun je dit op een makkelijke manier bewijzen? Medestudenten en ik hadden bedacht dat je kunt aantonen dat en bestaan en zo een continue functie kunt 'construeren': er is dan een stelling in het dictaat die zegt dat die functie (continu op een gesloten interval) begrensd is. We weten echter niet of dit correct is en het is behoorlijk lang en omslachtig. Heeft iemand een beter idee?

Kies ε = 1. Aangezien f uniform continu is op (0,1) bestaat er dan een δ > 0 zodanig dat | f(x) - f(y) | < ε = 1 voor elke x,y ∈ (0,1) met | x - y | < δ. Kies nu een positief geheel getal n₀ > 1 zodanig dat 1/n₀ < δ (i.e. n₀ > 1/δ) en definieer x_i = i/n₀ voor i ∈ {1,...,n₀-1}. Zij verder M een getal zodanig dat max(| f(x_i) |, 1 ≤ i ≤ n₀-1) < M - 1. Dan bestaat er voor elke x ∈ (0,1) een i ∈ {1,...,n₀-1} zodanig dat | x - x_i | < δ en dus | f(x) - f(x_i) | < 1 zodat | f(x) | = | (f(x) - f(x_i)) + f(x_i) | ≤ | f(x) - f(x_i) | + | f(x_i) | < 1 + (M - 1) = M, QED.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 07-12-2012 19:21:37 ]

[ Bericht 100% gewijzigd door Mathemaat op 07-12-2012 12:57:24 ]

quote:

Op vrijdag 7 december 2012 12:47 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Ja, wat je zegt klopt. Je kunt het ook bewijzen voor continue functies.

wat, dat f(x)=1/x begrensd is op (0,1)?

quote:

Op vrijdag 7 december 2012 12:55 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

wat, dat f(x)=1/x begrensd is op (0,1)?

Sorry, ik hield het door elkaar met het continue uitbreiden van reële functies op compacte domeinen.

[ Bericht 0% gewijzigd door Mathemaat op 07-12-2012 13:51:13 ]

quote:

Op donderdag 6 december 2012 21:05 schreef Riparius het volgende:

[..]

Kies ε = 1. Aangezien f uniform continu is op (0,1) bestaat er dan een δ > 0 zodanig dat | f(x) - f(y) | < ε = 1 voor elke x,y ∈ (0,1) met | x - y | < δ. Kies nu een positief geheel getal n₀ > 1 zodanig dat 1/n₀ < δ (i.e. n₀ > 1/δ) en definieer x_i = i/n₀ voor i ∈ {1,...,n₀-1}. Zij verder M een getal zodanig dat max(|(f(x_i)|, 1 ≤ i ≤ n₀-1) < M - 1. Dan bestaat er voor elke x ∈ (0,1) een i ∈ {1,...,n₀-1} zodanig dat | x - x_i | < δ en dus | f(x) - f(x_i) | < 1 zodat | f(x) | = | (f(x) - f(x_i)) + f(x_i) | ≤ | f(x) - f(x_i) | + | f(x_i) | < 1 + (M - 1) = M, QED.

quote:

Op donderdag 6 december 2012 20:22 schreef GlowMouse het volgende:
Het kan veel simpeler. Pak uit de defintie op http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_continuity een willekeurige epsilon>0, dan komt daar een delta uitrollen. Kijk dan eens naar 1/delta (1/delta is interessant omdat delta minder dan 1/delta keer in het interval (0,1) past).

Dit idee laat ook mooi zien wat uniforme continuiteit betekent: waar je die delta intervalletjes ook plaatst, je hebt altijd een fluctuatie van hoogstens epsilon.

Ok, geen wiskunde dit maar hoe los los ik dit het handigst op uit 't hoofd? Iemand tips?

x : -6/8 = -14/35

-45/18 - 18/6 = x

quote:

Op donderdag 6 december 2012 21:05 schreef Riparius het volgende:
Kies ε = 1. Aangezien f uniform continu is op (0,1) bestaat er dan een δ > 0 zodanig dat | f(x) - f(y) | < ε = 1 voor elke x,y ∈ (0,1) met | x - y | < δ. Kies nu een positief geheel getal n0 > 1 zodanig dat 1/n0 < δ (i.e. n0 > 1/δ) en definieer xi = i/n0 voor i ∈ {1,...,n0-1}. Zij verder M een getal zodanig dat max(|(f(xi)|, 1 ≤ i ≤ n0-1) < M - 1. Dan bestaat er voor elke x ∈ (0,1) een i ∈ {1,...,n0-1} zodanig dat | x - xi | < δ en dus | f(x) - f(xi) | < 1 zodat | f(x) | = | (f(x) - f(xi)) + f(xi) | ≤ | f(x) - f(xi) | + | f(xi) | < 1 + (M - 1) = M, QED.

Dankjewel, heel helder. Ik zou dit zelf niet zomaar bedenken, maar ik heb wel het gevoel nu beter te begrijpen wat uniforme continuïteit inhoudt.

quote:

Op vrijdag 7 december 2012 18:21 schreef Maryn. het volgende:
Ok, geen wiskunde dit maar hoe los los ik dit het handigst op uit 't hoofd? Iemand tips?

x : -6/8 = -14/35

Beide leden vermenigvuldigen met -6/8 = -3/4 en je hebt x = -3/4 ∙ -14/35 = 3/4 ∙ 2/7 = 6/28 = 3/14.

quote:

-45/18 - 18/6 = x

Breuken vereenvoudigen, x = -45/18 - 18/6 = -5/2 - 6/2 = -11/2.

"een uniform convergente reeks van exponentiële of circulaire functies convergeert, in het aangegeven gebied, naar een continue functie (waarom?)". Dit staat er, in verband met de uniforme convergentie van Fourierreeksen.

Iemand die ziet waarom dit zo is?

quote:

Op zaterdag 8 december 2012 17:31 schreef yarnamc het volgende:
"een uniform convergente reeks van exponentiële of circulaire functies convergeert, in het aangegeven gebied, naar een continue functie (waarom?)". Dit staat er, in verband met de uniforme convergentie van Fourierreeksen.

Iemand die ziet waarom dit zo is?

Het klassieke ε/3 trucje. Het bewijs staat vast wel ergens in de een of andere vorm in je leerboek, en anders moet je maar even hier kijken.

Stel je hebt een polynoom met p is priem en zodat . Hoeveel oplossingen heeft f=0?

Komt een lastige. Ik ben bezig met de orthografische cilinderprojectie (van Johann Heinrich Lambert), nu wordt er gesteld dat dit een equivalente projectie is. Maar waaruit volgt dit precies? Stel dat ik de vraag krijg om dit uit te leggen, hoe zou ik dat dan in Godsnaam moeten beantwoorden?

Dit is de betreffende kaart.

Al gekeken op http://nl.wikipedia.org/wiki/Orthografische_cilinderprojectie?

Het volgt direct uit de formules.

quote:

Op maandag 10 december 2012 02:03 schreef Dale. het volgende:
Al gekeken op http://nl.wikipedia.org/wiki/Orthografische_cilinderprojectie?

Het volgt direct uit de formules.

Ja, maar ik zie even niet hoe. De formules afleiden (peanuts) ook al gedaan.

Uhmmm de eerste alinea?

quote:

Die ontstaat door de aardbol af te beelden op een cilinder vanuit een punt op de omwentelingsas van de bol, zodanig dat de projectielijn loodrecht op de as staat.

quote:

Op maandag 10 december 2012 12:36 schreef Dale. het volgende:
Uhmmm de eerste alinea?

[..]

[ afbeelding ]

Ik snap wat je hiermee bedoelt. Dit is hoe de projectie tot stand komt. Nu wil ik graag weten waarom de projectie equivalent is, en niet omdat 'dit toevallig zo is', nee, wat is de redenatie hierachter?

Komt er nog een (wat eenvoudigere) meetkundige vraag bij.

Wanneer men dit document opent:

http://mail.vssd.nl/hlf/a028h02oud.pdf

Dan wordt op pagina 25 en 26 het bewijs dat een stereografische projectie conform is behandeld. Nu snap ik de hele godganse redenatie, op een puntje na. Bovenaan pagina 26 staat:

Angle(WRP) = Angle(WRA) = 90 graden

Waaruit volgt dit exact? Waarom is dit zo?

Angle(WRP) is me inmiddels duidelijk. Mag ik zeggen doordat de snijlijn van het raakvlaak aan P met het grondvlak NA snijdt in R, dat die snijlijn loodrecht op NA staat?

Waar staan die integralen van Riparius die hij een tijdje geleden ergens gepost had? Ik wou ze net gaan oplossen maar kan ze vreemd genoeg niet meer terugvinden.

@Amoeba: ik heb geen verstand van projecties, maar je hebt er steeds over dat die orthografische cilinderprojectie equivalent moet zijn. Maar je zegt niet waarmee die dan equivalent moet zijn.

quote:

Op maandag 10 december 2012 16:28 schreef thenxero het volgende:
Waar staan die integralen van Riparius die hij een tijdje geleden ergens gepost had?

Hier.

quote:

Op maandag 10 december 2012 16:28 schreef thenxero het volgende:

@Amoeba: ik heb geen verstand van projecties, maar je hebt er steeds over dat die orthografische cilinderprojectie equivalent moet zijn. Maar je zegt niet waarmee die dan equivalent moet zijn.

Equivalentie is hier een term voor oppervlaktegetrouwheid. Dat betekent dus dat het product van de schaalfactoren van de kaartprojectie in horizontale en in verticale richting in elk punt op de kaart constant moet zijn. Bij hoekgetrouwheid oftewel conformiteit moet daarentegen de verhouding van de schaalfactoren in verticale en horizontale richting voor elk punt op de kaart gelijk zijn aan één. Bij afbeelding van een bolvormig oppervlak op een plat vlak zijn equivalentie en conformiteit onverenigbaar.

quote:

Op maandag 10 december 2012 17:29 schreef Riparius het volgende:

[..]

Equivalentie is hier een term voor oppervlaktegetrouwheid. Dat betekent dus dat het product van de schaalfactoren van de kaartprojectie in horizontale en in verticale richting in elk punt op de kaart constant moet zijn. Bij hoekgetrouwheid oftewel conformiteit moet daarentegen de verhouding van de schaalfactoren in verticale en horizontale richting voor elk punt op de kaart gelijk zijn aan één. Bij afbeelding van een bolvormig oppervlak op een plat vlak zijn equivalentie en conformiteit onverenigbaar.

De methode door te bewijzen (meetkundig) dat de hoek die 2 raaklijnen aan een bol maken equivalent is aan de hoek die de projecties van die lijnen met elkaar maken, is dat ook een sluitend bewijs? Immers, de hoek die 2 krommen maken is gelijk aan de hoek die hun raaklijnen maken.

quote:

Op maandag 10 december 2012 14:26 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik snap wat je hiermee bedoelt. Dit is hoe de projectie tot stand komt. Nu wil ik graag weten waarom de projectie equivalent is, en niet omdat 'dit toevallig zo is', nee, wat is de redenatie hierachter?

Bij een conforme projectie zoals de Mercatorprojectie zijn op ieder punt op de kaart de schaalfactoren in horizontale en in verticale richting gelijk. Omdat we willen dat de meridianen als verticale evenwijdige lijnen worden afgebeeld is de schaalfactor voor een punt op noorderbreedte of zuiderbreedte φ in horizontale richting dus 1/cos φ = sec φ maal de schaalfactor voor de evenaar, omdat een breedtecirkel op noorderbreedte of zuiderbreedte φ slechts een omtrek heeft van cos φ maal de omtrek van de evenaar.

