Je bedoelt denk ik dagen dat er juist wel een moord is. Iedere dag heb je 60% kans op minstens één moord. Dus de kans dat op alle 330 dagen iedere dag minstens 1 moord is, is gelijk aan 0.6^330.quote:Op donderdag 29 november 2012 00:18 schreef Quyxz_ het volgende:
Goede uitleg thenxero.
Als ik het dan goed begrijp is de kans op 330 moordloze dagen 0.6^330? (=10^-74, redelijk nihil inderdaad)
Kijk eens aan, weer zo'n klassiek onderwerp. Ik heb net enige tijd geleden een artikel van Daniel Bernoulli (uit 1728) over lineaire recursieve rijen bestudeerd waarin onder meer de uitdrukking voor de algemene term van de rij van Fibonacci wordt afgeleid. Die formule is vernoemd naar Jacques Binet (1786-1856), maar de formule én de afleiding ervan waren al veel eerder bekend. Typisch gevalletje Stigler's law dus. De studie van lineaire recurrente rijen was een hot item in de eerste decennia van de 18e eeuw waar diverse wiskundigen zich mee bezig hielden, zoals verschillende leden van de familie Bernoulli, Pierre Rémond de Montmort (1678-1719), Christian Goldbach (1690-1764), en ook de welbekende Abraham de Moivre (1667-1754).quote:Op woensdag 28 november 2012 20:50 schreef Amoeba het volgende:
Het wiskundeboek smijt weer eens met bewijzen. In het hoofdstuk 'Toepassing van complexe getallen' krijgen we nu te maken met complexe getallen i.c.m. recursieve formules. Bij het opstellen van een directe formule van een lineaire differentievergelijking van de tweede orde zijn blijkbaar complexe getallen heel nuttig. Goed, prima prima. Zij geven mij de aanpak om bij de formule
un=a*un-1+b*un-2
de substitutie un = gn door te voeren, dan te delen door gn-2 en dan de tweedegraadsvergelijking op te lossen. Wanneer geldt D<0, dan wordt de aanpak gegeven dat:
un = (Acos(nφ)+Bsin(nφ))gn met φ het argument van g1 en g de modulus van g1, waarbij g1 een van de oplossingen van de genoemde tweedegraadsvergelijking is. Maar waarom geldt deze aanpak/formule, is mijn vraag.
Voor iedereen die mijn posts wil uitprinten nog wat tips: je kunt mijn tekst direct copy pasten in Microsoft Word en van daaruit goed leesbaar afdrukken, alle Unicode tekens en ook features zoals sub- en superscript en bold en italic blijven dan gewoon behouden. Als font kun je gewoon Times New Roman gebruiken, maar fraaier is bijvoorbeeld Minion Pro, dat wordt meegeleverd bij de kosteloze Adobe Reader. Aangezien vrijwel iedereen de Adobe Reader heeft, is dit font vrijwel zeker op je systeem aanwezig, maar moet je het alleen nog even toegankelijk maken, zie hier.quote:Op donderdag 29 november 2012 10:04 schreef Amoeba het volgende:
Ik ga dit straks uitprinten en bestuderen. Betreffende de wet van Stigler, dat stukje stond ook in mijn boek, en ik dacht exact hetzelfde. Hartelijk dank voor je antwoord! Volgend uur weer wiskunde.
Wat een baas hequote:Op donderdag 29 november 2012 14:50 schreef thenxero het volgende:
Grappig hoe Riparius overal een bewijs vandaan weet te toveren gebaseerd op goniometrie en meetkunde.
De meetkunde gebruik ik hier alleen illustratief, maar ook om diepere verbanden te laten zien waaraan m.i. in het onderwijs veel te weinig aandacht wordt geschonken. Veel formules hebben een heel eenvoudige meetkundige interpretatie. Zo is de formule van Euler meetkundig te interpreteren als een consequentie van het feit dat een raaklijn aan een cirkel loodrecht staat op de straal naar het raakpunt. Evenzo zijn de formules van Simpson te interpreteren als een goniometrisch equivalent van een basale eigenschap van koorden in een cirkel, namelijk dat de middelloodlijn van een koorde samenvalt met de bissectrice van de middelpuntshoek die door de koorde wordt omspannen. En zo zijn er veel meer van dergelijke verbanden.quote:Op donderdag 29 november 2012 14:50 schreef thenxero het volgende:
Grappig hoe Riparius overal een bewijs vandaan weet te toveren gebaseerd op goniometrie en meetkunde. Wist niet dat het ook zo kon.
