SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Hoe heb je dat beredeneerd?quote:Op zaterdag 30 augustus 2014 16:08 schreef rumiii het volgende:
[..]
ik kan wel beredeneren dat x √2 of -√2 moet zijn : x^2(x^2+2)=8 maar of dat de juiste (geaccepteerde) methode van tot de uitkomst komen is ben ik me niet zeker van
Ik neem trouwens aan dat je alleen reële oplossingen hoeft te geven?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
x4 + 2x2 = 8quote:
Heb moeite met n polynoomfunctie
Kan een van jullie mij helpen met het volgende;
x^4+2x^2=8
Zonder gebruik van een GR kom ik er niet uit, moet ik bekennen
x4 + 2x2 − 8 = 0
Het linkerlid kun je nu gemakkelijk ontbinden in (kwadratische) factoren. Daarvoor zoek je twee (gehele) getallen waarvan de som +2 is en het product −8. Die getallen zijn +4 en −2. Dan krijgen we
(x2 + 4)(x2 − 2) = 0
x2 + 4 = 0 ∨ x2 − 2 = 0
x2 = −4 ∨ x2 = 2
De eerste vergelijking heeft in R geen oplossingen aangezien het kwadraat van een reëel getal niet negatief kan zijn. Voor de tweede vergelijking vinden we dan
x = √2 ∨ x = −√2
Dat is alles.
Bedankt voor je reactie chefquote:
[..]
x4 + 2x2 = 8
x4 + 2x2 − 8 = 0
Het linkerlid kun je nu gemakkelijk ontbinden in (kwadratische) factoren. Daarvoor zoek je twee (gehele) getallen waarvan de som +2 is en het product −8. Die getallen zijn +4 en −2. Dan krijgen we
(x2 + 4)(x2 − 2) = 0
x2 + 4 = 0 ∨ x2 − 2 = 0
x2 = −4 ∨ x2 = 2
De eerste vergelijking heeft in R geen oplossingen aangezien het kwadraat van een reëel getal niet negatief kan zijn. Voor de tweede vergelijking vinden we dan
x = √2 ∨ x = −√2
Dat is alles.
Zeer verhelderend
Bereken de afgeleide en herleid tot 1 breuk:
h'(x)= 3/4*sqrtx - 1/(2x*sqrtx)
Ik kom er niet echt uit hoe ik hem verder kan oplossen.
[ Bericht 7% gewijzigd door rareziekte op 31-08-2014 13:50:19 ]
h'(x)= 3/4*sqrtx - 1/(2x*sqrtx)
Ik kom er niet echt uit hoe ik hem verder kan oplossen.
[ Bericht 7% gewijzigd door rareziekte op 31-08-2014 13:50:19 ]
Dit is in principe gewoon toepassen van de regels voor differentiëren. Waar loop je vast?quote:
Bereken de afgeleide en herleid tot 1 breuk:
h'(x)= 3/4*sqrtx - 1/(2x*sqrtx)
Ik kom er niet echt uit hoe ik hem verder kan oplossen.
Het is duidelijk dat hij vastloopt op het herleiden van de twee termen van zijn afgeleide tot gelijknamige breuken. Dat heeft an sich niets met differentiëren te maken maar alles met gebrekkige algebraïsche vaardigheden die weer zijn terug te voeren op onvoldoende rekenvaardigheid.quote:
[..]
Dit is in principe gewoon toepassen van de regels voor differentiëren. Waar loop je vast?
Je hebt gelijk. Ik weet dat ik de noemer gelijk kan stellen, maar heb geen idee hoe dat te doen met (3/4)*sqrtxquote:
[..]
Het is duidelijk dat hij vastloopt op het herleiden van de twee termen van zijn afgeleide tot gelijknamige breuken. Dat heeft an sich niets met differentiëren te maken maar alles met gebrekkige algebraïsche vaardigheden die weer zijn terug te voeren op onvoldoende rekenvaardigheid.
Vermenigvuldig de eerste term met x2 / x2 en de tweede term met 2√x / 2√x, dan krijg je twee gelijknamige breuken met als noemer 4x2.quote:
[..]
Je hebt gelijk. Ik weet dat ik de noemer gelijk kan stellen, maar heb geen idee hoe dat te doen met (3/4)*sqrtx
Ik had niet gezien dat de afgeleide al in de post stond.quote:
[..]
Het is duidelijk dat hij vastloopt op het herleiden van de twee termen van zijn afgeleide tot gelijknamige breuken. Dat heeft an sich niets met differentiëren te maken maar alles met gebrekkige algebraïsche vaardigheden die weer zijn terug te voeren op onvoldoende rekenvaardigheid.
Ik snap het volgende niet wat betrekking heeft tot een uitleg over de abc formule en zou daar graag wat hulp bij willen, mits dat mogelijk is van één van jullie wiskundigen 
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Die laatste spoiler is totaal onbekend voor mij met name doordat alles door elkaar is (exponenten, letters, wortels etc etc.) ..
En tenslotte een simpele, waar ik alleen niet begrijp waarom er een a staat aan de rechterzijde van de vergelijking:SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
[ Bericht 17% gewijzigd door BroodjeKebab op 01-09-2014 23:12:04 ]quote:
Ik snap het volgende niet wat betrekking heeft tot een uitleg over de abc formule en zou daar graag wat hulp bij willen, mits dat mogelijk is van één van jullie wiskundigenSPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Die laatste spoiler is totaal onbekend voor mij met name doordat alles door elkaar is (exponenten, letters, wortels etc etc.) ..