Maar, vanwege de conformiteitseis moet de dan schaling in verticale richting voor een punt op noorderbreedte of zuiderbreedte φ ook sec φ maal de schaling voor de evenaar bedragen, en dus wordt de oppervlakte voor een punt op noorderbreedte of zuiderbreedte φ dan op de kaart geschaald met een factor sec²φ ten opzichte van de schaling van de oppervlakte op de kaartprojectie bij de evenaar.

Dus, om een voorbeeld te geven, op 60 graden noorderbreedte wordt de oppervlakte dan al opgeschaald met een factor sec²(π/3) = 4 ten opzichte van de schaling van een gebiedje op de evenaar.

Willen we nu echter een kaartprojectie waarbij de meridianen nog steeds als evenwijdige verticale lijnen worden afgebeeld maar die wel oppervlaktegetrouw is, dan hebben we voor een punt op noorderbreedte of zuiderbreedte φ nog steeds te maken met een horizontale schaling met dezelfde factor 1/cos φ = sec φ ten opzichte van de (horizontale) schaling van de evenaar, maar dan moeten we bij de verticale schaling gaan compenseren door te schalen met een factor cos φ, zodat het product van de horizontale en de verticale schalingen voor elk punt op de kaart, en daarmee dus de oppervlakteschaling constant blijft over de gehele kaart. En als je hebt:

dy/dφ = s₀∙R∙cos φ

waarbij s₀ de schaalfactor is waarmee de evenaar wordt afgebeeld, en R de straal is van de aarde, dan volgt door primitiveren dus dat we moeten hebben:

y = s₀∙R∙sin φ

aangezien ook moet gelden y = 0 voor φ = 0. Begrijp je dit?

Ik heb gevonden bij de ongelijkheid x^2 < 2x+8

voor x > -2 en x < 4.

Waarom schrijf je dit als -2 < x < 4 ? Ik snap de logica van die notatie niet.

Je behandelt nu een pseudo-cilindrische projectie, correct? Met een oorsprong in het middelpunt vd aarde, dus gnomonisch?

Ik begrijp wat je bedoelt. Je wilt alle parallellen nog steeds opschalen naar de lengte vd evenaar, dus horizontaal gezien vermenigvuldig je moet sec φ, dus verticaal vermenigvuldig je met cos φ, zodat je de constante behoudt. Inderdaad krijg je dan weer de gegeven aanpak om tot de differentiaalvergelijking te komen, de constante vervalt vanwege je laatste regel. Helder.

Ik ben nu echter bezig met directe projecties, zonder niet-geometrische bewerkingen. Snap je mij?

Wederom bedankt voor je heldere uitleg. Ik ga hier iets mee doen.

quote:

Op maandag 10 december 2012 19:25 schreef rareziekte het volgende:
Ik heb gevonden bij de ongelijkheid x^2 < 2x+8

voor x > -2 en x < 4.

Waarom schrijf je dit als -2 < x < 4 ? Ik snap de logica van die notatie niet.

Scheelt wat schrijfwerk. Er staat precies hetzelfde hoor.

quote:

Op maandag 10 december 2012 17:57 schreef Amoeba het volgende:

[..]

De methode door te bewijzen (meetkundig) dat de hoek die 2 raaklijnen aan een bol maken equivalent is aan de hoek die de projecties van die lijnen met elkaar maken, is dat ook een sluitend bewijs? Immers, de hoek die 2 krommen maken is gelijk aan de hoek die hun raaklijnen maken.

Ja, dat is een sluitend bewijs voor conformiteit. Inderdaad is de hoek die twee snijdende krommen met elkaar maken niets anders dan de hoek tussen de raaklijnen aan de krommen in het snijpunt. Merk op dat een loxodroom op het boloppervlak zo een logaritmische oftewel een equiangulaire spiraal oplevert in het projectievlak bij een stereografische projectie.

Als je een analytische functie w = f(z) hebt en een (gladde) kromme z = γ(t) in het complexe vlak dan wordt de richting van de raaklijn aan de kromme in een punt z₀ = γ(t₀) bepaald door het argument van dz/dt voor t = t₀, dus het argument van γ'(t₀). En de richting van de raaklijn aan de afbeelding w = f(γ(t)) van de kromme in het w-vlak wordt dan evenzo bepaald door het argument van dw/dt voor t = t₀ oftewel het argument van f'(z₀)∙γ'(t₀) aangezien dw/dt = dw/dz ∙ dz/dt (kettingregel). En aangezien vermenigvuldiging met f'(z₀) ≠ 0 een draaistrekking inhoudt (i.e. een schaling met een factor | f'(z₀) | en tevens een rotatie equivalent met het argument van f'(z₀)) zie je dat een analytische functie w = f(z) een (lokaal) conforme afbeelding geeft van (een deel van) het z-vlak op (een deel van) het w-vlak mits f'(z) ≠ 0.

Als twee krommen elkaar onder een bepaalde hoek snijden in een punt z₀ dan snijden hun afbeeldingen in het w-vlak elkaar in het punt w₀ = f(z₀) onder dezelfde hoek aangezien de rotatie van elk van de raaklijnen gelijk is aan het argument van f'(z₀) ≠ 0 zodat hun onderlinge hoek gelijk blijft. Een mooi voorbeeld is de functie f(z) = e^z die horizontale rechte lijnen (evenwijdig aan de reële as) afbeeldt als lijnen door de oorsprong in het w-vlak, terwijl verticale rechte lijnen (evenwijdig aan de imaginaire as) worden afgebeeld als cirkels rond de oorsprong. Je ziet dus dat de afbeeldingen van een horizontale en een verticale rechte lijn elkaar inderdaad weer loodrecht snijden, aangezien een rechte lijn door het middelpunt van een cirkel de cirkel loodrecht snijdt.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 10-12-2012 21:09:18 ]

quote:

Op maandag 10 december 2012 19:25 schreef rareziekte het volgende:
Ik heb gevonden bij de ongelijkheid x^2 < 2x+8

voor x > -2 en x < 4.

Waarom schrijf je dit als -2 < x < 4 ? Ik snap de logica van die notatie niet.

x voldoet tegelijk aan allebei die eisen en ligt tussen die twee waarden, dat is wat de logica achter die notatie is.

Als je het beter wil snappen: teken de x-as als een staaf en kleur de gebieden, waar x is volgens de eisen, in. Het gebied dat je dubbel inkleurt is dan -2 < x < 4.

quote:

Op maandag 10 december 2012 19:40 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

x voldoet tegelijk aan allebei die eisen en ligt tussen die twee waarden, dat is wat de logica achter die notatie is.

Als je het beter wil snappen: teken de x-as als een staaf en kleur de gebieden, waar x is volgens de eisen, in. Het gebied dat je dubbel inkleurt is dan -2 < x < 4.

Waarom niet -2 > x < 4 ?

quote:

Op maandag 10 december 2012 19:54 schreef rareziekte het volgende:

[..]

Waarom niet -2 > x < 4 ?

Je moet -2 < x < 4 lezen als "-2 < x (-2 is kleiner dan x, dus x is groter dan -2) en x < 4 (x is kleiner dan 4)". Voeg die twee samen en je hebt "x tussen -2 en 4". In jouw notatie staat er "-2 > x (dus -2 groter dan x, x kleiner dan -2) en x < 4". Het tweede statement is dan overbodig.

quote:

Op maandag 10 december 2012 19:58 schreef M.rak het volgende:

[..]

Je moet -2 < x < 4 lezen als "-2 < x (-2 is kleiner dan x, dus x is groter dan -2) en x < 4 (x is kleiner dan 4)". Voeg die twee samen en je hebt "x tussen -2 en 4". In jouw notatie staat er "-2 > x (dus -2 groter dan x, x kleiner dan -2) en x < 4". Het tweede statement is dan overbodig.

Oke, thx

quote:

Op maandag 10 december 2012 19:54 schreef rareziekte het volgende:

[..]

Waarom niet -2 > x < 4 ?

Ah, ik snap je probleem

> is een teken dat betekent: is groter dan.
Dus
4 > 3 houdt in: 4 is groter dan.
x > -2 houdt in: x is groter dan -2.

< is een teken dat betekent: is kleiner dan.
Dus
2 < 3 houdt in: 2 is kleiner dan 3.
x < 4 houdt in: x is kleiner dan 4.

-2<x<4 houdt in: x is groter dan -2 en x is kleiner dan 4. Equivalent geformuleerd: x is groter dan -2 en kleiner dan 4.

quote:

Op maandag 10 december 2012 19:36 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, dat is een sluitend bewijs voor conformiteit. Inderdaad is de hoek die twee snijdende krommen met elkaar maken niets anders dan de hoek tussen de raaklijnen aan de krommen in het snijpunt. Merk op dat een loxodroom op het boloppervlak zo een logaritmische oftewel een equiangulaire spiraal oplevert in het projectievlak bij een stereografische projectie.

Dankjewel. Nu komt betreffende dit onderdeel mijn laatste vraag.

Deze afbeelding:



Heeft dus een paar eigenschappen. De lijnen m en l zijn raaklijnen aan de bol in P. Nu vormt de lijn WV een lijn in het grondvlak (tevens projectievlak en raakvlak aan de as), is punt A de projectie van P (stereografisch (cilindrisch)), en is ON de as van de bol. Goed, nu is mijn vraag:

Je ziet bij R een hoekje staan van 90 graden, waarom is dit zo? Ofwel, waarom snijdt WV NA loodrecht. Dat is het enige stukje wat ik niet volg aan de bewijsvoering. Doordat WV in het raakvlak ligt, en R in de driehoek NPA ligt? *gezien PN feitelijk loodrecht op l en m moet staan, want N ligt op de as van de bol.

quote:

Op maandag 10 december 2012 19:34 schreef Amoeba het volgende:
Je behandelt nu een pseudo-cilindrische projectie, correct? Met een oorsprong in het middelpunt vd aarde, dus gnomonisch?

Ik begrijp niet precies wat je met deze term bedoelt, ik reageerde op jouw eerdere vraag hierboven waar je naar het Wikipedia artikel over de orthografische oftewel oppervlaktegetrouwe cilinderprojectie van Lambert verwijst. Je hebt natuurlijk ook nog de equidistante cilinderprojectie, maar die is weer niet oppervlaktegetrouw.

quote:

Ik ben nu echter bezig met directe projecties, zonder niet-geometrische bewerkingen. Snap je mij?

Uiteindelijk zijn alle kaartprojecties ook zuiver meetkundig te beschrijven.

quote:

Op maandag 10 december 2012 20:24 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Dankjewel. Nu komt betreffende dit onderdeel mijn laatste vraag.

Deze afbeelding:

[ afbeelding ]

Heeft dus een paar eigenschappen. De lijnen m en l zijn raaklijnen aan de bol in P. Nu vormt de lijn WV een lijn in het grondvlak (tevens projectievlak en raakvlak aan de as), is punt A de projectie van P (stereografisch (cilindrisch)), en is ON de as van de bol. Goed, nu is mijn vraag:

Je ziet bij R een hoekje staan van 90 graden, waarom is dit zo? Ofwel, waarom snijdt WV NA loodrecht. Dat is het enige stukje wat ik niet volg aan de bewijsvoering.

