SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Dat klopt, verder vind ik ook de didactiek van menigeen schoolboek om van te huilen. Zo kort mogelijk door theorie gaan, een debiel stripje erbij en vervolgens een hoop aan opgaven die uberhaupt geen samenhang met elkaar hebben.quote:Op zondag 18 mei 2014 14:59 schreef Riparius het volgende:
[..]
Inderdaad. De opgave kwam me ook verdacht bekend voor, maar ik had deze niet in mijn database zitten. Dank voor het linkje. En wat hebben docenten toch verdomd weinig fantasie dat je jaar in jaar uit dezelfde afgezaagde opgaven langs ziet komen. Maar dat heeft ook met het armetierige aanbod aan schoolboeken te maken. Honderd jaar (of nog langer) geleden had je tientallen verschillende boeken, zelfs in zo'n klein taalgebied als het onze, nu zijn er nog maar enkele zogeheten 'methodes'.
OK, de vraag is: bepaal de raaklijn vanquote:
[..]
Weet je wat je nu eens moet doen? Ga nu gewoon eens goed nadenken over die hele opgave, en werk de opgave dan compleet uit, in plaats van bij elke stap te komen vragen of wij je handje vast willen houden.
1) Kijk of f(x) handiger te schrijven is -> ja,
2) Bepaal de afgeleide, in dit geval kan dat doormiddel van de product regel: f(x) = g(x) * h(x)
g(x) = x-1
h(x) = 8ln(x)-4
g'(x) = -x-2
h'(x) = 8/x
f'(x) = g(x) * h'(x) + g'(x) * h(x) =>
Dit zou hem moeten zijn, denk ik.
[ Bericht 2% gewijzigd door netchip op 18-05-2014 15:56:20 ]
quote:
f (x) = | x - 1 |
f ( x) ' = 1x
f (x)'' = 1
Hoe kan ik de het nulpunt van de afgeleide hiermee berekenen? Ik kom toch echt op x=0 uit, terwijl het antwoord x = 1 is?!
Hetzelfde geldt bij
| x² - 1 |
Voor x ≥ 0 heb je e|x| = exquote:
[..]
Held!
Hoe bepaal je een afgeleide van e^|x| ?
Moet ik deze splitsen in e^-x en e^-x ?
Voor x < 0 heb je e|x| = e−x
Bedenk dat deze functie niet differentieerbaar is in het punt x = 0. Er zit namelijk een 'knik' in de grafiek bij x = 0, dus heb je ook geen eenduidige raaklijn aan de grafiek bij x = 0.
Oke even kijken. Het is overigens e-|x| Maar dat wordt gewoon een + bij dubbel minteken.quote:
[..]
Voor x ≥ 0 heb je e|x| = ex
Voor x < 0 heb je e|x| = e−x
Bedenk dat deze functie niet differentieerbaar is in het punt x = 0. Er zit namelijk een 'knik' in de grafiek bij x = 0, dus heb je ook geen eenduidige raaklijn aan de grafiek bij x = 0.
Even de opgave maken. Je hoort zodirect weer wat
Nee, dat is de vraag niet. Je moet de opgave toch eens beter lezen.quote:
[..]
OK, de vraag is: bepaal de raaklijn van.
Ik deed het volgende:quote:
[..]
Voor x ≥ 0 heb je e|x| = ex
Voor x < 0 heb je e|x| = e−x
Bedenk dat deze functie niet differentieerbaar is in het punt x = 0. Er zit namelijk een 'knik' in de grafiek bij x = 0, dus heb je ook geen eenduidige raaklijn aan de grafiek bij x = 0.
e^- |x|
afgeleide hiervan is : e^-x - e^x
afgeleide gelijkstellen aan 0 : e^-x - e^x = 0
e^-x ( 1 + e^-x ) = 0
Dus x = -1 en x = 0
"De lijn met de vergelijking y = mx raakt de grafiek van f. Bereken de waarde(n) van m waarvoor dit het geval is." Oh, de standaard formule is y = ax+b. a = m, dus die moet ik berekenen, en b = 0.quote:
[..]
Nee, dat is de vraag niet. Je moet de opgave toch eens beter lezen.
Als je nu gewoon even in WolframAlpha de grafiek van je functie bekijkt, dan zie je dat het niet klopt.quote:
Idd.. Ik heb het gezien, hoe zou ik het moeten doen ?quote:
[..]
Als je nu gewoon even in WolframAlpha de grafiek van je functie bekijkt, dan zie je dat het niet klopt.
Wolfram Alpha heb ik namelijk niet morgen bij de hand
Het is van belang dat je in de gaten houdt dat functies met een absolute waarde niet zomaar te differentiëren zijn, in ieder geval niet voor elke waarde van x uit het domein. Dat komt door die knik in de grafiek, en die komt weer doordat |x| niet kleiner dan nul kan worden. In dit geval moet je gewoon even nadenken hoe het zit. De exponent vanquote:
[..]
Idd.. Ik heb het gezien, hoe zou ik het moeten doen ?
Wolfram Alpha heb ik namelijk niet morgen bij de hand
e−|x|
is altijd negatief, behalve als x = 0, en omdat ex monotoon stijgend is op R, betekent dit dat e−|x| een maximale waarde van e0 = 1 bereikt als x = 0. En dat is precies wat je ook in de grafiek ziet.
Hmm, twee dingen, ik snap de opdracht niet, en Wolfram Alpha zegt dat mijn afgeleide fout is, en ik heb geen idee waarom.quote:
[..]
Nee, dat is de vraag niet. Je moet de opgave toch eens beter lezen.
Je afgeleide van x-1 klopt in ieder geval niet.quote:
[..]
Hmm, twee dingen, ik snap de opdracht niet, en Wolfram Alpha zegt dat mijn afgeleide fout is, en ik heb geen idee waarom.