En tenslotte een simpele, waar ik alleen niet begrijp waarom er een a staat aan de rechterzijde van de vergelijking:Ik moet zeggen dat ik de tekst (of de vertaling ervan?) onder de eerste spoiler niet begrijp. Ik denk wel dat ik weet wat er bedoeld wordt.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
Er wordt geprobeerd van de linkerkant een kwadraat (in Engelse literatuur noemt men dit, als ik het me goed herinner, vaak een 'perfect square') te maken. Door toepassing van
(a + b)² = a² + 2ab + b²
kunnen we zien dat
(x + p/2)² = x² + px + (p/2)²
En deze laatste term, (p/2)2, kunnen we dus aan x² + px = -q toevoegen om zo een 'perfect square' aan de linkerkant te krijgen:
(x + p/2)² = (p/2)² - q
En vervolgens kan je gebruiken dat als a² = b dan a = √b of a = -√b, om een formule voor x te krijgen.
Wat je bedoelt met 'oplossen' weet ik niet, ik neem dat je de formules moet vereenvoudigen. Dan nog is het me niet helemaal duidelijk in welke vorm de formules het meest vereenvoudigd zijn (want volgens mij bestaat er geen echt simpele uitdrukking voor de gegeven formules).
Om de formules in je tweede spoiler te vereenvoudigen moet je gebruikmaken van de rekenregels voor machten en wortels, zoals je ongetwijfeld weet. Het werkt beter als je uitlegt tot waar je komt en waar je vastloopt of niet zeker over bent. De eerste formule zullen de meeste mensen simpeler te vereenvoudigen vinden dan de tweede (hoewel beide goede testen zijn of je de rekenregels goed toepast). Heb je met allebei problemen?
Onthoud
apar = ap+r
De r-de machtswortel van a is a1/r
1/(a/b)=b/a
(ap)r = apr
En als laatste:
Als a er niet zou staan aan de rechterkant, zou er x² ipv ax² na het wegwerken van de haakjes van (x - x1)(x - x2).
[ Bericht 2% gewijzigd door defineaz op 02-09-2014 02:40:02 ]quote:
Ik snap het volgende niet wat betrekking heeft tot op een uitleg over de abc formule en zou daar graag wat hulp bij willen, mits dat mogelijk is van één van jullie wiskundigenOm te beginnen: als je citeert, gebruik dan liever geen spoilers, dat maakt het quoten van passages van je post onnodig lastig en je bericht zelf minder leesbaar.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
Het lijkt erop dat je hier een Engelse tekst door een vertaalmachine hebt gehaald, het is althans niet te hopen dat dit je eigen vertaling is. Zoals ik al eerder heb opgemerkt heeft het gebruik van het Engels in een Nederlandse onderwijssituatie niet zelden een dramatische verslechtering van de kennisoverdracht tot gevolg, en dat wordt hier weer eens treffend geïllustreerd.
Het gaat hier feitelijk om een afleiding van de wortelformule voor de oplossing van de kwadratische vergelijking x2 + px + q = 0, en deze formule wordt de pq-formule genoemd, niet de abc-formule. In het Duitse taalgebied spreekt men om het onderscheid aan te geven wel van de kleine Lösungsformel terwijl de abc-formule die de oplossingen geeft van ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) de große Lösungsformel wordt genoemd. Het is overigens heel goed mogelijk de abc-formule af te leiden uit de pq-formule door p = b/a en q = c/a te substitueren.
Om te begrijpen hoe de pq-formule resp. de abc-formule kan worden afgeleid is het nodig de techniek van de kwadraatafsplitsing te begrijpen. In het Engels heet deze techniek (vanuit een iets ander perspectief) completing the square oftewel het completeren van een (volkomen) kwadraat. Het komt erop neer dat we de constante term q van de kwadratische vergelijking x2 + px + q = 0 overbrengen naar het rechterlid door van beide leden q af te trekken, zodat we x2 + px = −q krijgen. Vervolgens gaan we dan het linkerlid aanvullen tot een volkomen kwadraat door bij beide leden een geschikt gekozen constante op te tellen. Daarna kunnen we gebruik maken van één van de merkwaardige producten (identiteiten)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
om het linkerlid van de vergelijking te herschrijven als een kwadraat. Om deze techniek beter te begrijpen moet je dit eens goed doornemen. Het is ook van belang de techniek van het kwadraatafsplitsen te oefenen door een aantal kwadratische vergelijkingen met deze methode op te lossen, zie bijvoorbeeld hier en hier voor uitgewerkte voorbeelden.
Heb je de techniek van het kwadraatafsplitsen onder de knie, dan zul je ook deze afleiding van de pq-formule alsmede deze afleiding van de abc-formule goed kunnen begrijpen.quote:Dit zijn geen functies maar uitdrukkingen, waarbij het kennelijk de bedoeling is dat je deze uitdrukkingen zo ver mogelijk vereenvoudigt. Het is natuurlijk onzin om op te merken dat iets 'totaal onbekend' is omdat het er wat ingewikkelder uitziet dan je wellicht gewend bent. Het is ook niet nodig om in één oogopslag te kunnen overzien wat een dergelijke uitdrukking nu eigenlijk voorstelt. Je kunt bij het vereenvoudigen stap voor stap te werk gaan, waarbij je voor elke stap een jou bekende rekenregel gebruikt om de uitdrukking in een eenvoudiger vorm te brengen, totdat je op een punt aan bent gekomen waarbij verdere vereenvoudigingen niet meer mogelijk zijn of in ieder geval niet zinvol.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Die laatste spoiler is totaal onbekend voor mij met name doordat alles door elkaar is (exponenten, letters, wortels etc etc.) ..