Het raakvlak aan punt P van de bol staat loodrecht op straal MP en het raakvlak aan punt N van de bol (i.e. het projectievlak) staat loodrecht op straal MN. Dus staan zowel zowel het raakvlak aan punt P als het projectievlak loodrecht op het vlak bepaald door de punten M, N en P. En aangezien WR in het projectievlak ligt en RA in het vlak bepaald door de punten M,N,P is dus WR ⟂ RA.

quote:

Op maandag 10 december 2012 20:29 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik begrijp niet precies wat je met deze term bedoelt, ik reageerde op jouw eerdere vraag hierboven waar je naar het Wikipedia artikel over de orthografische oftewel oppervlaktegetrouwe cilinderprojectie van Lambert verwijst. Je hebt natuurlijk ook nog de equidistante cilinderprojectie, maar die is weer niet oppervlaktegetrouw.

Pseudo-cilindrisch betekent een niet directe projectie. Dus een Mercatorprojectie, maar geen stereografische cilindrische projectie (van Braun), maar met een schaalafhankelijke correctie.

Gnomonisch, als je die bedoelt, is dat de oorsprong van de projectie in het midden van de figuur ligt. Dus punt M in mijn figuur, maar gezien de projectie stereografisch is is dus het projectiepunt O.

quote:

Op maandag 10 december 2012 21:01 schreef Riparius het volgende:

[..]

Het raakvlak aan punt P van de bol staat loodrecht op straal MP en het raakvlak aan punt N van de bol (i.e. het projectievlak) staat loodrecht op straal MN. Dus staan zowel zowel het raakvlak aan punt P als het projectievlak loodrecht op het vlak bepaald door de punten M, N en P. En aangezien WR in het projectievlak ligt en RA in het vlak bepaald door de punten M,N,P is dus WR ⟂ RA.

Eenvoudig eigenlijk. Dank.
Kan ik morgen weer aan de gang.

quote:

Op maandag 10 december 2012 21:53 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Pseudo-cilindrisch betekent een niet directe projectie. Dus een Mercatorprojectie, maar geen stereografische cilindrische projectie (van Braun), maar met een schaalafhankelijke correctie.

O zo.

quote:

Gnomonisch, als je die bedoelt, is dat de oorsprong van de projectie in het midden van de figuur ligt. Dus punt M in mijn figuur, maar gezien de projectie stereografisch is is dus het projectiepunt O.

Ik ben geen cartograaf, maar ik heb inmiddels het Wikipedia artikel gelezen en ik zie wat je bedoelde.

quote:

[..]

Eenvoudig eigenlijk. Dank.
Kan ik morgen weer aan de gang.

Ben je al klaar met de complexe getallen omdat je je nu weer in de cartografie stort?

Jazeker, hoofdstuk afgerond met een 9,6 voor het proefwerk. Ik doe mijn profielwerkstuk over de cilindrische projecties, vandaar dat ik het weer opgepakt heb. Wiskunde D houdt nu een hoofdstukje Kansen en Beslissingen in. Hypothesetoetsen en zulk soort zooi. Altijd beter dan Duits, enfin.

En je gaf een flink stuk complexe getallen net.. Het enige wat ik begreep was de projecties van reëele delen en imaginaire delen bij e^z. Spijtig.

quote:

Op maandag 10 december 2012 22:16 schreef Amoeba het volgende:
Jazeker, hoofdstuk afgerond met een 9,6 voor het proefwerk. Ik doe mijn profielwerkstuk over de cilindrische projecties, vandaar dat ik het weer opgepakt heb. Wiskunde D houdt nu een hoofdstukje Kansen en Beslissingen in. Hypothesetoetsen en zulk soort zooi. Altijd beter dan Duits, enfin.

Denk ik toch anders over. Een goede leesvaardigheid Duits is heel nuttig als je verder wil met wiskunde. Er zijn massa's Duitse boeken, artikelen, dictaten e.d. te vinden over bijna elk denkbaar onderwerp, en daar zitten kwalitatief uitstekende teksten bij.

quote:

En je gaf een flink stuk complexe getallen net.. Het enige wat ik begreep was de projecties van reële delen en imaginaire delen bij e^z. Spijtig.

Vreemd, ik dacht dat ik het toch duidelijk had uitgelegd. Een analytische (of : holomorfe) functie geeft een (lokaal) conforme afbeelding. Lees anders nog eens in het boekje van Maor na (hier) hoe hij de Mercatorprojectie in verband brengt met de complexe logaritme.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 10-12-2012 22:58:11 ]

quote:

Op maandag 10 december 2012 22:41 schreef Riparius het volgende:

[..]

Denk ik toch anders over. Een goede leesvaardigheid Duits is heel nuttig als je verder wil met wiskunde. Er zijn massa's Duitse boeken, artikelen, dictaten e.d. te vinden over bijna elk denkbaar onderwerp, en daar zitten kwalitatief uitstekende teksten bij.

Bijna alle wetenschap gaat toch in het Engels? Volgens mij zijn er wel veel oude werken die alleen in het Duits te lezen zijn, dus voor jou is Duitse kennis onmisbaar. Maar als je moderne onderwerpen bestudeert heb je voor zover ik weet geen Duitse taal nodig.

Maar ik ben het er wel mee eens dat je Duits (en basisstatistiek) niet moet afdoen als zooi

quote:

Op maandag 10 december 2012 22:53 schreef thenxero het volgende:

[..]

Bijna alle wetenschap gaat toch in het Engels? Volgens mij zijn er wel veel oude werken die alleen in het Duits te lezen zijn, dus voor jou is Duitse kennis onmisbaar. Maar als je moderne onderwerpen bestudeert heb je voor zover ik weet geen Duitse taal nodig.

Maar ik ben het er wel mee eens dat je Duits (en basisstatistiek) niet moet afdoen als zooi

Ik kom ook voor moderne onderwerpen nog wel Duits tegen, twee artikels in de afgelopen paar jaar.

quote:

Op maandag 10 december 2012 23:02 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Ik kom ook voor moderne onderwerpen nog wel Duits tegen, twee artikels in de afgelopen paar jaar.

Oh grappig. Gingen die artikelen over statistiek/econometrie ?

quote:

Op maandag 10 december 2012 22:53 schreef thenxero het volgende:

[..]

Bijna alle wetenschap gaat toch in het Engels? Volgens mij zijn er wel veel oude werken die alleen in het Duits te lezen zijn, dus voor jou is Duitse kennis onmisbaar. Maar als je moderne onderwerpen bestudeert heb je voor zover ik weet geen Duitse taal nodig.

Tja, wat heet nodig? Kijk, ik bestudeer onderwerpen het liefst vanuit verschillende perspectieven en vanuit verschillende achtergronden, en er is echt ook heel veel moderne literatuur in het Duits. Dus waarom zou ik mezelf het gebruik van bronnen ontzeggen in andere talen dan het Engels of het Nederlands? In het Duitse universitaire wiskunde onderwijs zul je ook niet zo snel Engelstalige boeken zien, ook niet voor wat meer gevorderde onderwerpen. In Nederland gebeurt dat wel in toenemende mate, en dat vind ik geen goede ontwikkeling. Ik heb ook regelmatig het idee hier op FOK dat mensen een stukje wiskundige uitleg mede niet goed begrijpen omdat ze het Engels niet goed begrijpen, ook al denken ze prima Engels te kunnen lezen.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 12-12-2012 17:46:47 ]

quote:

Op maandag 10 december 2012 23:04 schreef thenxero het volgende:

[..]

Oh grappig. Gingen die artikelen over statistiek/econometrie ?

over wiskundige optimalisering

quote:

Op maandag 10 december 2012 23:15 schreef Riparius het volgende:

[..]

Tja, wat heet nodig? Kijk, ik bestudeer onderwerpen het liefst vanuit verschillende perspectieven en vanuit verschillende achtergronden, en er is echt ook heel veel moderne literatuur in het Duits. Dus waarom zou ik mezelf het gebruik van bronnen ontzeggen in andere talen dan het Engels of het Nederlands? In het Duitse universitaire wiskunde onderwijs zul je ook niet zo snel Engelstalige boeken zien, ook niet voor wat meer gevorderde onderwerpen. In Nederland gebeurt dat wel in toenemende mate, en dat ik vind ik geen goede ontwikkeling. Ik heb ook regelmatig het idee hier op FOK dat mensen een stukje wiskundige uitleg mede niet goed begrijpen omdat ze Engels niet goed begrijpen, ook al denken ze prima Engels te kunnen lezen.

Ik vind het juist wel goed dat er veel Engelse literatuur wordt gebruikt. De wetenschap is voornamelijk in het Engels, dus dan hoef je ook geen switch te maken als je Engelse wetenschappelijke artikelen gaat lezen.
Ik heb eerder dat ik een Nederlandse uitleg niet begrijp, omdat ik vaker de Engelse dan de Nederlandse term ken .

quote:

Op maandag 10 december 2012 23:19 schreef thenxero het volgende:

[..]

Ik vind het juist wel goed dat er veel Engelse literatuur wordt gebruikt. De wetenschap is voornamelijk in het Engels, dus dan hoef je ook geen switch te maken als je Engelse wetenschappelijke artikelen gaat lezen.
Ik heb eerder dat ik een Nederlandse uitleg niet begrijp, omdat ik vaker de Engelse dan de Nederlandse term ken .

Ja, ik begrijp je punt en ik zie ook wel de voordelen van het gebruik van Engelstalige leerboeken (sommige mensen hebben het over tekstboeken, maar dat is dan weer een anglicisme), maar er zijn ook nadelen. Het is me op de site van Hogendijk bijvoorbeeld opgevallen dat, hij, nu hij (van hogerhand?) wordt gedwongen te werken met het Engelstalige boek van Adams & Essex meteen al één van de eerste colleges uitluidt met een causerie over Nederlandse woorden in de wiskunde, en deze besluit met: Houd het Nederlands in ere! Ik zie daar een stil protest in.

De hele discussie over de voor- en nadelen van het gebruik van een internationale taal is trouwens niet nieuw: in vroeger eeuwen vond het onderwijs aan de universiteiten, ook in Nederland, plaats in het Latijn en werden wetenschappelijke artikelen en boeken ook in het Latijn geschreven. Dat is eeuwenlang zo geweest, tot het Latijn plaats maakte voor de landstalen. In Frankrijk gebeurde dat al vrij vroeg, maar in bijvoorbeeld Duitsland was het zelfs tot in het midden van de 19e eeuw niet ongebruikelijk om in het Latijn te publiceren. Ik heb een beetje het idee dat we die hele discussie over de voor- en nadelen van het gebruik van een internationale taal nu dunnetjes over doen en dat men al lang is vergeten waarom het Latijn ooit af is geschaft als internationale wetenschapstaal.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 11-12-2012 00:01:34 ]

Allemaal Esperanto leren

quote:

Ik heb een beetje het idee dat we die hele discussie over de voor- en nadelen van het gebruik van een internationale taal nu dunnetjes over doen en dat men al lang is vergeten waarom het Latijn ooit af is geschaft als internationale wetenschapstaal.

Ik denk dat we daar niet te moeilijk over moeten denken. Er werd eenvoudig weg steeds minder les gegeven in het Latijn omdat studenten, wellicht te lui waren of doordat de universiteit steeds toegangelijker werd voor mensen die geen Latijn spraken en dat professor zich aanpaste aan de studenten die geen Latijn konden.

[ Bericht 31% gewijzigd door Dale. op 11-12-2012 00:45:19 ]

quote:

Op maandag 10 december 2012 23:44 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, ik begrijp je punt en ik zie ook wel de voordelen van het gebruik van Engelstalige leerboeken (sommige mensen hebben het over tekstboeken, maar dat is dan weer een anglicisme), maar er zijn ook nadelen. Het is me op de site van Hogendijk bijvoorbeeld opgevallen dat, hij, nu hij (van hogerhand?) wordt gedwongen te werken met het Engelstalige boek van Adams & Essex meteen al één van de eerste colleges uitluidt met een causerie over Nederlandse woorden in de wiskunde, en deze besluit met: Houd het Nederlands in ere! Ik zie daar een stil protest in.