Dat dacht ik al (dat je er niet in slaagt de afgeleide correct te bepalen en dat je ook de vraagstelling niet snapt). Ga er nu maar eens rustig over nadenken, want als ik je stap voor stap naar de oplossing loods dan krijgen we alleen maar een 'oh ja' effect, en daar leer je niets van.quote:
[..]
Hmm, twee dingen, ik snap de opdracht niet, en Wolfram Alpha zegt dat mijn afgeleide fout is, en ik heb geen idee waarom.
quote:
[..]
Door een overzicht te maken van de mogelijke punten. Dus je schrijft de extrema op en bekijkt welke waarden de functie verder nog kan aannemen.
Dat kun je niet zien uit de berekening.
quote:
[..]
Door een overzicht te maken van de mogelijke punten. Dus je schrijft de extrema op en bekijkt welke waarden de functie verder nog kan aannemen.
Dat kun je niet zien uit de berekening.
quote:
[..]
Zou je hier een voorbeeld bij kunnen geven bij x^4 - 2x² ?
Dit is zowat het laatste bladzijde en dan ben ik wel klaar voor de toets.
aha! Bij absolute waarde is er altijd sprake van een knik en hierdoor is er maar 1 extreme waarde? En dat is dan het knikpunt welke dan een maximum of een minimum kan zijn? Bij een minimum is het dan het globale randminimum toch?quote:
[..]
Het is van belang dat je in de gaten houdt dat functies met een absolute waarde niet zomaar te differentiëren zijn, in ieder geval niet voor elke waarde van x uit het domein. Dat komt door die knik in de grafiek, en die komt weer doordat |x| niet kleiner dan nul kan worden. In dit geval moet je gewoon even nadenken hoe het zit. De exponent van
e−|x|
is altijd negatief, behalve als x = 0, en omdat ex monotoon stijgend is op R, betekent dit dat e−|x| een maximale waarde van e0 = 1 bereikt als x = 0. En dat is precies wat je ook in de grafiek ziet.
Maar is hier trouwens bij e−|x| sprake van een globale randmaximum of een globale maximum?
Is er hier niet sprake van een randmaximum of iets dergelijks, zo ja hoezo>?quote:
[..]
De eerste:
1 + ln x = 0
ln x = −1
x = e−1
De tweede:
ex + xex = 0
ex(1 + x) = 0
een e-macht is nooit nul, dus houden we over
1 + x = 0
x = −1
( ln x)²
Afgeleide d.m.v. productregel, maar eerst herschrijven tot:
(ln x) (ln x)
Productregel toepassen:
1/x * ln x + ln x * 1/x
Herschrijven van de productregel afgeleide:
(ln x) / x + (ln x) / x
Herschrijven in de volgende vorm:
(ln x + ln x) / x
Hoe los ik het verder op om zo de nulpunten te berekenen?
Afgeleide d.m.v. productregel, maar eerst herschrijven tot:
(ln x) (ln x)
Productregel toepassen:
1/x * ln x + ln x * 1/x
Herschrijven van de productregel afgeleide:
(ln x) / x + (ln x) / x
Herschrijven in de volgende vorm:
(ln x + ln x) / x
Hoe los ik het verder op om zo de nulpunten te berekenen?
Afgeleide van 4ln(x2), zou je kunnen zeggen dat is 8ln(x) met als gevolg dat de afgeleide 8/x is. Maar wat als x negatief is?
Er zijn best wel ingewikkelder functies te bedenken waarvoor dit niet opgaat, maar die zul je wel niet krijgen op je toets.quote:
[..]
aha! Bij absolute waarde is er altijd sprake van een knik en hierdoor is er maar 1 extreme waarde?
Ik begrijp niet goed waarom je hier opeens met de term globaal randminimum aan komt zetten. Een randminimum of randmaximum heb je aan de rand van het domein als dat een gesloten interval is. Maar dat is bij jouw voorbeeld niet aan de orde, want de functie is gedefinieerd voor elke x ∈ R.quote:En dat is dan het knikpunt welke dan een maximum of een minimum kan zijn? Bij een minimum is het dan het globale randminimum toch?
Je hebt wel een globaal maximum van e0 = 1 bij x = 0, maar x = 0 zit niet aan de rand van het domein van de functie. Sterker nog, het domein is R, dus er is geen rand (begin- of eindpunt) van het domein. En dan kan er ook geen randminimum of randmaximum zijn, noch globaal, noch lokaal.quote:Maar is hier trouwens bij e−|x| sprake van een globale randmaximum of een globale maximum?
Ow oke. Het is duidelijkquote:
[..]
Er zijn best wel ingewikkelder functies te bedenken waarvoor dit niet opgaat, maar die zul je wel niet krijgen op je toets.
[..]
Ik begrijp niet goed waarom je hier opeens met de term globaal randminimum aan komt zetten. Een randminimum of randmaximum heb je aan de rand van het domein als dat een gesloten interval is. Maar dat is bij jouw voorbeeld niet aan de orde, want de functie is gedefinieerd voor elke x ∈ R.
[..]
Je hebt wel een globaal maximum van e0 = 1 bij x = 0, maar x = 0 zit niet aan de rand van het domein van de functie. Sterker nog, het domein is R, dus er is geen rand (begin- of eindpunt) van het domein. En dan kan er ook geen randminimum of randmaximum zijn, noch globaal, noch lokaal.
. ( ln x)²
Afgeleide d.m.v. productregel, maar eerst herschrijven tot:
(ln x) (ln x)
Productregel toepassen:
1/x * ln x + ln x * 1/x
Herschrijven van de productregel afgeleide:
(ln x) / x + (ln x) / x
Herschrijven in de volgende vorm:
(ln x + ln x) / x
Hoe los ik het verder op om zo de nulpunten te berekenen?
Merk op dat je dit nog kunt schrijven alsquote:
( ln x)²
Afgeleide d.m.v. productregel, maar eerst herschrijven tot:
(ln x) (ln x)
Productregel toepassen:
1/x * ln x + ln x * 1/x
Herschrijven van de productregel afgeleide:
(ln x) / x + (ln x) / x
Herschrijven in de volgende vorm:
(ln x + ln x) / x
Hoe los ik het verder op om zo de nulpunten te berekenen?
