SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Als jij mij met de LAATST volgende functies kunt helpen om tot de afgeleide te komen zou ik het overweldigend vinden en tja dan ben je denk ik van mij af.quote:Op zondag 18 mei 2014 16:48 schreef Riparius het volgende:
[..]
Dat er niets is afgeleid lijkt maar zo. Je hebt hier een samengestelde functie, want we nemen van x eerst de natuurlijke logaritme, dat is ln(x), en dan kwadrateren we dit nog eens om (ln(x))2 te krijgen. Het is dus een samenstelling waarbij de eerste functie de natuurlijke logaritme is en de tweede functie de kwadrateerfunctie.
Het wordt waarschijnlijk duidelijker al we even een 'tussenvariabele' u gebruiken.
Je hebt eerst:
(1) u = ln(x)
en dan
(2) y = u2
en samen geeft dit y = u2 = (ln(x))2, dus
(3) y = (ln(x))2
Nu moeten we bij (3) dy/dx bepalen, en dat kunnen we doen door eerst naar de twee afzonderlijke functies te kijken, dus naar (1) en (2). Nu levert (1) op
du/dx = 1/x
en (2) levert op
dy/du = 2u
Je ziet dat er ook bij (2) wel degelijk wordt gedifferentieerd, want de afgeleide van u2 naar u is 2u. Nu hebben we volgens de kettingregel
dy/dx = dy/du · du/dx
en dus vinden we
dy/dx = 2u·(1/x)
Maar nu weten we uit (1) dat u = ln(x), dus vervangen we die u weer door ln(x) en zo hebben we uiteindelijk
dy/dx = 2·ln(x)·(1/x)
dus
dy/dx = 2·ln(x)/x
Bij het 'gewone' gebruik van de kettingregel doe je precies hetzelfde, maar dan is die 'tussenvariabele' impliciet. Je voert dan als het ware alleen een mentale substitutie uit.
| x - 1 |
| x² - 1 |
en
e - | x |
Afgeleide van 1 / (1+x²) is zover ik weet:
1 (2x) - (1+x²) / (1+x²)²
-x² + 2x - 1 / (1+x²)²
Afgeleide = 0 als de teller van een breuk 0 is dus..
-x² + 2x - 1 = 0
delen door -
x² + 2x + 1
( x - 1)² = 0
Dus x = 1
Echter geeft het antwoordenmodel aan dat x = 0 is...
1 (2x) - (1+x²) / (1+x²)²
-x² + 2x - 1 / (1+x²)²
Afgeleide = 0 als de teller van een breuk 0 is dus..
-x² + 2x - 1 = 0
delen door -
x² + 2x + 1
( x - 1)² = 0
Dus x = 1
Echter geeft het antwoordenmodel aan dat x = 0 is...
Uit de afgeleide van x² ln x kom ik ook niet uit gvd.
Ik kom uit op 2x ln x + x
Maar ik weet niet hoe ik het moet oplossen.... als afgeleide =0
Ik heb het volgende gedaan:
ln 2x² + x = 0
ln (x²)² = -1x
Beide kanten delen door x
ln (x)² = -1
x = 1 / e
Ik kom uit op 2x ln x + x
Maar ik weet niet hoe ik het moet oplossen.... als afgeleide =0
Ik heb het volgende gedaan:
ln 2x² + x = 0
ln (x²)² = -1x
Beide kanten delen door x
ln (x)² = -1
x = 1 / e
De afgeleide van de teller is 0 dus dat doe je fout bij het gebruiken van de quotientregel.quote:
Afgeleide van 1 / (1+x²) is zover ik weet:
1 (2x) - (1+x²) / (1+x²)²
-x² + 2x - 1 / (1+x²)²
Afgeleide = 0 als de teller van een breuk 0 is dus..
-x² + 2x - 1 = 0
delen door -
x² + 2x + 1
( x - 1)² = 0
Dus x = 1
Echter geeft het antwoordenmodel aan dat x = 0 is...
Het is gemakkelijker om te schrijven (1 + x2)-1 en dan de kettingregel te gebruiken.