Nee. Als je een n-de orde lineaire recurrente betrekking hebt, dan levert die een n-de graads karakteristieke vergelijking op. De werkwijze blijft precies hetzelfde als bij tweedegraads recurrente betrekkingen, alleen zijn de betreffende hogeremachts vergelijkingen lastiger of (voor n > 4) in veel gevallen helemaal niet algebraïsch op te lossen. Dat geldt trouwens evenzo bij het werken met voortbrengende functies. De voortbrengende functie van een n-de orde lineaire recurrente rij is een rationale functie waarvan de noemer een polynoom is van graad n, en als je dat in lineaire deelbreuken wil opsplitsen moet je dus evengoed de nulpunten bepalen van een n-de graads polynoom.quote:Maar je verhaal is wel toegespitst op tweedegraads recurrente betrekkingen. Als je iets wil zeggen over het algemene geval (n-de graads) dan moet je denk ik wel echt met voortbrengende functies gaan werken. Correct?
Dit is alvast fout. Je bedoelt:quote:Op vrijdag 30 november 2012 15:54 schreef synthesix het volgende:
Weet iemand of er zoiets is als een binas, maar dan voor (toegepaste) wiskunde? Ik bedoel een boek met formules, notaties en handigheidjes geordend naar onderwerp.
Bijvoorbeeld een overzicht van wiskundige symbolen en notatie, afgeleiden/integralen, kansdichtheden, (partiele) somrijen etc.
Maar ook zoiets als: a^n + b^n = (a-b)(a^n-1 + ba^n2 + ....+ b^n-1)
Lastig, want ik weet niet wat je allemaal nodig denkt te hebben. Een klassieker is het handboek van Abramowitz en Stegun. Dit is rechtenvrij en op verschillende plaatsen als PDF te downloaden, zie het Wikipedia artikel over dit boek. Overigens is dit handboek inmiddels vervangen door de NIST Digital Library of Mathematical Functions.quote:Ik heb de pagina van Wolfram in de OP wel gevonden maar dat is toch niet helemaal wat ik zoek. Naar mijn idee veelal "fundamentele" eigenschappen/operaties onder de lemma's. Dat zijn nou juist die dingen die ik wel kan onthouden indien ik ze nodig heb. Een goed voorbeeld is de voor- en achterflap van het boek Calculus: a complete course van Pearson education.
Achtergrondinformatie: Ik studeer Econometrie. Volgens mij heeft Wolfram meer een achterban in de natuurkunde/wiskunde (toch?), het zou kunnen dat ik de informatie daarom niet echt aansluit op mijn behoefte.
Klopt, ik google die dingen meestal gewoon. Maar er zijn ook vrij veel van dat soort formules, dus ik weet niet of zo'n lijst echt overzichtelijk zou zijn. Het makkelijkste is om de formules die jij vaak vergeet voor jezelf op te schrijvenquote:Op vrijdag 30 november 2012 19:36 schreef synthesix het volgende:
@Riparius Oeps, typo. Bedoelde inderdaad![]()
Je laatste link helpt me al een eind op weg, thanks!
Nu ik er zo over nadenk gaat het eigenlijk met name om dingen die je in een basiscursus calculus leert, en die je later in je studie wel een nodig hebt voor bewijzen oid. Maar dan zo weinig dat je het niet onthoud, en niet zo triviaal dat je het zelf wel kunt bedenken als het nodig hebt.
Om wat voorbeelden te geven van dingen die ik de laatste paar maanden nog op moest zoeken en waarvan ik sommige nu alweer vergeten ben:'):
- Det[A] berekenen mbv de determinaten van submatrixen, wat was ook al weer het teken van de cofactoren
-
- Variabelen transformatie van (x,y) naar (u,v) in een dubbele integraal. Gebruik je dan de Jacobiaan van (u,v) in (x,y) of van (x,y) in (u,v)?
- cos(x-y) = cosxcosy + sinxsiny
Snap je een beetje wat ik bedoel? Ik kan me haast niet voorstellen dat dat ik de enige ben die dat heeft.
De Jacobiaan voor de transformatie van (x,y) naar (u,v) is gemakkelijk in symbolische vorm te onthouden:quote:Op vrijdag 30 november 2012 19:36 schreef synthesix het volgende:
@Riparius Oeps, typo. Bedoelde inderdaad![]()
Je laatste link helpt me al een eind op weg, thanks!
Nu ik er zo over nadenk gaat het eigenlijk met name om dingen die je in een basiscursus calculus leert, en die je later in je studie wel eens nodig hebt voor bewijzen oid. Maar dan zo weinig dat je het niet onthoudt, en niet zo triviaal dat je het zelf wel kunt bedenken als het nodig hebt.
Om wat voorbeelden te geven van dingen die ik de laatste paar maanden nog op moest zoeken en waarvan ik sommige nu alweer vergeten ben:'):
- Det[A] berekenen mbv de determinaten van submatrixen, wat was ook al weer het teken van de cofactoren
-
- Variabelen transformatie van (x,y) naar (u,v) in een dubbele integraal. Gebruik je dan de Jacobiaan van (u,v) in (x,y) of van (x,y) in (u,v)?
