abonnement bol.com Unibet Coolblue
pi_111853179
Helemaal mee eens. Heeft iemand voor de grap zelf de afleiding voor het getal van de ossen wel eens opgeschreven? Ik ga er persoonlijk niet aan beginnen, kost me teveel inkt ;)
pi_111853384
quote:
ja zo ver was ik al... Ik zie alleen even niet hoe ze van

b^2 c = 4de

naar

 e = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - b^2 c}}{2}

gaan.
pi_111853609
quote:
0s.gif Op maandag 21 mei 2012 22:02 schreef Don_Vanelli het volgende:
Helemaal mee eens. Heeft iemand voor de grap zelf de afleiding voor het getal van de ossen wel eens opgeschreven? Ik ga er persoonlijk niet aan beginnen, kost me teveel inkt ;)
Deze laat ik lopen.... misschien iets voor Riparius :P
pi_111854758
quote:
0s.gif Op maandag 21 mei 2012 22:05 schreef VanishedEntity het volgende:

[..]

ja zo ver was ik al... Ik zie alleen even niet hoe ze van

b^2 c = 4de

naar

 e = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - b^2 c}}{2}

gaan.
4de = 4(a-e)e
dus krijg je:
4e^2 - 4ae + b^2 c = 0

en dan is het slechts een kwestie van het oplossen van een kwadratische vergelijking :)
pi_111854991
damn, you beat me to it; had net al d=a-e en e=a-d op papier gezet...

Thnx enniewee, vanaf hier is het een koud kunstje.
  dinsdag 22 mei 2012 @ 00:34:30 #281
337947 Unsub
Unidentified subject.
pi_111861210
quote:
0s.gif Op maandag 21 mei 2012 22:02 schreef Don_Vanelli het volgende:
Helemaal mee eens. Heeft iemand voor de grap zelf de afleiding voor het getal van de ossen wel eens opgeschreven? Ik ga er persoonlijk niet aan beginnen, kost me teveel inkt ;)
Pfoeh, ik ben er voor de lol aan begonnen, maar ik begin in te zien dat dit erg veel werk ik, en de kudde waarschijnlijk niet bepaald klein is :D

Ik moet nog even kijken hoeveel ik er nog aan verder ga werken..
26"
Fading slowly.
pi_111861660
quote:
0s.gif Op maandag 21 mei 2012 19:51 schreef Amoeba het volgende:
Oh, heet die gast Cardano.
Ja. Voor Calando kun je beter bij je muziekdocent terecht _O-.

Over de manier waarop Cardano de formule te pakken kreeg en alle intriges en geheimzinnigdoenerij zou een prachtige film (à la The Name of the Rose) zijn te maken. Voor een stukje geschiedenis over hoe complexe getallen werden ontdekt door problemen met het oplossen van kubische vergelijkingen moet je dit maar eens lezen.
quote:
Ik kan me toch herinneren dat wij hem anders uitgerekend hadden.
Nadat je inderdaad die discriminant had genomen en de oplossingen had, na wat geschuifel kwamen we toch op 2 nuttige vergelijkingen uit. Ik kom er morgen op terug. Na afgelopen nacht m'n kop over die bol gebroken te hebben mag ik wel wat uurtjes inhalen.
Een kubische vergelijking met reële coëfficienten en drie verschillende louter reële wortels kun je niet echt oplossen met Cardano omdat je de oplossingen dan alleen uit kunt drukken met behulp van derdemachtswortels uit complexe getallen die je niet algebraïsch kunt herleiden. Als de kubische vergelijking één reële en twee toegevoegd complexe wortels heeft dan lukt het wel.
pi_111863221
quote:
0s.gif Op maandag 21 mei 2012 17:05 schreef thenxero het volgende:

[..]