Ik zie nergens "Houd het Nederlands in ere!" staan.

quote:

Op dinsdag 11 december 2012 00:21 schreef Dale. het volgende:
Allemaal Esperanto leren

[..]

Ik denk dat we daar niet te moeilijk over moeten denken. Er werd eenvoudig weg steeds minder les gegeven in het Lattijn omdat studenten, wellicht te lui waren of doordat de universiteit steeds toegangelijker werd voor mensen die geen Lattijn spraken en dat professor zich aanpaste aan de studenten die geen Lattijn konden.

Lattijn ?

quote:

Op dinsdag 11 december 2012 00:35 schreef thenxero het volgende:

[..]

Ik zie nergens "Houd het Nederlands in ere!" staan.

[..]

Lattijn ?

Oeps

quote:

Op dinsdag 11 december 2012 00:35 schreef thenxero het volgende:

[..]

Ik zie nergens "Houd het Nederlands in ere!" staan.

Hier, laatste pagina.

quote:

Op maandag 10 december 2012 22:41 schreef Riparius het volgende:

[..]

Denk ik toch anders over. Een goede leesvaardigheid Duits is heel nuttig als je verder wil met wiskunde. Er zijn massa's Duitse boeken, artikelen, dictaten e.d. te vinden over bijna elk denkbaar onderwerp, en daar zitten kwalitatief uitstekende teksten bij.

[..]

Vreemd, ik dacht dat ik het toch duidelijk had uitgelegd. Een analytische (of : holomorfe) functie geeft een (lokaal) conforme afbeelding. Lees anders nog eens in het boekje van Maor na (hier) hoe hij de Mercatorprojectie in verband brengt met de complexe logaritme.

Mijn excuses, het is niet dat je uitleg onduidelijk is, het schort mij aan basiskennis over complexe functies en eigenschappen van zijn afgeleide.
Ik zal het doornemen.

quote:

Op maandag 10 december 2012 22:53 schreef thenxero het volgende:

[..]

Bijna alle wetenschap gaat toch in het Engels? Volgens mij zijn er wel veel oude werken die alleen in het Duits te lezen zijn, dus voor jou is Duitse kennis onmisbaar. Maar als je moderne onderwerpen bestudeert heb je voor zover ik weet geen Duitse taal nodig.

Maar ik ben het er wel mee eens dat je Duits (en basisstatistiek) niet moet afdoen als zooi

Niet meer echt motivatie voor Duits. Basisstatistiek gaat dan nog wel..

quote:

Op maandag 10 december 2012 21:01 schreef Riparius het volgende:

[..]

Het raakvlak aan punt P van de bol staat loodrecht op straal MP en het raakvlak aan punt N van de bol (i.e. het projectievlak) staat loodrecht op straal MN. Dus staan zowel zowel het raakvlak aan punt P als het projectievlak loodrecht op het vlak bepaald door de punten M, N en P. En aangezien WR in het projectievlak ligt en RA in het vlak bepaald door de punten M,N,P is dus WR ⟂ RA.

Met uw permissie heb ik dit rechtstreeks in mijn werkstuk gezet, in plaats van te parafraseren. Alhoewel dat eigenlijk niet helemaal mag is dit wel de kortste manier, en ik moet een beetje op de lengte gaan letten.

quote:

Op dinsdag 11 december 2012 20:43 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Met uw permissie heb ik dit rechtstreeks in mijn werkstuk gezet, in plaats van te parafraseren. Alhoewel dat eigenlijk niet helemaal mag is dit wel de kortste manier, en ik moet een beetje op de lengte gaan letten.

Lijkt me prima, het is geen originele gedachte maar gewoon heel eenvoudige stereometrie hoor: als eene lijn loodrecht staat op een vlak, dan zal elk vlak, dat door die lijn gaat, loodrecht op dat vlak staan. (link). Maar ja, wie leert er nog stereometrie?

quote:

Op dinsdag 11 december 2012 04:19 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Mijn excuses, het is niet dat je uitleg onduidelijk is, het schort mij aan basiskennis over complexe functies en eigenschappen van zijn afgeleide.
Ik zal het doornemen.

Daar gaan ook enkele colleges van Functies en Reeksen over. Als je eens een uurtje over hebt zou je kunnen kijken of je er wat van volgt (over het algemeen zijn hoorcolleges goed te volgen, zelfs als je niet echt alle voorkennis hebt) bij de webcolleges Functies en Reeksen. Het 9e college gaat over complexe differentieerbaarheid.

quote:

Op dinsdag 11 december 2012 20:57 schreef Riparius het volgende:

[..]

Lijkt me prima, het is geen originele gedachte maar gewoon heel eenvoudige stereometrie hoor: als eene lijn loodrecht staat op een vlak, dan zal elk vlak, dat door die lijn gaat, loodrecht op dat vlak staan. (link). Maar ja, wie leert er nog stereometrie?

Even doorlezen. Dat was wel mijn enige gedachte erbij, mag je zeggen dat ieder vlak dat door diameter ON gaat loodrecht op WR staat? En dan bedoel ik niet 'verticaal loodrecht', maar juist horizontaal, ofwel de rechte hoek in het projectievlak.

Ik denk dat je een fout maakt. De hoek van 90 graden volgt niet uit dat WR in het projectievlak ligt, maar juist in het raakvlak r, want dat staat loodrecht op straal MR welk in vlak MNP ligt, en in dat vlak is RA dus ook vertegenwoordigd. Klopt dit?

[ Bericht 1% gewijzigd door Amoeba op 11-12-2012 21:19:21 ]

niks te zien hier

[ Bericht 48% gewijzigd door Amoeba op 11-12-2012 21:15:01 ]

.

[ Bericht 50% gewijzigd door Amoeba op 11-12-2012 21:15:07 ]

quote:

Op dinsdag 11 december 2012 21:02 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Even doorlezen. Dat was wel mijn enige gedachte erbij, mag je zeggen dat ieder vlak dat door diameter ON gaat loodrecht op WR staat?

Nee, dat mag je niet zeggen want het klopt niet. Elk vlak door ON staat loodrecht op het projectievlak en WR ligt in het projectievlak, dat wel.

quote:

En dan bedoel ik niet 'verticaal loodrecht', maar juist horizontaal, ofwel de rechte hoek in het projectievlak.

Dit is onduidelijk, ik begrijp niet wat je hier bedoelt.

quote:

Op dinsdag 11 december 2012 21:17 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, dat mag je niet zeggen want het klopt niet. Elk vlak door ON staat loodrecht op het projectievlak en WR ligt in het projectievlak, dat wel.

[..]

Dit is onduidelijk, ik begrijp niet wat je hier bedoelt.

Ik denk dat er iets niet klopt aan je uitleg, zoals ik al stelde in mijn vorige post. Zoals jij het stelde leek dit wel zo..

quote:

Op dinsdag 11 december 2012 21:02 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik denk dat je een fout maakt. De hoek van 90 graden volgt niet uit dat WR in het projectievlak ligt, maar juist in het raakvlak r, want dat staat loodrecht op straal MR welk in vlak MNP ligt, en in dat vlak is RA dus ook vertegenwoordigd. Klopt dit?

Je hoeft alleen te constateren dat de lijnstukken WR en RA in twee verschillende vlakken liggen die loodrecht op elkaar staan om te kunnen concluderen dat ∠WRA = 90°. Lijnstuk WR ligt zowel in het projectievlak als in het raakvlak aan de bol in punt P, maar het projectievlak en dit raakvlak staan beide loodrecht op het vlak bepaald door de punten MNP waarin lijnstuk RA ligt.

Inderdaad, dankjewel.

Zie een examinator maar eens in 20 minuten uit te leggen hoe zo'n projectie in elkaar steekt.

Dit is dus het nadeel van staatsexamen, je moet circa 80 uur in een profielwerkstuk geven, en daar naderhand een presentatie over geven. Hoe moet ik zo'n presentatie vorm geven? Een projectie behandelen? In het kort allemaal? Ik wil al enkel cilindrische projecties gaan doen, dus misschien een vergelijking opzetten. En het mooie is, ze krijgen die ochtend een stapel met profielwerkstukken, dus waarschijnlijk hebben ze 10 minuten tijd om het door te nemen. Al dat werk voor een half uurtje beoordeling.

quote:

Op dinsdag 11 december 2012 22:50 schreef Amoeba het volgende:
Zie een examinator maar eens in 20 minuten uit te leggen hoe zo'n projectie in elkaar steekt.

Dit is dus het nadeel van staatsexamen, je moet circa 80 uur in een profielwerkstuk geven, en daar naderhand een presentatie over geven. Hoe moet ik zo'n presentatie vorm geven? Een projectie behandelen? In het kort allemaal? Ik wil al enkel cilindrische projecties gaan doen, dus misschien een vergelijking opzetten. En het mooie is, ze krijgen die ochtend een stapel met profielwerkstukken, dus waarschijnlijk hebben ze 10 minuten tijd om het door te nemen. Al dat werk voor een half uurtje beoordeling.

Dat is een beetje het nadeel van je met dingen bezighouden die wat ingewikkelder zijn dan het gemiddelde. Ik had op het vwo ook een profielwerkstuk waar ik echt een hele zooi werk in had zitten (het ging over muziek, en ik had me vooral gefocust op digitale muziek en signaalverwerking, digitale effecten en dat soort dingen, vond ik destijds heel leuk). Dat werkstuk bevatte ook redelijk wat wiskunde (ik heb er geloof ik ook behoorlijk wat Fouriertheorie in gestopt, wat wel nuttig is bij het begrijpen van geluid). Dat werkstuk ging ook richting de 100 pagina's. Kreeg ik van mijn beoordeler (een biologie-docent die geloof ik niet echt van wiskunde hield) doodleuk te horen dat hij het te ingewikkeld vond, en had hij me een 6 gegeven.
Ik was dan ook vrij pissig toen een jongen die zijn profielwerkstuk letterlijk in één avond had geschreven (16 pagina's, veel plaatjes en witte bladzijden), flink hoger had dan ik (hij had geloof ik een 7 of 8, in ieder geval een 7 of hoger). Daarna heb ik het er nog met mijn beoordeler over gehad, en nadat hij overlegd heeft met een natuurkundedocent heb ik toch een 7 gekregen.

quote:

Op dinsdag 11 december 2012 23:07 schreef kutkloon7 het volgende:

[..]

Dat is een beetje het nadeel van je met dingen bezighouden die wat ingewikkelder zijn dan het gemiddelde. Ik had op het vwo ook een profielwerkstuk waar ik echt een hele zooi werk in had zitten (het ging over muziek, en ik had me vooral gefocust op digitale muziek en signaalverwerking, digitale effecten en dat soort dingen, vond ik destijds heel leuk). Dat werkstuk bevatte ook redelijk wat wiskunde (ik heb er geloof ik ook behoorlijk wat Fouriertheorie in gestopt, wat wel nuttig is bij het begrijpen van geluid). Dat werkstuk ging ook richting de 100 pagina's. Kreeg ik van mijn beoordeler (een biologie-docent die geloof ik niet echt van wiskunde hield) doodleuk te horen dat hij het te ingewikkeld vond, en had hij me een 6 gegeven.
Ik was dan ook vrij pissig toen een jongen die zijn profielwerkstuk letterlijk in één avond had geschreven (16 pagina's, veel plaatjes en witte bladzijden), flink hoger had dan ik (hij had geloof ik een 7 of 8, in ieder geval een 7 of hoger). Daarna heb ik het er nog met mijn beoordeler over gehad, en nadat hij overlegd heeft met een natuurkundedocent heb ik toch een 7 gekregen.

