[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op dinsdag 18 december 2012 22:14 schreef twaalf het volgende:
Zo nu en dan is dat wel geinig om te zien in dit topic... staat er in de vraag 'los op met inklemmen' --> nee dat is flauwekul, zo gaan we het doen. Staat er in de vraag één klein detail verkeerd opgeschreven --> nee de vraag klopt niet en ik los hem ook niet op voor je.

Klopt ja (maar ook wel begrijpelijk soms)

quote:

Op dinsdag 18 december 2012 22:19 schreef Riparius het volgende:

[..]

Tja, je zult ongetwijfeld hebben gemerkt dat ik nogal eens compete uitwerkingen of afleidingen post, en dat doe ik niet zonder reden, ik hoop namelijk dat de vragenstellers, maar mogelijk ook andere meelezers die het nodig hebben, daar iets van opsteken. Een helder uitgewerkt vraagstuk kan dienen als model om te imiteren en zo soortgelijke vraagstukken zelf te leren oplossen. In oudere schoolboeken zie je dan ook dat alle stof compleet wordt uitgelegd en dat werkt het beste. Maar omdat dat in de huidige schoolboeken niet niet meer gebeurt en er kennelijk ook geen les meer wordt gegeven krijg je mensen die het zelfs aan de meest basale vaardigheden ontbreekt en die ook niet in staat zijn om een uitwerking helder en correct op te schrijven, en dat is niet goed.

Ik ben het er inderdaad mee eens dat de huidige schoolboeken gebrekkig zijn qua voorbeelden. Toch werkt het didactisch denk ik beter als je het eerst aan de leerling over laat om te laten zien wat hij wel en niet snapt aan de vraag. Dan geef je een hint. En als het een rommeltje wordt dan geef je eventueel een complete uitwerking. Op die manier is het wat interactiever, en gaat de oplossing denk ik ook wat minder snel over het hoofd van de leerling heen.

quote:

Op dinsdag 18 december 2012 22:33 schreef thenxero het volgende:

[..]

Klopt ja (maar ook wel begrijpelijk soms)

[..]

Ik ben het er inderdaad mee eens dat de huidige schoolboeken gebrekkig zijn qua voorbeelden. Toch werkt het didactisch denk ik beter als je het eerst aan de leerling over laat om te laten zien wat hij wel en niet snapt aan de vraag. Dan geef je een hint. En als het een rommeltje wordt dan geef je eventueel een complete uitwerking. Op die manier is het wat interactiever, en gaat de oplossing denk ik ook wat minder snel over het hoofd van de leerling heen.

Dat doe ik ook wel, als ik er zin in heb en er tijd voor heb, maar dan zie je - helaas - toch vrij vaak dat je echt iedere stap er uit moet trekken en dan heb je al snel een half dozijn posts over iets wat in pakweg vijf regeltjes is op te schrijven. En dan heb je soms ook nog mensen die het spelletje gewoon niet mee willen spelen, maar die alleen een kant en klare oplossing van 'de som' willen hebben (ook al begrijpen ze die misschien niet eens) en die grof worden als ze merken dat ik ze zelf de oplossing wil laten vinden (ja, ik heb voorbeelden daarvan hier op FOK). Nu, ik zit er niet op te wachten om me te laten schofferen, dus dat is al een voldoende reden voor mij om niet te snel te beginnen met het geven van een hint als ik de indruk heb dat dat toch paarlen voor de zwijnen is.

quote:

Op dinsdag 18 december 2012 22:55 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat doe ik ook wel, als ik er zin in heb en er tijd voor heb, maar dan zie je - helaas - toch vrij vaak dat je echt iedere stap er uit moet trekken en dan heb je al snel een half dozijn posts over iets wat in pakweg vijf regeltjes is op te schrijven. En dan heb je soms ook nog mensen die het spelletje gewoon niet mee willen spelen, maar die alleen een kant en klare oplossing van 'de som' willen hebben (ook al begrijpen ze die misschien niet eens) en die grof worden als ze merken dat ik ze zelf de oplossing wil laten vinden (ja, ik heb voorbeelden daarvan hier op FOK). Nu, ik zit er niet op te wachten om me te laten schofferen, dus dat is al een voldoende reden voor mij om niet te snel te beginnen met het geven van een hint als ik de indruk heb dat dat toch paarlen voor de zwijnen is.

Ik denk dat menigeen (en ikzelf ook toen ik nog in de opleiding zat) jouw hulp erg waardeert. Ik ben er destijds stukken verder meegekomen in de complexe functietheorie, projectieve meetkunde en grafentheorie.

quote:

Op dinsdag 18 december 2012 23:02 schreef Borizzz het volgende:

[..]

