[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

quote:

Op vrijdag 22 augustus 2014 16:24 schreef thenxero het volgende:

[..]

[..]

Ik heb oneindig veel paren voor je: (1,2,3,4,5,6) + ke₆ & (1,2,3,4,5,6) - ke₆ voor k in N, waar e₆ = (1,1,1,1,1,1). (OK, alleen k=1 en k=0 tellen dan niet )

Weleens een dobbelsteen met een negatief aantal ogen gezien? Dobbelstenen met halve ogen, halve of negatief tellende zijden, of nog meer van dat soort flauwekul, daar doen we niet aan. Gewoon 6 vlakken met een positief geheel aantal ogen op elk van de vlakken, zoals Riparius opmerkte.

Maar goed, ik neem aan dat je de oplossing inmiddels al hebt gevonden?

quote:

Op vrijdag 22 augustus 2014 20:17 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat was geen 'eindantwoord', want ik verwachtte dat je de laatste stap nu zelf wel zou kunnen zetten. Ik heb gezegd dat

K⁻³ − K⁻⁶ = K⁻⁶(K³ − 1)

en ook dat

K³ − 1 = (K − 1)(K² + K + 1)

En wat krijg je dan als je de tweede betrekking in de eerste substitueert, oftewel, als je in de eerste betrekking (K³ − 1) door (K − 1)(K² + K + 1) vervangt?

Ow, dan was het een misinterpretatie geweest van mij. Ik dacht dat je het vergeten was.

Ik heb nog een onduidelijkheid over het onderwerp ongelijkheden:


Bij de volgende ongelijkheid vraag ik me af hoe de getallenlijn eruit ziet en wat het antwoord is:

( (x-2) + 3(x+1) ) / (x+3) -< [gelijk of kleiner als] 0

Ik maakte er het volgende van:

(4x + 1) / (x+3) -< 0

Ik vraag me alleen af hoe ik zonder calculator een getallenlijn kan maken en achter het antwoord kan komen? Is het trial and error ofzo?

quote:

Op vrijdag 22 augustus 2014 22:56 schreef Andijvie_ het volgende:
Ik heb nog een onduidelijkheid over het onderwerp ongelijkheden:

Bij de volgende ongelijkheid vraag ik me af hoe de getallenlijn eruit ziet en wat het antwoord is:

( (x-2) + 3(x+1) ) / (x+3) -< [gelijk of kleiner als] 0

Ik maakte er het volgende van:

(4x + 1) / (x+3) -< 0

Ik vraag me alleen af hoe ik zonder calculator een getallenlijn kan maken en achter het antwoord kan komen? Is het trial and error ofzo?

Het teken ≤ maak je door & le; te typen zonder spatie na de &. De ongelijkheid is

(4x + 1) / (x + 3) ≤ 0

Het oplossen van een dergelijke ongelijkheid doe je niet via trial and error. In het linkerlid van de ongelijkheid heb je een breuk, en we moeten nu bepalen voor welke waarden van x de waarde van deze breuk ofwel negatief is ofwel nul.

In het algemeen is de waarde van een breuk negatief of nul als (a) de teller kleiner dan of gelijk is aan nul terwijl de noemer groter is dan nul of als (b) de teller groter dan of gelijk is aan nul terwijl de noemer kleiner is dan nul. Dus krijgen we als voorwaarden

(4x + 1 ≤ 0 ∧ x + 3 > 0) ∨ (4x + 1 ≥ 0 ∧ x + 3 < 0)

en dit geeft

(x ≤ −¼ ∧ x > −3) ∨ (x ≥ −¼ ∧ x < −3)

De tweede voorwaarde is strijdig, want een getal x kan niet gelijktijdig groter zijn dan −¼ en kleiner dan −3, zodat we alleen de eerste voorwaarde overhouden. En hiervoor kunnen we schrijven

−3 < x ≤ −¼

Anders gezegd, x moet liggen op het interval (−3, −¼].

quote:

Op vrijdag 22 augustus 2014 23:28 schreef Riparius het volgende:

[..]

Het teken ≤ maak je door & le; te typen zonder spatie na de &. De ongelijkheid is

(4x + 1) / (x + 3) ≤ 0

Het oplossen van een dergelijke ongelijkheid doe je niet via trial and error. In het linkerlid van de ongelijkheid heb je een breuk, en we moeten nu bepalen voor welke waarden van x de waarde van deze breuk ofwel negatief is ofwel nul.

In het algemeen is de waarde van een breuk negatief of nul als (a) de teller kleiner dan of gelijk is aan nul terwijl de noemer groter is dan nul of als (b) de teller groter dan of gelijk is aan nul terwijl de noemer kleiner is dan nul. Dus krijgen we als voorwaarden

(4x + 1 ≤ 0 ∧ x + 3 > 0) ∨ (4x + 1 ≥ 0 ∧ x + 3 < 0)

en dit geeft

(x ≤ −¼ ∧ x > −3) ∨ (x ≥ −¼ ∧ x < −3)

De tweede voorwaarde is strijdig, want een getal x kan niet gelijktijdig groter zijn dan −¼ en kleiner dan −3, zodat we alleen de eerste voorwaarde overhouden. En hiervoor kunnen we schrijven

−3 < x ≤ −¼

Anders gezegd, x moet liggen op het interval (−3, −¼].

Is dit de enige manier of zijn er nog meer makkelijke methoden?

Enorm duidelijke uitleg en daar dank ik je dan ook zeer voor Riparius!

quote:

Op zaterdag 23 augustus 2014 00:39 schreef Andijvie_ het volgende:

[..]

Is dit de enige manier of zijn er nog meer makkelijke methoden?

Je zou in dit geval de breuk ook kunnen herleiden door eerst de teller 4x + 1 te herschrijven als 4(x + 3) − 11, zodat je de breuk als geheel daarna kunt herschrijven als 4 − (11/(x + 3)), maar de oplossing van de ongelijkheid wordt hiermee niet eenvoudiger.

In het algemeen herleid je bij ongelijkheden waarbij de onbekende in de noemer van een breuk voorkomt eerst het rechterlid op nul, en herschrijf je het linkerlid als één breuk, waarna je in het algemeen twee mogelijkheden hebt, zoals in het uitgewerkte voorbeeld hierboven. Dan houd je twee sets ongelijkheden over waarbij de onbekende niet meer in de noemer van een breuk voorkomt.

quote:

Enorm duidelijke uitleg en daar dank ik je dan ook zeer voor Riparius!

Graag gedaan.

quote:

Op vrijdag 22 augustus 2014 16:57 schreef thenxero het volgende:

[..]

Aangezien Amoeba, aan wie het vraagstuk was opgegeven, het volledig af heeft laten weten en jij kennelijk ook niet meer genegen bent om je erin te verdiepen geef ik hier voor eventuele andere geïnteresseerden maar even mijn uitwerking.

De voortbrengende functie voor de uitkomsten van een worp met één reguliere dobbelsteen is

x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶

Dit polynoom heeft 6 termen waarbij de coëfficiënt van elke term 1 is en de exponent van x van elke term het aantal ogen voorstelt op een zijde van de dobbelsteen. Door dit polynoom met zichzelf te vermenigvuldigen krijgen we de voortbrengende functie voor de uitkomsten van een worp met twee reguliere dobbelstenen. Het is eenvoudig in te zien waarom dit zo is. Als we namelijk dit polynoom met zichzelf vermenigvuldigen, dan vermenigvuldigen we elke term uit de eerste factor met elke term uit de tweede factor. Elk product stelt daarbij één mogelijke uitkomst voor bij een worp met de twee dobbelstenen. Aangezien exponenten optellen bij vermenigvuldiging krijgen we zo een polynoom waarvan de exponenten van x van de termen lopen van 2 tot en met 12 en waarbij de coëfficiënt van elke term het aantal manieren geeft waarop met twee dobbelstenen het totaal aantal ogen gelijk aan de exponent van die term kan worden verkregen. En dus hebben we zo inderdaad de voortbrengende functie voor de uitkomsten van een worp met twee reguliere dobbelstenen.