Mijn eigen docenten mogen me niet eens beoordelen. Ik moet mijn profielwerkstuk opsturen naar DUO/IB, begin mei ofzo. Er wordt iemand aangewezen om mij te examineren betreffende het profielwerkstuk. Als hij hier aankomt op school, een docent van een andere school, nooit die van mijzelf, krijgt hij de profielwerkstukken van de leerlingen die hij moet examineren. Nou goed, hele dag examineren en tussendoor de werkstukken doornemen. Je ziet 'm al hangen hé.?

Dat krijg ik trouwens ook altijd te horen. Wat ik doe is te ingewikkeld, hij begrijpt het niet en blijft dan ook uitstellen. Volgende week dinsdag heb ik vastgepind, dan stuur ik hem een verzameling documentatie die hij door mag nemen.

[ Bericht 5% gewijzigd door Amoeba op 11-12-2012 23:21:16 ]

Kan iemand mij stock en cash dividend uitleggen. Heb morgen SE, maar ben het weer vergeten. Je moet de cash en stock dividend percentages bij elkaar optellen, en dan dit getal van het geplaatst AK. Maar verder weer ik het niet.. Cash was belasting en Stock niet. Ik mis 1 of 2 stapjes, als iemand me die even zou kunnen uitleggen.. Bedankt!

quote:

Op woensdag 12 december 2012 12:32 schreef Metapod het volgende:
Kan iemand mij stock en cash dividend uitleggen. Heb morgen SE, maar ben het weer vergeten. Je moet de cash en stock dividend percentages bij elkaar optellen, en dan dit getal van het geplaatst AK. Maar verder weer ik het niet.. Cash was belasting en Stock niet. Ik mis 1 of 2 stapjes, als iemand me die even zou kunnen uitleggen.. Bedankt!

hoe heet dit topic?

Riparius, bij de Mercatorprojectie worden de cartesische coördinaten gegeven door




Als ik x/y neem, volgt daar dan direct uit dat de projectie conform is? Aangezien de secans toch ook een schaalfactor in verticale richting is?

Of maak ik hier een (fundamentele) denkfout?

[ Bericht 2% gewijzigd door Amoeba op 12-12-2012 14:14:42 ]

quote:

Op zaterdag 8 december 2012 18:10 schreef Riparius het volgende:

[..]

Het klassieke ε/3 trucje. Het bewijs staat vast wel ergens in de een of andere vorm in je leerboek, en anders moet je maar even hier kijken.

Aha dank je wel!

Ik heb nog een vraagje:
als ik een functie v(x,t) met x in ]0,L[ en t in ]0,+oneindig[ heb, die ik kan schrijven als:
(1/2)*(f(x+at)+f(x-at)) met a een constante, die niet 0 is.
En ik weet bovendien dat in het gegeven gebied v(x,t) continu is, mag ik dan concluderen dat f continu is in heel R? Volgens de cursus kan dit, maar ik zie niet direct in waarom.

quote:

Op woensdag 12 december 2012 13:38 schreef Amoeba het volgende:
Riparius, bij de Mercatorprojectie worden de cartesische coördinaten gegeven door




Als ik x/y neem, volgt daar dan direct uit dat de projectie conform is? Aangezien de secans toch ook een schaalfactor in verticale richting is?

Of maak ik hier een (fundamentele) denkfout?

Je maakt een fundamentele denkfout.

Laten we zeggen dat we een punt op aarde hebben met geografische coördinaten (λ;φ) waarbij λ in radialen wordt uitgedrukt (positief voor oosterlengte, negatief voor westerlengte) en dat φ eveneens in radialen wordt uitgedrukt (positief voor noorderbreedte en negatief voor zuiderbreedte). Laten we verder zeggen dat dit punt met geografische coördinaten (λ;φ) op de Mercatorprojectie wordt afgebeeld als het punt met (cartesische) coördinaten (x;y). En laten we de horizontale en de verticale schaalfactoren voor het punt met geografische coördinaten (λ;φ) op onze kaart aangeven met resp. s_h(λ;φ) en s_v(λ;φ). Voor een conforme (hoekgetrouwe) afbeelding moet dan gelden s_h(λ;φ) = s_v(λ;φ) voor elk punt (λ;φ). Om dit aan te tonen berekenen we nu s_h(λ;φ) en s_v(λ;φ) zoals die volgen uit bovenstaande formules.

Eerst de horizontale schaalfactor voor het punt met geografische coördinaten (λ;φ). Verplaatsen we ons op aarde in oost-west richting van een punt met coördinaten (λ;φ) naar een punt met coördinaten (λ+Δλ;φ), waarbij je moet bedenken dat Δλ zowel positief kan zijn (verplaatsing in oostelijke richting) als negatief (verplaatsing in westelijke richting), dan leggen we op aarde een afstand af die, afgezien van het teken, R∙cosφ∙Δλ bedraagt. Laten we de (geörienteerde) afstand langs de breedtecirkel tot de nulmeridiaan a noemen, dan kunnen we de afgelegde afstand aangeven met Δa = R∙cosφ∙Δλ, waarbij Δa weer zowel positief kan zijn (verplaatsing in oostelijke richting) als negatief (verplaatsing in westelijke richting). Als nu op de kaart het punt (λ+Δλ;φ) wordt afgebeeld op het punt met cartesische coördinaten (x+Δx;y), dan bedraagt de horizontale schaalfactor voor het punt (λ;φ)
dus:

s_h(λ;φ) = Δx/Δa = Δx/(R∙cosφ∙Δλ) = (1/(R∙cosφ))∙(Δx/Δλ) = (1/(R∙cosφ))∙s₀∙R = s₀∙sec φ

Nu de verticale schaalfactor voor het punt met geografische coördinaten (λ;φ). Verplaatsen we ons in noord-zuid richting naar een punt op aarde met geografische coördinaten (λ;φ+Δφ) waarbij Δφ weer zowel positief kan zijn (verplaatsing in noordelijke richting) als negatief (verplaatsing in zuidelijke richting), en noemen we de wijziging in de (geörienteerde) afstand a tot de evenaar Δa, dan is Δa = R∙Δφ. Als nu op de kaart het punt met geografische coördinaten (λ;φ+Δφ) wordt afgebeeld op een punt met cartesische coördinaten (x;y+Δy), dan bedraagt de verticale schaalfactor over deze afstand Δy/Δa = Δy/(R∙Δφ) = (1/R)∙Δy/Δφ, alleen is dit een gemiddelde schaalfactor voor de afbeelding op de kaart van het traject van (λ;φ) naar (λ;φ+Δφ), omdat Δy/Δφ geen constante is maar afhangt van φ. Om de verticale schaalfactor in het punt (λ;φ) op de kaart te bepalen moeten we de limiet nemen van de trajectschaling Δy/Δa voor Δφ → 0, dus dy/da = (1/R)∙dy/dφ. Voor de verticale schaalfactor op de kaart in het punt met geografische coördinaten (λ;φ) krijgen we dus:

s_v(λ;φ) = (1/R)∙dy/dφ = (1/R)∙s₀∙R∙sec φ = s₀∙sec φ

Zoals je ziet hebben we dus s_h(λ;φ) = s_v(λ;φ), QED.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 13-12-2012 20:39:53 ]

quote:

Op woensdag 12 december 2012 17:07 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je maakt een fundamentele denkfout.

Laten we zeggen dat we een punt op aarde hebben met geografische coördinaten (λ;φ) waarbij λ in radialen wordt uitgedrukt (positief voor oosterlengte, negatief voor westerlengte) en dat φ eveneens in radialen wordt uitgedrukt (positief voor noorderbreedte en negatief voor zuiderbreedte). Laten we verder zeggen dat dit punt met geografische coördinaten (λ;φ) op de Mercatorprojectie wordt afgebeeld als het punt met (cartesische) coördinaten (x;y). En laten we de horizontale en de verticale schaalfactoren voor het punt met geografische coördinaten (λ;φ) op onze kaart aangeven met resp. s_h(λ;φ) en s_v(λ;φ). Voor een conforme (hoekgetrouwe) afbeelding moet dan gelden s_h(λ;φ) = s_v(λ;φ) voor elk punt (λ;φ). Om dit aan te tonen berekenen we nu s_h(λ;φ) en s_v(λ;φ) zoals die volgen uit bovenstaande formules.

Eerst de horizontale schaalfactor voor het punt met geografische coördinaten (λ;φ). Verplaatsen we ons op aarde in oost-west richting van een punt met coördinaten (λ;φ) naar een punt met coördinaten (λ+Δλ;φ), waarbij je moet bedenken dat Δλ zowel positief kan zijn (verplaatsing in oostelijke richting) als negatief (verplaatsing in westelijke richting), dan leggen we op aarde een afstand af die, afgezien van het teken, R∙cosφ∙Δλ bedraagt. Laten we de (geörienteerde) afstand langs de breedtecirkel tot de nulmeridiaan a noemen, dan kunnen we de afgelegde afstand aangeven met Δa = R∙cosφ∙Δλ, waarbij Δa weer zowel positief kan zijn (verplaatsing in oostelijke richting) als negatief (verplaatsing in westelijke richting). Als nu op de kaart het punt (λ+Δλ;φ) wordt afgebeeld op het punt met cartesische coördinaten (x+Δx;y), dan bedraagt de horizontale schaalfactor voor het punt (λ;φ)
dus:

s_h(λ;φ) = Δx/Δa = Δx/(R∙cosφ∙Δλ) = (1/(R∙cosφ))∙(Δx/Δλ) = (1/(R∙cosφ))∙s₀∙R = s₀∙sec φ

Nu de verticale schaalfactor voor het punt met geografische coördinaten (λ;φ). Verplaatsen we ons in noord-zuid richting naar een punt op aarde met geografische coördinaten (λ;φ+Δφ) waarbij Δφ weer zowel positief kan zijn (verplaatsing in noordelijke richting) als negatief (verplaatsing in zuidelijke richting), en noemen we de wijziging in de (geörienteerde) afstand a tot de evenaar Δa, dan is Δa = R∙Δφ. Als nu op de kaart het punt met geografische coördinaten (λ;φ+Δφ) wordt afgebeeld op een punt met cartesische coördinaten (x;y+Δy), dan bedraagt de verticale schaalfactor over deze afstand Δy/Δa = Δy/(R∙Δφ) = (1/R)∙Δy/Δφ, alleen is dit een gemiddelde schalingsfactor voor de afbeelding op de kaart van het traject van (λ;φ) naar (λ;φ+Δφ), omdat Δy/Δφ geen constante is maar afhangt van φ. Om de de verticale schalingsfactor in het punt (λ;φ) op de kaart te bepalen moeten we de limiet nemen van de trajectschaling Δy/Δa voor Δφ → 0, dus dy/da = (1/R)∙dy/dφ. Voor de verticale schaalfactor op de kaart in het punt met geografische coördinaten (λ;φ) krijgen we dus:

s_v(λ;φ) = (1/R)∙dy/dφ = (1/R)∙s₀∙R∙sec φ = s₀∙sec φ

En zoals je ziet hebben we dus s_h(λ;φ) = s_v(λ;φ), QED.

Je redenering kan ik volgen. Alleen het vetgedrukte, ik zie je dat wel vaker zeggen, wat bedoel je daar precies mee?

quote:

Op woensdag 12 december 2012 18:44 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Je redenering kan ik volgen. Alleen het vetgedrukte, ik zie je dat wel vaker zeggen, wat bedoel je daar precies mee?

