[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op vrijdag 5 februari 2010 22:32 schreef Q.E.D. het volgende:
[ afbeelding ]

TVP

quote:

Op vrijdag 5 februari 2010 23:11 schreef gaussie het volgende:
Ik heb het geprobeerd te tekenen, schijnbaar doe ik iets fout. Kun je gewoon het antwoord geven en de intuitie daarachter? Zoniet dan wacht ik wel tot iemand anders het juiste antwoord kan geven....

quote:

Op vrijdag 5 februari 2010 23:39 schreef gaussie het volgende:
Prima dat jullie me dwingen om zelf over de oplossing na te denken, maar andere mensen hier krijgen gewoon een kant en klaar antwoord. Snap niet waarom dit niet in mijn geval gebeurt....

quote:

Op zaterdag 6 februari 2010 00:02 schreef gaussie het volgende:
Nee, dat heb je verkeerd geinterpreteerd. Mn meetkundig inzicht liet me in de steek. Soms zie je het gewoon niet. En niet iedereen zit op hetzelfde wiskunde niveau... Ik ga ervan uit dat je gebruik gemaakt heb van hoek c= 0.5*boog ab. Maar dan moet gelden dat boog ab 60 graden is. Wat ik nog steeds niet zie is, waarom de gebruikte assumptie tot een gelijkzijdige driehoek leidt? Maak je gebruik van een definitie, stelling etc... En zo ja welke.

quote:

Op zaterdag 6 februari 2010 00:14 schreef gaussie het volgende:
Ok, maar geldt de converse dan ook of niet? Met converse bedoel ik; als driehoek abc 1 hoek van 30 graden heeft, dat dan een zijde even lang is als de straal van de omgeschreven cirkel? Zo ja uit welk argument volgt dat dan?

quote:

Op zondag 7 februari 2010 15:46 schreef Hanneke12345 het volgende:
Ik moet bewijzen dat |b|≤a dan en slechts dan als -a ≤ b ≤ a,

Ik heb nu:
Stel |b| ≤ a
0 ≤ b ≤ a, dus 0 ≤ a

quote:

Op zondag 7 februari 2010 15:55 schreef Riparius het volgende:

[..]

Deze stap volg ik al niet, want b kan ook negatief zijn. Ik zou beginnen om twee gevallen te onderscheiden. Je hebt zoals je zelf al opmerkt |b| = b of |b| = -b, aangenomen dat b reëel is uiteraard.

quote:

Op zondag 7 februari 2010 16:19 schreef GlowMouse het volgende:
Het klopt allemaal wel, maar
[..]

volgt niet direct uit de axioma's.

quote:

Op dinsdag 9 februari 2010 21:02 schreef Joewy het volgende:
n(x) = 1 - 2 cos x

' De grafiek ontstaat door de vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor -2 gevolgd door de verschuiving 2 omhoog '
Waarom is het 2 omhoog en niet 1 ?

quote:

Op dinsdag 9 februari 2010 21:30 schreef Joewy het volgende:
De standaard f(x) = cos x, sorry.

quote:

Op vrijdag 12 februari 2010 16:01 schreef beertenderrr het volgende:
Die hoorde daar niet, fout opgeschreven Die kwadraat wordt die stap erboven al weggewerkt.

quote:

Op vrijdag 12 februari 2010 20:09 schreef beertenderrr het volgende:
holy shit, wat dom het klopt idd ja. Bedankt voor de hulp en ja, de vraagstelling is idd wat krom.

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 15:24 schreef GlowMouse het volgende:
Relateer hem niet aan epsilon, maar schat hem af. Zorg dat 1/|x| niet te groot wordt door delta altijd kleiner dan 0.25 te kiezen.

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 15:22 schreef BasementDweller het volgende:
Bewijs met de epsilon-delta definitie van een limiet dat:
[ afbeelding ]

Bewijs:
Zij [ afbeelding ]willekeurig. Neem [ afbeelding ] en laat[ afbeelding ] voldoen aan[ afbeelding ]. Dan geldt:[ afbeelding ].

Moet ik die |x| uit de noemer zien te krijgen? Hoe kan ik dat doen?

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 15:32 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

wat denk je zelf?

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 15:32 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit gaat al niet goed. De uitspraak lim _x→½ 1/x = 2 betekent dat er voor elke ε > 0 een δ > 0 bestaat zodanig dat | 1/x - 2 | < ε voor elke x waarvoor geldt 0 < | x - ½ | < δ. Je moet dus een existentiebewijs geven en laten zien dat er voor elke ε > 0 zo'n δ > 0 bestaat. Dit doe je door uit te gaan van | 1/x - 2 | < ε en daaruit te herleiden waaraan x moet voldoen. Dan kun je δ in ε uitdrukken, waarmee het gestelde is aangetoond.

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 15:36 schreef BasementDweller het volgende:

[..]

Dat is toch precies wat ik nu gedaan heb?

Waarneer refereerde je precies met "dit gaat niet altijd goed"?

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 15:38 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Het staat er nu alleen meer als een kladje zoals Riparius opmerkt. Je begint met zij eps>0, neem delta = min{1/4, eps/8}, zij x in Df, |x-2|<delta, dan .... < eps, klaar. Delta>0 komt bv. ook nooit voor als aparte regel in je bewijs.

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 15:42 schreef BasementDweller het volgende:

[..]

Je bedoelt zeker: delta < min(1/4,epsilon/8.
Delta>0 vind ik wel ergens terug in een bewijsje in mijn diktaat, maar is inderdaad overbodig omdat delta groter is dan de absolute waarde van iets.

Is inderdaad wel netjes om het op die manier op te schrijven, maar ik wilde hier meer laten zien wat ik aan het doen was. Bedankt!

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 16:16 schreef BasementDweller het volgende:
Even om te checken of ik het nu goed doe, een ander voorbeeld van een delta-epsilon limiet.