Ik denk dat menigeen (en ikzelf ook toen ik nog in de opleiding zat) jouw hulp erg waardeert. Ik ben er destijds stukken verder meegekomen in de complexe functietheorie, projectieve meetkunde en grafentheorie.

Dat staat ook buiten kijf.

quote:

Op dinsdag 18 december 2012 23:03 schreef thenxero het volgende:

[..]

Dat staat ook buiten kijf.

Maar dat mag ook wel eens gezegd worden als ik lees dat er ook users zijn die hier totaal verkeerd mee om gaan.

quote:

Op dinsdag 18 december 2012 23:02 schreef Borizzz het volgende:

[..]

Ik denk dat menigeen (en ikzelf ook toen ik nog in de opleiding zat) jouw hulp erg waardeert. Ik ben er destijds stukken verder meegekomen in de complexe functietheorie, projectieve meetkunde en grafentheorie.

Zeker, maar jij deed een wiskunde opleiding en was dus, naar ik aanneem, ook goed gemotiveerd. Ik doelde meer op mensen die niets met wiskunde hebben maar gewoon willen dat iemand anders even hun huiswerk maakt of die 's avonds laat (en bij voorkeur 's zondags) aan komen zetten met een opgave die de volgende ochtend ingeleverd moet worden of die de volgende ochtend een proefwerk hebben waar ze nog niets aan gedaan hebben. Meestal - maar niet altijd - is wel goed in te schatten of het zin heeft tijd in iemand te steken in de vorm van een uitgebreide uitleg of een dialoog over een vraagstuk.

quote:

Op maandag 17 december 2012 20:17 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Bekijk f=(x^2+1)(x^2-2) met coëfficiënten in . De splittingfield is dan . De subfields, zodat bevat is, is dan , en . Nu is het makkelijk inzien dat de splittingfield van , en is.

Een K-monomorfisme stuurt alle elementen uit K naar K en de uitbreidingselementen worden injectief naar de uitbreidingselementen gestuurd. Dus phi(E) is dan gewoon E en phi(E_1) is dan of E of E_1 of E_2 of , als ik de definitie van een K-monomorfisme goed begrepen heb.

Ik zie het nu. Ik had moeten inzien dat de coefficieinten van f niet veranderen. Aangezien K een deelverzameling van E is, geldt automatisch dat f een polynoom over E is.

Kan iemand mij uitleggen waarom de matrixvergelijking Ax=0 meerdere oplossingen heeft behalve x=0 als A niet reduceerbaar is tot de identiteitsmatrix?

In het boek staat dus dat er een niet triviale oplossing is als A niet reduceerbaar is tot I.
zijn er niet oneindig veel oplossingen? want als je A rij-reduceert en hij is niet reduceerbaar tot I, heb je toch meer variabelen dan vergelijkingen?

(A is een n x n matrix )

[ Bericht 3% gewijzigd door flopsies op 19-12-2012 00:22:15 ]

Ja, er zijn dan oneindig veel oplossingen. Want als x een niet-triviale oplossing is, is cx ook een oplossing voor elke c.

Oké, dankje

quote:

Op woensdag 19 december 2012 07:08 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Is dat niet jammer, om maar telkens voorgekauwde oplossingen te geven aan iedereen omdat sommige het verknald hebben bij je? Je zou, wanneer ze kwaad worden, ook gewoon kunnen negeren. Je hoeft ze uiteraard niet te helpen.

Eens

quote:

Op woensdag 19 december 2012 07:08 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Is dat niet jammer, om maar telkens voorgekauwde oplossingen te geven aan iedereen omdat sommige het verknald hebben bij je? Je zou, wanneer ze kwaad worden, ook gewoon kunnen negeren. Je hoeft ze uiteraard niet te helpen.

Het punt is dat ik antwoorden niet alleen post voor de vragenstellers maar dat ik hoop of verwacht dat anderen daar ook wat aan hebben. Deze topicreeks heeft in verhouding tot het aantal (verschillende) posters vrij veel views, zodat je moet aannemen dat er ook veel passieve meelezers zijn die deze topicreeks kennelijk de moeite waard vinden. En daarnaast is het zo dat het meestal minder tijd kost om direct een oplossing in een paar regels netjes op te schrijven dan om alleen een hint te geven en vervolgens te gaan zitten afwachten wat de vragensteller daar mee doet en daar dan weer op te moeten reageren. Ik maak in principe in eerste instantie verder geen onderscheid tussen gekende onsympathieke en sympathieke posters, alleen de vraag is bepalend.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 19-12-2012 23:10:38 ]

Ik heb een vraag die wellicht zeer makkelijk is voor veel mensen. Maar ik weet het dus niet zeker en aangezien ik al jaren van de middelbare school ben is het nogal weggezakt

Stel je hebt 12 wedstrijden waarbij de uitkomst alleen winst en verlies kan zijn ( dus niet gelijk ).

