SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Dat is correct.quote:Op maandag 21 mei 2012 08:21 schreef Don_Vanelli het volgende:
Het heeft me een uur van mn leven gekost, maar volgens mij is het antwoord dat de afstand tot de oorsprong gelijk is aan
Maar verklap nog maar niet hoe je het hebt gedaan, dan kan Amoeba nog even door puzzelen.
Ik moet toch uitkomen op een dikke gare wortel met 500x i? Of is dat te 'vereenvoudigen' tot 2cos4pi/9?quote:Op maandag 21 mei 2012 09:45 schreef Riparius het volgende:
[..]
Dat is correct.
Maar verklap nog maar niet hoe je het hebt gedaan, dan kan Amoeba nog even door puzzelen.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Je hebt twee complexe getallen m3 = -½ + i∙½√3 en n3 = -½ - i∙½√3 en je probleem is nu dat je van deze twee complexe getallen de derdemachtswortels moet bepalen. Maar dat is niet zuiver algebraďsch te doen en dat is precies waarop je stuk loopt.quote:
[..]
Ik moet toch uitkomen op een dikke gare wortel met 500x i? Of is dat te 'vereenvoudigen' tot 2cos4pi/9?
De kubische vergelijking x3 - 3x + 1 = 0 die je op moet lossen heeft uitsluitend reële wortels, maar opmerkelijk genoeg zijn deze wortels met de formules van Cardano toch niet zonder complexe getallen uit te drukken. Daarom noemde men dit casus irreducibilis ('het onherleidbare geval').
Je kunt nu een paar dingen doen, namelijk verder werken met complexe getallen en gebruik maken van de formule van De Moivre, of zonder complexe getallen werken door een goniometrische substitutie in je oorspronkelijke kubische vergelijking uit te voeren.
Meh.
m3 = -1/2 - 1/2i√3
3*argz = 240 graden, dus arg z = 80 graden.
m = cos80 + i*sin80
n = 1/m
a = m+n
cos 80 + isin80 + 1/(cos80 + i*sin80)
m3 = -1/2 - 1/2i√3
3*argz = 240 graden, dus arg z = 80 graden.
m = cos80 + i*sin80
n = 1/m
a = m+n
cos 80 + isin80 + 1/(cos80 + i*sin80)
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Inderdaad, daar komt het wel op neer, dat heb je snel gevonden (er zijn natuurlijk drie reële wortels, maar deze moet je hebben).quote:
Meh.
m3 = -1/2 - 1/2i√3
3*argz = 240 graden, dus arg z = 80 graden.
m = cos80 + i*sin80
n = 1/m
a = m+n
cos 80 + isin80 + 1/(cos80 + i*sin80)
Als je nu nog ziet dat 1/(cos 80° + i*sin 80°) = cos 80° - i*sin80° (waarom?) dan ben je klaar.
(cos80 + i sin80)-1 = cos-80 + isin-80
cos-x = cosx
sin-x = -sinx
Gonio + De Moivre.
Maar even een vraagje uit nieuwsgierigheid, wat heb jij (allemaal) gestudeerd?
cos-x = cosx
sin-x = -sinx
Gonio + De Moivre.
Maar even een vraagje uit nieuwsgierigheid, wat heb jij (allemaal) gestudeerd?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ah, je zit in mijn postgeschiedenis te kijken? Sorry, maar ik beantwoord geen privé vragen.quote:
(cos80 + i sin80)-1 = cos-80 + isin-80
cos-x = cosx
sin-x = -sinx
Gonio + De Moivre.
Maar even een vraagje uit nieuwsgierigheid, wat heb jij (allemaal) gestudeerd?
Neen. Ik kwam toevallig je post tegen bij de vraag over dat gedicht van (Schrijver?), ik zie je regelmatig in DIG en hier. Sorry, ik was enkel benieuwd.quote:
[..]
Ah, je zit in mijn postgeschiedenis te kijken? Sorry, maar ik beantwoord geen privé vragen.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ohja, het volgens mij integreer ik nu een stuk van de bol waaruit nog een kegel ontbreekt. Dat zou je er wel weer bij op kunnen tellen: 1/3 pi r˛ h, met r=cos(p), h=sin(p). Dan krijg jequote:
[..]