- cos(x-y) = cosxcosy + sinxsiny
Snap je een beetje wat ik bedoel? Ik kan me haast niet voorstellen dat dat ik de enige ben die dat heeft.
Omdat het een orde drie diff. vergelijking is zonder triviale coëfficiënten (geen nullen), wordt de algemene oplossing opgespannen door een basis van dimensie 3 (dus de algemene oplossing bestaat uit drie termen). In dit geval zijn dat dus die e-machten. Je vult die e-macht in (dit is één van je basiselementen) en vindt daarmee alle mogelijke lambda's. Als n lambda's dezelfde waarde hebben, dan hebben de bijbehorende n basiselementen respectievelijk 1,x,x^2,...,x^(n-1) in de factorisatie van de coëfficiënten zitten.quote:Op vrijdag 30 november 2012 16:52 schreef GoodGawd het volgende:
Bij dit soort hogere orde diff vergl. komt het moment van geklungel bij het omschrijven naar (lapda +1)^3 op de 2e alinea, hoe pak je zoiets nu goed aan...
[ afbeelding ]
Niet helemaal: als λ0 een wortel is met multipliciteit n van de karakteristieke vergelijking van een lineaire homogene differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten, dan is xn∙exp(λ0∙x) geen oplossing van de differentiaalvergelijking.quote:Op zaterdag 1 december 2012 10:17 schreef Mathemaat het volgende:
Als n lambda's dezelfde waarde hebben, dan hebben de bijbehorende n basiselementen respectievelijk 1,x,x^2,...,x^n in de factorisatie van de coëfficiënten zitten.
Ben ik het helemaal mee eens!quote:Op donderdag 29 november 2012 16:58 schreef Riparius het volgende:
[..]
De meetkunde gebruik ik hier alleen illustratief, maar ook om diepere verbanden te laten zien waaraan m.i. in het onderwijs veel te weinig aandacht wordt geschonken. Veel formules hebben een heel eenvoudige meetkundige interpretatie. Zo is de formule van Euler meetkundig te interpreteren als een consequentie van het feit dat een raaklijn aan een cirkel loodrecht staat op de straal naar het raakpunt. Evenzo zijn de formules van Simpson te interpreteren als een goniometrisch equivalent van een basale eigenschap van koorden in een cirkel, namelijk dat de middelloodlijn van een koorde samenvalt met de bissectrice van de middelpuntshoek die door de koorde wordt omspannen. En zo zijn er veel meer van dergelijke verbanden.
[...]
- Protterquote:Op zaterdag 1 december 2012 00:21 schreef Physics het volgende:
Ik heb helaas colleges moeten missen en de documentatie van het vak wat ik nu volg is vrij bagger. Nu wil ik graag wat meer achtergrond van de gegeven onderwerpen in: http://www.2shared.com/do(...)jd__tweede_coll.html. Als iemand goede bronnen heeft hoor ik het graag.
* Ito calculus (lemma, diffusie)
* Stochastische dynamische optimalisatie
* Merton's portfolio problem
Alles wat je interessant vindt. Alles wat in die lijst onder Functies en Reeksen staat zijn eerstejaarsvakken. Calculus en analyse zijn denk ik het boeiendst om te volgen (infi a is een beetje basic misschien). Lineaire algebra B is wel boeiend, maar ik vond de manier waarop het gegeven werd wat te abstract (alleen maar theorie, amper toepassingen).quote:
Als ik je linkje doorlees, dan denk ik dat je D2u moet schrijven, niet D2x, want u is je afhankelijke variabele, niet x: Any character immediately following a differentiation operator is a dependent variable. En dan natuurlijk ook u(0) en u(L) schrijven. Overigens gaan dit soort dingen gemakkelijk in WolframAlpha.quote:Op maandag 3 december 2012 13:43 schreef Quyxz_ het volgende:
Ik heb een vraagje wat betreft Matlab. Ik heb de volgende ODE:
[ afbeelding ]
Nu wil ik dit simpel oplossen in Matlab met de 'dsolve-functie.' http://www.mathworks.nl/help/symbolic/dsolve.html
Ik vul de vergelijking in op deze manier, waar volgens mij niet veel mis mee is:
syms k L
dsolve('k*D2x=-x*(L-x)' , 'x(0)=0' , 'x(L)=0')
Nu geeft hij als antwoord slechts ans=0. Dit is natuurlijk niet de bedoeling. Weet iemand hoe ik een beter antwoord kan krijgen. Heeft het er iets te maken dat ik ook de eigenwaarde moet opgeven?
Ah bedankt!quote:Op maandag 3 december 2012 13:54 schreef Riparius het volgende:
[..]