2·ln(x)/x
Je had natuurlijk ook de kettingregel kunnen gebruiken, dan krijgen we
d(((ln(x))2)/dx = d(((ln(x))2)/d(ln(x)) · d(ln(x))/dx = 2·ln(x)·(1/x) = 2·ln(x)/x
Nulpunten berekenen van de afgeleide:
2·ln(x)/x = 0
Bedenk dat een breuk alleen nul is als de teller nul is terwijl de noemer niet nul is. Dus krijgen we
ln(x) = 0
x = 1
Thnks. Kun je het ook doen zonder herschrijving? Want de herschrijving heb ik niet begrepen.. Wel natuurlijk dat je die 2 aan de links kan neerzetten als getal ipv exponent, maar het is mij niet duidelijk als je de kettingregel gebruikt dat hetquote:
[..]
Merk op dat je dit nog kunt schrijven als
2·ln(x)/x
Je had natuurlijk ook de kettingregel kunnen gebruiken, dan krijgen we
d(((ln(x))2)/dx = d(((ln(x))2)/d(ln(x)) · d(ln(x))/dx = 2·ln(x)·(1/x) = 2·ln(x)/x
Nulpunten berekenen van de afgeleide:
2·ln(x)/x = 0
Bedenk dat een breuk alleen nul is als de teller nul is terwijl de noemer niet nul is. Dus krijgen we
ln(x) = 0
x = 1
2 * ln(x) * (1/x) moet doen, want je moet de afgeleide van de f(x) hebben en deze samenvoegen met g(x) en deze samen vermenigvuldigen met de afgeleide van g(x)
Maar bij 2 * ln(x) is er niks afgeleid?
Dat er niets is afgeleid lijkt maar zo. Je hebt hier een samengestelde functie, want we nemen van x eerst de natuurlijke logaritme, dat is ln(x), en dan kwadrateren we dit nog eens om (ln(x))2 te krijgen. Het is dus een samenstelling waarbij de eerste functie de natuurlijke logaritme is en de tweede functie de kwadrateerfunctie.quote:
[..]
Thnks. Kun je het ook doen zonder herschrijving? Want de herschrijving heb ik niet begrepen.. Wel natuurlijk dat je die 2 aan de links kan neerzetten als getal ipv exponent, maar het is mij niet duidelijk als je de kettingregel gebruikt dat het
2 * ln(x) * (1/x) moet doen, want je moet de afgeleide van de f(x) hebben en deze samenvoegen met g(x) en deze samen vermenigvuldigen met de afgeleide van g(x)
Maar bij 2 * ln(x) is er niks afgeleid?
Het wordt waarschijnlijk duidelijker als we even een 'tussenvariabele' u gebruiken.
Je hebt eerst:
(1) u = ln(x)
en dan
(2) y = u2
en samen geeft dit y = u2 = (ln(x))2, dus
(3) y = (ln(x))2
Nu moeten we bij (3) dy/dx bepalen, en dat kunnen we doen door eerst naar de twee afzonderlijke functies te kijken, dus naar (1) en (2). Nu levert (1) op
du/dx = 1/x
en (2) levert op
dy/du = 2u
Je ziet dat er ook bij (2) wel degelijk wordt gedifferentieerd, want de afgeleide van u2 naar u is 2u. Nu hebben we volgens de kettingregel
dy/dx = dy/du · du/dx
en dus vinden we
dy/dx = 2u·(1/x)
Maar nu weten we uit (1) dat u = ln(x), dus vervangen we die u weer door ln(x) en zo hebben we uiteindelijk
dy/dx = 2·ln(x)·(1/x)
dus
dy/dx = 2·ln(x)/x
Bij het 'gewone' gebruik van de kettingregel doe je precies hetzelfde, maar dan is die 'tussenvariabele' impliciet. Je voert dan als het ware alleen een mentale substitutie uit.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 19-05-2014 02:21:50 ]
Jij bent fucking geniaal!quote:
[..]
Dat er niets is afgeleid lijkt maar zo. Je hebt hier een samengestelde functie, want we nemen van x eerst de natuurlijke logaritme, dat is ln(x), en dan kwadrateren we dit nog eens om (ln(x))2 te krijgen. Het is dus een samenstelling waarbij de eerste functie de natuurlijke logaritme is en de tweede functie de kwadrateerfunctie.
Het wordt waarschijnlijk duidelijker al we even een 'tussenvariabele' u gebruiken.
Je hebt eerst:
(1) u = ln(x)
en dan
(2) y = u2
en samen geeft dit y = u2 = (ln(x))2, dus
(3) y = (ln(x))2
Nu moeten we bij (3) dy/dx bepalen, en dat kunnen we doen door eerst naar de twee afzonderlijke functies te kijken, dus naar (1) en (2). Nu levert (1) op
du/dx = 1/x
en (2) levert op
dy/du = 2u
Je ziet dat er ook bij (2) wel degelijk wordt gedifferentieerd, want de afgeleide van u2 naar u is 2u. Nu hebben we volgens de kettingregel
dy/dx = dy/du · du/dx
en dus vinden we
dy/dx = 2u·(1/x)
Maar nu weten we uit (1) dat u = ln(x), dus vervangen we die u weer door ln(x) en zo hebben we uiteindelijk
dy/dx = 2·ln(x)·(1/x)
dus
dy/dx = 2·ln(x)/x
Bij het 'gewone' gebruik van de kettingregel doe je precies hetzelfde, maar dan is die 'tussenvariabele' impliciet. Je voert dan als het ware alleen een mentale substitutie uit.
Als jij mij met de LAATST volgende functies kunt helpen om tot de afgeleide te komen zou ik het overweldigend vinden en tja dan ben je denk ik van mij af.quote:
[..]