Hoeveel verschillende combinaties zijn er dan mogelijk? Kan je dan de NcR formule ( 12C2 ) gebruiken wat dus 66 combinaties betekent? Of moet het op een andere manier?

Alvast bedankt iig.

quote:

Op woensdag 19 december 2012 17:51 schreef HenkXL het volgende:
Ik heb een vraag die wellicht zeer makkelijk is voor veel mensen. Maar ik weet het dus niet zeker en aangezien ik al jaren van de middelbare school ben is het nogal weggezakt

Stel je hebt 12 wedstrijden waarbij de uitkomst alleen winst en verlies kan zijn ( dus niet gelijk ).

Hoeveel verschillende combinaties zijn er dan mogelijk? Kan je dan de NcR formule ( 12C2 ) gebruiken wat dus 66 combinaties betekent? Of moet het op een andere manier?

Alvast bedankt iig.

Stel je had maar 2 of 3 wedstrijden. Hoeveel zou het er dan zijn?

quote:

Op woensdag 19 december 2012 17:51 schreef HenkXL het volgende:
Ik heb een vraag die wellicht zeer makkelijk is voor veel mensen. Maar ik weet het dus niet zeker en aangezien ik al jaren van de middelbare school ben is het nogal weggezakt

Stel je hebt 12 wedstrijden waarbij de uitkomst alleen winst en verlies kan zijn ( dus niet gelijk ).

Hoeveel verschillende combinaties zijn er dan mogelijk? Kan je dan de NcR formule ( 12C2 ) gebruiken wat dus 66 combinaties betekent? Of moet het op een andere manier?

Alvast bedankt iig.

Je vraag is te onduidelijk om te kunnen beantwoorden. Als je een soort totoformulier hebt, maar dan eentje met 12 wedstrijden en slechts twee kolommen, dan zijn er 2¹² = 4096 mogelijkheden voor de uitkomst van de 12 wedstrijden.

quote:

Op woensdag 19 december 2012 18:05 schreef Amoeba het volgende:
Inderdaad is een beetje de vraag of TS over 12 identieke of unieke wedstrijden spreekt.

Dank voor de reacties.

Ik doelde op 12 unieke wedstrijden met 2 uitkomst mogelijkheden. Dan zou ik de ''formule'' van Riparius moeten gebruiken, wat dus resulteert in 4096 mogelijkheden. Dat klinkt eigenlijk ook wel wat logischer.

quote:

Op woensdag 19 december 2012 17:35 schreef Riparius het volgende:

[..]

Het punt is dat ik antwoorden niet alleen post voor de vragenstellers maar dat ik hoop of verwacht dat anderen daar ook wat aan hebben. Deze topicreeks heeft in verhouding tot het aantal (verschillende) posters vrij veel views, zodat je moet aannemen dat er ook veel passieve meelezers zijn die deze topicreeks kennelijk de moeite waard vinden. En daarnaast is het zo dat het meestal minder tijd kost om direct een oplossing in een paar regels netjes op te schrijven dan om alleen een hint te geven en vervolgens te gaan zitten wachten wat de vragensteller daar mee doet en daar dan weer op te moeten reageren. Ik maak in principe in eerste instantie verder geen onderscheid tussen gekende onsympathieke en sympathieke posters, alleen de vraag is bepalend.

Dankje hiervoor :-) Ik post niet zo heel vaak maar ik sla al jouw (uitgebreide) antwoorden (op vragen van anderen) op!

quote:

Op woensdag 19 december 2012 18:30 schreef flopsies het volgende:

[..]

Dankje hiervoor :-) Ik post niet zo heel vaak maar ik sla al jouw (uitgebreide) antwoorden (op vragen van anderen) op!

Dank voor je reactie. Lees ook even mijn tip om posts optimaal leesbaar op te slaan en af te drukken.

quote:

Op woensdag 19 december 2012 19:10 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Bij ons op school hebben ze echt zo'n versie van Word waarbij al die dingen niet werken. Het symbool voor een hoek wordt in een apart lettertype weergegeven, anders is het een vierkantje. Het leuke is dan dat 84pts dan overeenkomt met 12pts in Times New Roman. Om even ruwweg aan te geven dat je lay-out dan wel verknald is.