Dan kom ik inderdaad ook uit op q³-3q+1=0 met q=sin(p) :).
Ja. Maar ik begrijp nog steeds niet waarom je met de hoek ϕ die een straal naar de snijcirkel maakt met het grondvlak van de halve bol wilde werken. Gevraagd werd immers naar de afstand h van het deelvlak tot het grondvlak om de halve bol in twee delen met gelijke volumes te verdelen, en dan ligt het toch wel érg voor de hand om dat als parameter te nemen. Met behulp van de bekende formule voor het volume van een omwentelingslichaam kom je dan direct op h3 - 3h + 1 = 0 uit.
quote:
Ik snap hoe je die enkele integraal bepaalt, maar ik snap niet wat er mis was met mijn redenatie en hoe jij aan de correcte drievoudige integraal bent gekomen (ik zie bijvoorbeeld de jacobiaan niet meer terug).
Dat heb ik al uitgelegd: in de correcte drievoudige integraal zit een dubbelintegraal die niets meer doet dan de oppervlakte van een cirkel met straal r uitdrukken. Heb ik geen Jacobiaan voor nodig.

Wat er mis is, is dat je een verkeerde integrand gebruikt als gevolg van verwarring over wat θ en ϕ precies voorstellen.
quote:
Ik beweer dat { (r,θ,ϕ) : 0<r<1, 0<θ<2pi, 0<ϕ<p } gelijk is aan de verzameling van de afgezaagde bovenhelft van de bol minus de kegel. Zie plaatje.

[ afbeelding ]

Ja. Dit klopt ook en uiteraard is dit met een drievoudige integraal in bolcoördinaten uit te rekenen. Maar laten we eerst eens nagaan wat er uit zou moeten komen.

Voor het volume van het bolsegment hadden we (na herleiding) al gevonden dat dit gelijk is aan:

(1) π∙sin p - (1/3)∙π∙sin3p

Het volume van de kegel in je figuur is natuurlijk eenvoudig te bepalen. De oppervlakte van het grondvlak is π∙cos2p = π∙(1 - sin2p) en de hoogte is sin p, zodat het volume van de kegel dus wordt:

(2) (1/3)∙π∙sin p - (1/3)∙π∙sin3p

Het volume dat je nu wil berekenen is het verschil van (1) en (2), en dit is dus eenvoudig:

(3) (2/3)∙π∙sin p

Goed, nu we weten wat er uit moet komen hebben we een controlemogelijkheid. Ik moet bekennen dat dit mij ook wat hoofdbrekens opleverde. Voor een volume elementje dV hebben we bij gebruik van bolcoördinaten volgens Wikipedia (link):

(4) dV = r2∙sin θ∙dr∙dθ∙dϕ

Maar nu begint het grote verwarringsspel, want hier stelt niet ϕ maar θ de inclinatie voor, terwijl jij daarvoor ϕ gebruikt. Dus moeten we de rollen van θ en ϕ omwisselen en krijgen we:

(5) dV = r2∙sin ϕ∙dr∙dϕ∙dθ

Zijn we er nu? Nee, want hier stelt ϕ de inclinatie t.o.v. de normaal voor, terwijl bij jou ϕ de inclinatie t.o.v. het grondvlak voorstelt. Dus moeten we hier ϕ vervangen door ½π - ϕ en hebben we sin(½π - ϕ) = cos ϕ, zodat we voor jouw berekening krijgen:

(6) dV = r2∙cos ϕ∙dr∙dϕ∙dθ

En hiervoor mag ik ook schrijven:

(7) dV = r2∙cos ϕ∙dr∙dθ∙dϕ

De integraal voor je volume wordt nu:

(8) ∫0p001 r2∙cos ϕ∙dr∙dθ∙dϕ

Zoals je in WolframAlpha kunt nagaan (weer met f voor ϕ) levert dit inderdaad (2/3)∙π∙sin p op. Het klopt dus als een bus.
pi_111863516
quote:
0s.gif Op maandag 21 mei 2012 19:38 schreef Amoeba het volgende:

[..]

De beste opgaves zijn hordes vol algebra van een schijnbaar eenvoudige opgave. Zoals die bol, ik dacht serieus: Dat wordt peanuts.