Dat er niets is afgeleid lijkt maar zo. Je hebt hier een samengestelde functie, want we nemen van x eerst de natuurlijke logaritme, dat is ln(x), en dan kwadrateren we dit nog eens om (ln(x))2 te krijgen. Het is dus een samenstelling waarbij de eerste functie de natuurlijke logaritme is en de tweede functie de kwadrateerfunctie.
Het wordt waarschijnlijk duidelijker al we even een 'tussenvariabele' u gebruiken.
Je hebt eerst:
(1) u = ln(x)
en dan
(2) y = u2
en samen geeft dit y = u2 = (ln(x))2, dus
(3) y = (ln(x))2
Nu moeten we bij (3) dy/dx bepalen, en dat kunnen we doen door eerst naar de twee afzonderlijke functies te kijken, dus naar (1) en (2). Nu levert (1) op
du/dx = 1/x
en (2) levert op
dy/du = 2u
Je ziet dat er ook bij (2) wel degelijk wordt gedifferentieerd, want de afgeleide van u2 naar u is 2u. Nu hebben we volgens de kettingregel
dy/dx = dy/du · du/dx
en dus vinden we
dy/dx = 2u·(1/x)
Maar nu weten we uit (1) dat u = ln(x), dus vervangen we die u weer door ln(x) en zo hebben we uiteindelijk
dy/dx = 2·ln(x)·(1/x)
dus
dy/dx = 2·ln(x)/x
Bij het 'gewone' gebruik van de kettingregel doe je precies hetzelfde, maar dan is die 'tussenvariabele' impliciet. Je voert dan als het ware alleen een mentale substitutie uit.
| x - 1 |
| x² - 1 |
en
e - | x |
Afgeleide van 1 / (1+x²) is zover ik weet:
1 (2x) - (1+x²) / (1+x²)²
-x² + 2x - 1 / (1+x²)²
Afgeleide = 0 als de teller van een breuk 0 is dus..
-x² + 2x - 1 = 0
delen door -
x² + 2x + 1
( x - 1)² = 0
Dus x = 1
Echter geeft het antwoordenmodel aan dat x = 0 is...
1 (2x) - (1+x²) / (1+x²)²
-x² + 2x - 1 / (1+x²)²
Afgeleide = 0 als de teller van een breuk 0 is dus..
-x² + 2x - 1 = 0
delen door -
x² + 2x + 1
( x - 1)² = 0
Dus x = 1
Echter geeft het antwoordenmodel aan dat x = 0 is...
Uit de afgeleide van x² ln x kom ik ook niet uit gvd.
Ik kom uit op 2x ln x + x
Maar ik weet niet hoe ik het moet oplossen.... als afgeleide =0
Ik heb het volgende gedaan:
ln 2x² + x = 0
ln (x²)² = -1x
Beide kanten delen door x
ln (x)² = -1
x = 1 / e
Ik kom uit op 2x ln x + x
Maar ik weet niet hoe ik het moet oplossen.... als afgeleide =0
Ik heb het volgende gedaan:
ln 2x² + x = 0
ln (x²)² = -1x
Beide kanten delen door x
ln (x)² = -1
x = 1 / e
De afgeleide van de teller is 0 dus dat doe je fout bij het gebruiken van de quotientregel.quote:
Afgeleide van 1 / (1+x²) is zover ik weet:
1 (2x) - (1+x²) / (1+x²)²
-x² + 2x - 1 / (1+x²)²
Afgeleide = 0 als de teller van een breuk 0 is dus..
-x² + 2x - 1 = 0
delen door -
x² + 2x + 1
( x - 1)² = 0
Dus x = 1
Echter geeft het antwoordenmodel aan dat x = 0 is...
Het is gemakkelijker om te schrijven (1 + x2)-1 en dan de kettingregel te gebruiken.
Steeds in twee gevallen splitsen.quote:
[..]
Als jij mij met de LAATST volgende functies kunt helpen om tot de afgeleide te komen zou ik het overweldigend vinden en tja dan ben je denk ik van mij af.
| x - 1 |
| x² - 1 |
en
e - | x |
f(x) = |x-1|
f(x) = x -1 voor x ≥ 1
f(x) = 1 - x voor x < 1
f ' (x) = 1 voor x > 1
f ' (x) = -1 voor x < 1
De afgeleide in x = 0 bestaat niet.
En die andere functies gaan op dezelfde manier.
Er zijn verschillende manieren om hier de afgeleide te bepalen.quote:
Afgeleide van 1 / (1+x²) is zover ik weet:
1 (2x) - (1+x²) / (1+x²)²
-x² + 2x - 1 / (1+x²)²
Afgeleide = 0 als de teller van een breuk 0 is dus..
-x² + 2x - 1 = 0
delen door -
x² + 2x + 1
( x - 1)² = 0
Dus x = 1
Echter geeft het antwoordenmodel aan dat x = 0 is...
Quotiëntregel: (f/g)' = (f'g − fg')/g2
Hier heb je dan f(x) = 1 en g(x) = 1 + x2 en dus is f'(x) = 0 en g'(x) = 2x. De eerste term in de teller valt dus weg en we houden over
−2x/(1 + x2)2
Kettingregel: (g∘f)'= (g'∘f)·f'
We herschrijven 1/(1 + x2) als (1 + x2)−1 en dan hebben we als afgeleide
(−1)·(1 + x2)−2·2x
en dat is uiteraard hetzelfde als
−2x/(1 + x2)2
Een breuk kan alleen nul zijn als de teller nul is terwijl de noemer niet nul is, en dat is hier het geval voor x = 0.
quote:
[..]
Steeds in twee gevallen splitsen.
f(x) = |x-1|
f(x) = x -1 voor x ≥ 1
f(x) = 1 - x voor x < 1
f ' (x) = 1 voor x > 1
f ' (x) = -1 voor x < 1
De afgeleide in x = 0 bestaat niet.
En die andere functies gaan op dezelfde manier.
Als jullie het doen is het zo duidelijk...quote:
[..]