Voor de eerste uitdrukking kun je bedenken dat
p√a = a1/p en r√a = a1/r
zodat
p√a · r√a = a1/p·a1/r
en dit geeft ons dan weer de mogelijkheid om de rekenregel te gebruiken die zegt dat exponenten optellen bij het vermenigvuldigen van twee machten van hetzelfde grondtal. We hebben 1/p + 1/r = r/pr + p/pr = (r+p)/pr = (p+r)/pr en dus ook
a1/p·a1/r = a(p+r)/pr
Nu zien we dat de breuk die we moeten vereenvoudigen in zowel de teller als de noemer een factor a(p+r)/pr heeft. Dat betekent dat we de breuk kunnen vereenvoudigen door teller en noemer elk door deze factor a(p+r)/pr te delen en dan houden we over
apr / 1 = apr
en dit is niet verder te vereenvoudigen. Je ziet dus dat de wat ingewikkeld ogende uitdrukking niets anders is dan apr.
De tweede opgave is niet meer dan een simpele invuloefening, omdat hier immers is gegeven dat x = 2. Maar we kunnen onszelf hier wel wat rekenwerk besparen door gebruik te maken van de gekende rekenregels woor het werken met machten, en het is kennelijk ook de bedoeling geweest van de maker van de opgave dat je dit inziet. Kijken we naar de teller van de breuk onder het wortelteken dan hebben we met x = 2
2(x²)·42x = 24·42·2 = 16·(42)2 = 16·162 = 163
zodat de teller en de noemer van de breuk onder het wortelteken voor x = 2 beide gelijk zijn aan 163. Maar dat betekent dat de waarde van de breuk onder het wortelteken voor x = 2 dus gelijk is aan 163 / 163 = 1. En de wortel uit 1 is 1. De uitdrukking is dus gelijk aan 1 voor x = 2.quote:En tenslotte een simpele, waar ik alleen niet begrijp waarom er een a staat aan de rechterzijde van de vergelijking:Hebben we een veelterm oftewel een polynoom P(x) in de variabele x, dan zegt de factorstelling dat P(x) een factor (x − x0) bevat dan en slechts dan als x0 een nulpunt is van P(x), oftewel dan en slechts dan als x0 een oplossing is van de vergelijking P(x) = 0 en dus geldt P(x0) = 0.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
Welnu, als x1 en x2 de oplossingen zijn van de vierkantsvergelijking
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
dan is dus volgens de factorstelling zowel (x − x1) als (x − x2) een factor van de veelterm ax2 + bx + c. En daarmee is het product (x − x1)(x − x2) eveneens een factor van ax2 + bx + c. Maar het is ook duidelijk dat dit product in het algemeen niet identiek is met
ax2 + bx + c
want als we (x − x1)(x − x2) uitwerken, dan krijgen we
x2 − (x1 + x2)x + x1x2
Er ontbreekt dus nog een factor a. We kunnen nu concluderen dat een vierkantsvergelijking
(1) ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
met als oplossingen x1 en x2 ook is te schrijven als
(2) ax2 − a(x1 + x2)x + ax1x2 = 0 (a ≠ 0)
Aangezien (1) en (2) dezelfde vergelijking voorstellen, moeten de coëfficiënten van (1) en (2) identiek zijn, zodat dus geldt −a(x1 + x2) = b en dus
(3) x1 + x2 = −b/a
en ook ax1x2 = c en dus
(4) x1x2 = c/a
De betrekkingen (3) en (4) die een verband geven tussen de oplossingen x1 en x2 en de coëfficiënten a, b en c van de vierkantsvergelijking (1) heten de formules van Viète voor de vierkantsvergelijking (1). Uitgaande van de betrekkingen (3) en (4) zou je uitdrukkingen voor x1 en x2 in a, b en c af kunnen leiden, en dan heb je dus een alternatieve methode om de abc-formule af te leiden, zie ook hier.Enorm bedankt voor je uitleg. De eerste twee is mij enorm duidelijk.quote:
[..]
Om te beginnen: als je citeert, gebruik dan liever geen spoilers, dat maakt het quoten van passages van je post onnodig lastig en je bericht zelf minder leesbaar.
Het lijkt erop dat je hier een Engelse tekst door een vertaalmachine hebt gehaald, het is althans niet te hopen dat dit je eigen vertaling is. Zoals ik al eerder heb opgemerkt heeft het gebruik van het Engels in een Nederlandse onderwijssituatie niet zelden een dramatische verslechtering van de kennisoverdracht tot gevolg, en dat wordt hier weer eens treffend geïllustreerd.
Het gaat hier feitelijk om een afleiding van de wortelformule voor de oplossing van de kwadratische vergelijking x2 + px + q = 0, en deze formule wordt de pq-formule genoemd, niet de abc-formule. In het Duitse taalgebied spreekt men om het onderscheid aan te geven wel van de kleine Lösungsformel terwijl de abc-formule die de oplossingen geeft van ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) de große Lösungsformel wordt genoemd. Het is overigens heel goed mogelijk de abc-formule af te leiden uit de pq-formule door p = b/a en q = c/a te substitueren.
Om te begrijpen hoe de pq-formule resp. de abc-formule kan worden afgeleid is het nodig de techniek van de kwadraatafsplitsing te begrijpen. In het Engels heet deze techniek (vanuit een iets ander perspectief) completing the square oftewel het completeren van een (volkomen) kwadraat. Het komt erop neer dat we de constante term q van de kwadratische vergelijking x2 + px + q = 0 overbrengen naar het rechterlid door van beide leden q af te trekken, zodat we x2 + px = −q krijgen. Vervolgens gaan we dan het linkerlid aanvullen tot een volkomen kwadraat door bij beide leden een geschikt gekozen constante op te tellen. Daarna kunnen we gebruik maken van één van de merkwaardige producten (identiteiten)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
om het linkerlid van de vergelijking te herschrijven als een kwadraat. Om deze techniek beter te begrijpen moet je dit eens goed doornemen. Het is ook van belang de techniek van het kwadraatafsplitsen te oefenen door een aantal kwadratische vergelijkingen met deze methode op te lossen, zie bijvoorbeeld hier en hier voor uitgewerkte voorbeelden.