Je hebt toch zelf wel een computer met Microsoft Word (of anders Open Office, dat werkt ook)? Het teken ∠ (U+2220 ANGLE) zit inderdaad niet in Times New Roman of in Minion Pro, maar bijvoorbeeld wel in het (kosteloze) Linux Libertine dat kwalitatief ook heel goed is. Mixen van fonts is ook geen probleem, als je eerst alles in Linux Libertine zet en daarna alles weer terug in Minion Pro, dan blijven de tekens zoals ∠ die ontbreken in Minion Pro gewoon in Linux Libertine staan.

quote:

Mijn docent vroeg adhv mijn concept PWS iets over 3 termen welke ik gebruikte, oblate en prolate sferoïden en sfeer als (wiskundig) synoniem voor het oppervlak van een bol. Dit is toch allemaal correct? Oblaat en prolaat geeft de vorm van de sferoïde aan, in een gefixeerd xyz-stelsel.

Dat zijn inderdaad allemaal courante termen, maar ik weet natuurlijk niet of je ze in je tekst ook correct gebruikt.

quote:

Op woensdag 19 december 2012 20:30 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik ben in het bezit van een computer ja, ik heb 't ding zelf in elkaar gestoken voor 3500 euro, ongeveer. 3 Samsung 2450BX op 2x de GTX580, om even een greep in de specificaties te doen.

De specs zeggen natuurlijk niets over de mogelijkheid om met Unicode te werken, dat is bij Windows al standaard vanaf XP geïntroduceerd eind 2001, en Linux is ook al heel lang op Unicode gebaseerd. Alleen duurt het kennelijk vele jaren voordat dat soort dingen een beetje doordringen tot sommige mensen. Anno 2012 zijn er nog hele volksstammen die blijven pielen met MS-DOS codes uit de jaren '80 van de vorige eeuw.

quote:

Ik geloof wel dat ik ze correct gebruik. Ik spreek over de projectie van een sfeer op een (tweedimensionaal) vlak.

Dat lijkt me correct, hoewel sfeer dacht ik in het Nederlands niet zo'n gebruikelijk woord is. In een document waarnaar je eerder linkte wordt gesproken van de projectie van een bol of de aardbol of het aardoppervlak op een plat vlak, het woord sfeer komt in dat hele document niet voor.

quote:

Op woensdag 19 december 2012 21:29 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Dit was ook zijn (principiële) bezwaar; het is geen gebruikelijk woord.

Ja, dat is ook mijn bezwaar. Je kunt je het beste houden aan de gebruikelijke terminologie in serieuze (wetenschappelijke) publicaties in het Nederlands over jouw specifieke onderwerp. Ik heb zelf de indruk dat het woord sfeer in het Nederlands vooral in een strict wiskundige contekst wordt gebruikt, zoals in het begrip Riemann-sfeer.

quote:

Echter vond hij zinnen zoals "Echter is er genoeg materie in de diversiteit der cilindrische projecties om een vullend werkstuk te creëeren." onzinnig, te moeilijk en vooral niet doen.

Deze zin loopt niet lekker, is niet echt goed Nederlands, en klinkt ook wat te hoogdravend. Maak er iets van als de literatuur over de verschillende cilinderprojecties biedt voldoende materiaal voor een uitgebreid werkstuk.

quote:

Even een opsomming van mijn zinnen waarin ik 'sfeer' gebruik:
Ik wil echter maar een klein deel van dit onderwerp behandelen, namelijk de projecties van een sfeer op een tweedimensionaal vlak.

Nu behandel ik enkel de situaties waarvoor geldt dat het te projecteren oppervlak een sfeer betreft.
Beetje dubbelop, maar dit is beperking 1.

De cilindrische projectie beschrijft een methode om de sfeer af te beelden op een plat vlak met behulp van de cilinder.

Deze projecties zijn geen directe projecties van de sfeer op een mantel om de bol.

Op de kaart worden ook de grootcirkels, op een sfeer aangeduid met meridianen, als rechte lijnen weergegeven. (Deze zin ga ik wijzigen in het aardoppervlak, immers meridianen komen niet per definitie voor op een sfeer maar juist op het aardoppervlak oid..)

Stel dat we een willekeurig punt op de sfeer nemen,

Ik zou je natuurlijk een keer het document kunnen sturen, dat je het een keer doorleest wanneer je zin hebt. Ik moet eerst nog legio wijzingen en addities doorvoeren, dus nu nog niet. Ik stelde je hulp met de Mercatorprojectie zeer op prijs, dus misschien dat je nogmaals wat tijd voor me vrij kunt maken?