Het lijkt erop alsof je hier het interval waarover je r neemt als constant beschouwt, maar dat is niet zo als je p varieert ...
Maar dat is nog steeds wat anders geloof ik, want dan krijg ik numeriek p=0.28.
[ Bericht 1% gewijzigd door thenxero op 21-05-2012 11:19:07 ]
Je maakt het allemaal veel te moeilijk met die drievoudige integraal, want eigenlijk maak je gebruik van het feit dat de oppervlakte van een cirkel met straal r gelijk is aan:quote:
[..]
Ohja, het volgens mij integreer ik nu een stuk van de bol waaruit nog een kegel ontbreekt. Dat zou je er wel weer bij op kunnen tellen
∫02π ∫0r ρdρdθ
Je kunt veel beter een enkelvoudige integraal met ϕ als variabele opstellen.
Ik krijg een beetje een punthoofd van WolframAlpha, want die wil mijn bolcoördinaten met (r,θ,ϕ) niet herkennen, dus ik heb me even moeten behelpen met f voor ϕ, maar de integraal die je zoekt is deze.
Maar goed, dat is alleen om even te laten zien wat je dan krijgt. Voor p = π/2 krijg je het volume van de halve bol, zijnde (2/3)∙π.
Eenvoudiger gaat het als volgt. Beschouw een snijvlak op een hoogte h vanaf het grondvlak van de halve bol en zij r de straal van de snijcirkel. Dan hebben we:
r = cos ϕ,
en:
h = sin ϕ,
dus ook:
dh = cos ϕ∙dϕ
Dit geeft voor de volumedifferentiaal dV:
dV = π∙r2∙dh = π∙cos3ϕ∙dϕ
En dus krijgen we voor het volume V met ϕ = p:
∫0p π∙cos3ϕ∙dϕ
Je kunt nu gemakkelijk in WolframAlpha nagaan (weer met f voor ϕ) dat dit precies hetzelfde resultaat oplevert als die onnodig lastige drievoudige integraal.
[ Bericht 5% gewijzigd door Riparius op 21-05-2012 13:03:29 ]
Maargoed, heb je nog meer van zulke interessante dilemma's?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Nou ja, dilemma's, het is gewoon een opgave (uit het boek Beknopte Hoogere Algebra van Fred Schuh uit 1926, p. 287 als je het precies wil weten). Maar probeer eerst eens of je die kubische vergelijking op kunt lossen met een goniometrische substitutie, dus zonder gebruik van complexe getallen. Of kijk eens of je verder komt met de aanpak van thenxero.quote:
Maargoed, heb je nog meer van zulke interessante dilemma's?
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 21-05-2012 13:20:33 ]
Ik heb er nog wel een voor jou als je wil? Maar hoe kon ik nou uitkomen op die oplossing van Wolframalpha, ofwel dat 'wortelantwoord'? Daar wil ik nog wel mee verder. Een zetje, gaarne.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Post hier maar. Als ik het niet weet op te lossen dan iemand anders wellicht wel. Is altijd leerzaam, ook voor de meelezers.quote:
Ja leuk, dan kan ik weer domme opmerkingen maken enzo.quote:
[..]
Post hier maar. Als ik het niet weet op te lossen dan iemand anders wellicht wel. Is altijd leerzaam, ook voor de meelezers.
Wat had je precies ingevoerd bij WolframAlpha?quote:
Ik heb er nog wel een voor jou als je wil? Maar hoe kon ik nou uitkomen op die oplossing van Wolframalpha, ofwel dat 'wortelantwoord'? Daar wil ik nog wel mee verder. Een zetje, gaarne.
Goed, het gaat over een driehoek.
De oppervlakte O wordt gegeven door een functie:
O = sin(2a) + sin(a)√(21+4cos2(a))
Bereken exact de maximale waarde van O met behulp van differentieren. Met berekening gaarne, numeriek oplossen is te simpel.
