[Bèta wiskunde] huiswerk- en vragentopic

Hoe zat het ook alweer met vergelijken oplossen als er gedeeld wordt. Ik vergeet deze altijd ...

Voorbeeld:

2xy
----- = 4
x+y

quote:

Op dinsdag 28 oktober 2008 16:48 schreef VoreG het volgende:
Hoe zat het ook alweer met vergelijkingen oplossen als er gedeeld wordt. Ik vergeet deze altijd ...

Voorbeeld:

2xy
----- = 4
x+y

Beide leden van je vergelijking vermenigvuldigen met de noemer van de breuk in het linkerlid.

quote:

Op dinsdag 28 oktober 2008 16:53 schreef Riparius het volgende:

[..]

Beide leden van je vergelijking vermenigvuldigen met de noemer van de breuk in het linkerlid.

Come again?

quote:

Op dinsdag 28 oktober 2008 17:25 schreef VoreG het volgende:

[..]

Come again?

De noemer van de breuk in het linkerlid is (x + y). Je moet dus links en rechts vermenigvuldigen met (x + y) om de breuk in het linkerlid kwijt te raken.

Waarom is 1+1=2?

Ik kom hier niet helemaal uit

Voor 0 < x < 1 geldt: cos (arcsin x) =


Het antwoord is



Hoe komen ze hieraan?

[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:21:22 ]

quote:

Op dinsdag 28 oktober 2008 18:07 schreef GlowMouse het volgende:
Zie je hem al als je links en rechts de arccos neemt?
[ afbeelding ]

Ja zo snap ik het wel, alleen hoe weet je die vergelijking?

edit: ik heb het zelf al. Even een driehoek getekend met als hoek arcsin(x/1)

Dan kom ik er ook uit

quote:

Op dinsdag 28 oktober 2008 17:29 schreef Scaurus het volgende:
Waarom is 1+1=2?

Neem de lege verzameling: {}. Definieer nu een recursieve relatie van een lijst waarbij we de opvolger van element k, zeg S(k), definiëren als S(k) = k ∪ {k}. Dan hebben we de volgende lijst: {}, {{}}, {{}, {{}} }, etc. Nu noemen we het eerste element 0. Het tweede 1, en het derde 2. Aldus construeren wij de natuurlijke getallen vanuit de lege verzameling. De symbolen gaan verder als 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, maar dit is in feite arbitrair. Doch voor nu nemen we de gebruikelijke notatie aan.

Dan zijn er nog wat definities. Zij x een natuurlijk getal, en zijn y en z dit ook. Dan, x = x, x = y dan en slechts dan y = x, verder x = y en y = z, dan x = z en als laatste, als x een natuurlijk getal is en x = x', dan is x' ook een natuurlijk getal.

Voorts stipuleren we dat {} (noemen wij ook 0) een natuurlijk getal is, en dat S(k), waarbij k een natuurlijk getal is, ook een natuurlijk getal is. Verder nemen wij aan dat er geen k is zodanig dat S(k) = {}, en ook dat als S(x) = z, en S(y) = z, dat dan x = y. (Omgekeerd volgt natuurlijk direct uit de voorgaande axiomata).

Voor het gemak duiden we de verzameling van natuurlijke getallen aan met N, dan definiëren we + : N x N -> N, met als basisstap:

+(x, {}) = x (1)
En als recursie:
+(x, S(y)) = S(+(x, y)) (2)

Soms gebruiken we ook de infix-notatie en schrijven we derhalve x + y voor +(x, y).
Let op dat deze uiteenzetting niet helemaal formeel is, maar afdoende om het idee over te brengen.

Beschouw nu: 1 + 1, ofwel +({{}}, {{}}), dit voldoet niet aan (1), dus we moeten (2) toepassen, en dit zegt dat het gelijk is aan S(+({{}}, {})). De binnenste + kan nu weer nader beken worden, en deze voldoet wel aan (1). Dit geeft dat +({{}}, {}) gelijk is aan {{}}. Dat maakt dat de vergelijking vereenvoudigt tot S({{}}), wat per definitie van S gelijk is aan {{},{{}}}, of wel 2. QED.