Zelfs beide Wiskunde docenten op het VWO hier kennen die formule niet... (Cardano)
Wat nog minder bekend schijnt te zijn (maar vroeger gewoon standaard stof was) is dat je elke gereduceerde kubische vergelijking met uitsluitend reële wortels op kunt lossen zonder Cardano en zonder complexe getallen. Onder een gereduceerde kubische vergelijking verstaan we een derdegraadsvergelijking waarin de kwadratische term ontbreekt. Je kunt elke kubische vergelijking gemakkelijk herleiden tot zo'n gereduceerde vergelijking door een geschikte lineaire substitutie uit te voeren.

De methode berust op de goniometrische identiteit voor de cosinus van de drievoudige hoek:

cos 3φ = 4∙cos3φ - 3∙cos φ

Ik neem als voorbeeld nog even de inmiddels bekende vergelijking:

z3 - 3z + 1 = 0

We brengen eerst de constante term naar het rechterlid:

z3 - 3z = -1

Het idee is nu dat we een substitutie z = r∙cos φ uitvoeren en dan het linkerlid omwerken tot 4∙cos3φ - 3∙cos φ, want dat is immers gelijk aan cos 3φ. Substitutie geeft:

r3∙cos3φ - 3∙r∙cos φ = -1

Nu willen we links een term 4∙cos3φ hebben, dus delen we beide leden door r3 en vermenigvuldigen we beide leden met 4. Dit geeft:

4∙cos3φ - (12/r2)∙cos φ = -4/r3

De eerste term in het linkerlid is nu in orde, maar nu moeten we nog zorgen dat de tweede term in het linkerlid gelijk wordt aan - 3∙cos φ en dat kunnen we doen door een geschikte waarde voor r te kiezen. We willen dat 12/r2 gelijk wordt aan 3, en dus kunnen we r = 2 nemen. Dit geeft:

4∙cos3φ - 3∙cos φ = -1/2

En dus:

cos 3φ = -1/2

Nu zien we dat 3φ = (2/3)∙π + 2∙k∙π en dus φ = (2/9)∙π + (2/3)∙k∙π, k ∈Z. We zouden ook de tegengestelde waarden voor φ kunnen nemen, maar dat maakt niets uit omdat de cosinus een even functie is. Aangezien z = r∙cos φ en r = 2 vinden we zo met k = 0, 1, 2 de wortels:

z1 = 2∙cos((2/9)∙π), z2 = 2∙cos((8/9)∙π), z3 = 2∙cos((14/9)∙π)

Met drie opeenvolgende waarden van k zijn we 'rond' en hebben we dus alle drie de wortels gevonden. Hiermee is de vergelijking opgelost.
pi_111863903
De (schijnbaar) complexe oplossing van cardano kan ook vrij gemakkelijk naar complexe e-machten worden ongeschreven. Vanuit daar kom je ook aan de correcte oplossing. Dat is wat meer op de automatische piloot ipv goniometrische entiteiten te kennen.
pi_111864064
quote:
0s.gif Op dinsdag 22 mei 2012 07:34 schreef Don_Vanelli het volgende:
De (schijnbaar) complexe oplossing van cardano kan ook vrij gemakkelijk naar complexe e-machten worden ongeschreven. Vanuit daar kom je ook aan de correcte oplossing. Dat is wat meer op de automatische piloot ipv goniometrische identiteiten te kennen.
Uiteraard is mij dat bekend. En er zijn nog meer varianten, bijvoorbeeld gebruik van een hyperbolische substitutie. Maar ik vond het vooral voor schoolgebruik aardig om eens te laten zien dat het met een beetje elementaire goniometrie en zonder kennis van complexe getallen ook prima gaat. Zo werd het vroeger ook meestal geleerd, toen er nog geen rekenmachines of computers bestonden en je het moest doen met goniometrische tafels.
  dinsdag 22 mei 2012 @ 08:12:17 #287
302030 Amoeba
Floydiaan.
pi_111864291
quote:
0s.gif Op dinsdag 22 mei 2012 07:49 schreef Riparius het volgende:

[..]