Willen we nu twee dobbelstenen vinden waarbij het aantal ogen op elk van de zes vlakjes van elk van beide dobbelstenen geheel en positief is, de dobbelstenen niet 'normaal' zijn en de verdeling van de mogelijke uitkomsten bij het werpen met deze twee 'speciale' dobbelstenen niettemin identiek is aan de verdeling van de mogelijke uitkomsten bij het werpen met twee 'normale' dobbelstenen, dan moet dus het product van de voortbrengende functies P(x) en Q(x) voor de uitkomsten van een worp met elk van deze 'speciale' dobbelstenen identiek zijn aan het kwadraat van de voortbrengende functie van de uitkomsten van een worp met één reguliere dobbelsteen, zodat moet gelden

(1) P(x)Q(x) = (x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶)²

Nu moeten de polynomen P(x) en Q(x) wel aan een aantal voorwaarden voldoen. De algemene gedaante van een voortbrengende functie voor de uitkomsten van worp met een dobbelsteen met zes vlakjes is

x^m + xⁿ + x^p + x^q + x^r + x^s

waarbij m, n, p, q, r, s positieve gehele getallen zijn die de aantallen ogen voorstellen op elk van de zes vlakjes van de dobbelsteen. Aangezien een dergelijk polynoom geen constante term heeft, moet voor de te vinden polynomen P(x) en Q(x) dus gelden

(2) P(0) = 0, Q(0) = 0

Verder is de som van de coëfficiënten van de termen van een voortbrengende functie voor de uitkomsten van een worp met een dobbelsteen met zes vlakjes gelijk aan 6. Dit geldt uiteraard ook als twee of meer van de positieve gehele getallen m, n, p, q, r, s gelijk aan elkaar zijn en het aantal termen van het polynoom dus minder is dan 6. Als bijvoorbeeld n = m, dan is x^m + xⁿ = 2x^m zodat aan de som van de coëfficiënten van het polynoom niets verandert. De coëfficiënten van de te vinden polynomen P(x) en Q(x) zijn dus positief en geheel en voor deze polynomen moet ook gelden

(3) P(1) = 6, Q(1) = 6

Nu volgt uit (1) dat het product P(x)Q(x) dezelfde factoren bevat als (x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶)² en dat betekent dat elk van de factoren van (x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶)² een factor is van hetzij P(x) hetzij Q(x). Ontbinden we dus x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶ en daarmee (x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶)² in factoren, dan kunnen we nagaan of we deze factoren op een zodanige wijze over P(x) en Q(x) kunnen verdelen dat beide polynomen ongelijk zijn aan x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶ terwijl nog steeds aan de voorwaarden (2) en (3) wordt voldaan. Als dit lukt, dan hebben we de voortbrengende functies en daarmee de verdeling van de ogen van de gevraagde speciale dobbelstenen gevonden.

Welnu, het ontbinden in factoren van de veelterm x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶ is niet moeilijk. Om te beginnen kunnen we een factor x buiten haakjes halen, en dit geeft

x(1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵)

Nu is gemakkelijk te zien dat de veelterm 1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ een nulpunt x = −1 heeft, zodat deze veelterm een factor (x + 1) bevat. Halen we per tweetal opeenvolgende termen een factor (1 + x) buiten haakjes, dan krijgen we

1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ = (1 + x) + (1 + x)x² + (1 + x)x⁴ = (1 + x)(1 + x² + x⁴)

De veelterm 1 + x² + x⁴ kunnen we nog ontbinden in twee kwadratische veeltermen. Met behulp van kwadraatafsplitsing krijgen we

1 + x² + x⁴ = (1 + x²)² − x² = (1 + x + x²)(1 − x + x²)

De kwadratische veeltermen 1 + x + x² en 1 − x + x² zijn niet verder te ontbinden in reële lineaire factoren (en dus a fortiori niet in lineaire factoren met gehele coëfficiënten) aangezien de discriminanten van deze kwadratische veeltermen negatief zijn. We vinden dus

x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶ = x(1 + x)(1 + x + x²)(1 − x + x²)

zodat we op grond van (1) hebben

(4) P(x)Q(x) = x²(1 + x)²(1 + x + x²)²(1 − x + x²)²

We hebben nu acht factoren die we moeten verdelen over P(x) en Q(x). Het is duidelijk dat P(x) en Q(x) elk één factor x moeten bevatten, aangezien op grond van (2) moet gelden P(0) = 0 en tevens Q(0) = 0. Verder is het zo dat de factoren (1 + x), (1 + x + x²) en (1 − x + x²) voor x = 1 gelijk zijn aan resp. 2, 3 en 1. En aangezien op grond van (3) moet gelden P(1) = 6 en tevens Q(1) = 6 volgt uit (4) dat P(x) en Q(x) elk één factor (1 + x) en één factor (1 + x + x²) moeten bevatten.

Nu blijven alleen nog de beide factoren (1 − x + x²) over om te verdelen over P(x) en Q(x). Het is echter duidelijk dat de beide factoren (1 − x + x²) samen in één van de beide polynomen P(x) en Q(x) moeten zitten als deze polynomen ongelijk moeten zijn aan x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶. Er is dus, afgezien van de verwisseling van P(x) en Q(x), precies één paar voortbrengende functies P(x) en Q(x) dat aan het gevraagde voldoet. Stoppen we de beide factoren (1 − x + x²) in Q(x) dan hebben we

(5) P(x) = x(1 + x)(1 + x + x²) = x + 2x² + 2x³ + x⁴

en

(6) Q(x) = x(1 + x)(1 + x + x²)(1 − x + x²)² = x + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶ + x⁸

De gevraagde verdeling van de aantallen ogen op de speciale dobbelstenen is dus (1, 2, 2, 3, 3, 4) en (1, 3, 4, 5, 6, 8).

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 24-08-2014 23:46:06 ]

quote:

Op zondag 24 augustus 2014 17:34 schreef Riparius het volgende:

[..]

x

Mooi uitgewerkt!

Ik vind het leuke puzzels maar ik heb er nu weinig tijd voor. Ben bezig met mijn masterscriptie en het regelen van een Phd plek, dus er zijn al voldoende puzzels die ik moet oplossen .

Ik wil 2(x+2)^2 ontbinden in factoren. Na een (mislukte) poging kwam ik uit op:
2x^2+4^2, maar dat klopt natuurlijk niet. Kan iemand mij een opstapje geven over hoe ik deze formule moet ontbinden in factoren (m.n. hoe ik die kwadraat daarin moet verwerken).

Edit:
Laat maar: 2x^2+8x+8

[ Bericht 3% gewijzigd door Holograph op 28-08-2014 21:13:31 ]

Nu heb je de haakjes uitgewerkt. Ontbinden in factoren wordt iets van de vorm

(2x+...)(x+...)

quote:

Op donderdag 28 augustus 2014 21:15 schreef Janneke141 het volgende:
Nu heb je de haakjes uitgewerkt. Ontbinden in factoren wordt iets van de vorm

(2x+...)(x+...)

Ik moest iig de haakjes wegwerken Ik dacht dat dat 'ontbinden in factoren' heet, maar de laatste keer dat ik wiskunde heb gehad is ook alweer 4 jaar geleden..

quote:

Op donderdag 28 augustus 2014 22:42 schreef Holograph het volgende:

[..]

Ik moest iig de haakjes wegwerken Ik dacht dat dat 'ontbinden in factoren' heet, maar de laatste keer dat ik wiskunde heb gehad is ook alweer 4 jaar geleden..

Ontbinden in factoren is min of meer het tegenovergestelde. Maar eigenlijk was waarmee je begon al ontbonden in factoren.

M = aY + B(r - y)^-8


*: Y en y zijn twee verschillende tekens (variabelen). -8 is ook een teken-variabele maar ik heb geen idee hoe ik dat invoer hier...


De vraag is:

Solve the equation for r.


Ik heb geen idee.

Kunnen jullie mij helpen?


Verderop staat dat ik makkelijk moet kunnen zien dat de functie gelijk is aan

(r - y)^-8 = (M - aY)/B


Ik snap het niet en kan het niet inzien. Daarnaast snap ik nog ook niet waarom het M - aY is en niet aY - M

quote:

Op vrijdag 29 augustus 2014 18:19 schreef BroodjeKebab het volgende:
M = aY + B(r - y)^-8


*: Y en y zijn twee verschillende tekens (variabelen). -8 is ook een teken-variabele maar ik heb geen idee hoe ik dat invoer hier...


De vraag is:

Solve the equation for r.


Ik heb geen idee.