Te bewijzen: [ afbeelding ]
Bewijs:
Zij [ afbeelding ]. Neem [ afbeelding ]. Laat [ afbeelding ] voldoen aan [ afbeelding ]. Dan geldt: [ afbeelding ].[ afbeelding ]

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 16:26 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee. Je omwerking van 1/(1+x²) - 1/2 klopt al niet.

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 16:25 schreef BasementDweller het volgende:

[..]

Delta kan anders natuurlijk ook nul zijn, dus het moet wel genoemd worden.

http://mathworld.wolfram.com/Epsilon-DeltaProof.html

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 16:26 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee. Je omwerking van 1/(1+x²) - 1/2 klopt al niet.

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 16:31 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, bij het bewijs van een limiet voor x → a aan de hand van de ε,δ definitie gaat het om waarden van x zodanig dat 0 < | x - a | < δ, en dan kan δ niet nul zijn.

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 16:37 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Minnetjes en plusjes gaan fout. Dat zie je ook als je gewoon x=1 invult.

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 16:36 schreef BasementDweller het volgende:

[..]

Dat is wat ik bedoel, je noemt dus dat delta groter is dan nul door te zeggen dat 0 < | x - a | < δ .

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 16:43 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, het ligt anders (en subtieler). Er is een verschil tussen de ε,δ definities bij een limiet voor x → a en bij continuiteit in x = a.

quote:

for all epsilon>0 there is delta>0 such that, whenever 0<|x-x_0|<delta, then |f(x)-y_0|<epsilon

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 16:49 schreef GlowMouse het volgende:
In de noemer krijg je 1-x², wat overigens hetzelfde is door de absoluutstrepen. Je eerste ongelijkheidsteken vind ik een onlogische stap.

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 16:46 schreef BasementDweller het volgende:

[..]

Continuiteit heb ik nog niet zo 'rigoreus' gekregen, maar hier lees ik hetzelfde:
[..]

http://mathworld.wolfram.com/Epsilon-DeltaDefinition.html

Je begint dus met 0<|x-x_0|<delta en laat zien dat daaruit volgt dat |f(x)-y_0|<epsilon. Je neem dus aan dat 0<delta.

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 16:59 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Nee, 14/9de komt uit de lucht vallen.

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 17:02 schreef BasementDweller het volgende:

[..]

Omdat delta < 1/4 en |x-1|<delta, volgt |x-1|<1/4 dus [ afbeelding ]. Als ik 3/4 invul is de breuk het grootst (is eigenlijk niet triviaal, hoe kan ik dit meenemen in het bewijs?) dus dat heb ik gedaan.
Verder heb ik een rekenfout gemaakt en moet het 14/25 zijn ipv 14/9.

quote:

Op zondag 14 februari 2010 16:07 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit gaat helemaal niet goed, dus laat ik het maar even voor je uitwerken.

De opgave: bewijs aan de hand van de ε,δ definitie dat lim _x→1 1/(1+x²) = 1/2.

We bekijken eerst eens de uitdrukking 1/(1 + x²). Er geldt x² ≥ 0, dus 1 + x² ≥ 1, dus 1/(1 + x²) ≤ 1, en aangezien ook geldt 1/(1 + x²) > 0 hebben we dus:

(1) 0 < 1/(1 + x²) ≤ 1,

en dus ook:

(2) -½ < 1/(1 + x²) - ½ ≤ ½,

en dus:

(3) | 1/(1 + x²) - ½ | ≤ ½

Dit betekent dat voor ε > ½ elke waarde van δ > 0 voldoet, aangezien (3) geldt voor elke x en daarmee ook voor elke x die voldoet aan 0 < | x - 1 | < δ, ongeacht de keuze van δ. We hoeven nu dus alleen nog waarden van ε ≤ ½ te onderzoeken.

Sluiten we x = 0 uit, dan is | 1/(1 + x²) | < 1 en dus ook | 1/(1 + x²) - ½ | < ½, zodat we kunnen concluderen dat voor ε = ½ de waarde δ = 1 voldoet, we hebben immers:

(4) | 1/(1 + x²) - ½ | < ½ voor elke x zodanig dat 0 < | x - 1 | < 1

In zijn algemeenheid kun je voor lim _x→a f(x) = L opmerken dat een gegeven δ₀ die voldoet voor een gegeven ε₀ ook zal voldoen voor elke andere ε > ε₀, daar immers uit | f(x) - L | < ε₀ en ε₀ < ε ook volgt dat | f(x) - L | < ε indien 0 < | x - a | < δ₀. Het is dus irrelevant om willekeurig grote waarden van ε te onderzoeken zodra we een bovengrens voor ε hebben gevonden, het is dan nog uitsluitend van belang aan te tonen dat voor elke willekeurig kleine ε > 0 een δ > 0 bestaat waarmee aan de voorwaarden uit de definitie wordt voldaan. Voor deze opgave hebben we al gevonden dat we alleen nog waarden van ε < ½ hoeven te onderzoeken.

We willen nu aantonen dat voor elke positieve ε < ½ een δ > 0 bestaat zodanig dat

(5) | 1/(1 + x²) - ½ | < ε

indien

(6) 0 < | x - 1 | < δ

Voor (5) kunnen we schrijven:

(7) | (1 - x)(1 + x)/(2∙(1 + x²)) | < ε

En aangezien we voor ε < ½ mogen veronderstellen dat δ < 1 en dus blijkens (6) | x + 1| niet 0 kan zijn kunnen we (7) herschrijven als:

(8) | x - 1 | < 2ε ∙| (1 + x²)/(1 + x) |

Nu moeten we de factor | (1 + x²)/(1 + x) | onderzoeken, en aangezien we δ < 1 mogen veronderstellen, en dus | x - 1 | < 1, kunnen we ons beperken tot het interval (0,2).