Ik wil je werkstuk t.z.t. best doornemen, maar dat kan dan pas ruim na de feestdagen.

quote:

Op woensdag 19 december 2012 22:05 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Volgens deze URL: http://nl.wikipedia.org/wiki/Sfeer_(wiskunde) is aanname nog niet eens zo slecht. Je spreekt van een strikt wiskundige definitie, op zich wel een aardigheidje dat mijn werkstuk ook over een wiskundig onderwerp gaat. Nu even zonder satire, raad je het me aan om het te vervangen door boloppervlak, of iets in die trend? Of is het correct genoeg om te laten staan, afgezien van het dagelijkse gebruik?

Op grond van het artikel waarnaar je linkte en artikelen in de Nederlandse Wikipedia had ik de indruk dat het woord sfeer niet zo gebruikelijk is in Nederlandstalige publicaties over cartografie. Dat het een courante wiskundige term is weet ik ook wel, maar zoals gezegd kun je het beste aansluiting zoeken bij wat in de literatuur over jouw specifieke onderwerp gebruikelijk is, en dat zul je toch echt zelf na moeten gaan, ik ken de literatuur over cilindrische kaartprojecties niet.

quote:

Ik maak een aantekening. Ik houd van hoogdravende zinnen, maar ik zie zo even niet in wat er precies (taalkundig) niet goed aan is. Kun je dit nader toelichten?

- materie in de diversiteit kun je zo niet laten staan, dat zou diversiteit in de materie moeten zijn, maar dan nog is het gebruik van het woord materie hier niet correct. Het woord materie wordt gebruikt in de fysica, en ook wel om het geheel aan te duiden van een bepaald onderwerp, zoals in: dit is een moeilijke materie. Materie duidt een niet-telbare kwantiteit aan, bij discrete (telbare) kwantiteiten gebruik je het woord materiaal. Je kunt bijvoorbeeld niet zeggen het NIOD heeft veel materie over de Tweede Wereldoorlog, dat moet zijn veel materiaal (of: veel documentatie).

- der klinkt hier wat archaïsch hoewel het niet fout is. Naamvallen van lidwoorden zijn wel courant in gezegdes en staande uitdrukkingen, en uiteraard in citaten van oudere teksten of titels van geraadpleegde oudere publicaties.

- een vullend werkstuk kun je zo niet laten staan, het gebruik van een actief deelwoord is hier in ieder geval fout. Het werkstuk zelf vult niets, jij stelt een werkstuk met een rijke inhoud in het vooruitzicht. Een goed gevuld werkstuk kan echter ook niet, dat klinkt als een blik rijk gevulde erwtensoep of iets anders uit een folder van de plaatselijke supermarkt.

- creëeren moet creëren zijn.

quote:

Inderdaad, na de feestdagen pas. Het doel is om mijn werkstuk medio februari af te hebben, met mijn begeleidend docent heb ik afgesproken dat ik eind januari een conceptversie inlever, en ik loop ruim op schema. Onze laatste ontmoeting was dinsdag jongstleden, met de toen doorgenomen stof vond hij dat ik me op 80% bevond met voldoende vwo-diepgang.

Echter sprak hij ook over iets 'persoonlijks', vooral bij de stereografische projectie. Is het mogelijk dat ik de GPS coördinaten van (bijvoorbeeld) Eindhoven (E), Amsterdam(A) en Venlo (V) opzoek, uit deze coördinaten de hoek AEV afleidt, en dit bijvoorbeeld met een (Mercatorkaart) van Nederland bevestig?

Dat lijkt me niet moeilijk, geografische coördinaten van plaatsen op aarde zijn gemakkelijk op te zoeken via Google Maps.

quote:

Ofwel, de hoek die deze 3 plaatsen met elkaar maken op het aardoppervlak is dus gelijk aan de hoek die loxodromen met elkaar maken, als ik het goed begrepen heb. Maar hoe haal ik deze hoek eruit?

Daar mag je de komende tijd eens over gaan nadenken. Hiervoor heb je boldriehoeksmeting nodig. Op de site van het Nederlands schoolmuseum zijn voldoende boekjes te vinden over boldriehoeksmeting uit de tijd dat dat nog een schoolvak was.

quote:

Zo'n 'toepassing' moest ik gebruiken voor mijn presentatie/werkstuk om te laten zien dat mijn werkstuk authentiek is.

Ah zo, en daarom vraag je mij even om het op te lossen?

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 19-12-2012 23:21:39 ]

quote:

Op woensdag 19 december 2012 22:05 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik maak een aantekening. Ik houd van hoogdravende zinnen, maar ik zie zo even niet in wat er precies (taalkundig) niet goed aan is. Kun je dit nader toelichten?