Heb je de techniek van het kwadraatafsplitsen onder de knie, dan zul je ook deze afleiding van de pq-formule alsmede deze afleiding van de abc-formule goed kunnen begrijpen.
[..]
Dit zijn geen functies maar uitdrukkingen, waarbij het kennelijk de bedoeling is dat je deze uitdrukkingen zo ver mogelijk vereenvoudigt. Het is natuurlijk onzin om op te merken dat iets 'totaal onbekend' is omdat het er wat ingewikkelder uitziet dan je wellicht gewend bent. Het is ook niet nodig om in één oogopslag te kunnen overzien wat een dergelijke uitdrukking nu eigenlijk voorstelt. Je kunt bij het vereenvoudigen stap voor stap te werk gaan, waarbij je voor elke stap een jou bekende rekenregel gebruikt om de uitdrukking in een eenvoudiger vorm te brengen, totdat je op een punt aan bent gekomen waarbij verdere vereenvoudigingen niet meer mogelijk zijn of in ieder geval niet zinvol.
Voor de eerste uitdrukking kun je bedenken dat
p√a = a1/p en r√a = a1/r
zodat
p√a · r√a = a1/p·a1/r
en dit geeft ons dan weer de mogelijkheid om de rekenregel te gebruiken die zegt dat exponenten optellen bij het vermenigvuldigen van twee machten van hetzelfde grondtal. We hebben 1/p + 1/r = r/pr + p/pr = (r+p)/pr = (p+r)/pr en dus ook
a1/p·a1/r = a(p+r)/pr
Nu zien we dat de breuk die we moeten vereenvoudigen in zowel de teller als de noemer een factor a(p+r)/pr heeft. Dat betekent dat we de breuk kunnen vereenvoudigen door teller en noemer elk door deze factor a(p+r)/pr te delen en dan houden we over
apr / 1 = apr
en dit is niet verder te vereenvoudigen. Je ziet dus dat de wat ingewikkeld ogende uitdrukking niets anders is dan apr.
De tweede opgave is niet meer dan een simpele invuloefening, omdat hier immers is gegeven dat x = 2. Maar we kunnen onszelf hier wel wat rekenwerk besparen door gebruik te maken van de gekende rekenregels woor het werken met machten, en het is kennelijk ook de bedoeling geweest van de maker van de opgave dat je dit inziet. Kijken we naar de teller van de breuk onder het wortelteken dan hebben we met x = 2
2(x²)·42x = 24·42·2 = 16·(42)2 = 16·162 = 163
zodat de teller en de noemer van de breuk onder het wortelteken voor x = 2 beide gelijk zijn aan 163. Maar dat betekent dat de waarde van de breuk onder het wortelteken voor x = 2 dus gelijk is aan 163 / 163 = 1. En de wortel uit 1 is 1. De uitdrukking is dus gelijk aan 1 voor x = 2.
[..]
Hebben we een veelterm oftewel een polynoom P(x) in de variabele x, dan zegt de factorstelling dat P(x) een factor (x − x0) bevat dan en slechts dan als x0 een nulpunt is van P(x), oftewel dan en slechts dan als x0 een oplossing is van de vergelijking P(x) = 0 en dus geldt P(x0) = 0.
Welnu, als x1 en x2 de oplossingen zijn van de vierkantsvergelijking
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
dan is dus volgens de factorstelling zowel (x − x1) als (x − x2) een factor van de veelterm ax2 + bx + c. En daarmee is het product (x − x1)(x − x2) eveneens een factor van ax2 + bx + c. Maar het is ook duidelijk dat dit product in het algemeen niet identiek is met
ax2 + bx + c
want als we (x − x1)(x − x2) uitwerken, dan krijgen we
x2 − (x1 + x2)x + x1x2
Er ontbreekt dus nog een factor a. We kunnen nu concluderen dat een vierkantsvergelijking
(1) ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
met als oplossingen x1 en x2 ook is te schrijven als
(2) ax2 − a(x1 + x2)x + ax1x2 = 0 (a ≠ 0)
Aangezien (1) en (2) dezelfde vergelijking voorstellen, moeten de coëfficiënten van (1) en (2) identiek zijn, zodat dus geldt −a(x1 + x2) = b en dus
(3) x1 + x2 = −b/a
en ook ax1x2 = c en dus
(4) x1x2 = c/a
De betrekkingen (3) en (4) die een verband geven tussen de oplossingen x1 en x2 en de coëfficiënten a, b en c van de vierkantsvergelijking (1) heten de formules van Viète voor de vierkantsvergelijking (1). Uitgaande van de betrekkingen (3) en (4) zou je uitdrukkingen voor x1 en x2 in a, b en c af kunnen leiden, en dan heb je dus een alternatieve methode om de abc-formule af te leiden, zie ook hier.
Laatste is mij niet duidelijker geworden, aangezien ik de materie al lastig vind en daarnaast gebruik je termen die het dan ook voor mij lastiger maken, omdat ik de materie niet begrijp..