Uiteraard is mij dat bekend. En er zijn nog meer varianten, bijvoorbeeld gebruik van een hyperbolische substitutie. Maar ik vond het vooral voor schoolgebruik aardig om eens te laten zien dat het met een beetje elementaire goniometrie en zonder kennis van complexe getallen ook prima gaat. Zo werd het vroeger ook meestal geleerd, toen er nog geen rekenmachines of computers bestonden en je het moest doen met goniometrische tafels.
Ik snapte niet exact wat je deed, totdat ik het een tweede keer las. Die moet ik onthouden.

4cos3x - 3cosx = cos3x
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
pi_111864570
quote:
14s.gif Op dinsdag 22 mei 2012 08:12 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik snapte niet exact wat je deed, totdat ik het een tweede keer las. Die moet ik onthouden.

4cos3x - 3cosx = cos3x
Je kunt de identiteit voor cos 3φ ook gewoon afleiden door uit te gaan van cos 2φ = 2∙cos2φ - 1 en sin 2φ = 2∙sinφ∙cosφ en cos 3φ = cos(2φ + φ) te herleiden met het bekende additietheorema cos(α + β) = cos α∙cos β - sin α∙sin β.

Of, gebruik de formule van De Moivre (cos φ + i∙sinφ)n = cos nφ + i∙sin nφ met n = 3, dan krijg je als bonus ook meteen sin 3φ = 3∙sin φ - 4∙sin3φ.
  dinsdag 22 mei 2012 @ 09:32:44 #289
302030 Amoeba
Floydiaan.
pi_111865810
Goed, ik ging nu uit van de functie 6x3 -4x = 9

Dus x substitueren naar rcosx
(Dit had beter rcosa kunnen zijn omdat x al een variabele is ja, maar dat doet er nu even niet toe.)

dus 6r3cos3x -4rcosx = 9

Delen door 6r3

cos3x - (2/3)/r2cosx = 1,5/r 3

Vermenigvuldigen met 4, even r uitrekenen.
r = 2/3 * √2
Enfin, dan staat mijn vergelijking dus:

cos3x = 81 / 8√2

Wat doe ik fout/hoe moet ik verder?

De functie heeft één oplossing.
Ook cos3x = 81 / 8√2 heeft uiteraard geen oplossingen.


Of de functie f(x) = 15x 3+12x +7

Zelfde manier:

r = 4i/√15
cos3a= 7√15 / 16i

[ Bericht 2% gewijzigd door Amoeba op 22-05-2012 10:30:45 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
  dinsdag 22 mei 2012 @ 09:50:55 #290
302030 Amoeba
Floydiaan.
pi_111866250
.

[ Bericht 98% gewijzigd door Amoeba op 22-05-2012 09:55:53 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
pi_111879254
even een vraag hier.

Een konijn uit denemarken sprong vorig jaar volgens het volgende model:

 h(x) = 4x-4x^2

h = de hoogte in meters van de grond en x is de afstand in meters langs de grond vanaf het punt waar het konijn de lucht in sprong.

Hoe hoog kwam het konijn?

ik kom er maar niet uit, ik denk dat ik deze formule moet gebruiken maar hoe is me een raadsel:

 x^2 + px + q = 0

 x = - p/2 + - sqrt (p/2) ^ 2 -q
  Moderator / Redactie Sport / Devops dinsdag 22 mei 2012 @ 15:50:25 #292
176766 crew  zoem
zoemt
pi_111879556
Je begint gewoon met het berekenen van de eerste afgeleide:
h'(x) = 4 - 8x