Dit is geen hoogdravende zin hoor. Een zin is niet hoogdravend als de zin niet prettig leest. Schrijf je je werkstuk om gelezen te worden of niet?

quote:

Op woensdag 19 december 2012 23:37 schreef Amoeba het volgende:
Boldriehoeksmeting, staat genoteerd.

Neen, niet direct oplossen, ik vroeg me af of dit mogelijk was. Prima opgelost zo

En er rijst direct een vraag op. Bij sferische trigonometrie worden lijnstukken vervangen door geodeten. Maar op mijn kaart zijn juist de loxodromen rechte lijnen, als ik dan de hoek op de kaart opmeet, moet die dan niet equivalent zijn aan de hoek de de loxodromen maken op de sfeer? Bij de bolmeetkunde gaat men juist met orthodromen werken, zo zegt het Wikipedia artikel.

Er staat slechts 1 vraag

Ah, op deze manier. Je had het over de hoek Amsterdam - Eindhoven - Venlo op het aardoppervlak, en dan denk ik toch automatisch aan een boldriehoek. Maar de zijden hiervan zijn inderdaad geen loxodromen. Als je ∠AEV op je kaartprojectie wil berekenen, dan bereken je eerst de cartesische coördinaten A(x₁;y₁), E(x₂;y₂) en V(x₃;y₃) van de drie punten op je kaart en dan kun je ∠AEV op de kaart berekenen. Bij een Mercatorprojectie is dit dan inderdaad de hoek tussen de loxodromen EA en EV.

quote:

Op donderdag 20 december 2012 13:34 schreef Amoeba het volgende:
En ik zat even na te denken over het bewijs van de equivalentie van de orthografische cilinderprojectie van Lambert.

Wat je hier doet klopt niet. Voor de orthografische cilinderprojectie van Lambert hebben we:

x = s₀∙R∙λ
y = s₀∙R∙sin φ

De afbeelding in horizontale richting is hierbij hetzelfde als bij de Mercatorprojectie, en de formule voor de afbeelding in verticale richting had ik hier al afgeleid.

Voor de horizontale schaling s_h(λ;φ) van een punt met geografische coördinaten (λ;φ) had ik verder hier al afgeleid dat we hebben:

s_h(λ;φ) = s₀∙sec φ

Nu de verticale schaalfactor s_v(λ;φ) voor het punt met geografische coördinaten (λ;φ) bij de orthografische cilinderprojectie van Lambert. Voor de (georiënteerde) afstand a tot de evenaar gemeten langs een meridiaan hebben we a = R∙φ en dus da/dφ = R en dus dφ/da = 1/R. De verticale schaalfactor wordt dus:

s_v(λ;φ) = dy/da = dy/dφ ∙ dφ/da = s₀∙R∙cos φ ∙ (1/R) = s₀∙cos φ

En voor het product van de horizontale en verticale schaalfactoren voor het punt met geografische coördinaten (λ;φ) hebben we dus:

s_h(λ;φ)∙s_v(λ;φ) = s₀∙sec φ ∙ s₀∙cos φ = s₀²

Het product van de horizontale en verticale schaalfactoren is dus onafhankelijk van λ en φ en daarmee een constante, zodat er sprake is van een equivalente oftewel oppervlaktegetrouwe projectie, QED.

quote:

Of is dit dan weer niet algebraïsch te bewijzen, maar juist meetkundig? Ik las ergens iets dat het eenvoudig was om aan te tonen dat een smalle ring tussen 2 parallellen dezelfde oppervlakte op de kaart heeft als op de bol. Maar dit klopt toch niet, aangezien deze ring toch veel groter wordt, en niet smaller?

Uiteraard kunnen we hetzelfde ook meetkundig bewijzen, en het aardige is dat dat al heel lang geleden is gedaan door Archimedes. Hij bewees namelijk dat de oppervlakte van een bolsegment gelijk is aan de oppervlakte van de projectie van dat bolsegment (of: bolschijf) op een omgeschreven cilinder van de bol als de as van de omgeschreven cilinder loodrecht op de snijvlakken van het bolsegment staat. Een consequentie hiervan is dat de oppervlakte van de gehele bol dus ook gelijk is aan de manteloppervlakte van de omgeschreven cilinder. Heb je een bol met straal r, dan heeft de mantel van de omgeschreven cilinder een omtrek 2πr en een hoogte 2r, zodat de oppervlakte van de bol dus gelijk is aan 2πr∙2r = 4πr².