Het is meer dat ik niet begrijp waarom de a er staat en de b en c niet terug te vinden is.. ik weet wel dat de formule
Ax^2 + bx + c gelijk is aan de functie met de oplossingen (waarin a ) voorkomt..: a(x - x1) ( x - x2)Hello,
Snapt iemand waarom bij het volgende geen 3 onder de 'onzichtbare noemer' van de gehele getallen komt?:
3x - 24 + 8/3x = -7
Ik zou zeggen alles vermenigvuldigen met 3, en daarnaast de gehele getallen zien als breuken (3x/1 en 24/1 )
Dus
9x/3 - 72/3 + 8x = -21/3
Dit klopt volgens mij niet, maar waarom behandel je de gehele getallen niet als breuken?quote:Op dinsdag 2 september 2014 18:56 schreef RustCohle het volgende:
Hello,
Snapt iemand waarom bij het volgende geen 3 onder de 'onzichtbare noemer' van de gehele getallen komt?:
3x - 24 + 8/3x = -7
Ik zou zeggen alles vermenigvuldigen met 3, en daarnaast de gehele getallen zien als breuken (3x/1 en 24/1 )
Dus
9x/3 - 72/3 + 8x = -21/3
Dit klopt volgens mij niet, maar waarom behandel je de gehele getallen niet als breuken?. Dan doe je alles keer 3x, dus
. Dan krijg je,
, en het antwoord:
Dat b en c niet terug zouden zijn te vinden is natuurlijk niet waar. Je vergeet namelijk dat x1 en x2 zijn uit te drukken in a, b en c. Hebben we een kwadratische veelterm ax2 + bx + c met reële coëfficiënten waarvan de discriminant D = b2 − 4ac niet negatief is, dan geldt voor de reële nulpunten x1 en x2 van deze veeltermquote:
[..]
Enorm bedankt voor je uitleg. De eerste twee is mij enorm duidelijk.
Laatste is mij niet duidelijker geworden, aangezien ik de materie al lastig vind en daarnaast gebruik je termen die het dan ook voor mij lastiger maken, omdat ik de materie niet begrijp.
Het is meer dat ik niet begrijp waarom de a er staat en de b en c niet terug te vinden zijn. Ik weet wel dat de formule
ax2 + bx + c gelijk is aan de functie met de oplossingen (waarin a voorkomt): a(x - x1) (x - x2)
zodat we voor
kunnen schrijven
Bekijk eens een eenvoudig voorbeeld met concrete getallen voor de coëficiënten a, b en c van de vierkantsvergelijking ax2 + bx + c = 0. Kies a = 2, b = −10, c = 12, dan hebben we
2x2 − 10x + 12 = 0
De oplossingen van deze vergelijking zijn x1 = 2 en x2 = 3, zodat de veelterm 2x2 − 10x + 12 dus een factor (x − 2) en een factor (x − 3) bevat. Maar als we deze factoren met elkaar vermenigvuldigen, dan krijgen we
(x − 2)(x − 3) = x2 − (2+3)x + (2·3) = x2 − 5x + 6
en dat is niet identiek met 2x2 − 10x + 12. Dit komt omdat 2x2 − 10x + 12 behalve de factoren (x − 2) en (x − 3) ook nog een (constante) factor 2 bevat. De vergelijking is dan ook te schrijven als
2(x − 2)(x − 3) = 0
Voor de som van de oplossingen geldt x1 + x2 = 2 + 3 = 5 en dit is gelijk aan −b/a = 10/2 en voor het product van de oplossingen geldt x1x2 = 2·3 = 6 en dit is gelijk aan c/a = 12/2, zoals de formules van Viète ook aangeven.
[ Bericht 11% gewijzigd door Riparius op 05-09-2014 02:09:13 ]Klopt, maar waarom mag je de gehele getallen niet benaderen als breuken ( gehele getal/1 ) ?quote:
[..]Ik vermoed dat je bedoeltquote:
Hello,
Snapt iemand waarom bij het volgende geen 3 onder de 'onzichtbare noemer' van de gehele getallen komt?:
3x - 24 + 8/3x = -7
3x − 24 + (8/3)·x = −7
Beide leden vermenigvuldigen met 3 geeft dan
9x − 72 + 8x = −21
en dus
17x − 72 = −21
zodat
17x = 72 − 21
oftewel
17x = 51
en dus
x = 3Dat mag je wel? 10 delen door 5 isquote:
[..]
Klopt, maar waarom mag je de gehele getallen niet benaderen als breuken ( gehele getal/1 ) ?
( 1-W2)2
Hoe moet deze (w is wortel)?
Ik kom uit op 1-2= -1
Maar het antwoordenboek komt uit op 3 - 2W2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2quote:
( 1-W2)2
Hoe moet deze (w is wortel)?
Ik kom uit op 1-2= -1
Maar het antwoordenboek komt uit op 3 - 2W2
Jij vergeet 2ab en je vergeet dat min keer min plus is.(a-b)2 = a2 -2ab +b2 is misschien handiger als je niet meteen ziet dat b ook een negatief getal mag zijn.Dit had je nu zonder meer moeten kunnen herleiden als je de moeite had genomen dit te bestuderen, zoals ik je ook heb aangeraden. Merkwaardige producten dien je van buiten te kennen en ook te allen tijde te herkennen.quote:
( 1-W2)2
Hoe moet deze (w is wortel)?
Ik kom uit op 1-2= -1
Maar het antwoordenboek komt uit op 3 - 2W2
(1 − √2)2 = 1 − 2·1·√2 + (√2)2 = 1 − 2√2 + 2 = 3 − 2√2.Waar komt die wortel 2 opeens vandaan?quote:
[..]
Dit had je nu zonder meer moeten kunnen herleiden als je de moeite had genomen dit te bestuderen, zoals ik je ook heb aangeraden. Merkwaardige producten dien je van buiten te kennen en ook te allen tijde te herkennen.