Er zijn verschillende manieren om hier de afgeleide te bepalen.
Quotiëntregel: (f/g)' = (f'g − fg')/g2
Hier heb je dan f(x) = 1 en g(x) = 1 + x2 en dus is f'(x) = 0 en g'(x) = 2x. De eerste term in de teller valt dus weg en we houden over
−2x/(1 + x2)2
Kettingregel: (g∘f)'= (g'∘f)·f'
We herschrijven 1/(1 + x2) als (1 + x2)−1 en dan hebben we als afgeleide
(−1)·(1 + x2)−2·2x
en dat is uiteraard hetzelfde als
−2x/(1 + x2)2
Een breuk kan alleen nul zijn als de teller nul is terwijl de noemer niet nul is, en dat is hier het geval voor x = 0.
Quotient regel is tochquote:
[..]
Er zijn verschillende manieren om hier de afgeleide te bepalen.
Quotiëntregel: (f/g)' = (f'g − fg')/g2
Hier heb je dan f(x) = 1 en g(x) = 1 + x2 en dus is f'(x) = 0 en g'(x) = 2x. De eerste term in de teller valt dus weg en we houden over
−2x/(1 + x2)2
Kettingregel: (g∘f)'= (g'∘f)·f'
We herschrijven 1/(1 + x2) als (1 + x2)−1 en dan hebben we als afgeleide
(−1)·(1 + x2)−2·2x
en dat is uiteraard hetzelfde als
−2x/(1 + x2)2
Een breuk kan alleen nul zijn als de teller nul is terwijl de noemer niet nul is, en dat is hier het geval voor x = 0.
f(x)' g(x) - f(x) g'(x)
Dus ik dacht:
1 * 1-x² - 2x
Dus dan kom ik toch steeds uit op
-x² -2x + 1
Ofwel
x² + 2x - 1
Nee. Je hebt f(x) = 1 maar dan is f'(x) = 0. De afgeleide van een constante functie is nul. Daarom valt de eerste term in de teller (f'(x)·g(x) − f(x)·g'(x)) weg. Je hebt immers in de tellerquote:
[..]
Quotient regel is toch
f(x)' g(x) - f(x) g'(x)
Dus ik dacht:
1 * 1-x² - 2x
Dus dan kom ik toch steeds uit op
-x² -2x + 1
Ofwel
x² + 2x - 1
0·(1 + x2) − 1·2x = 0 − 2x = −2x
En de noemer is (g(x))2 = (1 + x2)2
De afgeleide wordt daarmee dus
−2x/(1 + x2)2
Uit de afgeleide van x² ln x kom ik ook niet uit gvd.quote:
[..]
Nee. Je hebt f(x) = 1 maar dan is f'(x) = 0. De afgeleide van een constante functie is nul. Daarom valt de eerste term in de teller (f'(x)·g(x) − f(x)·g'(x)) weg. Je hebt immers in de teller
0·(1 + x2) − 1·2x = 0 − 2x = −2x
En de noemer is (g(x))2 = (1 + x2)2
De afgeleide wordt daarmee dus
−2x/(1 + x2)2
Ik kom uit op 2x ln x + x
Maar ik weet niet hoe ik het moet oplossen.... als afgeleide =0
Ik heb het volgende gedaan:
ln 2x² + x = 0
ln (x²)² = -1x
Beide kanten delen door x
ln (x)² = -1
x = 1 / e^(1/2)
Weet iemand hoe ik de laatste vraag moet maken m.b.t. buigpunt?
http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf
Graag niet de uitwerking vertellen maar hoe ik tot het antwoord moet komen.. Want als ik
(2,8) in de vergelijking invul 2 = x en 8 = y dan ontbreekt a en b bij mij... als variabelen
http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf
Graag niet de uitwerking vertellen maar hoe ik tot het antwoord moet komen.. Want als ik
(2,8) in de vergelijking invul 2 = x en 8 = y dan ontbreekt a en b bij mij... als variabelen
Dat is correct. Via de productregel heb je 2x·ln x + x2·x−1 = 2x·lnx + x.quote:
[..]
Uit de afgeleide van x² ln x kom ik ook niet uit gvd.
Ik kom uit op 2x ln x + x
Dat is al fout. 2·x· ln x is niet hetzelfde als ln(2x2). Hoe kom je erbij dat je iets als p·ln(a) mag vervangen door ln(pa) ? Je kent toch de rekenregel p·ln(a) = ln(ap) ? En je weet toch dat ap niet hetzelfde is als ap ? Dus kan het niet kloppen.quote:Maar ik weet niet hoe ik het moet oplossen.... als afgeleide =0
Ik heb het volgende gedaan:
ln 2x² + x = 0
We hebben
2x·lnx + x = 0
Hier hebben beide termen in het linkerlid een factor x, die we dus buiten haakjes kunnen halen. Dat geeft
x·(2·ln x + 1) = 0
Nu is een product alleen nul als (tenminste) één van de factoren zelf nul is, dus vinden we
x = 0 ∨ 2·ln x + 1 = 0
x = 0 ∨ 2·ln x = −1
x = 0 ∨ ln x = −1/2
x = 0 ∨ x = e−1/2
Maar ... Nu is ln x niet gedefinieerd voor x = 0, en daarmee de (afgeleide) functie ook niet. Dus komt x = 0 te vervallen en houden we alleen over
x = e−1/2
[ Bericht 5% gewijzigd door Riparius op 18-05-2014 18:41:24 ]
Owww dank u.quote:
[..]
Dat is correct. Via de productregel heb je 2x·ln x + x2·x−1 = 2x·lnx + x.
[..]
Dat is al fout. 2·x· ln x is niet hetzelfde als ln(2x2). Hoe kom je erbij dat je iets als p·ln(a) mag vervangen door ln(pa) ? Je kent toch de rekenregel p·ln(a) = ln(ap) ? En je weet toch dat ap niet hetzelfde is als ap ? Dus kan het niet kloppen.