Verder heb ik geen les gehad over bolcoördinaten en dubbele integralen, zoals gezegd: Buiten een CE Wiskunde B en 2 boeken Wiskunde D en een goede motivatie heb ik niet zo veel parate wiskundekennis.
De oppervlakte O wordt gegeven door een functie:
O = sin(2a) + sin(a)√(21+4cos2(a))
Bereken exact de maximale waarde van O met behulp van differentieren. Met berekening gaarne, numeriek oplossen is te simpel.
Verder heb ik geen les gehad over bolcoördinaten en dubbele integralen, zoals gezegd: Buiten een CE Wiskunde B en 2 boeken Wiskunde D en een goede motivatie heb ik niet zo veel parate wiskundekennis.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
De kubische functie. Naar de exacte antwoorden gekeken, ofwel de middelste daarvan die op het gevraagde interval ligt.quote:
[..]
Wat had je precies ingevoerd bij WolframAlpha?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Als ik even kijk dan zie ik daar op het eerste gezicht geen interessant of elegant antwoord uitkomen, dus óf je hebt de opgave verkeerd overgenomen, óf ik mis iets.quote:
Goed, het gaat over een driehoek.
De oppervlakte O wordt gegeven door een functie:
O = sin(2a) + sin(a)√(21+4cos2(a))
Bereken exact de maximale waarde van O met behulp van differentieren. Met berekening gaarne, numeriek oplossen is te simpel.
Je mist iets. Dit was een vraag op mijn proefwerk, om dit numeriek op te lossen. Maar zoals gegeven, eerst differentieren. De afgeleide moet 0 zijn.quote:
[..]
Als ik even kijk dan zie ik daar op het eerste gezicht geen interessant of elegant antwoord uitkomen, dus óf je hebt de opgave verkeerd overgenomen, óf ik mis iets.
Numeriek oplossen geeft O = 5. Dit gaf ons de drive om dit proberen exact te doen. Wat gelukt is.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
OK. Dit is gewoon wat je met de formule's van Cardano krijgt. Je had:quote:Op maandag 21 mei 2012 13:40 schreef Amoeba het volgende:
[..]
De kubische functie. Naar de exacte antwoorden gekeken, ofwel de middelste daarvan die op het gevraagde interval ligt.
m3 = -½ + i∙½√3 en n3 = -½ - i∙½√3
Elk van deze vergelijkingen heeft niet één maar drie oplossingen. Je krijgt dus 3 complexe getallen m1, m2, m3 en drie complexe getallen n1, n2, n3. Aangezien x = m + n kun je zo 9 combinaties maken, maar daarvan voldoen er maar 3, omdat je ook nog aan de voorwaarde mn = 1 moet voldoen.
Heb je één set oplossingen die voldoen, laten we zeggen m1 en n1 , dan kun je de twee andere waarden voor m en n vinden door te vermenigvuldigen met de beide primitieve derdemachts eenheidswortels, namelijk
ε1 = -½ + i∙½√3 en ε2 = -½ - i∙½√3
Aangezien ε1ε2 = 1 krijg je dan:
x1 = m1 + n1
x2 = ε1m1 + ε2n1
x3 = ε2m1 + ε1n1
Ik neem aan dat het nu wel wat duidelijker wordt hoe de uitdrukkingen die WolframAlpha geeft zijn opgebouwd.
Dan kom ik inderdaad ook uit op qł-3q+1=0 met q=sin(p)quote:
[..]
Je maakt het allemaal veel te moeilijk met die drievoudige integraal, want eigenlijk maak je gebruik van het feit dat de oppervlakte van een cirkel met straal r gelijk is aan:
∫02π ∫0r ρdρdθ
Je kunt veel beter een enkelvoudige integraal met ϕ als variabele opstellen.
Ik krijg een beetje een punthoofd van WolframAlpha, want die wil mijn bolcoördinaten met (r,θ,ϕ) niet herkennen, dus ik heb me even moeten behelpen met f voor ϕ, maar de integraal die je zoekt is deze.