Het is direct te zien dat (1 + x²)/(1 + x) gelijk is aan 1 voor x = 0 en x = 1. Ook is duidelijk dat deze uitdrukking positief is op het interval (0,2) en dat de waarde in ieder geval stijgend is voor x > 1 aangezien x² sneller in grootte toeneemt dan x voor x > 1. Maar nu zijn we geïnteresseerd in een minimum van deze uitdrukking op het interval (0,2). Als we namelijk een ondergrens m > 0 kunnen bepalen zodanig dat:

(9) m < | (1 + x²)/(1 + x) |

Dan is ook:

(10) 2ε∙m < 2ε∙| (1 + x²)/(1 + x) |

In dit geval volgt uit (8) en (10) dat voor elke positieve ε < ½ de keuze δ = 2ε∙m impliceert dat voor elke x zodanig dat 0 < | x - 1 | < δ wordt voldaan aan (8) en daarmee dus ook aan (7) en dus ook aan (5), zoals gewenst.

Nu is eenvoudig te bepalen dat (1 + x²)/(1 + x) op het interval (0,2) een minimum aanneemt bij x = -1+√2 en dat dit minimum 2√2 - 2 bedraagt. Ook is 2√2 - 2 > ½, dus kunnen we bijvoorbeeld m = ½ nemen, er geldt immers op het interval (0,2):

(11) ½ < | (1 + x²)/(1 + x) |

Kiezen we dus bij een willekeurig kleine ε < ½ voor δ = 2ε∙½ = ε, dan wordt voor elke x die voldoet aan (6) voldaan aan (8) en daarmee ook aan (5). Hiermee is aangetoond dat er inderdaad voor voor elke ε > 0 een δ > 0 bestaat zodanig dat voor elke x die voldoet aan (6) wordt voldaan aan (5), QED.

quote:

Op zondag 14 februari 2010 21:10 schreef Hanneke12345 het volgende:
Oké ik kom er weer niet uit. Prove that if a>0, then there exists n in N such that 1/n < a < n.

a < n is makkelijk. Round(a)+1 (mag dat gewoon?).
1/n < a kom ik niet uit. Ik dacht eerst 't zelfde te doen als net. a/2. Maar als a irrationaal is kan dat niet omgevormd anar 1/n. round(a)/2 gaat ook alleen maar goed als a groter is dan een half.

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 10:28 schreef greatchampion het volgende:
een probleem met het inproduct waar ik niet helemaal uit kom:

ik heb 2 vectoren die een plane opspannen laten we zeggen:
P(50,0,0) en Q(0,0,50) (x,y,z)
met een normaal van de plane N(0,1,0)

Nu moet ik een vector R bepalen die +30 graden is tov vector P die ook in de plane ligt. Hoe doe ik dit?

Kom niet verder dan in het invullen van deze formule:
P*R = |P| |R| * cos( hoek )

P weet ik hier, lengte van R ook moet hoe reken ik nou die vector R uit? want als ik het oplos deel ik het rechter stuk door vector P maar dan ligt vector R nog steeds op dezelfde richting als P . Ik zie volgens mij iets over het hoofd

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 11:42 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik begrijp niet zo goed waarom je hier met een inproduct wil werken. Als R in hetzelfde vlak ligt als P en Q en dezelfde lengte heeft als P omdat je P over een hoek van 30 graden in positieve richting roteert om R te verkrijgen, dan heb je R(50*cos(-30°),0,50*sin(-30°)). Het minteken is vanwege de ligging van je normaal (kurketrekkerregel).

quote:

Op zondag 14 februari 2010 21:10 schreef Hanneke12345 het volgende:
Oké ik kom er weer niet uit. Prove that if a>0, then there exists n in N such that 1/n < a < n.

a < n is makkelijk. Round(a)+1 (mag dat gewoon?).
1/n < a kom ik niet uit. Ik dacht eerst 't zelfde te doen als net. a/2. Maar als a irrationaal is kan dat niet omgevormd anar 1/n. round(a)/2 gaat ook alleen maar goed als a groter is dan een half.

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 13:55 schreef GlowMouse het volgende:
Waarom zou je n=3 nodig hebben om het gevraagde aan te tonen?

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 14:20 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Je wilt aantonen dat de groep Abels is. Je hebt aangetoond ab=ba. Wat wil je nog meer aantonen?

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 14:29 schreef GlowMouse het volgende:
Wat heeft commutativiteit met n te maken?

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 14:34 schreef JoPiDo het volgende:

[..]

??

hoe laat ik zien dat het geldt voor n>2? dat is niet zo'n heel rare vraag...?

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 15:23 schreef GlowMouse het volgende:
Als je een figuur tekent, zie je dat je nu de oppervlakte bepaalt van het stuk begrensd door de grafiek, de lijn y=8 en de lijn x=8.

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 14:11 schreef GlowMouse het volgende:
bij 1 zou ik 1/n<a iets uitgebreider motiveren: 1<a dus n < na dus 1 < na en vermenigvuldigen met het positief getal 1/n (waarom positief?) levert 1/n < a.
de laatste dus bij 2 gaat ook wel heel snel.

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 21:12 schreef Keiichi het volgende:
Ik ben bezig met verzamelingsleer. Waar ik niet helemaal aan uit kom met de informatie die ik heb.

Ik heb verzameling A = {a,b,c} . Eenvoudig. Van A^* zijn bv woorden als aa,bb en cc te maken

Wat als een element een verzameling opzich is? Dus B = {a,b,{c,d}} . Wat zijn van B^* woorden die ik kan maken op aa en bb na?

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 16:39 schreef Hanneke12345 het volgende:
Ah, oké.