(1 − √2)2 = 1 − 2·1·√2 + (√2)2 = 1 − 2√2 + 2 = 3 − 2√2.quote:
[..]
Waar komt die wortel 2 opeens vandaan?Heb je dit gelezen?quote:
(a-b)2 = a2 -2ab +b2 is misschien handiger als je niet meteen ziet dat b ook een negatief getal mag zijn.Kan iemand mij deze uitleggen. Vooral de natuurlijke logaritme in combinatie met een absolute waarde functie maakt het mij enorm lastig. :
Weet je wanneer een logaritme negatief is?quote:
Kan iemand mij deze uitleggen. Vooral de natuurlijke logaritme in combinatie met een absolute waarde functie maakt het mij enorm lastig. :
[ afbeelding ]
Zoja kijk wanneer dat logaritme negatief, 0, positief is en hetzelfde doe je voor
En daarna kan je beiden combineren om je antwoord te krijgen.
Bekijk nu voor elk afzonderlijk deel wanneer alles gedefinieerd is, wanneer deze nul is of wanneer deze positief/negatief is.x^2-5x+6
A = 1
B = -5
C = 6
Ik krijg x = 2 and x = 3
dus x^2 - 5x + 6 = (x + 2)(x+3)
Maar als ik het ontbind in factoren krijg ik :
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
Als ik de abc formule gebruik, zijn de factoren positief en als ik het ontbind in factoren, zijn de factoren negatief (wat klopt), waarom is het dan positief als ik de abc formule gebruik?
@BrandX bedankt voor de link hierna toe.Als x = 2 en x = 3 de nulpunten zijn, dan is het (x - 2)(x - 3).quote:
x^2-5x+6
A = 1
B = -5
C = 6
Ik krijg x = 2 and x = 3
dus x^2 - 5x + 6 = (x + 2)(x+3)Dit zijn inderdaad de nulpunten van de kwadratische veelterm x2 − 5x + 6.quote:
x^2-5x+6
A = 1
B = -5
C = 6
Ik krijg x = 2 and x = 3Nee, dit klopt niet. Zie mijn uitleg hierboven.quote:dus x^2 - 5x + 6 = (x + 2)(x+3)Dit is weer wel juist. Een polynoom oftewel veelterm P(x) heeft een factor (x − x0) dan en slechts dan als x = x0 een nulpunt is van P(x), oftewel dan en slechts dan als x = x0 een oplossing is van de vergelijking P(x) = 0.quote:Maar als ik het ontbind in factoren krijg ik :
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)Je vergist je, omdat je kennelijk de factorstelling niet begrijpt. Een nulpunt x = x0 geeft een factor (x − x0), niet een factor (x + x0).quote:Als ik de abc formule gebruik, zijn de factoren positief en als ik het ontbind in factoren, zijn de factoren negatief (wat klopt), waarom is het dan positief als ik de abc formule gebruik?Ik weet dus niet hoe dat moet.quote:
Bekijk nu voor elk afzonderlijk deel wanneer alles gedefinieerd is, wanneer deze nul is of wanneer deze positief/negatief is.
Dit is nieuw voor me, zowel de logaritme als de absolute waarde functie. Ik vind dat al helemaal lastig door die absolute waarde functie, want y kan nooit lager dan 0 zijn, want het wordt altijd positief doordat het absoluut is.quote:
[..]
Weet je wanneer een logaritme negatief is?
Zoja kijk wanneer dat logaritme negatief, 0, positief is en hetzelfde doe je voor
En daarna kan je beiden combineren om je antwoord te krijgen.Het lastige van deze opgave schuilt niet in die logaritme van een absolute waarde maar in het verkrijgen van een goed overzicht. Dit is nu typisch een opgave waarbij je heel goed met tekenschema's kunt werken. Ik heb je al vaker aangeraden gebruik te maken van tekenschema's, maar dat ben je kennelijk alweer vergeten, of je verkiest mijn adviezen te negeren.quote:
Kan iemand mij deze uitleggen. Vooral de natuurlijke logaritme in combinatie met een absolute waarde functie maakt het mij enorm lastig. :
[ afbeelding ]
We kijken nu eerst naar de teller x2 − 10x + 16 van de breuk, waarvoor we (x − 2)(x − 8) kunnen schrijven. De grafiek van f(x) = x2 − 10x + 16 is een dalparabool die de x-as snijdt bij x = 2 en x = 8, zodat we voor deze teller het volgende tekenschema krijgen:
1
2
3++++++++++++++++++++++++++++++++0-----------------------0++++++++
________________________________|_______________________|________
2 8
Voor de noemer x2 − 16 van de breuk kunnen we (x + 4)(x − 4) schrijven. De grafiek van g(x) = x2 − 16 is eveneens een dalparabool, maar deze snijdt de x-as bij x = −4 en x = 4, zodat we voor deze noemer het volgende tekenschema krijgen:
1
2
3++++++++0-------------------------------0++++++++++++++++++++++++
________|_______________________________|________________________
-4 4
Nu we tekenschema's hebben voor de teller en noemer van onze breuk, kunnen we hieruit een tekenschema afleiden voor de breuk als geheel, omdat de waarde van een breuk immers positief is als teller en noemer hetzij beide positief zijn, hetzij beide negatief. Voorts is de waarde van de breuk negatief als hetzij de teller positief is en tevens de noemer negatief hetzij de teller negatief is en tevens de noemer positief. Ook is de waarde van een breuk nul als de teller nul is terwijl de noemer niet nul is. Is daarentegen de noemer nul, dan is de waarde van de breuk ongedefinieerd. In tekenschema's kunnen we een asterisk (*) gebruiken om aan te geven dat de waarde van een uitdrukking waarvan we het tekenverloop weergeven niet is gedefinieerd. Voor het tekenschema van de breuk als geheel krijgen we aldus:
1
2
3++++++++*-----------------------0+++++++*---------------0++++++++
________|_______________________|_______|_______________|________
-4 2 4 8
Nu moeten we nog kijken naar het tekenverloop van de uitdrukking ln(| x − 2 |). Om te beginnen hebben we | x − 2 | = 0 voor x = 2, wat dus betekent dat ln(| x − 2 |) voor x = 2 niet is gedefinieerd, aangezien de logaritme van 0 niet is gedefinieerd. Voor x ≠ 2 is | x − 2 | > 0, zodat ln(| x − 2 |) dan wel is gedefinieerd. De logaritme van 1 is 0, zodat ln(| x − 2 |) = 0 als | x − 2 | = 1, en dat is het geval voor x = 1 of x = 3. De uitdrukking | x − 2 | geeft de afstand op de getallenlijn van het beeldpunt van het getal x tot het beeldpunt van het getal 2, zodat het duidelijk is dat 0 < | x − 2 | < 1 voor 1 < x < 3 ∧ x ≠ 2 terwijl | x − 2 | > 1 voor x < 1 ∨ x > 3. De logaritme van getallen tussen 0 en 1 is negatief, en de logaritme van getallen groter dan 1 is positief, zodat we voor ln(| x − 2 |) het volgende tekenschema krijgen:
1
2
3++++++++++++++++++++++++++++0---*---0++++++++++++++++++++++++++++
____________________________|___|___|____________________________
1 2 3
Tenslotte moeten we nu de tekenschema's van het quotiënt (x2 − 10x + 16)/(x2 − 16) en van ln(| x − 2 |) combineren om een tekenschema van de gegeven uitdrukking te verkrijgen. Het product van twee grootheden is positief als die grootheden hetzij beide positief zijn hetzij beide negatief, en het product van twee grootheden is negatief als één van beide grootheden positief is en de andere negatief. Voorts is een product van twee grootheden nul als (tenminste) één van beide grootheden zelf nul is. En uiteraard is een product van twee grootheden niet gedefinieerd zodra één van beide grootheden zelf niet is gedefinieerd. Aldus krijgen we voor de gegeven uitdrukking het volgende tekenschema:
1
2
3++++++++*-------------------0+++*---0+++*---------------0++++++++
________|___________________|___|___|___|_______________|________
-4 1 2 3 4 8
Uit dit tekenschema lezen we nu het volgende af:
De uitdrukking is positief voor
x ∈ (−∞, −4) ∪ (1, 2) ∪ (3,4) ∪ (8, ∞)
De uitdrukking is negatief voor
x ∈ (−4, 1) ∪ (2, 3) ∪ (4, 8)
De uitdrukking is nul voor
x ∈ { 1, 3, 8 }
De uitdrukking is niet gedefinieerd voor
x ∈ { −4, 2, 4 }
Hiermee is de opgave opgelost.
[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 05-09-2014 02:28:22 ]Nou heeft Riparius het je al voor gekauwd maar je kon mijn vraag toch nog wel beantwoorden, zo moeilijk was dat niet te vinden.quote:
[..]
Dit is nieuw voor me, zowel de logaritme als de absolute waarde functie. Ik vind dat al helemaal lastig door die absolute waarde functie, want y kan nooit lager dan 0 zijn, want het wordt altijd positief doordat het absoluut is.
Wanneer is een logaritme negatief, 0, positief? Als het niet weet kan je dit vast wel vinden.
Welke y?
En je kon ook alvast uitrekenen wanneer die polynomen positief, 0 of negatief zijn.Goedennacht,
Kan iemand mij de overgang, van stap 3 naar stap 4, uitleggen in het volgende plaatje?
Waarom mag dit en kan dit? Wat is de gedachte erachter? En daarnaast; waarom moet de p vóór ln staan en kan het niet staan naast de x?
Ten tweede:
Die laatste stap?! Eigenlijk hetzelfde als het eerste plaatje, alleen andere vorm.
Tenslotte begrijp ik dit niet (zowel links als rechts):
[ Bericht 17% gewijzigd door BroodjeKebab op 06-09-2014 00:26:29 ]http://nl.wikipedia.org/w(...)kenen_met_logaritmesquote:
Goedennacht,
Kan iemand mij de overgang, van stap 3 naar stap 4, uitleggen in het volgende plaatje?
[ afbeelding ]
Waarom mag dit en kan dit? Wat is de gedachte erachter? En daarnaast; waarom moet de p vóór ln staan en kan het niet staan naast de x?
Ten tweede:
[ afbeelding ]
Die laatste stap?! Eigenlijk hetzelfde als het eerste plaatje, alleen andere vorm.
Tenslotte begrijp ik dit niet (zowel links als rechts):
[ afbeelding ]( 5 / (2x - 1) ) = (1 / (2 - x) )
( 5 / (2x - 1) ) - (1 / (2 - x) ) = 0
(5(2-x) - 2x - 1 ) / (2x - 1)(2 - x) = 0
(10 - 5x) - (2x - 1 ) / (2x - 1)(2 - x) = 0
Dan loop ik vast. HELP!Als een breuk gelijk aan 0 moet zijn, dan is dat alleen zo als de teller gelijk aan nul is en de noemer niet. Bovenkant gelijk aan 0 stellen dus.
Maar let op, je maakt een mintekenfout, en daarnaast ben je sneller af als je vanaf het begin de keuze maakt om kruislings te vermenigvuldigen:
Hint: a/b = c/d dan en slechts dan als ad = cb onder de voorwaarde dat b≠0 en d≠0.Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)Dankjewel!! Ben eruit gekomen.quote:
Als een breuk gelijk aan 0 moet zijn, dan is dat alleen zo als de teller gelijk aan nul is en de noemer niet. Bovenkant gelijk aan 0 stellen dus.