Maar goed, dat is alleen om even te laten zien wat je dan krijgt. Voor p = π/2 krijg je het volume van de halve bol, zijnde (2/3)∙π.
Eenvoudiger gaat het als volgt. Beschouw een snijvlak op een hoogte h vanaf het grondvlak van de halve bol en zij r de straal van de snijcirkel. Dan hebben we:
r = cos ϕ,
en:
h = sin ϕ,
dus ook:
dh = cos ϕ∙dϕ
Dit geeft voor de volumedifferentiaal dV:
dV = π∙r2∙dh = π∙cos3ϕ∙dϕ
En dus krijgen we voor het volume V met ϕ = p:
∫0p π∙cos3ϕ∙dϕ
Je kunt nu gemakkelijk in WolframAlpha nagaan (weer met f voor ϕ) dat dit precies hetzelfde resultaat oplevert als die onnodig lastige drievoudige integraal.
.Ik snap hoe je die enkele integraal bepaalt, maar ik snap niet wat er mis was met mijn redenatie en hoe jij aan de correcte drievoudige integraal bent gekomen (ik zie bijvoorbeeld de jacobiaan niet meer terug).
Ik beweer dat { (r,θ,ϕ) : 0<r<1, 0<θ<2pi, 0<ϕ<p } gelijk is aan de verzameling van de afgezaagde bovenhelft van de bol minus de kegel. Zie plaatje.
een wss heel domme vraag van mij hier:
hoe vereenvoudig je het volgende?
? 
hoe vereenvoudig je het volgende?
Winnaar KLB verkiezingen 2012.
Er valt niet zoveel te vereenvoudigen. Je kan het kwadraat loslaten op de teller en noemer... maar of het daar eenvoudiger van wordt...quote:Op maandag 21 mei 2012 17:13 schreef gogosweden het volgende:
een wss heel domme vraag van mij hier:
hoe vereenvoudig je het volgende?
hmm daar heb je wel een punt.quote:
[..]
Er valt niet zoveel te vereenvoudigen. Je kan het kwadraat loslaten op de teller en noemer... maar of het daar eenvoudiger van wordt...
Volgens het boek word het :
maar hoe ze dat gekregen hebben is mij een raadsel
Winnaar KLB verkiezingen 2012.
Ik weet niet of dit het juiste topic is, maar ik heb moeite met de mediaan te berekenen. Ik snap niet echt hoe het moet.
Dit is de frequentietabel:
inhoud in ml: 100 200 330 500
frequentie: 19 26 41 3
Alvast bedankt
edit: in de post staan de getallen niet onder elkaar, maar het is gewoon in die volgorde.
Dit is de frequentietabel:
inhoud in ml: 100 200 330 500
frequentie: 19 26 41 3
Alvast bedankt
edit: in de post staan de getallen niet onder elkaar, maar het is gewoon in die volgorde.
mediaan is het middelste getal bij een onevenreeks, bij een even reeks het gemiddelde van de 2 middelste waarnemingen.
Dus hier is je mediaan het 45e getal, dus 200.
Dus hier is je mediaan het 45e getal, dus 200.
Dat de mediaan het 45e getal is begrijp ik, maar ik snap niet hoe je dan bij 200 komt. Misschien dom, ik weet hetquote:
mediaan is het middelste getal bij een onevenreeks, bij een even reeks het gemiddelde van de 2 middelste waarnemingen.
Dus hier is je mediaan het 45e getal, dus 200.
je hebt een reeks waarnemingen, ik zal even een voorbeeld geven: 3 5 8 9 11 15
Mediaan= de middelste waarneming van de reeks.
Gemiddelde= spreekt voor zich denk ik.
Hier heb je 6 waarnemingen, de mediaan is dan waarneming (3+4)/2= 17/2 = 8,5
Vaak wordt een mediaan gebruikt om de verdeling van de getallen aan te geven, de mediaan kan 3 zijn, maar door een hele hoge uitschieter kan het gemiddelde op 11 komen te liggen. Het wordt gebruikt om de verdeling van de waarnemingen weer te geven zegmaar. Correct me if im wrong iemand.