Als ik je linkje doorlees, dan denk ik dat je D2u moet schrijven, niet D2x, want u is je afhankelijke variabele, niet x: Any character immediately following a differentiation operator is a dependent variable. En dan natuurlijk ook u(0) en u(L) schrijven. Overigens gaan dit soort dingen gemakkelijk in WolframAlpha.
Zo kan het ook, maar zoals je het eerst deed had je x zowel als afhankelijke als als onafhankelijke variabele, en dan is het nogal wiedes dat het niet werkt.quote:Op maandag 3 december 2012 14:01 schreef Quyxz_ het volgende:
[..]
Ah bedankt!
Ik heb het nu ook uit Matlab gekregen door even goed naar de afhankelijke en onafhankelijke variabelen te kijken. Blijkbaar gebruikt deze functie t als standaard onafhankelijke variabele, dus ik heb het nu zo ingevuld:
dsolve('k*D2x=-t*(L-t)' , 'x(0)=0' , 'x(L)=0')
Nu krijg ik hetzelfde antwoord als WA.
Ik ga er naar kijken.quote:Op zondag 2 december 2012 21:13 schreef kutkloon7 het volgende:
[..]
Alles wat je interessant vindt. Alles wat in die lijst onder Functies en Reeksen staat zijn eerstejaarsvakken. Calculus en analyse zijn denk ik het boeiendst om te volgen (infi a is een beetje basic misschien). Lineaire algebra B is wel boeiend, maar ik vond de manier waarop het gegeven werd wat te abstract (alleen maar theorie, amper toepassingen).
Ik vind alleen uit een boek dingen leren altijd zo droog, een college is een wat makkelijkere manier om dingen te leren (je snapt wat sneller hoe de docenten naar de dingen kijken). Als je de opgenomen colleges en een boek of dictaat (deze staan vaak ook wel op internet) hebt is dit volgens mij een prima manier om het vak een beetje door te krijgen.
Voor mij werkt het in ieder geval beter als ik het zo leer in mijn vrije tijd dan dat ik het vak echt volg
Gewoon middelbare school stof in feite maar dan hier en daar net wat verder. Heel veel dingen ben je waarschijnlijk al tegen gekomen in wisB of wisD. Differentiëren, integreren, substitutieregel voor integralen, partiëel integreren, simpele limietjes (zonder strikte bewijzen: bewijzen met limieten zitten in Analyse A), Taylorreeks, injectieve/surjectieve/bijectieve functies, gewone differentiaalvergelijkingen, continue functies, ... . Dat is ongeveer wat ik me kan herinnerenquote:Op maandag 3 december 2012 21:13 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Ik ga er naar kijken.
Infi A, wat behandelt dat precies? Beetje beginselen differentiaal/integraalrekening (limieten?)
Op de webpagina van de docent staat een linkje naar een dictaat, maar ze zijn zo te zien nu overgestapt op het Engelstalige boek Calculus, A Complete Course van Adams & Essex. Dat is een pil van ruim 1000 bladzijden. Hier verbaas ik me wel een beetje over, want dat boek is meer bedoeld voor opleidingen waarbij wiskunde geen hoofdzaak is maar wel wordt toegepast.quote:Op maandag 3 december 2012 21:13 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Ik ga er naar kijken.
Infi A, wat behandelt dat precies? Beetje beginselen differentiaal/integraalrekening (limieten?)
Ja, verder wat over taylorreeksen, en hoe en hoe goed je functie daarmee benadert. Verder wat begin in differentiaalvergelijkingen. Dictaat is hier te vinden. Voor infi B gebruikten we een boek, dat was helaas wat minder overzichtelijk.quote:Op maandag 3 december 2012 21:13 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Ik ga er naar kijken.
Infi A, wat behandelt dat precies? Beetje beginselen differentiaal/integraalrekening (limieten?)
Onderaan de kettingbreuk beginnen: 3 + 1/4 = 12/4 + 1/4 = 13/4. Nu het omgekeerde nemen, dat is 4/13, en hier 2 bij optellen. Dat geeft 2 + 4/13 = 26/13 + 4/13 = 30/13. Weer het omgekeerde nemen, dat is 13/30. Hier tenslotte 1 bij optellen en we krijgen 1 + 13/30 = 30/30 + 13/30 = 43/30. Dit is echt lagere school werk.quote:Op dinsdag 4 december 2012 17:37 schreef Miraculously het volgende:
Op de één of andere manier kom ik niet uit deze vraag..
[ afbeelding ]
Ik moet op [ afbeelding ] uitkomen
Bedankt, maar dit heb ik nooit op de lagere of middelbare school gehad.quote:Op dinsdag 4 december 2012 17:56 schreef Riparius het volgende:
[..]