Steeds in twee gevallen splitsen.quote:
[..]
Als jij mij met de LAATST volgende functies kunt helpen om tot de afgeleide te komen zou ik het overweldigend vinden en tja dan ben je denk ik van mij af.
| x - 1 |
| x² - 1 |
en
e - | x |
f(x) = |x-1|
f(x) = x -1 voor x ≥ 1
f(x) = 1 - x voor x < 1
f ' (x) = 1 voor x > 1
f ' (x) = -1 voor x < 1
De afgeleide in x = 0 bestaat niet.
En die andere functies gaan op dezelfde manier.
Er zijn verschillende manieren om hier de afgeleide te bepalen.quote:
Afgeleide van 1 / (1+x²) is zover ik weet:
1 (2x) - (1+x²) / (1+x²)²
-x² + 2x - 1 / (1+x²)²
Afgeleide = 0 als de teller van een breuk 0 is dus..
-x² + 2x - 1 = 0
delen door -
x² + 2x + 1
( x - 1)² = 0
Dus x = 1
Echter geeft het antwoordenmodel aan dat x = 0 is...
Quotiëntregel: (f/g)' = (f'g − fg')/g2
Hier heb je dan f(x) = 1 en g(x) = 1 + x2 en dus is f'(x) = 0 en g'(x) = 2x. De eerste term in de teller valt dus weg en we houden over
−2x/(1 + x2)2
Kettingregel: (g∘f)'= (g'∘f)·f'
We herschrijven 1/(1 + x2) als (1 + x2)−1 en dan hebben we als afgeleide
(−1)·(1 + x2)−2·2x
en dat is uiteraard hetzelfde als
−2x/(1 + x2)2
Een breuk kan alleen nul zijn als de teller nul is terwijl de noemer niet nul is, en dat is hier het geval voor x = 0.
quote:
[..]
Steeds in twee gevallen splitsen.
f(x) = |x-1|
f(x) = x -1 voor x ≥ 1
f(x) = 1 - x voor x < 1
f ' (x) = 1 voor x > 1
f ' (x) = -1 voor x < 1
De afgeleide in x = 0 bestaat niet.
En die andere functies gaan op dezelfde manier.
Als jullie het doen is het zo duidelijk...quote:
[..]
Er zijn verschillende manieren om hier de afgeleide te bepalen.
Quotiëntregel: (f/g)' = (f'g − fg')/g2
Hier heb je dan f(x) = 1 en g(x) = 1 + x2 en dus is f'(x) = 0 en g'(x) = 2x. De eerste term in de teller valt dus weg en we houden over
−2x/(1 + x2)2
Kettingregel: (g∘f)'= (g'∘f)·f'
We herschrijven 1/(1 + x2) als (1 + x2)−1 en dan hebben we als afgeleide
(−1)·(1 + x2)−2·2x
en dat is uiteraard hetzelfde als
−2x/(1 + x2)2
Een breuk kan alleen nul zijn als de teller nul is terwijl de noemer niet nul is, en dat is hier het geval voor x = 0.
Quotient regel is tochquote:
[..]
Er zijn verschillende manieren om hier de afgeleide te bepalen.
Quotiëntregel: (f/g)' = (f'g − fg')/g2
Hier heb je dan f(x) = 1 en g(x) = 1 + x2 en dus is f'(x) = 0 en g'(x) = 2x. De eerste term in de teller valt dus weg en we houden over
−2x/(1 + x2)2
Kettingregel: (g∘f)'= (g'∘f)·f'
We herschrijven 1/(1 + x2) als (1 + x2)−1 en dan hebben we als afgeleide
(−1)·(1 + x2)−2·2x
en dat is uiteraard hetzelfde als
−2x/(1 + x2)2
Een breuk kan alleen nul zijn als de teller nul is terwijl de noemer niet nul is, en dat is hier het geval voor x = 0.
f(x)' g(x) - f(x) g'(x)
Dus ik dacht:
1 * 1-x² - 2x
Dus dan kom ik toch steeds uit op
-x² -2x + 1
Ofwel
x² + 2x - 1
Nee. Je hebt f(x) = 1 maar dan is f'(x) = 0. De afgeleide van een constante functie is nul. Daarom valt de eerste term in de teller (f'(x)·g(x) − f(x)·g'(x)) weg. Je hebt immers in de tellerquote:
[..]
