Nou, niet direct; zo'n elitistische reply is nu even te kort door de bocht. Uit zijn post proef ik dat hij al vermoedt dat hij een foutieve berekening gemaakt heeft; hij twijfelt nl. zelf al aan de geldigheid v/d uitdrukking ∞ - ∞ = "iets"???. Het gaat mis doordat hij niet van te voren geprobeerd heeft de uitdrukking via de worteltruuk algebraïsch om te vormen tot een uitdrukking waar wèl een fatsoenlijk limietberekening mee gemaakt kan worden (zie post Haushofer), en om het inzichtelijk voor hem te maken, zet ik nog even wat extra stappen ertussen, gebaseerd op die andere worteltruuk.quote:Op donderdag 3 mei 2012 18:45 schreef Riparius het volgende:
Je fundamentele denkfout is dat je denkt dat je het symbool ∞ mag behandelen als een gewoon getal, maar dat is niet zo, ∞ is geen getal. Je mag dus ook niet zeggen dat een bepaalde limiet of een bepaalde grootheid 'gelijk' is aan 'oneindig', dat heeft geen betekenis. De rekenregel dat de limiet van een verschil van twee uitdrukkingen gelijk is aan het verschil van de limieten van die beide uitdrukkingen geldt ook alleen maar als de limieten van beide termen elk afzonderlijk bestaan, en dat is hier niet het geval.
Sowieso is voor fysici oneindig gelijk aan 0quote:Op donderdag 3 mei 2012 19:43 schreef thenxero het volgende:
[..]
In wat geavanceerdere boeken kom je het wel eens tegen.
Serieus? Dat is wel een erg grove benadering.quote:Op vrijdag 4 mei 2012 11:10 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Sowieso is voor fysici oneindig gelijk aan 0
Wat ze bedoelen met "A is nested in B" is denk ik "A is een deelverzameling van B". Ik snap alleen niet wat ze met "the sets" bedoelen.quote:Op vrijdag 4 mei 2012 11:36 schreef mathematica013 het volgende:
Game Theory:
Kan iemand mij helpen met dit vraagstuk:
For iterative elimination of strictly dominated strategies, show that the sets are nested (deelvraag 1)(wat is nested?) and that the procedure terminates in finitely many rounds if the game is finite (2). Can you provide a tight upper bound on the number of iterations that might be required? (3)
Ik weet sowieso niet wat nested betekent.
Verder zou ik bij (deelvraag 2) show that the procedure terminates in finitely many rounds if the game is finite.
Antwoorden:
When there's strictly dominance, one strategy s(DOM)i always dominates s(not DOM) i, because
utility player i (s(DOM)i, s - i) > utility player i (s(not DOM)i, s-i) So the utility of player i is strictly higher when using dominant strategy s for all s - i which are in the set of S - i (s - i and S - i are the strategies of all other players except player i ) When there are only strictly dominating strategies and there is a finite game, the procedure of iteration has also to be finite.
Klopt dit? En kan iemand mij helpen met die 2 andere deelvragen? Thanks!
Het is een uitspraak die vaak gedaan wordt ivm "renormalizatie"; het verschijnsel dat (met name in quantumveldentheorieën) fysici uit naieve berekeningen oneindig krijgen. De renormalisatieprocedure maakt daar een eindig antwoord van.quote:Op vrijdag 4 mei 2012 11:54 schreef thenxero het volgende:
[..]
Serieus? Dat is wel een erg grove benadering.
Het lijkt mij ook ZHZ.quote:Op vrijdag 4 mei 2012 13:21 schreef Aardappel2610 het volgende:
Ik heb een korte vraag over meetkunde/congruentie:
Als twee driehoeken twee zijden delen en een hoek. En die hoek is 90 graden, maar is ingesloten. Is er dan sprake van congruentiegeval ZZR of ZHZ ? Volgens mijn antwoorden gaat het om ZZR, maar de definitie spreekt over een niet-ingesloten hoek.
ZZR is eigenlijk geen afzonderlijk congruentiekenmerk, want als twee rechthoekige driehoeken de hypotenusa en een rechthoekszijde gemeen hebben, dan hebben ze ook de andere rechthoekszijde gemeen op grond van Pythagoras en zijn ze dus congruent volgens congruentiekenmerk ZHZ. Maar soms wordt ZZR toch als een afzonderlijk congruentiekenmerk gegeven (zie bijvoorbeeld hier) omdat er bij ZZH nog twee mogelijkheden kunnen zijn. Om ZZH toch als congruentiekenmerk te kunnen gebruiken moet je als extra voorwaarde stipuleren dat de zijde tegenover de gemene hoek de langste van de twee gemene zijden is.quote:Op vrijdag 4 mei 2012 13:21 schreef Aardappel2610 het volgende:
Ik heb een korte vraag over meetkunde/congruentie:
Als twee driehoeken twee zijden delen en een hoek. En die hoek is 90 graden, maar is ingesloten. Is er dan sprake van congruentiegeval ZZR of ZHZ ? Volgens mijn antwoorden gaat het om ZZR, maar de definitie spreekt over een niet-ingesloten hoek.
Nu weet ik weer waarom ik gestopt ben met natuurkundequote:Op vrijdag 4 mei 2012 13:31 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Het is een uitspraak die vaak gedaan wordt ivm "renormalizatie"; het verschijnsel dat (met name in quantumveldentheorieën) fysici uit naieve berekeningen oneindig krijgen. De renormalisatieprocedure maakt daar een eindig antwoord van.
Een ander pareltje wat o.a. gebruikt wordt in snaartheorie is de "identiteit"
waarmee via analytische continuatie bepaalde divergenties in je uitdrukkingen geregulariseerd worden. De manier waarop dat in tekstboeken wordt beschreven zou de meeste wiskundigen niet bepaald fijn overkomen, denk ik
Je hebt hier eigenlijk ζ(-1) = -1/12, dus het is minder idioot dan het er uit ziet en ook wiskundig interessant. Het idee is afkomstig van Ramanujan. Mooi voorbeeld van hoe krankzinnigheid en genialiteit dicht bij elkaar kunnen liggen.quote:Op vrijdag 4 mei 2012 19:53 schreef thenxero het volgende:
[..]
Nu weet ik weer waarom ik gestopt ben met natuurkunde
Je wil de afgeleide naar q bepalen van je uitdrukking. Dan beschouw je a dus als een constante. Je krijgt dan:quote:Op vrijdag 4 mei 2012 21:57 schreef pocketplayer09 het volgende:
Ik heb: g(q) = 4aq3 + 3a2q - a3
Is g'(q) + 12aq2 + 6aq
Ik twijfel hoe ik de afgeleide krijg van 3a2q . Mijn boek heeft er geen uitleg over. Is hier iemand die weet hoe het zit?
Het dingetje wat je in je functie stopt, in dit geval de a, is niet je constante, maar je variabele.quote:Op zondag 6 mei 2012 21:03 schreef pocketplayer09 het volgende:
Hoe weet je precies of het een constante is?
f(a) = 0,3a3p3
Wordt het dan: f'(a) =0,9a2 ?
De a en b die je als coëfficiënten noemt, zijn dezelfde als de a en b die je als exponenten noemt?quote:Op zondag 6 mei 2012 21:22 schreef marleenhoofd- het volgende:
Hoi,
In een bewijs dat ik probeer te maken, zou het erg prettig zijn als ik kan bewijzen dat
ax_1^{2d}+bx_2^{2d}-2dx_1^ax_2^b met a+b=2d, a,b en d natuurlijk een som van maximaal 2 kwadraten is. Dan kan ik vervolgens met inductie bewijzen dat dergelijke polynomen van een hogere macht de som van maximaal 3n-4 kwadraten zijn. Iemand een idee hoe je die 2 kwadraten maakt?
Alvast bedankt!
jaquote:Op zondag 6 mei 2012 21:26 schreef thabit het volgende:
[..]
De a en b die je als coëfficiënten noemt, zijn dezelfde als de a en b die je als exponenten noemt?
Dus mijn antwoord klopt?quote:Op zondag 6 mei 2012 21:25 schreef marleenhoofd- het volgende:
[..]
Het dingetje wat je in je functie stopt, in dit geval de a, is niet je constante, maar je variabele.
Ik ben zelf uitgegaan van de reële getallen, daar staat echter niets over in de opgave.quote:Op zondag 6 mei 2012 21:31 schreef thabit het volgende:
En in welke ring moeten de coëfficiënten van de polynomen zitten die je moet kwadrateren?
Bijna, omdat de p^3 bij dezelfde term hoort, mag je hem niet zomaar weglaten. Net als de 0,3 die negeer je ook niet. Je antwoord is dan 0,9a2p3quote:
Dan is het een slechte opgave.quote:Op zondag 6 mei 2012 21:47 schreef marleenhoofd- het volgende:
[..]
Ik ben zelf uitgegaan van de reële getallen, daar staat echter niets over in de opgave.
Duidelijk, danku!quote:Op zondag 6 mei 2012 21:49 schreef marleenhoofd- het volgende:
[..]
Bijna, omdat de p^3 bij dezelfde term hoort, mag je hem niet zomaar weglaten. Net als de 0,3 die negeer je ook niet. Je antwoord is dan 0,9a2p3
Een polynoom f in R[x] met f(x) >= 0 voor alle x in R kun je schrijven als de som van 2 kwadraten van polynomen in R[x]. Ken je die stelling?quote:Op zondag 6 mei 2012 21:22 schreef marleenhoofd- het volgende:
Hoi,
In een bewijs dat ik probeer te maken, zou het erg prettig zijn als ik kan bewijzen dat
ax_1^{2d}+bx_2^{2d}-2dx_1^ax_2^b met a+b=2d, a,b en d natuurlijk een som van maximaal 2 kwadraten is. Dan kan ik vervolgens met inductie bewijzen dat dergelijke polynomen van een hogere macht de som van maximaal 3n-4 kwadraten zijn. Iemand een idee hoe je die 2 kwadraten maakt?