Een andere vraag dan: Ik moet bewijzen dat een ondergroep in een abelse groep ook abels is. Maar een ondergroep heeft toch altijd dezelfde bewerking als de normale groep, en is dus automatisch abels? Valt daar nog iets in te bewijzen?
Daarna "geef een niet-triviaal voorbeeld van een abelse ondergroep van een niet-abelse groep", een groep met drie elementen {e, a, a^-1} met orde van a is 2 is zeker triviaal?

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 21:37 schreef poesemuis het volgende:
als

2log(1+t0) = log(1+t0+T)

en T is hier de verdubbelingstijd, wat is dan T?

het antwoord is T = t0 + t2boven0

in eerste instantie herken ik die notatie niet, t en dan twee cijfers boven elkaar, weet iemand wat dit betekent?
en ten tweede begrijp ik sowieso niet hoe je dit moet oplossen..

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 21:47 schreef thabit het volgende:

[..]

Je kunt een superscript met [sup] en [ /sup] en een subscript tussen [sub] en [ /sub] (maar dan zonder spaties). Misschien maakt dat je opgave wat leesbaarder.

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 21:37 schreef poesemuis het volgende:
als

2log(1+t0) = log(1+t0+T)

en T is hier de verdubbelingstijd, wat is dan T?

het antwoord is T = t0 + t2boven0

in eerste instantie herken ik die notatie niet, t en dan twee cijfers boven elkaar, weet iemand wat dit betekent?
en ten tweede begrijp ik sowieso niet hoe je dit moet oplossen..

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 22:34 schreef Riparius het volgende:

[..]

Om te beginnen: gebruik alsjeblieft een duidelijke notatie, subscript en superscript zijn er niet voor niks. Nu is het zo dat iemand eerst je opgave moet ontcijferen om überhaupt te kunnen snappen wat de vraag is. En dat geldt helaas niet alleen voor jou.

Wat ik eruit opmaak is dat je hebt:

2∙log(1 + t₀) = log(1 + t₀ + T)

Dan hebben we dus:

(1 + t₀)² = 1 + t₀ + T

En dus:

T = (1 + t₀)² - t₀ - 1

En uitwerken geeft dan:

T = t₀ + t₀²

De nul in t₀ is een index en de twee in t₀² een kwadraat, niks bijzonders dus.

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 14:44 schreef -jos- het volgende:

[..]

Dat hoef je niet te bewijzen, er is alleen gegeven dat het voor alle n geldt. Er staat niet dat je voor alle n moet bewijzen dat G abels is.

quote:

Op woensdag 17 februari 2010 16:23 schreef poesemuis het volgende:
Als

x_n+1 = a(1-x_n) = x_n (omdat we te maken hebben met een evenwichtspunt)

waarom is dan x_n = a / (1+a)?

quote:

Op woensdag 17 februari 2010 22:03 schreef gaussie het volgende:
Ik heb een vraag over de cosinus regel. Ik neem aan dat hij bekend is. Maar ik zal hem voor de duidelijkheid herhalen:
Voor de drie zijden a, b en c van een driehoek als ook voor de tegenover de zijde c liggende hoek, dat wil zeggen de door de twee zijden, a en b ingesloten hoek, γ geldt:

c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b cos©

Als je het bewijs van de cosinus regel bekijkt dan zie je in dat dit een implicatie is in de vorm A impliceert B. Dus een Als..., dan.... stelling. A is de hypothese en B is dan de conclusie. In dit geval is de conclusie duidelijk c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b cos©.

Nu lees ik in een boek dat de converse van de cosinus regel niet waar is. Met converse bedoel ik het verwisselen van de hypothese met de conclusie. Dus B impliceert A. Volgens het boek komt dit omdat in het bewijs van de cosinus regel gebruik wordt gemaakt van de stelling van Pythagoras. Dit klopt maar wat is de samenhang met de converse? Dit ontgaat mij. kan iemand me uitleggen waarom de converse niet waar is? Hetzij met een tegenvoorbeeld of logisch argument.

quote:

Op woensdag 17 februari 2010 22:03 schreef gaussie het volgende:

Nu lees ik in een boek dat de converse van de cosinus regel niet waar is. Met converse bedoel ik het verwisselen van de hypothese met de conclusie. Dus B impliceert A. Volgens het boek komt dit omdat in het bewijs van de cosinus regel gebruik wordt gemaakt van de stelling van Pythagoras. Dit klopt maar wat is de samenhang met de converse? Dit ontgaat mij. kan iemand me uitleggen waarom de converse niet waar is? Hetzij met een tegenvoorbeeld of logisch argument.

quote:

Op woensdag 17 februari 2010 22:35 schreef gaussie het volgende:
Het is nu veel duidelijker. Dit is gewoon een fout in het boek. Heb je misschien een bewijs van de converse? Ik kan hem namelijk nergens vinden....

quote:

Op donderdag 18 februari 2010 23:36 schreef JoPiDo het volgende:
weet iemand een groep met oneindige orde, waarin elk element eindige orde heeft?

ik kan echt niets bedenken!

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 21:33 schreef thabit het volgende:

[..]

Wel, bijvoorbeeld iets als ab{c,d}bba.

quote:

Op zondag 21 februari 2010 16:39 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Nee.
[..]

Nee.

quote:

Op zondag 21 februari 2010 18:07 schreef GlowMouse het volgende:
Nee, dit kun je gewoon beredeneren vanuit de definities.

quote:

Op maandag 22 februari 2010 14:13 schreef gaussie het volgende:
Ik ben nu het boek concepts of modern mathematics aan het lezen. Een aanrader voor iedereen die geinteresseerd is in wiskunde, maar dat terzijde. In het hoofstuk over axiomatische systemen ben ik een beetje vastgelopen. Vooral op 1 bepaalde passage. Die luidt als volgt: 'Are the group axioms true?', is a nonsense question. Axioms are not true in any absolute sense; but they may be true of something.