Kunnen jullie mij helpen?


Verderop staat dat ik makkelijk moet kunnen zien dat de functie gelijk is aan

(r - y)^-8 = (M - aY)/B


Ik snap het niet en kan het niet inzien. Daarnaast snap ik nog ook niet waarom het M - aY is en niet aY - M

Je haalt de aY naar links, plus wordt min dus M - aY. Dan haal je B naar links, vermenigvuldigen wordt delen. Dan schrijven met r aan één kant van het = teken en de rest aan de andere kant.

quote:

Op vrijdag 29 augustus 2014 18:46 schreef OllieWilliams het volgende:

[..]

Je haalt de aY naar links, plus wordt min dus M - aY. Dan haal je B naar links, vermenigvuldigen wordt delen. Dan schrijven met r aan één kant van het = teken en de rest aan de andere kant.

Dankje.
Ik weet niet hoe je een verbonden functie uit elkaar moet halen (r - y)^-8

quote:

Op vrijdag 29 augustus 2014 19:09 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Dankje.
Ik weet niet hoe je een verbonden functie uit elkaar moet halen (r - y)^-8

Alles wat er tussen de haakjes staat kun je voor nu beschouwen als één ding. Zaak is om de macht weg te werken, weet je hoe dat werkt?

quote:

Op vrijdag 29 augustus 2014 19:12 schreef OllieWilliams het volgende:

[..]

Alles wat er tussen de haakjes staat kun je voor nu beschouwen als één ding. Zaak is om de macht weg te werken, weet je hoe dat werkt?

Ja een negatieve macht is hetzelfde als delen.


Bijv. x^-5 is gelijk aan

1 / x⁵

quote:

Op vrijdag 29 augustus 2014 19:17 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Ja een negatieve macht is hetzelfde als delen.

Bijv. x^-5 is gelijk aan

1 / x⁵

Klopt, maar we willen r hebben en niet r⁸ Dus moeten we die macht zien weg te krijgen, weet je ook hoe dat werkt?

quote:

Op vrijdag 29 augustus 2014 19:20 schreef OllieWilliams het volgende:

[..]

Klopt, maar we willen r hebben en niet r⁸ Dus moeten we die macht zien weg te krijgen, weet je ook hoe dat werkt?

Die 8 wegkrijgen ehmm..

Dat wordt dan 1/8 (als exponent) aan de rechterzijde van de = teken.


Edit: ik heb hem door. Jij legt ook, net als Riparius, uit alsof je een docent bent.


Dankje!!

quote:

Op vrijdag 29 augustus 2014 19:25 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Die 8 wegkrijgen ehmm..

Dat wordt dan 1/8 (als exponent) aan de rechterzijde van de = teken.

Edit: ik heb hem door. Jij legt ook, net als Riparius, uit alsof je een docent bent.

Dankje!!

Goed bezig

Heb moeite met n polynoomfunctie
Kan een van jullie mij helpen met het volgende;

x^4+2x^2=8

Zonder gebruik van een GR kom ik er niet uit, moet ik bekennen

Substitueer y=x².

quote:

Op zaterdag 30 augustus 2014 15:14 schreef thabit het volgende:
Substitueer y=x².

Ik heb een paar bladzijdes volgeschreven (met onzin), maar het juiste antwoord heb ik niet gevonden.
Jouw reactie gaf me nieuwe inzichten maar t is me niet gelukt chef

Tsja Henk, zo moeilijk is dit toch niet?

quote:

Op zaterdag 30 augustus 2014 15:56 schreef thabit het volgende:
Tsja Henk, zo moeilijk is dit toch niet?

ik kan wel beredeneren dat x √2 of -√2 moet zijn : x^2(x^2+2)=8 maar of dat de juiste (geaccepteerde) methode van tot de uitkomst komen is ben ik me niet zeker van

quote:

Op zaterdag 30 augustus 2014 16:08 schreef rumiii het volgende:

[..]

ik kan wel beredeneren dat x √2 of -√2 moet zijn : x^2(x^2+2)=8 maar of dat de juiste (geaccepteerde) methode van tot de uitkomst komen is ben ik me niet zeker van

Hoe heb je dat beredeneerd?

Ik neem trouwens aan dat je alleen reële oplossingen hoeft te geven?

Wiskunde is bij uitstek de wetenschap waar beredeneren de juiste methode is.

quote:

Op zaterdag 30 augustus 2014 15:09 schreef rumiii het volgende:
Heb moeite met n polynoomfunctie
Kan een van jullie mij helpen met het volgende;

x^4+2x^2=8

Zonder gebruik van een GR kom ik er niet uit, moet ik bekennen

x⁴ + 2x² = 8
x⁴ + 2x² − 8 = 0

Het linkerlid kun je nu gemakkelijk ontbinden in (kwadratische) factoren. Daarvoor zoek je twee (gehele) getallen waarvan de som +2 is en het product −8. Die getallen zijn +4 en −2. Dan krijgen we

(x² + 4)(x² − 2) = 0
x² + 4 = 0 ∨ x² − 2 = 0
x² = −4 ∨ x² = 2

De eerste vergelijking heeft in R geen oplossingen aangezien het kwadraat van een reëel getal niet negatief kan zijn. Voor de tweede vergelijking vinden we dan

x = √2 ∨ x = −√2

Dat is alles.

quote:

Op zaterdag 30 augustus 2014 16:32 schreef Riparius het volgende:

[..]

x⁴ + 2x² = 8
x⁴ + 2x² − 8 = 0

Het linkerlid kun je nu gemakkelijk ontbinden in (kwadratische) factoren. Daarvoor zoek je twee (gehele) getallen waarvan de som +2 is en het product −8. Die getallen zijn +4 en −2. Dan krijgen we

(x² + 4)(x² − 2) = 0
x² + 4 = 0 ∨ x² − 2 = 0
x² = −4 ∨ x² = 2

De eerste vergelijking heeft in R geen oplossingen aangezien het kwadraat van een reëel getal niet negatief kan zijn. Voor de tweede vergelijking vinden we dan

x = √2 ∨ x = −√2

Dat is alles.

Bedankt voor je reactie chef
Zeer verhelderend

Bereken de afgeleide en herleid tot 1 breuk:


h'(x)= 3/4*sqrtx - 1/(2x*sqrtx)
Ik kom er niet echt uit hoe ik hem verder kan oplossen.

[ Bericht 7% gewijzigd door rareziekte op 31-08-2014 13:50:19 ]

quote:

Op zondag 31 augustus 2014 13:38 schreef rareziekte het volgende:
Bereken de afgeleide en herleid tot 1 breuk:


h'(x)= 3/4*sqrtx - 1/(2x*sqrtx)
Ik kom er niet echt uit hoe ik hem verder kan oplossen.

Dit is in principe gewoon toepassen van de regels voor differentiëren. Waar loop je vast?

quote:

Op zondag 31 augustus 2014 14:15 schreef defineaz het volgende:

[..]

Dit is in principe gewoon toepassen van de regels voor differentiëren. Waar loop je vast?

Het is duidelijk dat hij vastloopt op het herleiden van de twee termen van zijn afgeleide tot gelijknamige breuken. Dat heeft an sich niets met differentiëren te maken maar alles met gebrekkige algebraïsche vaardigheden die weer zijn terug te voeren op onvoldoende rekenvaardigheid.

quote:

Op zondag 31 augustus 2014 16:33 schreef Riparius het volgende:

[..]

Het is duidelijk dat hij vastloopt op het herleiden van de twee termen van zijn afgeleide tot gelijknamige breuken. Dat heeft an sich niets met differentiëren te maken maar alles met gebrekkige algebraïsche vaardigheden die weer zijn terug te voeren op onvoldoende rekenvaardigheid.

Je hebt gelijk. Ik weet dat ik de noemer gelijk kan stellen, maar heb geen idee hoe dat te doen met (3/4)*sqrtx

quote:

Op zondag 31 augustus 2014 16:40 schreef rareziekte het volgende:

[..]

Je hebt gelijk. Ik weet dat ik de noemer gelijk kan stellen, maar heb geen idee hoe dat te doen met (3/4)*sqrtx

Vermenigvuldig de eerste term met x² / x² en de tweede term met 2√x / 2√x, dan krijg je twee gelijknamige breuken met als noemer 4x².

quote:

Op zondag 31 augustus 2014 16:33 schreef Riparius het volgende:

[..]