Alvast bedankt!
Ja, maar ik zie nog even niet waarom dit polynoom altijd >=0 moet zijn, maar ik zal er weer even over nadenken..quote:Op zondag 6 mei 2012 22:12 schreef thabit het volgende:
[..]
Een polynoom f in R[x] met f(x) >= 0 voor alle x in R kun je schrijven als de som van 2 kwadraten van polynomen in R[x]. Ken je die stelling?
Ken je de herschikkingsongelijkheid?quote:Op zondag 6 mei 2012 22:16 schreef marleenhoofd- het volgende:
[..]
Ja, maar ik zie nog even niet waarom dit polynoom altijd >=0 moet zijn, maar ik zal er weer even over nadenken..
Daar ben ik mee aan het prutsen ja. Dat geeft me dat 2x_1^ax_2^b <= x_1^{2d}+x_2^{2d}. Maar dan moet ik het nu nog goed zien te krijgen met de coefficienten erbij..quote:
Dankjewel, maar hier kom ik ook nog niet echt uit. Dit is overigens de eerste keer dat ik van de regel hoor, dus ik heb even gegoogled. Hij lijkt alleen voor polynomen met één variabele te werken. Dan kun je natuurlijk die andere als een constante kiezen. Maar dan is het ook nog relevant of a en b even of oneven zijn bij het nagaan van het aantal negatieve oplossingen,terwijl je daar niks van weet? En zet je een + voor alle 0x^c met a_1<c<2d termen?quote:Op zondag 6 mei 2012 22:52 schreef thabit het volgende:
Hmm, ja, ik was misschien iets te snel daarmee. Maar het kan wel met de tekenregel van Descartes.
Minor bedrijfseconomie? Dit lijkt meer 5VWO M&Oquote:Op maandag 7 mei 2012 00:34 schreef AL-CAPONE het volgende:
Ik weet niet of ik hier goed zit verbeter me maar als ik naar een ander topic moet
Voor mijn minor bedrijfseconomie heb ik namelijk een vraag en ik kom er echt niet uit!
[ afbeelding ]
Wie zou me kunnen helpen aan het antwoord en de berekening?
Het betreft vraag 10
Ik ben in zoverre bekend met de Cholesky-decompositie dat ik het algoritme ken om de ontbinding te vinden in of indien gewenst . Hoe je dit in termen van ondermatrices uitdrukt weet ik helaas niet.quote:Op dinsdag 8 mei 2012 23:09 schreef Dale. het volgende:
Is iemand hier toevallig bekend met de Cholesky decompositie? Ik heb . Nu wordt er gevraagd op de cholesky decompositie te geven in termen van "consituent submatrices". Nu wil ik het eerst nog zelf proberen maar wat wordt precies bedoeld met "constituent submatrices"? Moet ik de cholesky decompositie dus uitdrukken in de termen , en ? Want dan zou ik dus kunnen schrijven in iets als
[ afbeelding ]
zou ik alleen nog en erin moeten verwerken...
http://en.wikipedia.org/w(...)e_Cholesky_algorithm
Als je met die 10 het grondtal bedoelt van de logaritme, dan moet je dat wel superscripten, anders sticht je alleen maar verwarring. Dus:quote:Op donderdag 10 mei 2012 13:24 schreef TheDutchguy het volgende:
Ik heb een probleempje met natuurkunde waar ik maar niet uitkom. Maar aangezien het met het vervormen van een formule te maken heeft post ik het hier
De formule is L = 10log(I/I0)
Als ik de L en de I0 al weet, hoe kan ik dan de I uitrekenen?
De vergelijkingen die je geeft stellen in de driedimensionale ruimte vlakken voor, geen lijnen, dus hier gaat het al fout.quote:Op vrijdag 11 mei 2012 17:53 schreef Quir het volgende:
Ik ben bezig met het doorwerken van Basisboek Wiskunde maar loop nu wat vast bij de vlakken. Er wordt gevraagd een vergelijking van een vlak op te stellen door drie gegeven punten, en die kan ik vinden, maar ik snap er een deel niet van.
Met als voorbeeld de drie punten A(2,0,0), B(0,3,0) en C(0,0,4) in een stelsel Oxyz vind ik als volgt de vergelijking van de twee lijnen door A & B en B & C
Het is niet het superscript van de formulequote:Op donderdag 10 mei 2012 18:39 schreef Riparius het volgende:
[..]
Als je met die 10 het grondtal bedoelt van de logaritme, dan moet je dat wel superscripten, anders sticht je alleen maar verwarring. Dus:
L = 10log(I/I0)
Verder kun je gewoon gebruik maken van de definitie van de logaritme: glog a is de exponent waartoe je g moet verheffen om a te verkrijgen. Hier is L dus de macht waartoe je 10 moet verheffen om I/I0 te verkrijgen:
10L = I/I0
Ik begrijp niet wat je bedoelt, en in ieder geval sticht je verwarring, precies zoals ik al zei. Als je 10 een factor is dan moet je 10∙log(I/I0) schrijven en ook het grondtal van je logaritme specificeren, want het symbool log is ambigu.quote:Op vrijdag 11 mei 2012 22:11 schreef TheDutchguy het volgende:
[..]
Het is niet het superscript van de formule
Ik schreef de formule precies over uit mijn BINAS. Ik ga er in ieder geval van uit dat het 10 * is, maar is ook niet duidelijk aangegeven. Er staat L = 10 log(I/I0)quote:Op vrijdag 11 mei 2012 22:19 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ik begrijp niet wat je bedoelt, en in ieder geval sticht je verwarring, precies zoals ik al zei. Als je 10 een factor is dan moet je 10∙log(I/I0) schrijven en ook het grondtal van je logaritme specificeren, want het symbool log is ambigu.
Goed. Aangenomen dat Briggse logaritmen (grondtal 10) bedoeld zijn krijgen we dan:quote:Op vrijdag 11 mei 2012 22:50 schreef TheDutchguy het volgende:
[..]
Ik schreef de formule precies over uit mijn BINAS. Ik ga er in ieder geval van uit dat het 10 * is, maar is ook niet duidelijk aangegeven. Er staat L = 10 log(I/I0)
Bij de tweede kun je over een deel van de cirkel integreren dat 0 niet bevat, en dan een limiet daarvan nemen zodat je pad in de limiet de hele cirkel is.quote:Op zaterdag 12 mei 2012 16:08 schreef Hanneke12345 het volgende:
Ik heb nog wat moeite met hoe complexe integralen werken.
[ afbeelding ]
De eerste is niet zo moeilijk. De functie is holomorf op een omgeving van de afsluiting van D = C(2,1), gesloten kromme, dus 0.
Bij de tweede gaat het al fout, omdat hw sqrt{z} niet gedefinieerd is in 't punt 0. Maar ik kan geloof ik niet de residuenstelling gebruiken, want dan moet het een geisoleerde singulariteit zijn, maar op die hele lijn (-\infty, 0] bestaat de functie niet.
De hoofdwaarde van √z voor z = r∙eiφ met -π < φ ≤ π en r ≥ 0 is √r∙eiφ/2 en daarmee gedefinieerd voor elke z ∈C. Maar inderdaad is deze functie alleen holomorf op C\(-∞,0].quote:Op zaterdag 12 mei 2012 16:08 schreef Hanneke12345 het volgende:
Ik heb nog wat moeite met hoe complexe integralen werken.
[ afbeelding ]
De eerste is niet zo moeilijk. De functie is holomorf op een omgeving van de afsluiting van D = C(2,1), gesloten kromme, dus 0.
Bij de tweede gaat het al fout, omdat hw sqrt{z} niet gedefinieerd is in 't punt 0. Maar ik kan geloof ik niet de residuenstelling gebruiken, want dan moet het een geisoleerde singulariteit zijn, maar op die hele lijn (-\infty, 0] bestaat de functie niet.
Je moet dan wel de integraal over dat kleine cirkeltje dan afschatten en laten zien dat dat in de limiet naar 0 gaat.quote:Op zaterdag 12 mei 2012 19:59 schreef Hanneke12345 het volgende:
Zoiets dus?
[ afbeelding ]
Kun je dan gewoon zeggen dat die limiet gelijk is aan de integraal? En de integraal over elk van die met dat halve bolletje eruit is 0 (zelfde argument als bij (a)) dus is het 0? Maar bij de derde werkt ook die truc niet meer, en is er nog altijd geen geisoleerde singulariteit
Inderdaad, bij het tweede geval kom je door een limietbeschouwing tot de conclusie dat de integraal langs γ ook hier nul moet zijn, want de integraal langs de gesloten curve in je plaatje blijft 0, hoe klein je het boogje rond de oorsprong ook maakt.quote:Op zaterdag 12 mei 2012 19:59 schreef Hanneke12345 het volgende:
Zoiets dus?
[ afbeelding ]
Kun je dan gewoon zeggen dat die limiet gelijk is aan de integraal? En de integraal over elk van die met dat halve bolletje eruit is 0 (zelfde argument als bij (a)) dus is het 0? Maar bij de derde werkt ook die truc niet meer, en is er nog altijd geen geisoleerde singulariteit
De integraal over zo'n gesloten kromme is inderdaad 0, maar je moet nog wel aantonen dat alles in de limiet ook goed gaat. In dit voorbeeld is dat vrijwel triviaal, maar 't is wel goed om je daar in het algemeen bewust van te zijn.quote:Op zaterdag 12 mei 2012 20:18 schreef Hanneke12345 het volgende:
Kun je met dat bolletje niet zeggen dat de functie holomorf is op een omgeving van de afsluiting van dat gebied, en dus (stelling) dat de integraal over de rand 0 is? Omdat het dan weer gewoon een gesloten kromme is enzo.
Die derde ga ik even proberen met parametrizeren.
Wat wil je oplossen? Wat is six?quote:Op zondag 13 mei 2012 13:24 schreef PizzaGeit het volgende:
Hoe los ik dit op?