Je weet niet of het + of - is. De richting is dus onbekend (zoals Riparius daarvoor uitlegt), maar de afstand niet.

quote:

Op woensdag 12 december 2012 18:46 schreef Quyxz_ het volgende:

[..]

Je weet niet of het + of - is. De richting is dus onbekend (zoals Riparius daarvoor uitlegt), maar de afstand niet.

Oh zo, moet je dit vermelden?

quote:

Op woensdag 12 december 2012 18:51 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Oh zo, moet je dit vermelden?

Ja, want afstanden zijn niet negatief, terwijl Δa wel negatief kan zijn. Echter is Δa alleen negatief als Δλ resp. Δφ negatief is, en dan zijn ook Δx resp. Δy negatief, zodat de schaalfactoren Δx/Δa en Δy/Δa dus altijd positief zijn.

Ik kom bij een vraagstuk niet uit. Het gaat over een vector F projecteren op v:
vector v = 3i + 4j
vector F = 4i + j

a) Vind de component van F parallel aan v
b) Vind de component van F loodrecht aan v
c) Vind de arbeid W gedaan door kracht F door de verplaatsing van v

antwoorden zijn:
a) 1.92i + 2.56j
b) 2.08i - 1.56j
c) W= 16

Met de formule van F= Fparallel + Fperpendicular klopt a en b iniedergeval wel. Zou iemand me kunnen laten zien hoe je deze sommen maakt?

Bvd

Vraagje... Is er een methode waarmee ik kan bepalen hoeveel invloed het veranderen van iedere parameter heeft op een functie?

Bijvoorbeeld; y = f(x) = 1/a*(b*c*d*x^2 + e*f*g)*x + h

Ik weet bijvoorbeeld dat a ergens tussen 0.7 en 0.85 ligt. Dit weet ik voor iedere parameter. Nu wil ik zeg maar kunnen afleiden hoeveel invloed iedere parameter heeft op het eind antwoord. Zorgt a verandering van a bijvoorbeeld dat het antwoord omhoog schiet of juist maar een klein beetje omhoog schiet.

quote:

Op donderdag 13 december 2012 00:29 schreef Dale. het volgende:
Vraagje... Is er een methode waarmee ik kan bepalen hoeveel invloed het veranderen van iedere parameter heeft op een functie?

Bijvoorbeeld; y = f(x) = 1/a*(b*c*d*x^2 + e*f*g)*x + h

Ik weet bijvoorbeeld dat a ergens tussen 0.7 en 0.85 ligt. Dit weet ik voor iedere parameter. Nu wil ik zeg maar kunnen afleiden hoeveel invloed iedere parameter heeft op het eind antwoord. Zorgt a verandering van a bijvoorbeeld dat het antwoord omhoog schiet of juist maar een klein beetje omhoog schiet.

Een partiële afgeleide komt denk ik nog het dichtst in de buurt van wat jij bedoelt (hoewel er omstandigheden te bedenken zijn waarin de partiële afgeleide groot en de invloed op de functie slechts klein). Of had je daar al over nagedacht?
Anders zou je kunnen kijken naar het bereik van de functie als je a varieert en de anderen variabelen vast laat, maar dat is een stuk ingewikkelder. Misschien zijn er nog andere methoden, dit is wat ik zo even snel kan bedenken.

quote:

Op donderdag 13 december 2012 00:15 schreef MoriniStylr het volgende:
Ik kom bij een vraagstuk niet uit. Het gaat over een vector F projecteren op v:
vector v = 3i + 4j
vector F = 4i + j

a) Vind de component van F parallel aan v
b) Vind de component van F loodrecht aan v
c) Vind de arbeid W gedaan door kracht F door de verplaatsing van v

antwoorden zijn:
a) 1.92i + 2.56j
b) 2.08i - 1.56j
c) W= 16

Met de formule van F= Fparallel + Fperpendicular klopt a en b iniedergeval wel. Zou iemand me kunnen laten zien hoe je deze sommen maakt?

Bvd

Maak eens een plaatje met de vectoren. Gebruik dat voor het inproduct tussen twee vectoren a en b geldt:

waarbij alfa de hoek tussen a en b is.

Voor c gebruik je dat de arbeid gegeven wordt door het inproduct tussen kracht en snelheid.

quote:

Op donderdag 13 december 2012 00:15 schreef MoriniStylr het volgende:
Ik kom bij een vraagstuk niet uit. Het gaat over een vector F projecteren op v:
vector v = 3i + 4j
vector F = 4i + j

a) Vind de component van F parallel aan v
b) Vind de component van F loodrecht aan op v
c) Vind de arbeid W gedaan door kracht F door bij de verplaatsing van v

antwoorden zijn:

a) 1.92i + 2.56j
b) 2.08i - 1.56j
c) W = 16

Met de formule van F= Fparallel + Fperpendicular klopt a en b in ieder geval wel. Zou iemand me kunnen laten zien hoe je deze sommen opgaven maakt?

Bvd

Bepaal eerst een vector w die loodrecht staat op v. Aangezien (3;4) het eindpunt is van vector v en een punt (a;b) bij rotatie om de oorsprong over een rechte hoek tegen de klok in overgaat in het punt met coördinaten (b;-a) hebben we dan w = 4i - 3j. Nu willen we vector F schrijven als een lineaire combinatie van v en w, dus:

F = λ∙v + μ∙w

Dit geeft:

4i + j = λ∙(3i + 4j) + μ∙(4i - 3j)

Uitwerken geeft nu:

4i + j = (3λ + 4μ)i + (4λ - 3μ)j

En dus moet gelden:

3λ + 4μ = 4
4λ - 3μ = 1

Oplossen van dit lineaire stelsel geeft λ = 16/25 en μ = 13/25.

De component van F parallel aan v is dus:

λ∙v = 16/25 ∙ (3i + 4j) = 48/25 ∙ i + 64/25 ∙ j

En de component van F loodrecht op v (en parallel aan w) is dus:

μ∙w = 13/25 ∙ (4i - 3j) = 52/25 ∙ i - 39/25 ∙ j

Om nu de arbeid W gedaan door kracht F bij een verplaatsing langs v te berekenen kun je natuurlijk de lengte van de component van F langs v vermenigvuldigen met de lengte van v en dan vind je W = 5∙√((48/25)² + (64/25)²) = 5 ∙ 16/5 = 16. Maar het is veel eenvoudiger om het inproduct te nemen van F en v, dan hebben we direct:

W = F∙v = (4i + j)∙(3i + 4j) = 4∙3 + 1∙4 = 16

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 13-12-2012 02:33:20 ]

Ok, ik snap het nu al wat beter, bedankt.

quote:

Op donderdag 13 december 2012 00:42 schreef kutkloon7 het volgende:

[..]

Een partiële afgeleide komt denk ik nog het dichtst in de buurt van wat jij bedoelt (hoewel er omstandigheden te bedenken zijn waarin de partiële afgeleide groot en de invloed op de functie slechts klein). Of had je daar al over nagedacht?
Anders zou je kunnen kijken naar het bereik van de functie als je a varieert en de anderen variabelen vast laat, maar dat is een stuk ingewikkelder. Misschien zijn er nog andere methoden, dit is wat ik zo even snel kan bedenken.

Ja had al aan partiële afgeleide gedacht. maar nog niet verder naar gekeken vanwege de reden die je zelf al opnoemt.

Probleem is dat ik een dataset heb. Hier moet een theoretische functie op gefit worden. Ik weet van alle variabelen wat deze ongeveer, minimum waarde en maximum waarde, zijn. Echter met de huidige bounderies op m'n variabelen krijg ik hem niet gefit.

Nu wil ik zeg maar soort van berekenen hoe groot de kans is dat de waarde van een bepaalde variabele fout is. Een aantal kan ik vrijwel meteen wegstrepen maar 4 variabelen niet.

Ik zit al even met de volgende som, snap niet helemaal wat de weg er naartoe is:

Een beweging van een element is als volgt:


Nu moet de snelheid mbv de spatial/eulerian description berekend worden.

De eerste component komt uit op:


Echter snap ik niet hoe je hier systematisch precies op komt.

Kan iemand uitleggen waarom een rotatie matrix is zoals hij is:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Rotatiematrix
Ik ben bezig aan een 3d engine maar nu ik bij rotaties uitkom vraag ik me af waarom dit werkt.. al googlend kom ik op filmpjes van mensen die het voordoen, maar niet die het uitleggen..
iemand?

quote:

Op zondag 16 december 2012 15:25 schreef dramatic het volgende:
iemand uitleggen waarom een rotatie matrix is zoals hij is:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Rotatiematrix
Ik ben bezig aan een 3d engine maar nu ik bij rotaties uitkom vraag ik me af waarom dit werkt.. al googlend kom ik op filmpjes van mensen die het voordoen, maar niet die het uitleggen..
iemand?

Ik zal dit simpel uitleggen

Probeer zelf een simpele vector (x,y) linksom te roteren met een 2 keer 2 matrix, zodat de vector zijn lengte behoudt.

Je kunt ook dan vervolgens vectoren als (x,y,z) roteren door drie keer één as niet te roteren (drie rotaties), dus met die rotatie matrices in jouw link voor in de drie dimensies.

quote:

Op zondag 16 december 2012 16:13 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Ik zal dit simpel uitleggen

Probeer zelf een simpele vector (x,y) linksom te roteren met een 2 keer 2 matrix, zodat de vector zijn lengte behoudt.

Je kunt ook dan vervolgens vectoren als (x,y,z) roteren door drie keer één as niet te roteren (drie rotaties), dus met die rotatie matrices in jouw link voor in de drie dimensies.

Bedankt, dat had ik door De vraag is dat ook meer hoe ze op die gonio komen.

Kijk eens op welke punten [1 0 0], [0 1 0] en [0 0 1] terecht moeten komen.

pff voel me best dom maar ga het toch vragen:

Ik heb de partieel afgeleiden van L en K nodig van :


/niet zozeer nodig, ik heb ze wel, maar de stappen hoe ze er aan komen is mij nogal vaag

quote:

Op zondag 16 december 2012 16:14 schreef dramatic het volgende:

[..]

Bedankt, dat had ik door De vraag is dat ook meer hoe ze op die gonio komen.

Oké, je snapt dan hoe je van 2 dimensies naar 3 dimensies gaat. Dus het is genoeg om alleen 2 dimensies te behandelen.

Je wil vectoren roteren en omdat je wil dat de vectoren niet van lengte veranderen, roteer je ze over de éénheidscirkel. Dus teken een goniometrische cirkel zoals op de middelbare school, http://commons.wikimedia.(...)e-cirkel-sin-cos.png. Beschouw twee verschillende hoeken en druk de bijbehorende x en y component uit in zijn hoek met de sinus en cosinus. Bekijk vervolgens hoe je van de ene x naar de andere x gaat. Doe hetzelfde voor de y.

quote:

Op zondag 16 december 2012 16:26 schreef bezemsteeltaart het volgende:
pff voel me best dom maar ga het toch vragen:

Ik heb de partiële afgeleiden van naar L en K nodig van :
[ afbeelding ]

/niet zozeer nodig, ik heb ze wel, maar de stappen hoe ze er aan komen is mij nogal vaag

Herschrijf je uitdrukking eens als

2∙K^1/2∙L^3/2

Nu zie je toch wel hoe je ∂(2∙K^1/2∙L^3/2)/∂K en ∂(2∙K^1/2∙L^3/2)/∂L bepaalt?

quote:

Op zondag 16 december 2012 16:23 schreef GlowMouse het volgende:
Kijk eens op welke punten [1 0 0], [0 1 0] en [0 0 1] terecht moeten komen.

quote:

Op zondag 16 december 2012 16:28 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Oké, je snapt dan hoe je van 2 dimensies naar 3 dimensies gaat. Dus het is genoeg om alleen 2 dimensies te behandelen.