Het is duidelijk dat hij vastloopt op het herleiden van de twee termen van zijn afgeleide tot gelijknamige breuken. Dat heeft an sich niets met differentiëren te maken maar alles met gebrekkige algebraïsche vaardigheden die weer zijn terug te voeren op onvoldoende rekenvaardigheid.

Ik had niet gezien dat de afgeleide al in de post stond.

Ik snap het volgende niet wat betrekking heeft tot een uitleg over de abc formule en zou daar graag wat hulp bij willen, mits dat mogelijk is van één van jullie wiskundigen

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Die laatste spoiler is totaal onbekend voor mij met name doordat alles door elkaar is (exponenten, letters, wortels etc etc.) ..

En tenslotte een simpele, waar ik alleen niet begrijp waarom er een a staat aan de rechterzijde van de vergelijking:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

[ Bericht 17% gewijzigd door BroodjeKebab op 01-09-2014 23:12:04 ]

quote:

Op maandag 1 september 2014 22:46 schreef BroodjeKebab het volgende:
Ik snap het volgende niet wat betrekking heeft tot een uitleg over de abc formule en zou daar graag wat hulp bij willen, mits dat mogelijk is van één van jullie wiskundigen

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Die laatste spoiler is totaal onbekend voor mij met name doordat alles door elkaar is (exponenten, letters, wortels etc etc.) ..

En tenslotte een simpele, waar ik alleen niet begrijp waarom er een a staat aan de rechterzijde van de vergelijking:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Ik moet zeggen dat ik de tekst (of de vertaling ervan?) onder de eerste spoiler niet begrijp. Ik denk wel dat ik weet wat er bedoeld wordt.

Er wordt geprobeerd van de linkerkant een kwadraat (in Engelse literatuur noemt men dit, als ik het me goed herinner, vaak een 'perfect square') te maken. Door toepassing van
(a + b)² = a² + 2ab + b²

kunnen we zien dat
(x + p/2)² = x² + px + (p/2)²

En deze laatste term, (p/2)², kunnen we dus aan x² + px = -q toevoegen om zo een 'perfect square' aan de linkerkant te krijgen:
(x + p/2)² = (p/2)² - q

En vervolgens kan je gebruiken dat als a² = b dan a = √b of a = -√b, om een formule voor x te krijgen.

Wat je bedoelt met 'oplossen' weet ik niet, ik neem dat je de formules moet vereenvoudigen. Dan nog is het me niet helemaal duidelijk in welke vorm de formules het meest vereenvoudigd zijn (want volgens mij bestaat er geen echt simpele uitdrukking voor de gegeven formules).

Om de formules in je tweede spoiler te vereenvoudigen moet je gebruikmaken van de rekenregels voor machten en wortels, zoals je ongetwijfeld weet. Het werkt beter als je uitlegt tot waar je komt en waar je vastloopt of niet zeker over bent. De eerste formule zullen de meeste mensen simpeler te vereenvoudigen vinden dan de tweede (hoewel beide goede testen zijn of je de rekenregels goed toepast). Heb je met allebei problemen?

Onthoud
a^pa^r = a^p+r
De r-de machtswortel van a is a^1/r
1/(a/b)=b/a
(a^p)^r = a^pr

En als laatste:
Als a er niet zou staan aan de rechterkant, zou er x² ipv ax² na het wegwerken van de haakjes van (x - x1)(x - x2).

[ Bericht 2% gewijzigd door defineaz op 02-09-2014 02:40:02 ]

quote:

Op maandag 1 september 2014 22:46 schreef BroodjeKebab het volgende:
Ik snap het volgende niet wat betrekking heeft tot op een uitleg over de abc formule en zou daar graag wat hulp bij willen, mits dat mogelijk is van één van jullie wiskundigen

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Om te beginnen: als je citeert, gebruik dan liever geen spoilers, dat maakt het quoten van passages van je post onnodig lastig en je bericht zelf minder leesbaar.

Het lijkt erop dat je hier een Engelse tekst door een vertaalmachine hebt gehaald, het is althans niet te hopen dat dit je eigen vertaling is. Zoals ik al eerder heb opgemerkt heeft het gebruik van het Engels in een Nederlandse onderwijssituatie niet zelden een dramatische verslechtering van de kennisoverdracht tot gevolg, en dat wordt hier weer eens treffend geïllustreerd.

Het gaat hier feitelijk om een afleiding van de wortelformule voor de oplossing van de kwadratische vergelijking x² + px + q = 0, en deze formule wordt de pq-formule genoemd, niet de abc-formule. In het Duitse taalgebied spreekt men om het onderscheid aan te geven wel van de kleine Lösungsformel terwijl de abc-formule die de oplossingen geeft van ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) de große Lösungsformel wordt genoemd. Het is overigens heel goed mogelijk de abc-formule af te leiden uit de pq-formule door p = b/a en q = c/a te substitueren.

Om te begrijpen hoe de pq-formule resp. de abc-formule kan worden afgeleid is het nodig de techniek van de kwadraatafsplitsing te begrijpen. In het Engels heet deze techniek (vanuit een iets ander perspectief) completing the square oftewel het completeren van een (volkomen) kwadraat. Het komt erop neer dat we de constante term q van de kwadratische vergelijking x² + px + q = 0 overbrengen naar het rechterlid door van beide leden q af te trekken, zodat we x² + px = −q krijgen. Vervolgens gaan we dan het linkerlid aanvullen tot een volkomen kwadraat door bij beide leden een geschikt gekozen constante op te tellen. Daarna kunnen we gebruik maken van één van de merkwaardige producten (identiteiten)

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²

om het linkerlid van de vergelijking te herschrijven als een kwadraat. Om deze techniek beter te begrijpen moet je dit eens goed doornemen. Het is ook van belang de techniek van het kwadraatafsplitsen te oefenen door een aantal kwadratische vergelijkingen met deze methode op te lossen, zie bijvoorbeeld hier en hier voor uitgewerkte voorbeelden.

Heb je de techniek van het kwadraatafsplitsen onder de knie, dan zul je ook deze afleiding van de pq-formule alsmede deze afleiding van de abc-formule goed kunnen begrijpen.

quote:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Die laatste spoiler is totaal onbekend voor mij met name doordat alles door elkaar is (exponenten, letters, wortels etc etc.) ..

Dit zijn geen functies maar uitdrukkingen, waarbij het kennelijk de bedoeling is dat je deze uitdrukkingen zo ver mogelijk vereenvoudigt. Het is natuurlijk onzin om op te merken dat iets 'totaal onbekend' is omdat het er wat ingewikkelder uitziet dan je wellicht gewend bent. Het is ook niet nodig om in één oogopslag te kunnen overzien wat een dergelijke uitdrukking nu eigenlijk voorstelt. Je kunt bij het vereenvoudigen stap voor stap te werk gaan, waarbij je voor elke stap een jou bekende rekenregel gebruikt om de uitdrukking in een eenvoudiger vorm te brengen, totdat je op een punt aan bent gekomen waarbij verdere vereenvoudigingen niet meer mogelijk zijn of in ieder geval niet zinvol.

Voor de eerste uitdrukking kun je bedenken dat

^p√a = a^1/p en ^r√a = a^1/r

zodat

^p√a · ^r√a = a^1/p·a^1/r

en dit geeft ons dan weer de mogelijkheid om de rekenregel te gebruiken die zegt dat exponenten optellen bij het vermenigvuldigen van twee machten van hetzelfde grondtal. We hebben 1/p + 1/r = r/pr + p/pr = (r+p)/pr = (p+r)/pr en dus ook

a^1/p·a^1/r = a^(p+r)/pr

Nu zien we dat de breuk die we moeten vereenvoudigen in zowel de teller als de noemer een factor a^(p+r)/pr heeft. Dat betekent dat we de breuk kunnen vereenvoudigen door teller en noemer elk door deze factor a^(p+r)/pr te delen en dan houden we over

a^pr / 1 = a^pr

en dit is niet verder te vereenvoudigen. Je ziet dus dat de wat ingewikkeld ogende uitdrukking niets anders is dan a^pr.