Ik raak in de war van het stukje ''may be true of something". Wat is dat "something"? Een wiskundig object? Kan iemand dit verduidelijken met een voorbeeld?

quote:

Op dinsdag 23 februari 2010 14:49 schreef Conversatie het volgende:
Ik vroeg me het volgende af:

Als je de functie x/(x+3) integreer kom je uit op:
x-3ln(x+3)+C

Maar als ik dat vervolgens afleidt kom ik uit op:
1-3/(x+3). En dus niet x/(x+3). Dit is dezelfde functie, maar hoe schrijf je 1-3(x+3) om naar x/(x+3) of moet je dat gewoon beredeneren oid?

quote:

Op dinsdag 23 februari 2010 15:11 schreef -jos- het volgende:

[..]

van 1-3(x+3) naar x/x+3 is makkelijk, je schrijft gewoon 1 om naar x+3/x+3

andersom gebruik je staartdelen

quote:

Op donderdag 25 februari 2010 15:27 schreef Siddartha het volgende:
Stel een vergelijking op van de buigraaklijn k van de grafiek van
f(x) = x e^x

Dus:
f'(x) = e^x + xe^x
f''(x)= 2e^x + xe^x
f'' (x) = 0 levert op x = -2
Maar wat moet ik dan doen?

quote:

Op donderdag 25 februari 2010 16:22 schreef Riparius het volgende:

[..]

Bepaal de richtingscoëfficiënt van de buigraaklijn en de coördinaten van het buigpunt. Met die twee gegevens kun je de vergelijking van de buigraaklijn opstellen.

quote:

Op donderdag 25 februari 2010 19:14 schreef GlowMouse het volgende:
Ken je de Lambert W functie?

quote:

Op donderdag 25 februari 2010 19:30 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Nee, zou je me die uit kunnen leggen?
(Wiki/mathworld/google bieden ook geen uitleg)

quote:

Op vrijdag 26 februari 2010 12:05 schreef Siddartha het volgende:
Gegeven is de functie :
f(x) = 1 + 2sin(x-1/3Pi) Met domein [0, 2Pi ]
Bereken de oppervlakte van het vlakdeel dat ingesloten wordt door de grafiek van f en de x-as.

Ik kom er niet uit... Snijpunten berekenen, dan primitiveren.
Snijpunten zijn (volgens mij) x= 1/2 Pi V x= 1/1/6Pi
F(x) = x-2cos(x-1/3Pi)
Als ik dan F(1/1/6Pi) - F(1/2Pi) doe krijg ik
1/1/6Pi + Wortel3 - 1/2Pi +wortel3 = 2wortel3 + 5/6Pi
Maar volgens het antwoordboekje moet het 2wortel 3 + 1/1/3Pi zijn ?

quote:

Op vrijdag 26 februari 2010 12:12 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je snijpunten met de x-as zijn fout. Bereken die nog eens of laat zien wat je gedaan hebt.

quote:

Op vrijdag 26 februari 2010 12:24 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Daar moet inderdaad wel de fout zitten.
Even kijken,
1+2sin(x-1/3Pi) = 0
sin(x-1/3Pi) = -0.5
Sin p = -0.5
p = 1/1/6Pi v p = 1/5/6Pi

quote:

Op vrijdag 26 februari 2010 12:30 schreef Riparius het volgende:

[..]

Hier gaat het verkeerd.

sin(x-π/3) = -½

x - π/3 = -1/6∙π + 2kπ of x - π/3 = 7/6∙π + 2kπ.

Nu mag je zelf weer even verder.

quote:

Op zondag 28 februari 2010 19:43 schreef GlowMouse het volgende:
A is links-inverteerbaar desda Ax=b slechts één oplossing heeft voor iedere b in ColA.

quote:

Op zondag 28 februari 2010 14:44 schreef thabit het volgende:
Een projectieve transformatie is altijd inverteerbaar. Als ze dat niet is, dan moet ze een punt in V naar 0 sturen, maar daar is dan de afbeelding niet gedefinieerd.

Als f(x) een polynoom is en a een nulpunt, dan kun je f(x) factoriseren: f(x) = (x-a)^m * g(x), waarbij m een positief geheel getal is en g(x) een polynoom dat a niet als nulpunt heeft. De multipliciteit van a is dan m.

quote:

Op zondag 28 februari 2010 21:35 schreef Hanneke12345 het volgende:

[..]

Oké. Dus alleen maar nullen is in ieder geval niet mogelijk, en alleen maar complexe getallen ook niet. Wat je nu zegt over multipliciteit herinner ik me inderdaad van lineaire algebra.

Maar is 't niet alsnog mogelijk om twee complexe eigenwaarden te hebben en één eigenwaarde 0?

quote:

Op zondag 28 februari 2010 20:45 schreef GlowMouse het volgende:
Ax=0 =>x=0
dus kolommen A lin.onafh.
dus rank(AT) =n en m>=n.
dus AT x = b heeft een oplossing voor elke x.

quote:

Op maandag 1 maart 2010 08:46 schreef Siddartha het volgende:
Gegeven is de formule :
f(x) = 2sin^2 x + sin x - 1
Punt A ligt op de grafiek met Xa = 1/3Pi
Stel de lijn k op die de grafiek raakt in A.

Eerst f(x) anders opschrijven:
f(x) = -cos2x +sinx
Die differentiëren: f'(x) = sin2x + cosx

quote:

Op maandag 1 maart 2010 08:46 schreef Siddartha het volgende:

Heeft iemand nog tips voor goniometrie, met name het omzetten van sinussen in cosinussen en andersom? Ik heb de standaard omzettingen ( sin^2 x + cos^2 x = 1 bijv.), maar ik snap niet precies wat ik moet doen als de gegeven functie niet helemaal volgens zo'n omzetting is (zoals hierboven).

quote:

Op maandag 1 maart 2010 15:01 schreef Riparius het volgende:

[..]