Ik streepte de en de tegen elkaar weg:
Klopt dit?
quote:Op zondag 13 mei 2012 13:24 schreef PizzaGeit het volgende:
Hoe los ik dit op?
Ik streepte de en de tegen elkaar weg:
Klopt dit?
Thanks bro, je bent m'n held.quote:Op zondag 13 mei 2012 13:19 schreef thenxero het volgende:
Op Thabits manier krijg je een bovensom en ondersom (dus een bovengrens en ondergrens voor de integraal). Je kan ook steeds op ieder interval [xk, xk+1] de waarden in het midden nemen en daar f evalueren. Dan krijg je iets wat direct wat dichter bij de integraal zal zitten dan de ondersom of bovensom, en het is ook wat makkelijker te berekenen omdat je niet het supremum of infimum op ieder intervalletje hoeft te bepalen (dan moet je steeds nagaan of de functie daalt of stijgt op dat interval, etc).
Voorbeeld: Je moet het interval [2,24] opdelen in kleine deelintervalletjes. Je kan als grootte van die deelintervalletjes bijvoorbeeld 1 nemen (hoe kleiner, hoe dichter je bij de werkelijke integraal komt). Als je f dan steeds op de middens van die deelintervalletjes evalueert, moet je dus het volgende berekenen:
Terwijl
Dus dat zit nog redelijk in de buurt, ondanks het feit dat ik zulke grote deelintervallen heb genomen en je functie zo ontzettend hard stijgt .
hij zit grappig te doen, hij streept de n van sin(x) wegquote:Op zondag 13 mei 2012 13:27 schreef thenxero het volgende:
Lees je eigen post nog maar eens na, hier kan ik niks mee
Ik snap het nu pas... Beetje jammer dat hij 1/n erbij optelt in plaats van vermenigvuldigtquote:Op zondag 13 mei 2012 13:50 schreef jabbahabba het volgende:
[..]
hij zit grappig te doen, hij streept de n van sin(x) weg
aightquote:
Waar ik *1 doe moet het *0.1 worden. En je evalueert f dus op 2.05, 2.15, 2.25, ..., 23.95.quote:
k=2 is de eerste term in de som, k=5 de laatste in dat geval. Niet per se aantal rechthoeken -1.quote:Op zondag 13 mei 2012 14:15 schreef Amoeba het volgende:
Ik heb wel WisD, maar ook rijen is al een jaar terug. Ik heb dit jaar WisB gedaan (in 2 jaar) en volgend jaar WisD (dus ook in 2 jaar, omdat ik dit jaar geen WisD gedaan heb)
En jawel, ook die rotzooi stond in m'n GR
Maargoed, dat k=2, is dat het onderste limiet?
Die 5, staat dat voor het aantal rechthoeken -1?
Dit is nice, maar hoe moet het met een interval van 0.1?quote:Op zondag 13 mei 2012 13:19 schreef thenxero het volgende:
Op Thabits manier krijg je een bovensom en ondersom (dus een bovengrens en ondergrens voor de integraal). Je kan ook steeds op ieder interval [xk, xk+1] de waarden in het midden nemen en daar f evalueren. Dan krijg je iets wat direct wat dichter bij de integraal zal zitten dan de ondersom of bovensom, en het is ook wat makkelijker te berekenen omdat je niet het supremum of infimum op ieder intervalletje hoeft te bepalen (dan moet je steeds nagaan of de functie daalt of stijgt op dat interval, etc).
Voorbeeld: Je moet het interval [2,24] opdelen in kleine deelintervalletjes. Je kan als grootte van die deelintervalletjes bijvoorbeeld 1 nemen (hoe kleiner, hoe dichter je bij de werkelijke integraal komt). Als je f dan steeds op de middens van die deelintervalletjes evalueert, moet je dus het volgende berekenen:
Terwijl
Dus dat zit nog redelijk in de buurt, ondanks het feit dat ik zulke grote deelintervallen heb genomen en je functie zo ontzettend hard stijgt .
quote:Op zondag 13 mei 2012 14:23 schreef thenxero het volgende:
Ik heb het net al een keer voorgedaan, dus nu mag jij.
Is dat niet goed danquote:Op zondag 13 mei 2012 13:50 schreef jabbahabba het volgende:
[..]
hij zit grappig te doen, hij streept de n van sin(x) weg
Nee, als je dit had gezegd was het wel goed geweest:quote:
quote:Op zondag 13 mei 2012 14:37 schreef thenxero het volgende:
[..]
Nee, als je dit had gezegd was het wel goed geweest:
Volgende keer beter
Je moet geen { } haken gebruiken. Daardoor gaat wolframalhpa de mist in.quote:
Ohquote:Op zondag 13 mei 2012 14:37 schreef thenxero het volgende:
[..]
Nee, als je dit had gezegd was het wel goed geweest:
Volgende keer beter
Omdat ik het interval van 2 tot 24 wilde..quote:Op zondag 13 mei 2012 14:40 schreef thenxero het volgende:
[..]
Je moet geen { } haken gebruiken. Daardoor gaat wolframalhpa de mist in.
Je begin en eindwaardes van k kloppen niet. Waarom heb je die zo gekozen?
Ziet er prima uit hoor.quote:Op zondag 13 mei 2012 14:44 schreef PizzaGeit het volgende:
[ afbeelding ]
Dit is dan ook weer niet goed zeker
Als je sommeert van k=2 tot k=24, dan is dus je het eerste midden van de deelintervalletjes bij 2+0.5*2 = 3, en de laatste bij 2+0.5*24 = 14. Je "integreert" dus eigenlijk van 2.75 tot 14.25 op deze manier.quote:Op zondag 13 mei 2012 14:44 schreef Amoeba het volgende:
[tex]
[..]
Omdat ik het interval van 2 tot 24 wilde..
Xk klopt wel?
Ik toch echt maar 3.0.. Maar dat heeft vast weer met staatsexamen te maken.quote:Op zondag 13 mei 2012 15:47 schreef Amoeba het volgende:
Genoeg tijd op het centraal examen, 3.5 uur voor Wiskunde B. Harstikke bedankt.
Ik dacht het wel, want ik meen me te herinneren dat de GR soms niet het precieze antwoord gaf bij het controleren van een integraal (dus dat de GR bijvoorbeeld 1.0001 als antwoord gaf terwijl het gewoon 1 moest zijn). Daarnaast is er dacht ik ook geen analytische methode die voor elke integraal werkt (want er bestaat niet altijd een integraal).quote:Op zondag 13 mei 2012 15:35 schreef Amoeba het volgende:
-470,825 bij de somrij
-470,833 bij de integraal.
Hoe lost je GR eigenlijk een integraal op, een somrij toch gewoon?
Mijn primitieve komt uit op -2025/6 Hetzelfde als de integraal dus.
Speciaal onderwijs. Ieder examen een half uur langer!quote:Op zondag 13 mei 2012 15:48 schreef dramatic het volgende:
[..]
Ik toch echt maar 3.0.. Maar dat heeft vast weer met staatsexamen te maken.
Je bedoelt dat een primitieve niet altijd in elementaire functies is uit te drukken, dat is iets anders dan beweren dat er geen primitieve is.quote:Op zondag 13 mei 2012 15:49 schreef kutkloon7 het volgende:
[..]
Ik dacht het wel, want ik meen me te herinneren dat de GR soms niet het precieze antwoord gaf bij het controleren van een integraal (dus dat de GR bijvoorbeeld 1.0001 als antwoord gaf terwijl het gewoon 1 moest zijn). Daarnaast is er dacht ik ook geen analytische methode die voor elke integraal werkt (want er bestaat niet altijd een integraal).
Er hoort pi²/6 uit te komen, maar de GR geeft wel wat anders: 1.644828 ipv 1.64493. Komt inderdaad doordat de GR het altijd numeriek doet.quote:Op zondag 13 mei 2012 17:29 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je bedoelt dat een primitieve niet altijd in elementaire functies is uit te drukken, dat is iets anders dan beweren dat er geen primitieve is.
Overigens denk ik dat een doodgewone GR wellicht altijd numerieke methoden gebruikt voor het evalueren van definiete integralen. Wat WolframAlpha doet is een stuk geavanceerder, want die weet ook voor sommige oneigenlijke integralen en integralen waarbij een primitieve niet in elementaire functies is uit te drukken toch het exacte antwoord te produceren. Vaak komt dat antwoord dan ietsje later pas op je scherm, namelijk nadat er al een numeriek antwoord is verschenen. Dat duidt erop dat WolframAlpha gebruik maakt van een bibliotheek met 'bekende' integralen die exact zijn te evalueren ook als een primitieve niet in elementaire functies is uit te drukken.
Probeer eens wat je GR hiervan bakt:
∫01 ln(x)/(x-1)dx
Is deze met behulp van partieël integreren algebraïsch te doen?quote:Op zondag 13 mei 2012 17:29 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je bedoelt dat een primitieve niet altijd in elementaire functies is uit te drukken, dat is iets anders dan beweren dat er geen primitieve is.
Overigens denk ik dat een doodgewone GR wellicht altijd numerieke methoden gebruikt voor het evalueren van definiete integralen. Wat WolframAlpha doet is een stuk geavanceerder, want die weet ook voor sommige oneigenlijke integralen en integralen waarbij een primitieve niet in elementaire functies is uit te drukken toch het exacte antwoord te produceren. Vaak komt dat antwoord dan ietsje later pas op je scherm, namelijk nadat er al een numeriek antwoord is verschenen. Dat duidt erop dat WolframAlpha gebruik maakt van een bibliotheek met 'bekende' integralen die exact zijn te evalueren ook als een primitieve niet in elementaire functies is uit te drukken.
Probeer eens wat je GR hiervan bakt:
∫01 ln(x)/(x-1)dx
Nee.quote:Op zondag 13 mei 2012 17:52 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Is deze met behulp van partieël integreren algebraïsch te doen?