De tweede opgave is niet meer dan een simpele invuloefening, omdat hier immers is gegeven dat x = 2. Maar we kunnen onszelf hier wel wat rekenwerk besparen door gebruik te maken van de gekende rekenregels woor het werken met machten, en het is kennelijk ook de bedoeling geweest van de maker van de opgave dat je dit inziet. Kijken we naar de teller van de breuk onder het wortelteken dan hebben we met x = 2

2^(x²)·4^2x = 2⁴·4^2·2 = 16·(4²)² = 16·16² = 16³

zodat de teller en de noemer van de breuk onder het wortelteken voor x = 2 beide gelijk zijn aan 16³. Maar dat betekent dat de waarde van de breuk onder het wortelteken voor x = 2 dus gelijk is aan 16³ / 16³ = 1. En de wortel uit 1 is 1. De uitdrukking is dus gelijk aan 1 voor x = 2.

quote:

En tenslotte een simpele, waar ik alleen niet begrijp waarom er een a staat aan de rechterzijde van de vergelijking:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Hebben we een veelterm oftewel een polynoom P(x) in de variabele x, dan zegt de factorstelling dat P(x) een factor (x − x₀) bevat dan en slechts dan als x₀ een nulpunt is van P(x), oftewel dan en slechts dan als x₀ een oplossing is van de vergelijking P(x) = 0 en dus geldt P(x₀) = 0.

Welnu, als x₁ en x₂ de oplossingen zijn van de vierkantsvergelijking

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

dan is dus volgens de factorstelling zowel (x − x₁) als (x − x₂) een factor van de veelterm ax² + bx + c. En daarmee is het product (x − x₁)(x − x₂) eveneens een factor van ax² + bx + c. Maar het is ook duidelijk dat dit product in het algemeen niet identiek is met

ax² + bx + c

want als we (x − x₁)(x − x₂) uitwerken, dan krijgen we

x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂

Er ontbreekt dus nog een factor a. We kunnen nu concluderen dat een vierkantsvergelijking

(1) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

met als oplossingen x₁ en x₂ ook is te schrijven als

(2) ax² − a(x₁ + x₂)x + ax₁x₂ = 0 (a ≠ 0)

Aangezien (1) en (2) dezelfde vergelijking voorstellen, moeten de coëfficiënten van (1) en (2) identiek zijn, zodat dus geldt −a(x₁ + x₂) = b en dus

(3) x₁ + x₂ = −b/a

en ook ax₁x₂ = c en dus

(4) x₁x₂ = c/a

De betrekkingen (3) en (4) die een verband geven tussen de oplossingen x₁ en x₂ en de coëfficiënten a, b en c van de vierkantsvergelijking (1) heten de formules van Viète voor de vierkantsvergelijking (1). Uitgaande van de betrekkingen (3) en (4) zou je uitdrukkingen voor x₁ en x₂ in a, b en c af kunnen leiden, en dan heb je dus een alternatieve methode om de abc-formule af te leiden, zie ook hier.

quote:

Op dinsdag 2 september 2014 15:17 schreef Riparius het volgende:

[..]

Om te beginnen: als je citeert, gebruik dan liever geen spoilers, dat maakt het quoten van passages van je post onnodig lastig en je bericht zelf minder leesbaar.

Het lijkt erop dat je hier een Engelse tekst door een vertaalmachine hebt gehaald, het is althans niet te hopen dat dit je eigen vertaling is. Zoals ik al eerder heb opgemerkt heeft het gebruik van het Engels in een Nederlandse onderwijssituatie niet zelden een dramatische verslechtering van de kennisoverdracht tot gevolg, en dat wordt hier weer eens treffend geïllustreerd.

Het gaat hier feitelijk om een afleiding van de wortelformule voor de oplossing van de kwadratische vergelijking x² + px + q = 0, en deze formule wordt de pq-formule genoemd, niet de abc-formule. In het Duitse taalgebied spreekt men om het onderscheid aan te geven wel van de kleine Lösungsformel terwijl de abc-formule die de oplossingen geeft van ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) de große Lösungsformel wordt genoemd. Het is overigens heel goed mogelijk de abc-formule af te leiden uit de pq-formule door p = b/a en q = c/a te substitueren.

Om te begrijpen hoe de pq-formule resp. de abc-formule kan worden afgeleid is het nodig de techniek van de kwadraatafsplitsing te begrijpen. In het Engels heet deze techniek (vanuit een iets ander perspectief) completing the square oftewel het completeren van een (volkomen) kwadraat. Het komt erop neer dat we de constante term q van de kwadratische vergelijking x² + px + q = 0 overbrengen naar het rechterlid door van beide leden q af te trekken, zodat we x² + px = −q krijgen. Vervolgens gaan we dan het linkerlid aanvullen tot een volkomen kwadraat door bij beide leden een geschikt gekozen constante op te tellen. Daarna kunnen we gebruik maken van één van de merkwaardige producten (identiteiten)

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²

om het linkerlid van de vergelijking te herschrijven als een kwadraat. Om deze techniek beter te begrijpen moet je dit eens goed doornemen. Het is ook van belang de techniek van het kwadraatafsplitsen te oefenen door een aantal kwadratische vergelijkingen met deze methode op te lossen, zie bijvoorbeeld hier en hier voor uitgewerkte voorbeelden.

Heb je de techniek van het kwadraatafsplitsen onder de knie, dan zul je ook deze afleiding van de pq-formule alsmede deze afleiding van de abc-formule goed kunnen begrijpen.

[..]

Dit zijn geen functies maar uitdrukkingen, waarbij het kennelijk de bedoeling is dat je deze uitdrukkingen zo ver mogelijk vereenvoudigt. Het is natuurlijk onzin om op te merken dat iets 'totaal onbekend' is omdat het er wat ingewikkelder uitziet dan je wellicht gewend bent. Het is ook niet nodig om in één oogopslag te kunnen overzien wat een dergelijke uitdrukking nu eigenlijk voorstelt. Je kunt bij het vereenvoudigen stap voor stap te werk gaan, waarbij je voor elke stap een jou bekende rekenregel gebruikt om de uitdrukking in een eenvoudiger vorm te brengen, totdat je op een punt aan bent gekomen waarbij verdere vereenvoudigingen niet meer mogelijk zijn of in ieder geval niet zinvol.

Voor de eerste uitdrukking kun je bedenken dat

^p√a = a^1/p en ^r√a = a^1/r

zodat

^p√a · ^r√a = a^1/p·a^1/r

en dit geeft ons dan weer de mogelijkheid om de rekenregel te gebruiken die zegt dat exponenten optellen bij het vermenigvuldigen van twee machten van hetzelfde grondtal. We hebben 1/p + 1/r = r/pr + p/pr = (r+p)/pr = (p+r)/pr en dus ook

a^1/p·a^1/r = a^(p+r)/pr

Nu zien we dat de breuk die we moeten vereenvoudigen in zowel de teller als de noemer een factor a^(p+r)/pr heeft. Dat betekent dat we de breuk kunnen vereenvoudigen door teller en noemer elk door deze factor a^(p+r)/pr te delen en dan houden we over

a^pr / 1 = a^pr

en dit is niet verder te vereenvoudigen. Je ziet dus dat de wat ingewikkeld ogende uitdrukking niets anders is dan a^pr.

De tweede opgave is niet meer dan een simpele invuloefening, omdat hier immers is gegeven dat x = 2. Maar we kunnen onszelf hier wel wat rekenwerk besparen door gebruik te maken van de gekende rekenregels woor het werken met machten, en het is kennelijk ook de bedoeling geweest van de maker van de opgave dat je dit inziet. Kijken we naar de teller van de breuk onder het wortelteken dan hebben we met x = 2

2^(x²)·4^2x = 2⁴·4^2·2 = 16·(4²)² = 16·16² = 16³

zodat de teller en de noemer van de breuk onder het wortelteken voor x = 2 beide gelijk zijn aan 16³. Maar dat betekent dat de waarde van de breuk onder het wortelteken voor x = 2 dus gelijk is aan 16³ / 16³ = 1. En de wortel uit 1 is 1. De uitdrukking is dus gelijk aan 1 voor x = 2.

[..]

Hebben we een veelterm oftewel een polynoom P(x) in de variabele x, dan zegt de factorstelling dat P(x) een factor (x − x₀) bevat dan en slechts dan als x₀ een nulpunt is van P(x), oftewel dan en slechts dan als x₀ een oplossing is van de vergelijking P(x) = 0 en dus geldt P(x₀) = 0.