We hebben
2x·lnx + x = 0
Hier hebben beide termen in het linkerlid een factor x, die we dus buiten haakjes kunnen halen. Dat geeft
x·(2·ln x + 1) = 0
Nu is een product alleen nul als (tenminste) één van de factoren zelf nul is, dus vinden we
x = 0 ∨ 2·ln x + 1 = 0
x = 0 ∨ 2·ln x = −1
x = 0 ∨ ln x = −1/2
x = 0 ∨ x = e−1/2
Afgeleide van:
ln (x² - 6x) - ln (x)
Van ln (x² - 6x) alleen weet ik dat het
(2x - 6) / x moet zijn, maar met ln (x) erbij weet ik het niet..
Het is de bedoeling om met je wiskundekennis eerst de waardes voor a en b te berekenen.quote:
Weet iemand hoe ik de laatste vraag moet maken m.b.t. buigpunt?
http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf
Graag niet de uitwerking vertellen maar hoe ik tot het antwoord moet komen.. Want als ik
(2,8) in de vergelijking invul 2 = x en 8 = y dan ontbreekt a en b bij mij... als variabelen
Het buigpunt van een kromme is het punt op de kromme waar de kromming van teken verandert. Deze vind je door de tweede afgeleide (afgeleide van de afgeleide) gelijk te stellen aan 0.quote:
Weet iemand hoe ik de laatste vraag moet maken m.b.t. buigpunt?
http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf
Graag niet de uitwerking vertellen maar hoe ik tot het antwoord moet komen.. Want als ik
(2,8) in de vergelijking invul 2 = x en 8 = y dan ontbreekt a en b bij mij... als variabelen
Je wilt echter eerst a en b vinden. Om twee onbekenden te vinden zul je twee vergelijkingen nodig hebben. Vul het gegeven buigpunt in in f(x) en f''(x) en je kunt a en b bepalen.
De functie is niet gedefinieerd voor x = 0 ?quote:
[..]
Dat is al fout. 2·x· ln x is niet hetzelfde als ln(2x2). Hoe kom je erbij dat je iets als p·ln(a) mag vervangen door ln(pa) ? Je kent toch de rekenregel p·ln(a) = ln(ap) ? En je weet toch dat ap niet hetzelfde is als ap ? Dus kan het niet kloppen.
We hebben
2x·lnx + x = 0
Hier hebben beide termen in het linkerlid een factor x, die we dus buiten haakjes kunnen halen. Dat geeft
x·(2·ln x + 1) = 0
Nu is een product alleen nul als (tenminste) één van de factoren zelf nul is, dus vinden we
x = 0 ∨ 2·ln x + 1 = 0
x = 0 ∨ 2·ln x = −1
x = 0 ∨ ln x = −1/2
x = 0 ∨ x = e−1/2
Ik kom uit op (2x - 6 / x) - 1/xquote:
[..]
Owww dank u.
Afgeleide van:
ln (x² - 6x) - ln (x)
Van ln (x² - 6x) alleen weet ik dat het
(2x - 6) / x moet zijn, maar met ln (x) erbij weet ik het niet..
De clou is natuurlijk dat jij uit moet vogelen wat a en b zijn, die krijg je niet op een presenteerblaadje aangereikt.quote:
Weet iemand hoe ik de laatste vraag moet maken m.b.t. buigpunt?
http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf
Graag niet de uitwerking vertellen maar hoe ik tot het antwoord moet komen.. Want als ik
(2,8) in de vergelijking invul 2 = x en 8 = y dan ontbreekt a en b bij mij... als variabelen
Eerste stap. Gegeven is dat het punt (2; 8) een buigpunt is van de grafiek van f. Dat is mooi, want dan weten we alvast dat het punt (2; 8) op de grafiek van f ligt, en dat dus
f(2) = 8
Als je dus x = 2 invult in het functievoorschrift, dan moet er 8 uitkomen. Dus hebben we
16a − 64 + b = 8
Maar nu? We zullen nog meer informatie moeten hebben over a en b, want uit deze ene betrekking kunnen we a en b niet bepalen.
Vraag: wat weet je over een buigpunt te vertellen? Aan welke voorwaarden moet er voldaan zijn wil een grafiek van een (differentieerbare) functie überhaupt een buigpunt hebben?
Inderdaad. Dat zal ik nog even corrigeren. Was ondertussen al weer bezig met een andere vraag hier. Het wordt me een beetje teveel.quote:Op zondag 18 mei 2014 18:35 schreef Anoonumos het volgende:
[..]
De functie is niet gedefinieerd voor x = 0 ?
quote:
[..]
Owww dank u.
Afgeleide van:
ln (x² - 6x) - ln (x)
Van ln (x² - 6x) alleen weet ik dat het
(2x - 6) / x moet zijn, maar met ln (x) erbij weet ik het niet..
Even bij elkaar quote.quote:
Let op dat x = 0 bij je vorige opgave komt te vervallen. Dat was ik even vergeten.quote:
Maak gebruik van de eigenschappen van logaritmen, met name de rekenregelquote:Afgeleide van:
ln (x² - 6x) - ln (x)
ln(ab) = ln a + ln b
We hebben x2 − 6x = x(x −6) en dus ook
ln(x2 − 6x) − ln x = ln(x·(x − 6)) − ln x = ln x + ln(x − 6) − ln x = ln(x − 6)
De afgeleide wordt dus
1/(x −6)
Let hier weer op dat (x − 6) positief moet zijn, en dus dat x > 6 moet zijn.
Gewoon delen door x toch? want log a - log b -- > log a/b ?quote:
[..]
Let op dat x = 0 bij je vorige opgave komt te vervallen. Dat was ik even vergeten.
[..]
Maak gebruik van de eigenschappen van logaritmen, met name de rekenregel
ln(ab) = ln a + ln b
We hebben x2 − 6x = x(x −6) en dus ook
ln(x2 − 6x) − ln x = ln(x·(x − 6)) − ln x = ln x + ln(x − 6) − ln x = ln(x − 6)
De afgeleide wordt dus
1/(x −6)
Let hier weer op dat (x − 6) positief moet zijn, en dus dat x > 6 moet zijn.