Uhuh, dat bedoel ik inderdaad (hoewel er natuurlijk ook functies zonder primitieve zijn, maar dat is weer een ander verhaal want die zijn dan niet continu).quote:Op zondag 13 mei 2012 17:29 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je bedoelt dat een primitieve niet altijd in elementaire functies is uit te drukken, dat is iets anders dan beweren dat er geen primitieve is.
Bedoel je de karakteristieke polynoom van een matrix?quote:Op zondag 13 mei 2012 15:59 schreef thenxero het volgende:
Heb je al de methode geprobeerd met karakteristieke polynoom, particuliere oplossing, etc? (komt op hetzelfde neer als genererende functies, maar dan sneller)
Je hebt gelijk, dat werkt alleen bij lineaire recurrente betrekkingen. Het enige wat ik zou kunnen bedenken is wat proberen met een genererende functie... misschien komt er wat moois uit maar misschien ook niet.quote:Op zondag 13 mei 2012 18:01 schreef kutkloon7 het volgende:
[..]
Bedoel je de karakteristieke polynoom van een matrix?
Ik zou niet weten hoe dat werkt, bij een kwadratische functie.
Je zou kunnen beginnen met te bedenken dat:quote:Op zondag 13 mei 2012 20:47 schreef Uchiha1911 het volgende:
Snel vraagje: wat is de primitieve van 32x?
De afgeleide hiervan is 32x x ln(3) x 2 (door differentiëren), maar uit de primitieve kom ik niet. Hier is ook een regel voor lijkt me?
Hartstikke bedankt! Dat zou betekenen dat het 1/ln(9) x ex wordt?quote:Op zondag 13 mei 2012 22:13 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je zou kunnen beginnen met te bedenken dat:
32x = (32)x = 9x
Het is dus gewoon een exponentiële functie, en aangezien 9 = eln 9 heb je dus:
32x = 9x = (eln 9)x = ex∙ln 9
Nu zou het je geen moeite meer mogen kosten hiervan een primitieve op te schrijven.
Nee, een primitieve van ex∙ln 9 is 1/ln(9)∙ex∙ln 9.quote:Op maandag 14 mei 2012 09:05 schreef Uchiha1911 het volgende:
[..]
Hartstikke bedankt! Dat zou betekenen dat het 1/ln(9) ∙ ex wordt?
Ok, dank! Ik hoopte dat er misschien een bekende methode was om dit soort recurrente betrekkingen op te lossen, maar ik dacht al dat veel niet-lineaire recurrente betrekkingen niet echt 'op te lossen' zijn.quote:Op zondag 13 mei 2012 18:06 schreef thenxero het volgende:
[..]
Je hebt gelijk, dat werkt alleen bij lineaire recurrente betrekkingen. Het enige wat ik zou kunnen bedenken is wat proberen met een genererende functie... misschien komt er wat moois uit maar misschien ook niet.
Je hebt een beetje hetzelfde probleem als bij differentiaalvergelijkingen: vaak is er gewoon geen analytische oplossing.
Is in het algemeen niet te doen, alleen in speciale gevallen. Dit soort kwadratische recursies spelen zelfs een belangrijke rol in de chaostheorie. Je kunt er ook fractals mee maken, zoals de Mandelbrotverzameling.quote:Op maandag 14 mei 2012 14:35 schreef kutkloon7 het volgende:
[..]
Ok, dank! Ik hoopte dat er misschien een bekende methode was om dit soort recurrente betrekkingen op te lossen, maar ik dacht al dat veel niet-lineaire recurrente betrekkingen niet echt 'op te lossen' zijn.
Tja, da's een leuke. Als kutkloon nu z'n goniometrische identiteiten maar goed kent ...quote:Op maandag 14 mei 2012 18:25 schreef thabit het volgende:
[..]
Is in het algemeen niet te doen, alleen in speciale gevallen. Dit soort kwadratische recursies spelen zelfs een belangrijke rol in de chaostheorie. Je kunt er ook fractals mee maken, zoals de Mandelbrotverzameling.
Een voorbeeld van eentje die nog wel te doen is (ik verklap de oplossing nog niet):
a1 = 1/3, an+1 = 2an2 - 1.
Sorry. Ik bedoelde naar links.quote:Op zaterdag 19 mei 2012 21:24 schreef GlowMouse het volgende:
Je krijgt 2x = pi - (pi/2 - 3x) + k*2pi, welke - gaat er naar rechts?
Dat is het natuurlijk... Wat stom dat ik dit niet zelf kon bedenken. Dank u!quote:Op zaterdag 19 mei 2012 21:24 schreef thenxero het volgende:
Je mag altijd beide leden met -1 vermenigvuldigen als je dat bedoelt
Je moet bedenken dat als je hebt:quote:Op zaterdag 19 mei 2012 21:26 schreef Aardappel2610 het volgende:
[..]
Sorry. Ik bedoelde naar links.
[..]
Dat is het natuurlijk... Wat stom dat ik dit niet zelf kon bedenken. Dank u!
Ik zie je post nu pas, leuke post welquote:Op maandag 14 mei 2012 18:25 schreef thabit het volgende:
[..]
Is in het algemeen niet te doen, alleen in speciale gevallen. Dit soort kwadratische recursies spelen zelfs een belangrijke rol in de chaostheorie. Je kunt er ook fractals mee maken, zoals de Mandelbrotverzameling.
Een voorbeeld van eentje die nog wel te doen is (ik verklap de oplossing nog niet):
a1 = 1/3, an+1 = 2an2 - 1.
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Zonder die hint van Riparius weet ik niet of ik het zou snappen
[ Bericht 4% gewijzigd door kutkloon7 op 19-05-2012 22:47:59 ]
Het kan eenvoudiger, daarom gaf ik kutkloon ook goniometrische identiteiten als hint.quote:Op zaterdag 19 mei 2012 22:51 schreef thenxero het volgende:
Vet dat dat met zo'n goniometrische substitutie kan. Ik had zo'n substitutie denk ik nooit zelf bedacht.
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 19-05-2012 23:19:36 ]
quote:Op zaterdag 19 mei 2012 23:13 schreef Riparius het volgende:
[..]
Het kan eenvoudiger, daarom gaf ik kutkloon ook goniometrische identiteiten als hint.Slim, ziet er een stuk minder mysterieus uitSPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
(Had ik maar even de moeite genomen om het als cosinus op te schrijven, ik had er nog aan gedacht )
[ Bericht 5% gewijzigd door kutkloon7 op 19-05-2012 23:24:46 ]
Zie je post nu pas, dank!quote:Op vrijdag 11 mei 2012 21:40 schreef Riparius het volgende:
[..]
De vergelijkingen die je geeft stellen in de driedimensionale ruimte vlakken voor, geen lijnen, dus hier gaat het al fout.
Het idee is dat je eerst een normaalvector n bepaalt van je vlak V. Dat is een vector die loodrecht op het vlak staat. Is nu v = (x,y,z) een willekeurige vector met eindpunt in je vlak V en v0 = (x0,y0,z0) een vaste vector met eindpunt in je vlak, dan is vector v - v0 evenwijdig aan je vlak en staat deze verschilvector dus loodrecht op je normaalvector n, zodat het inproduct van v- v0 en n gelijk is aan nul:
(1) n∙(v - v0) = 0
En dus geldt ook:
(2) n∙v = n∙v0
Een vaste vector v0 met eindpunt in je vlak V ken je al omdat je immers de drie punten A,B en C kent die in vlak V liggen, zodat je hier voor v0 bijvoorbeeld de vector a = (2,0,0) zou kunnen nemen zodat x0 =2, y0 = 0 en z0 = 0.
De kunst is nu om een geschikte normaalvector n = (a,b,c) te bepalen want dan kun je voor (1) schrijven:
(3) a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0,
en voor (2) kun je schrijven:
(4) ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0,
en (3) of (4) is uiteraard de gezochte cartesische vergelijking van je vlak. Om nu een geschikte normaalvector n = (a,b,c) en daarmee de waarden van a,b en c te vinden kun je bedenken dat n loodrecht staat op zowel de verschilvector b - a als de verschilvector c - a, aangezien deze beide verschilvectoren evenwijdig zijn aan vlak V. En dus moet het inproduct van n = (a,b,c) met zowel b - a = (-2,3,0) als c - a = (-2,0,4) gelijk zijn aan nul. Dit geeft:
(5a) -2a + 3b = 0
(5b) -2a + 4c = 0
Hier heb je twee lineaire vergelijkingen in drie onbekenden a, b en c, en dus lijkt het alsof je nog één lineaire vergelijking tekort komt. Maar dat is niet zo, want als we n met een scalar vermenigvuldigen, dan hebben we nog steeds een vector die loodrecht op vlak V staat, dus zijn a,b,c niet eenduidig bepaald. Dat is ook meteen duidelijk uit de cartesische vergelijking (3) want als je hier beide leden met een getal ongelijk nul vermenigvuldigt, dan heb je nog steeds een geldige cartesische vergelijking van je vlak V.
We kunnen nu met (5a) en (5b) de waarde van a en b uitdrukken in c. Uit (5b) volgt dat a = 2c en substitutie hiervan in (5a) levert b = (4/3)∙c en dus hebben we n = (2c, (4/3)∙c, c). Kiezen we nu bijvoorbeeld c = 3, dan krijgen we n = (6, 4, 3). Op grond van (3) wordt de cartesische vergelijking van je vlak V nu:
(6) 6(x - 2) + 4(y - 0) + 3(z - 0) = 0,
en uitwerken hiervan geeft:
(7) 6x + 4y + 3z = 12
Je kunt nu door invullen gemakkelijk controleren dat de coördinaten van de punten A, B en C inderdaad aan (7) voldoen. Overigens hadden we in dit speciale geval de vergelijking van het vlak direct uit het hoofd kunnen opschrijven in de vorm (1/2)∙x + (1/3)∙y + (1/4)∙z = 1 omdat van elk van de drie gegeven punten A resp. B resp. C alleen de x- resp. y- resp. z-coördinaat ongelijk is aan nul. Maar in het algemeen is dat uiteraard niet zo als je de cartesische vergelijking van een vlak door drie gegeven punten op moet stellen.