Welnu, als x₁ en x₂ de oplossingen zijn van de vierkantsvergelijking

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

dan is dus volgens de factorstelling zowel (x − x₁) als (x − x₂) een factor van de veelterm ax² + bx + c. En daarmee is het product (x − x₁)(x − x₂) eveneens een factor van ax² + bx + c. Maar het is ook duidelijk dat dit product in het algemeen niet identiek is met

ax² + bx + c

want als we (x − x₁)(x − x₂) uitwerken, dan krijgen we

x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂

Er ontbreekt dus nog een factor a. We kunnen nu concluderen dat een vierkantsvergelijking

(1) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

met als oplossingen x₁ en x₂ ook is te schrijven als

(2) ax² − a(x₁ + x₂)x + ax₁x₂ = 0 (a ≠ 0)

Aangezien (1) en (2) dezelfde vergelijking voorstellen, moeten de coëfficiënten van (1) en (2) identiek zijn, zodat dus geldt −a(x₁ + x₂) = b en dus

(3) x₁ + x₂ = −b/a

en ook ax₁x₂ = c en dus

(4) x₁x₂ = c/a

De betrekkingen (3) en (4) die een verband geven tussen de oplossingen x₁ en x₂ en de coëfficiënten a, b en c van de vierkantsvergelijking (1) heten de formules van Viète voor de vierkantsvergelijking (1). Uitgaande van de betrekkingen (3) en (4) zou je uitdrukkingen voor x₁ en x₂ in a, b en c af kunnen leiden, en dan heb je dus een alternatieve methode om de abc-formule af te leiden, zie ook hier.

Enorm bedankt voor je uitleg. De eerste twee is mij enorm duidelijk.

Laatste is mij niet duidelijker geworden, aangezien ik de materie al lastig vind en daarnaast gebruik je termen die het dan ook voor mij lastiger maken, omdat ik de materie niet begrijp..

Het is meer dat ik niet begrijp waarom de a er staat en de b en c niet terug te vinden is.. ik weet wel dat de formule

Ax^2 + bx + c gelijk is aan de functie met de oplossingen (waarin a ) voorkomt..: a(x - x1) ( x - x2)

Hello,

Snapt iemand waarom bij het volgende geen 3 onder de 'onzichtbare noemer' van de gehele getallen komt?:

3x - 24 + 8/3x = -7

Ik zou zeggen alles vermenigvuldigen met 3, en daarnaast de gehele getallen zien als breuken (3x/1 en 24/1 )

Dus

9x/3 - 72/3 + 8x = -21/3


Dit klopt volgens mij niet, maar waarom behandel je de gehele getallen niet als breuken?

quote:

Op dinsdag 2 september 2014 18:17 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Enorm bedankt voor je uitleg. De eerste twee is mij enorm duidelijk.

Laatste is mij niet duidelijker geworden, aangezien ik de materie al lastig vind en daarnaast gebruik je termen die het dan ook voor mij lastiger maken, omdat ik de materie niet begrijp.

Het is meer dat ik niet begrijp waarom de a er staat en de b en c niet terug te vinden zijn. Ik weet wel dat de formule

ax² + bx + c gelijk is aan de functie met de oplossingen (waarin a voorkomt): a(x - x₁) (x - x₂)

Dat b en c niet terug zouden zijn te vinden is natuurlijk niet waar. Je vergeet namelijk dat x₁ en x₂ zijn uit te drukken in a, b en c. Hebben we een kwadratische veelterm ax² + bx + c met reële coëfficiënten waarvan de discriminant D = b² − 4ac niet negatief is, dan geldt voor de reële nulpunten x₁ en x₂ van deze veelterm



zodat we voor



kunnen schrijven



Bekijk eens een eenvoudig voorbeeld met concrete getallen voor de coëficiënten a, b en c van de vierkantsvergelijking ax² + bx + c = 0. Kies a = 2, b = −10, c = 12, dan hebben we

2x² − 10x + 12 = 0

De oplossingen van deze vergelijking zijn x₁ = 2 en x₂ = 3, zodat de veelterm 2x² − 10x + 12 dus een factor (x − 2) en een factor (x − 3) bevat. Maar als we deze factoren met elkaar vermenigvuldigen, dan krijgen we

(x − 2)(x − 3) = x² − (2+3)x + (2·3) = x² − 5x + 6

en dat is niet identiek met 2x² − 10x + 12. Dit komt omdat 2x² − 10x + 12 behalve de factoren (x − 2) en (x − 3) ook nog een (constante) factor 2 bevat. De vergelijking is dan ook te schrijven als

2(x − 2)(x − 3) = 0

Voor de som van de oplossingen geldt x₁ + x₂ = 2 + 3 = 5 en dit is gelijk aan −b/a = 10/2 en voor het product van de oplossingen geldt x₁x₂ = 2·3 = 6 en dit is gelijk aan c/a = 12/2, zoals de formules van Viète ook aangeven.

[ Bericht 11% gewijzigd door Riparius op 05-09-2014 02:09:13 ]

quote:

Op dinsdag 2 september 2014 19:06 schreef netchip het volgende:

[..]

. Dan doe je alles keer 3x, dus . Dan krijg je, , en het antwoord:

Klopt, maar waarom mag je de gehele getallen niet benaderen als breuken ( gehele getal/1 ) ?

quote:

Op dinsdag 2 september 2014 18:56 schreef RustCohle het volgende:
Hello,

Snapt iemand waarom bij het volgende geen 3 onder de 'onzichtbare noemer' van de gehele getallen komt?:

3x - 24 + 8/3x = -7

Ik vermoed dat je bedoelt

3x − 24 + (8/3)·x = −7

Beide leden vermenigvuldigen met 3 geeft dan

9x − 72 + 8x = −21

en dus

17x − 72 = −21

zodat

17x = 72 − 21

oftewel

17x = 51

en dus

x = 3

( 1-W2)²

Hoe moet deze (w is wortel)?

Ik kom uit op 1-2= -1
Maar het antwoordenboek komt uit op 3 - 2W2

quote:

Op dinsdag 2 september 2014 21:10 schreef BroodjeKebab het volgende:
( 1-W2)²

Hoe moet deze (w is wortel)?

Ik kom uit op 1-2= -1
Maar het antwoordenboek komt uit op 3 - 2W2

(a + b)² = a² + 2ab + b²
Jij vergeet 2ab en je vergeet dat min keer min plus is.

(a-b)² = a² -2ab +b² is misschien handiger als je niet meteen ziet dat b ook een negatief getal mag zijn.

quote:

Op dinsdag 2 september 2014 21:10 schreef BroodjeKebab het volgende:
( 1-W2)²

Hoe moet deze (w is wortel)?

Ik kom uit op 1-2= -1
Maar het antwoordenboek komt uit op 3 - 2W2

Dit had je nu zonder meer moeten kunnen herleiden als je de moeite had genomen dit te bestuderen, zoals ik je ook heb aangeraden. Merkwaardige producten dien je van buiten te kennen en ook te allen tijde te herkennen.

(1 − √2)² = 1 − 2·1·√2 + (√2)² = 1 − 2√2 + 2 = 3 − 2√2.

quote:

Op woensdag 3 september 2014 02:31 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit had je nu zonder meer moeten kunnen herleiden als je de moeite had genomen dit te bestuderen, zoals ik je ook heb aangeraden. Merkwaardige producten dien je van buiten te kennen en ook te allen tijde te herkennen.

(1 − √2)² = 1 − 2·1·√2 + (√2)² = 1 − 2√2 + 2 = 3 − 2√2.

Waar komt die wortel 2 opeens vandaan?

quote:

Op woensdag 3 september 2014 08:38 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Waar komt die wortel 2 opeens vandaan?

quote:

Op dinsdag 2 september 2014 21:15 schreef Anoonumos het volgende:
(a-b)² = a² -2ab +b² is misschien handiger als je niet meteen ziet dat b ook een negatief getal mag zijn.

Heb je dit gelezen?