Quotient regel is toch
f(x)' g(x) - f(x) g'(x)
Dus ik dacht:
1 * 1-x² - 2x
Dus dan kom ik toch steeds uit op
-x² -2x + 1
Ofwel
x² + 2x - 1
0·(1 + x2) − 1·2x = 0 − 2x = −2x
En de noemer is (g(x))2 = (1 + x2)2
De afgeleide wordt daarmee dus
−2x/(1 + x2)2
Uit de afgeleide van x² ln x kom ik ook niet uit gvd.quote:
[..]
Nee. Je hebt f(x) = 1 maar dan is f'(x) = 0. De afgeleide van een constante functie is nul. Daarom valt de eerste term in de teller (f'(x)·g(x) − f(x)·g'(x)) weg. Je hebt immers in de teller
0·(1 + x2) − 1·2x = 0 − 2x = −2x
En de noemer is (g(x))2 = (1 + x2)2
De afgeleide wordt daarmee dus
−2x/(1 + x2)2
Ik kom uit op 2x ln x + x
Maar ik weet niet hoe ik het moet oplossen.... als afgeleide =0
Ik heb het volgende gedaan:
ln 2x² + x = 0
ln (x²)² = -1x
Beide kanten delen door x
ln (x)² = -1
x = 1 / e^(1/2)
Weet iemand hoe ik de laatste vraag moet maken m.b.t. buigpunt?
http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf
Graag niet de uitwerking vertellen maar hoe ik tot het antwoord moet komen.. Want als ik
(2,8) in de vergelijking invul 2 = x en 8 = y dan ontbreekt a en b bij mij... als variabelen
http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf
Graag niet de uitwerking vertellen maar hoe ik tot het antwoord moet komen.. Want als ik
(2,8) in de vergelijking invul 2 = x en 8 = y dan ontbreekt a en b bij mij... als variabelen
Dat is correct. Via de productregel heb je 2x·ln x + x2·x−1 = 2x·lnx + x.quote:
[..]
Uit de afgeleide van x² ln x kom ik ook niet uit gvd.
Ik kom uit op 2x ln x + x
Dat is al fout. 2·x· ln x is niet hetzelfde als ln(2x2). Hoe kom je erbij dat je iets als p·ln(a) mag vervangen door ln(pa) ? Je kent toch de rekenregel p·ln(a) = ln(ap) ? En je weet toch dat ap niet hetzelfde is als ap ? Dus kan het niet kloppen.quote:Maar ik weet niet hoe ik het moet oplossen.... als afgeleide =0
Ik heb het volgende gedaan:
ln 2x² + x = 0
We hebben
2x·lnx + x = 0
Hier hebben beide termen in het linkerlid een factor x, die we dus buiten haakjes kunnen halen. Dat geeft
x·(2·ln x + 1) = 0
Nu is een product alleen nul als (tenminste) één van de factoren zelf nul is, dus vinden we
x = 0 ∨ 2·ln x + 1 = 0
x = 0 ∨ 2·ln x = −1
x = 0 ∨ ln x = −1/2
x = 0 ∨ x = e−1/2
Maar ... Nu is ln x niet gedefinieerd voor x = 0, en daarmee de (afgeleide) functie ook niet. Dus komt x = 0 te vervallen en houden we alleen over
x = e−1/2
[ Bericht 5% gewijzigd door Riparius op 18-05-2014 18:41:24 ]
Owww dank u.quote:
[..]
Dat is correct. Via de productregel heb je 2x·ln x + x2·x−1 = 2x·lnx + x.
[..]