Dit vanuit de set-theoretische constructie van de natuurlijke getallen, en de axiomata van Peano-Arithmetica. Een minstens zo elegant bewijs kan gegeven worden middels Church-numerals in de Lambda-calculus. Uiteindelijk komt het natuurlijk meer neer op een afspraak die wij maken hoe wij bepaalde verzamelingen (of lambda-functie-expressies) kort aanduiden met een cijfer, en de opvolgingsrelatie die wij daarin veronderstellen, dat volgt dat de som van 1 + 1 inderdaad gelijk is aan de opvolger van 1. Dit correspondeert redelijk met een discreet model van dingen in de werkelijkheid. Alhoewel je zou kunnen beargumenteren dat 1 druppel samen met 1 druppel weer één druppel is, en dat bovenstaande dit niet accuraat modelleert. Voor zulke vragen, in tegen stelling tot axiomatische afleidingen moet je denk ik in een WFL topic zijn, en je zou de Principia Mathematica er eens op na kunnen slaan.

quote:

Op dinsdag 28 oktober 2008 22:24 schreef GlowMouse het volgende:
Vond je leuk om te posten zeker

Ja. Zulke axiomatische constructies spreken me wel aan. En Scaurus dacht natuurlijk die stomme bèta's eens te pesten. Dus dan geef ik hem een antwoord waar hij nog even z'n tanden op stuk kan bijten.

quote:

Op dinsdag 28 oktober 2008 22:20 schreef Iblis het volgende:
blabla

Ha, complete onzin sinds Gödel's Incompleteness Theorem! ^ofzoiets

Iblis, wat studeer jij eigenlijk?

quote:

Op dinsdag 28 oktober 2008 22:48 schreef Scaurus het volgende:
Ha, complete onzin sinds Gödel's Incompleteness Theorem! ^ofzoiets

Niet zeggen! Verder lees ik even over het kolderieke karakter van je opmerking heen en doe ik gewoon alsof zij serieus is. Ze is het niet geheel waar. Gödels onvolledigheidsstelling bewijst dat er nooit een consistentiebewijs zal kunnen zijn voor Peano-arithmetica, dus, dat je altijd een stelling kunt plaatsen die niet bewijsbaar is. In het geval van jouw vraag: 1 + 1 = 2, is het bewijsbaar dat deze stelling geldt. Maar, je zou complexere stellingen kunnen maken die weliswaar waar zijn, maar waarvoor je geen bewijs kunt vinden. Gödels voorbeeld is tamelijk gewrocht, het bedenkt namelijk een manier om stellingen en bewijzen over getallen uit te drukken in de vorm van getallen. Dat biedt uiteindelijk de mogelijkheid om een getal te creëren dat in feite de aloude Griekse paradox van Epimenides: ‘Alle Kretenzers zijn leugenaar, zei de Kretenzer’ uitdrukt. Alhoewel deze niet opgelost kan worden. Zijn tweede onvolledigheidstheorie zegt dat zulke soort theorieën alleen kunnen bewijzen dat ze consistent zijn als ze inconsistent zijn.

In de praktijk is er nog geen consistentie bewijs gevonden voor Peano-arithmetica in Peano-arithmetica, dus dat probleem speelt niet in het bijzonder. Wel zijn er bepaalde wiskundige stellingen gevonden waarvan inderdaad bewijsbaar is dat ze niet zijn te bewijzen zonder dat er een nieuw axioma wordt geintroduceerd. Overigens zou het introduceren van dat axioma het probleem verplaatsen, aangezien de theorie alleen maar ‘sterker‘ wordt, en dan geldt nog steeds dat er niet-bewijsbare stellingen zijn. Sommige mensen durven ook te stellen dat relatief 'eenvoudige' problemen, zoals het vermoeden van Goldbach (elk even geheel getal groter dan 2 kan als de som van twee priemgetallen geschreven worden), misschien ook wel niet bewijsbaar is.