Kan iemand mij deze uitleggen. Vooral de natuurlijke logaritme in combinatie met een absolute waarde functie maakt het mij enorm lastig. :

quote:

Op donderdag 4 september 2014 19:58 schreef RustCohle het volgende:
Kan iemand mij deze uitleggen. Vooral de natuurlijke logaritme in combinatie met een absolute waarde functie maakt het mij enorm lastig. :

[ afbeelding ]

Weet je wanneer een logaritme negatief is?
Zoja kijk wanneer dat logaritme negatief, 0, positief is en hetzelfde doe je voor
En daarna kan je beiden combineren om je antwoord te krijgen.

Bekijk nu voor elk afzonderlijk deel wanneer alles gedefinieerd is, wanneer deze nul is of wanneer deze positief/negatief is.

x^2-5x+6

A = 1
B = -5
C = 6

Ik krijg x = 2 and x = 3
dus x^2 - 5x + 6 = (x + 2)(x+3)

Maar als ik het ontbind in factoren krijg ik :
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Als ik de abc formule gebruik, zijn de factoren positief en als ik het ontbind in factoren, zijn de factoren negatief (wat klopt), waarom is het dan positief als ik de abc formule gebruik?

@BrandX bedankt voor de link hierna toe.

quote:

Op donderdag 4 september 2014 20:29 schreef MonoIith het volgende:
x^2-5x+6

A = 1
B = -5
C = 6

Ik krijg x = 2 and x = 3
dus x^2 - 5x + 6 = (x + 2)(x+3)

Als x = 2 en x = 3 de nulpunten zijn, dan is het (x - 2)(x - 3).

quote:

Op donderdag 4 september 2014 20:29 schreef MonoIith het volgende:
x^2-5x+6

A = 1
B = -5
C = 6

Ik krijg x = 2 and x = 3

Dit zijn inderdaad de nulpunten van de kwadratische veelterm x² − 5x + 6.

quote:

dus x^2 - 5x + 6 = (x + 2)(x+3)

Nee, dit klopt niet. Zie mijn uitleg hierboven.

quote:

Maar als ik het ontbind in factoren krijg ik :
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Dit is weer wel juist. Een polynoom oftewel veelterm P(x) heeft een factor (x − x₀) dan en slechts dan als x = x₀ een nulpunt is van P(x), oftewel dan en slechts dan als x = x₀ een oplossing is van de vergelijking P(x) = 0.

quote:

Als ik de abc formule gebruik, zijn de factoren positief en als ik het ontbind in factoren, zijn de factoren negatief (wat klopt), waarom is het dan positief als ik de abc formule gebruik?

Je vergist je, omdat je kennelijk de factorstelling niet begrijpt. Een nulpunt x = x₀ geeft een factor (x − x₀), niet een factor (x + x₀).

quote:

Op donderdag 4 september 2014 20:07 schreef Novermars het volgende:

Bekijk nu voor elk afzonderlijk deel wanneer alles gedefinieerd is, wanneer deze nul is of wanneer deze positief/negatief is.

Ik weet dus niet hoe dat moet.

quote:

Op donderdag 4 september 2014 20:06 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Weet je wanneer een logaritme negatief is?
Zoja kijk wanneer dat logaritme negatief, 0, positief is en hetzelfde doe je voor
En daarna kan je beiden combineren om je antwoord te krijgen.

Dit is nieuw voor me, zowel de logaritme als de absolute waarde functie. Ik vind dat al helemaal lastig door die absolute waarde functie, want y kan nooit lager dan 0 zijn, want het wordt altijd positief doordat het absoluut is.

quote:

Op donderdag 4 september 2014 19:58 schreef RustCohle het volgende:
Kan iemand mij deze uitleggen. Vooral de natuurlijke logaritme in combinatie met een absolute waarde functie maakt het mij enorm lastig. :

[ afbeelding ]

Het lastige van deze opgave schuilt niet in die logaritme van een absolute waarde maar in het verkrijgen van een goed overzicht. Dit is nu typisch een opgave waarbij je heel goed met tekenschema's kunt werken. Ik heb je al vaker aangeraden gebruik te maken van tekenschema's, maar dat ben je kennelijk alweer vergeten, of je verkiest mijn adviezen te negeren.

We kijken nu eerst naar de teller x² − 10x + 16 van de breuk, waarvoor we (x − 2)(x − 8) kunnen schrijven. De grafiek van f(x) = x² − 10x + 16 is een dalparabool die de x-as snijdt bij x = 2 en x = 8, zodat we voor deze teller het volgende tekenschema krijgen:


Voor de noemer x² − 16 van de breuk kunnen we (x + 4)(x − 4) schrijven. De grafiek van g(x) = x² − 16 is eveneens een dalparabool, maar deze snijdt de x-as bij x = −4 en x = 4, zodat we voor deze noemer het volgende tekenschema krijgen:


Nu we tekenschema's hebben voor de teller en noemer van onze breuk, kunnen we hieruit een tekenschema afleiden voor de breuk als geheel, omdat de waarde van een breuk immers positief is als teller en noemer hetzij beide positief zijn, hetzij beide negatief. Voorts is de waarde van de breuk negatief als hetzij de teller positief is en tevens de noemer negatief hetzij de teller negatief is en tevens de noemer positief. Ook is de waarde van een breuk nul als de teller nul is terwijl de noemer niet nul is. Is daarentegen de noemer nul, dan is de waarde van de breuk ongedefinieerd. In tekenschema's kunnen we een asterisk (*) gebruiken om aan te geven dat de waarde van een uitdrukking waarvan we het tekenverloop weergeven niet is gedefinieerd. Voor het tekenschema van de breuk als geheel krijgen we aldus:


Nu moeten we nog kijken naar het tekenverloop van de uitdrukking ln(| x − 2 |). Om te beginnen hebben we | x − 2 | = 0 voor x = 2, wat dus betekent dat ln(| x − 2 |) voor x = 2 niet is gedefinieerd, aangezien de logaritme van 0 niet is gedefinieerd. Voor x ≠ 2 is | x − 2 | > 0, zodat ln(| x − 2 |) dan wel is gedefinieerd. De logaritme van 1 is 0, zodat ln(| x − 2 |) = 0 als | x − 2 | = 1, en dat is het geval voor x = 1 of x = 3. De uitdrukking | x − 2 | geeft de afstand op de getallenlijn van het beeldpunt van het getal x tot het beeldpunt van het getal 2, zodat het duidelijk is dat 0 < | x − 2 | < 1 voor 1 < x < 3 ∧ x ≠ 2 terwijl | x − 2 | > 1 voor x < 1 ∨ x > 3. De logaritme van getallen tussen 0 en 1 is negatief, en de logaritme van getallen groter dan 1 is positief, zodat we voor ln(| x − 2 |) het volgende tekenschema krijgen:


Tenslotte moeten we nu de tekenschema's van het quotiënt (x² − 10x + 16)/(x² − 16) en van ln(| x − 2 |) combineren om een tekenschema van de gegeven uitdrukking te verkrijgen. Het product van twee grootheden is positief als die grootheden hetzij beide positief zijn hetzij beide negatief, en het product van twee grootheden is negatief als één van beide grootheden positief is en de andere negatief. Voorts is een product van twee grootheden nul als (tenminste) één van beide grootheden zelf nul is. En uiteraard is een product van twee grootheden niet gedefinieerd zodra één van beide grootheden zelf niet is gedefinieerd. Aldus krijgen we voor de gegeven uitdrukking het volgende tekenschema:


Uit dit tekenschema lezen we nu het volgende af:

De uitdrukking is positief voor

x ∈ (−∞, −4) ∪ (1, 2) ∪ (3,4) ∪ (8, ∞)

De uitdrukking is negatief voor

x ∈ (−4, 1) ∪ (2, 3) ∪ (4, 8)

De uitdrukking is nul voor

x ∈ { 1, 3, 8 }

De uitdrukking is niet gedefinieerd voor

x ∈ { −4, 2, 4 }

Hiermee is de opgave opgelost.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 05-09-2014 02:28:22 ]

quote:

Op donderdag 4 september 2014 23:13 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Dit is nieuw voor me, zowel de logaritme als de absolute waarde functie. Ik vind dat al helemaal lastig door die absolute waarde functie, want y kan nooit lager dan 0 zijn, want het wordt altijd positief doordat het absoluut is.

Nou heeft Riparius het je al voor gekauwd maar je kon mijn vraag toch nog wel beantwoorden, zo moeilijk was dat niet te vinden.