Je wil vectoren roteren en omdat je wil dat de vectoren niet van lengte veranderen, roteer je ze over de éénheidscirkel. Dus teken een goniometrische cirkel zoals op de middelbare school, http://commons.wikimedia.(...)e-cirkel-sin-cos.png. Beschouw twee verschillende hoeken en druk de bijbehorende x en y component uit in zijn hoek met de sinus en cosinus. Bekijk vervolgens hoe je van de ene x naar de andere x gaat. Doe hetzelfde voor de y.

Ik ben niet heel handig met die sinussen Als ik iets roteer over de eenheidscirkel dan krijg je uiteraard x=cos(a) en y=sin(a). dit geldt voor vector: [1,0] als in [x,y] nu lijkt het mij logisch dat een zelfde draaiing er voor zorgt dat de vector [0,1] dan hetzelfde krijgt maar 90 graden verder terecht komt, wat neerkomt op de afgeleides van cos en sin. Nogmaals, ik faal hier nogal mee, denk ik enigsinds in de juiste richting?

Waarom is de verwachtingswaarde van een gekwadrateerd wiener proces gelijk aan t?

quote:

Op zondag 16 december 2012 16:39 schreef Riparius het volgende:

[..]

Herschrijf je uitdrukking eens als

2∙K^1/2∙L^3/2

Nu zie je toch wel hoe je ∂(2∙K^1/2∙L^3/2)/∂K en ∂(2∙K^1/2∙L^3/2)/∂L bepaalt?

oohhh easy money, zo, bedankt. Die notatiewijze van mij is ook nooit zo denderend trouwens (van ipv naar etc)

Hm nee daar klopte waarschijnlijk niet veel van. Het probleem is een beetje dat ik als eerstejaars een tweedejaarsvak als keuze heb gekozen, terwijl je voor dit vak eigenlijk lineaire algebra nodig had als voorkennis..

quote:

Op zondag 16 december 2012 16:59 schreef dramatic het volgende:
Hm nee daar klopte waarschijnlijk niet veel van. Het probleem is een beetje dat ik als eerstejaars een tweedejaarsvak als keuze heb gekozen, terwijl je voor dit vak eigenlijk lineaire algebra nodig had als voorkennis..

Ik ben zelf aan het blunderen. Je roteert gewoon over een cirkel en niet per se over de éénheidscirkel. Je leert dit niet bij de vak lineaire algebra. De opgave dat ik je gaf, ziet er niet echt prettig uit (nu ik het zelf probeer). Sorry, ik heb zelf niet echt veel tijd om je te helpen. Je moet daarom op Riparius wachten, die wil je vast wel helpen.

quote:

Op zondag 16 december 2012 16:43 schreef dramatic het volgende:

[..]

[..]

Ik ben niet heel handig met die sinussen Als ik iets roteer over de eenheidscirkel dan krijg je uiteraard x=cos(a) en y=sin(a). dit geldt voor vector: [1,0] als in [x,y] nu lijkt het mij logisch dat een zelfde draaiing er voor zorgt dat de vector [0,1] dan hetzelfde krijgt maar 90 graden verder terecht komt, wat neerkomt op de afgeleides van cos en sin. Nogmaals, ik faal hier nogal mee, denk ik enigsinds in de juiste richting?

Precies dat ja. Vervolgens kun je een vector [a; b] schrijven als a*[1; 0] + b*[0; 1], en dan moet je kijken wat er gebeurt als je dit met de rotatiematrix vermenigvuldigt.

quote:

Op zondag 16 december 2012 16:43 schreef dramatic het volgende:

[..]

[..]

Ik ben niet heel handig met die sinussen Als ik iets roteer over de eenheidscirkel dan krijg je uiteraard x=cos(a) en y=sin(a). dit geldt voor vector: [1,0] als in [x,y] nu lijkt het mij logisch dat een zelfde draaiing er voor zorgt dat de vector [0,1] dan hetzelfde krijgt maar 90 graden verder terecht komt, wat neerkomt op de afgeleides van cos en sin. Nogmaals, ik faal hier nogal mee, denk ik enigszins in de juiste richting?

Het heeft uiteindelijk te maken met de definities van de cosinus en de sinus aan de hand van de eenheidscirkel. Je kunt ook heel fraai met vectoren werken om in te zien hoe de coördinaten (x;y) van een punt P zijn gerelateerd aan de coördinaten (x';y') van het beeld P' van P bij een rotatie om de oorsprong over een hoek θ.

Je weet dat de vectoren e_x en e_y met lengte één langs de positieve x-as resp. langs de positieve y-as een (orthonormale) basis vormen voor de cartesische coördinaten. Hebben we nu de vector p = OP met als eindpunt P(x;y), dan geldt dus:

(1) p = x∙e_x + y∙e_y

Laten we zeggen dat de basis {e_x,e_y} bij een rotatie om de oorsprong over een hoek θ overgaat in {e_x',e_y'} en dat vector p daarbij overgaat in vector p'. Dan geldt dus:

(2) p' = x∙e_x' + y∙e_y'

Als we nu de beeldvectoren e_x' en e_y' uit kunnen drukken in e_x en e_y, dan kunnen we die uitdrukkingen invullen in (2) en zo dus de coördinaten van het eindpunt van vector p' oftewel de coördinaten (x';y') van het beeldpunt P' uitdrukken in de coördinaten (x;y) van punt P.

Welnu, het eindpunt (1;0) van vector e_x gaat bij rotatie om de oorsprong over een hoek θ per definitie over in een punt met coördinaten (cos θ ; sin θ). Dat is een rechtstreekse consequentie van de definitie van de cosinus en de sinus aan de hand van de eenheidscirkel. Dus hebben we:

(3) e_x' = cos θ ∙ e_x + sin θ ∙ e_y

Het is iets lastiger te zien hoe je e_y' uit kunt drukken in e_x en e_y, maar bekijk dit eens als volgt. Als we de basis {e_x,e_y} roteren over een rechte hoek tegen de klok in, dan gaat vector e_x over in vector e_y en gaat vector e_y over in vector -e_x. Kiezen we nu even {e_y,-e_x} als basis, dan heeft het eindpunt van vector e_y in deze basis de coördinaten (1;0), zodat het beeld van e_y bij rotatie om de oorsprong over een hoek θ dus een vector e_y' geeft waarvan de coördinaten van het eindpunt in deze basis weer per definitie gelijk zijn aan (cos θ ; sin θ), zodat dus geldt:

e_y' = cos θ ∙ e_y + sin θ ∙ (-e_x)

En omdat sin θ ∙ (-e_x) = -sin θ ∙ e_x hebben we dus:

(4) e_y' = cos θ ∙ e_y - sin θ ∙ e_x

Door nu (3) en (4) te substitueren in (2) krijgen we dus:

(5) p' = x∙(cos θ ∙ e_x + sin θ ∙ e_y) + y∙(cos θ ∙ e_y - sin θ ∙ e_x)

En door (5) uit te werken en de termen met e_x en e_y weer te hergroeperen krijgen we dan:

(6) p' = (x∙cos θ - y∙sin θ)∙e_x + (x∙sin θ + y∙cos θ)∙e_y

En aangezien voor de coördinaten (x';y') van het eindpunt P' van vector OP' = p' geldt p' = x'∙e_x + y'∙e_y hebben we dus:

(7a) x' = x∙cos θ - y∙sin θ
(7b) y' = x∙sin θ + y∙cos θ

Het is uiteraard ook mogelijk om omgekeerd de coördinaten (x;y) van het origineel P uit te drukken in de coördinaten (x';y') van het beeld P' en dat zou je kunnen doen door x en y op te lossen uit (7a) en (7b). Maar je kunt ook bedenken dat punt P'(x';y') weer overgaat in punt P(x;y) bij een rotatie om de oorsprong over een hoek -θ, zodat we door verwisseling van (x;y) en (x';y') en met gebruik van de identiteiten cos(-θ) = cos θ en sin(-θ) = -sin θ uit (7a) en (7b) direct kunnen afleiden dat ook geldt:

(8a) x = x'∙cos θ + y'∙sin θ
(8b) y = -x'∙sin θ + y'∙cos θ

Je opmerking dat differentiatie van de cosinus en de sinus functies beantwoordt aan een rotatie over een rechte hoek tegen de klok in is overigens juist, zie ook hier.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 18-12-2012 18:25:31 ]

quote:

Op zondag 16 december 2012 18:09 schreef Riparius het volgende:

[..]

Het heeft uiteindelijk te maken met de definities van de cosinus en de sinus aan de hand van de eenheidscirkel. Je kunt ook heel fraai met vectoren werken om in te zien hoe de coördinaten van het beeld van een punt P(x;y) zijn gerelateerd aan de coördinaten van het beeldpunt P'(x';y') bij rotatie om de oorsprong over een hoek θ.

Je weet dat de vectoren e_x en e_y met lengte één langs de positieve x-as resp. langs de positieve y-as een (orthonormale) basis vormen voor de cartesische coördinaten. Hebben we nu de vector p = OP met als eindpunt P(x;y), dan geldt dus:

(1) p = x∙e_x + y∙e_y

Laten we zeggen dat de basis {e_x,e_y} bij een rotatie om de oorsprong over een hoek θ overgaat in {e_x',e_y'} en dat vector p daarbij overgaat in vector p'. Dan geldt dus:

(2) p' = x∙e_x' + y∙e_y'

Als we nu de beeldvectoren e_x' en e_y' uit kunnen drukken in e_x en e_y, dan kunnen we we die uitdrukkingen invullen in (2) en zo dus de coördinaten van het eindpunt van vector p' oftewel de coördinaten (x';y') van het beeldpunt P' uitdrukken in de coördinaten (x;y) van punt P.

Welnu, het eindpunt (1;0) van vector e_x gaat bij rotatie om de oorsprong over een hoek θ per definitie over in een punt met coördinaten (cos θ ; sin θ). Dat is een rechtstreekse consequentie van de definitie van de cosinus en de sinus aan de hand van de eenheidscirkel. Dus hebben we:

(3) e_x' = cos θ ∙ e_x + sin θ ∙ e_y

Het is iets lastiger te zien hoe je e_y' uit kunt drukken in e_x en e_y, maar bekijk dit eens als volgt. Als we de basis {e_x,e_y} roteren over een rechte hoek tegen de klok in, dan gaat vector e_x over in vector e_y en gaat vector e_y over in vector -e_x. Kiezen we nu even {e_y,-e_x} als basis, dan heeft het eindpunt van vector e_y in deze basis de coördinaten (1;0), zodat het beeld van e_y bij rotatie om de oorsprong over een hoek θ dus een vector e_y' geeft waarvan de coördinaten van het eindpunt in deze basis weer per definitie gelijk zijn aan (cos θ ; sin θ), zodat dus geldt:

e_y' = cos θ ∙ e_y + sin θ ∙ (-e_x)

En omdat sin θ ∙ (-e_x) = -sin θ ∙ e_x hebben we dus:

(4) e_y' = cos θ ∙ e_y - sin θ ∙ e_x

Door nu (3) en (4) te substitueren in (2) krijgen we dus:

(5) p' = x∙(cos θ ∙ e_x + sin θ ∙ e_y) + y∙(cos θ ∙ e_y - sin θ ∙ e_x)

En door (5) uit te werken en de termen met e_x en e_y weer te hergroeperen krijgen we dan:

(6) p' = (x∙cos θ - y∙sin θ)∙e_x + (x∙sin θ + y∙cos θ)∙e_y

En aangezien voor de coördinaten (x';y') van het eindpunt P' van vector OP' = p' geldt p' = x'∙e_x + y'∙e_y hebben we dus:

(7a) x' = x∙cos θ - y∙sin θ
(7b) y' = x∙sin θ + y∙cos θ

Het is uiteraard ook mogelijk om omgekeerd de coördinaten van het origineel P(x;y) uit te drukken in de coördinaten van het beeld P'(x';y') en dat zou je kunnen doen door x en y op te lossen uit (7a) en (7b). Maar je kunt ook bedenken dat punt P'(x';y') weer overgaat in punt P(x;y) bij een rotatie om de oorsprong over een hoek -θ, zodat we door verwisseling van (x;y) en (x';y') en met gebruik van de identiteiten cos(-θ) = cos θ en sin(-θ) = -sin θ uit (7a) en (7b) direct kunnen afleiden dat ook geldt:

(8a) x = x'∙cos θ + y'∙sin θ
(8b) y = -x'∙sin θ + y'∙cos θ

Je opmerking dat differentiatie van de cosinus en de sinus functies beantwoordt aan een rotatie over een rechte hoek tegen de klok in is overigens juist, zie ook hier.