Rekenkunde is, voor zover ons bekend, tot nu toe nog heel consistent, dus daarom kwalificeert het niet bepaald als onzin. (de ‘naïeve’ verzamelingentheorie heeft wel een bekende, beruchte paradox in de vorm van Russel's Paradox).

Nou, dat lijkt dus allemaal een bezigheidstherapie voor wiskundigen, maar uiteindelijk beantwoordt dit op een veel tastbaardere en krachtige wijze (m.i.) fundamentele vragen over de grenzen van het menselijk weten. Daar is eeuwenlang over gefilosofeerd en gedelibereerd, maar hier heb je een keihard bewijs hoe er geen ongebreidelde kennisvergaring mogelijk is in de wiskunde. En ik zeg met nadruk in de wiskunde omdat niet-wiskundigen het een prachtige theorie vinden om te misbruiken in hun eigen veld.

Verder (en nu komen we bij je volgende vraag), is het probleem van wat is wel bewijsbaar en niet bewijsbaar, binnen de informatica heel tastbaar aanwezig op het gebied: wat is wel berekenbaar, en wat is niet berekenbaar. Een computerprogramma is uiteindelijk een grote lange functie, en daar zitten beperkingen aan over wat je kunt uitrekenen (b.v. er zijn getallen die niet met computers uit te rekenen zijn), maar ook wat je qua verificatie van programma's kunt bereiken: je kunt niet altijd bewijzen dat een programma foutloos werkt. Binnen de formele verificatie (theoretische informatica) is dat een groot – praktisch – probleem. En je kunt wel nagaan dat in het geval van Windows het niet zo erg is dat je software niet goed werkt, want dan installeer je een update, maar dat in het geval van een autofabrikant, die door rottige software een hele batch auto's moet terugroepen, of NASA die erachter komt dat hun verkenner toch niet goed werkt op het moment dat die even voorbij Jupiter is, het in deze gevallen een dure grap is. Ik houd me (dus) in dat vak gebied een beetje onledig.

Y(x)=x^3+3x+5

Wat is delta x als de difference quotient 2 is?

Je moet geloof ik doen:

y(x + delta x)-y(x)/delta x

En dat gelijk stellen aan 2.

Hoe doe je in dat latex ding een deling zegmaar, dat er een mooie breuk tevoorschijn komt?

Kromme beschreven door:



(oftewel het product van 2 afstanden naar 2 brandpunten is k^2)

Ik moet vinden voor welke waarde van 'k' de kromme overgaat van een rechtgeaarde ovaal naar een ingedeukte. Ik heb geen idee waar en hoe ik moet beginnen. Iemand? (a=1)

Edit: ik heb een idee maar ik heb ook het idee dat het veel makkelijker moet kunnen. Ik bepaal de afgeleidde van die functie en bepaal dan de afgeleidde van de teller. Voor x = 0 krijg je -y^2+1 in de teller te staan. Dus voor y = 1 is de tweede afgeleidde 0 wat betekend de omslag van ovaal naar ingedeukte. y = 1 levert k = 2, goed?

[ Bericht 29% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:18:46 ]

Niemand een idee, morgen heb ik namelijk tentamen

Ik moet het evenwicht uitrekenen bij:

6000/(Q+50) = Q + 10

Maar ik kom er niet uit, beide zijden x Q+50 helpt me niet echt verder.
Hoe los ik dit op?

quote:

Op woensdag 5 november 2008 10:02 schreef Enslaved het volgende:
Ik moet het evenwicht uitrekenen bij:

6000/(Q+50) = Q + 10

Maar ik kom er niet uit, beide zijden x Q+50 helpt me niet echt verder.
Hoe los ik dit op?

Hoezo niet?

Dan krijg je toch: 6000 = (Q + 50)(Q + 10), en als je dat uitschrijft heb je 6000 = Q² + 60Q + 500, nu de 6000 naar de andere kant brengen en een kwadratische vergelijking oplossen, zou ik zeggen. Levert dat problemen op? Want ik vind het wel een goede manier verder.

Q² + 60Q - 5500...
Hoe los je dat op naar Q dan?