ja zo ver was ik al... Ik zie alleen even niet hoe ze vanquote:Op maandag 21 mei 2012 21:53 schreef Don_Vanelli het volgende:
[..]
http://en.wikipedia.org/w(...)ting_nested_radicals
Deze laat ik lopen.... misschien iets voor Ripariusquote:Op maandag 21 mei 2012 22:02 schreef Don_Vanelli het volgende:
Helemaal mee eens. Heeft iemand voor de grap zelf de afleiding voor het getal van de ossen wel eens opgeschreven? Ik ga er persoonlijk niet aan beginnen, kost me teveel inkt
quote:Op maandag 21 mei 2012 22:05 schreef VanishedEntity het volgende:
[..]
ja zo ver was ik al... Ik zie alleen even niet hoe ze van
naar
gaan.
Pfoeh, ik ben er voor de lol aan begonnen, maar ik begin in te zien dat dit erg veel werk ik, en de kudde waarschijnlijk niet bepaald klein isquote:Op maandag 21 mei 2012 22:02 schreef Don_Vanelli het volgende:
Helemaal mee eens. Heeft iemand voor de grap zelf de afleiding voor het getal van de ossen wel eens opgeschreven? Ik ga er persoonlijk niet aan beginnen, kost me teveel inkt
Ja. Voor Calando kun je beter bij je muziekdocent terecht .quote:
Een kubische vergelijking met reële coëfficienten en drie verschillende louter reële wortels kun je niet echt oplossen met Cardano omdat je de oplossingen dan alleen uit kunt drukken met behulp van derdemachtswortels uit complexe getallen die je niet algebraïsch kunt herleiden. Als de kubische vergelijking één reële en twee toegevoegd complexe wortels heeft dan lukt het wel.quote:Ik kan me toch herinneren dat wij hem anders uitgerekend hadden.
Nadat je inderdaad die discriminant had genomen en de oplossingen had, na wat geschuifel kwamen we toch op 2 nuttige vergelijkingen uit. Ik kom er morgen op terug. Na afgelopen nacht m'n kop over die bol gebroken te hebben mag ik wel wat uurtjes inhalen.
Ja. Maar ik begrijp nog steeds niet waarom je met de hoek ϕ die een straal naar de snijcirkel maakt met het grondvlak van de halve bol wilde werken. Gevraagd werd immers naar de afstand h van het deelvlak tot het grondvlak om de halve bol in twee delen met gelijke volumes te verdelen, en dan ligt het toch wel érg voor de hand om dat als parameter te nemen. Met behulp van de bekende formule voor het volume van een omwentelingslichaam kom je dan direct op h3 - 3h + 1 = 0 uit.quote:Op maandag 21 mei 2012 17:05 schreef thenxero het volgende:
[..]
Dan kom ik inderdaad ook uit op q³-3q+1=0 met q=sin(p) .
Dat heb ik al uitgelegd: in de correcte drievoudige integraal zit een dubbelintegraal die niets meer doet dan de oppervlakte van een cirkel met straal r uitdrukken. Heb ik geen Jacobiaan voor nodig.quote:Ik snap hoe je die enkele integraal bepaalt, maar ik snap niet wat er mis was met mijn redenatie en hoe jij aan de correcte drievoudige integraal bent gekomen (ik zie bijvoorbeeld de jacobiaan niet meer terug).
Ja. Dit klopt ook en uiteraard is dit met een drievoudige integraal in bolcoördinaten uit te rekenen. Maar laten we eerst eens nagaan wat er uit zou moeten komen.quote:Ik beweer dat { (r,θ,ϕ) : 0<r<1, 0<θ<2pi, 0<ϕ<p } gelijk is aan de verzameling van de afgezaagde bovenhelft van de bol minus de kegel. Zie plaatje.
[ afbeelding ]
Wat nog minder bekend schijnt te zijn (maar vroeger gewoon standaard stof was) is dat je elke gereduceerde kubische vergelijking met uitsluitend reële wortels op kunt lossen zonder Cardano en zonder complexe getallen. Onder een gereduceerde kubische vergelijking verstaan we een derdegraadsvergelijking waarin de kwadratische term ontbreekt. Je kunt elke kubische vergelijking gemakkelijk herleiden tot zo'n gereduceerde vergelijking door een geschikte lineaire substitutie uit te voeren.quote:Op maandag 21 mei 2012 19:38 schreef Amoeba het volgende:
[..]
De beste opgaves zijn hordes vol algebra van een schijnbaar eenvoudige opgave. Zoals die bol, ik dacht serieus: Dat wordt peanuts.
Zelfs beide Wiskunde docenten op het VWO hier kennen die formule niet... (Cardano)
Uiteraard is mij dat bekend. En er zijn nog meer varianten, bijvoorbeeld gebruik van een hyperbolische substitutie. Maar ik vond het vooral voor schoolgebruik aardig om eens te laten zien dat het met een beetje elementaire goniometrie en zonder kennis van complexe getallen ook prima gaat. Zo werd het vroeger ook meestal geleerd, toen er nog geen rekenmachines of computers bestonden en je het moest doen met goniometrische tafels.quote:Op dinsdag 22 mei 2012 07:34 schreef Don_Vanelli het volgende:
De (schijnbaar) complexe oplossing van cardano kan ook vrij gemakkelijk naar complexe e-machten worden ongeschreven. Vanuit daar kom je ook aan de correcte oplossing. Dat is wat meer op de automatische piloot ipv goniometrische identiteiten te kennen.