Wanneer is een logaritme negatief, 0, positief? Als het niet weet kan je dit vast wel vinden.
Welke y?
En je kon ook alvast uitrekenen wanneer die polynomen positief, 0 of negatief zijn.

Goedennacht,

Kan iemand mij de overgang, van stap 3 naar stap 4, uitleggen in het volgende plaatje?



Waarom mag dit en kan dit? Wat is de gedachte erachter? En daarnaast; waarom moet de p vóór ln staan en kan het niet staan naast de x?

Ten tweede:




Die laatste stap?! Eigenlijk hetzelfde als het eerste plaatje, alleen andere vorm.


Tenslotte begrijp ik dit niet (zowel links als rechts):




[ Bericht 17% gewijzigd door BroodjeKebab op 06-09-2014 00:26:29 ]

quote:

Op zaterdag 6 september 2014 00:19 schreef BroodjeKebab het volgende:
Goedennacht,

Kan iemand mij de overgang, van stap 3 naar stap 4, uitleggen in het volgende plaatje?

[ afbeelding ]

Waarom mag dit en kan dit? Wat is de gedachte erachter? En daarnaast; waarom moet de p vóór ln staan en kan het niet staan naast de x?

Ten tweede:

[ afbeelding ]


Die laatste stap?! Eigenlijk hetzelfde als het eerste plaatje, alleen andere vorm.


Tenslotte begrijp ik dit niet (zowel links als rechts):


[ afbeelding ]

http://nl.wikipedia.org/w(...)kenen_met_logaritmes

( 5 / (2x - 1) ) = (1 / (2 - x) )

( 5 / (2x - 1) ) - (1 / (2 - x) ) = 0

(5(2-x) - 2x - 1 ) / (2x - 1)(2 - x) = 0

(10 - 5x) - (2x - 1 ) / (2x - 1)(2 - x) = 0

Dan loop ik vast. HELP!

Als een breuk gelijk aan 0 moet zijn, dan is dat alleen zo als de teller gelijk aan nul is en de noemer niet. Bovenkant gelijk aan 0 stellen dus.
Maar let op, je maakt een mintekenfout, en daarnaast ben je sneller af als je vanaf het begin de keuze maakt om kruislings te vermenigvuldigen:

Hint: a/b = c/d dan en slechts dan als ad = cb onder de voorwaarde dat b≠0 en d≠0.

quote:

Op zaterdag 6 september 2014 13:46 schreef Janneke141 het volgende:
Als een breuk gelijk aan 0 moet zijn, dan is dat alleen zo als de teller gelijk aan nul is en de noemer niet. Bovenkant gelijk aan 0 stellen dus.
Maar let op, je maakt een mintekenfout, en daarnaast ben je sneller af als je vanaf het begin de keuze maakt om kruislings te vermenigvuldigen:

Hint: a/b = c/d dan en slechts dan als ad = cb onder de voorwaarde dat b≠0 en d≠0.

Dankjewel!! Ben eruit gekomen.

Ik heb nu iets heel anders waar ik ook mee zit, ik dacht laat ik eerst even die breukenvraag vragen en vervolgens deze vragen m.b.t. een ander onderwerp:

Px (Px + Q)^-1/3 + ( Px + Q)^2/3 = 0 --> functie zo omzetten dat er komt te staan x = ....

Hiervan dan r berekenen (formule zo omzetten dat er komt te staan r = ....

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

[ Bericht 6% gewijzigd door Brainstorm245 op 06-09-2014 15:04:34 ]

Tip bij de eerste: haal een van beide termen naar de andere kant en verhef links en rechts tot de derde macht.

Tip bij de tweede: vermenigvuldig in de grote breuk boven en onder met (1+r).

quote:

Op zaterdag 6 september 2014 15:03 schreef Janneke141 het volgende:
Tip bij de eerste: haal een van beide termen naar de andere kant en verhef links en rechts tot de derde macht.

Tip bij de tweede: vermenigvuldig in de grote breuk boven en onder met (1+r).

Zie edit overigens.

Bij die eerste weet ik dat ik het moet verheffen tot de derde macht, maar ik weet niet hoe ik moet uitvoeren, want er zit nog een Px buiten de haakjes.

Bij die tweede snap ik er niks van, want ik zie 3 deelstrepen (waarvan twee breuken).

Opmerking over de edit in je spoiler: 'Naar rechts halen' of 'naar de andere kant halen' is eigenlijk een onterechte term, die ik zelf ook met de regelmaat van de klok misbruik, maar je moet goed in de gaten houden wat je eigenlijk doet.

Het is-teken betekent dat links en rechts evenveel is. Als je links en rechts dezelfde elementaire bewerking toepast, zoals vermeningvuldigen met 37, of aan beide kanten 19 optellen, zal dat niet veranderen. Bij vermenigvuldiging met x ook niet, tenzij x per ongeluk 0 zou zijn, dus die moet je dan even uitsluiten.

Terug naar jouw uitdrukking:

3K^-1/2 L^1/3 = 1/5

Als je links en rechts met K^1/2 vermenigvuldigt wordt dit
3L^1/3 = 1/5K^1/2.

Reken dat zelf maar even na.

Voor de andere 2 opgaven geldt: probeer ze stap voor stap uit te schrijven met behulp van de hints. Ik kan ze wel voor je gaan uitschrijven, maar daar leer je weinig van.

quote:

Op zaterdag 6 september 2014 14:59 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Dankjewel!! Ben eruit gekomen.

Ik heb nu iets heel anders waar ik ook mee zit, ik dacht laat ik eerst even die breukenvraag vragen en vervolgens deze vragen m.b.t. een ander onderwerp:

Px (Px + Q)^-1/3 + ( Px + Q)^2/3 = 0 --> functie zo omzetten dat er komt te staan x = ....

Hiervan dan r berekenen (formule zo omzetten dat er komt te staan r = ....

[ afbeelding ]

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Over die spoiler: een negatieve macht is het zelfde als delen door een positieve macht, ie x^-1 = 1/x. Naar de andere kant halen dus delen wordt vermenigvuldiging.

quote:

Op zaterdag 6 september 2014 15:13 schreef Janneke141 het volgende:
Opmerking over de edit in je spoiler: 'Naar rechts halen' of 'naar de andere kant halen' is eigenlijk een onterechte term, die ik zelf ook met de regelmaat van de klok misbruik, maar je moet goed in de gaten houden wat je eigenlijk doet.

Het is-teken betekent dat links en rechts evenveel is. Als je links en rechts dezelfde elementaire bewerking toepast, zoals vermeningvuldigen met 37, of aan beide kanten 19 optellen, zal dat niet veranderen. Bij vermenigvuldiging met x ook niet, tenzij x per ongeluk 0 zou zijn, dus die moet je dan even uitsluiten.

Terug naar jouw uitdrukking:

3K^-1/2 L^1/3 = 1/5

Als je links en rechts met K^1/2 vermenigvuldigt wordt dit
3L^1/3 = 1/5K^1/2.

Reken dat zelf maar even na.

Voor de andere 2 opgaven geldt: probeer ze stap voor stap uit te schrijven met behulp van de hints. Ik kan ze wel voor je gaan uitschrijven, maar daar leer je weinig van.

2e opgave is gelukt met Px is nu wel gelukt, dankje !!. Echter die breuken met deelstreep zit mij nog steeds in de weg...

(1−λ)a^−ρ +λb^−ρ = c^−ρ

Hier moet ik b = van zien te maken.. Ik weet wel hoe ik de exponenten wegkrijg, maar niet wat er gebeurt met de functie als ik c naar links haal en b naar rechts.

Ik post nu misschien té veel achter elkaar, maar dit komt omdat ik komende week een toets heb en nu alles aan het herhalen ben heel vlug.

quote:

Op zaterdag 6 september 2014 15:38 schreef Brainstorm245 het volgende:
(1−λ)a^−ρ +λb^−ρ = c^−ρ

Hier moet ik b = van zien te maken.. Ik weet wel hoe ik de exponenten wegkrijg, maar niet wat er gebeurt met de functie als ik c naar links haal en b naar rechts.

Je haalt niets naar links en naar rechts, maar je vermenigvuldigt links en rechts met hetzelfde. Heb je het voorbeeld uit post #145 al negerekend?

In dit geval zou je links en rechts met c^p kunnen vermenigvuldigen.