Dat is al fout. 2·x· ln x is niet hetzelfde als ln(2x2). Hoe kom je erbij dat je iets als p·ln(a) mag vervangen door ln(pa) ? Je kent toch de rekenregel p·ln(a) = ln(ap) ? En je weet toch dat ap niet hetzelfde is als ap ? Dus kan het niet kloppen.
We hebben
2x·lnx + x = 0
Hier hebben beide termen in het linkerlid een factor x, die we dus buiten haakjes kunnen halen. Dat geeft
x·(2·ln x + 1) = 0
Nu is een product alleen nul als (tenminste) één van de factoren zelf nul is, dus vinden we
x = 0 ∨ 2·ln x + 1 = 0
x = 0 ∨ 2·ln x = −1
x = 0 ∨ ln x = −1/2
x = 0 ∨ x = e−1/2
Afgeleide van:
ln (x² - 6x) - ln (x)
Van ln (x² - 6x) alleen weet ik dat het
(2x - 6) / x moet zijn, maar met ln (x) erbij weet ik het niet..
Het is de bedoeling om met je wiskundekennis eerst de waardes voor a en b te berekenen.quote:
Weet iemand hoe ik de laatste vraag moet maken m.b.t. buigpunt?
http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf
Graag niet de uitwerking vertellen maar hoe ik tot het antwoord moet komen.. Want als ik
(2,8) in de vergelijking invul 2 = x en 8 = y dan ontbreekt a en b bij mij... als variabelen
Het buigpunt van een kromme is het punt op de kromme waar de kromming van teken verandert. Deze vind je door de tweede afgeleide (afgeleide van de afgeleide) gelijk te stellen aan 0.quote:
Weet iemand hoe ik de laatste vraag moet maken m.b.t. buigpunt?
http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf
Graag niet de uitwerking vertellen maar hoe ik tot het antwoord moet komen.. Want als ik
(2,8) in de vergelijking invul 2 = x en 8 = y dan ontbreekt a en b bij mij... als variabelen
Je wilt echter eerst a en b vinden. Om twee onbekenden te vinden zul je twee vergelijkingen nodig hebben. Vul het gegeven buigpunt in in f(x) en f''(x) en je kunt a en b bepalen.
De functie is niet gedefinieerd voor x = 0 ?quote:
[..]
Dat is al fout. 2·x· ln x is niet hetzelfde als ln(2x2). Hoe kom je erbij dat je iets als p·ln(a) mag vervangen door ln(pa) ? Je kent toch de rekenregel p·ln(a) = ln(ap) ? En je weet toch dat ap niet hetzelfde is als ap ? Dus kan het niet kloppen.
We hebben
2x·lnx + x = 0
Hier hebben beide termen in het linkerlid een factor x, die we dus buiten haakjes kunnen halen. Dat geeft
x·(2·ln x + 1) = 0
Nu is een product alleen nul als (tenminste) één van de factoren zelf nul is, dus vinden we
x = 0 ∨ 2·ln x + 1 = 0
x = 0 ∨ 2·ln x = −1
x = 0 ∨ ln x = −1/2
x = 0 ∨ x = e−1/2
Ik kom uit op (2x - 6 / x) - 1/xquote:
[..]
Owww dank u.
Afgeleide van:
ln (x² - 6x) - ln (x)
Van ln (x² - 6x) alleen weet ik dat het
(2x - 6) / x moet zijn, maar met ln (x) erbij weet ik het niet..
De clou is natuurlijk dat jij uit moet vogelen wat a en b zijn, die krijg je niet op een presenteerblaadje aangereikt.quote:
Weet iemand hoe ik de laatste vraag moet maken m.b.t. buigpunt?
http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf
Graag niet de uitwerking vertellen maar hoe ik tot het antwoord moet komen.. Want als ik
(2,8) in de vergelijking invul 2 = x en 8 = y dan ontbreekt a en b bij mij... als variabelen
Eerste stap. Gegeven is dat het punt (2; 8) een buigpunt is van de grafiek van f. Dat is mooi, want dan weten we alvast dat het punt (2; 8) op de grafiek van f ligt, en dat dus
f(2) = 8
Als je dus x = 2 invult in het functievoorschrift, dan moet er 8 uitkomen. Dus hebben we
16a − 64 + b = 8
Maar nu? We zullen nog meer informatie moeten hebben over a en b, want uit deze ene betrekking kunnen we a en b niet bepalen.