Ik heb nog wel een klassieker voor je (niet door mij bedacht dus) waar je eens je tanden in kunt zetten:quote:Op zaterdag 19 mei 2012 22:51 schreef thenxero het volgende:
Vet dat dat met zo'n goniometrische substitutie kan. Ik had zo'n substitutie denk ik nooit zelf bedacht.
Nasty, ik dacht aan een simpele benadering, maar dan blijf ik hangen op de vergelijking h3-3h+1=0quote:Op zondag 20 mei 2012 21:06 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ik heb nog wel een klassieker voor je (niet door mij bedacht dus) waar je eens je tanden in kunt zetten:
We hebben een halve bol, waarvan we de straal voor het gemak gelijk aan één veronderstellen. Deze halve bol verdelen we nu door een vlak evenwijdig aan het deelvlak in twee delen met gelijke inhoud. Bereken de afstand van het deelvlak tot het middelpunt van de halve bol.
Gevraagd wordt een exacte uitdrukking voor de bedoelde afstand, dus geen numerieke benadering.
Is het antwoord sin(1/3) ?quote:Op zondag 20 mei 2012 21:06 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ik heb nog wel een klassieker voor je (niet door mij bedacht dus) waar je eens je tanden in kunt zetten:
We hebben een halve bol, waarvan we de straal voor het gemak gelijk aan één veronderstellen. Deze halve bol verdelen we nu door een vlak evenwijdig aan het deelvlak in twee delen met gelijke inhoud. Bereken de afstand van het deelvlak tot het middelpunt van de halve bol.
Gevraagd wordt een exacte uitdrukking voor de bedoelde afstand, dus geen numerieke benadering.
Ik kom uit op a3 -3a + 3 = 0quote:Op zondag 20 mei 2012 21:49 schreef Don_Vanelli het volgende:
[..]
Nasty, ik dacht aan een simpele benadering, maar dan blijf ik hangen op de vergelijking h3-3h+1=0
Die heeft als enige reële oplossing iets van -2...quote:
Wat doe ik fout?quote:Op zondag 20 mei 2012 23:26 schreef thenxero het volgende:
[..]
Die heeft als enige reële oplossing iets van -2...
Dit is de formule van een cilinder, niet van een bol.quote:Op zondag 20 mei 2012 23:29 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Wat doe ik fout?
De inhoud van een bol is 4/3pi. De inhoud van de halve bol met middelpunt M op de oorsprong (0 , 0). dus 2/3pi.
Dan neem ik de formule x2 + y2 = 1, druk x uit in y.
quote:Op zondag 20 mei 2012 23:33 schreef kutkloon7 het volgende:
[..]
Dit is de formule van een cilinder, niet van een bol.
Een bol is 3-dimensionaal, en je hebt nergens een z-coordinaat in je formule gebruikt.quote:
Om exact te zijn. Dit is de formule van de eenheidscirkel, wat bij wentelen om de x-as een bol geeft.quote:Op zondag 20 mei 2012 23:33 schreef kutkloon7 het volgende:
[..]
Dit is de formule van een cilinder, niet van een bol.
Nope. Ik geef de integraal. Ik ga uit van een tweedimensionale figuur die ik vervolgens om de x-as ga wentelen. Dit geeft dus de inhoud van een bol!quote:Op zondag 20 mei 2012 23:35 schreef kutkloon7 het volgende:
[..]
Een bol is 3-dimensionaal, en je hebt nergens een z-coordinaat in je formule gebruikt.
Ah, ok. Dan begrijp ik gewoon niet helemaal wat je precies deedquote:Op zondag 20 mei 2012 23:36 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Om exact te zijn. Dit is de formule van de eenheidscirkel, wat bij wentelen om de x-as een bol geeft.
Dat kan je in principe exact oplossen (wel lelijk).quote:Op zondag 20 mei 2012 23:47 schreef Amoeba het volgende:
Godverdomme, ik vermenigvuldig 2x met 3 bij c. Inderdaad, de vergelijking is x^3 - 3x + 1 = 0
Je bent zeker op de goede weg. Zoals inmiddels duidelijk is leidt het probleem tot een kubische vergelijking en die kun je in principe oplossen met de methode die aan Cardano wordt toegeschreven (maar niet van hem is), en dat is wat je hier ook doet. Maar nu loop je stuk op die negatieve discriminant ...quote:Op maandag 21 mei 2012 00:11 schreef Amoeba het volgende:
Riparius, dan ga ik met de ABCD formule aan de gang.
Ik heb staan:
a3 -3a + 1 = 0
Grafisch geeft dit het juiste antwoord.
Nou goed, gaan we hier de ABCD formule op loslaten.
a = m+n
(m+n)3 -3(m+n) + 1 = 0
Dus
m3 + n3 + 3mn(m+n) -3(m+n) + 1 = 0
Dus 3mn = 3 ergo mn = 1
n = 1/m
Dus
m3 + 1/m3 + 1 = 0
Vermeningvuldigen met m3
m6 + m3 + 1 = 0
Substitutie naar q.
q = m3
q2 + q + 1 = 0
D = b2 -4ac
D = -3
Of moet ik hiermee verder rekenen..?
i*wortel 3. Ik ga verder.quote:Op maandag 21 mei 2012 00:16 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je bent zeker op de goede weg. Zoals inmiddels duidelijk is leidt het probleem tot een kubische vergelijking en die kun je in principe oplossen met de methode die aan Cardano wordt toegeschreven (maar niet van hem is), en dat is wat je hier ook doet. Maar nu loop je stuk op die negatieve discriminant ...
Tja, je GR zegt zoveel, maar de bedoeling was een exacte uitdrukking te geven, en het is toch duidelijk dat het antwoord reëel moet zijn en op het interval (0,1) moet liggen. Toch zit je best dichtbij.quote:Op maandag 21 mei 2012 00:35 schreef Amoeba het volgende:
Nougoed, dan heb ik q = -.5 ± .5 i rt 3
Als ik dan alles terugreken naar a kom ik uit op in beide gevallen uit op 1,53 (zegt mijn GR)
Ik zat nu wel op wolframalpha naar het definitieve antwoord te kijken, maar nee, geen idee hoe ze daaraan komen.
Het lijkt erop alsof je hier het interval waarover je r neemt als constant beschouwt, maar dat is niet zo als je p varieert ...quote:Op maandag 21 mei 2012 00:45 schreef thenxero het volgende:
Ik snap trouwens niet waar het bij mij mis gaat. Ik probeerde bolcoördinaten toe te passen en dan bereken je dus
Je hebt de substitutie x = m + n gemaakt en onder de voorwaarde mn = 1 de waarden van m3 en n3 gevonden. Nu is het dus inderdaad zaak m en n te vinden, maar hoe ...quote:Op maandag 21 mei 2012 01:08 schreef Amoeba het volgende:
Ik snap je redenatie, maar uiteindelijk staan alle regels waar m en n aan moeten voldoen hier op papier. Blijkbaar wil je op een andere manier van n = 1/m n en m 'ontrafelen'?
Je doet het goed hoor, en wat je zegt klopt, m3 en n3 zijn elkaars kwadraat ...quote:
Ik begrijp dat je het een fascinerend probleem vindt, en je zit ook op de goede weg, maar ik zou als ik jou was nu toch maar gaan slapen, anders is het zo half vijf en heb je geen bed gezien.quote:Op maandag 21 mei 2012 01:36 schreef Amoeba het volgende:
Dit is werkelijk echt wazig. Leuk probleempje zadel je me mee op, en ik kan bijna niet slapen voordat ik dit heb opgelost. Om half 5 eruit, en daarna een hele dag naar school...
Dat is correct.quote:Op maandag 21 mei 2012 08:21 schreef Don_Vanelli het volgende:
Het heeft me een uur van mn leven gekost, maar volgens mij is het antwoord dat de afstand tot de oorsprong gelijk is aan
Ik moet toch uitkomen op een dikke gare wortel met 500x i? Of is dat te 'vereenvoudigen' tot 2cos4pi/9?quote:Op maandag 21 mei 2012 09:45 schreef Riparius het volgende:
[..]
Dat is correct.
Maar verklap nog maar niet hoe je het hebt gedaan, dan kan Amoeba nog even door puzzelen.
Je hebt twee complexe getallen m3 = -½ + i∙½√3 en n3 = -½ - i∙½√3 en je probleem is nu dat je van deze twee complexe getallen de derdemachtswortels moet bepalen. Maar dat is niet zuiver algebraïsch te doen en dat is precies waarop je stuk loopt.quote:Op maandag 21 mei 2012 09:57 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Ik moet toch uitkomen op een dikke gare wortel met 500x i? Of is dat te 'vereenvoudigen' tot 2cos4pi/9?
Inderdaad, daar komt het wel op neer, dat heb je snel gevonden (er zijn natuurlijk drie reële wortels, maar deze moet je hebben).quote:Op maandag 21 mei 2012 10:10 schreef Amoeba het volgende:
Meh.
m3 = -1/2 - 1/2i√3
3*argz = 240 graden, dus arg z = 80 graden.
m = cos80 + i*sin80
n = 1/m
a = m+n
cos 80 + isin80 + 1/(cos80 + i*sin80)
Ah, je zit in mijn postgeschiedenis te kijken? Sorry, maar ik beantwoord geen privé vragen.quote:Op maandag 21 mei 2012 10:18 schreef Amoeba het volgende:
(cos80 + i sin80)-1 = cos-80 + isin-80
cos-x = cosx
sin-x = -sinx
Gonio + De Moivre.
Maar even een vraagje uit nieuwsgierigheid, wat heb jij (allemaal) gestudeerd?