Leg eens uit waarom je de functie hierboven überhaupt wil omschrijven. Kennelijk om het jezelf wat makkelijker te maken bij het differentiëren, maar dat doe je dan alsnog fout. Het is niet nodig deze functie om te schrijven om de afgeleide ervan te bepalen. Bij integreren daarentegen kunnen goniometrische identiteiten goede diensten bewijzen, bijvoorbeeld om een integrand die een rationale functie is van sin x, cos x en tan x om te zetten in een rationale functie van t via de substitutie t = tan ½x.

quote:

Op maandag 1 maart 2010 16:55 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Volgens mij is het ook niet noodzakelijk, maar meer om vertrouwd te raken met goniometrische functies. Maar ik zou dus ook een functie als f(x)= sin^2 (3x) gewoon volgens de productregel kunnen integreren/differntieren ?

quote:

Op maandag 1 maart 2010 17:04 schreef Riparius het volgende:

[..]

Differentiëren is eenvoudig m.b.v. (tweemaal!) de kettingregel, maar integreren van iets als f(x) = sin²(3x) is (uit het blote hoofd) niet zo eenvoudig. Maar het kwadraat van een sinus of cosinus kun je eenvoudig omzetten in de cosinus van de dubbele hoek en dan kun je het wel weer eenvoudig integreren.

quote:

Op maandag 1 maart 2010 17:18 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Dus bij primitiveren wel gebruik maken van de identiteiten?
Dan zit er niks anders op dan meer oefenen.

quote:

Op maandag 1 maart 2010 17:34 schreef Riparius het volgende:

[..]

Tja, ach, de voornaamste goniometrische identiteiten zou je gewoon uit het hoofd moeten kennen. Als je dat niet lukt, zorg ervoor dat je dan in ieder geval de somformules voor cos(α+β) en sin(α+β) wel uit het blote hoofd kent, aangezien je de meeste andere identiteiten daar gemakkelijk uit af kunt leiden. Voor de cosinus van de dubbele hoek zijn er drie formules die vaak van pas komen, als volgt:

cos 2α = cos²α - sin²α
cos 2α = 2cos²α - 1
cos 2α = 1 - 2sin²α

Uit de tweede en derde van deze formules volgt direct hoe je een kwadraat van een cosinus of sinus om kunt zetten in de cosinus van de dubbele hoek:

cos²α = ½(1 + cos 2α)
sin²α = ½(1 - cos 2α)

Zo kan ik direct zeggen dat f(x) = sin²3x = ½(1 - cos 6x), zodat een primitieve van deze functie is: F(x) = ½x - (1/12)∙sin 6x.

quote:

Op maandag 1 maart 2010 17:55 schreef Borizzz het volgende:
Complexe functies kun je ook gebruiken bij het vinden van goniometrische relaties.

verkapte tvp overigens.

quote:

Op maandag 1 maart 2010 18:10 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat is waar. Als je begrijpt dat:

cos(α+β) + i∙sin(α+β) = (cos α + i∙sin α)(cos β + i∙sin β)

dan hoef je zelfs de somformules voor cos(α+β) en sin(α+β) niet uit het blote hoofd te weten. Maar ik heb het idee dat Siddartha daar nog niet aan toe is.

quote:

Op maandag 1 maart 2010 18:19 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Klopt, ik heb geen idee waar het over gaat.

quote:

Om mijn 'niveau' aan te geven, ik heb wiskunde a12 afgesloten met een 8+. Daarna ben ik een verkeerde studie gaan doen, waarna ik erachter kwam dat ik wat met wiskunde wil gaan doen. Dus probeer ik nu in april mijn voortentamen wiskunde B (nieuwe nieuwe nieuwe fase) met zelfstudie te halen. Wat nog best pittig is, in die korte tijd.

quote:

Op maandag 1 maart 2010 18:45 schreef Riparius het volgende:

[..]

De identiteit die ik gaf laat zien dat bij vermenigvuldiging van twee complexe getallen de argumenten worden opgeteld. In Nederland is het nog steeds zo dat complexe getallen niet in de normale schoolstof zitten, terwijl dat in veel andere landen wel zo is. Ik kwam pas nog wat aardige PDFjes tegen van een Vlaamse zomercursus, hier. Daar zit een ook PDF bij met een inleiding in de complexe getallen. Misschien heb je daar wat aan.
[..]

Ah, zo. Wat moet je (ongeveer) weten voor dat tentamen in april? Wellicht heb ik nog wat linkjes of tips voor je.

quote:

Op maandag 1 maart 2010 18:58 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Ik heb het bij mijn favorieten gezet, ik ga het zeker doorbladeren. Er staat ook goniometrie bij, met een beetje uitleg! Geweldig, dat is al een stuk beter dan puur wat formules en opdrachten.

Mijn grootste deficiënt is meetkunde/goniometrie. Primitiver en de afgeleide vinden lukt aardig, maar die gebieden blijven nog onduidelijk voor me. Hoe zo'n functie om te schrijven en wat wel/niet geoorloofd is, is me nog niet helemaal duidelijk.

[snip]

Db: Goniometrische functies Db1: Goniometrische functies
Gb: Voortgezette meetkunde Gb1: Oriëntatie op bewijzen
Gb2: Constructie en bewijzen in de vlakke meetkunde
F: Keuzeonderwerpen[/i]
Bron: http://www.digischool.nl/(...)B_vwo_DEFINITIEF.pdf

quote:

Op maandag 1 maart 2010 18:45 schreef Riparius het volgende:

[..]

In Nederland is het nog steeds zo dat complexe getallen niet in de normale schoolstof zitten, terwijl dat in veel andere landen wel zo is. Ik kwam pas nog wat aardige PDFjes tegen van een Vlaamse zomercursus,

quote:

Ah, zo. Wat moet je (ongeveer) weten voor dat tentamen in april? Wellicht heb ik nog wat linkjes of tips voor je.

quote:

Op maandag 1 maart 2010 21:16 schreef Borizzz het volgende:

[..]