Onderaan de kettingbreuk beginnen: 3 + 1/4 = 12/4 + 1/4 = 13/4. Nu het omgekeerde nemen, dat is 4/13, en hier 2 bij optellen. Dat geeft 2 + 4/13 = 26/13 + 4/13 = 30/13. Weer het omgekeerde nemen, dat is 13/30. Hier tenslotte 1 bij optellen en we krijgen 1 + 13/30 = 30/30 + 13/30 = 43/30. Dit is echt lagere school werk.
Eigenlijk wel, maar je hebt er nooit stil bij gestaan. Je moet consequent de regenregels, die altijd zo intuïtief leken, gebruiken en die heb je wel geleerd.quote:Op dinsdag 4 december 2012 18:04 schreef Miraculously het volgende:
[..]
Bedankt, maar dit heb ik nooit op de lagere of middelbare school gehad.
Het is ook al even geleden dat ik dit soort dingen uit mijn hoofd gedaan heb, ik heb sinds de middelbare school immers alleen maar een rekenmachine gebruikt..quote:Op dinsdag 4 december 2012 18:06 schreef Mathemaat het volgende:
[..]
Eigenlijk wel, maar je hebt er nooit stil bij gestaan. Je moet consequent de regenregels, die altijd zo intuïtief leken, gebruiken en die heb je wel geleerd.
Een rekenmachine kan dit ook niet als je het niet volgens de rekenregels invoert. Het is niet erg dat je het niet kon, dat is niet het punt dat ik wil maken.quote:Op dinsdag 4 december 2012 18:12 schreef Miraculously het volgende:
[..]
Het is ook al even geleden dat ik dit soort dingen uit mijn hoofd gedaan heb, ik heb sinds de middelbare school immers alleen maar een rekenmachine gebruikt..
-edit: wacht even hoor, even wat beter kijken nog-quote:Op dinsdag 4 december 2012 20:49 schreef flopsies het volgende:
als je een alternerende reeks hebt zoals { (n+1)(-1)n } ,
(sommatie van n=0 tot oneindig) (n+1)(-1)n (en andere alternerende reeksen) zal convergent zijn als de reeks voldoet aan bepaalde voorwaarden
anan+1 <0 voor n>een positief getal.
|an+1|<=an voor n>een positief getal.
lim n->oneindig an = 0
als de reeks hier niet aan voldoet, is (sommatie van n=0 tot oneindig) (n+1)(-1)n dan sowieso niet convergent?
De vraag staat er verkeerd, de rij waar het om gaat is an(-1)n. Als je an = (-1)n+1 pakt dan zie je dat jouw antwoord niet klopt.quote:Op dinsdag 4 december 2012 21:06 schreef kutkloon7 het volgende:
[..]
-edit: wacht even hoor, even wat beter kijken nog-
Als de limiet van de rij > 0 is, is de reeks sowieso niet convergent
Hier is zo geen chocola van te maken. Je praat over een reeks, maar geeft dan de notatie van een rij, en wat moet ik me bij die notatie voorstellen?quote:Op dinsdag 4 december 2012 20:49 schreef flopsies het volgende:
als je een alternerende reeks hebt zoals { (n+1)(-1)n } ,
Hoezo, de reeks ∑n=0an heeft toch geen limiet als n naar oneindig gaat?quote:Op dinsdag 4 december 2012 21:12 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
De vraag staat er verkeerd, de rij waar het om gaat is an(-1)n. Als je an = (-1)n+1 pakt dan zie je dat jouw antwoord niet klopt.
I see. Maar wat als de limiet van de rij (an) niet bestaat?quote:Op dinsdag 4 december 2012 21:06 schreef kutkloon7 het volgende:
[..]
-edit: wacht even hoor, even wat beter kijken nog-
Als de limiet van de rij > 0 is, is de reeks sowieso niet convergent
Dan bestaat de limiet van de bijbehorende reeks ook niet? (maar ik had het over het geval dat de limiet wel bestaat)quote:Op dinsdag 4 december 2012 21:28 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
I see. Maar wat als de limiet van de rij (an) niet bestaat?
Het criterium van Leibniz is voldoende maar niet noodzakelijk voor convergentie van een reeks met alternerende termen. Beschouw bijvoorbeeld de rij {an} gedefinieerd door:quote:Op dinsdag 4 december 2012 21:34 schreef flopsies het volgende:
of dit de enige test is om te kijken of een alternerende reeks convergeert. Als de rij {an} niet voldoet
aan de voorwaarden die riparius ook heeft gepost, is de reeks ∑n=0 ∞ an dan sowieso NIET convergent? misschien een domme vraag maar ik wil het even zeker weten
Ja, maar dat is niet in tegenspraak met wat ik hierboven beweer.quote:Op dinsdag 4 december 2012 23:53 schreef kutkloon7 het volgende:
Het criterium van Leibniz is wel sluitend voor alternerende, dalende reeksen. Als je alleen naar alternerende, dalende reeksen kijkt voldoet elke convergerende reeks aan het criterium en geen enkele niet-convergerende reeks.