Mediaan= de middelste waarneming van de reeks.
Gemiddelde= spreekt voor zich denk ik.
Hier heb je 6 waarnemingen, de mediaan is dan waarneming (3+4)/2= 17/2 = 8,5
Vaak wordt een mediaan gebruikt om de verdeling van de getallen aan te geven, de mediaan kan 3 zijn, maar door een hele hoge uitschieter kan het gemiddelde op 11 komen te liggen. Het wordt gebruikt om de verdeling van de waarnemingen weer te geven zegmaar. Correct me if im wrong iemand.
Is het:
Mij werd de brieven overhandigd / Mij werden de brieven overhandigd (werden toch ?! Maar twijfel nu inees)
Mij werd de brieven overhandigd / Mij werden de brieven overhandigd (werden toch ?! Maar twijfel nu inees)
Mij werden de brieven overhandigd.quote:
Is het:
Mij werd de brieven overhandigd / Mij werden de brieven overhandigd (werden toch ?! Maar twijfel nu inees)
Onderwerp is 'de brieven', dus moet pv ook in meervoud staan.
Volgens mij heb ik hem (bijna) gevonden. Je gebruikt wat gonio om alle sinussen in cosinussen te veranderen. Dan substitueer je p=cos˛(a), en dat geeft een tweedegraadsvergelijking met als oplossingenquote:
[..]
Je mist iets. Dit was een vraag op mijn proefwerk, om dit numeriek op te lossen. Maar zoals gegeven, eerst differentieren. De afgeleide moet 0 zijn.
Numeriek oplossen geeft O = 5. Dit gaf ons de drive om dit proberen exact te doen. Wat gelukt is.
en
Dus
Als ik dit weer invul in wolfram krijg ik helaas 4.99 in plaats van 5
Zet de getallen op een rijtje (van klein naar groot). Wat is het 45e getal?quote:
[..]
Dat de mediaan het 45e getal is begrijp ik, maar ik snap niet hoe je dan bij 200 komt. Misschien dom, ik weet het
3+4 is geen 17quote:
je hebt een reeks waarnemingen, ik zal even een voorbeeld geven: 3 5 8 9 11 15
Mediaan= de middelste waarneming van de reeks.
Gemiddelde= spreekt voor zich denk ik.
Hier heb je 6 waarnemingen, de mediaan is dan waarneming (3+4)/2= 17/2 = 8,5
Vaak wordt een mediaan gebruikt om de verdeling van de getallen aan te geven, de mediaan kan 3 zijn, maar door een hele hoge uitschieter kan het gemiddelde op 11 komen te liggen. Het wordt gebruikt om de verdeling van de waarnemingen weer te geven zegmaar. Correct me if im wrong iemand.
Oké top bedanktquote:
[..]
Mij werden de brieven overhandigd.
Onderwerp is 'de brieven', dus moet pv ook in meervoud staan.
Excuses trouwens, had niet gelezen dat dit voor wiskunde vraagstukken was.
Welke getallen? De frequentie of inhoud in ml?quote:
[..]
Zet de getallen op een rijtje (van klein naar groot). Wat is het 45e getal?
Ik ben hier echt zo slecht in
nou ej zou dan 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 .......................................... 500 500 500
dus je hebt de frequentie, hoevaak iets voorkomt, uitgeschreven in die getallen. Het 45e getal is dus 200
dus je hebt de frequentie, hoevaak iets voorkomt, uitgeschreven in die getallen. Het 45e getal is dus 200
Duidelijk, maar om dat nou elke keer uit te schrijven is ook niet de bedoeling denk ik. Kan je aan de frequentietabel zien wat het 45e getal is?quote:
nou ej zou dan 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 330 .......................................... 500 500 500
dus je hebt de frequentie, hoevaak iets voorkomt, uitgeschreven in die getallen. Het 45e getal is dus 200
@ Dat ''vraagstuk'' een paar bladzijde's geleden.