Je idee dat de oppervlakte van een gebied op aarde tussen twee parallellen niet gelijk zou zijn aan de projectie daarvan op een omgeschreven cilinder met de as loodrecht op de vlakken van de parallellen klopt gewoon niet. Denk daar maar eens over na.

quote:

Op donderdag 20 december 2012 12:14 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik vroeg me af of het niet mogelijk was om dit andersom te doen, dus eerst de hoek die de loxodromen op het aardoppervlak met elkaar maken te berekenen met behulp van de bol, en dan een aha-momentje genereren door even heel intelligent met een Mercatorkaart aan te tonen dat dit juist is. Dat is wat mijn docent vroeg, althans.

Dit is veel minder eenvoudig dan je denkt, en omdat je al de mist ingaat met het berekenen van wat eenvoudige schaalfactoren denk ik dat je hier beter niet aan kunt beginnen. Ik heb wel een artikeltje voor je waar je eens naar zou kunnen kijken, maar de site van de MAA ligt momenteel plat, dus ik kan het artikel nu ook niet tevoorschijn toveren.

quote:

Het is natuurlijk ook gewoon 'goed' om eerst de Mercatorkaart hiervoor te gebruiken, en dan alsnog op basis van de bewezen conformiteit te stellen dat dit dan de hoek tussen loxodromen AE en EV moet zijn. Maar dan mis ik dat ziehiertada momentje waarmee ik in een klap de authenticiteit en de garantie op een goed cijfer veilig stel.

Ik begrijp het, maar je krijgt niets voor niets.

quote:

Met authenticiteit bedoel ik natuurlijk dat ik het niet doodleuk van internet gekopieerd heb, maar er zelf ook moeite in gestoken heb en dergelijke. En beter gezegd, dat ik het bovenal begrepen heb.

Als je dingen van mij overneemt kopieer je ook van internet. Had je daar al eens bij stilgestaan?

quote:

Ik ga deze (na)middag beginnen aan het corrigeren van het werkstuk, heb nog flink wat kanttekeningen gekregen met kleine verbeterpuntjes, veelal taalkundig en wat gevraagde explicitering.

Riparius; had jij een (hele) tijd terug een mooie post met een bewijs van 1+1 gelijk is aan 2?
Daar staat me iets van bij namelijk.

Oh, en bestaan er eigenlijk wel wiskunde vragen waar je geen antwoord op hebt? Zijn er gebieden in de wiskunde waar je minder affiniteit mee hebt?

quote:

Op donderdag 20 december 2012 21:31 schreef Borizzz het volgende:
Riparius; had jij een (hele) tijd terug een mooie post met een bewijs van 1+1 gelijk is aan 2?
Daar staat me iets van bij namelijk.

Dat was van Iblis. En nee, ik ben niet Iblis.

quote:

Oh, en bestaan er eigenlijk wel wiskunde vragen waar je geen antwoord op hebt? Zijn er gebieden in de wiskunde waar je minder affiniteit mee hebt?

Reken maar dat er vragen zijn waar ik geen antwoord op kan geven. Ik vind zelf dat ik maar betrekkelijk weinig wiskunde ken. En dat kan ook niet anders, want ik heb in een dictaat eens gelezen dat er veel meer wiskunde is dan in een mensenhoofd past. Vond ik wel een mooie gedachte.

Oh was dat Iblis. Jammer dat hij er niet meer is. Ook aan hem heb ik destijds veel gehad.
Inderdaad een zeer mooie gedachte. Maar ook filosofisch van aard. Je bent nooit uitgeleerd in de wiskunde; er valt altijd weer iets nieuws te ontdekken. Schitterend toch?

Van ... = 1/cos(x) = sec(x) zou ik gewoon ... = 1/cos(x) of ... = sec(x) maken.

Ik ben ook wel benieuwd naar het bewijs van 1+1=2. Was dat wellicht met surreële getallen? Daarmee kan je dat soort "stellingen" wel bewijzen.

edit: oh ik zie nu dat ie hierboven al staat

[ Bericht 34% gewijzigd door thenxero op 20-12-2012 23:27:44 ]

quote:

Op donderdag 20 december 2012 22:02 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik bedoelde klakkeloos 1 op 1. Ik denk niet dat er van een vwo'er verwacht mag worden dat hij iets nieuws uitvindt, daar moet een promovendus zich maar mee bezighouden.