Ik dacht dat de algemene term van de gedaante ((-1)k∙4∙cos kx)/k2 is. En dan nog een constante term π2/3 erbij.quote:Ik kom er nu net een tegen bij de inleveropgave voor functies en reeksen. We moeten de Fourier-coefficienten van de 2π-periodieke functie die op het interval [-π, π] gelijk is aan x2 bepalen.
Die blijkt gelijk te zijn aan (-1)k . 2/k2.
Inderdaad ... Vul trouwens eens x = 0 in, dan krijg je een alternerende reeks voor π2/12. Daarmee kun je gemakkelijk aantonen dat ∑k=1∞ 1/k2 = π2/6 (Bazel probleem).quote:Om te bepalen of de bijbehorende Fourierreeks convergent is, moet je kijken of de som van al deze coefficienten convergeert. Ja dus, wat je aan kan tonen met Leibniz' criterium.
(er kunnen nog foutjes inzitten, ik ben er nog mee bezig)
Uhuh, het was een aanvulling, geen verbeteringquote:Op woensdag 5 december 2012 00:14 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ja, maar dat is niet in tegenspraak met wat ik hierboven beweer.
[..]
Ik dacht dat de algemene term van de gedaante ak = ((-1)k∙4∙cos kx)/k2 is. En dan nog een constante term π2/3 erbij.
[..]
Inderdaad ... Vul trouwens eens x = 0 in, dan krijg je een alternerende reeks voor π2/12. Daarmee kun je gemakkelijk aantonen dat ∑k=1∞ 1/k2 = π2/6 (Bazel probleem).
Inderdaad, je moet natuurlijk twee complexe coëfficiënten ck en c-k hebben om de reële coëfficiënten ak = ck + c-k van de cosinustermen te krijgen.quote:Op woensdag 5 december 2012 00:27 schreef kutkloon7 het volgende:
[..]
Uhuh, het was een aanvulling, geen verbetering
0 invullen is inderdaad een deel van de opgave.
Hm, ik ga er morgen nog maar even naar kijken denk ik... Volgens mij klopt het wel wat ik nu heb. Hoe kom je aan die algemene term?
In mijn dictaat staat dat de fourier coefficient gelijk is aan
En dat heb ik nagerekend, en dat lijkt te kloppen.
De constante term zou dan geloof ik 2/3π3 worden.
Ik heb wel complexe coefficienten gebruikt, misschien zit het hem daarin
Ja, ik had nog niet helemaal door hoe dat precies werkte, ik werkte gewoon vanuit de uit het dictaat gegeven definities.quote:Op woensdag 5 december 2012 00:46 schreef Riparius het volgende:
[..]
Inderdaad, je moet natuurlijk twee complexe coëfficiënten ck en c-k hebben om de reële coëfficiënten ak = ck + c-k van de cosinustermen te krijgen.
Als je a0 berekent met de algemene integraal voor ak, dan moet je hiervan de helft nemen, de eerste term in de reeks geeft men daarom aan met ½a0. Dan krijg je dus π2/3 voor de constante term.quote:Op woensdag 5 december 2012 00:37 schreef kutkloon7 het volgende:
Ja, je had gelijk, ik ben eruit, het kwam inderdaad door die complexe coefficienten. Alleen die constante term heb ik nog wel anders.
Ja, wat ik de hele tijd al doe: de factor 1/2π vergeten, waardoor ik ook op π^3 uitkwam ipv π^2. Dank voor je hulp!quote:Op woensdag 5 december 2012 00:50 schreef Riparius het volgende:
[..]
Als je a0 berekent met de algemene integraal voor ak, dan moet je hiervan de helft nemen, de eerste term in de reeks geeft men daarom aan met ½a0. Dan krijg je dus π2/3 voor de constante term.
Je kunt je Fourier reeksen gemakkelijk controleren in WolframAlpha, zowel in goniometrische als in exponentiële vorm.quote:Op woensdag 5 december 2012 00:56 schreef kutkloon7 het volgende:
[..]
Ja, wat ik de hele tijd al doe: de factor 1/2π vergeten, waardoor ik ook op π^3 uitkwam ipv π^2. Dank voor je hulp!
Maak het allemaal niet zo moeilijk. Je hebt:quote:Op woensdag 5 december 2012 17:23 schreef Sokz het volgende:
Ja tot die conclusie kwam ik dus ook, hoe reflecteert dat zich tot deze vraag waarbij P=0 geen antwoord kan zijn (want wie verkoopt zijn product gratis?)