Ik snapte niet exact wat je deed, totdat ik het een tweede keer las. Die moet ik onthouden.quote:Op dinsdag 22 mei 2012 07:49 schreef Riparius het volgende:
[..]
Uiteraard is mij dat bekend. En er zijn nog meer varianten, bijvoorbeeld gebruik van een hyperbolische substitutie. Maar ik vond het vooral voor schoolgebruik aardig om eens te laten zien dat het met een beetje elementaire goniometrie en zonder kennis van complexe getallen ook prima gaat. Zo werd het vroeger ook meestal geleerd, toen er nog geen rekenmachines of computers bestonden en je het moest doen met goniometrische tafels.
Je kunt de identiteit voor cos 3φ ook gewoon afleiden door uit te gaan van cos 2φ = 2∙cos2φ - 1 en sin 2φ = 2∙sinφ∙cosφ en cos 3φ = cos(2φ + φ) te herleiden met het bekende additietheorema cos(α + β) = cos α∙cos β - sin α∙sin β.quote:Op dinsdag 22 mei 2012 08:12 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Ik snapte niet exact wat je deed, totdat ik het een tweede keer las. Die moet ik onthouden.
4cos3x - 3cosx = cos3x
Thanks !quote:Op dinsdag 22 mei 2012 15:50 schreef zoem het volgende:
Je begint gewoon met het berekenen van de eerste afgeleide:
Maximum vinden we wanneer
Dus het antwoord is
Aaaah, daar liep het dus op stuk. Bedankt!quote:Op dinsdag 22 mei 2012 03:09 schreef Riparius het volgende:
[..]
Zijn we er nu? Nee, want hier stelt ϕ de inclinatie t.o.v. de normaal voor, terwijl bij jou ϕ de inclinatie t.o.v. het grondvlak voorstelt.
Dat is simpelweg het eerste waar ik aan dacht, en het is op zich niet zoveel moeilijker dan dat wentelen, als je geen gekke fouten gaat maken .quote:Ja. Maar ik begrijp nog steeds niet waarom je met de hoek ϕ die een straal naar de snijcirkel maakt met het grondvlak van de halve bol wilde werken.
Dit is een vergelijking, geen functie. Wat je verder fout doet is dat je mijn uitleg kennelijk toch niet goed genoeg hebt gelezen. De goniometrische oplossingsmethode voor gereduceerde kubische vergelijkingen werkt alleen als de vergelijking uitsluitend reële wortels heeft, en dat is hier niet het geval.quote:Op dinsdag 22 mei 2012 09:32 schreef Amoeba het volgende:
Goed, ik ging nu uit van de functie 6x3 -4x = 9
Dus x substitueren naar rcosx
(Dit had beter rcosa kunnen zijn omdat x al een variabele is ja, maar dat doet er nu even niet toe.)
dus 6r3cos3x -4rcosx = 9
Delen door 6r3
cos3x - (2/3)/r2cosx = 1,5/r 3
Vermenigvuldigen met 4, even r uitrekenen.
r = 2/3 * √2
Enfin, dan staat mijn vergelijking dus:
cos3x = 81 / 8√2
Wat doe ik fout/hoe moet ik verder?
De functie heeft één oplossing.
Deze komt niet 'mooi' uit maar ik zal hem toch even voordoen. Rechterlid herleiden op nul geeft:quote:Op dinsdag 22 mei 2012 09:32 schreef Amoeba het volgende:
Goed, ik ging nu uit van de vergelijking 6x3 - 4x = 9
Ja, dit geldt altijd. Die ε1 en ε2 zijn de twee complexe derdemachtswortels van één. Dat kun je gemakkelijk controleren door ε13 en ε23 te berekenen. En er geldt ook ε1ε2 = 1.quote:Op dinsdag 22 mei 2012 20:37 schreef Amoeba het volgende:
Nouja, de functie was f(x). Ik had hem al omgebouwd tot de 'vergelijking' die je daar zag.
Maargoed, ik zal eens aan de gang gaan. Nog een kort vraagje:
Dit zijn altijd 'de sleutels' om tot de wortels te komen? Het is me niet helemaal duidelijk hoe je tot dit antwoord komt:
ε1 = -½ + i∙½√3 en ε2 = -½ - i∙½√3.
Ah, nu weet ik weer wat er aan de hand was. Uiteindelijk kwam je uit op cos2a = 4/29quote:Op maandag 21 mei 2012 21:24 schreef Don_Vanelli het volgende:
Voor de volledigheid:
Differentieren geeft
(1)
geeft:
dus
voldoet niet aan (1), dus
Stiekem gebruikten wij ook de stelling van Pythagoras, maar dan in de vorm sin²+cos²=1. Komt dus op hetzelfde neer.quote:Op dinsdag 22 mei 2012 21:03 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Ah, nu weet ik weer wat er aan de hand was. Uiteindelijk kwam je uit op cos2a = 4/29
Nou, cosa = 2/√29
Dus kun je even een driehoek opstellen (soscastoa.. basisschool als je 't mij vraagt!)
dus de aanliggende zijde is 2, de schuine zijde √29
Een eenvoudig rekensommetje (Pythagoras) wijst dan uit dat de andere zijde uiteraard 5 is. Nu is het uiteraard alweer mogelijk om op basis van beredeneren te bewijzen dat de maximale oppervlakte 5 is. .Maargoed, wat we ook kunnen doen is nu de sinus uitdrukken. 5/√29
Nou goed, cosa = 2/√29 en sina = 5/√29
Vul dit in: komt perfect uit
Want sin2a = 2cosa*sina
Forum Opties | |
---|---|
Forumhop: | |
Hop naar: |