Het is een keuze onderdeel binnen wiskunde D.
_{bron: http://www.nvvw.nl/media/downloads/examens/examenprogramma_wiskunde_d_vwo_definitief.pdf}
[..]

quote:

Vd Craats heeft ook een "inleiding" geschreven over complexe getallen:
http://staff.science.uva.nl/~craats/CGnieuw.pdf

quote:

Op maandag 1 maart 2010 20:12 schreef Riparius het volgende:

[..]

OK. Die PDF vind ik nogal een 'ambtelijk' stuk, waar ik niet zoveel wijzer van word. Vaak wordt het Basisboek Wiskunde van Van de Craats aangeraden. Ik kende dat boek inhoudelijk niet zo, maar het blijkt integraal op een legale (!) webserver te staan, zodat ik het eens door heb kunnen nemen, en ik ben er niet enthousiast over. Ik vind het niet erg geschikt voor zelfstudie als je niet op een docent terug kunt vallen, al was het maar door het ontbreken van uitwerkingen.

Veel beter geschikt voor zelfstudie vind ik dan een aantal publicaties van de Open Universiteit die je terug kunt vinden op hun website als je even slim zoekt. Die geven meer dan je waarschijnlijk nodig hebt, maar ik zou ze zeker eens doorkijken, je kunt er veel uit leren.

Voor de vlakke meetkunde, tenslotte, kun je hier goed terecht. Mooi overzicht van alle belangrijke stellingen, met bewijzen.

quote:

Op dinsdag 2 maart 2010 10:08 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Bedankt! Daar kom ik al een stuk verder mee.
Verder zal ik gewoon moeten doorbijten en veel oefenen.

quote:

Weet je toevallig ook (Wat een vragen!) hoe het niveau van een voortentamen is? (http://www.ccvx.nl/)
Ik zie net dat zo'n examen iets afwijkt van een normaal eindexamen,

quote:

Op dinsdag 2 maart 2010 12:39 schreef Hanneke12345 het volgende:
Ik wil laten zien dat {r+sqrt{2} : r in Q} irrationaal is.
Stel r+sqrt{2}=a/b
dan (r+sqrt{2})^2=a^2/b^2
Dus r^2+2sqrt{2}+2=a^2/b^2
Kan ik dan nu gewoon 2(1/2r^2+sqrt{2}+1)=a^2/b^2, en dan concluderen dat ggd(a,b) minstens 2 moet zijn dus tegenspraak?

quote:

Op dinsdag 2 maart 2010 13:50 schreef Siddartha het volgende:
Dit is zo frustrerend!
f(x) = sin 2x
V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door f(x), de x-as, x= 1/3Pi, en x= 1/6Pi.
Bereken het omwentelingslichaam dat ontstaat als V wentelt om de x-as.

Ah, ik moet f(x) eerst kwadrateren en dan pas integreren!

quote:

Op dinsdag 2 maart 2010 14:22 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je bedoelt neem ik aan het volume van het omwentelingslichaam? En wat is je uitkomst?

quote:

Op dinsdag 2 maart 2010 15:40 schreef Siddartha het volgende:

[..]

In het boek staat gewoon 'het vlakdeel', wat in dit geval gelijk is aan het volume (toch?).

quote:

Uitkomst had ik 1/12Pi^2 + 1/8Pi Wortel3
(als primitive functie had ik F(x) = 1/2x -1/8sin4x , invullen voor b=1/3pi en a = 1/6 pi, etc geeft de inhoud. Dat keer Pi en ik heb de uitkomst.)

quote:

Maar ik vind het vreemd dat je de originele functie moet kwadrateren en niet de uitkomsten van de integrale functie.

quote:

Op dinsdag 2 maart 2010 21:12 schreef GlowMouse het volgende:
Reken die kansen eens afzonderlijk voor mij uit dan

quote:

Op dinsdag 2 maart 2010 16:39 schreef Riparius het volgende:

[..]
Snijd het omwentelingslichaam in gedachten eens in n hele dunne plakjes met een dikte Δx, waarbij het snijvlak loodrecht op de as van de rotatie staat. Elk van die dunne plakjes kun je bij benadering als een cilinder met straal f(x_k) en lengte Δx beschouwen. Het volume van één zo'n cilinder is dan π∙{f(x_k)}²∙Δx. Het volume van al die plakjes (met k = 1,2 ... n) moet je sommeren om een benadering te krijgen van het volume van het omwentelingslichaam. Deze benadering wordt beter naarmate je de plakjes dunner maakt. Zo krijg je de limiet van wat ze wel een Riemann som noemen, en deze limiet is de integraal die je hebt uitgerekend.

Wat jij wilde is de oppervlakte van het vlakdeel kwadrateren, maar daarmee bereken je geen inhoud (waarom niet?). Probeer het maar eens met wat eenvoudige figuren als een cirkel of een vierkant die je om hun symmetrie-as roteert, dan zie je dat jouw idee over het volume van een omwentelingslichaam niet klopt.

quote:

Op dinsdag 2 maart 2010 23:40 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Dus een integraal is de somfunctie van alle 'y' op gebied delta x (waar x zo klein mogelijk is) en is dus voor elke delta x eigenlijk (een benadering van) de straal?
Hmm, wat ik dus deed was puur de oppervlakte kwadrateren, terwijl oppervlakte niet gelijk is aan straal. Wat ik deed was de stralen/lijnen onder het gegeven gebied uitrekenen, bij elkaar optellen en dan kwadrateren. Door de formule van de integraal te kwadrateren, kwadrateer ik elke straal en ( x Pi) krijg ik wel de inhoud.
Klopt dit een beetje?

quote:

Op woensdag 3 maart 2010 00:29 schreef BasementDweller het volgende:

[..]