Dat moet je nooit zeggen. Don't sell yourself short. Ik moest toen ik dit las meteen denken aan de ontdekking van de toen 10-jarige Penny Drastik. Tot voor kort werd gedacht dat de minimale zijde van een vierkant dat je kunt verdelen in 5 rechthoekige driehoeken waarvan de zijden pythagoreïsche tripletten vormen een lengte 9000 moest hebben, maar Penny dacht daar toch anders over en kwam op de proppen met maar liefst 12 kleinere vierkanten die zich zo laten verdelen. Ze denkt ook dat het kleinste zo te verdelen vierkant een zijde 1248 moet hebben, en tot nu toe heeft niemand haar bevindingen kunnen weerleggen. Hier kun je er meer over lezen. Ook goed leesvoer voor achterlijke FOKkers die anno 2012 nog beweren dat wiskunde niets is voor meisjes.

quote:

Stel dat ik de 2 bovenste parallellen nabij de noordpool zou nemen, en de ring zou projecteren. Dan krijg je toch een omtrek (zie de rek op de orthografische projectie in horizontale richting) van 2piR? Dit terwijl de lengte van de parallel toch veel kleiner is, vanwege zijn geografische breedte.

Je vergeet te bedenken dat het aardoppervlak niet parallel loopt aan de cilinder waarop je projecteert. Naarmate je dichter bij de polen komt, correspondeert met een vaste afstand in verticale richting op de projectie een steeds grotere afstand in verticale richting (langs een meridiaan) op het aardoppervlak.

Probeer maar eens met behulp van integraalrekening af te leiden dat de oppervlakte van een bolsegment inderdaad gelijk is aan de oppervlakte van de projectie van dat segment op een omgeschreven cilinder waarvan de as loodrecht staat op de snijvlakken van het bolsegment.

Aanwijzing: heb je de grafiek van een functie y = f(x) met f(x) ≥ 0 op een interval [a,b], dan is de manteloppervlakte van het omwentelingslichaam verkregen door de grafiek van f op het interval [a,b] rond de x-as te wentelen gelijk aan:

2π∙∫_a^b f(x)∙√(1 + (f'(x))²)dx

Kies een r > 0 en f(x) = √(r² - x²) op [-r,r]. De grafiek van deze functie is uiteraard een halve cirkel met middelpunt in de oorsprong en straal r, zodat je bij wenteling om de x-as een bol krijgt met straal r. Je kunt nu integreren over een interval [p, p+h] met -r ≤ p < p+h ≤ r en dan zul je zien dat de oppervlakte van een bolsegment met hoogte h gelijk is aan 2πrh, en dus onafhankelijk van p en daarmee onafhankelijk van de positie van het segment in de bol.

quote:

Dit doet vrij weinig af aan een juist of onjuist antwoord Bram, sorry. Sterker nog, ik zou een 1/cos(x) = sec(x) zien als een vereenvoudiging, dus 'verplicht'. We laten x/x^2 toch ook niet staan wanneer we ook 1/x kunnen schrijven?

De secans en cosecans worden tegenwoordig op het vasteland van Europa vrijwel niet meer gebruikt. In de VS (en in mindere mate in het Verenigd Koninkrijk) wel, en daar is een heel banale reden voor: meestal schrijft men daar sin^-1x en cos^-1x voor resp. arcsin x en arccos x, zodat de multiplicatieve inversen van sin x en cos x dus niet zo kunnen worden genoteerd en men daarom maar csc x en sec x handhaaft. Om dezelfde reden is de cotangens nog altijd 'populair' in de VS omdat men tan^-1x schrijft voor arctan x. Uiteraard zou men er beter aan doen de misleidende notaties voor de inversen van de goniometrische functies (in 1813 geïntroduceerd door de Britse wiskundige en astronoom J.F.W. Herschel, 1792-1871) eindelijk eens af te schaffen.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 21-12-2012 03:56:26 ]

Bedankt nog voor de uitleg van de vergelijkingen ik heb er een 10 voor gehaalt!!

quote:

Op donderdag 20 december 2012 22:54 schreef thenxero het volgende:
Ik ben ook wel benieuwd naar het bewijs van 1+1=2. Was dat wellicht met surreële getallen? Daarmee kan je dat soort "stellingen" wel bewijzen.

edit: oh ik zie nu dat ie hierboven al staat

De geïnteresseerden in 1+1=2 kan ik aanraden om eens dit artikel te lezen. Het enige wat je nodig hebt is verzamelingen en een gezonde dosis logica. Daarmee worden getallen geconstrueerd waaruit allerlei basale eigenschappen zijn af te leiden. Ik vond het erg leuk om te lezen .

quote:

Ook goed leesvoer voor achterlijke FOKkers die anno 2012 nog beweren dat wiskunde niets is voor meisjes.

Helaas denken ook veel meisjes dat nog.

Misschien hier iemand die hier uit komt?

Laat zien via het minimalisatie probleem



dat een eigenwaarde voor A bestaat.

(A een symmetrische n-bij-n matrix , x een kolomvector)