Maar let op, je maakt een mintekenfout, en daarnaast ben je sneller af als je vanaf het begin de keuze maakt om kruislings te vermenigvuldigen:
Hint: a/b = c/d dan en slechts dan als ad = cb onder de voorwaarde dat b≠0 en d≠0.
Ik heb nu iets heel anders waar ik ook mee zit, ik dacht laat ik eerst even die breukenvraag vragen en vervolgens deze vragen m.b.t. een ander onderwerp:
Px (Px + Q)-1/3 + ( Px + Q)2/3 = 0 --> functie zo omzetten dat er komt te staan x = ....
Hiervan dan r berekenen (formule zo omzetten dat er komt te staan r = ....SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
[ Bericht 6% gewijzigd door Brainstorm245 op 06-09-2014 15:04:34 ]Tip bij de eerste: haal een van beide termen naar de andere kant en verhef links en rechts tot de derde macht.
Tip bij de tweede: vermenigvuldig in de grote breuk boven en onder met (1+r).Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)Zie edit overigens.quote:
Tip bij de eerste: haal een van beide termen naar de andere kant en verhef links en rechts tot de derde macht.
Tip bij de tweede: vermenigvuldig in de grote breuk boven en onder met (1+r).
Bij die eerste weet ik dat ik het moet verheffen tot de derde macht, maar ik weet niet hoe ik moet uitvoeren, want er zit nog een Px buiten de haakjes.
Bij die tweede snap ik er niks van, want ik zie 3 deelstrepen (waarvan twee breuken).Opmerking over de edit in je spoiler: 'Naar rechts halen' of 'naar de andere kant halen' is eigenlijk een onterechte term, die ik zelf ook met de regelmaat van de klok misbruik, maar je moet goed in de gaten houden wat je eigenlijk doet.
Het is-teken betekent dat links en rechts evenveel is. Als je links en rechts dezelfde elementaire bewerking toepast, zoals vermeningvuldigen met 37, of aan beide kanten 19 optellen, zal dat niet veranderen. Bij vermenigvuldiging met x ook niet, tenzij x per ongeluk 0 zou zijn, dus die moet je dan even uitsluiten.
Terug naar jouw uitdrukking:
3K-1/2 L1/3 = 1/5
Als je links en rechts met K1/2 vermenigvuldigt wordt dit
3L1/3 = 1/5K1/2.
Reken dat zelf maar even na.
Voor de andere 2 opgaven geldt: probeer ze stap voor stap uit te schrijven met behulp van de hints. Ik kan ze wel voor je gaan uitschrijven, maar daar leer je weinig van.Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)quote:
[..]
Dankjewel!! Ben eruit gekomen.
Ik heb nu iets heel anders waar ik ook mee zit, ik dacht laat ik eerst even die breukenvraag vragen en vervolgens deze vragen m.b.t. een ander onderwerp:
Px (Px + Q)-1/3 + ( Px + Q)2/3 = 0 --> functie zo omzetten dat er komt te staan x = ....
Hiervan dan r berekenen (formule zo omzetten dat er komt te staan r = ....
[ afbeelding ]Over die spoiler: een negatieve macht is het zelfde als delen door een positieve macht, ie x-1 = 1/x. Naar de andere kant halen dus delen wordt vermenigvuldiging.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.2e opgave is gelukt met Px is nu wel gelukt, dankje !!. Echter die breuken met deelstreep zit mij nog steeds in de weg...quote:
Opmerking over de edit in je spoiler: 'Naar rechts halen' of 'naar de andere kant halen' is eigenlijk een onterechte term, die ik zelf ook met de regelmaat van de klok misbruik, maar je moet goed in de gaten houden wat je eigenlijk doet.
Het is-teken betekent dat links en rechts evenveel is. Als je links en rechts dezelfde elementaire bewerking toepast, zoals vermeningvuldigen met 37, of aan beide kanten 19 optellen, zal dat niet veranderen. Bij vermenigvuldiging met x ook niet, tenzij x per ongeluk 0 zou zijn, dus die moet je dan even uitsluiten.
Terug naar jouw uitdrukking:
3K-1/2 L1/3 = 1/5
Als je links en rechts met K1/2 vermenigvuldigt wordt dit
3L1/3 = 1/5K1/2.
Reken dat zelf maar even na.
Voor de andere 2 opgaven geldt: probeer ze stap voor stap uit te schrijven met behulp van de hints. Ik kan ze wel voor je gaan uitschrijven, maar daar leer je weinig van.(1−λ)a−ρ +λb−ρ = c−ρ
Hier moet ik b = van zien te maken.. Ik weet wel hoe ik de exponenten wegkrijg, maar niet wat er gebeurt met de functie als ik c naar links haal en b naar rechts.Ik post nu misschien té veel achter elkaar, maar dit komt omdat ik komende week een toets heb en nu alles aan het herhalen ben heel vlug.Je haalt niets naar links en naar rechts, maar je vermenigvuldigt links en rechts met hetzelfde. Heb je het voorbeeld uit post #145 al negerekend?quote:
(1−λ)a−ρ +λb−ρ = c−ρ
Hier moet ik b = van zien te maken.. Ik weet wel hoe ik de exponenten wegkrijg, maar niet wat er gebeurt met de functie als ik c naar links haal en b naar rechts.
In dit geval zou je links en rechts met cp kunnen vermenigvuldigen.Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Forum Opties Forumhop: Hop naar:
