quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 20:05 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Een van de eerste afgeleide regels die je geleerd hebt:
(c f)' = c f '
met c een constante.

De afgeleide van ln (x^1/3) = (1/3) ln x is dus (1/3) · (1/x) = 1 / (3x)

Dus blijf rustig. Probeer niet de kettingregel toe te passen als het niet hoeft.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 20:12 schreef Riparius het volgende:

[..]

Het is voor iemand met een normale aanleg niet mogelijk om in 2 à 3 weken tijd de stof van het boek van Van de Craats volledig te leren beheersen. Je heb er dus veel te weinig tijd en inspanning aan besteed.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 20:16 schreef jordyqwerty het volgende:
Normaliter opent degene die de laatste post heeft het gemaakt het nieuwe topic.

[..]

Ter aanvulling: Ook een selectie van de stof beheers je niet in een week of drie.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 20:18 schreef jordyqwerty het volgende:
f(x) = 10log(x+1)
f(x) = 10log((x+1)^1/2)
f(x) = 5log(x+1)

Lukt het vanaf daar wèl?

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 20:24 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

10 is vast het grondtal. Of niet. Who knows.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 20:26 schreef jordyqwerty het volgende:

[..]

Ik hoop dat dat inmiddels is opgelost. Aangezien hij het over log() heeft, ga ik in ieder geval uit van grondtal tien.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 20:27 schreef Super-B het volgende:

[..]

grondgetal ja.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 20:24 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

10 is vast het grondtal. Of niet. Who knows.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 20:31 schreef Riparius het volgende:

[..]

Inderdaad. Ga hem eerst maar eens aan zijn verstand peuteren dat

d(^glog x)/dx = x⁻¹·^glog e = 1/(x·ln g).

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 20:18 schreef jordyqwerty het volgende:
f(x) = 10log(x+1)
f(x) = 10log((x+1)^1/2)
f(x) = 5log(x+1)

Lukt het vanaf daar wèl?

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 17:28 schreef Anoonumos het volgende:

[..]



of gewoon rekenregels bij machten.



Dus ja het komt in de teller maar als je het dan vereenvoudigt krijg je dit.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 20:45 schreef jordyqwerty het volgende:
Volgensmij ben je er vooral van in de waan dat je het snapt c.q. een trucje kan toepassen. Dit is eigenlijk weer eenzelfde vraag als eerder, je moet nu echt eens die rekenregels (voor machten) gaan begrijpen.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 20:48 schreef jordyqwerty het volgende:
Maargoed,

x^1/2 / x = x^{1/2 - 1} = x^-1/2

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 21:19 schreef Super-B het volgende:

[..]

Dankeschön.

Wat is de afgeleide van (x² - 1 / x² + 1)? Want ik kom uit op:

0 / (x²+ 1)²

Klopt dat?

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 21:40 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Ja de afgeleide van een functie die geen constante is, is 0. Wat denk je zelf ? -,-

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 21:19 schreef Super-B het volgende:

[..]

Dankeschön.

Hoe bereken je de intervallen waarop de functie monotoon stijgend of dalend is? En daarnaast: hoe kom ik achter het domein van de functie? Wat houdt dat precies in?

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 21:19 schreef Super-B het volgende:

[..]

Dankeschön.

Wat is de afgeleide van (x² - 1) / (x² + 1)? Want ik kom uit op:

0 / (x²+ 1)²

Klopt dat?

daarnaast: hoe kom ik achter het domein van de functie? Wat houdt dat precies in?

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 21:40 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Ja als afgeleide van een functie die geen constante is, heb je 0. Wat denk je zelf ? -,- Teken (online) die functie bijvoorbeeld eens.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 21:43 schreef jordyqwerty het volgende:

[..]

Kan je ook uitleggen hoe je die afgeleide probeert te berekenen?

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 21:45 schreef Super-B het volgende:

[..]

Via de quotiënt regel

(x² - 1 ) / ( x² + 1)

(x² - 1) * 2x - 2x(x² - 1) --> 2x³ - 2x - 2x³ + 2x --> 0

En de noemer is gewoon

( x² + 1)²

Dus:

0 / ( x² + 1)²

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 21:43 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ja... gezien via Wolfram Alpha... wat bedoel je met het vetgedrukte. Beetje onduidelijk.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 21:48 schreef Riparius het volgende:

[..]

De afgeleide voor elke waarde van x is de steilheid van de grafiek van de oorspronkelijke functie voor diezelfde waarde van x. Als je afgeleide identiek gelijk is aan nul, dan moet de grafiek van de oorspronkelijke functie dus overal horizontaal lopen (steilheid nul) en dan heb je een horizontale rechte lijn, en dan is je oorspronkelijke functie dus een constante. Maar jouw functie is duidelijk geen constante functie, dus je hebt het fout gedaan.

Onbegrijpelijk trouwens hoe je zelfs het laten bepalen van een afgeleide functie door WolframAlpha weet te verkloten.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 21:47 schreef jordyqwerty het volgende:

[..]

De quotiëntregel luidt dus f'·g·f·g', ofwel die eerste term moet (x² +1) zijn en niet (x² - 1).

f(x) = (x² - 1) / (x² + 1)
f'(x) = (2x · (x² + 1) - (x² - 1) · 2x)/((x²+1)²) = 4x/((x²+1)²)

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 21:55 schreef Super-B het volgende:

[..]

Oh ik had het andersom, vandaar...

Hoe los je hem op?

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 21:59 schreef jordyqwerty het volgende:

[..]

Wat oplossen?

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 21:55 schreef Super-B het volgende:

[..]

Oh ik had het andersom, vandaar...

Hoe los je hem op?

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 22:00 schreef Super-B het volgende:

[..]

De vergelijking:

4x/((x²+1)²) = 0

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 22:04 schreef jordyqwerty het volgende:

[..]

Oh, nou, die vergelijking was er net nog niet.
Dit kan je toch wel? Probeer het eens, hoogstens gaat het fout.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 22:00 schreef Riparius het volgende:

[..]

Kijk eerst eens naar de grafiek van je functie. Wat kun je nu zeggen over de intervallen waarop je functie daalt en stijgt?

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 22:08 schreef Super-B het volgende:

[..]

x > 0 en x < 0 stijgend.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 22:07 schreef Super-B het volgende:

[..]

Delen door x en de x wegwerken:

4x/((x²+1)²)

Dus:

4/((x+1)²)

En dan loopt het vast.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 22:13 schreef jordyqwerty het volgende:

[..]

Wat dacht je er eens van om de noemer weg te werken?

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 22:16 schreef netchip het volgende:
Riparius, in het vorige topic had je het erover dat het begrijpen van Van Craats boek niet gaat lukken in 3 weken. Ik weet niet wat hij allemaal behandelt, maar de absolute waarde en het differentiëren kan je zeker in een week leren, als je er 2 á 3 uur per dag aanbesteedt.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 21:43 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ja... gezien via Wolfram Alpha... wat bedoel je met het vetgedrukte. Beetje onduidelijk.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 22:16 schreef netchip het volgende:
Riparius, in het vorige topic had je het erover dat het begrijpen van Van Craats boek niet gaat lukken in 3 weken. Ik weet niet wat hij allemaal behandelt, maar de absolute waarde en het differentieren kan je zeker in een week leren, als je er 2 á 3 uur per dag aanbesteedt.

Zelf heb ik me de afgelopen week met differentiëren bezig gehouden, en ik kan dat zeker nog niet perfect, maar het is goed te doen.

quote:

Ik weet niet of ik 'aanleg' heb voor wiskunde, maar interesse heb ik zeker. Sta ook vrij hoog voor wiskunde (afgerond een 10), maar ik denk niet dat dat representatief is.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 22:35 schreef Riparius het volgende:

[..]

Het gaat niet om het aanleren van een paar kunstjes zoals d(xⁿ)/dx = nxⁿ⁻¹ maar je moet begrijpen wat het allemaal betekent en vraagstukken op kunnen lossen waarbij bijvoorbeeld differentiaalrekening te pas komt. Heb je dat raaklijnvraagstuk wat ik je had gegeven op kunnen lossen? Zo ja, laat dan maar eens zien wat je ervan hebt gebrouwen. Zo nee, dan weet je er kennelijk nog niet veel van.

[..]

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 22:29 schreef Riparius het volgende:

[..]

Hier breng je hem alleen nog maar meer in verwarring. En delen door x is alleen toegestaan als x ≠ 0 maar x = 0 maakt wel deel uit van het domein van de functie en van het domein van de afgeleide functie. Didactisch helemaal fout dit.

Het enige wat meneer nu moet begrijpen is dat een breuk alleen de waarde nul heeft als de teller gelijk is aan nul terwijl de noemer niet gelijk is aan nul. En dat is bij de afgeleide die hij nu bekijkt uitsluitend het geval voor x = 0.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 22:55 schreef jordyqwerty het volgende:

[..]

Oeps. Ik laat het wel aan jou over. Ik heb uiteindelijk alleen maar een papiertje wiskunde A.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 22:13 schreef jordyqwerty het volgende:

[..]

Hieruit blijkt dus écht (weer) dat je nog niet op het gewenste niveau zit. Dat is niet gemeen bedoeld, maar de bittere waarheid.

Wat je hier doet mag dus niet. Misschien wordt dat duidelijk als we de boel even uitschrijven.

f(x) = 4x/((x²+1)²) = 4x/((x²+1)(x²+1)) = 4x/(x⁴ + 2x² + 1)
Als we nu beide termen door x delen krijg je dus:
f(x) = 4/(x³ + 2x + 1/x)
en (x+1)² =/= x³ + 2x + 1/x

Wat dacht je er eens van om de noemer weg te werken?

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 23:02 schreef Super-B het volgende:
De grafiek heeft (lokaal) een extreme waarde bereikt. Wanneer de grafiek van dalend naar stijgend overgaat, is er sprake van een minimum; van stijgend naar dalend een maximum. Echter is het mij niet duidelijk hoe ik kan zien of het een globale minimum is of een lokale minimum aan de hand van de uitkomst?

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 23:11 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

f heeft een globaal minimum in x = a als f(a) ≤ f(x) voor alle x in het domein van f.
Geldt dat niet, dan is het een lokaal minimum.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 23:11 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

f heeft een globaal minimum in x = a als f(a) ≤ f(x) voor alle x in het domein van f.
Geldt dat niet, dan is het een lokaal minimum.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 23:29 schreef Adsumnonabsum het volgende:
Die afgeleide klopt niet. 3x³ moet 4x³ zijn.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 23:33 schreef Adsumnonabsum het volgende:
De afgeleide geef je niet aan met f(a) zoals je hier doet, maar met f '(x). f(a) zou een functie van het argument a zijn, dus tenzij a een of andere constante is of je een geheime techniek hebt, is dat fout. Ook de afgeleide is namelijk een functie van het argument x.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 23:26 schreef Super-B het volgende:

[..]

Nou ik heb hier:

f(x) = x^4 - 2x²

met de afgeleide:

f(a) = 4x³ - 4x

met als globaal minimum = -1

Toch is bij f(-1) = 1 bij f(a) en bij f(x) is f(-1) = -1..

Dus f(a) > f(x) en toch is het een globaal minimum?

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 23:35 schreef Super-B het volgende:

[..]

Dus wat moet ik dan doen? Ik snap het niet

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 23:45 schreef Adsumnonabsum het volgende:
Je bent vergeven.

Vergeet iemand anders steeds om te kijken of een vraag exact moet of niet? Echt lullig als je net vijf minuten bezig bent geweest met zo'n kutformule overschrijven en differentiëren terwijl het gewoon met de GR mocht

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 23:26 schreef Super-B het volgende:

[..]

Nou ik heb hier:

f(x) = x^4 - 2x²

met de afgeleide:

f(a) = 4x³ - 4x

met als globaal minimum = -1

Toch is bij f(-1) = 0 bij f(a) en bij f(x) is f(-1) = -1..

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 23:36 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

f(a) is niet de afgeleide.
Met a bedoelde ik de nulpunten van de afgeleide dus a = 0 of a = 1 of a = -1 in dit geval.
Maar laat dat maar zitten.

x = 0 en x = 1 en x = -1 zijn de nulpunten van f '
Je moet de grafiek schetsen (met tekenschema's en zo)

[ afbeelding ]

Dus f heeft globale minima in x = 1 en x = -1 want nergens is de waarde lager dan in die punten.
Maar f heeft een lokaal maximum in x = 0 want er zijn punten waarop f een grotere waardere aanneemt.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 00:13 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee. Zit je nu de boel gewoon een beetje te stangen of heb je een geheugen als een zeef? Ik heb deze opgave uitvoerig voor je besproken, hier. Ik begin te denken dat het totaal geen zin heeft jou iets uit te leggen als je je hier anderhalve dag later al niets meer van herinnert. Dit is trouwens tevens bedoeld als waarschuwing voor anderen hier die jouw vragen proberen te beantwoorden. Ik ga er nu weer vandoor.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 00:53 schreef Super-B het volgende:

[..]

Klopt. Was heel handig. Dankjewel. Maar je legt er niet iets uit over f(a) en f(x) en wat je moet doen om te zien of het een lokale of globale minimum is, zonder te tekenen.

Als f(x) groter is dan f(a) dan is er een globale minimum..

Dus moet ik het nulpunt vd afgeleide dan in f(x)invullen en dan kijken wat eruit komt? Evenals het nulpunt van f(x) (functie zelf) invullen en kijken wat eruit komt?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 00:31 schreef Super-B het volgende:

[..]

Wat is f(x) dan? F(a) blijft bij 1 groter dan f(x) hoor?

Moet ik bijv die 1 dan jn de afgeleide invullen en dan in de functie f(x) en kijken of f(x) groter is dan de afgeleide of wat..?

quote:

f heeft een globaal minimum in x = a als f(a) ≤ f(x) voor alle x in het domein van f.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 01:04 schreef Adsumnonabsum het volgende:

[..]

Ook oppassen met hoofdletters bij functies, want F(x) wordt vaak gebruikt voor een primitieve van f(x).

f(x) is een functie. Deze kan een functievoorschrift hebben als f(x) = 3x+2 of f(x) = 12x² + 5b, waar b een constante is. f(x) geeft aan dat x de waarde is die je "invult" in de grafiek.

Stel dat je een functie f(a) = 2x zou hebben, dan klopt dat niet helemaal tenzij x of a een constante is. f(a) geeft aan dat je a moet invullen in de grafiek, maar er is geen a zoals je ziet. Dit is niet altijd fout, maar in dit geval wel omdat de waarde die verandert x is. Het correcte voorschrift is dus f(x) = 2x of f(a) = 2a. Je kan dan ook niet opeens overgaan van een functie f(x) naar f(a) bij het afleiden, omdat dat betekent dat er een verandering is in welke waarde je moet "invullen".

De correcte notatie bij het afleiden is als volgt:

f(x) = 3x² + 10

f '(x) = (dy)/(dx) = 6x

Waarbij (dy)/(dx) er niet bij hoeft, maar de notatie is die op de universiteit meer gebruikt wordt.

Wat Anoonumos zei is het volgende:

[..]

Dit betekent dat als je een minimum hebt gevonden bij een x-waarde die gelijk is aan een bepaalde waarde a (2,10, 1.5), dat dit een globaal minimum is als de y-waarde die hoort bij die bepaalde x-waarde (dit is f(a)) kleiner is dan of gelijk aan alle y-waarden op de grafiek.

Zo duidelijk? Also in welk jaar/niveau zit je?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 01:35 schreef Adsumnonabsum het volgende:
f(x) = x^4 - 2x^2
f '(x) = 4x^3 - 4x = 0

x1 = -1, x2 = 0, x3 = 1.

X2 is een lokaal minimum, maar is het een globaal minimum? Hiervoor gebruiken we dat stukje met f(a). Een lokaal minimum f(a) is een globaal minimum als alle waarden van de functie f(x) groter dan of gelijk aan f(a) zijn. f(a) is gewoon de functiewaarde van de functie f(x) als x = a. Als je zegt dat x2 = a, dan geldt dus a = 0.

Als je dat invult in f(a) krijg je dus f(0) = 0^4 - 2*0^2 = 0. Is er een waarde kleiner dan f(0) oftewel 0? Ja, f(-1) = -1 en dit is kleiner dan 0. f(a) met a = x2 is dus geen globaal minimum. x2 is dus niet de x-coördinaat van een globaal minimum.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 05:06 schreef Riparius het volgende:

[..]

Als je nog meer verwarring zaait door onjuiste beweringen te doen of onnauwkeurige formuleringen te gebruiken kun je hier beter niet posten. Kijk eens naar de grafiek van deze functie (de rode curve) en de grafiek van de afgeleide functie (de blauwe curve):

[ afbeelding ]

De functie bereikt bij x = 0 een lokaal maximum, geen lokaal minimum. Je mag ook niet zeggen dat x = 0 een maximum is, want dan verwar je een waarde van de onafhankelijke variabele met de waarde van de afhankelijke variabele die daarbij hoort, oftewel de functiewaarde.

Om vast te stellen of de functie bij een nulpunt van de afgeleide functie een lokaal minimum of een lokaal maximum bereikt, kun je kijken naar het teken van de tweede afgeleide in deze punten. De tweede afgeleide functie is

f''(x) = 12x² − 4

We hebben nu het volgende

f'(−1) = 0, f''(−1) > 0 ⇒ f heeft een lokaal minimum f(−1) = −1 bij x = −1
f'(0) = 0, f''(0) < 0 ⇒ f heeft een lokaal maximum f(0) = 0 bij x = 0
f'(1) = 0, f''(1) > 0 ⇒ f heeft een lokaal minimum f(1) = −1 bij x = 1

Ook zonder een grafiek te tekenen van de functie en zonder het teken van de tweede afgeleide te bepalen in de nulpunten van de eerste afgeleide is het mogelijk om vast te stellen dat de lokale minima bij x = −1 en x = 1 tevens het globale minimum van de functie representeren. Dat stel je vast door een tekenschema te maken van de eerste afgeleide functie, zodat je kunt zien op welke intervallen de functie stijgt en op welke intervallen de functie daalt.

Het domein van deze functie is R. Om het bereik van deze functie te bepalen is het voldoende om vast te stellen dat −1 het globale minimum is van deze functie en dat de functiewaarde onbeperkt toe kan nemen als |x| onbeperkt toeneemt. Voor x ≠ 0 heb je namelijk

f(x) = x⁴·(1 − 2/x²)

zodat f(x) > ½·x⁴ voor |x| > 2. Aangezien de functie continu is, is het bereik van de functie dus [−1, ∞).

quote:

Op zondag 18 mei 2014 05:06 schreef Riparius het volgende:

[..]

Als je nog meer verwarring zaait door onjuiste beweringen te doen of onnauwkeurige formuleringen te gebruiken kun je hier beter niet posten. Kijk eens naar de grafiek van deze functie (de rode curve) en de grafiek van de afgeleide functie (de blauwe curve):

[ afbeelding ]

De functie bereikt bij x = 0 een lokaal maximum, geen lokaal minimum. Je mag ook niet zeggen dat x = 0 een maximum is, want dan verwar je een waarde van de onafhankelijke variabele met de waarde van de afhankelijke variabele die daarbij hoort, oftewel de functiewaarde.

Om vast te stellen of de functie bij een nulpunt van de afgeleide functie een lokaal minimum of een lokaal maximum bereikt, kun je kijken naar het teken van de tweede afgeleide in deze punten. De tweede afgeleide functie is

f''(x) = 12x² − 4

We hebben nu het volgende

f'(−1) = 0, f''(−1) > 0 ⇒ f heeft een lokaal minimum f(−1) = −1 bij x = −1
f'(0) = 0, f''(0) < 0 ⇒ f heeft een lokaal maximum f(0) = 0 bij x = 0
f'(1) = 0, f''(1) > 0 ⇒ f heeft een lokaal minimum f(1) = −1 bij x = 1

Ook zonder een grafiek te tekenen van de functie en zonder het teken van de tweede afgeleide te bepalen in de nulpunten van de eerste afgeleide is het mogelijk om vast te stellen dat de lokale minima bij x = −1 en x = 1 tevens het globale minimum van de functie representeren. Dat stel je vast door een tekenschema te maken van de eerste afgeleide functie, zodat je kunt zien op welke intervallen de functie stijgt en op welke intervallen de functie daalt.

Het domein van deze functie is R. Om het bereik van deze functie te bepalen is het voldoende om vast te stellen dat −1 het globale minimum is van deze functie en dat de functiewaarde onbeperkt toe kan nemen als |x| onbeperkt toeneemt. Voor x ≠ 0 heb je namelijk

f(x) = x⁴·(1 − 2/x²)

zodat f(x) > ½·x⁴ voor |x| > 2. Aangezien de functie continu is, is het bereik van de functie dus [−1, ∞).

quote:

Op zondag 18 mei 2014 10:34 schreef Amoeba het volgende:
Je maakt echt een potje van je notatie vriend.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 10:39 schreef Super-B het volgende:

[..]

Vertel eens dan?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 10:39 schreef Super-B het volgende:

[..]

Vertel eens dan?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 11:02 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Stel je hebt een functie f(x), dan noteer je gewoonlijk f'(x) voor de eerste afgeleide. Dan f''(x) voor de tweede afgeleide. Dit is de notatie van Lagrange.

Ik ga je nu niet lastigvallen met multivariabele calculus, maar stel dat je een functie f(x,y) hebt, dus een functie die afhankelijk is van twee variabelen, dan is een notatie f'(x,y) vaag. Immers differentieer je naar één variabele, en spreek je hier dus van partiële afgeleiden. Daarvoor is de notatie van Leibniz dan weer handig, dan schrijf je gewoon df/dx voor de partiële afgeleide naar x, en df/dy voor de partiële afgeleide van f naar y.

Voor monovariabele calculus zou ik het bij de notatie van Lagrange houden, en mocht je verder gaan in de economie/wiskunde/econometrie, dan komen partiële afgeleiden vast nog wel aan de orde.

Binnen de multivariabele calculus wordt de notatie van Lagrange, dus f(x1,x2,x3.....) -> f'(x1,x2,x3...) gewoonlijk gereserveerd voor de totale afgeleide. Maar daar moet je je nu niet mee bezighouden. Dit heten vectorwaardige functies en vallen ver buiten het curriculum waar jij zorgen om moet maken.

Wat betreft je vraag, ik zal even uitleggen hoe je het domein van een functie bepaald.
Eigenlijk binnen de reële calculus is het domein altijd de reële getallen, uitgezonderd een aantal punten. Stel je hebt f(x) = 1/x, dan is het domein R uitgezonderd x = 0.

Stel je hebt f_n(x) = 1/(x-n), dan is het domein R uitgezonderd x = n.

M.a.w. je mag niet door 0 delen!!!. Dus als je het domein van een functie moet bepalen, ga dan altijd op zoek naar waarden waarvoor je door 0 deelt. Mocht je het domein van een functie die een logaritme bevat moeten bepalen, bedenk je dan dat ln(x) alleen gedefinieerd is voor x > 0. Je zou hier weer uitzonderingen op kunnen verzinnen als een negatief grondtal, maar laat dat maar achterwege.

Nu, leg eens één opgave voor die je (weer) niet snapt.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 11:20 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ik snap alles. Het ging om die dat stuk met wanneer f(x) > f(a) dat er een globale minimum is en hoe dat in de praktijk is met getallen etc..

bij de volgende opgave:

x^4 - 2x^2

quote:

Op zondag 18 mei 2014 11:30 schreef netchip het volgende:

[..]

Zou ik een link mogen naar de toets die je gaat maken? ^^ (van de voorgaande jaren, natuurlijk)

quote:

Op zondag 18 mei 2014 11:20 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ik snap alles. Het ging om die dat stuk met wanneer f(x) > f(a) dat er een globale minimum is en hoe dat in de praktijk is met getallen etc..

bij de volgende opgave:

x^4 - 2x^2

quote:

Op zondag 18 mei 2014 11:34 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Wat is nu precies de opgave?

Je geeft een functie, f(x) = x²(x²-2), wat moet ik daar nu mee?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 11:36 schreef Super-B het volgende:

[..]

alle extremen bepalen. Dus de lokale maxima en lokale/globale minima.

maar er was een trucje om te zien of het ging om een lokale of globale minimum en dat is bij f(x) > f(a) en dat trucje snap ik niet. Een praktjkvoorbeeld met deze opgave zou top zijn.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 11:50 schreef netchip het volgende:
Is dit VWO WiA stof? Want het lijkt erop dat die toelatingstoets van de Erasmus op Wiskunde A niveau is. Overdonderen jullie Super-B misschien niet een beetje? Volgens mij wilt hij geen Technische Wiskunde/Econometrie/Beta studie gaan doen

De links die jullie aan hem geven, zijn trouwens wel interessant.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 11:50 schreef netchip het volgende:
Is dit VWO WiA stof? Want het lijkt erop dat die toelatingstoets van de Erasmus op Wiskunde A niveau is. Overdonderen jullie Super-B misschien niet een beetje? Volgens mij wilt hij geen Technische Wiskunde/Econometrie/Beta studie gaan doen

De links die jullie aan hem geven, zijn trouwens wel interessant.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 11:55 schreef nodig het volgende:

[..]

Een uitgeklede variant van VWO WisB geloof ik.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 11:52 schreef netchip het volgende:
Hoe los je op?

Ik had het idee om ze als een macht van e te schrijven, maar is er een macht van e die op 0 uitkomt?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 11:58 schreef netchip het volgende:

[..]

WiA is gericht op economie studies/sociale wetenschappen. Zo krijg je kansrekenen, statistiek en, inderdaad, alleen differentieren, waar WiB differentieren en integreren krijgt.

WiD is een uitbreiding op WiB. WiD behandelt uitgebreidere statistiek, speltheorie en kansrekenen. Ook ga je rekenen met vectors en complexe getallen.

Bron: dit jaar profielkeuze gemaakt

quote:

Op zondag 18 mei 2014 11:46 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Niks geen trucjes, gewoon de tweede afgeleide bepalen:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Extreme_waarde Onder voorbeelden.

Daarnaast moet je bepalen op welk domein de functie gegeven is (of soms staat het erbij).
Het globale minimum is dan of één van de punten die je hebt uitgerekend, of één van de uiterste van het domein.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 12:02 schreef Super-B het volgende:

[..]

Wat is dan die f(x) > f(a) ?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 12:00 schreef netchip het volgende:

[..]

Oh, dit kan je herschrijven als , vallen de logaritmes dan tegenelkaar weg?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 12:00 schreef netchip het volgende:

[..]

Oh, dit kan je herschrijven als , vallen de logaritmes dan tegenelkaar weg?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 11:51 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Volgens mij is het toch echt aan het proberen die toets te maken en geeft men daar antwoord op...
Om bijvoorbeeld te kijken of je antwoord kan kloppen, zul je het toch echt enigszins moeten snappen i.p.v. wat "trucjes" te gebruiken.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 12:02 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Wat is het omgekeerde van een natuurlijke logaritme?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 12:05 schreef netchip het volgende:

[..]

De e-macht, want e^ln(x) = x. Is ook logisch want ln(x) houdt in: tot welke macht moet ik e verheffen om x te krijgen.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 12:07 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Dus je kunt beide kanten met de e-macht verheffen(dit klopt niet helemaal qua Nederlands, maar je snapt het wel ), en dan ben je inderdaad de logaritme kwijt. Maar het woord "wegvallen" is daarbij nogal gevaarlijk. Want je moet wel opletten dat je aan beide kanten alles met de e-macht verheft. Er had bijvoorbeeld nog een constante kunnen staan.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 12:07 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Dus je kunt beide kanten met de e-macht verheffen(dit klopt niet helemaal qua Nederlands, maar je snapt het wel ), en dan ben je inderdaad de logaritme kwijt. Maar het woord "wegvallen" is daarbij nogal gevaarlijk. Want je moet wel opletten dat je aan beide kanten alles met de e-macht verheft. Er had bijvoorbeeld nog een constante (c) kunnen staan. En daar had je dan e^c van moeten maken.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 12:01 schreef nodig het volgende:

[..]

Maar hier komt geen kansrekening, statistiek etc bij

quote:

Op zondag 18 mei 2014 12:13 schreef netchip het volgende:

[..]

Heb je toevallig ook de antwoorden van die oefentoets? ^^ Ik probeer hem als oefening te maken - kijken of dat ik het principe van logaritmes en differentieren snap.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 12:14 schreef nodig het volgende:

[..]

Uiteraard!

http://www.eur.nl/fileadm(...)antw_versie_2014.pdf

quote:

Op zondag 18 mei 2014 12:18 schreef netchip het volgende:

[..]

Dank je

.

Ik kwadratteerde het linkerlid en het rechterlid, en zo kwam ik dus uit op Maar dat klopt niet...

quote:

Op zondag 18 mei 2014 12:18 schreef netchip het volgende:

[..]

Dank je

.

Ik kwadratteerde het linkerlid en het rechterlid, en zo kwam ik dus uit op Maar dat klopt niet...

quote:

Op zondag 18 mei 2014 12:20 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Als je dit uitwerkt is het dan ook niet wat jij hebt . Er komen dan nog extra termen bij.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 12:23 schreef netchip het volgende:
Ah, wat is de reden dat de wortel eerst geisoleerd moet worden?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 12:24 schreef nodig het volgende:

[..]

Anders ga je niet uitkomen. Ik kan je niet uitleggen waarom het moet.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 11:52 schreef netchip het volgende:
Hoe los je op?

Ik had het idee om ze als een macht van e te schrijven, maar is er een macht van e die op 0 uitkomt?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 12:28 schreef jordyqwerty het volgende:

[..]

Die is al meerdere malen voorbij gekomen. Nogmaals e^x en ln(x) zijn elkaars inversen.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 12:29 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Daar is hij twee posts na die ook al achter gekomen . Hij zag daar even niet dat je de ene term gewoon naar de andere kant kunt halen.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 12:32 schreef netchip het volgende:

[..]

Ik ben soms een beetje slordig af en toe, moet ik beter op gaan letten.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 12:37 schreef jordyqwerty het volgende:

[..]

Hier heb je nog een leuke vergelijking om mee te klooien.

x^(ln(x)+6) = 1/(e⁹)

quote:

Op zondag 18 mei 2014 13:02 schreef netchip het volgende:

[..]

Oef, deze is moeilijk. Ik weet dat je hem kan herschrijven als x^(ln(x)+6) = e^-9

Wat ik met ln(x)+6 moet doen? Geen idee. Oh, als ik schrijf Dan kan ik schrijven wat dan weer wordt, denk (hoop) ik Nu zit ik even vast, even denken.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 13:28 schreef nodig het volgende:
Ik heb deze opgave al eens eerder gevraagd maar ben er toen niet op de ''normale manier'' uitgekomen.

De opdracht is differentieer mbv productregel:

Vereenvoudigen naar:

quote:

Op zondag 18 mei 2014 13:31 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Nee

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:00 schreef Super-B het volgende:
https://googledrive.com/h(...)met%20Antwoorden.pdf

blz 179

Geldt f(x) ≥ f(c) voor alle x
uit het domein, dan heet f(c) het globale minimum.
Men noemt f(c) een lokaal maximum of lokaal minimum van f(x) als er
een getal r > 0 bestaat zo dat voor alle x uit het domein van f(x) met
|x − c| < r geldt dat f(x) ≤ f(c), respectievelijk f(x) ≥ f(c).[/b]

Dit begrijp ik dus niet!

Die f(x) en f(c) welke getallen moet ik dan invullen?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 09:56 schreef netchip het volgende:

[..]

Heb jij nog die link naar je post dat ik die raaklijn moest opstellen? Was dat niet ?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:02 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Dit zijn gewoon de definities wat formeler uitgelegd. Dat heeft weinig te maken met hoe je het nu uitrekenend.

Bijvoorbeeld die eerste:
Als geldt dat f(x) ≤ f(c) voor alle x uit het domein van f(x), dan heet
f(c) het globale maximum van de functie.

Edit inc.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:06 schreef Super-B het volgende:

[..]

Oke.. welk getal moet dan groter zijn dan welk getal? Ik moet wel weten waar ze het over hebben met die f(x) en f(c)..

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:02 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Dit zijn gewoon de definities wat formeler uitgelegd. Dat heeft weinig te maken met hoe je het nu uitrekenend.

Bijvoorbeeld die eerste:
Als geldt dat f(x) ≤ f(c) voor alle x uit het domein van f(x), dan heet f(c) het globale maximum van de functie.

Voor een functie f(x)= -x². Ligt het globale maximum op f(0). Hier is c dus 0.
En waarom is dat het globale maximum? Omdat er geldt dat f(x) ≤ f(0) geldt voor alle x (op het domein van de functie).

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:02 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Dit zijn gewoon de definities wat formeler uitgelegd. Dat heeft weinig te maken met hoe je het nu uitrekenend.

Bijvoorbeeld die eerste:
Als geldt dat f(x) ≤ f(c) voor alle x uit het domein van f(x), dan heet f(c) het globale maximum van de functie.

Voor een functie f(x)= -x². Ligt het globale maximum op f(0). Hier is het getal c dus 0.
En waarom is dat het globale maximum? Omdat er geldt dat f(x) ≤ f(0) geldt voor alle x (op het domein van de functie). In dit geval geldt er dus dat f(x) altijd kleiner of gelijk is aan 0.

f(0) = 0 voor deze functie en f(x) is gewoon de functie zelf.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 11:20 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ik snap alles. Het ging om die dat stuk met wanneer f(x) > f(a) dat er een globale minimum is en hoe dat in de praktijk is met getallen etc..

bij de volgende opgave:

x^4 - 2x^2

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:10 schreef Super-B het volgende:

[..]

Hoe kun je zien dat f(c) kleiner is dan de functie f(x) zelf? Het hangt toch af wat je invult in f(x) om te weten of het groter of kleiner is dan f(c), in dit geval 0?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:19 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je moet moet niet zo door blijven emmeren over een simpele definitie van wat een globaal minimum nu precies is. We zeggen dat een functie f: D → R voor a ∈ D een globaal minimum f(a) aanneemt op D indien f(x) ≥ f(a) voor elke x ∈ D.

Merk op dat deze definitie impliceert dat er meer dan één x ∈ D kan zijn waarbij f(x) de waarde f(a) aanneemt.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:26 schreef Super-B het volgende:

[..]
Wat ik mij dus vraag is wat als de tweede afgeleide =0 is?

quote:

En wat wordt het bedoeld met het vetgedrukte? Aangezien je ook een globaal minimum of globaal maximum kunt hebben met maar 1 functie met 1 extreme waarde.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:29 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Buigpunt (zie Google) http://nl.wikipedia.org/wiki/Buigpunt (bijv. tweede voorbeeld)

[..]

Ja, als je maar één extreme waarde hebt, kun je natuurlijk altijd maar één van beiden (of een buigpunt) hebben. Tenzij je functie maar op een beperkt domein is gedefinieerd.
Dus bijvoorbeeld bepaald de extreme waarden voor de functie x² op het domein [-3,3]. Dan zullen de minima op de randen van het domein zitten.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:00 schreef Super-B het volgende:
https://googledrive.com/h(...)met%20Antwoorden.pdf

blz 179

Als geldt dat f(x) ≤ f(c) voor alle x uit het domein van f(x), dan heet
f(c) het globale maximum van de functie. Geldt f(x) ≥ f(c) voor alle x
uit het domein, dan heet f(c) het globale minimum.
Men noemt f(c) een lokaal maximum of lokaal minimum van f(x) als er
een getal r > 0 bestaat zo dat voor alle x uit het domein van f(x) met
|x − c| < r geldt dat f(x) ≤ f(c), respectievelijk f(x) ≥ f(c).

Dit begrijp ik dus niet!

quote:

Die f(x) en f(c) welke getallen moet ik dan invullen?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:34 schreef Riparius het volgende:

[..]

Jip-en-janneketaal:

Het globale minimum is de laagste functiewaarde die er is en het globale maximum is de hoogste functiewaarde die er is. Dan moet er wel een laagste resp. een hoogste waarde zijn, en dat hoeft niet!

Een lokaal minimum heb je als alle functiewaarden in de buurt hoger zijn (dalletje in de grafiek) en een lokaal maximum heb je als alle functiewaarden in de buurt lager zijn (colletje in de grafiek).

[..]

Maak er nu geen invuloefeningetje van, je moet dingen begrijpen, niet zoeken naar maniertjes om dingen die je niet snapt op de automatische piloot te doen, want dan word je een brokkenpiloot.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:34 schreef Riparius het volgende:

[..]

Jip-en-janneketaal:

Het globale minimum is de laagste functiewaarde die er is en het globale maximum is de hoogste functiewaarde die er is. Dan moet er wel een laagste resp. een hoogste waarde zijn, en dat hoeft niet!

Een lokaal minimum heb je als alle functiewaarden in de buurt hoger zijn (dalletje in de grafiek) en een lokaal maximum heb je als alle functiewaarden in de buurt lager zijn (colletje in de grafiek).

[..]

Maak er nu geen invuloefeningetje van, je moet dingen begrijpen, niet zoeken naar maniertjes om dingen die je niet snapt op de automatische piloot te doen, want dan word je een brokkenpiloot.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:35 schreef Super-B het volgende:

[..]

Dat heb ik begrepen. Zie de post hierboven. Het betreft mij meer hoe ik kan weten of het een globaal of lokaal minimum/maximum is...

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:40 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Door een overzicht te maken van de mogelijke punten. Dus je schrijft de extrema op en bekijkt welke waarden de functie verder nog kan aannemen .

quote:

Op zondag 18 mei 2014 13:08 schreef jordyqwerty het volgende:

[..]

Je bent al een heel eind op de goede weg .

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:42 schreef netchip het volgende:

[..]

Echt geen idee hoe ik nu verder moet, ik zou natuurlijk kunnen ontbinden in factoren, maar het rechter lid is niet nul.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:42 schreef netchip het volgende:

[..]

Echt geen idee hoe ik nu verder moet, ik zou natuurlijk kunnen ontbinden in factoren, maar het rechter lid is niet nul.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:43 schreef jordyqwerty het volgende:

[..]

Waarom maak je er dan geen nul van?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:43 schreef jordyqwerty het volgende:

[..]

Waarom maak je er dan geen nul van?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:45 schreef netchip het volgende:

[..]

Oops, ik zie hem nu.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 13:02 schreef netchip het volgende:

[..]

Oef, deze is moeilijk. Ik weet dat je hem kan herschrijven als x^(ln(x)+6) = e^-9

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:47 schreef Riparius het volgende:

[..]

Niks moeilijks aan. Merk op dat x > 0 moet zijn. Welnu, dit kun je voor x > 0 weer herschrijven als

e^{ln(x)·(ln(x) + 6)} = e⁻⁹

zodat

ln(x)·(ln(x) + 6) = −9

Substitueer nu ln(x) = z, zodat we krijgen

z(z + 6) = −9
z² + 6z + 9 = 0
(z + 3)² = 0
z = −3

en dus, aangezien z = ln(x), krijgen we

ln(x) = −3

en daarmee

x = e⁻³

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:47 schreef Riparius het volgende:

[..]

Niks moeilijks aan. Merk op dat x > 0 moet zijn. Welnu, dit kun je voor x > 0 weer herschrijven als

e^{ln(x)·(ln(x) + 6)} = e⁻⁹

zodat

ln(x)·(ln(x) + 6) = −9

Substitueer nu ln(x) = z, zodat we krijgen

z(z + 6) = −9
z² + 6z + 9 = 0
(z + 3)² = 0
z = −3

en dus, aangezien z = ln(x), krijgen we

ln(x) = −3

en daarmee

x = e⁻³

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:50 schreef jordyqwerty het volgende:

[..]

Ik wilde hem dat eigenlijk zelf laten uitvogelen, ging de goede kant op . Overigens heb je de uitwerking maanden geleden al eens gegeven.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:50 schreef jordyqwerty het volgende:

[..]

Ik wilde hem dat eigenlijk zelf laten uitvogelen, ging de goede kant op . Overigens heb je de uitwerking maanden geleden al eens gegeven.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:58 schreef netchip het volgende:


Moet ik dan schrijven x⁻¹*4ln(x²) -4 * x^-1 of x^-1(4ln(x²)-4)?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 15:01 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je moet niks, maar termsgewijs differentiëren is wel zo gemakkelijk, dus welke van de twee zou je dan kiezen?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 15:03 schreef netchip het volgende:

[..]

De laatste, denk ik? Daar kan ik de productregel op toepassen.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 15:06 schreef RustCohle het volgende:
Hoe kun je de nulpunten vd afgeleide berekenen van de functies:

x ln x --> afgeleide = 1 + ln x

xe^x --> afgeleide = e^x + xe^x

Wat hulp zou op prijs gesteld worden. Het is de laatste dag!

quote:

Op zondag 18 mei 2014 15:06 schreef RustCohle het volgende:
Hoe kun je de nulpunten vd afgeleide berekenen van de functies:

x ln x --> afgeleide = 1 + ln x

xe^x --> afgeleide = e^x + xe^x

Wat hulp zou op prijs gesteld worden. Het is de laatste dag!

quote:

Op zondag 18 mei 2014 15:10 schreef Riparius het volgende:

[..]

De eerste:

1 + ln x = 0
ln x = −1
x = e⁻¹

De tweede:

e^x + xe^x = 0
e^x(1 + x) = 0

een e-macht is nooit nul, dus houden we over

1 + x = 0
x = −1

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:51 schreef Super-B het volgende:
f (x) = | x - 1 |

f ( x) ' = 1x

f (x)'' = 1

Hoe kan ik de het nulpunt van de afgeleide hiermee berekenen? Ik kom toch echt op x=0 uit, terwijl het antwoord x = 1 is?!

Hetzelfde geldt bij

| x² - 1 |

quote:

Op zondag 18 mei 2014 15:13 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Held!

Hoe bepaal je een afgeleide van e^|x| ?

Moet ik deze splitsen in e^-x en e^-x ?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:59 schreef Riparius het volgende:

[..]

Inderdaad. De opgave kwam me ook verdacht bekend voor, maar ik had deze niet in mijn database zitten. Dank voor het linkje. En wat hebben docenten toch verdomd weinig fantasie dat je jaar in jaar uit dezelfde afgezaagde opgaven langs ziet komen. Maar dat heeft ook met het armetierige aanbod aan schoolboeken te maken. Honderd jaar (of nog langer) geleden had je tientallen verschillende boeken, zelfs in zo'n klein taalgebied als het onze, nu zijn er nog maar enkele zogeheten 'methodes'.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 15:05 schreef Riparius het volgende:

[..]

Weet je wat je nu eens moet doen? Ga nu gewoon eens goed nadenken over die hele opgave, en werk de opgave dan compleet uit, in plaats van bij elke stap te komen vragen of wij je handje vast willen houden.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:51 schreef Super-B het volgende:
f (x) = | x - 1 |

f ( x) ' = 1x

f (x)'' = 1

Hoe kan ik de het nulpunt van de afgeleide hiermee berekenen? Ik kom toch echt op x=0 uit, terwijl het antwoord x = 1 is?!

Hetzelfde geldt bij

| x² - 1 |

quote:

Op zondag 18 mei 2014 15:13 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Held!

Hoe bepaal je een afgeleide van e^|x| ?

Moet ik deze splitsen in e^-x en e^-x ?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 15:21 schreef Riparius het volgende:

[..]

Voor x ≥ 0 heb je e^|x| = e^x
Voor x < 0 heb je e^|x| = e^−x

Bedenk dat deze functie niet differentieerbaar is in het punt x = 0. Er zit namelijk een 'knik' in de grafiek bij x = 0, dus heb je ook geen eenduidige raaklijn aan de grafiek bij x = 0.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 15:18 schreef netchip het volgende:

[..]

OK, de vraag is: bepaal de raaklijn van .

quote:

Op zondag 18 mei 2014 15:21 schreef Riparius het volgende:

[..]

Voor x ≥ 0 heb je e^|x| = e^x
Voor x < 0 heb je e^|x| = e^−x

Bedenk dat deze functie niet differentieerbaar is in het punt x = 0. Er zit namelijk een 'knik' in de grafiek bij x = 0, dus heb je ook geen eenduidige raaklijn aan de grafiek bij x = 0.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 15:25 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, dat is de vraag niet. Je moet de opgave toch eens beter lezen.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 15:28 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Ik deed het volgende:

quote:

Op zondag 18 mei 2014 15:36 schreef Riparius het volgende:

[..]

Als je nu gewoon even in WolframAlpha de grafiek van je functie bekijkt, dan zie je dat het niet klopt.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 15:44 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Idd.. Ik heb het gezien, hoe zou ik het moeten doen ?

Wolfram Alpha heb ik namelijk niet morgen bij de hand

quote:

Op zondag 18 mei 2014 15:25 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, dat is de vraag niet. Je moet de opgave toch eens beter lezen.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 15:50 schreef netchip het volgende:

[..]

Hmm, twee dingen, ik snap de opdracht niet, en Wolfram Alpha zegt dat mijn afgeleide fout is, en ik heb geen idee waarom.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 15:50 schreef netchip het volgende:

[..]

Hmm, twee dingen, ik snap de opdracht niet, en Wolfram Alpha zegt dat mijn afgeleide fout is, en ik heb geen idee waarom.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:40 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Door een overzicht te maken van de mogelijke punten. Dus je schrijft de extrema op en bekijkt welke waarden de functie verder nog kan aannemen.
Dat kun je niet zien uit de berekening.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:40 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Door een overzicht te maken van de mogelijke punten. Dus je schrijft de extrema op en bekijkt welke waarden de functie verder nog kan aannemen.
Dat kun je niet zien uit de berekening.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 14:41 schreef Super-B het volgende:

[..]

Zou je hier een voorbeeld bij kunnen geven bij x^4 - 2x² ?

Dit is zowat het laatste bladzijde en dan ben ik wel klaar voor de toets.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 15:50 schreef Riparius het volgende:

[..]

Het is van belang dat je in de gaten houdt dat functies met een absolute waarde niet zomaar te differentiëren zijn, in ieder geval niet voor elke waarde van x uit het domein. Dat komt door die knik in de grafiek, en die komt weer doordat |x| niet kleiner dan nul kan worden. In dit geval moet je gewoon even nadenken hoe het zit. De exponent van

e^−|x|

is altijd negatief, behalve als x = 0, en omdat e^x monotoon stijgend is op R, betekent dit dat e^−|x| een maximale waarde van e⁰ = 1 bereikt als x = 0. En dat is precies wat je ook in de grafiek ziet.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 15:10 schreef Riparius het volgende:

[..]

De eerste:

1 + ln x = 0
ln x = −1
x = e⁻¹

De tweede:

e^x + xe^x = 0
e^x(1 + x) = 0

een e-macht is nooit nul, dus houden we over

1 + x = 0
x = −1

quote:

Op zondag 18 mei 2014 16:01 schreef RustCohle het volgende:

[..]

aha! Bij absolute waarde is er altijd sprake van een knik en hierdoor is er maar 1 extreme waarde?

quote:

En dat is dan het knikpunt welke dan een maximum of een minimum kan zijn? Bij een minimum is het dan het globale randminimum toch?

quote:

Maar is hier trouwens bij e^−|x| sprake van een globale randmaximum of een globale maximum?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 16:18 schreef Riparius het volgende:

[..]

Er zijn best wel ingewikkelder functies te bedenken waarvoor dit niet opgaat, maar die zul je wel niet krijgen op je toets.

[..]

Ik begrijp niet goed waarom je hier opeens met de term globaal randminimum aan komt zetten. Een randminimum of randmaximum heb je aan de rand van het domein als dat een gesloten interval is. Maar dat is bij jouw voorbeeld niet aan de orde, want de functie is gedefinieerd voor elke x ∈ R.

[..]

Je hebt wel een globaal maximum van e⁰ = 1 bij x = 0, maar x = 0 zit niet aan de rand van het domein van de functie. Sterker nog, het domein is R, dus er is geen rand (begin- of eindpunt) van het domein. En dan kan er ook geen randminimum of randmaximum zijn, noch globaal, noch lokaal.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 16:09 schreef RustCohle het volgende:
( ln x)²

Afgeleide d.m.v. productregel, maar eerst herschrijven tot:

(ln x) (ln x)

Productregel toepassen:

1/x * ln x + ln x * 1/x

Herschrijven van de productregel afgeleide:

(ln x) / x + (ln x) / x

Herschrijven in de volgende vorm:

(ln x + ln x) / x

Hoe los ik het verder op om zo de nulpunten te berekenen?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 16:25 schreef Riparius het volgende:

[..]

Merk op dat je dit nog kunt schrijven als

2·ln(x)/x

Je had natuurlijk ook de kettingregel kunnen gebruiken, dan krijgen we

d(((ln(x))²)/dx = d(((ln(x))²)/d(ln(x)) · d(ln(x))/dx = 2·ln(x)·(1/x) = 2·ln(x)/x

Nulpunten berekenen van de afgeleide:

2·ln(x)/x = 0

Bedenk dat een breuk alleen nul is als de teller nul is terwijl de noemer niet nul is. Dus krijgen we

ln(x) = 0

x = 1

quote:

Op zondag 18 mei 2014 16:31 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Thnks. Kun je het ook doen zonder herschrijving? Want de herschrijving heb ik niet begrepen.. Wel natuurlijk dat je die 2 aan de links kan neerzetten als getal ipv exponent, maar het is mij niet duidelijk als je de kettingregel gebruikt dat het

2 * ln(x) * (1/x) moet doen, want je moet de afgeleide van de f(x) hebben en deze samenvoegen met g(x) en deze samen vermenigvuldigen met de afgeleide van g(x)

Maar bij 2 * ln(x) is er niks afgeleid?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 16:48 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat er niets is afgeleid lijkt maar zo. Je hebt hier een samengestelde functie, want we nemen van x eerst de natuurlijke logaritme, dat is ln(x), en dan kwadrateren we dit nog eens om (ln(x))² te krijgen. Het is dus een samenstelling waarbij de eerste functie de natuurlijke logaritme is en de tweede functie de kwadrateerfunctie.

Het wordt waarschijnlijk duidelijker al we even een 'tussenvariabele' u gebruiken.

Je hebt eerst:

(1) u = ln(x)

en dan

(2) y = u²

en samen geeft dit y = u² = (ln(x))², dus

(3) y = (ln(x))²

Nu moeten we bij (3) dy/dx bepalen, en dat kunnen we doen door eerst naar de twee afzonderlijke functies te kijken, dus naar (1) en (2). Nu levert (1) op

du/dx = 1/x

en (2) levert op

dy/du = 2u

Je ziet dat er ook bij (2) wel degelijk wordt gedifferentieerd, want de afgeleide van u² naar u is 2u. Nu hebben we volgens de kettingregel

dy/dx = dy/du · du/dx

en dus vinden we

dy/dx = 2u·(1/x)

Maar nu weten we uit (1) dat u = ln(x), dus vervangen we die u weer door ln(x) en zo hebben we uiteindelijk

dy/dx = 2·ln(x)·(1/x)

dus

dy/dx = 2·ln(x)/x

Bij het 'gewone' gebruik van de kettingregel doe je precies hetzelfde, maar dan is die 'tussenvariabele' impliciet. Je voert dan als het ware alleen een mentale substitutie uit.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 16:48 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat er niets is afgeleid lijkt maar zo. Je hebt hier een samengestelde functie, want we nemen van x eerst de natuurlijke logaritme, dat is ln(x), en dan kwadrateren we dit nog eens om (ln(x))² te krijgen. Het is dus een samenstelling waarbij de eerste functie de natuurlijke logaritme is en de tweede functie de kwadrateerfunctie.

Het wordt waarschijnlijk duidelijker al we even een 'tussenvariabele' u gebruiken.

Je hebt eerst:

(1) u = ln(x)

en dan

(2) y = u²

en samen geeft dit y = u² = (ln(x))², dus

(3) y = (ln(x))²

Nu moeten we bij (3) dy/dx bepalen, en dat kunnen we doen door eerst naar de twee afzonderlijke functies te kijken, dus naar (1) en (2). Nu levert (1) op

du/dx = 1/x

en (2) levert op

dy/du = 2u

Je ziet dat er ook bij (2) wel degelijk wordt gedifferentieerd, want de afgeleide van u² naar u is 2u. Nu hebben we volgens de kettingregel

dy/dx = dy/du · du/dx

en dus vinden we

dy/dx = 2u·(1/x)

Maar nu weten we uit (1) dat u = ln(x), dus vervangen we die u weer door ln(x) en zo hebben we uiteindelijk

dy/dx = 2·ln(x)·(1/x)

dus

dy/dx = 2·ln(x)/x

Bij het 'gewone' gebruik van de kettingregel doe je precies hetzelfde, maar dan is die 'tussenvariabele' impliciet. Je voert dan als het ware alleen een mentale substitutie uit.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 17:40 schreef RustCohle het volgende:
Afgeleide van 1 / (1+x²) is zover ik weet:

1 (2x) - (1+x²) / (1+x²)²

-x² + 2x - 1 / (1+x²)²

Afgeleide = 0 als de teller van een breuk 0 is dus..

-x² + 2x - 1 = 0

delen door -

x² + 2x + 1

( x - 1)² = 0

Dus x = 1

Echter geeft het antwoordenmodel aan dat x = 0 is...

quote:

Op zondag 18 mei 2014 17:00 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Als jij mij met de LAATST volgende functies kunt helpen om tot de afgeleide te komen zou ik het overweldigend vinden en tja dan ben je denk ik van mij af.

| x - 1 |

| x² - 1 |

en

e ^{- | x |}

quote:

Op zondag 18 mei 2014 17:40 schreef RustCohle het volgende:
Afgeleide van 1 / (1+x²) is zover ik weet:

1 (2x) - (1+x²) / (1+x²)²

-x² + 2x - 1 / (1+x²)²

Afgeleide = 0 als de teller van een breuk 0 is dus..

-x² + 2x - 1 = 0

delen door -

x² + 2x + 1

( x - 1)² = 0

Dus x = 1

Echter geeft het antwoordenmodel aan dat x = 0 is...

quote:

Op zondag 18 mei 2014 17:56 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Steeds in twee gevallen splitsen.
f(x) = |x-1|

f(x) = x -1 voor x ≥ 1
f(x) = 1 - x voor x < 1

f ' (x) = 1 voor x > 1
f ' (x) = -1 voor x < 1
De afgeleide in x = 0 bestaat niet.

En die andere functies gaan op dezelfde manier.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 17:57 schreef Riparius het volgende:

[..]

Er zijn verschillende manieren om hier de afgeleide te bepalen.

Quotiëntregel: (f/g)' = (f'g − fg')/g²

Hier heb je dan f(x) = 1 en g(x) = 1 + x² en dus is f'(x) = 0 en g'(x) = 2x. De eerste term in de teller valt dus weg en we houden over

−2x/(1 + x²)²

Kettingregel: (g∘f)'= (g'∘f)·f'

We herschrijven 1/(1 + x²) als (1 + x²)⁻¹ en dan hebben we als afgeleide

(−1)·(1 + x²)⁻²·2x

en dat is uiteraard hetzelfde als

−2x/(1 + x²)²

Een breuk kan alleen nul zijn als de teller nul is terwijl de noemer niet nul is, en dat is hier het geval voor x = 0.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 17:57 schreef Riparius het volgende:

[..]

Er zijn verschillende manieren om hier de afgeleide te bepalen.

Quotiëntregel: (f/g)' = (f'g − fg')/g²

Hier heb je dan f(x) = 1 en g(x) = 1 + x² en dus is f'(x) = 0 en g'(x) = 2x. De eerste term in de teller valt dus weg en we houden over

−2x/(1 + x²)²

Kettingregel: (g∘f)'= (g'∘f)·f'

We herschrijven 1/(1 + x²) als (1 + x²)⁻¹ en dan hebben we als afgeleide

(−1)·(1 + x²)⁻²·2x

en dat is uiteraard hetzelfde als

−2x/(1 + x²)²

Een breuk kan alleen nul zijn als de teller nul is terwijl de noemer niet nul is, en dat is hier het geval voor x = 0.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 18:02 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Quotient regel is toch

f(x)' g(x) - f(x) g'(x)

Dus ik dacht:

1 * 1-x² - 2x

Dus dan kom ik toch steeds uit op

-x² -2x + 1

Ofwel

x² + 2x - 1

quote:

Op zondag 18 mei 2014 18:09 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee. Je hebt f(x) = 1 maar dan is f'(x) = 0. De afgeleide van een constante functie is nul. Daarom valt de eerste term in de teller (f'(x)·g(x) − f(x)·g'(x)) weg. Je hebt immers in de teller

0·(1 + x²) − 1·2x = 0 − 2x = −2x

En de noemer is (g(x))² = (1 + x²)²

De afgeleide wordt daarmee dus

−2x/(1 + x²)²

quote:

Op zondag 18 mei 2014 18:13 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Uit de afgeleide van x² ln x kom ik ook niet uit gvd.

Ik kom uit op 2x ln x + x

quote:

Maar ik weet niet hoe ik het moet oplossen.... als afgeleide =0

Ik heb het volgende gedaan:

ln 2x² + x = 0

quote:

Op zondag 18 mei 2014 18:27 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat is correct. Via de productregel heb je 2x·ln x + x²·x⁻¹ = 2x·lnx + x.

[..]

Dat is al fout. 2·x· ln x is niet hetzelfde als ln(2x²). Hoe kom je erbij dat je iets als p·ln(a) mag vervangen door ln(pa) ? Je kent toch de rekenregel p·ln(a) = ln(a^p) ? En je weet toch dat ap niet hetzelfde is als a^p ? Dus kan het niet kloppen.

We hebben

2x·lnx + x = 0

Hier hebben beide termen in het linkerlid een factor x, die we dus buiten haakjes kunnen halen. Dat geeft

x·(2·ln x + 1) = 0

Nu is een product alleen nul als (tenminste) één van de factoren zelf nul is, dus vinden we

x = 0 ∨ 2·ln x + 1 = 0

x = 0 ∨ 2·ln x = −1

x = 0 ∨ ln x = −1/2

x = 0 ∨ x = e^−1/2

quote:

Op zondag 18 mei 2014 18:20 schreef Super-B het volgende:
Weet iemand hoe ik de laatste vraag moet maken m.b.t. buigpunt?

http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf

Graag niet de uitwerking vertellen maar hoe ik tot het antwoord moet komen.. Want als ik

(2,8) in de vergelijking invul 2 = x en 8 = y dan ontbreekt a en b bij mij... als variabelen

quote:

Op zondag 18 mei 2014 18:20 schreef Super-B het volgende:
Weet iemand hoe ik de laatste vraag moet maken m.b.t. buigpunt?

http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf

Graag niet de uitwerking vertellen maar hoe ik tot het antwoord moet komen.. Want als ik

(2,8) in de vergelijking invul 2 = x en 8 = y dan ontbreekt a en b bij mij... als variabelen

quote:

Op zondag 18 mei 2014 18:27 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat is al fout. 2·x· ln x is niet hetzelfde als ln(2x²). Hoe kom je erbij dat je iets als p·ln(a) mag vervangen door ln(pa) ? Je kent toch de rekenregel p·ln(a) = ln(a^p) ? En je weet toch dat ap niet hetzelfde is als a^p ? Dus kan het niet kloppen.

We hebben

2x·lnx + x = 0

Hier hebben beide termen in het linkerlid een factor x, die we dus buiten haakjes kunnen halen. Dat geeft

x·(2·ln x + 1) = 0

Nu is een product alleen nul als (tenminste) één van de factoren zelf nul is, dus vinden we

x = 0 ∨ 2·ln x + 1 = 0

x = 0 ∨ 2·ln x = −1

x = 0 ∨ ln x = −1/2

x = 0 ∨ x = e^−1/2

quote:

Op zondag 18 mei 2014 18:33 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Owww dank u.

Afgeleide van:

ln (x² - 6x) - ln (x)

Van ln (x² - 6x) alleen weet ik dat het

(2x - 6) / x moet zijn, maar met ln (x) erbij weet ik het niet..

quote:

Op zondag 18 mei 2014 18:20 schreef Super-B het volgende:
Weet iemand hoe ik de laatste vraag moet maken m.b.t. buigpunt?

http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf

Graag niet de uitwerking vertellen maar hoe ik tot het antwoord moet komen.. Want als ik

(2,8) in de vergelijking invul 2 = x en 8 = y dan ontbreekt a en b bij mij... als variabelen

quote:

Op zondag 18 mei 2014 18:35 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

De functie is niet gedefinieerd voor x = 0 ?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 18:33 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Owww dank u.

Afgeleide van:

ln (x² - 6x) - ln (x)

Van ln (x² - 6x) alleen weet ik dat het

(2x - 6) / x moet zijn, maar met ln (x) erbij weet ik het niet..

quote:

Op zondag 18 mei 2014 18:37 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Ik kom uit op (2x - 6 / x) - 1/x

quote:

Op zondag 18 mei 2014 18:33 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Owww dank u.

quote:

Afgeleide van:

ln (x² - 6x) - ln (x)

quote:

Op zondag 18 mei 2014 18:49 schreef Riparius het volgende:

[..]

Let op dat x = 0 bij je vorige opgave komt te vervallen. Dat was ik even vergeten.

[..]

Maak gebruik van de eigenschappen van logaritmen, met name de rekenregel

ln(ab) = ln a + ln b

We hebben x² − 6x = x(x −6) en dus ook

ln(x² − 6x) − ln x = ln(x·(x − 6)) − ln x = ln x + ln(x − 6) − ln x = ln(x − 6)

De afgeleide wordt dus

1/(x −6)

Let hier weer op dat (x − 6) positief moet zijn, en dus dat x > 6 moet zijn.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 18:56 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Gewoon delen door x toch? want log a - log b -- > log a/b ?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 19:07 schreef Super-B het volgende:
Oké ik heb het antwoord goed. Hartstikke happy. Maar natuurlijk twijfel ik enorm om de methode die ik uitvoer:

f(x) = e ^{-x² + 2x}

Afgeleide hiervan is:

(-2x + 2) e ^{-x² + 2x}

e ^{-x² + 2x} kan geen 0 zijn dus...

-2x + 2 = 0
-2x = -2
x = -2 / -2
x = 1

Als dit zo staat op mijn antwoordenblad, is dit goed of..?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 19:11 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, dat is goed, als het de bedoeling is de nulpunten van de afgeleide te bepalen.

Ben je al verder gekomen met die vraag over buigpunten?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 19:15 schreef Super-B het volgende:

[..]

Dat is de laatste vraag. Daar ben ik nog niet. Ik ga hem zo maken. Ik wist wel dat ik a en b moest berekenen, maar twijfelde. Ik laat het zo weten.

Een kleine vraag wat betreft maxima's en minima's. Welke is de meest veilige methode om te weten of het een maximum betreft of een minimum:

Kijkend naar het verloop van de afgeleide functie, dus stel x = 4 en dan kijken wat er gebeurt bij x =5 en x = 3 ?

Of tweede afgeleide bepalen en dan als die >0 is dan is het een (lokaal) minimum, is die 0< dan is het een (lokaal) maximum?

Kan je de vetgedrukte methode ook toepassen op de eerste afgeleide? Of moet je hiervoor echt de tweede afgeleide hebben?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 19:18 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Dude.

Differentiëren in de monovariabele calculus is echt het simpelste wat er is.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 19:20 schreef Super-B het volgende:

[..]

?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 19:23 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Bepaal gewoon de tweede afgeleide. Het is namelijk niet altijd veilig om maar een eenheid naar links of rechts op te schuiven en zodoende te kijken naar het functieverloop.

Ik kan heus wel functies verzinnen waarbij jouw verhaaltje gewoon misgaat.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 19:15 schreef Super-B het volgende:

[..]

Dat is de laatste vraag. Daar ben ik nog niet. Ik ga hem zo maken. Ik wist wel dat ik a en b moest berekenen, maar twijfelde. Ik laat het zo weten.

Een kleine vraag wat betreft maxima en minima. Welke is de meest veilige methode om te weten of het een maximum betreft of een minimum:

Kijkend naar het verloop van de afgeleide functie, dus stel x = 4 en dan kijken wat er gebeurt bij x =5 en x = 3 ?

quote:

Of tweede afgeleide bepalen en dan als die >0 is dan is het een (lokaal) minimum, is die 0< dan is het een (lokaal) maximum?

quote:

Kan je de vetgedrukte methode ook toepassen op de eerste afgeleide? Of moet je hiervoor echt de tweede afgeleide hebben?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 19:26 schreef Super-B het volgende:

[..]

Nou ik heb er wel één waar het misgaat:

http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf

opgave 3b.

Eerste afgeleide lukt, tweede afgeleide gaat compleet mis.. Evenals het oplossen.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 19:31 schreef Riparius het volgende:

[..]

Laat eens zien wat je gedaan hebt om de tweede afgeleide te bepalen.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 19:33 schreef Super-B het volgende:

[..]

De eerste is:

(-2x + 2)e^{-x² + 2x}

Vervolgens pas ik de productregel toe:

-2 e^{-x² + 2x} + (-2x + 2)(-2x + 2)e^{-x² + 2x}

quote:

Op zondag 18 mei 2014 19:41 schreef Riparius het volgende:

[..]

Werk het nu eens verder uit.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 19:43 schreef Super-B het volgende:

quote:

Op zondag 18 mei 2014 19:50 schreef Riparius het volgende:

[..]

Kijk nu eens goed wat je hebt. De eerste factor van je product is (−2x + 2) en de tweede is e^−x²+2x.

Productregel:

(uv)' = u'v + uv'

quote:

Op zondag 18 mei 2014 19:54 schreef Super-B het volgende:

[..]

Dan kom ik nu uit op:

-2e^{-x² + 2x} + (4x² - 8x + 4)e^{-x² + 2x}

quote:

Op zondag 18 mei 2014 19:57 schreef Riparius het volgende:

[..]

De afgeleide van (−2x + 2) is −2. Nu verder uitwerken.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 19:59 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ik zit vast..

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:01 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee hoor. Je bent er bijna. Er zat alleen een factor x teveel in je eerste term. Ik vermoed dat je daar een x hebt gebruikt om vermenigvuldiging aan te geven, maar dat moet je beslist niet doen.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:06 schreef nodig het volgende:
2a + 3a = 5a

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:08 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ja klopt, maar die -2 staat in de weg..

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:03 schreef Super-B het volgende:

[..]

-2e^{-x² + 2x} + 2(2x² - 4x +2)e^{-x² + 2x}

Nu zit ik echt vast.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:12 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je had nog even niet die factor 2 buiten haakjes moeten halen in de tweede term, maar eerst de termen samennemen.

We hadden

-2e^{-x² + 2x} + (4x² - 8x + 4)e^{-x² + 2x}

Nu zie je dat beide termen een facor e^{-x² + 2x} gemeen hebben en die kunnen we dus buiten haakjes halen. Dan krijgen we

(-2 + 4x² - 8x + 4)e^{-x² + 2x}

en dus

(4x² - 8x + 2)e^{-x² + 2x}

En nu pas die factor 2 van de kwadratische veelterm buiten haakjes halen en je hebt

2(2x² - 4x + 1)e^{-x² + 2x}

Zie je?

Nu de nulpunten bepalen van deze tweede afgeleide en dan een tekenschema maken van deze tweede afgeleide.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:14 schreef nodig het volgende:
Als de toets morgen in de buurt zit van het niveau van de oefentoets heb ik er nog wel vertrouwen in.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:20 schreef Super-B het volgende:

[..]

Zeker.. Minimaal een 6 moet lukken. Eerste keer was bij jou een 6,2 toch? Hoeveel heb je bij de tweede keer gescoord?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:24 schreef Super-B het volgende:
Hoe moet ik opgave 4c maken?

http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:25 schreef nodig het volgende:

[..]

Zie antwoordmodel. Daar staat hoe je hem kan herschrijven.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:24 schreef Super-B het volgende:
Hoe moet ik opgave 4c maken?

http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:27 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Al iets geprobeerd?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:25 schreef Super-B het volgende:

[..]

De herschrijving begrijp ik dus niet.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:14 schreef Super-B het volgende:

[..]

Tering.. Goed zeg.. Ik sloeg die tussenstap inderdaad over qua gedachte...

Ik weet niet zo goed hoe ik de nulpunten uit zo'n ingewikkelde functie moet bepalen.. Ben niet zo goed met het getal e.

Ik zou zeggen om de nulpunten binnen de haakjes te vinden.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:31 schreef Riparius het volgende:

[..]

Hij ziet er wat ingewikkeld uit, maar die e-macht heeft de prettige eigenschap dat ie altijd positief is. De factor met de e-macht kan dus nooit nul zijn, en we hoeven dus inderdaad alleen te kijken naar de kwadratische veelterm tussen de haakjes. Dan krijgen we dus als voorwaarde voor de nulpunten

2x² − 4x + 1 = 0

ik ga deze even voor je doen via kwaadratafsplitsing, dat geeft minder kans op fouten dan de abc-formule en dan zie je dat ook eens. Eerst delen we even beide leden door 2, dat geeft

x² − 2x + ½ = 0

Nu weten we dat (x − 1)² = x² − 2x + 1 en dat is bijna wat er links staat. We komen nog een ½ te kort, maar dat kunnen we oplossen door links en rechts ½ op te tellen. Dan hebben we

x² − 2x + 1 = ½

en dus

(x − 1)² = ½

en dus

x − 1 = √½ ∨ x − 1 = −√½

Nu is √½ = ½√2, dus

x − 1 = ½√2 ∨ x − 1 = −½√2

en dus

x = 1 + ½√2 ∨ x = 1 − ½√2

Hoe ziet nu het tekenschema van de tweede afgeleide eruit?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:28 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ja.

9^2x² * 9 ^{3x + 4} = 1

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:34 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Wat is (3^x)^2?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:35 schreef Super-B het volgende:

[..]

9^2x

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:36 schreef jordyqwerty het volgende:

[..]

nee

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:37 schreef Super-B het volgende:

[..]

9^x dan.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:37 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Ja maar snap je ook waarom?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:25 schreef Super-B het volgende:

[..]

De herschrijving begrijp ik dus niet.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:33 schreef Super-B het volgende:

[..]

Hoe bedoel je tekenschema? De x-waarden van de tweede afgeleiden zijn in ieder geval de buigpunten.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:40 schreef Riparius het volgende:

[..]

Gewoon de rekenregels voor machten gebruiken. Je hebt (3^x)² = 3^x·2 = 3^2·x = (3²)^x = 9^x

en ook

1/9^3x+4 = 9^−(3x+4) = 9^−3x−4

En dus wordt de vergelijking

9^x = 9^−3x−4

en dat geeft

x = −3x−4
4x = −4
x = −1

quote:

Op zondag 18 mei 2014 19:11 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, dat is goed, als het de bedoeling is de nulpunten van de afgeleide te bepalen.

Ben je al verder gekomen met die vraag over buigpunten?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:47 schreef Super-B het volgende:

[..]

Waarom wordt er een min genomen die wordt vermenigvuldigd?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:50 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je kent toch wel de regel

1/a^p = a^−p

?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:50 schreef Super-B het volgende:

[..]

Nee.. Ik snap de bedoeling maar heb het toch onderschat dat a en b berekenen. Makkelijker gezegd dan gedaan..

Eerste en tweede afgeleiden bepalen is geen probleem. Maar bij het bepalen van de afgeleiden valt a en b weg.. Waardoor ik mij dus afvraag hoe ik deze dan moet berekenen..

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:51 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ja moet wel.. Anders heb ik een groot probleem morgen. Ohja ik verkeek me op die 1 in de teller.
Maar hoezo valt de exponent weg en wordt het gewoon getallen die -3x - 4 ?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:53 schreef Riparius het volgende:

[..]

Kennelijk toch wel een probleem voor jou. Als je zowel a als b bent kwijtgeraakt, dan heb je het fout gedaan bij het differentiëren. Laat eens zien wat je hebt gedaan om de eerste en de tweede afgeleide te bepalen.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 21:04 schreef Super-B het volgende:

[..]

ax^4 - 8x³ + b

f(x)' 4x - 24x

Want a en b zijn een constante..

quote:

Op zondag 18 mei 2014 20:55 schreef Riparius het volgende:

[..]

Er valt niets weg, maar het is toch heel eenvoudig: als twee machten van hetzelfde grondtal aan elkaar gelijk zijn, dan moeten de exponenten wel aan elkaar gelijk zijn. Dat is wat ik hier gebruik.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 21:04 schreef Super-B het volgende:

[..]

ax^4 - 8x³ + b

f(x)' = 4x - 24x

Want a en b zijn een constante.. en die vallen weg. Dus dan alleen de afgeleide van x^4 - 8x³ en dat is dan 4x - 24x

quote:

Op zondag 18 mei 2014 21:07 schreef Super-B het volgende:

[..]

I don't get it? De exponenten zijn toch niet gelijk aan elkaar? Van de één is het x en van de ander -3x-4

quote:

Op zondag 18 mei 2014 21:12 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, dit gaat goed fout. Zo ga je morgen voor de bijl met 100% faalgarantie. De afgeleide van een constante is nul. Dus, als je in een veelterm een constante term hebt, dan valt die weg als je de afgeleide bepaalt van die veelterm. En inderdaad is b hier een constante term, dus die zal wegvallen. Maar a is geen constante term. De a is hier een constante factor die deel uitmaakt van een term die niet constant is. Nu jij weer.

En: let op je notatie: de afgeleide van f(x) noteer je als f'(x).

quote:

Op zondag 18 mei 2014 21:12 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, dit gaat goed fout. Zo ga je morgen voor de bijl met 100% faalgarantie. De afgeleide van een constante is nul. Dus, als je in een veelterm een constante term hebt, dan valt die weg als je de afgeleide bepaalt van die veelterm. En inderdaad is b hier een constante term, dus die zal wegvallen. Maar a is geen constante term. De a is hier een constante factor die deel uitmaakt van een term die niet constant is. Nu jij weer.

En: let op je notatie: de afgeleide van f(x) noteer je als f'(x).

quote:

Op zondag 18 mei 2014 21:29 schreef netchip het volgende:
Iemand sprak hier laatst over Spivak's Calculus. Ik ga zeker verder met dat boek waar ik een half jaar geleden was gestopt, het probleem is alleen dat ik het bewijzen van stellingen lastig vind...

Het is namelijk wel the way to go, IMO.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 21:12 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, dit gaat goed fout. Zo ga je morgen voor de bijl met 100% faalgarantie. De afgeleide van een constante is nul. Dus, als je in een veelterm een constante term hebt, dan valt die weg als je de afgeleide bepaalt van die veelterm. En inderdaad is b hier een constante term, dus die zal wegvallen. Maar a is geen constante term. De a is hier een constante factor die deel uitmaakt van een term die niet constant is. Nu jij weer.

En: let op je notatie: de afgeleide van f(x) noteer je als f'(x).

quote:

Op zondag 18 mei 2014 21:39 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat was mijn suggestie om eens naar Spivak te kijken. Het lijkt in eerste instantie misschien een gemakkelijk boek omdat hij veel tekst en uitleg geeft, maar schijn bedriegt. Veel van de opgaven die hij geeft zijn lastig, hij laat je hard werken.

En wiskunde en bewijzen zijn sinds de oude Grieken onlosmakelijk met elkaar verbonden. Het woord zegt het al: wiskunde is de kunde van het vergewissen, het zeker weten. Het woord is overigens bedacht door Simon Stevin die ook heel veel andere echt Nederlandse woorden bedacht voor wiskundige begrippen. In andere Europese talen is dat niet zo, daar worden gewoonlijk woorden gebruikt die zijn ontleend aan het Grieks of Latijn.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 21:40 schreef Super-B het volgende:

[..]

Afgeleide van ax^4 - 8x³ + b

a4x³ - 24x²

(2,8) is het buigpunt dus dit invullen in de formule:

8 = a * 4 * (2)³ - 24 * 2 * (2)²

8 = 32a - 96

104 = 32a

3,25 = a

quote:

Op zondag 18 mei 2014 21:45 schreef netchip het volgende:

[..]

Part I had ik al moeite mee Bijvoorbeeld: "Prove the following: if ax = a, for some number a != 0, then x = 1" Ik kan het wel aantonen maar het bewijzen, daar zou ik geen flauw idee van hebben.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 21:40 schreef Super-B het volgende:

[..]

Afgeleide van ax^4 - 8x³ + b

a4x³ - 24x²

(2,8) is het buigpunt dus dit invullen in de formule:

quote:

Op zondag 18 mei 2014 21:52 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Het punt (2,8) is deel van de oorspronkelijke functie, niet de afgeleide. Denk nu eens goed na over de stappen die je (normaal) moet nemen om buigpunten te bepalen. Waar stel je bijvoorbeeld de afgeleide aan gelijk bij het bepalen van buigpunten.
Je haalt allerlei dingen door elkaar in plaats van dat je gestructureerd werkt. Zoals al eerder is opgemerkt heb je twee vergelijkingen nodig om zowel a als b te bepalen.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 21:56 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee ...

Ik had je hierboven toch al als tip gegeven dat het buigpunt (2; 8) op de grafiek ligt van de functie f en dat dus f(2) = 8

?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 21:56 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee ...

Ik had je hierboven toch al als tip gegeven dat het buigpunt (2; 8) op de grafiek ligt van de functie f en dat dus f(2) = 8

?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 21:56 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee ...

Ik had je hierboven toch al als tip gegeven dat het buigpunt (2; 8) op de grafiek ligt van de functie f en dat dus f(2) = 8

?

Schrijf overigens

f'(x) = 24ax³ − 24x²

En wat kun je nu zeggen over de voorwaarden vor een buigpunt? Waaraan moet dan voldaan zijn? Als je een voorwaarde formuleert, geef dan ook aan of je een noodzakelijke of een voldoende voorwaarde bedoelt (of wellicht beide).

quote:

Op zondag 18 mei 2014 22:03 schreef Amoeba het volgende:
Je hebt de afgelopen weken er 10 topics doorheen geknald zonder zelf ook maar enigzins na te denken. Wat zijn de nulpunten van de functie f(x) = a12x²-24x?!

Echt simpeler dan dit gaat het niet worden hoor.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 22:05 schreef Super-B het volgende:

[..]

12x(ax - 2)

quote:

Op zondag 18 mei 2014 22:11 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Je geeft geen antwoord op de vraag.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 22:15 schreef Super-B het volgende:

[..]

12x(ax - 2) = 0


ax = 2 & x = 0

quote:

Op zondag 18 mei 2014 22:15 schreef Riparius het volgende:
[ afbeelding ] Op zondag 18 mei 2014 22:05 schreef Super-B het volgende:

[..]

Man, man ... schrijf de boel nou eens fatsoenlijk op en geef eens antwoord op wedervragen die ik je stel. Je begon hierboven ook al tegen te sputteren toen ik je vertelde dat je een tekenschema moest maken nadat je de nulpunten van die tweede afgeleide had laten (!) berekenen door mij. Waarom denk je dat ik zei dat je toch nog even een tekenschema van die tweede afgeleide moest maken?

Nu deze opgave. Je hebt

f(x) = ax⁴ − 8x³ + b

f'(x) = 4ax³ − 24x²

f''(x) = 12ax² − 48x

f'''(x) = 24ax − 48

quote:

Op zondag 18 mei 2014 22:17 schreef Amoeba het volgende:

[..]

En dus?

X = 0 en x = 2/a

Je krijgt keiharde puntenaftrek als je dit niet zo opschrijft.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 22:20 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je kunt hem beter laten werken met f(2) = 8 en f''(2) = 0.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 22:19 schreef Super-B het volgende:

[..]

Uhu klopt en dan heb ik de a nodig

quote:

Op zondag 18 mei 2014 22:19 schreef Super-B het volgende:

[..]

Uhu klopt en dan heb ik de a nodig

Hiervoor moet ik de nulpunten nemen van de tweede afgeleide:

f'''(x) = 24ax − 48

24ax - 48 = 0

12(ax - 2) = 0

x = 0 & ax = 2

Maarja dan heb ik nog steeds geen a.. maar ax..

quote:

Op zondag 18 mei 2014 22:23 schreef Riparius het volgende:

[..]

Jl

Nu even niet luisteren naar amoeba maar naar mij.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 22:23 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, en de b moet je ook bepalen vergeet die niet!

Nu even niet luisteren naar amoeba maar naar mij. Je weet dat het punt (2;8) op de grafiek van f ligt, dus heb je:

f(2) = 8

Je weet ook dat (2;8) een buigpunt is, dus heb je

f''(2) = 0

Stel nu hiermee twee betrekkingen op waarin alleen nog a en b voorkomen, zodat je deze kunt bepalen. Daarna praten we verder.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 22:23 schreef Super-B het volgende:

[..]

Kom er echt niet uit hoor..

quote:

Op zondag 18 mei 2014 22:37 schreef Riparius het volgende:

[..]

We moeten het er ook echt uit trekken hè. Alsof ik een dood paard uit een moeras moet trekken. Toch is het gek dat je het nu af laat weten, want je bent gek op simpele invuloefeningetjes, en dit is er eentje par excellence.

Goed, we weten dat f(2) = 8. Maar nu weten we ook dat

f(x) = ax⁴ − 8x³ + b

Invullen van x = 2 geeft dus

f(2) = a·2⁴ − 8·2³ + b

Werk dit nu verder uit. Doe daarna hetzelfde met het gegeven f''(2) = 0.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 22:41 schreef nodig het volgende:
Heel veel succes morgen mede-kandidaten!

quote:

Op zondag 18 mei 2014 22:41 schreef Super-B het volgende:

[..]

f(2) = a·16 − 64 + b

f''(x) = 12ax² - 48x

f''(2) = a * 12 * 2² - 48 *2

f''(2) = a48 - 96

96 = a48

96/48 = a

2 = a ?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 22:42 schreef Super-B het volgende:

[..]

Jij ook veel succes!

Ik ga morgen nog wel vroeg op om even nog alles door te nemen.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 22:42 schreef nodig het volgende:

[..]

Ja dit klopt. Nu kan je b berekenen.

quote:

Op zondag 18 mei 2014 22:36 schreef netchip het volgende:
Spivak zeg dat a + (b + c) = (a + b) + c. Hoort daar ook niet (a + c) + b bij?

quote:

Op zondag 18 mei 2014 22:42 schreef Super-B het volgende:

[..]

Jij ook veel succes!

Ik ga morgen nog wel vroeg op om even nog alles door te nemen.

quote:

Op maandag 19 mei 2014 09:41 schreef Super-B het volgende:
Shit... wat is de afgeleide van

x ln x? Ik kom uit op... ln x * (x / x) en dus ln x * 1

En wat js de tweede afgeleide van:

xe^-x

En

e^x^2

quote:

Op maandag 19 mei 2014 09:51 schreef OllieWilliams het volgende:

[..]

De afgeleide van x ln x bepaal je met de productregel:

f(x)g(x)dx = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

f(x) = x; g(x) = ln x
en dus f'(x) = 1 en g'(x) = 1 / x

en dus:
f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 1 * ln x + x * 1/x = ln x + 1

En wat lukt er niet bij die andere twee afgeleides dan?

quote:

Op maandag 19 mei 2014 09:55 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ik kom inderdaad ook uit op ln x + 1, maar in mijn boek staat 1/x

Bij die andere twee kan ik de eerste afgeleide bepalen en de nulpunten ervan berekenen, echter lukt het mij niet om de tweede afgeleiden te bepalen, evenals de nulpunten hiervan..

quote:

Op maandag 19 mei 2014 09:57 schreef OllieWilliams het volgende:

[..]

Laat eens zien wat je voor de eerste afgeleide hebt. Oh, en je boek klopt niet.

quote:

Op maandag 19 mei 2014 09:59 schreef Super-B het volgende:

[..]

Nulpunt van ln x + 1 is toch het volgende:

ln x + 1 = 0

ln x = -1

x = e^-1 en dus 1/e ?

quote:

Op maandag 19 mei 2014 09:41 schreef Super-B het volgende:
Shit... wat is de afgeleide van

x ln x? Ik kom uit op... ln x * (x / x) en dus ln x * 1

En wat js de tweede afgeleide van:

xe^-x

En

e^x^2

quote:

Op maandag 19 mei 2014 10:05 schreef Super-B het volgende:

[..]

Eerste afgeleide van xe^-x is:

e ^e -xe ^-x

nulpunt hiervan is:

e^-x ( -x + 1 ) = 0

e^-x kan geen 0 zijn dus:

-x + 1 = 0
-x = -1
x = 1

quote:

Op maandag 19 mei 2014 10:11 schreef OllieWilliams het volgende:

[..]

Oke, laten we even met deze beginnen. Wat hier staat klopt. Wat gaat er mis bij het bepalen van de tweede afgeleide? Is in principe gewoon de productregel toepassen die je ook gebruikt heb bij het bepalen van de eerste afgeleide.

quote:

Op maandag 19 mei 2014 10:16 schreef Super-B het volgende:

[..]

Wat er fout gaat is dat er een -/+ tussen zit i.p.v. een * teken of een samenstelling..