Ik volg het niet helemaal waarom je de stappen neemt die je neemt, maar volgens mij klopt het niet.

Een voorbeeld:
De straal van het cilindertje is de functiewaarde en de "hoogte" van de cilinder is de dx. Je kan het zien als een worst die je in infinitesimaal dunne plakjes snijdt. Als je de volumes van de kleine plakjes bij elkaar optelt heb je het formule van de hele worst. Een worst die in dikte varieert kan je zien als een niet-constante functie. Stel dat je worst wel kaarsrecht is met constante straal f(x)=c en lengte L. Dan kun je de inhoud uitrekenen met de "standaardformule" voor een cilinder: pi × c² × L (dat is dus gewoon de "oppervlakte maal hoogte". Je kan ook de volgende integraal uitrekenen:
[ afbeelding ]
Voor een gewone cilinder is dit eigenlijk overbodig werk, maar het geeft je misschien wel een idee dat het voor niet-constante formules ook de inhoud geeft.

Misschien is het wel een leuke oefening om mbv een omwentelingslichaam de inhoud van een kegel met hoogte L te bepalen . Je zou een kegel kunnen kiezen met als tophoek 90 graden. Dan kan je de functie f(x)=x gebruiken. Welke integraal bereken je dan?

quote:

Op woensdag 3 maart 2010 08:19 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Ik had in een opgave de uitkomst van de integraal gekwadrateerd en vroeg me af waarom je de hele formule moest kwadrateren. Maar dat is dus omdat de integraal een verzameling is van stralen (of benaderingen ervan) voor elk stapje delta x binnen het aangegeven gebied?

Hmm, een kegel. De f(x) lijn is in dit geval de schuine zijde, de x-lijn de hoogte(L) en x=b is de straal. Als ik f(x) primitiveer en voor 2 getallen invul (waarvan a = 0), krijg ik de oppervlakte onder de lijn. Zonder de primitive had ik gewoon uitgerekent: Pi x straal^2 x L x 1/3
Maar omdat F(x) = 1/2x^2 voor (b=x en a=0) al de oppervlakte geeft, hoef ik toch alleen maar:
Pi x F(x)^2 uit te rekenen?

quote:

Op woensdag 3 maart 2010 08:44 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, je vervalt weer in dezelfde denkfout door de primitieve te kwadrateren, en daarmee in feite de oppervlakte van het vlakdeel omder de curve te kwadrateren.

quote:

Op woensdag 3 maart 2010 09:05 schreef Siddartha het volgende:

[..]

In de laatste regel bedoel ik F(x) als gehele functie te kwadrateren, dus
F(x) = 1/2x^2
F(x)^2 = 1/4x^4 (En daarvoor invullen, x Pi geeft het volume, toch?)

quote:

Op woensdag 3 maart 2010 13:35 schreef Matr het volgende:
Hallo,

Ik heb wat vragen over ontbinden in factoren:

1. Ik begrijp deze stappen niet:

[ afbeelding ]

2. Ik moet de determinant van een matrix bepalen. Ik kom op de hieronderstaande waarde uit:
( de vergelijking moet als uitkomst 0 hebben).

[ afbeelding ]


Als antwoord is alleen het eindantwoord gegeven: a = 0 a = 1 of a = 2.
Ik kom hier niet op uit heb ik iets fout gedaan of zien jullie deze antwoorden zo?

Alvast bedankt

quote:

Op woensdag 3 maart 2010 09:18 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik begrijp wat je bedoelt, maar het is gewoon fout. Het volume van een omwentelingslichaam verkregen door de curve van y = f(x) tussen x=a en x= b rond de x-as te wentelen wordt gegeven door:

(1) π∙∫_a^b (f(x))²dx

Maar wat jij schijnt te denken is dat dit hetzelfde is als:

(2) π∙[∫_a^b f(x)dx]²

Maar (2) is niet hetzelfde als (1), en bovendien kan (2) onmogelijk het volume van het omwentelingslichaam voorstellen. Zie je ook waarom?

quote:

Op woensdag 3 maart 2010 15:41 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Hmm, wat ik deed was dus weer dezelfde fout: De oppervlakte kwadrateren.
Door f(x) te kwadrateren, kwadrateer je alleen de straal voor elke x, en met integreren tel je dan alle gekwadrateerde stralen in een gebied(=lengte) bij elkaar op. En dus heb je de straal^2 x lengte zo berekend.( Dan volgt vanzelf keer Pi)
Terwijl je door F(x) te kwadrateren, tel je alle stralen bij elkaar op in een gebied en dat kwadrateer je. Wat dus fout is.
Ik denk dat ik het nu snap!

quote:

Op woensdag 3 maart 2010 15:56 schreef Riparius het volgende:

[..]
Probeer om het principe beter te begrijpen eens of je ook een formule kunt opstellen voor de manteloppervlakte van een omwentelingslichaam (hint: stel eerst een formule op voor de lengte van de curve van y = f(x) tussen x=a en x=b).

quote:

Op woensdag 3 maart 2010 16:23 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Nou, de lengte is y voor f(delta x) maal 2 omdat je met y alleen maar de straal van het midden naar de 'cirkel' hebt, terwijl je aan de andere kant nog eens die lengte hebt.
dus lengte is 2y: 2f(x)
Omtrek van een figuur is Pi x lengte.
Om de lengte van elke delta x bij elkaar op te tellen kan ik de integraal gebruiken. Door (2f(x)) te primitiveren tel ik al die lengtes bij elkaar op en door dan met Pi te vermenigvuldigen krijg ik de omtrek/mantel. Toch?

quote:

Op woensdag 3 maart 2010 17:14 schreef Riparius het volgende:

[..]