Neen. Ik kwam toevallig je post tegen bij de vraag over dat gedicht van (Schrijver?), ik zie je regelmatig in DIG en hier. Sorry, ik was enkel benieuwd.quote:Op maandag 21 mei 2012 10:20 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ah, je zit in mijn postgeschiedenis te kijken? Sorry, maar ik beantwoord geen privé vragen.
Ohja, het volgens mij integreer ik nu een stuk van de bol waaruit nog een kegel ontbreekt. Dat zou je er wel weer bij op kunnen tellen: 1/3 pi r² h, met r=cos(p), h=sin(p). Dan krijg jequote:Op maandag 21 mei 2012 01:05 schreef Riparius het volgende:
[..]
Het lijkt erop alsof je hier het interval waarover je r neemt als constant beschouwt, maar dat is niet zo als je p varieert ...
Je maakt het allemaal veel te moeilijk met die drievoudige integraal, want eigenlijk maak je gebruik van het feit dat de oppervlakte van een cirkel met straal r gelijk is aan:quote:Op maandag 21 mei 2012 11:13 schreef thenxero het volgende:
[..]
Ohja, het volgens mij integreer ik nu een stuk van de bol waaruit nog een kegel ontbreekt. Dat zou je er wel weer bij op kunnen tellen
Nou ja, dilemma's, het is gewoon een opgave (uit het boek Beknopte Hoogere Algebra van Fred Schuh uit 1926, p. 287 als je het precies wil weten). Maar probeer eerst eens of je die kubische vergelijking op kunt lossen met een goniometrische substitutie, dus zonder gebruik van complexe getallen. Of kijk eens of je verder komt met de aanpak van thenxero.quote:Op maandag 21 mei 2012 12:56 schreef Amoeba het volgende:
Maargoed, heb je nog meer van zulke interessante dilemma's?
Post hier maar. Als ik het niet weet op te lossen dan iemand anders wellicht wel. Is altijd leerzaam, ook voor de meelezers.quote:
Ja leuk, dan kan ik weer domme opmerkingen maken enzo.quote:Op maandag 21 mei 2012 13:33 schreef Riparius het volgende:
[..]
Post hier maar. Als ik het niet weet op te lossen dan iemand anders wellicht wel. Is altijd leerzaam, ook voor de meelezers.
Wat had je precies ingevoerd bij WolframAlpha?quote:Op maandag 21 mei 2012 13:30 schreef Amoeba het volgende:
Ik heb er nog wel een voor jou als je wil? Maar hoe kon ik nou uitkomen op die oplossing van Wolframalpha, ofwel dat 'wortelantwoord'? Daar wil ik nog wel mee verder. Een zetje, gaarne.
De kubische functie. Naar de exacte antwoorden gekeken, ofwel de middelste daarvan die op het gevraagde interval ligt.quote:Op maandag 21 mei 2012 13:37 schreef Riparius het volgende:
[..]
Wat had je precies ingevoerd bij WolframAlpha?
Als ik even kijk dan zie ik daar op het eerste gezicht geen interessant of elegant antwoord uitkomen, dus óf je hebt de opgave verkeerd overgenomen, óf ik mis iets.quote:Op maandag 21 mei 2012 13:38 schreef Amoeba het volgende:
Goed, het gaat over een driehoek.
De oppervlakte O wordt gegeven door een functie:
O = sin(2a) + sin(a)√(21+4cos2(a))
Bereken exact de maximale waarde van O met behulp van differentieren. Met berekening gaarne, numeriek oplossen is te simpel.
Je mist iets. Dit was een vraag op mijn proefwerk, om dit numeriek op te lossen. Maar zoals gegeven, eerst differentieren. De afgeleide moet 0 zijn.quote:Op maandag 21 mei 2012 13:51 schreef Riparius het volgende:
[..]
Als ik even kijk dan zie ik daar op het eerste gezicht geen interessant of elegant antwoord uitkomen, dus óf je hebt de opgave verkeerd overgenomen, óf ik mis iets.
OK. Dit is gewoon wat je met de formule's van Cardano krijgt. Je had:quote:Op maandag 21 mei 2012 13:40 schreef Amoeba het volgende:
[..]
De kubische functie. Naar de exacte antwoorden gekeken, ofwel de middelste daarvan die op het gevraagde interval ligt.
Dan kom ik inderdaad ook uit op q³-3q+1=0 met q=sin(p) .quote:Op maandag 21 mei 2012 12:35 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je maakt het allemaal veel te moeilijk met die drievoudige integraal, want eigenlijk maak je gebruik van het feit dat de oppervlakte van een cirkel met straal r gelijk is aan:
∫02π ∫0r ρdρdθ
Je kunt veel beter een enkelvoudige integraal met ϕ als variabele opstellen.
Ik krijg een beetje een punthoofd van WolframAlpha, want die wil mijn bolcoördinaten met (r,θ,ϕ) niet herkennen, dus ik heb me even moeten behelpen met f voor ϕ, maar de integraal die je zoekt is deze.
Maar goed, dat is alleen om even te laten zien wat je dan krijgt. Voor p = π/2 krijg je het volume van de halve bol, zijnde (2/3)∙π.
Eenvoudiger gaat het als volgt. Beschouw een snijvlak op een hoogte h vanaf het grondvlak van de halve bol en zij r de straal van de snijcirkel. Dan hebben we:
r = cos ϕ,
en:
h = sin ϕ,
dus ook:
dh = cos ϕ∙dϕ
Dit geeft voor de volumedifferentiaal dV:
dV = π∙r2∙dh = π∙cos3ϕ∙dϕ
En dus krijgen we voor het volume V met ϕ = p:
∫0p π∙cos3ϕ∙dϕ
Je kunt nu gemakkelijk in WolframAlpha nagaan (weer met f voor ϕ) dat dit precies hetzelfde resultaat oplevert als die onnodig lastige drievoudige integraal.
Er valt niet zoveel te vereenvoudigen. Je kan het kwadraat loslaten op de teller en noemer... maar of het daar eenvoudiger van wordt...quote:Op maandag 21 mei 2012 17:13 schreef gogosweden het volgende:
een wss heel domme vraag van mij hier:
hoe vereenvoudig je het volgende?
?
hmm daar heb je wel een punt.quote:Op maandag 21 mei 2012 17:16 schreef thenxero het volgende:
[..]
Er valt niet zoveel te vereenvoudigen. Je kan het kwadraat loslaten op de teller en noemer... maar of het daar eenvoudiger van wordt...
ohja klopt. Best simpel eigelijk, bedankt!quote:
Dat de mediaan het 45e getal is begrijp ik, maar ik snap niet hoe je dan bij 200 komt. Misschien dom, ik weet hetquote:Op maandag 21 mei 2012 18:14 schreef bezemsteeltaart het volgende:
mediaan is het middelste getal bij een onevenreeks, bij een even reeks het gemiddelde van de 2 middelste waarnemingen.
Dus hier is je mediaan het 45e getal, dus 200.
Mij werden de brieven overhandigd.quote:Op maandag 21 mei 2012 18:19 schreef obsama het volgende:
Is het:
Mij werd de brieven overhandigd / Mij werden de brieven overhandigd (werden toch ?! Maar twijfel nu inees)
Volgens mij heb ik hem (bijna) gevonden. Je gebruikt wat gonio om alle sinussen in cosinussen te veranderen. Dan substitueer je p=cos²(a), en dat geeft een tweedegraadsvergelijking met als oplossingenquote:Op maandag 21 mei 2012 13:56 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Je mist iets. Dit was een vraag op mijn proefwerk, om dit numeriek op te lossen. Maar zoals gegeven, eerst differentieren. De afgeleide moet 0 zijn.
Numeriek oplossen geeft O = 5. Dit gaf ons de drive om dit proberen exact te doen. Wat gelukt is.
Zet de getallen op een rijtje (van klein naar groot). Wat is het 45e getal?quote:Op maandag 21 mei 2012 18:16 schreef Wicky15 het volgende:
[..]
Dat de mediaan het 45e getal is begrijp ik, maar ik snap niet hoe je dan bij 200 komt. Misschien dom, ik weet het
3+4 is geen 17quote:Op maandag 21 mei 2012 18:18 schreef bezemsteeltaart het volgende:
je hebt een reeks waarnemingen, ik zal even een voorbeeld geven: 3 5 8 9 11 15
Mediaan= de middelste waarneming van de reeks.
Gemiddelde= spreekt voor zich denk ik.
Hier heb je 6 waarnemingen, de mediaan is dan waarneming (3+4)/2= 17/2 = 8,5
Vaak wordt een mediaan gebruikt om de verdeling van de getallen aan te geven, de mediaan kan 3 zijn, maar door een hele hoge uitschieter kan het gemiddelde op 11 komen te liggen. Het wordt gebruikt om de verdeling van de waarnemingen weer te geven zegmaar. Correct me if im wrong iemand.
Oké top bedankt Excuses trouwens, had niet gelezen dat dit voor wiskunde vraagstukken was.quote:Op maandag 21 mei 2012 18:20 schreef Wicky15 het volgende:
[..]
Mij werden de brieven overhandigd.
Onderwerp is 'de brieven', dus moet pv ook in meervoud staan.
Welke getallen? De frequentie of inhoud in ml?quote:Op maandag 21 mei 2012 18:21 schreef thenxero het volgende:
[..]
Zet de getallen op een rijtje (van klein naar groot). Wat is het 45e getal?
Duidelijk, maar om dat nou elke keer uit te schrijven is ook niet de bedoeling denk ik. Kan je aan de frequentietabel zien wat het 45e getal is?quote:Op maandag 21 mei 2012 18:28 schreef bezemsteeltaart het volgende:
nou ej zou dan 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 .......................................... 500 500 500
dus je hebt de frequentie, hoevaak iets voorkomt, uitgeschreven in die getallen. Het 45e getal is dus 200
Tel alle frequenties bij elkaar op, dan kom je op 89, het middelste getal is het getal tussen 44 en 46, dus 45, de 45e waarneming is de laatste 200quote:Op maandag 21 mei 2012 18:30 schreef Wicky15 het volgende:
[..]
Duidelijk, maar om dat nou elke keer uit te schrijven is ook niet de bedoeling denk ik. Kan je aan de frequentietabel zien wat het 45e getal is?
Ah ja, ik zie het.quote:Op maandag 21 mei 2012 18:36 schreef bezemsteeltaart het volgende:
[..]
Tel alle frequenties bij elkaar op, dan kom je op 89, het middelste getal is het getal tussen 44 en 46, dus 45, de 45e waarneming is de laatste 200
De leukste opgaves vind ik toch eigenlijk opgaves waarbij je weinig algebra nodig hebt, maar het probleem gewoon heel handig moet aanpakken waardoor een schijnbaar onmogelijk probleem opeens heel eenvoudig wordt.quote:Op maandag 21 mei 2012 18:34 schreef PizzaGeit het volgende:
@ Dat ''vraagstuk'' een paar bladzijde's geleden.
Kijk, dát is nou wat ik zo superleuk vind aan wiskunde. Heel lang bezig met een opgave, lekker puzzelen en dan úiteindelijk er zelf uitkomen, het gevoel dat je dan krijgt Dat is een van de redenen waarom ik graag een wiskundige studie, als TW of Econometrie wil gaan doen
Helaas mis ik nu gewoon wiskundekennis om het te volgen
Ik zie dat ik een stomme rekenfout heb gemaakt. Als ik die verbeter kom ik wel goed uit.quote:Op maandag 21 mei 2012 18:20 schreef thenxero het volgende:
[..]
Volgens mij heb ik hem (bijna) gevonden. Je gebruikt wat gonio om alle sinussen in cosinussen te veranderen. Dan substitueer je p=cos²(a), en dat geeft een tweedegraadsvergelijking met als oplossingen
en
Dus
Als ik dit weer invul in wolfram krijg ik helaas 4.99 in plaats van 5
Waarom maar dan ook waarom zou je a eruit halen?quote:Op maandag 21 mei 2012 19:20 schreef thenxero het volgende:
[..]
Ik zie dat ik een stomme rekenfout heb gemaakt. Als ik die verbeter kom ik wel goed uit.
Nu nog 5 eruit zien te krijgen
De beste opgaves zijn hordes vol algebra van een schijnbaar eenvoudige opgave. Zoals die bol, ik dacht serieus: Dat wordt peanuts.quote:Op maandag 21 mei 2012 18:43 schreef thenxero het volgende:
[..]
De leukste opgaves vind ik toch eigenlijk opgaves waarbij je weinig algebra nodig hebt, maar het probleem gewoon heel handig moet aanpakken waardoor een schijnbaar onmogelijk probleem opeens heel eenvoudig wordt.
Zodat je hem kan invullen... bijvoorbeeld als volgt:quote:Op maandag 21 mei 2012 19:26 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Waarom maar dan ook waarom zou je a eruit halen?
Cardano. En ze hebben er hopelijk wel van gehoord, maar kennen het niet uit hun hoofd. De meeste wiskundeprofessors zullen die formule ook niet uit hun hoofd kennen .quote:Op maandag 21 mei 2012 19:38 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Zelfs beide Wiskunde docenten op het VWO hier kennen die formule niet... (Calando)
Ja die gast heet Cardano. Ook wel grappig dat vanwege die formule de imaginaire getallen "in" zijn geraakt. Want toen realiseerde men zich dat imaginaire getallen wel degelijk betekenis/nut hadden, omdat het kan gebeuren dat je met die formule negatieve getallen in de wortel kan krijgen, terwijl de oplossing toch reëel is.quote:Op maandag 21 mei 2012 19:51 schreef Amoeba het volgende:
Oh, heet die gast Cardano.
Ik kan me toch herinneren dat wij hem anders uitgerekend hadden.
Nadat je inderdaad die discriminant had genomen en de oplossingen had, na wat geschuifel kwamen we toch op 2 nuttige vergelijkingen uit. Ik kom er morgen op terug. Na afgelopen nacht m'n kop over die bol gebroken te hebben mag ik wel wat uurtjes inhalen.
Maar het zal ongetwijfeld kloppen! 2/r29 komt inderdaad heel bekend voor
Meh, ik zat in de trein, maar ik heb hier op papier dezelfde berekening staanquote:Op maandag 21 mei 2012 19:42 schreef thenxero het volgende:
[..]
Zodat je hem kan invullen... bijvoorbeeld als volgt:
(noteer even x=2/sqrt(29))
Poepoe, wat een typwerk
Ik maak dus gebruik van sin(arccos(x))=sqrt(1-x^2). Dat kan je bewijzen met sin² z + cos² z =1 en dan z=arcos(x) te nemen.
a=4, en invullenquote:Op maandag 21 mei 2012 21:17 schreef Wicky15 het volgende:
stukje inleiding: Van een parabolöide is de straal a en de hoogte 3a. De inhoud is te berekenen met de formule inhoud = 4,71a³ (tot de macht 3 voor degene die het niet kunnen lezen)
vraag: Bereken de inhoud in cm³ van een parabolöide met een hoogte van 12 cm en een straal van 4 cm. Rond af op twee decimalen.
Hier snap ik werkelijk geen kut van, dus als iemand mij wil helpen, graag!
Die klopt, thanks. Zou je misschien willen uitleggen waarom a=4 ?quote:
een paraboloïde is een parabool die om de y-as is gewenteld?quote:Op maandag 21 mei 2012 21:26 schreef Wicky15 het volgende:
Van een parabolöide is de hoogte drie keer de straal. De inhoud is 185 cm³.
Bereken de straal van de parabolöide in mm.
Deze weet ik ook niet..
4,71a³ = 185 en dan oplossen voor a, en a is de straal (in cm).quote:Op maandag 21 mei 2012 21:26 schreef Wicky15 het volgende:
Van een parabolöide is de hoogte drie keer de straal. De inhoud is 185 cm³.
Bereken de straal van de parabolöide in mm.
Deze weet ik ook niet..
Yup.quote:Op maandag 21 mei 2012 21:27 schreef Don_Vanelli het volgende:
[..]
een paraboloïde is een parabool die om de y-as is gewenteld?
Ja. En ik denk dat ie bedoelt dat ie afgezaagd wordt op een hoogte 3a en dat de straal daar dan a is.quote:Op maandag 21 mei 2012 21:27 schreef Don_Vanelli het volgende:
[..]
een paraboloïde is een parabool die om de y-as is gewenteld?
Ergens vrees ik dan dat wordt genomenquote:Op maandag 21 mei 2012 21:30 schreef thenxero het volgende:
[..]
Ja. En ik denk dat ie bedoelt dat ie afgezaagd wordt op een hoogte 3a en dat de straal daar dan a is.
Die klopt ook. Hartstikke bedanktquote:Op maandag 21 mei 2012 21:28 schreef thenxero het volgende:
[..]
4,71a³ = 185 en dan oplossen voor a, en a is de straal (in cm).
Behalve dan dat de inhoud van een dergelijk object wordt gegeven doorquote:
Ik zit in havo3, dit gaat me iets te verquote:Op maandag 21 mei 2012 21:40 schreef Don_Vanelli het volgende:
[..]
Behalve dan dat de inhoud van een dergelijk object wordt gegeven door
Kies wiskunde B, doe daarna het vwo, dan zie je het vanzelfquote:Op maandag 21 mei 2012 21:46 schreef Wicky15 het volgende:
[..]
Ik zit in havo3, dit gaat me iets te ver
http://en.wikipedia.org/w(...)ting_nested_radicalsquote:Op maandag 21 mei 2012 21:48 schreef VanishedEntity het volgende:
Kan er iemand mij even helpen met het root denesting algoritme?
Kwadrateren levert
Nu het rationale deel in irrationale deel afzonderlijk links en rechts van de vgl. aan elkaar gelijk stellen:
a = d + e
en vervolgens loop ik hier vast:
Uhuquote:Op maandag 21 mei 2012 18:43 schreef thenxero het volgende:
[..]
De leukste opgaves vind ik toch eigenlijk opgaves waarbij je weinig algebra nodig hebt, maar het probleem gewoon heel handig moet aanpakken waardoor een schijnbaar onmogelijk probleem opeens heel eenvoudig wordt.
ja zo ver was ik al... Ik zie alleen even niet hoe ze vanquote:Op maandag 21 mei 2012 21:53 schreef Don_Vanelli het volgende:
[..]
http://en.wikipedia.org/w(...)ting_nested_radicals
Deze laat ik lopen.... misschien iets voor Ripariusquote:Op maandag 21 mei 2012 22:02 schreef Don_Vanelli het volgende:
Helemaal mee eens. Heeft iemand voor de grap zelf de afleiding voor het getal van de ossen wel eens opgeschreven? Ik ga er persoonlijk niet aan beginnen, kost me teveel inkt
quote:Op maandag 21 mei 2012 22:05 schreef VanishedEntity het volgende:
[..]
ja zo ver was ik al... Ik zie alleen even niet hoe ze van
naar
gaan.
Pfoeh, ik ben er voor de lol aan begonnen, maar ik begin in te zien dat dit erg veel werk ik, en de kudde waarschijnlijk niet bepaald klein isquote:Op maandag 21 mei 2012 22:02 schreef Don_Vanelli het volgende:
Helemaal mee eens. Heeft iemand voor de grap zelf de afleiding voor het getal van de ossen wel eens opgeschreven? Ik ga er persoonlijk niet aan beginnen, kost me teveel inkt
Ja. Voor Calando kun je beter bij je muziekdocent terecht .quote:
Een kubische vergelijking met reële coëfficienten en drie verschillende louter reële wortels kun je niet echt oplossen met Cardano omdat je de oplossingen dan alleen uit kunt drukken met behulp van derdemachtswortels uit complexe getallen die je niet algebraïsch kunt herleiden. Als de kubische vergelijking één reële en twee toegevoegd complexe wortels heeft dan lukt het wel.quote:Ik kan me toch herinneren dat wij hem anders uitgerekend hadden.