Dat kan ook. Maar ik dacht dat je een herleiding zonder breuken prettiger zou vinden.quote:
[..]
Gewoon delen door x toch? want log a - log b -- > log a/b ?
Oké ik heb het antwoord goed. Hartstikke happy. Maar natuurlijk twijfel ik enorm om de methode die ik uitvoer:
f(x) = e -x² + 2x
Afgeleide hiervan is:
(-2x + 2) e -x² + 2x
e -x² + 2x kan geen 0 zijn dus...
-2x + 2 = 0
-2x = -2
x = -2 / -2
x = 1
Als dit zo staat op mijn antwoordenblad, is dit goed of..?
f(x) = e -x² + 2x
Afgeleide hiervan is:
(-2x + 2) e -x² + 2x
e -x² + 2x kan geen 0 zijn dus...
-2x + 2 = 0
-2x = -2
x = -2 / -2
x = 1
Als dit zo staat op mijn antwoordenblad, is dit goed of..?
Ja, dat is goed, als het de bedoeling is de nulpunten van de afgeleide te bepalen.quote:
Oké ik heb het antwoord goed. Hartstikke happy. Maar natuurlijk twijfel ik enorm om de methode die ik uitvoer:
f(x) = e -x² + 2x
Afgeleide hiervan is:
(-2x + 2) e -x² + 2x
e -x² + 2x kan geen 0 zijn dus...
-2x + 2 = 0
-2x = -2
x = -2 / -2
x = 1
Als dit zo staat op mijn antwoordenblad, is dit goed of..?
Ben je al verder gekomen met die vraag over buigpunten?
Dat is de laatste vraag. Daar ben ik nog niet. Ik ga hem zo maken. Ik wist wel dat ik a en b moest berekenen, maar twijfelde. Ik laat het zo weten.quote:
[..]
Ja, dat is goed, als het de bedoeling is de nulpunten van de afgeleide te bepalen.
Ben je al verder gekomen met die vraag over buigpunten?
Een kleine vraag wat betreft maxima's en minima's. Welke is de meest veilige methode om te weten of het een maximum betreft of een minimum:
Kijkend naar het verloop van de afgeleide functie, dus stel x = 4 en dan kijken wat er gebeurt bij x =5 en x = 3 ?
Of tweede afgeleide bepalen en dan als die >0 is dan is het een (lokaal) minimum, is die 0< dan is het een (lokaal) maximum?
Kan je de vetgedrukte methode ook toepassen op de eerste afgeleide? Of moet je hiervoor echt de tweede afgeleide hebben?
Dude.quote:
[..]
Dat is de laatste vraag. Daar ben ik nog niet. Ik ga hem zo maken. Ik wist wel dat ik a en b moest berekenen, maar twijfelde. Ik laat het zo weten.
Een kleine vraag wat betreft maxima's en minima's. Welke is de meest veilige methode om te weten of het een maximum betreft of een minimum:
Kijkend naar het verloop van de afgeleide functie, dus stel x = 4 en dan kijken wat er gebeurt bij x =5 en x = 3 ?
Of tweede afgeleide bepalen en dan als die >0 is dan is het een (lokaal) minimum, is die 0< dan is het een (lokaal) maximum?
Kan je de vetgedrukte methode ook toepassen op de eerste afgeleide? Of moet je hiervoor echt de tweede afgeleide hebben?
Differentiëren in de monovariabele calculus is echt het simpelste wat er is.
?quote:Op zondag 18 mei 2014 19:18 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Dude.
Differentiëren in de monovariabele calculus is echt het simpelste wat er is.
Bepaal gewoon de tweede afgeleide. Het is namelijk niet altijd veilig om maar een eenheid naar links of rechts op te schuiven en zodoende te kijken naar het functieverloop.quote:
Ik kan heus wel functies verzinnen waarbij jouw verhaaltje gewoon misgaat.
Nou ik heb er wel één waar het misgaat:quote:
[..]
Bepaal gewoon de tweede afgeleide. Het is namelijk niet altijd veilig om maar een eenheid naar links of rechts op te schuiven en zodoende te kijken naar het functieverloop.
Ik kan heus wel functies verzinnen waarbij jouw verhaaltje gewoon misgaat.
http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf
opgave 3b.
Eerste afgeleide lukt, tweede afgeleide gaat compleet mis.. Evenals het oplossen.
Als je alle nulpunten hebt van de afgeleide dan kun je een tekenschema maken.quote:
[..]
Dat is de laatste vraag. Daar ben ik nog niet. Ik ga hem zo maken. Ik wist wel dat ik a en b moest berekenen, maar twijfelde. Ik laat het zo weten.
Een kleine vraag wat betreft maxima en minima. Welke is de meest veilige methode om te weten of het een maximum betreft of een minimum:
Kijkend naar het verloop van de afgeleide functie, dus stel x = 4 en dan kijken wat er gebeurt bij x =5 en x = 3 ?
Dat kan uiteraard ook. Houd er rekening mee dat dit een voldoende voorwaarde is voor een (lokaal) minimum resp. een (lokaal) maximum, maar geen noodzakelijke voorwaarde. De functie f(x) = x4 bijvoorbeeld heeft een (globaal, en dus ook lokaal) minimum bij x = 0, maar hier is f''(0) = 0 zodat je het criterium hier niet kunt gebruiken. Als de eerste afgeleide in een punt nul is, maar de tweede ook, dan kun je nog geen uitspraak doen. Een lokaal minimum, een lokaal maximum, of een buigpunt met een horizontale buigraaklijn zijn dan nog alle drie mogelijk.quote:Of tweede afgeleide bepalen en dan als die >0 is dan is het een (lokaal) minimum, is die 0< dan is het een (lokaal) maximum?