Vraag: wat weet je over een buigpunt te vertellen? Aan welke voorwaarden moet er voldaan zijn wil een grafiek van een (differentieerbare) functie überhaupt een buigpunt hebben?
Inderdaad. Dat zal ik nog even corrigeren. Was ondertussen al weer bezig met een andere vraag hier. Het wordt me een beetje teveel.quote:Op zondag 18 mei 2014 18:35 schreef Anoonumos het volgende:
[..]
De functie is niet gedefinieerd voor x = 0 ?
quote:
[..]
Owww dank u.
Afgeleide van:
ln (x² - 6x) - ln (x)
Van ln (x² - 6x) alleen weet ik dat het
(2x - 6) / x moet zijn, maar met ln (x) erbij weet ik het niet..
Even bij elkaar quote.quote:
Let op dat x = 0 bij je vorige opgave komt te vervallen. Dat was ik even vergeten.quote:
Maak gebruik van de eigenschappen van logaritmen, met name de rekenregelquote:Afgeleide van:
ln (x² - 6x) - ln (x)
ln(ab) = ln a + ln b
We hebben x2 − 6x = x(x −6) en dus ook
ln(x2 − 6x) − ln x = ln(x·(x − 6)) − ln x = ln x + ln(x − 6) − ln x = ln(x − 6)
De afgeleide wordt dus
1/(x −6)
Let hier weer op dat (x − 6) positief moet zijn, en dus dat x > 6 moet zijn.
Gewoon delen door x toch? want log a - log b -- > log a/b ?quote:
[..]
Let op dat x = 0 bij je vorige opgave komt te vervallen. Dat was ik even vergeten.
[..]
Maak gebruik van de eigenschappen van logaritmen, met name de rekenregel
ln(ab) = ln a + ln b
We hebben x2 − 6x = x(x −6) en dus ook
ln(x2 − 6x) − ln x = ln(x·(x − 6)) − ln x = ln x + ln(x − 6) − ln x = ln(x − 6)
De afgeleide wordt dus
1/(x −6)
Let hier weer op dat (x − 6) positief moet zijn, en dus dat x > 6 moet zijn.
Dat kan ook. Maar ik dacht dat je een herleiding zonder breuken prettiger zou vinden.quote:
[..]
Gewoon delen door x toch? want log a - log b -- > log a/b ?
Oké ik heb het antwoord goed. Hartstikke happy. Maar natuurlijk twijfel ik enorm om de methode die ik uitvoer:
f(x) = e -x² + 2x
Afgeleide hiervan is:
(-2x + 2) e -x² + 2x
e -x² + 2x kan geen 0 zijn dus...
-2x + 2 = 0
-2x = -2
x = -2 / -2
x = 1
Als dit zo staat op mijn antwoordenblad, is dit goed of..?
f(x) = e -x² + 2x
Afgeleide hiervan is:
(-2x + 2) e -x² + 2x
e -x² + 2x kan geen 0 zijn dus...
-2x + 2 = 0
-2x = -2
x = -2 / -2
x = 1
Als dit zo staat op mijn antwoordenblad, is dit goed of..?
Ja, dat is goed, als het de bedoeling is de nulpunten van de afgeleide te bepalen.quote:
Oké ik heb het antwoord goed. Hartstikke happy. Maar natuurlijk twijfel ik enorm om de methode die ik uitvoer:
f(x) = e -x² + 2x
Afgeleide hiervan is:
(-2x + 2) e -x² + 2x
e -x² + 2x kan geen 0 zijn dus...
-2x + 2 = 0
-2x = -2
x = -2 / -2
x = 1
Als dit zo staat op mijn antwoordenblad, is dit goed of..?
Ben je al verder gekomen met die vraag over buigpunten?