Kijk, dát is nou wat ik zo superleuk vind aan wiskunde. Heel lang bezig met een opgave, lekker puzzelen en dan úiteindelijk er zelf uitkomen, het gevoel dat je dan krijgt
Dat is een van de redenen waarom ik graag een wiskundige studie, als TW of Econometrie wil gaan doen
Helaas mis ik nu gewoon wiskundekennis om het te volgen
Kijk, dát is nou wat ik zo superleuk vind aan wiskunde. Heel lang bezig met een opgave, lekker puzzelen en dan úiteindelijk er zelf uitkomen, het gevoel dat je dan krijgt
Dat is een van de redenen waarom ik graag een wiskundige studie, als TW of Econometrie wil gaan doen Helaas mis ik nu gewoon wiskundekennis om het te volgen
Tel alle frequenties bij elkaar op, dan kom je op 89, het middelste getal is het getal tussen 44 en 46, dus 45, de 45e waarneming is de laatste 200quote:
[..]
Duidelijk, maar om dat nou elke keer uit te schrijven is ook niet de bedoeling denk ik. Kan je aan de frequentietabel zien wat het 45e getal is?
Ah ja, ik zie het.quote:
[..]
Tel alle frequenties bij elkaar op, dan kom je op 89, het middelste getal is het getal tussen 44 en 46, dus 45, de 45e waarneming is de laatste 200
Hartstikke bedankt
De leukste opgaves vind ik toch eigenlijk opgaves waarbij je weinig algebra nodig hebt, maar het probleem gewoon heel handig moet aanpakken waardoor een schijnbaar onmogelijk probleem opeens heel eenvoudig wordt.quote:
@ Dat ''vraagstuk'' een paar bladzijde's geleden.
Kijk, dát is nou wat ik zo superleuk vind aan wiskunde. Heel lang bezig met een opgave, lekker puzzelen en dan úiteindelijk er zelf uitkomen, het gevoel dat je dan krijgt
Helaas mis ik nu gewoon wiskundekennis om het te volgen
Ik zie dat ik een stomme rekenfout heb gemaakt. Als ik die verbeter kom ik wel goed uit.quote:
[..]
Volgens mij heb ik hem (bijna) gevonden. Je gebruikt wat gonio om alle sinussen in cosinussen te veranderen. Dan substitueer je p=cos˛(a), en dat geeft een tweedegraadsvergelijking met als oplossingen
en
Dus
Als ik dit weer invul in wolfram krijg ik helaas 4.99 in plaats van 5
Nu nog 5 eruit zien te krijgen
Waarom maar dan ook waarom zou je a eruit halen?quote:
[..]
Ik zie dat ik een stomme rekenfout heb gemaakt. Als ik die verbeter kom ik wel goed uit.
Nu nog 5 eruit zien te krijgen
Kijk eens naar de functie zelf?
sin(2a) + sin(a)(21+4cos2(a))
Ik heb zelf even het antwoord niet meer bij de hand, maar ik kan me herinneren dat je ook een oplossing voor de sinus kreeg. (dus sin a = .....)
sin2a zet je om in 2cosAsinA
cosA heb je nog wel staan volgens mij?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Overigens was dit een schijnbaar eenvoudig dilemma. De opgave ging vergezeld van een tekening van de driehoek.
Hoek alfa was gegeven (de plaats dan) en de zijden 5 en 2.
Nou, als je als basis de zijde 5 nam, 2 stond daar zo ongeveer loodrecht op, dan was het makkelijk om aan te bewijzen dat de oppervlakte van de driehoek maximaal is als die zijde van 2 loodrecht op die van 5 stond. Ergo, 1/2 * basis * hoogte leverde sowieso 5 op.
Hoek alfa was gegeven (de plaats dan) en de zijden 5 en 2.
Nou, als je als basis de zijde 5 nam, 2 stond daar zo ongeveer loodrecht op, dan was het makkelijk om aan te bewijzen dat de oppervlakte van de driehoek maximaal is als die zijde van 2 loodrecht op die van 5 stond. Ergo, 1/2 * basis * hoogte leverde sowieso 5 op.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