Maximum vinden we wanneer h'(x)=0

4-8x = 0 \rightarrow 8x = 4 \rightarrow x = \frac{1}{2}

Dus het antwoord is h(\frac{1}{2}) = 1 m
pi_111879924
quote:
2s.gif Op dinsdag 22 mei 2012 15:50 schreef zoem het volgende:
Je begint gewoon met het berekenen van de eerste afgeleide:
h'(x) = 4 - 8x

Maximum vinden we wanneer h'(x)=0

4-8x = 0 \rightarrow 8x = 4 \rightarrow x = \frac{1}{2}

Dus het antwoord is h(\frac{1}{2}) = 1 m
Thanks ! _O_
pi_111884922
quote:
0s.gif Op dinsdag 22 mei 2012 03:09 schreef Riparius het volgende:

[..]

Zijn we er nu? Nee, want hier stelt ϕ de inclinatie t.o.v. de normaal voor, terwijl bij jou ϕ de inclinatie t.o.v. het grondvlak voorstelt.
Aaaah, daar liep het dus op stuk. Bedankt! :)

quote:
Ja. Maar ik begrijp nog steeds niet waarom je met de hoek ϕ die een straal naar de snijcirkel maakt met het grondvlak van de halve bol wilde werken.
Dat is simpelweg het eerste waar ik aan dacht, en het is op zich niet zoveel moeilijker dan dat wentelen, als je geen gekke fouten gaat maken :P .
pi_111886109
quote:
1s.gif Op dinsdag 22 mei 2012 09:32 schreef Amoeba het volgende:
Goed, ik ging nu uit van de functie 6x3 -4x = 9

Dus x substitueren naar rcosx
(Dit had beter rcosa kunnen zijn omdat x al een variabele is ja, maar dat doet er nu even niet toe.)

dus 6r3cos3x -4rcosx = 9

Delen door 6r3

cos3x - (2/3)/r2cosx = 1,5/r 3

Vermenigvuldigen met 4, even r uitrekenen.
r = 2/3 * √2
Enfin, dan staat mijn vergelijking dus:

cos3x = 81 / 8√2

Wat doe ik fout/hoe moet ik verder?

De functie heeft één oplossing.

Dit is een vergelijking, geen functie. Wat je verder fout doet is dat je mijn uitleg kennelijk toch niet goed genoeg hebt gelezen. De goniometrische oplossingsmethode voor gereduceerde kubische vergelijkingen werkt alleen als de vergelijking uitsluitend reële wortels heeft, en dat is hier niet het geval.

Om vooraf te zien of een gereduceerde kubische vergelijking met reële coëfficiënten uitsluitend reële wortels heeft of niet kun je kijken naar de discriminant van de vergelijking.

Hebben we de vergelijking:

z3 + pz + q = 0,

dan is de discriminant:

D = (p/3)3 + (q/2)2,

wat uiteraard makkelijk is te onthouden.

Je hebt nu de volgende mogelijkheden:

D > 0: Eén reële wortel en twee toegevoegd complexe wortels.
D = 0: Drie reële wortels waarvan er (tenminste) twee samenvallen.
D < 0: Drie reële wortels.

Let erop dat dit anders is dan bij vierkantsvergelijkingen, daar heb je geen reële wortels als de discriminant negatief is, hier zijn de wortels dan juist uitsluitend reëel.

Alleen als D ≤ 0 kun je de goniometrische oplossingsmethode toepassen. Je kunt dat ook nagaan door de algemene vergelijking z3 + pz + q = 0 goniometrisch op te lossen. Aangezien de cosinus functie alleen waarden aanneemt op het interval [-1,1] en dus moet gelden | cos 3φ | ≤ 1 vindt je dan een conditie voor p en q die equivalent is met D ≤ 0. Daaruit volgt dat het dus inderdaad altijd mogelijk is de vergelijking goniometrisch op te lossen als de wortels louter reëel zijn. Is dat niet het geval dan zijn er nog wel andere mogelijkheden, zoals het gebruik van een hyperbolische substitutie, maar dat zou nu wat te ver voeren.