[ afbeelding ]
Kies ε = 1. Aangezien f uniform continu is op (0,1) bestaat er dan een δ > 0 zodanig dat | f(x) - f(y) | < ε = 1 voor elke x,y ∈ (0,1) met | x - y | < δ. Kies nu een positief geheel getal n0 > 1 zodanig dat 1/n0 < δ (i.e. n0 > 1/δ) en definieer xi = i/n0 voor i ∈ {1,...,n0-1}. Zij verder M een getal zodanig dat max(| f(xi) |, 1 ≤ i ≤ n0-1) < M - 1. Dan bestaat er voor elke x ∈ (0,1) een i ∈ {1,...,n0-1} zodanig dat | x - xi | < δ en dus | f(x) - f(xi) | < 1 zodat | f(x) | = | (f(x) - f(xi)) + f(xi) | ≤ | f(x) - f(xi) | + | f(xi) | < 1 + (M - 1) = M, QED.quote:Op donderdag 6 december 2012 20:12 schreef JWF het volgende:
Zijuniform continu. Toon aan dat
begrensd is.
Kun je dit op een makkelijke manier bewijzen? Medestudenten en ik hadden bedacht dat je kunt aantonen daten
bestaan en zo een continue functie
kunt 'construeren': er is dan een stelling in het dictaat die zegt dat die functie (continu op een gesloten interval) begrensd is. We weten echter niet of dit correct is en het is behoorlijk lang en omslachtig. Heeft iemand een beter idee?
wat, dat f(x)=1/x begrensd is op (0,1)?quote:Op vrijdag 7 december 2012 12:47 schreef Mathemaat het volgende:
[..]
Ja, wat je zegt klopt. Je kunt het ook bewijzen voor continue functies.
Sorry, ik hield het door elkaar met het continue uitbreiden van reële functies op compacte domeinen.quote:Op vrijdag 7 december 2012 12:55 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
wat, dat f(x)=1/x begrensd is op (0,1)?
quote:Op donderdag 6 december 2012 21:05 schreef Riparius het volgende:
[..]
Kies ε = 1. Aangezien f uniform continu is op (0,1) bestaat er dan een δ > 0 zodanig dat | f(x) - f(y) | < ε = 1 voor elke x,y ∈ (0,1) met | x - y | < δ. Kies nu een positief geheel getal n0 > 1 zodanig dat 1/n0 < δ (i.e. n0 > 1/δ) en definieer xi = i/n0 voor i ∈ {1,...,n0-1}. Zij verder M een getal zodanig dat max(|(f(xi)|, 1 ≤ i ≤ n0-1) < M - 1. Dan bestaat er voor elke x ∈ (0,1) een i ∈ {1,...,n0-1} zodanig dat | x - xi | < δ en dus | f(x) - f(xi) | < 1 zodat | f(x) | = | (f(x) - f(xi)) + f(xi) | ≤ | f(x) - f(xi) | + | f(xi) | < 1 + (M - 1) = M, QED.
Dit idee laat ook mooi zien wat uniforme continuiteit betekent: waar je die delta intervalletjes ook plaatst, je hebt altijd een fluctuatie van hoogstens epsilon.quote:Op donderdag 6 december 2012 20:22 schreef GlowMouse het volgende:
Het kan veel simpeler. Pak uit de defintie op http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_continuity een willekeurige epsilon>0, dan komt daar een delta uitrollen. Kijk dan eens naar 1/delta (1/delta is interessant omdat delta minder dan 1/delta keer in het interval (0,1) past).
Dankjewel, heel helder. Ik zou dit zelf niet zomaar bedenken, maar ik heb wel het gevoel nu beter te begrijpen wat uniforme continuïteit inhoudt.quote:Op donderdag 6 december 2012 21:05 schreef Riparius het volgende:
Kies ε = 1. Aangezien f uniform continu is op (0,1) bestaat er dan een δ > 0 zodanig dat | f(x) - f(y) | < ε = 1 voor elke x,y ∈ (0,1) met | x - y | < δ. Kies nu een positief geheel getal n0 > 1 zodanig dat 1/n0 < δ (i.e. n0 > 1/δ) en definieer xi = i/n0 voor i ∈ {1,...,n0-1}. Zij verder M een getal zodanig dat max(|(f(xi)|, 1 ≤ i ≤ n0-1) < M - 1. Dan bestaat er voor elke x ∈ (0,1) een i ∈ {1,...,n0-1} zodanig dat | x - xi | < δ en dus | f(x) - f(xi) | < 1 zodat | f(x) | = | (f(x) - f(xi)) + f(xi) | ≤ | f(x) - f(xi) | + | f(xi) | < 1 + (M - 1) = M, QED.