Nadat je inderdaad die discriminant had genomen en de oplossingen had, na wat geschuifel kwamen we toch op 2 nuttige vergelijkingen uit. Ik kom er morgen op terug. Na afgelopen nacht m'n kop over die bol gebroken te hebben mag ik wel wat uurtjes inhalen.
Ja. Maar ik begrijp nog steeds niet waarom je met de hoek ϕ die een straal naar de snijcirkel maakt met het grondvlak van de halve bol wilde werken. Gevraagd werd immers naar de afstand h van het deelvlak tot het grondvlak om de halve bol in twee delen met gelijke volumes te verdelen, en dan ligt het toch wel érg voor de hand om dat als parameter te nemen. Met behulp van de bekende formule voor het volume van een omwentelingslichaam kom je dan direct op h3 - 3h + 1 = 0 uit.quote:Op maandag 21 mei 2012 17:05 schreef thenxero het volgende:
[..]
Dan kom ik inderdaad ook uit op q³-3q+1=0 met q=sin(p) .
Dat heb ik al uitgelegd: in de correcte drievoudige integraal zit een dubbelintegraal die niets meer doet dan de oppervlakte van een cirkel met straal r uitdrukken. Heb ik geen Jacobiaan voor nodig.quote:Ik snap hoe je die enkele integraal bepaalt, maar ik snap niet wat er mis was met mijn redenatie en hoe jij aan de correcte drievoudige integraal bent gekomen (ik zie bijvoorbeeld de jacobiaan niet meer terug).
Ja. Dit klopt ook en uiteraard is dit met een drievoudige integraal in bolcoördinaten uit te rekenen. Maar laten we eerst eens nagaan wat er uit zou moeten komen.quote:Ik beweer dat { (r,θ,ϕ) : 0<r<1, 0<θ<2pi, 0<ϕ<p } gelijk is aan de verzameling van de afgezaagde bovenhelft van de bol minus de kegel. Zie plaatje.
[ afbeelding ]
Wat nog minder bekend schijnt te zijn (maar vroeger gewoon standaard stof was) is dat je elke gereduceerde kubische vergelijking met uitsluitend reële wortels op kunt lossen zonder Cardano en zonder complexe getallen. Onder een gereduceerde kubische vergelijking verstaan we een derdegraadsvergelijking waarin de kwadratische term ontbreekt. Je kunt elke kubische vergelijking gemakkelijk herleiden tot zo'n gereduceerde vergelijking door een geschikte lineaire substitutie uit te voeren.quote:Op maandag 21 mei 2012 19:38 schreef Amoeba het volgende:
[..]
De beste opgaves zijn hordes vol algebra van een schijnbaar eenvoudige opgave. Zoals die bol, ik dacht serieus: Dat wordt peanuts.
Zelfs beide Wiskunde docenten op het VWO hier kennen die formule niet... (Cardano)
Uiteraard is mij dat bekend. En er zijn nog meer varianten, bijvoorbeeld gebruik van een hyperbolische substitutie. Maar ik vond het vooral voor schoolgebruik aardig om eens te laten zien dat het met een beetje elementaire goniometrie en zonder kennis van complexe getallen ook prima gaat. Zo werd het vroeger ook meestal geleerd, toen er nog geen rekenmachines of computers bestonden en je het moest doen met goniometrische tafels.quote:Op dinsdag 22 mei 2012 07:34 schreef Don_Vanelli het volgende:
De (schijnbaar) complexe oplossing van cardano kan ook vrij gemakkelijk naar complexe e-machten worden ongeschreven. Vanuit daar kom je ook aan de correcte oplossing. Dat is wat meer op de automatische piloot ipv goniometrische identiteiten te kennen.
Ik snapte niet exact wat je deed, totdat ik het een tweede keer las. Die moet ik onthouden.quote:Op dinsdag 22 mei 2012 07:49 schreef Riparius het volgende:
[..]
Uiteraard is mij dat bekend. En er zijn nog meer varianten, bijvoorbeeld gebruik van een hyperbolische substitutie. Maar ik vond het vooral voor schoolgebruik aardig om eens te laten zien dat het met een beetje elementaire goniometrie en zonder kennis van complexe getallen ook prima gaat. Zo werd het vroeger ook meestal geleerd, toen er nog geen rekenmachines of computers bestonden en je het moest doen met goniometrische tafels.
Je kunt de identiteit voor cos 3φ ook gewoon afleiden door uit te gaan van cos 2φ = 2∙cos2φ - 1 en sin 2φ = 2∙sinφ∙cosφ en cos 3φ = cos(2φ + φ) te herleiden met het bekende additietheorema cos(α + β) = cos α∙cos β - sin α∙sin β.quote:Op dinsdag 22 mei 2012 08:12 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Ik snapte niet exact wat je deed, totdat ik het een tweede keer las. Die moet ik onthouden.
4cos3x - 3cosx = cos3x
Thanks !quote:Op dinsdag 22 mei 2012 15:50 schreef zoem het volgende:
Je begint gewoon met het berekenen van de eerste afgeleide:
Maximum vinden we wanneer
Dus het antwoord is
Aaaah, daar liep het dus op stuk. Bedankt!quote:Op dinsdag 22 mei 2012 03:09 schreef Riparius het volgende:
[..]
Zijn we er nu? Nee, want hier stelt ϕ de inclinatie t.o.v. de normaal voor, terwijl bij jou ϕ de inclinatie t.o.v. het grondvlak voorstelt.
Dat is simpelweg het eerste waar ik aan dacht, en het is op zich niet zoveel moeilijker dan dat wentelen, als je geen gekke fouten gaat maken .quote:Ja. Maar ik begrijp nog steeds niet waarom je met de hoek ϕ die een straal naar de snijcirkel maakt met het grondvlak van de halve bol wilde werken.
Dit is een vergelijking, geen functie. Wat je verder fout doet is dat je mijn uitleg kennelijk toch niet goed genoeg hebt gelezen. De goniometrische oplossingsmethode voor gereduceerde kubische vergelijkingen werkt alleen als de vergelijking uitsluitend reële wortels heeft, en dat is hier niet het geval.quote:Op dinsdag 22 mei 2012 09:32 schreef Amoeba het volgende:
Goed, ik ging nu uit van de functie 6x3 -4x = 9
Dus x substitueren naar rcosx
(Dit had beter rcosa kunnen zijn omdat x al een variabele is ja, maar dat doet er nu even niet toe.)
dus 6r3cos3x -4rcosx = 9
Delen door 6r3
cos3x - (2/3)/r2cosx = 1,5/r 3
Vermenigvuldigen met 4, even r uitrekenen.
r = 2/3 * √2
Enfin, dan staat mijn vergelijking dus:
cos3x = 81 / 8√2
Wat doe ik fout/hoe moet ik verder?
De functie heeft één oplossing.
Deze komt niet 'mooi' uit maar ik zal hem toch even voordoen. Rechterlid herleiden op nul geeft:quote:Op dinsdag 22 mei 2012 09:32 schreef Amoeba het volgende:
Goed, ik ging nu uit van de vergelijking 6x3 - 4x = 9
Ja, dit geldt altijd. Die ε1 en ε2 zijn de twee complexe derdemachtswortels van één. Dat kun je gemakkelijk controleren door ε13 en ε23 te berekenen. En er geldt ook ε1ε2 = 1.quote:Op dinsdag 22 mei 2012 20:37 schreef Amoeba het volgende:
Nouja, de functie was f(x). Ik had hem al omgebouwd tot de 'vergelijking' die je daar zag.
Maargoed, ik zal eens aan de gang gaan. Nog een kort vraagje:
Dit zijn altijd 'de sleutels' om tot de wortels te komen? Het is me niet helemaal duidelijk hoe je tot dit antwoord komt:
ε1 = -½ + i∙½√3 en ε2 = -½ - i∙½√3.
Ah, nu weet ik weer wat er aan de hand was. Uiteindelijk kwam je uit op cos2a = 4/29quote:Op maandag 21 mei 2012 21:24 schreef Don_Vanelli het volgende:
Voor de volledigheid:
Differentieren geeft
(1)
geeft:
dus
voldoet niet aan (1), dus
Stiekem gebruikten wij ook de stelling van Pythagoras, maar dan in de vorm sin²+cos²=1. Komt dus op hetzelfde neer.quote:Op dinsdag 22 mei 2012 21:03 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Ah, nu weet ik weer wat er aan de hand was. Uiteindelijk kwam je uit op cos2a = 4/29
Nou, cosa = 2/√29
Dus kun je even een driehoek opstellen (soscastoa.. basisschool als je 't mij vraagt!)
dus de aanliggende zijde is 2, de schuine zijde √29
Een eenvoudig rekensommetje (Pythagoras) wijst dan uit dat de andere zijde uiteraard 5 is. Nu is het uiteraard alweer mogelijk om op basis van beredeneren te bewijzen dat de maximale oppervlakte 5 is. .Maargoed, wat we ook kunnen doen is nu de sinus uitdrukken. 5/√29
Nou goed, cosa = 2/√29 en sina = 5/√29
Vul dit in: komt perfect uit
Want sin2a = 2cosa*sina
Maargoed, zo kon het dus ook. Persoonlijk vond ik dit wat makkelijker. Als je maar op het antwoord komt, zullen we maar zeggen?quote:Op dinsdag 22 mei 2012 21:08 schreef thenxero het volgende:
[..]
Stiekem gebruikten wij ook de stelling van Pythagoras, maar dan in de vorm sin²+cos²=1. Komt dus op hetzelfde neer.
Forum Opties | |
---|---|
Forumhop: | |
Hop naar: |