Is D > 0, dan bereken je:

u3 = -½q + √D en v3 = -½q - √D

Nu heb je één reële waarde van u en één reële waarde van v die je kunt berekenen. De drie wortels van de vergelijking zijn dan:

z1 = u + v
z2 = ε1∙u + ε2∙v
z3 = ε2∙u + ε1∙v,

waarin ε1 = -½ + i∙½√3 en ε2 = -½ - i∙½√3.

Zoals je ziet is dan z1 de reële wortel en zijn z2 en z3 de toegevoegd (geconjugeerde) complexe wortels. Het is dus helemaal niet moeilijk om kubische vergelijkingen op te lossen (en ja, ik schrijf deze hele post gewoon op uit het hoofd).
  dinsdag 22 mei 2012 @ 20:37:26 #296
302030 Amoeba
Floydiaan.
pi_111893620
Nouja, de functie was f(x). Ik had hem al omgebouwd tot de 'vergelijking' die je daar zag.
Maargoed, ik zal eens aan de gang gaan. Nog een kort vraagje:

Dit zijn altijd 'de sleutels' om tot de wortels te komen? Het is me niet helemaal duidelijk hoe je tot dit antwoord komt:

ε1 = -½ + i∙½√3 en ε2 = -½ - i∙½√3.

Bonusvraagje: Hebben jullie iets handigs voor die latexcode? De link in de OP werkt niet meer, en al die symbolen zo is een beetje moeilijk om uit het hoofd te leren. :@

[ Bericht 24% gewijzigd door Amoeba op 22-05-2012 20:44:15 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
pi_111894391
quote:
1s.gif Op dinsdag 22 mei 2012 09:32 schreef Amoeba het volgende:
Goed, ik ging nu uit van de vergelijking 6x3 - 4x = 9
Deze komt niet 'mooi' uit maar ik zal hem toch even voordoen. Rechterlid herleiden op nul geeft:

6x3 - 4x - 9 = 0

Nu beide leden delen door zes om de coëfficient van x3 gelijk te maken aan één:

x3 - (2/3)∙x -(3/2) = 0

We hebben p = -2/3 en q = -3/2, en dus is D = (-2/9)3 + (-3/4)2 = -8/729 + 16/9 = 6433/11664 > 0, zodat er één reële wortel is (en twee toegevoegd complexe wortels). Merk op dat 11664 = 1082. De reële wortel is:

x = (3/4 + (1/108)∙√6433)1/3 + (3/4 - (1/108)∙√6433)1/3

Als je dit in WolframAlpha berekent, zie je dat het klopt met wat je numeriek met je GR of zo kunt vinden, maar dit is de exacte reële wortel. Wolfram heeft zelfs in de gaten dat 6x3 - 4x - 9 het minimale polynoom is voor deze wortel.
pi_111895488
quote:
0s.gif Op dinsdag 22 mei 2012 20:37 schreef Amoeba het volgende:
Nouja, de functie was f(x). Ik had hem al omgebouwd tot de 'vergelijking' die je daar zag.
Maargoed, ik zal eens aan de gang gaan. Nog een kort vraagje:

Dit zijn altijd 'de sleutels' om tot de wortels te komen? Het is me niet helemaal duidelijk hoe je tot dit antwoord komt:

ε1 = -½ + i∙½√3 en ε2 = -½ - i∙½√3.

Ja, dit geldt altijd. Die ε1 en ε2 zijn de twee complexe derdemachtswortels van één. Dat kun je gemakkelijk controleren door ε13 en ε23 te berekenen. En er geldt ook ε1ε2 = 1.