Beide leden vermenigvuldigen met -6/8 = -3/4 en je hebt x = -3/4 ∙ -14/35 = 3/4 ∙ 2/7 = 6/28 = 3/14.quote:Op vrijdag 7 december 2012 18:21 schreef Maryn. het volgende:
Ok, geen wiskunde dit maar hoe los los ik dit het handigst op uit 't hoofd? Iemand tips?
x : -6/8 = -14/35
Breuken vereenvoudigen, x = -45/18 - 18/6 = -5/2 - 6/2 = -11/2.quote:-45/18 - 18/6 = x
Het klassieke ε/3 trucje. Het bewijs staat vast wel ergens in de een of andere vorm in je leerboek, en anders moet je maar even hier kijken.quote:Op zaterdag 8 december 2012 17:31 schreef yarnamc het volgende:
"een uniform convergente reeks van exponentiële of circulaire functies convergeert, in het aangegeven gebied, naar een continue functie (waarom?)". Dit staat er, in verband met de uniforme convergentie van Fourierreeksen.
Iemand die ziet waarom dit zo is?
Ja, maar ik zie even niet hoe. De formules afleiden (peanuts) ook al gedaan.quote:Op maandag 10 december 2012 02:03 schreef Dale. het volgende:
Al gekeken op http://nl.wikipedia.org/wiki/Orthografische_cilinderprojectie?
Het volgt direct uit de formules.
quote:Die ontstaat door de aardbol af te beelden op een cilinder vanuit een punt op de omwentelingsas van de bol, zodanig dat de projectielijn loodrecht op de as staat.
Ik snap wat je hiermee bedoelt. Dit is hoe de projectie tot stand komt. Nu wil ik graag weten waarom de projectie equivalent is, en niet omdat 'dit toevallig zo is', nee, wat is de redenatie hierachter?quote:Op maandag 10 december 2012 12:36 schreef Dale. het volgende:
Uhmmm de eerste alinea?
[..]
[ afbeelding ]
Hier.quote:Op maandag 10 december 2012 16:28 schreef thenxero het volgende:
Waar staan die integralen van Riparius die hij een tijdje geleden ergens gepost had?
Equivalentie is hier een term voor oppervlaktegetrouwheid. Dat betekent dus dat het product van de schaalfactoren van de kaartprojectie in horizontale en in verticale richting in elk punt op de kaart constant moet zijn. Bij hoekgetrouwheid oftewel conformiteit moet daarentegen de verhouding van de schaalfactoren in verticale en horizontale richting voor elk punt op de kaart gelijk zijn aan één. Bij afbeelding van een bolvormig oppervlak op een plat vlak zijn equivalentie en conformiteit onverenigbaar.quote:Op maandag 10 december 2012 16:28 schreef thenxero het volgende:
@Amoeba: ik heb geen verstand van projecties, maar je hebt er steeds over dat die orthografische cilinderprojectie equivalent moet zijn. Maar je zegt niet waarmee die dan equivalent moet zijn.
De methode door te bewijzen (meetkundig) dat de hoek die 2 raaklijnen aan een bol maken equivalent is aan de hoek die de projecties van die lijnen met elkaar maken, is dat ook een sluitend bewijs? Immers, de hoek die 2 krommen maken is gelijk aan de hoek die hun raaklijnen maken.quote:Op maandag 10 december 2012 17:29 schreef Riparius het volgende:
[..]
Equivalentie is hier een term voor oppervlaktegetrouwheid. Dat betekent dus dat het product van de schaalfactoren van de kaartprojectie in horizontale en in verticale richting in elk punt op de kaart constant moet zijn. Bij hoekgetrouwheid oftewel conformiteit moet daarentegen de verhouding van de schaalfactoren in verticale en horizontale richting voor elk punt op de kaart gelijk zijn aan één. Bij afbeelding van een bolvormig oppervlak op een plat vlak zijn equivalentie en conformiteit onverenigbaar.
Bij een conforme projectie zoals de Mercatorprojectie zijn op ieder punt op de kaart de schaalfactoren in horizontale en in verticale richting gelijk. Omdat we willen dat de meridianen als verticale evenwijdige lijnen worden afgebeeld is de schaalfactor voor een punt op noorderbreedte of zuiderbreedte φ in horizontale richting dus 1/cos φ = sec φ maal de schaalfactor voor de evenaar, omdat een breedtecirkel op noorderbreedte of zuiderbreedte φ slechts een omtrek heeft van cos φ maal de omtrek van de evenaar.quote:Op maandag 10 december 2012 14:26 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Ik snap wat je hiermee bedoelt. Dit is hoe de projectie tot stand komt. Nu wil ik graag weten waarom de projectie equivalent is, en niet omdat 'dit toevallig zo is', nee, wat is de redenatie hierachter?
Forum Opties | |
---|---|
Forumhop: | |
Hop naar: |