Je moet beide afgeleiden hebben. En dan heb jequote:Kan je de vetgedrukte methode ook toepassen op de eerste afgeleide? Of moet je hiervoor echt de tweede afgeleide hebben?
f'(x0) = 0 ∧ f''(x0) > 0 ⇒ f heeft een lokaal minimum bij x = x0
f'(x0) = 0 ∧ f''(x0) < 0 ⇒ f heeft een lokaal maximum bij x = x0
Laat eens zien wat je gedaan hebt om de tweede afgeleide te bepalen.quote:
[..]
Nou ik heb er wel één waar het misgaat:
http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf
opgave 3b.
Eerste afgeleide lukt, tweede afgeleide gaat compleet mis.. Evenals het oplossen.
De eerste is:quote:
[..]
Laat eens zien wat je gedaan hebt om de tweede afgeleide te bepalen.
(-2x + 2)e-x² + 2x
Vervolgens pas ik de productregel toe:
-2(-2x + 2) e-x² + 2x -2x + 2(-2x+2)e-x² + 2x
Werk het nu eens verder uit.quote:
[..]
De eerste is:
(-2x + 2)e-x² + 2x
Vervolgens pas ik de productregel toe:
-2 e-x² + 2x + (-2x + 2)(-2x + 2)e-x² + 2x
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 18-05-2014 19:47:20 ]
-2(-2x + 2) e-x² + 2x -2x + 2(-2x+2)e-x² + 2xquote:
-2(-2x + 2) e-x² + 2x + (-2x + 2) (-2x+2)e-x² + 2x
-2(-2x + 2) e-x² + 2x + (4x² - 8x +4)e-x² + 2x
Kijk nu eens goed wat je hebt. De eerste factor van je product is (−2x + 2) en de tweede is e−x²+2x.quote:
Productregel:
(uv)' = u'v + uv'
Dan kom ik nu uit op:quote:
[..]
Kijk nu eens goed wat je hebt. De eerste factor van je product is (−2x + 2) en de tweede is e−x²+2x.
Productregel:
(uv)' = u'v + uv'
-2xe-x² + 2x + (4x² - 8x +4)e-x² + 2x
De afgeleide van (−2x + 2) is −2. Nu verder uitwerken.quote:
[..]
Dan kom ik nu uit op:
-2e-x² + 2x + (4x² - 8x + 4)e-x² + 2x
Ik zit vast..quote:
[..]
De afgeleide van (−2x + 2) is −2. Nu verder uitwerken.
Nee hoor. Je bent er bijna. Er zat alleen een factor x teveel in je eerste term. Ik vermoed dat je daar een x hebt gebruikt om vermenigvuldiging aan te geven, maar dat moet je beslist niet doen.quote:
-2e-x² + 2x + 2(2x² - 4x +2)e-x² + 2xquote:
[..]
Nee hoor. Je bent er bijna. Er zat alleen een factor x teveel in je eerste term. Ik vermoed dat je daar een x hebt gebruikt om vermenigvuldiging aan te geven, maar dat moet je beslist niet doen.
Nu zit ik echt vast.
Ik zeg het niet voor niets héquote:
[..]
Ja klopt, maar die -2 staat in de weg..
Kijk eens of je dat kan toepassen.
Je had nog even niet die factor 2 buiten haakjes moeten halen in de tweede term, maar eerst de termen samennemen.quote:
[..]
-2e-x² + 2x + 2(2x² - 4x +2)e-x² + 2x
Nu zit ik echt vast.
We hadden
-2e-x² + 2x + (4x² - 8x + 4)e-x² + 2x
Nu zie je dat beide termen een facor e-x² + 2x gemeen hebben en die kunnen we dus buiten haakjes halen. Dan krijgen we
(-2 + 4x² - 8x + 4)e-x² + 2x
en dus
(4x² - 8x + 2)e-x² + 2x
En nu pas die factor 2 van de kwadratische veelterm buiten haakjes halen en je hebt
2(2x² - 4x + 1)e-x² + 2x
Zie je?
Nu de nulpunten bepalen van deze tweede afgeleide en dan een tekenschema maken van deze tweede afgeleide.
Tering.. Goed zeg.. Ik sloeg die tussenstap inderdaad over qua gedachte...quote:
[..]
Je had nog even niet die factor 2 buiten haakjes moeten halen in de tweede term, maar eerst de termen samennemen.
We hadden
-2e-x² + 2x + (4x² - 8x + 4)e-x² + 2x
Nu zie je dat beide termen een facor e-x² + 2x gemeen hebben en die kunnen we dus buiten haakjes halen. Dan krijgen we
(-2 + 4x² - 8x + 4)e-x² + 2x
en dus
(4x² - 8x + 2)e-x² + 2x
En nu pas die factor 2 van de kwadratische veelterm buiten haakjes halen en je hebt
2(2x² - 4x + 1)e-x² + 2x
Zie je?
Nu de nulpunten bepalen van deze tweede afgeleide en dan een tekenschema maken van deze tweede afgeleide.
Ik weet niet zo goed hoe ik de nulpunten uit zo'n ingewikkelde functie moet bepalen.. Ben niet zo goed met het getal e.
Ik zou zeggen om de nulpunten binnen de haakjes te vinden.
Als de toets morgen in de buurt zit van het niveau van de oefentoets heb ik er nog wel vertrouwen in.
Zeker.. Minimaal een 6 moet lukken. Eerste keer was bij jou een 6,2 toch? Hoeveel heb je bij de tweede keer gescoord?quote:Op zondag 18 mei 2014 20:14 schreef nodig het volgende:
Als de toets morgen in de buurt zit van het niveau van de oefentoets heb ik er nog wel vertrouwen in.
Heb maar een paar opgaven gemaakt. Die had ik dit keer wel goed. Maarja, wat wil je als je een toets voor een 2e keer gaat makenquote:
[..]
Zeker.. Minimaal een 6 moet lukken. Eerste keer was bij jou een 6,2 toch? Hoeveel heb je bij de tweede keer gescoord?