Zijn nu u en v de reële waarden die voldoen aan u∙v = -p/3, dan zal het product (ε1∙u)∙(ε2∙v) en het product (ε2∙u)∙(ε1∙v)
dus ook gelijk zijn aan -p/3 zodat deze combinaties ook voldoen en daarmee de twee andere (toegevoegd complexe) wortels opleveren.
  dinsdag 22 mei 2012 @ 21:03:23 #299
302030 Amoeba
Floydiaan.
pi_111895945
quote:
0s.gif Op maandag 21 mei 2012 21:24 schreef Don_Vanelli het volgende:
Voor de volledigheid:

f(x) = \sin(2x) + \sin(x)\sqrt{21+4\cos^2(x)}
 = 2\sin(x)\cos(x) + \sin(x)\sqrt{21+4\cos^2(x)}
 = \sin(x)\left(2\cos(x) + \sqrt{21+4\cos^2(x)}\right)

Differentieren geeft

\frac{df}{dx} = \sin(x)\left(-2\sin(x) + \frac{-4\sin(x)\cos(x)}{\sqrt{21+4\cos^2(x)}}\right) + \cos(x)\left(2\cos(x)+\sqrt{21+4\cos^2(x)}\right)
= 2\cos(x)^2 - 2\sin(x)^2  + \frac{\cos(x)(4\cos^2(x)-4\sin^2(x)+21)}{\sqrt{21+4\cos^2(x)}}
 4\cos^2(x) - 2 + \frac{\cos(x)(8\cos^2(x)+17)}{\sqrt{21+4\cos^2(x)}} = 0 (1)

 t = \cos^2(x) geeft:

(2 - 4t)^2 = \frac{t(8t+17)^2}{21+4t}
(21+4t)(2 - 4t)^2 = t(8t+17)^2
64t^3 + 272t^2 - 320t + 84 = 64t^3 + 272t^2+289t
 84t=609
 t = \frac{4}{29}

dus

 \cos^2(x) = \frac{4}{29}
 x = \arccos\left(\pm\sqrt{\frac{4}{29}}\right)
 x = \arccos\left(-\sqrt{\frac{4}{29}}\right) voldoet niet aan (1), dus

 x = \arccos\left(\sqrt{\frac{4}{29}}\right)
Ah, nu weet ik weer wat er aan de hand was. Uiteindelijk kwam je uit op cos2a = 4/29
Nou, cosa = 2/√29

Dus kun je even een driehoek opstellen (soscastoa.. basisschool als je 't mij vraagt!)

dus de aanliggende zijde is 2, de schuine zijde √29
Een eenvoudig rekensommetje (Pythagoras) wijst dan uit dat de andere zijde uiteraard 5 is. Nu is het uiteraard alweer mogelijk om op basis van beredeneren te bewijzen dat de maximale oppervlakte 5 is. .Maargoed, wat we ook kunnen doen is nu de sinus uitdrukken. 5/√29

Nou goed, cosa = 2/√29 en sina = 5/√29

Vul dit in: komt perfect uit
Want sin2a = 2cosa*sina

[ Bericht 0% gewijzigd door Amoeba op 22-05-2012 21:04:39 (Typo) ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
pi_111896411
quote:
0s.gif Op dinsdag 22 mei 2012 21:03 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ah, nu weet ik weer wat er aan de hand was. Uiteindelijk kwam je uit op cos2a = 4/29
Nou, cosa = 2/√29

Dus kun je even een driehoek opstellen (soscastoa.. basisschool als je 't mij vraagt!)

dus de aanliggende zijde is 2, de schuine zijde √29
Een eenvoudig rekensommetje (Pythagoras) wijst dan uit dat de andere zijde uiteraard 5 is. Nu is het uiteraard alweer mogelijk om op basis van beredeneren te bewijzen dat de maximale oppervlakte 5 is. .Maargoed, wat we ook kunnen doen is nu de sinus uitdrukken. 5/√29

Nou goed, cosa = 2/√29 en sina = 5/√29

Vul dit in: komt perfect uit
Want sin2a = 2cosa*sina
Stiekem gebruikten wij ook de stelling van Pythagoras, maar dan in de vorm sin²+cos²=1. Komt dus op hetzelfde neer.
abonnement bol.com Unibet Coolblue
Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:
(afkorting, bv 'KLB')