Erg veel dank voor deze uitvoerige uitleg!

quote:

Op zondag 16 december 2012 16:48 schreef Oneironaut het volgende:
Waarom is de verwachtingswaarde van een gekwadrateerd wiener proces gelijk aan t?

E(X^2)=E(X)^2+V(X), en E(X)=0 en V(X)=t.

quote:

Op maandag 3 december 2012 13:54 schreef Riparius het volgende:

[..]

Als ik je linkje doorlees, dan denk ik dat je D2u moet schrijven, niet D2x, want u is je afhankelijke variabele, niet x: Any character immediately following a differentiation operator is a dependent variable. En dan natuurlijk ook u(0) en u(L) schrijven. Overigens gaan dit soort dingen gemakkelijk in WolframAlpha.

Soort van vervolgvraag hierop. Ik probeer nu deze op te lossen:
http://www.wolframalpha.c(...)+0%2C+u%28L%29+%3D+0
Echter krijg ik weer de 0-oplossing. Slechts als ik 1 van de 2 randvoorwaarden toevoeg krijg ik een oplossing van de vorm waar ik naar op zoek ben, maar uiteraard wel verschillende oplossingen. Wat doe ik nu weer fout?

quote:

Op zondag 16 december 2012 21:42 schreef twaalf het volgende:

[..]

E(X^2)=E(X)^2+V(X), en E(X)=0 en V(X)=t.

Akkoord. Had ik. Waarom V(X)=t?

quote:

Op maandag 17 december 2012 15:28 schreef Oneironaut het volgende:

[..]

Akkoord. Had ik. Waarom V(X)=t?

Wat gebruik je als definitie van je Wiener proces?

Ik ken de definitie dat W een Wiener proces is als (onder andere) W(t) - W(s) normaal verdeeld is met gemiddelde 0 en variantie t-s.

quote:

Op maandag 17 december 2012 14:24 schreef Quyxz_ het volgende:

[..]

Soort van vervolgvraag hierop. Ik probeer nu deze op te lossen:
http://www.wolframalpha.c(...)+0%2C+u%28L%29+%3D+0
Echter krijg ik weer de 0-oplossing. Slechts als ik 1 van de 2 randvoorwaarden toevoeg krijg ik een oplossing van de vorm waar ik naar op zoek ben, maar uiteraard wel verschillende oplossingen. Wat doe ik nu weer fout?

Je doet deze keer niets fout, maar het is hier zo dat je randvoorwaarden u(0) = 0 en u(L) = 0 maken dat u(x) = 0 inderdaad de (enige) oplossing is van je DV. Je kunt dit gemakkelijk inzien door als randvoorwaarden u(0) = 0 en u(L) = c te nemen (klik), dan zie je dat u(x) een functie is met een constante factor c, zodat de functie dus identiek gelijk wordt aan nul voor c = 0. Wellicht heb je dus je randvoorwaarden niet goed overgenomen van de oorspronkelijke opgave.

Ik heb een vraag over galois theory. Stel we hebben de volgende situatie.Stel L is een splitting field voor een polynoom f over K. Verder geldt dat E een subfield is van L dat tevens K bevat. Laat phi een K-monomorphism zijn van E into L. Waarom is L ook een splitting field voor f over E en phi(E)?

quote:

Op maandag 17 december 2012 18:04 schreef gaussie het volgende:
Ik heb een vraag over galois theory. Stel we hebben de volgende situatie.Stel L is een splitting field voor een polynoom f over K. Verder geldt dat E een subfield is van L dat tevens K bevat. Laat phi een K-monomorphism zijn van E into L. Waarom is L ook een splitting field voor f over E en phi(E)?

L is ook een splitting field van f over E, omdat je E nog met de resterende nulpunten van f uitbreidt tot L. Hetzelfde geldt volgens mij ook voor phi(E).

quote:

Op maandag 17 december 2012 18:51 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

L is ook een splitting field van f over E, omdat je E nog met de resterende nulpunten van f uitbreidt tot L. Hetzelfde geldt volgens mij ook voor phi(E).

Je uitleg volg ik niet helemaal. Zou je dit kunnen verduidelijken met een voorbeeld? Speelt de monomorphism nog een rol?

quote:

Op maandag 17 december 2012 19:07 schreef gaussie het volgende:

[..]

Je uitleg volg ik niet helemaal. Zou je dit kunnen verduidelijken met een voorbeeld? Speelt de monomorphism nog een rol?

Bekijk f=(x^2+1)(x^2-2) met coëfficiënten in . De splittingfield is dan . De subfields, zodat bevat is, is dan , en . Nu is het makkelijk inzien dat de splittingfield van , en is.

Een K-monomorfisme stuurt alle elementen uit K naar K en de uitbreidingselementen worden injectief naar de uitbreidingselementen gestuurd. Dus phi(E) is dan gewoon E en phi(E_1) is dan of E of E_1 of E_2 of , als ik de definitie van een K-monomorfisme goed begrepen heb.

[ Bericht 2% gewijzigd door Mathemaat op 18-12-2012 16:18:06 ]

Kan iemand mij eens vertellen hoe je een vergelijking moet maken bij een formule ?

quote:

Op maandag 17 december 2012 23:24 schreef Beverwijker het volgende:
Kan iemand mij eens vertellen hoe je een vergelijking moet maken bij een formule ?

Wat voor vergelijking wil je maken met wat voor formule?

quote:

Op maandag 17 december 2012 23:24 schreef Beverwijker het volgende:
Kan iemand mij eens vertellen hoe je een vergelijking moet maken bij een formule ?

Nee, dat kan niemand je vertellen als je niet wat meer bijzonderheden geeft, of een uitgewerkt voorbeeld van wat je bedoelt.

quote:

Op dinsdag 18 december 2012 00:04 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, dat kan niemand je vertellen als je niet wat meer bijzonderheden geeft, of een uitgewerkt voorbeeld van wat je bedoelt.

quote:

Op dinsdag 18 december 2012 00:02 schreef thenxero het volgende:

[..]

Wat voor vergelijking wil je maken met wat voor formule?

Sorry hier de opgave

\



[ Bericht 1% gewijzigd door Beverwijker op 18-12-2012 19:37:15 (verkeerde afbeelding) ]

quote:

Op dinsdag 18 december 2012 19:35 schreef Beverwijker het volgende:

[..]

[..]

Sorry hier de opgave

\

[ afbeelding ]

prijs = 12.75 + 8.95*t
prijs = 120.15

Kan je dit samenvatten in één vergelijking/formule (is hetzelfde)?

[quote] Op dinsdag 18 december 2012 19:39 schreef thenxero het volgende:

[..]

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

edit: de verkeerde gequote zie ik nu

quote:

Op dinsdag 18 december 2012 19:35 schreef Beverwijker het volgende:

[..]

[..]

Sorry hier de opgave

\

[ afbeelding ]

Noem de huurprijs in euro's uitgedrukt H en de tijdsduur uitgedrukt in dagen T, dan heb je dus:

(1) H = 12,75 + 8,95∙T

Nu is ook gegeven dat:

(2) H = 120,15

Uit (1) en (2) volgt dus:

(3) 12,75 + 8,95∙T = 120,15

Een lineaire vergelijking als deze oplossen met 'inklemmen' is flauwekul, dus daar doe ik niet aan. Als je van beide leden van (3) 12,75 aftrekt krijg je:

(4) 8,95∙T = 107,4

En beide leden van (4) delen door 8,95 geeft dan:

(5) T = 12

quote:

Op dinsdag 18 december 2012 20:11 schreef Riparius het volgende:

[..]

Misschien beter als je niet direct alles voordoet.

Inklemmen is inderdaad je reinste onzin; echter op vmbo behoort dit tot de reguliere stof. Dus er mogen m.i. best vragen over gesteld worden hier. Dit topic is er voor wiskunde vragen en niet alleen voor alleen voor de slimste FOK!kers.

En wat mag inklemmen dan wel zijn?

quote:

Op dinsdag 18 december 2012 21:59 schreef twaalf het volgende:
En wat mag inklemmen dan wel zijn?

http://en.wikipedia.org/wiki/Bisection_method

quote:

Op dinsdag 18 december 2012 21:59 schreef twaalf het volgende:
En wat mag inklemmen dan wel zijn?

http://www.wisfaq.nl/show3archive.asp?id=37167&j=2005

Trouwens , Van mijn leraar hoeven wij niet in te klemmen hij heeft ons een trucje gegeven hoe je het ook kan doen .
Als we soms les hebben van een andere leraar dan moeten we het wel gebruiken dus het is wel altijd handig om te weten.

Zo nu en dan is dat wel geinig om te zien in dit topic... staat er in de vraag 'los op met inklemmen' --> nee dat is flauwekul, zo gaan we het doen. Staat er in de vraag één klein detail verkeerd opgeschreven --> nee de vraag klopt niet en ik los hem ook niet op voor je.

quote:

Op dinsdag 18 december 2012 21:54 schreef thenxero het volgende:

[..]

Misschien beter als je niet direct alles voordoet.

Tja, je zult ongetwijfeld hebben gemerkt dat ik nogal eens compete uitwerkingen of afleidingen post, en dat doe ik niet zonder reden, ik hoop namelijk dat de vragenstellers, maar mogelijk ook andere meelezers die het nodig hebben, daar iets van opsteken. Een helder uitgewerkt vraagstuk kan dienen als model om te imiteren en zo soortgelijke vraagstukken zelf te leren oplossen. In oudere schoolboeken zie je dan ook dat alle stof compleet wordt uitgelegd en dat werkt het beste. Maar omdat dat in de huidige schoolboeken niet niet meer gebeurt en er kennelijk ook geen les meer wordt gegeven krijg je mensen die het zelfs aan de meest basale vaardigheden ontbreekt en die ook niet in staat zijn om een uitwerking helder en correct op te schrijven, en dat is niet goed.

Heb je er wel eens over gedacht om een wiki te beginnen, en die te vullen met voorbeelden aan de hand van de antwoorden die je hier geeft? Dat je die wiki uitbreidt elke keer als er hier een vraag gesteld wordt?

De doelgroep heeft waarschijnlijk toch geen zin om te zoeken. Als ze dat wel hadden, hadden ze al duizenden van dat soort wiki's gevonden.